7. itranje, prigušeno titranje, harmonijsko titranje IRANJE Općenito je titranje mijenjanje bilo koje mjerne veličine u nekom sustavu oko srednje vrijednosti. U tehnici titranje podrazumijeva takvo gibanje kod kojeg sustav opetovano prolazi kroz niz stanja. Nakon što jednom prođe sva stanja, obavio je jedan titraj ili oscilaciju. itranje počinje kad se tijelo izvede iz položaja ravnoteže. Kad se giba u jednom smjeru, na njega u suprotnom smjeru djeluje elastična sila F el koja ga vraća u položaj ravnoteže. Položaj tijela koje titra određen je udaljenošću od ravnotežnog položaja i naziva se elongacija x (ili y). Najveća elongacija je amplituda i označava se s A (ili x 0 ili y 0 ). Primjeri titranja: titranje opruge, gibanje klipa u cilindru motora, otkucavanje srca, disanje, promjene plime i oseke itd. itranje može biti slobodno i prinudno. Slobodno je izazvano samo jednim impulsom, a dalje je tijelo prepušteno samom sebi. Kod prinudnog titranja vanjska sila uzrokuje titranje. I slobodno i prinudno titranje može biti neprigušeno ili prigušeno. Neprigušeno ima stalno jednaku amplitudu, dok se kod prigušenog amplituda tijekom vremena smanjuje, kao što je prikazano na slici. Na tijelo koje prigušeno titra uz elastičnu silu djeluje i sila otpora ili trenja koja se odupire gibanju i tijelu oduzima energiju. Jednadžba gibanja prigušenog titranja je: d x m dt r dx dt k x 0 x(t) = A 0 e -β t sin(ω t),, čije je jedno rješenje: 95
iz čega se vidi da se amplituda vremenom smanjuje. Slobodno neprigušeno ili harmonijsko titranje je gibanje pod utjecajem sile koja je proporcionalna pomaku od položaja ravnoteže i usmjerena je prema položaju ravnoteže: F el k x, gdje su: k konstanta krutosti ili elastičnosti, N/m x pomak, elongacija ili udaljenost od položaja ravnoteže, m. x = l l 0 Ovdje je: l ukupna duljina opruge u stisnutom ili rastegnutom stanju, m l 0 ukupna duljina opruge u neopterećenom stanju, odnosno u ravnotežnom položaju, m. Predznak u formuli upućuje na to da je sila povratna, tj. orijentacija vektora sile suprotna je orijentaciji vektora pomaka. Pod harmonijskim titranjem smatra se gibanje kod kojeg je vremenska ovisnost položaja tijela sinusoidalna, dakle matematički se opisuje funkcijom sinus ili kosinus. Kod takvog gibanja tijelo u jednakim vremenskim intervalima u potpunosti ponavlja svoje stanje (položaj, brzinu i akceleraciju). Na donjoj je slici prikazana opruga, koja je u početnom položaju neopterećena i dugačka l 0, te je postavljena na glatku horizontalnu podlogu (bez trenja!). Ako se opruga silom F rastegne iz položaja ravnoteže za pomak x = s, u oprugi će se pojaviti sila F el = F OP. Kad se ukloni sila F, sila u oprugi će povući tijelo mase m prema položaju ravnoteže (kad je opruga dugačka l 0 ) i tijelo će početi harmonijski titrati. Rad izvršen za rastezanje (stezanje) opruge iz položaja ravnoteže za elongaciju s jednak je iscrtanoj površini trokuta u dijagramu F(s): W OPR F s k s 96
Prema drugom Newtonovom aksiomu može se napisati: F el k x m a, d x dt odnosno: m k x 0. Jedno rješenje ove diferencijalne jednadžbe je: x = A sin(ω t), gdje je: A amplituda titranja, najveća elongacija, m ω kružna brzina, rad/s Kako je gibanje tijela, koje na ovaj način harmonijski titra, pravocrtno, njegova brzina i ubrzanje se mogu odrediti iz jednadžbi za pravocrtno gibanje: v a dx dt dv dt A cos( t) A sin( t) x Ove jednadžbe vrijede samo ako je titranje počelo iz položaja ravnoteže. No, ako tijelo počinje titranje iz nekog drugog položaja, određenog početnim faznim kutom φ 0, tada je: x = A sin(ω t + φ 0 ), v A A cos( t 0 ), a A t x 4 sin( 0) x. Kružna se brzina može izračunati prema: f, gdje je: period ili vrijeme jednog titraja, s 97
f frekvencija titranja ili broj titraja u sekundi, Hz Odnos između perioda i frekvencije je: 1 f Najveća brzina pri titranju je: v v A A 0 M, 4 A a najveća akceleracija: a0 am A. Kako je elastična sila koja uzrokuje titranje: F el to je konstanta krutosti opruge: 4 m k x m a x 4 m k, a vrijeme jednog titraja tijela mase m na opruzi konstante krutosti k: m. k Zakonitosti koje vrijede pri harmonijskom titranju mogu se izvesti promatrajući gibanje točke po kružnici konstantnom brzinom. Projekcija točke B na vertikalnu os harmonijski titra (vidjeti sliku!)., 98
x B x O v a N r v x a Bx Na prikazanoj slici točka B je projekcija točke B na vertikalnu os x. Položaj ravnoteže je u trenutku kad se točke O i B poklapaju, a elongacija točke B je njezina udaljenost od točke O. Ako se gibanje promatra iz položaja kad je duljina OB horizontalna (položaj ravnoteže), početni je kut φ = φ 0 = 0. Na slici su svi označeni kutovi jednaki φ. Pri gibanju točke B po kružnici, njezina se projekcija B giba gore-dolje po osi x. Za gibanje po kružnici konstantnom brzinom i kutna je brzina konstantna, a kut je određen jednadžbom: φ = ω t U pravokutnom trokutu OBB vrijedi: pa je: x = r sinφ. x sin, r Najveći pomak točke B od položaja ravnoteže je amplituda i upravo je jednak polumjeru kružnice: r = A. Ovisnost elongacija točke B od vremena je: x A sin t A sin t 99
U gornjem pravokutnom trokutu vrijedi: cos, v odnosno: v x = v cosφ, gdje je: v = ω r brzina točke B po kružnici, m/s v x brzina točke B po osi x, m/s. Ovisnost brzine točke B od vremena je: A v x r cos t U donjem pravokutnom trokutu vrijedi: v x cos t a x sin. an Kako je akceleracija orijentirana u negativnom smjeru osi x, mora imati negativan predznak: a x = - a N sinφ, gdje je: a N 4 A r - normalno ubrzanje točke B, m/s Ovisnost ubrzanja točke B od vremena je: 4 A a x sin t 100
Riješeni primjeri: 7.1. Uteg mase 1 kg visi na elastičnoj opruzi i harmonijski titra gore-dolje po stazi dugoj 0 cm. Period titranja je 4 sekunde. reba odrediti: a) Brzinu i ubrzanje utega u trenutku kad prolazi položajem ravnoteže. b) Najveću elastičnu silu. c) Najveću kinetičku energiju utega. m = 1 kg l = 0, m = 4 s a) v =? ; a =? u trenutku prolaska kroz položaj ravnoteže b) F M =? c) E KM =? ravnotežni položaj l A m Na slici je prikazana staza po kojoj se giba uteg mase m. Duljina staze jednaka je dvije duljine amplitude, pa je amplituda: l A 1m 0, a) U trenutku prolaska kroz ravnotežni položaj brzina je najveća, a akceleracija je jednaka nuli (a = 0). A v v0 0,157m / s b) Najveća je sila u trenutku kad je tijelo najudaljenije od ravnotežnog položaja (x = A = 0,1 m). 4 m F M x 0, 5N Negativni predznak znači da je orijentacija elastične sile suprotna od elongacije. 101
c) Najveća je kinetička energija u trenutku kad je najveća brzina: m v E KM 0 0, 013J 7.. Kako glasi jednadžba gibanja čestice koja harmonijski titra amplitudom 7 cm i u jednoj minuti načini 10 titraja? Početni fazni kut je 90 0. Skicirati i kotirati ovisnost elongacije od vremena, x = x(t)! A = 7 cm = 0,07 m 0 0 0 90 90 rad 0, kut mora biti u radijanima! 180 10 10 Frekvencija je broj titraja u jedinici vremena: f Hz 1min 60s 1 0, 5s f x = x(t) =? x Asin t 0 7 sin t 0,5 x 7 sin4 t, cm Ovdje je vrijeme u sekundama. Općenito je jednadžba sinusoide (analogno i kosinusoide!): y = A sin(b x + C), gdje su: A amplituda (najveća i najmanja vrijednost) P - period B C - pomak po osi apscisa. B U ovom su primjeru: P 0, 5s - već izračunati period ili vrijeme jednog titraja. B 4 C 1 0,15s B 4 8 - pomak sinusoide po osi apscisa u lijevo. 10
Period 0,5 s podijeli se na osi apscisa na četiri intervala, svaki po 0,15 s, počevši od ishodišta. Cijeli period se pomakne u lijevo za 0,15 s, tako da je period od 0,15 s do 0,375 s i u taj period ulazi cijela sinusoida s amplitudom 7 cm. Na slici je prikazana tražena sinusoida, s tim da negativne vrijednosti vremena realno nemaju smisla. x / cm t / s 0, 5s 7.3. Na oprugu je obješen uteg mase 5 kg. Koliko je vrijeme jednog titraja opruge, ako se ona pod djelovanjem sile 15 N produlji za 3 cm? Koliki rad treba utrošiti da bi se opruga rastegnula za 3 cm iz neopterećenog stanja? m = 5 kg F = 15 N x = 3 cm = 0,03 m =? ; W OPR =? Prvo treba izračunati konstantu krutosti opruge: F = k x 15 = k 0,03 k = 500 N/m Vrijeme jednog titraja je: m 5 0, 68s k 500 103
Rad koji treba utrošiti da bi se opruga rastegnula iz neopterećenog stanja izračuna se prema: k x WOPR 500 0,03 WOPR 0,5J Rad je negativan jer je utrošen na rastezanje opruge! 7.4. ijelo mase 1kg harmonijski titra prema jednadžbi x = 0,3 sin(7,4 t), m, vrijeme u sekundama. reba odrediti: a) amplitudu titranja b) frekvenciju titranja c) kinetičku i potencijalnu energiju tijela u trenutku kad je ono udaljeno 0,6 m od ravnotežnog položaja. m = 1 kg x = 0,3 sin(7,4 t), m, t u s a) A =? b) f =? c) E K =? i E P =? za x = 0,6 m a) Amplituda se očita i iznosi: A = 0,3 m b) Period titranja je: 0,8486s B 7,4 1 f 1,178Hz i frekvencija je: c) Potencijalna je energija: E P k x Prvo treba izračunati konstantu krutosti: 54,766 0,6 E P 1, 851J 4 m 4 1 k 54,766N / m 0,8486 104
Najveća je potencijalna energija u trenutku kad je brzina jednaka nuli, a to je kad je x = A = 0,3 m. ada je kinetička energija jednaka nuli, a ukupna je energija E UK = E PM : k A 54,766 0,3 E PM, 804J Ukupna mehanička energija tijekom titranja je nepromijenjena, pa je kinetička energija za x = 0,6 m: E K = E UK E P =,804 1,851 = 0,953 J 7.5. Zadan je dijagram harmonijskog titranja nakog tijela. Napisati jednadžbu titranja x = x(t), te jednadžbe ovisnosti brzine i ubrzanja od vremena, v = v(t) i a = a(t). x / cm 0 t / s Iz zadanog je dijagrama vidljivo da krivulja odgovara kosinusoidi (bez pomaka po osi apscisa): priodična je i u trenutku t = 0 je jedan njezin ekstrem maksimum. Dakle, može se napisati u obliku: x A cos( t) A cos t Potrebno je odrediti amplitudu A i vrijeme jednog titraja (period). Iz dijagrama je vidljivo da je amplituda cm. Period je vremenski interval koji sadrži jedan dol i jedan brijeg kosinusoide: od trenutka 0,05 s do 0,5 s, što iznosi 0, s. Sada je: x cos t cos10 t, cm, vrijeme u s. 0, 105
Brzina tijela je promjena položaja u vremenu, tj. prva derivacija položaja (elongacije): dx v sin10 t10 0 sin10 t,cm/s, vrijeme u s. dt Akceleracija je promjena brzine u vremenu, tj. prva derivacija brzine: dv a 0 cos10 t10 00 cos10 t, cm/s, vrijeme dt u s. 7.6. Na elastičnu oprugu obješen je uteg koji titra amplitudom 10 cm. Kolika je konstanta krutosti opruge, ako je najveća kinetička energija utega 1 J? A = 10 cm = 0,1 m E KM = 1 J Najveća je kinetička energija utega mase m u trenutku kad ima najveću brzinu (u trenutku prolaska položajem ravnoteže), v M : m vm EKM Uvrštavanjem poznate vrijednosti kinetičke energije dobije se jedna jednadžba s dvije nepoznanice: 1) m vm Najveća je brzina utega pri harmonijskom titranju: A v M 0, ) v M Ovdje je nova, treća, nepoznanica. Izraz za konstantu krutosti opruge glasi: 4 m 3) k, gdje su nepoznanice k, m i. Postavljene su tri jednadžbe s četiri nepoznanice! Druga se jednadžba ubaci u prvu: 0,04 ) u 1) m i izrazi se: m, što se ubaci u treću jednadžbu i dobije se rješenje: 0,04 106
4 k 00 0,04 N m 7.7. ijelo mase 1 kg pričvršćeno je na horizontalno položenu oprugu konstante krutosti 10 N/m. U trenutku t = 0 na tijelo djeluje impuls tako da se opruga sabije. Početna brzina tijela je 3 m/s. Zanemarivši trenje treba odrediti: a) period i frekvenciju, b) amplitudu, c) najveću akceleraciju, d) ukupnu energiju. m = 1 kg k = 10 N/m v 0 = v M = 3 m/s (početna je brzina ujedno i najveća!) a), f =?, b) A =?, c) a M =?, d) E UK =? a) Izraz za period: m 1 0, 573s, k 10 a frekvencija je: f 1 1 1, Hz 0,573 744 b) Amplituda se dobije iz jednadžbe za najveću brzinu: A v M A 3 0,573 A = 0,74 m c) Najveća akceleracija je u trenutku kad je brzina jednaka nuli, odnosno kad je elongacija jednaka amplitudi: 4 A 4 0,74 a M 3,9m / s 0,573 d) Ukupna energija tijela jednaka je kinetičkoj energiji u trenutku prolaska kroz ravnotežni položaj ili potencijalnoj na najdaljem položaju tijela: m vm EUK EKM 4, 5J 1 EUK EPM k A 0,5 10 0,74 4, 5J 107
7.8. Čestica harmonijski titra amplitudom 5 cm. Period titranja je 5 s, a početni fazni kut nula. Kolika je brzina čestice u trenutku kad je njezina elongacija 3 cm? A = 5 cm = 0,05 m = 5 s φ 0 = 0 v =? kad je x = 3 cm = 0,03 m Prvo je potrebno napisati jednadžbu ovisnosti elongacije od vremena. Iz nje se dobije trenutak kad je elongacija jednaka 0,03 m. x A sin t 0 0,05 sin t 0,05 sin 5 t 0,03 0,05sin 0,4 t 0,6 sin0,4 0,4 t arcsin 0,6 t 0,5134s Brzina čestice je promjena njezina položaja u vremenu: dx v 0,05 cos0,4 t 0,4 0,0 cos0,4 t dt v 0,5134 0,0 cos 0,4 0,5134 0,0503m / s 0,4 t 108
Zadaci za rješavanje: 7.9. ijelo titra tako da načini 1 titraja u 40 s. Koliki je period titranja, a kolika frekvencija? 7.10. Čestica titra prema jednadžbi: x = 5 cos(3 t), cm, vrijeme u sekundama. kolika je frekvencija titranja? Kolika je elongacija čestice u trenutku t = 0,15 s? 7.11. Napisati izraz za elongaciju harmonijskog oscilatora koji titra frekvencijom 60 Hz. Amplituda titranja je 10 cm, a početni fazni kut π/4 rad. Kolika je elongacija u početnom trenutku (t = 0)? 7.1. Odrediti izraz za brzinu čestice koja harmonijski titra, ako je jednadžba njezinog položaja: x = sin(7 t + π), mm, vrijeme u sekundama. 7.13. Čestica mase 10 g harmonijski titra amplitudom 8 cm. Vrijeme jednog titraja je s, a početni fazni kut φ 0 = 0. a) Napisati jednadžbu titranja. b) Odrediti elongacije u trenucima t 1 = 0,5 s, t = 1 s i t 3 = 1,6 s. c) Kolika je najveća brzina čestice? d) Kolika je najveća sila koja djeluje na česticu? 7.14. očka harmonijski titra tako da joj se elongacija, odnosno otklon od ravnotežnog položaja, mijenja ovisno o vremenu prema jednadžbi: x = 8 sin(4 t), cm, vrijeme u sekundama. Kolika je najveća brzina čestice? Kolika je njezina elongacija u trenutku t = s od početka titranja? 7.15. Čestica harmonijski titra prema jednadžbi: x 4 sin t, cm, 4 vrijeme u sekundama. Kolika je njezina najveća brzina? Kolika joj je elongacija nakon 4 s titranja? 7.16. Čestica mase g harmonijski titra frekvencijom 0 Hz. Kolika je najveća kinetička energija čestice, ako je amplituda titranja 3 cm? 109
7.17. Pod djelovanjem sile 0 N opruga se produlji za 0 cm. Koliki je period titranja utega mase 10 kg na toj opruzi? 7.18 Na opruzi harmonijski titra uteg amplitudom cm. Pri tom mu je titranju najveća kinetička energija 4 J. Kolika je konstanta krutosti opruge? 7.19. Nerastegnuta (neopterećena) opruga ima duljinu 10 cm. Kad na njoj mirno visi uteg mase 50 g, njezina je duljina 1,5 cm. Kolikom će frekvencijom titrati taj uteg ako ga se izvuče iz položaja ravnoteže? 7.0. Kada je na oprugu obješen uteg mase m ona titra frekvencijom 0,8 Hz. Ako toj masi dodamo drugi uteg mase 0,5 kg tada opruga titra frekvencijom 0,4 Hz. Koliki je iznos mase prvog utega, m? 7.1. ijelo harmonijski titra tako da mu treba 0,5 sekundi da prijeđe od mjesta gdje mu je brzina jednaka nuli do drugog takvog mjesta na suprotnoj strani od ravnotežnog položaja. a dva mjesta udaljena su 36 cm. Odrediti: a) period titranja b) frekvenciju titranja c) amplitudu titranja. 7.. Jednadžba gibanja točke je: x = 0,1 sin(0,5π t), m, vrijeme u sekundama. Za koliko najmanje vremena ta točka prijeđe put od ravnotežnog položaja do položaja koji je najviše udaljen od ravnotežnog? 7.3. Amplituda titranja tijela koje harmonijski titra je cm, a njegova najveća energija je 3 10-7 J. Na kolikoj udaljenosti od ravnotežnog položaja na tijelo djeluje sila,5 10-5 N? 7.4. Opruga s utegom titra tako da načini 90 titraja u jednoj minuti. Koliko je puta potrebno povećati masu utega kako bi sustav titrao sa 10 titraja u minuti? 110
7.5. očka harmonijski titra prema jednadžbi: x sin t, cm, vrijeme u 3 6 sekundama. Skicirati i kotirati dijagram ovisnosti elongacije od vremena x(t). Kolika je akceleracija točke u trenutku t = 4 s? 7.6. očka harmonijski titra prema jednadžbi: x 4 sin t, cm, vrijeme u 6 sekundama. Skicirati i kotirati dijagram ovisnosti elongacije od vremena x(t). Kolika je akceleracija točke u trenutku t = s? 7.7. očka harmonijski titra prema jednadžbi: x 4 sin t, cm, vrijeme u 4 sekundama. Nacrtati dijagram ovisnosti brzine točke od vremena v(t). Kolika je akceleracija točke u trenutku t = 1 s? 7.8. očka harmonijski titra prema jednadžbi: x 5 sin t, cm, vrijeme u 4 sekundama. Nacrtati dijagram ovisnosti brzine točke od vremena v(t). Kolika je akceleracija točke u trenutku t = 4 s? 7.9. očka harmonijski titra prema jednadžbi: x 4 sin t, cm, 4 vrijeme u sekundama. Nacrtati dijagram ovisnosti akceleracije točke od vremena a(t). 7.30. Čestica mase grama harmonijski titra prema jednadžbi: x = sin( t 0,5), cm, vrijeme u sekundama. a) Kolika je elongacija čestice u trenutku t = 0? b) Kolika je brzina čestice u trenutku t = 0? c) Kolika je najveća brzina čestice? d) Kolika je najveća sila koja djeluje na česticu? 7.31. Čestica mase 4 grama harmonijski titra prema jednadžbi: x = 5 sin(0,5 t 1), cm, vrijeme u sekundama. a) Kolika je elongacija čestice u trenutku t = 0? b) Kolika je brzina čestice u trenutku t = 0? c) Kolika je najveća brzina čestice? d) Kolika je najveća sila koja djeluje na česticu? 111
7.3. Pod djelovanjem sile 10 N opruga se produlji za 5 cm. Koliki rad treba utrošiti da bi se opruga produljila za 1 cm iz neopterećenog stanja? Koliko je vrijeme jednog titraja opruge, ako je na nju obješen uteg mase kg? 7.33. Pod djelovanjem sile 0 N opruga se produlji za 4 cm. Za koliko će se opruga produljiti ako je na nju obješen uteg mase 8 kg? Koliko će tada iznositi vrijeme jednog titraja? 7.34. Čestica harmonijski titra prema jednadžbi: x = sin(4 t), cm, vrijeme u sekundama. Kolika je brzina čestice u trenutku t = s? Skicirati i kotirati dijagram ovisnosti akceleracije od vremena. 7.35. Čestica harmonijski titra prema jednadžbi: x = 4 cos( t), cm, vrijeme u sekundama. Kolika je brzina čestice u trenutku t = 8 s? Skicirati i kotirati dijagram ovisnosti akceleracije od vremena. 11
Rješenja zadataka: 7.9. = 3,333 s ; f = 0,3 Hz 7.10. f = 3,7 Hz ; x(0,15) = - 4,764 cm 7.11. x 10 sin10 t, cm, t u s ; x(0) = 7,07 cm 4 7.1. v = 14 cos(7 t + π), mm/s, vrijeme u sekundama. 7.13. a) x = 0,08 sin(πt), m b) x (0,5) = 0,08 m, x (1) = 0, x (1,6) = - 0,0761 m c) v M = 0,51 m/s d) F M = - 0,0079 N 7.14. v M = 0,3 m/s ; x() = 7,915 cm 7.15. v M = π cm/s ; x(4) = 4 cm 7.16. E KM = 0,014 J 7.17. = 1,987 s 7.18. k = 0.000 N/m 7.19. f = 3,15 Hz 7.0. m = 0,17 kg 7.1. a) = 0,5 s ; b) f = Hz ; c) A = 18 cm 7.. t min = 1 s 7.3. x = 1,5 10 - m 7.4. 81 puta 7.5. x / cm 0,5 0 t / s a(4) = 0,019 m/s 113
7.6. x / cm 0 t / s a() = - 0,009497 m/s 7.7. v /( cm / s) 0 t / s a(1) = - 0,0174 m/s 114
7.8. v /( cm / s) 0 t / s a(4) = 0 7.9. a /( cm / s ) 0 t / s 7.30. x(0) = - 0,9589 cm ; v(0) = 3,51 cm/s ; v M = 4 cm/s ; F M = - 0,00016 N = - 1,6 10-4 N 7.31. x(0) = - 4,07 cm ; v(0) = 1,351 cm/s ; v M =,5 cm/s ; F M = - 0,00005 N = - 5 10-5 N 7.3. W = 1,44 J ; = 0,68 s 7.33. x = 0,157 m ; = 0,7944 s 115
7.34. v() = - 1,164 cm/s a /( cm / s ) 0 t / s 7.35. v(8) =,303 cm/s a /( cm / s ) 0 t / s 116