MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY A DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE RNDr. Pavol PURCZ, PhD. RNDr. Martina RÉVAYOVÁ MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH KOŠICE 6

Copyright c 6, RNDr. Pavol Purcz, PhD. - RNDr. Martina Révayová Žiadna časť tejto publikácie nesmie byť reprodukovaná tlačenou, elektronickou alebo inou formou bez písomného súhlasu autora a vydavateľa. Neprešlo jazykovou úpravou. Recenzenti: Doc.RNDr. Katarína Trokanová, CSc., Doc.RNDr. Ondrej Dreveňák, CSc. Vydala Technická univerzita v Košiciach, Stavebná fakulta ISBN 8-87-65-9

Úvod Tieto skriptá sú napísané pre študentov.ročníka bakalárskeho štúdia TU Stavebnej fakulty v Košiciach a naväzujú svojím obsahom na skriptá MATEMATIKA I., autori: Doc.RNDr. Štefan Černák, CSc. a Doc.RNDr. Miron Pavluš, CSc., vydané Technickou univerzitou v Košiciach, Stavebnou fakultou v r.6. Skriptá obsahujú tieto kapitoly: Neurčitý integrál, Určitý integrál, Diferenciálny počet funkcie viac premených a Diferenciálne rovnice. Posledná kapitola pozostáva z výsledkov riešenia daných úloh. Na začiatku každej kapitoly (okrem poslednej) sú uvedené definície niektorých pojmov a ich vlastnosti, potrebné na riešenie príslušných úloh. Skriptá ďalej obsahujú riešené príklady a príklady na samostatné riešenie s výsledkami. Nakoľko tieto skriptá sú koncipované ako zbierka úloh, neobsahujú definície všetkých pojmov a ani dôkazy matematických viet. Na záver si dovoľujeme poďakovať doc. RNDr. Kataríne Trokanovej, CSc. a doc. RNDr. Ondrejovi Dreveňákovi, CSc. za starostlivé prečítanie celého tetu a pripomienky, ktorými prispeli k zlepšeniu tejto učebnej pomôcky. Autori

Neurčitý integrál. Primitívna funkcia, neurčitý integrál, základné vzorce A. Hovoríme, že F () je v intervale (a, b) primitívnou funkciou k funkcii f(), ak pre každé (a, b) platí F () = f(). Každá funkcia F () + C, kde C je ľubovoľná konštanta je tiež primitívnou funkciou k funkcii f(). B. Množinu všetkých primitívnych funkcií k funkcii f() nazývame neurčitý integrál funkcie f() a označujeme f() Teda f() d = F () + C, kde C je ľubovoľné reálne číslo, ktoré nazývame integračnou konštantou. C. Základné vzorce. α d = α+ + C (α reálne, α ), α+. d = ln + C,. a d = a + C, ln a. e d = e + C, 5. sin d = cos + C, 6. cos d = sin + C, 7. d = tg + C, cos 8. d = cotg + C, sin 9. a d = arcsin + C, a. d = arctg + C, a + a a. d = ln + + a + C, +a. f () f() d = ln f() + C. Vlastnosti neurčitého integrálu (f() ± g()) d = f() d ± g() d, kf() d = k f() d, (k je konštanta). Príklad. Vypočítajme integrály cos 6 + cos a) cos sin d, b) d, c) a) cos cos cos sin d = sin cos sin d = = sin d d = cotg tg + C, cos cos cos sin d sin cos sin d =

6 + cos 6 b) d = d d + cos d = = d d + cos d = 6 + sin + C, c) d = ( ) d = d = arcsin + C. Úlohy Použitím ( základných vzorcov ) vypočítajte neurčité integrály.. + + +. 9 +. (+ ) ( ). 5. + + 6. ( 5 + ) ) ) 7. e ( e 8. a ( a 9. 5. ( + )...8 6. ( ). ( ( 5 ). 5 cos 5 + 5. tg 6. cotg cos 7. 8. cos sin cos sin 9. sin. cos cos. cos sin. +cos +cos.. + + 5. 6. + + 7. 5 6+ + 8. ( ) Použitím. vzorca vypočítajte neurčité integrály. 9.. + 5. 5+. (tg + cotg ) sin. cos +. e e 5. 6. ln arcsin + ). Integrovanie substitučnou metódou A. Prvé pravidlo o substitúcii; substitúcia ϕ() = z. Neurčitý integrál tvaru f(ϕ())ϕ () d () formálne počítame tak, že zavedieme novú premennú z substitúciou ϕ() = z, vypočítame ϕ () d = dz a dosadíme do daného integrálu. Dostaneme f(ϕ())ϕ () d = f(z) dz. Vypočítame integrál na pravej strane a dosadíme z = ϕ(). Príklad. Vypočítajme integrály arctg a) d, b) + 5 cos + sin

a) Integrál je tvaru (); ϕ() = arctg. Preto zavedieme substitúciu arctg = z, + d = dz a dostaneme arctg z z d = dz = + + C = arctg + C. b) V čitateli je derivácia menovateľa. Použijúc. vzorec máme cos d = ln + sin + C. + sin B. Druhé pravidlo o substitúcii; substitúcia = ϕ(z). Neurčitý integrál f() d počítame formálne tak, že použijeme substitúciu = ϕ(z) a vypočítame d = ϕ (z)dz. Dosadíme do daného integrálu a dostaneme f() d = f(ϕ(z))ϕ (z) dz. Vypočítame integrál na pravej strane, z rovnice = ϕ(z) vyjadríme z pomocou, z = g() a dosadíme. Príklad. Vypočítajme + Zavedieme substitúciu = t. Potom d = t dt. Dostaneme d + = dt t = + t t dt t + t = t dt t + = t + + C = = + + C. Úlohy V nasledujúcich príkladoch substitučnou metódou riešte neurčité integrály. 7. ( + ) 9 8. + 9.. 5 5 6.. (+) (+). ( ). sin() 5. cos( ) 6. tg( ) 7. 8. 9 + 9. e 5. e 5. e 5. e 5. 5. 6 + ( ) 6

55. 57. 59. 6. 6. 65. cos ( +) 56. sin cos sin cos 58. ln (ln ) + 6. sin cos arcsin tg 6. ln (cos ) e / 6. 66. e cos tg. Integrovanie metódou per partes Ak funkcie u a v premennej majú na intervale (a, b) spojité derivácie u a v, tak na tomto intervale platí uv d = uv u v () Vzorec () používame na integrovanie súčinu dvoch funkcií. Jednu z funkcií zvolíme za u a druhú za v. Voľbu treba urobiť tak, aby sme vedeli vypočítať v integrovaním v a aby integrál u v d bol jednoduchší ako daný integrál. Závisí od skúsenosti, ktorú funkciu zvoliť za u a ktorú za v. Predsa však v niektorých prípadoch platia isté zásady. Ak P () je polynóm, tak pri výpočte integrálu P () arcsin d položíme u = arcsin, v = P (). Podobne, ak namiesto arcsin je hociktorá cyklometrická funkcia, prípadne ln. Pri výpočte integrálu P () sin d je voľba u = P (), v = sin. Podobne, ak namiesto sin je cos, prípadne e. Niekedy je treba vzorec () použiť viac ráz za sebou. Môže sa stať, že sa dostaneme opäť k pôvodnému integrálu. V tomto prípade máme pre daný integrál rovnicu, z ktorej ho vypočítame. Príklad. Vypočítajme integrály a) ( )e d, b) ( + ) cos d, c) ln(+)d, d) e cos a) Položíme u =, v = e. Potom u =, v = e d = e. Dostaneme ( )e d = ( )e e d = ( )e e + C = ( )e + C. b) Položíme u = +, v = cos. Potom u = +, v = sin a ( + ) cos d = ( + ) sin ( + ) sin Opäť použijeme metódu per partes. Položíme u = +, v = sin. Potom u =, v = cos a [ ] ( + ) cos d = ( + ) sin ( + )( cos ) cos d = = ( + ) sin + ( + ) cos sin + C. 7

c) Položíme u = ln( + ), v =. Potom u =, v = a + ln( + ) d = ln( + ) + ( + + d = d = ) d = + + = + d = ln + + C. Dosadíme a máme ln( + ) d = ln( + ) + ln + + C. d) Položíme u = e, v = cos. Potom u = e, v = sin a e cos d = e sin e sin + d = Opäť použijeme metódu per partes. Položíme u = e, v = sin. Potom u = e, v = cos a e cos d = e sin [ e ( cos ) ] e ( cos ) d = = e sin + e cos e cos Na pravej strane máme daný integrál. Pre výpočet daného integrálu máme teda rovnicu, z ktorej tento integrál vypočítame. Platí e cos d = e sin + e cos, e cos d = e (sin + cos ) + C. Úlohy V nasledujúcich príkladoch riešte neurčité integrály metódou per partes. 67. ln 68. e 69. e 7. 7. e 7. ln 7. arctg 7. (9 + ) ln 75. sin 76. cos 77. cos 78. tg 79. ( + ) e 8. ( ) sin 8. e 8. sin 8. cos 8. ( ) cos 85. ( + ) e 86. ( + 6 + ) cos 87. sin 88. arctg 89. ln 9. arctg 9. arcsin 9. (arcsin ) 9. ln 9. ln( + ) 95. ln( + ) 96. cos(ln ) 8

97. 99... 5. e arcsin 98. e arctg e e sin. e sin e sin. e cos 5 arcsin. arctg + cotg sin 6. ln. Integrovanie parciálnych zlomkov Parciálnym zlomkom rozumieme racionálnu funkciu tvaru A ( α) alebo M + N n ( + p + q), n kde n je prirodzené číslo, A, α, M, N, p, q sú reálne čísla a kvadratický trojčlen má diskriminant D <. A. Integrovanie parciálneho zlomku A ( α) n. a) Ak n =, tak A α d = A d = A ln α + C. α Príklad 5. Vypočítajme 5 7 5 7 d = 5 d = 5 ln 7 + C. 7 b) Ak n >, tak A ( α) n d počítame substitúciou α = z. Príklad 6. Vypočítajme (+5) 7 Zavedieme substitúciu + 5 = z, d = dz a dostaneme ( + 5) d = 7 z dz = z 7 dz = z 6 7 6 + C = z + C = 6 ( + 5) + C. 6 B. Integrovanie parciálneho zlomku M + N ( + p + q) n. () a) Pre n = máme M+N Daný integrál () počítame takto: +p+q ) Trojčlen + p + q doplníme na úplný štvorec, + p + q = ( + p ) ( p ) + q. ) Zavedieme substitúciu + p = z. ) Po úprave integrál rozdelíme na dva integrály, ktoré môžme vypočítať pomocou nasledujúcich vzorcov a metód. Príklad 7. Vypočítajme I = 9 6+ D = 6 5 = 6 <. 9 I = 6 + d = 9 9 ( ) 9 +

Zavedieme substitúciu = z, = z +, d = dz a máme (z + ) 9 z + I = dz = z + z + dz = z z + dz + z + dz. I = ln(z + ) arctg z + C = ln( 6 + ) arctg + C. b) Ak n >, platí podobný postup, ako v prípade a) ale naviac potrebujeme rekurentný vzorec I n = ( + a ) d = [ n a Príklad 8. Vypočítajme I = ( +) n + (n )( + a ) n n I n Použijúc rekurentný vzorec () dostaneme I = [ ( )( + ) + 6 ] 6 I = 6( + ) + 6 I. I počítame opäť podľa vzorca (). I = [ ( )( + ) + ] I = 8( + ) + 8 I. I = + d = arctg. Po dosadení za I a I dostaneme I = = 6( + ) + 6 ( 8( + ) + 8 arctg ) + C = 6( + ) + 8( + ) + 56 arctg + C. Príklad 9. Vypočítajme I = 5 ( ++) 5 I = [( + ) + ] d = Zavedieme substitúciu + = z, = z, d = dz (z ) 5 z 7 I = dz = (z + ) (z + ) dz = 5 [( + ) + ] z dz (z + ) dz 7 Prvý integrál počítame substitúciou z + = t, zdz = dt. z dt (z + ) dz = t = t = z + = + +. Druhý integrál počítame použitím rekurentného vzorca () a dostaneme (z + ) dz = + ( + + ) + arctg( + ). Po spätnom dosadení získame ( I = + + 7 + ( + + ) + ) arctg( + ) + C = = 7 + 9 + + 7 arctg( + ) + C. ]. () dz (z + ).

Úlohy Vypočítajte integrály parciálnych zlomkov. 7. 8. 5 +7 9.. 8 +.. ( ).. +5 5. 6. ++5 7. 8. +6+ 9.. ++6. +. +9 +. +. +5 8 5. 6. +6 ( +).5 Integrovanie racionálnych funkcií (+) ++ 5 ++ + ++ +5 ( +9) Racionálna funkcia f() je podiel dvoch polynómov P m () a P n () f() = P m() P n (), (5) kde m a n je ich stupeň. Ak m < n, racionálna funkcia f() sa volá rýdzoracionálna. Uvedieme postup, ako z racionálnej funkcie, ktorá nie je rýdzoracionálna dostaneme rýdzoracionálnu a ako rýdzoracionálnu funkciu rozložíme na súčet parciálnych zlomkov. Majme racionálnu funkciu f() takú, že m n. Potom delíme čitateľa menovateľom a dostaneme P m () P n () = Q() + R() P n (), (6) kde Q() je polynóm a R() je zvyšok pri delení. R() je polynóm taký, že stupeň R() < n. Teda R() je rýdzoracionálna funkcia. Pri rozklade rýdzoracionálnej funkcie R() P n() P n() na súčet parciálnych zlomkov postupujeme takto:. Nájdeme všetky reálne korene menovateľa P n () a rozložíme ho na súčin čísla a n (a n je koeficient pri najvyššej mocnine polynómu P n ()), koreňových činiteľov príslušných reálnych koreňov a kvadratických výrazov, ktorých diskriminant D < (t.j., ktoré nemajú reálne korene). P n () = a n... ( α) k... ( + p + q) l... Všimnime si, že jednotlivé činitele sú menovatele parciálnych zlomkov.. Vyrazu ( α) k odpovedá k parciálnych zlomkov tvaru A α, A ( α),..., A k ( α) k. Výrazu ( + p + q) l odpovedá l parciálnych zlomkov tvaru M + N + p + q, M + N ( + p + q),..., M l + N l ( + p + q) l.

. Racionálnu funkciu R() P n() rozložíme na súčet všetkých príslušných parciálnych zlomkov.. Získanú rovnosť násobíme P n (), čím odstránime zlomky a dostaneme rovnosť dvoch polynómov. 5. Vypočítame koeficienty A i, N j, M j niektorou z týchto metód: a) metódou porovnávania koeficientov pri rovnakých mocninách, b) metódou dosadzovania reálnych koreňov menovateľa, c) kombinovanou metódou. 6. Integrujeme už rozloženú racionálnu funkciu tvaru (5) alebo (6). Príklad. Vypočítajme + a) I = d, b) I = + 8 + d, 5 + + + c) I = a) ( + ) : ( + ) = + +5 + ( + ) +5 I = d + Funkcia +5 + je rýdzoracionálna. + 5 +. D = 9 >, teda menovateľ má reálne korene. Dostaneme + = ( )(+ ).. Výrazu odpovedá jeden parciálny zlomok tvaru A. Podobne, výrazu + odpovedá B. +. Racionálnu funkciu rozložíme na súčet parciálnych zlomkov, + 5 + = A + B +.. Rovnosť násobíme výrazom + a dostaneme +5 = A(+)+B( ). 5. Koeficienty A a B vypočítame metódou dosadzovania koreňov menovateľa. = : + 5 = A( + ) + B( ), A =, = : ( ) + 5 = A( + ) + B( ), B =. 6. ( I = + + ) d = + ln ln + + C. + b) Máme integrál rýdzoracionálnej funkcie.. Rozložíme menovateľa. Dosadením zistíme, že menovateľ má koreň =. Polynóm delíme jeho koreňovým činiteľom ( ) ( + ) : ( ) = +, + = ( )( + ). Potom + = ( )( )( + ) = ( ) ( + ).

. Výrazu ( ) odpovedajú dva parciálne zlomky tvaru A, A a výrazu + ( ) odpovedá jeden zlomok tvaru. Celkový rozklad je B. + 8 + = A + A ( ) + B +.. Násobíme rovnosť výrazom + a dostaneme 8 = A ( )( + ) + A ( + ) + B( ). 5. Koeficienty A, A a B vypočítame kombinovanou metódou. Najskôr použijeme metódu dosadzovania koreňov menovateľa = : 8 = A ( + ), A =, = : ( ) 8( ) = B(, ), B =. Na výpočet A použijeme metódu porovnávania koeficientov. Pravú stranu upravíme a výjmeme a. Porovnáme koeficienty pri tej mocnine, kde sa vyskytuje A, napr. pri. : = A + B, = A +, A =. I = d + ( ) d + + Do prostredného integrálu zavedieme substitúciu = z, d = dz a dostaneme ( d = dz = ) = ( ) z z z =. 6. Nakoniec I = ln + ( + ) + ln + + C = ln + + C. c) Stupeň čitateľa > stupeň menovateľa, teda musíme deliť. ( 5 + + + ) : ( ) = + + + +. + + I = d + d +. = ( )( + ) = ( )( + )( + ).. Výrazom a + odpovedajú parciálne zlomky A výrazu + odpovedá parciálny zlomok M+N. +. Celkový rozklad má tvar a B. Kvadratickému + + + = A + B + + M + N +.. Rovnosť násobíme výrazom. + + = A( + )( + ) + B( )( + ) + (M + N)( ).

Úlohy 5. Koeficienty A, B, M, N vypočítame kombinovanou metódou. Najskôr dosadíme korene menovateľa. = : + + = A( + )( + ), A =, = : ( ) + ( ) = B( )(( ) + ), B =. Porovnáme koeficienty pri tých mocninách, kde sa vyskytuje M a N, napr. pri a. : = A + B + M, = + + M, M =, : = A B N, = N, N =. 6. Vypočítané koeficienty dosadíme a dokončíme výpočet I = + + + + d = d + + d + + d + + + + d = ln( + ) + arctg. I = + + ln + ln + + ln( + ) + arctg + C = ( = + + ln ) + + arctg + C. Rozložte na parciálne zlomky. 7. ( )( ). 8. 5 ( )(+). 9. + ( ).. ( ).. 7 ( +).. ( 5)( +5).. 6 ( +).. ( )( ++5). 5.. ( +)( 8+7) 6.. ( +) V nasledujúcich príkladoch vypočítajte integrály racionálnych funkcií. Menovateľ má len reálne rôzne korene. 7. 8. 9. +. + 6.. + +.. ++ 6 5. 6. + 5 + 7. 5+9 8. + 5 5+6 +5 9. + 5. 7 5. 5. + 5. 5 5 +5 5. 8 +7 55. 56. 5 + 8 9 Menovateľ má len reálne korene, niektoré sú viacnásobné. + 57. ++ 58. + 59. + 6. + + + + + 6. +5 +8+ 6. 6. + 6. + + + 65. 8+6 66. + ( ) 5 + 5 8 ( )( )(+) +5 +8+ ( )( +)

67. + 68. + + ++ 5 + ++ 69. 7. + 7. +8 7. 8 + 7. 7 +7+9 7. + +9 75. + 76. +8 5 + +5 Menovateľ má komplené rôzne korene. 77. + 78. 79. 8. + 8 8. 8. 8 6 +9 8. 8. + + 5 + 85. 86. +6 +7 5 +5 + 87. 88. 6 + +9 +6 89. ++ 9. ++ + 9. + 9. + +5 + + 9. + 9. + 8 7+5 +5 6 95. + 96. 5 + ++ + + + Menovateľ má komplené viacnásobné korene. 97. ( +) 98. +5 (+)( +) 6 99.. 6+ ( )( +5) ( +) +. ( ++). + +. (+)(+ ). + ( )( +) 5. 6. ( )( +) ( +).6 Integrovanie iracionálnych funkcií A. Integrály typu R(, n a + b) d Daný integrál substitúciou a + b = z n upravíme na integrál racionálnej funkcie. Príklad. Vypočítajme I = + + ( ) V našom prípade n =. Preto zavedieme substitúciu = z, = z +, d = z dz = z dz. I = (z + + z )z z 6 + z + z dz = dz. z + z + z Máme integrál racionálnej funkcie. Treba deliť čitateľa menovateľom. Dostaneme z 6 + z + z + z = z z + 9 7 + z. I = z5 5 z + 9z 7 arctg z + C = 5

= ( ) 5 5 B. Integrály typu ( ) + 9 7 arctg R(, n a+b ) d c+d + C. Podobne, ako v predošlom odseku, zavedieme substitúciu a+b c+d = zn a dostaneme integrál racionálnej funkcie. Príklad. Vypočítajme I = V našom prípade n =. Preto zavedieme substitúciu = z, = z, ( z ) =, = z, d = z dz. Potom ( z ) z z I = z ( z ) dz = ( = + z Pretože z = ( z)( + z), funkciu z z z z dz = + dz = z ) dz = z + z dz. rozložíme na parciálne zlomky. z = A z + B, = A( + z) + B( z). + z = : = A( + ), A =, = : = B( + ), B =. z dz = z dz + + z dz = ln z + ln + z = + z ln z. I = z + ln + z z + C. Ešte treba dosadiť z =. C. Integrály typu D+E d A +B+C Daný integrál vypočítame takto. A + B + C doplníme na úplný štvorec.. Za výraz v zátvorke zavedieme substitúciu z.. Funkciu upravíme a integrál rozdelíme na dva integrály, ktoré majú niektorý tvar z typov (α) (δ). Nasledujú pomocné integrály (α) a d, (β) a d, (γ) + a d, (δ) + a (α) integrál počítame substitúciou = az. Po úprave dostaneme a d = arcsin a. 6

Integrály (β) a (δ) vypočítame substitúciou a = z a + a = z. Integrál (γ) je základný vzorec. Príklad. Vypočítajme 5 a) I = + d, b) I = + 5 6 a) + doplníme na úplný štvorec a zavedieme substitúciu + = ( + 5) 5, + 5 = z, = z 5, d = dz. Dostaneme I = 5 z 5 5 ( + 5) 5 d = z 5 dz = z z 5 dz = = z z 5 dz z 5 dz. Prvý integrál má tvar (δ) a druhý je tvaru (γ). Do prvého integrálu zavedieme substitúciu z 5 = t, zdz = tdt a dostaneme z tdt z 5 dz = = t = z t 5. Potom I = z 5 ln z+ z 5 +C = + ln +5+ + +C. b) 6 doplníme na úplný štvorec 6 = ( + 6) = [(+) 6] = 7 ( + ) a zavedieme substitúciu + = z, = z, d = dz. Potom + 5 z + 5 I = d = dz = z + dz = 7 ( + ) 7 z 7 z = z dz + 7 z 7 z dz. Prvý integrál má tvar (β) a druhý je tvaru (α). Do prvého integrálu zavedieme substitúciu 7 z = t, zdz = tdt, zdz = tdt a dostaneme z tdt dz = = t = 7 z 7 z t. Nakoniec obdržíme I = 7 z + arcsin z 7 + C = 6 + arcsin + 7 + C. 7

D. Metóda neurčitých koeficientov Touto metódou počítame integrály typu n. Platí rovnosť P n () a + b + c d = Q n () a + b + c + k P n() a +b+c d, kde P n() je polynóm stupňa d, (7) a + b + c kde Q n () je polynóm stupňa n (s neurčitými koeficientami A, B, C, a k je konštanta. Koeficienty polynómu Q n () a konštantu k určíme tak, že rovnosť (7) zderivujeme a derivivanú rovnosť vynásobíme výrazom a + b + c. Potom dostaneme rovnosť dvoch polynómov. Porovnáme koeficienty pri rovnakých mocninách. Integrál na pravej strane rovnosti (7) je typu C. Príklad. Vypočítajme I = + + Integrál nemá typ, ktorým sa zaoberáme, ale ho môžeme na taký upraviť, ak integrovanú funkciu vynásobíme a vydelíme výrazom + +. Dostaneme ( + + ) I = + + d = + + + + Použijeme rovnosť (7) + + + + d = (A + B + C) + + + k + + Rovnosť zderivujeme + + + + = (A + B) + + + (A + + B + C) + + + +k + +. Vynásobíme výrazom + + + + = (A + B)( + + ) + (A + B + C)( + ) + k. Porovnáme koeficienty : = A + A, A = : = B + A + B + A, B = 6 : = B + A + C + B, C = 6 : = B + C + k, k =. Teda I = ( + 6 + 6 ) + + + + Integrál na pravej strane je typu A. Trojčlen + + doplníme na úplný štvorec, + + = ( + ) + = ( + ) +. Zavedieme substitúciu + = z, d = dz a dostaneme Aelkove + + d = I = z + dz = ln z + z + = ln + + + +. ( + + ) + + ln + + + + + C. 8

Úlohy A. R(, n a + b) d 7. + 8. + 9. +. + 6 5. + + (+ 6. 6 + 7 ) 6 7 + 5.. + + 5. 6. ++ + ( ) B. ) R (, n a+b d c+d 7. 8. + + 9.. + C. D+E d A +B+C.. 5. 7. 9.. +. + 6. ++ 8. 5 +8 +. ( )(+) + +5 9 9 6+ 7+5 8 5+ D. P n() d a +b+c.. +5 ++.. +5 +8+ ++ 5. 6. + + 7. + + 8. 9.. ( ) +.7 Integrovanie trigonometrických funkcií A. sin n d, cos n d, n je prirodzené číslo Integrály počítame pomocou rekurentných vzorcov I n = sin n d = n cos sinn + n n I n, (8) I n = cos n d = n sin cosn + n n I n. (9) Opakovaným použitím týchto vzorcov dospejeme k integrálu I alebo I (v prípade (8) I = sin d = d =, I = sin d = cos ; v prípade (9) analogicky). Príklad 5. Vypočítajme a) sin 5 d, b) cos 9

a) Použijeme rekurentný vzorec (8) pre n = 5 a potom opäť pre n = I 5 = sin 5 d = 5 cos sin + 5 I = 5 cos sin + ( 5 cos sin + ) I = = 5 cos sin 5 cos sin + 8 5 sin d = = 5 cos sin 5 cos sin 8 cos + C. 5 b) Použijeme rekurentný vzorec (9) pre n = a potom ešte raz pre n = I = sin cos + I = sin cos + ( sin cos + ) I = = sin cos + 8 sin cos + cos d = 8 sin cos + 8 sin cos + 8 +C. Poznamenajme, že integrály daného typu môžeme počítať aj bez použitia rekurentných vzorcov.. Ak n je nepárne, funkciu upravíme a zavedieme substitúciu.. Ak n je párne, mocninu znižujeme postupným používaním vzorcov pre dvojnásobný uhol sin α = cos α, cos α = Vypočítajme Príklad 5 použitím týchto nových spôsobov. + cos α. a) sin 5 d = sin sin d = (sin ) sin d = ( cos ) sin Zavedieme substitúciu cos = z, sin d = dz, sin d = dz. Potom sin 5 d = ( z ) dz = ( z + z )dz = (z z + z5 5 ) + C = = cos + cos 5 cos5 + C. b) ( ) + cos cos d = (cos ) d = d = (+ cos +cos )d = = ( + sin + cos d) = + sin + + cos d = = + sin + ( + ) 8 sin + C = 8 + sin + sin + C. B. Integrály typu sin n cos m d, n, m sú prirodzené čísla Rozlišujeme dva prípady.

. čísla n aj m sú párne. Funkciu upravíme tak, že dostaneme len mocniny funkcie sin alebo len mocniny cos. Tieto integrály počítame pomocou rekurentných vzorcov. Príklad 6. Vypočítajme I = sin cos 6 Technicky je výhodné upraviť mocninu s menším eponentom, teda sin. I = (sin ) cos 6 d = ( cos ) cos 6 d = ( cos +cos ) cos 6 d = = cos 6 d cos 8 d + cos Každý z týchto integrálov môžeme vypočítať podľa rekurentného vzorca (9).. Aspoň jedno z čísel n, m je nepárne. Ak n (m) je nepárne, po úprave použijeme substitúciu cos = z (sin = z). Príklad 7. Vypočítajme I = sin cos 5 Použijeme podobnú úpravu ako v Príklade 5 a) (s tým rozdielom, že teraz upravujeme cos 5 ). I = sin cos cos d = sin ( sin ) cos Zavedieme substitúciu sin = z, cos d = dz I = z ( z ) dz = (z z + z 6 )dz = z z5 5 + z7 7 + C = = sin 5 sin5 + 7 sin7 + C. C. Integrály typu R(sin ) cos d, R(cos ) sin d Tieto integrály je výhodné počítať substitúciou (podľa prvého pravidla o substitúcii) sin = z, resp. cos = z. Príklad 8. Vypočítajme a) I = sin d, b) I = cos sin cos a) Integrovanú funkciu najskôr upravíme I = sin cos d = cos sin ( sin cos ) Integrál je prvého typu, preto použijeme substitúciu sin = z, cos d = dz a dostaneme I = z ( z ) Dostali sme integrál racionálnej funkcie, ktorú rozložíme na parciálne zlomky a dokončíme výpočet (urobte sami).

b) I = sin cos sin d = sin cos cos Integrál je druhého typu, preto použijeme substitúciu cos = z, sin d = dz a máme z ( I = dz = z z ) dz = z z z + C = cos cos + C. D. Integrály typu R(sin, cos ) d Integrály tohoto typu substitúciou tg = z upravíme na integrál racionálnej funkcie. Funkcie sin, cos a d vyjadríme pomocou z. Platí sin = Príklad 9. Vypočítajme I = d cos + sin. z z, cos = + z + z, d = + z dz. Použitím substitúcie tg = z dostaneme I = dz +z = z + z +z +z z z dz = (z )(z + ) = A z + B z +. (z )(z + ) dz, Metódou dosadzovania koreňov z = a z = vypočítame A = 5, B = 5. Potom ( I = 5 ln z 5 ) ln z + + C = 5 ln tg + tg + C. Ak sa za integrálom vyskytujú len párne mocniny funkcií sin a cos, vtedy použijeme substitúciu tg = z. Potom sin = z + z, cos = + z, d = + z dz. Príklad. Vypočítajme I = +sin cos cos Použijeme substitúciu tg = z a dostaneme I = + z +z +z (+z ) + z dz = z + z + dz. Po vydelení čitateľa menovateľom máme I = ( ) + dz = z + z + z + dz = z + arctg( z) + C = = tg + arctg( tg ) + C.

Integrály A-C sú tiež typu R(sin, cos ) Napriek tomu neriešime ich substitúciou tg = z, pretože jej použitie vedie k zdĺhavým výpočtom. E. Použitie goniometrických substitúcií na výpočet integrálov iracionálnych funkcií Integrály typov R(, a ) d, R(, a + ) d, R(, a ) d tzv. goniometrickými substitúciami = a sin z, = a tg z, = a sin z sa dajú upraviť na integrály typu R(sin, cos ) Príklad. Vypočítajme d a) I = ( + ), b) I = + 6 a) Integrál je druhého typu, a =. Preto zavedieme substitúciu = tg z, d = dz, cos z ( ) sin + = tg z + = (tg z z + ) = cos z + = sin z + cos z = cos z cos z. Potom I = dz cos z ) = ( cos z cos zdz = sin z + C. Vrátime sa k pôvodnej premennej. Nebudeme vyjadrovať z, ale sin z. tg z =, Potom sin z = tg z + tg z = + I = + + C. = +. b) Výraz pod odmocninou doplníme na úplný štvorec. + 6 = ( + 6) = [( 5) 5 + 6] = 9 ( 5). Potom I = 9 ( 5) Použijeme substitúciu 5 = z, d = dz a máme I = 9 z dz.

Integrál je prvého typu, a =. Preto použijeme substitúciu z = sin t, dz = cos tdt, 9 z = 9 9 sin t = 9( sin t) = 9 cos t. Potom + cos t I = 9 cos tdt = 9 dt = 9 (t + ) sin t + C. Úlohy Pretože sin t = z a cos t = sin t = z 9 = 9 z, t = arcsin z, sin t = sin t cos t = z 9 z = 9 z 9 z. Nakoniec dostaneme I = 9 (arcsin z + 9 ) z 9 z + C = = 9 ( arcsin 5 + ) 9 ( 5) + 6 + C. A. sin n d, cos n d. sin. cos. sin. cos 5. sin 6. cos 7. sin 7 8. cos 5 B. sin n cos m 9. sin cos 5. sin cos 5. sin cos 5. sin 7 cos 5. sin 5 cos 5. sin cos 55. sin cos 5 56. sin cos 57. sin cos 58. sin cos C. R(sin ) cos d, R(cos ) sin d 59. sin cos 6. sin cos 6. sin 6. sin cos cos 6. cos sin 5 6. cos 5 sin 65. sin 66. cos cos sin 67. cos 68. sin sin cos 69. sin 7. sin cos cos cos 7. 7. cos sin +9 sin +6 sin +5 sin 7. 7. sin cos + cos cos cos + 75. sin cos 76. +cos ( sin ) 77. 78. cos cos 79. 8. sin cos sin cos D. R(sin, cos ) d 8. 8. 5 cos 5 sin + cos 8. sin 8. +sin +cos +cos

85. 86. cos 9+ cos +cos sin 87. 88. +sin sin +cos sin 89. 9. 8 sin +7 cos cos + sin + 9. tg 9. +tg +8 cos 9. 9. sin +9 cos cos +5 sin 95. 96. cos sin cos 5 cos sin cos 97. 98. sin 5 sin cos sin tg 99.. cos sin E. R(, a ) d, R(, a + ) d, R(, a ) d.. + a +. 9. 5. 6. ( ) 7. (9+ 8. ) 9 Vypočítajte integrály. 9. e. e e + e +. e +e. e e + e 8 +. a +. e +e e e + 5. (ln + ln ) 6. arcsin ln 7. 8. arctg ( ln ) + 9. arccos. e. sin. +e + cos. arctg. sin sin 5. 6. sin +cos +e +e 7. e arcsin 8. e arctg e +e ln arctg 9.. arccos (+ ) arctg 5

Určitý integrál.. Definícia určitého integrálu a jeho vlastnosti. A. Definícia určitého integrálu. Nech v intervale a, b, kde a, b R, je definovaná reálna funkcia jednej reálnej premennej f(). Rozdeľme interval a, b na n častí pomocou bodov,,..., n tak, že a = < < <... < n = b. Z každého intervalu i, i zoberme ľubovoľný bod σ i a utvorme súčet n f(σ i ) i i= kde i = i i. Ak eistuje konečná limita tohto súčtu pre n a súčasne pre ma i, nazývame túto limitu určitým integrálom funkcie f() v intervale a, b, i=,,...,n čo označujeme b a f()d = lim n ma i n f(σ i ) i. Číslo a nazývame dolnou hranicou a číslo b hornou hranicou určitého integrálu. B. Vlastnosti určitého integrálu. Ak f() a g() sú integrovateľné funkcie v intervale a, b a c R, potom platí.... b a a a b a b a a f()d = f()d b f()d = b cf()d = c f()d a [f() ± g()]d = b a f()d ± b a g()d 5. Newton - Leibnizov vzorec. Nech funkcia f() je integrovateľná v intervale a, b a má primitívnu funkciu F () spojitú v intervale a, b. Potom platí b a f()d = [F ()] b a = F (b) F (a). 6. Každá ohraničená funkcia, ktorá má v intervale a, b len konečný počet bodov nespojitosti, je v tomto intervale integrovateľná. i= Príklad. Použitím Newton-Leibnitzovho vzorca vypočítajme d = ( ) + d = [ + ln ] = (+ ln ) ( + ln ) = = + ln + ln = ln. 6

Úlohy. Použitím Newton-Leibnitzovho vzorca vypočítajte určité integrály... 7... π π ( + ). 6 5 5 5. 8. + 5. cotg. π 6 ( ). + y y dy. 6. d +. 9. ( ). sin. Integrovanie substitučnou metódou. e π π ++ 5 + d +cos sin Nech f() je spojitá funkcia na intervale a, b. Nech ϕ(t) je rýdzo monotónna funkcia na intervale α, β a nech ϕ(t) a ϕ (t) sú na intervale α, β spojité, pričom a = ϕ(α), b = ϕ(β). Potom platí b f()d = β f[ϕ(t)]ϕ (t)dt. a α Príklad. Vypočítajme ( + ) Použijeme substitúciu t = +. Dolná a horná hranica určitého integrálu je α = + =, β = + =. Potom = t, d = dt. Takže (t ) d = t dt = 8 t+ dt = 8 (t t + t )dt = ( +) t t [ ] = 8 t + t t =. 8 Príklad. Vypočítajme π + sin Použijeme substitúciu t = tg. Z toho dostaneme α = tg =, β = tg π = arctg t, d = dt a sin = t dt. Takže +t +t =. Potom 7

= [ π 5 9 d = + sin arctg t+ 5 9 ] = +t + t dt = +t [ 5 arctg t+ dt = t +t+ (t + t+)dt = dt = (t+ ) + 5 9 ] ] 5 = 5 [arctg 5 5 arctg 5 = 5 arctg 5. Úlohy. V nasledujúcich príkladoch substitučnou metódou riešte určité integrály. 5. 7 + 9 6. 7. 9 8... 7. 9 5 + 8 9. d.. + 5. e 8. 5 π π 5. d +.. ln e 6. e π sin 9. sin cos. Integrovanie metódou per partes. π 6 d. d +. +ln cos sin Nech funkcie u() a v() majú spojité derivácie na intervale a, b, potom platí b u()v ()d = [u()v()] b a b u ()v() a a Príklad. Vypočítajme π cos Zvolíme u() = a v () = cos. Potom u () = a v() = cos d = sin. Takže π cos d = [ sin ] π π sin d = + [ cos ] π = 8. Úlohy. V nasledujúcich príkladoch riešte určité integrály metódou per partes.. ln. arctg. e. 6. π e. cos 7. ln( + ) 5. π sin 8. 8 6 arccos ln

9. π e cos. π e cos. π π sin. Nevlastný integrál. A. Integrál z funkcie na neohraničenom intervale. Nech funkcia f() je definovaná v intervale a, ) [(, b ] a pre každé r > a [r < b] eistuje integrál Ak eistuje limita r a f()d r lim f()d r a b r lim r f()d. b r f()d, hovoríme, že eistuje nevlastný integrál funkcie f() v intervale a, ) [(, b ], čo zapisujeme r b b f()d = lim f()d f()d = lim f()d. r r a a r Ak pre číslo a eistujú nevlastné integrály definované vyššie uvedeným spôsobom, potom definujeme f()d = a f()d + f() a B. Integrál z neohraničenej funkcie. Nech funkcia f() je definovaná na intervale a, b) [(a, b ] a ɛ je ľubovoľné kladné číslo, pre ktoré platí a < b ɛ < b [a < a + ɛ < b]. Nech funkcia f() je v intervale (b ɛ, b) [(a, a + ɛ)] neohraničená a pre každé r a, b) [r (a, b ] eistuje integrál r f()d b f()d. a r Ak eistuje limita r lim f()d r b a lim r a + b r f()d, definujeme nevlastný integrál funkcie f() v intervale a, b nasledovne b a r f()d = lim f()d r b a b a b f()d = lim r a + r f()d. 9

Príklad 5. Vypočítajme nevlastný integrál e Najprv vypočítame určitý integrál e r e d = lim r r e Použijeme substitúciu t = e, dt = e r e e r d = dt = [ t] e r e = e r + e. e Po dosadení e r e d = lim d = lim ( e r r + e) = e. r Príklad 6. Vypočítajme nevlastný integrál I = ln ( + ) Integrovaná funkcia ln (+ ) v bode = nie je definovaná a na každom okolí sprava a zľava tohto bodu je neohraničená. Preto daný integrál počítame ako súčet dvoch integrálov I = ln ( + ) d + ln ( + ) Najprv vypočítame prvý z týchto dvoch nevlastných integrálov metódou per partes, kde u() = ln ( + ), v () =, u () = (+ ) a v() =. Potom I = ( [ ln (+ ) d = lim r = lim r r ln ( + r) ln ( + )] r lim r r r + d = lim Po substitúcii z =, = z, d = z dz ďalej dostávame I = lim r r z +z dz = lim r (+ ) d ) = r r + r ( ) z 6 + +z dz = ( ln 6) = 5 = lim [ r z 6z + ln ( + z) ] r = Druhý integrál počítame analogicky, pričom dospejeme k výsledku Daný integrál je teda rovný číslu I = 9 9 ln + 6 ln. I = I + I = ( 5 6 ln ) + ( 9 9 ln + 6 ln ) = 6 9 ln. 6 ln.

Úlohy. Vypočítajte nevlastné integrály. ln.. +5 5. 6. ++5 8. 5. 5. 57. 6. 6. 66. 69. π π e 9. d. 5. + ln 55. tg 58. d ( ). 6. d. 6. ( ) π d. 67. +sin + 7..5 Obsah rovinných útvarov.. (+ln ) d. 7. + d e +e. 5. + d (+).,5 5. + ln 56. 59. d. 6. cos d. 65. + d. 68. arcsin ( ) d. ++ d. + d. ln d ( ). d. ( ) d ( ). A. Nech funkcia f() je spojitá na intervale a, b a nech f() > na intervale (a, b). Potom určitý integrál vyjadruje obsah oblasti, ktorá je ohraničená funkciou f() na intervale a, b. P = b a f() Nech funkcie f() a g() sú spojité na intervale a, b a nech na intervale (a, b) platí g() < f(). Pre obsah P elementárnej oblasti určenej nerovnosťami a b a g() y f() platí d.

P = b a [f() g()] B. Funkcia daná v parametrickom tvare. Nech funkcia y = f() je daná parametrickými rovnicami = ϕ(t), y = ψ(t), pričom funkcie ϕ a ψ sú spojité na intervale t, t. Nech funkcia ϕ je rýdzo monotónna a má spojitú deriváciu ϕ na intervale t, t, pričom ϕ(t ) = a a ϕ(t ) = b. Nech funkcia ψ je nezáporná na intervale t, t. Pre plošný obsah elementárnej oblasti určenej nerovnosťami a b a y f() platí P = t t ψ(t) ϕ (t) dt. C. Funkcia daná v polárnych súradniciach. Množinu všetkých bodov, ktorých polárne súradnice ϱ, ϕ vyhovujú nerovnostiam α ϕ β a ϱ f(ϕ), kde f(ϕ) je spojitá funkcia na intervale α, β ( < β α π), nazývame segmentom určeným funkciou f a intervalom α, β. Pre obsah tohoto segmentu platí β P = f (ϕ)dϕ. α Príklad 7. Vypočítajme obsah časti roviny ohraničenej krivkami y = a y =. Nakreslíme si obrázok a určíme priesečníky oboch kriviek ako riešenia sústavy rovníc y = a y =. Po dosadení druhej rovnice do prvej, dostávame kvadratickú rovnicu =, ktorej riešeniami sú = a =. Z obrázka popíšeme elementárnu oblasť, ktorá je určená nerovnosťami a y. Pre obsah P potom platí P = ( + ) d = ( ) d = [ ] = 7 7 = 9. Príklad 8. Vypočítajme obsah časti roviny ohraničenej krivkou danou parametrickými rovnicami = a(cos t + t sin t), y = a sin t pre t, π.

π P = a sin t (a(cos t + t sin t)) dt = a π sin t sin t + sin t + t cos t dt = = a π t cos t sin tdt = a π cos t t sin tdt = a π = a π t sin tdt π a t sin tdt. t cos t sin tdt + a π t( cos t) sin tdt = π π Pre výpočet poslednej dvojice integrálov použijeme metódu per partes, pričom najprv si vypočítame neurčitý integrál t sin tdt, kde u(t) = t, v (t) = sin t, u (t) =, cos t v(t) =. Takže [ t sin tdt = t cos t + cos tdt ] [ ] = t cos t + sin t + C. Teraz už môžme dokončiť výpočet pôvodnej úlohy, teda P = [ ] π a sin t t cos t + [ a t cos t + Príklad 9. ] sin t π π = πa. Vypočítajme obsah oblasti ohraničenej slučkou krivky + y = y. Odvodíme najprv rovnicu danej krivky v polárnych súradniciach. Položíme teda = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, ϕ, π, ϱ, +. Dosadením do danej rovnice dostaneme ϱ (cos ϕ + sin ϕ) = ϱ cos ϕ sin ϕ ϱ = cos ϕ sin ϕ cos ϕ+sin ϕ. Krivku môžeme vidieť aj na obrázku, pričom jej slučku dostaneme pre ϕ, π nakoľko pre ostatné hodnoty je ϱ =. Hľadaný obsah je potom rovný číslu P = π ( = lim r cos ϕ sin ϕ cos ϕ+sin ϕ r + du u ) dϕ = 9 = lim r [ u t dt = 9 lim r (t +) r ] r + = lim r t (t +) dt = ( r + + ) =,

pričom sme použili postupne dve substitúcie: tg ϕ = t, cos ϕ =, sin ϕ = t +t d = dt, a potom u = t +, du = t dt. +t Úlohy. V úlohách 7-89 vypočítajte obsah časti roviny ohraničenej danými krivkami. 7. y =, y = +, =, = 7. y = 6, y = 7. y = 6, y = + 5 + 7. y = +, y = 75. y =, y = 76. y =, =, = y = 77. y =, + y = 5 78. y =, y =, y =, 79. y = ln, y =, 8. y = ln, y = ln 8. y = e, y = e, = ln 8. y = sin, y = cos, y = 8. y = tg, y = cotg, y = 8. y = arcsin, y = arccos, y = 85. + y =, y =,, y > 86. + y = 8, y = 87. y =, + y = 88. y = 5 +, y = 89. y = 6, y = + V úlohách 9-9 vypočítajte obsah časti roviny ohraničenej krivkou danou parametrickými rovnicami. 9. = t t, y = t t 9. = t6, y = t a osami o 6 a o y 9. = a cos t, y = b sin t (elipsa) 9. = a sin t, y = a sin t, t, π 9. = a(t sin t), y = a( cos t), y =, a >, t, π (jedna vetva cykloidy) V úlohách 95 - vypočítajte obsah časti roviny ohraničenej krivkami v polárnych súradniciach. 95. ρ = cos ϕ, ϕ, π 96. ρ = sin ϕ 97. ρ = tg ϕ, ϕ =, ϕ = π 98. ρ = ( + cos ϕ) (Kardioida) +t,

99. ρ = a( + cos ϕ), a > (Pascalova závitnica). ρ = aϕ, ϕ, π (Archimedova špirála).6 Dĺžka rovinnej krivky. A. Ak krivka K je grafom funkcie y = f(), ktorá má spojitú deriváciu f () v intervale a, b, potom dĺžka krivky, ktorá sa nachádza medzi priamkami = a a = b je rovná l = b a + [f ()] B. Nech krivka K je daná parametrickými rovnicami = ϕ(t), y = ψ(t), t t, t, pričom derivácie ϕ a ψ sú spojité na intervale t, t. Potom pre dĺžku krivky platí l = t t [ψ (t)] + [ϕ (t)] dt. Príklad. l = + ( e e Vypočítajme dĺžku reťazovky y = e +e pre,. ) d = +e +e [ e d = +e d = ] e e = e +e. Príklad. Vypočítajme dĺžku krivky, ktorá je daná parametrickými rovnicami = t, y = t pre t,. l = Úlohy. = ( ) ( t + t dt = [t t] ) dt = dt = [(t ) ] + dt = t ( t) V úlohách - 6 vypočítajte dĺžku krivky.. y =,,. y = ln,,. y = e,,. y =, medzi priesečníkmi s osou o 5. y =, medzi priesečníkmi s osou o 6. y = ( + ), medzi priesečníkmi s priamkou = 7. 8. y = ( + ), medzi priesečníkmi s osou o y y = 9,, 9. y = ln( ),,. y = ln(sin ), π, π. y = ln cos,, π 5 t+t dt = t( t) t t dt = (t ) dt = [ ] arcsin t = π.

. y = arcsin e,,. y = arcsin +,,. y = + arcsin,, 5. y = e arctg e,, 6. = y ln y, y, e V úlohách 7 - vypočítajte dĺžku krivky danú parametrickými rovnicami. 7. = t, y = t t, t, 8. = 6 t, y = t, t, 9. = a(cos t + t sin t), y = a(sin t t cos t), a >, t, π. = a(t sin t), y = a( cos t), a >, t, π (Cykloida). = a( cos t cos t), y = a( sin t sin t), a > (Kardioida). = cos t, y = sin t, t, π. = cos t, y = sin t (Asteroida). = cos t, y = sin t, t, π.7 Objem rotačného telesa. Nech funkcie f() a g() [u(y) a v(y)] sú spojité funkcie na intervale a, b [ c, d ]. Pre objem telesa, ktoré vznikne rotáciou elementárnej oblasti danej nerovnosťami a b a g() y f() okolo osi o [c y d a v(y) u(y) okolo osi o y ] platí b V = π [ f () g () ] d V = π d [ u (y) v (y) ] dy. a c Príklad. Vypočítajme objem rotačného telesa, ktorý vznikne rotáciou rovinného obrazca ohraničeného krivkami =, y =, y =, y = ln ( ) okolo osi o y. Inverzná funkcia k funkcii y = ln ( ) je funkcia y = e y +. Hľadaný objem je potom rovný číslu V = π (e y + ) dy = π (e y + e y + ) dy = π [ ey + e y + y ] = π(e +e ). 6

Úlohy. V úlohách 5 - vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou elementárnej oblasti okolo osi o. 5. y =, y = 6. y = +, y = + 7. y =, y = 8. y =, + y = 5 9. y = sin, y = π. y = tg, y =, = π V úlohách - 6 vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou elementárnej oblasti okolo osi o y.. y =, =, y = 8. + y =, =. y = sin, =, y =. y = e, =, =, y = 5. y =, y = 6. y =, y =, y =, = 7. Vypočítajte objem rotačného kužeľa s polomerom základne r = a výškou v =. 8. Súmerný parabolický odsek so základňou d = 5 a výškou v = sa otáča okolo základne. Vypočítajte objem takto vzniknutého rotačného telesa. 9. Elipsa, ktorej hlavná os má dĺžku a = a vedľajšia os dĺžku b =, sa otáča okolo hlavnej osi. Vypočítajte objem rotačného elipsoidu..8 Obsah rotačnej plochy. A. Ak krivka K je grafom funkcie y = f(), ktorá má spojitú deriváciu f () v intervale a, b, tak obsah rotačnej plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky K okolo osi o medzi priamkami = a a = b je b P = π a f() + [f ()] B. Nech krivka K je daná parametrickými rovnicami = ϕ(t), y = ψ(t), t t, t, pričom funkcia ϕ je rýdzo monotóna a derivácie ϕ a ψ sú spojité na intervale t, t. Potom pre obsah rotačnej plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky K okolo osi o, platí P = π t t ψ(t) [ψ (t)] + [ϕ (t)] dt. Príklad. Vypočítajme obsah povrchu telesa, ktorý vznikne rotáciou kruhu s rovnicou + (y R) = r okolo osi o. Obsah tejto plochy je súčtom obsahu plôch vzniknutých rotáciou hornej a dolnej polovice tejto kružnice s rovnicami y = R ± r, r, r. Hľadaný obsah je potom rovný číslu 7

= π r r ( r ( P = π R + r ) ( ) d+ + r r r ( +π R r ) ( ) d + r = r ) R r ( ) R r r + d + π r d = πr r = πr [ arcsin r ] r r = π R. r d r = Príklad. Vypočítajme obsah rotačnej plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky = e t sin t, y = e t cos t, t, π okolo osi o. = π π P = π π e t cos t e t (sin t + cos t) + e t (cos t sin t) dt = e t cos t sin t + sin t cos t + cos t + cos t sin t cos t + sin tdt = = π π e t cos t dt = 5 π(e π ), pričom posledný integrál vypočítame dvojnásobným použitím metódy per-partes. Úlohy. V úlohách - vypočítajte obsah rotačnej plochy, ktorá vznikne rotáciou okolo osi o.. y = +,,. y =,,. y = sin,, π. y = tg,, π. y = e,, 5. Vypočítajte obsah povrchu guľovej plochy s polomerom r. 6. Vypočítajte obsah rotačnej plochy, ktorá vznikne rotáciou časti paraboly y = medzi jej priesečníkmi s priamkou = okolo osi o. 7. Vypočítajte obsah rotačnej plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y =, y = okolo osi o y. V úlohách 8-5 vypočítajte obsah rotačnej plochy danej parametrickými rovnicami okolo osi o. 8

8. = t, y = t t, t, 9. = a sin t, y = a sin t, t, π, a > 5. = a cos t, y = a sin t, t, π, a > 5. = a(t sin t), y = a( cos t), y =, t, π, a > (Cykloida) 5. = t, y = 9 t medzi priesečníkmi so súradnicovými osami..9 Statické momenty, ťažisko a momenty zotrvačnosti. Majme hmotnú oblasť M s plošnou hustotou σ = σ() ktorej tvar je určený elementárnou oblasťou a b a g() y f(), pričom funkcie f a g sú spojité v intervale a, b. Statické momenty hmotnej oblasti vzhľadom na os o, resp. na os o y sú S = b σ() [ f () g () ] d, S y = b σ() [f() g()] a a Pre ťažisko T = [ T, y T ] hmotnej oblasti M platí kde m je hmotnosť hmotnej oblasti T = S y m, y T = S m, b m = σ()[f() g()] a Momenty zotrvačnosti hmotnej oblasti M vzhľadom na os o, o y alebo o z sú b b I = σ() [ f () g () ] d, I y = σ() [f() g()] d, a a I z = I + I y. Príklad 5. Nájdime súradnice ťažiska homogénnej hmotnej oblasti, ktorá leží v prvom kvadrante, ak je ohraničená parabolou y = p a priamkou y =, =, >. Pretože sa jedná o homogénnu hmotnú oblasť, kladieme σ() = k, kde k je konštanta. 9

S y = [ k.pd = kp ] S = k pd = k p d = k p m = k pd = k p d = k p Potom súradnice ťažiska sú T = 5 a y T = p Úlohy. = kp [ 5 5 [ ] ] a teda T = = 5 k p = k p [ ] 5, p. 8 5. Nájdite statický moment homogénnej hmotnej oblasti, ohraničenej čiarami y =, y = vzhľadom na os o +. 5. Vypočítajte statický moment vzhľadom na odvesny homogénneho pravouhlého trojuholníka, ktorého odvesny majú dĺžku a. 55. Vypočítajte statický moment homogénneho obdĺžnika so základňou d a výškou h vzhľadom na základňu. 56. Vypočítajte statický moment hornej polovice elipsy + y =, a > b vzhľadom a b na os o. 57. Vypočítajte statický moment časti paraboly y = +,, vzhľadom na os o y. 58. Vypočítajte statický moment hmotnej oblasti ohraničenej y =, y = vzhľadom k obom súradnicovým osiam. 59. Vypočítajte statický moment hmotnej oblasti ohraničenej y =, y =, =, = vzhľadom k obom súradnicovým osiam. 6. Vypočítajte statický moment hmotnej oblasti ohraničenej y =, y = vzhľadom k obom súradnicovým osiam. 6. Nájdite súradnice ťažiska homogénnej hmotnej oblasti ohraničenej krivkami y =, y =. 6. Nájdite súradnice ťažiska homogénnej hmotnej oblasti ohraničenej krivkami y =, y =. 6. Nájdite súradnice ťažiska homogénnej hmotnej oblasti ohraničenej oblúkom y = sin,, π a osou o. 6. Nájdite súradnice ťažiska homogénnej hmotnej oblasti ohraničenej súradnicovými osami a oblúkom elipsy + y = ležiacom v prvom kvadrante. a b 65. Nájdite ťažisko homogénneho súmerného parabolického odseku so základňou d a výškou h. 66. Nájdite súradnice ťažiska hmotnej oblasti ohraničenej parabolami = y 8, = y a priamkami =, =, ak plošná hustota tejto oblasti je v každom bode úmerná jeho -ovej súradnici. 67. Nájdite ťažisko homogénnej hmotnej oblasti ohraničenej krivkami y =, y =. + 68. Nájdite ťažisko homogénnej hmotnej oblasti určenej nerovnosťami π, y sin. 69. Nájdite ťažisko homogénnej hmotnej oblasti ohraničenej parabolou y = a osou o. 7. Nájdite ťažisko homogénnej hmotnej oblasti ohraničenej parabolou y = 6 a priamkou 5 =.

7. Nájdite ťažisko homogénnej hmotnej oblasti ohraničenej semikubickou parabolou y = a priamkou =. 7. Vypočítajte moment zotrvačnosti homogénneho oblúka y = e,, vzhľadom na os o. 7. Vypočítajte moment zotrvačnosti homogénnej hmotnej oblasti tvaru elipsy vzhľadom na jej osi. 7. Vypočítajte moment zotrvačnosti homogénneho hmotného obdĺžnika so stranami a, b vzhľadom na jeho strany. 75. Vypočítajte moment zotrvačnosti homogénnej hmotnej oblasti tvaru trojuholníka so základňou z a výškou v vzhľadom na základňu. 76. Vypočítajte moment zotrvačnosti homogénneho priameho parabolického odseku so základňou b a výškou h vzhľadom na os súmernosti. 77. Vypočítajte moment zotrvačnosti hmotnej oblasti ohraničenej krivkami y =, y = vzhľadom k osi o aj o y. 78. Vypočítajte moment zotrvačnosti hmotnej oblasti ohraničenej krivkami y =, y =, = vzhľadom k osi o. 79. Vypočítajte moment zotrvačnosti polovice kruhu s polomerom r vzhľadom k úsečke spájajúcej koncové body polkruhu.. Geometrické aplikácie nevlastného integrálu Príklad 6. Vypočítajme obsah časti roviny ohraničenej priamkami =, =, y = a krivkou y =. Máme vypočítať veľkosť plochy, ktorá je znázornená na obrázku. Pretože v bode = nie je daná funkcia y = definovaná, hľadaný obsah počítame pomocou dvoch nevlastných integrálov takto: Úlohy. d P = [ = lim ( ) r d r + = lim r ] r [ ] + lim ( ) r + d + lim r + r r = + = d = ( + 9 ). 8. Vypočítajte obsah časti roviny ohraničenej krivkou y = e, a súradnicovými osami.

8. Vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou okolo osi o časti roviny ohraničenej hyperbolou y =, osou o, pričom. 8. Vypočítajte obsah časti roviny ohraničenej krivkou y = e a jej asymptotou. 8. Vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou okolo osi o časti roviny ohraničenej oboma vetvami krivky y = a priamkami =, =. 8. Nájdite obsah rotačnej plochy vytvorenej rotáciou krivky y = e, okolo osi o. 85. Vypočítajte obsah plochy ohraničenej krivkami y =,, y =. + 86. Vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou časti roviny y = ln,, e okolo osi o. 87. Vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou časti roviny y =,, y = okolo osi o y. 88. Vypočítajte obsah časti roviny ohraničenej krivkou y = a jej asymptotou. +

Diferenciálny počet funkcie viac premenných.. Definičný obor funkcie viac premenných. Množinu všetkých n-tíc reálnych čísel nazývame číselným n-rozmerným Euklidovým priestorom E n, ak pre každú dvojicu n-tíc A[a, a,..., a n ] a B[b, b,..., b n ] je definované číslo ϱ(a, B) = n (a i b i ), ktoré nazývame ich vzdialenosťou. Nech M E n. Hovoríme, že na množine M je definovaná funkcia n premenných, ak každému bodu X[,,..., n ] M je priradené práve jedno reálne číslo y. Označujeme ju y = f(,,..., n ), alebo y = f(x). Množinu M nazývame definičným oborom. Príklad. Nájdime definičný obor funkcie f(, y, z) = i= 6 y z. Obor definície nájdeme z podmienky 6 y z >, odkiaľ dostávame, že +y + z < 6. Obor definície je teda množina všetkých bodov X, pre ktoré platí ϱ(o, X) <, čiže vnútro gule so stredom v bode O[,, ] a polomerom rovným. Úlohy. V úlohách - 8 nájdite definičný obor funkcie viac premenných.. z = ln( y).. z =. y. z = 5 y.. z = ( y )( + y ). 5. u = ln(9 y z ). 6. z = arcsin. +y +z y 7. z = + y. 8. z =. 5 y 9. z = arcsin( + y).. z = y + y.. z = y.. z = ln( y ) y.. z = +y y.. z = + y y. 5. z = +. y 6. z = y. + y 7. z = 6 y. 8. z = + y y. 9. z = y + arccos.. z = ln( + y) + y.. z = ln y. y. z = πy y + ln y. y. z =.. z = ln(y + 8). ln( y ) 5. z = ln( y). 6. z = +y + y. 7. u = arcsin + arcsin y + arcsin z. 8. z = arcsin[y( + ) ].

. Parciálne derivácie I. rádu funkcie viac premenných. Majme funkciu f(,,..., n ) definovanú v okolí bodu A[a, a,..., a n ]. Parciálnou deriváciou funkcie f(,,..., n ) podľa premennej i v bode A nazývame ( ) f f(a,..., a i, i, a i+,..., a n ) f(a,..., a i,..., a n ) = lim. i A i a i i a i ( Používame niektoré z označení:, f(a) i, f i (A). f i )A Príklad. Nájdime parciálne derivácie. rádu funkcie z = + 7 y 5 + y. Počítame najprv z. Premennú y považujeme za konštantu a derivujeme funkciu z ako funkciu jednej premennej. Teda z = + 7.y 5 = + y 5. Podobne pri počítaní z y považujeme premennú za konštantu a derivujeme funkciu z ako funkciu jednej premennej y. Teda z y = 7 5y + y = 5 y + y. Príklad. Nájdime parciálne derivácie. rádu funkcie z = e y v bode A[, ]. Parciálne derivácie. rádu sú z = e y y, ( ) z y = e y = y e. Teda po dosadení súradníc bodu A dostaneme z (A) =, z y(a) =. Úlohy. V úlohách 9-6 vypočítajte parciálne derivácie prvého rádu daných funkcií. 9. z = + y y.. z = y + y.. z =. y. z =. cos +y. z =. y. z = sin( + y). 5. z = y. 6. z = ln( + y ). 7. z = arctg y. 8. u = ( y )z. 9. u = y z.. z = ln( + ln y).. z = y 5y +y.. z = y + y.. u = yz.. u = y z y z. 5. z = (5 y). 6. z = y y +. 7. z = y. y 8. z = e y. 9. z = + y. 5. z = ln( ye ). 5. u = e y sin z. 5. z = (sin ) cos y. 5. u = z sin(yz) y cos(yz) + sin(z). 5. z = ln( + + y ). 55. z = ye sin(πy). 56. z = e y. 57. z = +y +y. 58. z = arctg y. 59. z = ln y +y 6. u = (y tg z) ln. 6. Dokážte, že funkcia z = f(, y) vyhovuje rovnici: 6. u = (y + z ). a) yz + z y = yz, ak z = sin(y );

b) z + yz y = z, ak z = e y ln y ln y; c) z + y ln z y = yz, ak z = y ; d) yz z y =, ak z = ln( + y ); e) z + yz y =, ak z = e y. 6. Dokážte, že funkcia u = f(, y, z) vyhovuje rovnici: a) u + u y + u z =, ak u = + y + z ; b) u + u y + u z =, ak u = + y y z. Totálny diferenciál a jeho použitie. Majme funkciu dvoch premenných z = f(x) = f(, y), ktorá má v bode A[a, a ] spojité parciálne derivácie prvého rádu. Totálny diferenciál funkcie f(x) v bode A je alebo v ľubovoľnom bode Pre približný výpočet platí vzťah df(a, X) = f(a) ( a ) + f(a) y (y a ), dz = f f d + y dy. f(x) f(a) + df(a, X). Ak máme rovnicu plochy v eplicitnom tvare z = f(, y), pričom f(, y) je diferencovateľná funkcia, potom dotyková rovina k tejto ploche v dotykovom bode M[, y, z ] má rovnicu f(m) ( ) + f(m) (y y ) (z z ) =. y Parametrické rovnice normály ku tejto ploche v bode M sú = + f(m) y = y + f(m) z = z t. t, y t, Príklad. Vypočítajme totálny diferenciál funkcie z = ln( + y ). Vypočítajme parciálne derivácie. rádu. Je z = dz = d + y dy. +y +y a z +y y = y. Potom +y Príklad 5. Vypočítajme totálny diferenciál funkcie z = y v bode A[, ]. Máme z = y a z y = y. Z toho dostaneme z (A) = a z y(a) =. Potom df(a, X) = ( ) (y ). Príklad 6. Pomocou diferenciálu nájdime približnú hodnotu výrazu, +, 97. Uvažujme funkciu z = + y a bod A[, ]. Vypočítame v bode X[, ;, 97] približnú hodnotu pomocou diferenciálu 5

, +, 97 ( + + ) +y A ( (, ) + = +,., =, 95. ) y +y A (, 97 ) = Príklad 7. Nájdime rovnicu dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie z = + y v dotykovom bode M[,, 5]. Vypočítajme parciálne derivácie funkcie z v bode M. Máme z (M) =, z y(m) =. Potom rovnicu dotykovej roviny môžme zapísať ako alebo a rovnicu normály Úlohy. ( ) (y + ) (z 5) =, y z 5 =, = + t, y = t, z = 5 t. V úlohách 6-69 nájdite totálny diferenciál funkcie. 6. z = y + y. 65. z = ln + y. 66. z = ln cotg. y 67. z = e ln y. 68. z = arctg y. +y 69. u = sin( y+5z). V úlohách 7-78 nájdite totálny diferenciál funkcie v bode A. 7. z = y, A[, ]. 7. z = arcsin, A[, ]. y y 7. u = z, A[,, ]. y 7. z = arctg(y), A[, ]. 7. u = y + y z + z, A[,, ]. 75. z = + y y, A[, ], d =,, dy =,. 76. z = e y, A[, ], d =, 5, dy =, 5. 77. z = arctg y, A[, ], d =, 5, dy =,. 78. u = sin y arctg z, A[, π, ], d =,, dy =,, dz =,. V úlohách 79-8 pomocou diferenciálu vypočítajte približne. 79., +,. 8., 5,. 8. sin 5 cotg. 8., +, 97. 8., 97,5. 8. sin 9 tg 6. 85. O koľko sa približne zmení uhlopriečka a plošný obsah obdĺžnika so stranami = m, y = 9 m, ak prvá strana sa zväčší o cm a druhá sa zmenší o cm. 86. Výška kužeľa je h = 5 cm a polomer základne r = 8 cm. O koľko sa približne zmení objem kužeľa, keď výška sa zväčší o, cm a polomer základne sa zväčší o, cm. 87. Pri deformácii rotačného valca sa jeho polomer zväčšil z dm na, 5 dm, a výška sa zmenšila z dm na 9, 8 dm. Určte približne zmenu objemu valca. 88. Určte pribižne pomocou diferenciálu zmenu objemu a obsahu povrchu kvádra, ak dĺžky jeho strán sa zmenia z cm na, cm, z cm na, 97 cm, zo cm na, cm. 89. Určte pribižne pomocou diferenciálu zmenu objemu, obsahu plášťa a obsahu povrchu rotačného kužeľa, ak polomer jeho podstavy sa zväčsí z cm na, cm, a výška zmenší z 6 cm na 59, 5 cm. 6

9. Určte rovnicu dotykovej roviny a normály ku ploche v danom bode. a) z = + y, T [,,?]; b) z = + y y, T [,,?]; c) z = y + y + y, T [,?, ]; d) + y + z = 8, T [?,, ]; e) z = e y, T [,,?]; f) z = ln(y ) + y, T [,,?]; g) z = sin, T [π,,?]; y h) z =, T [,,?]; y i) z = ln( + y ), T [,,?].. Parciálne derivácie zloženej funkcie. A. Ak z = f(, y), pričom = ϕ(t) a y = ψ(t), potom z = f (ϕ(t), ψ(t)) je zložená funkcia premennej t. Ak sú funkcie f, ϕ a ψ diferencovateľné, je diferencovateľná aj zložená funkcia a platí dz dt = z d dt + z dy y dt. () Špeciálne, ak t =, máme Príklad 8. dz d = z + z dy y d. () Vypočítajme dz dt funkcie z = e y, kde = sin t, y = t. Použijeme vzťah (). Máme Príklad 9. Použijúc vzťah () máme dz = dt e y cos t e y t = e sin t t (cos t 6t ). Vypočítajme dz d funkcie z = arctg(y), kde y = e. dz = y + e = e +e. d + y + y + e B. Ak z = f(, y), pričom = ϕ(u, v) a y = ψ(u, v), potom ak funkcie f, ϕ a ψ sú diferencovateľné, je diferencovateľná aj zložená funkcia a platí z u = z u + z y y u, () z v = z v + z y y v. () Príklad. rovnici Dokážme, že funkcia z = arctg, kde = u + v, y = u v vyhovuje y z u + z v = u v v + u. Použijeme vzťahy () a (). Potom 7