Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, septembar 2012
Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 3 Sistemi linearnih jedna ina 3 31 Pojam sistema linearnih jedna ina 3 32 Kvadratni sistemi linearnih jedna ina 6 321 Rje²avanje sistema rje²avanjem matri ne jedna ine 6 322 Kramerovo pravilo 7 33 Gausov metod eliminacije 10 34 Kroneker-Kapelijev stav 13
POGLAVLJE 1 Uvod
POGLAVLJE 2 Matrice i determinante
POGLAVLJE 3 Sistemi linearnih jedna ina Mnogi problemi iz prakse mogu biti napisani u obliku sistema linearnih jedna ina U ovom poglavlju precizno emo denirati pojam sistema linearnih jedna ina i rje²enja sistema Razlikovat emo kvadratne i pravougaone, homogene i nehomogene sisteme Bavit emo se pitanjem egzistencije rje²enja i metodama za rje²avanje sistema linearnih jedna ina 31 Pojam sistema linearnih jednačina Denicija 31 Skup jedna ina oblika a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (31) gdje su a ij i b j (i = 1,, m, j = 1,, n) elemeni polja brojeva F nazivamo sistemom od m jedna ina sa n nepoznatih x j (j = 1,, n) Naj e² e se posmatraju situacije u kojima je polje F polje realnih ili
31Pojam sistema linearnih jedna ina Doc dr Almasa Odºak kompleksnih brojeva Mi emo se u nastavku bazirati na takve sisteme iako mnogi pojmovi i metodi mogu biti generalizirani i na druge situacije Brojeve a ij (i = 1,, m, j = 1,, n) nazivamo koecijentima sistema, dok su b i (i = 1,, m) slobodni lanovi U op²tem slu aju kaºemo da je sistem (31) pravougaoni, dok u slu aju m = n govorimo o kvadratnom sistemu linearnih jedna ina U slu aju kada je b i = 0 ( i = 1,, m) kaºemo da je sistem homogen, a u protivnom rije je o nehomogenom sisitemu linearnih jedna ina Sistem linearnih jedna ina (31) moºemo napisati i pomo u matrica u obliku AX = B, (32) pri emu smo uveli oznake A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, X = x 1 x 2, B = b 1 b 2 a m1 a m2 a mn x n b m Matricu A nazivamo matricom sistema, X je vektor nepoznatih, a B vektor slobodnih lanova Sistemu jedna ina takože moºemo pridruºiti i takozvanu pro²irenu matricu sistema, koju dobijemo tako ²to matrici sistema A s desne strane dopi²emo vektor slobodnih lanova Obiljeºavamo je sa (A B) Dakle (A B) = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn b 1 b 2 b m Osnovno pitanje vezano za sisteme jedna ina je nalaºenje njihovog rje²enja Uvode se pojmovi saglasnog i nesaglasnog sistema Denicija 32 Svaka urežena n-torka (α 1, α 2,, α n ) takva da je za (x 1, x 2,, x n ) = (α 1, α 2,, α n ) svaka od m jedna ina sistema (31) identi ki zadovoljena je rje²enje tog sistema 4
31Pojam sistema linearnih jedna ina Doc dr Almasa Odºak Ukolio posmatramo sistem jedna ina zapisan u matri nom obliku (32) onda pod rje²enjem sistema podrazumijevamo svaki vektor X koji zadovoljava matri nu jedna inu (32) Denicija 33 Za sistem linearnih jedna ina koji ima barem jedno rje²enje kaºemo da je saglasan (kompatibilan, rje²iv) U suprotnom kaºemo da je sistem nesaglasan (protivrje an, kontradiktoran, nerje²iv) Pored egzistencije rje²enja, vaºno pitanje je i pitanje broja rje²enja Jedan od rezultata koji nam govori o tome navest emo u narednom teoremu Formulisat emo ga i dokazati koriste i matri ni zapis Teorem 31 Ako su X 1 i X 2 dva razli ita rje²enja sistema (32) onda je i X(µ) = µx 1 + (1 µ)x 2, za svako µ R takože rje²enje tog sistema Dokaz Da bi dokazali tvrdnju dokazat emo da X(µ) zadovoljava jedna inu (32) Koriste i osobine operacija s matricama i pretpostavku da X 1 i X 2 zadovoljavaju jedna inu (32) slijedi da je A(µX 1 + (1 µ)x 2 ) = µax 1 + (1 µ)ax 2 = µb + (1 µ)b = B, pa je dokaz zavr²en Upravo dokazani teorem nam kaºe da sistem, ukoliko ima dva razli ita rje²enja, onda ih ima beskona no mnogo Dakle, svaki sistem oblika (31) zadovoljava ta nu jednu od sljede e tri tvrdnje (i) Sistem nema rje²enje (ii) Sistem ima ta no jedno rje²enje (iii) Sistem ima beskona no mnogo rje²enja U slu aju (ii) kaºemo da je sistem odrežen, dok u slu aju (iii) kaºemo da je neodrežen Jasno, u situaciji (i) sistem je nesaglasan, dok je u situacijama (ii) i (iii) saglasan Primijetimo da je homogen sistem uvijek saglasan, jer je urežena n-torka sa injena od svih 0 rje²enje svakog homogenog sistema Ovo rje²enje se naziva trivijalnim Ukoliko je homogeni sistem odrežen onda je njegovo jedino rje²enje trivijalno Neodrežen homogen sistem, pored trivijalnog, ima i druga rje²enja koja nazivamo netrivijalnim 5
32Kvadratni sistemi linearnih jedna ina Doc dr Almasa Odºak Napomenimo jo² da rije²iti sistem zna i na i sva njegova rje²enja ili ustanoviti da sistem nema rje²enje U nastavku ovog poglavlja govorit emo o metodama rje²avanja sistema i uslovima pod kojim sistem zadovoljava tvrdnje (i)-(iii) Zna ajnu ulogu pri rje²avanju sistema imaju ekvivalentni sistemi Sli no, kao i kod matrica, elementarnim transformacijama se sistem prevodi u elvivalentan sistem Denicija 34 Dva sistema jedna ina su ekvivalentna ako imaju isti skup rje²enja Elementarne transformacije koje sistem prevode u ekvivalentan sistem su: (i) Zamjena mjesta bilo koje dvije jedna ine sistema (ii) Mnoºenje proizvoljne jedna ine sistema nekim brojem razli itim od 0 (iii) Dodavanje jedne jedna ine sistema, prethodno pomnoºene nekim brojem razli itim od 0, drugoj jedna ini sistema Takože se nekad pod elementarnom transformacijom podrazumijeva i promjena poretka varijabli u jedna inama sistema, no treba napomenuti da je u tom slu aju vaºno voditi ra una o novom poretku, pogotovo ukoliko se sistem pi²e pomo u matrica koje ga odrežuju i rje²enje se zapisuje u obliku urežene n-torke 32 Kvadratni sistemi linearnih jednačina U ovom odjeljku emo se baviti sistemima linearnih jedna ina kod kojih je broj jedna ina jednak broju nepoznatih Speci nost ovog tipa sistema nam garantuje da je matrica sistema kvadratna, pa je mogu e ra unati njenu determinantu i odreživati njenu inverznu matricu ukoliko je ona regularna Upravo na ovim injenicama su zasnovane dvije metode rje²avanja kvadratnih sistema koje emo opisati u nastavku 321 Rješavanje sistema rješavanjem matrične jednačine Kako smo ve napomenuli sistem linearnih jedna ina, pa specijalno i kvadratni sistem linearnih jedna ina, moºe biti napisan u matri noj formi (32) Forma (32) se moºe interpretirati kao matri na jedna ina, jedna ina u kojoj je nepoznata varijabla matrica Ovu matri nu jedna inu, kao i matri ne 6
32Kvadratni sistemi linearnih jedna ina Doc dr Almasa Odºak jedna ine op enito, rje²avamo koriste i operacije s matricama i njihove osobine Vaºno je napomenuti da treba voditi ra una da mnoºenje matrica nije komutativno Neka je matrica A kvadratnog sistema regularna, to jeste postoji njoj inverzna matrica A 1 Pomnoºimo jednakost (32) s lijeve strane sa A 1, a zatim iskoristimo injenicu da je produkt matrice i njoj inverzne matrice jednak jedini noj matrici, kao i injenicu da je jedini na matrica neutralni element za mnoºenje matrica Opisani postupak moºemo zapisati na sljede i na in AX = B A 1 (AX) = A 1 B (A 1 A)X = A 1 B EX = A 1 B X = A 1 B 322 Kramerovo pravilo U ovom dijelu opisat emo metod za rje²avanje kvadratnih sistema jedna ina baziran na primjeni determinanti Kvadratnom sistemu a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = b n, (33) odgovara kvadratna matrica sistema A Njoj moºemo pridruºiti determinantu, koju nazivamo determinantom sistema (33) i obiljeºavamo je sa D Istom sistemu moºemo pridruºiti i determinante D i, (i = 1,, n), koje dobijemo tako ²to i-tu kolonu determinante D zamijenimo kolonom slobodnih lanova Dakle, za sistem (33) je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n D =, a n1 a n2 a nn 7
32Kvadratni sistemi linearnih jedna ina Doc dr Almasa Odºak D i = a 11 a 12 a 1i 1 b 1 a 1i+1 a 1n a 21 a 22 a 2i 1 b 2 a 2i+1 a 2n a n1 a n2 a ni 1 b n a ni+1 a nn Rezultat na kojem se zasniva Kramerovo pravilo za rje²avanje kvadratnih sistema dat emo u teoremu koji slijedi Teorem 32 Neka sistem (33) ima barem jedno rje²enje Tada svako rje- ²enje (α 1, α 2,, α n ) tog sistema zadovoljava jednakosti α i D = D i, (i = 1,, n) (34) Dokaz Dokaz emo izvesti koriste i osobine determinanti Odaberimo proizvoljno i ksirajmo indeks i, (i = 1,, n) Prema osobini determinanti (vi), determinanta se mnoºi skalarom tako ²to joj se jedna kolona ili vrsta mnoºi tim sklarom Da bi pomnoºili skalarom α i determinantu D pomnoºimo tim skalarom i-tu kolonu te determinante Zatim primijenimo osobinu (viii) na dobijenu determinantu tako ²to emo pomnoºiti elemente prve kolone sa α 1 i dodat ih i-toj koloni, zatim pomnoºiti elemente druge kolone sa α 2 i dodat ih i-toj koloni i postupak ponoviti za sve kolone izuzev kolone i Determinanta koju dobijemo nakon opisanih transformacija je oblika α i D = a 11 a 12 a 1i 1 a 11 α 1 + a 12 α 2 + + a 1n α n a 1i+1 a 1n a 21 a 22 a 2i 1 a 21 α 1 + a 22 α 2 + + a 2n α n a 2i+1 a 2n a n1 a n2 a ni 1 a n1 α 1 + a n2 α 2 + + a nn α n a ni+1 a nn Po pretpostavci je (α 1, α 2,, α n ) rje²enje posmatranog sistema, pa uvr²tavanjem vrijednosti α i (i = 1,, n) u jedna ine sistema dobijamo ta ne jednakosti, ²to zna i da lijeve strane jedna ina, koje se pojavljuju u i-toj koloni gornje matrice, moºemo zamijeniti desnim, to jeste, i tu kolonu vektorom slobodnih lanova Dobijena matrica je upravo matrica D i, pa je tvrdnja teorema dokazana Posmatrajmo sistem (33) Neka je matrica sistema regularna, to jeste D 0 Tada iz (34) slijedi da je posmatrani sistem odrežen i ima jedinstveno rje²enje dato sa x i = D i D, (i = 1,, n) 8
32Kvadratni sistemi linearnih jedna ina Doc dr Almasa Odºak Ukoliko matrica sistema nije regularna, odnosno ukoliko je D = 0 i ukoliko postoji indeks j, (j = 1,, n) takav da je D j 0 onda jedna od jedna ina iz (34), za i = j postaje nemogu a, pa je sistem u ovom slu aju protivrje an Zaklju ak u preostalom slu aju, to jeste kada je D = 0 i D i = 0 za sve i = 1,, n se ne moºe direktno izvesti Potrebno je posmatrati poddeterminante posmatranih determinanti Upravo navedena razmatranja dovode do rezultata koji je poznat pod nazivom Kramerovo pravilo Formulisat emo ga u narednom teoremu Teorem 33 Neka je dat kvadratni sistem (33) 1 Ako je determinanta sistema D 0 sistem ima jedinstveno rje²enje dato sa x i = D i, (i = 1,, n), to jeste sistem je odrežen D 2 Ako je D = 0 i barem jedna od determinanti D i (i = 1,, n) razli ita od 0 sistem je protivrje an 3 Ako je D = 0 i D 1 = D 2 = = D n = 0 onda mogu nastupiti dvije situacije, sistem je neodrežen ili je sistem protivrje an Odgovor na pitanje kada nastupa koja situacija daje nam sljede i niz koraka (a) Ako je bar jedna subdeterminanta reda n 1 determinante D razli ita od nule sistem je neodrežen (b) Ako je svaka subdeterminanta reda n 1 determinante D jednaka nuli, a barem jedna od subdeterminanti reda n 1 determinanti D i razli ita od nule, sistem je protivrje an (c) Ako je svaka subdeterminanta reda n 1 svih determinanti D k i D jednaka nuli nastavljamo postupak ponavljanjem koraka (a), (b) i (c) za subdeterminante jednog reda manje Primjenom prethodnog teorema na homogene sisteme jedna ina dobijamo jednostavan kriterij kada homogeni sistem ima i netrivijalna rje²enja Posmatrajmo homogen kvadratni sistem a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = 0 (35) 9
33Gausov metod eliminacije Doc dr Almasa Odºak Neka oznake D i D i imaju isto zna enje kao i ranije Iz na ina formiranja determinanti D i i osobine (i) determinanti slijedi da je D i = 0 za svako i = 1,, n Osim toga, kako smo ve napomenuli, homogeni sistem uvijek ima trivijalno rje²enje, pa nikada nije nemogu Dakle, vrijedi tvrdnja Posljedica 34 Homogeni sistem (35) je odrežen ako je D 0, a neodrežen u slu aju kada je D = 0 33 Gausov metod eliminacije Gausov metod eliminacije zasniva se na injenici da se sistemi jedna ina kod kojih je matrica sistema trougaona ili trapezna jednostavno rje²avaju Takve sisteme emo zvati trougaonim ili trapeznim Sam metod se sastoji iz dvije osnovne etape, prva je transformisanje datog sistema u ekvivalentan trougaoni ili trapezni, a druga je rje²avanje novodobijenog sistema Ilustrirat emo postupak na sistemu napisanom u op²tem obliku (31) Pretpostavimo da je a 11 0 Ukoliko to nije slu aj moºemo izvr²iti elementarnu transformciju zamjene redoslijeda jedna ina sistema, tako da uslov bude zadovoljen Naime, barem jedan od koecijenata uz varijablu x 1 mora biti razli it od nula, jer u protivnom varijabla x 1 moºe imati proizvoljnu vrijednost Prvu jedna inu podijelimo sa x 1, a zatim od i-te (i = 2,, m) jedna ine oduzmimo prvu jedna inu pomnoºenu sa a i1 Dobijamo ekvivalentan sistem oblika x 1 + a 12 ( a) 11 x 2 + + a a 22 a 12 21 a 11 x 2 + + ( ) a a m2 a 12 m1 a 11 x 2 + + a 1n ) a 11 ( a 11 x n = a a 2n a 1n 21 b 1 a 11 x n = b 2 a 21 b 1 a 11 ( ) a a mn a 1n b m1 a 11 x n = b m a 1 m1 a 11 Ovaj sistem moºemo zapisati u ne²to kra em obliku uvedemo li oznake a 1j = a 1j a 11, (j = 2,, n), b 1 = b 1 a 11, a ij = a ij a i1 a 1j a 11, (i = 2,, m, j = 2, n), 10
33Gausov metod eliminacije Doc dr Almasa Odºak b i = b i a i1 b 1 a 11,, (i = 2,, m) Sistem poprima sljede i oblik x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1 a 22x 2 + + a 2nx n = b 2 a m2x 2 + + a mnx n = b m Postupak nastavljamo tako ²to prepi²emo prvu jedna inu, a na ostale primijenimo transformacije analogne ve uraženim Drugu jedna inu dijelimo sa a 22 i od i-te (i = 3,, m) oduzimamo drugu jedna inu pomnoºenu sa a i2 Naravno dijeljenje je mogu e izvr²iti jedino ako je a 22 0 Ukoliko to nije slu aj mogu nastupiti tri situacije Ukoliko postoji a i2 0 za neko i = 3,, m, onda zamjenom mjesta jedna ina postiºemo da je traºeni uslov zadovoljen Ukoliko to nije slu aj mogu e je da da postoji koecijent a ij, i = 2,, m, j = 3,, n razli it od nule, pa se zamjenom pisanja redoslijeda varijabli, odnosno prenumeracijom, postiºe ispunjenje uslova Ukoliko ni jedan od dva navedena uslova nije ta an, to zna i da su svi koecijenti sistema u svim jedna ina izuzev prve jednaki 0, pa se te jedna ine svode na 0 = b i, (i = 2,, m) Jasno, u ovom slu aju sistem ima jedino rje²enje ako je b i = 0 (i = 2,, m) U protivnom ovaj sistem, pa i po etni, je nemogu Nakon opisanih transformacija uz skra ene oznake a 2j = a 2j a 22 b 2 = b 2, a 22, (j = 3,, n), a a ij = a ij a 2j i2, (i = 3,, m, j = 3, n), b i = b i a i2 b 2 a 22 sistem poprima oblik a 22,, (i = 3,, m), x 1 + a 12x 2 + a 13x 3 + a 1nx n = b 1 x 2 + a 23x 3 + a 2nx n = b 2 + a 33x 3 + a 3nx n = b 3 + a m3x 3 + a mnx n = b m 11
33Gausov metod eliminacije Doc dr Almasa Odºak Postupak nastavljamo i nakon m koraka dobijamo trougaoni ili trapezni sistem Treba napomenuti da je mogu e i da u nekom k-tom (k < m) koraku posljednjih m k jedna ina poprimi oblik 0 = b(k) i, (i = k + 1,, m) U tom slu aju sistem je saglasan jedino ako je b i = 0 za sve i = k + 1,, m U protivnom je nemogu Nizom opisanih koraka zavr²ava se prva etapa Primijetimo da smo u prvom koraku varijablu x 1 eliminisali iz svih izuzev prve jedna ine, nakon toga u drugom koraku varijabla x 2 je eliminisana iz svih, izuzev prve i druge jedna ine i tako dalje Upravo iz ovog razloga se postupak naziva metodom eliminacije U drugoj etapi rje²avamo sistem ekvivalentan po etnom dobijen u prethodnoj etapi U sl aju kada je m = n dobijeni sistem je trougaoni i ako je saglasan posljednja jedna ina je oblika x n = b(n) n i sistem ima jedinstveno rje²enje Dakle, posljednja jedna ina nam daje vrijednost varijable x n Zatim, uvr²tavanjem te vrijednosti u pretposljednju jedna inu moºemo izra unati vrijednost varijable x n 1 Postupak nastavljamo Kona no u posljednjem koraku ove etape, poznate su nam vrijednosti varijabli x n,, x 2 i pomo u prve jedna ine ra unamo vrijednost varijable x 1 Time je postupak rje²avanja sistema zavr²en U slu aju kada je m < n (ili k < n za situaciju kada odreženi broj jedna ina poprima oblik 0 = b(k) i (i = k + 1,, m) i ako je sistem mogu ) sistem ima beskona no mnogo re²enja Varijable x m+1, x m+2,, x n mogu biti proizvoljno odabrane, a preostale, primjenom analognog postupka opisanom postupku u situaciji m = n, mogu biti izraºene preko proizvoljno odabranih varijabli U slu aju kada je m > n postupkom eliminacije, da bi sistem bio mogu, odrežen broj jedna ina se mora svesti na identi ne jedna ine ili jedna ine 0 = b(k) i (i = k + 1,, m) i pri tome svi b(k) i koje se pojavljuju u njima moraju biti jednaki 0 Ostatak sistema je jednog od razmatrana dva oblika, pa se tako i rje²ava Treba napomenuti da se postupak eliminacije prakti no vr²i primjenom elementarnih transformacija na jedna ine sistema, odnosno na pro²irenu matricu sistema Ve smo obrazloºili da se elementarne transformacije matrica mogu interpretirati kao mnoºenje matrice odgovaraju im matricama, pa je naravno to slu aj i za elementarne transformacije sistema linearnih jedna ina 12
34Kroneker-Kapelijev stav Doc dr Almasa Odºak 34 Kroneker-Kapelijev stav Kao ²to smo vidjeli ranije primjenom Kramerovog teorema mogu e je ispitivati saglasnost kvadratnih sistema linearnih jedna ina No, treba napomenuti da ovaj postupak moºe biti jako obiman jer je potrebno ra unati veliki broj poddeterminanti Takože ovaj postupak je ograni en isklju ivo na kvadratne sisteme U ovom odjeljku emo opisati postupak za ispitivanje saglasnosti pravougaonog sistema zasnovan na rangu matrice sistema i pro²irene matrice Teorem 35 Sistem (33) je saglasan ako i samo ako je rang(a) = rang(a B) = r Dodatno, ukoliko je ispunjena gornja relacija onda, (i) ako je r = n sistem ima jedinstveno rje²enje, (ii) ako je r < n sistem ima beskona no mnogo rje²enja Dokaz Za dokaz teorema koristit emo interpretaciju ranga matrice datu pomo u linearno nezavisnih kolona matrice datu u teoremu?? Prvo pretpostavimo da sistem ima rje²enje Neka je ono dato sa x 1 = α 1, x 2 = α 2,, x n = α n i neka je matrica sistema zapisana pomo u svojih kolona u obliku (??) Koriste i matri ni zapis sistema jedna ina i uvedene oznake slijedi da vrijedi α 1 K 1 + α 2 K 2 + + α n K n = B O igledno je B linearna kombinacija kolona matrice A, pa je rang(a B) rang(a) Kako se dodavanjem kolona nekoj matrici rang ne moºe smanjiti, to je rang(a) rang(a B) Slijedi da je rang(a) = rang(a B) Pretpostavimo da je sada rang(a) = rang(a B) = r Pokaºimo da je sistem saglasan, tj da ima rje²enje Jednakost iz pretpostavke implicira da je B zavisno od kolona matrice A, pa se moºe napisati u obliku linearne kombinacije kolona K 1,, K n, to jeste u obliku B = α 1 K 1 + α 2 K 2 + + α n K n, a ovo upravo zna i da su skalari α 1, α 2,, α n rje²enja posmatranog sistema Ovim je prvi dio teorema dokazan 13
34Kroneker-Kapelijev stav Doc dr Almasa Odºak Za dokaz drugog dijela primijetimo da iz pretpostavke da je rang(a) = rang(a B) = r, prema deniciji ranga, slijedi da u matrici sistema postoji subdeterminanta reda r razli ita od 0, odnosno da je r kolona matrice A linearno nezavisno Bez umanjenja op²tosti moºemo pretpostaviti da je to prvih r kolona U protivnom moºemo izvr²iti prenumerisanje varijabli Ostalih n r kolona se mogu napisati kao linearne kombinacije prvih r kolona Sli no vrijedi i za vrste, pa je posljednjih m r jedna ina sistema posljedica prvih r jedna ina, te se mogu odbaciti Po etni sistem se sada moºe napisati u obliku a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1r x r = b 1 a 1r+1 x r+1 a 1n x n a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2r x r = b 2 a 2r+1 x r+1 a 2n x n a r1 x 1 +a r2 x 2 + +a rr x r = b r a rr+1 x r+1 a rn x n (36) Sistem (36) je kvadratni sistem reda r i determinanta tog sistema je raºli ita od 0, pa primjenom Kramerovog metoda sistem (36) kao sistem od r varijabli ima jedinstveno rje²enje No, za r < n po etni sistem ima beskona no mnogo rje²enja, jer za svaki izbor varijabli x r+1, x r+2,, x n ima jedno rje- ²enje, pa je dokazana tvrdnja (i) Za n = r na desnoj strani sistema (36) nema varijabli, pa je jedinstveno rje²enja sistema (36) i jedinstveno rje²enje po etnog sistema Napomenimo da se pri prakti noj primjeni Kroneker-Kapelijevog teorema traºi rang pro²irene matrice svoženjem na trapezni oblik i pri tome se posljednja kolona matrice ne pomjera Trapezni oblik pro²irene matric daje nam i trapezni oblik matrice sistema, pa im je rang jednostavno odrediti Takodjer, trapezni oblik pro²irene matrice daje trapezni sistem koji je ekvivalentan po etnom sistemu, pa se on jednostavno rje²ava, kao i kod Gausovog sistema eliminacije Teorem 35 primijenjen na homogene sisteme daje nam jednostavan kriterij o egzistenciji netrivijalnih rje²enja homogenog sistema Naime, obzirom da je kolona slobodnih lanova homogenog sistema sastavljena samo od nula, to je uvijek rang matrice sistema i pro²irene matrice sistema jednak, pa je prema teoremu 35 sistem saglasan, kako smo ve i napomenuli Posljedica 36 Homogeni sistem AX = 0, A R m n rje²enje akko je r(a) < n ima netrivijalno 14