3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije

3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa u skup i označava sa :. Skup zovemo područje deinicije ili domena, a skup područje vrijednosti ili kodomena unkcije. x (x) y (y) Funkcija element x preslikava u element y, a to zapisujemo ormulom (x) = y. Varijablu x zovemo nezavisna varijabla ili argument unkcije, a varijablu y zovemo zavisna varijabla. Načini zadavanja unkcije: tablično: x 0 1 3 4 (x) 5 6 7 8 9 analitički (ormulom): : R R, (x) = x3 1 + x graički: y 0 (x, (x)) x Gra unkcije je skup Γ = {(x, y) : y = (x) za x }. 1

Primjer 1. oje su od sljedećih pravila pridruživanja unkcije? i) ii) iii) Skup A = (B) = {(x) : x B} zovemo slika skupa B. Skup 1 (A) = {x : (x) A} zovemo praslika skupa A.

B A Primjer. : R R, (x) = x + 1, A = 0, 1] = (A) = 1, ], 1 (A) = 1, 0]. Primjer 3. : R Z, (x) = x, A = {1, } = (A) = {1, }, 1 (A) = [1, 3. Za dvije unkcije : A B i g : C kažemo da su jednake i pišemo = g, ako je A = C, B = i (x) = g(x), x C. Primjer 4. Neka su 1 i realne unkcije realne varijable zadane ormulama 1 (x) = x 4 x, (x) = x +. Tada je 1, jer 1 = R \ {} = R =. n(n + 1) Primjer 5. Ako su s i : N R, i = 1,, zadane s s 1 (n) = i s (n) = 1 + + + n tada je s 1 = s (dokaz matematičkom indukcijom). Neka je :, A. Funkcija g : A zadana sa (x) = g(x), x A, zove se restrikcija ili ograničenje unkcije na skup A. Oznaka: g = A. =g A =g Primjer 6. Neka je s : R R zadana sa s(x) = (pri čemu su s 1, s unkcije iz Primjera 5.). x(x + 1). Tada je s N = s 1 = s Zadatak 1. Odredite slike i praslike unkcije za skupove S 1 i S ako je a) : Z N, (n) = n, S 1 = {1, 4}, S = {5} b) : R R, (x) = x + 3, S 1 = {1, 3}, S = 1, 1]. 3

Zadatak. Zadana je unkcija : C C, (z) = z 1+i. Odredite skupove ({ i, 1}), 1 ({3 i, 4i}). Zadatak 3. Funkcija χ A : X {0, 1}, gdje je A X, deinirana ormulom 1, x A χ A (x) = 0, x / A. naziva se karakteristična unkcija skupa A. okažite da vrijedi a) χ A B (x) = χ A (x) χ B (x) b) χ A B (x) = χ A (x) + χ B (x) χ A (x) χ B (x) c) χ A C(x) = 1 χ A (x) d) χ A\B (x) = χ A (x) χ A (x) χ B (x). 3. ompozicija unkcija Neka su : A B i g : C dvije unkcije. Ako je R() = (A) C tada je jedinstveno odredena unkcija h : A takva da je h(x) = g((x)) = (g )(x) koju zovemo kompozicija unkcija i g. Primjer 5. : R R, (x) = 3x + 1; g : R [0, +, g(x) = x = g, g : R R, (g )(x) = 9x + 6x + 1, ( g)(x) = 3x + 1. Svojstva kompozicije unkcija: (i) nije komutativna: g g, (ii) asocijativna je: (g h) = ( g) h Napomena 1. R + := 0, +, R + 0 := [0, +, R :=, 0, R 0 :=, 0 Zadatak 1. Odredite g i g ako su unkcije i g a) : R R, (x) = x 4 ; g : R + 0 R, g(x) = x, b) : R R, (x) = 4 x ; g : R + R, g(x) = ln x, c) : N Z, (n) = n; g : Z Z, g(n) = n 7, d) : R R, (x) = x 1 + 1; g : R R, g(x) = x. Odredite i prasliku skupa {, 3} s obzirom na unkciju g, tj. skup ( g) 1 ({, 3}). 4

Zadatak. Neka je X neprazan skup. ažemo da je x 0 X iksna točka unkcije : X X ako je (x 0 ) = x 0. Neka je S skup svih iksnih točaka unkcije. okažite da ako neka unkcija g : X X komutira s unkcijom ( g = g ), onda je g(s) S. Zadatak 3. ane su unkcije, g : R R: (x) = ax + b, g(x) = cx + d, a, b, c, d R. Uz koji uvjet unkcije i g komutiraju (u smislu komponiranja unkcija)? 3.3 Surjekcija, injekcija i bijekcija Za unkciju : kažemo da je surjekcija ako y postoji barem jedan x takav da je (x) = y, tj. ako je slika domene cijela kodomena (R() = ). Za unkciju : kažemo da je injekcija ako različite elemente domene preslikava u različite elemente kodomene: x 1, x, (x 1 x (x 1 ) (x )) x 1, x, ((x 1 ) = (x ) x 1 = x ). Za unkciju : kažemo da je bijekcija (obostrano jednoznačno preslikavanje, 1 na 1 korespodencija) ako je i surjekcija i injekcija. Napomena. Funkcija je injekcija ako bilo koji pravac paralelan s x-osi siječe gra unkcije u najviše jednoj točki. Ako je gra unkcije osnosimetričan s obzirom na bilo koji pravac koji je paralelan s y-osi, onda ta unkcija nije injekcija. Primjer 6. Odredite karakter sljedećih unkcija: a) a b c d e b) 5

a b c d e c) a d b e Zadatak 1. okažite tvrdnje: a) kompozicija surjekcija je surjekcija; b) kompozicija injekcija je injekcija; c) kompozicija bijekcija je bijekcija. Zadatak. Odredite broj i karakter sljedećih unkcija: a) : {1, } {1, }; b) : {1,, 3} {1,, 3}. Zadatak 3. Pokažite (kontrapozicijom) da je : N \ {1} Q deinirana ormulom (n) = n + 1 n 1 injekcija. Zadatak 4. ane su unkcije : X Y i g : Y Z. okažite sljedeće tvrdnje: a) Ako je kompozicija g surjekcija, onda je i g surjekcija. Mora li i biti surjekcija? b) Ako je kompozicija g injekcija, onda je i injekcija. Mora li i g biti injekcija? 6

3.4 Inverzna unkcija Neka su : i g : unkcije. Ako vrijedi: a) ( g) = 1 b) (g ) = 1 tada se unkcija g naziva inverznom unkcijom unkcije i označava sa g = 1. Svaka bijekcija : ima inverznu unkciju deiniranu na s vrijednostima u. Gra inverzne unkcije je simetričan s obzirom na pravac y = x. Računanje inverzne unkcije: 1. Jednadžbu y = (x) riješimo po nepoznanici (varijabli) x.. Ako postoji jedinstveno rješenje te jednadžbe, onda ima inverznu unkciju. 3. Ako rješenje postoji, ali nije jedinstveno, onda unkcija nije injekcija, pa nema inverznu unkciju. (Npr. (x) = x, : R [0, +.) Zadatak 1. Pokažite da je unkcija bijekcija i odredite joj inverznu unkciju ako je a) : R \ {5} R \ {3}, (x) = 3x x 5, b) : R 0 R + 0, (x) = x. Zadatak. Neka je zadana s (x) = ex e x, : R R(). Odredite skup R(). e x + e x okažite da je bijekcija i odredite joj inverznu unkciju. 7

3.5 Ekvipotentni skupovi ažemo da su skupovi S i T ekvipotentni, odnosno da imaju isti kardinalni broj, ako postoji barem jedna bijekcija sa skupa S u skup T. Oznaka: S T ili k(s) = k(t ). Primjer 1. 1. {1, 3, 5} {1, 00, 10 35 },. {1,, 3...} {, 4, 6,...}. Zadatak 1. okažite da je k(z) = k(n). Zadatak. okažite da su svi zatvoreni segmenti realnih brojeva medusobno ekvipotentni. Zadatak 3. Zadana je unkcija : 0, 1 R +, (x) = 1 x 1. a) okažite da je bijekcija. b) Što iz toga zaključujemo o kardinalnosti skupova 0, 1 i R+? 8

3.6 Neka svojstva realnih unkcija Neka je : unkcija. Ako je R onda kažemo da je unkcija (jedne) realne varijable, a ako je R onda kažemo da je realna unkcija. 3.6.1 Nul-točke unkcije Neka je : R unkcija. ažemo da je x 0 nul-točka unkcije ako vrijedi (x 0 ) = 0. Ako je R, onda gra unkcije u nul-točki x 0 siječe ili dodiruje x-os. Zadatak 1. Odredite, ako postoje, nul-točke sljedećih unkcija: a) : R R, (x) = x + 5, b) g : C R, g(x) = x + 5, c) h : R R, h(x) = x 6x + 9, c) l : R R, l(x) = (x 3)(x + 4)(x 5). 3.6. Parnost unkcije Neka je R takav da (x = x ), tj. je simetričan skup s obzirom na ishodište. ažemo da je : R parna unkcija ako je ( x) = (x), x. Primjer 1. Sljedeće unkcije su parne: (x) = x, g(x) = x n, n N, h(x) = cos x, x R ažemo da je : R neparna unkcija ako je ( x) = (x), x. Primjer. Sljedeće unkcije su neparne: (x) = x n 1, n N, g(x) = sin x, x R. Gra parne unkcije simetričan je s obzirom na y-os. Parna unkcija nije injekcija. 9

Gra neparne unkcije simetričan je s obzirom na ishodište. Ako je 0 tada gra neparne unkcije prolazi kroz ishodište, tj. (0) = 0. Zadatak. Ispitajte parnost i neparnost sljedećih realnih unkcija realne varijable a) (x) = x + x 4, b) (x) = x 5 sin x, c) (x) = cos x x 3, d) (x) = tgx x 5 + 1, e) (x) = ln 1 + x 1 x, b) (x) = 5 (x 1) + 5 (x + 1). Zadatak 3. okažite da svaku unkciju : R R možemo zapisati kao zbroj parne i neparne unkcije. Zadatak 4. okažite: a) Zbroj/razlika parnih unkcija je parna unkcija. b) Zbroj/razlika neparnih unkcija je neparna unkcija. Zadatak 5. okažite: a) Umnožak parnih unkcija je parna unkcija. b) Umnožak neparnih unkcija je parna unkcija. c) Umnožak parne i neparne unkcije je neparna unkcija. 3.6.3 onveksnost, konkavnost i točke inleksije Neka je R i : R unkcija. (a, b) ako je ( x1 + x ) ažemo da je konveksna na intervalu (x 1) + (x ), x 1, x (a, b). Ako vrijedi stroga nejednakost, onda je strogo konveksna. 10

Neka je R i : R unkcija. ažemo da je konkavna na intervalu (a, b) ako je ( x1 + x ) (x 1) + (x ), x 1, x (a, b). Ako vrijedi stroga nejednakost, onda je strogo konkavna. Vrijedi: je konveksna je konkavna. Neka je R i : R unkcija. ažemo da je c točka inleksije unkcije ako postoji δ R, δ > 0 takav da je strogo konveksna na (c δ, c) i strogo konkavna na (c, c + δ) ili da je strogo konkavna na (c δ, c) i strogo konveksna na (c, c + δ). Zadatak 6. oristeći deiniciju dokažite da je: a) : R R, (x) = ax + bx + c, a > 0 konveksna na R, b) g : R R, g(x) = ax + bx + c, a < 0 konkavna na R, c) h : R + R, h(x) = log a x, a > 1 konkavna na R +, d) l : R + R, l(x) = log a x, a (0, 1) konveksna na R +. Zadatak 7. okažite da unkcija : R R, (x) = x 3 ima točno jednu točku inleksije. 3.6.4 Monotonost unkcije Neka je R i : R unkcija. ažemo da je monotona rastuća na intervalu (a, b) ako x 1, x (a, b) x 1 < x = (x 1 ) (x ). Ako vrijedi stroga nejednakost, onda je strogo monotono rastuća. Neka je R i : R unkcija. ažemo da je monotona padajuća na intervalu (a, b) ako x 1, x (a, b) x 1 < x = (x 1 ) (x ). Ako vrijedi stroga nejednakost, onda je strogo monotono padajuća. Vrijedi: je monotona rastuća je monotono padajuća. Teorem: Ako je strogo monotona onda je i injektivna. 11

Zadatak 8. oristeći deiniciju odredite koje su unkcije monotono rastuće/padajuće, a koje su strogo monotono rastuće/padajuće, ako je zadano: a) : R R, (x) = x + 5, b) : R R, (x) = x 3, 0, x 0; c) (x) = 1, x > 0. d) : R R, (x) = x, e) : R + R, (x) = 1 x, x, x 1; ) (x) = 1, 1 < x < 1; x +, x 1. Zadatak 9. Riješite jednadžbu 3 x + 4 x = 5 x u skupu R. 3.6.5 Lokalni ekstremi unkcije Okolina točke x 0 R je svaki skup koji sadži neki otvoreni interval oko x 0. ažemo da unkcija : (a, b) R u točki x 0 (a, b) postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) (a, b) točke x 0 takva da je (x) (x 0 ), x O(x 0 ). Ako vrijedi stroga nejednakost, onda govorimo o strogom lokalnom minimumu. ažemo da unkcija : (a, b) R u točki x 0 (a, b) postiže lokalni maksimum ako postoji okolina O(x 0 ) (a, b) točke x 0 takva da je (x) (x 0 ), x O(x 0 ). Ako vrijedi stroga nejednakost, onda govorimo o strogom lokalnom maksimumu. Lokalne minimume i lokalne maksimume zovemo lokalnim ekstremima unkcije. Funkcija : R postiže globalni minimum u točki x 0 ako (x) (x 0 ), x. Ukoliko za svaki x x 0 vrijedi stroga nejednakost, govorimo o strogom globalnom minimumu (u tom slučaju, on je jedinstven). 1

Funkcija : R postiže globalni maksimum u točki x 0 ako (x) (x 0 ), x. Ukoliko za svaki x x 0 vrijedi stroga nejednakost, govorimo o strogom globalnom maksimumu (u tom slučaju, on je jedinstven). Zadatak 10. oristeći deiniciju odredite ekstreme sljedećih unkcija, ako je zadano: a) : R R, (x) = x 3, x, x 1; b) : R R, (x) = 1, 1 < x < 1; x, x 1. c) : R R, (x) = 3 (x ). 3.6.6 Ograničenost, inimum i supremum unkcije ažemo da unkcija : R i) ograničena odozdo, ako postoji broj m R takav da je (x) m, x, u tom slučaju m zovemo donja ograda (ako postoji jedna donja ograda, postoji ih i beskonačno mnogo: svaki broj koje je manji od m) ii) ograničena odozgo, ako postoji broj M R takav da je (x) M, x, u tom slučaju M zovemo gornja ograda (ako postoji jedna gornja ograda, postoji ih i beskonačno mnogo: svaki broj koji je veći od M) iii) ograničena, ako je ograničena odozdo i odozgo. Funkcija je ograničena ako i samo ako joj je ograničen skup vrijednosti, tj. ako joj je slika ograničen skup. Ako je unkcija : R a) ograničena odozdo, onda njenu najveću donju ogradu zovemo inumum unkcije, i označavamo in, b) ograničena odozgo, onda njenu najmanju gornju ogradu zovemo supremum Vrijedi unkcije, i označavamo sup. 13

1. in = in{(x) : x }. sup = sup{(x) : x } 3. Ako postoji x 0 takav da je (x 0 ) = in, onda je x 0 točka globalnog minimuma. 4. Ako postoji x 0 takav da je (x 0 ) = sup, onda je x 0 točka globalnog maksimuma. Zadatak 11. Provjerite ograničenost sljedećih unkcija a) : R R, (x) = e x, b) : R 0 R, (x) = e x, c) : R R, (x) = e x, d) : R R, (x) = 3 sin x, e) : R R, (x) = (x 5), ) : R R, (x) = x + 4, g) : R R, (x) = 3x + 10, h) : [0, 3] R, (x) = 3x + 10, 3.6.7 Periodičnost Neka je R i : R unkcija. ažemo da je periodična ako postoji T R, T > 0 takav da je 1. x = x + T,. (x + T ) = (x), x. Najmanji broj T, ako postoji, za koji vrijedi gornje svojstvo zovemo temeljni period unkcije. Zadatak 1. Ispitajte periodičnost sljedećih unkcija a) : R R, (x) = cos x 4, b) : R + 0 R, (x) = cos x + cos x, 14

c) : R R, (x) = A 1 sin ω 1 x + A cos ω x, A 1, A, ω 1, ω R. d) : R R, (x) = x sin x. Zadatak 13. Neka je a R +. Neka je realna unkcija za koju vrijedi (x) = okažite da je periodična s periodom T = 4a. 1 + (x a) 1 (x a), x. Zadatak 14. Zadana je unkcija : R R. Neka je T R + takav da je (x + T ) + (x) = 0, x R. okažite da je periodična. Zadatak 15. okažite da je unkcija : R, (x) = log 3 cos πx periodična s periodom T =. 15