4. EGZISTENCIJA RJEŠENJA SISTEM LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNAČINA (KRONECKER-CAPELLIEV STAV)

4. EGZISTENCIJA RJEŠENJA SISTEM LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNAČINA (KRONECKER-CAPELLIEV STAV) - 48 - Koristeći stav o jedokosti raga matrice i broja liearo ezavisih vrsta (koloa) te matrice, dokazaćemo Kroecker-Capelliev stav (Kroecker, L., jemački matematičar (823-89); Capelli, A., talijaski matematičar (855-90) ). Tim stavom iskaza je potreba i dovolja uslov da sistem liearih jedačia: a x a x a x h, + 2 2 + + = a x a x a x h, 2 + 22 2 + + 2 = 2 () am x + am x + + amx = h 2 2 m bude saglasa. Stav 3. (i) Da bi sistem () bio saglasa, potrebo je i dovoljo da je rag(a p ) = rag(a). (*) (ii) Neka je rag(a p ) = rag(a) = r, tada sistem () ima: (a) beskoačo mogo rješeja za r <, (b) jedistveo rješeje za r =. Dokaz. (i) Sistem () možemo zapisati u ekvivaletom obliku: a a a h 2 a a a h + + + = a a a h 2 22 2 2 x x2 x. m m2 m m ( 2) Dakle, ako sistem () ima rješeje (x, x 2,..., x ), tada jedakost (2) zaći da je koloa slobodih člaova H lieara kombiacija koloa matrice sistema A. Prema tome, dodavajem koloe H broj liearo ezavisih koloa se e povečava, pa je rag(a p )=rag(a). Prema tome dokazali smo da je uslov (*) potreba. Dokažimo da je uslov (*) i dovolja, tj. da uslov rag(a p )=rag(a) = r implicira da je sistem () saglasa. U ovom slučaju posto/ji bar jeda mior reda r matrice A (, koji je i mior matrice A p ) koji je različit od ule, te je r bazisih vrste (koloe), koje obrazuju taj mior, liearo ezaviso, a m r preostalih ebazisih vrsta (koloa) su lieare kombiacije tih r bazisih vrsta (koloa). Prema tome, isto tako, r jedačia koje odgovaraju ebazisim vrstama su lieare kombiacija r jedačia koje odgovaraju bazisim vrstama, tj. jihova su posljedica, te se mogu odbaciti. Dakle, sistem se svodi a r jedačia koji je ekvivaleta sistemu (). Ne umajujući opčeitost, možemo pretpostaviti da su to prvih r jedačia (preumeracije, tj. zamjee rasporeda jedačia sistema () su elemetare trasformacije), tj. da su r bazisih koloa (epozatih) prvih r koloa (epozatih). Taj sistem, ekvivaleta sistemu (), možemo zapisati u obliku: a x a x a rxr h a,r xr a x, + 2 2 + + = + + a2x + a22x2 + + a2rxr = h2 a2,r+ xr+ a2x, ar x + ar x + + arrxr = hr ar,r+ xr+ arx, 2 2 gdje smo ebazise epozate (x r+, x r+2,..., x ) prebacili a desu strau jedakosti. (a) Za r < sistem (3) je kvadrati r x r, detrmiata tog sistema je, po pretpostavci, bazisi mior ( 3 )

matrice A, te je različita od ule. Dakle, sistem za r < ima beskoačo mogo rješeja, pošto, prema Kramerovom pravilu (za svaki izbor ebazisih promjeljivih (x r+, x r+2,..., x ) K -r ) ima (jedo) rješeje; (b) za = r, skup ebazisih promjeljivih je praza, te sistem (), tj. ekvivaleti sistem (3), ima jedistveo rješeje. Primjedba. Koristeći Kroecker-Capelliev stav u staju smo, e samo, da odgovorimo a pitaje egzistecije rješeja, već i da formulišemo algoritam za rješavaje sistem (), ukoliko je saglasa.. Izračua se rag(a) i rag(a p ), pa ako je rag(a)= rag(a p )= r, uoči se jeda bazisi mior matrice A. 2. Uzima se r jedačia čiji koeficijeti obrazuju bazisi mior, a ostale se odbacuju. U uočeim jedačiama se slobode epozate prebacuju a desu strau. 3. Prema Kramerovom pravilu ili Gausovoj metodi izražavaju se bazise epozate preko ebazisih (slobodih) epozatih. 4. Dajući slobodim epozatim određee (proizvolje) vrijedosti dobijamo određee vrijedosti za bazise epozate i tako se dobijaju poseba rešeja sistema. POSLJEDICE KRONECKER-CAPELLIEVA STAVA. Posljedica. Homogei (pravougaoi ili za m = kvadrati) sistem AX = O, gdje je A M m, ima i etrivijala rješeja X O, akko je rag (A) < (ili, za m =, deta = 0). Posebo iteresata posljedica Kroecker-Capellieva stava je stav o elimiati. Radi se o potrebom uslovu da sistem (), gdje je m = +, tj. sistem gdje je broj jedačia m za jeda veći od broja epozatih. U ovom slučaju je A M +,, te je proširea matrica sistema A p = (A H) kvadrata matrica reda +. Elimiatom pravougaoog sistema za koji je m = + azivamo deta p. Stav 4. (Stav o elimiati). Sistem (), u slučaju kad je m = +, ima rješeje samo ako je elimiata sistema deta p = 0. Dokaz. Rag matrice A ajviše je (< m). Pretpostavimo li da je u ovom slučaju sistem saglasa. Tada je rag(a p ) = rag(a), odakle slijedi deta p = 0, jer bi u suprotom bilo rag(a p ) = + > rag(a). Obruto e važi, tj. ako je elemiata sistema deta p = 0 sistem o kome je riječ e mora imati rješeje. Dakle, (kod sistema () za m = + ) uslov deta p = 0 (tj. elimiata sistema jedaka uli) je potreba, ali ije dovolja uslov, da bi sistem bio saglasa. Primjeri. ) Za sistem homogeih jedačia: x+ 7y+ 7z+ 3t = 0, 4y+ 0z+ t = 0, 3x+ y+ z+ 4t = 0, 2x+ 2y+ 4z+ 3t = 0, odrediti sva rješeja. Matrica sistema je 7 7 3 7 7 3 7 7 3 0 4 0 0 4 0 0 4 0 A =. 3 4 0 20 50 5 0 0 0 0 2 2 4 3 0 2 30 3 0 0 0 0 Dakle, raga = 2, bazise epozate su x i y, dok su z i t slobode epozate. Početi sistem je ekvivaleta sa sistemom: x+ 7y+ 7z+ 3t = 0, 4y+ 0z+ t = 0. Prema tome rješeje sistema je ( z, t R) ( x,y,z,t) 5 5 = z t, z t, z, t. 2 4 2 4 2) Koristeći Kroecker-Capelliev stav ispitati egzisteciju rješeja, te riješiti sistem x+ 2y+ 3z+ 2s+ t = 3, 2y z s+ 5t = 0, x+ 2y z+ 6s+ 5t = 3, x+ 2y 5z+ 0s+ 9t = 3. Rješeje: (x, y, z, s, t) = (s+t, -3s+, s-2t+, s, t). - 49 -

- 50 - V LINEARNI OPERATORI Neka su X i Y prostori koačih dimezija i m respektivo. Pod pojmom operatora A:X Y podrazumijevamo preslikavaje koje svakom elemetu x X pridružuje eki elemet y Y. Čijeicu da je y slika elemeta x zapisujemo kao: y=a(x) ili y = Ax. Po dogovoru, svako preslikavaje A :X Y je jedozačo, a to zači da ( x l, x 2 X) A(x ) A (x 2 ) x x 2. 5.0. DEFINICIJA LINEARNOG OPERATORA Lieari operatori, ili lieara preslikavaja, (egl. liear operator, jem. Lieare Abbildug (lieare Operator), frac. applicatio lieaire, rus. lieijiji operator) su takva preslikavaja liearih prostora koja uvažavaju jihovu lieru strukturu. Zato izučavaje liearih operatora predstavlja ajvažiji dio lieare algebre. Defiicija. Neka su X i Y lieari prostori ad poljem K. Preslikavaje A : X Y aziva se lieari operator ako za jega vrijede uslovi ( x, x 2 X) A(x + x 2 ) = A(x ) + A(x 2 ), (aditivost) () ( x X) ( a R) A(ax) = aa(x). (homogeost) (2) Primjedbe. ) Uslovi () i (2) ekvivaleti su s uslovom ( x, x 2 X) ( a, a 2 R) A(a x + a 2 x 2 ) = a A(x ) + a 2 A(x 2 ), (liearost) (3) tj. operator je lieara akko je aditiva i homoge. Zaista, ako je A lieari operator, a osovu () i (2) imamo: A(a x + a 2 x 2 ) = () = A(a x ) + A(a 2 x 2 ) = (2) = a A(x ) + a 2 A(x 2 ); obrato: za a = a 2 = iz (3) dobijamo (); za a = a a 2 = 0 iz (3) dobijamo (2), pa je A lieari operator. 2) Ako je Y prostor skalara (ajčešće prostor realih (kompleksih) brojeva) oda se lieari operator zove lieari fukcioal ili lieara forma. 3) Specijalo, kada je Y X imamo preslikavaje (operator) koje elemetima iz X pridružuje elemete iz X. 4) Skup svih liearih operatora A :X Y ozačavaćemo sa L(X, Y). Primjer. Neka je X = K, Y = K m i A M m,(k). Svaka takva matrica defiiše eki lieari operator. Priroda veza između matrice i liearoga operatora defiiše se sa ( x X) A(x) := Ax ( Y), gdje je Ax proizvod matrica. Ovako defiisa operator zaista je lieara, zbog pozatih osobia možeja matrica. Primjedba. Zadavaje operatora pomoću eke matrice ajvažiji je primjer liearoga operatora. Dobar dio ovoga poglavlja biti će posveće proučavaju veze između matrice i liearog operatora. Pokazaćemo da vrijedi i obrata tvrdja: svakom liearom operatoru odgovara jeda matrica. Bilo bi etačo zaključiti da je pojam liearog operatora epotreba, pošto se o može potpuo opisati matricama. Međutim, situacija je ešto složeija.

Precizija, veza između operatora i matrice mogla bi se ovako opisati: ako su zadae baze vektorskih prostora X i Y, tada svakom operatoru A :X Y za taj par baza odgovara jeda matrica. Međutim, promijeom baze, istom operatoru odgovara eka druga matrica. Lieari operator zadaje se eoviso od baza prostora, ali tek izbor baza određuje koja mu matrica odgovara. Najiteresatija aaliza matričoga račua upravo se sastoji u tome da se daju odgovori a sljedeća dva pitaja: 0 kako odabrati bazu prostora pa da prikaz liearoga operatora bude po mogućosti što jedostavija matrica (što sličija dijagoaloj); 2 0 da li (i kada) dvije različite matrice A, B pripadaju istome liearom operatoru (u različitim bazama)? 5.. MATRICA LINEARNOG OPERATORA Opišimo obrutu vezu: kako lieari operator određuje matricu: Neka su X i Y lieari prostori tako da je dimx =, dimy = m. Neka je e = (e..., e ) baza u prostoru X, a f = (f,.,., f m ) baza u prostoru Y. Dati lieari operator A:X Y prevodi svaki vektore e j X u vektor A(e j ) Y ( j =,2,..., ), koji se može razložiti po bazi f Y. Dakle, vrijedi Ae a f a f am f m, = + 2 2 + + m Ae ( 2) = a2f + a22f2 + + am2f m, ( j =,) A( ej) = aijf i. 4 Ae = a f+ a f + + amf m. 2 2 Skalari a i j, koji su određei razlagajem (4), defiišu matricu A ef M m,(k): a a2 L a a2 a22 a 2 A ef : ( aij ) A L = = =. (5) m, M M M am am2 L am - 5 - Defiicija 2. Matrica A ef data sa (5) zove se matrica operatora A:X Y u odosu a baze e i f (prostora X i Y, respektivo). Primjedbe: (a) Broj vrsta u matrici A operatora A je m = dimy, a broj koloa je = dimx, tj. format matrice A opratora A:X Y je (m,) = (dimy, dimx). (b) j-tu kolou matrice A čie kordiate vektora A(e j ) (j=,2,...,) u odosu a bazu f = (f,.,., f m ) Y. Pokazaćemo da vrijedi A(x) = Ax, za svaki vektor x X. Zaista, svaki vektor x X može se razložiti po bazi e = (e..., e ) X, tj. x X! x,,x K x= x e + + x e. (6) Isto tako, svaki vektor y Y može se razložiti po bazi f = (f,.,., f m ) Y, tj. m y Y! y,,y K y= y f + + y f. (7) m m m Oda, redom prema (6), (3), (4) i promjeom redosljeda sumiraja, vrijedi iz jedakosti

- 52 - m m j j j j j ij i ij j i j= j= j= j= = = = = A x A x e x A e x a f a x f. Zbog jedistveosti razlagaja vektora po bazi, upoređujući (7) i (8), zaključujemo da je Iz (9), prema defiiciji možeja matrica, izlazi Dakle, dokazali smo slijedeći stav: i ij j j= (8) i =,m y = ax. () 9 y = Aef x. (0) Stav. Neka su: X i Y lieari prostori takvi da je dimx =, dimy = m; e = (e..., e ) je baza u X i f = (f,.,., f m ) je baza u Y. Svakom liearom operatoru A:X Y, za taj par baza, može se pridružiti samo jeda matrica A= A : = a, čije su koloe koordiate vektora A(e j ) u bazi f = (f,.,., f m ). ef ( ij) m, Vrijedi i obruto, svakoj matrici A A ef : ( aij) = = odgovara samo jeda operator koji djeluje iz prostora X dimezije u prostor Y dimezije m, tako da vrijedi ( x X) (! y Y) y = A(x) = Ax. () m, Primjedba. Relacija (), veza operatora i matrice, toliko je važa da smo zbog jedostavosti formule amjero bili edovoljo precizi. Pažljiviji čitalac će uočiti da u formuli () vektor x s lijeve i s dese strae ema isto začeje. S lijeve strae, o je elemet vektorskoga prostora X i jegov prikaz u bazi toga prostora ima oblik x= xe+ + xe. S dese strae, vektor x poistovjećujemo s vektorom-koloom x = [x,..., x ] T K, a zatim, ako možeja s matricom A, vektor Ax (koji pripada prostoru Y) treba shvatiti a ači: (Ax) f +... + (Ax) m f m. Razmotrimo primjeu stava a primjerima koji kostruišu matricu operatora. Primjer 2. Idetiči (jediiči) operator E L(X,X), defiisa je formulom E(x) = x za svaki x X. Kako za svaki vektor baze vrijedi E(e j ) = e j, to ovom operatoru odgovara (u bilo kojoj bazi) jediiča matrica E, čiji je red = dimx. Primjer 3. Nula operator O: X Y, defiisa je formulom O(x) = 0, za svaki x X. Njemu odgovara ula matrica tipa (m,). d Primjer4. Odredimo matricu koja odgovara operatoru difereciraja D = : P P u prirodoj dt bazi ovog prostora (,t,t 2,...,t ), tj. i i = 0, e t = t. i Vrijedosti operatora a vektorima baze je: i =, D(e ) t i = it = ie t, tj. te je i i De t = 0, ( i, j,) dij ( Dej) (( j ) ej ) Dakle, matrica D u tom paru prirodih baza glasi 0 i, za j = i, 0, za j i. = = = = i i

0 0 0 0 0 2 0 D =. 0 0 0 0 0 0 0 Vježba. Neka je D operator iz prethodog primjera. Odgovaritti a slijedeća pitaja:. Izračuati kvadrat matrice tog operatora D 2. 2 2. Kojem operatoru odgovara ta matrica? Da li je D 2 d = B = : P 2 P, gdje je B operator drugog dt izvoda? 3. Za = 4, apiši matricu D i provjeri da je D 4 = 0. 4. Uvjeri se da je D = O. Prokometariši taj rezultat! Da li o ešto govori o -tim izvodima fukcija bazi: i i = 0, e t = t. i - 53-5.2. PRELAZAK S JEDNE BAZE NA DRUGU Neka su date dvije proizvolje baze: stara baza e = (e,..., e ) i ova baza f = (f,..., f ) vektorskog prostora X ad poljem K. Vetore ove baze f razložimo po vektorima stare baze e: f = p e + p e + + p e, 2 2 2 = 2 + 22 2+ + 2 ( = ) j = ij i f p e p e p e, j, f p e. f = p e+ p2e2 + + pe. Isto tako vektore e j stare baze možemo razviti po vektorima ove baze, tj. e = q f + q f + + q f, 2 2 2 = 2 + 22 2 + + 2 ( = ) j = ij i e q f q f q f, j, e q f. ( 2) e = q f + q f + + q f. 2 2 Primjedbe. ) Jedakostima (), (2) određee su matricama p p q q P =, Q =, p p q q gdje koloe matrice P (matrice Q) predstavljaju koordiate razlagaja vektora ove (stare) baze preko vektora stare (ove) baze. 2) Razlagaja () i (2) možemo pretstaviti simboličo pomoću možeja matrica f = ep, e = fq. (*) 3) Matricu P=(p ij ) m, azivamo matrica prelaska sa stare baze e a ovu bazu f, tj. matricu Q=(q ij ) m, azivamo matrica prelaska sa ove baze f a stare bazu e.

- 54 - Veza između matrica P i Q iskazuje Stav 2. Matrice P i Q su uzajmo iverze. Dokaz. Na osovu () i (2) imamo ( ) Odakle, promjeom redosljeda sumiraja, izlazi j =, f = p e = p q f, j ij i ij ki k k= j =, f = q p f. ( 3 ) j ki ij k k= Kako su vektori f k lieaaro ezavisi, to iz (3), a prema defiicije možeja matrica, slijedi k,j =, Q P = q p =δ, ( 4 ) k..j ki ij kj ili tj. matrice Q i P su uzajamo iverze. QP = E, (5) Primjedbe. ) Na isti ači, kao što smo dokazali (5), možemo dokazati da je PQ = E. (6) (Za vježbu dokazati (6)). 2) Iz (5) izlazi da su obe matrice P i Q regulare. (Obrazložiti: zašto je to tako?). 3) Iz razmatraja koje smo proveli u poglavljima 2. i 3. proizlaze stavovi Stav A. Skup regularih kvadratih matrica je multiplikativa grupa. Stav B. U multiplikativoj grupi vrijedi: (i) lijevi iverzi elemet je ujedo i desi iverzi elemet i obrato; (ii) iverzi elemet je jedistve. Za vježbu dokazati stavove A i B. Stav 3. Neka su date: (i) koordiate reprezetacije tačke x liearog prostora X u odosu a baze e i f tog prostora x e = ( x,...,x ) T K i x f = ( x,...,x ) T K, respektivo; (ii) matrica prelaska P=(p ij ) m, sa stare baze e a ovu bazu f. Tada je veza između ovih i starih koordiata data matričom jedakošću x f = P - x e (**) Dokaz. U razlagaju vektora x po staroj i ovoj bazi x= xe+ + xe, = xf + + xf izrazimo e j koristeći jedakosti (2). Dobijemo

- 55 - xf k k= xe j j= xj qf ij qx ij jf. i k= j= j= j= Odavde, zbog lieare ezavisosti vektora baze f, slijedi ( ) k kj j j= k =, x = q x što je, a osovu defiicije možeja vektora ekvivaleto sa x q q x = x f =Q xe. (7) x q q x Kako je, prema stavu 2, Q = P -, to iz (7) slijedi (**). Time je stav 3 dokaza. Primjedba. Ispišimo zajedo formule (*) i (**) f = ep i x e = Px f ; e = fq i x f =Qx e ; (PQ = E ili detp 0 ). gdje su:. e i f vrste koje odgovaraju starom i ovom bazisu, x e i x f koloe kordiata vektora x koje odgovaraju starom i ovom bazisu respektivo; 2. P i Q su uzajamo iverze matrice prelaska (PQ = E) (a) P sa starog e a ovi bazis f, tj. sa ovih x f a stare x e koordiate, (b) Q sa ovog f a stari bazis e, tj. sa starih x e a ove x f koordiate vektora x. Primjer. Neka su date baze: stara baza e = (e,e 2, e 3 ) i ova baza f = (f, f 2, f 3 ). Pri čemu je f = 2e + 3e + e, f = 3e + 4e + e, f = e + 2e + 2 e. 2 3 2 2 3 2 3 Odrediti matrice prelaska: P sa stare baze e a ovu bazu f i Q sa ove baze f a stare bazu e. Rješeje. 2 3 6 5 2 Očito je: P = 3 4 2,tj. Q= P = 4 3, ( detp = ). 2 Zapisati jedakosti prelaska sa ove a staru bazu ( e = f Q = f P - ). Vektor x = x e + x 2 e 2 + x 3 e 3 u odosu a bazu f, ima koordiate x f = Qx e = P - x e, tj. x x x = x + x x 6 5 2 6 5 2 2 3 x = x x = x x + x 2 4 3 2 2 4 3 2 3 x x 3 3 x = x x + x 2 3 Specijalo vektor e + e 2 + e 3 u odosu a bazu f ima koordiate: 2 3 x = 3, x = 2, x =. 5.3. PROMJENA MATRICA PRESLIKAVANJA PRI ZAMJENI BAZA Sada ćemo odrediti vezu između matrica liearog operatora i matrica prelaza sa baze a bazu. Promatraćemo: (a) Operator A L(X,Y) gdje je dimx=, dimy=m; (b) Stare baze: e = (e,..., e ) baza u prostoru X, a f = (f,.., f m ) baza u prostoru Y; (c) Nove baze: e = (e,..., e ) baza u prostoru X, a f = (f,.., f m) baza u prostoru Y. Kako smo u paragrafu 5.2. vidjeli, za dati par baza u X i Y operator A odgovara jeda matrica.

Neka za par starih baza e X i f Y operatoru A odgovara matrica A, a druga matrica A odgovara drugom ovom paru baza e X i f Y. Dakle, ako je y = A(x) i x= x e + + x e = x e + + x e y= y f + + ymfm= yf + + ymf m, oda su, a osovu stava, veza između koordiata vektora x X i y Y date jedakostima y x y= Ax, y =, x =, ( 8) y m x y x y = Ax, y =, x =. ( 9) y m x Matrice A i A su određee kao u paragrafu 5.2. Neka je P=(p ij ) matrica prelaza sa baze e a ovu bazu e u prostoru X, a R=(r ij ) mm matrica prelaza sa baze f a ovu bazu f u prostoru Y. Na osovu jedakosti (**) u stavu 3, vrijedi x = P x ( 0) y = R y. Koristeći (0) i (), iz (9) izlazi R y= A ( P x ), tj. y= R( A ( P x )), ili y= ( RAP ) x. ( 2 ) Poređejem jedakosti (8) i (2), za matrica pridružeih operatoru A, izlazi A= RA P. ( 3 ) Jedakost (3) daje vezu između avedeih matrica (koje odgovaraju istom operatoru). - 56 - U specijalom slučaju kad je X = Y, oda je e = f, e = f, P = R, te jedakost (3) postaje A= PA P. ( 4 ) Time smo dokazali Stav 4. Neka je A matrica operatora A L(X,X) u bazi e = (e,..., e ) X, P matrica prelaza iz stare baze e u ovu bazu e = (e,..., e ). U ovoj bazi operatoru A odgovara matrica A = P AP. 5 Primjedbe. ) Jedakosti (4) i (5) su ekvivalete; u tim jedakostima sve matrice su kvadrate. 2) Matrice A i A, koje odgovaraju istom operatoru, imaju još eka zajedička svojstva. Zato je prirodo defiirati: 3) Za dvije matrice A, B M kažemo da su sliče, u ozaci A B, ako postoji regulara matrica P M takva da je B = P - A P. (6) 4) Sad je stav 4 moguće iskazati sa: operatoru A L(X,X) odgovaraju u razim bazama sliče matrice. 5) Relacija sličosti matrixa je relacija ekvivalecije u skupu matrica M. U klasi sličih matrica problem kostrukcije matrice određee strukture je daleko teži ego u klasi ekvivaletih matrica, gdje je to urađeo pomoću elemetarih trasformacija.

- 57-6) Od zajedičkih svojstava sličih matrica izdvojimo za sad samo ovu: sliče matrice imaju jedake determiate. Zaista, po Biet-Cauchyjevom stavu vrijedi det(b) = det(p - )det(a)det(p) = det(a) pošto je det(p - ) = l/det(p). Zato ima smisla defiisati determiatu operatora: det(a) = det(a) gdje je A matrica operatora A u bilo kojoj odabraoj bazi. 5.4. JEZGRA I SLIKA LINEARNOG OPERATORA Defiicija. U skupu L(X, Y) itera operacija sabiraja operatora i ekstera operacija možeja operatora skalarom (brojem) mogu se uvesti a sljedeći ači:. Suma A +B operatora A i B iz L(X, Y) je operator defiisa jedakošću (A + B)x = Ax + Bx, x X. 2. Proizvod aa skalara a i operatora A iz L (X, Y) je operator defiisa jedakošću (aa)(x) = a(a(x)), x X. 3. Nula operator O je operator za koji je O(x) = 0 v, za svako x X. 4. Za operator A L(X, Y) simetriča operator - A se zadaje pomoću jedakosti -A = (- )A. Nije se teško uvjeriti da vrijedi Stav. Skup L (X, Y) svih liearih operatora, koji elemetima x X pridružuju elemete y Y, sa defiisaim operacijama sabiraja i možeja skalarom, izabraim ula operatorom i simetričim operatorom obrazuje lieara prostor. Navodimo eka svojstva liearih operatora. Stav 2. Svaki lieara operator A L(X, Y) preslikava ula elemeat prostora X u ula elemeat prostora Y. Dokaz. Sa 0 x i 0 y ozačimo ula elemete prostora X i Y respektivo. Tada za A L(X, Y) imamo ( x X) (! y Y: A(x) = y) A(0 x ) = A(0 x)=0 A(x) = 0 y = 0 y. Stav 3. Ako su x,..., x liearo zavisi elemeti prostora X i ako je A L(X, Y), oda su jihove slike A(x ),..., A(x ) liearo zavisi elemeti prostora Y. Dokaz. Prema pretpostavci važi jedakost ax = 0 i i x pri čemu je bar jeda skalar a i 0. Slijedi aa(x) A ax = = A =, 0 0 i i i i y y a osovu čega se zaključuje da su A(x ),..., A(x ) liearo zavisi elemeti u Y. Neka je A L(X, Y). Skup svih elemeata A(x), (xex) ozačavamo sa A(X). Važi A (X) Y. Nije se teško uvjeriti da je A (X) podprostor prostora Y.

DEFINICIJA JEZGRE I SLIKA LINEARNOGA OPERATORA. Uz svaki lieari operator A pridružea su dva skupa. 0 Prvoga sačiajavaju svi oi vektori prostora X koji se preslikavaju u ula vektor prostora Y. Ozačavamo ga s Ker A i azivamo jezgra ili ulapotprostor operatora A. 2 0 Drugog čie svi vektori u Y koji su slika ekoga vektora iz X. Ozačavamo ga s ImA ili A(X) i azivamo slika operatora A. Dakle, vrijedi KerA :={x X A(x) = 0}, ImA := {y Y y = A(x) za eki x X}. Primjedba. Ker je skraćeica egleske riječi kerel (jezgra). Im dolazi od egleske riječi image (slika). - 58 - Stav 4. Ker A i ImA vektorski su potprostori. Dokaz. Za jezgru slijedi ovako. Uzmimo x,y KerA. Tad je A(ax + by) = aa(x) + ba(y) = 0 jer su oba sabirka jedaka uli. Sličo vrijedi i za sliku. Defiicija raga i defekta operatora. 0 Pojam jezgre operatora veza je s problemom rješavaja homogeih liearih sistema. Zaista, ako je A matrica pridružea operatoru, tada je jedačia A(x) = 0 ekvivaleta s matričom jedačiom Ax = 0. Pokazali smo da je skup svih rješeja ove jedačie potprostor razapet s - r ebazisih vektora, pri čemu je dimezija prostora X (= broj epoztih u sistemu), a r je rag matrice A sistema. Taj potprostor jedak je jezgri operatora A. Ova dimezija jezgre operatora A zove se još defekt operatora. Dakle, rag operatora A L(X, Y) jeste dimezija prostora A(X) i ozačava se sa rag(a) Skup svih elemeata x X za koje je Ax= 0 je jeda podprostor prostora X, u šta se lako uvjeravamo. Gorju formulu o dimeziji prostora rješeja homogeoga sistema dodato objašjava sljedeći stav koji avodimo bez dokaza. Stav 5. Ako je dimezija prostora X, k dimezija jezgre a r dimezija slike operatora A : X Y, tad vrijedi r + k =, tj. rag(a) + dim(ker A) = dim X. Drugim riječima, zbir dimezija slike A(X) i jezgre kera jedak je dimeziji prostora X u kome operator dejstvuje. Primjedbe o obliku rješeja liearog sistema. ) Poovo ćemo opisati rješavaje liearoga sistema Ax = b. (8) Neka je A operator pridruže matrici A. Da bi jedačia (8) imala rješeje, potrebo je i dovoljo da vektor b leži u slici operatora A. Tada će postojati x X za koga je A(x) = b. Neka je x p partikularo rješeje jedačie (8) ili A(x p ) = b, te x h eki vektor u jezgri ili A(x h ) = 0. Tada je i x h + x p rješeje, jer je A(x h + x p ) = A(x h ) +A(x p ) = b. 2) Neka je e,...,e k baza jezgre KerA. Opšti oblik rješeja jedačie (8) ima oblik x = x p + a e +...+ a k e k