3. Elementarne funkcije 3.. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom n tog stupnja. Brojevi a n, a n,..., a, a 0 nazivaju se koeficijenti polinoma, a specijalno se a n zove vodeći koeficijent, a a 0 slodobni koeficijent. Teorem. (O jednakosti dvaju polinoma) Polinomi f i g definirani s: f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0, g(x) = b m x m + b m x m +... + b x + b 0, su jednaki ako i samo ako je m = n i a i = b i, i = 0,,..., n. Svaki broj α, realan ili kompleksan, za koji vrijedi f(α) = 0 zovemo nultočka polinoma f. Specijalno, ako je n = 0 onda polinom nultog stupnja zapisujemo u obliku f(x) = c, c R \ {0} i zovemo konstantni polinom ili konstanta. Njezin graf je pravac y = c koji je paralelan s x osi. Ako je f(x) = 0, x R onda f nazivamo nul-polinom (i njegov stupanj ne definiramo). Teorem. (O nul-polinomu) Polinom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 je nul polinom ako i samo ako su svi koeficijenti a i = 0, i = 0,,..., n. Slika : Graf konstante 4 3 3 3
Specijalno, ako je n = onda polinom prvog stupnja zapisujemo u obliku f(x) = kx + l, k 0 i zovemo linearna funkcija. Vodeći koeficijent se zove koeficijent smjera, a slobodni koeficijent odsječak na y osi. Linearna funkcija ima jednu nultočku: l. Linearna k funkcija je strogo rastuća funkcija ako je k > 0, a strogo padajuća funkcija ako je k < 0. Graf linearne funkcije je pravac y = kx + l. 5 4 3 3 3 3 3 (a) k > 0 3 4 (b) k < 0 Slika : Graf linearne funkcije Specijalno, ako je n = onda polinom drugog stupnja zapisujemo u obliku f(x) = ax + bx + c, a 0 i zovemo kvadratna funkcija. Diskriminanta kvadratne funkcije je realan broj D = b 4ac. Nultočke kvadratne funkcije računamo po formuli: x, = b ± D. a
Ako je D > 0 onda kvadratna funkcija ima dvije različite realne nultočke (dvije jednostruke nultočke), D = 0 onda kvadratna funkcija ima jednu realnu nultočku (jednu dvostruku nultočku), D < 0 onda kvadratna funkcija ima dvije kompleksno konjugirane nultočke. Tjeme kvadratne funkcije je točka T (x 0, y 0 ) = T ( b 4ac b, ). a 4a Graf kvadratne funkcije je parabola čija je os paralelna s y osi. Ako je a > 0 parabola je okrenuta prema gore, te je funkcija strogo padajuća na intervalu (, x 0 ), u x 0 postiže najmanju vrijednost koja iznosi y 0 te je strogo rastuća na intervalu (x 0, + ). Ako je a < 0 parabola je okrenuta prema dolje, te je funkcija strogo rastuća na intervalu (, x 0 ), u x 0 postiže najveću vrijednost koja iznosi y 0 te je strogo padajuća na intervalu (x 0, + ). 3
0 8 6 4 Slika 3: Graf kvadratne funkcije 6 5 4 3 3 4 5 6 (a) a > 0, D < 0, 3 4 5 (b) a > 0, D = 0, 0 3 4 5 6 5 - -4 4 4-6 5-8 (c) a > 0, D > 0, (d) a < 0, D > 0, 3 4 5 6 7 3 4 5 - -4-6 -8 4 6 8 0 (e) a < 0, D = 0, (f) a < 0, D < 0, Zbrajanje i množenje polinoma: (f + g)(x) := f(x) + g(x), (f g)(x) := f(x) g(x). Funkcije f + g : R R i f g : R R su također polinomi. Množenje polinoma skalarom: (λf)(x) := λf(x), λ R Funkcija λf : R R je također polinom. 4
Zadaci Zadatak. Odredite zbroj polinoma f(x) i g(x) ako je zadano: a) f(x) = x 3x + ; g(x) = x + x b) f(x) = x 3 + 5x x + 7; g(x) = 3x 3 x + 5x 3 c) f(x) = x 5 3x 4 + 5x x + ; g(x) = x 5 + 3x 4 5x + x d) f(x) = 3x 3 x + ; g(x) = x 6 3x x. Zadatak. Odredite razliku polinoma f(x) i g(x) ako je zadano: a) f(x) = x 3x + ; g(x) = x 3x + 5 b) f(x) = 3x 3 4x + ; g(x) = 3x 3 x x + 3 c) f(x) = x 5 3x 3 + x; g(x) = x 4 3x 3 + x + x d) f(x) = x 6 3x ; g(x) = 3x 5 x 4 3x +. Zadatak 3. Za zadane polinome f(x) i g(x) odredite linearnu kombinaciju (af +bg), gdje je a) f(x) = x 3 3x + x ; g(x) = x 6 + 5x 3x + ; a = 3; b = b) f(x) = 4x 3 3x x + ; g(x) = 3x 4 x x + 5; a = ; b = 3 c) f(x) = x 3 x + 4x ; g(x) = 3x 3 3x + 6x + ; a = 3; b = d) f(x) = x 4 3x 3 + 5x x + ; g(x) = 3x 4 5x 3 + 8x 3x + 5; a = 5; b = e) f(x) = 3x 5 x + x ; g(x) = x 4 + x 3 x + x ; a = ; b = Zadatak 4. Odredite produkt zadanih polinoma f(x) i g(x): a) f(x) = 3x x + ; g(x) = x b) f(x) = x 3 x + ; g(x) = x 5 + x 3 + x c) f(x) = x 3 + x + x + ; g(x) = x 3 x + x d) f(x) = x 4 x x ; g(x) = x 3 + x + e) f(x) = x 6 x 5 + x 4 x 3 + x x + ; g(x) = x + Zadatak 5. Odredite zbroj koeficijenata u kanonskom zapisu polinoma: a) f(x) = (x x + ) 000 (x x + ) 0 b) f(x) = (x x + 3) 987 (x 6x + 5) 987 c) f(x) = (x 5x + ) 450 (x 5x + 4) 540 d) f(x) = (x + 3x + ) 00 (x 3x + ) 00 5
Zadatak 6. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = x, b) f(x) = x 4, c) f(x) = x 6, d) f(x) = x 3, e) f(x) = x 5, f) f(x) = x 7, g) f(x) = x, h) f(x) = x 3. Zadatak 7. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = (x + )(x )(x + 3)(x /), b) f(x) = (3 x)(x + 7)(x 4), c) f(x) = 3(x ) (x )(x + 4) 3, d) f(x) = ( x) 3 (x ) (x + 4) 3 (x + 7) 4. 6
3.. Racionalne funkcije Funkcija f : R D f R zadana formulom f(x) = P n(x) Q m (x) = a nx n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +... + b x + b 0, gdje su P n i Q m polinomi stupnja n i m > 0, tim redom, naziva se racionalna funkcija. Domena racionalne funkcije sadrži sve realne brojeve koji nisu nultočke nazivnika, tj. D f = {x R : Q m (x) 0}. Prava racionalna funkcija je ona kod koje je stupanj polinoma u brojniku manji od stupnja polinoma u nazivniku. U suprotnom je neprava i može se dijeljenjem polinoma brojnika i nazivnika svesti na zbroj polinomnog dijela i prave racionalne funkcije. Slika 4: Graf racionalne funkcije 0 6 4 3 3 4 5 0 5 6 (a) f(x) = x (b) f(x) = x.0 0.8 0.6 0.4 0. 6 4 6 4 4 6 6 4 4 6 0. 4 6 (c) f(x) = x x +x+ (d) f(x) = x 3x+5 (x+)(x )(x 3) 7
Zadatak 8. Na osnovi teorema o jednakosti polinoma rastavite na parcijalne razlomke: a) x x b) x + x 3x c) 5x + 4 x + x d) 3x + 8 x 4x e) x + x 3 + x f) x 3 x g) x 4 h) x 5 x 3 8 i) x 9x 6 x 3 + x 6x j) x + 3 (x + )(x + ) k) x + (x ) 3 l) x + 3 (x ) (x + )(x + 3) Zadatak 9. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) =, b) f(x) =, c) f(x) =, d) f(x) =, e) f(x) = +, x x 3 x+ x x f) f(x) = x. 8
3..3 Opća potencija i iracionalne funkcije Funkcije zadane formulom f(x) = x r, gdje je r R zovemo opće potencije. Općenito je domena opće potencije skup R +, ali se kod nekih funkcija domena može proširiti. Najjednostavnije iracionalne funkcije su funkcije f : R D f R zadane formulom f(x) = x q, q Q. Domena iracionalne funkcije ovisi o svakoj pojedinoj funkciji. Primjer. a) Domena funkcije f(x) = x = x je D f = [0, + ). b) Domena funkcije g(x) = x 3 = 3 x je D g = R. c) Domena funkcije h(x) = x = x je D h = (0, + ). Slika 5: Graf funkcije f(x) = x.0.5.0 0.5 3 4 5 Zadatak 0. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = x +, b) f(x) = 3 x, c) f(x) = x /, d) f(x) = x + 5. 9
3..4 Eksponencijalna funkcija Funkcija f : R 0, + zadana formulom f(x) = a x, a > 0, a naziva se eksponencijalna funkcija. a se naziva baza, a x eksponent. Eksponencijalna funkcija: prima samo pozitivne vrijednosti, tj. a x > 0, x R, strogo je rastuća ako je a >, a strogo padajuća ako je 0 < a <, vrijednost eksponencijalne funkcije u nuli je jednaka jedan, tj. f(0) = a 0 =, je bijekcija. Neka su x, x R te a > 0, a. Tada vrijede sljedeća svojstva: f(x + x ) = f(x ) f(x ), tj. a x +x = a x a x, f(x x ) = f(x ), tj. f(x ) ax x = ax a x (a x ) x = a x x. Slika 6: Graf eksponencijalne funkcije 5 40 0 30 0 5 0 4 4 (a) a > 4 4 (b) 0 < a < 0
Zadatak. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = x, b) f(x) = 3 x, c) f(x) = ( )x, d) f(x) = ( 3 )x, e) f(x) = x+, f) f(x) = 3 x, g) f(x) = x, h) f(x) = x, i) f(x) = e x +, j) f(x) = ( )x 3. Zadatak. Riješite jednadžbu ( ) x 0.5 x ( ) x 8 x =. 3 Zadatak 3. Riješite sljedeće nejednadžbe: a) x < 4, b) ( )x 8, c) 3 x 9, d) 4x > 8. 3..5 Logaritamska funkcija Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije naziva se logaritamska funkcija, u oznaci: log a (čitamo: logaritam po bazi a), a > 0, a. Dakle, log a : 0, + R, log a x = y a y = x. Uočimo da vrijedi a log a x = x, tj. logaritam pozitivnog realnog broja x po bazi a jest eksponent kojim treba potencirati bazu da se dobije broj x. Dekadski logaritam je logaritam s bazom 0 (oznaka: log), a prirodni logaritam je logaritam s bazom e (oznaka: ln). Logaritamska funkcija: definirana je samo za pozitivne realne brojeve, a poprima sve realne vrijednosti, je strogo rastuća ako je a >, a strogo padajuća ako je 0 < a <, je bijekcija, ima nultočku x 0 =, tj. log a = 0. Neka su x, x 0, + te a > 0, a. Tada vrijede sljedeća svojstva: f(x x ) = f(x ) + f(x ), tj. log a (x x ) = log a x + log a x, f( x x ) = f(x ) f(x ), tj. log a ( x x ) = log a x log a x, log a x k = k log a x, k R, log a r x = r log a x, r R \ {0},
Slika 7: Graf logaritamske funkcije 3 3 4 5 3 4 5 (a) a > (b) 0 < a < veza između logaritama različitih baza: log a x = log b x log b a log b a log a x = log b x. Zadatak 4. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = log x b) f(x) = log 3 x, c) f(x) = log 3 x, d) f(x) = log / x, e) f(x) = log /3 x, f) f(x) = ln x, g) f(x) = log /3 x + 4, h) f(x) = log x, i) f(x) = log x, j) f(x) = log( x). Zadatak 5. Riješite sljedeće jednadžbe: a) log /3 x =, b) log 4 x = 0, c) log x 6 = 4, d) log x 0.5 =. Zadatak 6. Izračunajte: a) ( 5 )log 5 0, b) log 4 7, c) ( 0.) log 0.04 log 5, d) 5 log / 8 log3 9, e) log 8 (4 3 3 5 log 5 4 ), f) log 3 log ( 3 4 5 log 5 8 ), g) log 8 log 4 3 log 8 4 + log 0.5 9.
3..6 Trigonometrijske funkcije Promotrimo jediničnu kružnicu (r = ) sa središtem u ishodištu pravokutnog koordinatnog sustava. Neka je dan brojevni pravac koji je tangenta na tu kružnicu u točki (, 0) te neka ishodište koordinatnog sustava na pravcu padne u tu točku. Brojevni pravac predstavlja skup realnih brojeva (točkama na brojevnom pravcu u. kvadrantu su pridruženi pozitivni realni brojevi, a u 4. kvadrantu negativni). Promotrimo tzv. eksponencijalno preslikavanje točaka brojevnog pravca na jediničnu kružnicu (vidi Sliku 9. a)): pravac namatamo na kružnicu tako da se pozitivna realna os namata u pozitivnom smjeru, a negativna realna os u negativnom smjeru (u smjeru kazaljke na satu). Na svaku točku kružnice padne beskonačno mnogo točaka brojevnog pravca. Jediničnu kružnicu na koju su eksponencijalnim preslikavanjem naneseni realni brojevi nazivamo trigonometrijska kružnica. Na taj način se svakom realnom broju x pridružila odgovarajuća točka T (x) na jediničnoj kružnici. Apscisu točke T (x) označimo s cos x, a ordinatu sa sin x. Na taj način definirali smo dvije funkcije koje ovise o x. Funkciju koja realnom broju x pridružuje apscisu točke T (x) nazivamo kosinus i pišemo x cos x. Uočite da je za svaki x R, cos x [, ]. Analogno, funkciju koja realnom broju x pridružuje ordinatu točke T (x) nazivamo sinus i pišemo x sin x. Također je sin x [, ], za svaki x R. Budući da za svaki x R točka T (x) pripada trigonometrijskoj kružnici vrijedi (Pitagorin poučak!): sin x + cos x = što nazivamo osnovni trigonometrijski identitet. Pomoću funkcija sin i cos definiraju se i funkcije tangens i kotangens formulama: tg x = sin x cos x, za cos x 0, i ctg x = cos x sin x za sin x 0. Primjer. Treba odrediti prirodno područje definicije funkcije tg. Funkcija tg, prema prethodnoj definiciji, ne prima vrijednost realnog broja u onim točkama u kojima funkcija cos ima nultočke. To su svi oni x koji namatanjem brojevnog pravca na trigonometrijsku kružnicu padnu u točke (0, ) ili (0, ). Dakle, funkcija tg nije definirana za x = π + kπ (k Z). Zadatak 7. Odredite prirodno područje definicije funkcije ctg. Često puta je korisno zamijeniti domenu trigonometrijskih funkcija (skup R) sa skupom svih kutova. To je lako učiniti tako da kutu α pridružimo njegovu mjeru x u radijanima. 3
Slika 8: Definiranje trigonometrijskih funkcija (a) (b) Tada pod sinusom kuta α podrazumijevamo sinus njegove mjere x u radijanima. Slično se definira kosinus, tangens i kotangens kuta α. Sa Slike 3..6 b). vidi se da vrijedi sin α = tg α = duljina suprotne katete T T, cos α = duljina hipotenuze OT duljina susjedne katete OT, duljina hipotenuze OT duljina suprotne katete T T duljina susjedne katete OT, ctg α = duljina susjedne katete OT duljina suprotne katete T T. Za neki realni broj x (odnosno kut α) zbog sličnosti trokuta na Slici 9. b). vidi se da je tangensu kuta α jednak ordinati točke B u kojoj drugi krak kuta α siječe pravac x =. Analogno značenje ima kotangens realnog broja x, odnosno kuta α. Navedimo sada neka osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija. a) Funkcija x sin x Funkcija sin : R [, ] je neparna, periodična s periodom kπ, k Z (temeljni period je π) funkcija čiji graf je prikazan na Slici 0. a). b) Funkcija x cos x Funkcija cos : R [, ] je parna, periodična s periodom kπ, k Z (temeljni period je π) funkcija čiji graf je prikazan na Slici 0. b). Iz Slike 9. možemo naslutiti vezu koja postoji između funkcija sin i cos: sin x = cos(x π ), cos x = sin(x + π ) c) Funkcija x tg x 4
Slika 9: Trigonometrijske funkcije sin i cos Π Π Π Π 3Π Π 5Π (a) Π Π Π Π 3Π Π 5Π (b) Funkcija x tg x neparna je, po dijelovima rastuća i periodična s periodom kπ, k Z (temeljni period je π). Njezin graf prikazan je na Slici. a). d) Funkcija x ctg x Funkcija x ctg x neparna je, po dijelovima padajuća i periodična s periodom kπ, k Z (temeljni period je π). Njezin graf prikazan je na Slici. b). 5
Slika 0: Trigonometrijske funkcije tg i ctg 5 4 3 Π Π Π Π 3Π 3 4 5 (a) 5 4 3 Π Π Π Π 3Π 3 4 5 (b) Postoje mnoge trigonometrijske relacije i izrazi koji povezuju trigonometrijske funkcije, spomenimo neke. Teorem 3. Adicijski teoremi: sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y tgx ± tgy tg(x ± y) = tgx tgy ctgx ctgy ctg(x ± y) = ctgy ± ctgx. Teorem 4. Trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta: 6
sin(x) = sin x cos x cos(x) = cos x sin x tg (x) = tgx tg x ctg (x) = ctg x ctgx. Teorem 5. Trigonometrijske funkcije polovičnog kuta: sin ( x ) = cos x cos ( x ) = + cos x tg ( x ) = cos x sin x ctg ( x ) = + cos x sin x Zadaci Zadatak 8. Izračunajte: a) cos 05, b) sin 75, c) cos 5, d) sin 30. Zadatak 9. Ako je sin x = 3, π < x < π izračunajte cos x i tg ( x ). Zadatak 0. Dokažite da za sve α, β R vrijedi: a) sin α + sin β = sin α + β b) sin α sin β = cos α + β c) cos α + cos β = cos α + β d) cos α cos β = sin α + β cos α β, sin α β, cos α β, sin α β. Gornje formule se zovu: Transformacija zbroja u umnožak. Zadatak. Riješite sljedeće jednadžbe: a) sin x =, b) cos x =, c) tg x =, d) ctg x = 3. Zadatak. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = sin x b) f(x) = cos x, c) f(x) = sin(x π 6 ), d) f(x) = cos(x π 4 ), e) f(x) = sin(x π 3 ), f) f(x) = 3 cos(x + π 3 ). Zadatak 3. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = tg x b) f(x) = ctg x, c) f(x) = tg (x π ), d) f(x) = ctg x +. 4 7
3..7 Ciklometrijske funkcije Ciklometrijske funkcije su funkcije inverzne trigonometrijskim. To su funkcije: arkus sinus (arcsin), arkus kosinus (arccos), arkus tangens (arctg) i arkus kotangens (arcctg). a) Funkcija x arcsin x. Budući da funkcija sin : R [, ] nije injekcija jer je primjerice sin 0 = sin π = 0, ona nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju: Sin : [ π, π ] [, ] formulom Sin (x) := sin x Funkciju Sin zovemo restrikcija funkcije sin na [ π, π ], što simbolički pišemo: Sin = sin [ π, π ]. Funkcija Sin ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus sinus): arcsin : [, ] [ π, π ]. Graf funkcije arcsin dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Sin u odnosu na pravac y = x (Slika.a). Primijetimo da je arcsin α kut (ili luk) čiji je sinus jednak α. Tako je primjerice b) Funkcija x arccos x. arcsin 0 = 0 jer je sin 0 = 0, arcsin = π jer je sin π =. Budući da funkcija cos : R [, ] nije injekcija jer je primjerice cos 0 = cos π =, ona nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju: Cos : [0, π] [, ], Cos = cos [0,π], koja ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus kosinus): arccos : [, ] [0, π]. Graf funkcije arccos dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Cos u odnosu na pravac y = x (Slika.b). Primijetimo da je arccos α kut (ili luk) čiji je kosinus jednak α. Tako je primjerice lat.: arcus=luk arccos = 0 jer je cos 0 =, 8
Slika : Konstrukcija grafova ciklometrijskih funkcija arcsin i arccos (a) (b) c) Funkcija x arctg x. arccos 0 = π jer je cos π = 0. Budući da funkcija tg:r R nije injekcija jer je primjerice tg 0 = tg π = 0, ona nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju: ( Tg : π, π ) R, Tg = tg ( π, π ), koja ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus tangens): ( arctg : R π, π ). Graf funkcije arctg dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Tg u odnosu na pravac y = x (Slika 3.a). Primijetimo da je arctg α kut (ili luk) čiji je tangens jednak α. Tako je primjerice arctg 0 = 0 jer je tg 0 = 0, 9
Slika : Konstrukcija grafova ciklometrijskih funkcija arctg i arcctg (a) (b) d) Funkcija x arcctg x. arctg = π 4 jer je tg π 4 =. Budući da funkcija ctg:r R nije injekcija jer je primjerice ctg ( π nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju: ) = ctg π = 0, ona Ctg : (0, π) R, Ctg = ctg (0,π), koja ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus kotangens): arcctg : R (0, π). Graf funkcije arcctg dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Ctg u odnosu na pravac y = x (Slika 3.b). Primijetimo da je arcctg α kut (ili luk) čiji je kotangens jednak α. Tako je primjerice arcctg 0 = π jer je ctg π = 0, arcctg = π 4 jer je ctg π 4 =. 0
Zadatak 4. Pokažite da vrijedi: a) tg ( arcctg x) = x, x 0 b) ctg ( arctg x) = x, x 0 c) arctg ( ctg x) = π x, d) arcctg ( tg x) = π x, e) sin(arccos x) = x, f) cos(arcsin x) = x, g) cos(arctg x) = +x, h) sin(arctg x) = x +x, i) sin( arctg x) = x +x, j) cos( arctg x) = x +x. Zadatak 5. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = arcsin(x 3) b) f(x) = arccos x + 4, c) f(x) = arctg x, d) f(x) = arcctg (x + ).