I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA

Transcript

1 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 64 Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA 4 Osnovni pojmovi Činjenica da se mnogi zakoni fizike i drugih nauka iskazuju uz pomoć diferencijalnih jednačina ukazuje na fundamentalnu ulogu koju teorija diferencijalnih jednačina ima u nauci i tehnici Teorija diferencijalnih jednačina je jedna od najopsežnijih i najtežih matematskih disciplina Iz klase poznatih diferencijalnih jednačina izdvojimo Thomas Fermijevu diferencijalnu jednačinu koja glasi: 3 [ ( ) ] ' '( ) =, koja je linearna diferencijalna jednačina i koja se pojavljuje pri izračunavanju distribucije elektrona u atomima Mnoge diferencijalne jednačine su izvor za elementarne i neelementarne funkcije Tako je, npr, '' + λ = 0 (λ R) izvor za trigonometrijske funkcije i hiperbolne funkcije, te jednačina ' = je izvor za eksponencijalne funkcije, itd Intuitivno se pojam predikata često definira kao izraz ili smislena deklarativna rečenica koja sadrži jedan ili više parametara i koji postaje logički iskaz ako svaki od tih parametara poprimi određenu vrijednost Ako je P predikat i za svaki, P() je novi predikat, pri čemu P nema drugih parametara, onda je P () tačan iskaz za svaki Analogno vrijedi i za kvantifikator egzistencije Posmatrajmo izraze f () i g () u istoj brojevnoj oblasti (ili u opštijem skupu) varijable u kojoj su oba izraza definirana Definicija 4 Predikat oblika f () = g () zovemo jednačina (jedne nepoznate ) Svaka vrijednost : = a za koju predikat f () = g () postaje tačan iskaz, tj tačna brojevna jednakost f (a) = g (a), zove se rješenje jednačine f () = g () Rješenje mora pripadati domenu jednačine (presjek domena od f () i g ()) Analogno se definira pojam jednačine sa više nepoznatih, ali i pojmovi jednačine više nepoznatih u nekom uređenom skupu gdje imaju smisla relacije <,, >, Definicija 4 Za jednačine J i J kažemo da su u nekoj brojevnoj oblasti ekvivalentne ako su im sva rješenja na toj oblasti zajednička, tj one su ekvivalentne na posmatranoj oblasti ako je svako rješenje jednačine J iz te oblasti rješenje jednačine J (Tada kažemo da je jednačina J posljedica jednačine J i obrnuto) 4 Pojam diferencijalne jednačine i ostali važniji pojmovi Definicija 43 Diferencijalnom jednačinom naziva se svaka jednačina u kojoj se kao nepoznata javlja funkcija jedne ili više promjenljivih zajedno sa svojim izvodima i / ili diferencijalima Ako je nepoznata funkcija funkcijaod dvije ili više promjenljivih, onda se diferencijalna jednačina naziva parcijalnom diferencijalnom jednačinom, dok u slučaju funkcije jedne promjenljive diferencijalna jednačina se naziva običnom diferencijalnom jednačinom Definicija 44 Redom diferencijalne jednačine naziva se red najvišeg izvoda (odnosno red najvišeg diferencijala) koji figurira u jednačini Opšti oblik obične diferencijalne jednačine n tog reda je F(,, ',, (n) ) = 0, (4) pri čemu je F zadana funkcija promjenljivih,, ',, (n) (odnosno,, d,, d n )

2 Specijalno, opšti oblik diferencijalne jednačine prvog reda (tj za n = ) je: F(,, ') = 0 (4) Ograničit ćemo se na diferencijalnu jednačinu oblika (4), koja se može riješiti po izvodu ' u obliku ' = f (, ), (43) pri čemu je f neprekidna funkcija svojih argumenata ( f (, ) može imati smo oblik ϕ (), ψ ( ) ili može biti f (, ) C) Definicija 45 Za funkciju = ϕ () koja je definirana na razmaku a, b (konačnom ili beskonačnom) kažemo da je rješenje diferencijalne jednačine (4) na tom razmaku ako ona ima sve izvode zaključno do reda n i ako uvrštavanjem izraza funkcije ϕ () i njenih izvoda u jednačinu (4), jednačina (4) postaje identitet na tom razmaku Riješiti (integrirati) jednačinu (4) znači naći sva njena rješenja Ako je () rješenje jednačine (4), onda se često kaže da je = () integralna kriva jednačine (4) Diferencijalna jednačina prvog reda data sa (4) ili (43) ima familiju rješenja u opštem slučaju (jednoparametarsku familiju) koja sadrži proizvoljnu realnu konstantu C, tj to je familija oblika = ϕ (, C) (43)' Definicija 46 Familija funkcija data sa (43)', kada sadrži sva rješenja jednačina (4) ili (43), naziva se opštim rješenjem (opštim integralom) te jednačine Definicija 47 Kada u opštem rješenju konstanta C poprimi neku određenu vrijednost, tada se to rješenje naziva partikularno rješenje (partikularni integral) Ako iz opšteg rješenja treba izvojiti partikularno rješenje, koje za = 0 uzima vrijednosti 0 = = ( 0 ), kažemo da su zadani početni uslovi i pišemo: = = 0 ili ( 0 ) = 0 (44) 0 Najvažnije pitanje vezano za diferencijalnu jednačinu (43) je pitanje postojanja i jedinstvenosti partikularnog rješenja za date početne uslove (Cauchjev problem) Na ovo pitanje daje odgovor sljedeća teorema koju navodimo bez dokaza Teorema 4 (O postojanju i jedinstvenosti rješenja diferencijalne jednačine prvog reda) Neka je u jednačini (43) sa početnim uslovom (44): a) funkcija f (, ) neprekidna u pravougaoniku D datom sa D = {(, ) R : 0 a 0 b }; b) funkcija f (, ) u pravougaoniku D zadovoljava Lipschitzov uslov : f (, ) f (, ) k, k R + Tada postoji jedinstveno rješenje jednačine (43) na segmentu [ 0 h, 0 + h] koje zadovoljava početne uslove (44), pri čemu je 0 < h < min {a, M b, k } (M R + ) takav da je f (, ) M na D ((, ) D jer je f (,) na zatvorenoj i ograničenoj oblasti D ograničena funkcija) Tvrdnja 4 Klasa funckija f (, ) koja ima ograničen po modulu izvod ( f '(, ) ) na pravougaoniku D zadovoljava Lipschitzov uslov na tom pravougaoniku Dokaz: Prema Lagrangeovoj teoremi za realne funkcije jedne realne promjenljive važi: f (b) f (a) = (b a) f '(c), a < c < b Dakle, važi jednakost f (, ) f (, ) = ( ) f '(, + θ ( )), 0 < θ <, za svaki, iz odgovarajućeg segmenta Iz posljednje relacije, zbog pretpostave da je f ' k, k > 0, dobijemo da vrijedi 65

3 čime je tvrdnja 4 dokazana f (, ) f (, ) k, 66 Napomenimo da Lipschitzov uslov obuhvata širu klasu funkcija f (, ) koje se pojavljuju na desnoj strani jednačine (43), jer taj uslov može biti zadovoljen i tamo gdje parcijalni izvod f ' ne postoji Tako, npr, funkcija zadana izrazom ' = f (, ) = nema parcijalni izvod f ' u tački (0, 0) (tačka (0, 0) je ugaona /prelomna/ tačka) No, ipak, u nekom pravougaoniku koji u svojoj unutrašnjosti sadrži tačku (0, 0) vrijedi Lipshitzov uslov, tj f (, ) f (, ), pri čemu je k = Svako rješenje = ϕ () jednačine (43) se može geometrijski interpretirati u obliku grafika funkcije ϕ () Geometrijska interpretacija teoreme 4 sastoji se u tome da kroz svaku tačku ( 0, 0 ) prolazi jedna i samo jedna integralna kriva diferencijalne jednačine (43) Neka su u svakoj tački oblasti G( R ) zadovoljeni uslovi teoreme 4 Tada kroz svaku tačku (, ) skupa G prolazi prava čiji je koeficijent smjera jednak f (, ) Tako dobijemo tzv polje smjerova posmatrane diferencijalne jednačine na oblasti G, što predstavlja geometrijske interpretacije diferencijalne jednačine Geometrijska interpretacija rješenja te jednačine je u tome da proizvoljnu integralnu krivu =ϕ () u svakoj njenoj tački dodiruje prava iz polja smjerova koja prolazi kroz tu tačku Definicija 48 Geometrijsko mjesto tačaka polja smjerova u oblasti G sa istim koeficijentom smjera naziva se izoklina Jednačina izokline dobije se iz jednačine (43) stavljanjem f (, ) = k, gdje je k parametar Dajući parametru k vrijednosti, dobijemo familiju izoklina posmatrane diferencijalne jednačine (43) 4 Zavisnost rješenja diferencijalne jednačine od početnih uslova desne strane diferencijalne jednačine prvog reda riješene po izvodu Vezano za zavisnost rješenja od početnih vrijednosti promjenljivih argumenata i desne strane diferencijalne jednačine (43) navodimo sljedeće dvije teoreme Teorema 4 (O glatkosti rješenja diferencijalne jednačine (43)) Ako funkcija f (, ) u nekoj okolini tačke ( 0, 0 ) ima neprekidne parcijalne izvode po i do reda p (p > 0), onda svako rješenje jednačine (43) u okolini tačke ( 0, 0 ) ima neprekidne izvode po do (p + ) og reda Dokaz: Neka je () rješenje diferencijalne jednačine (43) koje prolazi kroz tačku ( 0, 0 ) Tada važi identitet: '() f (, ()) (*) u nekoj okolini tačke ( 0, 0 ) Kako funkcija () zadovoljava jednakost (*), to ona ima izvod po, pa je neprekidna funkcija Kako je f (, ) neprekidna funkcija po i, to je i f (, ()) neprekidna funkcija po (kao složena funkcija neprekidnih funkcija), pa je i '() neprekidna funkcija Ne umanjujući opštost, pretpostavimo da je p = Tada desna strana identiteta (*) ima neprekidan izvod po Tada '() iz jednakosti (*) ima neprekidan izvod po, tj funkcija () ima neprekidan izvod drugog reda data sa f f ' '' = +, čime je teorema 4 dokazana

4 67 Teorema 43 Ako je funkcija f (, ) neprekidna i ograničena na nekoj oblasti D i ako kroz svaku tačku (, ) D prolazi rješenje jednačine (43), onda to rješenje ne zavisi od funkcije f (, ) i tačke (, ) Primjer 4 Odredite polje smjerova diferencijalne jednačine zadane izrazom ' = Rješenje: Jednačina tražene familije izoklina data je sa = k, tj = k Za k = 0 izoklina se poklapa sa osom O i u njenim tačkama je polje smjerova paralelno osi O Za k = dobijemo izoklinu = u čijim tačkama polje smjerova obrazuje sa osom O ugao od 45 Ako zadamo tačku M(, 3) možemo približno konstruisati integralnu krivu koja prolazi kroz tu tačku (v sl 4) Primjećujemo da je to parabola koja je ujedno i rješenje zadane diferencijalne jednačine Sl 4 4 Osnovne diferencijalne jednačine prvog reda Diferencijalne jednačine prvog reda su: I Diferencijalne jednačine sa razdvojenim promjenljivim ima oblik ' = f (, ) Primjer 4 Naći opšte rješenje jednačine ' + = Rješenje: Iz zadane diferencijalne jednačine imamo ' = ( ) d = d ( ) + d = d ( ) d ( ) ln ln = ln e ln = ln C e d = ( ) = ± C e S obzirom na to da C može da bude ma koji realan broj različit od nule, onda možemo pisati = + Ce, tj = + Ce + ln C + ln C II Homogena diferencijalna jednačina ima oblik ' = ϕ i ona se pomoću smjene = u, gdje je u nova nepoznata funkcija od, transformira u diferencijalnu jednačinu sa razdvojenim promjenljivim Možemo takođe primijeniti i smjenu = u

5 Primjer 4 Naći opšte rješenje jednačine ' = e + Rješenje: Stavimo = u, pa ćemo dobiti u + u ' = e u + u ili e u d du = Integriranjem dobivamo u = ln ln C, odakle je 68 = ln ln C III Linearna diferencijalna jednačina prvog reda ima oblik A() ' + B() + C() = 0, gdje su A(), B() i C() zadane funkcije od na razmaku a, b Za A() 0 imamo ' + P() = Q() Ovo je nehomogena linearna diferencijalna jednačina prvog reda čije je opšte rješenje dato sa ( ) ( ) = e P d P d ( C + Q( ) e d) Za Q() 0 imamo homogenu linearnu diferencijalnu jednačinu prvog reda čije je opšte rješenje = C e P( ) d Primjer 43 Riješimo jednačinu ' tg = cos Rješenje: Pripadna homogena jednačina je ' tg =0 Rješavanjem te jednačine dobivamo: = C cos Smatrajući C funkcijom od, deriviranjem nalazimo da je dc ' = + sin cos d cos Uvrštavanjem i ' u zadanu diferencijalnu jednačinu dobijemo: dc + sin C C = tg + cos, ili cos d cos cos odakle je C() = cos d = sin + C + 4 Iz toga slijedi da opšte rješenje zadane difrerencijalne jednačine glasi: = + sin + C 4 cos IV Bernoullijeva diferencijalna jednačina ima oblik C dc = cos, d ' + P() = Q() α, pri čemu su P() i Q() zadane funkcije od na razmaku a, b, α R Za α = 0 imamo linearnu nehomogenu diferencijalnu jednačinu, a za α = imamo linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu Za α 0 i α Bernoullijeva jednačina se rješava smjenom z = α, tako da se dobije linearna jednačina prvog reda dz + P( ) z = W ( ) α d Možemo takođe primijeniti smjenu = u v ili metodu varijacije konstanti

6 Primjer 44 Riješiti jednačinu ' + ln = 0 69 Rješenje: Uvodeći smjenu z = α, zadana diferencijalna jednačina se svodi na lineranu jednačinu U ovom slučaju je α =, pa se dobije ln z' z = Biće d d ln ln z = e C = e d C d Zbog proizvoljnosti konstante C možemo pisati ln z = C d Parcijalnom integracijom iz posljednje jednakosti se dobije z = C + + ln Kako je z = to dobijemo da je opšte rješenje zadane jednačine dato sa: = C + + ln V Riccatijeva diferencijalna jednačina ima oblik ' + P() + Q() = f (), pri čemu su P(), Q() i f () zadane neprekidne funkcije od na razmaku a, b Za P() 0 na razmaku a, b Riccatijeva jednačina prelazi u Bernoullijevu, a za Q() 0 na razmaku a, b Riccatijeva jednačina prelazi u linearnu nehomogenu diferencijalnu jednčinu Riccatijeva diferencijalna jednačina u okolini ( 0, 0 ) ( 0 a, b, 0 R) zadovoljava uslove o egzistenciji i jedinstvenosti rješenja i ne može se riješiti običnom integracijom, ali ako se zna jedan partikularni integral (), onda se Riccatijeva jednačina svodi na Benoullijevu jednačinu smjenom () = () + z() Primjer 45 Naći opšti integral jednačine ' ( sin cos ) + cos + sin = 0 ako je njen partikularni integral = cos Rješenje: Opšte rješenje nalazimo uvođenjem smjene = + z = cos + z, (*) pri čemu je z = z () Uvrštavajući izraze za i ' iz (*) u datu jednačinu dobija se cos z' + z = cos (**) sin cos sin cos To je linearna jednačina po z, pa je cos cos d cos d sin cos sin cos z = e C + e d sin cos Kako je cos cos I = d = d, sin cos sin smjenom sin = t dobija se dt I = = ln t = ln( sin ) t Opšte rješenja jednačine (**) je C + sin z =, sin odakle je + C cos = C + sin

7 VI Diferencijalna jednačina totalnog diferencijala ima oblik 70 M(, ) d + N(, ) d = 0 (*) u(, ) u(, ) Ovo je jednačina totalnog diferencijala ako vrijedi da je M =, N = u kom slučaju je opšte rješenje dato sa u(, ) = C Potreban i dovoljan uslov da lijeva strana jednačine (*) bude jednačina totalnog diferencijala glasi: M (, ) N(, ) = na posmatranoj oblasti Ako je posljednji uslov ispunjen, onda se odatle lako odredi u(, ) uzastopnom integracijom Ako lijeva strana u (*) nije totalni diferencijal od u (, ), a ima opšti integral, množeći je sa integralnim faktorom µ(, ) dobijemo: u u µ (M d + N d) = u, tj µ M =, µ N = Dobijena jednačina je parcijalna diferencijalna jednačina i složenija je od (*) No, u praksi je dovoljno naći samo jedan integralni faktor µ = µ (), µ = µ () ili opštije ω(, ) Tada se dobije izraz: M N µ' = µ ω ω N M, µ ( ω) pri čemu je µ ' = ω Ako je ω(, ), onda treba da izraz M N N bude samo funkcija od Primjer 46 Pokazati da diferencijalna jednačina ( m + ) d d = 0 ima integracioni faktor oblika µ = µ () i naći njen opšti integral M(, ) N(, ) Rješenje: Uslov = (M = m +, N = ), nije ispunjen, pa zato tražimo M N integracioni faktor jednačine Kako je =, to je moguće naći µ = µ () Dobija se N dµ µ ' d = =, odakle je µ = Sada treba integrirati jednačinu totalnog diferencijala µ µ ( m + ) d d = 0 Opšti integral je m = C ( m ), odnosno ln = C ( m = ) m Osim navedenih jednačina interesantno je posmatrati jednačine F(,, ') = 0 koje nije moguće riješiti po izvodu Postoje pogodnije metode za rješavanje ovakvih jednačina u odnosu na prethodno navedene metode Specijalni slučajevi su: VII Lagrangeova diferencijalna jednačina ima oblik = ϕ ( ' ) + ψ ( ' ), pri čemu su ϕ i ψ diferencijalne funkcije na nekom razmaku Primjer 47 Riješiti sljedeću jednačinu = ' + ' 3

8 7 Rješenje: Diferenciranjem zadane jednačine se dobija ' d = ' d + ' d ' + 3 ' d ' Stavljajući ' = p dobijamo p d = p d + p dp + 3 p dp, tj ( p p ) d = ( p + 3 p ) dp () Za p p 0 iz () slijedi d p 3 p = + () dp p p p p Rješenje linearne jednačine () je 3 p + 3p + C =, (3) ( p ) dok je iz polazne jednačine (za ' = p) = p + p 3 (4) Sa (3) i (4) dato je opšte rješenje polazne jednačine u parametarskom obliku Za p p = 0 dobija se p = 0 i p = To su takođe rješenja jednačine () Za slučaj p = 0, iz (3) se dobija = C, a iz (4) = 0 Dakle, = 0 je singularno rješenje date jednačine Za slučaj p =, iz (3) se dobija (za C ), a iz (4) = + Rješenje = + je asimptotsko, tj prava = + je asimptota krivih datih opštim integralom (3) i (4) VIII Clairautova diferencijalna jednačina je specijalni oblik Lagrengeove diferencijalne jednačine i ima oblik = ' + ψ( ') ' te se rješava uvođenjem smjene ' = p Tada imamo da je dp ( + ψ ' (p)) = 0 Ako uzmemo da je dp = 0, onda je opšti integral dat sa = C + ψ (C) No, ako uzmemo da je + ψ ' (p) = 0, onda dobijemo rješenje koje se ne može dobiti iz opšteg i ono se naziva singularno rješnje, a predstavlja ovojnicu Definicija 4 Ovojnica familije krivih u ravni data jednačinom φ (,, C) = 0 (*) je kriva koja u svakoj tački dodiruje krivu te familije φ Ako u (*) eliminiramo C, onda zajedno sa = 0, ona predstavlja jednačinu ovojnice familije C krivih Primjer 48 Riješiti jednačinu = ' + ' Rješenje: Diferenciranjem, nakon smjene ' = p, slijedi dp ( + p) = 0 d Nastupaju slučajevi dp = 0, tj p = C, + p = 0, tj p = + d Za slučaj iz diferencijalne jednačine dobija se opšti integral = C + C C Za slučaj dobija se singularni integral ( + ) + + = + = ( + ) 4

9 43 Metod uzastopnih aproksimacija Banachova teorema o nepokretnoj tački 7 43 Operatori u metričkim prostorima Definicija 43 Neka su (X, d ) i (Y, ρ) metrički prostori i neka je D podskup skupa X Preslikavanje A : D Y često se naziva i operatrom i piše A = umjesto A() = za D, Y Ovdje je operator definiran preko pojma preslikavanja No, on se može i neposredno definirati, pa imamo sljedeću definiciju: Definicija 43 Ako svakoj tački D, po određenom zakonu koresponedencije, odgovara tačka Y, onda kažemo da je na skupu D zadan operator u metričkom prostoru Y (D X) Ako operator označimo sa A, onda je = A ( D, Y) Napomenimo da se operator nekad definira kao preslikavanje vektorskog prostora X u vektorski prostor Y Definicija 433 Operator definiran na nekom skupu metričkog prostora, čije su vrijednosti realni ili kompleksni brojevi, naziva se funkcional Definicija 434 Operator A koji preslikava D( X) u metričkom prostoru Y je neprekidan u 0 D ako za proizvoljan niz ( n ) ( n D, n N) vrijedi da iz n 0 (n ) imamo A n A 0 Definicija 434 se može iskazati i na sljedeći način: Definicija 434' Kažemo da je operator A neprekidan u tački 0 D ako za svaki ε > 0 postoji broj δ (=δ (ε)) > 0 takav da za D za koji je d(, 0 ) < δ važi nejednakost d(a, A 0 ) < ε Navedena definicija 434' važi i za funkcional Definicija 435 Za operator A kažemo da je linearan ako je D( X) lienaran skup i ako za sve, D i α, β R važi da je A(α + β ) = α A + β A Tvrdnja 43 Ako je linearni operator A : D Y neprekidan u tački 0 D, onda je on i neprekidan na skupu D Dokaz: Neka je ' D proizvoljna tačka i neka je niz ( n ) ( n D) takav da je n ' (n ) Tada je zbog linearnosti operatora moguće praviti razliku A n A ' = A ( n ' + 0 ) + A 0 Kako n ' (n ) i kako je operator neprekidan u 0, to A( n ' + 0 ) A 0 (n ), tj A n A ' (n ), ' D Dakle, dobili smo da je operator A neprekidan na cijelom skupu D, jer je neprekidan u ', a ' je proizvoljna tačka Ovim je dokaz tvrdnje 43 završen Definicija 436 Neka su X i Y normirani prostori i neka je A linearan operator iz X u Y sa domenom D( X) Kažemo da je operator A ograničen ako postoji konstanta M 0 takva da je A M, D Tvrdnja 43 Da bi linearni operator, čije je definiciono područje skup D, iz normiranog vektorskog prostora X u normirani vektorski prostor Y bio neprekidan potrebno je i dovoljno da bude ograničen

10 43 Nepokretne tačke Metod uzastopnih aproksimacija 73 Neka je A : D Y, (D X, X i Y metrički prostori) zadan operator Ako je zadan element Y, onda se jednačina A = može posmatrati kao jednačina po nepoznatoj U slučaju kada su elementi X i Y neke funkcije, onda se jednačina A = naziva funkcionalnom jednačinom Definicija 437 Ako je A operator koji preslikava metrički prostor X u taj isti prostor, onda se tačka X u jednačini A = naziva nepokretna (fiksna) tačka operatora A Izraz A = treba posmatrati kao jednačinu, a rješenje treba predstavljati metodu nalaženja nepokretne tačke za čiji se nalazak koristi metod uzastopnih aproksimacija Pretpostavimo da je operator A zadan na zatvorenom skupu D (D X, (X, d) metrički prostor), te da je operator A neprekidan i da važi A D Uzmimo proizvoljnu tačku 0 D i označimo sa izaz = A 0 Pretpostavimo da je 0 i obilježimo A sa, tj A =, te ponovimo isti postupak Neka je i produžavajući ovaj proces beskonačan broj puta dobijemo da je A n = n+ (n = 0,, ) (*) Za ovako dobijen niz ( n ) ( n D) pretpostavimo da konvergira ka nekom * X, tj * = lim n U tom slučaju kažemo da posmatrani proces konvergira, a * D Kako je po pretpostavci A neprekidan operator, to iz relacije (*) prelaskom na graničnu vrijednost dobijemo A * = *, pa je * nepokretna tačka operatora A Prirodno se postavljaju pitanja da li dobiveni niz ( n ) konevrgira ka nepokretnoj tački *, da li ta konvergencija zavisi od izbora 0 ili da li treba staviti neko ograničenje i da li je * jednoznačno određeno Tačke n, koje se mogu odrediti ako je operator A zadan na konkretnom prostoru, predstavljaju tačke niza koje se približavaju * Tada iz * : = lim n n slijedi da za proizvoljan broj ε > 0 postoji broj N = N(ε) takav da je d ( n, * ) < ε, n > N Dakle, konvergencija postupka znači da odstupanje tačaka n od tačke * možemo odrediti do na proizvoljan broj ε > Operator stegnutog preslikavanja Definicija 438 Operator A : D Y, (D X), gdje su (X, d ) i (Y, ρ) metrički prostori, naziva se operator kontrakcije (stegnutog preslikavanja) ako postoji 0 < α < tako da za proizvoljne tačke, D važi ρ (A, A ) α d(, ) Tvrdnja 433 Operator A : D Y, (D X), gdje su (X, d ) i (Y, ρ) metrički prostori, koji je operator stegnutog preslikavanja je neprekidan na skupu D Dokaz: Neka je 0 D proizvoljan element i neka niz ( n ) ( n D, n N) konvergira ka 0 tada iz nejednakosti 0 ρ (A n, A 0 ) α d( n, 0 ) slijedi da A n A 0 Sljedeću teoremu navodimo bez dokaza Teorema 43 (Banachov stav o nepokretnoj tački) Ako je A operator stegnutog preslikavanja koji preslikava poptun metrički prostor (X, d ) u samog sebe, onda on ima jedinstvenu nepokretnu tačku i tu tačku možemo dobiti metodom uzastopnih aproksimacija pri proizvoljnoj tački 0 X U literaturi se navode i ove teoreme koje daju samo dovoljne uslove o postojanju i egzistenciji jedinstvenog rješenja diferencijalne jednačine, jer postoje primjeri diferencijalnih jednačina prvog reda n

11 74 koje imaju jedinstveno rješenje i zadovoljavaju početni uslov, a da su narušeni uslovi o egzistenciji jedinstvenog rješenja Teorema 43 (Peanova teorema) Neka je data diferencijalna jednačina ' = f (, ) Ako je funckija f definirana i neprekidna na pravougaoniku D datom sa D : 0 a, 0 b (a, b > 0), onda jednačina ' = f (, ) ima bar jedno rješenje = () koje zadovoljava početne uslove = 0 za = 0, definirano (i neprekidno diferencijabilno) na segmentu 0 h, h = = min {a, M b }, M > 0 M je pozitivna konstanta za koju je f (,) M (, D ) Teorema 433 (Picardova teorema) Ako je funkcija f u jednačini ' = f (, ) definirana na oblasti D (datoj u teoremi 43) i zadovoljava uslove (i ) f je neprekidna funkcija (na D ), f (ii) funkcija postoji i predstavlja ograničenu funciju na D, pa postoji konstanta k > 0 f (, ) za koju je k, onda jednačina ' = f (, ) ima jedinstveno rješenje = () sa početnim uslovima = 0 za = 0 na segmentu 0 h Postoji i teorema koja se odnosi na slučaj kada u diferencijalnoj jednačiji umjesto skalarne funkcije = () posmatramo vektorsku funkciju, tako da vrijedi: Teorema 434 (Cauch Picardova teorema) Neka je na oblasti D R α + definirana vektorska funkcija f (t, ) Pretpostavimo da je ova funkcija neprekidna na D i da ona lokalno zadovoljava Lipschitzov uslov po, tj za svaku funkciju postoji okolina (t, ) D u D za koju funkcija zadovoljava uslov po Dakle, vrijedi f (t, ) f (t, ) k u toj okolini, pri čemu se k može mijenjati od tačke do tačke Tada za svaku tačku (t 0, 0 ) D postoji k (> 0), koji u opštem slučaju zavisi od ((t 0, 0 )), i jedno jedino rješenje ' = (t) Cauchjevog problema jednačine (t 0 ) = 0, koja je definirana na segmentu [t 0 h, t 0 + h]