CNEMATCA GDULU
CNEMATCA CPULU GD CNEMATCA CPULU GD 8.. Elementele generle le mişcării corpului rigid 8.. Problemele cinemticii corpului rigid Corpul rigid este un element importnt în tehnică şi semnifică un corp mteril în formă fiă, compus din prticule elementre pentru cre distnţ dintre oricre două puncte le sle nu se modifică în timp şi în spţiu. Eperienţ rtă că modelele bstrcte de punct mteril şi corp rigid reflectă numite proprietăţi rele le corpurilor, cee ce justifică folosire cestor. Conceptul de corp rigid re vntjul de simplific studiul mişcării corpului in sensul doptării unui numr finit de prmetri cre să definescă poiţi corpului în miscre, cu tote că un corp rigid este formt dintr-un număr infinit de puncte. Mişcre unui corp ftă de un sistem de referinţ este cunoscută, dcă se pot determin legile de mişcre, triectori, vite şi ccelerţi fiecărui punct din corp. Prin legile de mişcre le unui corp rigid se înţeleg functiile sclre de timp cre determină in orice moment l miscrii, poiţi corpuluifţă de un reper. Prctic nu este posibil să se descrie miscre rigidului prin miscre fiecrui punct, dr este suficient să fie cunoscut în fiecre moment l miscării, numi poiţiile unor puncte din cre, pe b păstrării distnţelor dintre puncte se vor determin poiţiile celorllte puncte din rigid. Numărul minim l funcţiilor sclre independente cre determin poiţi corpului in orice moment repreintă numărul grdelor de libertte le corpului. Functiile sclre cre determină mişcre corpului sunt elemente geometrice (distnşe, unghiuri), funcţii de timp. Alegere cestor elemente depinde de condiţiile în cre corpul eecută miscre, de ntur legăturilor, etc. Legăturile l cre este supus un corp (su sistem de corpuri) micşoreă numărul grdelor de libertte. biectul preentului cpitol este constituit din următorele dou probleme: ) fiind dte legile de mişcre le corpului rigid, se cut legile de miscre, triectoriile, viteele si ccelerţiile punctelor rigidului. ) fiind dte mişcările unor puncte le corpului, vom căut să determinăm legile de mişcre pentru corp, dică oricăror puncte din corp.
8... Legile de miscre CNEMATCA CPULU GD n cest cpitol, studiul mişcării unui corp rigid se fce studiind mişcre unui sistem de e mobil, legt de corpul în mişcre, fţă de un sistem de referinţă fi. Poiţi unui corp rigid fţ de un numit reper din spţiul Euclidin tridimensionl 3 este cunoscută dcă se cunosc poiţiile trei punct necolinire din rigid. Considerăm sistemul de e fie şi sistemul de e mobile invribil legt de corpul în mişcre. Fţă de reperul fi considerăm trei puncte necolinire A, B si C. Poiţi oricrui lt punct M din rigid este cunosctuă deorece distnţele AM, BM si MC sunt fite. Poiti fiecrui punct, se ştie că depinde de trei funcţii sclre independente de timp, deci de trei prmetrii, stfel că pentru cele trei puncte A,B,C sunt necesri 339 prmetri pe cre îi vom consider coordontele punctelor respective. Dr distnţele AB, BC şi AC rămn nemodificte în cursul miscării, stfel că putem scrie următorele relţii de legătură dintre ceste coordonte: AB ( A B ) + (A B ) + (A B) const BC ( B C ) + (B C ) + (B C ) const (8.) AC ( A C ) + (A C ) + (A C ) const fig. 8. Urmeă că din cei 9 prmetri rămân 9-36 prmetri independenţi de unde reultă că un corp rigid liber re 6 grde de libertte. rigine reperului legt de corpul în mişcre, o legem într-un punct rbitrr (fig. 8.) Deorece cest sistem se miscă impreună cu corpul rigid (C) dr nu independent fţă de cest, este suficient să studiem miscre sistemului mobil în rport cu sistemul fi. Determinre poiţiei corpului rigid revine l determinre poitiei sistemului fţ de sistemul. rigine sistemului mobil este determintă prin cunostere vectorului său de poiţie pe cre îl rportăm l reperul fi: r + (8.) i k + j
CNEMATCA CPULU GD 3 cee ce conduce l cunoştere funcţiilor sclre de timp: (t); (t); (t); (8.3) Funcţi vectorilă r (t) este o funcţie de timp continuă, uniformă şi derivbilă de cel puţin două ori. Versorii i, j, k sunt l rândul lor funcţii de timp, deorece îşi schimbă poiţi în timp odtă cu ele pe cre le crcterieă. Se ştie că orice vector funcţie de timp se eprimă cu jutorul trei funcţii sclre de timp, de eemplu proiecţiile sle pe un numit sistem de e. Deci pentru cei trei versori mobili sunt necesre 339 funcţii sclre de timp. Dr ceste funcţii nu sunt independente, deorece se pot scrie 6 relţii specifice din condiţiile c vectorii i, j, k s fie ortonormţi: i ; j ; k (8.4) i j ; j k ; k i (8.5) eultă că pentru determinre direcţiilor elor sistemului de referinţă mobil, sunt necesri trei prmetri de poiţie independenţi. Deci numărul funcţiilor de timp sclre independente ce determin poiţi sistemului de referinţă mobil este 6, dică egl chir cu numărul grdelor de libertte le corpului rigid liber. Pentru stbili lege de mişcre unui punct rbitrr M din corp, considerăm următorii vectori: vectorul de poiţie l punctului M fţă de reperul fi : r M k i + j + (8.6) unde coordontele,, le punctului M sunt funcţii de timp necunoscute. Vectorul de poiţie l punctului M fţ de reperul mobil este: r M i + j + k (8.7) l cre direcţi este vribilă dr modulul constnt, deorece distnţ dintre punctele şi M nu se modifică, conform ipoteei rigiditţii corpului: M + + constnt (8.8) Între vectorii r,r o, r eistă relţi de legătură (fig 8.): r r o + r (8.9) cee ce repreintă lege de mişcre punctului M sub formă vectorilă. Ecuţi (8.9) proiecttă pe ele sistemului de referinţă duce l urmtorele relţii sclre: + cos(i, i) + cos(j, i) + cos(k, i) + cos(i, j ) + cos(j, j ) + cos(k, j ).) + cos(i, k) + cos(j, k) + cos(k, k) Ecuţiile (8.) repreintă lege de mişcre punctului M in rport cu sistemul de referinţă fi (lege de mişcre bsolută), su ecuţiile prmetrice le triectoriei punctului M fţă de sistemul de referinţă fi.
CNEMATCA CPULU GD 4 8..3 Derivt bsolută şi reltivă unei funcţii vectorile de timp Fie şi două sisteme de referinţă triortogonle drepte, primul fi ir l doile mobil, vând versorii i, j, k respectiv i, j, k (fig. 8.) şi un vector u(t) vribil. Notăm vectorul u(t) rportt l sistemul de referinţă fi stfel: u + u i + u j u k (8.) Fţă de sistemul de referinţă mobil, vectorul u(t) se scrie sub form: u u i + u j u k (8.) + Derivt în rport cu timpul functiei vectorile u (t) rporttă l sistemul de referinţă fi se numeşte derivtă bsolută şi se noteă du u & u& i u j u k + & & dt + (8.3) Derivt în rport cu timpul funcţiei vectorile (8.) este: u& u& i + u& j + u& k + u & i + u & j + u k & (8.4) Prin nlogie cu derivte bsolută (8.3) vectorului (8.) definim derivte reltivă fţă de sistemul mobil în rport cu timpul funcţiei vectorile u şi se noteă u cu, vectorul t u u& i + u& j + u& k (8.5) t stfel de derivtă mi este numită şi derivtă loclă. Din relţiile (8.3), (8.4) si (8.5) deducem: du u & & & + u i + u j + u k (8.6) dt t Pentru clcul derivt in rport cu timpul versorilor elor mobile, vom deriv relţiile de ortonormlitte (8.4) si (8.5) în rport cu timpul şi obţinem: i & i ; j & j ; k k & (8.7) & i j + i & j, & j k + j k &, k & i + k & i (8.8) Prin convenţie considerăm vectorul viteă unghiulră prin proiecţiile sle pe ele reperului mobil, obţinute din relţiile (8.8) & & & & & & i j -i j ; j k -j k ; k i k i (8.9)
CNEMATCA CPULU GD 5 & & & Pentru clculul vectorilor i, j, k, considerăm un vector orecre cre se scrie stfel: V V i + V j + V k (Vi)i + (Vj)j + (Vk)k (8.) & & & Punem în locul vectorului V pe rând vectorii i, j, k şi ţinem sem de notţiile (8.9): & & & & & i (ii)i + (ij) j + (ik)k j k i & & & & j (ji)i + (jj)j + (jk)k i + k j & & & & k (ki)i + (kj)j + (kk)k j j k (8.) elţiile (8.) se numesc relţiile lui Poisson. Ultimul termen l relţiei (8.6), ţinând sem de relţiile lui Poisson, se mi scrie: u & i + u & j + u k & u i + u j + u k ( u i + u j+ u k) u (8.) În cest fel relţi (8.6) devine: u u & + u (8.3) t Prin urmre derivte bsolută unui vector u vribil cre este rportt l u sistemul de referinţă mobil, se scrie cu jutorul derivtei reltive şi vectorului t determint cu versorii elor mobile. bservţii: ) Dcă vectorul u este invribil fţă de reperul mobil, relţi de legătură (8.3) devine: u u & u (8.4) t ) Dcă în prticulr u (vectorul viteă unghiulră), obţinem: & ε + & i+& j+& k (8.5) t t unde vectorul ε se numeşte ccelerţie unghiulră sistemului de referinţă mobil. Derivt bsolută vectorului viteă unghiulră este eglă cu derivt s reltivă. Din relţi (8.9) reultă că orice vector prlel cu re derivt bsolută eglă cu derivt reltivă. Proiecţiile vectorului ccelerţie unghiulră ε pe ele sistemului de referinţă mobil sunt:
CNEMATCA CPULU GD 6 ε & ; ε & ; ε & ; (8.6) ir pe ele sistemului de referinţă fi sunt: ε & ; ε & : ε &. (8.7) 8..4. Distribuţi de vitee şi ccelerţii în mişcre corpului rigid Vite unui punct M l un moment dt, este derivt bsolută in rport cu timpul vectorului de poiţie în rport cu reperul fi dt de formul (8.9): v r& r& + r& (8.8) unde r& v & i + & j + & k voi + vo j + vok (8.9) este vite originii ir ţinând sem de relţi (8.4) vem: r & i & + j & + k & r (8.3) n cest fel formul (8.8) devine: vv + r (8.3) unde este vectorul viteă unghiulră de rotţie sistemului mobil, definit de relţiile (8.9). Formul (8.3) se numeşte formulă generlă distribuţiei de vitee şi cu jutorul cestei se efectueă distribuţi de vitee punctelor rigidului l un moment dt l mişcării sle. Vite unui punct rbitrr M l rigidului se eprimă cu jutorul prmetrilor cinemtici i corpului cre sunt: v (vite unui punct prticulr din rigid) si (vite unghiulră instntnee corpului). Proiecţiile pe ele mobile le viteei v se obţin din relţi (8.3): v v o + - v v o + - v v o + - (8.3) Formul (8.3) se mi numeşte şi formul lui Euler pentru distribuţi de vitee în mişcre corpului rigid. Prin derivre în rport cu timpul, obţinem: ε & & i + & j + & k k ε i + ε j + ε k (8.33) Din relţi (8.3), derivând în rport cu timpul obţinem: v & v & + & r + r & (8.34) Accelerţi punctului rbitrr M l un moment dt este v &, stfel c ţinând sem de relţi (8.3), formul (8.34) devine: + ε r + ( r ) (8.35)
CNEMATCA CPULU GD 7 unde: v & & i + && j + & k (8.36) este ccelerţi originii reperului mobil fţă de reperul fi. Formul (8.35) se numeşte formul generlă distribuţiei de ccelerţii în mişcre punctelor unui corp rigid. Acestă formulă se plică pentru determin ccelerţi unui punct rbitrr M, dcă se cunosc vectorii: ccelerţi punctului de referinţă din corp, - vite unghiulră si ε - ccelerţi unghiulră corpului rigid. Proiecţiile ccelerţiei pe ele sistemului mobil sunt: o -( + ) + ( - & ) + ( + & ) o + ( + & ) - ( + ) + ( - & )k o +( - & ) + ( + & ) - ( + )k (8.37) elţi (8.35) se mi numeste formul lui Euler pentru distribuţi de ccelerţii intr-un corp rigid. 8..5 Proprietţi generle le distribuţiei de vitee Folosind formul generlă distribuţiei de vitee (8.3), putem deduce unele proprietţi importnte privind distribuţi de vitee din cre vom preent in cele ce urmeă câtev: ) Vectorul este celşi în orice punct l rigidului. Într-devăr considerăm trei puncte necolinire,a,b din rigid. Din ipote de rigiditte corpului rigid, modulele vectorilor A şi B, precum şi unghiul AB sunt constnte în timpul miscării, stfel că: A B A B cos( AB )constnt (8.38) Presupunem că punctului A îi corespunde vite unghiulră ir punctului B îi corespunde vite unghiulră, stfel că putem scrie, ţinând sem că vectorii A şi B sunt invribili fţă de sistemul de referinţă mobil: & A A ; & B B (8.39) Derivând relţi (8.38) în rport cu timpul, obţinem relţi: & A B + A & B Înlocuind epresiile (8.39) în relţi (8.4), obţinem: ( A ) B + A ( B ) su, ţinând sem de proprietăţile produsului mit: (8.4)
CNEMATCA CPULU GD 8 ( A B )- ( A B ) respectiv ( - ) ( A B ) (8.4) Dr punctele,a şi B sunt rbitrre şi necolinire, stfel că b) Vectorul nu depinde de legere originii sistemului de referinţă mobil. Presupunem că punctele si ` sunt două origini pentru două sisteme mobile căror le corespund viteele unghiulre respectiv `. Prin urmre, vite unui punct rbitrr M din corpul rigid se scrie sub următorele două forme: v M v + & M (8.4) v M v ` + ` `M (8.43) Dr vite punctului ` se pote scrie fţă de origine sub form: v` v ` ` (8.44) nlocuim relţi (8.44) în (8.43) şi reulttul obţinut în epresi (8.4) după cre reultă : v + `+ ` `M v + M (8.45) cre se mi scrie: ( ` M) + ` `M (8.46) Folosind relţi ` M M` `M din formul (8.46), reultă: ( `) `M (8.47) fig. 8. Cum punctul M fost les rbitrr, reultă `. c) Teorem proiecţiilor viteelor. Proiecţiile viteelor două puncte rbitrre le unui rigid pe drept cere le uneşte sunt egle şi de celşi sens. Considerăm punctele M şi N din rigid (fig 8..) şi presupunem că punctul M este origine reperului mobil. eultă: v v + MN (8.48) su: N M nmulţim sclr relţi (8.48) cu versorul v N uv M uconstnt v N cos βv M cos αconstnt MN u de unde obţinem: MN
CNEMATCA CPULU GD 9 Acestă teoremă demonstreă cinemtic rigiditte unui corp solid: distnţ dintre punctele M si N rmâne nemodifictă, deorece proiecţiile viteelor după cestă direcţie sunt egle. d) Teorem colinirităţii etremitţii vectorilor viteă: etremităţile vectorilor viteă trei puncte colinire din corpul rigid în miscre sunt colinire. Considerăm punctele colinire A,B,C (fig 8.3) cee ce vectoril însemnă că eistă λ stfel încât: AB λac (8.5) Viteele corespunătore celor trei puncte sunt respectiv: v A AA ;vb BB ; vc CC (8.5) Cu jutorul vectorilor de poiţie r A, r B, r C relţi (8.5) se scrie sub form: r B - r A λ( r C - r A ) (8.5) Prin derivre relţiei (8.5) în rport cu timpul şi ţinând sem de relţiile: r & A v A, r & B v B, r & C v C (8.53) precum şi de notţiile (8.5), obţinem: BB AA λ(cc AA) (8.54) Adunând relţiile (8.5) şi (8.54), stfel că obţinem: r B + BB (ra + AA ) λ[rc + CC (ra + AA)] cee ce implică: B A λ(c A ) (8.55) su: AB λac (8.56) relţie ce însemnă coliniritte punctelor A, B,C. e) Proiecţiile viteelor punctelor unui rigid în mişcre pe suportul vectorul viteă unghiulră sunt celeşi. Considerăm punctele M si N din rigid (fig 8.4), stfel că legând punctul M c origine reperului mobil, putem scrie: v N v M + M N (8.57) Înmulţim sclr relţi (8.57) cu versorul u / l viteei unghiulre de unde obţinem: v N u v M u consttnt su: v N cosβ v M cosα constnt (8.58) cee ce demonstreă propriette. f) Punctele unui rigid în mişcre, situte pe o dreptă prlelă l suportul vectorului u ceesi viteă.
CNEMATCA CPULU GD Considerăm punctele M si N din rigid, situte pe o dreptă (d) prlelă cu suportul lui (fig 8.5). Se observă că putem scrie relţi: r N r M + M N r M +MN (8.59) Vite punctului M este: v M v + r M (8.6) ir punctului N se scrie, ţinănd sem de relţi (8.59): v N v + r N MN v + ( r M + ) v + r M (8.6) Se observă că cele două vitee sunt egle c vectori. Aplicţie Se consideră miscre prlelipipedului dreptunghic ABCDEFG cu dimensiunile : A, C, E3. eperul mobil se llege c în figur 8.6. Se cunosc : v A -t j -4t k ; v B t i +λ j -3t k ; v D 7t i - 3t j+ηk cu λ şi η necunoscute. Să se determine: ) λ şi η stfel c problem stfel dtă să fie posibilă; b) vectorul viteă unghiulră ; c) vite punctului E. eolvre: ) Ţinând sem de propriette c) distribuţiei de vitee, trebuie c proiecţiile lui v B şi v A pe drept AB să fie celeşi. A B v B AB AB v B AB (8.6) de unde reultă: λ-t De semene, proiecţiile lui v B şi v A pe drept BD trebuie s fie celeşi: B D BD v A v D (8.63) BD BD eultă ηt. b) Vectorul viteă unghiulră îl vom determin din relţiile: v B v A + A B (8.64) v D v A + A D (8.65) în cre i+ j+ k este necunoscut.
CNEMATCA CPULU GD Din relţi vectorilă (8.64), reultă -t şi t. Din relţi (8.65) reultă trei ecuţii cu o singură necunoscută. eultă t. Celellte două ecuţii cre reultă din cestă relţie sunt identic verificte, cee ce confirmă că miscre re loc în condiţiile dte. Aceste două ecuţii puteu fi folosite l determinre necunoscutelor λ şi η dcă nu folosem teorem proiecţiilor l ). c) Vite punctului E se determină cu jutorul formulei (8.3): v E v D + D E (8.66) unde t i +t j -t k l-m determint l punctul b). Se obţine: v E 6t i -3t j (8.67) 8..6 Proprietăţiile generle le distribuţiei de ccelerţii În b formulei generle distribuţiei de ccelerţii le punctelor unui corp rigid, dtă de (8.35), se deduc următorele proprietăţi: ) Formul generlă distribuţiei de ccelerţii (8.35) îşi păstreă ceeşi formă, oricre r fi punctul de referinţă les în rigid. Demonstrţi reultă imedit dcă ţinem sem că dcă legem două puncte de referinţă şi ` din rigid, viteele unghiulre (deci şi ccelertiile unghiulre) corespunătore sunt celeşi şi în plus pentru un punct orecre M din rigid, ccelerţi s este: M + ε M + ( M ) (8.68) ir ccelerţi punctului ` este: ` + ε `+ ( `) (8.69) Scăând membru cu membru relţiile (8.68) şi (8.69) şi ţinând sem de relţi M - ` `, obţinem: M - ` ε `M + ( `M ) (8.7) cee ce demonstreă propriette enunţtă. b) Component ipetă ccelerţiei unui punct din corpul rigid este perpendiculră pe vectorul viteă unghiulră l rigidului şi orienttă spre suportul cestui. Fie M un punct orecre din rigid, punctul de referinţă pe suportul vectorului viteă unghiulră şi M proiecţi lui M pe suportul lui (fig. 8.7). eultă: r M`+ M `M λ + M `M λ (8.7) Component ipetă se scrie folosind formul (8.7): fig. 8.7
CNEMATCA CPULU GD ( r ) ( (λ + M `M )) ( M `M ) (8.7) Prin devoltre ultimului produs dublu vectoril din formul (8.7), obţinem: ( M `M )( M `M ) - M `M Dr M `M şi deci: ( r )- M `M M M` (8.73) Se observă că mărime componentei ipete este: ( r ) MM` c) În mişcre corpului rigid liber, l un moment dt eistă în generl un singur punct de ccelerţie nulă şi v fi numit polul ccelerţiilor. Într-devăr, condiţiile X Y Z introduse în relţi (8.37) conduc l un sistem de ecuţii lgebrice linire şi neomogene cu necunoscutele,,. Determinntul cestui sstem este: -( ε ) (8.74) Dr vectorii şi ε & în generl nu sunt coliniri, deci, sistemul obţinut re soluţie unică, cee ce confirmă fptul că l un moment dt l miscării, eistă un unic punct de ccelerţie nulă. 8.. Mişcre generlă corpului rigid igidul în mişcre generlă nu îi este impusă nici o restricţie geometrică şi în consecinţă re 6 grde de libertte. Vectorii v şi sunt funcţii rbitrre de timp, nesupuşi l vreo restricţie din cu ineistenţei restricţiilor geometrice impuse mişcării. Deci ceşti se eprimă sub form: v v o i+v o j+v o k & i + & j + & k (8.75) i + j + k (8.76) În mişcre generlă, vectorii v şi precum şi cu ε, nu coincid în generl: o i+ o j+ o k (8.77) ε ε i+ ε j+ ε k (8.78) 8... Studiul viteelor
CNEMATCA CPULU GD 3 Se ştie că proiecţi viteei v unui punct rbitrr l unui corp pe suportul vectorului este ceeşi. Folosind formul generlă (8.3) distribuţiei de vitee, vectorul u construit cu jutorul cestei proiecţii se scrie: v u (v ) (8.79) Acestă viteă se numeste viteă de lunecre. Dcă eistă în rigid un punct cre să ibă vite u, tunci eistă o infinitte de stfel de puncte, situte pe o dreptă prlelă cu vectorul viteă unghiulră şi trece prin punctul respectiv. Acestă dreptă se numeşte instntnee de rototrnslţie. Punctele de pe instntnee de rototrnslţie u vite de lunecre u. Ne propunem să găsim condiţiile de eistenţă le ei de rototrnslţie şi ecuţi ei nlitică. Fie ( ) cestă şi un punct curent M pe l cărui vector de poiţie este r M. Vite punctului M este: v M v + r u (8.8) Pentru determin vectorul r din relţi (8.8), înmulţim vectoril cestă relţie l stâng cu vectorul şi ţinem sem de proprietţile: ( r )( r ) - r (8.8) u (8.8) stfel că se obţine: v +( r ) - r (8.83) r De ici, notând λ, reultă: v r + λ (8.84) Pentru λ în epresi (8.84), vectorul ( v )/ este perpendiculr pe suportul lui (deci şi pe ( )), trece prin, deci v repreent vectorul ` unde prin `m nott proiecţi lui pe ( ) (fig 8.8) eultă că ecuţi (8.84) repreintă ecuţi vectorilă ei instntnee de rototrnslţie şi deci cest eistă dc. În timpul mişcrii, ( ) îşi schimbă poiţi deorece vectorii şi v depind de timp. Fţă de un sistem de referinţă fi, ecuţi vectorilă ei de rototrnslţie se scrie: v r r + + λ (8.85) şi deci îşi schimbă poiţi şi fţă de reperul fi. Pentru scrie ecuţi nlitică ei instntnee de fig. 8.8 rototrnslţie în rport cu reperul mobil, folosim condiţi:
CNEMATCA CPULU GD 4 vλ`, λ` (8.86) cee ce conduce l ecuţiile sclre: v v v (8.87) su ţinând sem de relţiile (8.3): vo + vo + vo + (8.88) Fţă de sistemul de referinţă fi, ţinând sem de relţi r r - r, ecuţi ei instntnee de rotototrnslţie & o ( ) + ( ) & o ( ) + ( ) (8.89) & o ( ) + ( ) Pentru studiul distribuţiei de vitee, considerăm c punct de referinţă, un punct orecre P de pe instntnee de rototrnslţe, stfel că un punct current M prţinând rigidului re l un moment dt vite: v M u+ P M (8.9) Se pote consider că vite punctului M din rigid re două componente: un este u prlelă cu (invrintă) şi lt PM normlă pe (vribilă cu punctul). Punctele de pe instntnee de rototrnslţie cre u vite u u propriette că vite lor este minimă, component normlă pe fiind nulă. În cest mod, se pote stbili o nlogie între instntnee de rototrnslţie şi centrlă din sttică. De semene, l fel c în sttică, în cul distribuţiei de vitee eistă doi invrinţi: vectorul şi vectorul u. 8... Aoidele mişcării generle rigidului Din ecuţiile vectorile (8.84) şi (8.85) le ei instntnee de rototrnslţie, m văut că cest îşi schimbă poiţi în timp fţă de rigid, cât şi fţă de sistemul de referinţă fi, c urmre descrie două suprfeţe riglte cre u l un moment dt l mişcării c genertore comună, instntnee de rototrnslţie.
Aoid fiă fig. 8.9 CNEMATCA CPULU GD 5 Locul geometric descris de instntnee de rototrnslţie fţă de sistemul de referinţă fi se numeşte oidă fiă, ir fţă de sistemul de referinţă mobil se numeşte oid mobilă. Eliminând timpul între ecuţiile (8.88),se obţine ecuţi nlitică oidei mobile, de form f(,,), ir între ecuţiile (8.89), se obţine ecuţi nlitică oidei fie, de form g(,, ). Aoidele mişcării generle rigidului preintă importnţă deosebită pentru plicţii, deorece mişcre rigidului pote fi privită c mişcre oidei mobile legtă de rigid în rport cu oid fiă. Menţionăm două dintre proprietăţile cestor oide: ) Aoid fiă şi oid mobile sunt tngente, ir plnul tngent conţine instntnee de rototrnslţie ( ) (fig 8.9). Într-devăr, cele dou oide u c genertore comună ( ) de rototrnslţie. Considerăm punctul rbitrr M ( ). În timpul mişcării, punctul M descrie o curbă pe oid fiă numită centroidă fi, ir pe oid mobilă o curbă numită centroidă mobilă. Vectorii viteă i punctului M pe cele două centroide sunt tngente în cest punct l cele dou curbe, deci plnul tngent l fiecre oidă v fi determint de instntnee de rototrnslţie ( ) şi respectiv de fiecre tngentă pe cele două centroide. Vectorii viteă l cele două centroide sunt respectiv: obţinem: Plnul tngent Centroid fiă Centroid mobilă Aoid mobilă v M r & r, v M (8.9) t Între vectorii r, r, r eistă relţi: r r + r (8.9) Derivând relţi (8.9) în rport cu timpul şi ţinând sem de relţi (8.8) r r r r & r & + + r + v + r + u t t t (8.93) stfel că: v M v M + u (8.94) Acestă ultimă relţie, indică coplnritte vectorilor v M, v M şi u cee ce însemnă că cele două plne tngente sunt confundte.
CNEMATCA CPULU GD 6 b) Aoid mobilă se rostogoleşte peste oid fiă şi lunecă după instntnee de rototrnslţie cu vite de lunecre u. Pentru demonstrţie înmulţim relţi (8.94) cu timpul elementr dt şi obţinem: v M dt v M dt+ u dt (8.95) Fiecre termen l relţiei (8.95) repreintă deplsre elementră punctului M în timpul imedit următor dt din figur 8.9. Deplsre elementră punctului M pe centroid fiă este v M dt, pe centroid mobilă v M dt, ir deplsre elementră punctului M pe direcţi ei instntnee de rototrnslţie, propriette se demonstreă nlog stfel că cestă propriette este devărtă şi pentru cele două oide. 8..3 Studiul ccelerţiilor Am rătt că l un moment dt l mişcrii, eistă un singur punct de ccelerţie nulă pe cre l-m numit polul ccelerţiilor, şi se noteă cu J. În cul în cre vectorii viteă unghiulră şi ccelerţie unghiulră sunt coliniri, este posibil să eiste în corpul rigid puncte situte pe o dreptă prlelă cu direcţi comună vectorilor şi ε, numită instntnee de rototrnslţie reltiv l distribuţi de ccelerţii, cre să ibă ccelerţi de vlore minimă. Accelerţi comună cestor puncte se numeşte ccelerţie de lunecre şi trebuie să fie coliniră cu direcţi comună vectorilor şi ε. Accelerţi de lunecre se eprimă sub form: ε w ± ε ε (8.96) unde semnul + se i când şi ε u celşi sens şi - în c contrr. Pentru determin instntnee reltiv l distribuţi de ccelerţii ( `), deorece direcţi ei este cunoscută, este sufficient să cunoştem vectorul de poiţie l unui punct de pe ă: r ` ` unde `este proiecţi lui pe căuttă. Vectorul r ` îl vom determin din condiţi c ccelerţi punctului ` să fie ccelerţie de lunecre: + ε r `- r ` (8.97) Înmulţim relţi (8.97) cu şi vectoril l stng cu ε, după cre dunăm membru cu membru cele două noi ecuţii stfel obţinute, din cre v reult: ` ε + ( ) r (8.98) 4 ε +
CNEMATCA CPULU GD 7 Se observă că vectorul r ` eistă, dcă cel puţin unul din vectorii şi ε este nenul. A instntnee ( `) eistă şi este unic determintă în orice moment l mişcării rigidului stfel că ecuţi s vectorilă se scrie sub form: ` ` ε + ( ) r r + λ + λ (8.99) 4 ε + Dcă l un moment dt, vectorul viteă unghiulră dr vectorul ccelerţie unghiulră ε, ecuţi vectorilă ei ( `) este de form: ` ε r + λ (8.) ε Aplicţie: Pentru plicţi de l 8..5 să se determine ecuţi ei instntnee de rototrnslţie, vite de lunecre şi instntnee reltivă l ccelerţii. eolvre: În primul rând, vom determin vite originii reperului mobil: v v A A. În rport cu reperul mobil, ecuţi ei instntnee de rototrnslţie ( ) este dtă de relţi (8.88) de unde reultă intersecţi plnelor de ecuţii ++5, 5-+. Vite de lunecre este dtă de relţi (8.79): u ( v / ). Cum u ir instntnee este fiă, reultă că rigidul re o mişcre de rotţie cu ă fiă. A ( `) instntnee de rototrnslţie reltivă l ccelerţii este dtă de relţi (8.99). Ecuţi cestei este intersecţi plnelor de ecuţii: şi - 8.3. Miscre de trnslţie corpului rigid Un corp rigid re o mişcre de trnslţie, dcă orice dreptă din rigid, rmâne tot timpul mişcării prlelă cu e însşi. Trnslţiile pot fi: ) rectilinii: mişcre unui piston în interiorul unui cilindru, mişcre cbinei unui scensor, mişcre sertrului unei mese; b) circulre: mişcre scunului unui scrânciob, miscre bilei de cuplre două roţi cu e fiă: c) lte tipuri de trnslţii: trnslţi cicloidlă l biel de cuplre roţilor unei locomotive etc. 8.3.. Lege de mişcre Considerăm un sistem de referinţă fi şi un corp (C) în mişcre de trnslţie fţă de cest (fig 8.). Sistemul de referinţă, legt de corpul (C), origine fiind rbitrră într-un punct, re o mişcre de trnslţie c şi corpul (C). Cum orice dreptă rămâne fig. 8.
CNEMATCA CPULU GD 8 prlelă cu e însăşi pe tot timpul mişcării, deducem că şi ele reperului mobil,, rămân prlele cu ele însele. Vom lege prin urmre ele sistemului mobil stfel încât să rămână prlele cu ele reperului fi, cee ce conduce l conclui că versorii i, j, k sunt constnţi tât c mărime cât şi c direcţie. rigine sistemului legt de corp este determintă de reperul fi prin vectorul r r (t), cee ce revine l cunoştere funcţiilor sclre de timp, cre repreintă legile de mişcre le rigidului: (t), (t), (t) (8.) Un corp rigid flt în mişcre de trnslţie re deci, mim trei grde de libertte. Pentru trnslţii prticulre, numărul grdelor de libertte scde l două su l unu. Derivând versorii reperului mobil, obţinem: & & & i, j, k (8.) stfel că în mişcre de trnslţie:, ε (8.3) Într-o mişcre de trnslţie, triectoriile diferitelor puncte le rigidului (C) sunt identice, ele putând fi suprpuse printr-o trnslţie geometrică. Acest fpt reultă şi din relţi cunoscută: r r + r (8.4) În cul trnslţiei, r M este un vector constnt şi deci triectori punctului coincide cu triectori punctului M (printr-o trnslţie geometrică de vector r ). Ecuţi (8.4) proiecttă pe ele fie, se mi scrie sub form: +, +, + (8.5) unde r i + j + k Prin eliminre timpului între ecuţiile (8.5) se obţin ecuţiile triectoriei punctului M în coordonte crteiene. 8.3.. Distribuţi de vitee Prin plicre formulei generle distribuţiei viteelor şi ţinând sem de relţi (8.3), un punct orecre din rigid re vite: v v + r v (8.6) Prin urmre, l un moment dt, tote punctele unui rigid în mişcre de trnslţie u ceeşi viteă. Proiecţiile pe e le viteei unui punct M sunt: v & ; v & ; v & (8.7)
CNEMATCA CPULU GD 9 8.3.3. Distribuţi de ccelerţii Aplicând formul generlă distribuţiei de ccelerţii şi ţinând sem de relţi (8.3), un punct orecre din rigid re ccelerţi: + ε r + ( r ) (8.8) Deci, l un moment dt, în mişcre de trnslţie rigidului, tote punctele sle u ceeşi ccelerţie. Proiecţiile pe e le ccelerţiei punctului M sunt: & & ; & & ; & & (8.9) În concluie, pentru studiul mişcării de trnslţie solidului rigid, este suficient să se studiee mişcre unui singur punct convenbil les din rigid. Vectorii viteă şi ccelerţie de trnslţie sunt vectori liberi, ceeşi în orice punct l rigidului. Aplicţie: Două discuri de centre C, repectiv C, fiecre de ră, se rostogolesc fără lunecre pe. Br AB este rticultă pe cele două periferii (fig 8.). În momentul iniţil AB se flă pe. Viteele centrelor C şi C sunt constnte şi egle cu v. Să se determine triectori, vite şi ccelerţi unui punct orecre M de pe bră, l un moment dt. Să se determine vite lui M când unghiul ( v M, M ) mim. eolvre: Este un eemplu de trnslţie cicloidlă, deorece discurile u ceeşi r, ir mişcre re loc fără lunecre. fig. 8. Triectori punctului M este un cerc de ceeşi ră cu cercurile dte (cercul punctt în fig 8.). Vite punctului M coincide cu vite punctului A: v M v A. Notm cu punctul de intersecţie dintre cercul de centru C cu, ir ` este punctul dimetrl opus lui. Dr de l mişcre pe cicloidă se ştie că v A Av / A, ir vectorul v A trece prin `, stfel că v M v / A şi v M trece prin punctul P` dimetrl opus punctului P de inetrsecţie triectoriei punctului m cu. Pe de ltă prte, M A ir A trece prin centrul C ; A v / M ir M trece prin centrul triectoriei lui M. unghiul dintre viteă şi ccelerţie este de mim π/, c în cre M P`. În cest c: v M v p` v / v.
CNEMATCA CPULU GD 8.4. Mişcre de rotţi cu fiă corpului rigid Un corp rigid re o mişcre de rotţie cu ă fiă, dcă tot timpul mişcării, două puncte şi `prţinând corpului, rmân fie fţă de un sistem de referinţă. Tote punctele situte pe drept cre uneşte cele două puncte fie, rămân de semene fie. Acestă dreptă se numeşte ă de rotţie. Eemple de rigide în mişcre de rotţie cu ă fiă: mişcre unui pendul, mişcre volnţilor, mişcre celor unui cesornic în rport cu cdrnul etc. 8.4.. Lege de mişcre Pentru simplificre studiului, originile celor dou sisteme de referinţă se leg în celşi punct ( ), ir ele şi să coincidă cu de rotţie ( ). Corpul (C) re punctele şi ` fie pe de rotţie ( ). Mişcre corpului se rporteă l sistemul de referinţă presupus fi. Sistemul de referinţă mobil este fit de corpul (C). Poiţi reperului mobil şi deci corpului, fţă de sistemul de e fie este definită de unghiul θ măsurt în plnul fi, dintre ele şi (su unghiul diedru l plnelor şi ) (fig 8.). Ţinând sem de fptul că r. Deducem că un corp rigid vând o mişcre de rotţie cu fig. 8. ă fiă, re un singur grd de libertte. Lege de mişcre corpului (C) este dtă de: θθ(t) (8.) După felul cum u fost definite cele două sisteme de e, între versorii cestor (fig 8.) se pot stbili următorele relţii: icosθ i +sinθ j, j -sinθ i +cos θ j, k k (8.) Poiţi unui punct rbitrr M din corpul (C) este dtă prin vectorul de poiţie r r M i + j + k i+ j+ k (8.)
CNEMATCA CPULU GD Înlocuind versorii i, j, k dţi de relţiile (8.) în ultimul membru l relţiilor (8.) şi identificând coeficienţii versorilor i, j, k, obţinem lege de mişcre punctului M din corp, cre re coordontele (,,) fţă de sistemul legt de corp: cosθ-sinθ, sinθ+cosθ, ; (8.3) Prin eliminre timpului cre pre implicit în relţiile (8.3) prin intermediul lui θθ(t), obţinem triectori nlitică punctului M în coordinte crteiene: + + cons tn t, (8.4) Un punct rbitrr dintr-un rigid vând o mişcre de rotţie cu ă fiă, re o triectorie circulră, sitută într-un pln ( ) perpendiculr pe de rotţie, cu centrul pe de rotţie şi r eglă cu distnţ de l punct l de rotţie ( + ). 8.4.. Distribuţi de vitee Deorece punctul este fi, fiind pe de rotţie, reultă v. Pentru clculul lui, vom deriv relţiile (8.) în rport cu timpul: & i - θ & sinθ i + θ & cosθ j θ & j, & j - θ & cosθ i - θ & sinθ j - θ & i k & k & (8.5) stfel că se obţin: & j k, k & i, & i j θ & (8.6) şi prin urmre k θ & k (8.7) Vectorul re direcţi ei de rotţie, re c mărime vlore unghiului θ &, fpt pentru cre se numeşte vectorul viteă unghiulră l mişcării de rotţie cu fiă. Folosind formul generlă distribuţiei de vitee şi ţinând sem că r i + j + k, obţinem: i v r θ& (8.8) j k Proiecţiile vectorului vite v pe ele reperului mobil, sunt: v - θ & ; v θ & ; v (8.9)
CNEMATCA CPULU GD ir mărime cestei: v v + v + v θ& + + Din formulele (8.9) reultă următorele proprietăţi le distribuţiei de vitee în mişcre de rotţie cu ă fiă: ) singurele puncte cre u vite nulă sunt cele pentru cre,, deci punctele de pe de rotţie. b) punctele situte pe o ă ( ) prlelă cu de rotţie rigidului u viteele celeşi, deorece în epresiile proiecţiilor v, v, v nu pre cot. c) viteele sunt conţinute în plne normle pe de rotţie, deorece v. d) punctele corpului situte pe o dreptă ( ) perpendiculră pe de rotţie în P, u viteele normle pe cestă dreptă, ir modulele sunt proporţionle cu distnţ l de rotţie. Acest lucru reultă imedit considerând un punct orecre M ( ), stfel că v M P M. Dr v M este perpendiculră tât pe vectorul (deci pe de rotţie ), cât şi pe vectorul P M (deci pe ). Pe de ltă prte, v M PM şi deci vite este proporţionlă cu distnţ PM. Unghiul α formt de drept ( ) şi drept ce fig. 8.3 uneşte etremităţile viteelor este dt de relţi vm tgα. Acest unghi este independent de PM punctul M, stfel că etremitătile vectorilor viteă sunt colinere. 8.4.3. Distribuţi de ccelerţii Deorece punctul este fi, vem. Ţinând cont de relţi (8.7), vectorul ccelerţie unghiulră ε l mişcării de rotţie cu ă fiă este ε & & θ k ε k (8.) Din formul generlă distribuţiei de ccelerţii, vem: ε + ( r ) (8.) Înlocuind epresiile nlitice le vectorilor ε, şi r relţi (8.) devine:
CNEMATCA CPULU GD 3 i j k i j k & θ + θ& (8.) θ& θ& de unde se determină proiecţiile pe ele reperului mobil le ccelerţiei: - θ & - & θ - -ε, & θ - θ & ε-, (8.3) Mărime ccelerţiei punctului rbitrr M din rigid este: 4 + + + ε + (8.4) În cul mişcării de rotţie cu ă fiă, ccelerţi re două componente: ccelerţi tngenţilă, τ şi ccelerţi normlă n cre u respectiv epresiile: τ ε r ; n ( r ) (8.5) le căror mărimi sunt dte de relţiile: τ + ε; n + ; r + (8.6) Se deduce că ccelerţi unui punct orecre M din corp se determină (c şi vite de ltfel ) c l mişcre circulră punctului pe un cerc de ră +, cu centrul pe de rotţie, plnul cercului fiind perpendiculr pe de rotţie, ir vite unghiulră şi ccelerţi unghiulră sunt egle cu cele le rigidului. Din epresiile proiecţiilor ccelerţiei pe e (8.3), reultă următorele proprietăţi le distribuţiei de ccelerţii în mişcre corpului cu ă fiă: ) punctele cre u ccelerţi nulă reultă din sistemul: - -ε; ε- (8.7) cre este omogen cu determinntul ε + 4. eultă soluţi unică,,stfel că singurele puncte cre u ccelerţi nulă sunt cele de pe de rotţie. b) tote punctele situte pe o ă ( ) prlelă cu de rotţie u celeşi ccelerţii, cest lucru reultând din fptul că proiecţiile,, nu depind de coordont. c) Deorece proiecţi, reultă că ccelerţiile sunt conţinute în plne normle pe de rotţie. d) pentru punctele de pe o dreptă ( ) cre întâlneşte de rotţie sub un unghi drept, ccelerţiile fc celşi unghi cu ( ) şi vriă linir cu distnţ l de rotţie. Acest lucru reultă considerând ( ) c ă şi stfel că din relţiile (8.3) reultă: - ; ε; (8.8) ir mărime ccelerţiei devine: 4 ε + (8.9) Pentru unghiul φ formt de vectorul ccelerţie M cu reultă
CNEMATCA CPULU GD 4 ε tgφ (8.3) e) din propriette (d) se deduce că etremităţiile ccelerţiilor unor puncte colinire (situte pe ), sunt situte pe o dreptă ( ) cre fce cu unghiul β dt de relţi. ε tgβ (8.3) Proprietăţile distribuţiei de ccelerţii sunt repreentte grfic în figurile (8.4) şi (8.5). bservţii. Dcă de rotţie nu coincide cu nici un din ele sistemului de referinţă, vectorul viteă unghiulră re form i+ j+ k (8.3). Dcă ε şi deci constnt, mişcre de rottţie cu ă fiă rigidului este uniformă. Dcă ε, mişcre se numeşte vrită, ir dcă εconstnt, mişcre este uniform vrită. Dcă şi ε u celşi sens, mişcre de rotţie este ccelertă, în c contrr mişcre este întârită. 3. În unele situţii este cunoscută turţi n unei mşini rottive (eprimtă în rot/min). Între vite unghiulră şi turţi n eistă relţi πn/3 în cre se măsoră în rd/s. Aplicţie: Br A de lungime l re o mişcre de rotţie cu ă fiă. Accelerţi unui punct orecre M de pe bră formeă unghiul φ t cu br. Să se
CNEMATCA CPULU GD 5 determine vite şi ccelerţi cpătului A l brei. Vite unghiulră iniţilă brei este (fig 8.6). eolvre: Din dtele problemei şi din relţi (8.3) reultă: ε & tgt (8.33) cre se mi scrie: d tg tdt Prin integrre cestei ecuţii diferenţile, se obţine: fig. 8.6 ln cost + c (8.34) unde constnt c de integrre se determină din condiţiile iniţile. L momentul t, şi înlocuind, obţinem c, stfel că reultă: (8.35) ln e cost Prin derivre în rport cu timpul, reultă: tgt ε (8.36) ln e cost l Vite punctului A, v A A si v A l ln e cost Accelerţi punctului A cre fce celşi unghi φ t cu br re mărime: l l τ + n + tg t (8.37) ln e cos t cos t ln e cos t 8.5 Mişcre de rototrnslţie rigidului. Un corp rigid re o mişcre de rototrnslţie dcă două puncte prţinând rigidului rămân tot timpul mişcării pe o dreptă fiă din spţiu. Evident, tote punctele rigidului rămân situte pe drept formtă de cele două puncte, vor ve mişcări rectilinii, dreptă cre se numeşte ă de rototrnslţie. Eemple de mişcări de rototrnslţie sunt mişcre unui şurub fţă de piuliţă, mişcre unui glonte în interiorul ţevii rmei, mişcre unui burghiu, mişcre unui corp pe verticlă rotindu-se în celşi timp în jurul ei verticle, etc.
CNEMATCA CPULU GD 6 8.5. Lege de mişcre Pentru studi mişcre, considerăm un triedru fi stfel încât să coincidă cu mişcării de rototrnslţie. Fie corpul rigid (C) le cărui două puncte, şi ` rămân pe drept fiă tot timpul mişcării cestei. Solidr cu corpul (C), considerăm sistemul de referinţă mobil, cărui ă coincide cu fiă (fig 8.7). Spre deosebire de mişcre de rotţie punctul se mişcă pe. Poiţi corpului (C) fţă de sistemul de referinţă fi, este determintă de coordont o punctului şi de unghiul θ dintre ` (prlelă cu ) şi măsurt în plnul. Lege de mişcre corpului (C) este dtă de funcţiile sclre: (t), θθ(t) (8.38) Prim determină lege de mişcre originii sistemului legt de corp, dou defineşte rotţi plnului, fţă de plnului Prin urmre, rigidul în mişcre de rototrnslţie re în generl dou grde de libertte dcă şi θ sunt independente. L unele mişcării de rototrnslţie, între şi θ eistă legături de form: (θ) (8.39) c, în cre corpul rigid re un singur grd de libertte. Considerând un punct fig. 8.7 rbitrr M din corp, vând coordontele,, fţă de sistemul de e fie şi coordontele,,, fţă de sistemul de referinţă mobil, legile de mişcre le sle, sunt: cosθ-sinθ; sinθ+cosθ; + (8.4) elţiile (8.4) repreintă şi ecuţiile prmetrice le triectoriei sle. Eliminând timpul din primele două ecuţii, obţinem ecuţi nlitică triectoriei: + + cons tn t, (t) (8.4) Triectoriile punctelor rigidului sunt curbe situte pe suprfeţe cilindrice coile, cre u c ă de simetrie, de rototrnslţie.
8.5.. Distribuţi de vitee CNEMATCA CPULU GD 7 rigine reperului mobil se mişcă în direcţi e, stfel că: v & k v o k v k (8.4) Procedând c l mişcre de rotţie cu ă fiă, vit unghiulră se scrie: θ & k k k (8.43) Folosind formul generlă distribuţiei de vitee, obţinem pentru mişcre de rototrnslţie: i j k v v + r & k + θ& (8.44) din cre obţinem proiecţiile viteei pe ele reperului mobil: v - θ & -; v ; v & v (8.45) Mărime viteei punctului M este: v v + v + v ( + ) θ& + & ( + ) + v (8.46) Distribuţi de vitee în mişcre de rototrnslţie rigidului se obţine prin însumre vectorilă distribuţiilor de vitee de l mişcre de trnslţie în lungul ei cu viteă v şi de l mişcre de rotţie în jurul celeşi e cu vite unghiulră. Din epresiile (8.45), deducem următorele proprietăţi le distribuţiei de vitee în mişcre de rototrnslţie rigidului: ) în generl nu eistă nici un punct l rigidului cărei viteă să fie nulă tot timpul mişcării. Acest lucru reultă din relţi (8.46). Punctele rigidului cre u vite minimă (eglă cu v ) sunt situte pe de rototrnslţie. Vite v se mi numeşte viteă de lunecre. b) punctele situte pe o drept ( ) prlelă cu de rototrnslţie u viteele egle c vectori, deorece în epresiile (8.45) nu pre coordont. c) pe o dreptă ( ) perpendiculră pe mişcării de rototrnslţie şi cre tie, proiecţi unui punct M ( ) pe plnul norml l mişcării de rototrnslţie, vriă proporţionl cu distnţ M (fig 8.8). Considerăm ( ) să coincidă cu, stfel că proiecţiile lui v M pe cestă ă sunt: v ; v ; v v (8.47) Proiecţi v creşte proporţionl cu distnţ M. Unghiul α dintre viteă şi mişcării de rototrnslţie este celşi pentru tote punctele de pe ( ) şi re vlore:
CNEMATCA CPULU GD 8 α rctg (8.48) v 8.5.3 Distribuţi de ccelerţii Accelerţi punctului este evident: θ k k k (8.49) ir ccelerţi unghiulră: ε & θ k θ k ε k (8.5) Din form generlă distribuţiei de ccelerţii vem: i j k i j k + ε r + ( r )& & k + & θ + θ& (8.5) θ& θ Proiecţile pe ele mobile le ccelerţiei în mişcre de rototrnslţie sunt: - & θ - θ & -ε- ; & θ - θ & ε- ; & & (8.5) Mărime ccelerţiei este: 4 + + & + ( + )( ε + ) (8.53) Din relţiile (8.5) şi (8.53) deducem că distribuţi de ccelerţii în mişcre de rototrnslţie rigidului se pote obţine din compunere două distribuţii: un corespunătore unei mişcări de trnslţie în direcţi ei de rototrnslţie şi lt corespunătore în jurul cestei e. Din epresiile (8.5) reultă următotrele proprietăţi le distribuţiei de fig. 8.8 fig. 8.9
CNEMATCA CPULU GD 9 ccelerţii în mişcre de rototrnslţie: ) în generl nu eistă nici un punct l rigidului în cre ccelerţi să fie nulă tot timpul mişcării. Punctele de pe de rototrnslţie u ccelerţi minimă şi eglă cu o & &. În prticulr, dcă viteă de lunecre v & este constntă, punctele de pe de rototrnslţie u ccelerţi nulă. Accelerţi se numeşte ccelerţie de lunecre. b) tote punctele rigidului situte pe o dreptă ( ) prlelă cu mişcării de rototrnslţie, u ccelerţiile egle c vectori (fig 8.9), deorece în epresiile (8.5) nu pre coordont. c) proiecţiile ccelerţiilor tuturor punctelor de pe o dreptă ( ) perpendiculră pe mişcării de rototrnslţie şi cre tie, pe un pln norml l mişcării de rototrnslţie sunt proporţionle cu distnţ de l punctul respectiv l de rototrnslţie. Acest lucru reultă dcă considerăm ( ). Proiecţiile ccelerţiei punctului M de pe pe ele mobile sunt (fig 8.9): -, ε, & & (8.54) de unde se observă c şi vriă proporţionl cu distnţ M. 8.5.4. Mişcre de şurub Un c prticulr l mişcării de rototrnslţie este mişcre de şurub. Şurubul îninteă cu psul p l o înintre completă cestui dtorită eistenţei filetului. Este un eemplu de corp rigid în cre se impune o relţie de legătură între funcţiile (t) şi θ(t) de tipul (8.39), cee ce însemnă că mişcre de şurub re un singur grd de libertte. Între funcţiile si θ re loc o relţie de legătură liniră: (t)c θ(t), C (8.55) Prin diferenţiere relţiei (8.55), obţinem: d Cdθ (8.56) ntegrăm relţi (8.56) şi ţinem sem că înintre cu psul p implică o rotţie completă de π rdini: p d π C dθ (8.57) Din relţi (8.57) reultă: p C (8.58) π Înlocuim constnt C dtă de relţi (8.58) în relţi (8.55), derivăm în rport cu timpul şi obţinem:
CNEMATCA CPULU GD 3 v (8.59) π p Anlog pentru ccelerţii, din relţi (8.59), deducem: ε v (8.6) π p Aplicţie: Un şurub re psul p[mm], r eterioră 8[mm] şi ccelerţi de lunecre / [mm/s ]. Se cer vite şi ccelerţi unui punct de pe periferi şurubului. eolvre: Din relţi (8.6), reultă: π π π ε ; t (8.6) p Vite de lunecre este: v t t (8.6) ir vite perpendiculră pe ă este : v`4πt (8.63) stfel că putem scrie vite punctului de pe periferie: v v + v` t + 3π (8.64) Accelerţi tngenţilă este: τ v& `4π (8.65) ir ce normlă: n π t (8.66) stfel că: 4 + τ + n 6π t + 64π + (8.67) 8.6 Mişcre pln prlelă (plnă) corpului rigid Un corp rigid re o mişcre plnă su pln prlelă dcă trei puncte necolinire le rigidului sunt conţinute tot timpul mişcării într-un pln considert fi, numit plnul mişcării. Tote punctele prţinând rigidului şi sunt coplnre cu cele trei puncte rămân de semene conţinute in cest pln. Prin urmre, triectoriile tuturor punctelor rigidului sunt curbe plne situte în plne prlele cu plnul fi, motiv pentru cre mişcre se mi numeşte şi pln prlelă.
CNEMATCA CPULU GD 3 Eemple de mişcări plne: mişcre bilei mecnismului bielă mnivelă, mişcre roţii unui vehicul cre se deplseă rectiliniu, mişcările elementelor tuturor mecnismelor plne, etc. În prticulr, mişcre de rotţie cu ă fiă şi mişcre de trnslţie cu triectorii curbe plne sunt eemple de mişcări plne. 8.6. Lege de mişcre Considerăm corpul rigid (C), plnul fi (P) şi un punct rbitrr P din corp (fig 8.). Plnul (P) intersecteă corpul (C) şi determină secţiune (S). Proiecţi punctului M pe secţiune S o notăm cu M`. Din definiţi dtă mişcării plne reultă că punctul M` rămâne tot timpul mişcării in plnul P ir segmentul MM` re mărime invribilă şi rămâne prlele cu el însuşi, dică re o mişcre de trnslţie, reultă că tote punctele corpului situte pe segmentul MM` u triectorii identice, vitee şi ccelerţii egle. Pentru studiul mişcării este suficient studiul mişcării unui singur punct l său de eemplu punctul M` flt în mişcre în secţiune (S). Deci mişcre corpului (C) se reduce l studiul mişcării secţiunii (S) din plnul fi (P). Considerăm secţiune pln (S) şi legem sistemul de referinţă fi stfel încât plnul să coincidă cu plnul secţiunii (S) şi un sistem de referinţă mobil legt de corp, cu plnul în plnul fi ir ele şi sunt prlele (fig 8.) Poiţi punctului este determintă de fig. 8. vectorul său de poiţie: r i + j (8.68) ir rotţi reperului mobil, de unghiul θ dintre ele şi. eultă că mişcre plnă re trei grde de libertte ir lege de mişcre corpului este dtă de funcţiile (t), (t), θ θ (t) (8.69) Dcă rigidul este supus şi l lte legături, numărul grdelor de libertte se v reduce corespunător legăturilor, l două su l un grd de libertte. fig. 8.
CNEMATCA CPULU GD 3 Între versorii celor două sisteme de referinţă se pot stbili următorele relţii de legătură: i cos θ i +sin θ j, unde : j -sinθ i +cosθ j, k k (8.7) Poiţi punctului rbitrr M este dtă de relţi vectorilă: r r + r (8.7) r i + j ; r i + j ; r i+ j (8.7) Ţinând sem de relţiile (8.7) şi (8.7), prin proiecţi vectorilor din relţi (8.7) pe ele sistemului de referinţă fi obţinem: +cosθ-sinθ, +sinθ+cosθ (8.73) Prin eliminre timpului între relţiile (8.73) se obţine ecuţi nlitică triectoriei (în coordinte crteiene) punctului M: f(, ), cre este o curbă evident plnă. 8.6.. Distribuţi de vitee Vite originii reperului mobil este: v & i +& j v o i +v o j (8.74) Pentru determinre viteei unghiulre ţinem sem că k k şi deci k & k &, precum şi de relţiile (8.7): - k & j; k & i; & i jθ & (8.75) eultă: k k θ & k ; ε & ε k & θ k (8.76) Plecând de l formul generlă distribuţiei de vitee şi ţinând sem de relţiile (8.74) şi (8.75), deducem pentru cul mişcării pln prlele: i j k i j k v v + r v i + v j + & i + & j + (8.77) o o şi deci proiecţiile viteei punctului M pe ele sistemului mobil vor fi: v v o -; v v o +; v (8.78) Din relţi (8.74), ţinând sem de relţi (8.7), obţinem: v o & cosθ+& sinθ, v o - & sinθ+& cosθ (8.79) Înlocuim relţi (8.79) în relţi (8.78) cre devine : o
CNEMATCA CPULU GD 33 v & cosθ+& sinθ-, v - & sinθ+& cosθ+ (8.8) Din relţi (8.77) deducem că distribuţi viteelor în mişcre pln prlelă, se obţine prin suprpunere distribuţiei de vitee într-o mişcre de trnslţiere cu vite v şi distribuţiei de vitee într-o mişcre de rotţie în jurul unei e perpendiculre pe plnul fi, şi trece prin punctul cu vite unghiulră. Ne punem problem să simplificăm formul (8.77) de distribuţie viteelor, în sensul de găsi un punct pe cre îl vom not cu stfel încât vite să fie nulă l un moment dt: v (8.8) În cest fel vite unui punct orecre M devine: v M M (8.8) Notăm cu r (vectorul de poiţie l punctului în rport cu punctul ), stfel că din relţiile (8.8) şi (8.77), reultă: v v + r (8.83) Pentru determinre lui înmulţim relţi (8.83) vectoril l stâng cu vectorul şi obţinem : v + ( r ) (8.84) Prin devoltre produsului dublu vectoril în relţi (8.84) se obţine: v +( r ) - r (8.85) Dr este perpendiculr pe plnul mişcării stfel că r şi din relţi (8.85), se obţine: v r (8.86) Punctul stfel determint este unic l un moment dt, deorece v şi sunt unice. Dcă luăm punctul c un punct de referinţă, vite unui punct rbitrr M se scrie sub form: v v + M (8.87) ir din definiţi punctului, v reultă: v M (8.88) Formul (8.88) re ceeşi formă cu distribuţi de vitee de l mişcre de rotţie cu ă fiă. Distribuţi de vitee în mişcre pln-prlelă corpului rigid, este o distribuţie de vitee de rotţie în jurul unei e perpendiculre în punctul pe plnul mişcării. Din cest motiv punctul este numit centru instntneu de rotţie (C...), ir perpendiculră în pe plnul mişcării este numită ă instntnee de rotţie. Tote punctele rigidului ce se găsesc pe instntnee de rotţie u l un moment dt vite nulă.
CNEMATCA CPULU GD 34 Ţinând sem de relţiile (8.86) şi (8.79), obţinem coordontele centrului instntneu de rotţie în sistemul de referinţă mobil: vo & sin θ & cosθ vo & cosθ + & sin θ (8.89) În timpul mişcării corpului rigid poiţi centrului instntneu de rotţie îşi modifică poiţi tât fţă de corp (fţă de sistemul de referinţă mobil), cât şi fţă de sistemul de referinţă fi. Locul geometric l centrului instntneu de rotţie în rport cu sistemul de referinţ mobil este o curbă plnă numită rostogolitore, (rulntă, centroidă mobilă). Ecuţiile prmetrice le rostogolitorei sunt dte de relţiile (8.89) ir ecuţi vectorilă este dtă de relţi (8.86). Pentru obţinere ecuţiei nlitice rostogolitorei, se elimină timpul între relţiile (8.89): f(, ) (8.9) Locul geometric l centrului instntneu de rotţie în rport cu sistemul de referinţă fi este o ltă curbă plnă numită bă (centroidă fiă). Ţinând sem de relţiile vectorile (8.7) şi (8.86), scrise pentru punctul, reultă v r r + (8.9) cre repreintă ecuţi vectorilă bei. Ecuţiile prmetrice le bei se obţin din relţi (8.9) proiectând-o pe ele sistemului de referinţă fi: & & ; + (8.9) Prin eliminre timpului între ecuţiile (8.9), găsim ecuţi nlitică bei: fig. 8. G(, ) (8.93) Cele două centroide pot fi folosite pentru urmări mişcre plnă corpului rigid, mi precis secţiunii sle (S) şi u următorele două proprietăţi: ) b şi rostogolitore sunt tngente tot timpul mişcării în centrul instntneu de rotţie (fig 8.) Demonstrre cestei proprietăţi se pote fce scriind epresi vectorului de poiţie l centrului instntneu de rotţie fţă de sistemul de referinţă fi: r r + r (8.94)