7. V Ý Š K O V É M E R A N I E

7. V Ý Š K O V É M E R A N I E Pri výškovom meraní urujeme výškové rozdiely (relatívne výšky) medzi dvojicami bodov na zemskom povrchu, z ktorých odvodzujeme absolútne (nadmorské) výšky bodov. Absolútna výška bodu predstavuje zvislú vzdialenos bodu od zvolenej základnej porovnávacej plochy. Ako základnú porovnávaciu plochu volíme hladinovú plochu, ktorá prechádza nulovým výškovým bodom. Predstavuje ho stredná hladina najbližšieho mora. Absolútne výšky vyjadrené vo vzahu k strednej hladine mora nazývame nadmorské výšky (obr. 7.1). Obr. 7.1. Absolútna (nadmorská) výška bodu Hladinovú plochu prechádzajúcu nulovou výškou, ktorou fyzikálne vyjadrujeme tvar Zeme, ako sme si uviedli v kap. 1., nazývame geoid. Pre všetky úlohy nižšej geodézie postaí, ak hladinovú plochu budeme aproximova guovou plochou. Sústredná guová plocha prechádzajúca daným bodom predstavuje skutoný (pravý) horizont. Takáto plocha prechádzajúca nulovým výškovým bodom predstavuje nulový horizont. Pod relatívnou výškou výškovým rozdielom (prevýšením) AB bodu B vzhadom k bodu A, rozumieme zvislú odahlos horizontu bodu B od bodu A. Vzahy medzi výškami bodov H A, H B a prevýšením AB vyplývajú z obr. 7.: H B = H A + AB, H B H A = AB, H A = H B AB. (7.1) Poda toho, v akej vzájomnej výškovej polohe sú body A a B, máme kladné alebo záporné prevýšenie AB. Obr. 7.. Nadmorské výšky a výškové rozdiely Skutoné (zakrivené) horizonty nevieme geodetickými prístrojmi vytýi. Pri urení prevýšenia potom postupujeme tak, že skutoný horizont zložíme zo zdanlivých horizontov, u ktorých s ohadom na malú odahlos bodov je rozdiel medzi oboma horizontami zanedbatený (obr. 7.3), alebo k urenému prevýšeniu zavedieme opravu zo zakrivenia Zeme. Výškové rozdiely meriame: - trigonometrickou metódou, ktorú aplikujeme na meranie prevýšení a výšok na blízke body a na väšie vzdialenosti, kedy k odmeraným hodnotám prevýšenia priraujeme opravu zo zakrivenia Zeme (zo zámeny skutoného horizontu za zdanlivý horizont) a opravu z refrakcie, - niveláciou, pri ktorej výškový rozdiel uríme pomocou krátkych vodorovných priamok, - využitím fyzikálnych vlastností tekutiny hydrostatickou niveláciou a barometrickou metódou z rozdielov tlaku vzduchu a teplôt na jednotlivých meraných bodoch. 158

. 7.1 VÝŠKOVÉ BODOVÉ POLE V stavebnej praxi sa využívajú všetky metódy okrem barometrického merania výšok, s ktorou sa oboznámime len informatívne. Najväšie využitie má nivelácia. Nivelácia má najjednoduchšiu technológiu merania, ktorou môžeme dosiahnu vemi presné výsledky. Obr. 7.3. Zloženie skutoného horizontu zo zdanlivých horizontov Výškové bodové pole v SR tvorí Štátna nivelaná sie (ŠNS). Na našom území sa zaala budova ešte za Rakúsko-Uhorska v rokoch 1873 až 1918 Vojenským zemepisným ústavom vo Viedni. V rokoch 1918 1944 a od r. 1945 podnes, sa pokrauje v zhusovaní a spresovaní nivelanej siete. Výškové bodové pole rozdeujeme na: a) základné výškové bodové pole (ZVBP), b) podrobné výškové bodové pole (PVBP). Základné výškové bodové pole sa skladá: - zo základných nivelaných bodov (ZNB), (na Slovensku je 11 ZNB), - zo Štátnej nivelanej siete, tvorenej nivelanými sieami I., II. a III. rádu, - z podrobnej nivelanej siete, ktorú tvoria siete IV. radu a plošné nivelané siete. Podrobné výškové bodové pole zaha: - stabilizované body technických nivelácií, - body polohových a tiažových polí, ktorých výšky boli urené technickou niveláciou. Obr. 7.4. Ochranný pomník základného nivelaného bodu Streno Obr. 7.5. Tvar znaiek ZNB a zaisovacích bodov Základné nivelané body sú rozmiestnené na geologicky pevných miestach a zaisujú nadmorské výšky celého výškového bodového poa. Stabilizované sú vyhladenou plôškou rozmerov 0,15 x 0,15 m na skalnom masíve asi 0,5 m pod úrovou terénu. Znaky sa chránia dutým blokom s krycím pomníkom (obr. 7.4), na ktorom je vonkajšia výšková znaka k pripojovacím meraniam. Základné nivelané body sú zaistené dvoma až štyrmi bodmi z Monelovho kovu (70 % medi a 30 % niklu), 159

alebo zo skla poda obr. 7.5. Znakou zo skla sú tiež stabilizované ZNB, kde sa nedala vyhladi plôška predstavujúca stabilizáciu výškového bodu. Nivelané body I. rádu tvoria uzavreté nivelané výškové siete s obvodom 300 až 400 km. Do nivelaných sietí I. rádu sú vložené výškové siete II. rádu s odvodom asi 100 km. Najmenšie obvody majú nivelané siete III. a IV. rádu, z ktorých siete IV. rádu sa budujú poda potreby zhusovaním siete I., II. a III. rádu. Výšky nivelaných bodov v sieach I. rádu a II. rádu sa urovali vemi presnou niveláciou (VPN), siete III. a IV. rádu sa urujú presnou niveláciou (PN). Budovanie novej ŠNS sa zaalo v roku 1997. Nová nivelaná sie obsahuje I. a II. rád. Meranie siete I. rádu bolo skonené v roku 00. Na meranie sa použili digitálne kompenzátorové nivelané prístroje a kódove nivelané laty. Evidennou jednotkou výškových bodových polí je nivelaný polygón, alebo plošná nivelaná sie zahrujúca jednotlivé nivelané body. V ŠNS sa používa oznaenie: 1. Nivelané oblasti I. rádu (uzavreté nivelané polygóny) sú oznaené písmenami A až O (obr. 7.6).. Neuzavreté hraniné oblasti (neuzavreté nivelané polygóny) I. rádu sú oznaené písmenami ZA až ZS. 3. Nivelané polygóny I. rádu sú oznaené kombináciou znakov susedných nivelaných oblastí I. rádu, napr. AC, ZNF, ZFZG a pod. 4. Nivelané polygóny II. rádu sú oznaené poradovým íslom uvedeným za oznaením nivelanej oblasti I. rádu, napr. C56, ZD13 a pod. Poradové íslo je pridelené poda zásady oznaovania od západu na východ. 5. Nivelané body v polygónoch sú oznaené nivelaným polygónom, spojovníkom a priebežnými íslami od ísla 500, napr. AC-555, C56-510 a pod. Obr. 7.6. Štátna nivelaná sie I. rádu Nivelané siete sú vybudované pozdž ciest a železníc a rozvetvujú sa v mestských priestoroch (podrobné nivelané siete PNS). Nivelané znaky sú stabilizované do vysekaných otvorov 160

v trvalých objektoch, o ktorých môžeme predpoklada, že sú výškovo stabilné, ako napr. masívne múry verejných budov (železniné stanice, strážne domky at.), mostné piliere, oporné múry a pod. Ako stabilizaný materiál sa používajú apové(obr. 7.7a,b) a klincové znaky (obr. 7.7c) rôznych tvarov. Pozdž železniných tratí nachádzame znaky stabilizované Vojenským zemepisným ústavom vo forme stupnice vyrytej na skle (obr. 7.7d). Výšková kóta sa u nich udáva k stredu (nule) stupnice. apové znaky sa osadzujú nad úrovou terénu do výšky 0,5 m, priom sa dbá na to, aby nad znakou bol voný priestor (asi 4, m) na zvislé postavenie laty. V poných honoch, kde nie je vhodný stavebný objekt, alebo skalný podklad, osadzujú sa znaky do kamenných hranolov a to bu z boku, alebo do temena (obr. 7.8). Ke je pôda málo pevná, alebo ide o nivelanú znaku väšej dôležitosti, hranoly sa kladú na podkladnú kamennú alebo betónovú dosku. O každom výškovom bode sa vedie grafický a písomný záznam (topografia bodu), ktorý spolu s nadmorskou výškou môžeme získa v dokumentaných oddeleniach Strediska železninej geodézie a v technickej dokumentácii katastrálneho úradu. a/ b/ c/ Obr. 7.7. apové (a, b), klincová znaka (c), stupnicová nivelaná znaka (d) Základná nivelaná sie sa vyrovnala ako celok metódou najmenších štvorcov, ím sa získali normálne ortometrické výšky, definované ako vzdialenosti bodov na zemskom povrchu od stopníkov ich tiažnic na geoide (obr. 7.9). O dynamických výškach hovoríme vtedy, ke sa bodom ležiacim na jednej hladinovej ploche, prisudzuje rovnaká výška. Z výšok základných výškových bodov, vzahujúcich sa k strednej hladine Jadranského mora, sa odvodili výšky bodov nivelaných sietí. Tento výškový systém nazvaný tiež jadranský systém, sa nahradil v roku 1955 rozhodnutím Ústrednej správy geodézie a kartografie baltským výškovým systémom s normálnymi nadmorskými výškami. (Systém normálnych výšok rešpektuje skutoný priebeh hladinových plôch a nezávisí od vnútorného poa zemskej tiaže). Výškový vzah medzi Jadranským a Baltským systémom sa uril predbežnou hodnotou Jadran 0,46 m = Balt, poda ktorej sa aj oznaoval ako výškový systém B 46. d/ 161

Obr. 7.8. Stabilizácia nivelanej znaky v ponom hone Obr. 7.9. Ortometrické výšky Nadmorské výšky v Štátnej nivelanej sieti sa teraz vzahujú k strednej hladine Baltského mora pri Kronštate a výškový systém sa nazýva Baltský výškový systém po vyrovnaní (Bpv). Výšky bodov sú normálne nadmorské výšky. V tomto výškovom systéme sa majú vykonáva všetky výpoty výšok bodov, i ke pri stavebno-technických prácach lokálneho významu volíme niekedy miestny výškový systém. Vzah medzi systémami Jadran a Bpv vyjadruje rovnica: Jadran 0,40 m = Bpv. Koncepcia rozvoja nových geodetických základov Slovenska do roku 005 predpokladá vyrovnanie ŠNS v Amsterodamskom výškovom systéme, ktorý sa vzahuje na hladinu Severného mora. Amsterodamský výškový systém (EUVN 000) zmení výšky Bpv v priemere o +0,15 m. Rozdiel výšok bude premenlivý v rozsahu +0,11 m až +0,19m. Tvorba podrobných nivelaných sietí Existujúca sie výškových bodov nám nebude vždy svojím rozsahom a hustotou vyhovova, a sme nútení ju alej zhusti. Ke má záujmové územie tvar úzkeho pruhu, výškové body rozmiestujeme za sebou v rade každých 300 až 500 m, ím vytvárame nivelaný polygón, od ktorého budeme odvodzova výšky alších bodov. Pozdž líniových stavieb napr. takýmto spôsobom budujeme hlavné výškové body (HVB). Nivelané polygóny poda pripojenia na nivelanú sie rozdeujeme na vložené (votknuté) (obr. 7.10a) a pripojené(obr. 7.10b). Ak nivelaný polygón zaína a koní na tom istom výškovom bode, hovoríme o uzavretom nivelanom polygóne. Obr. 7.10. a/ Vložený nivelaný polygón Obr. 7.11. Nivelaná sie na plošne b/ Pripojený nivelaný polygón rozloženom území V plošne rozloženom záujmovom území, ako sú napr. sídliská, veké zoraovacie stanice, priemyselné závody a pod., sie budujeme nivelanú uzavretými nivelanými polygónmi (obr. 7.11). Najprv po obvode územia a naprie územím vybudujeme hlavné nivelané polygóny (plné iary na obr. 7.11), medzi ktoré vložíme vedajšie nivelané polygóny (iarkované iary na obr. 7.11). 16

Stabilizáciu bodov podrobných nivelaných sietí vykonávame na výškovo pevných objektoch pomocou apových a klincových znaiek (obr. 7.6), prípadne inou vhodnou stabilizáciou primeranou vyžadovanej presnosti budovanej podrobnej nivelanej siete. Výškové urenie bodov podrobnej nivelanej siete vykonávame dvojstupovo, t.j. urenie ich výšok nazahame do jedného meraského postupu s urením výšok podrobných bodov, ale uríme ich oddelene a s vyššou presnosou. Meranie v nivelaných polygónoch, i už metódou geometrickej nivelácie zo stredu, alebo trigonometrickou niveláciou, vykonávame v oboch smeroch, ím prevýšenia medzi susednými výškovými bodmi uríme dvakrát. Pre výškové pripojovacie merania môžeme využíva aj body polohového bodového poa, ktoré sú tiež výškovo urené. Pritom v miestopisných záznamoch bodov si všimneme, akou metódou bola urená výška bodu, i trigonometricky alebo niveláciou. Niveláciou urené výšky bodov polohového bodového poa môžeme zapája do výškových meraní vykonávaných technológiou technickej nivelácie. 7. TRIGONOMETRICKÉ MERANIE PREVÝŠENIA Podstatou trigonometrického merania prevýšenia je riešenie trojuholníka A 0 BB 0 (obr. 7.1), v ktorom sú odmerané: zenitový uhol z alebo výškový uhol β, šikmá džka d s alebo vodorovná džka s. Prevýšenie bodu B nad skutoným horizontom vypoítame poda rovnice Obr. 7.1. Oprava zo zakrivenia Zeme AB = h p + 1 v ktorej δ + h h, (7.) h = s tg β = s cot g z = d sin β = d c s s (7.3) cos z a δ 1 predstavuje opravu zo zakrivenia Zeme. Vypoítame ju poda obr. 7.1 z rovnice ϕ δ 1 = s sin. (7.4) Uhol ϕ znamená konvergenciu tiažnic v bodoch A a B a vypoíta sa z rovnice ϕ s sin = r. (7.5) Úpravou rovníc (7.4) a (7.5) dostaneme výraz pre opravu zo zakrivenia Zeme: δ s 1 = r. (7.6) V tab. 7.1 máme vyíslené rozdiely medzi skutoným a zdanlivým horizontom. Opravy zo zakrivenia Zeme Tabuka 7.1 s [m] 50 100 300 360 1 000 10 000 δ 1 [m] 0,000 0,0008 0,007 0,010 0,078 7,85 163

Poda výsledkov tab. 7.1 vidíme, že na trigonometrické meranie prevýšenia v závislosti na vzdialenosti bodu od stanoviska merania vplýva zakrivenie Zeme, ku ktorému sa pridružuje aj úinok refrakcie, ktorý je odvodený v kap. 7.3. Preto z hadiska pracovných postupov rozlišujeme trigonometrické meranie prevýšení na blízke a vzdialené body. U trigonometrického merania prevýšení na blízke body nepriraujeme opravy zo zakrivenia Zeme a refrakcie. Ak vyžadovaná presnos merania výšok bude 10 mm, potom vzdialenos 300 m považujeme za hranicu medzi blízkymi a vzdialenými bodmi. 7..1 Meranie prevýšení na blízke body Výpoet výšky bodu Ak je daná výška bodu A, výšku bodu B uríme tak, že nad bodom A scentrujeme a zhorizontujeme prístroj (obr. 7.13), odmeriame výšku prístroja h p a v záujme vylúenia úinku indexovej chyby výškový uhol odmeriame v dvoch polohách alekohadu. Ak je teodolit vybavený Obr. 7.13. Trigonometrické urenie výšky bodu indexovou libelou, pred každým ítaním na výškovom kruhu prekontrolujeme jej urovnanie. Na bode B odmeriame výšku ciea h c a výšku bodu vypoítame poda rovnice: H B = H + h + h h. (7.7) A p Prevýšenie h vypoítame poda rovnice (7.3). Znamienko prevýšenia sa riadi poda znamienka výškového uhla, alebo vekosti zenitového uhla. Ke poznáme vzdialenos po meraný objekt, analogicky predchádzajúcemu postupu merania môžeme uri jeho výšku (obr. 7.14) poda rovníc: h h 1 h = s (tgβ 1 tgβ ), resp. (7.8) = h h 1 h = s (tgβ 1 tg(-β )). = c Obr. 7.14. Urenie výšky objektu Výšku objektu zriedkavo môžeme vypoíta pomocou známej vzdialenosti medzi stanoviskom prístroja a objektom, pretože zvyajne sa jedná o urenie výšky neprístupného objektu ako napr. 164

priemyselnej konštrukcie, komína a pod. Vtedy uskutoníme výpoet aplikáciou vodorovného trojuholníka, alebo zvislých trojuholníkov. Vo vhodnej vzdialenosti od objektu zvolíme dve stanoviská teodolitu S 1 a S (obr. 7.15). Odmeriame vzdialenos s 1 medzi oboma stanoviskami prístroja, vodorovné uhly ω 1, ω a výškové uhly na objekt P β 1, β. Na bod A, ktorého výšku poznáme, odmeriame vodorovné uhly ω 1A, ω A a výškové uhly β 1A, β A, ako aj výšky ciea na tomto bode h c1 a h c. Najprv z džky s 1 a dmeraných vodorovných uhlov vypoítame vzdialenosti od oboch stanovísk po bod P a po bod A : sinω A s 1P = s1, s g 1A = s1 g sin[ ( 400 ω1) + ω] sin[ ( 400 ω1a ) + ω A] g g sin( 400 ω1) sin( 400 ω1a ) s P = s1, s g P s1 g sin[ ( 400 ω ) + ω ] sin[ ( 400 ω ) + ω ] 1 Obr. 7.15. Trigonometrické urenie výšky objektu s vodorovným trojuholníkom sinω =. (7.9) Výška bodu P sa poda obr. 7.15 urí dvakrát, o je vítanou kontrolou merania a výpotu: H p = H A + hc1 h1 A + h1 P H p H A + hc h A + h P = (7.10) Prevýšenia uríme poda rovnice (7.3): h 1P = s 1P tg β 1, h 1A = s 1A tg β 1A,, h P = s P tg β, h A = s A tg β A. Skrátenie výpotu docielime, ak výšky horizontov oboch stanovísk odvodíme meraním β β 0, potom nemusíme urova džky s 1A a s A a s vodorovnou zámerou ( ) 1 A = A = prevýšenie h 1 A = h A = 0. Ak sa nedá docieli zostava z obr. 7.15 a výškové pripojenia na bod A môžeme vykona len pomocou niektorého z bodov S 1 a S, potom musíme uri aj prevýšenie medzi bodmi S 1 a S. Niekedy okolitá zástavba alebo terénne prekážky nedovolia aplikova vodorovný trojuholník, vtedy použijeme riešenie so zvislým trojuholníkom. Vo vhodnej vzdialenosti od objektu si zvolíme stanovisko S 1 (obr. 7.16) a stanovisko S vytýime tak, aby ležalo vo zvislej rovine, prechádzajúcej stanoviskom S 1 a meraným bodom P. 1A A 165

Vzdialenos medzi stanoviskami volíme primerane dlhú (asi 1 s) a džku b = S1 S odmeriame priamo pásmom alebo diakomerom. Na stanoviskách S 1 a S odmeriame výškové uhly β 1 a β a zaistíme pripojenie stanovísk na výškový bod A, napr. ako to máme naznaené na obr. 7.16. Výšku bodu P vypoítame z rovníc: H p ( s b) β c1 + s tgβ1 = H A + hc + tg = H + h. (7.1) A Obr. 7.16. Trigonometrické urenie výšky objektu so zvislými trojuholníkmi Z rovnice (7.1) vypoítame džku s : s h h btgβ tgβ tgβ c c1 =, (7.13) 1 ktorú ke dosadíme do rovníc (7.1), vypoítame hadanú výšku bodu P. Výpoet výšky bodu P je bez kontroly, ktorúzaistíme meraním z alšieho stanoviska S 3. 7.. Trigonometrická nivelácia Trigonometrickou niveláciou oznaujeme niveláciu so sklonenou zámerou (β 0). Aplikujeme ju hlavne v lenitom teréne, a to v prípadoch, ke sme urili džky pre iné úely (napr. pre polohové zhustenie bodového poa polygónmi). Odmerané prvky trigonometrickej nivelácie sú výškové (zenitové) uhly, džky, výšky cieov. Trigonometrickou niveláciou aplikovanou s elektronickým teodolitom dosahujeme presnos technickej nivelácie (pozri kritériá technickej nivelácie v kap. 7.37). Trigonometrická nivelácia má niekoko obmien. Najastejšie sa používa postup merania, ke sa prístroj umiestuje približne do stredu medzi body, ktorých urujeme výšky (obr. 7.17). Na stanoviskách S 1, S,... S i odmeriame výškové uhly β A, β 1,... β i, resp. zenitové uhly z A, z 1,... z i, príslušné džky s A, s 1,... s i, ako aj výšky ciea na meraných bodoch h ca, h c1,... h ci. Pre výškový rozdiel medzi bodmi A a B platí: AB =. (7.14) Výšky bodov P 1, P,... P i ak je známa výška bodu A, vypoítame z rovníc: 166

H H H 1 B = H A = H + 1 = H + n 1 A1 1 + ( ), n 1 B (7.15) priom výškové rozdiely medzi susednými bodmi P i, P i+1 postupne uríme z rovníc: ( h h ) ( h h ) = s tg s β + ( h h ) A1 = ca A c1 1 A 1 Atg β, ( h h ) ( h h ) = s tg s β + ( h h ) 1 = c1 c 3 3 3 tg ( h h ) ( h h ) = s tg s β + ( h h ) B = c 4 cb B B B 4tg 4 c A ca c1 c1 β, (7.16) c β. cb Obr. 7.17. Trigonometrická nivelácia Ke sú džky s > 300 m, k ureným prevýšeniam pripojíme opravy zo zakrivenia Zeme a dodržujeme technológiu merania s vylúením refrakcie. Predpis pre JŽM vymedzuje krajnú odchýlku v trigonometrickom nivelanom polygóne hodnotou ρ max = 80 R [mm], ke R max = 3 km. 7..3 Meranie prevýšení na väšie vzdialenosti Ako sme si ukázali v tab. 7.1, odmerané prevýšenie znehodnocuje vplyv zakrivenia Zeme, ku ktorému sa ešte pridružuje úinok refrakcie. Úinok refrakcie na merané prevýšenie Z fyzikálnych vlastností ovzdušia vieme, že vzduchové vrstvy obklopujúce povrch Zeme nie sú všade rovnako husté. Hustota ovzdušia klesá s narastajúcou výškou. Svetelný lú pri prechode nehomogénnými vrstvami ovzdušia nepostupuje priamoiaro, ale sa láme a jeho dráha nadobúda tvar plochého oblúka, obráteného k povrchu Zeme. Tento jav oznaujeme ako refrakcia. Na obr. 7.18 vavo je znázornený chod svetelného lúa ovzduším a jeho úinok na výškový uhol β. Namiesto skutoného výškového β h uhla odmeriame uhol β, v ktorom je zahrnutý aj úinok refrakcie. Opravu z refrakcie vypoítame z trojuholníkov A 0BO a A 0 B 0 O 1. Ke uvážime, že prevýšenie B B 0 k polomeru Zeme je zanedbatené a džka A 0 B 0 AB, džku oblúka s môžeme vypoíta dvakrát: arc s = Rψ / ρ 167

arc s = rϕ / ρ. (7.17) Porovnaním oboch rovníc dostaneme refrakný uhol ψ : = r ϕ s ψ k R =. (7.18) r Obr. 7.18. Oprava z refrakcie Pomer r/r sa nazýva refrakný koeficient k. Jeho hodnota nie je stála, mení sa v závislosti na atmosferických podmienkach (teplota, tlak a vlhkos vzduchu), nadmorskej výške, v ktorej vykonáme meranie, prostredí, ktorým prechádza zámera (štrkové lôžko na železnici, pieskoviská, vegetaný porast a pod.). Hodnotu refrakného koeficienta k = 0,13 uril Gauss. V našich oblastiach sa hodnota refrakného koeficienta pohybuje v medziach 0,08 až 0,18. Stretávame sa aj s prekvapujúcim rozptylom jeho hodnoty hlavne pri meraní na železninej trati, kedy nadobúda hodnoty v intervale -,0 k,0. Prevýšenie h = (h - δ ) vypoítame z rovnice: s s h = s tg( β -ψ ) = s tg β k = s tgβ k. (7.19) r r Druhý len v rovnici (7.19) predstavuje opravu z úinku refrakcie δ s = k r. Výšku bodu B si odvodíme poda obr. 7.18: H B ( h h ) 1 k = H A + h p + δ 1 + h δ hc = H A + p c + s tgβ + s. (7.0) r 168

1 k Posledný len rovnice O r = s vyjadruje opravu zo zakrivenia Zeme a refrakcie. V tab. r 7. je vyznaený úinok zakrivenia Zeme, refrakcie a spoloný úinok zakrivenia Zeme a refrakcie na trigonometricky merané prevýšenia, ke k = 0,13 a r = 6370 km. Vplyv zakrivenia Zeme a refrakcie na trigonometricky merané prevýšenia Tabuka 7. s [m] 50 100 300 360 1 000 10 000 δ 1 0,000 0,0008 0,007 0,010 0,078 7,85 δ 0,0 0,0001 0,001 0,001 0,010 1,0 O r = δ 1 - δ 0,000 0,0007 0,006 0,009 0,068 6,83 Postup merania a vylúenia úinku refrakcie Výškový uhol β (alebo zenitový uhol z) v záujme odstránenia indexovej chyby meriame v dvoch polohách alekohadu. Poet meraní sa riadi požiadavkami na presnos, priom sa zohaduje použitý teodolit. Úinok refrakcie nemôžeme presne vylúi výpotom s refrakným koeficientom, pretože nikdy nepoznáme jeho momentálnu hodnotu. V niektorých prípadoch použitím koeficienta k = 0,13 ešte zhoršujeme urované hodnoty prevýšení. Úinok refrakcie môžeme vylúi súasným meraním výškových uhlov na obidvoch bodoch, ktorých výškový rozdiel urujeme. Podmienku súasného merania na obidvoch bodoch ešte splníme, ke meranie vykonáme i v dvoch po sebe idúcich doch, avšak za rovnakých atmosferických podmienok (stále poasie) a v rovnakých hodinách merania. Najvhodnejšie sú k tomu odpoludajšie hodiny od 13 do 15 hodiny, kedy koeficient k má malú hodnotu a dlhšiu dobu sa nemení. Takýto postup volíme v prípadoch, ak nemôžeme mera v ten istý de s asovým odstupom do 1 až -och hodín. Prevýšenie potom uríme poda rovníc: ( h h ) s s AB = pa cb + s tgβ 1 + k (7.1) r r ( h h ) s s BA = pb ca + s tgβ + k. r r Upravením druhej rovnice a spoítaním oboch rovníc dostaneme prevýšenie, v ktorom sa už neobjavuje vplyv zakrivenia Zeme a úinok refrakcie: = 1 [( h h ) + ( h h ) + s( tgβ β )] pa pb ca cb 1 tg. (7.) Znamienka funkcií tangens sa riadia poda znamienok uhlov β 1 a β. 7..4 Presnos trigonometrického merania prevýšení Presnos trigonometricky odmeraného prevýšenia poda rovnice (7.0) vyjadríme poda zákona hromadenia stredných chýb výrazom: m = m hp + m hc 1 k + tg β + s m r s s m β + cos β ρ s + m r k, (7.3) 169

kde m hp a m hc sú stredné chyby urenia výšky prístroja a ciea, m s je stredná chyba, s ktorou sme urili vzdialenos medzi bodmi, m β je stredná chyba merania výškových uhlov. Výšku prístroja a ciea vieme uri s presnosou na milimetre a v rovnici (7.3) ich úinok nemusíme uvažova. Vo väšine prípadov výškový uhol β má malú hodnotu a cos β = 1. Taktiež 170