Linearni vremenski invarijantni (LTI) kontinualni sistemi

Linearni vremenski invarijantni (LTI) kontinualni sistemi

LTI sistemi n LTI L - linear TI time-invariant n većina fizičkih procesa poseduje ova svojstva i mogu se modelirati kao LTI sistemi, n pogodni za analizu zbog svojstva superpozicije.

Svojstvo superpozicije n Ako se ulaz u LTI sistem može predstaviti kao linearna kombinacija skupa osnovnih (baznih) signala, superpozicija se može iskoristiti da se izlaz sistema izračuna kao suma odziva sistema na pojedinačne bazne signale.

LTI sistemi n Pokazaćemo da je relacija između ulaza i izlaza LTI sistema povezana preko operacije konvolucije. n Značaj konvolucije: poznavanje odziva sistema na impulsni ulaz osigurava mogućnost određivanja odziva sistema na proizvoljne ulazne signale.

Odziv kontinualnih LTI sistema i konvolucioni integral n Impulsni odziv: Impulsni odziv h(t) kontinualnog LTI sistema (opisanog pomoću operatora T) se definiše kao odziv sistema kada je ulaz δ(t), tj. h(t)=t{δ(t)} Zbog čega nam je zanimljiv impulsni odziv?

Impulsni odziv n Omogućava nam da odredimo odziv LTI sistema na proizvoljan ulaz. n Proizvoljan signal x(t) možemo predstaviti pomoću velikog broja pomerenih δ impulsa.

n Aproksimiramo proizvoljni ulazni signal x(t) pomoću sume pomerenih i skaliranih impulsa xˆ ( t) = x( kδ) kδ < t < (k + 1) Δ

δ Δ (t) ima jediničnu površinu = x( kδ) δδ ( t kδ) Δ (k + 1)Δ x ˆ( t) = x( kδ) δ Δ ( t kδ) Δ k = Δ 0 x( t) = x( ) δ ( t ) d

Odziv na proizvoljan ulaz n Pošto je sistem linearan, odziv y(t) na proizvoljan ulaz x(t) se može izraziti kao: LTI SISTEM JE U POTPUNOSTI y ( t) = T{ x( t) } = T x( ) δ ( t ) d = x ( ) T{ δ ( t )} d OKARAKTERISAN SVOJIM IMPULSNIM ODZIVOM. { δ( t )} h( t ) = T Jer je sistem vrem. invarijantan y ( t) = x( ) h( t ) d KONVOLUCIONI INTEGRAL

Ili na drugi način... x(t) LTI y(t) sistem δ ( t) h ( t) Δ Δ ˆ ( t) = x( kδ) δ Δ ( t kδ Δ ˆ( t) = k = k = x ) y x( kδ) h ( t kδ) Δ Δ Δ 0 x ( t) = x( ) δ ( t ) d y ( t) = x( ) h( t ) d

Konvolucioni integral n Konvolucija dva kontinualna signala x(t) i h(t) je: y( t) = x( t)* h( t) = x( ) h( t ) d n Fundamentalan rezultat da je izlaz bilo kojeg kontinualnog LTI sistema konvolucija ulaza x(t) i impulsnog odziva h(t).

Operacija konvolucije y ( t) = x( t)* h( t) = x( ) h( t ) d obrnuti h ( ) h( ) pomnožiti x( ) h( t ) pomeriti za t h ( ) h( t ) integraliti x ( ) h( t ) d

Primer x(t) h(t) 1 1 3 t * -2 1-1 t x() 1 Obrnuti i pomeriti za t h(t-) 1 3 t t+1 t+2

Vremenski interval x()h(t- ) Izlaz t < -1 0 0 x() 1 1 3 h(t-) 1 t t+1 t+2 0 1

Vremenski interval x()h(t- ) Izlaz -1 < t < 0 y(t)=(t+1)(t+2-1)/2 =(t+1) 2 /2 x() 1 t+1 1 2 3 h(t-) t+1 t+2 t t+1 t+2 1 2

Vremenski interval x()h(t- ) Izlaz 0 < t < 1 y(t)=(1/2) 1 1=1/2 x() 1 1 1 2 3 h(t-) t+1 t+2 t t+1 t+2 2 3

Vremenski interval x()h(t- ) Izlaz 1 < t < 2 y(t)=(1/2)-(t+2-3)(t-1)/2 = (1/2)-(t-1) 2 /2 x() 1 1 1 3 4 h(t-) t+1 t+2 t t+1 t+2 3 4

Vremenski interval x()h(t- ) Izlaz t > 2 0 0 x() 1 1 3 h(t-) t t+1 t+2

Linkovi ka animiranim primerima n http://en.wikipedia.org/wiki/convolution n http://www.youtube.com/watch? v=medjw6vcdty

Svojstva konvolucionog integrala 1. Komutativnost 2. Asocijativnost 3. Distributivnost x ( t)* h( t) = h( t)* x( t) { x t)* ( )}* ( ) = ( )*{ ( )* ( )} ( 2 1 2 h t h t x t h t h t 1 { ( ) ( )} ( )* ( ) ( )* ( ) x ( t)* h t + h t = x t h t + x t h t 1 2 1 2

Primeri x( t)* δ ( t t ) = x( t t ) 0 0 x ( t)* δ ( t) = x( t)

Odziv na step funkciju { ( )} s ( t) = T u t ODSKOČNI ODZIV s(t) SE MOŽE s( t) u() 1 = t DOBITI INTEGRACIJOM h( t)* u( t) = h( ) u( t ) d = h( ) d IMPULSNOG ODZIVA h(t). Ili integracijom poslednje u(t-) jednačine: h(t)=ds(t)/dt 1 t

Svojstva kontinualnih LTI sistema n Sistemi sa ili bez memorije Izlaz zavisi samo od ulaza u tom trenutku. Ako je sistem linearan i vremenski invarijantan, očigledno da sistem poseduje ova svojstva samo ako je y(t)=kx(t). Bez memorije => nema izvoda i integrala. Da bi izlaz zavisio samo od ulaza u datom trenutku, mora biti h(t)=0 za t 0 (konvolucioni integral). Impulsni odziv takvog sistema je K(t)=Kδ(t).

Kauzalnost n Izlaz sistema zavisi samo od tekućih i prošlih vrednosti ulaza u sistem. n Da bi LTI sistem bio kauzalan, odziv y(t) ne sme zavisiti od ulaza x() za >t. n U konvolucionom integralu članovi h(t-) koji množe vrednosti x() za >t moraju biti nula. n Ova činjenica zahteva da impulsni odziv kauzalnog kontinualnog LTI sistema zadovoljava: h(t)=0 za t<0.

Kauzalnost n Izlaz kauzalnog kontinualnog LTI sistema: n Ako je i ulazni signal kauzalan: d t h x d t x h t y t ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 = = d t h x d t x h t y t t ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 = =

Stabilnost n Prema definiciji, sistem je BIBO stabilan ako ograničen ulaz daje ograničen izlaz. n Ako je Ix(t)I<B za svako t, onda vredi: y( t) B = h( ) x( t ) d h( ) d h( ) x( t ) d n Sistem je BIBO stabilan ako je njegov impulsni odziv apsolutno integrabilan: h ( ) d <

Svojstvene funkcije kontinualnih LTI sistema T: Ako operator T opisuje kontinualni LTI sistem, tada vredi T{e st }=λe st, gde je s kompleksna promenljiva i λ kompl. konst. D: Neka je y(t) izlaz sistema na ulaz x(t)=e st. T{e st }=y(t) Sistem je vremenski invarijantan: T{e s(t+t 0) }=y(t+t 0 ) za proizvoljno t 0

Sistem je linearan: T{e s(t+t 0) }=T{e st e st 0 }=e st 0T{e st }=e st 0 y(t) T je operator koji se odnosi na t. Za njega je e st 0 konstanta. y(t+t 0 )=e st 0 y(t) Uzimajući t=0: y(t 0 )=y(0)e st 0 Kako je t 0 proizvoljno, smenom t 0 u t imamo: y(t)=y(0)e st =λe st T{e st }=λe st, λ=y(0)

Svojstvene funkcije n Funkcija X( ) koja zadovoljava jednačinu T{X( )}=λx( ) naziva se svojstvena (ili karakteristična) funkcija operatora T a konstanta λ je svojstvena vrednost koja odgovara svojstvenoj funkciji X( ).

U konvolucionom integralu uzmemo x(t)=e st : { } ( ) st st st s t s st e e s H e d e h d e h e T t y λ = = = = = ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) s H y d e h s H s = = = 0, ) ( ) ( λ

Literatura n Oppenheim, Willsky, Signals and Systems, Prentice-Hall, Second edition. n MIT OpenCourseWare, Signals and Systems, Oppenheim, Lecture notes, www.ocw.mit.edu.

Dekonvolucija n x(t) * h(t) = y(t) - konvolucija n h(t) funkcija koju želimo da izdvojimo (impulsni odziv sistema) n x(t) pobudna funkcija (sweep) n y(t) snimljeni odziv sistema na pobudu n Cilj dekonvolucije: Izdvojiti h(t) čist odziv sistema, bez primesa pobudnog signala

n konvolucijom izlaznog signala i vremenski invertovanog ulaznog signal moguće je direktno izdvojiti impulsni odziv sistema, kroz operaciju dekonvolucije: h(t) = y(t) * x(-t)

Primena konvolucije/ dekonvolucije n Merenje impulsnog odziva sistema n Konvolucioni reverbi n Filtracija slike

Merenje impulsnog odziva n Pobuda impulsom starterski pištolji, klapne, petarde, električne varnice, baloni...može, ali je nepraktično! n Pobudni signali koji se reprodukuju zvučnikom: Sweep i MLS tipa.

Merenje sweep pobude n Linearni logaritamski sweep signali: niz prostih tonova može biti linearan (linear sweep), što znači da je promena frekvencije konstantna u vremenu, ili eksponencijalan (logarithmic sweep), što znači da frekvencija signala raste sa fiksnim faktorom u jedinici vremena (npr. frekvencija se udvostručava svake sekunde).

MLS n MLS: Maximum Length Sequence n Beli šum pobuđuje sve frekvencije ravnomerno. Statistički, to je potpuno slučajan (random) proces (nedeterministički signal). n MLS: iste statističke osobine kao beli šum, ali je potpuno određen/predvidiv/ponovljiv (deterministički signal). n Primena u kriptografiji ko sluša, čuje šum! Nije šum, već kontrolisana sekvenca u koju je upakovana informacija.

Konvolucioni reverbi n y(t) snimljeni odziv prostorije sa sve pobudnim signalom n x(t) pobudni signal (Sweep, MLS) n h(t) čist impulsni odziv prostorije reverb n Softveri bazirani na dekonvoluciji za semplovanje prostora n Konvolucija spajanje tako semplovanih impulsnih odziva sa pobudnim signalima Konvoloucioni reverbi

Konvolucioni reverbi n http://en.wikipedia.org/wiki/ Convolution_reverb (pogledati i External Links) n http://www.audioease.com/pages/altiverb/ sampling.php

Seminarski radovi n 30 poena n Mogućnost izražavanja želje, ali teme zadaje i rad organizuje predmetni nastavnik. n Uslov za upis konačne ocene n Timski rad u grupama od po tri studenta n Obim: minimum 10 strana sa sve slikama (Times New Roman 12) n Rok za predaju radova za junski ispitni rok: 25. jun n Vežbe 20 poena n Test 50 poena

Teme n n n n n n n n n n n n n Umetnost odabiranja Audio perceptivni kodovi Kompresione tehnike PCM Optički mediji: od Video diska do Plavog zraka Video kodeci Protokoli i standardi prenosa digitalnih signala (AES/EBU, SPDIF, HDMI, optičke veze...) Digitalna televizija Softveri za digitalnu obradu video signala Softveri za digitalnu obradu audio signala Uticaj procesa digitalizacije na savremene tokove ljudskog društva Dekonvolucione merne tehnike Konvolucione simulacije akustičkih prostora