Zdtk (Romn, gimnzij) Sdnji jdnkokčnog tpz im duljinu 5 ko su dijgonl mđusono okomit, kolik j njgo pošin? Rjšnj udući d j u jdnkokčnom pokutnom tokutu isin osnoi jdnk poloini osnoi, ijdi: x = + = x + y = + = = s = 5 y = ošin jdnkokčnog tpz j: = s = 5 5 = 5 Vjž Sdnji jdnkokčnog tpz im duljinu 5 ko su dijgonl mđusono okomit, kolik j njgo pošin? Rzultt: 5 5 5 5 y x s Zdtk (Mko, lktothničk škol) Osnoi jdnkokčnog tpz imju duljin i Nđit pošinu kug upisnog u tj tpz Rjšnj Čtokut kojmu s čtii stni diju jdnu kužniu nzi s tngnijlni čtokut i ijdi d j zoj duljin supotnih stni mđusono jdnk Td j: + = + = = - S slik idi s: + + + = = = + = = = udući d j isin tpz jdnk pomju upisnog kug, doij s: π = = = π = π = π = Vjž Osnoi jdnkokčnog tpz imju duljin i Nđit pošinu kug upisnog u tj tpz Rzultt: π Zdtk (In, stojsk škol) Koliki dio u postoim od pošin kdt iznosi istni dio n slii? Rjšnj
( ) Rčunmo sdišnji kut i pošinu kužnog isjčk: tg = tg = = tg π π tg = = 6 6 Omj pošin kužnog isjčk (istnog dijl) i pošin kdt duljin stni iznosi: π 6 π tg π 695 = = = 8 = 8% 6 6 Vjž Koliki dio u postoim od pošin kdt iznosi nistni dio n slii? Rzultt: 867% Zdtk (Mi, gimnzij) Oko kužni j opisn tpz čij plln stni iznos m i m i koji im d p kut Nđi njgou pošinu Rjšnj d N = =, =, = =, d = = N = udući d j čtokut tngnijln, ijdi: + = + d + = + d + d = 6 Uočimo pokutn tokut N: N = d =, =, N = N = = = + d = 6 6 d = = N + N = ( 6 ) + = 6 + + = d + itgoin poučk = /: = = Visin tpz iznosi: 8 = d = 6 = ošin tpz im ijdnost: + + 8 6 8 = = = = 8 Vjž Oko kužni j opisn tpz čij plln stni iznos m i m i koji im d p kut Nđi njgo opsg Rzultt: O = + + + d = ( + ) + ( + d) = Zdtk 5 (Romn, gimnzij) Ti uzstopn h pllogm su u točkm (, ), (, ), (, ) U kojoj j točki čtti h? Rjšnj 5 S slik idi s d zdtk mož imti ti jšnj Zdn točk, i su poloišt stni tokut Td j:
x + x (, ) j poloišt = / x + x =, dužin y y y y 6 + + = = / x + x (, ) j poloišt / = x + x =, dužin y + y y + y = = / x + x (, ) j poloišt = / 8 x + x = dužin y y y y + + = = / Rjšjući sust jdndži doijmo tžn zultt x + x = zojimo x + x + x = x + x = x 8 /: jdndž + x + x = x + x + x = x x + = x + x = 8 x + x = x + = x = x + = x =, x + x = 8 x 8 x + = = y + y = 6 zojimo y + y + y = y + y = y /: jdndž + y + y = y + y + y = y y 6 + = y + y = y + y = 5 y = y = y + 6 = y = 5 y + y = 5 y y 5 + = = Mogući čtti h j u točkm: (, 5 ), (, 5 ), (, ) Vjž 5 Ti uzstopn h pllogm su u točkm (, ), (, ), (, ) U kojoj j točki čtti h ko s nlzi u pom kdntu? Rzultt: (, 5) Zdtk 6 (Romn, gimnzij) ko su dijgonl om 6 i 8, koliko iznosi njgo isin? Rjšnj 6 5-6 - - 6 8 (, ) (, ) - - - - -5-6 y (, -) udući d su dijgonl om mđusono okomit i spolljju s, duljin stni om iznosi (uoči pokutn tokut): = + = + = 6 8 = + = + = 9 + 6 = 5 = 5 uljinu isin om oddit ćmo upoom omul z pošinu om: x
= 6 8 8 = / = = = = 8 5 = Vjž 6 ko su dijgonl om 6 i 8, koliko iznosi njgo opsg? Rzultt: Zdtk 7 (Ggo, gimnzij) Rom im stniu duljin = m i šiljsti kut 55º Koliko iznosi pošin kug koji dodiuj s njgo stni? Rjšnj 7 Iz pokutnog tokut N doij s duljin isin : sin55 = = sin 55 udući d j pomj upisnog kug omu jdnk isini om, ijdi: = sin 55 sin 55 = /: = = sin 55 = sin55 = 6 sin 55 ošin kug iznosi: 7585 ko j π = π = ( 6 sin 55 ) π = 7589 ko j π 5965 Vjž 7 Rom im stniu duljin = m i šiljsti kut º Koliko iznosi pošin kug koji dodiuj s njgo stni? Rzultt: 9 π Zdtk 8 (Vdn, gimnzij) uljin pllnih stni tpz su 8 m i m, duljin kko su m i 8 m Kolik j pošin tpz? Rjšnj 8 8 55 Iz tokut E upoom kosinusoog poučk doij s: + 6 + 8 os = os = 6 8 os = os = = 9 6 E 96 udući d j pi kut, pošin tpz iznosi: + 8 + = = 8 = m Vjž 8 uljin pllnih stni tpz su m i m, duljin kko su 5 m i m Kolik j pošin tpz? Rzultt: m N
Zdtk 9 (Vdn, gimnzij) ko j stni om gomtijsk sdin njgoih dijgonl, koliko iznosi šiljsti kut om? Rjšnj 9 m ujtu zdtk j: onoimo! ijgonl om su mđusono okomit i spolljju s Gomtijsk sdin oj x i y j: x y Iz piložn slik idi s d j tokut S pokutn p ijdi: tg = tg =, + = + = = / = = / + = + = + = + = + = + = tg tg tg + = = + = ± ± 6 ± tg = tg = tg =,,, tg = + ± ± tg tg tg = = = ±,,, tg = 75 = 5 = 5 = = Šiljsti kut om iznosi Vjž 9 ko j stni om gomtijsk sdin njgoih dijgonl, koliko iznosi tupi kut om? Rzultt: 5 Zdtk (Romn, gimnzij) U om pošin 6 m upisn j kug pošin π m Koliko iznosi opsg om? Rjšnj udući d j kug upisn u om ijdi: Iz pošin om i kug doij s: S = 5
= = 6 = 6 = π π = π /: π = / = 6 = 6 6 /: 5 = = = 576 / = Opsg om iznosi: O = = 5 = m Vjž U om pošin 6 m upisn j kug pošin π m Koliko iznosi opsg om? Rzultt: m Zdtk (Romn, gimnzij) Osnoi tpz imju duljin i Koliki j omj pošin n koj j tpz zdijljn sdnjiom (spojniom sdišt kko)? Rjšnj Sdnji tpz im duljinu: + M N s = s Tpz zdijljn j sdnjiom n d tpz: NM i MN Gldmo omj pošin tpz NM i MN: + s + + + + NM NM + s = = NM = NM = s + s + + + MN MN + MN + MN NM + = + MN Vjž Osnoi tpz imju duljin i Koliki j omj pošin n koj j tpz zdijljn sdnjiom (spojniom sdišt kko)? Rzultt: 5 Zdtk (Mtunt, stojsk škol) Oko kug polumj opisn j jdnkokčn tpz pošin 5 Koliko iznosi opsg tpz? Rjšnj onoimo! Čtokut kojmu s čtii stni diju jdnu kužniu nzi s tngnijlni čtokut Čtokut j tngnijlni ko i smo ko su zoji duljin supotnih stni mđusono jdnki Iz slik idi s: = = = + = + = = = = O O = / = O O = = O = + + O = + 5 O = = = 6
Vjž Oko kug polumj opisn j jdnkokčn tpz pošin Koliko iznosi opsg tpz? Rzultt: Zdtk (, hotlijsk škol) Koliko m tmnog ppi j potno z izdu zmj (idi sliku)? Rjšnj inči = = m = m = 7 S slik idi s: = = m = 6 m, = j su tokuti i sukldni (podudju s u dij stni i kutu mđu njim) Iz pokutnog tokut pomoću itgoin poučk doij s : = / = = 6 = 9 m ošin pokutnog tokut j: 6 m 9 m = = = 8 m Iz pokutnog tokut izčunmo : tg 7 = = tg 7 ošin pokutnog tokut iznosi: tg 7 = = = 6 m 6 m tg 7 9 m = = Ukupn pošin tmnog ppi iznosi: = + = 8 m + 9 m = 77 m = Iz pokutnog tokut pomoću itgoin poučk doij s : inči S slik idi s: = = m = 6 m, Čtokut j dltoid Čtokut s okomitim dijgonlm koji im m jdnu os simtij zo s dltoid ltoid im d p susjdnih sukldnih stni loštin (pošin) j dltoid jdnk poloii podukt duljin njgoih dijgonl, dkl: 7
= / = = 6 = 9 m Iz pokutnog tokut izčunmo : Ukupn pošin tmnog ppi iznosi: tg 7 = = tg 7 ( 7 ) tg + = = = ( 7 ) ( 6 7 9 ) tg + m m tg + m = = = 77 m Vjž Koliko m ppi j potno z izdu zmj (idi sliku)? = = m Rzultt: 5 m = m = 7 Zdtk (Mi, gimnzij) U omu duljin stni ć dijgonl j 5 put dulj od mnj Kolik j pošin om? Rjšnj U omu su dijgonl mđusono okomit i spolljju s Iz pokutnog tokut pomoću itgoin poučk doij s: / + = + = + = udući d j ujt zdtk = 5, slijdi: + = ( 5 ) + = 5 + = 6 = = 5 = = 6 ošin om iznosi: = 5 5 5 5 = = = = = 5, = Vjž U omu duljin stni m ć dijgonl j 5 put dulj od mnj Kolik j pošin om? Rzultt: 65 m Zdtk 5 (I, gimnzij) Ti h čtokut ujdno su hoi jdnkostničnog tokut s stniom 6, dok j čtti h tžišt tog tokut Kolik j pošin čtokut? Rjšnj 5 onoimo! Rninski likoi z koj ijdi d spojni ilo koj dij unutnj točk lik lži unut lik zou s konksni likoi 8
Rninski likoi z koj ijdi d postoj m dij unutnj točk lik tk d postoj točk n njihooj spojnii koj n lž unut lik zou s nkonksni likoi konksn čtokut nkonksn čtokut T = = = = 6 udući d j T tžišt jdnkostničnog tokut, pošin čtokut T iznosi: T = T = 6 6 T = = = 6 Uočit d j čtokut T nkonksn lik Vjž 5 Ti h čtokut ujdno su hoi jdnkostničnog tokut s stniom, dok j čtti h tžišt tog tokut Kolik j pošin čtokut? Rzultt: Zdtk 6 (Mio, gimnzij) Izčunjt kut izmđu dijgonl pllogm kojmu su duljin stni = 9 i = 6, kut izmđu njih j = 6 Rjšnj 6 onoimo! Kosinuso poučk: = + os, = + os β, = + osγ ošin pllogm: = sinϕ, = sin Koistći poučk o kosinusu izčunmo duljin dijgonl i : ϕ π - = + os os( π ) os = = + os( π ) os 9 6 9 6 os 6 = + os = + = + = = = + + os = + + os = 9 + 6 + 9 6 os 6 Iz omul z pošinu pllogm doimo d j: = 79 = = 8 = sinϕ sin sinϕ = sin / sinϕ = = sin 9
sin 9 6 sin 6 sin sin ϕ = 6 ' = = 79 8 Vjž 6 Izčunjt ći kut izmđu dijgonl pllogm kojmu su duljin stni = 9 i = 6, kut izmđu njih j = 6 Rzultt: ' 5 6 Zdtk 7 (My, gimnzij) ko j omj ćg kut mđu dijgonlm pokutnik pm mnjm kutu :, koliki j omj stni pokutnik : ( > )? Rjšnj 7 Iz omj kuto oddimo njiho ijdnosti: + β = 8 + β = 8 k k 8 k 8 /: k 6 + = = = : β = : = k, β = k Iz osjnčnog pokutnog tokut slijdi = 6 = β 9 8 6 6 ε + + = ε = β = β β ε 6 tg ε = tg ε = tg = = : = : Vjž 7 ko j omj ćg kut mđu dijgonlm pokutnik pm mnjm kutu :, koliki j omj stni pokutnik : ( > )? Rzultt: : = : Zdtk 8 (Mtunt, gimnzij) U čtokutu s unutnji kutoi odnos ko : : 7 : 5 Nđit njći kut u tom čtokutu Rjšnj 8 + β + γ + δ = 6 + β + γ + δ = 6 x x 7 x 5 x 6 + + + = : β : γ : δ = : : 7 : 5 = x, β = x, γ = 7 x, δ = 5 x njći kut 6 x = 6 /:6 x = 5 γ 7 5 575 = = γ = 7 x Vjž 8 U čtokutu s unutnji kutoi odnos ko : : 7 : 5 Nđit njmnji kut u tom čtokutu Rzultt: = 5 Zdtk 9 (Mtunt, gimnzij) U jdnkokčnom tpzu s duljinm osnoi 8 i 5 dijgonl s sijku pod pim kutom Nđit pošinu tog tpz Rjšnj 9 Uočimo pokutn jdnkokčn tokut T i T Td j: 5 8 T = T =, T = T = U jdnkokčnom tpzu duljin dijgonl su jdnk: =
uljin dijgonl iznos: T 8 5 = T + T = + = = 8 udući d su dijgonl u tpzu mđusono okomit i jdnk duljin, pošin tpz im ijdnost: 69 69 = = = = = Vjž 9 U jdnkokčnom tpzu s duljinm osnoi 8 i dijgonl s sijku pod pim kutom Nđit pošinu tog tpz Rzultt: 8 Zdtk (Mij, mtunti) Kolik j isin om kojmu su dijgonl 6 m i 8 m? Rjšnj onoimo! ijgonl om su mđusono okomit i spolljju s S slik idi s: S ošin om mož s čunti pomoću sljdćih omul: = = = = = =, = = 8 m, = = 6 m S = m, S = m Uočimo pokutn tokut S i pomoću itgoin poučk izčunmo duljinu stni : = S + S = + = 6 + 9 = 5 / = 5 = 5 m Rčunmo isinu om: = 8 m 6 m = / = = = m = 8 m = 5 m 5 Vjž Koliki j opsg om kojmu su dijgonl 6 m i 8 m? Rzultt: 5 O = = m