SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
|
|
- Διώνη Λόντος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
2 Ishodi učenja: Predavanje 4 Prostor stanja: jednačine kretanja i Nakon savladavanja gradiva sa ovog predavanja studenti će moći da: v Definišu fundamentalnu matricu sistema kanonične forme v Odrede analitički izraz promjenljivih u prostoru stanja za zadatu pobudu i početne uslove v Odrede funkciju prenosa sistema na osnovu poznatog SS modela v Odrede SS model na osnovu poznate funkcije prenosa
3 Kretanje sistema u prostoru stanja Generalno, u prostoru stanja ponašanje sistema se modeluje na sljedeći način: x( t) f ( x( t), u( t), t), x() x Za promjenljive stanja treba usvjiti minimilana skup lienarno nezavsnih promjenljivih, pri čemu one ne moraju da imaju fizički smisao. Specijalno za LTI sisteme važi: y( t) g( x( t), u( t), t). x( t) Ax( t) Bu( t), x() x y( t) Cx( t) Du( t). Nas zanima kako analitičkim putem da odredimo vremenske oblike promjenljivih stanja x(t) i izlaza sistema y(t), za zadate početne uslove x i pobudu sistema u(t). 3
4 Odziv na početne uslove Za početak posmatrajmo homogenu diferencijalnu jednačinu, odnosno slučaj kada je ulazni signal jednak nuli: x Ax, x() x. Za rješenje gornjeg sistema se može pretpostaviti da je u obliku reda: x( t) a a t a t a t 3 3 Uvrštavanjem prethodne jednačine u polaznu jednačinu i izjednačavanjem koeficijenata sa lijeve i desne strane, dobija se: 3 3 t ( t) A x I At A t A t x e x! 3! Funkcija označena sa e At se zove matrična ekponencijalna funkcija, zbog analogije sa skalarnom eksponencijalnom funkcijom: at e at a t a t! 3! 3 3 4
5 Odziv na početne uslove Funkcija e At se zove i fundamentalna matrica sistema ili matrica tranzicije, pri se obično označava sa Φ(t). Matrica Φ(t) sadrži sve informacije o dinamici sistema, odnosno njome je definisano kretanje sistema u prostoru stanja. Fundamentalna matrica se može definisati i u Laplasovom domenu. Prebacivanjem homogene diferencijalne jednačine u sdomen dobija se: Φ() s sx( s) x AX( s) At x( t) e x Φ( t) x X( s) ( si A) x Ukoliko se početni uslovi poznati u nekom proizvoljnom trenutku ti, onda je odziv na početnje uslove jednak (osobina vremenske invarijantnosti): x( t) Φ( t t ) x( t ). Φ( t) L ( si A) 5
6 Primjer odziv na početne uslove Odrediti izraze za promjenljive stanja zadatog sistema, za zadate početne uslove: x, 3 x x(). x I A x Φ x ( t) L ( s ) ( t) s s ( s )( s 3) Φ( t) L ( si A) L s 3 L s 3 Promjenljiva stanja x Φ() t e e e 3t e t t 3t t t 3t t 3t x () t e e e 3e e x ( t) e e 3t 3t Promjenljiva stanja x 6
7 Primjer odziv na početne uslove Promjenljive stanja se jednostavno mogu izračunati u Matlabu: A=[ ; 3] x=[;]; syms t Fi=expm(A*t) x=fi*x Fi = [ exp(*t), exp(*t) exp(3*t)] [, exp(3*t)] x = 3*exp(*t) exp(3*t) exp(3*t) 7
8 Primjer odziv na početne uslove Na slikama iznad su prikazane promjenljive stanja za različite početne uslove. Na slici lijevo su prikazane odgovarajuće trajektorije sistema u prostoru stanju, odnosno zavisnost f(x,x ). Na primjer, sistem se kreće iz tačke (3, ) prikazanom putanjom i zaustavlja se u tački (,). Sa prve dvije slike se uočava da mu je potrebno oko 7s da pređe pomenutu (i svaku ostalu) putanju. 8
9 Jednačine stanja za zadatu pobudu Do analitičkog izraza za promjenljive stanja pobuđenog sistema se takođe može doći posmatranjem jednačine stanja u sdomenu: x Ax Bu, x( t ) x Iz prethodne jednačine se može izraziti vektor X(s): sx( s) x AX( s) BU( s). X( s) ( si A) x ( si A) B U( s). Izraz za x(t) se dobija primjenom inverzne Laplasove transformacije na prethodnu jednačinu: Izlazni signal je jednak: t x( t) Φ( t) x Φ( t ) Bu( ) d y( t) Cx( t) Du(t) CΦ( t) x C Φ( t ) Bu( ) d Du(t) t Konvolucija 9
10 Primjer jednačine stanja za zadatu pobudu Odrediti odziv zadatog sistema na step pobudu, za proizvoljne vrijednosti početnih uslova: x 3 x u Prvo ćemo odrediti fundamentalnu matricu: Φ() t y x x() x () () s Φ( t) L ( si A) L s 3 x t t 3t s ( s )( s 3) e e e L 3t e s 3
11 Primjer jednačine stanja za zadatu pobudu Promjenljive stanja se računaju kosteći izraz: t x( t) Φ( t) x Φ( t ) Bu( ) d t t 3t ( t ) ( t ) 3( t ) e e e x () t e e e x( t) ( ) d 3t 3( t ) e x() e u t t 3t ( t) 3( t) e e e x () t e e.. x() t d 3t 3( t ) e x() e.. Konačno izlaz sistema je jednak: t t 3t ( t) 3( t) t e e e x () e e x( t) d 3t 3( t ) e x() e e x e e d x e e x e e t t 3t 3( t ) 3t 3t 3t 3t () () ()
12 Primjer jednačine stanja za zadatu pobudu A=[ ; 3];B=[;];C=[ ]; x=[;]; syms t tau Fi=expm(A*t) Fi=subs(Fi,ttau) x=fi*xint(fi*b*,tau,,t) y=c*x Fi = [ exp(*t), exp(*t) exp(3*t)] [, exp(3*t)] Fi = [ exp(*tau *t), exp(*tau *t) exp(3*tau 3*t)] [, exp(3*tau 3*t)] x= (5*exp(*t))/ (*exp(3*t))/3 /6 (*exp(3*t))/3 /3 y = (*exp(3*t))/3 /3
13 Određivanje TF na osnovu SS Da bi odredili vezu između prostora stanja i funkcije prenosa, jednačine stanja i izlaza iz vremenskog domena treba prebaciti u Laplasov domen: x( t) Ax( t) Bu( t) y( t) Cx( t) Du( t) sx( s) x( ) AX( s) BU( s) X( s) ( si A) BU( s) Y( s) CX( s) DU( s) Y C I A B DU ( s) ( s ) ( s) Konačno, veza između funkcije prenosa matrica A, B, C i D. adj( si A) G( s) C( si A) B D C B D det( si A) Posmatrajući prethodni izraz, može se zaključiti da je karakteristični polinom sistema jednak: f ( s) det( sia) 3
14 Primjer određivanje TF na osnovu SS Odrediti funkciju prenosa sistema zadatog u prostoru stanja matricama: Funkcija prenosa je jednaka: 3 A, B 5, C 5 s 65s 39 3 s s s G( s) C( si A) B 4 3 A=[ 3; ; 5] B=[;5;] C=[ ] syms t G=simplify(C*(s*eye(3)A)^*B) G = (*s^ 65*s 39)/(s^3 4*s^ *s 3) 4
15 Određivanje SS na osnovu TF Prethodno je pokazano kako dobiti funkciju prenosa sistema, ako je poznat njegov model u prostoru stanja. Sada treba pokazati kako dobiti model u prostoru stanja, kada je poznata funkcija prenosa. Postoji beskonačan broj realizacija sistema u prostoru stanja, jer postoji beskonačan broj različith prostora. Sa druge strane različitim realizacijama sistema u prostoru stanja uvijek odgovara jedna funkcija prenosa. Prostor stanja predstavlja ndimenzionalni koordinatni sistem, te se različite realizacije mogu dobiti raznim linearnim transformacijama, tj. smjenama i prelaskom u drugi koordinatni sistem. Sve realizacije su ekvivalentne u matematičkom smislu. Međutim, postoje neki stanadardni načini zapisivanja jednačina stanja, odnosno takozvane kanonične realizacije. Jedna reprezentacija može imati prednosti u odnosu na druge. Na primjer, za potrebe analize, promjenljive stanja nekad treba odabrati tako da imaju fizički smisao. 5
16 Određivanje SS na osnovu TF Prije nego što pokažemo kako se određuje model sistema u prostoru stanja zadatog funkcijom prenosa u opštem obliku: m m bms bm s b s b G( s), m n i a n n n s a s a s a razmotrićemo funkciju prenosa prvog reda i odgovarajuću diferencijalnu jednačinu: k G X ( s) / U ( s) x( t) ax( t) ku( t) s a Kvazianalogni blok dijagram ili simulacioni dijagram sistema je dijagram koji se sastoji od elementarnih komponenti: integratora, sabirača i pojačavača. Konkrento za dati primjer, on se može nacrtati na osnovu diferencijalne jednačine x( t) ax( t) ku( t) n u k x a x 6
17 Paralelno programiranje Paralelno programiranje je postupak za određivanje modela u prostoru stanja sistema opisanih funkcijama prenosa koje imaju proste i realne polove: m m N bms bm s b s b ki Gs ( ), m n i a n ( s a )( s a )( s a ) s a n i i Kvazianalogni blok dijagram sistema je prikazan na slici desno. Za promjenljive stanja se usvajaju izlazi iz integratora. Model sistema u prostoru stanja se dobija očitavanjem jednačina sa kvazianalognog blok dijagrama. u k k k N x x xn a a x x x n y a N 7
18 Paralelno programiranje Nakon ispisivanja jednačina za svaki integrator, formira se model u prostoru stanju u matričnom obliku: x a x k k xi ai xi k3 u x N an x N kn xn an xn kn x xi y x N Dijagonalna kanonična forma xn u k k k N x x x n a a a N x x x n 8 y
19 Paralelno programiranje Model u prostoru stanja predstavljen na način se zove dijagonalna kanonična forma, jer je matrica A dijagonalna. Još jedan naziv za ovaj oblik je modalna forma, jer su dijagonalni elementi matrice A jednaki polovima sistema, koji se nekad zovu i modovima. Korisna osobina dijagonalne kanonične forme ja što se za nju računanje fundamentalne matrice pojednostavljuje: A a a an e At at e at e at n e Na ovaj način se značajno pojednostavljuje računanje odziva na početne uslove. Mana ovog pristupa je što promjenljive stanja u kanoničnom prostoru nemaju fizički smisao, pa se odgovarajućim transformacijama treba vratiti u fizički prostor stanja. 9
20 Primjer paralelno programiranje Sistem je zadat funkcijom prenosa: s 3 Gs () ( s )( s ) s s Odrediti model u prostoru stanja u obliku Jordanove kanonične forme. u(t) x x Fundamentalna matrica i odziv na početne uslove su jednaki: x x y(t) A, B C t t e t At Φ() t e e e t t e x () x () e x( t) Φ( t) x t t e x() x() e
21 Paralelno programiranje Sistem je moguće predstaviti u dijagonalnoj formi jedino ako su sopstvene vrijednosti proste i realne. Ako funckija prenosa ima višestruke polove, onda se ona u prostoru stanja može zapisati u blokdijagonalnoj ili Jordanovoj kanoničnoj formi. Neka je funkcija prenosa data kao proizvod elementarnih funkcija prenosa: Gs () m bms b s b s b ( s a ) ( s a )( s a ) m m 3 N N k k k ki, m n i a n s a s a s a s a 3 3 ( ) ( ) i i Na gubeći na opštosti, pretpostavili smo da je prvi pol sistema trostruk.
22 Paralelno programiranje. x x x 3 a a x x x 3 k 3 k k J x a x x a x x3 a x3 u x4 a x4 xn an xn u x 4 x n a a a N x 4 x n k k N y y k k k k 3 3 N Jordanova kanonična forma x x x x n
23 Paralelno programiranje Model u prostoru stanja predstavljen na prethodni način se zove blokdijagonalna kanonična ili Jordanova kanonična forma, jer matrica J ima strukturu Jordanove matrice. Fundamentalna matrica i u ovom slučaju se jednostavnije računa: n at at t at a e te e a n! J Jt at at e e te a n at n e A J a an e e Jt At e at n e at 3
24 Redno programiranje Ukoliko funkcija prenosa ima samo realne polove, pri čemu nema nula, onda se model u prostoru stanja može formirati na način koji se zove redno programiranje : G() s N k k ( s a )( s a )( s a ) s a N i i Kvazianalogni blok dijagram sistema predstavlja kaskadnu, odnosno rednu vezu, funkcija prenosa prvog reda. u x N x N x i x i x x k y a N a i a 4
25 Redno programiranje Model sistema u prostoru stanja se dobija očitavanjem jednačina sa kvazianalognog blok dijagrama. u x N x N x i x i x x k y a N a i a x a x xi ai xi u, y x N an x N xn an xn Redno programiranje k x xi x xn N 5
26 Primjer redno programiranje Sistem je zadat funkcijom prenosa: Gs ( ). ( s)( s3) Odrediti model u prostoru stanja pomoću rednog programiranja. u(t) x x x y(t) x 3 A 3,, B C 6
27 Direktno programiranje KKF Ako je funkcija prenosa data u genaralnom obliku, tada postoje dva na standardna načina zapisivanja matrica u prostoru stanja: kontrolabilna kanonična forma i opservabilna kanonična forma. m bms b s b s b G( s), m n i an n s a s a s a m m n n U cilju određivanja kontrolabilne kanonične forme, funkciju prenosa treba pomožiti sa pomoćnim signalom E(s), a zatim preko njega izraziti ulazni i izlazni signal: Gs () m bms b s b s b E( s) Y ( s) n s a s a s a E( s) U ( s) m m n n n ( s a s a s a ) E( s) U ( s) n n m ( b s b s b s b ) E( s) Y ( s) m m m 7
28 Direktno programiranje KKF Prethodne jednačine u vremenskom domenu imaju sljedeći oblik: e a e a e a e u( t) jednačina stanja ( n) ( n) n b e b e b e b e y( t) jednačina izlaza m ( m) ( m) m Za promjenljive stanja se usvaja promjenljiva e i njenih prvih n izvoda: x e x e xn e x e n ( n) ( n) x x x x x 3 n x n Prvih n jednačina stanja se dobija iz smjena. Zadnja jednačina stanja i jednačina izlaza se dobija uvrštavanjem smjena u početne jednačine. ( n) x an xn anxn ax ax u t ( ) y( t) b x b x b x b x o m m m m 8
29 Direktno programiranje KKF Konačno model u prostoru stanja ima sljedeći oblik: A, B, C b b b a a a a n n nn n m nm n Kontrolabilna kanonična forma! Samo kontrolabilni sistemi mogu da se zapišu u ovom kanoničnom obliku. O kontrolabilnosti će biti više rečeno na narednim predavanjima. Kontrolabilna kanonična forma je pogodna za dizajn kontrolera. 9
30 Direktno programiranje KKF Na osnovu prethodnih jednačina stanja može se nacrtati kvazianalogni blok dijagram sistema: y(t) b m b b b u(t) x N x xb b x3 x x x x an a m a a a Kontrolabilna kanonična forma! Šta ako su imenilac i brojilac istog reda? 3
31 Primjer direktno programiranje, KKF Sistem je zadat funkcijom prenosa: s 6 Gs ( ). s 6s6 Predstaviti sistem u prostoru stanja u obliku kontrolabilne kanonične forme. s6 s3 Gs ( ). s 6s 6 s 3s 3 x x u x 3 x y 3 x x Nacrtati kvazianalogni blok dijagram! 3
32 Direktno programiranje OKF Opservabilna kanonična forma predstavlja još jednu standardnu realizaciju sistema. m m bms bm s b s b G( s), m n i a n n n s a s a s a n Gornja funkcija prenosa se može zapisati u vidu diferencijalne jednačine: y a y a y a y b u b u b u b u ( n ) ( n ) ( m ) ( m ) n m m Dalje, prethodna diferencijalna jednačina se može zapisati na sljedeći način: y ( b u a y) ( b u a y) ( b u a y ) a y ( n) ( m) ( m) ( n ) m m n Integrljenjem goranje jednačine n puta, dobija se y(n), na osnovu čega se crta kvazianalogni blok dijagram i formira model u prostoru stanja. n n n ( n) y ( bu a y) ( bu a y) ( bmu am y) an y 3
33 Direktno programiranje OKF Kvazianalogni blok dijagram sistema OKFa je dat na slici ispod. u(t) b b b b m x x x x xm xn x n x n y a a a a m an an Jednačine stanja se očitavaju sa dijagrama. Za opservabilnu i kontrolabilnu kanoničnu formu važi sljedeća veza: T A A, B C T o k o k C B, D D. T o k k 33
34 Direktno programiranje OKF a b a b A, B, C a b n m a n nn nm n Opservabilna kanonična forma! Samo opservabilni sistemi mogu da se zapišu u ovoj kanoničnoj formi. O opservabilnosti će biti više riječi na narednim predavanjima. Opservabilna kanonična forma je pogodna za dizajn opservera. Ako su brojilac i imenilac funkcije prenosa istog reda, tada ih treba podijeliti. Koeficijent koji se dobije pri dijeljenju predstavlja matricu D, a od ostatka se formiraju matrice A, B i C, na neki od prethodno opisanih načina. n 34
35 Primjer direktno programiranje, OKF Sistem je zadat funkcijom prenosa: G(s) s s 6s4 Predstaviti sistem u prostoru stanja u obliku opservabilne kanonične forme. s ( s 6 s 4) 3 s G(s) s 6s 4 s 6s 4 3 3s s s 6s 4 s 3s x x 3 x 3 x u y x x u 35
36 Primjer DC motor Na slici ispod je prikazana principijelna šema DC motora. Modelovati dati sistem u prostoru stanja: a) za promjenljive stanja usvojite fizičke promjenljive b) u obliku dijagonalne/jordanove kanonične forme, ukoliko je moguće c) u obliku kontrolabilne kanonične forme d) u obliku opservabilne kanonične forme R L, u(t) i(t) e(t) M J b 36
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραPrikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema
Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA Predavanje 3 Modelovanje SAUa u s domenu Ishodi učenja: Nakon savladavanja gradiva sa ovog predavanja studenti će moći da: v Definišu polove, nule i pojačanje sistema i
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.
5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραPOGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:
POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. Inverzna matrica
Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότερα4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότερα8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότερα(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)
Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότερα