METODE NUMERICE IN INGINERIA ELECTRICA

METODE NUMERICE IN INGINERIA ELECTRICA Notte de urs: 4 5, semestrul S.l. Dr. Ig. Mh Iul REBICAN mh.reb@upb.ro Curs: jo, 8: - :, EA4 Cosultt: mrt 6: - 7:; jo -; EC5 IE, hol EB, etj Uverstte Polteh Buurest Fultte de Igere Eletr Buurest, 4 5

Curs - ore/spt. - jo, 8-, EA4 S.l. dr. g. Mh REBICAN Lbortor - ore/spt. - merur, 8-8, EB- S.l. dr. g. Mh REBICAN As. g. Mh POPESCU As. g. Sor LUP Lbortor tvtte semestrl - 5% Referte % Teste plt umere % refere s sesue Teste mplemetre C/Mtlb % Eme srs sesue de r - 5% subete plt umere % subet pseudood %

Bblogrfe Pg web urs MN regul de otre, ltele http://m.lm.pub.ro Idrumr de lbortor MN: M. Reb, G. Cupr, D. Io http://m.lm.pub.ro/drumr/idrumrmn_prteh.pdf/ D. Io - Metode umere ger eletr, Ed. Mtr Rom, Buurest, 998 W.H. Press - Numerl repes C http://www.rboo.om//boopdf.php

Obetul ursulu - desrere metodelor pr re se pot rezolv u jutorul lultorulu probleme de gere eletr formulte oret d.p.d.v. mtemt Problem rel model fz mrm fze model mtemt spt mtemte model umer dsret spt dsrete lgortm metod de rezolvre tpur bstrte de dte progrm strutur de dte spefe probleme Solute 4

Igere eletr sstt de lultor Computer ded egeerg - CAE Igere eletr Metode umere ger eletr Mtemt Stt lultorelor Alz umer Progrmre Formulre oret probleme d.p.d.v mtemt: utte solute Alz erorlor Algortm umer 5

Tpur de probleme ger eletr Alz rutelor eletre rezstve lre Alz rutelor eletre rezstve elre Alz rutelor eletre regm trztoru Alz mpulu eletromget regm sttor Alz mpulu eletromget regm ussttor Alz mpulu eletromget regm geerl 6

Cotutul ursulu. Algortm s strutur de dte. Eror lule umere. Metod dret Guss de rezolvre sstemelor de eut lre 4. Metode tertve de rezolvre sstemelor de eut lre 5. Alz umer rutelor eletre regm permet 6. Iterpolre poloml futlor rele 7. Dervre umer futlor rele 8. Itegrre umer futlor rele 9. Metode tertve de rezolvre eutlor elre. Metod Euler de rezolvre eutlor dferetle de ord. Alz umer rutelor eletre regm trztoru 7

. Algortm s strutur de dte Algortm metod de rezolvre ue probleme bzt pe desompuere s etpe smple, elemetre, suseptble de f mplemette pe u lultor. Pseudolmbjul pseudoodul metod de desrere s reprezetre lgortmlor. St pseudoodulu u este strt s uprde uvte hee d lmb rom. Lle pseudolmbjulu sut de dou felur: delrt, le re desre dtele; strutue, le re desre tu. Vrbl zo de memore detft pr: ume dres zoe de memore ude se fl vrbl; vlore otutul zoe de memore; tp fute de est se terpretez vlore. 8

St delrtlor Tpur de vrble:. Smple fudmetle: tp ume_vr log: log, b treg: treg N rel: rel m rter: rter. Agregte tblou: tblou regstrre: regstrre 9

Tblou multme de dte de els tp Delrt tbloulu: tblou tp_smplu ume_tblou [dmesue] E.: tblou rel V []; tblou de elemete rele treg N tblou rel W [N]; lore dm de memore Referre l tblou pr de E.: V, V, V, V,

Iregstrre multme de dte de tpur dferte Delrt regstrr: regstrre ume_regstrre tp_smplu_ ume_mp_ tp_smplu_ ume_mp_ E.: regstrre put log rtez rel rel Referre l regstrre: ume_regstrre.ume_mp E.: put. put.rtez

St strutulor Tpur de strutu:. Smple. Struturte de trre de esre de trbure sevet dez lul rut

Istrutu smple Istrutue de trre: teste ume_vrbl E.: teste N; umr de odur teste, b Istrutue de esre: sre ume_vrbl E.: sre N Istrutue de trbure: ume_vrbl = eprese Epres meste de operz s opertor: log rezulttul evlur este de tp log, uprde: opertor log: s, su, u, se pl operzlor log opertor de relte: <, >,,, ==, se pl operzlor rtmet

E.: log l, p, q rel, b l = p su q l = < b l = = b rtmet rezulttul evlur este de tp rtmet, uprde: opertor rtmet: +, -, /,,, s, os, se pl operzlor rtmet E.: rel, b, m m = + b m = m + m = m m = / b 4

Istrutu struturte Sevet: multme de strutu srse dett u sub lt E.: = b - m = + b Dez: - fr ltertv d odte [tu] ; odte de tp log sevet - u ltertv d odte [tu] sevet ltfel sevet 5

E.: modulul uu umr rel, =, d -, d < rel, modul teste d tu modul = ltfel modul = - sre modul Clul: - se foloseste d vem de repett tu - u test tl: t tmp odte [repet] sevet 6

E.: - u test fl: sevet se eeut el put o dt repet sevet p d odte; C : t tmp!odte - u otor: sevet se eeut de or petru otor = vl_tl, vl_fl[, ps] [repet] sevet s treg, ; dmesue s otor rel s tblou rel [] s = petru =, [repet] 7 s = s +

Rut: - proedur; - fut. Deft proedur: proedur ume_proedur rgumete formle de trre/esre ; ometr delrt strutu retur Apelul proedur: ume_proedur rgumete tule de trre/esre Obs.: umrul, tpul, orde rgumetelor prmetrlor tule trebue s fe dete u ele le rgumetelor formle! 8

E.: Determre mmulu, mmulu umere rele ; deft proedur ; progrmul prpl proedur MM, b, m, M rel, ; m=m,b, M=m,b rel m, m rel, b; rgumete de trre teste, rel m, M; rgumete de esre MM,, m, m d < b tu sre m, m m = stop M = b ltfel Obs.: C : vod futo m = b M = retur 9

Deft fute: fute ume_fute rgumete formle de trre ; ometr delrt strutu tore vlore Apelul fute: ume_vrbl = ume_fute rgumete tule de trre Obs.: - umrul, tpul, orde rgumetelor tule trebue s fe dete u ele le rgumetelor formle! - fut tore dor u sgur prmetru de esre - fut este semee fute d mtemt

E.: Determre modululu uu umr rel ; deft fute ; progrmul prpl fute modul rel, m rel ; rgumet de trre teste rel rez; rgumet de esre m = modul d tu sre m rez = stop ltfel rez = - Obs.: C : flot futo tore rez

E.: produsul slr vetor p Pseudood: treg, ; rel p tblou rel [], [] teste petru =, p = teste, petru =, p=p+ sre p stop C : #lude<stdo.h> t m { t,; flot p,[],[]; prtf"="; sf"%d",&; for=;<=;++ { prtf"[%d]=",; sf"%f",&[]; } for=;<=;++ p=; { prtf"[%d]=",; sf"%f",&[]; } for=;<=;++ { p=p+[]*[]; } prtf"p=%5.f\",p; }

Evlure lgortmlor Algortmul: s fe smplu; se lzez d.p.d.v. l tmpulu de lul, eesrulu de memore, urtet solute. Ordul de omplette d.p.d.v. l tmpulu de lul = relt dtre tmpul de lul eprmt umrul de opert elemetre +, -, *, /, s dmesue probleme. tmp = * lgortm lr, de ordul : T = O, produsul slr tmp = * lgortm ptrt, de ordul : T = O, dure mtrelor ostt, depde de sstemul de lul Algortm de ordul 4 de evtt!!! Neesrul de memore = umrul de lot elemetre utlzte umere rele. rel ; M = O tblou rel v[]; M = O; tblou rel [][]; M = O ;

s = - T = O, ordul petru =, s = s + - T = O, ordul petru =, petru j =, j = j + j - T = O, ordul petru =, petru j =, petru =, = j + j - T = O, ordul E.: produsul slr vetor T = O M = O+ 4

E.: petru =, s, os opert elemetre petru j =, T = O, M = O + s j = s * + os b*j optmzre petru =, = s * = os b* petru =, petru j =, T = O, M = O ++ s j = + j 5

. Eror lule umere Solut uu lgortm mplemett pe u sstem de lul este fett de eror umere. Tpur de eror: eror de rotujre, dtorte reprezetr fte umerelor rele pe u sstem de lul; eror erete, dtorte dtelor de trre, um r f dte obtute pe le epermetl; eror de truhere, dtorte promr fte uor proese mtemte teoret fte. 6

Evlure tttv erorlor solut et, solut umer Erore bsolut: e Mrge eror bsolute: e, e e Erore reltv: Mrge eror reltve: r r r E.: Mrge eror reltve petru umrul π.45...;. 4 fre semftve e.4.45....5... r %,.6.4.6 e.5... r.6.6%.4.6%.45... 7

Eror de rotujre Mrge eror reltve de rotujre: r umrul de fre semftve le lultorulu E.: 6 r 5.% Pseudood ; lulez erore reltv de rotujre: eps rel eps eps= repet eps=eps/ p d + eps = sre eps ude este Obs.: eps - zeroul ms el m mre umr rel re dut l utte u shmb rezulttul., 8

Eror erete dte de trre ALGORITM solut D, tu lgortmul este stbl dpdv umer D, tu lgortmul prezt stbltt umere. forte m mre dure: ; r sdere: ; r r r multre: ; r r r mprtre: / ; r r r Opert de sdere dou umere forte propte este stbl umer dtort feomeulu de ulre pr sdere E.:..%;..% 4.45.%;.89% r r 9

Eror de truhere Erore de truhere este de ordul prmulu terme egljt proesul mtemt. Dezvoltre sere Tlor fute = s este: 5 7...! 5! 7!! Ser se truhz dup termeul de rg : r! Pe u sstem de lul, pr dure uu umr ft de terme ue ser, erore de truhere se sturez l zeroul ms!

. Metod dret Guss de rezolvre sstemelor de eut lre Metod dret: solut sstemulu de eut se obte dup u umr ft de ps.... b... b A b...... b A mtre oefetlor, deta b vetorul termelor lber vetorul euosutelor Metod Guss: - etp de elmre: A deve superor trughulr; - etp de retrosubsttute substtute regresv: determre propru-zs euosutelor.

Etp de elmre petru = b b b L L L L L L b b b L L L L L L b b b L L L " L L L b b b b b b

Etp de retrosubsttute " " b b b L L L " " " b b b " A pvot ",, " " b b b

Pseudood proedur Guss_fp,, b, ; delrt treg,, j, rel s, p tblou rel,, b, ;elmre petru =, ; etpele elmr petru = +, ; prurge olo de sub pvot p = / petru j = +, ; prurge l, l drept pvotulu j = j j p b = b b p ; retrosubsttute = b / petru =,, s = b petru j =, +, s = s j j = s/ retur 4

progrm prpl ; delrt treg,, j tblou rel,, b, ; troduere dte trre teste ; dmesue probleme petru =, petru j =, teste j ; elemetele mtre teste b ; elemetele vetorulu termelor lber ; pelre proedur metod de rezolvre Guss_fp,, b, ; fsre dte esre petru =, sre ; elemetele vetorulu euosutelor stop 5

T = O / lgortm de ordul dpdv l tmpulu de lul M = O ++ lgortm de ordul dpdv l eesrulu de memore u est erore de metod pe u sstem de lul pr eror de rotujre dtele de trre A, b trodu eror erete A - mtre slb odtot oefet u vlor forte m s vlor forte mr eror de rotujre mportte Erore solute umere : rezduul: r A b erore bsolut: e erore reltv: ε e/ Determre vlor eror se fe de fpt pr orm s: orm euld: orm Cebsev: e e m, e e 6

Strteg de pvotre pvot ul metod Guss esuez! pvotre prtl: se permut lle, lgortm smplu pvotre totl: se permut lle s oloele, lgortm omplt, tmp de lul rdt pvotre dgol: petru pstrre smetre mtre A petru eror de rotujre mme, se permut l u pvot s l u oefetul el m mre modul de sub pvotul ul 7

8 E.: 9 8 5 6 5 4 4 z z z L L L z 4 L L L 9 8 5 6 z z z L L L 6 L L L 5 z z z L L L " L L L " z z z L L L z z z

4. Metode tertve de rezolvre sstemelor de eut lre Metod tertv: solut sstemulu de eut se obte pr geerre uu sr de solut re tde tre solut et. proprette de utoorete eror: solut umer pote f m pres det solut metode drete Guss; lgortm hbrd: se pl metod Guss s se otu u o metod tertv petru rfre solute. A F b A b...... lm - formul de reuret; F plte u put f F tu A B C B C b B C B b M M u u, M mtre de terte - formul de reuret 9

rz de overget: ρm m, ude detm λi proesul tertv este overget d petru ore mtre: ρm M, ρm M ρm metod tertv este overget! Metode tertve: metod deplsrlor smulte Job metod deplsrlor suesve Guss-Sedel; metod suprrelrlor suesve Frel-Youg; metod dretlor lterte Peem-Rhford; metod tertlor blo. 4

Metod Job A A L D U B C B D; C L U M B C D L U; u B b D b M u D bl U - formul de reuret L :...... b j j j, j,, solut l psul uret se determ d solut de l psul teror sut eesr do vetor solute 4 b

Metod Guss-Sedel A L D U B C M B C L D U; B L D; C U u B b L D b M u L D b U - formul de reuret L :...... b j j j j j j,, solut l psul uret se determ d solut de l psul teror s ompoetele dej lulte le solute urete; prpul Sedel: medt e o ompoet fost determt, e este folost lulele urmtore, loud vlore vehe re se perde este eesr u sgur vetor solute b 4

l metodele Job s Guss-Sedel, o odte sufet petru overget lor este mtre A s fe dgol domt j,, j, j odtle de oprre le proesulu tertv: d orm eror Cuh este m m det o vlore mpus eror, ε: e d umrul mm de tert este ts proes dverget erore de metod este erore de truhere metod Guss-Sedel este m rpd overget det metod Job petru mtr smetre s poztv defte, metod Guss-Sedel este de promtv dou or m rpd det metod Job. metodele tertve u geerez umpler le mtrer, utle petru rezolvre sstemelor u mtre rr 4

Pseudood proedur Job,, b,, rt, eps ; delrt treg, rt,, j, rel s, err tblou rel,, b,, ;tlzr = petru =, = ; tert repet err = petru =, s= b petru j =, s = s j j s = s + = s/ s= 44

d err < s tu err = s petru =, = = + p d err < eps su > rt retur 45

proedur Guss-Sedel,, b,, rt, eps ; delrt treg, rt,, j, rel s, err tblou rel,, b, ;tlzr = petru =, = ; tert repet err = petru =, s= b petru j =, s = s j j s = s + / err = err + s = s = + err = sqrterr T = Om, ude m este umrul de tert; d m <, lgortm de ordul dpdv l tmpulu de lul M = O + lgortm de ordul dpdv l eesrulu de memore 46

p d err < eps su > rt retur progrm prpl ; delrt treg,, j, rt rel eps tblou rel,, b, ; troduere dte trre teste rt, eps ; umr mm de tert s erore mpus teste ; dmesue probleme petru =, petru j =, teste j ; elemetele mtre teste b ; elemetele vetorulu termelor lber ; pelre proedur metod de rezolvre Guss_Sedel,, b,, rt, eps ; fsre dte esre petru =, sre ; elemetele vetorulu euosutelor stop 47

48 E.: metod Job 5 4 6 z z z z 4 6 mtre sstemulu este dgol domt 4 5 4 5 6 z z z 4 4 5 4 5 6 6 5 z z z

49 metod Guss-Sedel 4 5 6 5 6 z z z 44 4 4 5 6 5 6 z z z

5. Alz umer rutelor eletre regm permet Crut eletr rezstv lr u N odur s L ltur: R E f U R I E Metod potetlelor l odur: G V I s G mtre oduttelor odle N- N- I s vetorul jetlor de uret N- V vetorul potetlelor odurlor N- Cotrbutle ltur rutulu l mtre G s vetorul I s : Mtre G I Vetorul I s R ; =, L olo olo f l /R -/R -E /R l f -/R /R E /R 5

Pseudood progrm prpl ; delrt treg N, L,,, j tblou treg L, fl tblou rel RL, EL, UL, IrtL tblou rel GN, N, IsN, VN rel p, pg ; PREPROCESARE ; Itroduere dte trre teste N, L ; umr de odur, umr de ltur petru =, L teste, f ; odul tl, odul fl le ltur teste R, E ; rezstet, tesue eletromotore le ltur ; Geerre utomt struturlor de dte pr prugere lturlor rutulu ; tlzre petru =, petru j =, G j = Is = 5

; prurgere ltur petru =, L =, = f, G = G + /R G = G + /R G = G /R G = G /R Is = Is E /R Is = Is + E /R ; PROCESARE ; rezolvre sstem u N- eut Guss_fpN-, G, Is, V V N = ; potetl ul l odulu de refert ; POSTPROCESARE ; determre uretlor s tesulor lturlor, puterle osumt s geert pg = ; putere geert p = ; putere osumt 5

; prurgere ltur petru =, L =, = f, U = V V Irt = U + E /R pg = pg + E Irt p = p + R Irt Irt ; fsre solut petru =, L sre, Irt, U sre p, pg stop Mtre G este rr, m utle sut metodele tertve. Erorle erete s de rotujre se propg proesul de lul s pot geer stbltt umere mportte mtre sstemulu este slb odtot. Astfel, vlorle puterlor osumt s geert pot s u fe egle p l ultm zeml. 5

6. Iterpolre poloml futlor rele Fe fut f:[,b] IR, f= reprezett pr dte tbelr: se uos vlorle fute dor tr-o rete de pute d domeul de defte, umte odur.... rete de dsretzre u + odur Iterpolre reprezt promre fute u u polom, stfel evlure fute se redue l opert rtmete elemetre. Problem fudmetl terpolr ost determre ue fut g:[,b] IR de form: g, re promez fut f, vd eles vlor odurle retele de dsretzre u vlorle fute f: 54

g f,, - odt de terpolre φ, =, fut de bz, dte de trre le probleme de terpolre. Numrul de odur le retele de dsretzre = umrul de fut de bz = +. Problem este be formult s re solute u d futle de bz sut lr depedete s odurle retele de dsretzre sut dstte. Prt, oefet sut euosutele probleme de terpolre. 55

56. Metod ls de terpolre Futle de bz sut lese stfel: Fut de terpolre deve: Grdul polomulu este u m m det umrul de odur: + odur polom grdul D odtle de terpolre rezult sstemul de eut lgebre lre + eut, + euosute:,...,,...,,, g...,,...,,, g g g g Metode de terpolre globl

57 mtre sstemulu u este dgol domt, u se pl metode tertve. tmpul de pregtre determre oefet este / metod dret Guss, mult pre mre. tmpul de evlure este. erorle solute sut mr, deoree mtre sstemulu este slb odtot petru vlor mr le grdulu > 5 futle de bz dev prope lr depedete.,...,,..............., g

58. Metod Lgrge Futle de bz φ = l, sut ortogole u proprettle: reprezetd polomele Lgrge: Coefet se determ stfel:,,, j l l j...... l l l

59 Astfel, polomele Lgrge u form fl: Fut de terpolre Lgrge este: l,, l g

6 D odtle de terpolre, rezult sstemul: Fut de terpolre Lgrge re form fl: l g g,, l l l l l l l l l............,,...

6 Czur prtulre: = odur pr re tree o drept: = odur pr re tree o prbol: mtre sstemulu este dgol. tmpul de evlure este 4, s reprezt tmpul totl lusv pregtre dtelor. mtre sstemulu este forte be odtot futle de bz sut ortogole. g g

6 petru redue tmpul de evlure, re lude s pregtre dtelor, fut de terpolre Lgrge se modf stfel: ude oefet p se pot determ te de evlure propru-zs etp de pregtre: g, p g p,,

Petru metod Lgrge u pregtre, tmpul de pregtre este, r tmpul de evlure este 5, ee e reprezt u vtj mportt d se efetuez forte multe evlur le fute de terpolre Lgrge. 6

64. Metod Newto Futle de bz φ sut lese stfel: Fut de terpolre Newto este:,,......... g...... g

65 D odtle de terpolre, rezult sstemul u o mtre de form trughulr feror, re se rezolv pr subttute progresv: g,,.............................. f f f f,...,,,................,,, f,,,,..., Coefet sut dferetele dvzte de ordul, f,...,,

66 Dferetele dvzte de ordul, se determ reursv, d dferetele dvzte de ordul -: Astfel, dferetele dvzte de ordul sut: dferetele dvzte de ordul sut: r ele d urm, dferet dvzt de ordul este:,...,,,...,,,...,, f f f...,,,,, f f,...,,,,,,,,,, f f f f f f.,...,,,...,,,...,, f f f

67 Fut de terpolre Newto re form fl: mtre sstemulu este reltv be odtot. tmpul de pregtre determre oefet este /. tmpul de evlure este. permte mrre grdulu polomulu de terpolre, pr dugre uu od ou reteu de dsretzre, u reutlzre oefetlor de l grdul teror, re u se modf, de u u efort mm de lul. stfel, est otrol utomt supr eror de terpolre. f g,...,,...,...,,...,,, f f f g

Metode ls, Lgrge, Newto sut metode de terpolre globl, e determ u sgur polom de grd re s tre pr ele + pute le retele de dsretzre Deoree polomul de terpolre este u =, est o drept u e tree pr ele dou pute; =, est o prbol u e tree pr ele tre pute,, ele tre metode rulte pe u lultor del, de preze ft re u est eror de rotujre r furz ees solute. Erore de terpolre este erore de truhere, re depde vers proportol de grdul polomulu de terpolre,, s dret proportol de psul de dsretzre, h= - =t. rete uform. Teoret, erore sde u restere grdulu polomulu de terpolre, dr petru umte fut, de eemplu fut Ruge, s- observt o omportre otrr pe o rete uform. 68

Petru fut Ruge, restere umrulu de odur le retele de dsretzre uforme odue l prt de oslt mportte le fute de terpolre tre odurle retele, spel l petele domeulu de defte. Solut este utlzre ue retele euforme, le re odur sut hr rdle polomulu Cebsev, ee e reprezt terpolre euform Cebsev. Iterpolre Cebsev u se pote pl futlor defte tbelr, trebue s se uos epres lt fute petru evlure este rdle polomulu Cebsev. 69

Pseudood fut terp_l,,, rt ; evluez fut de terpolre Lgrge fr pregtre putul rt treg ; grdul polomulu tblou rel +, + ; reteu de dsretzre, d de l l rel rt ; putul re se doreste evlure fute de terpolre rel rt ; vlore fute de terpolre rt rel s rt = petru =, s = petru j =, d j tu s = s rt j / j rt = rt + s tore rt 7

proedur preg_l,,, p ; pregteste dtele petru terpolre Lgrge treg ; grdul polomulu tblou rel +, + ; reteu de dsretzre, d de l l tblou rel p+ ; oefet polomulu, dte pregtte, d de l l petru =, p = petru j =, d j tu p = p / j retur 7

fut evl_l,,, rt, p ; evluez fut de terpolre Lgrge u pregtre putul rt treg ; grdul polomulu tblou rel +, + ; reteu de terpolre, d de l l tblou rel p+ ; oefet polomulu, dte pregtte, d de l l rel rt, rt, s s = petru =, s = s rt d s = tu tore rt = petru =, rt = rt + p /rt rt = s rt tore rt 7

progrm prpl ; delrt treg, rel rt, rt tblou rel +, + ; troduere dte trre teste rt ; putul re se doreste evlure fute de terpolre teste ; grdul polomulu petru =, teste, ; odurle retele de dsretzre ; pelre fute metod de terpolre Lgrge fr pregtre rt = terp_l,,, rt ; fsre dte esre sre rt ; vlore fute de terpolre rt stop 7

Metode de terpolre lol Metod de terpolre lr pe portu Nu se determ u sgur polom pe tervlul [, ] l metodele de terpolre globl. Pe fere subtervl [, + ] se determ te u polom de grdul. Astfel, tre dou odur suesve,, s +, +, grful fute este promt u drept re ueste odurle respetve. Grful fute f este promt u l polgol g re ueste tote odurle retele de dsretzre. Petru : g, 74

7. Dervre umer futlor rele Fe fut f:[,b] IR, f= reprezett pr dte tbelr: se uos vlorle fute dor tr-o rete de pute d domeul de defte, umte odur.... =? =? =? rete de dsretzre u + odur Dervre umer se bzez pe terpolre umer! D se determ fut de terpolre g:[,b] IR re tree pr odurle retele de dsretzre, tu dervt umer fute f se obte pr dervre fute g, re reprezt u polom de grdul. 75

76 Petru =, fut de terpolre este u polom de grdul : r dervt s este o ostt pe tervlul [, ]: Astfel, promre de ordul uu dervte umere este dsotu odurle retele de dsretzre:, g g g g formul progresv de ordul formul regresv de ordul

77 Petru =, fut de terpolre este u polom de grdul : r dervt s este u polom de grdul pe dvzue [,, ]: Petru o rete de dsretzre uform, h= - =t., promrle de ordul do le dervte umere sut: h g formul etrt de ordul, g g h g 4 formul progresv de ordul h g 4 formul regresv de ordul

Petru determre dervte umere odurle retele de dsretzre, se reomd utlzre: formule etrte de ordul odurle terore formule progresv de ordul su prmul od formule regresv de ordul su ultmul od. Petru determre dervte tr-u put dfert de odurle retele de dsretzre, se utlzez terpolre umer pe o rete de dsretzre dfert,, =,. Petru lul dervtelor de ord superor dou dervt, tre dervt, ptr dervt,..., se utlzez promr de ord mre. De eemplu, petru determre umer ele de- dou dervte, este eesr el put u polom de grdul petru obte o fute otu. 78

Dervre umer este fett de erore de truhere. Teoret, erore de truhere sde u restere ordul promr. Dtort feomeulu Ruge, formulele de dervre de ord superor > 5 pot f fette de eror de truhere mportte. Astfel, dervre umer pote prezet stbltt umere, spel petru formulele de ord superor. Erore de truhere depde dret proportol u psul de dervre h. Erore de rotujre depde vers proportol u psul de dervre h. Petru vlor forte m le psulu h, erore de truhere sde osderbl, s erore de rotujre deve mportt. Prt, est u ps optm petru re erore totl este mm. 79

Pseudood proedur dervtb, h,, d ; lulez tbelul de dervre ue fut defte tbelr + odur treg ; + este umrul de odur le retele de dsretzre rel h ; psul ostt l retele de dsretzre tblou rel + ; vlorle uosute le fute, d de l l tblou rel d+ ; vlorle dervte fute, d de l l d = - + 4 /h ; formul progresv de ordul d = - 4 - + /h ; formul regresv de ordul petru =, d = + - /h ; formul etrt de ordul retur 8

progrm prpl ; delrt treg, tblou rel +, +, d+ ; troduere dte trre teste ; + este umrul de odur le retele de dsretzre petru =, teste, ; odurle retele de dsretzre h = ; determre psul retele de dsretzre uforme ; pelre proedur metode de lul dervtb, h,, d ; fsre dte esre petru =, sre d ; vlorle dervte umere odurle retele de dsretzre stop 8

8. Itegrre umer futlor rele Fe fut f:[,b] IR, f= reprezett pr dte tbelr: se uos vlorle fute dor tr-o rete de pute d domeul de defte, umte odur.... rete de dsretzre u + odur Vlore et tegrle reprezt r suprfete subtse de grful fute tre petele domeulu de defte: b I f d Itegrre umer se bzez pe terpolre poloml pe portu! Itegrre umer este mult m robust det dervre umer. 8

8 Metod trpezelor I zul metode de terpolre lr pe portu, grful fute f este promt u l polgol g re ueste tote odurle retele de dsretzre. Astfel, tre dou odur suesve,, s +, +, grful fute este promt u drept re ueste odurle respetve. Itegrl umer pe tervlul, + este r trpezulu sprjt de O, determt de bssele, + s ordotele, + : Itegrl umer pe tervlul,b este sum rlor elor trpeze: d g I I I

Petru o rete de dsretzre uform, h= - =t., formul tegrle umere se smplf: h h I... Metod Smpso / Grful fute f este promt tre tre odur oseutve, -, -,,, +, +, u o prbol g re ueste ele tre odur. Itegrl umer pe tervlul -, + este r suprfete subtse de prbol: h I g d 4, ude, d motve de smpltte, s- osdert o rete de dsretzre uform, h= - =t.. 84

85 Itegrl umer pe tervlul,b este sum rlor suprfetelor subtse de prbole: Numrul de odur + l retele de dsretzre trebue s fe mpr. Metod Smpso este m pres det metod trpezelor Metod trpezelor este m robust det metod Smpso, umrul de odur efd restrtot. 4 h I I h I 4... 4 4

Erore de metod este erore de truhere. Erore sde u restere umrulu de odur. Erore: lol pe fere subtervl s globl sum erorlor lole, Erore lol re ordul Oh l metod trpezelor s ordul Oh 5 l metod Smpso. Erore globl re ordul Oh l metod trpezelor s ordul Oh l metod Smpso, fd m mre det erore lol. I prt, metod trpezelor ofer rezultte stsftore d umrul de odur este rezobl de m. 86

Pseudood fut trpez, b, ; lulez tegrl fute f pe tervlul [, b], u metod trpezelor, ; se uoste epres lt fute treg ; umrul de subtervle le retele de dsretzre uforme rel h ; psul ostt l retele de dsretzre rel, b ; petele tervlulu de defte treg rel r ; vlore tegrle h = b / r = petru =, r = r + f+ h r = r + f+fb h/ tore r 87

fut Smpso, b,, ; lulez tegrl fute f pe tervlul [, b] u metod Smpso, ; fut este deft tbelr treg ; umrul de subtervle le retele de dsretzre uforme rel h ; psul ostt l retele de dsretzre rel, b ; petele tervlulu de defte tblou rel + ; vlore fute odurle retele de dsretzre treg rel r ; vlore tegrle h = b / r = petru =,, r = r + - + 4 + + r = r h/ tore r 88

progrm prpl ; delrt treg, tblou rel +, + rel, b, vl ; troduere dte trre teste ; + este umrul de odur le retele de dsretzre petru =, teste, ; odurle retele de dsretzre = ; lmt feror domeulu de defte b = ; lmt superor domeulu de defte ; pelre fut metode de lul vl = Smpso, b,, ; fsre dte esre sre vl ; vlore tegrle umere determt u metod Smpso stop 89

9. Metode tertve de rezolvre eutlor elre Fe fut otu f:[,b] IR, f=. Solut umer eute elre trsedete f= se obte pr geerre uu sr de solut re tde tre solut et. Metod bsete metod jumttr tervlulu I tervlul de defte [,b] trebue s este o sgur solute eute elre, f fb<. L fere terte se lulez jumtte tervlulu de defte m=+b/, s se determ jumtte re se fl solut, est fd oul tervl de defte: d fm f < tu b=m ; solut se fl prm jumtte ltfel =m ; solut se fl dou jumtte Proesul tertv se opreste d b < eps vlore mpus. 9

Metod terte smple g = + f f g g...... formul de reuret lm fute de terte, reprezt o plte u put f solut et f formul de reuret Proesul tertv se opreste d + < eps vlore mpus de utlztor su umrul mm de tert este ts. 9

Codt sufet petru proesul tertv s fe overget este: g s fe o otrte: gu gv L u v, u L <, petru ore u, v [, b] g < + f <. Vlore ostte fuetez puter overget proesulu tertv, est trebue s b sem opus dervte fute f s trebue les stfel t ultm egltte s fe devrt. Cu t modulul dervte fute de terte g este m m utte, u tt proesul tertv este m rpd overget. 9

Metod Newto metod tgetelor Metod e m rpd overget, l fere terte vlore oefetulu se modf stfel t g = + f = : f f f formul de reuret L fere terte grful fute este promt u tget dus putul de oordote,f. Nou solute + se fl l terset tgete u bss OX =. Dervt fute trebue evlut l fere terte. Metod esuez d tge u put de etrem, f =. 9

Metod Newto-Ktorov metod tgetelor prlele Reprezt o vrt smplft metode Newto, re dervt fute se evluez o sgur dt, putul orespuztor solute tle: f f f formul de reuret Metod este mult m slb overget det metod Newto, vlore lu este optm dor putul orespuztor solute tle. 94

95 Metod Newto dsret metod setelor Dervt fute f se lulez pr formul regresv de ordul : Neest o dubl tlzre solute:,. Metod este m slb overget det metod Newto, dr m rpd overget det metod Newto-Ktorov. f f f formul de reuret f f f

fut bsete, b, eps, tm ; lulez solut eute u metod bsete rel, b ; petele tervlulu de defte rel eps ; erore mpus treg tm ; umrul mm de tert treg rel m ; solut = repet = + m = + b/ d fm f < tu b = m ; solut se fl prm jumtte ltfel = m ; solut se fl dou jumtte p d b < eps su > tm tore m 96

fut Newto, b, eps, tm ; lulez solut eute u metod Newto rel, b ; petele tervlulu de defte rel eps ; erore mpus treg tm ; umrul mm de tert treg rel d rel ou, veh ; solut = veh = + b/ repet = + ou = veh fveh/f veh d = ou veh ; erore Cuh veh = ou p d d < eps su > tm tore ou 97

fut sete, b, eps, tm ; lulez solut eute u metod Newto dsret rel, b ; petele tervlulu de defte rel eps ; erore mpus treg tm ; umrul mm de tert treg rel d rel ou, veh, vveh; solut = veh = vveh = b repet = + ou = veh veh vveh fveh/fveh fvveh d = ou veh ; erore Cuh vveh = veh veh = ou p d d < eps su > tm tore ou 98

progrm prpl ; delrt treg tm rel, b rel eps, s ; troduere dte trre teste, b ; petele tervlulu de defte teste eps ; erore mpus teste tm ; umrul mm de tert ; pelre fut metode de lul s = bsete, b, eps, tm ; fsre dte esre sre s ; solut eute elre stop 99

E.: 6 f Metod bsete: 8, b 6 f f 8 5, f b f 6 f f b b : m 4 f m f 4 6 f f m f 8 f 4 m 4 [4,] b : m f m f 4 f f m f 4 f b m [ 4, ]

Metod Newto: f f f f Metod Newto dsret: f 7 f f f f f f 6 7 7 6 55 7 7, f f f 4 f f 4 4 5 4 f f f 4 f