Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014
Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni pozitivi. Presupunem că există lim n n xn = l [0, + ]. (i) Dacă l < 1, atunci seria x n este convergentă. (ii) Dacă l > 1, atunci seria x n este divergentă.
Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Demonstraţie (i) Să presupunem că lim n n x n = l < 1 şi fie q (l, 1). Atunci există n 0 N astfel încât, pentru orice n N, n n 0, să avem Deoarece n xn q. x n q n, pentru orice n n 0, iar seria q n, q (0, 1), este convergentă, conform Criteriului de comparaţie rezultă că x n este convergentă.
Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy (ii) Dacă lim n n x n = l > 1, atunci există n 0 N astfel încât, pentru orice n N, n n 0, să avem n xn 1. Cum x n 1, pentru orice n n 0, şirul (x n ) n 0 nu converge la zero. Rezultă că seria x n este divergentă.
Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Observaţie Dacă l = 1, atunci natura seriei x n nu poate fi stabilită cu ajutorul acestui criteriu. Într-adevăr, considerând seriile observăm că, pentru prima serie, l = lim n n 1 x n = lim n n iar pentru a doua serie, n 2 = 1, l = lim n n x n = lim n n n = 1, 1 n 2 şi n, deci în ambele cazuri l = 1; însă, prima serie este convergentă, iar a doua serie este divergentă.
Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Exerciţiu Să se studieze natura seriei 1 ( 1 + 1 ). (1) n 2 n Soluţie. Termenul general al seriei este x n = 1 ( 1 + 1 ). Calculăm n 2 n lim n n xn = lim 1 ( n 1 + 1 n ) n = 1 e < 1. Conform Criteriului rădăcinii, seria (1) este convergentă.
Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Exerciţiu Să se studieze natura seriei ( ) n a n2 + n + 1 n 2, a > 0. Soluţie. Termenul general al seriei este x n = Calculăm lim n ( ) n a n2 + n + 1 n 2. ( ) n xn = lim a n2 + n + 1 n n 2 = a. Conform Criteriului rădăcinii, dacă a < 1, atunci seria dată este convergentă, iar dacă a > 1, seria este divergentă.
Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Dacă a = 1 nu putem aplica Criteriul rădăcinii, dar, în acest caz, observăm că ( n 2 ) n ( lim x + n + 1 n = lim n n n 2 = lim 1 + n + 1 n n 2 Termenul general al seriei neavând limita 0, seria ( n 2 ) n + n + 1 este divergentă. n 2 ) n 2 n+1 n(n+1) n 2 = e.
Criteriul raportului Teoremă (Criteriul raportului) Fie seria x n, cu x n > 0, pentru orice n N. Presupunem că există l = lim n x n+1 x n [0, + ]. (i) Dacă l < 1, atunci seria x n este convergentă. (ii) Dacă l > 1, atunci seria x n este divergentă.
Criteriul raportului Observaţie x n+1 Dacă l = lim = 1, atunci nu putem decide natura seriei cu n x n ajutorul Criteriului raportului. Într-adevăr, considerând seriile 1 n şi 1, observăm că în n2 ambele cazuri l = 1; însă, prima serie este divergentă, iar a doua serie este convergentă.
Criteriul raportului Exerciţiu Să se studieze natura seriei 2 n + 5 3 n. (2) Soluţie. Termenul general al seriei este x n = 2n + 5 3 n. Calculăm x n+1 lim n x n = lim n ( 2 n+1 + 5 ) 3 n (2 n + 5) 3 n+1 = 1 3 lim n 2 n+1 ( 1 + 5 2 n+1 ) 2 n ( 1 + 5 2 n ) = Conform Criteriului raportului, seria (2) este convergentă. 2 3 < 1.
Criteriul raportului Exerciţiu Să se studieze natura seriei n n n!. (3) Soluţie. Termenul general al seriei este x n = nn n!. Calculăm x n+1 lim n x n (n + 1) n+1 = lim n! ( n + 1 n (n + 1)! n n = lim n n Conform Criteriului raportului, seria (3) este divergentă. ) n = e > 1.
Criteriul Raabe-Duhamel Teoremă (Criteriul Raabe-Duhamel) Fie seria x n, cu x n > 0, pentru orice n N. Presupunem că există ( ) lim n xn 1 = l [0, + ]. n x n+1 (i) Dacă l > 1, atunci seria x n este convergentă. (ii) Dacă l < 1, atunci seria x n este divergentă.
Criteriul Raabe-Duhamel Observaţie ( ) xn Dacă l = lim n 1 = 1, atunci natura seriei nu poate fi n x n+1 precizată cu ajutorul Criteriului Raabe-Duhamel.
Criteriul Raabe-Duhamel Exerciţiu Să se studieze natura seriei 1 3 5... (2n 1) 2 4 6... 2n Soluţie. Termenul general al seriei este 1 n 2. (4) x n = 1 3 5... (2n 1) 2 4 6... 2n 1 n 2. Vom încerca să aplicăm Criteriul raportului. Avem x n+1 = 1 3 5... (2n 1) (2n + 1) 2 4 6... 2n (2n + 2) 1 (n + 1) 2
Criteriul Raabe-Duhamel x n+1 lim n x n 2n + 1 = lim n 2n + 2 n 2 (n + 1) 2 = 1, deci nu putem stabili natura seriei cu ajutorul Criteriul raportului. Vom aplica Criteriul Raabe-Duhamel. Pentru aceasta calculăm ( ) ( ) lim n xn 2n + 2 (n + 1)2 1 = lim n n x n+1 n 2n + 1 n 2 1 Prin urmare, seria (4) este convergentă. 5n 2 + 6n + 2 = lim n 2n 2 = 5 + n 2 > 1.
Criteriul condensării (al lui Cauchy) Teoremă (Criteriul condensării) Fie (x n ) n 0 un şir descrescător de numere reale pozitive. Atunci seriile x n şi 2 n x 2 n au aceeaşi natură. Corollary Seria 1, α R, este convergentă pentru α > 1 şi nα divergentă pentru α 1. Seria 1, cu α R, se numeşte seria armonică generalizată. nα
Criteriul condensării (al lui Cauchy) Demonstraţie Termenul general al seriei este x n = 1 n α. Dacă α < 0, atunci lim x n = +, deci seria 1 n n α este divergentă. Dacă α = 0, atunci lim x n = 1, deci seria 1 n n α este divergentă. Dacă α > 0, atunci şirul (x n ) n 1 este descrescător, astfel că putem aplica Criteriul condensării. Conform acestui criteriu, seria seria 2 n 1 (2 n ) α = ( 1 2 α 1 geometrică de raţie q = 1 2 α 1. 1 are aceeaşi natură cu nα ) n, care este o serie
Criteriul condensării (al lui Cauchy) Dacă 1 2 α 1 < 1, adică α > 1, seria convergentă, prin urmare şi seria Dacă 1 2 α 1 1, adică α 1, seria divergentă, deci şi seria ( 1 2 α 1 ) n este 1 este convergentă. nα ( ) 1 n 2 α 1 este 1 este divergentă. nα
Criterii de convergenţă Teoremă (Criteriul lui Dirichlet) Fie seria x n y n, unde (x n ) n 0 şi (y n ) n 0 sunt şiruri de numere reale. Dacă: (i) seria x n are şirul sumelor parţiale mărginit şi (ii) şirul (y n ) n 0 este monoton descrescător şi are limita 0, atunci seria x n y n este convergentă.
Criterii de convergenţă Exerciţiu Să se arate că seria sin nx n este convergentă, pentru orice x R. Soluţie. Să observăm mai întâi că această serie se poate scrie sub forma sin nx 1 n. Vom folosi Criteriul lui Dirichlet cu x n = sin nx şi y n = 1 n. Fie (S n ) n 1 şirul sumelor parţiale asociat seriei x n. (5)
Criterii de convergenţă Dacă x 2kπ, k Z, atunci cos x S n = sin x + sin 2x +... + sin nx = 2 cos(n + 1 2 )x 2 sin x 2 2 1 2 sin x = sin x, pentru orice n N. 2 2 Dacă x = 2kπ, k Z, atunci S n = sin x + sin 2x +... + sin nx = 0. Prin urmare, şirul (S n ) n 1 este mărginit. Şirul y n = 1 este descrescător şi convergent la 0. n Conform Criteriului lui Dirichlet seria (5) este convergentă.
Criterii de convergenţă Teoremă (Criteriul lui Abel) Fie seria x n y n, unde (x n ) n 0 şi (y n ) n 0 sunt şiruri de numere reale. Dacă: (i) seria x n este convergentă şi (ii) şirul (y n ) n 0 este şir monoton şi mărginit, atunci seria x n y n este convergentă.
Criterii de convergenţă Exerciţiu Să se studieze natura seriei Soluţie. Scriem seria sub forma cos n cos 1 n n cos n n cos 1 n. (6) şi folosim Criteriul lui Abel cu x n = cos n şi y n = cos 1 n n. Seria cos n este convergentă, iar şirul (y n ) n n 1 este crescător şi mărginit. Conform Teoremei lui Abel, seria (6) este convergentă.
Serii alternante Definiţie O serie x n se numeşte alternantă dacă termenii săi alternează ca semn, adică x n x n+1 < 0, pentru orice n N. Orice serie alternantă poate fi scrisă în una din următoarele două forme: ( 1) n a n sau ( 1) n+1 a n, cu a n 0, pentru orice n N.
Serii alternante Teoremă (Criteriul lui Leibniz) Fie (a n ) n 0 un şir descrescător de numere reale pozitive, convergent la 0. Atunci seria ( 1) n a n este convergentă. Demonstraţie Utilizăm Criteriul lui Dirichlet. Fie x n = ( 1) n şi y n = a n, pentru orice n N. Fie (S n ) n 0 şirul sumelor parţiale asociat seriei ( 1) n. Se observă uşor că S n = 1 pentru n par şi S n = 0 pentru n impar, deci (S n ) n 0 este mărginit. Cum şirul (y n ) n 0 este descrescător şi convergent la 0, conform Criteriului lui Dirichlet obţinem că seria ( 1) n a n este convergentă.
Serii alternante Exemplu Seria ( 1) n este convergentă conform Criteriului lui Leibniz, deoarece şirul a n = 1 tinde descrescător la 0. n n Exemplu Seria ( 1) n este convergentă conform Criteriului lui Leibniz, deoarece şirul a n = 1 tinde descrescător la 0. 2n 2 n
Serii absolut convergente Definiţie Spunem că seria x n este absolut convergentă dacă seria modulelor, adică seria x n, este convergentă. Exemplu Seria ( 1) n este absolut convergentă întrucât seria modulelor este n 2 1 n 2 despre care am arătat că este o serie convergentă.
Serii absolut convergente Teoremă Dacă convergentă. x n este absolut convergentă, atunci x n este
prin urmare, seria xn este convergentă. Serii absolut convergente Demonstraţie Deoarece seria x n este absolut convergentă, rezultă că x n este convergentă. Conform Criteriului lui Cauchy, pentru orice ε > 0 există n ε N astfel încât, pentru orice n N, n n ε, şi orice p N, avem adică x n+1 +... + x n+p < ε, x n+1 +... + x n+p < ε. Fie n N, n n ε şi p N. Avem x n+1 +... + x n+p x n+1 +... + x n+p < ε,
Serii absolut convergente Observaţie Reciproca acestei teoreme nu este adevărată. Există serii convergente care nu sunt absolut convergente. Exemplu Seria ( 1) n este convergentă, dar seria modulelor n ( 1) n n = 1 este divergentă. n Definiţie Spunem că seria x n este semiconvergentă dacă seria x n este convergentă, dar seria modulelor, x n, este divergentă.
Serii absolut convergente Exerciţiu Studiaţi absoluta convergenţă a seriei sin nx n 2, x R. Soluţie. Deoarece sin nx n 2 1, pentru orice n 1 şi orice x R, n2 iar seria 1 este convergentă, conform Criteriului de comparaţie, n2 rezultă că seria modulelor sin nx n 2 este convergentă. Prin urmare, seria sin nx n 2 este absolut convergentă.
Serii absolut convergente Exerciţiu Studiaţi absoluta convergenţă a seriei Soluţie. Observăm că seria ( 1) n n. ( 1) n este o serie alternantă şi, n conform Criteriului lui Leibniz, este convergentă. Seria modulelor ( 1) n n = cu α = 1 2 < 1). Prin urmare, seria 1 n este divergentă (seria armonică generalizată ( 1) n n este semiconvergentă.