UNIVERZITET U SARAJEVU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO

UNIVERZITET U SARAJEVU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Srjevo, 5... I S P I T N A P I T A N J A ZA USMENI (ZAVRŠNI ) ISPIT I ZA PISMENI DIO DRUGOG PARCIJALNOG ISPITA IZ TEORIJSKIH OSNOVA PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA (u kdemskoj /. godii) U skldu s Nstvim progrmom i prvi provjere zj iz kurs INŽENJERSKA MATEMATIKA (IM), svki studet prve godie studij koji je tokom trjj prvog semestr ostvrio ili više bodov pristup usmeom zvršom ispitu (UZI / ZUI); ovj ispit sstoji se iz diskusije zdtk s prcijlih /itegrlih ispit, domćih zdć (DZ) i odgovor jedostv i jvžij pitj koj se odose teme kurs IM (osove defiicije i iskzi odoso formulcije i izvođeje/dokzivje jvžijih svojstv i/ili teorem), tj. odgovor sljedeć PITANJA: I. TEORIJSKE OSNOVE ZA PRVI PARCIJALNI ISPIT IZ IM. Pojmovi (logičkog) iskz i predikt. Osove logičke opercije (osovi simboli mtemtičke logike) i jihov osov svojstv, kvtifiktori i iskze (Booleove) fukcije. Iterpretcije logike iskz (ko rečeice ekog govorog jezik, relejo-prekidčk iterpretcij, skupov iterpretcij i dr.).. Pojmovi skup, bire relcije i preslikvj /fukcije (Objsiti pojmove: skup, elemeti skup, relcij; defiirti pojmove: dobro defiir/određe skup, relcij ikluzije, podskup skup, jedkost skupov, prtitivi skup (bule), osove opercije s skupovim, uređe pr, Dekrtov proizvod skupov, bir relcij, relcij ekvivlecije, relcij poretk/uređj, uređe skup, miort i mjort, jmji i jveći elemet skup, miimli /početi i mksimli elemet skup, ogriče skup, doj međ/ifimum i gorj međ/supremum skup, preslikvje/fukcij, bir opercij, restrikcij/sužeje i ekstezij/prošireje fukcije, surjekcij, ijekcij i bijekcij.).. Ekvipoteti/ekvivleti skupovi, krdili broj skup. Pojmovi kočog, beskočog, prebrojivog, diskretog i eprebrojivog skup. (Defiirti sve te pojmove i vesti odgovrjuće primjere.). Slože fukcij i iverz fukcij (Fomulisti defiicije i osov svojstv tih pojmov.). 5. Skup (i polje) relih brojev R i lgebrske opercije s relim brojevim (Defiirti polje relih brojev, popisujući glv svojstv relih brojev ko ksiome jede mtemtičke strukture, ztim objsiti kko se iz tih ksiom mogu izvesti sv uobičje prvil z rčuje s relim brojevim pozt iz elemetre mtemtike. Pri tome vesti ekoliko tih prvil i jedo od jih izvesti; pr. osovu ksiom relih brojev dokzti d je ( ) = z svki iz R ili ustoviti d je <.).

6. Apsolut vrijedost relog broj i trougo ejedkost (Defiirti pojm psolute vrijedosti relog broj, ztim vesti je osov svojstv i dokzti ejedkost trougl.). Pokzti kko se u okviru ksiomtski uvedeog skup R relih brojev mogu uvesti jegovi itkuti podskupovi N prirodih brojev, Z cijelih brojev i Q rciolih brojev. Pri tome objsiti kko se lko dokže d z skup N vrijede Peove ksiome (pomoću kojih je Peo do potpuu krkterizciju skup prirodih brojev). Defiirti proširei prostor/skup relih brojev R. 7. Posljedice ksiome eprekidosti (Objsiti zčj te ksiome i formulisti teoremu o supremumu, koj je e smo posljedic, već i jed od ekvivlet te ksiome, ztim formulisti jee posljedice: Arhimedovu ksiomu i Ctorovu ksiomu.). Metod idukcije, stepei i Newtoov biom formul (Formulisti pricip (potpue) mtemtičke idukcije i objsiti kko o slijedi iz (Peove) ksiome idukcije, ztim ilustrovti pricip defiicije idukcijom primjeru defiirj fukcije fktorijel, te defiirti pojmove -tog stepe relog broj ( N ), biomog i triomog koeficijet. Nvesti osov svojstv biomih koeficijet i izvesti Psclovu jedkost i Newtoovu biomu formulu.). 8. Polje kompleksih brojev C. (Defiirti pojm skup C kompleksih brojev i komplekse brojeve /u obliku uređeih prov/, ztim provjeriti d je (C, +, ) polje i d je (R', +, ), R' = (, ): R, jegovo potpolje koje je izomorfo polju relih brojev R, te gdje je { } defiirti pojmove: imgiri brojevi, čisto imgiri brojevi, imgir jediic, lgebrski /stdrdi/ oblik kompleksog broj, reli i imgiri dio kompleksog broj). Kojugiro /spreguti/ kompleksi brojevi i jihov svojstv (Formulisti defiiciju tkvih brojev i jihov svojstv.). 9. Modul kompleksog broj i trougo ejedkost. Kompleks ili Gussov rv. Argumet, trigoometrijski i ekspoecijli oblik kompleksog broj. Eulerov formul. Nvesti osov svojstv modul i rgumet kompleksog broj, te objsiti kko se određuje glv vrijedost rgumet kompleksog broj (uz upotrebu i odgovrjuće formule). Cuch-Schwrzov ejedkost z rele i komplekse brojeve.. Moivreov formul i formule z «brzo-brzo» možeje, dijeljeje i stepeovje kompleksih brojev (Izvesti te formule.). Korjeovje kompleksih brojev (Rješvjući biomu jedčiu z =,( N, C), izvesti obrzc z korjeovje kompleksih brojev).. Okoli i ε - okoli tčke u R i u R, tčke gomilj skup A ( R), ogričei i eogričei itervli.pojmovi kočog i beskočog (brojog/umeričkog,fukciolog) iz, stciorog, Fiboccijevog, hrmoijskog, ritmetičkog i geometrijskog iz.. Pojm i osov svojstv griče vrijedosti iz (Defiirti pojmove es, kočog es, beskočog es iz, ul- iz, kovergetog iz i divergetog iz /u užem i širem smislu/, te vesti osov svojstv ul-izov i es iz /osov svojstv kovergetih i određeo divergetih brojih izov /, ztim dokzti teoremu o «uklješteju» i br jedo od ostlih osovih svojstv es izov.). Podizovi i tčke gomilj iz (Defiirti pojmove podiz, tčke gomilj iz, dojeg i gorjeg es iz, te vesti jedu krkterizciju tčke gomilj i ostl je osov svojstv ).. Bolzo-Weierstrssov teorem z skupove i izove (Formulisti te teoreme i objsiti jihov zčj.). Cuchjevi izovi i Cuchjev pricip kovergecije z izove (Defiirti pojm Cuchjevog iz, formulisti Cuchjev opšti kriterij kovergecije z izove i objsiti jegov zčj.). Mootoi izovi i (Eulerov) broj e (Defiirti pojm mootoog iz i formulisti teoremu o kovergeciji mootoih izov, te formulisti i dokzti Beroullijevu ejedkost, dokzti d iz + kovergir i defiirti broj e, ztim objsiti osov svojstv i zčj tog broj.). Eulerov kostt.

. Pojmovi (beskočog) red (u R i u opštem ormirom vektorskom prostoru), prcijle sume red, kovergecije red (sumbilosti iz), divergecije red i osttk red. Vez između kovergecije red i (kovergecije) jegovog osttk. 5. Potreb uslov z kovergeciju red. Cuchjev opšti kriterij z kovergeciju redov. Zbir i rzlik redov. Geometrijski, hrmoijski i opšti hrmoijski (hiperhrmoijski) red. Diskutovti kovergeciju geometrijskog red. 6. Redovi s eegtivim človim (pozitivi redovi). Osovi kriteriji z ispitivje kovergecije pozitivih redov (Formulisti poredbee kriterije, D' Alembertov, Cuchjev korijei, Rbeov, Gussov i itegrli kriterij, te jed od tih kriterij i dokzti.). 7. Redovi s človim s promjeljivim zkom (Pojm tkvog red i Abelove sumcioe formule i formulcij osovih kriterij z ispitivje kovergecije tkvih redov.). Altertivi redovi, Leibizov kriterij i psolut kovergecij redov (Defiirti pojmove ltertivog red, psolute i uslove kovergecije red, te formulisti i dokzti Leibizov kriterij kovergecije i teoremu o psoluto kovergetim redovim.). 8. Beskoči proizvodi (Defiirti pojmove beskočog proizvod, jegove kovergecije i divergecije i objsiti vezu između beskočih proizvod i redov, te vesti i dokzti potreb uslov kovergecije beskočih proizvod i objsiti kko se vrši ispitivje jihove kovergrecije /običe, psolute i uslove/. Redovi s kompleksim človim (Defiirti pojmove tkvog red, jegove kovergecije i psolute kovergecije, te objsiti kko se vrši ispitivje kovergecije tkvih redov.). 9. Opšti pojmovi o reloj fukciji jede rele promjeljive (defiicij pojm rele /jedozče/ fukcije i višezče fukcije jede rele promjeljive, (prirodi) dome, kodome, grfik, zdvje i opšt svojstv, ogričee/eogričee fukcije, pre/epre fukcije, periodiče fukcije, mootoe fukcije, egzistecij iverze fukcije i kostrukcij jeog grfik ).. Osove elemetre fukcije (Nvesti klse osovih elemetrih fukcij, te objsiti kko se opiso /ituitivo/ defiirju te fukcije i crtju jihovi grfici i koj su im osov svojstv, ztim precizo /strogo/ defiirti pojm ekspoecijle fukcije.).. Pojm i osov svojstv griče vrijedosti (es) rele fukcije jede rele promjeljive. (Defiirti pojm /kočog i beskočog/ es fukcije, ztim formulisti teoreme o osovim svojsvim es i dokzti teoremu o jedisveosti es i teoremu o esu složee fukcije, te dekvtim primjerim objsiti zčj teoreme o esu složee fukcije.). Egzistecij es z mootoe fukcije (formulisti odgovrjuću teoremu). Pozti esi (vesti ih, uz izvođeje relcij z zčje griče vrijedosti: si + = e, = ). ± Tehike rčuj es.. Asimptotske ozke. Primje simptotskih rzvoj z izrčuvje es (Defiirti simptotske ozke/simbole: o, O, ~ i vesti jihov osov svojstv, te objsiti primjeu simptotskih rzvoj z izrčuvje es.). Asimptote fukcije/krive: horizotl, vertikl i kos simptot.

II. TEORIJSKE OSNOVE ZA DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ IM 5. Pojmovi eprekidosti, tčk prekid i sigulritet rele fukcije jede rele promjeljive. Klsifikcij tčk prekid i sigulritet fukcije. 6. Lokl i globl svojstv eprekidih fukcij (Formulisti t svojstv i izvesti jedo loklo i jedo globlo svojstvo eprekidih fukcij.). Neprekidost iverze fukcije. 7. Elemetre fukcije i jihov eprekidost (Defiirti pojm elemetre fukcije i vesti primjere elemetre fukcije i fukcije koj ije elemetr, te objsiti zšto je svk elemetr fukcij eprekid gdje je i defiir.). 8. Pojm komplekse fukcije. Osove elemetre komplekse fukcije. 9. Pojmovi izvod (derivcije) i jegov geometrijsk i fizikl iterpretcij. Jedostri i beskoči izvodi.. Pojmovi diferecijbilosti i diferecijl rele fukcije jede rele promjeljive (Formulcij i dokz teoreme o kočom prirštju fukcije - izvođeje formule o rzlgju. Formulcije defiicij pojmov diferecijbilosti i diferecijl fukcije. Formulcij i dokz teoreme o potrebom i dovoljom uslovu diferecijbilosti fukcije.). Svojstv diferecijbilih fukcij.. Prvil (formlizm) derivirj (diferecirj), tehik diferecirj (Formulcij osovih prvil diferecirj. Formulcije i izvođeje prvil/formul z izvod iverze fukcije i izvod složee fukcije. Tbliči izvodi i objšjeje tehike diferecirj.).. Geometrijsk iterpretcij diferecijl. Diferecijl složee fukcije (Formulcije teorem o diferecijlu složee fukcije, o približom određivju vrijedosti fukcije i o jboljoj lokloj proksimciji fukcije. Objšjejeje ivrijtosti forme diferecijl prvog red.). Izvodi i diferecijli višeg red (Formulcije defiicij izvod i diferecijl drugog ili višeg red, te pojmov diferecijbilosti put i beskočo /put/ u tčki i skupu. Obrzložiti čijeicu d svojstvo ivrijtosti forme diferecijl drugog ili višeg red u opštem slučju ije očuvo.).. Osove teoreme diferecijlog rču (Formulcije i geometrijske iterpretcije tih teorem, te dokz dviju od jih i vođeje osovih posljedic Lgrgeove teoreme).. L' Hospitlovo prvilo, Tlorov i Mcluriov formul (Formulcije teorem o L' Hospitlovom prvilu i Tlorovovoj formuli s ostcim u Lgrgeovom, Chuchjevom i Peovom obliku. Izvođeje Tlorove formule s jedim od vedeih osttk. Objšjeje upotrebe L' Hospitlovog prvil, Tlorove i Mcluriove formule. Nvesti Mcluriove formule z eke vže elemetre fukcije.). 5. Pojmovi loklog i globlog (totlog ili psolutog) ekstrem, koveksosti/kokvosti i prevojih tčk relih fukcij jede rele promjeljive (Formulcije defiicij tih pojmov i objšjeje postupk jihovog ispitivj/određivj s i bez primjee izvod prvog i višeg red.). 6. Grfičko prikzivje fukcij postupk ispitivj tok i crtje grfik fukcij (s ili bez primjee izvod prvog i višeg red). Ugo (prelom) tčk, povrt tčk (šiljk) i dodiri elemeti krive. 7. Pojmovi primitive/prvobite fukcije (tče primitive fukcije i primitive fukcije) i eodređeog itegrl (Formulcije defiicij ovih pojmov i teorem o tčoj primitivoj fukciji i primitivoj fukciji.). 8. Osov svojstv eodređeog itegrl (formulcije i izvođeje tih svojstv.) i osove metode izrčuvj eodređeog itegrl. 9. Neposredo itegrirje (osov prvil itegrirj, tblic itegrl, itegrirje prethodim svođejem oblik diferecijl).

. Metod zmjee promjeljive u eodređeom itegrlu (Opisti tu metodu, uz vođeje dovoljih uslov pod kojim se može primijeiti t metod. Nvesti i po jed odgovrjući primjer kd jesu i kd isu ti uslovi ispujei.). Metod prcijle itegrcije u eodređeom itegrlu (Izvesti formulu prcijle itegrcije, uz vođeje dovoljih uslov pod kojim vrijedi t formul. Nvesti i po jed primjer kd jesu i kd isu ti uslovi ispujei.).. Itegrcij metodom rekurzivih formul (Objsiti tu metodu i ilustrovti jeu primjeu d primjeru određivj rekurete formule i jee upotrebe z lžeje itegrl, ( + ), N, > ). Itegrcij rciolih fukcij (metodom eodređeih koeficijet i metodom Ostrogrdskog) i itegrcij ekih irciolih fukcij: lgebrskih irciolih fukcij (uključujući i itegrle koji se mogu ći pomoću Eulerovih smje ili metodom Ostrogrdskog, te Abelov itegrl, eliptički itegrli i itegrl biomog diferecijl), ekih trscedetih fukcij, trigoometrijskih i hiperbolih fukcij.. Pojmovi određeog (Riemovog) itegrl i itegrbilosti relih fukcij jede rele promjeljive (Defiirti pojmove: podjel segmet, prmetr podjele, δ - podjel, Drbouove sume, itegrle Riemove sume, podjel s istkutim tčkm, doji i gorji Drbouov itegrl, ztim defiirti pojmove itegrbilosti i određeog itegrl u Riemovom smislu dv /ekvivlet!/ či: ) pomoću dojeg i gorjeg Drbouovog itegrl, ) pomoću griče vrijedosti itegrlih sum. Pri tome formulisti kriterij itegrbilosti fukcije.).. Klse itegrbilih fukcij i osov svojstv itegrbilih fukcij i određeih itegrl (Nvesti primjer fukcije koj ije itegrbil u Riemovom smislu, te formulisti teoreme o klsm itegrbilih fukcij i jedu od tih teorem i dokzti. Ztim defiirti pojmove skup mjere ul po Jordu, skup mjere ul po Lebesgueu i određeog itegrl proizvoljom ogričeom skupu u R, p formulisti Lebesgueov kriterij itegrbilosti u Riemovom smislu i osov svojstv itegrbilih fukcij i određeih itegrl, uključujući i svojstvo ditivosti i ejedkost Bujkovskog.).. Teorem o sredjoj vrijedosti određeog itegrl (formulcij i dokz). Vez između određeog itegrl i izvod (odoso eodređeog itegrl): Defiirti fukciju gorje grice određeog itegrl, ztim formulisti teoremu o eprekidosti itegrl s promjeljivom gorjom gricom i prvu i drugu fudmetlu teoremu itegrlog rču, te dokzti drugu fudmetlu teoremu itegrlog rču, tj. izvesti Newto- Leibizovu formulu koj povezuje eodređei i određei itegrl, uz objšjeje jeog velikog zčj.). 5. Objsiti pojm itegrl ko složee fukcije doje i gorje grice, ztim formulisti i dokzti teoreme o metodi smjee (supstitucije) promjeljive i metodi prcijle itegrcije z izrčuvje određeog itegrl. 6. Pojmovi itegrbilosti fukcije u esvojstveom smislu i esvojstveih Riemovih itegrl prve i druge vrste i jihove glve vrijedosti (defiicije i primjeri). Osov svojstv esvojstveih itegrl (formulcije svojstv i dokz jedog od jih). 7. Osovi kriterijumi z kovergeciju esvojstveih itegrl. Pojm psolute kovergecije esvojstveih itegrl. 8. Defiicije pojmov površie lik u rvi, dužie luk krive, površie obrte površi i zpremie obrtog tijel i formule z izrčuvje vrijedosti tih veliči (izvesti jedu od formul z izrčuvje dužie luk krive, površie obrte površi i zpremie obrtih tijel, ostle smo vesti i, evetulo, ukzti glve ideje u jihovom izvođeju, te formulisti i dokzti stv o potrebom i dovoljom uslovu izmjerivosti/kvdrbilosti lik u rvi). 9. Pojmovi običe, psolute i uiforme kovergecije iz i red fukcij. Cuchjev i Weierstrssov kriterij uiforme kovergecije (formulcij tih kriterij i dokz 5

Weierstrssovog kriterij). Svojstv uiformo kovergetih fukciolih izov i redov (formulcij). 5. Pojm stepeog (potecijlog) red. Formulisti i dokzti Abelov stv (kriterij kovergecije), p vesti vžu posljedicu tog stv, ztim defiirti pojmove rdijus i itervl kovergecije z stepee redove i objsiti kko se ispituje kovergecj tih redov.). 5. Osov svojstv stepeog red (Formulisti teoreme o osovim svojstvim stepeog red, uključujući i Abelovu teoremu). 5. Tlorov red i Mcluriov red (Defiirti te pojmove, p formulisti i dokzti stv o potrebom i dovoljom uslovu kovergecije Tlorovog red, ztim formulisti teoremu o dovoljim uslovim d fukciju možemo prikzti jeim Tlorovim redom u okolii eke tčke. Nvesti pozte Mcluriove rzvoje ekspoecijle fukcije, logritmske fukcije i trigoometrijskih fukcij, te biomi rzvoj.). 5. Stepei redovi s kompleksim človim (Defiirti pojm tkvog red, ztim vesti koj se svojstv relih stepeih redov proširuju i komplekse stepee redove, te objsiti kko se pomoću kompleksih stepeih redov mogu defiirti osove elemetre fukcije.). Npomee:. U skldu s rečeim predvjim, z odgovor svko pitje s gore vedeog spisk i z diskusije i rješej zdtk s prcijlih / itegrlih ispit i DZ dovoljo je koristiti: [] Huse Ftkić, Ižejersk mtemtik, Srjevo, 6.; (http://courses.etf.us.b/); Predvj iz IM u kdemskoj /. godii (http://c.etf.us.b/). [] Huse Ftkić, Viko Drgičević, Diferecijli rču fukcij dviju i više promjeljivih, I.P. Svjetlost, Srjevo, 6. (Poglvlje Dodtk II - Ispiti zdci iz Mtemtike I / IM). [] Pvle M. Miličić, Momčilo P. Ušćumlić, ) Zbirk zdtk iz više mtemtike I, (bilo koje ovije izdje), Grđevisk kjig/ IP Nuk, Beogrd, 98. (X izd.); XV izd..... b) Zbirk zdtk iz više mtemtike II, (Glv I. Redovi), (bilo koje ovije izdje), Grđevisk kjig/ IP Nuk, Beogrd, 998. (X izd.);.... ili ostlu preporučeu osovu i dopusku literturu (http://c.etf.us.b/).. Usmei zvrši ispit iz IM boduje se s bodov. D bi postigo pozitivu ocjeu, studet ovom ispitu mor ostvriti jmje 5 bodov. Svki od studet koji e ostvri ovj miimum pristup usmeom dijelu poprvog ispit.. Usmeom dijelu poprvog ispit može pristupiti svki studet koji je ko polgj pismeog dijel poprvog ispit iz IM uspio ostvriti ukup skor od ili više bodov; ovj skor sstoji se od bodov ostvreih kroz prisustvo stvi, izrdu DZ, polgje prcijlih ispit i polgje pismeog dijel poprvog ispit. Usmei poprvi ispit iz IM boduje se s bodov. D bi postigo pozitivu zvršu ocjeu, studet ovom ispitu mor ostvriti jmje 5 bodov. Svki studet prve godie ETF- koji e ostvri ovj miimum poovo upisuje kurs iz IM (u redoj kdemskoj godii).... @... 6

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Quod ert demostrdum. [ Što je treblo dokzti. Skrćeo: Q.e.d.] (LATINSKI PREVOD EUKLIDOVIH RIJEČI.) P r e d v j z š e s t u s e d m i c u s t v e (u kdemskoj /. godii) G L A V A REALNE FUNKCIJE REALNE PROMJENLJIVE (Opšt svojstv, osove elemetre fukcije i esi) U ovom poglvlju se stvlj izlgje osov ižejerske mtemtičke lize. Glvi cilj ove glve je usvjje pojm rele fukcije jede rele ezviso promjeljive te griče vrijedosti fukcije skupu relih brojev, ko i pojmov ekih specijlih kls fukcij jedog rgumet (ogričee i eogričee fukcije, mootoe fukcije, pre i epre fukcije, periodiče fukcije) te klse osovih elemetrih fukcij. U prethodom poglvlju su proučve specijle rele fukcije, tj. beskoči izovi (fukcije defiire skupu prirodih brojev), u ovom poglvlju se t proučvj proširuju rele fukcije koje su zdte (defiire) bilo kkvom (fiksirom) podskupu skup R relih brojev, tj. detljije se ispituju rele fukcije u opštem slučju. Od sd i dlje (u ovom kursu), ko drugčije e bude kzo (zčeo), riječ fukcij ozčv relu fukciju jede rele ezviso promjeljive. Npomeimo d je proučvje fukcij cetrli zdtk ižejerske mtemtike. Moge vrijble od iteres z ižejere, pr, po U, otpor R, jči struje I, vrijeme t, sg P, mogu se povezti odoso opisti, koristeći pojmove fukcij. U okviru ovog kurs rzmtrt ćemo eke osove ižejerske fukcije ( P = I R, R E = R + R, U = IR, V, t <, v = t Ve τ, t >,.. Pojm i osobie rele fukcije rele promjeljive... Pojm i zdvje rele fukcije rele promjeljive (τ = RC vremesk kostt) i dr.). U odjeljku... smo više (uobičjeih) či (ituitivo i formlo, odoso s i bez upotrebe pojm bire relcije) uveli opšti pojm preslikvj (fukcije), te defiirli pojmove: grfik fukcije, jedkost i ejedkost dviju fukcij, ulgje (ikluzij), idetitet (idetičo preslikvje), bir opercij, opercij kompozicije preslikvj (slože fukcij), prošireje (ekstezij) preslikvj, sužeje (restrikcij) preslikvj, slik f (A) skup A( X ) pri preslikvju f : X Y, iverz slik f - (B ) skup B( Y ) (ili origil skup B ), sirjekcij (preslikvje ), ijekcij (( )-preslikvje), bijekcij (obostro jedozčo preslikvje), iverzo preslikvje (iverz fukcij). No, ovdje ćemo vesti defiiciju pojm rele fukcije rele promjeljive, te s više detlj pojsiti zdvje fukcije formulom (litički). Defiicij... Svko preslikvje f : X Y, defiiro ekom podskupu X skup R relih brojev i s vrijedostim iz ekog podskup Y skup R, zove se rel fukcij jede rele ezviso promjeljive *) (ili krće rel fukcij rele promjeljive, ili fukcij rele promjeljive). Dkle, rel fukcij rele promjeljive je svk ureñe trojk ( X, Y, f ), koj se sstoji od skup X ( R), kojeg zovemo oblst defiirosti, skup Y ( R ), kojeg zovemo područje vrijedosti, te ekog prvil f, pomoću kojeg svkom elemetu X pridružujemo tčo jed elemet Y (koji ovisi o ). Pridružei elemet zove se vrijedost fukcije elemetu (ili u) i ozčv se s f() ili f. *) Umjesto jede rele ezviso promjeljive kže se još i jede rele ezvise vrijble ili jedog relog rgumet. Pri tome se o elemetim = f() Y govori ko o zvisoj promjeljivoj preslikvj f. 89

Oblst defiirosti (defiicioo područje, defiicioi skup, dome(), područje defiicije, ulzi skup) rele fukcije rele promjeljive f jčešće ozčvmo s D( f ) (ili D ( f ), ili D f ) ili (kd je iz dtog kotekst jso o kojoj se fukciji rdi) s D (odoso D ). U šim rzmtrjim fukcij je jčešće zd itervlu (otvoreom, poluotvoreom, ztvoreom) ili uiji itervl. Oblst (područje) vrijedosti (kodome, tidome, ulzi /dolzi/ skup) rele fukcije f često ozčvmo s K, dok skup f(d): ={ f() D } ( K R) (svih) vrijedosti fukcije (rg fukcije) f : D K ozčvmo s R( f ) (ili R ( f ), ili R f ). No, kd m u dtom kotekstu ije bito svojstvo surjektivosti, običo umjesto rel fukcij f : D K rele promjeljive pišemo fukcij f : D R rele promjeljive (ili fukcij f : D R, (D R), ili fukcij f defiir skupu D( R), i sl.). Fukcij f može biti zdt rze čie (litički, tbliči, grfički, riječim, itd.). No, u mtemtičkoj lizi se rel fukcij jčešće zdje ekom formulom ili, kko se to drugčije kže, litičkim izrzom. Npr. ko fukciju f zdmo s: f() : = +, (..) od je ov fukcij zdt/dt (odoso, zd/d) formulom. Z dome ove fukcije možemo uzeti (ko pod fukcijom podrzumijevmo relu fukciju rele promjeljive) bilo koji (eprz) podskup skup R. Ako fukciju g zdmo s: g() : =, (..) + od je i ov fukcij zdt formulom, li z dome te (rele) fukcije (rele promjeljive) možemo uzeti svki podskup od R \ (, ) (li e i širi u smislu ikluzije od R \ (, ) ). Meñutim, ko ije drugčije zčeo (rečeo), pod domeom rele fukcije f rele promjeljive dte litičkim izrzom f() običo se podrzumijev mksiml (u smislu ikluzije) podskup skup R koji tj izrz dopušt, tj. dome D( f ) fukcije f zde litičkim izrzom f() zd je formulom D ( f ) : = { R f() defiiro (im smisl) u R }. Kd tko postupmo u vezi s domeom fukcije zde litički, od kžemo d smo tu fukciju defiirli jeom prirodom domeu/(prirodoj domei). Tko, pr. z fukciju f dtu litičkim izrzom (...) (prirodi) dome je skup R, z fukciju g dtu s (...) (prirodi) dome je (, ] [, + ). U formuli se pomoću mtemtičkih simbol odreñuje koje opercije treb izvršiti d ezvisom promjeljivom i kojim ih redom treb vršiti d bi se dobil odgovrjuć vrijedost zdte fukcije. Npomeimo d pojm formule ije precizo defiir pojm, jer ije jedom z svgd odreñeo koje sve opercije mogu ulziti u formulu. Z sd smtrmo d u formulu (kojom se zdje fukcij) ulze osove rčuske rdje, stepeovje, korjeovje, logritmirje, trigoometrijske opercije i sl. Ksije, kd uvedemo ove opercije (opercij prelsk es te opercije diferecirj i itegrirj), od ćemo i tkve opercije uključivti u formule kojim se zdju rele fukcije rele promjeljive. Tkoñe pomeimo d se kod fukcij zdih litički mogu pojviti slučjevi u kojim z dome e uzimmo prirodi dome, tj. postoje situcije kd eku fukciju f zdjemo užoj oblsti od oe koju litički izrz f() dozvoljv. Npr., ek je mterijl tčk (tijelo) u mometu t = pušte d slobodo pd s visie h ( > ). Ako s s = s( t ) ozčimo dužiu put (u metrim) kojeg je t tčk (tijelo) prešl z vrijeme t, (u sekudm) mjereo od početk pd, od (ko što je iz mehike pozto) vrijedi: g s ( t) = t, (g 9,8 ms - ) (..) No, ov formul (iz fiziklih rzlog) vrijedi smo z svki t [, t h ] gdje je t h = 9 h, to je momet udr tčke (tijel) g u Zemlju (izrz z t h se dobije iz (...) ko se izrz s( t ) zmijei s h, t s t h ). Jso je d litički izrz (u mtemtičkom smislu) u (..) dopušt svki t R, li ko izučvmo slobodi pd tijel, od je fukciju s zdtu g formulom s ( t) = t, prirodo posmtrti smo segmetu [, t h ].

Z kodome relih fukcij rele promjeljive zdih litički običo se uzim skup R ili (posebo, ko se rzmtr i postojje iverze fukcije) skup svih vrijedosti (rg) posmtre fukcije, osim kd se posebo istke drugčije. Fukcij se često zdje i s više litičkih izrz. Npr., fukcij h, zd formulom defiir je s tri litičk izrz. 9, >, h ( ) =, =, (..), <, No, fukciju često zdjemo e koristeći ikkvu formulu (litički izrz u opisom smislu). Nime, vžo je smo d zmo prvil po kojem se svkoj vrijedosti ezviso promjeljive pridružuje tčo jed odreñe broj. Posmtrjmo pr. fukciju *) : : =, R (..5) koj se ziv cijeli dio od, defiiru ovko: je jveći cijeli broj koji ije veći od. (..6) Npomeimo d em jse grice izmeñu fukcij koje su zde s jedom formulom (izrzom) i koje isu zde formulom, te oih s zdte s više formul (izrz). Npr. fukcij h dt s (..) defiir je s tri litičk izrz. No, primjeom itegrlog rču, pokzuje se d se t fukcij h može defiirti i smo jedom formulom. + gdje je D(): = si t + si t h( ) = dt, π t t dt tzv. Dirichletov itegrl (z koji se pokzuje d je D() = π sg). (..7) Fukcij f (): = (cijeli dio relog broj ), defiir opiso (riječim) u (..6) (dkle ije zdt litičkim izrzom/formulom), može se defiirti i beskočim skupom litičkih izrz (koji u cjelii predstvljju zko korespodecije f ove fukcije): M,, : = =, <, (..8),, M <, <, <, <, ili krće: : = = k, [k, k+), (k Z).... Grfik rele fukcije rele promjeljive Nek je u ekoj rvi zd prvougli Dekrtov koorditi sistem s osm O, O. Td svkoj tčki iz te rvi odgovr potpuo odreñe ureñe pr relih brojev. Ti brojevi zivju se koordite te tčke. Obruto, svkom ureñeom pru relih brojev odgovr tčo odreñe tčk posmtre rvi koju još zovemo i rv). Zbog tog ćemo tu rv idetificirti s skupom svih ureñeih prov relih brojev, tj. s skupom RR (=R ). Dkle, e prvi se rzlik izmeñu skup R (Dekrtovog proizvod skup R s smim sobom) i rvi. Isto tko ećemo prviti rzliku izmeñu ureñeog pr (, ) relih brojev, i jemu odgovrjuće tčke M iz rvi. Zbog tog ćemo pisti M = (, ) i govoriti tčk (, ) umjesto tčk s koorditm,. *) Ozk koristi se u ovije vrijeme (od kd se koristi i ozk : = z jmji cijeli broj koji ije mji od relog broj ). Rije se koristil ozk E(), ztim i ozk [], z ozčvje fukcije cijeli dio od.

Nek je f : X Y rel fukcij rele promjeljive. Td se skup svih oih tčk (, ) R kod kojih je X i = f() ziv grfikom ili grfom fukcije f. Ozčvmo g s G( f ) (ili G f, ili Γ f, ili F ). Prem tome, po defiiciji je G f = {(, f()) X} ( X Y R ) (v. sl....). (..9) 9 G f f () (, f()) Sl.... Umjesto termi grfik (grf) u upotrebi su još i eki drugi termii. Kže se d je to dijgrm ili kriv liij (ili, krće, kriv). Z jedčiu (jeddžbu) = f () kže se d je jedči krive liije formire pomoću fukcije f, tj. d je to jedči grfik fukcije f. Ndlje ćemo često, jedostvosti izržvj rdi, govoriti d je = f () kriv umjesto d govorimo kriv čij je jedči = f () (u prvouglom Dekrtovom koord. sistemu O ). Npomeimo d svk fukcij, p dkle i svk rel fukcij, im grfik (koji se može prikzti litički u obliku ko u (..9)), li d postoje i rele fukcije jede rele promjeljive čiji se grfik e može geometrijski predstviti (crtti) u prvouglom Dekrtovom koorditom sistemu. Tkoñe pomeimo d se osim prvouglog Dekrtovog koorditog sistem koriste i drugi koorditi sistemi (ko što su fii / kosougli /, polri, trougoi koord. sistem, te fukcijsk skl i dr.). Npr., grfik (Dirichletove) fukcije χ (hi gr. slovo) zde s χ () = ko je rciol broj i χ () = ko je irciol broj e može se crtti. (Postoje i eprekide fukcije čiji se grfik e može crtti). No, pojm fukcije može se uvesti i ovj či: Defiicij... Nek su X i Y dv skup i ek je F m koji podskup od XY. Td se ureñe trojk (F, X, Y) ziv fukcijom (preslikvjem) ko u F em elemet koji predstvljju ureñee prove s jedkim prvim i rzličitim drugim kompoetm. Ako su pri tome X R i Y R, od se (F, X, Y ) zove rel fukcij rele promjeljive. U defiiciji... skup X predstvlj oblst defiisosti, skup Y predstvlj oblst vrijedosti fukcije. Fukcij s oblsti defiisosti X i oblsti vrijedosti fukcije Y zove se fukcij tip XY i t se čijeic može formulisti sljedeći či. Fukcij f je defiis u X i dobij svoje vrijedosti u Y, što se simbolizuje u obliku X Y, ili f : X Y, ili f : (, ) ( X, Y ), ili f (), X, f () Y. Nek je f : = (F, X, Y ) proizvolj fukcij. Ako je (, ) F, elemet se zove vrijedost fukcije (ili u), se zove origilom, slikom (fiksog) elemet, z fukciju f se kže d preslikv elemet u elemet. Vrijedost fukcije f u ozčv se s f (), pri čemu se piše = f (). Fukcij f : = (F, X, Y ) ije igdje defiir ko je F =.... Fukcije zde prmetrski Osim eksplicitrog zdvj fukcije poekd se koristi i prmetrsko zdvje ( i implicito zdvje) fukcije. Nek su dt ov preslikvj ϕ : M X i ψ : M Y, od kojih je br jedo, pr. ϕ, bijekcij. Td postoji iverzo preslikvje ϕ : X M i preslikvje ψ ϕ tkvo d ψ ϕ - : X Y.

Z ovko defiiro preslikvje kžemo d je zdo prmetrski s preslikvjim (fukcijm) ϕ i ψ, pri čemu elemete iz skup M zivmo prmetrim. Specijlo, ko su M, X, Y podskupovi skup R relih brojev, od z fukciju F = ψ ϕ : X Y, tj. z fukciju F() : = ψ (ϕ ()), kžemo d je zd prmetrski sistemom (skupom) relih fukcij ϕ i ψ, odoso d je fukcij : = ψ (ϕ ()) prmetrski zdt sistemom *) = ϕ ( t ), = ψ ( t ), (t M R). U opštem slučju sistem =ϕ ( t ), = ψ ( t ) (t M) defiir se višezčo preslikvje (višezč fukcij) = () ili = ( ). Osim tog, često ije moguće iz sistem =ϕ ( t ), = ψ ( t ) eiirti prmetr t, tj. dobiti zvisost = () iti zvisost = ( ), li to e zči d i td e možemo ispitivti tok i crtti grfik (jedozče) fukcije ili višezče fukcije prmetrski zdte tim sistemom jedči. Primjer... Ncrtjmo krivu (u Dekrtovom prvouglom koor. sist.) zdu prmetrski sistemom: = t, = t ; te ustovimo d li dobive kriv predstvlj grfik eke (jedozče) fukcije f iz R u R. Rješeje: Fukcije ϕ i ψ, prmetrski zdte s ϕ (t) : = t, ψ (t) : = t, su defiire z svki t R, tj. prirode domee D (ϕ), D(ψ ) su skup R. N osovu sljedeće tblice vrijedosti t... - - /...... -6-7/... +... (9/)... kostruišemo odgovrjuće tčke M i = ( i, i ) u (Dekrtovoj) rvi O koje pripdju zdoj krivoj, p spjjem tčk M i gltkom krivom dobijemo sljedeći grfik krivulje (tzv. semikub prbol): 9 Sl.... Prmetr t e gubi svoj geometrijski smiso ( t se e odvj geometrijski). Npisti ekspliciti oblik fukcije : =, u jedostvijem prmetrskom obliku (od zdog oblik). Očito d kriv Γ sl.... predstvlj grfik (jedozče) fukcije f : R Y (Y R) zde s f ( ) =. Zdtk... Po prvoj O kotrlj se bez klizj krug poluprečik. Kriv koju opisuje odreñe tčk periferije tog krug zove se cikloid. Dokžite d se o može prmetrski opisti jedčim = (t si t), = ( cos t), (t R), ztim crtjte tu krivu. *) Prmetrske jedčie = ϕ ( t ), = ψ ( t ); t <α,β > ( R) predstvljju prmetrske jedčie krive u rvi i ove su jedčie često podesije z ispitivje krive (z ispitivje implicite fukcije, i z izržvje višezče fukcije jedozčim fukcijm).

9... Nek svojstv relih fukcij jede rele promjeljive U dljjem tekstu rzmtrmo rele fukcije jede rele promjeljive, tj. preslikvj kod kojih su dome D i kodome K podskupovi skup R, te umjesto f : D K, često pišemo f : D R. Z tkve dvije fukcije defiirmo: (i) zbir (zbroj) f + g : D R fukcije f i fukcije g: ( f + g ) ( ) : = f () + g (); (ii) rzlik f g : D R fukcije f i fukcije g : ( f g ) (): = f () g (); (iii) proizvod (produkt) f g : D R fukcije f i fukcije g : ( f g ) () = f () g (); f f ( ) (iv) količik (kvocijet) fukcije f i fukcije g ( f / g ) : D o R, D o ={ D : g() } : ( ) =. g g( ) Prilikom proučvj (ispitivj) tok i kostrukcije grfik (rele) fukcije (jede rele vrijble) promtrju se jee promjee pri čemu se pretpostvlj d se ezvis promjeljiv mijej od jmje do jveće vrijedosti iz domee, odoso svkom od dijelov domee (ko se te vrijedosti dostižu), pri čemu se u (evetulim) tčkm gomilj dome (posmtre fukcije) koje mu e pripdju odreñuju griče vrijedosti te fukcije. Pri tome se često koriste pojmovi: ule (korijei, ul tčke); prost i eprost; periodičost; mootoost; ogričeost; eogričeost; ifimum i supremum; lokli i globli (totli, psoluti) ekstremum; te koveksost, kokvost i prevoje tčke (tčke ifleksije). Neke od tih osobi su jedostve i istovremeo odreñuju specijle klse relih fukcij: klse prih i eprih fukcij, kls periodičih fukcij, kls mootoih fukcij, te klse ogričeih i eogričeih (relih) fukcij (jede rele vrijble). Defiicij... Z skup D( R) kžemo d je simetrič u odosu ultu tčku (tj. tčku ) ko z svki D broj tkoñe pripd skupu D. Kžemo d je fukcij f : D K (D, K R), defiir simetričom skupu D, pr ko je f ( ) = f () z svki D, epr ko je z svki D ispujeo f ( ) = f (). Očigledo, grfik pre fukcije oso je simetrič u odosu osu (s obzirom orditu), grfik epre fukcije cetrlo je simetrič u odosu kooriditi početk (ishodište) O: = (,). To svojstvo olkšv crtje grfik tkvih fukcij. Primjer... Fukcije, si, e imju prirodu domeu R. Prv od ovih fukcij je pr jer je ( ) =, drug je epr budući d je si ( ) = si, treć (tj. fukcij e ) ije i pr i epr, jer ije ispuje jedkost e = e z svki R iti vži e = e z svki R. Npomeimo d jveći broj fukcij isu i pre i epre, li se lko pokzuju d se svk (rel) fukcij (jede rele vrijble) defiir simetričom skupu (u odosu ultu tčku) može prikzti u obliku zbir jede pre i jede epre fukcije. Nime, z tkvu fukciju f vrijedi d je f() = g() + h() z svki iz domee D ( f ), pri čemu je g( ) : = [ f ( ) + f ( ) ] pr fukcij, h( ) : = [ f ( ) f ( ) ] epr fukcij. Defiicij... Kžemo d je fukcij f : D R periodič ko postoji broj p R\{} (koji se ziv periodom fukcije f ), tkv d vži: (i) ( D) + p D ; (ii) ( D) f (+ p) = f (). Njmji pozitiv broj p (ko postoji) z koji su ispujei uslovi (i) i (ii) ziv se osovi (temelji) period fukcije f i običo se ozčv s T. Primjer... Fukcij f () : = A si(ω +ϕ) (A, ω, ϕ R) je periodič i z A i ω π im osovi period T dt s T =. Isto svojstvo im i fukcij g() : = A cos(ω +ϕ), dok ω fukcije (A, ω ). ϕ () : = A tg(ω +ϕ) i ψ () : = A ctg (ω +ϕ ) imju osovi period T dt s T = π ω

Poekd je zgodije dtu fukciju f predstviti u obliku: f () = f () + f () +... + f (), pri čemu su fukcije f,..., f periodiče s osovim periodim T,..., T, respektivo. Ako je pri tom T T i j T T i j Q z sve i, j {,..., }, od je i fukcij f periodič. Ako ije ispuje uslov d je Q z sve i, j {,..., }, od fukcij f ije periodič. No, kko se svki irciol broj može proksimirti po volji tčo rciolim brojevim, može se pokzti d im uvijek cijelih brojev r, s tkvih d su rt i i st j gotovo jedki (t čijeic je dovel do rzvoj ove teorije gotovo periodičih fukcij koj je vž i u teoriji relih fukcij i u primjem u mtemtičkoj fizici i tehici). Nime, ko je f zbir od dvije periodiče fukcije f, f s osovim periodim T p T, T i ko je =, gdje su p i q cijeli brojevi, od je pt = qt, p je fukcij f T q periodič s osovim periodom T jedkim zjedičkoj vrijedosti pt ili qt. Otud, primjeom metod mtemtičke idukcije, lko zključujemo d se ovo svojstvo z zbir dvije fukcije proširuje sumu od fukcij (z svki N). Meñutim, ko br jed od fukcij f,..., f ije periodič, to još e zči d je fukcij f i i= 95 f : = eperiodič, jer pr. fukcij f dt s f() = je periodič s osovim periodom T = iko f () : = i f () : = isu periodiče fukcije. Zdtk... Ispitti periodičost i odrediti osove periode (ko postoje) fukcij: ) f () = si + cos; e) f ( ) = 6tg 7tg b) f () = si + cosπ; 7 c) f () = A cosω + B siω, (A,B,ω R); d) f () = cos, Q, ; f) χ ( ) = Rezultt: ) Fukcij f je periodič, T =π ; b), T T R \ C. π = = periodič; c) fukcij f je periodič i, z A i ω, im osovi period π Q p fukcij f ije π = ω T, d) f ije periodič; e) f periodič s osovim periodom T = 7π ; f) Dirichletov fukcij χ je periodič, jer z svki p> vrijede uslovi (i) i (ii) iz defiicije..., li e postoji je jmji pozitiv period, jer je if {p R p > } =. Defiicij..5. Nek je E D R. Z fukciju f : D K (K R) kžemo d je:. o eopdjuć skupu E ko (, E) ( f ( ) f ( ));. o rstuć skupu E ko (, E) ( < f ( ) < f ( ));. o erstuć skupu E ko (, E) ( f ( ) f ( ));. o opdjuć skupu E ko (, E) ( < f ( ) > f ( )). Z fukciju f koj zdovoljv bilo koji od uslov. o. o kžemo d je mooto, z fukciju f koj zdovoljv uslov. o ili uslov. o d je strogo mooto skupu E. Ako je u defiiciji..5. skup E jedk domeu D fukcije f, od se često izostvlj zk skupu E uz riječ mootoost, odoso jeu verziju. Npomeimo d se umjesto termi eopdjuć, rstuć, erstuć i opdjuć koriste termii rstuć, strogo rstuć, opdjuć i strogo opdjuć, respektivo. Primjer... Fukcij f () : = je rstuć. Fukcij g() : = e (=/e ) je opdjuć, fukcij h ( e, ) =,, >, je erstuć, fukcij h je opdjuć (, ] i ije

96 strogo mooto R. Fukcij F() = je opdjuć (, ], rstuć [, + ), dok R ije mooto, već mooto po dijelovim (F ije bijekcij s R [, + ), te em (jedozče) iverze fukcije). Defiicij..6. Z fukciju f : D K (D, K R) kžemo d je ogriče odozgo (odoso ogriče odozdo) skupu E( D) ko je tkv skup jeih vrijedosti ( E) {f() E }, tj. ko postoji broj P R (odoso p R), tkv d z sve E vrijedi f () < P (odoso f () > p ). Z fukciju koj je ogriče odozdo i ogriče odozgo skupu E kžemo d je ogriče skupu E. Sd se lko defiirju i pojmovi miimum, mksimum, te ifimum i supremum fukcije. Lko se vidi d je fukcij f : D K (D, K R) ogriče E( D) ko postoji M >, tkv d z sve E vrijedi f () < M (ili, što je ekvivleto, f () M). Tkoñe se lko dobije geometrijsk iterpretcij ogriče fukcije podskupu dome, odoso ogričee ( domeu). Primjer..5. ) Fukcij f( ) : = rctg je ogriče ( domeu D( f ) = R), if f = - π, sup f = π ; f em (totlog) ekstrem, jer (- π ) [R( f )]=( π, π ), ( π ) ( π, π ). b) Fukcij f () : = k (k N) je ogriče odozdo, li e i odozgo R. Meñutim, o je ogriče svkom (kočom) rzmku <, b > (,b R). Zdtk... Z fukcije ( ) ( ) ( f g )( ) ( g f )( ) f = +, g =, riješite ejedčiu o o. Zdtk... Odredite prirodu domeu i ispitjte osov svojstv slijedećih cos f = ; b) f ( ) = log ( 8 + 5) ; si fukcij: ) ( ) π c) f ( ) = si + cos ; d) f ( ) = log5 cos. 7.. Pojm griče vrijedosti (es) rele fukcije jede rele promjeljive. Ekvivletost Cuchjeve i Heieove defiicije es fukcije Ituitivo govoreći, es ili grič vrijedost eke fukcije u dtoj tčki je vrijedost koj se priključuje, stvlj vrijedosti koje t fukcij prim u okolim tčkm. Jso je stog d o esu fukcije im smisl govoriti smo kd ije izolov (izolir) tčk, tj. kd je tčk gomilj dome te fukcije (koj mu može e mor pripdti), R. Defiicij... (Po Cuchju). *) Nek je f : X Y rel fukcij rele promjeljive i R tčk gomilj skup X. Kžemo d je R grič vrijedost (es) fukcije f u tčki (ili d fukcij f () teži (gričoj / vrijedosti kd teži vrijedosti ) i simbolički to ozčvmo s f() = ili f =, ko z svku okoliu V ( ) tčke postoji okoli U( ) tčke, tkv d vrijedi ( X ) ( ( U( ), ) ( f () V( ) ). (..) Ako je pri tome iz R, od kžemo d fukcij f im koču griču vrijedost, ko je = ili +, od kžemo d f im beskoču griču vrijedost u tčki *) T defiicij ( u termiologiji okoli), odoso je (z slučj koče griče vrijedosti u kočoj tčki) vrijt u simboličkom obliku (..), potječe od A.L. CAUCHYJA (Alse lgébrique, 8.), md se jome već i prije služio B. BOLZANO (Prg, 87).

97 (kočoj tčki ili beskočosti / ili + /). Npome... Grič vrijedost f iz defiicije... defiir se eoviso o vrijedosti f( ). Zto defiicij... z es f () im smisl i primjejuje se i u slučju kd je f defiiro smo X \ { }. Ako je U (=U X ) ek okoli u skupu X tčke, od f() ovisi smo o f U \{ } (tj. ovisi smo o restrikciji fukcije f skup (U X ) \{ }, gdje je U proizvolj okoli tčke R / okoli u R ko je R, odoso okoli u R ko je = ili = + / ). Ako je U( ) ek okoli tčke R, od s Ủ( ) ozčvmo skup U( )\{ }, s Ủ X ( ) ozčvmo skup Ủ( ) X. Skup Ủ X ( ) se ziv šuplj (ili probuše) okoli u skupu X tčke. Koristeći tkvu ozku okolie tčke, vidimo d defiiciju... možemo izreći i u sljedećem (ekvivletom) obliku: Nek je f : X Y rel fukcij rele promjeljive i R tčk gomilj skup X. Kžemo d fukcij f() teži k R i pišemo = f() (ili f() kd ), ko z svku okoliu V( ) tčke postoji ek okoli U( ) tčke tkv d vrijedi f (Ủ X ( )) V( ). (..) D bismo dobili opertiviju defiiciju griče vrijedosti, treb odvojeo posmtrti slučjeve kočih, odoso beskočih vrijedosti,. Tko, pr. ko su i koči brojevi, immo (u termiologiji,,ε - δ ''): ( f() = ) ( ε > ) ( δ : = δ(ε ) > ) ( X ) (< < δ f() < ε ). (..) N slič či se zpisuju odgovrjući uslovi kd su jed ili ob broj, jedk + ili. U tom smislu, beskoč grič vrijedost + f () = +, može se uvesti sljedećom defiicijom (koj se dobije iz defiicije... ko se z tčku : = + uzme okoli U( ) : = (N, + ], z tčku : = + okoli V( ): = (M, + ] u prošireom prostoru R relih brojev). Defiicij... Nek je f : X Y rel fukcij rele vrijble i + tčk gomilj skup X. Kžemo d fukcij f () im z griču vrijedost + kd rgumet teži k +, ko z proizvolj uprijed dti broj M (koliko se hoće veliki) postoji tkv broj N d je ejedkost f () > M ispuje z sve vrijedosti X z koje je > N, tj. + f() = + ( M R) ( N R) ( X) ( > N f() > M). (..) Geometrijsk iterpretcij: o Z slučj griče vrijedosti f() =, pri čemu su R i R, posmtrjmo pojs (u Dekrtovoj rvi O ) ogriče prvm prlelim pscisoj osi: = ε i = + + ε (ε > ), koji im širiu ε. +ε f() = f() Postojje ejedkosti f() < ε, odoso joj ekvivlete dvostruke ejedkosti ε < f() < +ε, pri uslovim δ < < +δ i (z fukciju f kojoj se grfik može geometrijski predstviti) geometrijski zči d, m kko bio uz posmtri pojs, tčke grfik fukcije f, osim, možd tčke (, f( )), sdrže su u uutršjosti tog pojs, ko se ε +δ δ Sl....

98 vrijedosti rgumet sdrže u itervlu ( δ, +δ ), tj. u δ - okolii tčke o (v. sl.... i relciju (..). f() = f() o Z slučj beskoče griče vrijedosti (u beskočosti) M + f () =+ immo : Z proizvoljo veliki uprijed dti broj M, z sve vrijedosti rgumet veće od N, grfik fukcije : = f () sdrži se izd prve dte (u prvouglom Dekrtovom koorditom sistemu O ) s = M (v. sl.... N i relciju (..). Sl.... Alogo se može dti geometrijsk iterpretcij es f () = i u ost slučjevim (jso, ko je moguće grfik / ili br jed jegov odgovrjući dio / fukcije f geometrijski predstviti ). Primjer... o Ako je f() : = 5, osovu defiicije griče vrijedosti dokzti d je f() =. Dokz: Nek je dt broj ε >. Iz ejedkosti f() < ε, tj. iz 5 < ε, slijedi < 5 ε. Uzimjući z δ fukciju od ε : δ : = δ (ε) = 5 ε, dobijemo d je z sve vrijedosti rgumet z koje je < δ ispuje ejedkost f() < ε, što, po defiiciji zči d je zist f () = (u ovom slučju tčk gomilj : = pripd domeu D( f ) = R fukcije f ). Q.E.D. o N osovu defiicije griče vrijedosti pokžite d je: =. Dokz: Fukcij f iz R u R zd litičkim izrzom f() : = im (prirodi) dome D( f ) : = { R } = { R, } = (-, ] (, + ). Očigledo je + tčk gomilj skup D( f ) (koj mu e pripd), p im smisl es + f() i pri tome se rzmtrje može ogričiti vrijedosti rgumet z koje je >. Kko je (z svki (, + )) f ( ) = = + ( + ) = = = ( )( + ) ( )( + ) < + (pri čemu je zk psolute vrijedosti izostvlje, jer z sve > vrijedi d je > i > ), to je, z svki ε >, ejedkost f() < ε, tj. ejedkost < ε, ispuje z sve vrijedosti rgumet z koje je >, tj. z > +. ε ε U ovom slučju, uzimjući d je N = + ε broj N : = N(ε ) R (odoso N : = N(ε ) N) tkv d je ( D( f )) ( > N f() <ε ), te je zist f() =. (odoso N = + ), immo d z svki ε > postoji ε o Z Dirichletovu fukciju * ) χ, tj. z fukciju χ dt s, χ ( ) =, Q, R \ Q, χ () e postoji i z jedo R, jer se u svkoj okolii U( ) tčke lze kko rcioli, tko i ircioli brojevi. *) Lko se vidi d je χ() = m ( (cos (m!π)) ), ( R). Nime, ( Q) ( m o N) m m o m! Z, odvde slijedi (cos (m!π)) =. Ndlje, ( R\Q) ( m N) (cos (m!π)) <.

99 Ako je f : X Y rel fukcij rele vrijble, A podskup od X i R tčk gomilj skup A, od se može posmtrti es fukcije f u tčki s obzirom skup A, tj. ( f A). Tj se es ozčv s A f() ili f ( ) (ili f ili f ( ), A A, ( A)). Ako je A A, p je R tčk gomilj skup A, od je i tčk gomilj skup A i postojje A f() povlči postojje A f() i vrijedi jedkost f ( ) = f ( ). (..5) A Zist, iz egzistecije es f ( ) : = A ( A ), immo d z proizvolju okoliu V( ) tčke postoji okoli Ủ A ( ) tčke tkv d je f() V( ) z svki Ủ A ( ). Kko je A A, to je f() V( ) ko je Ủ A ( ), tj. f ( ) = ( A ). Obruti zključk od oog u prethooj čijeici (vezoj z jedkost (..5)) e vrijedi. Nime, pr., ek je X = Y = R, ek je f : X Y fukcij defiir formulom, ( ) =, >, f (..5), i ek je A = (, ], A = [, ], =, =. Td je očito f ( ) =. Ipk f ( ) e postoji A jer se lko vidi d je f ( ) = A ( ( [-, ] ) (v. prim.... i sl...). Defiicij... Nek je o R tčk gomilj skup R + X : = { X > } i f : X Y (X R, Y R). Vrijedost f ( ) (ko postoji) ozčv se s f ( ) (ili f + ili f ( ) + + R X + ili f ( ) ) ili f( + ) (ili f( + )) i zove des grič vrijedost fukcije f u tčki (ili es zdes u tčki ). Specijlo, ko je =, pišemo f ( ) (ili f ( ) ) ili f(+) (ili f(+)). + Alogo se defiir lijev grič vrijedost fukcije f u tčki (ili es slijev u tčki ) f ( ) = f ( ) (ili f ( ) = f ( ) = f ( ) ) (odoso f ( ) = f ( ) / ili f ( ) = f ( ) + /ko je = ). Iz čijeice veze z jedkost (..5) eposredo slijede ove posljedice: (i) Nek je f : D R, D R, fukcij rele promjeljive, D i D podskupovi skup D i ek je o R tčk gomilj ovih skupov. Ako je f ( ) A ( D ), f ( ) B ( D ) i A B, od f ( ) ( D) = = + f - Sl.... e postoji. Specijlo, ko je f ( ) f ( ), od e postoji f ( ).

(ii) Ako zmo d postoji f ( ) ( D), od je z jegovo izrčuvje dovoljo izdvojiti proizvolj podskup D D pri čemu je R tčk gomilj skup D i ći f ( ) ( D ). Specijlo, ko postoji f ( ), od je f ( ) = f ( + ) f( +) i f( ) imju smisl, li iz egzistecije f ( ) i f ( ) = f ( ) (ko i slijedi d br jed od f( +) i f( ) im smisl, tj. d je tčk tčk gomilj br jedog od skupov: skup vrijedosti rgumet većih od i skup vrijedosti rgumet mjih od ). Primijetimo d svk izolov tčk skup D po defiiciji pripd skupu D, dok tčk gomilj, lijev tčk gomilj i des tčk gomilj skup D ( R) mogu e morju pripdti skupu D. Npr., ek je D : = (,9) {}. Td je tčk izolov tčk skup D. Sve ostle tčke skup D su ujedo i tčke gomilj tog skup. Te tčke gomilj, dkle, pripdju skupu D. No, očigledo je d su tčke i 9 tkoñe tčke gomilj skup D ( je des, ije lijev tčk gomilj, dok je 9 lijev ije des tčk gomilj skup D ), li oe tom skupu e pripdju. Ako je des li ije lijev tčk gomilj skup D, od izmeñu pojm es i desog es fukcije f : D R u tčki em rzlike. Isto tko, ko je lijev li ije des tčk gomilj skup D, od izmeñu pojm es i lijevog es fukcije f : D R u tčki em rzlike. No, ko je i lijev i des tčk gomilj skup D, od vrijedi sljedeće: Grič vrijedost f ( ) vrijedi f ( ) = f ( ) postoji kko postoje ob es f ( ). U slučju d je ovj uslov zdovolj, od vrijedi f ( ) = f ( ) = f ( ) i f ( ) i ko (..6) Npome... Defiiciju... z slučj R možemo iskzti i ovko: Vrijedi f() kd ko se rzlik f() može po spolutoj vrijedosti učiiti po volji mlom približi li se X,, dovoljo blizu tčke. Primjer... o Z fukcij f dtu formulom (..5) očito vrijedi - f() = = + f(), p (prem prethodoj posljedici (i) slijedi d f() e postoji. o Fukcij sg: R R defiir pomoću, >, sg =, =, -, <. Z tu fukciju je - sg = + sg =, tj. sg e postoji. No, primijetimo d je sg = sg (v. sl....). o + = = (v. sl...5.), dok e postoji (jer - = + = = + ). sg - Sl.... - = - Sl...5.

o - = + = = + (v. sl...6 ), = 5 o N ( ) =, jer z ( = N) vrijedi = p je = = (gdje je, z svki R, /doji/ cijeli dio od, tj. jveći cijeli broj koji ije veći od, dok je : = {} rzlomljei dio od ). Sl...6. Primijetimo d je slučj 5 o primjer... specijl slučj sljedeće situcije: Nek je f : D R fukcij rele promjeljive i ek je pri tome + tčk gomilj skup D N. U tom slučju zjedo s fukcijom f možemo posmtrti fukciju f D N, tj. iz ( ), gdje je = f (), je defiir z dovoljo velike vrijedosti ( N). Otud vidimo d je pojm griče vrijedosti iz relih brojev uvede u okviru izlgj teorije izov zprvo specijl slučj pojm griče vrijedosti rele fukcije rele promjeljive opise u defiiciji.., jer je jedostvo drug ozk z N + f(). Prem već rečeom, jso je d ko postoji + f (), od postoji i, dok obruto e mor d vži (v. primjere...5 o i...). U opštem slučju vez izmeñu griče vrijedosti fukcije f ( ) i griče vrijedosti izov ( f ( ) ) z rze izove ( ) z koje je = može se precizo izrziti sljedećom teoremom (koj pokzuje d se pojm griče vrijedosti fukcije može u potpuosti opisti pomoću pojm griče vrijedosti iz). Teorem... Grič vrijedost rele fukcije f : D K rele promjeljive u tčki R jedk je ( R ), tj. f ( ) =, kko z svki iz ( ), tkv d je D \{ } z svki N i =, vrijedi f ( ) =. Nvedei potrebi i dovolji uslovi u ovoj teoremi mogu se uzeti z defiiciju pojm griče vrijedosti fukcije jeziku izov, koju je prvi koristio H. E. HEINE (87). *) Defiicij... (Po Heieu). Z fukciju f : D R rele promjeljive kže se d im u tčki R griču vrijedost jedku ( R ), ko z svki iz,,...,,... tčk iz D, z koji je z svki N i =, vži f ( ) =. U Heieovoj kocepciji defiicije es fukcije ko polz tčk se jvlj pojm es iz, dok se pojm es fukcije jvlj ko izvedei pojm. Z pojm gričog težej fukcije ( u opštoj defiiciji.. ) bito je d svki či težej rgumet broju c (koji može, li e mor pripdti području defiicije rgumet ), tj. bilo koji iz ( ) iz područj defiicije rgumet, kojem su svi človi rzličiti od c, teže k c, vodi do iste griče vrijedosti g. Vidjet ćemo iz redog primjer d rzličiti čii težej promjeljive mogu voditi do rzličitih vrijedosti g, p se u tom slučju e govori o jedistveoj gričoj vrijedosti u gorjem smislu. Meñutim, vžo je primijetiti d je dovoljo zhtijevti d je z svki iz ( ) iz područj promjeljive koji teži vrijedosti c iz ( ) vrijedosti fukcije () koverget, jer iz tog već slijedi d svi izovi ( ) teže istoj gričoj vrijedosti g. Zist, ko bi iz ( ) težio vrijedosti g' kd ( ) teži k c, iz ( ) drugoj vrijedosti g'', kd i ( ) teži k c, težio bi i iz,,,,, koji stje iz zdih izov uzimjući izmjeičo po redu člove prvog i drugog iz, tkoñer ekoj vrijedosti g, jer je i to iz vrijedosti fukcije () koje odgovrju vrijedostim rgumet iz jegov područj defiicije koje teže k c. No, izovi ( ) i ( ) su podizovi iz ovog (vedeog) iz, p, prem teoremu o jedozčosti griče vrijedosti iz, teže i oi istoj gričoj vrijedosti g. Iz teoreme... i uprvo dokze čijeice eposredo slijedi sljedeć teorem: *) E. Edudrd Heie (8 88) - jemčki mtemtičr.

Teorem... Nek je skupu D ( R) defiis (rel) fukcij f () i ek je R (tčk gomilj skup D ). Td su dvije sljedeće tvrdje meñusobo ekvivlete: ) Postoji f ( ). ) Z svki iz ( ) tčk iz D ( z svki N ) koji teži k postoji f ( ). Primijetimo d se teoremom.. - iskzuje ekvivletost defiicije... griče vrijedosti fukcije, tj. Košijeve (Cuch) defiicije, koj se još ziv i defiicijom jeziku okoli (ili jeziku ε-δ, ko se uzme u obzir je zpis z koče i ), i Hjeove (Heie) defiicije griče vrijedosti fukcije (tj. defiicije..). Zto se teorem... može iskzti i u ovom (ekvivletom) obliku: Teorem... Cuchjev defiicij es fukcije i Heieov defiicij es fukcije su meñusobo ekvivlete. Primjer... Dokzti d e postoji ( ). + Rješeje: Fukcij f dt formulom f (): = im prirodi dome D:=R i vrijedi (v. sl...7) M ( ) = +, <, f ( ) = = =, <,, <, = M Kko je : = + tčk gomilj dome dte fukcije, to dti es im smisl. Z ' : = immo ' + ( ) i f (' ) = ( ), z '' : = + α, gdje Slik..7. je <α< (pr., α = ½ ), immo tkoñe '' +, li f ('' ) = + α + α = + α = α α ( ). Zto e može postojti vrijedost R kojoj bi težio iz ( f ( ) ) z svki iz ( ) koji teži k +, p prem prethodoj teoremi... slijedi d e postoji + f(). U jedom od redih odjeljk dokzt ćemo d vrijede sljedeće vže jedkosti: si ) = ; ) + = e, ± koje se često koriste u rješvju zdtk... Opšte osobie kočih i beskočih gričih vrijedosti fukcij (Osove teoreme teorije gričih vrijedosti fukcij) U prethodom prgrfu.. izvede je vez izmeñu pojm griče vrijedosti fukcije i griče vrijedosti iz. T se vez koristi kod odreñivj es izov (pr., es iz ( si ) se može odrediti pomoću es fukcije f(): = si u tčki, jer z = immo d je : = si = f( ), p iz = i f() = slijedi d je = f( ) = f() = ), li se može koriso primijeiti, izmeñu ostlog i pri dokzu mogih osobi koje su u vezi s gričim vrijedostim fukcij. Zprvo, preko odgovrjućih osobi izov, primjeom teoreme o ekvivletosti Cuchjeve i Heieove defiicije griče vrijedosti fukcij, možemo prktičo z sve osobie gričih vrijedosti izov koje su pozte (i izvedee) u teoriji izov dokzti loge kd su u pitju esi relih fukcij rele promjeljive. N tj či se mogu dokzti svi stvovi (teoreme) koje vodimo u okviru ovog prgrf, ovdje ćemo rdi uvježbvj upotrebe pojmov defiicije... i ekih jeih ekvivlet dokzti eke od

jih jeziku okoli (ili jeziku ε δ, z slučjeve kočog es fukcije u kočoj tčki). Teorem... Fukcij f : D K (D, K R) e može imti u tčki ( R ) dvije rzličite griče vrijedosti (tj. ko fukcij f im es u tčki, o je jedozčo odreñe). Teorem... Ako fukcij f : D K (D, K R) im koču griču vrijedost u tčki ( R ), od postoji okoli U( ) tčke, tkv d je fukcij f ogriče skupu Ů D ( ). Dokz: Kko je { f() Ů D ( )} = f (Ů D ( )) V( ) z proizvolju okoliu V( ) tčke ( R) i pogodo odbru okoliu U( ) tčke ( R ), gdje je : = f ( ), i kko okliu V( ) možemo izbrti tko d bude ogriče skup, to je i skup { f () Ů D ( )} ogriče. Npomeimo d obrut teorem (od teoreme..) e vži. Q.E.D. Defiicij... Ako je α ( ) = ( R ), kžemo d je fukcij rele promjeljive α : D R beskočo ml kd (beskočo ml /veliči/ u tčki ). Fukcij α : D R (D R) ziv se beskočo velikom kd ( R ) (beskočo velik veliči kd ) ko z svki M R postoji okoli U( ) tčke, tkv d z svki Ů D ( ) vrijedi α () >M. Ako je α beskočo ml kd, pišemo *) α = o( ) ( ) (čitmo: α je mlo o od ). Teorem... (i) Z svku fukciju f : D K (D, K R) vži d je f() = b (b R, R ) kko je f() = b + α (), gdje je α beskočo ml kd. (Iz f() = b R slijedi ( f() b) =.) (ii) Zbir i rzlik dvije beskočo mle fukcije kd su beskočo mle kd (pri čemu se podrzumijev d su zbir i rzlik defiiri presjeku dome sbirk, tko d je tčk gomilj tog presjek). (iii) Ako je α : D R (D R) beskočo ml fukcij kd, fukcij β ogriče skupu Ů D () z eku okoliu U() tčke, od je αβ beskočo ml kd. Ako je f() = c R z svki iz eke okolie tčke, od je, očito, f ( ) c. = Teorem... Ako je f() = A ( R), od je f() = A, tj. f() = f(), ( R ). Dokz: Tčost ove teoreme slijedi iz ejedkosti f() A f() A. Sljedeć teorem odosi se osobie es fukcije koje su u vezi relcije poretk u R. Teorem..5. (O ejedkostim). (i) Ako je f() < g(), ( R ), od postoji okoli U() tčke, tkv d je f() < g() z svki Ů D (), gdje je D presjek dome D( f ) i D(g). Specijlo, ko je f() = b < c, gdje je c rel broj, od postoji okoli U() tčke tkv d je f() < c z svki Ů D () (gdje je D dome od f ). *) O simptotskim ozkm o (mlo o), O (veliko O), ~ (ekvivleto) (simbole o i O zivmo simboli Ldu, prem E. Ldu) i jihovim osobim izlžemo u posebom odjeljku ovog poglvlj.

Alogo vži kd se zk < zmijei zkom > (ili s, odoso s ). (ii) Ako postoje griče vrijedosti (koče ili beskoče) f() i g() ( R ), pri čemu je z eku okoliu U() tčke ispujeo f() g() z sve Ů D () (gdje je D presjek dome D( f ) i D(g) kojem je tčk tčk gomilj), od je i f() g(). Alogo vži kd se zk zmijei zkom. (iii) (Teorem o dv ždr, teorem o stezju / uklješteju / ). Nek su f, g, h tri rele fukcije jede rele promjeljive, D presjek dome D( f ), D(g) i D(h) kojem je tčk tčk gomilj i ek je f() g() h() z sve Ů D (), gdje je U() ek okoli tčke (Ů D () : = U() D \ {}). Ako je f() = h() = b (, b R ), od je i g() = b. Sljedeć teorem dje jedostvu vezu izmeñu lgebrskih opercij u skupu R i gričog prelz z fukcije. Teorem..6. (O lgebrskim opercijm z ese fukcij). Nek je f() = = b i g() = c (b, c R ), gdje je tčk ( R ) tčk gomilj presjek D ( R) dome D( f ) i D(g) relih fukcij f i g. Td je : ) b) c) d) ( f ( ) ± g( )) = b ± c [ k f ( ) ] = k [ f ( ) g( ) ] f ( ) b = g( ) c = b c = ( = ( = f ( ), f ( ) g( ) Npome: Ako je f() = fukcije f ( ) g( ) ( k R); f ( ) ± f ( ) ko je c. g( )); g( )); i g() =, od o gričoj vrijedosti u tčki e možemo osovu prethodih teorem išt odreñeo kzti. Svojstv ) i b) mogu se proširiti lieru kombiciju = k proizvod = f i i ( ) i, specijlo, stepe (f()) ( N). Teorem..7. (O ekim svojstvim beskočih gričih vrijedosti).. Ako je f ( ) = + (ili ), ( R ), od je f ( ) = +.. Ako je f ( ) = + ( R ), od je =. f ( ) i i f ( ), svojstvo c). Ako je f ( ) = i ko je f() u ekoj okolii Ů D ( ) (gdje je D R f ( ) dome fukcije f ), od je = +, ( R ).. Ako je f ( ) = + ( R ), fukcij g ogriče odozdo u ekoj okolii Ů* D ( ), gdje je D presjek dome D( f ) i D(g) kojem je tčk gomilj, i, specijlo ko je g( ) = b R, od je 5. Ako je f ( = A R ) A i. [ f ( ) ± g( ) ] = +. i = + g( ) f ( ) = g( ), od je f ( ) g( ) = sg A z i

5 Dokz:. Iz uslov dijel. ove teoreme slijedi d postoji broj p R, tkv d je p < g() z svki Ů* D ( ), i d z svki dovoljo veliki broj > postoji okoli U '( ) tčke tkv d je f() > p z svki Ů ' D ( ). Otud slijedi d postoji okoli U ( ), sdrž u okolim U *( ) i U '( ), tkv d je f() + g() > z svki Ů D ( ), p je [ f ( ) + g( ] = + ). Polzeći od defiicije es fukcije, iz egzistecije zčeog es lko se dokžu i ostli dijelovi (tj... i 5. ) ove teoreme. Q.E.D. I kod fukcij defiirju se es iferior i es superior, sličo ko kod izov. Limes iferior (odoso es superior) fukcije f : D K (D, K R) kd, u ozci if f ( ) ili f ( ) (odoso sup f ( ) ili f ( ) ), je jmj (odoso jveć) grič vrijedost iz ( f( )) po svim izovim ( ) ( D ) koji teže k. Z rzliku od es, es iferior i es superior uvijek postoje u R. Lko se vidi d fukcij f : D K (D, K R) im griču vrijedost A kd kko je if f ( ) = sup f ( ) = A, (A R, R, gdje je tčk gomilj od D). Npr., + if f si = = sup si, p + si + e postoji... Osove elemetre fukcije rele promjeljive Osove elemetre fukcije rele promjeljive su (kostte i idetičk fukcij i) ekspoecijle i logritmske fukcije, stepee fukcije, trigoometrijske i iverze trigoometrijske fukcije. U redom poglvlju ćemo vidjeti d se sve tzv. elemetre fukcije mogu izrziti smo pomoću ekspoecijle i kogritmske fukcije, koje su, prem tome, osove fukcije u mtemtici. To prktičo zči d, ko se ove dvije fukcije dovoljo rigorozo (strogo) defiirju (u relom i u kompleksom domeu), time je riješeo pitje stroge defiicije svih ostlih elemetrih fukcij. Zto ćemo ovdje detljo opisti smo strogo uvoñeje ekspoecijle fukcije i ustoviti egzisteciju jee(jedozče) iverze fukcije (u relom domeu) koj se ziv logritmskom fukcijom. Iče, osove elemetre fukcije mogu se defiirti ili eposredo pomoću osovih rčuskih opercij ili polzeći od geometrijske iterpretcije. Meñutim, uglvom oe imju odreñeu očigledost, što i oprvdv jihov ziv. U skldu s vedeom kovecijom u.., pod domeom osove elemetre (i, uopšte, elemetre, ko i proizvolje rele fukcije f jede rele promjeljive dte litičkim izrzom f()) fukcije podrzumijev mksiml (u smislu ikluzije) podskup skup R koji dopušt izrz kojim je t fukcij zd (ko ije drugčije rečeo).... Pojmovi stepe, korije i logritm. Ekspoecijle i logritmske fukcije U prethodim odjeljcim operirli smo s fukcijm ko što su pr. ekspoecijl fukcij, d ih zprvo ismo defiirli u svim slučjevim (koji imju smisl u relom domeu). Izrzi oblik, gdje je prirod broj, mogu se defiisti svoñejem operciju možej. Nime, stepe s prirodim izložiocem i bzom iz R defiir se ko poovljeo možeje: =..., ( N, R). (..) put Z = i z svki R\{}, stepe defiirmo formulom =, (..) z egtive cijele izložioce i z svki R\{}, defiirmo =. (..)

6 Ovim je defiir pojm stepe s cije izložiocem. Izrzi oblik m, gdje su m i prirodi brojevi, mogu se tkoñe svesti osove opercije stepeovj i korjeovj. Ali, izrzi oblik, gdje je irciol broj, e mogu se utomtski svesti osove opercije, već se morju defiirti. Jed prirod či d se to defiirje urdi je sljedeći: Ako je (r k ) iz rciolih brojev koji kovergir k relom broju R, z svki R +, defiirmo rk : =. (..) k + D bi ovo bilo dobro (vljo) defiiro, treb dokzti d es u (..) postoji i d e zvisi od izbor iz (r k ) rciolih brojev koji kovergir k. To se može postići polzeći od osobi fukcije r r defiire skupu Q rciolih brojev. Drugi či, z koji se pokzuje d je ekvivlet vedeom, d se defir stepe s relim (e užo rciolim) izložiocem R i bzom (osovom) R +, odoso d se defiir ekspoecijl fukcij ( R, < ), jeste d se stvi r r : = sup = if, (..) Q r Q r pri čemu treb pokzti d supremum i ifimum u (..) postoje i d su jedki. Logritmsk fukcij log ( R +, < ) se defiir ko fukcij iverz ekspoecijloj fukciji ( R, < ), ztim se pomoću ovih fukcij mogu defiirti i sve ostle elemetre fukcije (ko što je već rečeo). No, primijetimo d i opis defiicij ije strog, jer se bzir ituitivom zčeju opercij stepeovj i korjeovj. U potpuo strogom zsivju elemetrih fukcij, polzi se od ksiom relih brojev (ili od ekog kostruktivog či uvoñej relih brojev), ztim se dokzuje postojje stepe i rciolih korije. U tom smislu djemo sljedeći postupk: Pomoću pricip mtemtičke idukcije, z svki N, defiirmo ( či opis u odjeljku o relim brojevim) zbir (sumu) i = i i proizvod i = i relih brojev,,, ko i pojm stepe (potecije) s prirodim ekspoetom (izložiocem) z svki R. Koristeći se cije brojevim, proširujemo pojm stepe ovko: ( R\{}) =, = ( ) z svki N. Aksiom eprekidosti omogućv m d uvedemo korjeovje ili što je isto, stepeovje s rciolim izložiocem. U tom smislu immo sljedeću teoremu. Teorem... Z svki dti pozitiv rel broj i z svki prirod broj postoji i jedozčo je odreñe pozitiv rel broj, tkv d je =, ili simbolički: ( N, R + ) (! R + ) =. Dokz: Ozčimo s A skup { z [, + ) z }. Ov jskup A je očigledo eprz (jer sdži pr. elemet ) i ogriče odozgo (pr. brojem ko je i brojem ko je ). Otud prem teoremu o supremumu postoji sup A u R kojeg ćemo ozčiti s, tj. : = sup A. Očito vrijedi d je >. Dokžimo d je tržei broj, tj. d je =. Pretpostvimo suproto, tj. pretpostvimo d je. Dokžimo d je < emoguće. Ako bi bilo <, od bi vrijedilo >. Ozčimo rzliku s ε. Z svki h (, ], prem Newtoovoj biomoj formuli,vži:

7 ( + h) = h h h h k= = + k= + k= k k k k k k k k ( + ) = + h. N osovu posljedice Arhimedovog svojstv ureñeog polj R, prem kojoj z sve, b R z koje je < b, postoji rciol broj c, tkv d je < c < b, postoji h (, ] tkv d je h < ε / [(+) ]. Otud je ( + h) + ε =, to zči d postoji elemet + h u skupu A koji je veći od, š to je u suprotosti s = sup A. Prem tome emoguće je d bude <. Sličo se dokzuje d je > emoguće. Zto je =, čime je zvrše dokz egzistecije tržeog elemet. Jedozč odreñeost elemet R + s osobiom = js je, jer ko bi postojl dv meñusobo rzličit elemet, R +, tkv d je = i = od bi z, pr., <, bilo = < =, što je emoguće. Time je dokz teoreme... zvrše. Defiicij... Broj R + z koji je = ( N, R + ), čij je egzistecij i jedozčost osigur prethodom teoremom..., ziv se ti korije broj i ozčv s : = ili : =. Prem tome, pojm stepe s rciolim izložiocem r, r Q, može se defiirti z svki > s: m r m = ( ) ( = ) z r, m m r m m m ( = ) = ( = ( ) ) z r =, (m, N ); r = z r = ; = (m, N ). Z ovouvedeu operciju korjeovj, odoso stepeovj s rciolim izložiocem vrijede pozt prvil (z sve, b R + ; m, N; r, r, r Q) : m m (i) b b, = ; r r r + r r r r r r r r = (ii) =, ( ) =, ( b) = b.. Nek je R, tkv d je >. Td se lko vidi d, osim osobi (i) i (ii), vrijede i ove osobie: r (iii) ( r, r Q) r < r r < ; (iv) ko je r Q, od je r r =. Q r r Nš sljedeći kork je d pojm stepe s rciolm izložiocem r ( >, r Q) proširimo pojm stepe s proizvoljim relim izložiocem ( >, R), tj. d defiirmo št ćemo podrzumijevti pod ko je rel broj (p, dkle, i ko je rciol broj). No, prije tog rzmotrimo ovj primjer: Veći korisik mtemtike i e rzmišlj o tome kko bi se defiiro izrz ( time i izrčul jegov vrijedost), pr.,. Ako eko im potrebu d izrču vrijedost ovog izrz, izrčuće je pomoću ekog tehičkog pomgl (digitro / klkultor, elektroskog rčur). Tko može dobiti d je,9978, tj. dobiće smo približu vrijedost, s odreñeim brojem deciml. Pomoću stdrde proksimcije,7 možemo dobiti =, čime smo izrz,7 Ovko izrčut približ vrijedost izrz 7 sveli stepe s rciolim izložiocem. izosi,7. Ako proksimirmo s više decimlih,7 mjest, pr.,,7, dobijemo =,88. Još tčije, dobijemo d je,75 75 =,9956, itd. Ovj lgoritm m dje ideju kko se u opštem slučju može defiirti stepe, z proizvolj R ( > ), što smo već i iskzli kroz formule (..) i (..). Sd ćemo dti postupk (strogog) uvoñej pojm stepe ( > ), ko je proizvolj rel broj. U tom smislu stvimo zpočetu proceduru z slučj kd je >. 7

8 Nek je, dkle, (, + ) i R. Skupove { r r Q, r < } i { r r Q, r > } ozčimo s A i B, respektivo. Iz svojstv (i) slijedi d je skup A ogriče odozgo (proizvoljim elemetom skup B), skup B ogriče odozdo (proizvoljim elemetom skup A). Prem teoremm o supremumu i ifimumu postoje koči sup A i if B. Očigledo je sup A if B. Dokžimo d je zprvo sup A = if B. Zist, z r < < r (r, r Q) je r sup A if B r, odkle je r r r r r r r if B sup A = ( ) sup A ( No, osovu svojstv (ii), z svki ε > postoji δ >, tkv d vrijedi r (r, r Q) r ε < r r < δ <. sup A Otud slijedi d je if B sup A < ε, odkle, zbog proizvoljosti broj ε (ε > ), slijedi d je sup A = if B. Prem tome, pojm stepe ( >, R), smim tim i pojm ekspoecijle fukcije ( R), s osovom >, može se defiirti sljedeći či. Defiicij... Stepe s relim izložiocem (ekspoetom) i osovom (bzom), ( > ), je izrz defir s = sup A = if B. Fukcij zove se ekspoecijl fukcij s osovom (bzom). Lko se provjerv d je ovko uvede fukcij prošireje fukcije Q r r, te d o zdržv osov svojstv fukcije Q r r, im i ek ov. Sljedećim stvom su dt osov svojstv ekspoecijlih fukcij s osovom >. Stv... Nek je >. Td: r () ( R) Q r = ; (b) (, R) < < ; + (c) (, R) =, ( ) = ; (d) ( R) = ; ). R (e) fukcij preslikv skup R skup (, + ), tj. rg svke ekspoecijle fukcije ( > ) je skup R +.. Z slučj R, < <, opis procedur u slučju. (z > ) se može pooviti, uz očiglede izmjee. N tj či se dolzi do pojm stepe ( < < ) s relim izložiocem, odoso do fukcije koj im osobie ko i fukcij ( > ), osim što se osobi (b) u stvu... zmjejuje s osobiom (b') (, R) < >, tj. ekspoecijl fukcij je rstuć ko je >, opdjuć z < <..º Ako je = defiirmo = z svki R +, z = još stvljmo = z svki R. Primjer... Grfici ekspoecijlih fukcij: f () : =, f e () = e, f () = su prikzi sl.... i svi su istog oblik, ko i grfik proizvolje fukcije iz fmilije {f > } ekspoecijlih fukcij f : =, s tim što ekspoecijl fukcij brže rste (grfik je strmiji ) ko joj je bz već. Grfici ekspoecijlih fukcij: f ( ) = ( = ), f ( ) = e, f ( ) = su prikzi sl.... i svi su istog oblik e ko i grfik proizvolje fukcije iz fmilije {f : < < } ekspoecijlih fukcij f () : =, s tim što ekspoecijl fukcij osove (, ) sporije opd što joj je bz već.

9 = = e = = e = = = ( > ) = ( < < ) Sl.... Sl.... U mtemtici i jeim primjem posebo je vž ekspoecijl fukcij s osovom e (Eulerov *) broj). Z ekspoecijlu fukciju s osovom e koristi se ozk ep, tko d je ep : = e z svki R. Tkoñe se z fukciju koristi simbol ep. Fukcij f : R R +, dt s f() = z R, >,, prem svojstvim (b) i (e) u stvu..., jeste bijekciij, p im (jedozču ) iverzu fukciju f : R + R, tj. im smisl sljedeć defiicij. Defiiij... Iverz fukcij f : (, + ) R fukcije f : R (, + ) dte s f() = ( < ), tj. fukcije ep : R R + ziv se logritmsk fukcij s osovom (bzom) i ozčv simbolom log : R + R. Pri tome, log (), ( > ), pišemo ko log, i zovemo logritm broj po bzi (ili u odosu bzu ). Dkle, = log =. Logritmsku fukciju ili logritm s osovom = e zivmo prirodi logritm i ozčvmo l : R + R (l = logrithmus turlis), tj. l : = log e. No, u ovije vrijeme preovlñuje ozk log (koj je rije korište z logritme z osovu ) umjesto ozke l. Tkoñe se poekd koristi i ozk lg z logritme s osovom (pr., u ruskoj literturi, posebo strijoj). Pozvjući grf(ik) ekspoecijle fukcije, grf(ik) fukcije log možemo dobiti (ko grfik iveze fukcije) tko d prvimo oso simetriču sliku grf ekspoecijle fukcije ep s obzirom simetrlu I. i III. kvdrt, tj. prvc dtog s =. Iz sl.... se vidi d je logritmsk fukcij z > (strogo) rstuć, z < < (strogo) opdjuć fukcij. Jedi ul logritmske fukcije log je = jer je = (z svki R\{}). Po defiiciji logritmske fukcije, ko iverze od ekspoecijle fukcije s osovom ( < ), immo: *) Leohrd Euler (77 78) roñe je u Švjcrskoj, li se rzdoblje jegov jplodijeg rd povezuje s Berliom u vrijeme Frederick Velikog i St Petersburgom u vrijeme Ktrie Velike. Uz Joseph Louis Lgrge (76 8), frcuskog mtemtičr (koji je većiu svojih rdov urdio u Berliu, gdje je slijedio Euler u Akdemiji), smtr se jvećim i jplodijim mtemtičrom 8. stoljeć. Objvio je broje rdove iz teorijske i primijejee mtemtike. Njemu se pripisuju ds stdrde ozke : π, e, i, te ozke z sumciju i vrijedost fukcije f(). = log ( > ) = log (< <) Sl.... (Grfik logritmske fukcije z dvije vrijedosti osove.)

( R) log ( ) =, ( R + ) = log. Neposredo iz defiicije...i stv... slijede osove osobie logritmske fukcije. Stv... Nek je <, ;,, >. Td: ) log =, log = ; ) log ( ) = log + log ; ) ( < ) ( log < log ), ko je >, ( < ) ( log > log ), ko je < < ; ) skup svih vrijedosti fukcije log : R + R je skup R svih relih brojev; 5) log = log. Dokz: Svojstv ) ) slijede iz odgovrjućih osobi ekspoecijle fukcije i defiicije logritmske fukcije, odoso logritm. Tko je log = =, što je tčo osovu defiicije stepe. Isto tko je log = =, što vrijedi z svki < (čk z svki R\{} ). Ostje d se dokže svojstvo 5). No, osovu ) je ') log log = log. ε ε Zto su ejedkosti ε < log log < ε ekvivlete s log ( ) = ε < log < ε = log ( ), odoso, osovu svojstv ), s ε ε < < ε ε z > i < < ε ε ε ε < < z < <. U svkom slučju dobijemo d je < < z > ili z < <, odoso ε < log log < ε. Time smo dokzli d je log = log. Q.E.D. + + R R Rzlikujući slučjeve kd je α = N; α = ; α = ; α =, ( N); α = m Q; Q r α ( R), dokzuje se d vrijedi i vžo svojstvo: 6) (b R +, α R) log (b α ) = α log b, odkle odmh slijedi d z sve α, β R i z svki R + vrijedi jedkost: ( α ) β = α β. Primijetimo d se relcije ) i ') mogu poopštiti tko d vži: log ( ) = log + log, i log = log log z sve R + ;, R tko d je >. Tkoñe pomeimo d vrijedi relcij log = log, z sve N, R\{} i R +. Z < fukcij f iz R u R zd formulom f() = defiir je smo z oe R z kojeje = ili = q p, gdje su p i q reltivo prosti cijeli brojevi i q epr. Dome tkve fukcije je siromš, p jčešće tkve fukcije isu od odreñeog iteres. Alogo vži i z jihove iverze fukcije f (): = log. Zbog ovog i rečeog u, uglvom se ogričvmo, kod fukcij zdih relcijom f(): =, slučjeve <. Zdtk... gr.sl.) Rel fukcij f jede rele promjeljive zd je formulom f ( ) = ( ). Ispitti d li je t fukcij ijekcij i d li im (jedozču) iverzu fukciju. gr.sl.) Zdtk zd z pismei i zvrši ispit iz Ižejerske mtemtike (IM) Elektrotehičkom fkultetu Uiverzitet u Srjevu (održ 7.9.).

Zdtk... Odrediti (prirodi) dome D i osovi period T rele fukcije f jede rele promjeljive zde formulom. f ( ) : =. 6 6 - cos - si ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- [Rezultt. { } k π π D =, k Z, T =.] Zdtk... Odrediti (prirodi) dome, ispitti periodičost i (u slučju periodiče fukcije) odrediti osovi period (ukoliko postoji) svke od relih fukcij f, g jede rele promjeljive zdih formulm f ( ) = cos( + 6) + cos + si +, g( ) = tg. l si ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- π [Rezultt. D( f ) = { R k ; k Z },T(f) =π ; D( g) = { R (k+ ) π ; k Z }, g ije periodič.] Zdtk... Odrediti (prirodi) dome, ispitti periodičost i (u slučju periodiče fukcije) odrediti osovi period (ukoliko postoji) svke od relih fukcij f, g jede rele promjeljive zdih formulm g( ) = si + log + 9. f ( ) cos ( 6) (si ) (cos si ) = + + + +, ( ) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- π [Rezultt. D( f ) = { R k ; k Z },T(f) =π ; D( g ) =,, g ije periodič.] Zdtk..5.* Rel fukcij f jede rele promjeljive zd je formulom f (): = 6. ) Odrediti prirodi dome fukcije g ( ): = f (tg) z, g () = t ( t ), gdje je f zd fukcij. b) Ispitti ogričeost, prost / eprost, mootoost i periodičost fukcije g defiire u ). ----------------- * Zdtk zd ekoliko put (s eztim izmjem) z zvrši ispit iz Ižejerske mtemtike (IM) Elektrotehičkom fkultetu Uiverzitet u Srjevu u kdemskoj /. godii (počev od 7.. ).

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verb rebus prob. [Potvrdi riječi čijeicm! Pridoesi dokze.] ( Ltisk izrek) P r e d v j z s e d m u s e d m i c u s t v e (u kdemskoj /. godii)... Stepe fukcij U prethodoj tčki smo defiirli opšti pojm stepe u skupu R, te pojmove ekspoecijle fukcije i logritmske fukcije log (bz je fiks). Ako sd fiksirmo ekspoet, pretpostvimo d se bz mijej, u uobičjeim ozkm dobijemo sljedeću defiiciju. Defiicij... Z svki R, fukcij, defiir R + ziv se stepe fukcij (ili potecijl fukcij) s ekspoetom. Osov svojstv stepee fukcije lko se dobiju iz osovih svojstv ekspoecijle i logritmske fukcije, tj. tko dobijemo ov svojstv: ( i ) log, ( >, R, < ); ( ii ) log log, ( >, R, < ); ( iii ) ( ), ( >,, R ); ( iv ) fukcij je (strogo) rstuć z >, (strogo) opdjuć z < ( R + ); ( v ) z R \ {} fukcij preslikv R + bijektivo R +. (v. sl...) Primijetimo d se z eke vrijedosti ekspoet dome fukcije može proširiti. Tko, p ko je rciol broj i jegov imeilc q je epr, izrz možemo z < defiirti s: q, ko je p pr,, ko je p epr. Ako je > još defiirmo: =. Lko se vidi kko se dobiju proširej dome fukcije i u ost mogućim slučjevim. = - Sl.... Sl... 5. Običo se pod pojmom stepe fukcij s ekspoetom podrzumijev svk rel fukcij f (jede rele promjeljive) koj je zd formulom f () : =. Ovko defiir pojm stepee fukcije je prošireje pojm stepee fukcije uvedeog u defiiciji... Lko se izvode i osov svojstv ovko proširee stepee fukcije.