*Grupa autra, Elaststatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 003 *JM Gere, BJ Gdn, Mechanics f Materials, Cengage Learning, Seventh Editin, 009. OTPORNOST MATERIJALA I 11/1 www.mf.unze.ba 8
Osnvni pjmvi Mment sprega sila, [Nm] T1 = Pd 1 1 T = Pd (4.1) Mment sprega sila vektrska reprezenacija (pravil desne ruke) Mment sprega sila reprezentacija uvijenm strelicm Mmenti kji uvijaju neki element nazivaju se uvjni ili trzini mmenti. OTPORNOST MATERIJALA I 11/1 www.mf.unze.ba 83
Defrmacije štapva (i cijevi) kružng presjeka Čist uvijanje svi jednaki pprečni presjeci pterećeni istim mmentm uvijanja φ uga uvijanja (rtacije) Element abcd pstaje ab c d, kjem se ne mijenjaju stranice, ali se mijenja uga između njih čist smicanje (element izlžen sam tangencijalnim defrmacijama)! OTPORNOST MATERIJALA I 11/1 www.mf.unze.ba 84
Defrmacije štapva (i cijevi) kružng presjeka Maksimalan uga uvijanja bb' rdφ γ = = (4.) ab dx Odns tangencijalne defrmacije i ugla uvijanja na pvršini šipke Prmjena ugla uvijanja θ = dφ dx rφ Za čist uvijanje γ = rθ = (4.3) L Tangencijalna defrmacija ρ γ = rθ = γ (4.4) r OTPORNOST MATERIJALA I 11/1 www.mf.unze.ba 85
Defrmacije štapva (i cijevi) kružng presjeka γ r = φ L r r γ min = = r γ φ 1 1 L (4.5) Sve prethdne relacije važe za sve materijale, bez bzira da li su linearni ili nelinearni, elastični ili neelastični, ali za male uglve uvijanja i male defrmacije! OTPORNOST MATERIJALA I 11/1 www.mf.unze.ba 86
Defrmacije štapva (i cijevi) kružng presjeka Veza defrmacija i napna τ = G γ τ = Grθ τ = ρ τ r (4.6) Linearna zavisnst napna i udaljensti d se uvijanja!!! Uzdužni i transferzalni napni Uvijanje = čist smicanje = dvsn napnsk stanje bez tangencijalnih napna OTPORNOST MATERIJALA I 11/1 www.mf.unze.ba 87
Defrmacije štapva (i cijevi) kružng presjeka Veza defrmacija i napna ρ τ = τ r Frmula uvijanja τ dm = τρ da = ρ da r τ τ T = dm = τρda= ρ da= ρ da r r Frmula uvijanja I A A A A A 4 ρ da m = I = Tr T τ = = I W 4 d π 3 (4.6) plarni mment inercije pprečng presjeka za kružni pprečni presjek (4.7) W plarni mment tpra presjeka Opšta frmula uvijanja W = ρ T ρ τ = τ = 3 d π 16 za kružni pprečni č presjek r I (4.8) OTPORNOST MATERIJALA I 11/1 www.mf.unze.ba 88
Defrmacije štapva (i cijevi) kružng presjeka Veza defrmacija i napna Uga uvijanja knstantni parametri T θ = GI TL φ = θl = GI Prmjena parametera p segmentima τ Grθ = Tr T τ = = I W (4.8) φ = φ = TL i i i i i GI i i Prizvljan uzdužni (kružni) pprečni presjek i/ili pterećenje (4.9) T( x) dx φ = GxI ( ) ( x) L (4.10) OTPORNOST MATERIJALA I 11/1 www.mf.unze.ba 89
Primjer 4.1: Puni štap kružng pprečng presjeka, prečnika 40 mm, dužine 1350 mm i mdula klizanja 80 GPa, pterećen je mmentm uvijanja na svjim krajevima, ka št je dat na slici. Odrediti: a) Maksimalan tangencijalni napn u šipki, te uga uvijanja ak je mment uvijanja 340 Nm b) Maksimalan mgući mment uvijanja, ak je dzvljeni tangencijalni napn 40 MPa, a maksimalni dzvljeni uga uvijanja.5 40 mm 1350 mm RC Hibbeler, Mechanics f Materials, Prentice Hall, Eight Editin, 011. OTPORNOST MATERIJALA I 11/1 www.mf.unze.ba 90
Primjer 4.: Vratil cilindričng pprečng presjeka d čelika, izrađen u dvije varijante, ka pun i šuplje (slika), treba prenese mment uvijanja d 100 Nm bez prekračenja dzvljeng tangencijalng napna d 40MPa i dzvljeng uzdužng uvijanja d 0.75 /m. Treba draditi: a) Prečnik pung vratila b) Ptrebni vanjski prečnik šupljeg vratila ak je debljina stjenke vratila jedna desetina vanjskg prečnika c) Odns prečnika (d /d 1 ) i težina ba vratila RC Hibbeler, Mechanics f Materials, Prentice Hall, Eight Editin, 011. OTPORNOST MATERIJALA I 11/1 www.mf.unze.ba 91
Defrmacije štapva (i cijevi) kružng presjeka Ograničenja u krištenju prethdnih jednačina Sam za kružne pprečne presjeke (pune ili šuplje) Linearn elastični materijali Za dijelve vratila udaljene d kncentracija napna Ne mgu se kristiti za druge pprečne presjeke jer: Pprečni presjek ne staje u ravni Maksimalni napni nisu uvijek u najudaljenijim tačkama presjeka Naprednije metde analize napna nephdne za rješavanje j OTPORNOST MATERIJALA I 11/1 www.mf.unze.ba 9
Napni i defrmacije u čistm smicanju Element izlžen čistm smicanju (nema nrmalnih napna) Napni na ksj ravni σ = τ sin( θ) x 1 xy τ = τ cs( θ) xy 1 1 xy OTPORNOST MATERIJALA I 11/1 www.mf.unze.ba 93
Napni i defrmacije u čistm smicanju τ τ ντ τ γ = ε = + = (1 + ν ) G E E E OTPORNOST MATERIJALA I 11/1 www.mf.unze.ba 94
Veza mdula elastičnsti i mdula klizanja L = h(1 + ε ) bd π Lbd = h + h h cs( + γ ) π γ (1 + ε ) = 1 cs( + γ) 1+ ε + ε = 1+ sin γ ε = τ ντ τ ε = + = (1 + ν ) E E E τ γ = G G = E (1 + ν ) OTPORNOST MATERIJALA I 11/1 www.mf.unze.ba 95
Prens snage Rad mmenta uvijanja dw = Tdφ Snaga mmenta uvijanja j dw dφ π n P = = T = Tω = T π f = T W dt dt 60 [ ] (4.9) ω ugana brzina [rad/s -1 ] f frekvencija brtanja [Hz] n brj brata u minuti [/min] OTPORNOST MATERIJALA I 11/1 www.mf.unze.ba 96
Primjer 4.3: Pun vratil ABC prečnika 50 mm se pkreće mtrm snage 50 kw i frekvencije 10 Hz u tački A. Zupčanici B i C pkreću uređaje kji ptražuju snagu d 35 i 15 kw, respektivn. Odrediti najveći tangencijalni napn τ u vratilu i uga uvijanja φ AC između mtra A i zupčanika C. Uzeti da je G=80 Gpa. OTPORNOST MATERIJALA I 11/1 www.mf.unze.ba 97
Statički nedređeni prblemi Cijev () Jednačine ravnteže Šipka (1) Fiksna plča T + T = T 1 Jednačine kmpatibilnsti φ = φ 1 Knstitutivne relacije Šipka (1) Šipka (1) φ = 1 TL 1 GI 1 0 1 φ = TL GI 0 Cijev () GI 1 0 = 1 T1 T GI 1 0+ 1 GI 0 Cijev () GI 0 = T T GI 1 0+ 1 GI 0 OTPORNOST MATERIJALA I 11/1 www.mf.unze.ba 98
Statički nedređeni prblemi 1. Pstaviti jednačine ravnteže (statičke, kinetičke jednačine) mment uvijanja. Pstaviti jednačine kmpatibilnsti (gemetrijske, kinematičke jednačine, jednačine knzistentne t defrmacije) uga uvijanja j 3. Pstaviti relacije mment uvijanja-uga uvijanja (knstitutivne relacije) 4. Riješiti sistem jednačine dbiven krz krake 1-3 OTPORNOST MATERIJALA I 11/1 www.mf.unze.ba 99
Primjer 4.4: Vratil ABC je uklješten na ba kraja i pterećen mmentm uvijanja T 0 u tački C. Segmenti AC i CB vratila imaju prečnike d A i d B dužina L A i L B i plarnih mmenata inercije I 0A i I 0B, respektivn. Ptrebn je izvesti frmule: a) za mmente u uklještenjima A i B b) za maksimalan tangencijalni napn τ AC i τ CB u svakm segmentu vratila c) uga rtacije φ C u pprečnm presjeku gdje je primijenjen mment uvijanja T 0 OTPORNOST MATERIJALA I 11/1 www.mf.unze.ba 100
Primjer 4.5: Vratil izrađen d čelika (G č =80 MPa), dužine 3 m, je trećinm dužine uvučen u brnzanu kšuljicu (G b =40 GPa) kja je čvrst pvezana s vratilm. Vanjski prečnici vratila i kšuljice su d 1 =70 mm i d =90 mm, respektivn. Odrediti: Brnzana kšuljica Čeličn vratil a) Dzvljeni mment uvijanja T 1 kji se mže primijeniti na krajeve ak je dzvljeni napn uvijanja između krajeva8. b) Dzvljeni mment uvijanja T ak je dzvljni tangencijalni napn brnze τ b =70 Mpa Brnzana kšuljica Čeličn vratil c) Dzvljeni mment uvijanja T 3 ak je dzvljni tangencijalni napn čelika τ č =110 Mpa d) Dzvljeni mment uvijanja T ak mraju biti zadvljena sva tri uslva (a, b, c) OTPORNOST MATERIJALA I 11/1 www.mf.unze.ba 101
Defrmacini rad U = W = Tφ U T L GI0φ = = GI L 0 V = τ ht δ = γh U = τγ ht U Vδ = W = u τγ τ Gγ = = = G OTPORNOST MATERIJALA I 11/1 www.mf.unze.ba 10