Piedio D.Joičić pismei b..: Odediti itel koegecije ed..: Metodom ijcije kostte odediti opće ješeje jeddžbe e.: Ičuti d, gdje je K goj poloic elipse peđe od K b točke A, do B,..: Ičuti pom okttu. I d, gdje je dio ie 6 u.: Ičuti tok ekto i j k ko jsku stu pošie koj omeđuje tijelo,..6: Dokti d je fukcij w e litičk. 8
Piedio D.Joičić JEŠENJA.: Odediti itel koegecije ed. Odedimo i ičujmo limes lim lim < < < < Ako je od immo ed je je: < & lim lim Ako je od immo ed Pem tome itel koegecije je,]. koji koegi po Leibioom kiteiju, koji diegi..: Metodom ijcije kostte odediti opće ješeje jeddžbe di se o lieoj jeddžbi, p odedimo ješeje homogee jeddžbe d d d d e Itegijem dobimo opće ješeje homogee jeddžbe. Petpostimo d je opće ješeje oblik e e e Ičumo deiciju i odedimo fukciju. e e jeddžbu. Ili D e p deiciju i fukciju ustimo u Kočo, opće ješeje ehomogee jeddžbe je D e 86
Piedio D.Joičić.: Ičuti d, gdje je K goj poloic elipse pijedje K b od točke A, do B, Pmetsk jeddžb gojeg luk elipse je cost, b sit, t d K bcos tdt b cos [ cos t b cos t si t] b cos tdt b si si t sitdt b cos t b AH-,L BH,L - - - - slik. - dtk. Npome : Zdtk možemo iješiti i pimjeom Geeoe fomule. Ako kjee luk elipse spojimo segmetom AB, dobimo toeu kiulju. U P,, Q,, j, d di dj bilo bi K Q d dd D D dd Uedimo poopćee pole koodite : Gice po ooj domei su : b cost b sit b sit bcost b cos t, b si t, t p je itegl jedk d dt b [ cost b sit Npome : Odje teb dodti d je d, stog g e oduimmo od goe dobieog eultt. AB ]dt 87
Piedio D.Joičić.: Ičuti I d gdje je dio ie 6 u pom okttu. Jediiči ekto omle ie 6i j k,cosγ 6 6, d dd cosγ 6 dd 6dd 6 I d 6 dd D D.: Ičuti tok ekto i j k tijelo,. ko jsku stu pošie koj omeđuje slik. dtk. Pimjeimo li teoem o diegeciji, bit će d didv, je je di. V.6: Dokti d je fukcij w e litičk. Teb pokti d fukcij doolj uch- iemoe fomule tog pišimo pojpije fukciju w u obliku u,i, i ω i e e e i cos i si e [ cos si i cos si ] e cos si i e cos si Pem tome su fukcije u, e cos si, e cos si 88
Piedio D.Joičić u u Pojeimo jedkosti: & u u e cos si cos e cos si cos e cos si cos e si si cos e cos si si e cos si si Dkle, fukcij je litičk. 89
Piedio D.Joičić pismei b., si.: Odediti itel [ b] kojem ed koegi psoluto..: Beoullijeom supstitucijom odediti opće ješeje jeddžbe e. d d.: Ičuti, gdje je K luk stoide cos t, si t od točke K A, do B,..: Ičuti d, gdje je dio pboloid omeđe iom..: Ičuti d, ko je i j k, poitio oijeti kiulj koju kooditim,, im sječe stožc..6: Odediti litičku fukciju f u, i, kojoj je imgii dio,. 9
Piedio D.Joičić JEŠENJA:, si.: Odediti itel [ b] kojem ed koegi psoluto. si si je si. Pem Weiestssoom teoemu ed psoluto koegi itelu [, ]..: Beoullijeom supstitucijom odediti opće ješeje jeddžbe e. Uodimo u u u Ustimo u jeddžbu i bit će e u u. Kko se tže dije fukcije, immo smo jed ujet, dugi bimo slobodo. Odedimo stog fukciju tko d bude. I oe jeddžbe s sepiim ijblm odedimo itegijem tžeu fukciju. Ili e u pomeu d smo kosttu itegcije odbli jediicu. N tj či od e jeddžbe u u peostje jeddžb e e e u u u u D, gdje smo kosttu itegcije očili ko D. Ustimo dobiee fukcije dobimo opće ješeje pole jeddžbe: e e D u D. d d.: Ičuti, gdje je K luk stoide cos t, si t od točke K A, do B,. I cos t, si t d cos t sitdt i d si t costdt to dje d d si t cos tcos t s t dt. ličo je i cos t si t. Uštjem u itegl dobimo / / si t t si t cos tdt 8 / 6 9
Piedio D.Joičić 6-6 - - 6 - - -6 slik. dtk..: Ičuti d, gdje je dio pboloid omeđe iom Z plohu /. je d, p je siφ cosφ dd D d dφ 8 siφ cosφ / siφ cosφdφ ddφ Pitom je ičuje uutjeg itegl d uede susptitucij w koj odi do itegl [ ] 6 w w w dw 8 6 slik. dtk. 9
Piedio D.Joičić.: Ičuti d, ko je i j k, poitio oijeti kiulj Itegl koju u pom okttu odsjec stožc. d d d d Duž kiulje je, d,, d d p je itegl [ ] Duž kiulje je d 8 d, d,, d p je itegl d d d d d Duž kiulje je, d,, d i itegl d d Ukupo Npome :Itegl se može čuti i pomoću tokeso poučk. i j k i j k Pitom je ot k, dd cos β, d dd cos β 8 To dje d dd 8 dd D D Posljedji itegl stimo ti itegl i uedemo pole koodite bit će : / I 8 si φd dφ / 8 I 8 siφd dφ / I cosφ siφd dφ 9
Piedio D.Joičić Ukupo : I I I I slik. dtk..6: Odediti litičku fukciju,, i u f kojoj je imgii dio, D bi fukcij bil litičk užo je i dooljo d ijede uch-iemoe jeddžbe tj. d bude: u u & Immo: u Itegijem po dobimo f f d u Potebo je još odediti kosttu f. U tu shu koistimo dugu od uch- iemoih jeddžbi, pem kojoj je f ljedi d je f f Kočo je fukcij u, u, p je tže fukcij jedk: i f 9
Piedio D.Joičić pismei b..: Fukciju f cos iti u Fouieo ed i ičuti sumu ed u točki..: Odediti opće i sigulo ješeje difeecijle jeddžbe. Nctti gf sigulog ješej..: Odediti ješeje difeecijle jeddžbe 8 6 e koje doolj početi ujet :..: Ičuti d d d d, gdje su - spojic točk A,, B,6 i -dio luk pbole koji spj točke A,, B,6 i im etiklu os..: Ičuti cikulciju ekto i j k duž kiulje... oijetie u poitiom smjeu u odosu,, jsku omlu pboloid : io ; b pomoću tokeso teoem..6: Ičuti tok ekto i j k ko dio sfee u pom okttu. 9
Piedio D.Joičić JEŠENJA.: Fukciju f cos iti u Fouieo ed i ičuti sumu ed u točki. Fukcij je p itelu, p je b i teb ičuti / / / cos cos d cos cos d si si kočo je: Ako ustimo cos cos dobimo [ cos cos ],,,,... d slik.- dtk.- jed èl.8.6.. - - - slik.- dtk.- d èl.8.6.. - - - 96
Piedio D.Joičić slik.- dtk.- ti èl.8.6.. - - - slik.- dtk.- èetii èl.8.6.. - - -.: Odediti opće i sigulo ješeje difeecijle jeddžbe. Nctti gf sigulog ješej. Ustimo p p dp d p dobimo p p. Deiijem po dobimo dp d 8p dp ili seđijem p d p. p Ako je dp d p p je opće ješeje jeddžbe. Ako je p p p p Elimicijom pmet p i sust p p dobimo. p p Dkle, sigulo ješeje pedstlj elipsu. 97
Piedio D.Joičić.. - - -. - -. slik. dtk..: Odediti ješeje difeecijle jeddžbe 8 6 e koje doolj početi ujet :. Kkteistič jeddžb 8 6 im dostuki koije p su e, e d lieo eis ješej homogee jeddžbe, e e jeio opće ješeje. Ptikulo ješeje ehomogee jeddžbe tžimo u obliku η A B e Deiimo η po, ko seđij dobimo : η e η e [ A A B B] [ 6A A 6B 6A 6B B] Ustimo deicije od η u ehomogeu jeddžbu ko seđij dobimo e [ 6A B] e 6A B A, B, ili 6 η e, p je opće ješeje jeddžbe 6 e e e. 6 D odedimo posebo ješeje iješimo sust,. Kočo, posebo je ješeje: e. 6 98
Piedio D.Joičić.: Ičuti d d d d, gdje su -spojic točk A,, B,6 i -dio luk pbole, koji spj točke A,, B,6. Pbol im etiklu os. Z ičuje d d pmetiijmo pc AB: t, d dt. Točki A pipd pmet t, točki B pmet t. N osoi t, d dt tog immo d d [ 6t t ] dt t t dt N slič či pmetiimo jeddžbu pbole. Bit će: t, d dt. t t, d t dt Točki A pipd pmet t, točki B pmet t. Pem tome: d d [ 6t t t t ] [t t t t ] dt dt Kočo je : d d d d..: Ičuti cikulciju ekto i j k duž kiulje... oijetie poitio u odosu jsku omlu,, pboloid: diekto; b pomoću tokeso teoem. diekto: Teb ičuti : d d d d Kiulj se sstoji od ti kiulje: 99
Piedio D.Joičić d :, d, d ; d d d :, d, d ; d d :,, d d d ; d Kočo immo: slik. dtk. b Pomoću tokeso teoem: d ot d, gdje je ub plohe pete d kiuljom. Ičujmo: i j k ot i j k gd[ ] i j k dd, d gd[ ] cosγ ot d dd dd
Piedio D.Joičić d ot d / dd siφ d dφ.6: Ičuj tok ekto i j k ko dio sfee u pom okttu. Zdtk čemo ješiti d či: diekto, b pomoću teoem o diegeciji diekto Teb ičuti d Σ gdf i j k i j k, cos γ gdf dd d cosγ d dd dd dd dd d Σ cosφ Uodimo pole koodite :, dd ddφ siφ Gice, / φ dd dd / d d siφ cosφdφ Σ D je je d w w dw w b pomoću teoem o diegeciji: d Kko je di potebo je ičuti Σ Σ V didv d V dv
Piedio D.Joičić Ili d didv ddd Σ V V slik. dtk.6 Uedimo sfee koodite: siθ cosφ, siθ siφ, cosθ Gice:, θ /, φ / d didv Σ V V ddd / / si θ siφ cosφd dθ dφ / / / si θ siφ cosφdθ dφ siφ cosφdφ si φ / / cos θ siφ cosφ cosθ / dφ Npome: Odje e oduimmo ijedosti toko ko koodite ie, je lko se pokže d su oi jedki uli. Nime, teoem o diegeciji pimjejujemo toeu plohu, u oom slučju to smo ostili tjem pomoću kooditih i.
Piedio D.Joičić pismei b..: Ičuti ds, gdje je luk elipse u pom kdtu. b.: Ičuti d d, gdje je luk kužice poitio oijeti.: Odediti pmete,b,c tko d ektosko polje i b j c k bude polje potecijl.odediti potecijl..: Ičuti tok ektoskog polj i j ko plohu koj se sstoji od dijel pboloid 6 i stošc, u smjeu jske omle..: Odediti kiulje u ii koje imju sojsto d im je poši itelu [, ] jedk kocijetu pscise i odite kiulje u kjjoj točki tog itel.odediti ou kiulju koj poli točkom,. & t.6: Odediti posebo ješeje sust koje doolj početi & ujet,.
Piedio D.Joičić JEŠENJA.: Ičuti ds, gdje je luk elipse u pom kdtu. b Pmetiijmo jeddžbu elipse s ds & & dt si t b cos ds bsi t cost si t b / cost, bsi t, t. Bit će t dt cos t dt D bismo ješili posljedji itegl uodimo supstituciju bu si t b cos t u bsi t costdt du. b Gice : t u b; t u / b b u b b b ds b sit cos t si t b cos t dt u du b b b b b - - - BH,bL AH,L - slik. dtk..: Ičuti d d, gdje je luk kužice poitio oijeti Pi či. Pmetiijmo jeddžbu kužice: cos t, si t, t d si tdt, d cos tdt Nko uštj u itegl dobimo :
Piedio D.Joičić d cos tdt cos d [ cos t si t cos t si t] t si tdt si tdt si dt udu.. -. -... -. -. Dugi či. Koistimo Geeou fomulu: slik. - dtk. Pd Qd Q P dd P, Q U šem pimjeu su: P, Q Pd Qd Q P dd [ ]dd D Uodimo pole koodite Gice:, φ [ ] dd D D D cos φ, siφ, dd ddφ d dφ.: Odediti pmete,b,c tko d ektosko polje i b j c k bude polje potecijl. Odediti potecijl. D bi polje bilo potecijlo teb biti ot. U šem pimjeu je ot i j b ot, b, c k c c i j b k
Piedio D.Joičić Pem tome je : P,,, Q,,,,, i potecijl je: U,, Pd Qd d.: Ičuti tok ektoskog polj i j ko plohu koj se sstoji od dijel pboloid 6 i stošc, u smjeu jske omle. Pimjeimo teoem o diegeciji Kko je di bit ce Uodimo cilidiče koodite Elemet olume V dv 6 d d didv V V didv V dv cosφ, siφ, ddd dddφ.gice : d d dφ 6,, φ slik. dtk..: Odediti kiulje u ii koje imju sojsto d im je poši itelu [, ] jedk kocijetu pscise i odite kiulje u kjjoj točki tog itel.odediti ou kiulju koj poli točkom,. Pem ujetim dtk teb biti d. Deiijem po dobimo ± ±. Dobili smo jeddžbe s sepiim 6
Piedio D.Joičić d d ijblm ili ±. Itegijem dobimo ili Pem tome, opć ješej su fmilije kiulj I početog ujet odedimo ijedosti kostte. Dobimo ili, p su poseb ješej ili. 6 ili.. - - - - - - - - -. - - - -6 slik. dtk. & t.6: Odediti posebo ješeje sust koje doolj poceti & ujet,. & && I duge jeddžbe je &.Ustimo & u pu jeddžbu dobimo dif.jeddžbu dugog ed s kosttim koeficijetim tžeu fukciju t : && 6t 7
Piedio D.Joičić Kkteistič jeddžb pipde homogee jeddžbe & & im t t koijee,. Pem tome su : e, e d lieo eis ješej t t homogee jeddžbe i e e jeio opće ješeje. ješeje ehomogee jeddžbe & 6t tžimo u obliku η, gdje su: t t e e -opće ješeje homogee jeddžbe, η - jedo ptikulo ješeje ehomogee jeddžbe. Ptikulo ješeje ehomogee jeddžbe tžimo u obliku η At B. I η At B & η A, & η. Ustimo & η i η u jeddžbu & 6t i dobimo: kostte A i B. Kočo, ptikulo ješeje η t i opće ješeje e e t t. t & Opće ješeje dugu tžeu fukciju dobimo i. t t & t t Kko je & e e ili e e t t e e Opće ješeje sust je t t e e t Posebo ješeje dobimo uštjem početog ujet.to odi do sust 9 kojemu je ješeje,, 8 8 t 9 t e e Kočo posebo ješeje je 8 8 t 9 t e e t 8 8 8
Piedio D.Joičić pismei b..: Odediti itel koegecije ed kjeim itel. i ispitti pošje.: Pokti d je polje ot polje potecijl, ko je i j k.,, Odediti potecijl i ičuti ot d.,,.: Odediti posebo ješeje difeecijle jeddžbe početi ujet. koje doolj.: Odediti ptikulo ješeje difeecijle jeddžbe koje doolj početi ujet :,,..: Odediti cikulciju ekto i j k duž kiulje koju pboloid 9 odsjec u pom okttu,,..6: Odediti tok ekto i j k ko toeu plohu koju omeđuju ; teoem o diegeciji. u smjeu jske omle: diekto ; b pomoću 9
Piedio D.Joičić JEŠENJA.: Odediti itel koegecije ed kjeim itel. i ispitti pošje lim < Itel koegecije, 7 Ako je < < < < < 7, ed je dieget. Ako je 7, ed koegi po Leibioom kiteiju. Kočo, itel koegecije je <,7]..: Pokti d je polje ot polje potecijl, ko je,, i j k..odediti potecijl i ičuti ot d.,, Odedimo i j k ot i j k i j k ot ot. Polje ot je polje potecijl. Tžimo fukciju U,, tko d bude ot gdu. U,, d f, f, U f, f, f, Pem tome, U,,
Piedio D.Joičić,,,,,,,, ot d d d d d U,, 8,,,,,,,,.: Odediti posebo ješeje difeecijle jeddžbe početi ujet. Jeddžbu možemo pisti u obliku koje doolj. di se o homogeoj jeddžbi upstitucij u u u odi do jeddžbe s sepiim ijblm u d u du u u. Itegijem dobimo u u u l l l l u u Početi ujet. dje ijedost kostte, p je posebo ješeje.: Odediti ptikulo ješeje difeecijle jeddžbe, koje doolj početi ujet :,,. Kkteistič jeddžb,, p su, e, e ti lieo eis ješej homogee jeddžbe, jiho lie kombicij opće ješeje homogee jeddžbe tj. e e. Opće ješeje ehomogee jeddžbe tžimo u obliku η, gdje su e e - opće ješeje homogee jeddžbe, η - posebo ješeje ehomogee jeddžbe koje tžimo u obliku η A B je je jedostuki koije kkteističe jeddžbe. Deicije od: η su: η A B, η A, η. Ustimo li η, η A B, η A, η u ehomogeu jeddžbu, dobimo koeficijete A, B. Time je odeđeo ptikulo ješeje η. Kočo, opće ješeje ehomogee jeddžbe je e e.
Piedio D.Joičić Početi ujet odi do sust, kojemu je ješeje ueđe tojk,,,. Posebo ješeje je: e e.,.: Odediti cikulciju ekto i j k duž kiulje koju pboloid 9 odsjec u pom okttu,,. slik.dtk. Teb ičuti d, gdje se kiulj sstoji od ti po dijeloim gltke kiulje. Nime, uimmo d su kiulje u pom okttu. Kiulj im jeddžbu d 9 d Kiulj im jeddžbu d, 9, i tog je d, d d p je 9, 9 d d Kiulj im jeddžbu d 9 7, i tog je 9 d d, d d p je 9 d, 9, i tog je d, d d d 9 d 9 9 Ukupo : d d d d 7 9 6 Npome: Pojeite eultt tokesoim poučkom.
Piedio D.Joičić.6: Odediti tok ekto i j k ko toeu plohu koju omeđuju ; u smjeu jske omle : diekto ; b pomoću teoem o diegeciji. slik. dtk.6 diekto Ploh se sstoji od dije gltke plohe tok Π Π Π gdje je Π - tok ko plohu pboloid, Π - tok ko plohu stošc. Π d, gdje je - dio plohe pboloid i - pipd oml. Π d, gdje je - dio plohe stosc i cosγ,, d gd gd dd cosγ i j k, - pipd oml. dd d dd dd Π d Uodimo pole koodite Gice : Π φ dd cos φ, siφ, dd ddφ, je se plohe sijeku po kužici, d cos φdφ si φdφ dd cos φ si φ d dφ
Piedio D.Joičić N slič či čumo tok Π dd dd d k j i k j i gd gd cos, cos,, γ γ dd dd d [ ] si si cos si cos φ φ φ φ φ φ φ φ Π d d d d dd d Kočo, Π Π Π. b pomoću teoem o diegeciji Kko je tok čumo pem fomuli di V didv d. Odje uodimo cilidiče koodite. [ ] Π φ φ φ φ 6 d d d d d d d didv d V