ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ lisari team ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 08 ΛΥΣΕΙΣ 5η έκδοση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 06 8. :.. Αντωνόπουλος Νίκος Βελαώρας Γιάννης Βοσκάκης Σήφης Γκριμπαβιώτης Πάνος Ζαμπέλης Γιάννης Κουστέρης Χρήστος Μπαδέμης Δημήτρης Πάτσης Ανδρέας Παπαμικρούλης Δημήτρης Ποδηματάς Θωμάς Τσακαλάκος Τάκης Σπλήνης Νίκος Χασάπης Γιώργος Συντονισμός Χατζόπουλος Μάκης
Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των μελών της lisari team / 5η έκδοση: 06 08 (συνεχής ανανέωση) Οι λύσεις διατίθεται αποκλειστικά από το μαθηματικό blog
Πρόλογος Στο παρόν αρχείο περιλαμβάνονται οι λύσεις των Πανελλαδικών Εξετάσεων 08 στο μάθημα Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής. Η παρουσίαση των λύσεων είναι πλήρης και αναλυτική στο μέγιστο δυνατό, προκειμένου οι μαθητές να μπορούν να μελετήσουν και να επεξεργαστούν εύκολα το αρχείο. Η εργασία αυτή εκπονήθηκε αποκλειστικά από τη γνωστή διαδικτυακή ομάδα Μαθηματικών από διάφορα μέρη της Ελλάδος, τη lisari team. Φέτος εστιάσαμε στη ποικιλία των λύσεων και όσο στο χρόνο που θα αναρτηθούν οι λύσεις. Την αρχική συγγραφή των λύσεων ακολούθησαν ενδελεχείς έλεγχοι, διορθώσεις και βελτιώσεις με στόχο μια πληρέστερη και πιο ποιοτική παρουσίαση. Ζητούμε συγνώμη για τυχόν παραλείψεις, λάθη ή αστοχίες που ενδεχομένως θα έχουν διαφύγει της προσοχής μας, γεγονός αναπόφευκτο δεδομένων των στενών χρονικών περιθωρίων. Θα ακολουθήσουν επόμενες εκδόσεις, όπου η εν λόγω παρουσίαση θα βελτιωθεί, ίσως εμπλουτιστεί και με εναλλακτικές λύσεις. Οποιαδήποτε σχόλια, παρατηρήσεις, διορθώσεις και βελτιώσεις επί των λύσεων είναι ευπρόσδεκτα στην ηλεκτρονική διεύθυνση lisari.blogspot@gmail.com. Με εκτίμηση lisari team 06 08
lisari team. Αντωνόπουλος Νίκος (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου "Κατεύθυνση" - Άργος). Αυγερινός Βασίλης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου "ΔΙΑΤΑΞΗ" - Ν. Σμύρνη και Νίκαια). Βελαώρας Γιάννης (Φροντιστήριο "ΒΕΛΑΩΡΑΣ" - Λιβαδειά Βοιωτίας). Βοσκάκης Σήφης (Φροντιστήριο "Ευθύνη" - Ρέθυμνο) 5. Γιαννόπουλος Μιχάλης ( Θεσσαλονίκη - Αμερικάνικη Γεωργική Σχολή) 6. Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης (Φροντιστήριο "Αστρολάβος" - Άρτα) 7. Δούδης Δημήτρης (ο Λύκειο Αλεξανδρούπολης) 8. Ζαμπέλης Γιάννης (Φροντιστήρια "Πουκαμισάς" Γλυφάδας) 9. Κακαβάς Βασίλης (Φροντιστήριο "Ώθηση" - Μαρούσι) 0. Κάκανος Γιάννης (Φροντιστήριο "Παπαπαναγιώτου Παπαπαύλου" - Σέρρες). Κανάβης Χρήστος (Διδακτορικό στο ΕΜΠ ο ΣΔΕ φυλακών Κορυδαλλού). Καρδαμίτσης Σπύρος (Πρότυπο Λύκειο Αναβρύτων). Κουλούρης Ανδρέας (ο Λύκειο Γαλατσίου). Κουστέρης Χρήστος (Φροντιστήριο "Στόχος" - Περιστέρι) 5. Μανώλης Ανδρέας (Φροντιστήριο "Ρηγάκης" - Κοζάνη) 6. Μαρούγκας Χρήστος (ο ΓΕΛ Κηφισιάς) 7. Δημήτρης Μπαδέμης (Φροντιστήριο "Πουκαμισάς" - Γλυφάδας) 8. Νάννος Μιχάλης (ο Γυμνάσιο Σαλαμίνας) 9. Νικολόπουλος Θανάσης (Λύκειο Κατασταρίου, Ζάκυνθος) 0. Παγώνης Θεόδωρος (Φροντιστήριο "Φάσμα" - Αγρίνιο). Παπαδομανωλάκη Μαρία (Συνιδιοκτήτρια Πρότυπου Κέντρου Μάθησης "ΔΙΑΚΡΙΣΙΣ" - Ρέθυμνο). Παπαμικρούλης Δημήτρης (Εκπαιδευτικός Οργανισμός "Ρόμβος"). Πάτσης Ανδρέας (Βόνιτσα - Μαθηματικός). Ποδηματάς Θωμάς ( Σπουδαστήριο Μαθηματικών Θωμάς και Ρόζα Ποδηματά - Βόλος) 5. Ράπτης Γιώργος (6ο ΓΕΛ Βόλου) 6. Σίσκας Χρήστος (Φροντιστήριο "Μπαχαράκης" - Θεσσαλονίκη) 7. Σκομπρής Νίκος (Συγγραφέας ο Λύκειο Χαλκίδας) 8. Σπλήνης Νίκος (Φροντιστήριο "ΟΡΙΖΟΝΤΕΣ" - Ηράκλειο Κρήτης) 9. Σταυρόπουλος Παύλος (Ιδιωτικά Εκπαιδευτήρια Δούκα) 0. Σταυρόπουλος Σταύρος (Γραμματέας Ε.Μ.Ε Κορινθίας - Γυμνάσιο Λ.Τ. Λεχαίου Κορινθίας). Τρύφων Παύλος (ο Εσπερινό ΕΠΑΛ Περιστερίου). Τσακαλάκος Τάκης (συνταξιούχος αλλά ενεργός μαθηματικός). Χαραλάμπους Σταύρος (Θεσσαλονίκη - Μουσικό Λύκειο). Χασάπης Γεώργιος (Ιδιωτικός υπάλληλος) 5. Χατζόπουλος Μάκης (ο ΓΕΛ Πετρούπολης)
Γ Λυκείου 06 08 lisari team / Σχολικό έτος 07 8 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ, ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΔΕΚΑ (0) ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 99 Α. Α. Ψ Β. (σχολικό βιβλίο σελ. 5) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Για παράδειγμα η συνάρτηση, 0 g, 0 είναι «-» αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη όπως φαίνεται και στο σχήμα. Α. Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α. α) Λ β) Λ γ) Σ δ) Σ ε)σ
Γ Λυκείου 06 08 ΘΕΜΑ Β Β. Η f παράγωγο είναι παραγωγίσιμη σε κάθε ένα από τα διαστήματα A,0,A 0, 8 8 με f f 8 f 0 0 8 0 8 Για να βρούμε το πρόσημο της f θα βρούμε το πρόσημο του πηλίκου παρακάτω πίνακα. 8 με βάση το Άρα το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,0. Στην θέση 0 παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f Β. Η, και 8 f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε ένα από τα διαστήματα A,0,A 0, με παράγωγο : f 0 για κάθε 0 άρα η f είναι κοίλη σε καθένα από τα διαστήματα,0 0, Β. Κατακόρυφη ασύμπτωτη στο 0. Έχουμε: και 0, ενώ είναι
Γ Λυκείου 06 08 lim f lim lim 0 0 0 διότι lim και lim 0 0 και lim f lim lim 0 0 0 διότι lim και lim 0 0 Άρα η ευθεία 0 (ο άξονας yy) κατακόρυφη ασύμπτωτη της f. Πλάγιες Οριζόντιες στο και στο Για να είναι η y ασύμπτωτη της f lim και (αντιστοίχως Είναι, lim f C f f lim και στο (αντιστοίχως στο να είναι πραγματικοί αριθμοί lim f ) f lim lim lim lim ) αρκεί τα όρια Άρα η ευθεία y lim f lim lim lim 0 είναι ασύμπτωτη της f στο. Επίσης, και f lim lim lim lim lim f lim lim lim 0 Άρα η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της f στο. Β. Με βάση τα παραπάνω ερωτήματα η γραφική παράσταση της f είναι η παρακάτω :
Γ Λυκείου 06 08 ΘΕΜΑ Γ Γ. Η περίμετρος του τετραγώνου είναι m, οπότε η πλευρά του θα είναι μήκος πρέπει να είναι 0 αλλά και 8 0 8. Επομένως το εμβαδό του τετραγώνου είναι είναι 8 κατασκευάζουμε τον κύκλο που έχει μήκος: 8 L πρ 8 πρ ρ m π Οπότε ο κύκλος έχει εμβαδόν:. Επειδή το παριστάνει που είναι το συνολικά μήκος του σύρματος, άρα 6. Με το υπόλοιπο του σύρματος το οποίο 8 8 8 Ε πρ π π π π π Το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων είναι:
Γ Λυκείου 06 08 Ε 8 π 8 π 6 6 6 π 6π 6π π 56 6 6π Γ. Το E ως τριώνυμο του με και είναι E > 0, 0 και E,8 και η πλευρά του τετραγώνου είναι Β τρόπος Η E Είναι 0 π 6 56 6π, 0,8 π α 0 παρουσιάζει ελάχιστο στο 6π 6 0 π π, τότε η διάμετρος του κύκλου είναι 8 π 8 δ ρ π π π 8 α δ. π 6π 8π είναι παραγωγίσιμη με E π 6 π με 0,8 E 0 π E 0 π E 0 π και η E παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 το π 6 6 E π 6 8 8 π 6 π π 6π π π π Άρα, είναι E > 0, 0 και E 0,8 5
Γ Λυκείου 06 08 Τότε η διάμετρος του κύκλου 8 π 8 δ ρ και η πλευρά του τετραγώνου είναι π π π 8 α δ. π Γ. Η Ε είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο 0, π άρα 6 6 E0, E, lim Ε(), + π π 0 π π αφού 6 E π π και + + 0 0 π 6 56 56 6 lim Ε() lim 6π 6π π Η Ε είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο,8 π άρα 6 E,8 E, lim Ε(), π π 8 π αφού και 6 E π π π 6 56 π 8 68 56 lim Ε() lim lim 6π 6π 8 8 8 5 E 0, π (διότι 6 6 5 6 5 π π π π π 6 π 5 ) και Ε γνησίως φθίνουσα στο 0, π άρα υπάρχει μοναδικό 0, π E 5. ώστε 5 E,8 π άρα δεν υπάρχει,8 π μοναδικό 0, π E 5. ώστε ώστε E 5 τελικά υπάρχει 6
Γ Λυκείου 06 08 ΘΕΜΑ Δ Δ. Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R f e α f e α με Για κάθε R έχουμε: α α 0 f 0 e 0 e e α f 0 e 0 α α Έχουμε σημείο καμπής το εφαπτομένης στο σημείο Δ. Είναι, f e, R α α f e α,f α δηλαδή το α, α α,f α., αφού επιπλέον ορίζεται η εξίσωση της Η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0,α και f στο α,. α το f α α 0 αφού f στο 7
Γ Λυκείου 06 08 Επίσης, α lim f lim e διότι, Αντίστοιχα, και α DLH α διότι α lim f lim e e α lim lim 0 e e συνεπώς lim 0 α e A,α : f συνεχής και άρα άρα α lim e u lim e 0 u και lim lim e α f A f α, lim f α, 0f A υπάρχει, α : f 0 και f άρα f 0 f f f 0 f f f 0 f lim e u u f στο A μοναδικό αφού A α, : f συνεχής και άρα f A f α, lim f α, 0f A υπάρχει α, : f 0 και f A f 0 f f f 0 f f f 0 f έτσι έχουμε f και τοπικό ελάχιστο στο. στο,,, και f στο, μοναδικό αφού f στο και παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο Δ. Θεωρούμε την g f f, α, έχουμε: g f 0 για κάθε, άρα η g στο Για Όμως g α, α g g α f f f α f α και f 0 για κάθε,α αφού α,, () A 8
Γ Λυκείου 06 08 άρα η f στο, α f,α α f f α 0 α f α f Από την () έχουμε f f 0 για κάθε άρα η εξίσωση f f αδύνατη. Β τρόπος Είναι, διότι, άρα, f α, α α f α f e α e α 0 που ισχύει α e α με α είναι α α α e α e α e α α α α 0 Γ τρόπος Αρχικά θα δείξουμε ότι. Έστω τότε f f 0 f 0 e e 0 α α άτοπο. Άρα, α α Έστω ότι η εξίσωση f f έχει μια τουλάχιστον ρίζα 0 α, f f 0 άρα οπότε ικανοποιείται το Θεώρημα Rolle για την f στο κλειστό διάστημα, άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, 0 τέτοιο ώστε, άτοπο διότι f 0 για κάθε,, f ξ 0 Δ τρόπος Αποδεικνύουμε όπως στο Γ τρόπο ότι άρα και οπότε: Δ. Η f είναι είναι κυρτή στο διάστημα Άρα για κάθε έχουμε: Η ισότητα ισχύει μόνο στο άρα, 0 0, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, α, f f α,.,. Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο,f y f f y y 0 f f 9
Γ Λυκείου 06 08 f d d () Αρκεί να αποδείξουμε ότι: d 5 Θέτουμε u du d Για Άρα u 0 u d u udu u udu udu 0 0 0 5 u u 5 5 0 0 0