Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. α. Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισµένες σε ένα διάστηµα. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f () g () για κάθε εσωτερικό σηµείο του, να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: f () g() c β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () ν, ν IN{, } είναι παραγωγίσιµη στο IR και ισχύει: f () ν ν ΜΟΝΑ ΕΣ 5 Β. Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z, z. Να χαρακτηρίσετε καθεµιά από τις επόµενες προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λανθασµένη (Λ): α. Η διανυσµατική ακτίνα του αθροίσµατος των z και z είναι το άθροισµα των διανυσµατικών τους ακτίνων. ΜΟΝΑ ΕΣ β. Είναι: z z z z γ. Είναι: z z z z z z ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ ÈÅÌÁÔÁ 8 δ. Η εξίσωση z z z z µε z z παριστάνει τη µεσοκάθετο του τµήµατος µε άκρα τα σηµεία Α(z ) και Β(z ). ΜΟΝΑ ΕΣ
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 Γ. Έστω η συνάρτηση F() f(t) dt, όπου f η συνάρτηση του διπλανού σχήµατος που η γραφική της παράσταση αποτελείται από τα ευθύγραµµα τµήµατα ΟΑ και ΑΒ. Το εµβαδό του γραµµοσκιασµένου χωρίου Ω είναι Ε(Ω) 36 τ.µ. Να συµπληρώσετε τις ισότητες: α. F() β. F(4) γ. F() ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f µε ηµ λ, αν > f() µε λ, µ IR (µ ), αν α. Να βρείτε την τιµή του λ, ώστε η f να είναι συνεχής. Ο 4 ÈÅÌÁÔÁ 8 y 4 A Ω B β. Να βρείτε την τιµή του µ, ώστε η f να είναι παραγωγίσιµη στο. ΜΟΝΑ ΕΣ 8 γ. Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι -. δ. Για λ και µ, να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα f() d. ΘΕΜΑ 3 ο ίνεται η συνάρτηση f µε f () e e, IR. α. i. Να την µελετήσετε ως προς την µονοτονία. π ΜΟΝΑ ΕΣ 3 ΜΟΝΑ ΕΣ 8 ΜΟΝΑ ΕΣ 4 e ii. Να αποδείξετε ότι f () (e ) e, να µελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε το σηµείο καµπής της γραφικής της παράστασης. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 β. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ. Να παραστήσετε γραφικά την f. ΜΟΝΑ ΕΣ 4 δ. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f (), τους άξονες, y y και την ευθεία ln.
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 3 ΘΕΜΑ 4 ο Οι συναρτήσεις f, g: IR IR είναι συνεχείς και για κάθε πραγµατικό αριθµό ισχύουν: Να αποδείξετε ότι: f(t) dt g(t) dt () και g() () α. Η f είναι παραγωγίσιµη στο και f () g() β. g() < για κάθε IR γ. f(t) dt f(t) dt για κάθε IR ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 7 δ. H εξίσωση f () g() έχει τουλάχιστον µια ρίζα στο διάστηµα (, ). ΜΟΝΑ ΕΣ 7 ÈÅÌÁÔÁ 8 3
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. Βλέπε Πόρισµα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου. β. Βλέπε σελίδα 4 σχολικού βιβλίου. Β. α. (Σ), β. (Σ), γ. (Σ), δ. (Σ). Γ. α., β. 8, γ. 44 ΘΕΜΑ ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ α. Η f είναι συνεχής για <, ως πολυωνυµική και για >, ως άθροισµα της τριγωνοµετρικής ηµ µε την σταθερή c() λ. Στο έχουµε: f() (ηµ λ) λ f() ((µ ) ) Ακόµα f(). Για να είναι η συνάρτηση συνεχής στο πρέπει και αρκεί: f() f() f() λ Εποµένως, η ζητούµενη τιµή είναι λ. β. Για > έχουµε: Για < έχουµε: f() f() ηµ λ ηµ ηµ ÈÅÌÁÔÁ 8 f() f() (µ ) (µ ) µ Για να είναι η συνάρτηση παραγωγίσιµη στο πρέπει και αρκεί: f() f() f() f() µ µ Εποµένως, η ζητούµενη τιµή είναι µ. γ. Είναι π.χ. f (π) f(π) λ, άρα η συνάρτηση δεν είναι.
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 δ. Είναι ηµ, f(), αν > αν και π ΘΕΜΑ 3 ο π f() d f() d f() d ( ) d α. i. Για κάθε IR είναι : e f () (e )' ( e [ συν ] π π )' e e e e e e π (ηµ ) d e Επειδή e e > είναι f () < στο IR, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο IR ii. Για κάθε IR είναι: f () ( e e )' ( e )' e e ( e ) e e (e e ÈÅÌÁÔÁ 8 ) e Έτσι:f () (e ) e e e e και f () > >, f () < < H f είναι συνεχής στο IR µε f () < στο διάστηµα (, ), άρα στρέφει τα κοίλα κάτω στο διάστηµα (, ]. Ακόµα είναι f () > στο διάστηµα (, ), άρα η f στρέφει τα κοίλα άνω στο [, ). Τέλος, η συνάρτηση έχει σηµείο καµπής το (, f ()), γιατί εκατέρωθεν του αλλάζει κυρτότητα και υπάρχει η εφαπτοµένη της γραφικής της παράστασης σ αυτό, αφού είναι παραγωγίσιµη. Είναι f () e e έτσι, η συνάρτηση έχει σηµείο καµπής το (, ). β. Θα βρούµε, αν υπάρχουν, τα όρια: e e f() (e ) και f() (e ) Θέτουµε u e οπότε: Τότε είναι: u (- e ) και u (- e ) - και -e f() (e ) e u u
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 3 f() (e e u ) (e ) e Εποµένως, η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει οριζόντια ασύµπτωτη την y στο και την y e στο. u γ. Με βάση τις πληροφορίες των προηγουµένων ερωτηµάτων σχεδιάζουµε την γραφική παράσταση της συνάρτησης: y e δ. Στο α ερώτηµα βρήκαµε f () <, οπότε f () f () και έτσι: E f ' () d f ' () d ln e ΘΕΜΑ 4 ο e ln / e e e [ ()] ln ln τµ f f() f ln α. Επειδή οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς, οι συναρτήσεις f(t) dt και g(t) dt, που ορίζονται από ολοκλήρωµα, είναι παραγωγίσιµες, έτσι µπορούµε να παραγωγίσουµε και τα δύο µέλη της (), οπότε έχουµε: ( f(t) dt )' ( g(t)dt)' ÈÅÌÁÔÁ 8 ή f () g() g(t) dt (3) Για παίρνουµε: f () Με από την (3) έχουµε: και: y Ο y e f() y g(t) dt g() g(t)dt f () f () e f () 3
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 4 f() g() g(t)dt Επειδή η g είναι συνεχής στο IR, άρα και στο, είναι g( ) g(). Η συνάρτηση h(), οπότε: Εποµένως, το όριο: g(t) dt, IR, είναι παραγωγίσιµη, άρα είναι συνεχής στο g(t)dt h() h() g(t)dt g(t)dt είναι µορφή / και υπολογίζεται µε τον κανόνα του De L Hospital: Έτσι: οπότε, τελικά: g(t)dt ( f() g() g(t)dt)' g() g() ()' g(t)dt g() f() f() f() f '() g() β. H () για δίνει g(t) dt (4) Επειδή η g() δεν µηδενίζεται και είναι συνεχής στο IR διατηρεί πρόσηµο σ αυτό. Αν ήταν g() > τότε g(t)dt > > Άτοπο. Άρα είναι g() <, για κάθε IR. γ. H () για δίνει f(t) dt f(t) dt (5) Είναι g() < g() > για κάθε IR, έτσι: ÈÅÌÁÔÁ 8 µε είναι [ g(t)]dt g(t)dt, άρα: g(t) dt µε < είναι [ g(t)]dt > g(t)dt >, άρα: g(t) dt < Εποµένως, για κάθε IR από την () είναι: g(t) dt f(t) dt 4
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 5 f(t) dt [ f(t) dt από (5)] f(t) dt f(t) dt ος τρόπος: Έστω η συνάρτηση F() f(t) dt, IR για την οποία F () f (). Από την (3), αφού g() <, βρίσκουµε: µε > είναι f () g() g(t) dt < F () < µε είναι f () F () µε < είναι f () g() g(t) dt > F () > οπότε η F() έχει µέγιστο το F(), άρα για κάθε IR : F() F() f(t) dt f(t) dt δ. (Απόδειξη µε Rolle σε αρχική). Θεωρούµε την συνάρτηση: Η() f(t) dt g(t)dt µε [, ] Επειδή οι f, g είναι συνεχείς, οι συναρτήσεις f(t) dt και g(t) dt ως οριζό- µενες από ολοκλήρωµα, είναι παραγωγίσιµες. Ακόµα η είναι παραγωγίσιµη, ως πολυωνυµική, άρα η Η(), ως αλγεβρικό άθροισµα παραγωγίσιµων συναρτήσεων, είναι: Παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της, άρα και στο (, ) µε Η () f () g() συνεχής στο [, ], ως παραγωγίσιµη σ αυτό. Ακόµα: Η() και Η() f(t) dt g(t)dt f(t) dt g(t)dt () [ από (4) και (5) ] Εποµένως, εφαρµόζεται για την Η() το θεώρηµα του Rolle, οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, ) µε ÈÅÌÁÔÁ 8 Η (ξ) f (ξ) g(ξ) f (ξ) g(ξ), που σηµαίνει ότι το ξ είναι ρίζα στο (, ) της εξίσωσης f () g(). 5