ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f μίας συνάρτησης f στο σημείο της Α(, f( )); Απάντηση Έστω f μια συνάρτηση και Α(, f( )) ένα σημείο της C f. Αν υπάρχει το lim f ( ) f ( ) και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Α(, f( )) είναι: y f ( ) ( ), lim f ( ) f ( ) A. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; Απάντηση Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει f ( ) g( ). Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γράφουμε f g. Α3. Έστω η συνάρτηση f() = ν, ν ϵ N-{, }. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ότι ισχύει: Απόδειξη, δηλαδή v. f v Αν είναι ένα σημείο του, τότε για ισχύει :
Οπότε: Δηλαδή: ( ν ) = ν ν Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη α. Αν Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. lim f ( ) ή, τότε lim f ( ). Σωστό (πρόταση του σχολικού βιβλίου στη σελίδα 78) 4 β. Αν f ( ) t dt, τότε f (3). Σωστό ( η παράγωγος της f είναι παντού αφού η f είναι σταθερή συνάρτηση, ως ορισμένο ολοκλήρωμα). γ. Μια συνάρτηση f είναι «-», αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία (παράλληλη στον ) τέμνει τη γραφική παράστασή της σε ένα τουλάχιστον σημείο. Λάθος ( όχι σε ένα τουλάχιστον σημείο αλλά σε ένα το πολύ σημείο). δ. Αν η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : f ( ) για κάθε. είναι γνησίως αύξουσα τότε υποχρεωτικά Λάθος (δεν ισχύει υποχρεωτικά, αφού π.χ. η συνάρτηση 3 f ( ), είναι γνησίως αύξουσα στο ενώ f ( ) 3, δηλαδή μπορεί και να μηδενίζεται σε κάποια σημεία). ε. Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f έχει στο οριζόντια ασύμπτωτη, τότε δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο. Σωστό (Αν έχει οριζόντια ασύμπτωτη την y a θα είναι lim f ( ) a. Τότε όμως f ( ) lim, οπότε ασύμπτωτη είναι πάλι η y a ). Εδώ προφανώς εννοεί «πλάγια ασύμπτωστη» ευθεία της μορφής y a με, όπως ορίζεται στο σχολικό βιβλίο στη σείδα 8.
ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f : Β. Να βρείτε το f (5). για την οποία ισχύει: fof ( ) f ( ) Β. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. Β3. Να βρείτε το f., για κάθε και f () 5. Β4. Να λύσετε την εξίσωση: ΛΥΣΗ f f 7. Β. Η σχέση ισχύει για κάθε, οπότε για έχουμε: Β. Έστω με, τότε έχουμε διαδοχικά: (επειδή η είναι συνάρτηση) και άρα: οπότε η είναι, και άρα αντιστρέφεται. Β3. Θέτουμε όπου το και έχουμε:. 3
Β4. Έχουμε: ή. Παρατήρηση: Κανονικά σε τέτοιου είδους ασκήσεις θα πρέπει εξ αρχής να βρούμε το πεδίο ορισμού της f,δηλαδή το σύνολο τιμών της f για να δούμε για ποια χορίζεται η εξίσωση., Αυτό δεν είναι πάντα εφικτό. Στην προκειμένη περίπτωση είναι D f. ΘΕΜΑ 3 ο Δίνονται οι συναρτήσεις, ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: Γ. Να δείξετε ότι α=. Γ. Αν g( e), να δείξετε ότι Γ3. Αν f g με g παραγωγίσμιμη στο, f ( ) ( a) με a, f ( ) για κάθε και g ( )ln g( ), για κάθε g( ) ln g( ) (ln ) σε όλο το διάστημα,, για κάθε,, για τις οποίες. i) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική τιμή, για την οποία η διαφορά f ( ) g( ) γίνεται ελάχιστη. ii) Να αποδείξετε όι υπάρχει μοναδικό ζεύγος σημείων Μ, Ν με M, f ( ) γραφικής παράστασης C της f και N f, g( ) της g με,, στα οποία οι C και f σημεία Μ και Ν αντίστοιχα. σημείο της σημείο της γραφικής παράστασης C g C g δέχονται παράλληλες εφαπτομένες στα 4
Γ4. i) Να υπολογίσετε το όριο lim g( ) f ( ) ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις C και f ΛΥΣΗ C g των f και g αντίστοιχα και των ευθειών, e. Γ. Έχουμε: f ( ) f ( ) f ( ) f (), για κάθε Άρα η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο (ολικό ελάχιστο) στο σημείο, το οποίο είναι εσωτερικό σημείο του. Επιπλέον, η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με f ( ) a,. Επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα του Fermat, θα είναι: f () Παρατήρηση: Θα πρέπει να επαληθεύσουμε την ευρεθείσα τιμή, αφού το αντίστροφο του Θεώρηματος του Fermat δεν ισχύει. Έχουμε: Για η συνάρτηση f γίνεται: Παρατηρούμε ότι Γ. Για κάθε, f ( ) ( ), f ( ) f (), για κάθε. Επομένως η τιμή α= είναι δεκτή. έχουμε διαδοχικά: g( ) g( ) g ( )ln g ( ) ln g ( ) ln ln g( ) g ( )ln ln g( ) g( ) ( ) ln ln ( ) 4 g g ln ln g( ) Επομένως, υπάρχει σταθερά c, ώστε να ισχύει c ln,,. Για e είναι: g( e) e c c ln e Επομένως: g( ) ln Γ3. i) Θεωρούμε τη συνάρτηση: g( ) ln,,, η οποία είναι συνεχής στο K( ) f ( ) g( ) ln,,,. 5
Θα βρούμε το ελάχιστο της K( ). Η συνάρτηση K( ) είναι παραγωγίσιμη στο, (ώς άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, ) με: Θεωρούμε, επίσης, τη συνάρτηση ln K ( ) ln, ( ) ln, η οποία είναι συνεχής στο,. (Οι ρίζες και το πρόσημο της συνάρτησης K( ) είναι όμοια με τις ρίζες και το πρόσημο αντίστοιχα της συνάρτησης ( ) ). Η συνάρτηση ( ) άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, ) με,. Άρα η συνάρτηση ( ) διάστημα,, οπότε: είναι παραγωγίσιμη στο, (ώς ( ), για κάθε είναι γνησίως αύξουσα στο, lim ( ), lim ( ),, αφού lim ( ) lim ln lim ( ) lim ln Επειδή,, υπάρχει, Έχουμε: Άρα η συνάρτηση Κ() είναι:,, άρα και στο τέτοιο, ώστε ( ) K ( ). ( ) ( ) ( ) K ( ) ( ) ( ) ( ) K ( ) Γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, ] (στο είναι συνεχής) και Γνησίως αύξουσα στο διάστημα, Η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης Κ φαίνονται στον επόμενο πίνακα μεταβολών. K () - + K() Ολ. Ελ 6
Επομένως, η συνάρτηση K( ) f ( ) g( ) παρουσιάζει ένα μόνο ελάχιστο (ολικό) στο,. ii) Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει μοναδικό ξ, Η συνάρτηση K( ) f ( ) g( ) έχει ακρότατο στο,, (ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο K ( ) f ( ) g ( ) τέτοιο, ώστε f ( ) g ( )., ) με:,,. και είναι παραγωγίσιμη στο Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat, θα είναι: Το K ( ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) είναι μοναδικό, ως μοναδική ρίζα της συνάρτησης του ερωτήματος (Γ3i) (αφού η είναι γνησίως αύξουσα στο, ), άρα και μοναδική ρίζα της συνάρτησης K. Γ4. i) Έχουμε διαδοχικά: I lim lim lim g( ) ln ln f ( ) ( )( ) ln ( )( ) lim Θα βρούμε ξεχωριστά τα παραπάνω όρια. Με χρήση του κανόνα του de l Hospital για τα παραπάνω όρια έχουμε: ( )ln( ) u lim lim e lim e, ό u ( ) ln( ) u u lim lim e e uu uu ln( ) lim ( ) ln( ) lim lim lim u lim lim ( ό u, ό u ) u u ln ln ln lim lim lim 3 ( )( ) 3 7
Επομένως: I lim( ) ln lim lim ( )( ) ii) Το εμβαδόν του ζητούμενου χωρίου Ω είναι:, όπου e e e e ( ) ( ) ( ) ( ) ln f g d K d K d d e e 3e 4 d d ln d J e J J ( V ) 3 3 3 3 3 e 3 3 e e e e J e ln d. Τώρα για το J έχουμε: e e e e e J ln d ln d ln ln d e ln d e e e e e e ( ) ln d e ln d e e d e e e e Επομένως, από τη σχέση (V), έχουμε τελικά:, δηλαδή ΘΕΜΑ 4 ο 3 3 3 3 3 4 3 4 3 4 3 6 6 e e J e e e e e e e e 3 3 3 3 3 e 6e τ.μ 3 Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο, με συνεχή πρώτη παράγωγο για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: f ( ) f ( ), για κάθε και f ( ), για κάθε Δ. Να βρείτε την μοναδική ρίζα της εξίσωσης f ( ) Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε Δ3. Έστω η συνάρτηση f ( ) g( ), f ( ) f ( ) f () Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g, στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα, σχηματίζει με αυτόν γωνία Δ4. i) Να αποδείξετε ότι f ( ) d 45. 8
Δίνεται επιπλέον ότι f ( ) d καθώς και ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο. ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε(Ω) του χωρίου που περικλείεται παράσταση της f και τις ευθείες Δ5. i) Να υπολογίσετε την παράσταση: ΛΥΣΗ ii) Nα βρείτε το όριο:,. f ( ), όπου K( ) f ( ) d f ( ) d lim K( ) ln f ( ) e από τη γραφική Δ. Aφού η f είναι συνεχής και f ( ) για κάθε, η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, δηλαδή f ( ) για κάθε ή f ( ) για κάθε. Eπομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο, αντίστοιχα. Aπό την σχέση f ( ) f ( ), για Άρα ρίζα της εξίσωσης f ( ) είναι η f είναι γνησίως μονότονη άρα και «-». Δ. Για τη συνάρτηση f ισχύουν: είναι συνεχής στο, και είναι παραγωγίσιμη στο, έχουμε: f f f f, η οποία είναι μοναδική διότι η συνάρτηση Άρα, από το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού, στο διάστημα, προκύπτει ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε: f () f () f ( ) f ( ) f () f () f ( ) f () f () f ( ) f () (γιατί για από την σχέση f ( ) f ( ) έχουμε f () f () f () f () ). 9
ος τρόπος: Αποδεικνύεται και με την εφαρμογή του θεωρήματος του Rolle για την συνάρτηση K( ) f ( ) f (),, προϋποθέσεις του. Δ3. Για το σημείο, ( ), αφού στο διάστημα [,] πληρούνται οι A g στο οποίο η g τέμνει τον άξονα έχουμε: f ( ) g( ) f ( ) f ( ) f, αφού η f είναι συνάρτηση «-» ( ) Άρα f A, g Για να αποδείξουμε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης C g της συνάρτησης g, στο σημείο A, g σχηματίζει με τον άξονα γωνία 45 πρέπει να αποδείξουμε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο με g. Έχουμε: f ( ) g( ) g f ( ) f f ( ) f ( ) lim lim lim lim f ( ) f ( ) f ( ) f lim lim f ( ) f f Αφού: f ( ) f lim f ή f ( ) και f lim f, δηλαδή g Επομένως, g 45 Δ4 i) Έχουμε ότι:, όπου f ( ) f ( ) f ( ) d f ( ) d I I () I f ( ) d και ( ). Για το ολοκλήρωμα I f d I έχουμε: u u d du Θέτουμε:, οπότε έχουμε: u u Η παραγώγιση της συνάρτησης g γενικά από τον τύπο της δεν είναι δυνατή, αφού αυτό απαιτεί η f να είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, το οποίο όμως δεν είναι δεδομένο αλλά ούτε προκύπτει ως συνέπεια των δεδομένων.
I f ( ) d f ( u) du f ( u) du f ( ) d I Επομένως, από τη σχέση (), έχουμε: ii) Είναι I I I I I f ( ) d f ( ) d f () f () ( I ) από την σχέση f ( ) f ( ), για έχουμε f () f () ( II) Από τις σχέσεις (Ι) και (ΙΙ), προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε f () f (). Το ζητούμενο εμβαδόν του χωρίου Ω είναι f ( ) d. Θέτουμε: f ( ) u f ( u) d f ( u) du f ( u) f ( u) f () u f ( u) f ( u) f () u Επομένως, έχουμε διαδοχικά: (αφού η f είναι «-») f ( ) d u f ( u) du ( ) u f u du uf ( u) f ( u) du f (), δηλαδή τ.μ. Δ5. i) Θέτουμε ξανά: και έχουμε: f u f u d ( ) ( ) f ( u) du u f u ύ f () ( ) f ( ) u f f ( ) u f ( ) K( ) f ( ) d f ( ) d f ( ) d uf ( u) du f ( ) d uf ( u) f ( u) du f ( ) f f ( ) f f ( ) ii) Με επαναλαμβανόμενη χρήση του κανόνα του de l Hospital έχουμε διαδοχικά:
( ) ln f ( ) ln ln ln lim lim lim lim lim lim f ( ) e f ( ) e e e e e Επεξεργασία λύσεων: www.mathp.gr Συντονιστής: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος