CAPITOLUL. ELEMENTE DE ALGEBRA. Mulţimi Definiţi.. (Cntor) Prin mulţime se înţelege un nsmlu de oiecte ine determinte şi distincte, cre formeză o entitte. Oiectele cre formeză o mulţime se numesc elementele mulţimii. Vom not mulţimile cu literele mri A, B,., ir elementele lor cu literele mici,,.,. A determin o mulţime însemnă preciz individul elementele sle su preciz o propriette crcteristică (pe cre o u elementele mulţimii respective şi numi ceste). Menţionăm că nu orice propriette (în sensul uzul l cuvântului) determină o mulţime, însă se cceptă că orice propriette determină o clsă (su fmili) (cls oiectelor ce stisfc propriette respectivă). Amintim, de eemplu, că nu se pote vori de mulţime tuturor mulţimilor ci de cls tuturor mulţimilor. Restricţiile ce se impun supr proprietăţilor pentru c ceste să determine mulţimi derivă din presupunerile enunţte în definiţi Dcă A este o mulţime, ir este un element l mulţimii A, vom not A, ir în cz contrr notăm A. Definiţi.. Spunem c mulţime A este inclusă în mulţime B şi scriem A B dcă orice element din mulţime A se flă şi în mulţime B. Dcă A B, tunci A mi este numită sumulţime lui B. Admitem eistenţ unei mulţimi cre nu re nici un element, numită mulţime vidă, pe cre o vom not cu. Pentru orice mulţime A, re loc A. Spunem că mulţimile A şi B coincid şi scriem A = B dcă A B şi B A. Definiţi.. Fiind dte două mulţimi A şi B, vom not cu A B mulţime { A şi B} şi o vom numi intersecţi mulţimilor A şi B. Dcă A B = vom spune că A şi B sunt disjuncte.
Definiţi..4 Fiind dte două mulţimi A şi B, vom not cu A B mulţime { A su B} şi o vom numi reuniune mulţimilor A şi B. Definiţi..5 Fiind dte două mulţimi A şi B, vom not cu B A mulţime { B, A} şi o vom numi diferenţ mulţimilor B şi A. Dcă A B, tunci B - A se mi noteză C A şi B este numită complementr mulţimii A reltiv l B. Dcă pentru un contet dt se re în vedere o mulţime U (numită şi mulţime universlă) ce conţine c sumulţimi tote mulţimile în discuţie în contetul respectiv şi A U, tunci C A se U mi noteză CA şi este numită, simplu, complementr lui A. Pentru orice mulţimi A, B, D u loc următorele proprietăţi: ) A = ; A U = A; A = A; A U = U; A - = A; A - A = ; ) A B A; A B B; A A B; B A B; ) A ( A B) = A = A ( A B); 4) A B = B A; A B = B A; 5) (A B) D = A ( B D); (A B) D = A (B D); 6) A A = A = A A; 7) A B A D B D; A D B D; CB CA; 8) A (B D) = (A B) (A D); A (B D) = (A B) (A D); 9) C (A B) = CA CB; C (A B) = CA CB; C (C A) = A; ) B - A = B CA. Pentru o fmilie de mulţimi M = { M i I} definim: i reuniune mulţimilor din fmili M şi scriem, mulţime { eistă i I, stfel încât } reuniune mulţimilor din fmili M şi scriem, mulţime { pentru orice i I, vem } Sunt devărte proprietăţile:., pentru orice i I;. pentru orice i I;
. ( ) = ; 4. ) = ); 5. ( = şi C( =. Dcă A şi B sunt mulţimi şi A, B, tunci putem form pereche ordontă (,). Avem (, ) = (, ) dcă = şi =. Definiţi..6 Mulţime {(, ) A, B} este nottă cu A B şi este numită produsul crtezin l mulţimilor A şi B. Pentru A = B notăm A A cu A. Inductiv, definim pentru mulţimile A, A,., A produsul crtezin n A A A = {(,, ) i =,, n, A, } n n i i Definiţi..7 Mulţime ( A - B) ( B - A) se numeşte diferenţ simetrică (su sum oolenă) mulţimilor A şi B şi se noteză cu A Δ B. Pentru orice mulţimi A, B, D u loc eglităţile: ) (A Δ B) Δ D = A Δ (B Δ D); ) A Δ B = B Δ A; ) A Δ = A; A Δ A = ; 4) A ( B Δ D) = (A B) Δ (A D). Eemple de mulţimi importnte: Prim mulţime de numere cunoscute este mulţime numerelor nturle, nottă N ={,,,,,n, }, ir mulţime numerelor nturle fără zero N* = {,,,,n, } Apre poi mulţime numerelor întregi, nottă Z = { -n,,-,, -,,,,,,n, }, oservându-se că N Z. În cestă mulţime nu se pote efectu împărţire de fiecre dtă c să oţinem un număr întreg. Eempu 7:=,5N.
Atunci, vom fi conduşi l idee etinderii mulţimii numerelor întregi, oţinând mulţime m numerelor rţionle, nottă Q= / m, n, n numite şi frcţii, cu oservţi că NZQ, n Q conţine numerele zecimle finite, periodice simple şi periodice compuse. Dr mi pr şi lte numere în prctică, spre eemplu l clculul digonlei unui pătrt de ltură, unde digonl este,. De ici, necesitte definirii unei mulţimi mi lrgi de numere, numită mulţime numerelor rele şi nottă cu R. Mulţime numerelor rele se defineşte iomtic, unele iome fiind, de fpt, proprietăţi le mulţimilor N, Z, Q, cee ce fce c prin cestă definire să se regăsescă în R proprietăţile mulţimilor nteriore. În definire iomtică mulţimii numerelor rele se cere c cestă mulţime să verifice un sistem de iome împărţit în cinci grupe:. Aiomele operţiei de dunre Pe R se defineşte o lege internă, nottă + : RR de numere rele (, ), numărul rel unic +, cre verifică: A. Este socitivă : ( + ) + c = + ( + c);,, c R. A. Este comuttivă : + = + ;, R. A. Numărul est element neutru pentru dunre : + = + =. R, cre sociză fiecărei perechi ordonte A4. Numărul (-) este simetricul lui (opusul ) fţă de dunre : + (-) = (-) + = (R, +) cpătă stfel o structură de grup elin. Aiomele operţiei de înmulţire Pe R se defineşte încă o lege internă, nottă : RR R, cre sociză fiecărei perechi ordonte de numere rele (, ), numărul rel unic, cre verifică: Î. este socitivă: ( ) c = ( c);,, c R.
Î. este comuttivă : = ;, R. Î. Numărul est element unitte pentru înmulţire : = =. Î4. Pentru orice număr rel diferit de zero eistă un număr rel -, numit inversul lui stfel c: - = - =. Aiom distriutivităţii înmulţirii fţă de dunre (+c)= + (),, c R. (revedeţi scotere fctorului comun) Cu cele două legi mulţime numerelor rele devine corp comuttiv. 4. Aiomele de ordine R este un corp comuttiv totl ordont, dică între elementele sle eistă o relţie nottă stfel încăt sunt îndeplinite condiţiile: O. Pentru orice număr rel, (refleivitte); O. Pentru orice numere rele,, c, din şi c, rezultă c (trnzitivitte); O. Pentru orice numere rele,, din şi, rezultă = (ntisimetrie); O4. Pentru orice numere rele,, vem su (totlă ordonre); O5. Pentru orice numere rele,, c, din, rezultă + c + c (comptiilitte relţiei de ordine cu dunre); O6. Pentru orice numere rele,, c, din şi c, rezultă c c (comptiilitte relţiei de ordine cu înmulţire). Deorece şi Q verifică relţiile de mi sus, rezultă că este nevoie de încă o iomă: 5. Aiom mrginii superiore Definiţi..8 O mulţime A de numere rele se numeşte mjortă su mărginită superior dc eistă un număr rel M stfel încât M, pentru orice din A.
O mulţime A de numere rele se numeşte minortă su mărginită inferior dc eistă un număr rel m stfel încât m, pentru orice din A. O mulţime A de numere rele se numeşte mărginită dc este mjortă şi minortă. Definiţi..9 Fie o mulţime A de numere rele mjortă. Se numeşte supremum lui A cel mi mic mjornt. Cu lte cuvinte α = supa dcă: ) α este mjornt pentru mulţime A; ) α este cel mi mic dintre mjornţi, dică pentru orice ε > eistă A, stfel c > α ε Definiţi.. Fie o mulţime A de numere rele minortă. Se numeşte infimum lui A cel mi mre minornt. Cu lte cuvinte α = infa dcă: ) α este minornt pentru mulţime A; ) α este cel mi mre dintre minornţi, dică pentru orice ε > eistă A, stfel c < α + ε Aiom mrginii superiore: Dc A este o mulţime mjortă de numere rele, tunci eistă un cel mi mic mjornt. Principiul lui Arhimede: Pentru orice numere rele, y cu y > eistă un număr nturl n stfel c ny >. Definiţi.. O dreptă pe cre s- fit origine O, un sens şi o unitte de măsură se numeşte ă. Între mulţime punctelor de pe ă şi mulţime numerelor rele eistă o corespondenţă iunivocă. Oricărui număr rel îi corespunde un punct pe ă şi reciproc. S-u mi introdus două simoluri respectiv + şi -, cre reprezintă un număr forte mre pozitiv ir - reprezintă un număr forte mre în vlore solută dr cu semnul minus.. Funcţii Definiţi.. Fiind dte două mulţimi A şi B, spunem că m definit o funcţie pe A cu vlori în B şi notăm f: A B, dcă fiecărui element din A îi corespunde un singur element din B.
Mulţime A portă numele de domeniu de definiţie l funcţiei f, ir B portă numele de codomeniu funcţiei f. Elementele mulţimiii A se numesc vriile su rgumente, ir elementele mulţimii B se numesc vlori. Vom spune că două funcţii f şi g coincid dcă u celşi domeniu de definiţie A, celşi codomeniu B şi A, vem f() = g(). Fie f : A B, A' A şi B' B. f(a') = {f() A'} este numită imgine directă sumulţimii A' prin funcţi f, ir f - (B') = { A f() B'} este numită imgine inversă sumulţimii B' prin funcţi f. Se pote rt că f (f - (B')) B' şi A' f - (f (A')) de unde oţinem că: f (f - (f (A'))) = f ( A') şi f - (f (f - (B'))) = f - ( B'). Au loc proprietăţile: pentru orice fmilie de sumulţimi le lui A, {A }, şi pentru orice fmilie i i I de sumulţimi le lui B, {B }, vem: i i I. f(. f - (. f( 4. f - ( Definiţi.. Fie f : A B, g : B C. Funcţi g f : A C, A, ( go f) () = g (f ()) este numită compus funcţiilor g şi f. Se remrcă fptul că, dcă f : A B, g : B C şi h : C D tunci: ho (gof) = (hog) of. Definiţi.. Fie f : A B o funcţie. i) f este numită funcţie injectivă dcă:, A, f ( ) f ( ) (su, echivlent, A, f ( ) = f ( ) = ); ii) f este numită funcţie surjectivă dcă B, A, ş încât f () = ; iii) f este numită funcţie ijectivă dcă este injectivă şi surjectivă. Oservţie: Fie f : A B, g : B C i) Dcă f şi g sunt injective (surjective), tunci gof este injectivă (surjectivă);
ii) Dcă gof este injectivă (surjectivă), tunci f este injectivă (g este surjectivă). Definiţi..4 Funcţi h : B A se numeşte invers funcţiei f : A B dcă hof = şi f A h = (unde A : A B A, prin A () = pentru orice din A). Invers funcţiei f, dcă eistă, se noteză cu f -. În cest cz, funcţi f se numeşte funcţie inversilă. Definiţi..4 O funcţie f: R R se numeşte; pră (respectiv impră) dcă f() = f(-) (respectiv f(-) = -f()) pentru orice rel (respectiv f(-) = -f()); crescătore dcă pentru orice y, vem f() f(y). Dcă ineglităţile sunt stricte, tunci f se numeşte strict crescătore; descrescătore dcă pentru orice y, vem f() f(y). Dcă ineglităţile sunt stricte, tunci f se numeşte strict crescătore; monotonă dcă este crescătore su descrescătore. Funcţii elementre:. Funcţi putere Cu eponent pr Este funcţi f: R R +, f() = n, cu n pr. Grficul funcţiei este: Funcţi este pră, este descrescătore pe (-, ), crescătore pe (, dr este surjectivă. ), nu este injectivă, Cu eponent impr
Este funcţi f: R R, f() = n, cu n impr. Funcţi este crescătore şi ijectivă. Grficul funcţiei este:. Funcţi rdicl De ordin pr Este funcţi f: R + R +, f() =, cu n pr. Grficul funcţiei este: Funcţi este crescătore şi ijectivă. De ordin impr Este funcţi f: R R, f() =, cu n impr. Grficul funcţiei este:
Funcţi este crescătore, ijectivă şi impră.. Funcţi de grdul Funcţi f : R R, f ( ), se numeşte funcţie de grdul. Eemplu: f : R R, f ( ) Intersecţi cu ele ) o y f ( ) A, ; ) oy y f ( ) B(, ) ; Grficul funcţiei de grdul I Este o dreptă. Se construieşte stfel: se flă intersecţi cu ele, se reprezintă în sistem ortogonl de e Oy cele două puncte A şi B, poi se unesc ceste puncte oţinându-se o dreptă ce reprezintă grficul funcţiei. Monotoni funcţiei de grdul I Dcă > tunci f este crescătore Dcă < tunci f este descrescătore Dcă = tunci f este constntă f ( ) Semnul funcţiei de grdul I, f : R R, f ( ),, se determină stfel: Se scrie şi se rezolvă ecuţi tştă: ;
Se fce telul: f() semn contrr lui semnul lui Eemplu: Să se fle semnul funcţiei f 8, tşăm ecuţi -+8= şi găsim =6. - 6 + f + + + - - - Dcă :, 6: f 6 : f 6, : f Eemplificăm plicţii l rezolvre unor inecuţii de form ; c c d c d 5 Să se rezolve inecuţi 6 Rezolvăm numărătorul şi numitorul cestei frcţii, poi studiem semnul în telul. 5-= = +6= =6 Soluţi:, 6, - 6 + 5- - - - + + +
-+6 + + + + + - - 6 5 - - - + - - Rezolvre sistemelor de tipul : c p n m p ny m c y,,,,,, Repetăm metod reducerii şi metod sustituţiei din gimnziu. Având în vedere că cele două ecuţii sunt două drepte, ne intereseză poziţi reltivă celor două drepte. Pentru rezolvre sistemelor de inecuţii de grdul I vom rezolv fiecre inecuţie poi intersectăm soluţiile lor şi oţinem soluţi sistemului. Eemplu: ) 9, 9,, 9,, 9 Să se rezolve: ) 6 ) c) 4. Funcţi de grdul Funcţi, ) (, : c f R R f se numeţte funcţie de grdul. Ecuţi tştă: c c 4 ; Dcă ;, - ecuţi re rădăcini rele diferite;
Dcă - ecuţi re răcini rele egle; Dcă - ecuţi nu re rădăcini rele. Intersecţi cu ele, vârf, grfic, monotonie Grficul este o prolă cu vârful jos dcă > şi cu vârful sus dcă <. Vârful re coordontele V ; yv. Deci, V ;. 4 4 o y f ( ) c ) Dcă distincte. ) Dcă ;, deci grficul intersecteză OX în puncte deci grficul intersecteză OX într-un singur punct cre v fi vârful prolei. c) Dcă grficul nu intersecteză OX. oy y f ( ) c A(, c) Relţiile lui Viete S S P ; ; c ( )( ); c P Semnul funcţiei de grdul II se studiză stfel: se scrie ecuţi tştă c ; Dcă ;,, deci vem telul:
f() semnul lui semn contrr lui semnul lui Dcă, deci vem telul: f() semnul lui semnul lui Dcă nu vem rădăcini rele, deci telul devine: f() semnul lui Să se determine funcţi, f şi f f dcă c f Condiţiile dte conduc l sistemul de ecuţii: ; ; f c c c c f f f Form cnonică funcţiei de grdul l doile: f 4 Eemplu:
Să se scrie funcţi de grdul doi su form cnonică şi să se deducă vlore etremă funcţiei în czurile: 4 ) ; ) ; ) f c f f Rezolvre: Pentru ) 4 7 4 7 4 f 7 8 4 c c Dc =>, f re un minim V min 4, X min =- ; Y min =- 4 7 min 4 7 4 f ; L fel pentru ) şi c). Să se trseze grficul următorelor funcţii: 8 ) f ; ; 4 4 ) f ; ) f 4) f Aplicţii: Rezolvre de inecuţii: ) 9 4 ) ; 9 ) ; 6 ) ; d c Rezolvăm ) ; 6 tşăm ecuţi ; 6 o rezovăm ; 6 :, S - - + f 6 - - +
Rezolvre sistemelor simetrice de form P y S y Atunci ecuţi în sumă şi produs este P SZ Z Eemple: 7 8 6 55 5 8 6 55 5 P S S P S P y y y y tunci 5 7 Z şi Z Z Z cre du tocmi soluţi sistemului (, 5) şi (5, ) Rezolvre sistemelor formte dintr-o ecuţie de grdul I şi o ecuţie de grdul su intersecţi dintre o dreptă şi o prolă, de form n m c y c y n m,,,, Eemplu: 4 4 5 5 y y y y Să se rezolve sistemele: ) y y ) y y ) 9 y y y y. Algeră liniră.. Mtrice Definiţi..: Se numeşte mtrice cu n linii şi m colone de numere rele orice plicţie A : {,, n} {,, m} R, (i, j) ij R, descrisă cu jutorul tloului
A = n n m m nm Pentru elementul ij, indicele i rtă lini pe cre se flă elementul, ir l doile indice j indică pe ce colonă este situt. Vom not cu M n m (R) mulţime tuturor mtricelor cu n linii şi m colone de numere rele. Czuri prticulre ) O mtrice de tipul m (deci cu o linie şi n colone) se numeşte mtrice linie şi re form A. ) O mtrice de tipul n (cu n linii şi o colonă) se numeşte mtrice colonă şi re form B. n m ) O mtrice de tip nmse numeşte nulă (zero) dcă tote elementele ei sunt zero. Se noteză cu O O. 4) Dcă numărul de linii este egl cu numărul de colone, tunci mtrice se numeşte pătrtică. A n n n n nn
Printre ceste mtrici un este forte importntă cest fiind I n şi se numeşte mtrice unitte (pe digonl principlă re tote elementele egle cu, ir în rest sunt egle cu ). Sistemul de elemente nn reprezintă digonl principlă mtricii A, ir sum cestor elemente n nn se numeşte urm mtricii A nottă Tr(A) i i i Sistemul de elemente n n n reprezintă digonl secundră mtricii A. dcă Fie A, B = i j i j, i j i j i, n M n m (R). Spunem că mtricile A, B sunt egle şi scriem A = B, j, m. Definiţi.. Dte fiind două mtrice de n linii şi m colone, A= ( ij ) i,j şi B= ( ij ) i,j, definim sum cestor, A+B, c fiind o mtrice C = (c ij ) i,j tot cu n linii şi m colone, unde c ij = ij + ij, pentru orice i = şi orice j = deci. n n m m + nm n n m m n = n n n n m m nm m m nm Eemplu: Să se clculeze A + B pentru: 5. A, B ; 5. A, B.
Rezolvre:. Avem 6 4 5-5 - 5 5 B A. Avem. B A Proprietăţi le dunării mtricilor A Adunre mtricilor este socitivă, dică: C B A C B A, A, B, C M n m (R). A Adunre mtricilor este comuttivă, dică: A B B A, A, B M n m (R). A Adunre mtricilor dmite mtrice nulă c element neutru, dică m n O, M n m (R) stfel încât A + m n O, = A, A M n m (R). 4 A Orice mtrice A M n m (R) re un opus, nott A, stfel încât m O n A A,. Definiţi.. Produsul dintre o mtrice A M n m (R) şi un număr rel λ se defineşte c fiind o mtrice C = (c ij ) i,j tot cu n linii şi m colone, unde c ij = λ ij, pentru orice i = şi orice j =, deci λ ( ) = ( )
5 Eemplu Fie 8 A. Atunci 6A =. 4 6 Proprietăţi le înmulţirii mtricilor cu sclri S A A, S A B A B S A A A, S 4, R, A M n m (R);, R, A, B M n m (R);, R, A A, R, A M n m (R); A M n m (R); Definiţie..4 Fie A M n m (R), B M m p (R). Produsul dintre mtricile A şi B (în cestă ordine), nott A B este mtrice C = c M n p (R) definită prin k j c k j m i k i i j, k, n, j, m. Oservţii ) Produsul AB două mtrici nu se pote efectu întotdeun decât dcă A M n m (R) şi B M m p (R), dică numărul de colone le lui A este egl cu numărul de linii le lui B, când se oţine o mtrice C = A B M n p (R). ) Dcă mtricile sunt pătrtice A, B R tunci re sens întotdeun tât A B cât şi B A, ir, în generl, A B B A dică înmulţire mtricilor nu este comuttivă. Proprietăţi le înmulţirii mtricilor I Înmulţire mtricilor este socitivă, dică A BC A B C n, A m,n C, B n, p C, C I Înmulţire mtricilor este distriutivă în rport cu dunre mtricilor, dică p,s C.
A BC AC B C, C A B C A C B, pentru cre u sens operţiile de dunre şi înmulţire. I Dcă I n M n (R) este mtrice unitte, tunci I n A A I A, A M n (R). n Se spune că I n este element neutru în rport cu operţi de înmulţire mtricilor. Definiţi..5 Fie A M n (R). Atunci kn *. (Convenim A I n )... Determinnţi A A, B, C mtrici A, A A A, A A A,, k k A A A Definiţie..5 Se numeşte permutre de ordinl n orice funcţie ijectivă : {,,,n} {,,,n} Pentru not o permutre se foloseşte următorul tlou, ( ) Mulţime tuturor prmutărilor de ordin n se noteză S n. Definiţie..6 Pereche (i, j) se numeşte inversiune pentru permutre dcă i < j şi (i) > (j). Numărul inversiunilor unei permutări se noteză cu m( ), ir numărul ε( ) şi se numeşte signtur permutrii. se noteză cu Permutre se numeşte pră dcă ε( ) = şi impră dcă ε( ) = -. Fie A= M n (R) o mtrice pătrtică. Vom soci cestei mtrici un număr nott i j det(a) numit determinntul mtricii A, definit prin det(a) =
Oservţii:. Dcă A= este o mtrice pătrtică de ordinul întâi, tunci det(a) =.. Determinntul mtricii A este numărul det A, Deorece eistă două inversiuni de ordinl doi: ( ) cu ε( ) = şi ( ) cu ε( ) = -. Determinntul mtricii A este numărul det( A) Deorece eistă şse inversiuni de ordinl trei: ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) şi ε( ) = ε( ) = ε( ) =, ε( ) = ε( ) = ε( ) = - Pentru clculul determinntului de ordin trei se utilizeză două tehnici simple: Regul lui Srrus Fie determinntul de ordin, d. Pentru clcul un stfel de determinnt se utilizeză telul de mi jos. i j i, j,
(m scris su determinnt primele două linii) Se fce produsul elementelor de pe digonle. Produsul elementelor de pe o digonlă descendentă este cu semnul plus. Avem trei stfel de produse:,,. Produsul elementelor de pe o digonlă scendentă este cu semnul minus. Avem trei stfel de produse:,,. Sum celor şse produse dă vlore determinntului d de ordin. Acest procedeu de clcul se numeşte regul lui Srrus. Regul triunghiului Am văzut că determinntul de ordin trei re în dezvoltre s şse termeni, trei cu semnul plus şi lţi trei cu semnul minus. Primul termen cu plus se găseşte înmulţind elementele de pe digonl principlă, ir ceillţi doi, înmulţind elementele situte în vârfurile celor două triunghiuri cre u o ltură prlelă cu cu digonl principlă. După ceeşi regulă, referitore l digonl secundră, se oţin termenii cu minus. Oservţie: Atât regul lui Srrus cât şi regul triunghiului se plică numi determinnţilor de ordin. Eemplu: Să se clculeze prin cele două metode de mi sus determinntul d
Regul lui Srrus 9 6 ) ( ) ( ) ( d Regul triunghiului 9 6 ) ( ) ( ) ( d Definiţie..7 Se numeşte minor socit elementului j i determinntul mtricii pătrtice de ordin n oţinut prin suprimre liniei i şi colonei j din mtrice A. Se noteză cest minor prin j i D. Definiţie..8 Se numeşte complement lgeric l elementului j i numărul şi se noteză. Propriette (dezvoltre determinntului după lini i) Determinntul mtricii A de ordin n este sum produselor elementelor din o linie cu complemenţii lor lgerici dică in in i i i i i i A A A A A det. Deci, clculul unui determinnt de ordinul n se pote reduce l clculul n determinnţi de ordinul n-. Eemplu Să se clculeze determinntul de ordin 4: d. Rezolvre: Aplicăm propriette dtă mi sus pentru n = 4 şi dezvoltăm determinntul după elementele liniei întâi. Avem:
d = =, unde determinnţii de ordin i-m clcult prin un din metodele prezentte l determinnţii de ordin. Proprietăţile determinnţilor P. Determinntul unei mtrici coincide cu determinntul mtricii trnspuse, dică t A det A det. P. Dcă tote elementele unei linii (su colone) dintr-o mtrice sunt nule, tunci determinntul mtricii este nul. P. Dcă într-o mtrice schimăm două linii (su două colone) între ele oţinem o mtrice cre re determinntul egl cu opusul determinntului mtricii iniţile. P 4. Dcă o mtrice re două linii (su colone) identice, tunci determinntul său este nul. P 5. Dcă tote elementele unei linii (su colone) le unei mtrici sunt înmulţite cu un număr, oţinem o mtrice l cărei determinnt este egl cu înmulţit cu determinntul mtricii iniţile. P 6. Dcă elementele două linii (su colone) le unei mtrici sunt proporţionle, tunci determinntul este nul. P 7. Dcă lini i unei mtrici A este sum doi vectori, tunci determinntul ei este egl cu sum doi determinnţi corespunzători mtricelor cre u celeşi linii c A, cu ecepţi liniei i unde u câte unul din cei doi vectori. P 8. Dcă o linie (o colonă) unei mtrici pătrtice este o cominţie liniră de celellte linii (colone), tunci determinntul mtricii este zero.
P 9. Dcă l o linie (o colonă) mtricii A dunăm elementele ltei linii (colone) înmulţite cu celşi număr, tunci cestă mtrice re celşi determinnt c şi mtrice A. P deti. n n P det A deta,.. A M n (R). P Dcă A= det A. i j este o mtrice triunghiulră (su digonlă), tunci nn (Vlore determinntului este eglă cu produsul elementelor de pe digonl principlă). P Dcă A, B M n (R), tunci detab deta detb. (Determinntul produsului două mtrici pătrtice este egl cu produsul determinnţilor celor mtrici). n, n În prticulr det deta * A n N... Trnsformări elementre supr mtricelor Definiţie..9 Fie T o mtrice pătrtică de ordinl n. Se numeşte trnsformre mtricelă o plicţie T : M n,m M n,m cre sociză fiecărei mtrice A M n,m mtrice produs T A M n,m, numită trnsformre mtricei A prin mtrice T. Trnsformări elementre:. Înmulţire unei linii cu un număr nenul Dcă T =, dică se oţine din mtrice unitte prin înmulţire ( ) liniei i cu, tunci T A v fi o mtrice eglă cu A cu ecepţi liniei i cre v ve elementele inmulţite cu ;. Adunre l o linie unei lte linii înmulţită cu un număr se oţine cu trnsformre:
T = ( ). Schimre locului două linii se oţine cu trnsformre T = ( ) Astfel, o trnsformre elementră unei mtrice constă în:. Înmulţire unei linii(colone) cu un număr nenul. Adunre l o linie (colonă) ltei linii (colone) înmulţită cu un număr nenul. Schimre între ele două linii (colone) Definiţie.. Două mtrice A şi B cre se oţin un din celltă printr-o trnsformre elementră se numesc echivlente. Aplicţii le trnsformărilor elementre: I. Metod eliminării totle (Guss-Jordn) su metod pivotării Constă în ducere unei mtrici l o formă cât mi simplă, numită formă redusă). Se procedeză stfel: Se lege în mtrice A un element nenul ij cre se v numi pivot; Lini i, nottă L i (cre se v numi linie pivot) se împrte l pivot şi se înlocuieşte cu lini L i = L i, ir stfel locul pivotului v fi lut de numărul ; Pentru fiecre k i se scde din lini L k produsul kj L i şi se oţine o nouă linie L k = L k - kj L i = L k - kj L i
Astfel, elementele kl le mtricei, cre nu se flă pe lini pivotului vor fi înlocuite cu kl oţinute după regul dreptunghiului: Din dreptunghiul [ ] ce clculeză kl c fiind diferenţ dintre produsul elementelor de pe digonl ce conţine pivotl şi produsul elementelor de pe celltă digonl, ir rezulttul se împrte l pivot, dică kl =. În cest fel tote elementele de pe colon pivotului devin. Se v oţine deci o nouă colonă C j cu tote elementele cu ecepţi celui de pe poziţi (i,j) cre v fi. Nou linie i se v numi linie pivot cu colonă redusă. Procedeul continuă legând lt pivot de pe o linie neconsidertă până în cel moment. Algoritmul se încheie când nu mi eistă linii cu elemente nenule su nu mi eistă linii neconsiderte. Definiţie.. O mtrice A M n,m, se numeşte mtrice redusă dcă fiecre linie ce conţine elemente nenule este linie pivot cu colonă redusă. Eemplu: Să se ducă l form redusă mtrice: A =( ) Considerăm lini întâi c linie pivot şi c pivot : A ( ) ( ) ( ) ( ) II. Metod eliminării prţile
Acest este o formă simplifictă metodei eliminării totle, e constând tot în pivotări successive, însă se lucreză numi su digonl principl, ir elementele noii mtrice se clculeză tot după regul dreptunghiului, fără să mi împărţim l ii. Acestă metodă se pote folosi, spre eemplu pentru clcul rngul unei mtrice: Definiţie.. Se numeşte rngul mtricei A cel număr r cu propriette că eistă un minor de ordin r, nenul şi toţi minorii de ordin r + sunt nuli. Pentru clcul rngul unei mtrice se foloseşte metod eliminării prţile pentru dduce mtrice l o mtrice superior triunghiulră. Eemplu: Să se fle rngul mtricei: A = ( ) ( ) ( ) Deci rnga =..4 Invers unei mtrice Definiţie..9 Spunem că o mtrice A pătrtică de ordinul n este inversilă dcă eistă o mtrice pătrtică de ordin n, A - stfel incât A A - = A - A = I n. Proprietăţi: P. (A - ) - = A P. Dcă A şi B sunt inversile, tunci A+B este inversilă şi (A+B) - = A - + B - P. Dcă A şi B sunt inversile, tunci A B este inversilă şi (A B) - = B - A - Aflre inverse unei mtrice A se pote fl prin mi multe metode. Prezentăm ici două: Metod. Se urmeză lgoritmul: Se clculeză determinntul mtricei A;
Se fce trnspus mtrice A, A t ; Se flă djunct mtricei A, A * = (A ij ) i,j unde A ij sunt complemenţii lgerici i trnspusei; A - = A *. Metod. Se plică metod eliminării totle mtricei de n linii şi n colone oţinută prin lăturre mtricei unitte l drept mtricei A. După n pivotări în stâng tloului se v oţine mtrice unitte, ir în drept chir invers căuttă. Eemplu: Să se fle invers mtricei A = ( ) Metod: Se clculeză determinntul mtricei A: deta = - + 9 8 6 + 6 + = Se fce trnspus mtrice A: A t = ( ) Se flă djunct mtricei A, A * = ( ) A - = A * = ( ) Metod : ( ) ( ) ( ) ( )
Deci, A - = ( ) = ( )..5 Sisteme de ecuţii linire următore: Form generlă unui sistem de ecuţii linire cu m ecuţii şi n necunoscute este { (..5.), unde A = ( ) formeză mtrice sistemului B = ( ) formeză colon termenilor lieri Form mtricelă sistemului dt este A X = B (..5.), unde X = ( ) Definiţie.. Sistemul (..5.) se numeşte comptiil dcă eistă vectorul colonă X pentru cre A X = B, cz în cre X se numeşte soluţi sistemului. Sistemul (..5.) se numeşte comptiil determint dcă soluţi este unică. În cz contrr se numeşte comptiil nedetermint. Definiţie.. Sistemul (..5.) se numeşte linir omogen dcă vectorul colonă l termenilor lieri este nul. Oservţie: orice sistem linir omogen este comptiil, cest dmiţând soluţi nulă. Metode de rezolvre sistemelor de ecuţii linire
. Metod mtricelă: Se plică în czul în cre mtrice sistemului este pătrtică. Considerăm form mtricelă sistemului: A X = B Dcă det A, tunci A este inversilă, tunci eistă invers A - şi putem înmulţi l stâng cu A -, deci vom oţine X = A - B Eemplu: Rezolvţi sistemul de ecuţii: { Rezolvre: Scriem form mtricelă sistemului A X = B, unde: A = ( ) şi B = ( ) Acum clculăm invers mtricei A: ( ) ( ) ( ) A - = ( ) Deci, X = ( ) ( ) = ( ) = ( ). Metod lui Crmer: Se plică tot pentru mtricele pătrtice, deci pentru sisteme de n ecuţii cu n necunoscute. Dcă d = deta este nenul, tunci soluţiile sistemului vor fi: lieri. Unde d i este determinntul oţinut din d prin înlocuire colonei i cu colon termenilor Eemplu: Rezolvţi sistemul de ecuţii:
{ Rezolvre: Mtrice sistemului este A =( ), ir deta = - 54 +54 + 8-8 = d = = - + 6 + 6 6 8 + 4 = - d = = 7 + 9 + 8 4 = -4 d = = + 4 + 6 8 8= - 6 Deci,,,.. Metod lui Guss (metod eliminării succesive) Constă în ducere l o formă redusă mtricei etinse sistemului (mtrice formt prin lăturre colonei termenilor lieri l mtrice sistemului şi pe cre o vom not A). Dcă rnga= rnga, tunci sistemul v fi comptiil, în cz contrr sistemul este incomptiil. C eemplu să rezolvăm sistemul nterior cu jutorul cestei metode: { Mtrice etinsă: ( ) ( ) ( )
( ) Se oservă că rnga= rnga=, deci sistemul v fi comptiil determint, ir soluţi se citeşte din form finlă mtricii reduse:,,.
Cpitolul : Elemente de lgeră liniră. Spţii vectorile. Dependenţă şi independenţă liniră Definiţi.. Se numeşte spţiu vectoril rel orice mulţime V pe cre s-u definit două legi, un internă, nottă + (numită dunre) şi lt eternă, nottă (înmulţire), unde: + : VV V, ir : RV V îndeplinesc următorele iome: V) pentru orice, y, z din V ( + y) + z = + (y + z) (socitivitte) V) pentru orice, y din V + y = y + (comuttivitte) V) eistă un element în V, nott, stfel încât + =, pentru orice V ( se numeşte element nul) V4) pentru orice din V eistă un element în V nott, stfel c + (- ) = V5) pentru orice, y din V şi orice α R, α ( + y) = α + α y V6) pentru orice din V şi orice α R, (α + β) = α + β V7) pentru orice din V şi orice α R, (α β) = α (β ) V8) pentru orice din V = Elementele unui spţiu vectoril se vor numi vectori. Eemple: ) R n se pote orgniz c un spţiu vectoril considerând dunre definită stfel: Pentru orice, y R n şi orice α R : + y = α = unde = şi y = ) Mulţime M n,m (R) mtricelor de n linii şi m colone formeză spţiu vectoril împreună cu dunre mtricelor şi înmulţire cu sclri cestor.
Definiţi.. Se numeşte suspţiu vectoril l spţiului V orice sumulţime W V cre verifică: SV) pentru orice, y din W rezultă + y W SV) pentru orice din W şi orice α R rezultă α W Oservţie: Condiţiile SV) şi SV) pot fi înlocuite cu: SV) pentru orice, y din W şi orice α R, rezultă α + β y W Eemple: ) Mulţime M = { (, ) / R} formeză un suspţiu pentru R n. ) Mulţime mtricelor de form ( ) cu, R formez suspţiu pentru spţiul vectoril l mtricelor pătrtice de ordinul. Fie S ={v, v,,v n } o sumulţime spţiului vectoril V, pe cre o vom mi numi şi sistem de vectori. Definiţi.. Se numeşte cominţie liniră vectorilor din S orice vector v de form: unde R. v = se vor numi coeficienţii cominţiei linire. Mulţime tuturor cominţiilor linire vectorilor din S se v not cu Sp(S). Definiţi..4 Sistemul de vectori S ={v, v,,v n } se numeşte linir independent dcă din orice cominţie liniră nulă cestor rezultă că toţi coeficienţii sunt nuli. În cz contrr (dică dcă eistă o cominţie liniră nulă în cre măcr un coeficient este nenul), sistemul se numeşte linir dependent. Eemple: ) Vectorii e = (,, ), e = (,, ), e = (,, ) sunt linir independenţi deorece dcă m consider o cominţie liniră nulă cestor = (,,), r rezult = (,,), deci rezultă că toţi coeficienţii sunt nuli. ) Vectorii v = (, ), v = (, ), v = (, ) sunt linir dependenţi deorece dcă m consider o cominţie liniră nulă cestor = (,,), r rezult = (,), cee ce este posiil pentru = (-,-,).
Se pote oserv imedit că dcă un sistem este linir dependent, tunci unul dintre ei v fi o cominţie liniră celorllţi vectori.. Bze. Dimensiune Definiţi.. Un sistem de vectori S se numeşte sistem de genertori dcă Sp(S) = V. Fie B ={v, v,,v n } un sistem de vectori în spţiul vectoril V. Definiţi.. Sistemul de vectori B se numeşte ză în V dcă sunt îndeplinite: B) B este sistem de vectori linir independenţi; B) B este sistem de genertori. Oservţie: Dcă B este ză, tunci orice vector v din V se v scrie c o cominţie liniră vectorilor din B, dică v =, ir se vor numi coordontele vectorului v în z B. Eemple: ) Sistemul formt din vectorii e = (,, ), e = (,, ), e = (,, ) formeză o ză în R, numită z cnonică. ) Generlizând, vectorii e = (,,, ), e = (,,, ), e n = (,, ) formeză o ză în R n, numită z cnonică în R n. ) Vectorii v = (, ), v = (, ) formeză ză în R n. Oservţie: Dcă eistă o ză formtă cu n vectori, tunci orice ză v ve tot n vectori, ir numărul n se v numi dimensiune spţiului vectoril V şi se v not dimv= n. Dcă B ={e, e,,e n } este o ză în V, ir S ={v, v,,v m } este un sistem de vectori, vom scrie vectorii din S in z dtă stfel: = =.. = Astfel, sistemului de vectori i se v soci o mtrice cu n linii şi m colone, formt din coordontele fiecărui vector, şezte c şi colonă:
A = n n m m nm. Aplicţii linire Definiţi.. Fie U şi V două spţii vectorile rele. Aplicţi plicţie liniră dcă sunt îndeplinite următorele condiţii: A : U V se numeşte L) A( +y) = A() +A (y), pentru orice, y (vom spune că A este ditivă) L) A(α) = αa() pentru orice şi pentru orice α (A este omogenă). Cele două proprietăţi le plicţiei linire pot fi formulte într-un singură: L) A(α +βy) = αa() +βa (y), pentru orice, y şi pentru orice α, β Eemple: ) A : V V, A() = (plicţi identică) ) A : M n (R) R, A (A) = tr(a), pentru orice mtrice A pătrtică de ordin n Vom not cu L (U, V) mulţime tuturor plicţiilor linire definite pe U cu vlori în V. Definiţi.. Pentru orice plicţie liniră A L (U, V) definim nucleul lui A c fiind mulţime nottă Ker(A), unde Ker (A) = { } ir imgine lui A, nottă Im(A) c fiind mulţime: Im(A) = {y } Definiţi.. O plicţie liniră A L (U, V) se numeşte:
. injectivă dcă:, U, f ( ) f ( ) (su, echivlent, U, f ( ) = f ( ) = ), cee ce este echivlent cu Ker(A)={};. surjectivă dcă y V, U, ş încât A() = y, cee ce este echivlent cu Im(A)=V; Dcă dimu = n şi dimv = m, ir B ={u, u,,u n } este o ză în U, ir B ={v, v,,v m } este o ză în V, tunci vectorii A(u ), A(u n ) se vor pute scrie în z B stfel: A(u )= A(u )=. A(u n )= Mtrice n n m m nm vând pe colone coordontele vectorilor A(u ), A(u n ) în z B, se v numi mtrice socită plicţiei linire A în rport cu zele B şi B şi o vom not cu. Oservăm, pe z proprietăţilor plicţiilor linire, că pentru orice U vem scriere = unde y B reprezintă vectorul colonă din R n cre re c şi componente coordontele vectorului y în z B, ir reprezintă trnspus mtricei de trecere
Eemplu:. Fie A: R R, prin A() = ( +, + ), unde = (,, ). Să se rte că plicţi A este liniră. Să se scrie mtrice socită plicţiei A în rport cu zele cnonice din R şi R. Rezolvre:. Vom răt că A(α +βy) = αa() +βa (y), pentru orice, y şi pentru orice α, β. Fie = (,, ) şi y = (y, y, y ). A(α +βy)= A((α +βy, α +βy, α +βy ))= (α +βy + α +βy, α +βy + α +βy ) = = (α( + ) +β(y +y ), α( + ) +β(y +y ))= α( +, + )+ β(y + y, y + y )= = αa() +βa (y) Deci, plicţi A este liniră.. Pentru scrie mtrice socită vom eprim vectorii A(e ), A(e ), A(e ) în z cnonică din R, i cărei vectori vor fi f = (, ) şi f = (,). A(e )= A(,, ) = (, ) A(e )= A(,, ) = (, ) A(e )= A(,, ) = (, ) Deci, ( ) ze. Vom vede cum cum se modifică mtrice de trecere tunci când se trece l două noi Fie B ={u, u,,u n } este o ltă ză în U, ir B ={v, v,,v m } este o nouă ză în V şi fie C şi D mtricele de trecere de l B l, respectiv de l B l. Deci
= Şi = Ştim că = C şi = D Prin urmre, D = C Dcă înmulţim l stâng cu invers lui D, oţinem: = C Pe de ltă prte, =, deci = C De unde = C) t, Ţinând cont de proprietăţile trnspusei, rezultă că = t Formul nterioră constituie formul de schimre mtricei socită unei plicţii linire când se schimă zele în cele două spţii vectorile U şi V.. Forme ilinire Fie U şi V două spţii vectorile rele. Definiţi.. Se numeşte formă iliniră o plicţie A: UV R, cre îndeplineşte condiţiile:
B) A( + y, z) = A(, z) + A(y, z), pentru orice, y U şi z B) A(α, z) = αa(, z), pentru orice α U şi z B) A(, y + z) = A(, y) + A(, z), pentru orice U şi y, z B4) A(, αz) = αa(, z), pentru orice α U şi z Oservţie: Condiţiile de mi sus pot fi înlocuite cu: B5) A(α +β y, z) = αa(, z) + βa(y, z), pentru orice α,,y U şi z B6) A(, αy +β z) = αa(, y) + βa(, z), pentru orice α, U şi y, z Dcă B ={u, u,,u n } este o ză în U, ir B ={v, v,,v m } este o ză în V, ir U şi y V dmit scriere = şi y =, tunci A(, y) = A( Deci A(, y) = Notând, rezultă A(, y) = Mtrice ( i,j cre s- evidenţit stfel se numeşte mtrice formei ilinire A în rport cu zele B şi B, ir elementele se numesc coeficienţii formei ilinire în rport cu cele două ze. Dcă = ), ir y = ) t, tunci A(, y) = y, unde A este mtrice cu n linii şi m colone, de elemente ( i,j. Definiţi.. O formă iliniră A se numeşte simetrică dcă U = V şi A(, y) = A(y, ) pentru orice, y U.
Proleme de lger Proleme rezolvte. Fie A şi B două mulţimi. Definim sum cestor mulţimi prin: A + B = { + / A, B} Arătţi că dcă A şi B sunt mărginite, tunci A + B este mărginită şi: sup(a + B) = supa + supb şi inf(a + B) = infa + infb Rezolvre: Fie α = supa şi β = supb, rezultă că α pentru orice A şi β pentru orice B, de unde: + α + β, pentru orice A şi orice B. În concluzie, α + β este mjornt pentrumulţime A +B. Fie ε > ; deorece α = supa, rezultă că α este cel mi mic mjornt, deci eistă A, stfel c > α ε/. Anlog, din β = supb, rezultă că eistă B, stfel c > β ε/. Prin urmre, + > α + β ε şi A, B, deci α + β este cel mi mic mjornt pentru A + B, dică α + β = sup(a + B). Anlog se demonstreză pentru infimum.. Fie A o mulţime de numere rele si un număr pozitiv. Definim produsul dintre numărul şi mulţime A prin: A = { / A } Arătţi că dcă A este mărginită, tunci A este mărginită şi sup( A) = A şi inf( A) = A. Rezolvre: Fie α = supa, rezultă că α pentru orice A şi deci α pentru orice A. Aşdr, α este mjornt pentru mulţime A.
Fie ε > ; deorece α = supa, rezultă că α este cel mi mic mjornt, deci eistă A, stfel c > α ε/. Prin înmulţire cu (cre este pozitiv), rezultă că > α ε, cee ce rtă că α este cel mi mic mjornt pentru mulţime A. Deci, α = sup( A) Anlog se demonstreză pentru infimum.. Fie A şi B două mulţimi stfel c B A. Atunci: infa infb supb supa Rezolvre: Fie B, rezultă că A, deci supa, cu lte cuvinte supa este mjornt pentru mulţime B, cum supb este cel mi mic mjornt pentru mulşime B, rezultă că supb supa. Anlog pentru infimum. 4. Fie A şi B două mulţimi de numere rele positive. Definim produsul cestor mulţimi prin: A B = { / A, B} Arătţi că dcă A şi B sunt mărginite, tunci A B este mărginită şi sup(a B) = sup A supb şi inf(a B) = inf A inf B Rezolvre: Fie A; tunci B A B, deci potrivit eerciţiului. Rezultă că: inf (A B) inf B sup B sup (A B) Acum folosim eerciţiul. Deci inf B = inf B şi sup B = sup B, prin urmre: inf (A B) inf B sup B sup (A B), relţie cre este devărtă pentru orice A, cu lte cuvinte inf (A B) şi sup( A B) sunt minornţi pentru mulţime (infb) A, respectiv (supb) A. Deci inf((infb) A) inf (A B), dică, folosind din nou e., vem
inf A inf B inf (A B) () Pentru ineglitte inversă vom oserv că inf A inf B (A şi B fiind mulţimi de numere positive), deci inf A inf B este minornt pentru mulţime A B, deci inf A inf B inf (A B) () Din () şi () rezultă că inf(a B) = inf A inf B Anlog se demonstreză şi pentru supremum. 5. Să se determine infa şi supa pentru mulţimile următore: i. A = { } ii. A = { } iii. A = { { } }, unde { } reprezintă prte frcţionră. Rezolvre: i. Oservăm că se flă în mulţime A, ir celellte elemente sunt positive, deci infa =. Vom demonstr că supa =. Deorece m < n, resultă că este un mjornt pentru A. Fie ε >. Alegem n N stfel c < ε ( spre eemplu n = * + + ) şi m = n. Se oservă imedit că > ε, deci este cel mi mic mjornt. ii. Se oservă că - şi - şi prţin mulţimii, deci supa =, infa = -. iii. Deorece elementele mulţimii sunt numere positive, ir A, rezultă că infa =. În continure vom răt că supa =. Folosind inomul lui Newton oţinem că: = n- + n- + n- +
= n- - n- + n- + Prin dunre oţinem + = ( n- + n- + ) = p N Deci, = p - Deorece [, ), rezultă că [ ] = p-, unde [ ], reprezintă prte întregă, deci { } = p + = - Acestă ultimă relţie ne rtă că este mjornt pentru A. Vom răt că este cel mi mic mjornt: Fie ε >. Treuie să rătăm că eistă un număr nturl n stfel c - > ε, cre este echivlent cu < ε, ir prin logritmre oţinem n > (deorece este negtiv). În concluzie, putem lege n= [ ] +. Eerciţii: ) Să se rezolve inecuţiile: ) ; ) e) 4 5 ; c) ) Să se reprezinte grfic funcţiile: f:d R ; d) ; ) f ; D, ; ) f ; D,; c) f ; D, ; Rezolvre sistemelor de tipul : y c, m, n, m ny p p, c,,
Proleme rezolvte:. Să se clculeze produsele A B şi B A pentru următorele mtrice: i. A = ( ) şi B = ( ) A B= ( ) = ( ) B A=( ) B A = ( ) ii. A= ( ) şi B = ( ) A B= ( ) Produsul B A nu se pote reliz. iii. A= ( ) şi B =( ) A B= ( ) ir B A = ( ). Se consideră mtrice pătrtică de ordinl n, A definită stfel încât ij = {
Să se clculeze A. Rezolvre: Se oservă că mtrice re tote elementele, cu ecepţi celor de pe digonl secundră cre sunt. Deci: A = A =. Fie A = ( ) Să se clculeze A n. Rezolvre: A = ( ) ( ) = ( ) A = ( ) A = ( ) ( )= =( )= =( ) Deci, se oservă că A n = ( ), regulă cre se demonstreză prin inducţie mtemtică.
4. Fie A = ( ) Să se clculeze A. Rezolvre: Se oservă că A = ( ) şi, potrivit eerciţiului precedent: A n = ( ), deci A = ( ) Dr = cos(6 - ) = cos(6 - ) = cos =. ţinând cont de periodicitte şi de pritte funcţiei cos, ir: = sin(6 - ) = sin(6 - ) = - sin = - Deci, A = ( ). 5. Fie mtrice A pătrtică de ordinl, A,. ) Să se clculeze A şi A şi poi să se determine n A, în funcţie de n număr nturl. ) Să se fle,,,, v u y numere rele stfel încât v u y Rezolvre: ) A A A A A A
Oservăm că: n A n Demonstrăm formul propusă prin inducţie: P(): A este devărtă ) ( ) ( n P n P Presupunem că n A n şi rătăm că ) ( n A n ) ( n n n n A A A n n (A) Deci n A n. ) v u y v y u v u v y u v u y Deci v u y. Proleme rezolvte. Să se clculeze următorii determinnţi: i. = = -
ii. = iii. = (-) + + (-) + (m dezvoltt după lini dou) = 4 + 4 + 6-6 = 6 = (m dunt lini l lini ) = =6 (m dezvoltt după lini ) iv. 7) ( d c d c c c d d d c c conform P c d c d d. Dcă A =( ) clculţi Rezolvre: deta = = -c A A t = ( ) ( ) = ( )
Deci = det(a A t ) = det(a) = 4 c. Clculţi d = Scădem: lini din lini, lini din lini, lini 4 din lini şi oţinem: D = D = (-) +4 (-)(-c)(-d) (m folositp 5 ) Pentru clculul determinntului de ordin scădem lini din lini şi lini din lini: = = = = (-) + = =(-c)(-d) = = (-c)(-d)(d-)
Aşdr, D = - (-)(-c)(-d) (-c)(-d)(d-), dică D = (-)(-c)(-d)(-c) (d)(-d) 4. Să se rezolve ecuţi: Rezolvre: Dezvoltăm determinntul după prim linie: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( 9 8 Deci,. Proleme rezolvte:. Să se rezolve şi să se discute sistemul: { Rezolvre:
( ) ( ) ( ) ( ) Deci, sistemul este comptiil determint şi re soluţi = = =.. Să se rezolve şi să se discute sistemul: { Rezolvre: ( ) ( ) ( ) ( ) Acestă configurţie corespunde czului m 4 şi m 8 (pentru pute consider pivoţii m-4 şi (m-8)/(m-4) l pivotările -, respective -. În cest cz sistemul este comptiil determint ir =, = şi =.
În czul m=4 pivotre dou se v fce cu pivotul, deci vem: ( ) ( ) ( ) ( ) De ici rezultă soluţiile =, = şi =. În czul m=8 după pivotre dou oţinem: ( ) ( ) ( ) Deci nu se mi pote fce o pivotre. Se oservă că rnga =, ir rnga =, deci în cest cz sistemul este incomptiil.. Să se rezolve şi să se discute sistemul: { Rezolvre: d =deta = = = (-) + = = = (-)(c-) = =(-)(c)(c-) Deci, dcă c, tunci deta şi se pote plic regul lui Crmer
d =, cre se oţine din deta pentru =d, deci d =(-d)(cd)(c-) =, cre se oţine din deta pentru =d, deci d =(d-)(c)(c-d) =, cre se oţine din deta pentru c=d, deci d =(-)(d)(d-) Deci = = = şi = c Folosind metod pivotării oţinem: ( ) ( ) ( ) ( ) Dcă d şi d c rezultă că rnga = incomptiil. rnga=, deci sistemul v fi Proleme propuse:
. Fie A şi B două mulţimi mărginite de numere rele. Arătţi că: i. Orice sumulţime lui A este mărginită; ii. A B, A B, A/B, A Δ B sunt mărginite;. Dţi eemple de mulţimi A şi B pentru cre: sup(a B) supa supb şi inf(a B) infa infb. Să se determine infa şi supa pentru mulţimile următore: A = { } B = { } C = { { } }, unde { } reprezintă prte frcţionră. D = { [ ] } E = { [ ] } 4. Eplicitţi funcţi f()=. 5. Să se determine funcţi f R R, f c : dcă punctele A(4,), B(,), C(5,) prţin grficului funcţiei. 6. Să se determine prmetrul m încât între rădăcinile şi le ecuţiei m să eiste relţi 7. Să se rezolve inecuţi: 5 5 8. Să se determine semnul epresiei : E 9. Rezolvţi sistemele de ecuţii linire: 4 i. { ii. {
iii. {. Să se discute şi să se rezolve sistemele: i. { ii. { iii. { Proleme rezolvte de lgeră liniră. Decideţi cre sistemele de vectori sunt linir independenţi:.v = (,, -), u = (,, ), w = (,,). u = (, -), v = (, ) c. u = (,, ), v = (, -, ), w = (, 4, ). Fie A: R R, prin A() = ( +, + ), unde = (,, ) c. Să se rte că plicţi A este liniră d. Să se scrie mtrice socită plicţiei A în rport cu zele cnonice din R şi R. Rezolvre: c. Vom răt că A(α +βy) = αa() +βa (y), pentru orice, y şi pentru orice α, β. Fie = (,, ) şi y = (y, y, y ).
A(α +βy)= A((α +βy, α +βy, α +βy ))= = (α +βy + α +βy, α +βy + α +βy ) = = (α( + ) +β(y +y ), α( + ) +β(y +y ))= = α( +, + )+ β(y + y, y + y )= = αa() +βa (y) Deci, plicţi A este liniră. d. Pentru scrie mtrice socită vom eprim vectorii A(e ), A(e ), A(e ) în z cnonică din R, i cărei vectori vor fi f = (, ) şi f = (,). A(e )= A(,, ) = (, ) A(e )= A(,, ) = (, ) A(e )= A(,, ) = (, ) Deci, ( ) 4. Fie A: R R prin A(, y)= y + y y + y, unde = (,, ), y = (y, y, y ). Să se rte că A este o formă iliniră şi să se decidă dcă este simetrică;. Să se găsescă mtrice formei A în z cnonică din c. Să se determine mtrice formei A în rport cu z formtă din vectorii u = (, -, ), v = (,, ), w = (, -, ) 5. Să se decidă cre dintre plicţiile următore sunt forme ilinire:. A: R R prin A(, y)= y - y y +. A: R 4 R prin A(, y)= y + y + y + 4 y 4
6. Fie A: R R prin A(, y)= y + y + y y, unde = (,, ), y = (y, y, y ). Să se rte că A este o formă iliniră şi să se decidă dcă este simetrică;. Să se găsescă mtrice formei A în z cnonică din c. Să se determine mtrice formei A în rport cu z formtă din vectorii u = (,, -), v = (-,, ), w = (,, ) 7. Fie A: R R cre re form A(, y)= y + y + y +4 y y. Să se determine epresi s în z formtă de vectorii u = (,, -), v = (,, ), w = (,, -) Biliogrfie:. Atnsiu, Gh., Muntenu, Gh., Postolche, M., Algeră liniră, geometrie nlitică şi diferenţilă, ecuţii diferenţile, Ed. ALL, Bucureşti, 998. Băln, V., Algeră liniră, geometrie nlitică, Ed. Fir Prtners, Bucureşti, 999. Bucur, Mri-Lilin, Mtemtică şi sttsitică, Ed. Sitech, Criov 4 4. Udrişte, C., Aplicţii de lgeră, geometrie şi ecuţii diferenţile, ed. Didctică şi Pedgogică R.A., Bucureşti, 99 5. Vldimirescu, I., Popescu, M., Algeră liniră şi geometrie nlitică, Ed. Universitri, Criov, 99