Chpter Odredjen ntegrl Problem Nek je zdn funkcje f : [,b] R, f(x). Kko odredt površnu omedjenu grfom funkcje f(x) x-os? Površn prvokutnk: S = b Površn trokut: S = 1 v Kko defnrt površnu lk čje su strnce zkrvljene? Površnu spod krvulje y = f(x) možemo proksmrt prvokutncm uzet lmes kd broj prvokutnk tež prem beskončnost. Prmjer 3 Odredte površnu spod krvulje y = x, x [, 1]. Rješenje Podjelmo ntervl [, 1] n n jednkh djelov: = x < x 1 <... < x n = 1, x k = k n, x = 1 n = 1 n. (.1) Aproksmcj površne dn je s S n = f(x k ) x = k=1 k=1 ( ) k x. (.) n Što je broj prvokutnk koj proksmrju površnu već, to je proksmcj bolj, p očekujemo d je površn dn lmesom S = lm n S n. (.3) 19
CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL Immo p je S n = k=1 ( ) k 1 n n = 1 n 3 = 1 n 3 n(n + 1)(n + 1) 6 S = lm 6 n 1 k=1 k = 1 6 (n + 1)(n + 1) n, (.4) (n + 1)(n + 1) n = 6 = 1 3. (.5) Problem nlženj površne rvnnskog lk omedjenog krvuljom y = f(x) segmentom [, b] n x-os. možemo općento formulrt n sljedeć nčn. Nek je y = f(x) ogrnčen funkcj n ntervlu [, b]. Prtcj ntervl [, b] je skup točk P koj znčvmo s Defnrjmo normu prtcje P s Nek je P : = x < x 1 < x <... < x n < x n = b. (.6) P = mx x gdje je x = x x. (.7) M = defnrjmo gornju donju ntegrlnu sumu s G(f,P) = D(f,P) = mx f(x), m = mn f(x). (.8) x x x x x x M x gornj ntegrln sum, (.9) =1 m x donj ntegrln sum. (.1) =1 Z svk odbr točk z [x,x ] defnrno Remnnovu sumu s Nek je Prmjetmo d vrjed S(f,P) = f(z ) x. (.11) =1 m = mn x b f(x), M = mx x b. (.1) m x m x f(z ) x M x M x. (.13)
CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 1 Iz ovog sljed m(b ) D(f,P) S(f,P) G(f,P) M(b ) (.14) z prozvoljnu prtcju P ntervl [,b]. Defncj 5 Ako postoj lmes I = lm G(f,P), (.15) P td I zovemo gornj ntegrl funkcje f n ntervlu [,b]. Slčno defnrmo donj ntegrl s I = lm D(f,P). (.16) P Z gornj donj ntegrl vrjed I I. (.17) Defncj 6 Kžemo d je funkcj f ntegrbln n ntervlu [, b] u Remnnovom smslu ko je I = I. Remnnov ntegrl oznčvmo s Prmjetmo d z nejednkost (.17) sljed Prmjer 33 Pokžte d je lm S(f,P) = P f(x). (.18) Rješenje Nek je P regulrn prtcj ntervl [,]: Norm prtcje dn je s Ndlje, f(x). (.19) x =. (.) P : x k = k x, x =, k =, 1,,... (.1) n P = x k x k = x = n. (.) mn{f(x) x [x k,x k ]} = x k, (.3) mx{f(x) x [x k,x k ]} = x k. (.4)
CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL Z ntegrlne sume dobvmo D(f,P) = G(f,P) = k=1 k=1 x k x = n x k x = n k=1 k=1 (k 1) = k = (n 1)(n ) n, (.5) n(n 1) n. (.6) Td je lm D(f,P) = lm G(f,P) = P P, (.7) Može se pokzt d se st rezultt dobje z svku prtcju ntervl [,], stog je Remnnov ntegrl funkcje jednk x =. (.8) Prmjer 34 Pokžte d funkcj f : [, 1] R dn s 1, x je rconln, f(x) =, x je rconln (.9) nje ntegrbln u Remnnovom smslu. Prmjer 35 Pokžte d je funkcj f(x) = c ntegrbln, d je Z odredjen ntegrl vrjed f(x) = Ako je > b, td defnrmo c c c = c(b ). (.3) f(x) + f(x), c (,b). (.31) Tkodjer defnrmo f(x) = f(x). (.3) b f(x) =. (.33)
CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 3 Teorem 4 Ako je funkcj f : [,b] R omedjen, neprekdn n skupu [,b] \ S gdje je S prebrojv skup l S =, td je f ntegrbln n [,b]. Z lustrcju pogledjmo sljedeć prmjer. Prmjer 36 Zdn je funkcj f : [, 1] R, [ 1 1 1, x, ], n =, 1,,... f(x) = n+1 n, nče. (.34) Iko funkcj m prekd u beskončno mnogo točk, njezn ntegrl jednk je f(x) = n= ( 1 1 1 ) = 1 n n+1 n= 1 4 n = 3. (.35) Teorem 5 (Newton-Lebntzov formul) Nek je f : [, b] R neprekdn funkcj, nek je F(x) prmtvn funkcj funkcje f(x). Td je Dokz Nek je P prtcj ntervl [,b]: Promtrjmo ntegrlne sume f(x) = F(b) F(). (.36) P : = x < x 1 < x <... < x n = b. (.37) D(f,P) = G(f,P) = m (x x ), m = mn{f(x) x [x,x ]}, (.38) M (x x ), M = mx{f(x) x [x,x ]}. (.39) Nek je F(x) prmtvn funkcj funkcje f(x). Funkcj F(x) je neprekdn n ntervlu [x,x ] dervbln n (x,x ), p prem Lgrngeovom teoremu o srednjoj vrjednost postoj točk c (x,x ) tkv d je Kko je F (x) = f(x), mmo F (c ) = F(x ) F(x ) x x. (.4) F(x ) F(x ) = f(c )(x x ). (.41)
CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 4 Iz nejednkost m f(c ) M (.4) dobvmo Medjutm, što povlč m (x x ) (F(x ) F(x ) M (x x ). (.43) =1 =1 =1 (F(x ) F(x ) = F(x n ) F(x ) = F(b) F(), (.44) =1 D(f,P) F(b) F() G(f,P). (.45) Prelzom n grnčnu vrjednost P dobvmo z čeg sljed Korstmo oznku f(x) F(b) F() f(x) (.46) f(x) = F(b) F(). (.47) f(x) = F(x) b (.48). Teorem 6 Ako su funkcje f(x) g(x) ntegrblne n [,b], td odredjen ntegrl m sljedeć svojstv: () (lnernost) () (monotonost) (αf(x) + βg(x)) = α f(x) + β g(x), (.49) f(x) g(x) x [,b] = f(x) g(x), (.5) () (nejednkost trokut) f(x) f(x). (.51)
CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 5 Dokz () Nek su F(x) G(x) prmtvne funkcje funkcj f(x) g(x). Td je d (αf(x) + βg(x)) = αf(x) + βg(x), (.5) stog je αf(x) + βg(x) prmtvn funkcj funkcje αf(x) + βg(x). Prem Newton- Lebntzovoj formul vrjed (αf(x) + βg(x)) = (αf(x) + βg(x)) x=b x= = α (F(b) F()) + β (G(b) G()) = α () Nek je P prtcj ntervl [,b]: Nek je f(x) + β g(x). (.53) P : = x < x 1 <... < x n = b. (.54) m (f) = mn {f(x) x [x,x ]}, m (g) = {g(x) x [x,x ]}. (.55) Kko je f(x) g(x) z svk x [,b], mmo m (f) m (g) z čeg sljed L(f,P) = Zbog tog je m (f)(x x ) =1 m (g)(x x ) L(g,P). (.56) =1 f(x) = lm L(f,P) lm L(g,P) = P P g(x). (.57) () Z funkcju f(x) vrjed f(x) f(x) f(x), p svojstvo monotonost povlč f(x) Iz gornje nejednkost zključujemo f(x) f(x) f(x). (.58) f(x). (.59) Teorem 7 (Teorem o srednjoj vrjednost) Nek je f : [,b] R neprekdn funkcj. Td postoj točk c [,b] tkv d je f(x) = f(c)(b ). (.6)
CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 6 Geometrjsk nterpretcj: postoj točk c [,b] tkv d je površn f(x) jednk površn prvokutnk s osnovcom b vsnom f(c). Dokz Nek je F(x) prmtvn funkcj funkcj f(x). Funkcj F(x) je neprekdn n [, b] dervbln n (, b), p prem Lgrngeovom teoremu o srednjoj vrjednost postoj točk c (,b) tkv d je F (c) = Prmjenom Newton-Lebntzove formule zključujemo F(b) F(). (.61) b F(b) F() = f(x) = F (c)(b ) = f(c)(b ). (.6) Prmjer 37 Zdn je funkcj f : [, ] R, f(x) = x. Odredte točku c koj zdovoljv prethodn teorem grfčk lustrrjte rezultt. Teorem 8 (Osovn teorem ntegrlnog rčun) Ako je f : [, b] R neprekdn funkcj, td z svku točku x [,b] vrjed odnosno x d x f(t)dt je prmtvn funkcj funkcje f(x). Dokz Nek je x (,b). Promtrjmo rzlku F(x + h) F(x ) = x +h f(t)dt = f(x), (.63) f(t)dt x f(t)dt = x +h x f(t)dt. (.64) Kko je f(x) neprekdn funkcj n [, b], po teoremu o srednjoj vrjednost postoj točk c (x,x + h) tkv d je x +h Iz ovog sljed d je x f(t)dt = f(c)h. (.65) F(x + h) F(x ) lm h h jer je funkcj f(x) neprekdn u točk x. = lm h f(c) = f(x ) (.66)
CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 7.1 Neprv ntegrl Defncj odredjenog ntegrl može se prošrt n slučj kd su grnce ntegrcje beskončne l kd funkcj nje omedjen u području ntegrcje. Ako je gornj l donj grnc ntegrcje beskončn funkcj je neprekdn n R, td ntegrl defnrmo pomoću lmes f(x) = lm f(x) = lm b f(x), (.67) f(x). (.68) Ako nveden lmes postoj td kzžemo d ntegrl konvergr. U protvnom kžemo d ntegrl dvergr. Ako su obje grnce ntegrcje beskončne, td defnrmo Cuchyevu glvnu vrjednost ntegrl v.p. R f(x) = lm f(x). (.69) R R Prmjer: v.p. e x = 1, (kovergr) (.7) sn(x) =?, (dvergr) (.71) 1 = π, (konvergr) (.7) 1 + x (.73) Ako funkcj m sngulrtet u točk c =, odnosno neprekdn n otvorenom ntervlu (,b), td defnrmo Slčno, ko je c = b td defnormo lm f(x) = ±, (.74) x c ± f(x) = lm f(x). (.75) ε + +ε f(x) = lm ε + ε f(x). (.76)
CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 8 U slucju d se točk sngulrtet nlz unutr ntervl [,b], c (,b), td je ntegrl potrebno rstvt n zbroj dvju ntegrl f(x) = c f(x) + c f(x) (.77) gdje se svk ntegrl rčun pomoću lmes ko u prethodnm slučjevm. Ako nveden lmes postoje kzžemo d ntegrl kovergr. U protvnom kžemo d ntegrl dvergr. Prmjer 38 Izrčunjte I = Rješenje Funkcj m sngulrtet u x =, stog je I = = lm [ = 3 ε + Prmjer 39 Izrčunjte 1 3 + x ε 3 x 3 x + lm ε + ε 3 x. (.78) 3 x ( lm 3 ε 3 ) ( + lm ε + ε + I = Rješenje Funkcj m sngulrtet u x =, stog je I = x + 3 ) ] 1 3 ε = 6. (.79) x. (.8) x. (.81) Medjutm, ntegrl dvergrju, p cjel ntegrl tkodjer dvergr. x x x Prmjetmo d u rčunnju ovog ntegrl nje dozovljeno zrvno korstt Newton- Lebntzovu formulu jer funkcj f(x) = 1 x m prekd u točk x =. Dost, što je pogrešn rezultt. x = x x=1 x= =, (.8) Prmjer 4 Pokžte d je ln(x) =. (.83)
CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 9. Prmjene odredjenog ntegrl..1 Površn rvnnskog lk Lko možemo odredt površnu rvnnskog lk koj me omedjen s dvje krvulje, l s jednom krvuljom x-os. Promtrt ćemo krvulje u rvnn zdne n sljedeć nčn: 1. eksplctno zdne krvulje y = f(x), x [,b], (.84). mplctno zdne krvulje x = x(t), y = y(t), t [t 1,t ], (.85) 3. krvulje zdne u polrnom sustvu r = r(ϕ), ϕ [ϕ 1,ϕ ]. (.86) Eksplctno zdn krvulj Nek su f,g: [,b] R neprekdne funkcje, f(x) g(x) z svk x [,b]. Element površne: dp = (g(x ) f(x )). (.87) Ukupn površn lk omedjenog krvuljm y = f(x) y = g(x), x [, b]: P = lm P = x (g(x) f(x)). (.88) Prmjer 41 Izrčunjte površnu lk omedjenog krvuljm y = 1 1+x y = x. Rješenje Presjecšte krvulj y = 1 y = x 1+x dno je jedndžbom x = 1 1 + x. (.89) Supsttucj t = x dje t(t + 1) =, odnosno t =, 1. Td je x = 1, p se krvulje sjeku u točkm x = ±1. Prmjetmo d je n ntervlu [, 1] x 1 1 + x, x [, 1]. (.9)
CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 3 Stog je površn d s P = ( ) 1 1 + x x = π 1 3. (.91) Prmetrsk zdn krvulj Nek su vrjble x y funkcje prmetr t [t 1,t ]. Element površne: dp = y(t ) x (t ) dt. (.9) Ukupn površn lke omedjenog krvuljom x = x(t), y = y(t) x-os: P = lm t P = t Prmjer 4 Odredte površnu omedjenu jednm lukom cklode x-os. t 1 y(t) x (t) dt. (.93) x(t) = R(t sn(t)), y(t) = R(1 cos(t)), (.94) Rješenje D b točk opsl jedn luk cklode prmetr t se mor promjent od t = do t = π. Dkle, P = y(t)x (t)dt = R(1 cos(t)) R(1 cos(t))dt = R (1 cos(t)) ( dt = R 1 cos(t) + cos (t) ) dt ] = R [π 1 + (1 + cos(t)) dt = 3πR. Krvulj zdn u polrnom sustvu Površn kružnom sječk rdjus r koj ztvr kut ϕ je Element površne: (.95) P = 1 r ϕ. (.96) dp = 1 r (ϕ )dϕ. (.97) Ukupn površn lk omedjenog krvuljom r = r(ϕ) zrkm ϕ = ϕ 1, ϕ = ϕ : ϕ 1 P = lm P = ϕ ϕ 1 r (ϕ)dϕ. (.98)
CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 31 Prmjer 43 Izrčunjte površnu krdode r(ϕ) = R(1 + cos(ϕ)). (.99) Rješenje Nek je P 1 površn gornjeg djel krdode. Zbog smetrje ukupn površn je P = P 1. P 1 je omedjen zrkm ϕ = ϕ = π. Stog je P 1 = π 1 r (ϕ)dϕ = R Td je ukupn površn dn s π (1 + cos(ϕ)) dϕ = 3π 4 R. (.1) P = 3π R. (.11).. Duljn krvulje Eksplctno zdn krvulj Nek je f : [, b] R dervbln funkcj. Duljn segment odredjenog točkm (x,f(x )) (x + x,f(x + x)): ( ) f(x + x) f(x ) S = 1 + x. (.1) x Element duljne luk krvulje: L = Ukupn duljn krvulje y = f(x), x [,b]: L = lm L = x 1 + (f (x )) x. (.13) 1 + (f (x)). (.14) Prmjer 44 Odredte duljnu luk lnčnce f(x) = ch(x) n ntervlu [, 1]. Rješenje L = = = sh(x) 1 + ( ch (x) ) 1 + sh (x) = x=1 x= ch(x) = sh(1) = e + 1 e 3.8. (.15)
CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 3 Prmetersk zdn krvulj Nek su x = x(t) y = y(t) dervblne funkcje n ntervlu [t 1,t ]. Duljn segment odredjenog točkm (x(t ),y(t )) (x(t + t),y(t + t)): (x(t ) ( ) + t) x(t ) y(t + t) y(t ) S = + t. (.16) t t Element duljne luk krvulje: Ukupn duljn krvulje: L = lm L = t (x (t )) + (y (t )) t. (.17) L = t Prmjer 45 Odredte duljnu jednog luk cklode t 1 (x (t)) + (y (t)) dt. (.18) x(t) = R (t sn(t)), y(t) = R (1 cos(t)). (.19) Rješenje L = = R R (1 cos(t)) + R sn (t)dt (1 cos(t)) dt = R sn ( ) t dt = 8R. (.11) Krvulj zdn u polrnom sustvu Nek je r = r(ϕ) dferencjbln funkcj n ntervlu [ϕ 1,ϕ ]. Duljn segment odredjenog točkm (r(ϕ ),ϕ ) (r(ϕ + ϕ),ϕ + ϕ): ( ) r(ϕ + ϕ S = r ) r(ϕ ) (ϕ ) + ϕ. (.111) ϕ Element duljne luk krvulje: L = Ukupn duljn krvulje: L = lm L = ϕ r (ϕ ) + (r (ϕ )) ϕ. (.11) ϕ ϕ 1 r (ϕ) + (r (ϕ)) dϕ. (.113)
CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 33 Prmjer 46 Odredte opseg krdode r(ϕ) = R(1 + cos(ϕ)). (.114) Rješenje L = R (1 + cos(ϕ)) + R sn (ϕ)dϕ = ( ϕ ) R 1 + cos(ϕ)dϕ = R cos dϕ ( ϕ ) π ( ϕ ) = R cos dϕ = 4R cos dϕ = 8R. (.115)..3 Volumen rotconog tjel Rotcono tjelo nstje rotcjom krvulje oko neke fksne os. Tkvo tjelo je očgledno smetrčno u odnosu n os rotcje. Eksplctno zdn krvulj Nek je zdn krvulj y = f(x), x [, b]. Element volumen: V = π (f(x )) x. (.116) Ukupn volumen: V = lm x V = π (f(x)). (.117) Prmjer 47 Odredte volumen stošc vsne h rdjus bze R. Rješenje Stožc nstje rotcjom krvulje y = R h x, x [,h], (.118) oko x-os. Stog je V = h πy (x) = π h ( ) R x = π h 3 R h. (.119)
CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 34 Prmetrsk zdn krvulj Nek je zdn krvulj x = x(t), y = y(t), t [t 1,t ]. Element volumen: V = π y (t ) x (t ) t. (.1) Ukupn volumen: V = t t 1 πy(t) x (t) dt. (.11) Prmjer 48 Odredte volumen kugle rdjus R. Rješenje Kuglu nstje rotcjom polukružnce oko x-os. Polukružncu možemo prmetrzrt jedndžbm x(t) = R cos(t), y(t) = R sn(t), t [,π]. (.1) Td je π π V = π R sn (t)r( sn(t)) dt = πr 3 sn 3 (t)dt π = πr 3 (1 cos (t)) sn(t)dt = 4π 3 R3. (.13)..4 Oplošje rotconog tjel Bez dokz nvodmo formule z oplošje A rotconog tjel u slučju eksplctne prmetrsk zdne krvulje. Eksplctno zdn krvulj Nek je y = f(x) dferencjbln krvulj n ntervlu [,b]. Oplošje tjel: A = π f(x) 1 + (f (x)). (.14) Prmetrsk zdn krvulj Nek su x = x(t) y = y(t) dferencjblne funkcj n ntervlu [t 1,t ]. Oplošje tjel: A = t t 1 π y(t) (x (t)) + (y (t)) dt. (.15)
CHAPTER. ODREDJENI INTEGRAL 35 Prmjer 49 Izrčunjte oplošje kugle rdjus R. Rješenje Uzmjuć prmetrzcju gornje polukružnce x(t) = R cos(t), y(t) = R sn(t), t [,π], (.16) dobvmo A = π π R sn(t) (R sn(t)) + (R cos(t)) dt π = πr sn(t)dt = 4πR. (.17)