Usavršavanje Borovog modela

Usavršavanje Borovog modela

Vilson-Sommerfeldova pravila kvantovanja Odakle dolaze: Bohr ovo pravilo kvantizacije momenta impulsa elektrona? mvr=nh/π Planck ovo pravilo kvantizacije energije elektromagnetnog zračenja? E=nhν Generalizacija za periodične sisteme: Wilson-Sommerfeld ova pravila kvantovanja: Za svaki fizikalni sistem u kojem su koordinate periodične funkcije vremena, postoji kvantni uslov za svaku od tih koordinata. Ti kvantni uslovi su slijedeći: q : p n q q : : : pq dq = Jedna od koordinata (generalisana koordinata) Generalisani impuls generalisane koordinate q Kvantni broj Integracija se vrši preko jednog perioda koord. n q h q

Generalisana koordinata i impuls Generalisane koordinate i impulsi predstavljaju koordinate tzv. faznog prostora. Generalisana brzina qɺ l = dq dt l Generalisani impuls p l E = qɺ K l

Vilson-Sommerfeldova pravila kvantovanja Pokazaćemo na primjerima da ova pravila vrijede za neke nama poznate periodične sisteme 1. Linearni harmonijski oscilator (LHO). Kružno kretanje u polju centralne sile- rotator (elektron koji se kreće oko jezgra)

Primjer 1: Jednodimenzionalni prosti harmonijski oscilator x = Asinωt dx = xɺ = Aω cosωt dt mv mxɺ EK = = p x E xɺ K = = mxɺ x je generalisana koordinata p dx x = n h x ω ω ω ω ω ω pxdx = ma cos t Acos tdt = m A cos tdt

Primjer 1: Jednodimenzionalni prosti harmonijski oscilator Ukupna energija LHO je (k=mω ): mxɺ kx m 1 E = EK + EP = + = ( Aω cosωt ) + ω m( Asinωt) = mω A mω A ka = ( cos ωt + sin ωt ) = = pxdx = E cos ωtdt ωt = θ π 1 π cos ωtdt = dθ = cos θ dθ = dt = ω ω 0 ω π E pxdx = = nxh = nh ω nhω E = = nhν π

Primjer 1: Jednodimenzionalni prosti harmonijski oscilator - geometrijska interpretacija dx( t) x( t) = A cos ωt = ω A sin ωt = v( t) dt Površina elipse je πab dv( t) a( t) = = ω A cosωt dt k F = a( t) m = kx( t) ω m = k ω = = πν m px kx p x x E = E K + E P = + + = 1 m me E / k p x x + = 1 za b = me, a = E / k Jednačina elipse b a p dx = π ab = π me E / k = π E / ω x = E / ν = n h = nh x E = nhν Fazni dijagram E = E( n + 1) E( n) = ( n + 1) hν nhν = hν h 0 E 0 kontinuirana energija

Primjer 1: Jednodimenzionalni prosti harmonijski oscilator E=nhν- ovo nam je poznata formula koju je Planck koristio pri izvoñenju zakona zračenja ACT kao i Einstein u foto-električnom efentu U njihovim proračunima je kao model služio harmonijski oscilator Dakle W-Z pravila rade

Primjer : Kvantizacija momenta impulsa za Bohr ov atom Elektron koji se kreće po kružnoj orbiti ima moment količine kretanja L=mvr koji je konstantan(pošto se radi o centralnoj Kulonovoj sili, moment sile je nula, odakle se dobije da je moment količine kretanja konstantan). Uzećemo za generalisanu koordinatu ugao ϑ koji se za jedan period promijeni od 0 do π. Generalisani impuls je: EK mv mr ω mr ɺ θ pθ = = = = = mr ɺ θ = mr ω = mrv = L ɺ ɺ ɺ ɺ π θ θ 0 θ θ θ θ Pravilo kvantizacije: p dθ = n h Ldθ = L dθ = π L nh π L = nh L = = nħ π nh L = mvr = pr = nħ = π h mvr = n π Poznati Borov uslov kvantiziranja momenta impulsa r m

De Broglievi stojeći talasi Fizikalnu interpretaciju Borovog pravila kvantizacije momenta impulsa dao je de Broglie 194. godine. On je pretpostavio da se i česticama može pridružiti talas odgovarajuće valne dužine. Ranije smo uveli foton čiji je impuls p=hν/c=h/λ Prema tome je valna dužina fotona λ=h/p De Broglie je predložio da je gornja jednačina opšta tj. da se može primijeniti i na čestice materije, u ovom slučaju elektrone u atomu h de Broglieva valna dužina λ = p = p h nh r = π r = nλ, n = 1,,3... λ π Prema ovome dozvoljene orbite su one čiji obim (πr) je jednak cijelom broju de Broglievih valnih dužina h λ

Ovo znači da ukoliko svjetlost ima dokazano čestičnu i valnu prirodu, mogli bismo očekivati da i druge čestice posjeduju tu dvostruku prirodu. To znači da bi kretanje elektrona u orbiti oko jezgra vodonikovog atoma moglo biti analogno vibracijama žice koja ima oblik kružnice. λ=h/p=h/mv Za elektron koji kruži oko jezgra iz jednakosti centripetalne i Kulonove sile dobija se brzina elektrona: v 1 e h 4πε 0r = λ = 4πε mr 0 e m Kada se r 1 =0,53 *10-10 m (1. Borova orbita) uvrsti u λ, dobije se λ=33*10-11 m Obim 1. Borove orbite je πr 1 =*3,14*0,53*10-10 m=33*10-11 m tj. π r = 1 λ, 1 Orbita elektrona u atomu vodika odgovara jednom kompletnom elektronskom talasu čiji su početak i kraj u jednoj tački, a koja je ustvari stojeći talas ravne žice čvrsto ukliještene u oba kraja

Kod idealno elastične kružne žice broj talasnih dužina po obimu kruga je jednak cijelom broju talasnih dužina koje se nadovezuju jedna na drugu. de Broglievi stojeći talasi Sad ima smisla i pretpostavka da elektron može kružiti oko jezgra bez zračenja energije. Ako elektronske orbite sadrže cijeli broj valnih dužina, znamo da kod stojećih valova izmeñu čvorova nema razmjene energije jer su čvorovi uvijek nepokretni, a energija je zarobljena izmeñu njih

Stabilne orbite π r n nλ = n-cijeli broj talasnih dužina na orbiti λ 1 = h 4πε 0rn e m 1 = h 4πε 0rn π rn n e m h ε 0 rn = n, n = 1,,3... π me Dobili smo identičan izraz za radijus orbita Borovog atoma vodika

Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Primjena Borovog modela na složenije atome nije moguća Potreba za dodatnim uslovima kvantovanja Iz Wilson-Sommerfildovih pravila kvantovanja slijedi da u fizikalnom sistemu u kojem su koordinate periodične funkcije vremena postoji onoliko kvantnih uslova koliko ima nezavisnih koordinata tj. stepeni slobode Kretanje po krugu- jedna koordinata (jedan kvantni uslov), kretanje po elipsi- dvije koordinate (dva kvantna uslova) Kružne orbite u Borovom modelu- specijalan slučaj opštijeg modela eliptičnih orbita kao kod planeta Za opisivanje ovog kretanja pogodan je polarni koordinatni sistem

Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Važna primjena W-S pravila kvantovanja je slučaj atoma vodika gdje se pretpostavlja da se elektron kreće po eliptičnim, a ne po kružnim orbitama Ovo je primijenio Sommerfeld u cilju objašnjenja tzv. fine strukture tj. cijepanja spektralnih linija koji je primijećen u atomima Te linije su jako blizu jedna drugoj što mora značiti da ono za šta smo mislili da je jedno energetsko stanje se sastoji od nekoliko stanja

Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Za opisivanje eliptičnog kretanja pogodan je polarni koordinatni sistem x = r cosϕ y = r sinϕ Element luka orbite ds u polarnom koordinatnom sistemu je: ds = dr + r dϕ Energija elektrona koji se kreće po eliptičnoj putanji u polju Kulonove sile je: mv Ze m ds Ze m ( ) Ze E = EK + EP = = = rɺ + r ɺ ϕ 4πε r dt 4πε r 4πε r 0 0 0

Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Generalisane koordinate su r i ϕ, a generalisani impulsi p r i p ϕ : p p r E rɺ E ɺ ϕ K = = K ϕ = = mrɺ mr ɺ ϕ Prema Wilson-Sommerfeldovim pravilima kvantovanja: p dr r = n h r radijani kvantni uslov p dϕ = ϕ n h ϕ azimutalni kvantni uslov n r i n ϕ su radijalni i azimutalni kvantni broj

Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Kad uvrstimo izraze za generalisane impulse, energija sistema je: E = p + 1 ϕ Ze pr m r 4πε 0 r Iz izraza za energiju se može dobiti radijalni generalisani impuls kao: p r Zme = me + 4πε 0r 1 p ϕ r

Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Nañimo prvo azimutalni kvantni uslov: p dϕ = n h ϕ pϕ = mr ϕ = const π ϕ p dϕ = π p = n h p = n ɺ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 0. Pošto se radi o centralnoj sili, kao i ranije moment sile je nula pa je moment impulsa konstantan Uvrštavajući izraz za p ϕ u radijalni generalisani impuls i primjenjujući radijalni kvantni uslov dobijamo: ħ 1 nϕħ Zme me + dr = n rh 4πε 0r r

Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Izračunavanjem gornjeg integrala (provjeriti!) dobija se: E = mz e 4 ( ) πε ħ ( n + n ) 4 0 ϕ r Ovaj izraz je identičan izrazu za energiju elektrona na n-toj kružnoj orbiti koji smo ranije dobili u Borovoj teoriji, osim što je umjesto broja n sad u izrazu broj n θ +n r.. Dakle vrijedi relacija: n= n ϕ +n r n=1,,3,...- glavni kvantni broj Vrijednosti brojeva n ϕ i n r se dobiju iz n ϕ =1,,3,...- azimutalni kvantni broj uslova kretanja po eliptičnoj putanji n r =0,1,,3,... - radijalni kvantni broj (pokazati na vježbama)

Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Za veliku i malu poluosu elipse se dobiju vrijednosti (pokazati na vježbama): a b = = r1 Z r 1 n n n ϕ Z r 1 je Borov radijus ε h 0 1 = π mee r

Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Ako je n=1, onda je n ϕ =1, a n r =0- kretanje po kružnici tj. dobiju se iste vrijednosti za malu i veliku poluosu elipse (a=b=r 1 ) Ako je n= onda može biti n ϕ =, n r =0 (a=4r 1, b=4r 1 ) ili n ϕ =1, n r =1 (a=4r 1, b=r 1 ) Ove dvije mogućnosti daju različite putanje elektrona Za n=3 postoje tri različite mogućnosti itd. Pošto energija zavisi samo od glavnog kvantnog broja n, vidimo da za istu energiju imamo više mogućih putanja elektrona (različito n ϕ )

Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Jednoj energiji odgovara više različitih orbita Stanja sa istom energijom, a različitim putanjama zovu se degenerisana stanja. Stanje n= je dvostruko degenerisano, stanje n=3 je trostruko degenerisano itd. Napomena: na slici je broj n ϕ označen kao n θ

Sommerfeld ov model Sommerfeld je otklonio degeneraciju tako što je problem tretirao relativistički. Za elektron u atomu hidrogena ako je orbita veoma eliptična brzina postaje relativistička Korekcija energije tada odgovara redu veličine cijepanja nivoa hidrogena v / c 10 E 4 ( v / c) 10 (ev) cijepanje nivoa E 4 µ Z e α Z 1 3 = [1 + ( )] (4 πε ) nħ n n 4n 0 1 e 1 α = 4πε ħc 137 0 ϕ konstanta fine strukture Ukupna energija elektorna na orbiti gdje je µ- redukovana masa elektrona (kad se uzme u obzir i masa jezgra)

Selekciono pravilo: = ± 1 n ϕ Mogući prelazi Napomena: na slici je broj n ϕ označen kao n θ Prelazi označeni iscrtakim linijama nisu uočeni eksperimentalno

Prostorno kvantovanje Do sada smo posmatrali kretanje elektrona samo u jednoj ravni po kružnoj ili eliptičnoj putanji što je definisano glavnim kvantnim brojem n i azimutalnim kvantnim brojem n ϕ (koji kao što smo vidjeli odreñuje oblik orbita) Meñutim ako uzmemo da se elektron kreće u prostoru, moramo mu pridružiti i treću koordinatu. Drugim riječima orbitale imaju različite orijentacije u prostoru, što je takodje kvantizirano kretanje definisano novim kvantnim brojem, koji se naziva se magnetski kvantni broj- (proučavanjem uticaja magnetskog polja na atomske spektre došlo se do zaključka da ravni u kojima leže orbite elektrona ne mogu imati proizvoljne položaje u prostoru) Utvrñivanje dozvoljenih položaja u prostoru je izvršeno procesom tzv. prostornog kvantovanja prema Wilson-Sommerfeldovim uslovima

Prostorno kvantovanje Koordinatni sistem sferni odreñen sa tri koordinate r, θ ψ Neka je vertikalna Z osa orijentisana duž vanjskog magnetnog polja Položaj elektrona A u prostoru odreñuju tri koordinate: radijus vektor r, Polarni ugaoθ i Ekvatorijalni ugao ψ Ugao BJA je kao i ranije ϕ

Prostorno kvantovanje Intenzitet momenta količine kretanja p ψ predstavlja projekciju momenta količine kretanja p ϕ na vertikalnu tj. magnetnu osu Z pa vrijedi: p = p cos ψ ϕ α Uslovi kvantovanja: p dr r = n h r p dψ = ψ p dθ = θ n h ψ n h θ

Prostorno kvantovanje Kinetička energija elektrona u sfernim koordinatama je: m EK = r + r + r Ukupna energija elektrona je: ( ɺ θ sin θψ ) 1 1 1 Ze E = EK + EP = pr + p p θ + ψ m r r sin θ 4πε r 0

Prostorno kvantovanje Moment centralne Kulonove sile je nula pa slijedi da je p ϕ =const. Tada je i generalisani impuls p ψ =const. jer je pψ = pϕ cosα Relacija povezuje ugaoni momenat p ϕ sa njegovom projekcijom na Z osu π p dψ = n h = p dψ = π p ψ ψ ψ ψ 0 h pψ = nψ = nψħ π h pϕ = nϕ = nϕħ π Ranije smo dobili cos α = n n ψ ϕ

Prostorno kvantovanje Znamo da je -1 cosα 1 -n ϕ n ψ n ϕ Pošto je n ϕ =1,,3,... onda su moguće vrijednosti n ψ =0, ±1,±, ±3,... ± n ϕ n ψ se zove magnetni kvantni broj i odreñuje moguće položaje elektronske orbite u prostoru Prostorno kvantovanje kao rezultat daje da su mogući samo oni položaji elektronske orbite u prostoru čije su projekcije p ψ vektora momenta količine kretanja na vertikalnoj magnetnoj osi Z jednake cjelobrojnom umnošku konstante ћ: p ψ = nħ ψ

Primjer Prostorno kvantovanje

Eliptični model atoma- Sommerfeldov model Ova otkrića (Borov model atoma i pravila kvantovanja) vodila su do razvoja moderne kvantne mehanike Često se zovu i stara kvantna teorija koja je u suštini klasična teorija uz dodatak pravila kvantizacije i dualne prirode makroskopskih objekata Stara kvantna teorija je imala dosta uspjeha u objašnjenju raznih fenomena, a jedan od najvećih su kvantizirane vrijednosti energije koje su potvrñene eksperimentalno ili npr. toplotni kapacitet čvrstih tijela na niskim temperaturama Ipak, mnogi aspekti fizike, uglavnom za sisteme sa više elektrona ostali su neobjašnjeni

Kritika stare kvantne teorije (1) Wilson-Sommerfeld ova kvantizacija se koristi samo za periodični sistem () Može se koristiti za računanje dozvoljenih stanja, ali ne može da se koristi za računanje brzine prelaza. (3) Ona je uspješna samo za sisteme sa jednim elektronom, a sasvim neupotrebljiva za sisteme sa dva ili više elektrona. (4) Cijela teorija nije konzistenta 195. godine E. Schrdinger razvija kvantnu mehaniku Razlikuje se od stare kvantne teorije gdje se elektroni kreću po dobro definiranim orbitama Ipak stara kvantna teorija se još uvijek upotrebljava kao prva aproksimacija tačnije moderne kvantne mehanike jer daje dobre rezultate sa manje komplikovanim matematičkim aparatom Takoñe omogućava da se bolje vizualizira proces koji se teško može vizualizirati na jeziku kvantne mehanike koji je dosta apstraktan