3. DIFERENCIJALNI RAČUN I PRIMJENE

3. DIFERENCIJALNI RAČUN I PRIMJENE

1. DERIVIRANJE Derivacije elementarnih funkcija jedne varijable dane su u tablicama:

Pravila deriviranja funkcija jedne varijable su: 1. DERIVIRANJE ZBROJA/RAZLIKE 2. DERIVIRANJE UMNOŠKA BROJEM (konstantom) 3. DERIVIRANJE UMNOŠKA 4. DERIVIRANJE KVOCJENTA Derivacija složene funkcije, što se još naziva kompozicija funkcije, dana je formulom: Prema formuli vidimo da kada deriviramo složenu funkciju, trebamo derivirati dio po dio kompozicije. Kako prepoznajemo složenu funkciju i da uopće moramo derivirati dio po dio? Tako što vidimo da je funkcija komplicirana a to znači drugačija od tablične. Tada prvo deriviramo tu složenu funkciju praveći se da je jednostavna,tablična, no u nastavku množimo sa posebnom derivacijom tog kompliciranog dijela. Dakle, što god nije tablična funkcija (bilo da ju samu deriviramo, ili tokom primjene nekog od pravila deriviranja) treba derivirati kao složenu funkciju! Derivacija inverzne funkcije dana je formulom: gdje je Funkcija f i njoj inverzna funkcija uvijek se poništavaju: Ako tu jednadžbu deriviramo, kao složenu funkciju, dobiti ćemo: derivaciju složene funkcije i deriviraj ovdje: ). (izvježbaj Nadalje, za. kažemo da je diferencijal funkcije. i možemo zapisati formulom:

Ako se vrijednost varijable x promijenila za Δx, onda prirast funkcije (promjenu funkcije) označimo sa Δy. Pa uvrštavajući to u gornju jednadžbu dobijemo da je derivacija funkcije y približno jednaka promjeni vrijednosti y. Time se aproksimira promjena vrijednosti funkcije tj prirast funkcije:. Aproksimacija je točnija za male vrijednosti Δx. Ako se to prikaže u koordinatnom sustavu kao tangenta na funkciju, onda je prirast stvarna promjena vrijednosti funkcije koja se dobije pri promjeni varijable za Δx, a diferencijal je promjena vrijednosti na tangenti. Osim same derivacije, odnosno prve derivacije, postoje i derivacije višeg reda tj. druga, treća itd. derivacija. Svaku iduću derivaciju dobivamo deriviranjem prethodne. Odnosno, derivaciju drugog reda dobivamo tako da deriviramo ono što smo dobili kao derivaciju prvog reda, praveći se da nam je to sada početna funkcija koju moramo derivirati. Derivacije višeg reda funkcije y=f(x) označavamo s y',y'',y''' itd odnosno označiti ćemo sa zapisujemo: ukoliko se radi o derivaciji reda većeg od tri. Dakle četvrtu derivaciju. Pošto se iduća derivacija dobiva kao derivacija prethodne, formulom to. Preko Laplace-a derivaciju višeg reda označujemo kao čime se želi naglasiti da se nova derivacija dobiva kao derivacija derivacije. Teoremi srednje vrijednosti: 1.) Osnovni teorem srednje vrijednosti u diferencijalnom računu je Lagrangeov teorem srednje vrijednosti. Lagrange kaže: Neka je funkcija f neprekidna na i derivabilna (može se derivirati) na intervalu <a,b>. Tada postoji vrijednost takva da je. Geometrijski rečeno: postoji točka C(c,f(c)), dakle točka na funkciji, takva da je tangenta povučena na krivulju u točki C paralelna sa pravcem AB (pravcem od sjecišta funkcije sa x osi povučenog prema njenom kraju, do točke B). 2.) Rolleov teorem srednje vrijednosti je jednostavnija verzija Lagrangeovog teorema srednje vrijednosti. On kaže da su vrijednosti funkcije u točkama a i b jednake:. Tada postoji točka takva da je. 2. EKSTREMI Da bi neka točka uopće bila lokalni ekstrem funkcije f(x) ona mora zadovoljiti nužne i dovoljne uvjete. Nužnim uvjetom dobivamo potencijalne ekstreme, a to su točke koje će, ako ekstrem postoji, biti ekstremi, ali onda još moramo ispitati kakvi ekstremi će to biti- da li minimum ili maksimum. Da bi to ispitali, potreban nam je dovoljan uvjet koji nam onda daje odgovor na pitanje da li je potencijalan ekstrem minimum ili maksimum. NUŽAN uvjet je da je. Točke koje dobijemo kada riješimo tu jednadžbu jesu potencijalni ekstremi, odnosno stacionarne točke koje predstavljaju kandidate za lokalne ekstreme. DOVOLJAN uvjet je da je Ako dobijemo da je tada funkcija postiže lokalni maksimum u točki T. Ako ispadne da je tada funkcija u točki T postiže lokalni minimum.

Za funkciju kažemo da u točki -lokalni maksimum -lokalni minimum ako postoji ako postoji iz intervala ima: takav da takav da Da ponovimo postupak za određivanje ekstrema: 1.NUŽAN uvjet 1.1.Odredimo 1.2.Izjednačimo s nulom dobijemo stacionarne/kritične točke odnosno kandidate za ekstreme Tko može biti ekstrem?? 2.DOVOLJAN uvjet 2.1.Odredimo 2.2.U uvrstimo kritične točke 2.2.1.Ako je u x je minimum 2.2.2.Ako je u x je MAXimum 3. EKONOMSKE FUNKCIJE Ako u cijelu priču funkcija ubacimo malo ekonomije (samo malo), zapravo ćemo pričati o prihodima, troškovima, cijenama i slično. Uglavnom, o ekonomskim veličinama koje mogu opisivati nešto ukupno, nešto granično (druga riječ marginalno!) i nešto prosječno. Kako to spajamo s gradivom o funkcijama? Objasniti ćemo na primjeru troškova. Svaku od tih veličina prikazivati ćemo kao funkciju. Samo da prije ponovimo: Prosječni troškovi su ukupni troškovi po jedinici proizvodnje. Prosječni prihodi su ukupni prihodi po jedinici proizvodnje. Granični troškovi mjere promjenu ukupnih troškova uslijed povećanja proizvodnje za jednu malu jedinicu. Granični prihodi mjere promjenu ukupnih prihoda uslijed povećanja proizvodnje za jednu malu jedinicu. Ukupne troškove označiti ćemo sa T(Q) gdje je Q oznaka za proizvodnju/proizvedenu količinu/output, pa ćemo prosječne troškove (prosječno=average) označiti sa AT(Q). Funkciju prosječnih troškova dobiti ćemo tako da funkciju ukupnih troškova jednostavno podijelimo sa proizvodnjom:. Granične tj. marginalne troškove označiti ćemo kao funkciju MT(Q) (možemo označiti i malim slovom t(q)) i dobiti ju kao i sve granične vrijednosti općenito kao derivaciju, i to ovdje ukupnih troškova:. Kod ekonomskih funkcija treba samo paziti da sve veličine budu pozitivne! Ne postoji negativna proizvodnja!

4. DOMENA, RAST I PAD, ZAKRIVLJENOST R N Z Q I Prije nego što objasnimo domenu, potrebno je proći kroz skupove brojeva. Najveći skup je R- skup realnih brojeva. Realni brojevi su skup brojčanih vrijednosti u kojemu se nalaze svi brojevi koji su obuhvaćeni brojevnim pravcem, od minus do plus beskonačno. Skup R u sebi sadrži sve ostale skupove, s time da je I-skup iracionalnih brojeva (npr. π, ) poseban skup unutar skupa realnih brojeva te je to skup brojeva koji se ne mogu zapisati u formi razlomka. Suprotno skupu iracionalnih brojeva je Q-skup racionalnih brojevi (to su npr. razlomci). Q uključuje Z-skup cijelih brojeva (negativni cijeli, nula, pozitivni cijeli, npr -1,0,1), a Z uključuje N- skup prirodnih brojeva (1,2,3,4 ). Na skupu realnih brojeva definirane su sve uobičajene operacije (plus, minus, puta, podijeljeno), za koje vrijede uobičajena svojstva (komutativnost za zbrajanje i množenje, asocijativnost, distributivnost). Kada funkciju zapišemo kao (čitamo domena je podskup skupa R) to nam predstavlja funkciju f koja svakoj točki iz svoje domene D pridružuje neki realan broj. Domenu D možemo zamisliti kao krug u kojem se nalaze brojevi, a ti brojevi su iz skupa R pa D možemo zapisati kao D Domena nam je skup brojeva koje smijemo ubaciti u funkciju da bi nam ona dala neku vrijednost, tj. iz domene uzmemo broj, ubacimo ga u funkciju i dobijemo točno neku određenu vrijednost (broj). Funkciju možemo shvatiti kao pravilo koje kaže uzmi broj iz D, napravi s njim što ti piše, i dobit ćeš broj koji ćeš staviti u skup svih rezultata funkcije i nazvati ga kodomena K. Domena funkcije je skup (realnih) vrijednosti u kojima možemo računati vrijednost funkcije, tj. u kojima je funkcija definirana. Za većinu funkcija domena je skup realnih brojeva, a to znači da se vrijednost takve funkcije može izračunati za svaku realnu vrijednost. Primjer takve funkcije je polinom i eksponencijalna funkcija.

Postoje i funkcije kojima domena nije cijeli R nego je iz njihove domene potrebno neke dijelova R-a izuzeti, jer postoje neka ograničenja. Tada domenu treba zapisati preko skupova, bilo da se iz skupa realnih brojeva izuzmu neki brojevi, ili koristeći otvorene i zatvorene skupove po brojevnom pravcu. Najčešći primjeri kod kojih se javljaju ograničenja su razlomci, korijeni i logaritmi. 1.Razlomci: funkcija oblika. Kod razlomaka nazivnik ne smije biti nula!!! Dakle dobili smo ograničenje:. Tu se često pojavljuju racionalne funkcije- funkcije u obliku razlomaka koje u brojniku i nazivniku, ili samo nazivniku, imaju polinom. Domenu takve funkcije dobijemo tako da izuzmemo nultočke funkcije h(x).. 2.Korijeni: funkcije oblika gdje je n paran broj. Kod takvih funkcija broj ispod korijena mora biti veći ili jednak nuli, ograničenje:. Ograničenje postoji samo kod parnih korijena! Jer se neparni korijeni mogu računati za negativne vrijednosti 3.Logaritmi: funkcije oblika računati samo za pozitivne vrijednosti ograničenje:.. Logaritam se može Sve ovo ne moramo pamtiti, uvijek imamo kalkulator da provjerimo da li određena funkcija postoji za pozitivne, nulu, i negativne brojeve. Ako kalkulator za uvršteni broj pod npr. korijenom kaže error znači da takve brojeve moramo izuzeti iz domene. RAST I PAD: RAST: funkcija raste ako. Ako je tada funkcija raste na nekoj okolini od PAD: funkcija pada ako. Ako je tada funkcija pada na nekoj okolini od ZAKRIVLJENOST: Neka je funkcija f dva puta diferencijabilna funkcija (znači da ju dva puta možemo derivirati) na otvorenom intervalu tada: -ako je na tom intervalu, onda je funkcija konveksna (pamti sretna ) -ako je na tom intervalu, onda je funkcija konkavna (pamti tužna jer želi kavu ) Još možemo pisati: Funkcija je KONVEKSNA na otvorenom intervalu I ako je Funkcija je KONKAVNA na otvorenom intervalu I ako je