6. Redovi potencija. a 0 + a 1 (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) a n (z z 0 ) n +, (6.0.1)

Transcript

1 REDOVI POTENCIJA 3 6. Redovi potencija Rekli smo da je funkcija f analitička na nekom skupu R ako ona ima derivaciju u svakoj točki R i ako je ta derivacija neprekidna funkcija. Tipične primjere analitičkih funkcija dobivamo pomoću redova potencija. Red potencija je poopćenje polinoma i ima oblik a + a (z z ) + a 2 (z z ) a n (z z ) n +, (6..) gdje su a, a,...,a n C koeficijenti, z zadani kompleksni broj, a z kompleksna varijabla. Kraća oznaka za red potencija je Za red potencija a n (z z ) n. n= a + 2a 2 (z z ) + + na n (z z ) n +, (6..2) kažemo da je dobiven iz red potencija (6..) deriviranjem član po član, a red a (z z ) + a 2 (z z ) a n n + (z z ) n+ +, (6..3) je dobiven iz (6..) integriranjem član po član. Red kompleksnih brojeva c + c + + c n + konvergira, ako konvergira njegov niz parcijalnih suma s = c s = c + c. s n = c + + c n,

2 6. REDOVI POTENCIJA REDOVI POTENCIJA 32 tj. ako postoji s = lim n s n. Ako postoji, limes tih parcijalnih suma s, zove se suma reda. Očito red (6..) konvergira za z = z i suma mu je a, pa skup svih kompleksnih brojeva za koje red konvergira nije prazan. Nas zanima koliki je radijus najvećeg kruga oko z takav da red unutar tog kruga još uvijek konvergira. Taj radijus zovemo radijus konvergencije reda (6..). Označimo taj krug unutar kojeg red konvergira s K(z, r) = {z C z z < r}. Može se pokazati da redovi (6..), (6..2) i (6..3) imaju isti radijus konvergencije. Za redove potencija vrijedi sljedeći teorem. Teorem 6... Red potencija a + a (z z ) + a 2 (z z ) a n (z z ) n +, s radijusom konvergencije r definira analitičku funkciju f na krugu K(z, r). Nadalje je f (z) = a + 2a 2 (z z ) + + na n (z z ) n +, za svako z K(z, r). Ovaj teorem opravdava da ćemo na analitičke funkcije moći gledati kao na redove potencija.

3 7. KOMPLEKSNI INTEGRAL KOMPLEKSNI INTEGRAL Kompleksni integral 7.. Definicija Kompleksni integral definiramo na sličan način kao što smo to radili s krivuljnim integralima realnih funkcija. Prvo moramo parametrizirati krivulju, a zatim integrirati po parametru. Za krivulju kažemo da je jednostavna glatka krivulj ili Jordanov luk, ako je dana parametrizacija x = ϕ(t), y = ψ(t), t [a, b] ili u kompleksnom obliku z = ζ(t) = ϕ(t) + iψ(t), t [a, b], koja inducira orijentaciju A = (ϕ(a), ψ(a)), B = (ϕ(b), ψ(b)), tako da vrijedi (a) ϕ i ψ imaju neprekidnu prvu derivaciju na [a, b], (b) preslikavanje t (ϕ(t), ψ(t)) je bijekcija a [a, b] na, (c) ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) > za svako t [a, b], što je ekvivalentno s ζ (t) za svako t [a, b]. Neka je f kompleksna funkcija definirana na krivulji. Tada je f(ζ(t)) definirana na segmentu [a, b]. Ako funkcija f(ζ(t)) ζ (t) ima konačan integral na [a, b], onda je f integrabilna na i pišemo dz = b a f(ζ(t)) ζ (t) dt. (7..) Integral (7..) naziva se krivuljni integral funkcije f duž orijentirane krivulje. Ako izaberemo neku drugu glatku parametrizaciju za krivulju, onda možemo zamijeniti varijablu u integralu (7..), ali se rezultat neće promijeniti, što znači da integral ne ovisi o parametrizaciji.

4 7. KOMPLEKSNI INTEGRAL KOMPLEKSNI INTEGRAL 34 Ako je po dijelovima glatka krivulja dobivena nastavljanjem Jordanovih lukova, 2,..., n (lukovi su spojeni sljedeći na prethodnog), onda je dz = dz + + dz. n Tako definirani integral ima uobičajena svojstva [α + βg(z)] dz = α dz + β g(z) dz, α, β C. Primjer 7... Neka je z = x + iy kompleksan broj i neka je r > realan broj. Neka je pozitivno orijentirana kružnica (Obratno od kazaljke na satu) sa središtem u z radijusa r. Glatka parametrizacija te kružnise dana je s t [, 2π, odnosno x = x + r cos t y = y + r sin t, ζ(t) = (x + r cost) + i(y + r sin t) = z + re it, t [, 2π. Tada je ζ (t) = ire it, pa funkciju f definiranu na ( je zapravo kružnica z z = r, ali zbog kratkoće ćemo pisati samo sve do finalne formule) možemo integrirati kao Stavimo sad kao funkciju gdje je m cijeli broj. Tada je dz = 2π f(z + re it )ire it dt. = (z z ) m, 2π (z z ) m dz = (z + re it z ) m ire it dt = 2π r m e imt ire it dt = ir m+ 2π e i(m+)t dt. Sada razlikujemo dvije situacije. Ako je m =, onda se ne radi o eksponencijalnoj funkciji, nego je naš integral jednak 2π (z z ) dz = i dt = it 2π = 2πi.

5 7. KOMPLEKSNI INTEGRAL KOMPLEKSNI INTEGRAL 35 Ako je m, onda je (z z ) m dz = ir m+ 2π = rm+ (m + ) e i(m+)t dt = ir m+ i(m + ) ei(m+)t [ e i(m+)2π ] 2π = rm+ [cos(i(m + )2π) + i sin(i(m + )2π) ] =. (m + ) Prema tome, vrijedi z z =r (z z ) m dz = { 2πi za m =, za m. Primjer Nadimo kompleksni integral funkcije = Re(z), (a) duž pravca koji spaja točke i + i, (b) duž pravaca od do, pa zatim po pravcu od do + i. (a) Ovaj pravac je y = x, pa je njegova parametrizacija x = t y = t, s tim da je t [, ], odnosno ζ(t) = t + it, t [, ]. Onda je ζ (t) = + i, pa imamo Rez dz = xdz = t( + i) dt = ( + i) t2 2 = ( + i). 2 (b) Parametrizirajmo po dijelovima ovu krivulju. Za pravac od točke do (dio x osi), parametrizacija je x = t y =,

6 7. KOMPLEKSNI INTEGRAL KOMPLEKSNI INTEGRAL 36 s tim da je t [, ], odnosno Onda je pa po tom dijelu krivulje je ζ(t) = t, t [, ]. Rez dz = ζ (t) =, t dt = t2 2 = 2. Za pravac od točke do + (pravac paralelan s y osi), parametrizacija s tim da je t [, ], odnosno Onda je pa po tom dijelu krivulje Sada je x = y = t, ζ(t) = + it, t [, ]. 2 Re z dz = ζ (t) = i, i dt = it = i. Rez dz = Re z dz + Re z dz = 2 + i. 2 Primijetimo da funkcija koju smo integrirali nije analitička i da integral ovisi o putu Cauchyjeva integralna formula. Cauchyjev teorem U prošlom poglavlju naučili smo da vrijedi z z =r (z z ) m dz = { 2πi za m =, za m, gdje je z C i m Z. Uočimo fundamentalnu ulogu tog integrala za red potencija = a + a (z z ) + a 2 (z z ) a n (z z ) n +,

7 7. KOMPLEKSNI INTEGRAL KOMPLEKSNI INTEGRAL 37 koji na krugu K(z, r), gedje je r radijus konvergencije tog reda, definira jednu analitičku funkciju. Prisjetimo se, ne samo da je f analitička u tom krugu, već su to i sve njezine derivacije, pa lagano izlazi da je odnosno f (n) (z ) = a n n!, a n = f(n) (z ), n! s tim da je a = f(z ). Kao što smo već rekli, takav red potencija može se integrirati član po član, pa vrijedi dz = a dz + a Odatle odmah slijedi sljedeći zaključak. (z z ) dz + + a n (z z ) n dz + + Ako je f analitička, onda je z z =r dz =. pa je Nadalje, podijelimo analitičku funkciju f faktorom z z. tada dobivamo dz = a z z z z =r Odatle odmah slijedi da je dz + a z z dz = a z z dz + + a n (z z ) n dz + +, z z dz = 2πia = 2πif(z ). Ako je f analitička, onda je f(z ) = 2πi z z =r z z dz.

8 7. KOMPLEKSNI INTEGRAL KOMPLEKSNI INTEGRAL 38 Na sličan način dobiva se formula za više derivacije Ako je f analitička, onda je pri čemu je n N. f (n) (z ) = n! 2πi z z =r dz, (z z ) n+ Može se pokazati da svi rezultati ovog poglavlja vrijede ako kružnicu zamijenima s konturom. Kontura je zatvorena, po dijelovima glatka krivulja koja se ne presijeca. Izrecimo pripadne teoreme. Ako želimo naglasiti da se radi o integralu po konturi, onda umjesto simbola pišemo. Teorem (Cauchyjev teorem) Ako je funkcija f analitička na Ω C i ako je konture koja zajedno sa svojim unutarnjim područjem leži u Ω, onda je dz =, Cauchyjev teorem se može i poopćiti i na područje s rupama. Naime, područje jednostruko povezano ako se svaka zatvorena krivulja može stisnuti u točku. U protivnom je područje višestruko pozevano. Recimo zatvorana krivulja koja obuhvaća rupu ne može se stegnuti u točku. Teorem (Cauchyjev tm. za višestruko povezana područja) Neka su,,... n C konture koje imaju ova svojstva:. Krivulje se ne sijeku, tj k =, k l = za sve k, l, 2.,..., n leže u unutarnjem području krivulje, 3. za k l krivulja k leži u vanjskom području krivulje l (tj. krivulje k ne mogu ležati jedna unutar druge). 2 D n

9 7. KOMPLEKSNI INTEGRAL KOMPLEKSNI INTEGRAL 39 Neka je D skup koji dobijemo tako da iz izbacimo unutarnja područja od k. Ako je f analitička funkcija na d i ako su sve konture pozitivno orijentirane, onda vrijedi dz = dz + + dz. n Teorem (Cauchyjeva integralna formula) Neka je f analitička funkcija na Ω C. Neka je z Ω i neka je pozitivno orijenatirana kontura unutar Ω u čijem unutarnjem području leži točka z. Tada vrijedi f(z ) = 2πi z z dz. Nadalje, f (n) (z ) = n! 2πi dz. (z z ) n+ Primjer Izračunajte (a) (b) (c) (d) (e) ()(z 2) ()(z 2) dz gdje je kružnica radijusa 2 sa središtem u točki 4, dz gdje je kružnica radijusa 2 sa središtem u točki, dz gdje je kružnica radijusa 2 sa središtem u točki, dz gdje je kružnica radijusa 3 sa središtem u točki, e 2z dz gdje je kružnica radijusa 3 sa središtem u točki. (z + ) 4 (a) Uočimo da je brojnik = analitička funkcija, i da je jedini singularitet funkcije točka. Točka ne leži unutar, pa je funkcija analitička unutar i za njen integral vrijedi Cauchyjev teorem dz =.

10 7. KOMPLEKSNI INTEGRAL KOMPLEKSNI INTEGRAL 4 (b) Ponovno je = analitička funkcija, ali za razliku od (a) se sada jedini singularitet funkcije, a to je nalazi unutar zadane kružnice, pa direktno primjenjujemo Cauchyjevu integralnu formulu dz = 2πif() = 2πi(sin(π) + cos(π)) = 2πi. (c) Podintegralna funkcija ima dva singulariteta, i 2, ali se samo nalazi unutar. Prema tome analitičku funkciju (unutar uzimamo pa je ()(z 2) = sin(πz2 ) + cos(πz 2 ), z 2 sin(π) + cos(π) dz = 2πif() = 2πi 2 = 2πi. (d) Podintegralna funkcija ima dva singulariteta, i 2, i oba se nalaze unutar. Da bismo mogli primijeniti Cauchyjevu integralnu formulu, moramo rastaviti na dvije funkcije, takve da svaka ima po jedan singularitet unutar. Dakle, rastavimo ()(z 2) = A + B z 2 na parcijalne razlomke. Množenjem prethodne jednakosti s ()(z 2) dobivamo = (A + B)z + ( 2A B). Odavde se izjednačavanjem koeficijenata uz iste potencije lako izračuna da je A =, B =, pa je ()(z 2) = + z 2. Prema tome, imamo dz ()(z 2) [ = sin(πz2 ) + cos(πz 2 ) + sin(πz2 ) + cos(πz 2 ] ) dz z 2 = dz + z 2 = (direktna primjena Cauchyjeve integralne formule) = 2πi(sin(π) + cos(π)) + 2πi(sin(4π) + cos(4π)) = 4πi. dz

11 7. KOMPLEKSNI INTEGRAL KOMPLEKSNI INTEGRAL 4 (e) Funkcija = e 2z je analitička, a jedini singularitet singularitet funkcije i to je nalazi unutar zadane kružnice, pa direktno primjenjujemo (z + ) 4 Cauchyjevu integralnu formulu s derivacijama. Pritom je n = 3, i f (3) (z) = 8e 2z, pa je e 2z 2πi dz = (z + ) 4 3! f(3) ( ) = 2πi 8e 2 = 8 3! 3 e 2 πi Obrat Cauchyjevog teorema Ne postoji potpuni obrat Cauchyjevog teorema potreban je dodatni uvjet, a to je neprekidnost funkcije f. Teorem (Morera) Neka je Ω C i f : Ω C neprekidna funkcija, a Ω područje bez rupa. Ako je integral funkcije f po svakoj konturi jednak nula, onda je f analitička na Ω.