CAPITOLUL 6 FORME LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE. 6.1 Forme liniare

Algebră liniră CAPITOLUL 6 FORME LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE 6 Forme linire Fie V un spţiu vectoril peste un corp K Definiţi 6 Se numeşte formă liniră su funcţionlă liniră o plicţie f : V K cre stisfce condiţiile: ) f( x + y) = f( x ) + f( y)(ditivitte), x, y V; b) f( x) = f( x ) (omogeneitte), x V, K Se observă că f este un cz prticulr de opertor linir, în cre codomeniul este chir corpul K Observţi 6 (Exerciţiu) ) Condiţiile ) şi b) din definiţi de mi sus sunt echivlente cu condiţi c) f( x + βy) = f( x ) + f( βy), x, y V,, β K ) Deorece f este un opertor linir vem f() = Exemplul 6 Aplicţi f :R liniră (Exerciţiu) R, f(x, x, x ) = x + x este o formă Notăm cu V * mulţime formelor linire definite pe V Introducem operţi de dunre formelor linire: (f + g)(x) = def f (x) + g(x), f, g V *, x V 85

Forme linire, bilinire şi pătrtice şi operţi de înmulţire unei forme linire cu un sclr din corpul K: ( f )(x) = def f (x), f V *, K Dcă ţinem cont de observţi că funcţionlele linire sunt czuri prticulre de opertori liniri, tunci operţiile introduse mi sus sunt de fpt operţiile de dunre opertorilor liniri şi respectiv înmulţire cestor cu sclri Exct c în czul opertorilor liniri se pote demonstr că V * este un spţiu vectoril rel peste corpul K(exerciţiu) Definiţi 6 Spţiul vectoril V * se numeşte spţiul vectoril dul su spţiul conjugt l spţiului vectoril V Fie B = {u, u,,u n } o bză în V şi x V şi ξ, ξ,,ξ n coordontele vectorului x în bz B Definim plicţiile u * i : V K, (6) u * i (x) = ξ i, i =,,,n, şi vom răt că ceste sunt forme linire Pentru demonstr că u * i i =,,,n sunt forme linire este suficient să verificăm dcă este îndeplinită condiţi c) din Observţi 6 Fie x, y V şi, β K Dcă x = ξ u + ξ u + +ξ n u n, y = ζ u + ζ u + + ζ n u n, tunci x + βy = (ξ + βζ ) u + (ξ + βζ )u + + (ξ n + βζ n )u n ir u * i (x + βy ) = ξ i + βζ i = u * i (x) + β u * i (y ), cee ce trebui demonstrt Observţi 6 u * i (u j ) =, dcă i j şi u * i (u i ) = Teorem 6 Fmili B * = { u *, u *, u n * } este o bză în spţiul dul V * 86

Algebră liniră Demonstrţie Pentru început vom răt că B * este sistem linir independent Fie u * + u * + + n u n * = * ) o combinţie nulă formtă cu vectorii bzei B * Folosind observţi de mi sus vem succesiv: ( u * + u * + + n u * n )(u i ) = * (u i ) u * (u i )+ u * (u i )+ + n u * n (u i ) = i =, pentru orice indice i =,,,n Deci B * este sistem linir independent Acum vom demonstr că B * este sistem de genertori pentru V * Fie f V * şi x = ξ u + ξ u + + ξ n u n V Avem f(x) = f(ξ u + ξ u + +ξ n u n ) = ξ f(u ) + ξ f(u ) + + ξ n f(u n ) Folosind definiţi formelor linire u * i şi comuttivitte corpului K obţinem: f(x) = f(u ) u * (x)+ f(u ) u * (x) + + f(u n ) u * n (x) Deci f se scrie c o combinţie liniră de vectori i fmiliei B *, cee ce însemnă că B * este sistem de genertori pentru V * Demonstrţi fost încheită Definiţi 6 Fmili B * din teorem de mi sus se numeşte bz dulă bzei B din V Coordontele unei forme linire f în bz dulă bzei B din V f(u ), f(u ),, f(u n ) se numesc coeficienţii formei linire f în bz B Din modul de definiţie l coeficienţilor unei formei linire f se deduce că ceşti sunt unic determinţi de bz B (pentru form liniră f) Din teorem de mi sus rezultă şi firmţie reciprocă: dcă (,,, n ) este un sistem de sclri în K şi B este o bză fixtă în V, tunci există şi este unică form liniră f i cărei coeficienţi în bz B sunt,,, n * este notţie pentru elementul neutru l dunre din V *, * (x) =, x V 87

Forme linire, bilinire şi pătrtice Exemplul 6 Fie B = {u =(,, ), u =(,, ), u =(,, )} o bză în R Să se determine bz dulă B *, precum şi coeficienţii formei linire de l Exemplul 6 în bză B Fie x = (ξ, ξ, ξ ) R Coordontele cestui vector în bz B sunt (ξ, /ξ - /ξ, /ξ - /6ξ - /6ξ ) Atunci, conform relţiei (6) vem u * (x) = ξ, u * (x) = /ξ - /ξ, u * (x) = /ξ - /6ξ - /6ξ Coeficienţii formei " f " sunt f(u ) =, f(u ) = 4 şi f(u ) = Observţi 6 Dcă x V, x tunci există o formă liniră f stfel încât f(x) Dcă ξ, ξ,, ξ n sunt coordontele vectorului x în bz B = {u, u, u n } tunci există i {,, n} stfel încât ξ i Dcă luăm f = u * i tunci f(x) = ξ i Afirmţi de mi sus se exprimă echivlent stfel : dcă x y tunci există f V '* stfel încât f(x) f(y) Într-devăr, dcă v = x - y tunci există f V '* stfel încât f(v) f(x) - f(y) O ltă problemă cre pote fi pusă în cest moment este cee determinării mtricei de trecere de l bz B * l bz B * tunci când se cunoşte mtrice de trecere de l bz B l bz B Soluţionre cestei probleme permite, după cum m văzut în primul cpitol, determinre coeficienţilor unei forme linire în nou bză B tunci când ceşti sunt cunoscuţi în bz veche, B Teorem 6 Dcă B = {u, u,,u n } şi B = {w, w,,w n } sunt două bze în V şi A =( ij ) i,j =, n este mtrice de trecere de l bz B l bz B tunci (A T ) - este mtrice de trecere 88

Algebră liniră de l bz B * l bz B * Mi mult, coeficienţii unei forme în bzele B şi B se schimbă tot cu mtrice A Demonstrţie Avem B * = {u *, u *,,u * n } şi B * = {w *, w *,,w * n } unde elementele u * i şi respectiv w * i sunt definite de relţi (6) Fie Λ = ( ij ) i,j =, n mtrice de trecere de l bz B * l bz B * Pentru determin prim linie cestei mtrice observăm că w * k = k u * * + k u + + kn u * n Atunci pentru orice k, i {,,, n} vem w * k (w i ) = k u * (w i ) + k u * (w i ) + + kn u * n (w i ) *) δ i k = k u * ( i u + i u + + in u n ) + k u * ( i u + i u + + in u n ) + + kn u * n ( i u + i u + + in u n ) Deci δ i k = k i + k i + + kn in pentru toţi k, i {,,, n} Relţi de mi sus se scrie mtricil stfel I = ΛA T, unde I este mtrice unitte de ordinul n cu elemente din K Se cunoşte din primul cpitol că mtrice de trecere A este inversbilă, deci (6) Λ = (A T ) - Dcă ξ, ξ,, ξ n sunt coeficienţii unei forme linire f V * în bz B şi ξ ', ξ ',,ξ n ' sunt coeficienţii celeişi forme în bz B tunci rezultă, conform formulelor (4) şi (6), (6) ξ' = Aξ şi m obţinut concluzi Exemplul 6 Considerăm form liniră f definită în exemplul 6 şi bzele B = {u =(,, ), u =(,, ), u =(,, )}, B = {u =(,, ), u =(,, ), u =(,, )} în R ) Să se determine mtrice de trecere de l bz B * l bz B * b) Să se determine coeficienţii formei linire f în bz B * * δi j este simbolul lui Kronecker, δ i j =, dcă i j şi δ i j =, dcă i = j 89

Forme linire, bilinire şi pătrtice ) Mtrice de trecere de l bz B l bz B este A = Aplicând teorem de mi sus, rezultă că mtrice de trecere l bz B * l bz B * este Λ = / / / 6 / b) Coeficienţii formei / 6 f în bz cnonică B sunt f(u ) = notξ =, f(u ) = notξ =, f(u ) = notξ = şi ţinând cont de formul (6) deducem că ξ ξ ξ su ξ ' = 5, ξ ' = 4, ξ ' = ξ ξ ξ ' ' = ' Propoziţi 6 Fie f, g V * Dcă Ker f Ker g tunci există K stfel încât g(x)= f(x), x V Demonstrţie Presupunem prin bsurd că pentru fiecre K există cel puţin un vector x V stfel încât g(x ) f(x ) Dcă y Ker f tunci y Ker g şi g(y) - f(y) = Deci x Ker f Există x Ker f stfel încât g(x )f(x ) g(x )f(x ) Într-devăr dcă g(x )f(x) = g(x)f(x ), x V - Ker f şi luăm = g(x )( f(x )) - şi obţinem g(x) = f(x), x V, cee ce contrzice presupunere făcută Atunci sistemul g(x + bx ) =, f(x + bx ) =,,b K 9

Algebră liniră dmite o soluţie unică, deorece determinntul sistemului este g(x f (x ) ) g(x f (x ) ) = g(x )f(x ) - g(x )f(x ) Dcă, b este soluţi cestui sistem, tunci z = x + bx re propriette că g(z) =, f(z) =, cee ce contrzice ipotez Ker f Ker g Demonstrţi este completă Teorem 6( lui Riesz)Dcă V este un spţiu euclidin rel su complex tunci pentru oricre formă liniră f V * există şi este unic un vector x V stfel încât f(x) = <x, x >, oricre r fi x V Demonstrţie Fie U = Ker f Avem dim Ker f = dim V - Fie U complementul ortogonl l lui U Deorece dim U = dim V - dim U =, putem spune că {x } este o bză lui U, oricre r fi x, x U Aplicţi g : V K, g(x) = <x, x > este o formă liniră Conform definiţiei complementului ortogonl l unui subspţiu, deducem că Ker g U Deci Ker g Ker f şi plicând propoziţi de mi sus, rezultă că există K stfel încât f(x) = g(x) f(x) = <x, x > Luăm x = x şi vem f(x) = <x, x > Existenţ fost demonstrtă Pentru răt că x cu propriette de mi sus este unic, presupunem prin bsurd că există x x stfel încât f(x) = <x, x > Deci <x, x - x > =, oricre r fi x V, în prticulr şi pentru x = x - x Atunci < x - x, x - x > = x - x = x = x, cee ce contrzice presupunere făcută Exemplul 64 Fie " f " form liniră de l exemplul 6 Să se găsescă vectorul x R cu propriette că f(x) = <x, x >, oricre r fi 9

Forme linire, bilinire şi pătrtice x R Dcă x = (,, ), x = (x, x, x ) tunci relţi f(x) = <x, x >, x R este echivlentă cu x + x = x + x + x, oricre r fi x i R, i =,, Identificând coeficienţii celor două polinome cu vribile, obţinem =, =, = Deci x =(,, ) 6 Forme bilinire I Definiţi formei bilinire Mtrice socită Fie V şi W două spţii vectorile peste corpul numerelor rele R Definiţi 6 O plicţie B : V x W R cre îndeplineşte condiţiile de mi jos, pentru orice x, x V, y, y W, β R, se numeşte formă biliniră ) B(x + x, y ) = B(x, y ) + B(x, y ); b) B( x, y ) = B(x, y ); c) B(x, y + y ) = B(x, y ) + B(x, y ); d) B(x, y ) = B(x, y ) Observţi 6 ) Condiţiile ), b), c) şi d) de mi sus sunt echivlente cu condiţiile )' B(x + βx, y ) = B(x, y ) + βb(x, y ); b') B(x, y + βy ) = B(x, y ) + βb(x, y ); ) Avem B(, y) = B(x, ) = oricre r fi x V, y W Într-devăr din definiţi de mi sus rezultă că pentru x V, fixt, plicţi y B(x, y) 9

Algebră liniră definită pe W cu vlori rele este o formă liniră De semene, dcă fixăm y W tunci plicţi x B(x, y) definită pe V cu vlori rele este tot o formă liniră Din Observţi 6 rezultă concluzi Exemplul 6 Se consideră plicţiile ) B : R x R 4 R, B(x, y) = x y - x y + x y + x y 4, unde x = (x, x, x ), y = (y, y, y, y 4 ); b) B : R x R R, B(x, y) = x y - x y + x y, y = (y, y, y ) Să se verifice dcă plicţiile de mi sus sunt forme bilinire ) Se consttă că sunt verificte condiţiile ') şi b') din Observţi 6, deci B(,) este o formă biliniră b) Fie =, x = (,, ), y = (,, ) Avem B( x, y ) = - 4 în timp ce B(x, y ) = - Deorece B( x, y ) B(x, y ) rezultă că nu este îndeplinită condiţi b) din Definiţi 6 şi B(,) nu este o formă biliniră Fie cum B = {u, u,,u n } o bză în V şi B = {w, w,,w m } o bză în W Dcă x = ξ u + ξ u + + ξ n u n V şi y = ζ w + ζ w + + ζ m w m W tunci B(x, y) = B(ξ u + ξ u + + ξ n u n, ζ w + ζ w + + ζ m w m ) şi ţinând cont de proprietăţile ') şi b') le formei bilinire vem succesiv B(x, y) = ξ B(u, ζ w + ζ w + + ζ m w m ) + ξ B(u, ζ w + ζ w + + ζ m w m ) + + ξ n B(u n, ζ w + ζ w + + ζ m w m ) n m B(x, y) = i= j= ξ i ζ j B(u i, w j ) Notând ij = B(u i, w j ), i =,,,n, j =,,,m obţinem (6) B(x, y) = n m i= j= ij ξ i ζ j 9

Forme linire, bilinire şi pătrtice Definiţi 6 Mtrice A = ( ij ) i =,n, j =,m definită mi sus se numeşte mtrice socită formei bilinire B(,) în pereche de bze B şi B ir elementele ij se numesc coeficienţii formei bilinire în ceeşi pereche de bze Observţi 6 ) Expresi mtricilă formulei (6) este B(x, y) =ξ T Aζ, unde ξ T şi respectiv ζ T sunt mtricele linie (ξ ξ ξ n ) şi respectiv (ζ ζ ζ m ) b) Dcă V = W tunci se consideră ceeşi bză B = {u, u,,u n } pentru V şi W, elementele mtricei socite formei bilinire fiind ij = B(u i, u j ), i, j =,,,n Exemplul 6 Se consideră form biliniră definită în exemplul 6 Să se determine mtrice socită cestei forme bilinire în pereche de bze B = {u = (,, ), u = (,, ), u = (-,, )}, în R şi B = {w = (,,, ), w = (,,, ), w = (, -,, ), w 4 = (,,, )}, în R 4 Clculăm = B(u, w ) = - + 4 + = 4, = B(u, w ) = - + 4 + = etc şi obţinem mtrice A = 4 8 8 6 Observţi 6 Există o corespondenţă bijectivă între mulţime mtricelor A M nxm (R) şi mulţime formelor bilinire definite pe V x W, unde dim R V = n şi dim R W = m Într- devăr dcă B(,) este o formă biliniră definită pe V x W şi (B, B ) este o pereche de bze (B în V şi B în W) fixtă, tunci, m văzut mi sus că, formei bilinire B(,) i se sociză în mod unic o mtrice A M nxm (R) Reciproc, dcă A M nxm (R) A = ( ij ) i =,n, j =,m, tunci definim plicţi B : V x W R, B(x, y) = 94

Algebră liniră n m i= j= ij ξ i ζ j, unde (ξ, ξ,, ξ n ) şi respectiv (ζ, ζ,, ζ m ) sunt coordontele vectorilor x şi respectiv y în bzele B şi B Funcţi definită mi sus este o formă biliniră (exerciţiu) Observţi 64 Fie B : R n xr m R, B(x, y) = n m i= j= ij x i y j, x = (x, x,, x n ), y = (y, y,, y m ), o formă biliniră (exerciţiu) Dcă B şi respectiv B sunt bzele cnonice în R n şi R m tunci mtrice socită formei bilinire în pereche de bze lesă este A = ( ij ) i =,n,j =,m, dică elementul ij l mtricei A este de fpt coeficientul lui x i y j din expresi formei bilinire Exemplul 6 Mtrice socită formei bilinire de l exemplul precedent în pereche formtă din bzele cnonice din R şi respectiv R 4 este A = II Schimbre mtricei socite când se schimbă bzele C şi în czul opertorilor liniri, se pune problem determinării legăturii între mtricele socite formei bilinire în perechi de bze diferite Astfel, vem teorem de mi jos: Teorem 6 Dcă A = ( ij ) i =,n, j =,m şi Λ = (λ ij ) i =,n, j =,m sunt mtricele socite formei bilinire B(,) în perechile de bze (B, B'), (B, B '), diferite şi M, respectiv P, sunt 95

Forme linire, bilinire şi pătrtice mtricele de trecere de l bz B l bz B în V şi respectiv de l bz B' l bz B ' în W, tunci (6) Λ = M A P T Demonstrţie Fie B = {u, u,,u n }, B' ={u ', u ',,u n '} bze în V şi B = {w, w,,w m }, B ' = {w ', w ',,w m '} bze în W Conform definiţiei mtricei socite unei form bilinire B(,) vem λ ij = B(u i ', w j ') = B(m i u + + m in u n, p j w + + p jm w m ) Folosind proprietăţile ) - d) din Definiţi 6 obţinem n m λ ij = r= k= m ir p jk B(u r, w k ) = n m r= k= m ir rk p jk Deci λ ij este elementul de pe lini i şi colon j mtricei M A P T Demonstrţi este completă Exemplul 64 Să se rezolve problem de l exemplul 6 folosind formul (6) Este cunoscută mtrice A socită formei bilinire B(,) în pereche de bze cnonice le spţiilor pe cre cest este definită (vezi exemplul 6) Pentru determin mtrice socită formei în pereche formtă din bzele de l exemplul 6, este suficient să determinăm mtricele cre du schimbările de bze în spţiile R şi R 4 Astfel, conform definiţiei mtricei de trecere şi respectând notţiile din Teorem 6, vem M = şi P = Aplicăm formul (6) şi vem Λ = 4 8 8 6 96

Algebră liniră Observţi 65 Dcă V = W şi M este mtrice schimbării de bză în spţiul V tunci formul (6) devine Λ = M A M T Definiţi 6 ) Două mtrice de celşi tip sunt echivlente dcă Exemplul 65 reprezintă ceeşi formă biliniră în perechi de bze diferite b) Două mtrice de celşi ordin sunt semene dcă reprezintă ceeşi formă biliniră în bze diferite Mtricele A şi Λ din exemplul de mi sus sunt echivlente Dcă este dtă form biliniră B : R x R R, B(x, y) = x y - x y + x y - x y, tunci mtrice socită ei în bz cnonică lui R este A =, conform Observţiei 64 Pentru determin mtrice socită formei bilinire în bz B = {u = (-, -, - ), u = (, -, ), u = (,, )} este suficient să observăm că mtrice de trecere de l bz cnonică lui R l bz B este M = Aplicăm formul (6) şi vem Λ = Mtricele A şi Λ sunt semene 6 4 6 8 4 Teorem 6 ) Două mtrice A, Λ M nm (R) sunt echivlente dcă şi numi dcă există lte două mtrice M M n (R), P M m (R), inversbile stfel încât Λ = M A P T b) Două mtrice A, Λ M n (R) sunt semene dcă şi 97

Forme linire, bilinire şi pătrtice numi dcă există mtrice M M n (R), inversbilă stfel încât Λ = M A M T Demonstrţie ) Dcă mtricele A, Λ M nm (R) sunt echivlente, tunci concluzi rezultă plicând Teorem 6 Reciproc, dte fiind mtricele A, Λ M nm (R) definim form biliniră B: R n x R m R, B(x, n m y) = i= j= ij x i y j, unde x = (x, x,, x n ), y = (y, y,, y m ) Dcă vom schimb bzele din R n şi respectiv R m cu jutorul mtricelor M şi respectiv P, tunci mtrice socită formei bilinire în noile bze este M A P T, dică chir mtrice Λ Pentru demonstr punctul b) se procedeză semănător (exerciţiu) III Spţiile nule le unei forme bilinire Dcă B: V x W R este o formă biliniră tunci introducem mulţimile: V = {x V/ B(x, y) =, oricre r fi y W} V, W = {y W/ B(x, y) =, oricre r fi x V} W Propoziţi 6 Mulţimile de vectori V, W, împreună cu operţiile de dunre vectorilor şi înmulţire cestor cu sclri definite pe spţiile V şi respectiv W, u o structură de subspţii vectorile Demonstrţie Deorece V, deducem că V Dcă x, x V tunci B(x, y) =, B(x, y) =, oricre r fi y W De ici deducem că 98

Algebră liniră B(x + x, y) =, B( x, y) =, oricre r fi y W, R Deci x + x, x V, cee ce însemnă că V este subspţiu vectoril l lui V Anlog se demonstreză că W este subspţiu vectoril l lui W Definiţi 64 Subspţiile vectorile V şi W definite mi sus se numesc subspţiile nule în primul şi respectiv l doile rgument le formei bilinire B(,) Avem următore teoremă de crcterizre subspţiilor nule Teorem 6 Fie B(,) o formă biliniră definită pe V x W ) Dcă B = {w, w,, w m } este o bză în W tunci x V dcă şi numi dcă B(x, w i ) =, i =,,, m b) Dcă B = {u, u,, u n } este o bză în V tunci y W dcă şi numi dcă B(u i, y) =, i =,,, n Demonstrţie Dcă x V tunci, conform definiţiei lui V, rezultă că B(x, w i ) =, i =,,,m Reciproc, fie y W, y = ζ w + ζ w + + ζ n w n Dcă B(x, w i ) =, i =,,, m tunci B(x, y) = m i= ζ i B(x, w i ) = Deci, conform definiţiei, x V Rţionând semănător se demonstreză şi punctul b) Propoziţi 6 Fie B(,) o formă biliniră definită pe V x W şi B, respectiv B bze în V şi respectiv W Dcă mtrice A socită formei bilinire în pereche de bze B şi B re rngul r şi V, respectiv W, sunt subspţiile complementre le subspţiilor nule V şi W tunci dim W = dim V = r 99

Forme linire, bilinire şi pătrtice Demonstrţie Deorece dim V = dim V - dim V, conform Observţiei 85, este suficient să determinăm dimensiune subspţiului vectoril V pentru fl dimensiune lui V Dcă B şi B sunt bzele în V şi W considerte în Teorem 6 tunci x = ξ u + ξ u + + ξ n u n V dcă şi numi dcă B(x, w j ) =, j =,,, m Deci coordontele (ξ, ξ,, ξ n ) le lui x în bz B verifică sistemul: ξ + ξ + + ξ n n = ξ m + ξ m + + ξ n nm = Mtrice sistemului este A T şi re rngul r Aplicăm Teorem 7 şi deducem că mulţime U soluţiilor cestui sistem este un subspţiu vectoril l lui R n de dimensiune n - r Deorece subspţiul V este izomorf cu U, deducem că dim R V = n - r (se plică Teorem 6) Deci într-devăr dim R V = r În celşi mod se stbileşte că dim R W = r Din teorem de mi sus se deduce că rngul două mtrice echivlente, respectiv semene este celşi Într-devăr, dimensiune subspţiile nule socite unei forme bilinire este invrintă l schimbre bzele spţiilor de definiţie le formei Deci rngul oricărei mtrice socite formei bilinire, în orice pereche de bze, este celşi (este egl cu dimensiune subspţiilor complementre subspţiilor nule) Definiţi 6 completeză rţionmentul Definiţi 65 Numim rng l formei bilinire B(,), dimensiune comună subspţiilor complementre subspţiilor nule Observţi 66 Dcă V = W, tunci subspţiile nule în primul şi l

Algebră liniră doile rgument sunt în generl diferite, dr u ceeşi dimensiune, conform Teoremei 6 Definiţi 66 Spunem că form biliniră B(,) definită pe V x V este nedegenertă dcă spţiile nule sunt formte numi din vectorul În cz contrr form se numeşte degenertă Exemplul 66 Se consideră form biliniră B : R x R 4 R, B(x, y) = x y - x y + x y 4 + x y - x y, x =(x, x, x ), y =(y, y, y, y 4 ) Să se determine subspţiile nule le formei şi să se clculeze rngul formei Avem V = {x R / x y - x y + x y 4 + x y - x y =, oricre r fi y i R, i =,,, 4} Deorece x y + ( x - x )y - x y + x y 4 = pentru toţi y i R, i =,,, 4 x =, x - x =, - x =, x = x = x = x = rezultă că V = () Din definiţi lui W deducem că y W x y - x y + x y 4 + x y - x y =, oricre r fi x i R, i =,, x (y - y + y 4 ) + x y - x y =, oricre r fi x i R, i =,, y - y + y 4 =, y =, -y = Sistemul obţinut este comptibil nedetermint şi re soluţi y = R, y =, y =, y 4 = Deci W = {(,,,), R} şi dim W = Rngul formei este egl cu 4 - dim R W, dică cu

Forme linire, bilinire şi pătrtice IV Forme bilinire simetrice Definiţi 67 Spunem că form biliniră B(,) definită pe V x V este o formă biliniră simetrică dcă B(x, y) = B(y, x) Observţi 67 Dcă B = {u, u,, u n } este o bză în V, tunci condiţi din definiţi de mi sus implică relţiile ij = B(u i, u j ) = B(u j, u i ) = ji oricre r fi i, j =,n, cee ce însemnă că mtrice socită formei bilinire într-o bză orecre spţiului este simetrică Este devărtă şi firmţi reciprocă, dică dcă mtrice socită formei bilinire B(,) într-o bză spţiului V este simetrică, tunci form biliniră este simetrică Exemplul 67 Să se verifice cre din plicţiile de mi jos este o formă biliniră simetrică: ) B: R x R R, B(x, y) = x y + x y - x y +x y - 4x y, unde x =(x, x, x ), y =(y, y, y ); b) B: R x R R, B(x, y) = x y + x y - x y +x y + x y - x y - 4x y ; c) B: R x R R, B(x, y) = x y + x y - x y + x y + y x - y x - 4x y + Fie B = {E, E, E }, bz cnonică în R ) Se verifică xiomele ) - d) din definiţi formei bilinire (Exerciţiu) Deorece B(E, E ) = ir B(E, E ) = şi B(E, E ) B(E, E ), rezultă, conform definiţiei de mi sus, că B(,) nu este formă biliniră simetrică b) Aplicţi B(,) este o formă biliniră (Exerciţiu) Mtrice socită formei în bz cnonică este

Algebră liniră A = şi, deorece este simetrică, deducem, conform 4 observţiei de mi sus, că form biliniră este simetrică c) Aplicţi nu este formă biliniră deorece = B(E, E ) B(E, E ) = 4 şi nu vem stisfăcută condiţi de omogeneitte în primul rgument Exemplul 68 Să se determine form biliniră simetrică definită pe R x R, cărei mtrice socită în bz B = {u = (, -, ), u = (, -, ), u = (,, )} este A = ) Să se găsescă expresi formei bilinire în B şi în bz cnonică lui R b) Să se clculeze spţiile nule în primul şi l doile rgument şi să se stbilescă dcă form este nedegenertă su nu Dcă x = ξ u + ξ u + ξ u, y = ζ u + ζ u + ζ u R, tunci se ştie că B(x, y) = i= j= ij ξ i ζ j Deci expresi formei în bz B este B(x, y) = ξ ζ - ξ ζ - ξ ζ + ξ ζ Deorece mtrice M de trecere de l bz B l bz cnonică este dtă de formul M - =, plicăm formul (6) pentru determin mtrice Λ socită formei bilinire simetrice în bz cnonică şi obţinem

Forme linire, bilinire şi pătrtice Λ = / / / / Dcă x = x E + x E + x E, y = y E + y E + y E R, unde E, E, E sunt vectorii bzei cnonice, tunci B(x, y) = / x y + /x y + / x y +/ x y b) Din definiţi spţiilor nule deducem că x V y (/x + /x ) + y (/ x +/x ) =, oricre r fi y, y, y R Deci x V coordontele vectorului x în bz cnonică verifică sistemul /x + /x =, / x +/x = Rezolvând sistemul deducem că V = {(,,), R} () Anlog, se stbileşte că subspţiul nul în l doile rgument coincide cu V În concluzie, form biliniră este degenertă Observţi 68 Spţiile nule în primul şi l doile rgument le unei formei bilinire simetrice coincid (Pentru demonstrţie se foloseşte definiţi spţiilor nule şi ce formi bilinire simetrice) Dcă o formă biliniră simetrică este nedegenertă, tunci mtrice socită ei, în orice bză spţiului pe cre este definită, este nesingulră Teorem 64 Fie B(,) o formă biliniră simetrică de rng r, definită pe V x V, dim R V = n Atunci există o bză {u, u,, u r,, u n } în V în cre mtrice socită formei bilinire re form 4

(6) A = r r Algebră liniră r r r r Mi mult, restricţi *) formei bilinire B(,) l subspţiul genert de fmili {u, u,, u r } este nedegenertă Demonstrţie Dcă V este spţiul nul socit formei bilinire simetrice B(,), tunci, conform Propoziţiei 6, rezultă că dim R V = n - r Fie V un subspţiu complementr l spţiului vectoril V Dcă B = {u, u,, u r } este o bză în V şi B' = {u r+, u r+,, u n } este o bză în V, tunci se ştie că B B' este bză în V Din Teorem 6 rezultă că ij = B(u i, u j ) = şi B(u j, u i ) = ji =, oricre r fi i {,,, r}, j { r +, r +,,n} Deci în bz B B' mtrice socită formei este dtă de relţi (6) Restricţi B (,) formei bilinire B(,) l V este o formă biliniră nedegenertă Într-devăr, dcă r exist x stfel încât B (x, y ) =, oricre r fi y V, tunci, conform definiţiei restricţiei unei forme bilinire simetrice, vem B(x, y ) =, y V Fie y V Atunci există şi sunt unici y V şi y V stfel încât y = y + y Deorece B(x, y) = B(x, y ) + B(x, y ) =, conform celor spuse mi sus şi conform definiţiei * Prin restricţi unei forme bilinire simetrice B(,) :V x V R l subspţiul V l lui V înţelegem plicţi B (,) :V x V R, B (x, x) =B(x, x), cre este tot o formă biliniră simetrică 5

Forme linire, bilinire şi pătrtice spţiului nul V, rezultă că x V Dr V V =, şi m obţinut o contrdicţie Deci B (,) este nedegenertă Definiţi 68 Spunem că form biliniră B(,) simetrică, definită pe V x V, este pozitiv definită dcă B(x, x) >, oricre r fi x V, x Form este negtiv definită dcă B(x, x) <, oricre r fi x V, x Definiţi 69 Form biliniră B(,) simetrică, definită pe V x V, este pozitiv (respectiv negtiv) semidefinită dcă B(x, x), (respectiv B(x, x) ) oricre r fi x V şi există x stfel încât B(x, x) = Definiţi 6 Dcă form biliniră B(,) simetrică, definită pe V x V, nu este nici pozitiv, nici negtiv semidefinită, tunci spunem că este nedefinită Observţi 69 Spţiul nul l unei formei bilinire simetrice pozitiv (negtiv) definită (căci putem vorbi despre un singur spţiu nul, conform Observţiei 68) este egl cu spţiul () şi form biliniră este nedegenertă Într-devăr, dcă x V, tunci B(x, y) =, oricre r fi y V În prticulr vem şi B(x, x) =, dr form fiind pozitiv (negtiv) definită rezultă că x = Deci V = () Exemplul 69 Form biliniră simetrică B: R x R R, B(x, y) = x y + x y + 4x y, x = (x, x, x ), y = (y, y, y ) este pozitiv definită deorece B(x, x) = x + x + 4x şi B(x, x) = x = x = x = 6

Algebră liniră În celşi mod se verifică fptul că form biliniră simetrică B: R x R R, B(x, y) = - x y - x y - 4x y este negtiv definită Dcă vom consider form biliniră simetrică B: R x R R, B(x, y) = x y -x y + 4x y, se consttă că B((,,),(,,)) = 5 >, în timp ce B((,,),(,,)) = - < În cest cz, form nu este nici pozitiv, nici negtiv semidefinită şi este nedefinită Teorem 65 Dcă B(,) este o formă biliniră, simetrică, nedegenertă, definită pe V x V, tunci există cel puţin o bză în V stfel încât minorii principli din mtrice A = ( ij ) i,j =,n socită formei în bz respectivă să fie nenuli Demonstrţie Se foloseşte metod inducţiei mtemtice pentru demonstr că există o bză B' în V stfel încât pentru fiecre k =,, n minorul principl de ordin k să fie nenul Fie B = {u,u,, u n } o bză în V Demonstrţi se desfăşoră în două etpe: A Vom demonstr că pentru k = există o bză în V stfel încât = Într-devăr, dcă tunci firmţi se verifică Deorece form biliniră, fiind nedegenertă, este neidentic nulă, vem următorele czuri: A) există cel puţin un element ii, i {, n} Fcem schimbre de bză v = u i, v = u,,v i = u,, v n = u n şi vem B(v, v ) = B(u i, u i ) = ii A) ii =, i =, n şi există ij, i j, i, j =,,n Fcem schimbre de bză v i = u i, i =,, j -, j +,, n, v j = u i + βu j, β Obţinem B(v j, v j ) = β ij şi suntem în situţi de l punctul A) Se fce schimbre de bză corespunzătore şi rezultă concluzi 7

Forme linire, bilinire şi pătrtice B Presupunem că m găsit bz B k = {g, g,, g n }, în cre mtrice socită formei B(,) re propriette că minorii principli i, i =,,k, k > sunt nenuli Vom răt că există o bză B k+ în cre minorii principli i sunt nenuli, i, i =,, k + B) Dcă există un minor de ordinul k +, obţinut din k prin bordre lui cu o linie şi o colonă de celşi indice j > k, cre este diferit de zero, tunci în bz v = g,, v k = g k, v k+ = g j,v j = g k+,, v n = g n minorii principli i, i =,, k + sunt nenuli B) Dcă nu se întâmplă situţi de l punctul B) tunci există un minor nenul, de rng k+, pj, obţinut prin bordre lui k cu o linie de indice p şi o colonă de indice j, p j, p, j > k Atunci se fce schimbre de bză v i = g i, i =,, p -, p +,,n, v p = g p + βg j, β Minorul obţinut prin bordre minorului de ordin k cu lini şi colon p este nenul Într-devăr, dcă i p, B(v i, v p ) = B(v i, g p + βg j ) = ip + β ij şi minorul de ordin k + obţinut c mi sus este k+ = p k + β j pk k kk jk pp p + β kp + β + β + β pj j kj + β jj Folosind proprietăţile determinnţilor vem 8

Algebră liniră k+ = p k + β j pk k kk + β jk pp p kp + β pj + β p k + β j pk k kk + β jk pj j kj + β jj = β jp Acum suntem în condiţiile de l punctul B) şi făcând schimbre de bză indictă l punctul respectiv se obţine concluzi Exemplul 6 Să se verifice dcă form biliniră simetrică B : R x R R, B(x, y) = x y + x y - /y x - /x y + y x + x y, x =(x, x, x ), y =(y, y, y ) este nedegenertă În cz firmtiv să se găsescă o bză în cre form biliniră simetrică re propriette din teorem de mi sus Mtrice socită formei bilinire în bz cnonică din R, B ={E, E, E } este A = / / Se observă că ne flăm în situţi A) din demonstrţi teoremei de mi sus Alegem şi fcem schimbre de bză u = E, u = E, u = E + E În cestă bză mtrice socită este A = / / propriette că toţi minorii săi principli sunt nenuli şi se consttă că cest re 9

Forme linire, bilinire şi pătrtice 6 Forme pătrtice Reducere l form cnonică I Forme pătrtice Definiţie Proprietăţi Mtrice socită Fie B : V x V R, o formă biliniră simetrică, unde V este un spţiu vectoril rel Definiţi 6 Aplicţi A: V R definită de formul A(x) = B(x, x) se numeşte form pătrtică socită formei bilinire simetrice B(,) ir form B(,) se numeşte form polră formei pătrtice A Propoziţi 6 Există o corespondenţă bijectivă între mulţime formelor pătrtice definite pe spţiul vectoril V mulţime formelor bilinire simetrice definite pe V x V Demonstrţie Fptul că fiecărei forme bilinire simetrice B(,) i se sociză în mod unic o formă pătrtică rezultă din definiţi de mi sus Pentru demonstr firmţi reciprocă, vom demonstr mi întâi că între o formă biliniră simetrică şi form pătrtică socită există relţi (6) B(x, y) = [A(x + y) - A(x) - A(y)] Într-devăr A(x + y) = B(x + y, x + y) = B(x, x) + B(x, y) + B(y, y) = A(x) + B(x, y) + A(y) şi de ici rezultă concluzi Deci fiecărei forme pătrtice i se pote soci o formă biliniră Exemplul 6 ) Să se determine form pătrtică socită formei bilinire simetrică B: R x R R, B(x, y) = x y + x y + x y + x y - x y + x y + 4x y, x = (x, x, x ), y = (y, y, y ) b) Dcă A: R R, şi

Algebră liniră A(x) = x + x x -x x + x, x = (x, x, x ) este o formă pătrtică, să se determine form s polră ) A(x) = x - x + 4x + 4x x + x x b) Form polră este B(x, y) = [A(x + y) - A(x) - A(y)] = x y + /x y - x y + /x y - x y + x y, conform relţiei (6) Definiţi 6 Form pătrtică A: V R este pozitiv definită (respectiv negtiv definită) dcă form s polră este pozitiv definită (respectiv negtiv definită) Anlog se definesc noţiunile de formă pătrtică pozitiv semidefinită (respectiv negtiv semidefinită) su de formă pătrtică nedefinită Observţi 6 O reformulre definiţiei de mi sus este următore: form pătrtică A este: - pozitiv (negtiv) definită A(x) > ( A(x) < ), x V, x ; - pozitiv (negtiv) semidefinită A(x),( A(x) ) x V şi există x V, x stfel încât A(x) = - nedefinită dcă A() i tât vlori pozitive cât şi vlori negtive C şi în czul formelor bilinire simetrice, se pune problem socierii l fiecre formă pătrtică A: V R unei mtrice într-o bză B spţiului vectoril rel V Definiţi 6 Se numeşte mtrice socită formei pătrtice A: V R în bz B spţiului V, mtrice socită formei sle polre în ceeşi bză

Forme linire, bilinire şi pătrtice Dcă B = {u, u,, u n } este o bză în V şi B(,) este form biliniră simetrică, polră formei pătrtice A() şi x = ξ u + ξ u + + ξ n u n V tunci A(x) = B(x, x) = n n i= j= ij ξ i ξ j, conform relţiei (6) Expresi de mi sus se scrie mtricil stfel (6) A(x) = ξ T Aξ, unde A = ( ij ) i,j =,,n şi ξ T este mtrice linie (ξ ξ ξ n ) Relţi (6) pote fi folosită pentru clcul mi uşor form polră unei forme pătrtice Astfel, deorece ij = ji oricre r fi i, j =,, n, vem (6) A(x) = n i= n ii ξ i + i, j= i< j ij ξ i ξ j şi putem fce următore observţie: - elementele ii, i =,, n, de pe digonl mtricei socite formei polre sunt chir coeficienţii termenilor ce conţin ξ i din formul de mi sus - elemetele ij i, j =,,n, i < j, de sub digonl mtricei socite, sunt egle cu / din coeficienţii termenilor ce conţin ξ i ξ j, i < j - elementele de desupr digonlei mtricei socite sunt egle cu cele de sub digonlă deorece mtrice socită este simetrică: ij = ji i, j =,, n Exemplul 6 Dcă A: R 5 R, A(x) = - x + x - x + x 4 + x x - x x +x x - x x 5 + x 4 x 5, x = (x, x, x, x 4, x 5 ) este o formă pătrtică, să se determine form s polră Mtrice socită formei pătrtice în bz cnonică lui R 5 este

Algebră liniră A = / / / / / / Deci form biliniră simetrică B(,), cărei mtrice socită în bz cnonică este ce de mi sus, este B(x, y) = - x y + /x y - x y /x y + x y + x y -/x y 5 - x y + x y - x y + x 4 y 4 + /x 4 y 5 - /x 5 y + /x 5 y 4 II Reducere l form cnonică unei forme pătrtice Definiţi 64 Se numeşte formă cnonică unei formei pătrtice A: V R, unde V este un spţiu de dimensiune n, orice scriere cestei într-o bză B lui V de form (64) A(x) = n i= i ξ i, unde i R, ir ξ i, i =,, n sunt coordontele vectorului x în bz B O problemă ridictă de definiţi de mi sus este dcă orice formă pătrtică pote fi scrisă sub formă cnonică, dică, dcă există o bză B spţiului V stfel încât, în ce bză, expresi formei pătrtice să fie ce din relţi (64) În limbj mtricel, problem este următore: dcă pentru mtrice simetrică socită formei pătrtice într-o bză orecre

Forme linire, bilinire şi pătrtice spţiului V există o mtrice digonlă D = dig(,,, n ) *) semene cu cest Dcă spţiul vectoril V este euclidin, tunci cestă problemă fost rezolvtă dej în secţiune rezervtă opertorilor utodjuncţi A Metod vectorilor şi vlorilor proprii Bzându-ne pe rezulttele stbilite în secţiune dedictă opertorilor utodjuncţi, putem demonstr teorem de mi jos Teorem 6 Dcă V este un spţiu euclidin rel de dimensiune n şi A : V R este o formă pătrtică, tunci există o bză ortonormtă în V pentru cre mtrice socită formei pătrtice este digonlă Demonstrţie Considerăm B = {e, e,,e n } o bză ortonormtă în V Mtrice A socită formei pătrtice în cestă bză este simetrică Considerăm opertorul linir f : V V cărui mtrice socită în bz B este chir mtrice A Deorece mtrice A este simetrică rezultă că opertorul linir f este utodjunct În cestă situţie, se cunoşte fptul că există o ltă bză ortonormtă B'= {f, f,,f n } în cre mtrice D socită lui f re form digonlă D = dig(,,, n ) Dcă M este mtrice de trecere de l bz B l bz B' tunci vem relţi D = MAM - între mtricele D şi A Deorece f i = n j= m ij e j, * Convenim să folosim notţi dig(,,, n ) pentru mtrice de ordinul n cre re pe digonlă sclrii,,, n celellte elemente fiind egle cu 4

Algebră liniră oricre r fi i =,, n şi B' este bză ortonormtă rezultă că δ i k = <f i, f k > n = j= m ij m kj, i, k =,,n Ultim relţie se scrie mtricil MM T = I Deci M - = M T*) Atunci relţi dintre mtricele D şi A devine D = MAM T Din Teorem 6 se deduce că D este de fpt mtrice socită formei bilinire polre formei pătrtice A în bz B' În concluzie, expresi formei pătrtice A() în bz B' este o formă cnonică cestei Teorem demonstrtă mi sus ne sigură că, în spţii euclidiene rele, orice formă pătrtică re o formă cnonică, su ltfel spus orice formă pătrtică pote fi dusă l form cnonică Pentru determin efectiv bz ortonormtă B' în cre form pătrtică re form cnonică, fcem trimitere l demonstrţi teoremei referitore l digonlizre opertorilor utodjuncţi, cre ne sigură de existenţ bzei B' Din cestă demonstrţie rezultă că bz B' este formtă din vectorii proprii de normă i mtricei A, ir elementele de pe digonl mtricei D sunt vlorile proprii le mtricei A Din cest motiv metod de reducere l form cnonică unei forme pătrtice oferită de teorem de mi sus se numeşte metod vectorilor şi vlorilor proprii su metod trnsformărilor ortogonle Exemplul 6 Să se ducă l form cnonică form pătrtică A: R R, A(x) = -5/ x + /6 x + /x - / 8 x x -/ 6 x x -/ x x, x = (x, x, x ) * O mtrice cre îndeplineşte cestă condiţie v fi numită mtrice ortogonlă 5

Forme linire, bilinire şi pătrtice 6 Se observă că mtrice socită formei pătrtice în bz cnonică este A = 6 6 8 6 8 5 Vlorile proprii le cestei mtrice sunt soluţiile ecuţiei det(a - λi) = Rezolvând cestă ecuţie obţinem λ =, λ = λ = Pentru găsi vectorii proprii corespunzători vlorii proprii λ i (i =, ) se rezolvă ecuţi vectorilă Ax T = λ i x T, unde x T = (x x x ) Pentru λ = obţinem sistemul comptibil, simplu nedermint = + = + = x x x x 6 x x x 6 x 8 x x 6 x 8 x 5 Mulţime soluţiilor cestui sistem este S = { (, 6, ), R} Un vector propriu de normă corespunzător vlorii proprii λ = este v = (, 6, ) Pentru vlore proprie λ =, cu ordinul de multiplicitte se obţine sistemul = + = + = x x x x 6 x x x 6 x 8 x x 6 x 8 x 5 comptibil, dublu nedetermint, cu mulţime soluţiilor S ={ (, 6, )+ β (, 6, ),, β R} Deorece o bză ortonormtă în subspţiul S l lui R este formtă

chir din vectorii v = (, Algebră liniră, ), v = (,, ) deducem că 6 6 ceşti sunt vectorii proprii de normă corespunzători vlorii proprii λ = v Atunci bz ortonormtă B' căuttă este formtă din vectorii v, v, Mtrice M de trecere de l bz cnonică, în cre cunoştem mtrice A socită formei bilinire, l bz B' este M = 6 6 6 Aplicând formul (6) rezultă că, în bz B', mtrice socită formei pătrtice este D = Dcă ξ i, i =,, sunt coordontele vectorului x în bz B', tunci expresi formei pătrtice în cestă bză este A(x) = ξ + ξ + ξ Legătur între coordontele din bz B şi cele din bz B' este dtă de formul ξ T = M T x (căci m ţinut cont de fptul că M este mtrice ortogonlă) Deci ξ = x + x + x ξ = x + x - 6 6 x 6 ξ = x - x vvvvvvvvvv 7

Forme linire, bilinire şi pătrtice B Metod lui Guss Teorem următore ne sigură de existenţ formei cnonice unei forme pătrtice în czul mi generl în cre, eliminând ipotez c spţiul V să fie euclidin, presupunem dor că V este un spţiu vectoril rel Fcem observţi că cestă teoremă pote fi extinsă şi l czul unui spţiu vectoril peste un corp orecre, dcă dmitem că form pătrtică şi respectiv form s polră iu vlori în corpul K şi nu nepărt rele Teorem 6 Dcă V este un spţiu vectoril rel de dimensiune n şi A : V R este o formă pătrtică cre nu este identic nulă, tunci există o bză B în V pentru cre mtrice socită formei pătrtice este digonlă Demonstrţie Fie B = {u, u,, u n } o bză spţiului vectoril V şi A = ( ij ) i,j =,n mtrice socită formei în cestă bză Dcă x = ξ u + ξ u + + ξ n u n V tunci A(x) = n i= n ii ξ i + i, j= i< j ij ξ i ξ j, conform formulei (6) Deorece A() nu este identic nulă, există cel puţin un coeficient ij Deosebim două czuri: ) Există i {,,,n} cu propriette ii În cest cz, folosind propriette de socitivitte dunării numerelor rele, ) se grupeză toţi termenii ce conţin sclrul ξ i stfel: A(x) = ij ξ i + i ξ i ξ + i ξ i ξ + + ii- ξ i ξ i- + ii+ ξ i ξ i+ + + in ξ i ξ n + n k= k i ii ξ i + n k, j= k< j,k i, j i kj ξ k ξ j 8

Algebră liniră Dcă notăm R i (x) = n k= k i ii ξ i + n k, j= k< j,k i, j i kj ξ k ξ j, tunci obţinem A(x) = ii [ξ i ii ii + i + ξ i ( ξ + + ξ i- + ξ i+ + ii ii ii + in ii ξn )] + R i (x) ) se formeză un pătrt perfect folosind toţi termenii ce conţin ξ i şi vem succesiv: A(x) = ii (ξ i + i ξ + + ii ii ξ i- + ii ii + ξ i+ + + ii in ξn ) - ii i ii ii + ( ξ + + ξ i- + ξ i+ + + ii ii ii in ii ξn ) + R i (x) şi A(x) = ii (ξ i + i ξ + + ii ii ξ i- + ii ii + ξ i+ + + ii in ii ξn ) + R i, (x), unde m folosit notţi R i, (ξ,, ξ i-, ξ i+,, ξ n ) = - ( ii ii + + ξ i- + ξ i+ + + ii ii in ii ξn ) + R i (x) ) Se fce schimbre de coordonte ζ = ξ,, ζ i- = ξ i-, i ii ξ + ζ i = i ξ + + ii ii ξ i- + ξ i + ii ii + ξ i+ + + ii in ξn, ii ζ i+ = ξ i+,, ζ n = ξ n Deci mtrice de trecere M de l bz B l bz B' = {v, v,, v n }, în cre vectorul x re coordontele de mi sus se pote obţine din relţi 9

(M T ) - = i ii Forme linire, bilinire şi pătrtice ii ii În bz B', form pătrtică A() v ve expresi A(x) = ii ζ i + R i, (ζ,, ζ i-, ζ i+,, ζ n ) Mi mult, este clr că R i, este o formă pătrtică ce nu mi depinde de ζ i şi dcă se consideră restricţi R i, *) cestei forme l subspţiul lui V genert de fmili B' - {v i } tunci R i este o formă pătrtică (exerciţiu) definită pe un spţiu de dimensiune n- Dcă form pătrtică R i, () este în formă cnonică, tunci m obţinut form cnonică pentru form A(), bz căuttă fiind B' Dcă R i, () nu este în formă cnonică tunci lgoritmul continuă cu ducere l form cnonică cestei forme pătrtice, dică cu psul ), dcă suntem în condiţiile czului ) su cu psul b) dcă suntem în czul ii+ ii b), cest din urmă fiind expus în cele ce urmeză Nou schimbre de coordonte, fiind efectută pentru subspţiul V i, nu v fect coordont ζ i, cre suferă dor o redenumire Se v constt că l fiecre plicre pşilor ) -- ) su b) + ) -- ), dimensiune spţiului pe cre este definită form pătrtică ce rămâne de dus l form cnonică scde cu cel puţin o unitte Deci într-un număr finit de pşi lgoritmul se încheie cu obţinere formei cnonice formei pătrtice A() in ii R i, : V i R, R i, (x) = R i, (x), unde m nott cu V i subspţiul lui V genert de B' - {v i }

Algebră liniră b) Nu există nici un indice i {,,, n} stfel încât ii Atunci există indicii i, j {,,, n}, i j, pentru cre ij b) Se fce schimbre de coordonte ξ k = ζ k, pentru k i, j şi ζ i = /(ξ i + ξ j ), ζ j = /(ξ i - ξ j ) Mtrice schimbării de coordonte este M = i j / / / / ir mtrice de trecere de l bz B l nou bză B' este (M T ) - Expresi formei pătrtice în bz B' este A(x) = ij (ζ i - ζ j ) + şi este clr că în cest moment, dcă nu m obţinut dej form cnonică, putem continu cu plicre czului ) Dcă M, M,,M k sunt mtricele de schimbre coordontelor obţinute l pşii P,, P k, rezultţi din plicre lgoritmului de mi sus tunci mtrice de schimbre coordontelor (ξ,, ξ n ) în coordontele finle (x,, x ) este M = M k M k- M ir mtrice de trecere de l bz B l bz în cre form pătrtică este în formă cnonică este (M T ) - Demonstrţi este completă

Forme linire, bilinire şi pătrtice Exemplul 64 Să se determine form cnonică formei pătrtice obţinută l exemplul 6 Deorece = -, suntem în czul ) din demonstrţi teoremei de mi sus şi, conform psului ), vem A(x) = -[x +x (-/x + /x )] + x - x + x 4 +x x - x x 5 + x 4 x 5 Completând pătrtul perfect de l punctul ) vem A(x) = -(x -/x + /x ) + (-/x + /x ) + x - x + x 4 + x x - x x 5 + x 4 x 5 su A(x) = -(x -/x + /x ) -/ x + /4x + x 4 + x x - x x 5 + x 4 x 5 Fcem schimbre de coordonte (65) y = x -/x + /x, y i = x i, i =,, 4, 5 şi obţinem A(x) = -y + R (y, y, y 4, y 5 ) = -y -/ y + /4y + y 4 + y y - y y 5 + y 4 y 5 Procedeul continuă cu reducere l form cnonică formei pătrtice R () Avem R (y, y, y 4, y 5 ) = y 4 +y 4 (/y 5 ) -/ y + /4y + y y - y y 5 = (y 4 +/y 5 ) -/4y 5 -/ y + /4y + y y - y y 5 şi făcând o nouă schimbre de coordonte (66) z 4 = y 4 + /y 5, z i = y i, i =,,, 5 obţinem R (y, y, y 4, y 5 ) = z 4 -/4z 5 -/ z + /4z + z z - z z 5 = z 4 + R (z, z, z 5 ) unde R (z, z, z 5 ) = -/4(z 5 + z 5 z ) -/ z + /4z + z z = - /4(z 5 + z ) + 5/4z -/ z + z z Fcem schimbre de coordonte (67) t 5 = z 5 + z, t i = z i, i =,,, 4 Atunci R (z, z, z 5 ) = -/4t 5 + 5/4t -/ t + t t = -/4t 5 + R (t, t ), ir R (t, t ) =5/4[ t + t (/5 t )] -/ t = 5/4 (t + /5 t ) - /5t După o ultimă schimbre de coordonte (67) ζ = t + /5 t, ζ i = t i, i =,, 4, 5

Algebră liniră observăm că R (t, t ) =5/4ζ - /5ζ este în formă cnonică Ţinând cont de cele spuse până cum deducem că form cnonică formei pătrtice A() este A(x) = -ζ + 5/4ζ - /5ζ + ζ 4 - /4ζ 5 Din relţiile (65) - (67) rezultă următorele formule de schimbre coordontelor, de l cele iniţile l cele finle: ζ = x -/x + /x ζ = x + /5 x ---------- ζ = x -------------------------- ζ 4 = x 4 +/ x 5------------ ζ 5 = x + x 5 -------------- Mtrice de trecere de l bz cnonică, în cre este exprimtă iniţil form pătrtică, l bz B' în cre re form cnonică este M = / /5 /5 /5 / 4/5 ir B' = {(,,,, ), (/,,,, -), (-/5, -/5,, -/5, 4/5), (,,,, ), (,,, -/, )} Exemplul 65 Să se determine form cnonică formei pătrtice A : R R, A(x, x, x ) = x x - x x + x x Se observă că deorece toţi coeficienţii ii =, i =,, suntem în czul b) din demonstrţi teoremei precedente Deorece coeficientul =, fcem schimbre de coordonte

Forme linire, bilinire şi pătrtice y =/( x + x ), y = /( x - x ), y = x şi form pătrtică A devine A(x, x, x ) = y - y + y y - y y Acum putem plic lgoritmul de l punctul ) l celeişi teoreme Avem A(x, x, x ) = [y + y (/4 y )]- y - y y = (y + /4 y ) - y - /8y - y y şi fcem o nouă schimbre de vribilă z = y + /4 y, z =y, z =y Obţinem A(x) = z - z - /8z - z z = z + R(z, z ) Deorece R(z, z ) = - [z + z (/4 z )] /8z = -(z +/4z ) + z, fcem schimbre de vribile t = z + /4z, t = z, t = z şi obţinem form cnonică lui A(): A(x) = t -t + t Relţi între coordontele x, x, x şi t, t, t este t = /x +/x +/4x, t = /x -/x +/4x, t = x, Deci mtrice de trecere de l bz cnonică l bz B' în cre form pătrtică este în formă cnonică, este M = / ir B' = {(,, ), (, -, ), (-, /, )}, C Metod lui Jcobi Fie A() : V R o formă pătrtică cre re expresi n A(x) = i= n j= ij x i x j într-o bză B = {u, u,, u n } ( x = x u + + x n u n ) Atunci vem următore teoremă de ducere l form cnonică formei pătrtice A, : 4

Algebră liniră Teorem 6 (Teorem lui Jcobi) Dcă coeficienţii ij, i, j =,, n din expresi de mi sus formei pătrtice A() u propriette că şirul de determinnţi =, =, =,, k = k k k k kk,, n = n n n n nn re toţi termenii diferiţi de zero, tunci există o bză B' ={g, g,, g n } în cre A() re form cnonică (68) A(x) = n i= β i ξ i, unde ξ i, i =,, n sunt coordontele vectorului x în bz B' ir β = /, β = /,, β n = n- / n Demonstrţie Fie B(,) form polră formei pătrtice A() Vom determin bz B' = {g, g,, g n } stfel încât g = b u ; (69) g = b u + b u ; g n = b n u + b n u + + b nn u n şi să vem îndeplinite condiţiile (6) B(g i, g j ) =, oricre r fi i j şi (6) B(e i, g i ) =, i =,,n 5

Forme linire, bilinire şi pătrtice Este evident că dcă există o stfel de bză B', tunci form pătrtică A() este în formă cnonică, dică A(x) = b ξ + b ξ + + b nn ξ n, unde ξ,, ξ n sunt coordontele vectorului x în bz B' Pentru complet demonstrţi teoremei este suficient să rătăm că există sclrii b i,j, i j n stfel încât să fie stisfăcute condiţiile (69) - (6), şi să demonstrăm că b ii = i- / i, i =,,, n Se pote demonstr prin inducţie după j că firmţi (6) este echivlentă cu (6) B(g j, u i ) =, oricre r fi i < j, j =,, n Într-devăr, dcă j = tunci vem relţi B(g, g ) =, relţie cre este echivlentă cu relţi b B(g, u ) = Deorece B' este, în prticulr, sistem linir independent trebuie să vem g, deci b Rezultă B(g, u ) = Vom demonstr firmţi pentru j {,, n} Din (6) rezultă că pentru orice p < j, vem B(g j, g p ) = Pentru p = vem B(g j, g ) = şi de ici rezultă, rţionând c mi sus, că B(g j, e ) = Folosind inducţi după p < j se stbileşte că B(g j, u p ) = oricre r fi p < j Într-devăr, presupunem că B(g j, u k ) =, oricre r fi k < p şi demonstrăm că B(g j, u p ) = Avem B(g j, b p u + + b pp- u p- + b pp u p ) = Deorece b pp, ltfel g p-, g p nu r mi fi linir independenţi, folosim ipotez de inducţie şi deducem că b pp B(g j, u p ) = şi B(g j, u p ) = Deci B(g j, u p ) = pentru toţi p < j şi demonstrţi este completă Pentru clcul coeficienţii b ij, j =,,i, i =,,n se procedeză stfel: ) dcă i = tunci vem B(g,e ) = şi rezultă b = Deci b = = 6

Algebră liniră b) pentru fiecre i =, n vem B(u j, g i ) = B(g i, u j ) =, j =,, i -, conform relţiei (6) şi B(u i, g i ) =B(g i, u i ) =, conform relţiei (6) Se obţine sistemul: b i B(u j, u ) + b i B(u j, u ) + + b ii B(u j, u i ) =, j =,, i - b i B(u i, u ) + b i B(u i, u ) + + b ii B(u i, u i ) =, cre se mi scrie, ţinând cont de fptul că ij = B(u i, u j ), b i + b i + + b ii i = (6) b i + b i + + b ii i = b i i + b i i + + b ii ii = Deorece determinntul mtricei socite cestui sistem este chir i, deducem că sistemul este comptibil determint şi, plicând regul i lui Crmer, vem b ii = = βi oricre r fi i =,,n Demonstrţi este i încheită Observţi 6 ) Demonstrţi teoremei de mi sus, reprezintă o nouă metodă de ducere l form cnonică unei forme pătrtice, metod lui Jcobi b) Principlul nejuns l cestei teoreme constă în fptul că nu se pote plic decât cu condiţi c şirul de determinnţi i, i =,,n să ibă toţi termenii nenuli Astfel, pentru duce l form cnonică form pătrtică din Exemplul 65, nu putem folosi metod lui Icobi 7

Forme linire, bilinire şi pătrtice Într-devăr, mtrice socită formei pătrtice A(), din exemplul mintit, în bz cnonică, este A = / =, nu putem plic teorem de mi sus 8 / şi, deorece = Acestă problemă pote fi rezolvtă folosind Teoremele 64 şi 65 Deosebim două situţii: i) Form polră formei pătrtice A: V R este nedegenertă Atunci, conform Teoremei 65, există o bză în spţiul V în cre şirul de minori principli i mtricei socite formei pătrtice nu re termeni nuli şi form pătrtică pote fi dusă l form cnonică prin metod lui Jcobi ii) Form polră formei pătrtice A: V R este degenertă Fie B(,) form polră formei pătrtice A(), V spţiul nul socit cestei şi V stfel încât V V = V Dcă B (,) este restricţi formei bilinire simetrice l subspţiul V, c în Teorem 64, tunci, deorece B (,) este nedegenertă, putem folosi punctului i) de mi sus pentru duce form pătrtică socită lui B (,) l form cnonică Fie B' bz din V în cre se obţine form cnonică formei bilinire B (,) prin metod lui Icobi Dcă B'' este o bză orecre în V tunci B'' B' este o bză în V în cre A() re form cnonică (Acestă firmţie este consecinţ fptului că dcă x V tunci x se scrie în mod unic c o sumă de doi vectori x V şi x V ir A(x) = A(x )) Exemplul 66 Să se folosescă metod lui Jcobi pentru duce l form cnonică form pătrtică de l Exerciţiul 64 A : R R, A(x, x, x ) = x x - x x +x x

este A = Algebră liniră Se observă că mtrice socită formei pătrtice în bz cnonică / / şi conform celor rătte în exemplul 6 găsim o ltă bză B = { u = E, u = E, u = E + E } în cre mtrice socită formei pătrtice îndeplineşte ipotezele teoremei lui Jcobi În cestă bză mtrice socită este A = 9 / / şi =, = -, = - Form cnonică este A(x) = /ξ - ξ + ξ, unde ξ i, i =,, sunt coeficienţii vectorului x în bz determintă de condiţiile (69) - (6) din demonstrţi teoremei lui Jcobi Am văzut că g = /u = /(E + E ), g = b u + b u, unde b = -, ir b =, ş cum rezultă din rezolvre sistemului (6) Deci g = E - E Anlog se obţine g = b u + b u + b u, unde b = -, b = / şi b =, dică g = -E +/E +E În concluzie, bz căuttă este B' ={(/, /, ), (, -, ), (-, /, )} Exemplul 67 Să se ducă l form cnonică prin metod lui Jcobi form pătrtică A : R 4 R, A(x, x, x, x 4 ) = x + x + x 4 - x x + 4 x x 4 + x x + 4x x 4 - x x 4 Mtrice socită formei pătrtice în bz cnonică este A = Deorece =, =, = -, 4 = -, putem plic teorem lui Jcobi pentru duce form pătrtică l form

Forme linire, bilinire şi pătrtice cnonică Rezolvând sistemul (6) pentru i =,, 4 obţinem b =, b =, b =5/, b = /, b = -/, b 4 = 9/, b 4 = -5/, b 4 = - 7/, b 44 =/ ir b = Conform formulelor (69) obţinem bz B' formtă din vectorii g = E, g = E + E, g = 5/E + / E - / E, g 4 = 9/E - 5/ E -7/E + / E 4, unde E i = (,,,,), component eglă cu fiind pe poziţi i, i =,,, 4 sunt vectorii din bz cnonică lui R 4 Form cnonică formei pătrtice este A(x) = ξ + ξ - /ξ + /ξ 4, x = ξ g +ξ g +ξ g +ξ 4 g 4 Făcând clculele determinăm explicit bz B': B' = {(,,, ), (,,, ), (5/, /, -/, ), (9/, -5/, -7/, /)} III Lege inerţiei Lem 6 Vie V un spţiu vectoril de dimensiune n peste un corp K ş fiei V, V două subspţii le sle de dimensiuni m şi respectiv r stfel încât m + r > n Atunci V V () Demonstrţie Fie B = {e,, e m } o bză în V şi B' = B = {g,, g r } o bză în V Fmili B B' este linir dependentă deorece m + r > n Atunci există sclrii i K, i =,, m, β j k, j =,, r nu toţi nuli stfel încât e + e + m e m + β g + β g + + β r g r = Deci x = e + e + m e m = - β g - β g - - β r g r V V Este clr că x Întrdevăr, dcă x =, tunci rezultă, din linir independenţ fmiliilor B şi B', că toţi sclrii i, β j, i =,, m, j =,, r sunt nuli, cee ce este bsurd Teorem 64 (Lege inerţiei)fie V este un spţiu vectoril rel de dimensiune n şi A : V R o formă pătrtică pe cre o ducem l form cnonică în două bze diferite Numărul