Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064)

Transcript

1 Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 SADRŽAJ SADRŽAJ UVOD DEO RELACIJE I FUNKCIJE DEO ALGEBRA 6 DEO NIZOVI I REDOVI DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE 7 5 DEO LIMESI I IZVODI 9 6 DEO OSNOVNE TEOREME DIFERENCIJALNOG RAČUNA 7 DEO GRAFIK FUNKCIJE 6 8 DEO FUNKCIJE SA DVE PROMENLJIVE 9 DEO INTEGRALI 0 0 DEO DIFERENCIJALNE JEDNAČINE 5 DEO VEROVATNOĆA 55 DEO FINANSIJSKA MATEMATIKA 58 REŠENJA 60 DODATAK A PODSETNIK 8 DODATAK B TABLICA IZVODA 5 DODATAK C TABLICA INTEGRALA 5

2 UVOD Zbirk sdrži 5 ispitnih zdtk koji su bili n ispitu prethodnih godin i to s proverenim rešenjim Rešenj nekih zdtk su detljn, dok su kod drugih dti smo rezultti Zdci su podeljeni po oblstim i u okviru svke oblsti grupisni po tipu i po težini od lkših k težim N krju zbirke nlzi se podsetnik (dodtk A) koji Vm preporučujem d prvo pročitte Ov zbirk je nstl ko pomoćno sredstvo studentim koji pohđju kurs kod utor zbirke, md može d posluži i ost z lkše spremnje ispit Prednost ove zbirke je što prvi put n jednom mestu imte teoriju i zdtke i što su ispitni zdci rzvrstni po oblstim, tko d prlelno predvnjim možete postepeno d testirte svoje znnje rdeći ispitne zdtke iz oblsti koje ste prešli Ndm se d će vm ov zbirk biti od velike pomoći Že Vm puno uspeh n ispitu Autor: dipl ing Čslv Pejdić

3 Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 DEO RELACIJE I FUNKCIJE U prvom delu dti su zdci iz relcij i funkcij Zdci su grupisni tko d njpre dolze zdci vezni z ispitivnje osobin relcij, ztim s opercijm s relcijm i n krju zdci s funkcijm Teorijsk pitnj n usmenom: Beskončno mle i beskončno velike veličine Relcij poretk i relcij ekvivlencije Binrne relcije (osnovne osobine) Funkcije (definicij i osnovne osobine) 5 Relcije i funkcije 6 Osnovne osobine relnih funkcij Definicij : (Dekrtov proizvod) Nek su dt dv neprzn skup A i B Dekrtov proizvod skupov A i B se definiše ko: A B = {(,y) A y B} Definicij : (definicij relcije) Nek su dt dv neprzn skup A i B Svki podskup skup A B nziv se binrnom relcijom u skupu A B Skup uređenih prov koji pripdju relciji je grf relcije Definicij : (refleksivnost) Relcij A je refleksivn ko vži: ( A) Definicij : (simetričnost) Relcij A je simetričn ko vži: (,y A) ( y y ) Definicij 5: (ntisimetričnost) Relcij A je ntisimetričn ko vži: (,ya)( y y = y) Definicij 6: (trnzitivnost) Relcij A je trnzitivn ko vži: (,y,z A) ( y y z z) Definicij 7: (relcij ekvivlencije) Relcij A nziv se relcijom ekvivlencije ko je istovremeno refleksivn, simetričn i trnzitivn Kls ekvivlencije z reln broj je: ρ A Definicij 8: (relcij poretk) Relcij A nziv se relcijom poretk ko je istovremeno refleksivn, ntisimetričn i trnzitivn Definicij 9: (komplement relcije) Svkoj binrnoj relciji ρ A B može se pridružiti njen komplement ρ A B, tko d vži: (,y) ( y non ρ y) Definicij 0: (inverzn relcij) Svkoj binrnoj relciji A B može se pridružiti njoj inverzn relcij - B A, tko d vži: (,y) ( - y y ) Definicij : (podskup relcij) Relcij je podskup relcije () ko vži: (,y) ( y y)

4 Definicij : (unij relcij) Unij relcij i () se definiše ko: y y y Definicij : (presek relcij) Presek relcij i () se definiše ko: y y y Definicij : (proizvod relcij) Proizvod relcij i ( ) se definiše ko: y ( z) z z y Definicij 5: (definicij funkcije) Binrn relcij f definisn u skupu A B nziv se preslikvnje (funkcij) skup A u skup B i piše se f : A B, ko su ispunjen dv uslov: skup svih prvih komponent skup f jednk je skupu A, vži implikcij ( A) (,y) f (,y) f y = y, tj jednkost prvih komponent implicir jednkost drugih komponent Definicij 6: (domen definisnosti funkcije) Domen definisnosti funkcije (D) su sve vrednosti nezvisne promenljive () z koje funkcij postoji Definicij 7: (skup vrednosti funkcije) Skup vrednosti funkcije (V) je skup svih vrednosti koje funkcij može d im n domenu D Definicij 8: (sirjektivnost) Ako je preslikvnje f : A B tkvo d je skup svih vrednosti funkcije V jednk skupu B, td se kže d je f sirjektivno preslikvnje, ili se još kže d f preslikv skup A n skup B Definicij 9: (injektivnost) Preslikvnje f : A B je injektivno ko i smo ko se rzličiti elementi skup A preslikvju u rzličite elemente skup B, tj vži implikcij: (, A) f() f(), odnosno (, A) f() = f() = Definicij 0: (bijektivnost) Preslikvnje f : A B je bijektivno ko i smo ko je sirjektivno i injektivno, tj vži implikcij: (, A) f() = f() = Definicij : (inverzn funkcij) Ako je preslikvnje f : A B bijektivno, td se inverzno preslikvnje f - preslikvnj f definiše n sledeći nčin: f - : B A, f - (f()) =, tj slik svkog element f() iz skup B je element iz skup A Definicij : (proizvod funkcij) Pod proizvodom preslikvnj f : AB i g : BC podrzumev se preslikvnje h : AC određeno s: ( A) h() = g(f()) Ovo preslikvnje oznčvmo s h = g f Definicij : (ogrničenost funkcije) Funkcij y = f() je ogrničen u oblsti definisnosti D ko postoji pozitivn broj K tkv d je: ( D) f() < K Definicij : (monotonost funkcije) Funkcij y = f() je monotono rstuć u oblsti definisnosti D, ko vži implikcij: (, D) ( > f() > f()), monotono opdjuć u oblsti definisnostid, ko vži implikcij: (, D) ( > f() < f()) Definicij 5: (prnost funkcije) Funkcij y = f(), definisn n segmentu [-,], je prn ko je: ( [-,]) f(-) = f(), neprn je ko je: ( [-,]) f(-) = -f() Definicij 6: (periodičnost funkcije) Funkcij y = f(), definisn u oblsti D, je periodičn ko postoji reln broj 0, tkv d je: ( D) f( + ) = f() (oktobr- 06, jun 0) Ispitti d li je relcij definisn ko y n - y n 0 relcij poretk n skupu R relnih brojev:

5 Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 ) z n = b) z n = (jun 0, februr 0-usmeni, jnur 00-usmeni) Ispitti d li je relcij definisn ko y kko(def) (k Z) y = k jedn relcij poretk n skupu prirodnih brojev (jnur 05, jnur 0, oktobr- 0, februr 0, jnur 00, jun 009) Dt je binrn relcij zdt ko: ρ y y, + y + Ispitti d li je ovo relcij poretk n skupu: ) R, b) (, ) (februr 05, jnur 05, septembr 008) Dt je binrn relcij zdt ko: ρ y y + y + Ispitti koje od osobin linernog uređenj im ov relcij n skupu R 5 (oktobr- 0, februr 008, jnur 007, oktobr- 006) Pokzti d je binrn relcij zdt ko: ρ y y + y +, jedno uređenje skup (, ), li ne i skup R 6 (oktobr 0, oktobr 0, februr 0, jnur 00, jun 009-usmeni) Ispitti d li je relcij definisn uslovom: ρ y kko def + = y + y n skupu, 0 (0, ) relcij ekvivlencije Ukoliko jeste, odrediti klsu ekvivlencije broj 7 (oktobr 05, jnur 0-usmeni, jnur 00, jnur 009, jnur 006-usmeni) Ispitti d li je relcij definisn ko: ρ y kko def y y = 0, jedn relcij ekvivlencije n skupu relnih brojev Ukoliko jeste, odrediti klse ekvivlencije [0], [] i [] 8 (oktobr 05) Ispitti d li je relcij definisn ko: ρ y kko def y y = 0, jedn relcij ekvivlencije n skupu relnih brojev Ukoliko jeste, odrediti klse ekvivlencije [0], [] i [] 9 (jnurr 07) Ispitti d li je relcij definisn ko: ρ y kko def y y y = 0, jedn relcij ekvivlencije n skupu relnih brojev Ukoliko jeste, odrediti klse ekvivlencije [0], [] i [] 0 (jnur 0-usmeni, jnur 009, jnur 007) D li je sledeć relcij, relcij ekvivlencije: y y+y = y + Ako jeste, odrediti klsu ekvivlencije broj 7 i 7 (jul 0-usmeni, jun 0, jnur 0) Ispitti d li je relcij definisn n skupu beskončno mlih veličin u okolini neke tčke f() ( R ), ko f ρ g =, jedn relcij ekvivlencije g() (jul 0, septembr 008, februr 006-usmeni, jnur 006) Odrediti sve moguće relcije ekvivlencije nd četvoročlnim skupom S =,,, Koliko ih ukupno im? (februr 0, februr 0-usmeni, septembr 008) D li iz trnzitivnosti relcij i sledi trnzitivnost relcije? (Pokzti) (septembr 0) Ispitti d li je - A, relcij ekvivlencije n skupu A, ko je relcij A refleksivn i trnzitivn n skupu A 5 (oktobr- 008-usmeni, septembr 008-usmeni, jnur 007-usmeni, oktobr- 006-usmeni, jnur 006-usmeni) Ispitti d li su funkcije f = i g = bijekcije 6 (oktobr 00-usmeni, oktobr 008-usmeni) Ispitti d li su funkcije f = + + i g = + bijekcije 7 (jul 0) Dte su funkcije f, g: R R, definisne ko f = + 6 i g = + Ispitti d li su to bijekcije Ukoliko nisu odrediti domen i kodomen funkcije koj nije bijekcij tko d bude bijekcij, ztim odrediti i njihove odgovrjuće inverzne funkcije 8 (septembr 06, jnur 05-usmeni, februr 0) Odrediti njmnju vrednost relnog prmetr i odgovrjuću vrednost relnog prmetr b tko d funkcij f:, 0, b, zdt s f = + bude bijekcij, ztim odrediti f () 9 (septembr 008-usmeni) Ispitti monotonost i konveksnost funkcije f = +, koristeći definiciju 5

6 DEO ALGEBRA U drugom delu dti su zdci iz lgebre Zdci su grupisni tko d njpre dolze zdci iz mtric: komuttivne mtrice, inverzn mtric, mtrične jednčine i rng mtrice, dok su n krju dti sistemi koji se rešvju primenom Gusovog metod, Krmerovih prvil, Kroneker-Kpelijevom teoremom ili mtričnim metodom Teorijsk pitnj n usmenom: Kroneker-Kpelijev teorem Teorem o bzisnom minoru Krmerovo prvilo Inverzn mtric 5 Rng mtrice (definicij i osnovne osobine) 6 Mtrični metod 7 Linern zvisnost vrst (kolon) mtrice i rng mtrice 8 Mtrice (definicij i osnovne osobine) 9 Determinnte (definicij i osnovne osobine) Definicij : (mtrice) Mtric tip m n je šem oblik A = n ij R; i =,, m; j =,,, n m mn Mtric A oznčv se krće i n ovj nčin A = ij mn Ako je m = n mtric se nziv kvdrtn, u suprotnom mtric se nziv prvougonom Elementi k, k,, kn, čine k-tu vrstu mtrice A Elementi l, l,, mlčine l-tu kolonu mtrice A Niz element,,,nn kvdrtne mtrice n n nzivmo glvnom dijgonlom te mtrice Dve mtrice su jednke kko su istog tip i ko su im odgovrjući elementi međusobno jednki, tj A = B ij = bij (i =,,,m;j =,,,n) ) Zbir mtric A i B istog tip je mtric C z koju je: cij = ij + bij (i =,,,m;j =,,,n) ) Proizvod sklr i mtrice A je mtric C z koju je: cij = ij (i =,,,m;j =,,,n) ) Proizvod AB mtrice A = ij mn i mtrice B = bij np je mtric n C = cij mp z koju je: cij ikbkj ( i,,, m; j,,, p) k Proizvod mtric definisn je smo ko je broj kolon mtrice A jednk broju vrst mtrice B Komuttivni zkon z množenje mtric u opštem slučju ne vži, tj AB BA Množenje mtric je socijtivn opercij, tj (AB) C = A (BC) Množenje mtric je distributivn opercij u odnosu n sbirnje mtric, tj (A + B) C = AC + BC ) Trnsponovn mtric mtrice A = ij je mtric A = m n ij z koju je: n m ij = ji (i =,,, n; j =,,, m) Mtric A se dobije kd se vrste mtrice A uzmu z kolone mtrice A Neke specijlne mtrice: ) Mtric O, čiji su svi elementi jednki nuli, zove se nul mtric ) Kvdrtn mtric I, čiji su svi elementi vn glvne dijgonle jednki nuli, elementi glvne dijgonle jednki, zove se jediničn mtric ) Mtric A kod koje je A = A, zove se simetričn ) Mtric A kod koje je A = -A, zove se ntisimetričn 5) Mtric A kod koje je AA = I, zove se ortogonln 6) Mtrice A i B su komuttivne ukoliko vži AB = BA 6

7 Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 Definicij : (determinnte) n Nek je A kvdrtn mtric n nn, td broj det A = ( ) P(k,k, k n ) k k nkn (k, k,, k n ) n!, gde smo s n! oznčili skup svih permutcij niz (,,,n), s p(k,k,,kn) prnost permutcije (k,k,,kn) niz (,,,n), nzivmo determinntom mtrice A n Determinntu mtrice A oznčvćemo s deta ili n n n nn Neposrednom primenom definicije dobijmo formule z izrčunvnje determinnt prvog, drugog i trećeg red: det = det = det = + + Determinnte trećeg (i smo trećeg red) se prktično njčešće rčunju po Srusovom prvilu, koje se može lko zpmtiti u sledećem obliku: determinnti dopišemo prvu i drugu kolonu i prvimo proizvode po dijgonlm, ne menjjući znk proizvodu s glvne dijgonle i njemu prlelnim trojkm, menjjući znk proizvodu s sporedne dijgonle i njemu prlelnim trojkm N krju nprvimo zbir svih ovih proizvod što će biti tržen vrednost determinnte Neke osobine determinnt: ) Ako su elementi jedne vrste (kolone) proporcionlni elementim druge vrste (kolone), determinnt je jednk nuli ) Zjednički činilc jedne vrste (kolone) može d se izdvoji ispred determinnte ) Vrednost determinnte se neće promeniti ko se elementim jedne vrste (kolone) dodju odgovrjući elementi druge vrste (kolone), pomnoženi istim brojem ) det (AB) = det (A) det (B) Definicij : (lgebrski komplement) Ako izostvimo i-tu vrstu i j-tu kolonu (i,j =,,n) jedne kvdrtne mtrice tip n n, dobijmo jednu novu mtricu tip (n-) (n-) Determinntu n ovj nčin dobijene mtrice oznčvmo s Mij i nzivmo minorom element ij Algebrski komplement element ij, u oznci Aij, biće Aij = (-) i+j Mij Teorem : (teorem o rzvijnju determinnte) Z svki i (i=,,,n) n n n n Definicij : (regulrn mtric) = ia i + ia i + + in A in = ia i + ia i + + ni A ni nn Z kvdrtnu mtricu A kžemo d je regulrn kko je det A 0, kd je det A = 0, ond mtricu nzivmo singulrnom Definicij 5: (inverzn mtric) Kvdrtnu mtricu X tip n n nzivmo inverznom mtricom mtrice A tip n n kko je AX = XA = I Inverznu mtricu mtrice A oznčvmo s A - Definicij 6: (djungovn mtric) Mtric dj A koj se dobij kd se elementi mtrice zmene njihovim lgebrskim komplementim, p se ztim tkv mtric trnsponuje, zove se djungovn mtric mtrice A Teorem : (teorem o inverznoj mtrici) Kvdrtn mtric A im inverznu mtricu kko je mtric A regulrn Ako je A regulrn mtric, ond je A = deta dja 7

8 Definicij 7: (rng mtrice) Nek je dt mtric A tip m n Ako postoji regulrn podmtric tip k k mtrice A i svk podmtric tip i i, z i > k, ko tkvih im, je singulrn, ond kžemo d je rng mtrice A jednk broju k, što oznčvmo s rng A = k (ili r(a) = k) Definicij 8: (elementrne trnsformcije mtric) Elementrne trnsformcije mtric su: ) Rzmen dve vrste (kolone) b) Množenje element jedne vrste (kolone) nekim brojem koji je rzličit od nule c) Dodvnje elementim jedne vrste (kolone) odgovrjućih element druge vrste (kolone) pomnoženih proizvoljnim brojem Definicij 9: (ekvivlentne mtrice) Mtric A je ekvivlentn mtrici B, u oznci A ~ B, ko se od mtrice A može preći n mtricu B primenom končno mnogo elementrnih trnsformcij Definicij 0: (bzisni minor) Ako je r rng neke mtrice A, ond determinntu svke njene regulrne podmtrice tip r r nzivmo bzisnim minorom mtrice A Teorem : (teorem o bzisnom minoru) Ako je r rng neke mtrice, ond postoji r linerno nezvisnih vrst, odnosno kolon te mtrice, tkvih d se svk drug vrst, odnosno kolon te mtrice može izrziti ko njihov linern kombincij Teorem : Ako je A ~ B, ond je rng A = rng B Teorem 5: (Kroneker-Kpelijev teorem) Nek je dt sistem S od ukupno m linernih jednčin s n nepozntih m m n n mn n n n b b b n Mtric sistem S je mtric A m Proširen mtric sistem je mtric m A p S m m n m mn n n mn b b b m ) Sistem S je sglsn i im jedinstveno rešenje kko r(a) = r(ap) = n ) Sistem S je sglsn i im beskončno mnogo rešenj kko r(a) = r(ap) < n ) Sistem S je protivrečn (nem rešenj) kko r(a) r(ap) Ukoliko je slučj ) mtric A je kvdrtn rešenje tržimo primenom Krmerovih formul n sledeći nčin: ko je = det A i ko s i = det Ai oznčimo determinntu mtrice Ai, koj se od mtrice A rzlikuje po tome što su elementi i-te kolone zmenjeni elementim b,b,,bn, rešenj nlzimo iz krmerovih formul: Definicij : (homogen sistem) Sistem S je homogen ukoliko je b = b = = bm = 0 Teorem 6: Ukoliko je sistem S homogen, td vži: ) Sistem S je sglsn i im jedinstveno rešenje (,y,z) = (0,0,0) ko je rng A = n,,, n n 8

9 Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 ) Sistem S je sglsn i im beskončno mnogo rešenj ko je rng A < n 0 (oktobr 0, jun 00, septembr 009, jun 008, oktobr 006) Nći sve mtrice koje su komuttivne s mtricom A = 0 (februr 008-usmeni, jnur 007) Nći sve mtrice koje su komuttivne s mtricom A = 0 (jnur 0-usmeni) Izrčunti vrednost determinnte: (jnur 009-usmeni) Odrediti inverznu mtricu A mtrice A = (jnur 0-usmeni, septembr 00-usmeni) Nći inverznu mtricu mtrice: A = 0 5 (februr 006) Odrediti A, ko je A = 6 (oktobr 006-usmeni) 5 Nći inverznu mtricu mtrice A = 7 (februr 006) Pokzti d z bilo koje regulrne mtrice A i B vži: AB = B A 8 (jnur 0-usmeni, februr 0, oktobr 00, jnur 006) 0 Rešiti mtričnu jednčinu: AX = X + A, gde je A = 0 9 (septembr 0, februr 006) Rešiti mtričnu jednčinu:xa = AB, ko je A = i B = (jul 0, jun 0, jun 00-usmeni, septembr 008, oktobr 007, februr 006-usmeni) 0 Rešiti mtričnu jednčinu AX=B ko je: A = 0 i B = 0 0 (jul 0, jnur 0, jnur 0, jnur 00) 5 Rešiti mtričnu jednčinu XA=B, ko je: A = 0 i B = 0 8 (jun 0) Rešiti mtričnu jednčinu: XM = XB + 6B, pri čemu je: M = (trnsponovnu mtricu mtrice B oznčvmo s B ) i B = 0 0 (septembr 05) Rešiti mtričnu jednčinu: (X E) = AM, ko je: 9

10 A = 0, M = i E = (jnur 05) Rešiti mtričnu jednčinu: K + X = XAB, pri čemu je: A = 0, B = A i K = (oktobr- 009-usmeni, septembr 006, februr 006) Odrediti rng mtrice A u zvisnosti od prmetr, ko je: A = 6 (septembr 0) Odrediti rng mtrice: u zvisnosti od prmetr 7 (jnur 0-usmeni, jnur 0-usmeni, jnur 0, jnur 00, jnur 009-usmeni, februr 008-usmeni, jnur 006) Odrediti broj linerno nezvisnih kolon(vrst) mtrice A = (jnur 06) Odrediti broj linerno nezvisnih kolon mtrice A = (jnur 07, jnur 05-usmeni, jun 0-usmeni, oktobr- 0-usmeni, oktobr- 0-usmeni, februr 0, oktobr 0-usmeni, februr 0, oktobr- 00-usmeni, jnur 00, oktobr- 009-usmeni, septembr 008) Odrediti br bzisn minor sistem jednčin: + y z = 8 - y + z = y z = -8 0 (jnur 009-usmeni) Koristeći mtrični metod rešiti sistem jednčin: + y z = 8 - y + z = y z = -8 (jnur 007) Gusovim metodom rešiti sistem jednčin: + y - z = y + z = 6 + y - z = 0 (jnur 006) Diskutovti rešenj sistem linernih jednčin: - y - z = 0 + y - z = 0 + y - z = 0 + y + z = 0 (jnur 006-usmeni) Diskutovti rešenj sistem linernih jedčin: + (-)y + z = y z = 0 y + z = 0 u zvisnosti od relnog prmetr (februr 05) Diskutovti rešenj sistem linernih jednčin: k + 5y + z = y + 5z = 0 + 6y + k + 6 z = 0 0

11 Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 u zvisnosti od relnog prmetr k 5 (jnur 0, oktobr 007) Diskutovti rešenj sistem linernih jednčin: k + 5y + z = y + 5z = 0 + 6y + k + 6 z = u zvisnosti od relnog prmetr k 6 (februr 0, oktobr- 008-usmeni, septembr 007-usmeni, oktobr- 006-usmeni, februr 006-usmeni) Zvisno od vrednosti relnog prmetr diskutovti i rešiti sistem linernih lgebrskih jednčin: + y = y + z = + y + z = 7 (februr 05, oktobr 0, jnur 0, jnur 00, oktobr 007, jnur 006) Diskutovti rešenj sistem linernih jednčin: + y - z = + y z = + z = 8 (septembr 009) Zvisno od vrednosti relnog prmetr diskutovti i rešiti sistem linernih lgebrskih jednčin: - y + z = + (-7)y + z = 8 + y - z = 9 (jnur 0, septembr 008-usmeni, jun 008-usmeni, februr 006-usmeni, jnur 006-usmeni) Zvisno od vrednosti relnog prmetr diskutovti i rešiti sistem linernih lgebrskih jednčin: y + z = + (-)y + z = + y z = 50 (februr 0, februr 0-usmeni, februr 008, septembr 007-usmeni, jnur 006-usmeni) Zvisno od v rednosti relnog prmetr diskutovti i rešiti sistem linernih lgebrskih jednčin: y + z = (+) + (-)y + z = + y z = 5 (jnur 0, jnur 009) Zvisno od vrednosti relnog prmetr diskutovti i rešiti sistem linernih lgebrskih jednčin: - y + z = - y + z = 7 - y + 8z = 5 (jnur 0, jnur 009) Zvisno od vrednosti relnog prmetr diskutovti i rešiti sistem linernih lgebrskih jednčin: - y + z = - y + z = 7 - y + 8z = 5 (jun 006) Zvisno od vrednosti relnog prmetr diskutovti i rešiti sistem linernih lgebrskih jednčin: - y + z = y + z = 7 y + 8z = 5 (jun 009, jun 009-usmeni) Zvisno od vrednosti relnog prmetr diskutovti i rešiti sistem linernih lgebrskih jednčin: - y + z = 7 + y - z = 7 + (-)y + (-)z =

12 55 (jnur 0, septembr 0, septembr 009) Zvisno od vrednosti relnog prmetr diskutovti i rešiti sistem linernih lgebrskih jednčin: + y + z = + y + z = + y + z = 56 (septembr 06) Zvisno od vrednosti relnog prmetr diskutovti i rešiti sistem linernih lgebrskih jednčin: + y +(+) z = + y (-)z = (+) + y + (+)z =+ 57 (jnur 0) Zvisno od vrednosti relnog prmetr diskutovti i rešiti sistem linernih lgebrskih jednčin: - y + z = - y + z = 7 - y + z = 58 (oktobr- 06-usmeni, jun 0, jnur 0-usmeni, oktobr- 0 usmeni, jnur 0-usmeni, oktobr- 0- usmeni, jnur 0, oktobr- 00-usmeni, septembr 006) Odrediti prmetr tko d sistem im rešenje: - y + z + u = + y - z + u = + 7y - z + u = 59 (jnur 06) Diskutovti rešenj sistem linernih jednčin: - y + z = - +y -(+)z = - y+ z = 60 (septembr 0, februr 0, februr 008, oktobr 006) Rešiti sistem linernih jednčin: + y + z + t = + y z +t = - + y 5z = -5 6 (jul 0) Zvisno od vrednosti relnog prmetr diskutovti i rešiti sistem linernih jednčin: - y + z = - y - z = + y + z = - - y + 6z = 6 (februr 0) Zvisno od vrednosti relnog prmetr diskutovti i rešiti sistem linernih jednčin: + y z + u = + y z + u = + y + z + u = + y + z + u = - 6 (septembr 0, jnur 0, oktobr- 006, jnur 006) Ako je bc 0, zvisno od ostlih vrednosti prmetr,b i c diskutovti i rešiti sistem linernih lgebrskih jednčin: y + b = c c + z = b bz + cy = 6 (oktobr 05) Zvisno od vrednosti relnih prmetr i b diskutovti i rešiti sistem jednčin: - y +z = - + (+)y - z =- + (-)y +( +)z = b 65 (jnur 05) Diskutovti rešenj sistem linernih jednčin: + y z = 0 + (p+7)y 6z =

13 Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) (p-)y + (p-)z = q+ 66 (oktobr 05) Zvisno od vrednosti relnih prmetr i b diskutovti i rešiti sistem jednčin: - + y +z 6u = 6 + 5y + z u = 6 y + z u = b+ 67 (jnur 07) Zvisno od vrednosti relnih prmetr i b diskutovti i rešiti sistem jednčin: - y +z +u = + y + z + u = b- y + z + (+)u = 8 68 (jnur 05) Zvisno od vrednosti relnih prmetr i b rešiti sistem linernih jednčin: - y + 7z + u = (+)y - z + (-6)u = 5-(+8)y +(b+)z +(6-)u =

14 DEO NIZOVI I REDOVI U trećem delu upoznćete se s nizovim i redovim Njpre su dti zdci vezni z nizove, ztim zdci u kojim se ispituje konvergencij redov i to grupisni po kriterijumim tko d njpre dolze zdci u kojim se primenjuje Opšti Košijev kriterijum konvergencije, ztim kriterijum z redove s pozitivnim člnovim, p Košijev kriterijum konvergencije i n krju Dlmberov kriterijum konvergencije Teorijsk pitnj n usmenom: Konvergencij redov s pozitivnim člnovim Grničn vrednost niz Broj e Lem o dv policjc u teoriji nizov i u teoriji relnih funkcij jednog rgument 5 Opšti Košijev kriterijum konvergencije redov 6 Košijev i Dlmberov kriterijum konvergencije redov 7 Osobine nizov (monotonost, ogrničenost, Bolcno-Vjerštrsov teorem) 8 Uređeno polje relnih brojev 9 Aritmetičke osobine konvergentnih nizov Definicij : (monotonost niz) Niz n je monotono rstući ko vži: n N n+ n > 0, monotono opdjući ko vži: n N n+ n < 0 Definicij : (ogrničenost niz) Niz n je ogrničen ko vži: n N R n Teorem : (konvergencij niz) Ogrničen i monoton niz je konvergentn Teorem : Ukoliko je niz konvergentn im tčno jednu tčku ngomilvnj Definicij : (definicij red) Nek je dt beskončn niz {un} relnih brojev, td se izrz u u, u n u n n nziv beskončnim brojnim redom, gde su u,u,u, člnovi tog red, unnjegov opšti čln Svi člnovi red mogu se dobiti iz njegovog opšteg čln un tko što indeksu n djemo redom vrednosti,, Indeks n ne mor teći od n = već od bilo kog broj n = n0 Definicij : (konvergentni redovi) Ako od člnov red u + u + u + formirmo niz s,s,s, gde je s = u s = u + u sn = u + u + + un td se niz {sn} nziv nizom deičnih sum red u n Z brojni red n un kže se d je konvergentn, ko njegov niz n deičnih sum {sn} teži končnoj grničnoj vrednosti S, tj ko postoji s n S i S se nziv zbirom (sumom) tog red n Ako pk ne postoji sn td se kže d red divergir n Ako niz deičnih sum {sn} red u n, monotono rste i ko je ogrničen td red konvergir n

15 Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 D bi red un konvergiro potrebno je d opšti čln un 0, kd n n Međutim, ovo nije i dovoljn uslov Ako opšti čln red un ne teži nuli kd n, td red divergir n Teorem : (opšti Košijev kriterijum konvergencije) D bi red un bio konvergentn potrebno je i dovoljno d svkom n > 0 (te prem tome i proizvoljno mlom > 0 ) odgovr ceo pozitivn broj N(), tkv d je sn+p-sn = un+ + un+ + + un+p < z svko n > N() i svki prirodn broj p Teorem : (redovi s pozitivnim člnovim) Redovi s pozitivnim člnovim su redovi čiji su svi člnovi pozitivni, tj un> 0, z svko n ) Red s pozitivnim člnovim biće konvergentn, ko je njegov niz deičnih sum {sn} ogrničen z svko n, odnosno ko je sn M z svko n (M je pozitivn končn broj) ) Ako člnovi redov un i n vn počev od izvesnog rng n zdovoljvju uslov, un vn Td iz: n ) konvergencije red vn sledi konvergencij red n u n n b) divregencije rede un sledi divergencij red n v n n u ) Ako člnovi red un i n n vn zdovoljvju relciju: k ( k 0, k ), td su ob red konvergentn n n vn ili ob red divergentn Teorem 5: (Košijev kriterijum konvergencije) Ako je dt red s pozitivnim člnovim un i ko z n postoji n un k, td z k < dti red je konvergentn, n n z k > je divergentn Z k = pitnje konvergencije pomoću ovog kriterijum se ne može utvrditi Teorem 6: (Dlmberov kriterijum konvergencije) Ako je dt red s pozitivnim člnovim n un i ko z n postoji k, td z k < dti red je konvergentn, n n un z k > je divergentn Z k = pitnje konvergencije pomoću ovog kriterijum se ne može utvrditi 69 (septembr 008-usmeni) Odrediti inf n N n 70 (jnur 0-usmeni) Izrčunti: n n n n 7 (jnur 007-usmeni) Izrčunti: n n 7 (jnur 0-usmeni, jnur 0-usmeni) Izrčunti: n n n n u 5

16 7 (jnur 06, februr 05-usmeni, oktobr 0, oktobr- 0-usmeni, decembr 0-psolventski, jnur 0, jnur 0-usmeni, septembr 00, jnur 00, jnur 009, februr 008-usmeni, septembr 007, jun 006, februr 006-usmeni) Koristeći Lemu o policjc ispitti konvergenciju niz: n n n n n n n n (Tekst može d glsi i Odrediti grničnu vrednost niz, što mu dođe n isto) 7 (oktobr 0, februr 0, jnur 0, oktobr- 0, jnur 0, oktobr- 00, septembr 00, jun 009- usmeni, jnur 009, oktobr- 008, oktobr 008, jun 008, februr 006) Koristeći Bolcno-Vjerštrsovu teoremu dokzti d niz {en}, definisn s e, en en ( n N) ( n )! im tčno jednu tčku ngomilvnj 75 (jnur 0, septembr 0, septembr 00) Dokzti d niz {gn}, definisn s g, gn gn ( n N) n im tčno jednu tčku ngomilvnj 76 (februr 05-usmeni, februr 05, jnur 0, jun 00-usmeni, septembr 009, jnur 009-usmeni, oktobr- 008-usmeni, oktobr 008, jun 008, februr 008-usmeni, oktobr- 006-usmeni, jun 006-usmeni) Ispitti konvergenciju hrmonijskog i hiperhrmonijskog red 77 (februr 05,jul 0-usmeni, februr 0, jnur 0, oktobr- 0, jnur 00, jnur 006) Ispitti konvergenciju redov: ) b) n n n 78 (jnur 05, jul 0, jun 00) Ispitti konvergenciju redov: ) b) n n n 79 (oktobr 006-usmeni) n n Ispitti konvergenciju red: 80 (oktobr 006) n Ispitti konvergenciju red: n n n n ln n 8 (jnur 0-usmeni, septembr 009-usmeni, septembr 008-usmeni, jnur 006-usmeni) n 7 n! Ispitti konvergenciju red: n n n 8 (jnur 05, jul 0, februr 0, jun 00) n n! Ispitti konvergenciju red: n n n 8 (jul 0) Ispitti konvergenciju red: n =

17 Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE U četvrtom delu upoznćete se s zdcim u kojim se ispituje neprekidnost i diferencijbilnost funkcije Ispitni zdci su grupisni po težini od lkših k težim Teorijsk pitnj n usmenom: Neprekidnost i diferencijbilnost relne funkcije jednog rgument Diferencijbilnost relne funkcije jednog rgument Neprekidne funkcije (definicij i osnovne osobine) Definicij : (neprekidnost funkcije) Z funkciju y = f() kže se d je neprekidn u tčki 0 ko je ispunjen uslov: f ( ) f ( ) 0 0 Iz ove definicije sledi: ) d funkcij y = f() postoji u tčki = 0, tj d je t funkcij definisn u tčki = 0, b) d postoji grničn vrednost funkcije y = f(), kd 0, tj postoji f ( ) c) d je t grničn vrednost jednk vrednosti funkcije u tčki = 0, tj d je f ( ) f ( ) Ovoj definiciji ekvivlentni su iskzi: ) Z proizvoljn broj > 0 postoji broj > 0, tkv d vži implikcij: ( ) ( 0 < f() f(0) <), ili ) Vži implikcij: h 0 y0 = f(0 + h) f(0) 0, tj prirštj funkcije y = f() u tčki 0, teži nuli ( y0 0) kd prirštj rgument teži nuli (h 0) Z funkciju y = f() kže se d je u tčki = 0 neprekidn s lev ko je f ( ) f ( 0 ), neprekidn s desn, ko je f ( ) f ( 0 ) 0 Potrebn i dovoljn uslov d funkcij y = f() u tčki = 0 bude neprekidn je d je u toj tčki neprekidn s lev i desn Z funkciju y = f() kže se d je neprekidn u intervlu (,b) ko je neprekidn u svkoj tčki tog intervl Z funkciju y = f() kže se d je neprekidn n segmentu [,b] ko je neprekidn u intervlu (,b) n krjevim intervl u tčki neprekidn je s desn, u tčki b s lev Definicij : (definicij izvod Diferencijbilnost) Nek je funkcij f definisn u nekoj okolini tčke i h reln broj rzličit od nule tkv d je + h tčk posmtrne okoline od f ( h) f ( ) Td grničn vrednost, () ko ist postoji, oznčvmo s f () ili h0 h df ( ) d 0 i nzivmo (prvim) izvodom funkcije f u tčki Ako je f () končn vrednost, ond kžemo i d je funkcij f diferencijbiln u tčki Potrebn i dovoljn uslov d grničn vrednost () postoji je d f ( h) f ( ) h f ( h) f ( ) postoje sledeće dve grnične vrednosti i, h0 h0 h koje redom oznčvmo s f +() i f -() i nzivmo desnim i levim izvodom funkcije f u tčki i d je f +() = f -() Funkcij je diferencijbiln n nekom skupu ko je diferencijbiln u svkoj tčki tog skup Postupk kojim funkciji pridružujemo njen izvod nzivmo diferencirnjem 7

18 8 (jun 05) Ispitti neprekidnost i diferencijbilnost funkcije: f =, 0 85 (jnur 0-usmeni) Ispitti neprekidnost i diferencijbilnost funkcije: f =, u tčki = 86 (oktobr- 008-usmeni, jun 008-usmeni, oktobr- 006-usmeni, jnur 006-usmeni) Ispitti neprekidnost i diferencijbilnost funkcije: f = 7, u tčki = 7 87 (jnur 07, jnur 009, jun 008-usmeni, februr 006-usmeni, jnur 006) Ispitti neprekidnost i diferencijbilnost funkcije: f() = sin(), u tčki = 88 (jun 0, jnur 0, septembr 0, februr 0, februr 0, oktobr 009, februr 008) Ispitti neprekidnost i diferencijbilnost funkije: f() = sin(), u tčkm = kπ, k Z 89 (februr 0, februr 0-usmeni) Ispitti diferencijbilnost sledeće funkcije:f =, sgn, > 90 (oktobr 006-usmeni) Ispitti neprekidnost funkcije: f = sin (), 0, = 0 9 (oktobr 008) Ispitti diferencijbilnost funkcije: y = rctg, 0, u tčki = 0 π, = 0 8

19 Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) DEO LIMESI I IZVODI U petom delu upoznćete se s esim i izvodim Limesi i izvodi nlze primenu u većini oblsti ove zbirke ko što su: Redovi, Neprekidnost i Diferencijbilnost, Osnovne teoreme diferencijlnog rčun, Grfik funkcije, Ekstremne vrednosti i Nesvojstveni integrli Njpre su dti ispitni zdci iz es, ztim ispitni zdci iz izvod Teorijsk pitnj n usmenom: Diferencijl relne funkcije jednog rgument (definicij i osnovne osobine) Lopitlov teorem Geometrijsk interpretcij prvog izvod Izvod složene funkcije 5 Tejlorov i Mklorenov formul z relne funkcije jednog rgument 6 Osnovn tvrđenj o grničnoj vrednosti relne funkcije jednog rgument 7 Grničn vrednost funkcije (definicij i osnovne osobine) Definicij : (definicij grnične vrednosti funkcije) Nek je dt funkcij y = f() i nek je tčk ngomilvnj njene oblsti definisnosti D Z broj A kže se d je grničn vrednost funkcije y=f() u tčki =, ko z proizvoljn broj > 0 postoji > 0, tkv d je f() A < kd god je < Ovo se simbolički piše f ( ) A Z broj A kže se d je grničn vrednost funkcije y = f() definisne n neogrničenom intervlu, kd, ko z proizvoljn broj > 0 postoji broj M > 0, tkv d je f() A < z svko > M, što pišemo f ( ) A Ako funkcije f() i g() imju grnične vrednosti kd ( može biti i ) td z grnične vrednosti vže sledeći zkoni: ) ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) ) ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) Teorem : (neki specijlni esi) ( g( ) 0) U zdcim se mogu koristiti sledeći poznti rezultti: sin, 0 ( ) e, ( ) 0 e, Definicij : (beskončno mle i beskončno velike veličine) 0 Z funkciju y = f() kže se d je beskončno ml u tčki = ( može biti i ), ko je f ( ) 0, beskončno velik ko je ln f ( ) ( ) k Nek su () i () kd ( ) beskončno mle i nek je ( ) ) z k 0 i k () i () beskončno mle istog red, ) z k = 0 () je beskončno ml višeg red, ) z k = () je beskončno ml višeg red Nek su () i () kd ( ) beskončno velike i nek je ( ) ) z k 0 i k () i () beskončno velike istog red, ( ) k Td su: Td su: 9

20 ) z k = 0 () je beskončno velik višeg red, ) z k = () je beskončno velik višeg red Definicij : (prirštj funkcije) Nek je funkcij y = f() definisn u intervlu (,b) i nek su 0 i dve tčke tog intervl Prirštj funkcije y = f() u tčki (0,f(0)) oznčv se s y0 i jednk je: y0 = f() f(0), ili y0 = f(0 + 0) f(0), gde je 0 = 0 prirštj rgument u tčki 0 Umesto oznke 0 u upotrebi je često i oznk h, p je prirštj: y0 = f(0 + h) f(0) Ako tčk 0 nije fiksirn, ond y = f( + h) f() predstvlj prirštj funkcije u proizvoljnoj tčki Tblic izvod elementrnih funkcij ( const)' 0 ( ( ( e (ln )' ( n )' n )' )' e n ln )' (sin )' cos (cos )' sin ( tg)' cos ( ctg)' sin (rcsin )' (rccos )' ( rctg)' ( rcctg)' Nek su u i v funkcije,b i c konstnte Td vži: ) (cu)' ) ) ) 5) (u v)' (u (uv)' u'v v'u ' u v cu' bv)' u' v' u' u'v v'u v bv' Definicij : (izvod složene funkcije) Ako funkcij g im izvod u tčki i funkcij f u tčki g(), ond funkcij h = g f tko e im izvod u tčki i h () = (f g) () = f (g())g () Definicij 5: (izvod funkcije zdte prmetrski) Ako su y i zdti u funkciji prmetr t relcijm dy dt y = (t) i = (t), td je y = d = φ (t) ψ (t) dt Definicij 6: (izvod inverzne funkcije) Ako funkcij f im inverznu funkciju g i u tčki končn i rzličit od nule izvod, ond funkcij g im izvod u tčki y = f() i g = f (g ) Definicij 7: (izvod funkcije dte u implicitnom obliku) Ako je funkcij dt u implicitnom obliku formulom F(,y) = 0 i ko F y(,y) 0, ond je y = F (,y) F y (,y) 0

21 Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 Definicij 8: (diferencijl funkcije) Ako je prirštj y funkcije y = f() z prirštj rgument moguće izrziti ko y = () + () gde () 0, 0, ond diferencijlom te funkcije nzivmo izrz dy = ()d Potrebn i dovoljn uslov z postojnje diferencijl je diferencijbilnost funkcije U tom slučju je dy = f ()d Tko, u slučju kd je f diferencijbiln funkcij u tčki, možemo koristiti i sledeću proksimtivnu formulu: f( + ) f() f () tj f( + ) f() + f () Definicij 9: (geometrijsk interpretcij izvod) Ako je funkcij f diferencijbiln u tčki 0, ond će koeficijent prvc tngente t krive y = f() u tčki M(0,f(0)) (vidi sliku) biti tg = f (0), jednčin sme tngente glsi y y0 = f (0) ( 0), gde je y0 = f(0) Jednčin normle n te krive u tčki M(0,f(0)) je 0 = -f (0) (y y0) Definicij 0: (izvodi i diferencijli višeg red Ljbnicov formul) Sledeće rekurentne veze definišu izvode i diferencijle višeg red: y (0) = y d 0 y = y y (n+) = (y (n) ) (n 0) d n+ y = d(d n y) (n 0) Z funkciju f kžemo d je n-put diferencijbiln (u tčki ) ko postoji končn k-ti izvod f (k) () z svki k, 0 k n Ako su u i v n-put diferencijbilne funkcije i,b i c konstnte Ond vži: ( n) ( n) ) ( cu) ) ( u v) ) ( u bv) ) ( uv) ( n) cu ( n) u ( n) n ( n) u v n u i ( n) ( n) bv ( ni) ( i) ( n) i0 Poslednj od nvedenih formul je tzv Ljbnicov formul Teorem : (Tejlorov i Mklorenov teorem) v Nek je funkcij f n-put diferencijbiln n segmentu [,b] i f (n) diferencijbiln n intervlu (,b) Td n ( i) f ( ) i ( [, b])( (0,))( f ( ) ( ) Rn (, )), gde je i0 i! R n n ( ) ( n) (, ) f ( ( )) ( n )! Izrz Rn+(,) je tzv osttk u rzvoju funkcije f po Tejlorovoj formuli i oblik u kome je dt potiče od Lgrnž Ako je Pm() polinom m-tog stepen, ond odgovrjuć Tejlorov formul im oblik:

22 Pm '( ) Pm ''( ) Pm ( ) Pm ( ) ( ) ( )!! ( m) Pm ( ) m ( ) ( ), jer je P k m ( ) 0 z k m m! Pod uslovim nvedene teoreme, z = 0, dobijmo Mklorenovu formulu: neki (0) Teorem : (Lopitlov teorem) Nek su f i g funkcije tkve d: f ( ) ) f i g su diferencijbilne u nekoj okolini tčke osim eventulno, u smoj tčki ) f ( ) g( ) 0 ) postoji f ( ) g ( ) ili f ( ) g( ) ) g () 0 u posmtrnoj okolini tčke z Td postoji f '( ) g'( ) f ( ) g( ) i f '( ) g'( ) n i0 f ( n) (0) i f ( ) i! ( n )! Dkle, Lopitlov teorem nm pruž mogućnost d, pod dtim uslovim, izrčunvnje grnične vrednosti neodređenih izrz oblik 0 i 0 9 (jnur 0-usmeni) zmenimo izrčunvnjem grnične vrednosti nekog izrz drugog oblik Odrediti prvi izvod funkcije: (jnur 00-usmeni) Dokzti d je: sin 0 * Ovj zdtk dolzi n usmenom i iko u tekstu nigde ne kžu, treb g rešiti pomoću Leme o policjc 9 (jnur 0-usmeni, jnur 0-usmeni, oktobr 00-usmeni) Izrčunti sledeću grničnu vrednost: 0 95 (jnur 0-usmeni, jnur 0-usmeni, oktobr- 008-usmeni, oktobr 008-usmeni, februr 008-usmeni) Izrčunti rctg 96 (februr 0-usmeni) Dt je funkcij f =, z > Nći f ( i) n, z 97 (jun 0-usmeni, oktobr- 0 usmeni, oktobr- 00-usmeni, jun 006, februr 006) Koristeći formulu z približno izržvnje diferencijl funkcije preko njegovog prirštj, izrčunti približnu vrednost z sin8 98 (februr 06, septembr 0, jnur 0, oktobr 00, septembr 00) Koristeći formulu z približno izržvnje diferencijl funkcije preko njegovog prirštj, izrčunti približnu vrednost z sin9 99 (oktobr 006-usmeni, februr 006) Odrediti jednčine tngente i normle krive: = ln t + + t +, y = t + t + z vrednost prmetr t = 0 00 (jnur 007-usmeni) Odrediti jednčine tngente i normle krive y = + u njenoj presečnoj tčki s prbolom y =

23 Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) (jnur05-usmeni, oktobr- 0-usmeni, septembr 009-usmeni) Odrediti jednčine tngente krive linije y = u njenim presečnim tčkm s hiperbolom y = (jnur 05,jul 0-usmeni, februr 0, jnur 0, jnur 00, februr 008, oktobr 006) Proveriti proksimtivnu formulu: ln (jnur 05, februr 0, jnur 00, septembr 009, septembr 008, februr 008-usmeni) Koristeći Tejlorovu formulu rzviti polinom P = + po stepenim binom 0 (jun 009-usmeni, jnur 009-usmeni, septembr 008-usmeni, februr 008-usmeni, septembr 007) Koristeći Tejlorovu formulu rzložiti polinom P = po stepenim binom 05 (septembr 06-usmeni, februr 05-usmeni, jnur 0-usmeni, jnur 0-usmeni, oktobr 006) Funkciju y = rctg proksimirti Mklorenovim polinomom trećeg stepen 06 (februr 006-usmeni) Aproksimirti funkciju f = + polinomom četvrtog stepen u okolini tčke = 0 07 (jnur 05) Aproksimirti funkciju f = cos Mklorenovim polinomom četvrtog stepen 08 (oktobr- 06, oktobr- 0) Aproksimirti funkciju g = cos (sin) Mklorenovim polinomom stepen, ztim izrčunti: g( ) 09 (oktobr-,0, oktobr- 0) Aproksimirti funkciju g = ln (cos + sin) Mklorenovim polinomom stepen, ztim izrčunti: g( ) 0 5

24 6 DEO OSNOVNE TEOREME DIFERENCIJALNOG RAČUNA U šestom delu upoznćete se s osnovnim teoremm diferencijlnog rčun Zdci su grupisni po teoremm, tko d njpre dolze zdci iz Rolove teoreme, p iz Lgrnžove teoreme i Bolcno- Košijeveteoreme Teorijsk pitnj n usmenom: Rolov teorem Osnovne teoreme diferencijlnog rčun (Fermov, Rolov, Lgrnžov i Košijev) Neprekidnost relne funkcije jednog rgument n ztvorenom intervlu: Bolcno-Košijeve i Vjerštrsove teoreme Teorem : (Rolov teorem) Ako je funkcij f neprekidn n segmentu [,b] i diferencijbiln n intervlu (,b) i f() = f(b), ond: ( (,b)) f () = 0 Teorem : (Lgrnžov teorem) Ako je funkcij f neprekidn n segmentu [,b] i diferencijbiln n intervlu (,b), ond: ( (,b)) f(b) f() = f () (b ) Teorem : (Košijev teorem) Ako su funkcije f i g neprekidne n segmentu [,b] i diferencijbilne n intervlu (,b) i f b f() ( (,b)) g () 0, ond: ξ, b = f ξ g b g() g ξ Teorem : (Bolcno-Košijev teorem) Ako je funkcij f neprekidn n segmentu [,b] i ko je f() f(b)<0 ond: ξ, b f ξ = 0 0 (oktobr- 0-usmeni) Pokzti d jednčin 5 + = 0 im jedno i smo jedno relno rešenje (februr 008-usmeni) Pokzti d jednčin = 0 im jedno i smo jedno relno rešenje (jnur 0-usmeni, septembr 008-usmeni, jun 006, jun 006-usmeni) Pokzti d ko je b>, ond jednčin + + b + 8 = 0 im smo jedn i to jednostruki reln koren (jnur 06, februr 0, jnur 0, jnur 0, oktobr- 00-usmeni, oktobr- 009, jnur 009, oktobr- 008, oktobr 008, septembr 007) Odrediti broj relnih koren jednčine f = 0 i intervl u kojem se ti koreni nlze, ukoliko je f = + + (jnur 0) Odrediti broj relnih koren jednčine f = 0 i intervl u kojem se ti koreni nlze, ukoliko je f = (februr 0, oktobr 0, februr 0, oktobr 00, jnur 007) D li funkcij f = zdovoljv uslove Lgrnžove teoreme n intervlu,6? Ukoliko zdovoljv, nći odgovrjuću vrednost z ξ 6 (jun 008) Dokzti d z svki vži: rctg + rcsin + = π 7 (oktobr- 0 usmeni, jnur 0, oktobr- 0-usmeni, oktobr 0, jun 00, jnur 006) Koristeći Lgrnžovu teoremu dokzti nejednčinu: sin sinb b

25 Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) (jnur 06, septembr 0, septembr 0, jnur 009, oktobr 008) Koristeći Lgrnžovu teoremu dokzti d z svki [0, ) vži sledeć nejednkost: ln + 9 (oktobr 0, jul 0, jnur 00) Koristeći Lgrnžovu teoremu dokzti d z svki π, π 0 (jnur 0, jun 008) Koristeći nejednkost sin tg, koj vži z svki π, π sin teoreme dokzti d vži: 0 vži sledeć nejednkost: sin tg, i Lemu o policjc, bez primene Lopitlove (februr 0, oktobr- 0, jnur 0, oktobr- 00, jun 00, oktobr- 009, jnur 009, jun 008, februr 008-usmeni, septembr 007, jnur 006) Koristeći Prvu Bolcno-Košijevu teoremu dokzti d jednčin ln = 0 im br jedno rešenje n intervlu, e 5

26 7 DEO GRAFIK FUNKCIJE U sedmom delu dti su zdci u kojim je potrebno ncrtti grfik funkcije Ov oblst je i svojevrstn test všeg poznvnj izvod i es, bez kojih nijedn od sledećih zdtk neće moći d se urdi Funkcije su grupisne po tipovim, tko d njpre dolze funkcije s polinomim, p s rzlomcim, korenim, eksponencijlne i logritmske funkcije Teorijsk pitnj n usmenom: Konveksnost relne funkcije jednog rgument (definicij i osnovne osobine) Asimptote relne funkcije jednog rgument Monotonost relne funkcije jednog rgument (definicij i osnovne osobine) Definicij : (ršćenje i opdnje funkcije) Ako je funkcij y = f() neprekidn n segmentu [,b] i diferencijbiln u intervlu (,b) td vži sledeće: ) Ako je f () > 0 z svko (,b) funkcij je rstuć n [,b] ) Ako je f () < 0 z svko (,b) funkcij je opdjuć n [,b] ) Ako je f () = 0 z svko (,b) funkcij je konstntn n [,b] Definicij : (ekstremne vrednosti funkcije) Nek je funkcij y = f() diferencijbiln u okolini tčke = 0 i nek je f ( 0 ) = 0 ) Funkcij u tčki = 0 im loklni mksimum ko je 0 ε, 0 f > 0 i 0, 0 + ε, f > 0 Mksimum je y m = f( 0 ) b) Funkcij u tčki = 0 im loklni minimum ko je 0 ε, 0 f < 0 i 0, 0 + ε, f > 0 Minimum je y min = f( 0 ) Definicij : (konveksnost i konkvnost funkcije Prevojne tčke funkcije) ) Nek je funkcij y = f() neprekidn koj im neprekidn izvod n [,b] i nek postoji f () z svko (,b) Td: ) Ako je f () > 0 z svko (,b) grfik funkcije je konkvn b) Ako je f () < 0 z svko (,b) grfik funkcije je konveksn ) Nek je f () neprekidn funkcij u okolini tčke = 0 D bi nek tčk N( 0,f( 0 )) bil tčk prevoj funkcije potrebno je d f ( 0 ) = 0 Ako pri tom f () im jedn znk u intervlu ( 0 -, 0 ), drugi u intervlu ( 0, 0 + ) td je to i dovoljn uslov z prevoj grfik funkcije Definicij : (simptote) Z prvu y = b kže se d je horizontln simptot krive y = f() ko je Z prvu = kže se d je vertikln simptot krive y = f() ko je f ( ) b f ( ) Prv y = k + n je kos simptot funkcije ko postoje sledeće grnične vrednosti: k f ( ), n ( f ( ) k) (jnur 009, septembr 008) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = + (jnur 0, februr 0, jnur 00, septembr 008) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = + (jnur 0, jnur 0, septembr 009, jun 008) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f =

27 Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) (jnur 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = (jnur 0, jun 00, oktobr 009, februr 008) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = (jnur 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = (februr 008) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = (oktobr 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = (oktobr- 009) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ++ + (jnur 007) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = (oktobr- 009) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ++ (oktobr- 06) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ++ (februr 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = 5 (jnur 0, februr 0, septembr 008) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = + 6 (septembr 0, februr 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ++ 7 (jnur 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = 5 8 (jnur 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ( ) 9 (februr 06, septembr 0, septembr 00, jun 00-usmeni, jnur 00) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = (+) 0 (oktobr 009) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = 9 (februr 06) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = + (jnur 06) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = 5 8 7

28 (septembr 00) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = 5 (februr 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = + 5 (jun 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = (jnur 00) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = + 7 (jnur 05) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = 8 (jun 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = 9 (februr 05, jul 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = + 50 (jnur 05) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = + 5 (septembr 06) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = 6 5 (jul 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = 5 (jnur 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = (oktobr 0, jnur 0, oktobr 00, jun 00, jnur 00) Ispitti tok i ncrtti grfik funkcije: f = + 55 (jnur 00) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ( ) 56 (jnur 06) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = 57 (oktobr 0, oktobr 008, oktobr- 006, oktobr 006) Ispitti i konstruisti grfik funkcije: y = 58 (jnur 009, februr 008) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = 59 (jnur 06) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = + 60 (jnur 06) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = + 6 (jul 0, jun 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = + 8

29 Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) (septembr 05) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = 6 (oktobr 007) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = (oktobr 007) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = (jun 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = (oktobr 007) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = (septembr 007) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = (jnur 007) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = (septembr 007) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = + 70 (septembr 007, jnur 006) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = (oktobr -0, jun 0, oktobr- 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = + 7 (oktobr- 0, oktobr- 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = (decembr 0-psolventski) Ispitti tok I skicirti grfik funkcije: f = (septembr 007) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = (februr 0, jnur 00) Ispitti i konstruisti grfik funkcije: y = ( 8)e 76 (septembr 0, oktobr 006) Ispitti i konstruisti grfik funkcije: y = e 77 (februr 0) Ispitti i konstruisti grfik funkcije: y = e 78 (jnur 0) Proučiti tok i ncrtti dijgrm funkcije: y = + 5 e 79 (jnur 0, jun 008) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = e 80 (septembr 0) Ispitti i konstruisti grfik funkcije: y = e 8 (oktobr 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = e 9

30 8 (jnur 07, februr 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: y = + e 8 (februr 006) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: y = e 8 (februr 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: y = e + 85 (mj 05) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: y = e 86 (jnur 05) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: y = + e 87 (jnur 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = 88 (jnur 05) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = 89 (jnur 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = 90 (septembr 009) e + e + e Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = + e 9 (jnur 07, septembr 0, jnur 0, oktobr 00, jun 00, jun 009, septembr 006) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = + e 9 (jun 009, jun 006) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = e 9 (jnur 07, jnur 0, oktobr 008, septembr 006) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = e 9 (oktobr 006) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = e e e +e 95 (septembr 006, jnur 006) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = e 96 (jnur 0) Ispitti tok I skicirti grfik funkcije: f = e e 97 (jnur 009, jun 006) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = + e 98 (septembr 0, septembr 0, februr 0, oktobr- 0, februr 008) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = e 99 (jnur 0, oktobr- 00, oktobr- 008, jun 008) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = e e 00 (oktobr- 00, jnur 00, septembr 009, oktobr- 008, jun 008) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = e e 0 (oktobr 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ln +ln 0

31 Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) (oktobr 0) Proučiti tok i ncrtti dijgrm funkcije: y = + ln (+) 0 (oktobr 0, februr 0, septembr 00, jnur 006) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = + ln ( ) * Ponekd npišu i f = ln ( ) 0 (jnur 00, jnur 009) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = 05 (jnur 006) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = 06 (jnur 006) ln ( ) + ln (+) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = + ln (+) 07 (jnur 009, jnur 007) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ln ( ) 08 (septembr 00, februr 008, jun 006, februr 006) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = 09 (jnur 009, jnur 007, februr 006) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ln ( ) + ln (+) 0 (jul 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ln (septembr 05) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ln (jnur 00, jnur 009, oktobr 008, oktobr- 006, oktobr 006) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ln ( ) (jnur 07) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ln ( ) (oktobr- 06-usmeni, februr 05-usmeni, septembr 0, jul 0, septembr 009, oktobr 008) Ispitti i konstruisti grfik funkcije: y = ln ( 8 + 7) 5 (oktobr 00) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ln (jun 006-usmeni) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ln (februr 0, jnur 0) Ispitti i konstruisti grfik funkcije: y = ln (e 5e + 7) 8 (jun 006, februr 006) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ln ln + 9 (jul 0, jun 00, jnur 006) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = (ln ln ) 0 (jnur 009, septembr 008) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ln

32 (jun 05) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ln + (februr 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ln (februr 05, februr 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ln (februr 0) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ln + 5 (februr 05) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = +ln ln 6 (jnur 05, oktobr 05) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ln + ln 7 (jun 05) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ln ln ln + 8 (oktobr 05) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = ln (februr 05) Ispitti tok i skicirti grfik funkcije: f = +ln 0 (oktobr- 009-usmeni) Odrediti simptote funkcije: f = rctg (februr 05, septembr 00-usmeni, jnur 00, septembr 008) Odrediti simpote funkcije: f = + rctg (februr 0-usmeni) Odrediti simptote funkcije: f = (jnur 006) Odrediti simptote funkcije: f = 8 ( ) (oktobr- 0-usmeni) Odrediti intervle monotonosti funkcije: f = (+) 5 (jnur 05-usmeni, oktobr 0-usmeni, oktobr- 009-usmeni, septembr 008-usmeni) Odrediti intervle monotonosti funkcije: f = e e e +e 6 (oktobr- 0-usmeni, jnur 0-usmeni, jnur 0-usmeni) Odrediti intervle konveksnosti funkcije: f = ln (septembr 008-usmeni) Odrediti intervle konveksnosti funkcije: f = ln (oktobr 0-usmeni, oktobr- 009-usmeni) Odrediti intervle konveksnosti funkcije: f = e e e +e