SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

Ihodi učenja: Predavanje Modelovanje SAU-a Nakon avladavanja gradiva a ovog predavanja tudenti će moći da: v Klaifikuju ignale i iteme prema različitim kriterijumima v Prepoznaju da diferencijalne jednačine mogu da modeluju dinamiku fizičkih itema v Linearizuju nelinearni item razvojem u Tejlorov red v Razumiju primjenu Laplaove tranformacije i njenu ulogu kod linearnih itema v Razumiju ulogu blokova dijagrama ili dijagrama tokova ignala u analizi itema v Shvate značaj modelovanja u proceu dizajna SAU-a

Klaifikacija ignala Signali u SAU: Prenoe informacije a jednog itema na drugi Vremenki promjenljiva fizička veličina koja noi neku informaciju Determinitički ignali Slučajni (tohatički) ignali Opiuju e nekom matematičkom funkcijom Napon, pozicija, brzina, temperatura u primjeri determinitickih ignala Opiuju e funkcijom rapodjele vjerovatnoće Šumovi i neke vrte poremećaja predtavljaju lučajne ignale 3

Klaifikacija ignala Kontinualni Dikretan po amplitudi Definian u vakom trenutku vremena i može imati bilo koju vrijednot amlitude Dikretan po vremenu Definian u vakom trenutku vremena i može imati određene vrijednoti amlitude Dikretan po amplitudi i vremenu Definian u određenim trenucima vremena i može imati bilo koju vrijednot amlitude Definian u određenim trenucima vremena i može imati određene vrijednot amlitude 4

Klaifikacija itema KRITERIJUM VRSTA SISTEMA Broj ulaznih i izlaznih promjenljivih SISO MIMO Vremenka zavinot promjenljivih Statički Dinamički Protorna zavinot promjenljivih Sa koncentrianim parametrima Sa ditribuiranim parametrima Neprekidnot promjenljivih Kontinualni Dikretni Veze između promjenljivih Linearni Nelinearni Vremenka zavinot parametara Stacionarni Netacionarni Vremenka uzročnot promjenljivih Kauzalni Nekauzalni 5

Klaifikacija itema SISO Sa jednim ulazom i jednim izlazom (Single-Input and Single-Output) MIMO Sa više ulaza i izlaza (Multiple-Input and Multiple-Output) Statički (bez memorije): izlaz u trenutku t zavii amo od ulaza u trenutku t opiuju e običnim jednačinama Primjer: kolo a otpornicima Dinamički (a memorijom): izlaz u trenutku t zavii od prošlih vrijednoti izlaza Opiuju e diferencijalnim jednačinama Primjer: RLC kolo 6

Klaifikacija itema Stacionarni (vremenki invarijantni) Matematički e opiuju diferencijalnim jednačinama a kontantnim koeficijentima Netacionarni (promjenljivi u vremenu) Matematički e opiuju diferencijalnim jednačinama a promjenljivim koeficijentima Primjer: avion čija e maa mijenja uljed potrošnje goriva Kauzalni: izlaz u trenutku t zavii amo ulaza u trenutku t, kao i od ulaza u prethodnim trenucima Svi itemi u realnom vremenu u kauzalni Nekauzalni: Ne mogu e hardverki realizovati Moguće je obrađivati buduće podatke ako u ačuvani u memoriji 7

Klaifikacija itema Sitemi a koncentrianim parametrima: Matematički e opiuju običnim diferencijalnim ili diferencnim jednačinama Promjenljive itema zavie amo od vremena Drugim riječima, u vim tačkama itema ulaz djeluje itovremeno Primjer: RLC kolo Sitemi a ditribuiranim parametrima: Matematički e opiuju parcijalnim diferencijalnim jednačinama Promjenljive itema zavie od vremena i protornih koordinata Primjer: zvučni ili elektromagnetni talai 8

Klaifikacija itema Kontinualni itemi: Matematički e opiuju diferencijalnim jednačinama x(t) Kontinualni item Sitem y(t) y( t) y( t) x( t) Dikretni itemi: Matematički e opiuju diferencnim jednačinama x(t) D/A x(nt) Dikretni item Sitem y(nt) A/D y(t) y(( n ) T ) ( T ) y( nt ) Tx( nt ) 9

Klaifikacija itema x(t) Kontinualni item Sitem y(t) xt () yt () x(t) D/A x(nt) Dikretni item Sitem y(nt) A/D y(t) xt () x( nt ) y( nt ) yt () 0

Kontinualni LTI itemi U ovom kuru e bavimo: v Kontinualnim v Linearnim jer u jednotavni za njih je razvijena opšta teorija potoje metode za linearizaciju nelinearnih itema v Vremenki invarijantim v Kauzalnim itemima Kod većine itema e može matrati da u parametri nepromjenljivi SAU u real-time itemi v Sa koncentrianim parametrima SAU najčešće ima koncentriane parametre

Klaifikacija itema Linearni itemi: Opiuju e homogenim diferencijalnim jednačinama Važe principi uperpozicije i homogenoti Sitem je linearan ako je: odziv itema na ax(t) jednak ay(t), pri čemu je y(t) odziv itema na x(t) (homogenot) odziv itema na x (t)+x (t) jednak y (t)+ y (t), pri čemu u y (t) i y (t) odzivi itema na x (t) i x (t), repektivno (uperpozicija) Nelinearni itemi: Ne važe principi uperpozicije i homogenoti U praki itemi najčešće potaju nelinearni za velike vrijednoti ulaznih ignala

Klaifikacija itema Klaifikovati kontunualne iteme opiane ljedećim jednačinama: a) b) c) d) e) f) g) y t u t ( ) ( ) y( t) y( t) y( t) u( t) y t y t y t u t ( ) ( ) ( ) ( ) y( t) y( t) u( t) y( t) ty( t) y( t) u( t) y( t) in( t) y( t) u( t) y( t) u( t) 3

Klaifikacija itema Rješenje tavke a) y(t) = au (t) Odziv itema na ignal au(t) je jednak a u (t), odnono različit od au (t) Kako nije ipunjen ulov homogenoti, zaključujemo da je item je nelinaran Sitem je vremenki invarijantan, jer u koeficijenti koji množe promjenljive kontantni (ne zavie od vremena) 3 Sitem je tatički jer izlaz u trenutku t zavii amo od trenutne vrijednoti ulaza 4 Sitem je kauzalan jer odziv u tekućem trentuku vremena ne zavii od budućih vrijednoti ulaznog ignala 5 Sitem ima koncentriane parametre, jer oni ne zavii od protornih koordinata (koficijenti koji promjenljive) 4

Modeli itema Modelovanje komponenti itema je prvi korak u analizi i dizajnu SAU-a Modele itema možemo podijeliti u više kategorija: Vrte modela Matematički modeli Softverki model 3 Grafički modeli 4 Mentalni modeli Kreiranje matematičkih modela Fizičko modelovanje Identifikacija 3 Kombinovano Fizičko modelovanje podrazmijeva direktnu primjenu fizičkih zakona na pomatrani item ili komponente itema Kod ovog tipa modelovanja nije potrebno raditi ekperimente na itemu, ali je potrebno poznavati parametre itema (otpornot, maa, itd) Identifikacija podrazumijeva pretpotavku, odnono uvajanje nekog matematičkog modela itema Najčšeće e nimaju ulazi i izlazi realnog itema, na onovu kojih e identifikaju parametri uvojenog modela 5

Različite reprezentacije itema Linearni vremenki invarijanti itemi e mogu modelovati na više načina: v v v v Obične diferencijalne jednačine višeg reda (ODE) Model u protoru tanja (SS model) Prenona funkcija (TF model) Strukturni blok dijagram (SBD model) U vremenkom domenu LTI itemi e opiuju diferencijalnim jednačinama a kontantim koeficijentima, direktnom primjenom fizičkih zakona na pomatrani item Uvođenjem odgovarajućih mjena, diferencijalne jednačine višeg reda e mogu zapiati u vidu itema jednačina prvog reda, na taj način dobijajući model itema u protoru tanja Pored vremenkog domena, LTI itemi e mogu modelovati u -domenu, pomoću funckcije prenoa, ili trukturnog blok dijagrama, kod kojeg e item i tokovi ignala u njemu detaljnije prikazuju odgovarajućim blokovima 6

Diferencijalne jednačine višeg reda U opštem lučaju LTI item e može modelovati običnom diferencijalnom jednačinom n-tog reda a kontantnim koeficijentima: n n m m d y d y dy d u d u du n 0 m n n m m 0 a a a y b b b u dt dt dt dt dt dt ODE model U gornjoj jednačini y(t) predtavlja izlaz, a u(t) ulaz itema Sa dene trane jednačine mogu figuriati izvodi ulaznog ignala do m-tog reda, pri čemu, za kauzalan item važi da je m n Ovakav način modelovanja nije praktičan za opštu analizu itema, pa e iz toga razloga uvodi kocept modelovanja u protoru tanja 7

Primjer - ODE Tranlatorni mehanički item F m mx Bx kx Model item e dobija primjenom Njutnovih zakona dinamike Inercijalna ila, ila trenja i ila elatičnoti e opiru kretanju tijela m x + B x + kx = F ODE model 8

Primjer - ODE Rotacioni mehanički item J B k Model item e dobija primjenom Njutnovih zakona dinamike Inercijalna ila, ila trenja i ila elatičnoti e opiru kretanju tijela J θ + B θ + kθ = τ ODE model 9

Primjer 3 - ODE Električni item R L C u(t) Model električnog itema e dobija primjenom Kirhofovih zakona Red diferencijalne jednačine zavii od broja kondenzatora i kalemova + di t u Ri L i( t) 0 dt C 0 Lq Rq q u ODE model C 0

Analogije između električnih i mehaničkih veličina

Model u protoru tanja (State Space, SS) Model u protoru tanja predtavlja item diferencijalnih jednačina prvog reda kojima e opiuje dinamika itema Za kontinualne iteme: x( t) f ( x( t), u( t), t) y( t) g( x( t), u( t), t) SS model U opšem obliku itemi u nelinearni a vremenki promjenljivim koeficijentima Za kontinualne linearne vremenki invarijante iteme (LTI): x( t) Ax( t) Bu( t) y( t) Cx( t) Du( t) SS model Kod LTI itema e može korititi jednotavniji zapi Koncept protora tanja e odnoi na opiivanje dinamike itema minimalnim brojem varijabli koje e zovu promjenljive tanja, na takav način da odziv itema u poptunoti definian za bilo koji ulazni ignal Za razliku od funkcije prenoa, ovaj način modelovanja daje mogućnot uvid u ve promjenljive itema, a ne amo u izlaz itema

p np n n p p n nn n n n n n u u u b b b b b b b b b x x x a a a a a a a a a x x x Model u protoru tanja 3 Generalna forma LTI itema u protoru tanja SS model ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t x Ax Bu y Cx Du A B () t x () t x () t u jednačine tanja izlazne jednačine Jednačine tanja i izlazne jednačine e zapiuju u matričnom obliku Ovakav zapi je pogodiniji za matematičku analizu i imulaciju itema Promjenljive tanja nekad mogu imati amo matematički miao

Primjer redno RLC kolo (I) ODE jednačina koja opiuje RLC kolo: Lq Rq q u C Svaka diferencijalna jednačina n-tog reda e može veti na n dif jednačina prvog reda, uvođenjem odgovarajućih mjena: x x q q x q x x q Uvrštavanjem uvedenih promjenljivih u polaznu jednačinu dobija e model itema u protoru tanja 0 0 x x R x x LC L L x y 0 R 0u x u SS model 4

Primjer redno RLC kolo (II) Kod elektičnih itema potoji konvencija da e za promjenljive tanja uvajaju naponi na kondenzatorima i truje kroz kalemove Ovo vodi ka jednotavnijem definianju modela u protoru tanja Za promjenljve tanja ćemo uvojiti truju i L i napon u c Treba pronaći: i u u RiL LiL uc 0 i i Cu C L c y Ri L f ( i, u, u) L L c f ( i, u, u) c L c y f ( i, u, u) L c R il i L L L L u C u C 0 0 C il y R 0 0u u C u SS model 5

Primjer DC motor Model DC motora je prikazan na lici Namotaji motora imaju otpornot R i induktivnot L Moment inercije vratila je J, dok je koeficijent trenja b Uljed okretanja motora na namotajima e indukuje kontra elektromotorna ila e koja je proporcionalna brzini okretanja vratila (e = k e ω) Obrtni moment koji rotira vratilo je proporcionalan truji kroz namotaje (τ=k t i) Diferencijalne jednačine koje opiuju dati item imaju ljedeći oblik: J b k i di L Ri u ke dt t u(t) + R i(t) L + e(t) M, 0 0 0 d 0 b / J k / J 0 u dt i 0 k / L R / L i / L y 0 0 SS model i b J 6

Modelovanje pomoću funkcije prenoa (TF) U opštem lučaju LTI item e opiuje diferencijalnom jednačinom: n n m m d y d y dy d u d u du n 0 m n n m m 0 a a a y b b b u dt dt dt dt dt dt Funkcija prenoa e definiše kao odno izlaznog i ulaznog ignala, pri nultim početnim ulovima Koriteći oobinu izvoda, gornja jednačina e može prebaciti u -domen: ( a a a ) Y ( ) ( b b b ) X ( ) n n m m n 0 m 0 Funkcija prenoa je jednaka: G () m b b b n a a a m m 0 n n 0 ODE model TF model 7

Prelazak iz SS u TF domen Na ličan e može naći veza između modela u protoru tanja i funkcije prenoa: x( t) Ax( t) Bu( t) y( t) Cx( t) Du( t) X( ) - x(0 ) AX( ) BU( ) Y( ) CX( ) DU( ) X I A BU ( ) ( ) ( ) Y C I A B DU Y( ) G( ) X( ) ( ) ( ) ( ) G( ) C( I A) B D Oobina prvog izvoda Voditi računa da e radi o matričnoj jednačini SS model TF model 8

Tabela Laplaovih tranformacija n0 f(t) F() () t ht () ( t nt) t t n t n! e T 3 n at e a e e f(t) F() at te ( a) e at a ( a ) in( t) at in( t) co( t) at ( a) co( t) a ( a) 9

Oobine Laplaove tranformacije Oobina Definicija Ilutracija L f ( t) F( ) t F( ) f ( t) e dt 0 Af ( t) Bf ( t) L AF ( ) BF ( ) Linearnot Prvi izvod Drugi izvod n th izvod Integral Množenje a vremenom d f t df () t L F( ) f (0 ) dt () L ' F( ) f (0 ) f (0 ) dt n n d f () t L n ni ( ni) F( ) f (0 ) dt t 0 i L f ( t) dt F( ) L df() tf ( t) F( ) d Oobina Vremenki pomjeraj Komplekni pomjeraj Vremenko kaliranje Ilutracija L a f ( t a) h( t a) e F( ) at L f ( t) e F( a) t L f af( a) a Konvolucija f( t)* f( t) L F ( ) F ( ) Teorema o početnoj vrijednoti Teorema o krajnjoj vrijednoti lim f ( t) lim F( ) t0 lim f ( t) lim F( ) t 0 30

Oobine funkcije prenoa Nek od oobina funkcije prenoa u pobrojane ipod: Primjenjiva ja amo na linearne vremenki invarijantne iteme Izvedena je za nulte početne ulove 3 Funkcija prenoa e može definiati i kao Laplaova tranformacija impulnog odziva itema 4 Prikazuje amo vezu između ulaza i izlaza, pa u neke bitnije informacije unutar itema nevidljive 5 Uprošćava matematičku analizu itema: diferencijalne jednačine e vode na algebarke, konvolucija predtavlja množenje blokova u domenu, itd 3

Primjer DC motor J b k i di L Ri u ke dt t ODE model 0 0 0 d 0 b / J k / J 0 u dt i 0 k / L R / L i / L y 0 0 SS model i u(t) + R i(t) Diferencijalne jednačine u -domenu imaju oblik: L ( J b) ( ) kti( ) + e(t) ( L R) I( ) U k ( ) e M, b J () kt G () U ( ) ( L R)( J b) k k TF model e t Funkcija prenoa e dobija rješavajući gornji item jednačina ili koriteći vezu između prenone funkcije i modela u protoru tanja 3

Strukturni blok dijagram Jedan način modelovanja je trukturni blok dijagram, pomoću kojeg e prikazuju komponetne itema i njihove međuobne veze, odnono tokovi ignala među komponentama Svaka komponenta itema e modeluje odgovarajućom funkcijom prenoa, koja e određuje na onovu diferencijlanih jednačina kojima e opiuje dinamičko ponašanje itema Za razliku od funkcije prenoa koja daje informaciju o vezi između ulaza i izlaza, trukturni blok dijagram pruža deteljnije informacije o unutrašnjoj trukturi itema Na narednim predavanjima biće objašnjen potupak vođenja trukturnog blok dijagrama na onovnu trukturu (funkciju prenoa) 33

Primjer DC motor J b k i di L Ri u ke dt t ODE model 0 0 0 d 0 b / J k / J 0 u dt i 0 k / L R / L i / L y 0 0 SS model i u(t) + ( J b) ( ) kti( ) ( L R) I( ) U k ( ) R i(t) L + e(t) M, b () kt G () U ( ) ( L R)( J b) k k e TF model J e t U() - L R k t I () T() J b () () SBD model k e 34

Različite reprezentacije itema ODE model SS model TF model SBD model Dikutovano na predavanjima Na nekom od ljedećih predavanja 35

Linearizacija itema v v v Veliki broj fizičkih itema ima nelinearnu prirodu Matematički linearizacija znači pronalaženje linearne aprokimacije funkcije u okolini neke tačke df ( x) f ( x) f ( x) ( x x) tariji članovi dx x Kod dinamičkih itema linearizacije e najčešće vrši u okolini tacionarne tačke (ekvilibrijuma) koja e dobija izjednačavanjem izvoda a nulom (izvod od kontante je jednak nuli) 36

Jednačina a jednom promjenljivom x f ( x), x(0 ) xp Funkcija f(x) može biti razvijena u Taylor-ov red u okolini tacionarne tačke x (radna tačka): df ( x) f ( x) f ( x) ( x x) tariji članovi dx x Vrijednot izvoda funkcije f(x) u tački x Stacionarna tačka x e dobija izjednačavanjem izvoda a nulom: x f ( x ) 0 37

Jednačina a jednom promjenljivom 0 a df ( x) x f ( x) ( x x) dx x a( x x ) Kako je izvod od kontante jednak nuli, može e zapiati: x dx() t dt d( x x) dt a( x x ) Na najčešće zanima devijacija itema od tacionarnog tanja: df ( x) xˆ axˆ, xˆ (0 ) xp - x, a dx x 38

Geometrijka interpretacija f() t f ˆ( t) Dobro poklapanje fˆ ( t) axˆ ( t) xt ˆ( ) f ( t) f ( x( t)) Radna tačka xt () 39

Jednačina a jednom promjenljivom i izlazom x f ( x, u), x(0 ) xp Koriteći razvoj u Taylor-ov u okolini tacionarne tačke (x, u ): 0 df ( x, u) df ( x, u) f ( x) f ( x, u) ( x x) ( u u) tariji članovi dx du x d( x x ) df ( x, u) df ( x, u) ( x x) ( u u) dt dx du u xˆ x x, uˆ u u u u x f ( x, u ) 0 xˆ axˆ buˆ, x(0 ) xp x a f ( x, u) f ( x, u), b dx du u u 40

Jednačina a jednom promjenljivom i izlazom Na ličan način e linearizuje izlazna jednačina y g( x, u) g( x) g( x, u) g( x, y) g( x, u) ( x x) ( u u) dx du x f ( x, u) f ( x, u) y y ( x x ) ( x u ) dx du u yˆ y y, xˆ x x, uˆ u u u u x f ( x ) 0 yˆ cxˆ duˆ c g( x, u) g( x, u), d dx du u u 4

Linearizacija itema u opštem obliku Model u protoru tanja nelinearnog itema: x( t) f ( x( t), u( t)) y( t) g( x( t), u( t)) Neka je x(t), u(t), y(t) et trajektorija (rješenja) koja zadovoljavaju gornji item diferencijalnih jednačina x ( t) f ( x ( t), u ( t)), za zadato x ( t ) y ( t) g( x ( t), u ( t)) f f x( t) f ( x, u) ( x( t) x) ( u( t) u) x xx u xx uu g g y( t) g( x, u) ( x( t) xq) ( u( t) u) x xx u xx uu uu uu 0 4

Linearizacija itema f ( x,u) f ( x,u) x( t) f ( x, u) ( x( t) x) ( u( t) u) x xx u xx uu g( x,u) g( x,u) y( t) g( x, u) ( x( t) x) ( u( t) u) x xx u xx uu uu uu xˆ ( t) Axˆ ( t) Buˆ ( t) yˆ ( t) xˆ ( t) Duˆ ( t) A C f ( x,u) x g( x,u) x xx uu xx uu B D f ( x,u) u g( x,u) u xx uu xx uu 43

Primjer Kontinualni item je opian diferencijalnom jednačinom: u () t x( t) f ( x( t), u( t)) x( t), x(0 ) 05 3 Linearizovati model pod pretpotavkom da ulazni ignal varira u okolini vrijednoti u= 6 0 u x x 3 9 Radna tačka: u, x 6 9 44

Primjer Potupak linearizacije: xˆ ( t) Axˆ ( t) Buˆ ( t) yˆ ( t) xˆ ( t) Duˆ ( t) A C f g f B u x xx xx uu uu g D x xx u xx uu uu A f 3 xx, uu x x 8 B f 4 x x, u u u u 3 3 3 4 xˆ xˆ uˆ 8 3 Odtupanje od nominalne vrijednoti x = 6/9 45

Primjer Simulacija diferencijalnih jednačina (u SIMULINK-u): 46

Simulacioni blok dijagram xt () xt () ut () uˆ( t) u( t) u xt () xt ˆ( ) xt ˆ( ) ut () u x ( t) xˆ ( t) x L x 47

Primjer Modelovati klatno prikazano na lici, a zatim linearizovati dobijeni model u okolini tacionarne tačke θ l F mg d J Fl mgl in, J ml dt x x x F ml g in x l x x x u 0 0 xˆ ˆ x g Fˆ xˆ 0 xˆ l ml, x 0 tacionarna tačka (ravnotežno tanje) Napomena: Potoji još jedna tacionarna tačka u x =u=0, x =π 48