Priprema za ispit znanja trigonometrija pravokutnog trokuta

Transcript

1 Pipem z ispit znnj tigonometij pvokutnog tokut 1. Zoj duljin ktet pvokutnog tokut jednk je 12 m, jedn kut tokut iznosi 58⁰. Kolik je duljin hipotenuze ovog tokut? + = 12 = 58⁰ =? S oziom d se u zdnim podim pojvljuju ktete i te kut, uočimo te elemente n skii pvokutnog tokut i odeimo tigonometijsku funkiju koj ih povezuje (nvno, di se o tngensu je su oe stnie ktete nem hipotenuze): ko pomnožimo ijelu jedndžu s doijemo: = = Polem je što se pojvljuju dvije nepoznnie, p gonju jedndžu momo kominiti s već doivenom + = 12: = + = 12 Umjesto nepoznnie u dugoj jedndži uvstit ćemo : Nkon izlučivnj nepoznnie immo: Podijelimo sve s + p doijemo: += += = + Sd kd immo stniu možemo funkijom kosinus povezti tu stniu, kut i hipotenuzu : Te nkon množenj s i dijeljenj s os immo: = = 2. Izčunj stnie pvokutnog tokut ko mu je povšin jednk 22 m 2, veličin jednog kut iznosi 56⁰ 40.? P = 22 m 2 = 56⁰ 40,, =? P = * /2

2 N skii pvokutnog tokut uočimo stnie i, te ih funkijom tngens povežemo s zdnim kutom : Odnosno, nkon množenj: = = Polem je što se pojvljuju dvije nepoznnie, p gonju jedndžu momo kominiti s već doivenom povšinom: = = = = U dugu jedndžu, umjesto uvstimo te pomnožimo s 2: Nkon seđivnj i dijeljenj s tn immo: = = Sd je jednostvno doiti i ostle stnie njpije uvstimo u = i izčunmo, dok možemo doiti Pitgoinim poučkom. 3. Kolik je duljin hipotenuze pvokutnog tokut, ko je duljin visine n hipotenuzu 11 m. = 48⁰ 50? v = 11 m = 48⁰ 50 =? v Visin n hipotenuzu je podijelil pvokutni tokut n dv mnj pvokutn tokut. Pimijetimo d u istnom pvokutnom tokutu immo poznt dv element ktetu v i kut, p i mogli izčunti hipotenuzu koisteći funkiju sinus: odnosno, nkon množenj s i dijeljenj s sin : = = No, sd u pvokutnom tokutu immo pozntu ktetu i kut p možemo izčunti i ostle dvije stnie:

3 odnosno = = Teću stniu možemo izčunti pomoću Pitgoinog poučk. 4. ko je duljin otogonlne pojekije ktete n hipotenuzu pvokutnog tokut jednk 10 m, duljin ktete je 7 m, koliki su kutovi ovog tokut? (IV.1) 5. Rzlik kut uz osnoviu i kut pi vhu jednkokčnog tokut iznosi 12⁰, kk je dulji od osnovie z 3 m. Kolik je povšin ovog tokut?? (IV.16) = 12⁰ = 3 m P =? = 2 Iz fomule z povšinu jsno se vidi d je poteno izčunti osnoviu i visinu v. Stog ćemo jednkokčnom tokutu povući visinu n osnoviu i uočiti jedn od dv pvokutn tokut n koje visin podijeli jednkokčn tokut No, njpije je poteno iskoistiti činjeniu d je = 12⁰, te izčunti kutove i. To ćemo postići koištenjem činjenie d je zoj kutov u tokutu 180⁰. Npišimo te dvije činjenie zjedno: = 12⁰ + 2 = 180⁰ Zjnjem ovih jedndži ( se pokti) doijemo: 3 = 192⁰ odnosno = 64⁰ Sd je poteno odti ti element u izdvojenom pvokutnom tokutu te ih povezti tigonometijskom funkijom. Pi odiu element poteno je otiti pžnju što nm je zdno u zdtku. Stog uočimo ktetu /2 i hipotenuzu te kut i povežimo ih funkijom kosinus: = =

4 Nkon množenj s 2 immo: = Jedndž koju smo doili nije, sm z see, ješiv je u sei im 2 nepoznnie. Međutim, mi smo pmetno ili elemente tokut koje smo povezli funkijom kosinus je iste te dvije nepoznnie immo povezne u jedndži koju smo doili pi zdvnju zdtk. Npišimo oje jedndže jednu ispod duge kko i olje vidjeli nčin n koji ćemo od njih dvije doiti jednu jedndžu, li smo s jednom nepoznniom: = = 3 m Pv jedndž nm kže d umjesto u dugu jedndžu uvstimo izz : Izlučimo i podijelimo s zgdom: = = Dlje je jednostvno izčunti podtk z uvstimo u = 3 te izčunmo stniu, ztim Pitgoom izčunmo i visinu v te sve to uvstimo u fomulu z povšinu. = 6. U jednkokčnom tokutu kut uz osnoviu z 20⁰ je veći od kut nsupot osnovii. Rzlik duljin kk i osnovie je 1 m. Kolike su duljine stni tokut? = + 20⁰ = 1 m, =? Izčunjmo njpije kutove tko d zdnu vezu između kutov i koju smo doili u zdtku ( = + 20⁰) uvstimo u izz z zoj kutov u tokutu, tj. u jedndžu + 2 = 180⁰ : + += te izčunmo njpije kut ztim i. Postupk nstvljmo uočvjući pvokutni tokut kojeg doijemo povlčenjem visine n osnoviu te povezujući tigonometijom stnie i (je je zdn vez između tih stni: = 1 ). = = Te nkon množenj s 2: = v /2

5 Sd peostje kominijom dvju izz s dvije nepoznnie doiti jednu jedndžu s jednom nepoznniom: = = U dugu jedndžu umjesto uvstimo i izlučimo : = te podijelimo s zgdom: = = 1 I još peostje izčunti uvštvnjem vijednosti u jedndžu = Opseg jednkokčnog tokut iznosi 30 m. Kut nspm osnovie tokut jednk je 104⁰. Izčunj povšinu tokut.? o = 30 m = 104⁰ P =? = 2 S oziom d je opseg jednkokčnog tokut + 2 jsno je d te tigonometijom povezti, i kut u pvokutnom tokutu kojeg doijemo povlčenjem visine n osnoviu v /2 = = /2 Seđivnjem te jedndže množenjem s 2 i komininjem s jedndžom z opseg (o = + 2 = 30) doijemo: = + = Iz pve jedndže uvstimo izz u dugu jedndžu i izlučimo : + = += Još nm peostje sve podijeliti s zgdom: = + Sd nm peostje izčunti uvštvnjem upvo izčuntog podtk z u = ztim pimjenom Pitgoinog poučk ponći i visinu v te izčunti povšinu tokut.

6 8. Kk jednkokčnog tokut tostuko je dulji od njegove osnovie. Koliki su kutovi tog tokut? = 3, =? Podi koji su zdni kžu nm što momo povezti koisteći tigonometiju: to su stnie i te jedn kut. /2 Skiijmo jednkokčn tokut te jedn od dv pvokutn tokut koj doijemo povlčeći visinu n osnoviu i pimijenimo tigonometiju: = = Sd u doivenu fomulu u nzivnik umjesto uvstimo 3, te sktimo : = = v /2 Kd doijemo kut, do kut dolzimo koisteći činjeniu d je zoj kutov u tokutu 180⁰. Pošto jednkokčn tokut im kutove, i vijedi: + 2 = 180⁰ 9. Rzlik duljin kk i osnovie jednkokčnog tokut iznosi 3 m, kut nsupot osnovii im 44⁰ 20. Kolik je povšin tog tokut? 10. Duljin dijgonle pvokutnik je 16 m, kut između dijgonl iznosi 118⁰. Kolik je povšin pvokutnik? d = 16 m Φ = 118⁰ P =? P = Izvuimo jednkokčn tokut s osnoviom i kutom φ nsupot osnovii (istni dio) ond g visinom podijelimo n dv pvokutn te pimijenimo tigonometiju: = = odnosno: = d/2 φ/2 /2 /2 Stniu doijemo pimjenom Pitgoinog poučk: =

7 11. Povšin pvokutnik jednk je 33m 2, kut što g ztv dijgonl s jednom stniom iznosi 33⁰. Kolike su duljine stni pvokutnik? P = 33m 2 δ = 33⁰, =? S oziom d je P = *, jsno je d tigonometijom te povezti, i zdni kut. S oziom d su i ktete imo funkiju tnges: d = δ udući d ne znmo dvije vijednosti (ni ni ) mot ćemo kominiti dvije jedndže te ih spojiti u jednu jedndžu s jednom nepoznniom : = = U ovkvim situijm je poteno u jednoj jedndži postići d se jedn nepoznni nđe sm n jednoj stni jedndže, nkon tog tj izz uvštvmo u dugu jedndžu. U nšem pimjeu doo je pvu jedndžu pomnožiti s nzivnikom. Tko ćemo se i iješiti nzivnik i doiti nepoznniu smu n desnoj stni: = = Uvstimo sd izz z iz pve jedndže u dugu: Dijeljenjem s tn δ doijemo: = = = Sd nm peostje uvstiti doiveni podtk z stniu u izz = te izčunti i stniu. 12. Duljine dijgonl om jednke su 11 m i 16 m. Koliki su kutovi om? e = 11 m f = 16 m, =? Zdne su dijgonle om p te uočiti pvokutni tokut kojem je pvi kut u sjeištu dijgonl. Dijgonle se, osim tog, spolvljju spolvljju i kutove i n osnovii: e f

8 Istknimo 3 element u tom tokutu (dv koj znmo i teći koji želimo izčunti) te pimijenimo tigonometiju pvokutnog tokut: = = Kd iz gonjeg izz izčunmo kut, do kut dolzimo jednostvno zhvljujući činjenii d je zoj kutov om jednk 180⁰, p je = 180⁰ -. f/2 e/2 /2 /2 13. Visin om dug je 4 m, njegov šiljsti kut iznosi 48⁰. Kolik je duljin veće dijgonle om? v = 4 m = 48⁰ e, f =? Osim pvokutnog tokut kojeg čine dijgonle pvokutnik u omu pvi kut možemo doiti i povlčenjem visine. v Tj pvokutni tokut nm je poten kko i iz njeg izčunli stniu. On nm je poten kko i u pvokutnom tokutu iz kojeg želimo izčunti dijgonle imli dv poznt element. Dkle, njpije funkijom sinus povežimo, v i : f/2 e/2 /2 /2 = te izzimo : = Sd iz dugog tokut funkijom sinus povežimo e/2, /2 i : = = Kd pomnožimo ijelu jedndžu s 2 doijemo dijgonlu e: = Dijgonlu f izčunjte ili Pitgoinim poučkom ili pimjenom funkije kosinus te odeite veću dijgonlu (sjetite se, tži se već dijgonl). 14. Opseg om je 32 m, zoj duljin njegovih dijgonl 34 m. Koliki je tupi kut om? o = 32 m e + f = 34 m, =? Lgno se, iz opseg izčun stni, = 8 m. Uz tj podtk vidimo d immo jedndžu koj povezuje e i f - dkle dvije nepoznnie. Stog temo još jednu jedndžu s e i f, d pi tome ne uvedemo novu nepoznniu. To je moguće pimjenjujući Pitgoin poučk n istni tokut: f/2 e/2 /2 /2

9 + = += U pvoj jedndži izvšimo kvdinj, pomnožimo s nzivnikom, iz duge jedndže izzimo e pomoću f: + = = Uvstimo izz z e iz duge jedndže u pvu jedndžu: Doiju se dv ješenj: + = + + = += += f 1 = 25 e 1 = 9 f 2 = 9 e 2 = 25 Dovoljno je uzeti jedn p te pimjenom tigonometije (np. funkije tngens ) povezti e, f i kut : = = f/2 e/2 /2 /2 Kut se doije iz : = 180⁰ Duljine osnovi jednkokčnog tpez jednke su 10 m i 2 m, duljin je kk 6 m. Koliki su kutovi tpez? = 10 m = 2 m = d = 6 m, =? Tpez podijelimo n tokut i plelogm, ztim u tokutu spustimo visinu kko i g podijelili n dv pvokutn tokut. x = - Povežimo, x/2 i funkijom kosinus i izčunjmo kut : = = Ztim izčunjmo kut : = 180⁰ -.

10 16. Šiljsti kut jednkokčnog tpez je 63⁰, duljine osnovi jednke su 3 m i 12 m. Kolik je povšin tpez? = 63⁰ = 12 m = 3 m P =? Iz fomule z povšinu: = + vidimo d nedostje visin v x = - Nći ćemo je iz pvokutnog tokut tko d pimijenimo funkiju tngens: = = v /2 x/2 Pomnožimo gonju jedndžu s x, ztim sve podijelimo s 2: Sd uvstimo izčuntu visinu u fomulu z povšinu. = 17. Dijgonl jednkokčnog tpez okomit je n kk, s osnoviom ztv kut od 42⁰ 30. ko je duljin dijgonle 12 m, kolik je povšin tpez? δ = 42⁰ 30 d = 12 m P =? = + Iz istnog tokut (pvokutn je ) izčunt ćemo stniu i kut, ztim n klsičn nčin doći do visine v i kće osnovie : δ d Pimijetimo d su i δ kutovi pvokutnog tokut, p je njihov zoj 90⁰. Stog je: Sd pimijenimo funkiju kosinus n kut δ: = 90⁰ - = Množenjem jedndže s, ztim dijeljenjem s osδ doijemo stniu : =

11 Ntjmo sd tpez ez dijgonle, li povuimo visinu v i uočimo jedn od dv pvokutn tokut koji pi tome nstnu: S oziom d u tom tokutu ne znmo ni jednu stniu, vtimo se Tokutu iz kojeg smo izčunli stniu te izčunjmo iz /2 njeg i kk (np. Pitgoinim poučkom). v Sd je moguće, funkijom sinus, povezti, v i : x/2 = odnosno, nkon množenj s : = Peostje nm još izčunti osnoviu, kko i imli sve podtke koji su nm poteni z čunnje povšine. To ćemo npviti tko d nđemo x iz tokut: = Iz x = slijedi = x. 18. Kolik je povšin deveteokut kojem je polumje upisne kužnie jednk 3 m? n = 9 Ρ = 3 m P =? = Njpije ćemo izčunti sedišnji kut = 360⁰ : 9 = 40⁰ Nkon tog uočimo kkteistični tokut pvilnog deveteokut te povuimo visinu ρ (polumje upisne kužnie ) i uočimo jedn od dv pvokutn tokut koji pi tome nstnu, te pomoću njeg izčunjmo stniu koj nm je poten z čunnje povšine: ρ = = Nkon množenj jedndže s 2ρ: = ρ /2 /2 19. Kolik je povšin pvilnog petnesteokut opisnog kužnii polumje 6 m? n = 15 ρ = 6 m P =? = ρ /2 ρ Zdtk ješvmo n isti nčin ko i 18. Zdtk ( = 360⁰ : 15 = 24⁰ ostlo je identično) /2

12 NPOMEN: udite opezni kd se di o kužnim i mnogokutu. itno je je li kužni opisn ili upisn mnogokutu, ne (ko u tekstu ovog 19. Zdtk je li mnogokut opisn ili upisn kužnii!!! 20. Kolik je duljin tetive u kužnii polumje 10 m, ko toj tetivi pipd oodni kut od 77⁰? = 10 m = 77⁰ t =? itno je znti teoem o oodnom i sedišnjem kutu: Sedišnji kut nd tetivom je dvostuko veći od oodnog kut nd istom tetivom (itno je smo d se o nlze s iste stne tetive) S 2 t Uočimo jednkokčni tokut S, te povuimo visinu iz vh S kko i doili dv pvokutn tokut i n jednom od njih pimijenili tigonometiju pvokutnog tokut kko i izčunli veličinu t: Pvi izo je funkij sinus (povezujemo hipotenuzu i ktetu t/2 nsupot kut ): Množenjem s 2 doijemo izz z t: = = = 21. Koliki je oodni kut nd tetivom duljine 7 m u kužnii polumje 10 m? t/2 t= 7 m = 10 m =? Zdtk se ješv identično ko i pošli 20. Zdtk. 22. Koliki je oodni kut nd tetivom kužnie kojoj je duljin jednk 3/5 duljine polumje? t = 3/5 =? Zdtk se ješv identično ko i 20. Zdtk, pi čemu se u izz = = umjesto t uvsti 3/5, te se skti p immo: = =

13 23. Tetiv kužnie od njen je sedišt udljen 5 m. ko je polumje kužnie 8 m, koliki je šiljsti oodni kut nd tetivom? d = 5 m = 8 m =? t/2 d S 2 Ovdje te iskoistiti funkiju kosinus: t = Odnosno, nkon množenj s : = 24. Nd tetivom duljine 6 m nlzi se oodni kut 53⁰. U točkm i konstuiju se tngente n kužniu i one se sijeku u točki P. Koliko je točk P udljen od sedišt kužnie? t = 6 m = 53⁰ d =? S t P Ovdje je poteno uočiti dv tokut. Pvi je tokut S u kojem je kut pi vhu S jednk 2 (po teoemu o oodnom i sedišnjem kutu) U tom tokutu ćemo spustiti visinu iz vh S n tetivu S t/2 t/2 Uočit ćemo pvokutn tokut (istno) te pimijeniti funkiju Sinus kko i doili polumje : = = Množenjem s 2 i dijeljenjem s 2sin immo polumje : =

14 Sd te koistiti dugi tokut - to je tokut SP, je se u njemu nlzi tženi podtk d (udljenost SP). Tj je tokut pvokutn s pvim kutom pi vhu (je je polumje okomit n tngentu u točki dodi): U njemu je funkijom sinus moguće doiti tženu veličinu d: = Odnosno = S d δ P Međutim, poteno je izčunti kut δ. Z to je poteno uočiti četveokut SP te uočiti d su njegov 4 kut: 2, 90⁰, 90⁰ i 2δ. Pošto je zoj kutov u četveokutu 360⁰ vijedi: ⁰ + 90⁰ + 2δ = ⁰ + 180⁰ + 2δ = 360⁰ 2δ = 74⁰ δ = 37⁰ S 2 90⁰ 90⁰ 2δ P 25. Dvije se kužnie diju izvn. Pod kojim se kutom sijeku njihove zjedničke vnjske tngente ko je polumje veće kužnie 10 m, polumje mnje 7 m? (IV.10) R = 10 m = 7 m =? R P S 1 R S 2 Njpije te uočiti dv pvokutn tokut: S 1 P i S 2 P: R S 1 S2 R + /2 P

15 Ni u jednom od t dv pvokutn tokut nemmo poznt dv element. Stog povuimo točkom plelu s pvem S 1 S 2 : S 1 R R + R + /2 S2 Doili smo teći pvokutni tokut čij je hipotenuz R +, ktet nsupot kut /2 iznosi R (zmisli zšto?!) p možemo funkijom sinus doći njpije do kut /2, ond je lko izčunti i : /2 P =+ Svim učeniim želim ugodno ješvnje i puno uspjeh n pismenom ispitu Ukoliko im nejsnoć, pitnj, eventulnih gešk možete jviti n E-mil muzni@msn.om