Geometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea

Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 13 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 24 Proiecţii Ecuaţiile proiecţiilor 3 25 Simetrii Ecuaţiile simetriilor 4 26 Translaţiile ca produse de simetrii 5 3 Apendix 5 31 Proiecţii vectoriale 5 32 Simetrii vectoriale 6 33 Probleme 8 Coordonator: Conf Univ Dr Cornel Pintea Departmentul de Mathematică, Universitatea Babeş-Bolyai 400084 M Kogălniceanu 1, Cluj-Napoca, România 1

1 Săptămâna 13 2 Endomorfismele unui spaţiu afin Definiţia 21 Se numeşte endomorfism afin al unui spaţiu afin X orice aplicaţie afină f : X X Un endomorfism afin inversabil al lui X se numeşte automorfism afin al lui X Dacă R = (O, b) este un reper cartezian al lui X, atunci Dacă [ f ] b = (a ij ), [ f (O)] R = (b i ) şi [M] R = atunci formula (21) se scrie astfel [ f (M)] R = [ f ] b [M] R + [ f (O)] R (21) y i = x 1 x n, [ f (M)] R = y 1 y n n a ij x j + b i, i = 1,, n j=1 Dacă f, g : X X sunt două endomorfisme afine ale spaţiului afin X, atunci f g : X X este un nou endomorfism liniar al X şi ( f g) = f g De asemea aplicaţia identică a lui X este o un automorfism afin al lui X şi (id X ) = id X Demonstraţia acestor fapte este lăsată în seama cititorului Prin urmare mulţimea End a f (X) a endomorfismelor afine ale lui X formează, asemenea mulţimii endomorfismelor liniare End( X) ale lui X un monoid Elementele unitate ale celor două monoide sunt aplicaţiile identice ale spaţiilor X respectiv X Mai mult mulţimea Aut a f (X) a automorfismelor afine ale lui X formează un submonoid al lui End a f (X) care este grup în raport cu operaţia indusă Amintim că mulţimea Aut( X) a automorfismelor liniare ale lui X este un submonoid al monoidului End( X) care este de fapt un grup faţă de operaţia indusă Mai mult, avem următoarea Propoziţie 22 Corespondeţa care asociază endomorfismului afin f : X X urma sa f : X X este un morfism unitar al monoidului endomorfismelor lui X pe monoidul aplicaţiilor liniare ale spaţiului X Acest morfism nu este inversabil şi transformă grupul automorfismelor afine ale lui X în grupul automorfismelor liniare ale lui X 21 Translaţia Definiţia 23 Se numeşte translaţie orice endomorfism liniar t : X X al unui spaţiu afin X cu proprietatea că t = id X, adică t(a)t(b)= AB, pentru orice A, B X, sau, echivalent At(A)= Bt(B) pentru orice A, B X Observaţia 24 1 Mulţimea T(X) a translaţiilor unui spaţiu afin X formează un subgrup normal al grupului automorfismelor afine ale lui X, numit grupul translaţiilor lui X Într-adevăr, T(X) este nucleul restricţiei morfismului evidenţiat de Propoziţia 21, la grupul automorfismelor afine ale lui X, Cornel Pintea Page 1 of 9 Babeş-Bolyai University 2016

2 Pentru A, B X, există o unică translaţie t : X X astfel încât t(a) = B Propoziţia 25 25 Dacă X este un spaţiu afin, atunci corespondenţa T(X) X, t At(A) este izomorfism al grupului (T(X), ) pe grupul ( X, +) Acest izomorfism ne permite să definim pe grupul translaţiilor lui X o unică structură de spaţiu vectorial peste K astfel încât izomorfismul de grupuri din Propoziţia 25 să fie un izomorfism de spaţii vectoriale Acesta se defineşte astfel: dacă c K şi t, t 1, t 2 T(X), atunci translaţiile ct şi t 1 + t 2 se definesc prin relaţiile A(ct)(A)= c At(A) şi 22 Subspaţii invariante A(t 1 + t 2 )(A)= A(t 1 t 2 )(A) Definiţia 26 O varietate liniară Y a spaţiului afin X se numeşte invariantă faţă de un endomorfism f al lui X dacă f (Y) Y Varietăţile liniare 0-dimensionale invariante faţă de endomorfismul f se numesc puncte fixe ale lui f Obsevăm că A X este punct fix al endomorfismului liniar f : X X dacă şi numai dacă f (A) = A Propoziţia 27 Mulţimea punctelor fixe ale unui endomorfism f : X X este un subspaţiu afin al lui X Demonstraţie Dacă mulţimea F f := {M X : f (M) = M} a punctelor fixe ale lui f este vidă nu avem nimic de arătat Altfel considerăm un punct A F f f (A) = A şi observăm că avem succesiv: F f = {M X : f (M) = M} = {M X : f (A) f (M) = { f (A)M } = M X : f ( ) AM = AM } { = M X : f ( ) AM id X ( AM) } = 0 { ( )( ) } = M X : f id X AM = 0 { = M X : AM ( ) } ker f id X Aşadar F f este, într-adevăr, subsaţiu afin al lui X şi ( F f = ker f id X ) 23 Omotetii Definiţia 28 Se numeşte omotetie a spaţiului afin X orice automorfism liniar h : X X cu proprietatea că h : X X este o omotetie a spaţiului vectorial X, adică h(a)h(b)= r AB, unde r este raportul omotetiei h Faţă de un reper cartezian R = (O, b), ecuaţiile omotetiei sunt de forma unde n = dim(x) y i = rx i + a i, i = 1,, n, Cornel Pintea Page 2 of 9 Babeş-Bolyai University 2016

Propoziţia 29 O omotetie cu raportul diferit de 1 are un singur punct fix numit centrul omotetiei Demonstraţie Într-adevăr, dacă omotetia h : X X are raportul r = 1, determinăm un punct O X astfel încât OA= 1 Ah(A), (22) r 1 unde A X este un punct dat Observăm că egalitatea (22) este echivalentă cu r OA, astfel încât obţinem h(o)h(a)= ( ) h OA Unicitatea punctului fix o lăsăm în seama cititorului 24 Proiecţii Ecuaţiile proiecţiilor Oh(A)= = r OA = Oh(A) şi deci h(o) = O Definiţia 210 Se numeţe proiecţie a spaţiului afin X orice endomorfism liniar p : X X care verifică relaţia p 2 = p Propoziţia 211 Orice proiecţie p : X X are puncte fixe Mai exact punctele imaginii Im(p) sunt punctele fixe ale lui p Urma p este o proiecţie a spaţiului vectorial X Reciproc, un endomorfism liniar f : X X care are cel puţin un punct fix O X şi a cărui urmă f este o proiecţie vectorială, este el însuşi o proiecţie Demonstraţie Dacă p este proiecţie, atunci evident F p = Im(p) şi urma p este o proiecţie vectorială Invers, dacă urma f este o proiecţie vectorială şi A este un punct fix al lui f, atunci pentru orice punct M X avem f 2 (A) f 2 (M) = f 2 ( AM ) A f 2 (M)= AM f 2 (M) = M Propoziţia 212 Orice morfism liniar f : X Y se poate obţine compunând o proiecţie p : X X cu un morfism liniar injectiv g : Im(p) Y Ecuaţiile proiecţiilor Fie p : X X o proiecţie, si n = dim(x) Considerăm un reper afin A 0,, A m în varietatea p(x), iar în fibra p 1 (A 0 ) considerăm reperul afin A 0, A m+1,, A n (amintim că dim p(x) + dim p 1 (A 0 ) = dim X Atunci (A 0,, A n ) este un reper afin al lui X Faţă reper cartezian asociat R, ecuaţiile proiecţiei p sunt Într-adevăr Aşadar, dacă A 0 M= n i=0 y 1 = x 1,, y m = x m, y m+1 = 0,, y n = 0 p ( A 0 A i ) = x i { reperul R şi aplicând p în ambii membrii avem A 0 p(m) =x 1 A 0 A i dacă i = 1,, m 0 dacă i = m + 1,, n A 0 A i, atunci, notând cu y 1,, y n coordonatele lui p(m) faţă de A 0 A 1 + + x m =y 1 A 0 A 1 + +y m A 0 A m A 0 A m +y m+1 A 0 A m+1 + +y n A 0 A n, Cornel Pintea Page 3 of 9 Babeş-Bolyai University 2016

adică y 1 = x 1,, y m = x m, y m+1 = 0,, y n = 0 25 Simetrii Ecuaţiile simetriilor Definiţia 213 Se numeşte simetrie a spaţiului afin X orice endomorfism afin involutiv s : X X, adică s s = id X Propoziţia 214 Dacă char(k) = 2, atunci orice simetrie s : X X are puncte fixe Demonstraţie Observăm că baricentrul 1 2 M + 1 2s(M) este punct fix al simetriei s pentru orice M X Într-adevăr, avem succesiv: ( 1 s 2 M + 1 ) 2 s(m) = 1 2 s(m) + 1 2 s (s(m)) = 1 2 s(m) + 1 2 M Mulţimea punctelor fixe F s ) se numeşte axa simetriei s : X X Observaiţia 215 215 Urma s a unei simetrii s : X X este o simetrie a spaţiului X Teorema 216 (Teorema de legătură dintre simetrii şi proiecţii afine) Dacă s : X X este o simetrie a spaţiului X (char(k) = 2), atunci aplicaţia p : X X definită prin p(m) = 1 2 M + 1 2 s(m) este o proieci e Reciproc, dacă p : X X este o proiecţie atunci s : X X, s(m) = 2p(M) M este o simetrie Demonstraţie Observăm că p(m)p(n)= 1 4 ( MN + Ms(N) + s(m)n + s(m)s(n) ) Pe de altă parte egalitatea Ms(N) + s(m)n= MN + s(m)s(n) este echivalentă cu Ns(N) + s(n)n= 0 Aşadar p(m)p(n)= 1 ( ) ( 1 MN + s(m)s(n) = 2 2 id + 1 ) X 2 s ( MN) Aceasta arată că p este un endomorfism afin şi p = 1 2 (id X + s ) Pe de altă parte p (p(m)) = 1 2 p(m) + 1 2 s (p(m)) = p(m), întrucât s (p(m)) = 1 2 s(m) + 1 2 s (s(m)) = 1 2 s(m) + 1 2 M = p(m) Aşadar p este o proiecţie Reciproc, presupunând că p este o proiecţie, se poate arăta, folosind argumente similare, că s este involutivă şi deci o simetrie Simetria s : X X şi proiecţia asociată p au aceeaşi varietate de puncte fixe F s = F p = Im(p) numită axa simetriei s Direcţia proiecţiei p, adică spaţiul director al fibrelor p 1 (A), A Im(p), se numeşte direcţia lui s Ecuaţiile simetriilor Considerăm un reper afin A 0,, A m în varietatea F s = F p = Im(p), iar îm fibra p 1 (A 0 ) considerăm reperul afin A 0, A m+1,, A n (amintim că dim p(x) + dim p 1 (A 0 ) = dim X) Atunci (A 0,, A n ) este un reper afin al lui X faţă de care, ecuaţiile proiecţiei p sunt y 1 = x 1,, y m = x m, y m+1 = 0,, y n = 0 Cum însă s = 2 1id + 1 X 2 p, deducem că ecuaţiile lui s faţă de reperul afin (A 0,, A n ) sunt y 1 = x 1,, y m = x m, y m+1 = x m+1,, y n = y n Cornel Pintea Page 4 of 9 Babeş-Bolyai University 2016

26 Translaţiile ca produse de simetrii Propoziţia 217 Orice translaţie t a spaţiului afin X se poate reprezenta ca un produs de două simetrii între care una poate fi aleasă arbitrar dintre simetriile ale căror direcţie conţine direcţia lui t Demonstraţie Fie s o simetrie a cărei direcţie conţine direcţia lui t si considerăm un reper afin (A 0,, A n ) astfel încât (A 0,, A m ) este un reper al lui F s = F p = Im(p) şi (A 0, A m+1,, A n ) este un reper afin al unei fibre p 1 (A 0 ) şi t(a 0 ) = A n Faţă de acest reper, ecuaţiile lui t sunt y i = x i, i = 1,, n 1 şi y n = x n + 1, iar ecuaţiile lui s faţă de (A 0,, A n ) sunt y 1 = x 1,, y m = x m, y m+1 = x m+1,, y n = y n Prin urmare automorfismul afin r = s t are ecuaţiile y 1 = x 1,, y m = x m, y m+1 = x m+1,, y n 1 = y n 1, y n = x n 1 Aşadar r este o simetrie deorece s 2 = id X, după cum se poate uşor verifica Rezolvând ecuaţia r = s t în raport cu t obţinem t = s r Propoziţia 218 Produsul a două simetrii ale lui X care au aceeaşi direcţie şi ale căror axe sunt varietăţi liniare paralele este o translaţie Demonstraţie Fie s 1, s 2 simetrii îndeplinind condiţiile enunţului şi p 1, p 2 proiecţiile asociate Acestea vor avea aceeaşi fibră şi Imp 1 = Imp 2 Putem alege un reper al lui X faţă de care ecuaţiile simetriei s 1 sunt y 1 = x 1,, y m = x m, y m+1 = x m+1,, y n = y n Ecuaţiile proiecţiei asociate p 1 = 1 2 id + 1 X 2 s 1 vor fi y 1 = x 1,, y m = x m, y m+1 = 0,, y n = 0 Întrucât proiecţia p 2 are aceeaşi fibră cu p 1 şi Imp 1 = Imp 2, deducem că ecuaţiile lui p 2 au forma z 1 = y 1,, z m = y m, z m+1 = a m+1,, z n = a n Simetria s 2 va avea ecuaţiile z 1 = y 1,, z m = y m, z m+1 = y m+1 + 2a m+1,, z n = y n + 2a n Prin urmare ecuaţiile automorfismului afin s 2 s 1 sunt z 1 = x 1,, z m = x m,z m+1 = x m+1 + 2a m+1,, z n = x n + 2a n, adică s 2 s 1 este translaţia de vector (0,, 0, 2a m+1,, 2a n ) 3 Apendix 31 Proiecţii vectoriale O clasă importantă de endomorfisme ale unui spaţiu vectorial V este constituită de proiecţiile lui V Fie A şi B două spaţii suplimentare ale lui V Orice vector X V se poate scrie în mod unic sub forma a + b cu a A şi b B Aplicaţia p A,B : V V, definită prin p A,B (a + b) = a pentru orice a A şi orice b B este o aplicaţie liniară a lui V în el însuşi, un endomorfism Într-adevăr, dacă x i = a i + b i, cu a i A şi b i B, i = {1, 2}, atunci p A,B (x 1 + x 2 ) = p A,B ((a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 )) = a 1 + a 2 = p A,B (x 1 ) + p(x 2 ) şi p A,B (λx 1 ) = p A,B (λa 1 + λb 1 ) = λa 1 = λp A,B (x 1 ) pentru orice λ C Observăm că pentru orice x V, p(x) = x dacă şi numai dacă x A Într-adevăr, putem scrie, în mod unic x = a + b cu a A, b B Prin definiţia lui p A,B avem p A,B (x) = a Egalitatea p A,B (x) = x dacă şi numai dacă b = 0, adică dacă şi numai dacă x = a A Aplicaţia liniară p A,B, Cornel Pintea Page 5 of 9 Babeş-Bolyai University 2016

p A,B (a + b) = a se numeţe proiecţia lui V pe A de-a lungul lui B Să presupunem ambii membri ai egalităţii p A,B (a + b) = a, endomorfismului p A,B : p 2 (a + b) = p (a) = a = p (a + b) A,B A,B A,B Astfel, proiecţia p A,B are proprietatea că pentru orice x V, avem relaţia p 2 A,B (x) = p A,B (x); prin urmare p 2 = p, p este idempotent A,B A,B A,B Reciproc, are loc Teorema 31 Un endomorfism f L(V, V), care îndeplineşte condiţia f 2 = f este o proiecţie a lui V Demonstraţie Într-adevăr, să punem A = Im( f ) şi B = ker( f ) Orice vector x V satisface egalitatea x = f (x) + (x f (x)), Obsevăm că x f (x) ker( f ) Într-adevăr, f (x) f (v) = A, f (x f (x)) = f (x) f 2 (x) = f (x) f (x) = 0, deci x f (x) B Astfel V = A + B Observăm apoi că dacă y aparţine intersecţiei A B, atunci f (y) = 0 şi există x V, astfel încât y = f (x) Rezultă 0 = f (y) = f ( f (x)) = f 2 (x) = f (x) = y Prin urmare A B = 0 v Acest lucru înseamnă că suma A + B este directă, adică componentele f (x) şi (x f (x)) ale lui x în A, respectiv în B sunt unic determinate Aşadar aplicaţia idempotentă f este de fapt proiecţia spaţiului V pe A := Im( f ) de-a lungul lui B := ker( f ), adică f = p Im( f ),ker( f ) Corolarul 32 Orice bază (e 1,, e r ) a lui A = Im( f ) şi orice bază (e r+1,, e n ) a lui B = ker( f ), luate împreună formează o bază R = (e 1,, e n ) a lui V; faţă de această bază, ecuaţiile lui f sunt: f (e i ) = e i, 1 i r, f (e j ) = 0, r + 1 j n Matricea lui f faţă de această bază are forma 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 32 Simetrii vectoriale Strâns legate de proiecţiile unui spaţiu vectorial, sunt involuţiile (de ordinul 2), ale lui V, sau simetriile lui V Definiţia 33 Se numeşte involuţie a unui spaţiu vectorial V un endomorfism σ al lui V care verifică ecuaţia σ 2 = 1 v (aplicaţia identică) Legătura dintre involuţiile şi proiecţiile lui V este dată de Cornel Pintea Page 6 of 9 Babeş-Bolyai University 2016

Teorema 34 Presupunem că spaţiul vectorial V are corpul scalarilor K de caracteristică diferită de 2 Atunci endomorfismul p : V V este o proiecţie dacă şi numai dacă σ = 2p 1 v, este o involuţie Demonstraţie Prin calcul direct, din relaţia σ 2 = 4p 2 4p + 1 v, deducem că p 2 = p σ 2 = 1 v Reciproc, dacă σ 2 = 1 v, atunci 4(p 2 p) = 0 Aşadar, pentru orice x V avem 4(p 2 (x) p(x)) = 0 şi deoarece char(k) = 2, rezultă p 2 (x) p(x) = 0, de unde rezultă p 2 = p Dacă p este o proiecţie pe subspaţiul A de-a lungul subspaţiului B, atunci A se numeşte axa, iar B direcţia simetriei σ = 2p 1 v Corolarul 35 Presupunem că spaţiul vectorial V are corpul scalarilor K de caracteristică diferită de 2 Fie p : V V o proiecţie a lui V şi σ = 2p 1 v involuţia asociată şi fie x un vector din V: următoarele condiţii sunt echivalente: 1 x = p(x), 2 x = σ(x) De asemenea sunt echivalente: 1 p(x) = 0, 2 σ(x) = x Corolarul 36 Presupunem că spaţiul vectorial V are corpul scalarilor K de caracteristică diferită de 2 Fie p : V V o proiecţie a lui V şi σ = 2p 1 v involuţia asociată O bază (e 1,, e r ) a subspaţiului vectorial A := Im(p), împreună cu o bază (e r+1,, e n ) a subspaţiului B := ker(p) ne dă o bază (e 1,, e n ) a spaţiului vectorial V pentru care σ(e i ) = e i, 1 i r, σ(e j ) = e j, r + 1 j n unde σ = 2p 1 v Aşadar reprezentarea matriceaă a lui σ faţă de această bază are forma 1 0 1 1 0 1 Teorema 37 Orice aplicaţie liniară f : V W poate fi obţinută compunând o proiecţie p : V p(v) cu o aplicaţie liniară injectivă g : p(v) W Demonstaţie Fie U un subspaţiu suplimentar al lui ker( f ) în V, adică V = ker( f ) U Restricţia lui f la U, g = f U este o aplicaţie injectivă, căci x U, g(x) = 0 W implică x U ker f = 0 V Descompunerea unică a elementului x V, x = y + z, cu y ker( f ), z U, Cornel Pintea Page 7 of 9 Babeş-Bolyai University 2016

defineşte o proiecţia lui V pe U paralelă cu ker( f ), adică Din egalităţile p U,ker( f ) : V V, p(x) = z f (x) = f (y) + f (z) = f (z) = f (p(x)) = g(p(x)), care au loc pentru orice x V, deducem că f = g p Propoziţia 38 Dacă f : R n R este o funcţională liniară şi d R n \ ker( f ), atunci R n = H D şi p H,D (x) = x a, x a, d d, unde H = ker( f ), D = Span(d), a = [ f ] T b, iar b este baza canonica a lui Rn Corolarul 39 s H,D = 2p H,D id R n, unde notaţiile sunt cele din Propoziţia 38 Corolarul 310 [p H,D ] b = I n 1 a, d [d ia j ], [s H,D ] b = I n 2 a, d [d ia j ] 33 Probleme 1 În spaţiul afin 3-dimensional X raportat la un reper cartezian R = (O, e 1, e 2, e 3 ) se dau punctele A 1 (2, 0, 0), A 2 (0, 0, 1), A 3 (1, 1, 1), A 1 (0, 2, 2), A 2 (4, 4, 5) şi A 3 ( 3, 3, 5) Fie f : X X aplicaţia afină pentru care f (A i ) = A i, i = 1, 2, 3 şi f (O) = O (2, 2, 2) (a) Să se scrie ecuaţiile lui f ; (b) Să se determine f (d), unde (c) Să se arate că f este involutivă { x = z y = 0 (d) Să se determine mulţimea punctelor fixe ale lui f 2 Într-un spaţiul afin 5-dimensional X se consideră reperul afin (A 0, A 1, A 2, A 3, A 4, A 5 ), reperul cartezian asociat R şi endomorfismul afin f : X X definit de relaţiile f (A 0 ) = A 1, f (A 1 ) = A 2, f (A 2 ) = A 0, f (A 3 ) = A 4, f (A 4 ) = A 5, f (A 5 ) = A 3 (a) Să se scrie ecuaţiile lui f faţă de reperul cartezian R asociat reperulu afin dat (b) Să se determine ecuaţiile şi dimensiunea varietăţii afine F f = {M X f (M) = M} (c) Arătaţi că f este bijectivă şi determinaţi ordinul lui f în grupul permutărilor lui X 3 Dacă X este un spaţiu afin doi dimensional şi f : X X este o aplicaţie afină astfel încât Tr[ f ] = 0, arătaţi că f f este o omotetie sau o aplicaţie constantă Cornel Pintea Page 8 of 9 Babeş-Bolyai University 2016

4 Dacă f : X X este o aplicaţie afină bijectivă de ordin finit (automorfism afin de ordin finit) în grupul automorfismelor afine ale lui X, să se arate că f are cel puţin un punct fix 5 Dacă f : X X este o aplicaţie afină bijectivă de ordin finit (automorfism afin de ordin finit) în grupul automorfismelor afine ale lui X care are un punct fix unic, să se arate că id X + f + ( f ) 2 + + ( f ) o 1 = 0, unde o = ord( f ) 6 Dacă X este un spaţiu afin n-dimensional peste un corp de caracteristică n + 2 şi (A 0, A 1,, A n ) un reper afin al lui X, să se arate (id X + f + ( f ) 2 + + ( f ) o 1 )(v) = 0 unde f : X X este aplicaţia afină bijectivă definită prin f (A 0 ) = A 1, f (A 1 ) = A 2,, f (A n 1 ) = A n, f (A n ) = A 0 7 Fie f, g : X Y două aplicaţii afine şi α, β K, α + β = 1 Să se arate că aplicaţia α f + βg : X Y, (α f + βg)(m) = α f (M) + βg(m) este o aplicaţie afină 8 Fie f 1,, f r : X Y (r 2) aplicaţii afine şi α 1,, α r K, α 1 + + α r = 1 Să se arate că aplicaţia f := α 1 f 1 + + α r f r : X Y, f (M) = α 1 f 1 (M) + + α r f r (M) este o aplicaţie afină References [1] Galbură Gh, Radó, F, Geometrie, Editura didactică şi pedagogică-bucureşti, 1979 [2] Radó, F, Orban, B, Groze, V, Vasiu, A, Culegere de Probleme de Geometrie, Lit Univ Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca, 1979 Cornel Pintea Page 9 of 9 Babeş-Bolyai University 2016