8. PRIMJENA OSNOVNIH ZAKONA DINAMIKE FLUIDA NA STRUJANJE U HIDRAULIČKIM STROJEVIMA

MEHANIKA FLUIDA PRIMJENA U HIDRAULIČKIM STROJEVIMA 57 8. PRIMJENA OSNOVNIH ZAKONA DINAMIKE FLUIDA NA STRUJANJE U HIDRAULIČKIM STROJEVIMA 8. Osnoni zakoni koodinatnom ssta koji se iba paoctno bzinom Koodinatni ssta koji se iba konstantnom bzinom (konstantnom po eličini i smje) je inecijski koodinatni ssta. Pomatač iz apsoltno mijće koodinatno sstaa mjei apsoltn bzin, a pomatač koji se iba zajedno s koodinatnim sstaom mjei elatin bzin, pi čem ijedi = +. Si zakoni mehanike flida koodinatnom ssta koji se iba konstantnom bzinom s isto oblika kao i za apsoltno mijći koodinatni ssta z jet da se mjesto apsoltne bzine zme elatina bzina. Pimje: sila mlaza na pomičn lopatic nepomična mlaznica A O y p a ρ z=konst. pomična lopatica Lopatica se iba konstantnom bzinom, a flid mlaz pošine A popečno pesjeka stji bzinom. Za pomatača iz koodinatno sstaa Oxy koji se iba zajedno s lopaticom, flid nailazi na lopatic x elatinom bzinom = (se s bzine hoizontalne pa ijedi alebaski zboj). Slika lijeo pikazje kontolni olmen koji y A obhaća flid koji je dodi s lopaticom, s p S a a ctanim elatinim bzinama. Kontolna x pošina se sastoji od lazno dijela A, izlazno A A, ba mlaza S a, te pošine S na V S kojoj se ostaje sila dodia mlaza i lopatice. Benollijea jednadžba od lazno do izlazno pesjeka z petpostak da je lopatica hoizontalnoj anini lasi p a a + + z= p + +z iz koje je jasno da ijedi = ρ ρ Jednadžba kontiniteta lasi Qel = A = A iz koje je jasno da je A = A. Teba nalasiti da je Q el elatini potok kojim flid stji peko lopatice i da je taj manji od apsoltno potoka Q = A kojim flid izlazi iz mlaznice, je se azmak izmeđ mlaznice i lopatice stalno poećaa, te se dio apsoltno potoka toši na popnjaanje mlaza posto izmeđ mlaznice i lopatice. I A p a V Komponenta sile smje osi x definiana je izazom: F = I I cos= ρ A cos = ρq cos S a S x ( ) el ( ) I A x Sila flida na lopatic definiana je jednadžbom količine ibanja. Veličine implsnih fnkcija na laznom i izlaznom pesjek s jednake, tj ijedi I = ρa= ρqel, dok je na pošini S a implsna fnkcija jednaka nli. Sila flida na lopatic je jednaka ektoskom zboj implsnih fnkcija. Kad bi to bila jedina sila na lopatic smje osi x, lopatica bi se po II. Netonoom zakon bzaala, što je potino petpostaci da se lopatica iba konstantnom bzinom. Dakle zakljčje se da za odžaanje konstantne bzine na lopatic moa izana djeloati sila Fx koja će j kočiti (anotežiti sil flida na lopatic). Tim kočenjem se dobia ad (lopatica djelje popt tbine), a snaa to kočenja je definiana izazom PT = Fx = ρq el ( cos) Jasno je da će snaa biti maksimalna za =80 i jednaka nli za = 0

MEHANIKA FLUIDA PRIMJENA U HIDRAULIČKIM STROJEVIMA 58 =80 Pad isine eneije definian je izazom PT ht = ( cos) ρq = el (flid je neiskozan pa nema sile x smje, tj. snaa je jednaka nli) = 0 Do isto se ezltata molo doći pomatanjem poblema iz apsoltno koodinatno sstaa. Slika pikazje kontolni olmen koji mije, te tokt bzina na izlaz kojim se definia apsoltna bzina. =+ P T Bdći da se koz kontoln pošin izmjenjje snaa s okolinom (ododi se snaa ), snaa na izlaz će biti manja od snae na laz za odeden sna, tj. pema Benollijeoj jednadžbi (zimajći obzi da s tlak i isina konstantni) ijedi = ht, a bdći da ijedi = = + + = + cos + Benollije jednadžb daje ht = ( cos). 8. Benollijea jednadžba za otiajć stjn cije i P T = +, što šteno A dv=ads ρω e A A S ds = se s = n ω Petpostake:. Flid je nestlači ρ = const.. Flid je neiskozan µ = 0, σ = pn 3. = c onst. 4. q = 0 5. Stjanje je stacionano = 0 t = n D D ev d dv f V d S d qns Dt ρ = ρ + = ρ + σ Dt d VM VM VM SM SM Bzina pomjene eneije VM snaa masenih snaa anjskih bzina doođenja sila na VM pošinskih topline na VM sila na VM D D V d dv k e d d D D V S qns t ρ + ρ ρ ω ω σ t = + + + d VM VM VM aitacija centifalna Koiolis SM SM = 0 snaa anjskih = 0 pošinskih sila na VM

MEHANIKA FLUIDA PRIMJENA U HIDRAULIČKIM STROJEVIMA 59 Inteacijom jednadžbe očanja eneije, po kontolnom olmen pema slici, dobije se d dv ( n) ds k V d e V d ( pn) S dt ρ + ρ = ρ + ρω + d KV KP KV KV KP ρq ( ) ( z z) Q( p p) d 0 Q Q( ω ω ρq s= ρ ρ ) s dje s i posječne bzine na pesjecima A i A, a Q potok koz cije. Pimjenom zakona očanja eneije za jednodimenzijsko stjanje otiajćoj cječici izbodi se Benollijea jednadžba za otiajć stjn cije ω ω ρ + p + ρz Q = ρ + p + ρz Q snaa na izlaz iz cijei Obodna bzina definiana je izazom = ω. p p + + z = + + z ρ ρ 8.3 Eleoa jednadžba za tbostojee snaa na laz cije Pomatač iz koodinatno sstaa koji otia zajedno s otoom mjei elatin bzin koja je tanencijalna na lopatice. Obodna bzina = ω je na laz oto po eličini jednaka = ωr, a na izlaz = ωr i okomita je na adijs. Apsoltna bzina je zboj obodne i elatine bzine = +, što se pikazje toktom bzina. Kt je kt lopatice, a označje kt izmeđ ektoa elatine bzine (tanenta na lopatic) i neatine obodne bzine. Sljedeće slika pikazje pimje tokta bzina, na kojem je označen i kt α definian kao kt izmeđ obodne i apsoltne bzine. α θ n Jasno je da ijede elacije: = + cos = cos θ = sin Apsoltna bzina se može astaiti adijalni i obodni smje, dje je adijalna komponenta okomita na lazni i izlazni pesjek, pa se označje s n, a obodna s θ. Ako se jedinični ektoi adijalnom i obodnom smje označe s e i e θ (neka ijek leda smje obodne bzine) tada ijedi = ne + θ e θ. Benollijea jednadžba dž stjnice od laza do izlaza iz pmpe kaže da će se eneija na izlaz poećati za isin dobae pmpe, tj. ijedi p p z z + ρ + = + ρ + + h P Ako se Benollijeoj jednadžbi apsoltne bzine pikaž peko obodne i elatine bzine ( = + cos ), te od nje odzme Benollijea jednadžba za otiajć stjn cije n

MEHANIKA FLUIDA PRIMJENA U HIDRAULIČKIM STROJEVIMA 60 p p + + z = + + z ρ ρ Izodi se Eleoa jednadžba za tbostojee hp = cos cos θ = ( ) ( ) ( ) θ 8.4 Pimjena na otiajć cječic Osnona Eleoa jednadžba za tbostojee i Benollijea jednadžba za otiajć stjnic se mo pimijeniti i na stjanje otiajćoj cječici. Naano i dalje ijede petpostake o neiskoznom nestlačiom stjanj, z dodatn petpostak da je pomje cječice mali odnos na njen dljin. Sinta cječica može aditi popt pimitine pmpe, koja podiže flid na isin H (slika lijeo) ili popt tbine, koja petaa aspoloži isin H mehanički ad (slika desno). Ako se cječici snaa niti doodi niti ododi ooi se o slobodnootiajćoj cijei (ako se zanemae činci tenja to bi bio slčaj poljeača tae). Jasno je da za slčaj pmpe cječica pije početka otacije moa biti ispnjena flidom, inače se stjanje ne bi spostailo.

MEHANIKA FLUIDA PRIMJENA U HIDRAULIČKIM STROJEVIMA 6 ω=konst. p a ρ p a H D p a ρ ω R =90 o D ω ω=konst. H R q p a Pimitina pmpa Benollijea jednadžba za otiajć stjnic: ( ωr) 0 = H + Iz tokta bzina je: = = ωr θ θ Pimitina tbina Benollijea jednadžba za otiajć stjnic: ( ωr) H = Iz tokta bzina je: = cos (bzina je ijek pozitina tj. leda smje bzine (ako je bzina pozitina adi se o pmpi, ako pa će moment i snaa biti pozitini, je neatina adi se o tbini, a ako je jednaka odnosno adi se o pmpi). nli o slobodnootiajćoj cijei) D Jednadžba kontiniteta: Q= π = konst. 4 θ Visina dobae pmpe: hp = (kod tbine će se dobiti neatina isina dobae) Snaa koja se pedaje flid: ρqh (za tbin neatino) P = P Moment sile kojom cječica djelje na flid: θ M P θ P = ω

MEHANIKA FLUIDA PRIMJENA U HIDRAULIČKIM STROJEVIMA 6 8.5 Pimjena na hidaličke stojee Pimitina teoija popelea Oa se teoija temelji na idealizianoj slici stjanja z petpostak neiskozno stjanja flida i definia samo okine odnose međ intealnim eličinama kaakteističnim za popele, pa se oom teoijom popelei ne mo pojektiati. Analiziat će se slčaj aionsko popelea koji se iba konstantnom bzinom mijćem zak. Iz koodinatno sstaa ezano na popele izledat će kao da flid nailazi na popele bzinom. Sljedeća slika shematski pikazje popele i odabani kontolni olmen.

MEHANIKA FLUIDA PRIMJENA U HIDRAULIČKIM STROJEVIMA 63 Pošina A koz koj flid lazi kontolni olmen je dooljno daleko isped popelea, tako da je pofil bzine jednolik, a tom pesjek lada nepoemećeni tlak Neposedno isped i neposedno iza popelea (pesjeci i A ) pošine s jednake A 3 A = A3 = A P, a pema jednadžbi kontiniteta i bzine s jednake = 3 = P, a zbo snae koj popele pedaje flid tlak p 3 iza popelea će biti eći od tlaka p isped popelea. Dooljno daleko iza popelea tlak će se smanjiti na ijednost nepoemećeno tlaka p, a bzina će naasti na ijednost 4 = +. U izlaznom pesjek A4 petpostalja se jednoliki pofil bzine. Peostali dio kontolne pošine čini stjna pošina koz koj nema potoka i na kojoj se petpostalja nepoemećeni tlak p. Pema jednadžbi kontiniteta potok Q koz popele je ( ) Q A A A A = = P P = 4 4 = + 4 ( ) Komponenta sile flida na popele pac ibanja popelea je F = p3 p AP i djelje spotno od ektoa bzine. Pema jednadžbi količine ibanja, ta je sila jednaka zboj implsnih fnkcija na laznoj i izlaznoj pošini, dje se implsne fnkcije ačnaj s petlakom odnos na tlak p, te ijedi: I = ρa= ρq i 4 4 4 4 I= ρ A= ρq, dok je implsna fnkcija po plašt kontolno olmena jednaka nli (idjeti slik oe desno). Sila F je dakle po eličini jednaka F = p p A = ρq ( ) ( 3 P 4 ) Benollijee jednadžbe izmeđ pesjeka i, odnosno pesjeka 3 i 4 lase p + ρ = p+ ρp i p3+ ρp = p + ρ 4 čijom kombinacijom se dobije p ( 3 p = ρ 4 ), što šteno izaz za sil F daje elacij + 4 P = = + Snaa P koj popele pedaje flid je definiana Benollijeom jednadžbom izmeđ pesjeka i 4 izmeđ kojih je popele, te ijedi 4 P = + ρ Q odakle je P= ρq( 4 ) = ρqp. Koisna snaa popelea je ona snaa koja se toši na potisak aiona, a definiana je izazom P = F = ρq = ρq, ( ) k 4 a fakto koisnosti popelea P ρq k ( 4 ) η = = = = = P P ρq ( 4 + ) + p.

MEHANIKA FLUIDA PRIMJENA U HIDRAULIČKIM STROJEVIMA 64 Pimje: Aion leti bzinom = 30 km/h koz mijći zak stoće ρ =, k/m 3, pi čem koz njeoa da popelea pomjea D = 800 mm potječe Q = 00 m 3 /s zaka. Odedite teoijski fakto koisnosti popelea, potisn sil, skok tlaka koz popele i sna potebn za poon popelea. Rješenje: Bzina aiona je = 88.9 m/s, a bzina zaka koz popele koz koji je potok Q / Q 4 P = = 99,5 m/s D π Teoijski fakto koisnosti popelea je η = = 0.894, a bzina 4 iza popelea je 4 = P = 0. m/s. Potisna sila od oba popelea je F = ρq( 4 ) =,58 kn, F A skok tlaka koz popele p3 p = =.57 kpa. D π 4 Snaa koj popele pedaje flid je P= ρq( 4 ) = 56.8 kw. P Pimjena na centifalni stoj

MEHANIKA FLUIDA PRIMJENA U HIDRAULIČKIM STROJEVIMA 65 n n R z Q kćište b lopatica b oto lopatica ω=konst. R Petpostake:. Roto se okeće konstantnom ktnom bzinom ω.. Stjanje izmeđ lopatica je adijalnom smje (isina lopatice na laz je b, a na izlaz iz otoa b ). 3. Kontolni olmen obhaća posto izmeđ lopatica. Kontolna pošina se sastoji od lazno dijela eličine S Rπb, izlazno dijela eličine = S = Rπb te plašta, koz koje nema potoka. 4. Na oto se petpostalja beskonačno pno beskonačno tankih lopatica, što znači da će se oblik stjnica ledano iz koodinatno sstaa koji otia zajedno s otoom poklapati s oblikom lopatica, a da će stjanje flida biti pnim pesjekom. 5. Stjanje je neiskozno i nestlačio 6. Utjecaj sile težine se zanemaje Pomatač iz koodinatno sstaa koji otia zajedno s otoom mjei elatin bzin koja je tanencijalna na lopatice. Obodna bzina = ω je na laz oto po eličini jednaka = ωr, a na izlaz = ωr i okomita je na adijs. Apsoltna bzina je zboj obodne i elatine bzine = +, što se pikazje toktom bzina. Kt je kt lopatice, a označje kt izmeđ ektoa elatine bzine (tanenta na lopatic) i neatine obodne bzine. Sljedeće slika pikazje pimje tokta bzina, na kojem je označen i kt α definian kao kt izmeđ obodne i apsoltne bzine. α θ n Jasno je da ijede elacije: = + cos = cos θ = sin Apsoltna bzina se može astaiti adijalni i obodni smje, dje je adijalna komponenta okomita na lazni i izlazni pesjek, pa se označje s n, a obodna s θ. Ako se jedinični ektoi adijalnom i obodnom smje označe s e i e θ (neka ijek leda smje obodne bzine) tada ijedi = ne + θ e θ. Jednadžba kontiniteta za kontolni olmen kaže da je potok koz lazn i izlazn pošin jednak Q= Rπb = R πb n n n

MEHANIKA FLUIDA PRIMJENA U HIDRAULIČKIM STROJEVIMA 66 Pimjenom zakona momenta količine ibanja za komponent momenta sile flida odnos na os otacije (kojoj ne dopinose sile tlaka, a iskozne sile s zanemaene) slijedi izaz za moment kojim flid djelje na oto, što je po definiciji moment tbine M ( ) M = ρq R R T θ θ Moment pmpe je dakako spotno pedznaka, pa ijedi M = ρq R R ( ) P θ θ Uobičajeno je ijek aditi s izazima za pmp, a ako se dobije neatian ezltat, to kazje da se adi o tbini. Snaa pmpe je definiana izazom P = MPω= ρq( θ θ ) Visina dobae pmpe je P hp = = ( θ θ) = ( cos) ( cos ) ρq što se nazia osnonom Eleoom jednadžbom za tbostojee. Iz te je jednadžbe jasno da će isina dobae pmpe biti maksimalna pi θ = (što znači da je apsoltna bzina na 0 laz lopatice okomita na obodn bzin), a pad isine eneije tbini pi θ =. T 0 Benollijea jednadžba dž stjnice od laza do izlaza iz pmpe kaže da će se eneija na izlaz poećati za isin dobae pmpe, tj. ijedi p p z z + ρ + = + ρ + + h P Ako se Benollijeoj jednadžbi apsoltne bzine pikaž peko obodne i elatine bzine ( = + cos ), te sti izaz za isin dobae pmpe, slijedi Benollijea jednadžba za otiajć stjnic p p + + z = + + z ρ ρ

MEHANIKA FLUIDA PRIMJENA U HIDRAULIČKIM STROJEVIMA 67 Pimjena na Pelton tbin R A = ωr =- Kada se spoedi slčaj lopatice Pelton tbine, koja se iba obodnom bzinom = ωr s pomičnom lopaticom pethodnom pimje, jasno je da će tokt bzina na izlaz mlaza s lopatice biti isti, pa će i izaz za pad isine eneije biti isti. Međtim bitna je azlika tome što je azmak izmeđ mijće mlaznice i poketnih lopatica stalno jedan te isti, pa se apsoltni potok ne bi na popnjaanje postoa izmeđ mlaza i lopatica, neo sa potok flida pijeđe peko lopatica (pi čem mlaz može biti zahat s iše lopatica), tako da je snaa tbine jednaka PT = ρqht = ρq( cos). Uzimajći obzi da na Pelton tbin može djeloati iše mlazoa (np. n mlazoa), te da je = = ωr, teoijski izaz za sna Pelton tbine je PT = nρa ( cos) Q Maksimalna snaa PTmax tbine je pi = 80 i pi obodnoj bzini =, pi čem je 3 PTmax = ρ A, što odoaa aspoložioj snazi mlaza, tako da je teoijski fakto koisnosti jednak jedinici. U tom bi slčaj apsoltna bzina mlaza na izlask s lopatice bila jednaka nli, dakle sa snaa mlaza bi bila petoena sna tbine.

MEHANIKA FLUIDA PRIMJENA U HIDRAULIČKIM STROJEVIMA 68 Pimjena na aksijalni tbostoj Nestlačii flid stji pi stalnom tlak potokom Q koz lopatice adno kola tbine pema slici, koja otia stalnom ktnom bzinom ω. Uz petpostak neiskozno stjanja i beskonačno mnoo beskonačno tankih lopatica, teba odediti sna P tbine. Takođe petpostaiti da je isina lopatice pno manja od polmjea adno kola, tako da se ijenac lopatica smije azmotati anin i stjanje koz lopatice smatati aninskim. Q R ω=konst = azmotani ijenac lopatica

MEHANIKA FLUIDA PRIMJENA U HIDRAULIČKIM STROJEVIMA 69 Rješenje: Kao što je zadatk petpostaljeno isina lopatice R- je pno manja od sednje R +, te se s dooljnom točnošć stjanje može smatati aninskim. polmjea ( ) Razmotani ijenac lopatica se tada iba posječnom tanslatonom bzinom koja je definiana izazom + = ω R (a) Zbo stalne bzine tnje i bzina je stalna bzina, a koodinatni ssta ezan čsto za ijenac lopatica je inecijski. Petpostaka beskonačno boja beskonačno tankih lopatica osiaa da se stjnice stjanj koz posto izmeđ lopatica imaj oblik lopatice, tj. elatina bzina stjanja flida koz lopatic je tanencijalna na lopatic. Apsoltna bzina je zboj obodne bzine i elatine bzine, = +. Zboj = + eometijski se pedočje toktom bzina.. Slika (a) Slika (a) pikazje tokt bzina na laz ijenac lopatica (dje elatina bzina leda kontolni olmen) i na izlaz iz ijenca (dje elatina bzina leda od kontolno olmena koji obhaća ntanjost ijenca lopatica). Relatina bzina čini s obodnim smjeom kt, a na izlaz bzina čini kt. Obodna bzina je jednaka na laznom i izlaznom pesjek kontolno olmena. Osnoni zakoni pomičnom koodinatnom ssta čsto ezanom za ijenac lopatica koji se iba stalnom bzinom imaj isti oblik kao i nepomičnom koodinatnom ssta s jedinom azlikom da se mjesto apsoltne bzine koisti elatina bzina. Zanemajći pomjen eodetske isine od laza do izlaza iz ijenca lopatica, te z petpostak stjanja pi stalnom tlak, iz Benollijee jednadžbe p + z+ = p + z + slijedi jednakost eličina elatinih bzina = =. ρ ρ Pema jednadžbi kontiniteta je potok Q koz izlazn pošin jednak potok Q koz lazn pošin, tj. Q= A sin = Asin. Očito da za = i z zadane = slijedi A = A, odnosno jednakost lazne i izlazne pošine. Slika (b) pikazje kontolni olmen s ctanim implsnim fnkcijama I= ρq i I = ρq. U implsnim fnkcijama se ne pojaljje tlak p je je petpostaljeno stjanje pi konstantnom tlak, te se sile tlaka međsobno poništaaj. Množenjem ρ implsnoj fnkciji s kpnim potokom Q implsna fnkcija je obačnata po čitaoj pošini. Aksijalna sila koja djelje od lazne pema izlaznoj pošini je

MEHANIKA FLUIDA PRIMJENA U HIDRAULIČKIM STROJEVIMA 70 Slika (b) ( ) F = I sin I sin = ρq sin sin a Očito će zbo = aksijalna sila biti jednaka nli. Sila F obodnom smje kojem se iba ijenac lopatica je (b) F = I cos + I cos = ρq( cos + cos ) (c) Snaa P tbine je jednaka ( P= F = ρq cos + cos ) (d) Visina pada eneije tbini je P ht = = ( cos+ cos ) ρq (e) Do isto se ezltata za sna P tbine može doći i pimjenom Benollijee jednadžbe iz nepomično koodinatno sstaa. Ako se zanemai pomjena eodetske isine i zme obzi da je stjanje pi konstantnom tlak iz Benollijee jednadžbe slijedi da je pad isine eneije h T koz ijenac lopatica jednak azlici kinetičkih eneija na laz i izlaz iz ijenca, tj. h T = (f) Gledajći slik (a) kadati apsoltnih bzina se mo izaziti s pomoć obodne bzine i elatine bzine oblik ( sin ) ( = + cos+ ( sin ) ( = + cos Uštaanjem jednadžbe () (f) slijedi ) ) () h = ( cos + cos ) (h) T što odoaa izaz (e). Iz jednadžbe (f) je očito da će pad isine eneije tbini biti maksimalan ako je apsoltna bzina na izlaz minimalna. Iz slike (a) je idljio da će za zadani kt i elatin bzin, bzina biti minimalna, ako je okomita na bzin. Konačno, zadatak se moao iješiti i pimjenom jednadžbe momenta količine ibanja, po kojoj je moment M flida na ijenac lopatica jednak zboj momenata količine ibanja na laznoj i izlaznoj pošini. Uz petpostak da je polmje kola elik odnos na isin lopatica R-, moment količine ibanja na laznoj i izlaznoj pošini se može izačnati kao moment implsne fnkcije. Komponenta implsne fnkcije obodnom smje je I cos,

MEHANIKA FLUIDA PRIMJENA U HIDRAULIČKIM STROJEVIMA 7 pema slici (b), a sednji kak do osi tnje je ( R + ). Moment sile težine se zanemaje, a s obziom da je tlak na laznoj i izlaznoj pošini jednak, jednadžba za moment M sile flida na lopatic lasi R+ R+ R+ ( ) M = Icos+ Icos = ρq cos + cos (i) Snaa P je R+ P = M ω= ω ρq + = ρq + (j) što je jednako izaz (d). ( cos cos ) ( cos cos )