Osnove inženjerskog proračuna
|
|
|
- ÍΑἰνείας Παπακωνσταντίνου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Osnove inženjerskog prorčun Skript z studente Sveučilišt Sjever Ktrin Pisčić, UNIN 04.
2 Kut Kut je dio rvnine omeđen s dv prvc koj se sijeku. Obično se obilježv kružnim lukom među prvcim. Ako je duljin luk mnj od četvrtine opseg kružnice, kut je šiljst ili oštr, ko je jednk četvrtini, kut je prvi, ko je već od četvrtine mnj od polovine, kut je tup, ko je jednk polovini, kut je ispružen, ko je već od polovine, kut je izbočen ili konkvn, i npokon, ko je jednk opsegu kružnice, kut je puni. Dv kut su komplementrn ko im je zbroj prvi kut, suplementrn ko im je zbroj ispruženi kut. Njvžnije jedinice mjere kut su stupnjevi ( ) i rdijni (rd). Kut od jednog rdin je kut koji obuhvć kružni luk čij je duljin jednk rdijusu tog luk. duljin kružnog luk = rdin Slik. Rdijnsk mjer kut Oznčimo s Φ kut izržen u rdijnim s φ oznčimo kut izržen u stupnjevim. Td formule z pretvorbu izgledju: Formule u kojim se koristi lučn mjer kut: Duljin kružnog luk: rdiju () ()
3 s r (3) Opseg krug: O r (4) Površin krug: Ar (5) Površin kružnog isječk: r A (6) Kutevi s okomitim krcim su sukldni (sl..) (Sukldnost je istovremen sličnost i jednkost odn. podudrnost geometrijskih likov.) Slik. Kutevi s okomitim krcim ZADACI PRETVORBA RADIJANA U STUPNJEVE. Zdne su mjere kut u stupnjevim, pretvorite ih u rdijne 50, 7, 93, 05, 6, 57, 93, 40. Zdne su mjere kut u rdijnim, pretvorite ih u stupnjeve 3 0. rd, rd, 6 rd, 7. rd,.5 rd, rd, rd, rd 3
4 Trokut. Sličnost trokut Trokut omeđuju tri strnice, njihove duljine oznčvmo mlim slovim. Obično duljine strnic oznčvmo slovim, b i c. Vrh trokut je zjedničk točk dviju strnic. Vrhove oznčvmo velikim tisknim slovim, obično A, B i C. Unutrnji kutovi trokut oznčvju se uglvnom mlim grčkim slovim, i. Uobičjeno je d se oznčv becednim redom i to tko d je vrh kut točk A, nsuprot je strnic (nlogijom se oznčvju i ostli kutevi, točke i strnice) Slični trokuti imju jednke kuteve i proporcionlne strnice. C' b C k b k A c B A' k c B' Slik. Sličnost trokut Trokuti su slični ko je ispunjen neki od sljedeć četri uvjet: SSS: trokuti imju sve tri strnice proporcionlne : b: b c: c. (7) SKS: trokuti imju dvije strnice proporcionlne i kuteve među njim jednke, b: b c: c. (8) KK: trokuti imju dv kut jednk kut,. (9) SSK: trokuti imju dvije strnice proporcionlne, kutovi nsuprot većoj strnici su sukldni 3
5 , : b: b, ( b). (0) Površine sličnih trokut proporcionlne su kvdrtim strnic.. Prvokutni trokut Kutevi u prvokutnom trokutu: 90, 90 Strnice koje se nlze uz prvi kut, odnosno zjedno tvore prvi kut nzivju se ktete, strnic nsuprot prvog kut nziv se hipotenuz B Pitgorin teorem: c Površin kvdrt nd hipotenuzom jednk je zbroju površin kvdrt nd ktetm c b C b Slik. Prvokutni trokut A Odnosi ktet i hipotenuze: ctg sin, sin c c b cos, cos c c () sin cos tg Odnosi među ktetm: b tg, tg b b ctg, ctg b () Slik.3 Jediničn kružnic Riječim: Sinus kut kojeg čine ktet i hipotenuz jednk je omjeru nsuprotne ktete i hipotenuze. Kosinus tog kut jednk je omjeru priležeće ktete i hipotenuze. Tngens tog kut jednk je omjeru nsuprotne i priležeće ktete. Kotngens kut jednk je omjeru 4
6 priležeće i nsuprotne ktete. Tngens i kotngens kut su obrnuto proporcionlni: ctg tg (3) tg -.. Ngib Ngib se izržv u postocim, dobiv se iz formule: H i tn( ) 00% 00% (4) L B ngib i % - ngib u postocim c H L m - horizontlni rzmk između točk H m - visinsk rzlik točk A b L C Slik.4 Ngib Primjer. Ako je ngib 0% izrčunjte koliki je kut. 0 tn( ) i 00 0 rctn( ) Objšnjenje: Ngib od 0% znči d se primjerice n 00 m ceste, teren uzdiže ili spušt 0 m. Primjer. Koliki je ngib ceste ko kut iznosi 45? i tn( ) 00% tn(45 ) 00% 00% 5
7 ZADACI PRAVOKUTNI TROKUT, TRIGONOMETRIJA (s rješenjim). Izrčunjte duljine strnic i kutove prvokutnog trokut ko je zdno: ) P 60 cm, 8 4''' b) b 3 cm, c 7 cm 8.07deg sin ( ) c cos ( ) b c P b 6
8 b c b 3cm c) 4 cm, v 6.7 cm sin( ) v b c sin( ) v b d) : b 3:4, v 9. cm 3 v v tn( ) sin( ) sin( ) 4 b 90deg deg b c 7
9 e) O 0 cm, 30 sin( ) c cos( ) b c O b c. Visin prvokutnog trokut dijeli trokut n dv dijel kojim se površine odnose ko :4. Koliki su kutovi tog trokut? b 4 tn( ) deg 4.036deg 3. Smetrl prvog kut prvokutnog trokut dijeli hipotenuzu n dijelove čije su duljine u omjeru :3. Koliki su kutovi tog trokut? sin( 45deg) v sin( ) 3 v v v sin( 45deg) sin( ) cos( ) 3 sin( ) cos( ) sin( 45deg) sin( 45deg) sin( ) 3 sin( 45deg) cos( ) sin( 45deg) 3 tn( ) 56.3deg 33.69deg v sin( ) sin( 45deg) 3 cos( ) sin( 45deg) 8
10 ZADACI PRAVOKUTNI TROKUT, TRIGONOMETRIJA Izrčunjte: sin cos tg Izrčunjte: sin ctg cos ctg ctg 6. Izrčunjte: ctg ctg 8 8 sin 8 sin08 sin sin6 7. Izrčunjte: sin55 sin5 sin35 sin Izrčunjte: sin sin sin37 sin53 9. Izrčunjte: cos 4 sin5x cos x cos3x sin x 0. Izrčunjte: cos 3x cos x Izrčunjte: cos cos Općeniti trokut, sinusov i kosinusov poučk.3. Sinusov poučk C Dužin CD v oznčv visinu spuštenu iz točke C. Time je trokut podijeljen n dv prvokutn trokut. Iz slike se vidi d je bsin v, što znči d je v bsin li isto tko je v sin. Znči d vrijedi: b sin bsin, ili. sin sin N potpuno isti nčin se može b c dokzti d je sin sin Slik.5 Općeniti trokut Sinusov poučk glsi: Omjer strnice trokut i sinus nsuprotnog kut jednk je z sve strnice trokut. A b D c R B 9
11 b c (5) sin sin sin Ovj odnos jednk je promjeru opisne kružnice: R sin ZADACI - SINUSOV POUČAK. Riješite trokut ko su zdni 50, 7, 4.6 cm (dv kut i strnic nsuprot jednog od njih). Riješite trokut ko su zdni 563', 4.56 cm, b 5.7 cm (dvije strnice i kut nsuprot većoj strnici) 3. Riješite trokut ko su zdni 3 cm, b5 cm, 30(dvije strnice i kut nsuprot mnjoj strnici) 4. Riješite trokut ko su zdni opseg trokut 0 cm i dv kut 4.6 i Rzlik duljin dviju strnice trokut je 6 cm, kutevi nsuprot tim strnicm su 3.6 i Odredi nepoznte strnice i kuteve trokut. 6. Riješite trokut ko su zdni 3.68 cm i 3537', 36 47'36'' b c R sin sin sin R... polumjer opisne kružnice.3. Kosinusov poučk Dužin CD je visin iz točke C. Iz slike čitmo d je b AD v b ( c BD) BD b c c BD BD BD b c c BD BD Iz slike se vidi d je kut uz B jednk cos znči d je BD cos. To uvrstimo u gornju formulu i dobijemo: 0
12 b c ccos. (6) N isti nčin možemo izvesti i z ostle strnice Kosinusov poučk glsi: Kvdrt strnice u trokutu jednk je zbroju kvdrt drugih dviju strnic, umnjenom z dvostruki umnožk tih strnic i kosinus kut između njih b c bc b c c c b b cos cos cos (7) ZADACI - KOSINUSOV POUČAK. Riješite trokut ko je 40 cm, b 37 cm i 8 (dvije strnice i kut između njih). Riješite trokut ko je 7 cm, b0 cm, c 9 cm (tri strnice) 3. Duljine strnic trokut su u omjeru 3 : 4 : 5. Odredite njmnji kut trokut. bc cos c cos bcos 4. Odredite kutove trokut ko je 0 cm, b3 cm, c cm b c cos 5. Odredite strnicu c ko je 0 cm, b8 cm, 48 40' bc 6. Odredite strnicu ko je b. m, c 3.4 m, 63 50' c b cos c 7. Odredite strnice i b ko je c 0 cm, vc 5 cm, 6 0' b c cos 8. Odredite t c ko je 8 cm, b56 cm, 98 6' b b c b c c b
13 9. Iz točke A n moru vidi se vrh svjetionik pod kutem 9', iz točke B koj je z d = 5,7m bliže, vidi se vrh pod kutem 3048', 0. Kolike su npetosti n dijelovim AC i BC konstrukcije ko je G = 4750N, 74', 345'? podnožje pod kutem 945'. Kolik je visin svjetionik?. Dv brod isplovil su pod kutem od 37. Dok je jedn brod prešo 3km, drugi je prešo 5km. Koliko su td bili udljeni jedn od drugog?. N putu iz grd A u grd B zrkoplov je skrenuo s kurs 38'. Nkon 78 km let pilot je isprvio kurs i letio još 0km do mjest B. Ako zrkoplov leti stlnom brzinom 40km n st, izrčunjte koliko je vremen zrkoplov dulje letio zbog skretnj? 3. Brod plovi prem luci i od nje je udljen km. Nkon što su prešli 5 km kpetn shvti d je skrenuo s kurs z. Koliko su td bili udljeni od luke?
14 3 Jedndžb prvc y n P( x, y) m P( x, y ) x 3. Implicitn jedndžb prvc Implicitn jedndžb prvc je x by c () gdje su, b i c relni brojevi, pri čemu je brem jedn od brojev i b rzličit od nule. 3. Eksplicitn jedndžb prvc Eksplicitn jedndžb prvc je y kx l () pri čemu su k i l relni brojevi ( k je koeficijent smjer prvc, l njegov odsječk n osi y ). Slik 3. Prvc u rvnini k y x y x 0 0 tn (3) 3.3 Segmentni oblik jedndžb prvc Segmentni oblik jedndžbe prvc je x y (4) m n gdje su m i n relni brojevi rzličiti od nule. Točke ( m,0) i (0, n ) su točke presjek prvc i koordintnih osi. 3
15 3.4 Jedndžb prvc kroz dvije točke Jedndžb prvc koji prolzi točkm A( x0, y 0) i B( x, y ) (uz uvjet x0 x ) glsi: y y 0 y ( x x0) y0 x x0 (5) Implicitn jedndžb se lgno dobije množenjem s x x0 i sredivnjem izrz: ( y y ) x( x x ) y ( y y ) x ( x x ) y (6) pri čemu se ov formul smije upotrijebiti i u slučjevim kd vrijedi x0 x. 3.5 Jedndžb prvc s zdnim koeficijentom smjer koji prolzi kroz jednu točku Jedndžb prvc koji prolzi točkom A( x0, y 0) i im koeficijent smjer k je: y k( xx ) y (7) 0 0 presjeci prvc i koordintnih osi Točk presjek prvc i osi x se dobije tko d se u jedndžbu prvc uvrsti y 0 i dobiven jedndžb riješi po x. Dobiveno rješenje x 0 određuje trženu točku presjek s osi x : ( x 0,0). Točk presjek prvc i osi y se dobije tko d se u jedndžbu prvc uvrsti x 0 i dobiven jedndžb riješi po y. Dobiveno rješenje y 0 određuje trženu točku presjek s osi y : (0, y 0). 3.6 Skicirnje prvc u prvokutnom koordintnom sustvu Budući je prvc jednoznčno određen s dvije svoje točke, dovoljno je odrediti položj dviju njegovih točk u prvokutnom koordintnom sustvu i ztim skicirti prvc koji njim prolzi. D bi skic bil preciznij, može se odrediti i više od dvije točke, korisno je odrediti i sjecišt prvc s koordintnim osim. 4
16 3.7 Skicirnje prvc u prvokutnom koordintnom sustvu Ako su koordinte točke A( xa, ya) i točke B( xb, y B). Koordinte polovišt su : = xa x xp B = y y yp i A B (8) Udljenost točk: AB = ( x x ) ( y y ) (9) A B A B Koeficijent smjer prvc: ya yb k= tn x x A B Ako su zdn dv prvc y kx l i y kx l: (0) Prvci su okomiti kd su im koeficijenti smjer recipročni i suprotnog predznk: k= k () Prvci su prlelni kd imju jednke koeficijente smjer: k= k kut između tih prvc iznosi: tn( ) k k () kk Površin trokut kojemu su vrhovi A( xa, y A), B( xb, y B), C( xc, y C) : P xa( yb yc) xb( xc xa) xc( xa xb) (3) Udljenost točke T( x0, y 0) i prvc Ax By C 0 : d Ax By C 0 0 A B (4) ZADACI JEDNADŽBA PRAVCA (s rješenjim). Odredite površinu trokut što g prvc y 8x 3 ztvr s koordintnim osim. 5
17 . Odredite jedndžbu prvc prlelnog prvcu x y40koji prolzi točkom T(-, -). x y 3. Odredite jedndžbu prvc okomitog n prvc koji prolzi točkom T(-4, )
18 4. Odredite jedndžbu prvc okomitog n prvc kroz točke: A(, ), B(, 4) koji prolzi točkom T(-3, 0). 7
19 5. Odredite udljenost T(, 3)od prvc 3 y x. 4 ZADACI JEDNADŽBA PRAVCA 6. Zdne su točke A( 8, 4) i B(,9). Npišite eksplicitni, implicitni i segmentni oblik jedndžbe prvc koji prolzi točkm A i B, odredite sjecišt prvc s koordintnim osim i skicirjte prvc u prvokutnom koordintnom sustvu. 7. Zdne su točke A( 3, 3) i B(3, 7). Npišite eksplicitni, implicitni i segmentni oblik jedndžbe prvc koji prolzi točkm A i B, odredite sjecišt prvc s koordintnim osim i skicirjte prvc u prvokutnom koordintnom sustvu. 8. Zdne su točke A( 3, 3), B(3, 4) i C(6,8). Npišite jedndžbe prvc koji prolze točkm A i B te B i C, odredite koeficijente smjer pojedinog prvc i skicirjte prvce u prvokutnom koordintnom sustvu. 8
20 4 Metod njmnjih kvdrt - MNK Linern metod njmnjih kvdrt zsniv se n jedndžbi prvc y bx (5) (Eksplicitni oblik jedndžbe prvc smo u prethodnom poglvlju zpisivli u obliku y l kx) koristi se d bismo zdni skup podtk, x y, x, y,...,,, x y, gdje ne n opisli pomoću jedndžbe prvc. Metod njmnjih kvdrt zsniv se n izjvi d krivulj koj njbolje proksimir zdne podtke im njmnji kvdrt greške odstupnj: n yi f( xi) yi ( bxi) min (6). i i n Pri čemu su i b nepoznti koeficijenti, zdni su x i i y i. D bi se postigl njmnj pogrešk rzlike kvdrt prv prcijln derivcij gornjeg izrz po i b mor dti nulu. n n n yi ( bxi) 0 i n ( yi ( bxi)) xi0 b i Sređivnje gornjih izrz dobije se: n n n yi bxi i i i n n n xiyi xi bxi i i i Odkle nepoznte prmetre i b dobijemo rčunjući sljedeći izrz: b yx xxy nx x nxy xy nx x (7) (8) (9) Gdje znči n i... i 9
21 Pri čemu se ukupn grešk rčun: s n i ( f ( x ) y ) n i i y i i (0) ZADACI MNK. Koristeći linernu metodu njmnjih kvdrt pronđi prvc koji njbolje proksimir zdne točke. Odredi grešku proksimcije. i x y Rješenje: * x 0
22 Zdn funkcij Aproksimcij 5 0 y =, x + 0,
23 5 Linern interpolcij Interpolcij dolzi od riječi inter između i polos os, osovin, odnosno točk, čvor. Svko izrčunvnje nove točke između dviju ili više postojećih točk podtk je interpolcij. Postoje mnoge metode interpolcije od kojih mnoge uključuju prilgođvnje nekkve vrste funkcije zdnim podcim i ztim procjenu vrijednosti te funkcije n željenoj točki. Dnom nizu od n rzličitih brojev x k koje nzivmo čvorovi tko d z svki x k postoji drugi broj y k, nći ćemo funkciju f z koju vrijedi f ( x ) y, k,..., n () k k Pr x k, y k nziv se točk podtk, f se nziv interpolnt z te točke podtk. Jedn od oblik interpolcije je izrčun ritmetičke sredine iz vrijednosti dviju susjednih točk kko bi se odredil točk u njihovoj sredini. Isti se rezultt dobiv određivnjem vrijednosti linerne funkcije u srednjoj točki. Linern interpolcij (ponekd se nziv linterp) je jedn od njjednostvnijih metod interpolcije. Kod ove metode se vrijednosti funkcije između dvije susjedne točke grf x, y i, x y prikzuju ko d leže n prvcu između te dvije točke. Dkle, z b b x x, x se uzim d je interpolnt zdn: b ( yb y) y y ( xx) ( x x ) n točki x, y. b () Linern interpolcij je brz i lgn, no nije odveć precizn.
24 Primjer Pretpostvimo d immo tblicu u kojoj su nvedene vrijednosti nepoznte funkcije f. x f(x) Slik 5. Vizulno predočeni podci iz tblice Interpolcij osigurv nčin procjenjivnj funkcije n međutočkm, npr. ko x.5. Budući d je.5 sredin između i 3, rzumljivo je uzeti sredinu f (.5) između f () i f (3) 0.4, što dje rezultt od ( ) y (.5 ) 0.55 (3 ) Slik 5. Prikz podtk s dodnom linernom interpolcijom 3
25 Primjer N slici je prikzn tblično zdn funkcij. x f ( x ) Slik 5.3 Vizulni prikz podtk Odredi vrijednost f (.6). y(3) y() f(.6) y() (.6 ) Slik 5.3 Linern interpolcij 4
26 6 Mjerne jedinice i SI sustv Medunrodni sustv jedinic SI (krtic SI izveden je prem frncuskom nzivu Le System Interntionl d'unites) je moderni metrički sustv mjer, kojeg je uspostvil 960. Generln konferencij o utezim i mjerm (CGPM, Conférence Générle des Poids et Mesures). CGPM je međunrodn orgnizcij koj se brine o širenju SI i po potrebi njegovoj modifikciji, sukldno npretku u znnosti i tehnologiji. Sdšnj verzij SI, usvojen 97., temelji se n sedm osnovnih jedinic z sedm osnovnih veličin koje su medusobno neovisne. Tblic 6. Osnovne fiziklne veličine i pripdne jedinice SI sustv FIZIKALNA VELIČINA NAZIV SIMBOL SI - JEDINICA SIMBOL Duljin l metr m Ms m kilogrm kg Vrijeme t sekund s Električn struj I mper A Termodinmičk tempertur T kelvin K Količin tvri n mol mol Intenzitet svijetlosti Iv kndel cd Tblic 6. Dopunske SI jedinice FIZIKALNA VELIČINA NAZIV SIMBOL SI - JEDINICA SIMBOL Kut,,,... rdijn rd Prostorni kut,,,... sterdijn sr Sve druge veličine, nzvne izvedene veličine, mogu se definirti pomoću tih sedm osnovnih veličin. Sukldno tome, izvedene veličine imju izvedene jedinice. 5
27 Tblic 6.3 Neke od izvedenih SI jedinic bez posebnih znkov i nziv FIZIKALNA VELIČINA NAZIV SIMBOL SI - JEDINICA SIMBOL Površin A, S četvorni metr m Volumen V kubni metr 3 m Brzin Ubrznje Gustoć Obujmni protok v Q metr u sekundi metr u sekundi n kvdrt kilogrm po kubičnom metru kubičnih metr u sekundi m/s m/s 3 kg/m 3 m/s Moment sile M njutn metr Nm Neke od izvedenih velicin toliko su česte i vžne u prksi d su njihove (izvedene) jedinice dobile specijlni nziv i oznku (simbol). SI sustv im tkve specijlne oznke, z nše potrebe nbrojt ćemo smo sljedeće: Tblic 6.4 Neke od izvedenih SI jedinic s posebnim imenom FIZIKALNA VELIČINA NAZIV SIMBOL SI - JEDINICA SIMBOL Frekvencij f herc (hertz) Hz Sil F njutn (newton) N Tlk, npreznje p pskl (pscl) P, N/m Energij E džul (joule) J Sng P vt (wtt) W Električni npon U, V volt V Količin elektricitet Q kulon (coulomb) Električni otpor R om (ohm) Ω C 6
28 Primjer: Po definiciji je sil = ms kcelercij ms je osnovn veličin (ne definir se pomoću drugih pojmov) kcelercij nije osnovn veličin; on se definir ko brzin/vrijeme, p zhtjev prethodno definirnje brzine: brzin = dužin/vrijeme; brzin je izveden veličin koj je definirn smo s osnovnim veličinm. Končno, složeni pojm sile može se objsniti korištenjem smo osnovnih pojmov (veličin): sil = ms dužin vrijeme -, s jedinicm: N = kg m s -. Pojmovi tlk, energij i sng su složeniji od pojm sil, p bi izržvnje tih veličin s osnovnim jedinicm bilo vizulno još komplicirnije i stog neprktično. To je i rzlogom d su z kompleksnije kombincije osnovnih jedinic uvedene nove oznke, poput N u nšem primjeru. SI definir 0 prefiks, z potencije n bzi 0, koji se mogu koristiti uz osnovne ili izvedene jedinice. U inženjerskoj prksi korištenje prefiks je svkodnevic, p smim time i prijek potreb, tko d će se u kolegiju dt posebn nglsk n rčun s prefiksim, kko bi student čim brže i bolje svldo njihovo korištenje. Tblic 6.5 SI prefiksi Fktor Nziv Oznk Fktor Nziv Oznk 0 4 yott Y 0 - deci d 0 zett Z 0 - centi c 0 8 ex E 0-3 mili m 0 5 pet P 0-6 micro μ 0 ter T 0-9 nno n 0 9 gig G 0 - pico p 0 6 meg M 0-5 femto f 0 3 kilo k 0-8 tto 0 hecto h 0 - zepto z 0 dek d 0-4 yocto y 7
29 ZADACI JEDINICE (s rješenjim). Odredite smično npreznje ko je zdno: F 45 kn = N D 0.6 cm =0.006 m = r Površin se rčun po izrzu: A r = (0.003 m) = m Ukupn smičn sil se dijeli n četiri zkovice: F N V = 50 N 4 4 Smično npreznje se rčun prem: V 50 N = N/m 375 MP A m. Odredite smično npreznje ko je zdno: M 7500 Nm D 0 cm = 0. m = R Polrni moment tromosti: 4 (0.05 m) m 4 I R Smično npreznje iznosi: MR ( 7500 Nm)(0.05 m) 4 = N/m 38. MP I m 3. Kolik je količin topline potrebn z tljenje kg olov početne temperture t0 4 C? Q Qg Qt Gdje je: g grijnje do tlišt t tljenje Q mc(t t ) g Q g kg 0.30 kj kg K (37 4)K 39.4 KJ Qt ml kg 3 kj kg 3 KJ Q kj = 6 kj 6 Q 6 kw s = kw h = 0.07 kw h Koliko je topline potrebno z grijnje kg olov, željez i luminij od 0 do 00 C? Specifične su topline: olov 0.3 kj/(kg K), željez 0.46 kj/(kg K) i luminij 0.9 kj/(kg K) QPb mcp,pb t KJ QFe KJ 8
30 QFe KJ 5. Koliko kockic led temperture 0 C, strnice cm treb otopiti u L vode d bi ju ohldili s 6.5C n 0 C? Specifičn toplin tljenj led je 333 kj kg, specifični toplinski kpcitet vode je 490 J kg K, gustoć vode je kg m, led 90 kg m 3. Gubitke topline u okolinu vlj znemriti! 3 Ms led: ml N L Utrošen toplin je z zgrijvnje led: 3 Q ml( ctl) N L ( c TL) Izgubljen toplin hlđenj vode Q mv ctv) V V c TV Topline su jednke (koliko se ohldi vod, toliko se zgrije led) N 3 L ( ctl) V V c TV V V ctv N = 3 L ( ctl) N = ( ) 6. U horizontlnoj cijevi promjer 0 cm vod teče brzinom m/s pri sttičkom tlku br. Koliki je tlk u užem dijelu cijevi promjer 5 cm? D bi tok kroz širi i uži dio cijevi bio jednk vrijedi: v S Sv S v, odnosno v S Površine presjek cijevi su proporcionlne promjerim p je: v d v d d v d v Prem Bernoullijevom teoremu je v v p p 4 d d p p v v p v v 4 d p p v d Zdno: 9
31 5 = br = 0 P p kg/m v = m/s p P =.7 br 5 ZADACI JEDINICE 7. Pretvorite u određene mjerne jedinice:. b. 0.5 mm.5 0 m m m c mm cm m d km. 0 km. 0 m e. god = s 8. Izrčunjte u trženim mjernim jedinicm:. S 300 mm 0,00 km dm,5 m 0,84 km S mm b. A 5 m 0,00005 km 7,5 dm 30 cm A m c V 500 cm m 3 dm V l 9. Izrčunjte vrijednosti u trženim mjernim jedinicm: s. v t v v 8 km 3 dn m / s b. c. v v, 5 m s km / h 300 km v 4 dn, st 30
32 d. v m / s s t v t t km 700 m / s sti 0. Izrčunjte vrijednosti u trženim mjernim jedinicm: v. t 0 km / h 0 min m / s b. 6 km / h dn m / s c. v t v,8m / s 5min v m / s. Izrčunjte vrijednosti u trženim mjernim jedinicm:. F k x F 0,3 N/m 0,00 km F N b. m v F t 300 g 0 km/h F 0 s F N c. v F t m 3
33 4 N s v 0,004 t v d. F t N F t N m/s 6,50 MN 0,00 kn. Izrčunjte vrijednosti u trženim mjernim jedinicm: F. p A 0,00 MN p mm p P N/m b. p p g h p 0300 P 000 kg/m 9,8 m/s 0 mm p P c. p g h 3 p 500 kg/m 9,8 m/s 50cm p P d. F p A p m g m g m A 3 g p 3 0 kg 0000 mg,8 0 t g g g mm p P 3. Izrčunjte vrijednosti u trženim mjernim jedinicm:. W F h W m g h 3
34 4 W 0 mg 9,8 m/s 500 mm kg m W J( ) s m m b. F G r F kg 9,5 0 t 6,67 Nm /kg 3 F MN,5 0 m c. W P t 35 kj P P J/s dn d. Q Av Q 0,05m km/h Q l/s Q Q e. F k r F 9 90Nm/C F μn 8 8,30 C,5 0 C 4 30 km f. F E Q E 8, 5 0 MN 7 0 C N E C g. Q k r r Q k 600 V,5 cm Q 9 90 Nm/C 33
35 Q C h. F l E A 5 kn 500 cm 4, 0 MN/m 00 dm 5 m 34
Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
![c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]](/thumbs/92/108578155.jpg "c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]")
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
γ = 120 a 2, a, a + 2. a + 2
Zdtk (Slvi, gimnzij) Duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom Jedn kut iznosi Koliki je opseg trokut? Rješenje inči udući d duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom,
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Poučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti b + c a a + c b a + b c.
Zdtk 4 (4, TUŠ) Kolik je mjer njmnjeg kut u trokutu kojemu su strnie duljin 7 m, 8 m i 9 m? Rješenje 4 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Nsuprot većoj strnii u trokutu
Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
x y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka?
MATEMATIKA Zdci s držvne mture viš rzin Brojevi i lgebr Funkcije Jedndžbe i nejedndžbe Geometrij Trigonometrij LINEARNA FUNKCIJA 1. Uz koji uvjet jedndžb A+By+C=0 predstvlj prvc?. Koje je znčenje broj
dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Priprema za ispit - RJEŠENJA
Priprem z ispit - RJEŠENJA 1. Odredi duljinu strnie i kutove trokut ABC ko je = 16 m, = 11.2 m te + = 93⁰. = 16 m = 11.2 m + = 93⁰,,, =? Njprije ćemo izrčunti kut jer je = 180⁰ - ( + ) = 87⁰ No, sd znmo
= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.
Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov
Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e
Koliko sati toga dana je razina vode bila iznad 30 cm? A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 13 Rješenje: E. Rješenje: A A) 1 B) 2 C) 6 4 D) 3 4 E) 2.
MATEMATIČKI KLOKAN S 6 700 000 sudionik u zemlji Europe, Amerike, Afrike i Azije Četvrtk,. ožujk 0. Trjnje 7 minut Ntjecnje z Student (IV. rzred SŠ) * Ntjecnje je pojedinčno. Rčunl su zbrnjen. * Svki zdtk
( ) ( )
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnj 05. 4. rzred-rješenj OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ
VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.
Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:
tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene
Opsezi i površine - DZ
Opsezi i površine - DZ Iko učenici u 4. rzredu uče vrste trokut, uče o prvokutniku i kvdrtu, upoznju se s pojmom opseg i površine, s kvdrtnim mjernim jedinicm, s pojmom formule i kko u formulu uvrštvmo
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )
.RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini
Metode rješavanja izmjeničnih krugova
Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Zdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.
Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između
IZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Zadatak 1
PISMENI ISPIT IZ KLASIČNE MEHANIKE I 3.. 9. Zdtk Čestic mse m izbčen je s površine Zemlje pod kutem α brzinom v. Ako je otpor zrk proporcionln trenutnoj brzini konstnt proporcionlnosti je ), izrčunjte
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Istosmjerni krugovi. 1. zadatak. Na trošilu će se trošiti maksimalna snaga u slučaju kada je otpor čitavog trošila jednak unutrašnjem otporu izvora.
Strnic: X stosmjerni krugovi Prilgođenje n mksimlnu sngu. Rješvnje linernih mrež: Strnic: X. zdtk Otpor u kominciji prem slici nlzi se u posudi u kojoj vld promjenjiv tempertur. Pri temperturi ϑ = 0 C,
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
a) Kosi hitac Krivolinijsko gibanje materijalne toke Sastavljeno gibanje Specijalni sluajevi kosog hica: b) Horizontalni hitac c) Vertikalni hitac
) Kosi hic Kriolinijsko ibnje merijlne oke Ssljeno ibnje 5. dio 3 4 Specijlni slujei koso hic: b) orizonlni hic c) Veriklni hic b) orizonlni hic c) Veriklni hic 5 6 7 ) Kosi hic 8 Kosi hic (bez opor zrk)
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
KUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Budući da je u jednakokračnom pravokutnom trokutu visina osnovice jednaka polovini osnovice, vrijedi: a 2
Zdtk (Romn, gimnzij) Sdnji jdnkokčnog tpz im duljinu 5 ko su dijgonl mđusono okomit, kolik j njgo pošin? Rjšnj udući d j u jdnkokčnom pokutnom tokutu isin osnoi jdnk poloini osnoi, ijdi: x = + = x + y
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.
. Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.
FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA
FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA Vrijednoti inu i koinu π π π π ϕ 6 4 3 in ϕ 3 co ϕ 3 Trigonometrijke funkcije polovičnih rgument in x = co x co x = + co x Trigonometrijke
Trigonometrijske formule sve iz jednog trokuta i još ponešto
Poučk 60 Trigonometrijske formule sve iz jednog trokut i još ponešto Uvod Oštroumni zključi iz tupokutnog trokut i iz-skok trokutomjernih funkij iz trokut Vldimir Ćepulić 1, Kristin Penzr U ovom su člnku,
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
17. VEKORI I KVADRANE MARICE 17.1 Opcenito o vektorim Vektor je usmjeren duzin i zto im: pocetk (hvtiste), krj i smjer. Vektor se ozncv s oznkom n pr.: rpq,, Duzin PQ ili r nziv se duzin vektor, intenzitet
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Kut je skup točaka ravnine odre - den dvama polupravcima sa. Polupravci a i b su krakovi kuta, a njihov zajednički početak V je vrh kuta.
UDŽBENIK 2. dio Pojam kuta Dva polupravca sa zajedničkim početkom dijele ravninu na dva dijela (jače naglašeni i manje naglašeni dio). Svaki od tih dijelova zajedno s polupravcima zove se kut. Da bi se
2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =
Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo
Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.
Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u
R A D N I M A T E R I J A L I
Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7. IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA 7 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE
ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. ANALITIČA GEOMETRIJA PROSTORA II. DIO (Pv).. Min Roić Linović 9./. Pv u otou Jenž v Nek je: T (,, ) n točk oto {,, } ni vekto mje Znom točkom oto oli mo v leln nim vektoom. T (,,) - oivoljn točk v
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Kinematika materijalne toke. 3. dio a) Zadavanje krivocrtnog gibanja b) Brzina v i ubrzanje a
Kinemik meijlne oke 3. dio ) Zdnje kiocnog gibnj b) Bzin i ubznje 1 Kiocno gibnje meijlne oke Položj meijlne oke u skom enuku emen možemo definii n slijedee nine: 1. Vekoski nin defininj gibnj (). Piodni
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
MATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija
MATEMATIKA seminri studij: Prehrmben tehnologij i Biotehnologij Sdržj Integrlni rčun funkcije jedne vrijble. Uvod................................. Odredeni (Riemnnov) integrl. Problem površine........
Primjene odreženog integrala
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivn Brnović Miroslv Jerković Lekcij 5 Primjen određenog integrl Poglvlje Primjene odreženog integrl. Povr²in rvninskog lik Z dni rvninski lik omežen krivuljm y = f(x) i y = g(x) te
Polinomijalna aproksimacija
1 Polinomijln proksimcij 1.1 Problem njbolje proksimcije Rzmotrimo ponovo problem u kojem je zdn tblic brojev x x 0 x 1 x x 3 x 4 x n y y 0 y 1 y y 3 y 4 y n (1.1) z koju treb nći funkciju f koju t tblic
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
TROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β
TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α
GIBANJE (m h) giba miruje giba giba miruje miruje h 1000 :1000 h 1 h h :1000 1
GIBANJE ( h) gibnje gibnje ijel je projen položj ijel ili dijelo ijel u odnou pre neko drugo ijelu z koje o ujeno (dogoorno) uzeli d iruje U odnou n liječnik: gib iruje gib iruje gib gib iruje iruje gib
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
Državna matura iz matematike Ispitni katalog za nastavnike
Držvn mtur iz mtemtike Ispitni ktlog z nstvnike Rujn 7. Verzij. Člnovi stručne rdne skupine z pripremu ispit iz mtemtike doc. dr. sc. Željk Milin Šipuš, Prirodoslovno-mtemtički fkultet-mtemtički odjel
Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx.
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi