MATEMATIKA /2012.

MATEMATIKA 2 2011./2012.

1 MATEMATIKA 2 1 MATEMATIKA 2 2 MATEMATIKA 2 3 MATEMATIKA 2 4

2 ρ O 0 1 ϕ T=(ϕ,ρ) MATEMATIKA 2 5 MATEMATIKA 2 6 z z T'' 1 O ϕ ρ T=(ϕ,ρ,z) T'=(ϕ,ρ) Π z z z0 T'' 0 z0=z0 ravnina T0=(ϕ0,ρ0,z0) ρ=ρ0 cilindar ρ0 ϕ0 T0' ϕ=ϕ0 poluravnina MATEMATIKA 2 7 MATEMATIKA 2 8

3 z z T'' k O i ϕ 1 θ ρ r T=(ϕ,θ,r) T'=(ϕ,ρ) Π MATEMATIKA 2 9 MATEMATIKA 2 10 z T0 θ0 ϕ=ϕ0 poluravnina θ=θ0 sto ac ϕ0 r=r0 sfera MATEMATIKA 2 11 MATEMATIKA 2 12

4 z O T1 r1 n0 r T MATEMATIKA 2 13 MATEMATIKA 2 14 z MATEMATIKA 2 15 MATEMATIKA 2 16

5 z z (a) (b) z (a) (b) z MATEMATIKA 2 17 MATEMATIKA 2 18 z z z z MATEMATIKA 2 19 MATEMATIKA 2 20

6 z z=2-2 - 2 z= 2 + 2 MATEMATIKA 2 21 MATEMATIKA 2 22 MATEMATIKA 2 23 MATEMATIKA 2 24

7 MATEMATIKA 2 25 MATEMATIKA 2 26 2 0 2 MATEMATIKA 2 27 MATEMATIKA 2 28

8 z z=z0 z0=f(,) z= 2 + 2 z z=f(,) z=1 2 + 2 =1, z=1 MATEMATIKA 2 29 MATEMATIKA 2 30 z K(T0,ε) K(T0,ε) K(T0,ε) MATEMATIKA 2 31 MATEMATIKA 2 32

9 0 otvoren skup neotvoren skup MATEMATIKA 2 33 MATEMATIKA 2 34-2 0 2 0.5 0.25 0-0.25-0.5-2 0 2 MATEMATIKA 2 35 MATEMATIKA 2 36

1 0. 5 0-2 - 2 0 2 0 2 10-4 4 0.4 0.2-2 -2 z 0.0 0 0-0.2 2-0.4 2-4 -4 0.4 4-4 0.2-2 2 z 0.0 0 0-0.2-2 -0.4 2 4 4 MATEMATIKA 2 37 MATEMATIKA 2 38 MATEMATIKA 2 39 MATEMATIKA 2 40

11 MATEMATIKA 2 41 MATEMATIKA 2 42 z f1(0)=f(0,0) z=f(0,)=f2() z=f(,) z=f(,0)=f1() D T=(0,0) D 0 D 0 MATEMATIKA 2 43 MATEMATIKA 2 44

12 MATEMATIKA 2 45 MATEMATIKA 2 46 z t 0 Γ 2 ( 0, 0) t 0 Γ1 z=f(,) α β MATEMATIKA 2 47 MATEMATIKA 2 48

13 MATEMATIKA 2 49 MATEMATIKA 2 50 MATEMATIKA 2 51 MATEMATIKA 2 52

14 MATEMATIKA 2 53 MATEMATIKA 2 54 z α t 0 Γ2 (0,0) t 0 Γ1 z=f(,) β MATEMATIKA 2 55 MATEMATIKA 2 56

15 z t 0 Γ2 t 0 Γ1 z=f(,) α ( 0, 0) β MATEMATIKA 2 57 MATEMATIKA 2 58 MATEMATIKA 2 59 MATEMATIKA 2 60

16 MATEMATIKA 2 61 MATEMATIKA 2 62 MATEMATIKA 2 63 MATEMATIKA 2 64

17 z (,) df(,) (+d,+d) Δf(,) MATEMATIKA 2 65 MATEMATIKA 2 66 MATEMATIKA 2 67 MATEMATIKA 2 68

18 MATEMATIKA 2 69 MATEMATIKA 2 70 MATEMATIKA 2 71 MATEMATIKA 2 72

19 u z vu v MATEMATIKA 2 73 MATEMATIKA 2 74 u v u w v u z vu u t v z r s t r s t r s t MATEMATIKA 2 75 MATEMATIKA 2 76

20 MATEMATIKA 2 77 MATEMATIKA 2 78 MATEMATIKA 2 79 MATEMATIKA 2 80

21 MATEMATIKA 2 81 MATEMATIKA 2 82 MATEMATIKA 2 83 MATEMATIKA 2 84

22 MATEMATIKA 2 85 MATEMATIKA 2 86 MATEMATIKA 2 87 MATEMATIKA 2 88

23 MATEMATIKA 2 89 MATEMATIKA 2 90 MATEMATIKA 2 91 MATEMATIKA 2 92

24 MATEMATIKA 2 93 MATEMATIKA 2 94 MATEMATIKA 2 95 MATEMATIKA 2 96

25 MATEMATIKA 2 97 MATEMATIKA 2 98 MATEMATIKA 2 99 MATEMATIKA 2 100

26 MATEMATIKA 2 101 b a z c z=f(,) MATEMATIKA 2 102 d b i i-1 a z Kij c (*,*) i j z=f(,) j-1 j d b a z c z=f(,) d b z z=f(,) d MATEMATIKA 2 103 MATEMATIKA 2 104

27 MATEMATIKA 2 105 MATEMATIKA 2 106 MATEMATIKA 2 107 MATEMATIKA 2 108

28 z z=f(,) z z=f(,) d d b b Vi (a) Vj (b) MATEMATIKA 2 109 MATEMATIKA 2 110 b z (a) z=f(,) Vi d b z Vj (b) z=f(,) d MATEMATIKA 2 111 MATEMATIKA 2 112

29 b K z 0 a 0 c D z=f(,) -1 d MATEMATIKA 2 113 MATEMATIKA 2 114 a =ϕ 2 () D =ϕ 1 () (a) b d c =ψ 1() D (b) =ψ 2() MATEMATIKA 2 115 MATEMATIKA 2 116

30 2 =2- D2 1 D1 = 1 MATEMATIKA 2 117 MATEMATIKA 2 118 v Y (u,v) u Φ X Φ (u,v)=(=g(u,v),=h(u,v)) MATEMATIKA 2 119 v 1 D C Y 0 A 1 B u 1_ = 4 2-1 C' 2 _ X =1-4_ 1 2 B' -1 D' 0 A' 1 MATEMATIKA 2 120

31 v u 0 +Δv S Δv Δvr v' b R v 0 (u 0,v 0) Δu 0 a Δuru' u 0 u u 0 +Δu 0 MATEMATIKA 2 121 MATEMATIKA 2 122 MATEMATIKA 2 123 MATEMATIKA 2 124

32 MATEMATIKA 2 125 v vj Y uj Sij u j X MATEMATIKA 2 126 Rij j MATEMATIKA 2 127 MATEMATIKA 2 128

33 X dϕ ϕ ρdϕ ρ1(ϕ) dp ρ dρ ρ+dρ ρ2(ϕ) MATEMATIKA 2 129 MATEMATIKA 2 130 = - 2 ρ 1 X ρ= cosϕ Y 0 1 0 ρ=cosϕ π 2 ϕ MATEMATIKA 2 131 MATEMATIKA 2 132

34 MATEMATIKA 2 133 MATEMATIKA 2 134 B 1-3 O ρ 1 = 2sinϕ ρ=1 ϕ ϕb ϕa A 5 polarna os MATEMATIKA 2 135 MATEMATIKA 2 136

35 MATEMATIKA 2 137 MATEMATIKA 2 138 MATEMATIKA 2 139 MATEMATIKA 2 140

36 S1 S4 S3 S2 MATEMATIKA 2 141 MATEMATIKA 2 142 D S z MATEMATIKA 2 143 MATEMATIKA 2 144

37 MATEMATIKA 2 145 MATEMATIKA 2 146 z D z=g2(,) a< _ <b _ ϕ1()< _ <ϕ2() _ g1(,)< _ z <g2(,) _ b a =ϕ1() z=g1(,) =ϕ2(,) MATEMATIKA 2 147 MATEMATIKA 2 148

38 z D z=g2(,) c< _ <d _ ψ1()< _ < _ ψ2() g1(,)< _ z < _ g2(,) c z=g1(,) d =ψ1() =ψ2(,) MATEMATIKA 2 149 MATEMATIKA 2 150 MATEMATIKA 2 151 MATEMATIKA 2 152

39 MATEMATIKA 2 153 MATEMATIKA 2 154 MATEMATIKA 2 155 MATEMATIKA 2 156

40 MATEMATIKA 2 157 MATEMATIKA 2 158 MATEMATIKA 2 159 MATEMATIKA 2 160

41 MATEMATIKA 2 161 MATEMATIKA 2 162 MATEMATIKA 2 163 MATEMATIKA 2 164

42 MATEMATIKA 2 165 MATEMATIKA 2 166 MATEMATIKA 2 167 MATEMATIKA 2 168

43 MATEMATIKA 2 169 MATEMATIKA 2 170 MATEMATIKA 2 171 MATEMATIKA 2 172

44 MATEMATIKA 2 173 MATEMATIKA 2 174 MATEMATIKA 2 175 MATEMATIKA 2 176

45 Definicija 3.11. Za krivulju Γ... r (t) = (t) i + (t) j +z (t) k, t [a, b], kažemo da je jednostavna glatka krivulja ili Jordanov luk ako vrijedi: 1. r :[a, b] Γ je bijekcija, tj. surjekcija i injekcija ( t 1 t 2 r 1 (t) r 2 (t) ). 2. Derivacija r (t) postoji i neprekidna je za svako t [a, b], tj. r je klase C 1 (krivulja Γ je glatka). 3. r (t) 0, za svako t [a, b]. Točke A =( (a),(a),z(a)) i B =( (b),(b),z(b)) zovemo rubne točke krivulje Γ. Ako je A = B tj. r (a) = r (b), onda krivulju zovemo zatvorenom krivuljom. z a t b r(a) r(t) r(t) r(b) r '(t) MATEMATIKA 2 177 MATEMATIKA 2 178 r(b) r(t 1) r(t 2) Γ 1 Γ 2 Γ 3 Krivulja Γ je po dijelovima Jordanov luk (po dijelovima jednostavna glatka krivulja) ako se sastoji od Jordanovih lukova koji se nastavljaju jedan na drugi i nema presjecanja. Dakle postoji skup točaka A, T 1,T 2,...T n,b na krivulji Γ takav da su lukovi: ÂT 1, T 1 T 2,..., T n B Jordanovi lukovi. Primjer. Provjerite da li je krivulja r (t) =(a cos t) i +(a sin t) j +(bt) k, t [0, 2π] Jordanov luk. MATEMATIKA 2 180 MATEMATIKA 2 179

46 MATEMATIKA 2 181 MATEMATIKA 2 182 MATEMATIKA 2 183 MATEMATIKA 2 184

47 MATEMATIKA 2 185 MATEMATIKA 2 186 MATEMATIKA 2 187 MATEMATIKA 2 188

48 MATEMATIKA 2 189 MATEMATIKA 2 190 MATEMATIKA 2 191 MATEMATIKA 2 192

49 MATEMATIKA 2 193 MATEMATIKA 2 194 MATEMATIKA 2 195 MATEMATIKA 2 196

50 MATEMATIKA 2 197 MATEMATIKA 2 198 MATEMATIKA 2 199 MATEMATIKA 2 200

51 MATEMATIKA 2 201 MATEMATIKA 2 202 MATEMATIKA 2 203 MATEMATIKA 2 204

52 MATEMATIKA 2 205 MATEMATIKA 2 206 MATEMATIKA 2 207 MATEMATIKA 2 208

53 MATEMATIKA 2 209 MATEMATIKA 2 210 MATEMATIKA 2 211 MATEMATIKA 2 212

54 MATEMATIKA 2 213 MATEMATIKA 2 214 MATEMATIKA 2 215 MATEMATIKA 2 216

55 MATEMATIKA 2 217 MATEMATIKA 2 218 MATEMATIKA 2 219 MATEMATIKA 2 220

56 MATEMATIKA 2 221 MATEMATIKA 2 222 MATEMATIKA 2 223 MATEMATIKA 2 224

57 MATEMATIKA 2 225 MATEMATIKA 2 226 MATEMATIKA 2 227 MATEMATIKA 2 228

58 MATEMATIKA 2 229 MATEMATIKA 2 230 Ova posljednja oznaka ima smisla jer za diferencijal d elementa luka krivulje vrijedi d = k 0 ()k d ds r'(t) dt Naime, ako su 0 bliske točke na luku krivulje s radijvektorima ( 0 ) i ( 0 + ) redom, pri čemu je dovoljno malen, onda duljinu dijela krivulje (luka) izme du 0 i možemo aproksimirati sa ( 0 ) Dakle imamo ( 0 )=k ( 0 + ) ( 0 )k k 0 ( 0 )k Napomena 1. Krivuljni integral prve vrste možemo interpretirati kao masu krivulje po kojoj je gustoća promjenjiva (nehomogene tanke žice). Ako skalarno polje predstavlja linijsku gustoću žice, onda djelić žice duljine ima masu ( ). MATEMATIKA 2 231 MATEMATIKA 2 232

59 MATEMATIKA 2 233 MATEMATIKA 2 234 MATEMATIKA 2 235 MATEMATIKA 2 236

60 MATEMATIKA 2 237 MATEMATIKA 2 238 Pritom u slučaju ravninske krivulje R 2 dobivamo 0, pajetada Z Z d = ( ()) p1+ 0 () 2 d Primjer 2. Izračunajte R d ako je ( ) = 3 i krivulja koja je presjek ploha = 2 + 2 =1 ( 0) z 1 = 2 + 2 =1 ¾ ½ =cos = 2 + 2 =1= 1 =sin = cos = = sin =1 [0] MATEMATIKA 2 240 MATEMATIKA 2 239

61 Y (0,1) =-+1 O =- 2 +1 (1,0) X MATEMATIKA 2 241 MATEMATIKA 2 242 r(b) 2 Ako je krivulja po dijelovima glatka, njezine sastavne glatke krivulje 1 dopuštaju po dvije orijentacije. r(t1) Reći ćemo da je orijentirana čim su 1 sukladno orijentirane, tj. kraj od jest početak od +1, =1 1. 1 r(a) Ako je zatvorena po dijelovima glatka krivulja imamo negativnu i pozitivnu orijentaciju, tj. orijentaciju sukladnu gibanju satne kazaljke i orijentaciju suprotnu gibanju satne kazaljke. Orijentiranu krivulju označavat ćemo sa. U posebnom slučaju zatvorene ravninske krivulje, će označavati njezinu negativnu orijentaciju, a pozitivnu. MATEMATIKA 2 244 MATEMATIKA 2 243

62 MATEMATIKA 2 245 MATEMATIKA 2 246 MATEMATIKA 2 247 MATEMATIKA 2 248

63 MATEMATIKA 2 249 MATEMATIKA 2 250 Primjer 6. Izračunajmo cirkulaciju ravninskoga vektorskog polja ( ) ={ } ) po središnjoj kružnici polumjera (orijentiranoj po volji); ) po rubu pozitivno orijentiranog trokuta s vrhovima =(2 0), =(1 1) i =(0 0). c O = c (a) 1 O 3 (1,1) 1 (b) 2 1 (2,0) ) Ovdje je zadana parametrizacijom = cos, = sin, [0 2], paje = Z 2 0 I = I + = [ cos ( sin )+ cos sin cos ] = Z 2 2 (cos cos 2 )( sin ) = =0; 0 MATEMATIKA 2 252 MATEMATIKA 2 251

64 MATEMATIKA 2 253 MATEMATIKA 2 254 MATEMATIKA 2 255 MATEMATIKA 2 256

65 Primjer 7. Izračunajmo cirkulaciju I 2( 2 + 2 ) +( + ) 2 po pozitivno orijentiranom rubu 4 trokuta 4, =(11), =(22), =(13). Y 3 2 C 2 B 1 O 3 A 1 1 2 X Primijenit ćemo Greenovu formulu na ( ) =2( 2 + 2 ) i ( ) =( + ) 2 I 2( 2 + 2 ) +( + ) 2 = ZZ μ ( ) ( ) = ) ZZ Z 2 μz +4 = (2 2) =2 ( ) = = 4 3 1 MATEMATIKA 2 258 MATEMATIKA 2 257 MATEMATIKA 2 259 MATEMATIKA 2 260

66 MATEMATIKA 2 261 MATEMATIKA 2 262 MATEMATIKA 2 263 MATEMATIKA 2 264

67 MATEMATIKA 2 265 MATEMATIKA 2 266 MATEMATIKA 2 267 MATEMATIKA 2 268

68 MATEMATIKA 2 269 MATEMATIKA 2 270 MATEMATIKA 2 271 MATEMATIKA 2 272

69 MATEMATIKA 2 273 MATEMATIKA 2 274 MATEMATIKA 2 275 MATEMATIKA 2 276

70 MATEMATIKA 2 277 MATEMATIKA 2 278 S 3 S 1 S 2 S 1 S 2 S 4 S 3 MATEMATIKA 2 279 MATEMATIKA 2 280

71 Z 1 X 1 Y MATEMATIKA 2 281 MATEMATIKA 2 282 MATEMATIKA 2 283 MATEMATIKA 2 284

72 MATEMATIKA 2 285 MATEMATIKA 2 286 2.slika Primjer neorijentabilne plohe je Möbiusova vrpca. Promatrajmo pravokutnik pa mu zalijepimo stranicu sa stranicom itotakodasmo "preokrenuli" i identificirali s i s. Dobitćemo plohu, tzv. Möbiusovu vrpcu. Pokažimo da Möbiusova vrpca nije orijentabilna ploha! Odaberimobilokojunjezinutočku 0 i u njoj normalni vektor 0 pa krenimo kroz njezine normalne vektore u kontinuirani obilazak po naznačenoj (crtkanoj) jednostavno zatvorenoj krivulji. Vrativši se u polaznu točku 0 pojavit će se normalni vektor 0. Primijetimo da pritom nismo napuštali odabranu stranu te plohe (tj. nismo prelazili preko ruba),anakraju-početku smo se našli na drugoj strani. To, zapravo, znači da Möbiusova vrpca ima samo jednu stranu. (a) (b) MATEMATIKA 2 288 MATEMATIKA 2 287

73 MATEMATIKA 2 289 MATEMATIKA 2 290 MATEMATIKA 2 291 MATEMATIKA 2 292

74 X a Z O a Y + - (n 0) 2 S 2 =S 2 + S 1 = S 1 (n 0) 1 MATEMATIKA 2 293 MATEMATIKA 2 294 MATEMATIKA 2 295 MATEMATIKA 2 296

75 MATEMATIKA 2 297 MATEMATIKA 2 298 MATEMATIKA 2 299 MATEMATIKA 2 300

76 MATEMATIKA 2 301 MATEMATIKA 2 302 MATEMATIKA 2 303 MATEMATIKA 2 304

77 MATEMATIKA 2 305 MATEMATIKA 2 306 MATEMATIKA 2 307 MATEMATIKA 2 308

78 MATEMATIKA 2 309 MATEMATIKA 2 310 MATEMATIKA 2 311 MATEMATIKA 2 312

79 MATEMATIKA 2 313 MATEMATIKA 2 314 MATEMATIKA 2 315 MATEMATIKA 2 316

80 MATEMATIKA 2 317 MATEMATIKA 2 318 MATEMATIKA 2 319 MATEMATIKA 2 320

81 MATEMATIKA 2 321 MATEMATIKA 2 322 MATEMATIKA 2 323 MATEMATIKA 2 324

82 2-4 -2 2 4-2 MATEMATIKA 2 325 MATEMATIKA 2 326 MATEMATIKA 2 327 MATEMATIKA 2 328

83 0 0 t 0 k>0 k<0 0 t MATEMATIKA 2 329 MATEMATIKA 2 330 0 0<K, k>0 t 0 0>K, k>0 t MATEMATIKA 2 331 MATEMATIKA 2 332

84 MATEMATIKA 2 333 MATEMATIKA 2 334 MATEMATIKA 2 335 MATEMATIKA 2 336

85 MATEMATIKA 2 337 MATEMATIKA 2 338 MATEMATIKA 2 339 MATEMATIKA 2 340

86 MATEMATIKA 2 341 MATEMATIKA 2 342 MATEMATIKA 2 343 MATEMATIKA 2 344

87 MATEMATIKA 2 345 MATEMATIKA 2 346 MATEMATIKA 2 347 MATEMATIKA 2 348

88 10 f1 2 0 1 f0 f-5 f-5 f1 MATEMATIKA 2 349 MATEMATIKA 2 350 MATEMATIKA 2 351 MATEMATIKA 2 352

89 MATEMATIKA 2 353 MATEMATIKA 2 354 MATEMATIKA 2 355 MATEMATIKA 2 356

90 MATEMATIKA 2 357 MATEMATIKA 2 358 MATEMATIKA 2 359 MATEMATIKA 2 360

91 MATEMATIKA 2 361 MATEMATIKA 2 362 MATEMATIKA 2 363 MATEMATIKA 2 364

92 MATEMATIKA 2 365 MATEMATIKA 2 366 MATEMATIKA 2 367 MATEMATIKA 2 368

93 MATEMATIKA 2 369 MATEMATIKA 2 370 MATEMATIKA 2 371 MATEMATIKA 2 372

94 MATEMATIKA 2 373 MATEMATIKA 2 374 MATEMATIKA 2 375 MATEMATIKA 2 376

95 MATEMATIKA 2 377 MATEMATIKA 2 378 MATEMATIKA 2 379 MATEMATIKA 2 380

96 MATEMATIKA 2 381 MATEMATIKA 2 382 MATEMATIKA 2 383 MATEMATIKA 2 384

97 MATEMATIKA 2 385 MATEMATIKA 2 386 MATEMATIKA 2 387 MATEMATIKA 2 388

98 MATEMATIKA 2 389 MATEMATIKA 2 390 MATEMATIKA 2 391 MATEMATIKA 2 392

99 MATEMATIKA 2 393 MATEMATIKA 2 394 MATEMATIKA 2 395 MATEMATIKA 2 396

100 MATEMATIKA 2 397 MATEMATIKA 2 398 MATEMATIKA 2 399 MATEMATIKA 2 400

101 MATEMATIKA 2 401 MATEMATIKA 2 402 MATEMATIKA 2 403 MATEMATIKA 2 404

102 MATEMATIKA 2 405 MATEMATIKA 2 406 MATEMATIKA 2 407 MATEMATIKA 2 408

103 MATEMATIKA 2 409 MATEMATIKA 2 410 MATEMATIKA 2 411 MATEMATIKA 2 412

104 MATEMATIKA 2 413 MATEMATIKA 2 414 MATEMATIKA 2 415 MATEMATIKA 2 416

105 MATEMATIKA 2 417 MATEMATIKA 2 418 MATEMATIKA 2 419 MATEMATIKA 2 420

106 MATEMATIKA 2 421 MATEMATIKA 2 422 MATEMATIKA 2 423 MATEMATIKA 2 424

107 MATEMATIKA 2 425 MATEMATIKA 2 426 MATEMATIKA 2 427 MATEMATIKA 2 428

108 3 1 0 0.5 1 3 0 1 0.25 0.5 0.75 1 MATEMATIKA 2 429 MATEMATIKA 2 430 2 T2 1 0 T0 h h hg(0,0) T1 hg(1,1) 0 0 1 2 MATEMATIKA 2 431