MEHANIKA FLUIDA II Što valja zapamtiti 59 Utjecaj gradijenta tlaka na izgled profila brzine i odvajanje strujanja u graničnom sloju Promatrajmo strujanje unutar graničnog sloja pri horizontalnom optjecanju tijela sa zakrivljenom stijenkom. U blizini tjemena će biti presjek s maksimalnom brzinom u vanjskom potencijalnom strujanju, u kojem će biti d p =. Uzvodno od toga presjeka je gradijent tlaka negativan, a nizvodno pozitivan, kao što prikazuje donja slika. v,max p > p p točka infleksije p p p < p p < = Točka odvajanja > x U području negativnog gradijenta tlaka, rezultirajuća sila tlaka na česticu fluida djeluje u smjeru njene brzine, pa se čestica ubrzava. Pri > sile trenja i sila tlaka usporavaju čestice fluida kojima se smanjuje kinetičke energije, te može doći do odvajanja strujanja, kako je shematski prikazano na gornjoj slici. Iz slike je jasno da u točki zastoja derivacija komponente brzine u smjeru osi x mijenja predznak, pa je u toj točki =, odnosno u točki odvajanja je smično naprezanje jednako nuli. Smično naprezanje je definirano izrazom v = µ + = µ x = u kojem je derivacija nuli. v x = =, jer je v -komponenta brzine u svakoj točki površine jednaka Sada ćemo kvalitativno analizirati utjecaj gradijenta tlaka na izgled profila u -komponente brzine u graničnom sloju. Prema Prandtlovim jednadžbama za stacionarno strujanje u ravninskom graničnom sloju vrijedi p/ =, što znači da je tlak funkcija samo koordinate x. Ako se x -komponenta količine gibanja iz sustava Prandtlovih jednadžbi za granični sloj, koja glasi u u u + v = + υ x ρ primijeni na samu stijenku, gdje, a prema rubnim uvjetima u = i v =, na samoj
MEHANIKA FLUIDA II Što valja zapamtiti 6 stijenci ostaje ravnoteža sila tlaka i smičnih naprezanja = µ Ako se zna da je desna strana gornje jednadžbe funkcija samo od x, još jednim deriviranjem po dobije se 3 3 = Iz čega se zaključuje da će profil druge derivacije brzine u na stijenci imati infleksiju. Ono što je važno zapamtiti je da predznak druge derivacije brzine u na stijenci zavisi od predznaka gradijenta tlaka. Na vanjskom rubu graničnog sloja ( graničnog sloja nije funkcija slijedi i = ) vrijedi u = v, a iz pretpostavke da brzina na rubu = ; =. Približavanjem vanjskom rubu graničnog sloja, brzina u se približava brzini v, a prva derivacija opada, što znači da druga derivacija približavanjem vanjskom rubu graničnog sloja mora biti negativna. Sljedeća slika kvalitativno prikazuje profile u komponente brzine u graničnom sloju za tri slučaja gradijenta tlaka. točka infleksije ) Za slučaj negativnog gradijenta tlaka druga derivacija brzine je negativna unutar cijelog područja graničnog sloja, a prva derivacija je pozitivna u cijelom području (lako se zaključi iz činjenice da je na rubu prva derivacija jednaka nuli, a zbog negativne druge derivacije, ona je cijelo vrijeme opadala, što znači da je za < morala biti pozitivna). Jasno je da je najveća vrijednost prve derivacije na stijenci. ) Za slučaj = druga derivacija brzine na stijenci je jednaka nuli, ali je unutar čitavog područja graničnog sloja negativna, pa je profil brzine sličan onome iz prethodnog slučaja s jedinom razlikom da će prva derivacija brzine (tj. smično naprezanje) na stijenci biti manja. 3) Posebno je zanimljiv slučaj >, jer će druga derivacija na stijenci biti pozitivna, a znamo da ona na vanjskom rubu teži k nuli od negativnih vrijednosti, iz čega se zaključuje da će druga derivacija biti jednaka nuli negdje unutar područja graničnog sloja. U točki u kojoj je
MEHANIKA FLUIDA II Što valja zapamtiti 6 druga derivacija brzine jednaka nuli prva derivacija brzine ima ekstrem, a profil brzine ima točku infleksije. Jasno je da se prva derivacija na stijenci smanjuje, a kada se pojavi = nastaje odvajanje strujanja. Također je jasno da se odvajanje strujanja može = pojaviti samo ako je druga derivacija brzine na stijenci pozitivna, odnosno za >. Dakle uvjet > je nužan (ali ne i dovoljan) za pojavu odvajanja strujanja. INTEGRALNI PRISTUP RJEŠAVANJU GRANIČNOG SLOJA Prandtlove jednadžbe koje opisuju strujanje fluida u graničnom sloju su pojednostavljene Navier-Stokesove jednadžbe, ali su to još uvijek nelinearne parcijalne diferencijalne jednadžbe, koje je još uvijek potrebno rješavati numerički. Stoga se traži daljnje pojednostavljanje tih jednadžbi kojim će se moći jednostavnije doći do odgovora o vezi između brzine strujanja i smičnog naprezanja, odnosno sili na tijelo. S obzirom da je debljina graničnog sloja pri visokim vrijednostima Renoldsova broja puno manja od duljine stjenke, nameće se ideja tretirati strujanje u graničnom sloju jednodimenzijskim, slično analizi strujanja u dugim cjevovodima, gdje se umjesto sa stvarnim profilom brzine računa sa srednjom brzinom. Integriranjem Prandtlovih jednadžbi po debljini graničnog sloja dovodi do von Kármanove impulsne jednadžbe, koja daje vezu smičnog naprezanje na stjenci s integralnim parametrima graničnog sloja. No prije nego prijeđemo na izvod von Kármanove impulsne jednadžbe pogledajmo integralne relacije za granični sloj uz ravnu ploču, koje se dobiju integracijom jednadžbe kontinuiteta i komponente jednadžbe količine gibanja u smjeru strujanja. Integralne relacije za granični sloj uz ravnu ploču Promatramo laminarno stacionarno ravninsko strujanje u graničnom sloju uz ravnu ploču zanemarive debljine, kao što prikazuje sljedeća slika. p = konst. strujnica vanjski rub gr. sloja granični sloj u() L x
MEHANIKA FLUIDA II Što valja zapamtiti 6 Uočimo kontrolni volumen ograničen jednim vertikalnim presjekom ispred ploče, vertikalnim presjekom na x = L, između strujnice = i strujnice na udaljenosti = dovoljno ispred ploče. Duljina L je izabrana upravo tako da u izlaznom presjeku gornja strujnica ulazi u granični sloj debljine. S obzirom da kroz strujnice nema protoka, jednadžba kontinuiteta kazuje da će protok kroz ulazni presjek biti jednak protoku kroz izlazni presjek, tj. = v u d Ako se gornjoj jednadžbi doda član v i podijeli ju se s v, dobije se u = ( ) d v Integral u gornjem izrazu se naziva debljinom istisnuća i označuje s u = ( ) d v Debljina istisnuća = pokazuje otklon strujnice (koja na presjeku x = L ulazi u granični sloj, na udaljenosti od ploče, a dovoljno daleko ispred ploče je bila na udaljenosti od ravnine ploče) zbog postojanja graničnog sloja. U opisanom strujanju je tlak konstantan, pa se sile tlaka međusobno poništavaju. Izvan graničnog sloja viskozne sile su zanemarive, a unutar graničnog sloja su viskozne sile uglavnom tangencijalne na površinu kontrolnog volumena. Tako bi sila F x između fluida i ploče bila jednaka integralu smičnih naprezanja po površini ploče, a na presjeku x = L, komponenta viskoznih sila u smjeru osi x je zanemariva. S obzirom da kroz strujnice nema protoka, da su viskozne sile na strujnicama izvan graničnog sloja jednake nuli, prema integralnom obliku jednadžbe količine gibanja, sila F x je jednaka razlici impulsnih funkcija na ulaznom i izlaznom presjeku, tj. vrijedi Fx = ρv ρu d I I Ako se u gornjem izrazu za umnožak v u u Fx = ρvv ρu d = ρv ( )d v v u d (a) (b) iskoristi jednadžba kontinuiteta (a), dobije se gdje se posljednji integral u gornjem izrazu naziva impulsna debljina i označuje s u u = ( ) d v v F x Očito je za granični sloj uz ravnu ploču = ρv, parametar koji direktno pokazuje veličinu sile otpora.
MEHANIKA FLUIDA II Što valja zapamtiti 63 Von Kármanova impulsna jednadžba za granični sloj Polazi se od pretpostavke stacionarnog, nestlačivog ravninskog strujanja oko blago zakrivljene stijenke, pri čemu je područje strujanja podijeljeno na područje graničnog sloja, unutar kojeg vrijede Prandtlove jednadžbe, područje vanjskog neviskoznog strujanja u kojem vrijede Eulerove jednadžbe. Dva se područja spajaju na vanjskom rubu graničnog sloja, gdje je brzina v = v ( x), za koju vrijedi v dv = ρ = : u = v= x Unutar graničnog sloja vrijede Prandtlove jednadžbe, koje zapisane u konzervativnom obliku glase ( u ) ( uv) dv JKG. x-komponenta + = v + υ () x v JK. + =, koja nakon množenja s v ( x) prelazi u x ( uv ) ( vv ) dv + = u () x Oduzimanjem jednadžbe () od jednadžbe () slijedi ( x=) dv [ uv ( u) ] + [ vv ( u) ] + ( v u) = υ d x Integriranjem gornje jednadžbe po debljini graničnog sloja (iako se integrali koji u podintegralnoj funkciji imaju član v u mogu formalno integrirati i izvan graničnog sloja, jer je izvan graničnog sloja v u = ), dobije se dv [ uv ( u) ] d + [ vv ( u) ] + ( v u)d υ x Uvrštavanjem vrijednosti na donjoj i gornjoj granici integracije, uzimajući da vrijedi za = : u = v=, za = : u = v i =, nakon sređivanja se dobije se u u dv u v ( )d + v ( )d = υ x v v v ( x) ( x) ρ
MEHANIKA FLUIDA II Što valja zapamtiti 64 U gornjoj su jednadžbi svi članovi funkcija samo koordinate x, a nakon deriviranja slijedi dv d dv v + v + v = ρ Nakon dijeljenja gornje jednadžbe s v slijedi konačan oblik von Kármanove impulsne jednadžbe za granični sloj d dv d dv + [ + ] = ili + [ + H] = v ρv v ρv gdje je H = / form parametar, a debljina istisnuća i impulsna debljina su definirane sljedećim izrazima. u u u = ( ) d i = ( ) d v v v Von Kármanova impulsna jednadžba je obična diferencijalna jednadžba u kojoj su sve veličine funkcija samo x koordinate, a postupak njene primjene je sljedeći. Riješiti potencijalno strujanje i odrediti brzinu v i dv. Pretpostaviti (što realnije) profil brzine unutar graničnog sloja oblika u f = ; gdje je f neka funkcija koja svakako zadovoljava rubne uvjete ( ) 3. Izračunati i iz pretpostavljenog profila, te izračunati v () f = i f =. = µ 4. Riješiti Von Karmanovu jednadžbu po parametru te natražno računati i silu otpora.
MEHANIKA FLUIDA II Što valja zapamtiti 65 TURBULENTNO STRUJANJE FLUIDA Turbulentno strujanje fluida je najčešći oblik strujanja u prirodi, a pojavljuje se uvijek pri visokih vrijednostima Renoldsova broja. Strujanje zraka oko automobila, aviona ili vlaka, strujanje vode oko brodskog trupa, strujanje u vodovodnim, plinovodnim i drugim cijevnim mrežama, neki su od tehničkih problema u kojima je strujanje redovito turbulentno. Neka strujanja fluida u prirodi, poput strujanja vode u rijekama (npr. nestacionarno strujanje oko stupa mosta) ili istjecanje dima iz dimnjaka (širenje perjanice nepravilna oblika) primjeri su turbulentnog strujanja fluida iz kojih se može steći predodžba o složenom karakteru takvog strujanja. Sama riječ turbulentan (koja ima značenja: nemiran, buran, u stanju jakog komešanja, žestoko uzburkan, pun poremećaja) jasno odražava karakter takva strujanja. Za dane stacionarne rubne uvjete, principijelno, uvijek postoji stacionarno rješenje Navier- Stokesovih jednadžbi (koje doduše zbog matematičkih poteškoća često ne možemo odrediti). Tako npr. stacionarno rješenje za strujanje fluida u okrugloj cijevi (dano na vježbama) postoji za bilo koju vrijednost Renoldsova broja. Iskustvo nas uči, da se takvo rješenje može održati samo pri niskim vrijednostima Renoldsova broja (približno do Re = 3 ), a pri višim vrijednostima strujanje postaje nestabilno i prelazi u režim turbulentnoga strujanja, kako je to pokazao Renolds svojim eksperimentom, u kojem je kroz sredinu prozirne cijevi puštao tanki mlaz obojene tekućine, kao što shematski prikazuje sljedeća slika. OBOJENI FLUID D a) b) c) d) v D ρ Strujanje kroz cijev karakterizirano je Renoldsovim brojem Re =, kojeg je mogao µ mijenjati uz pomoć ventila na kraju cijevi. Pri niskim vrijednostima Renoldsova broja, mlaz obojenog fluida, ostaje miran i ravan, što svjedoči o laminarnom strujanju, slika a). Pri određenom Renoldsovom broju je mlaz počeo gubiti stabilnost, pojavljuje se periodičko iskrivljavanje obojenog mlaza, kao što shematski prikazuje slika b). Dodatnim malim povećanjem Renoldsova broja, nestabilnost se naglo povećava, da bi vrlo brzo mlaz obojene tekućine praktički ispunio čitav presjek cijevi, što svjedoči o poprečnom gibanju čestica fluida. Renoldsov broj kod kojega se pojavljuje prva nestabilnost strujanja se naziva kritičnim Renoldsovim brojem. Vrijednost kritičnog Renoldsova broja nije neka čvrsta vrijednost. Ona zavisi od oblika ulaza u cijev, hrapavosti stijenke cijevi, i nekih drugih faktora poput malog odstupanja od kružnog oblika poprečnog presjeka cijevi, čistoći fluida, vanjskim utjecajima, npr. vibracijama cijevi i sl. Stoga se mogu definirati i dvije vrijednosti kritičnog Renoldsova broja: donja i gornja vrijednost. Donja vrijednost kritičnog Renoldsova broja je ona ispod koje se ne pojavljuje nestabilnost strujanja (nije zabilježeno turbulentno strujanje), a
MEHANIKA FLUIDA II Što valja zapamtiti 66 gornja vrijednost je ona iznad koje nije zabilježeno laminarno strujanje. Za okrugle cijevi s oštrim ulaznim bridom se za donju vrijednost kritičnog Renoldsovog broja uzima vrijednost Re =3, a za gornju vrijednost približno Re =4 krd krg (naime u laboratorijskim uvjetima se uspjelo u cijevi održati laminarno strujanje do tog Renoldsova broja). Naravno da je kritična vrijednost Renoldsovog broja različita za različita strujanja. Tako je npr. za strujanje u pravokutnom kanalu, kojemu je širina veća od visine, kritični Renoldsov ρ vsr h broj na temelju srednje brzine i visine kanala bio Rekr = 5. D h Dakle da rezimiramo: U prirodi se može ostvariti samo ono stacionarno strujanje fluida koje je stabilno u odnosu na male perturbacije. Matematičko ispitivanje stabilnosti rješenja Navier- Stokesovih jednadžbi bi se vršilo perturbiranjem (dodavanjem malog harmoničkog poremećaja) osnovnom stacionarnom rješenju. Ukoliko perturbacija (nametnuti mali poremećaj) slabi u vremenu, strujanje je stabilno i ostaje stacionarno. Takvo strujanje nazivamo laminarnim. Ukoliko perturbacije ne slabe, već se pojačavaju, strujanje postaje nestacionarno, bez obzira na stacionarne rubne uvjete i postupno dobiva kaotičan karakter. Takvo strujanje nazivamo turbulentnim. Primijetimo da turbulentno strujanje fluida ima unutrašnje stupnjeve slobode, jer je nestacionarno za stacionarne rubne uvjete pa analitičko opisivanje takvog strujanja nije moguće. Bez da ulazimo u matematičko ispitivanje stabilnosti rješenja, jednostavnim razmišljanjem se može pokazati da je neviskozno strujanje, prema slici a), u kojem se slojevi fluida gibaju relativnom brzinom jedan u odnosu na drugi apsolutno nestabilno. Slika a) prikazuje strujnice u ravninskom neviskoznom strujanju. Prema jednadžbi kontinuiteta protok između dvije strujnice je konstantan, pa će za slučaj paralelnih strujnica i brzina biti konstantna, a prema Bernoullijevoj jednadžbi će tada i tlak biti konstantan. Na granici dvaju slojeva imamo skok brzine (beskonačni gradijent), što uzrokuje nestabilnost ovakvog strujanja. Pretpostavimo da se granica dvaju slojeva ma kako malo deformira (ne ulazeći u razlog toj deformaciji), kako prikazuje slika b). Na mjestima gdje se razmak među strujnicama povećao, brzina će (prema jednadžbi kontinuiteta) opasti, a tlak će se (prema Bernoulllijevoj jednadžbi) povećati. Dakle nastat će sile, koje će tu strujnicu još više deformirati, kao što prikazuje slika c), a vrlo brzo će strujanje poprimiti vrtložnu strukturu, kao što prikazuje slika d). Naravno da u viskoznom strujanju ne može postojati beskonačni gradijent brzine, a može se očekivati da će sklonost nastanku nestabilnosti viskoznog strujanja rasti s povećanjem gradijenta brzine i s udaljavanjem od stijenke, na kojoj je brzina jednaka nuli.