Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică Informatică Catedra de Informatică ERNEST SCHEIBER

Universitatea Transilvania din Braşov Facultatea de Matematică Informatică Catedra de Informatică ERNEST SCHEIBER ANALIZĂ NUMERICĂ Braşov

Cuprins I INTERPOLARE ŞI APLICAŢII 9 1 Diferenţe finite 11 11 Diferenţe finite 11 1 Ecuaţia cu diferenţe liniară 14 11 Sistem fundamental de soluţii 15 1 Determinarea unui sistem fundamental de soluţii 17 13 Soluţia ecuaţiei cu diferenţe neomogenă 0 13 Transformarea z 1 Elemente din teoria interpolării 31 1 Sisteme Cebîşev 31 Interpolare Lagrange 38 3 Interpolarea Lagrange-Hermite 39 4 Diferenţe divizate 44 5 Algoritm pentru calculul diferenţei divizate 54 3 Convergenţa procedeelor de interpolare prin polinoame 65 31 Spaţii liniar ordonate 65 3 Interpolare şi aproximare 68 33 Divergenţa interpolării Lagrange 69 331 Staţiu topologic Baire 69 33 Principiul condensării singularităţilor 7 333 Norma operatorilor integrali 74 334 Norma operatorului Fourier 75 335 Divergenţa polinoamelor de interpolare Lagrange 77 4 Formule de derivare numerică 85 41 Aproximarea derivatei prin diferenţe 85 411 Extrapolarea Richardson 86 3

4 CUPRINS 4 Aproximarea derivatei prin interpolare 89 5 Formule de integrare numerică 91 51 Natura aproximării 9 5 Formule de tip Newton - Côtes 94 53 Evaluarea restului 96 54 Formula trapezului 10 55 Formula lui Simpson 104 56 Integrale de tip Cauchy 105 57 Polinoame ortogonale 107 58 Polinoame Legendre 11 59 Polinoame Hermite 115 510 Polinoamele lui Laguerre 118 511 Polinoame Cebîşev 11 51 Formule de tip Gauss 11 513 Formula dreptunghiului (n = 1) 16 514 Cazuri speciale 18 5141 Formula de integrare numerică Lobatto 18 514 Formula de integrare numerică Radau 130 5143 Formula de cvadratură Gauss-Kronrod 131 515 Formula Euler-MacLaurin 13 5151 Polinoamele şi numerele lui Bernoulli 13 515 Formula Euler-MacLaurin 136 5153 Formule de integrare Euler-MacLaurin 139 6 Rezolvarea problemelor Cauchy 149 61 Metode de discretizare 150 6 Scheme de calcul de tip Runge - Kutta 156 63 Scheme de calcul de tip Adams 160 64 Schema de calcul predictor - corector 164 65 A-stabilitatea schemelor de calcul 167 66 Rezolvarea unui sistem algebric de ecuaţii neliniare prin integrarea unei probleme Cauchy 170 7 Metoda celor mai mici pătrate 177 71 Determinarea unei funcţii de aproximare 177 7 Polinom trigonometric de aproximare 183 73 Aproximare în spaţii prehilbertiene 185

CUPRINS 5 8 Transformarea Fourier discretă 189 81 Transformata Fourier discretă 189 8 Algoritmul transformării Fourier discretă rapidă 19 83 Aplicaţii ale transformatei Fourier discretă 194 831 Calculul coeficienţilor Fourier 194 83 Calculul coeficienţilor Laurent 195 833 Determinarea funcţiei analitice cunoscând partea reală 196 834 Calculul integralei Cauchy 197 84 Transformarea cosinus discretă 198 9 Polinoame trigonometrice 03 91 Interpolare trigonometrică pe noduri oarecare 04 9 Interpolare trigonometrică pe noduri echidistante 10 93 Calculul coeficienţilor Fourier 14 94 Convergenţa polinoamelor de interpolare trigonometrică 15 10 Funcţii spline polinomiale 3 101 Interpolare cu funcţii spline cubice 3 10 Funcţia spline polinomială 3 101 Funcţia spline polinomială naturală 33 10 Interpolare cu funcţii spline polinomiale 35 103 Funcţii B-spline 37 1031 Funcţii B-spline pe noduri echidistante 40 11 Interpolare cu sinus cardinal 43 111 Interpolare pe noduri echidistante în [0, π] 43 11 Interpolare pe noduri echidistante în R 47 II ALGEBRA LINIARĂ NUMERICĂ 51 1 Elemente de analiză matriceală 53 11 Definiţii, notaţii, proprietăţi 53 13 Rezolvarea sistem algebrice liniare 63 131 Metoda Gauss - Jordan 64 13 Inversarea unei matrice 68 133 Factorizarea LU 69 134 Cazul matricelor simetrice - Factorizarea Cholesky 77 135 Rezolvarea sistemelor tridiagonale 78

6 CUPRINS 136 Metode iterative 80 137 Metoda gradientului conjugat 86 138 Soluţie în sensul celor mai mici pătrate 90 139 Numărul de condiţionare al unei matrice 9 14 Transformarea Householder 97 141 Transformata Householder 97 14 Descompunerea QR 99 143 Cea mai bună aproximaţie 303 144 Metoda celor mai mici pătrate 308 145 Bidiagonalizarea unei matrice 310 146 Reducerea la forma Hessenberg 31 15 Valori şi vectori proprii 315 151 Forma normală Schur 315 15 Diagonalizarea unei matrice 318 153 Descompunerea valorii singulare 30 154 Raza spectrală a unei matrice 33 155 Metoda puterii 36 156 Algoritmul QR 37 16 Descompunerea valorii singulare 333 161 Descompunerea valorii singulare 333 16 Metoda celor mai mici pătrate prin DVS 337 17 Spaţii Krylov 339 171 Definiţia spaţiului Krylov 339 17 Descompunerea Arnoldi 339 173 Rezolvarea sistemelor algebrice de ecuaţii liniare 34 1731 Varianta Ritz-Galerkin 344 173 Varianta reziduului minimal 344 174 Calculul valorilor şi vectorilor propri 345 175 Calculul elementului de cea mai bună aproximaţie 345 III REZOLVAREA ECUAŢIILOR NELINIARE 347 18 Rezolvarea ecuaţiilor neliniare 349 181 Preliminarii de analiză funcţională 349 18 Metoda liniarizării 356

CUPRINS 7 183 Metoda liniarizării modificată 360 184 Rezolvarea sistemelor algebrice neliniare 36 185 Rezolvarea ecuaţiilor algebrice 365 186 Rezolvarea ecuaţiilor polinomiale 370 IV REZOLVARE PRIN OPTIMIZARE 379 19 Elemente din teoria optimizării 381 191 Funcţionale diferenţiabile 381 19 Funcţionale convexe 383 193 Proprietăţi ale problemei de optimizare 386 194 Metode de descreştere 388 195 Metoda gradientului 389 0 Rezolvarea ecuaţiilor prin optimizare 393 01 Rezolvarea unui sistem liniar prin cele mai mici pătrate 393 0 Rezolvarea unui sistem neliniar prin cele mai mici pătrate 394 03 Rezolvarea unei ecuaţii liniare prin metode de optimizare 395 V ANEXE 397 A Noţiuni de teoria erorilor 399 A1 Eroare absolută şi eroare relativă 399 A Reprezentarea numerelor în virgulă mobilă 400 A3 Aritmetica numerelor în virgulă mobilă 401 A4 Protocolul IEEE 754 403 A5 Controlul erorii 404 B Implementarea metodelor iterative 409 C Identităţi trigonometrice 411 D Determinarea unor parametri numerici 413 E Îmbunătăţirea convergenţei 417 E1 Ordinul de convergenţă al unui şir 417 E Îmbunătăţirea convergenţei unui şir 418 E3 Transformarea lui Euler 418

8 CUPRINS F Determinarea ordinelor de convergenţă 41 G Scheme Runge-Kutta deduse prin calcul simbolic 47 G1 Schema de calcul explicită de tip Runge Kutta în 4 trepte 48 G Schema de calcul implicită de tip Runge Kutta în trepte 433 H Reprezentarea mulţimii de A-stabilitate 437 Bibliografie 439

Partea I INTERPOLARE ŞI APLICAŢII 9

Capitolul 1 Diferenţe finite 11 Diferenţe finite Diferenţele finite stau la baza multor metode de calcul numeric privind integrarea şi derivarea numerică, integrarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare şi cu derivate parţiale Funcţiile care intervin în acest capitol sunt funcţii reale de o variabilă reală Printr-o diferenţă finită de înţelege un operator de forma Γ h f(x) = Af(x + ah) Bf(x + bh) (11) unde A, B, a, b sunt constante reale Se observă caracterul liniar al operatorului Γ h (λf + µg) = λγ h f + µγ h g Diferenţele finite de ordin superior se introduc recursiv Γ 0 hf = f Diferenţele finite uzuale sunt: diferenţa finită progresivă Γ n hf = Γ h (Γ n 1 h f), n > 1 h f(x) = f(x + h) f(x); diferenţa finită regresivă h f(x) = f(x) f(x h); 11

1 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE diferenţa finită centrată δ h f(x) = f(x + h ) f(x h ) În cele ce urmează vom studia doar diferenţele finite uzuale Formulele explicite de calcul ale unei diferenţe finite de ordin superior sunt Teorema 111 Au loc egalităţile: (i) (ii) (iii) (iv) n h f(x) = n k=0 n h f(x) = n k=0 f(x + nh) = n k=0 f(x nh) = n k=0 ( ) n ( 1) k n k f(x + kh); ( ) n ( 1) k k f(x kh); ( ) n k k h f(x); ( ) n ( 1) k k k h f(x) (1) Demonstraţie n hf(x) se exprimă ca o combinaţie liniară a valorilor lui f în x, x + h,, x + nh, adică are loc o formulă de forma n hf(x) = n A k f(x + kh) k=0 Pentru determinarea coeficienţilor (A k ) 0 k n, alegem f(x) = e x şi atunci e x (e h 1) n = n A k e x+kh k=0 Dezvoltând binomul din membrul stâng găsim n k=0 ( n k ) ( 1) n k e x+kh = n A k e x+kh ( ) n Identificând coeficienţii lui e x+kh găsim A k = ( 1) k n k, adică relaţia (i) În mod asemănător se pot justifica şi celelelte relaţii Stabilim o serie de proprietăţi ale diferenţei finită progresivă Rezultate asemănătoare se pot deduce şi pentru celelalte diferenţe finite k=0

11 DIFERENŢE FINITE 13 Teorema 11 (Teorema de medie) Dacă funcţia f este derivabilă de ordin n atunci există c (x, x + nh) astfel încât n hf(x) = h n f (n) (c) (13) Demonstraţie Prin induţie matematică după n, pentru n = 1, utilizând teorema de medie a lui Lagrange avem succesiv h f(x) = f(x + h) f(x) = hf (c) x < c < x + h Presupunem relaţia (13) adevărată pentru diferenţele de ordin n 1 Dacă g(x) = n 1 n f(x) atunci h n 1 n h f(x) h n = h( n 1 h f(x)) = h n n 1 h f(x+h) n 1 h n 1 h f(x) h n 1 h = g(x + h) g(x) = = g ( c) = d h f(x) ] h h n 1 x= c unde x < c < x + h Deoarece operatorul de derivare comută cu operatorul de diferenţă finită, rezultă că n h f(x) h n Utilizând ipoteza inducţiei, = d [ n 1 h dx h n 1 f(x) dx [ n 1 ] x= c = n 1 h f (x) h n 1 x= c n h f(x) h n = n 1 h h n 1 f (x) x= c = (f ) (n 1) (c) = f (n) (c), unde x < c < c < c + (n 1)h < x + nh Observaţie 111 Presupunând că funcţia f are derivata de ordinul n continuă, pentru h 0, din (13) rezultă n h lim f(x) = f (n) (x) (14) h 0 h n Diferenţa finită progresivă de ordin superior pentru produsul a două funcţii generalizează formula lui Leibniz

14 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE Teorema 113 (Formula lui Leibniz) Are loc formula: n hf(x)g(x) = n k=0 ( n k ) k hf(x) n k h g(x + kh) (15) Demonstraţia teoremei se face prin inducţie matematică după n Observaţie 11 Să presupunem că funcţiile f, g au derivata de ordinul n continuă Împărţind (15) la h n şi utilizând Observaţia 111, pentru h 0, obţinem (f(x)g(x)) (n) = n k=0 ( n k ) f (k) (x)g (n k) (x) (16) 1 Ecuaţia cu diferenţe liniară şi cu coeficienţi constanţi Considerăm ecuaţia cu diferenţe (h = 1) α p p u(n) + α p 1 p 1 u(n) + + α 1 u(n) + α 0 u(n) = f n+p n N unde necunoscută este funcţia u : N R, iar coeficienţii α 0,, α p sunt constante reale Explicitând diferenţele finite progresive în funcţie de valorile funcţiei (1) obţinem a p u n+p + a p 1 u n+p 1 + + a 1 u n+1 + a 0 u n = f n+p n N, (17) unde u n = u(n) Presupunem că a 0 a p 0 În cele ce urmează, numim (17) ecuaţie cu diferenţe liniară şi cu coeficienţi constanţi, de ordin p şi se cere soluţia care verifică în plus condiţiile iniţiale u 0 = v 0 u 1 = v 1 u p 1 = v p 1 (18) Teorema 11 Există cel mult o soluţie a ecuaţiei cu diferenţe (17) care verifică condiţiile (18)

1 ECUAŢIA CU DIFERENŢE LINIARĂ 15 În prealabil studiem ecuaţia cu diferenţe omogenă, liniară şi cu coeficienţi constanţi a p u n+p + a p 1 u n+p 1 + + a 1 u n+1 + a 0 u n = 0 n N, (19) Teorema 1 Mulţimea soluţiilor ecuaţiei cu diferenţe omogenă, liniară şi cu coeficienţi constanţi formează un spaţiu liniar 11 Sistem fundamental de soluţii Teoria ecuaţiei cu diferenţe omogenă, liniară şi cu coeficienţi constanţi este asemănătoare cu cea a ecuaţiei diferenţiale liniară, omogenă şi cu coeficienţi constanţi Definiţie 11 Şirurile (u 1 n) n N,, (u p n) n N sunt liniar independente dacă relaţiile λ 1 u 1 n + + λ p u p n = 0, n N implică λ 1 = = λ p = 0 Teorema 13 Şirurile (u 1 n) n N,, (u p n) n N, soluţii ale ecuaţiei (19) sunt liniar independene dacă şi numai dacă au loc relaţiile u 1 n u p n n = u 1 n+1 u p n+1 0, n N (110) u 1 n+p 1 u p n+p 1 Demonstraţie Presupunem prin absurd că există n N astfel încât n = 0 Atunci sistemul algebric de ecuaţii liniare şi omogene λ 1 u 1 n + + λ p u p n = 0 λ 1 u 1 n+1 + + λ p u p n+1 = 0 λ 1 u 1 n+p 1 + + λ p u p n+p 1 = 0 (111) în necunoscutele λ 1,, λ p, admite o soluţie nebanală notată la fel Înmulţind ecuaţiile sistemului, respectiv cu a 0 a p,, a p 1 a p şi sumând egalităţile astfel obţinute, rezultă λ 1 ( 1 p 1 a i u 1 a n+i) + λ p ( 1 p 1 a i u p n+i p a ) = 0 p i=0 i=0

16 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE Deoarece potrivit ipotezei, şirurile (u j k ) k N, cu diferenţe (19), ultima egalitate devine j = 1,, p sunt soluţii ale ecuaţiei λ 1 u 1 n+p + + λ p u p n+p = 0 Observăm că această egalitate completează relaţiile sistemului (111) Reluând înmulţirea ultimelor p egalităţi, respectiv prin a 0 a p,, a p 1 a p şi adunarea lor deducem λ 1 u 1 m + + λ p u p m = 0 m n Procedând asemănător, înmulţim ecuaţiile sistemului (111), respectiv cu a 1 a 0,, ap a 0 şi sumând egalităţile astfel obţinute, găsim sau λ 1 ( 1 a 0 Repetând, deducem p a i u 1 n+i 1) + λ p ( 1 a 0 i=1 p a i u p n+i 1 ) = 0, i=1 λ 1 u 1 n 1 + + λ p u p n 1 = 0 λ 1 u 1 m + + λ p u p m = 0 m n În felul acesta contrazicem liniar independenţa şirurilor Reciproc, presupunem prin absurd că şirurile (u j k ) k N, j = 1,, p nu sunt liniar independente, existând constantele λ 1,, λ p, nu toate nule astfel încât λ 1 u 1 n + + λ p u p n = 0, n N Pentru orice n N, sistemul (111) are o soluţie nebanală, deci n = 0, ceea ce nu se poate Definiţie 1 p şiruri soluţii ale ecuaţiei (19) şi liniar independente formează un sistem fundamental de soluţii Importanţa unui sistem fundamental este reliefată în Teorema 14 Dacă (u j k ) k N, j = 1,, p formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia cu diferenţe (19) atunci pentru orice altă soluţie (u k ) k N a ei, există constantele c 1,, c p astfel încât u n = c 1 u 1 n + + c p u p n, n N

1 ECUAŢIA CU DIFERENŢE LINIARĂ 17 Demonstraţie Considerăm sistemul algebric de ecuaţii liniare în necunoscutele c 1,, c p c 1 u 1 0 + + c p u p 0 = u 0 c 1 u 1 1 + + c p u p 1 = u 1 (11) c 1 u 1 p 1 + + c p u p p 1 = u p 1 Determinantul sistemului fiind diferit de 0, sistemul (11) admite o soluţie unică notată tot c 1,, c p Înmulţind ecuaţiile sistemului (11) respectiv cu a 0 a p, a 1 a p,, a p 1 a p şi sumând egalităţile astfel obţinute deducem sau c 1 ( 1 p 1 a k u 1 a k) + + c p ( 1 p 1 a k u p k p a ) = 1 p 1 a k u k, p a p k=0 k=0 k=0 c 1 u 1 p + + c p u p p = u p (113) Repetând raţionamentul, din aproape în aproape obţinem u n = c 1 u 1 n + + c p u p n, n N 1 Determinarea unui sistem fundamental de soluţii Căutăm soluţii ale ecuaţiei cu diferenţe omogene (19) sub forma unei progresii geometrice u k = x k, k N Rezultă că x trebuie să fie rădăcina polinomului caracteristic f(x) = a p x p + a p 1 x p 1 + + a 1 x + a 0 Notăm prin x 1,, x p rădăcinile acestui polinom Cazul rădăcinilor distincte două câte două Teorema 15 Dacă x 1,, x p sunt rădăcini distincte două câte două ale polinomului caracteristic atunci şirurile (x n 1) n N,, (x n p) n N formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia cu diferenţe omogemă (19) Demonstraţie Verificăm condiţia de liniar independenţă, dată în Teorema 13, a celor p şiruri x n 1 x n p n = x n+1 1 x n+1 p = x n+p 1 1 x n+p 1 p

18 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE = (x 1 x p ) n V (x 1,, x p ) = (x 1 x p ) n 1 j<i p Cazul rădăcinilor multiple Stabilim un rezultat ajutător (x i x j ) 0 Teorema 16 Dacă f(x) este polinomul caracteristic şi ϕ : N R este o funcţie oarecare atunci a p x n+p ϕ(n + p) + a p 1 x n+p 1 ϕ(n + p 1) + + a 0 x n ϕ(n) = = x n [f(x)ϕ(n) + 1 1! xf (x) ϕ(n) + 1 p! xp f (p) p ϕ(n)] Demonstraţie Utilizând relaţia (iii) de la (1) au loc egalităţile ϕ(n) = ϕ(n) ( ) ( ) 1 1 ϕ(n + 1) = ϕ(n) + ϕ(n) 0 1 ( ) ( ) ( ϕ(n + ) = ϕ(n) + ϕ(n) + 0 1 ) ϕ(n) ϕ(n + p) = ( p 0 ) ( p ϕ(n) + 1 ) ( ) p ϕ(n) + ( p + p ϕ(n) + ) p ϕ(n) pe care le înmulţim respectiv cu a 0 x n, a 1 x n+1, a x n+,, a p x n+p şi le însumăm, obţinând p p a k x n+k ϕ(n + k) = x n b k (x) k ϕ(n), unde b k (x) = p j=k ( j k k=0 ) a j x j = xk k! p j=k k=0 j(j 1) (j k + 1)x j k = xk k! f (k) (x) În consecinţă, dacă x este o rădăcină a polinomului caracteristic, având ordinul de multiplicitate r atunci şirul (x n ϕ(n)) n N, cu ϕ(n) polinom de grad cel mult r 1, este soluţie a ecuaţiei cu diferenţe (19) Mai mult,

1 ECUAŢIA CU DIFERENŢE LINIARĂ 19 Teorema 17 Dacă x 1, x,, x k sunt rădăcinile polinomului caracteristic, având respectiv ordinele de multiplicitate r 1, r,, r k, (r 1 + r + + r k = p), atunci şirurile (x n 1) n N (nx n 1) n N (n r1 1 x n 1) n N (x n ) n N (nx n ) n N (n r 1 x n ) n N (x n k ) n N (nx n k ) n N (n rk 1 x n k ) n N formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia cu diferenţe omogenă (19) Demonstraţie Presupunem prin absurd că şirurile (x n i ) n N, (nx n i ) n N,, (n r i 1 x n i ) n N, 1 i k sunt liniar dependente Atunci există constantele C i,0, C i,1,, C i,ri 1, 1 i k nu toate nule, astfel încât sau k (C i,0 x n i + C i,1 nx n i + + C i,ri 1n ri 1 x n i ) = 0, n N, i=1 k x n i P i (n) = 0, n N, (114) i=1 unde P i (n) = C i,0 + C i,1 n + + C i,ri 1n ri 1 Potrivit presupunerii făcute, polinoamele P i (n), i = 1,, k nu sunt toate identic nule Putem presupune că toate polinoamele care apar în relaţia (114) sunt neidentic nule Împărţind (114) prin x n 1 rezută P 1 (n) + ( x x 1 ) np (n) + + ( xk x 1 ) npk (n) = 0, n N (115) Aplicând relaţiei (115) diferenţa 1 n deducem ( x ) np,1 ( xk ) npk,1 (n) + + (n) = 0, n N, x 1 x 1 unde polinoamele P i,1 i =,, k au gradele respectiv egale cu ale polinoamelor P i i =,, k 1 Pentru a 1 şi ϕ polinom are loc a n ϕ(n) = a n (aϕ(n + 1) ϕ(n)) unde aϕ(n + 1) ϕ(n) este un polinom de acelaşi grad cu ϕ

0 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE Repetând raţionamentul de mai sus de k 1 ori deducem egalitatea ( xk x k 1 ) npk,k 1 (n) = 0 n N Pe de-o parte rezultă că polinomul P k,k 1 este identic nul, iar pe de altă parte este neidentic nul Contradicţia apărută justifică afirmaţia teoremei Exemplul 11 Şirul lui Fibonacci este definit prin ecuaţia cu diferenţe u n+ u n+1 u n = 0, n N (116) Polinomul caracteristic este f(x) = x x 1 şi are rădăcinile 1± 5 Formula termenului general al şirului definit de (116) este u n = C 1 ( 1 + 5 ) n + C ( 1 5 ) n Dacă impunem condiţiile iniţiale u 0 = u 1 = 1 atunci coeficienţii C 1, C rezultă din sistemul u 0 = C 1 + C = 1 1 + 5 1 5 u 1 = C 1 + C = 1 5 5 Rezolvând sistemul de mai sus, se obţine C 1 = 1+ 5, C 5 = 1 Prin urmare [ u n = 1 ( 1 + 5 ) n+1 ( 1 ] 5 ) n+1 (117) 5 13 Soluţia ecuaţiei cu diferenţe neomogenă Suntem în măsură să soluţionăm problema determinată de ecuaţia cu diferenţe neomogenă, liniară şi cu coeficoenţi constanţi (17) cu condiţiile iniţiale (18) Teorema 18 Dacă (u k n) n N, k = 0, 1,, p 1 formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia cu diferenţe omogenă care satisfac condiţiile iniţiale u k n = δ k,n, k, n {0, 1,, p 1} atunci soluţia problemei (17)-(18) este Se presupune că p 1 u n = v i u i n + 1 n p f k+p u p 1 n k 1, n N (118) a p i=0 k=0 f k = 0 pentru k < p; u k n = 0 pentru n < 0, k = 0, 1,, p 1 (119)

13 TRANSFORMAREA Z 1 Demonstraţie Şirul (z n ) n N definit prin z n = p 1 i=0 v iu i n este o soluţie a ecuaţiei cu diferenţe omogenă care verifică condiţiile iniţiale (18) Verificăm că şirul (w n ) n N definit prin w n = 1 n p a p k=0 f k+pu p 1 n k 1 este o soluţie a ecuaţiei cu diferenţe neomogenă (17) care satisface condiţiile iniţiale omogene w n = 0, pentru n = 0, 1,, p 1 Dacă n {0, 1,, p 1} atunci pentru k = 1,,, n p au loc egalitatea f k+p = 0 şi în consecinţă w n = 1 a p f p u p 1 n 1 = 0, datorită condiţiilor iniţiale verificate de şirul (u p 1 n ) n Z Utilizând (119), au loc egalităţile Atunci = 1 a p p w n = 1 n p f k+p u p 1 n k 1 a = 1 p a p j=0 k=0 p a j w n+j = 1 a p j=0 a j n k=0 p j=0 a j k= f k+p u p 1 n+j k 1 = 1 a p k= f k+p u p 1 n k 1 f k+p u p 1 n+j k 1 = n k=0 f k+p p j=0 a j u p 1 n+j k 1 Pentru k = 0, 1,, n 1, deoarece şirul (u p 1 n ) n Z este soluţie a ecuaţiei cu diferenţe omogenă (19), au loc egalităţile p a j u p 1 n+j k 1 = 0 j=0 iar pentru k = n, din condiţiile iniţiale verificate de acelaşi şir, are loc p a j u p 1 j 1 = a p j=0 În consecinţă p j=0 a jw n+j = 1 a p f n+p a p = f n+p 13 Transformarea z Fie S mulţimea şirurilor de numere complexe x = (x n ) n Z Dacă x n = 0, n < 0 atunci şirul x se numeşte cu suport pozitiv Mulţimea acestor şiruri se notează cu S +

CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE Exemplul 131 u = (u n ) n Z, cu u n = Exemplul 13 δ k = (δ k,n ) n Z, cu δ k,n = { 0 n < 0 1 n 0 { 0 n k 1 n = k Definiţie 131 Fie x, y S + astfel încât, pentru orice n Z, seria k Z x n ky k este convergentă Şirul z = (z n ) n Z definit prin z n = k Z x n k y k se numeşte produsul de convoluţie al şirurilor x şi y şi se notează cu z = x y Evident x y = y x Exemplul 133 Dacă x = (x n ) n Z, atunci şirul z = x δ k, z = (z n ) n Z este z n = x n s δ k,s = x n k n Z s Z Definiţie 13 Fie x = (x n ) n Z şi funcţia X(z) = x n n Z z n, definită în domeniul de convergenţă al seriei Laurent Operatorul ce ataşează şirului x funcţia X(z) se numeşte transformata z a şirului x L(x) = X Exemplul 134 Transformata z a şirului u este L(u)(z) = definită în coroana {z C : z > 1} Exemplul 135 L(δ k )(z) = 1 z k n=0 1 z n = z z 1, Exemplul 136 Dacă x = (x n ) n Z şi y = (y n ) n Z cu y n = x n k, n Z atunci L(y)(z) = n Z y n z = x n k n z n n Z = z k L(x)(z) Transformarea z se bucură de următoarele proprietăţi:

13 TRANSFORMAREA Z 3 Teorema 131 Operatorul L este liniar Teorema 13 Dacă x S atunci L(x δ k )(z) = 1 z k L(x)(z) Demonstraţie Şirul x δ k este (x n k ) n Z În consecinţă L(x δ k )(z) = n Z x n k z n = 1 z k n Z x n k z n k = 1 z k L(x)(z) Teorema 133 Are loc egalitatea L(x y) = L(x)L(y) x, y S Demonstraţie Dacă u = x y = ( k Z x n ky k ) n Z atunci L(u)(z) = n Z k Z x n ky k z n = k Z y k x n k = L(y)(z)L(x)(z) z k zn k n Z Teorema 134 Dacă x = (x n ) n Z şi X(z) = x n n Z z n este convergentă în coroana {z C : r < z < R} atunci are loc egalitatea x n = 1 z n 1 X(z)dz, (10) πi z =ρ unde discul delimitat de cercul z = ρ conţine toate singularităţile funcţiei X(z) Demonstraţie Calculăm integrala din (10) z n 1 X(z)dz = x k z n 1 k dz = πix n z =ρ k Z z =ρ O aplicaţie a transformării z este rezolvarea ecuaţiilor cu diferenţe liniare şi cu coeficienţi constanţi Considerăm ecuaţia cu diferenţe (17) şi extindem mulţimea indicilor la Z, definind u n = 0, n < 0 şi f n+p = a p u n+p + a p 1 u n+p 1 + + a 1 u n+1 + a 0 u n, n < 0

4 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE Atunci ecuţia cu diferenţe (17) se poate scrie sau a p u n + a p 1 u n 1 + + a 1 u n p+1 + a 0 u n p = f n, n Z, a p (u δ 0 ) n + a p 1 (u δ 1 ) n + + a 1 (u δ p 1 ) n + a 0 (u δ p ) n = f n (11) Notăm u = (u n ) n Z, U(z) = L(u)(z), f = (f n ) n Z şi F (z) = L(f)(z) În urma aplicării transformării z asupra ecuaţiei (11) şi utilizând Teorema 13 obţinem ecuaţia U(z)(a p + a p 1 z Explicitând funcţia necunoscută, găsim U(z) = + + a 1 z p 1 + a 0 z p ) = F (z) z p F (z) a p z p + a p 1 z p 1 + + a 1 z + a 0 Potrivit formulei (10), termenii şirului u se calculează cu u n = 1 z n+p 1 F (z) dz πi z =ρ a p z p + a p 1 z p 1 + + a 1 z + a 0 Exemplul 137 Şirul lui Fibonacci, se poate scrie u n u n 1 u n = 0, n Extinzând mulţimea indicilor la Z, obţinem 0 n Z\{0, 1} u n u n 1 u n = u 1 u 0 n = 1 u 0 n = 0 Ecuaţia transformatei z a şirului u = (u n ) n Z este de unde U(z)(1 1 z 1 z ) = u 0 + u 1 u 0, z U(z) = u 0z + (u 1 u 0 )z z z 1

13 TRANSFORMAREA Z 5 Dacă ρ > 1+ 5 atunci u n = 1 πi z =ρ [u 0 z + (u 1 u 0 )z]z n 1 z z 1 Calculând integrala prin reziduuri obţinem [ u n = 1 u 0 ( 1 + 5 ) n+1 + (u 1 u 0 )( 1 + ] 5 ) n 5 [ 1 5 = ( 5 1)u 0 + u 1 5 u 0 ( 1 5 ( 1 + 5 Dacă u 0 = u 1 = 1 atunci se regăseşte (117) Probleme şi teme de seminar P 11 Să se calculeze 1 n h 1 x n h 1 x 1 3 n h sin(ax + b) 4 n h cos(ax + b) 5 n h xex ) n+1 + (u 1 u 0 )( 1 ] 5 ) n = ) n + ( 5 + 1)u 0 u 1 5 ( 1 5 ) n P 1 Să se arate că dacă F (x) = f(x) atunci n k=1 f(k) = F (n + 1) F (1) P 13 Să se calculeze n k=1 1 k(k+1)(k+p) P 14 Să se demonstreze formula de însumare prin părţi n u(k) v(k) = u(n + 1)v(n + 1) u(1)v(1) k=1 P 15 Să se calculeze n k=1 kk n v(k + 1) u(k) k=1

6 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE Indicaţii 1 u(k) = k, v(k) = k u(k) = 1, v(k) = k şi se aplică rezultatul problemei anterioare Se derivează identitatea n k=1 kx = (n+1)x x x 1 şi se particularizează x = 1 3 Notând cu S suma căutată, au loc egaliăţile S = + + + n n n+1 = + + + n Înmulţind prima egalitate cu şi adunând rezultă ecuaţia în S 4 Au loc egalităţile S = S + n+1 = S + n n+1 + + 3 + + n 1 + n + + + 3 + + n 1 + n + + 3 + + n 1 + n + + n 1 + n + + n = = ( n 1) + ( n 1 1) + 3 ( n 1) + + n 1 ( 1) + n ( 1) = P 16 Să se arate că = n n+1 ( + + + n ) = ( ) 1 0 0 0 0 ( 0 ) ( ) 1 1 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) 0 = 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n 0 1 n = ( ) 0 0 0 0 ( 0 ) ( ) 1 1 0 0 ( 0 ) ( 1 ) ( ) 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( n n n n ( 1) n ( 1) 0 n 1 ( 1) 1 n n )

13 TRANSFORMAREA Z 7 şi Indicaţie Se scriu matriceal relaţiile s ( ) s x s = ((x 1) + 1) s = (x 1) i, s = 0, 1,, n, i (x 1) s = i=0 s ( s ( 1) s i i i=0 ) x i, s = 0, 1,, n P 17 Să se rezolve şi să se discute în funcţie de parametrul p ecuaţia cu diferenţe u n+ pu n+1 + u n = 0 P 18 Să se rezolve ecuaţia cu diferenţe u n+ u n+1 6u n = n+ P 19 Să se rezolve sistemul x 1 x = 1 x i 1 +x i x i+1 = i i n 1 x n 1 +x n = n Indicaţie 1 Sistemul are soluţie unică Determinantul sistemului este 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 n = 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 care dezvoltat după prima linie conduce la formula de recurenţă n = n 1 n Soluţia ecuaţiei cu diferenţe este n = C 1 +C n Deoarece = 3, 3 = 4 se obţine n = n + 1 Se rezolvă ecuaţia cu diferenţe x k+1 x k + x k 1 = k, k N Determinăm sistemul fundamental al ecuaţiei cu diferenţe omogene corespunzătoare: (u 0 k ) k N, (u 1 k ) k N care satisface condiţiile iniţiale Se obţine u 0 0 = 1 u 0 1 = 0 u 1 0 = 0 u 1 1 = 1 u 0 k = 1 k u 1 k = k Utilizând formula (118) rezultă u k = v 0 (1 k) + v 1 k k3 k 6 3 Impunând condiţiile x 0 = 0 şi x n+1 = 0 găsim v 0 = 0, v 1 = n +n avem x k = k((n + 6 1) k ) 6 În final

8 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE P 110 Să se rezolve sistemul a 1 a 0 +a 1 = 0 a i 1 +4a i +a i+1 = 6y i a n 1 a n +a n+1 = 0 unde (y i ) 0 i n sunt numere date Indicaţie 1 Din primele două ecuaţii { a 1 a 0 +a 1 = 0 a 1 +4a 0 +a 1 = 6y 0 i {0, 1, n}, rezultă a 0 = y 0 Asemănător, din ultimele două ecuaţii rezulta a n = y n Astfel sistemul se rescrie sub forma a 0 = y 0 a i+ +4a i+1 +a i = 6y i+1 0 i n a n = y n Soluţia ecuaţiei cu diferenţe a i+ + 4a i+1 + a i = f i+ = 6y i+1 este i a i = a 0 u 0 i + a 1 u 1 i + f k+ u 1 i k 1, i (1) k=0 (u 0 i ) i N, (u 1 i ) i N sunt soluţii ale ecuaţei cu diferenţe omogene care verifică condiţiile iniţiale u 0 0 = 1 u 1 0 = 0 u 0 1 = 0 u 1 1 = 1 Prin calcul direct rezultă u 0 i = (( ( 1)k 1 + 3) k 1 ( ) 3) k 1 3 u 1 i = u 0 i+1 Valoarea pentru a 1 din (1) se obţine din ecuaţia Se obţin n a n = y n = a 0 u 0 i + a 1 u 1 i + f k+ u 1 n k 1 a 1 = y 0u 0 n y n 6 n u 0 n+1 k=0 k=0 y k+1u 0 n k i a i = y 0 u 0 i a 1 u 0 n+1 6 y i+1 u 0 i k, i =,, n 1 k=0,

13 TRANSFORMAREA Z 9 P 111 Puterea factorială a lui x de ordin n cu pasul h este definită prin x [n,h] = x(x h) (x (n 1)h), x [0,h] = 1 Pentru h = 1 se utilizează notaţia x [n] = x(x 1 (x n + 1) Să se arate că n x [n,h] = n h x [n 1,h] P 11 Dacă P P n atunci are luc egalitatea n k h P (x) = P (0) x [k,h] h k k! k=0 Indicaţie 1 = x [0,h], x [1,h],, x [n,h] sunt polinoame de grad respectiv 0, 1,, n În consecinţă are loc reprezentarea P (x) = n k=0 c kx [k,h] Calculăm n n j h P (x) = c k j h x[k,h] = c k A j k j h x[k j,h] k=j Pentru x = 0 se obţine j h P (0) = c jj!h j P 113 Numerele lui Stirling de speţa întâi S n i şi de speţa a doua Si n sunt introduse prin n n x [n] = S nx i i, x n = S i nx [i] i=1 Să se demonstreze formulele de recurenţă S i n+1 = k=j i=1 S i 1 n n S i n, S0 n = δ n,0, S i n = i Si n 1 + Si 1 n 1, S0 n = δ n,0 ( Indicaţie 1 Si n = ) 1 i! x [n] (i) x=0 Derivând de i ori egalitatea x [n+1] = x [n] (x n) se obţine ( ) (x [n+1] (i) ( ) = x [n] (i) ( ) (x n) + i x [n] (i 1) Pentru x = 0 rezultă ( (x [n+1]) (i) x=0 = i ( x [n]) (i 1) x=0 n ( x [n]) (i) x=0 şi se împarte la i! Si n = 1 i! i x n x=0 Calculăm i pentru produsul x n = x n 1 x i x n = i i 1 x n 1 + i x n 1 (x + i) Pentru x = 0 rezultă i x n x=0 = i i 1 x n 1 x=0 + i i x n 1 x=0 şi se împarte la i!

30 CAPITOLUL 1 DIFERENŢE FINITE P 114 Să se arate că n q(q 1) (q i+1)(q i 1) (q n)dq = ( 1) n i 0 j=0 k=0 n Indicaţie 0 0 i n i S j S k j!k!n j+k+1 i n i (j + k + 1)! n q(q 1) (q i + 1)(q i 1) (q n)dq = ( 1) n i q [i] (n q) [n i] dq = i n i = ( 1) n i S j S k i n i j=0 k=0 n 0 q j (n q) k dq P 115 Să se arate că S 0 0 S 0 1 S 1 1 1 = S 0 0 S 0 1 S 1 1 S 0 n S 1 n Sn n S 0 n S 1 n Sn n

Capitolul Elemente din teoria interpolării Fie X o mulţime şi funcţia f : X R cunoscută numai prin valorile ei într-un număr finit de puncte x 1, x,, x n din mulţimea X: y i = f(x i ), i {1,,, n} O mulţime F de funcţii reale definite în X este interpolatoare de ordin n dacă pentru orice sistem de n puncte distincte x 1, x,, x n din X şi oricare ar fi numerele reale y 1, y,, y n există în F o singură funcţie care în punctele x i ia respectiv valorile y i, pentru orice i {1,,, n} În acest cadru problema de interpolare are următorul enunţ: Dându-se mulţimea interpolatoare F de ordinul n în X şi perechile (x i, y i ) X R, i {1,,, n}, cu proprietatea că i j x i x j, să se determine aceea funcţie ϕ F care în punctele x i ia respectiv valorile y i : y i = ϕ(x i ), i {1,,, n} Funcţia de interpolare ϕ şi f au aceleaşi valori în punctele {x 1, x,, x n } Se consideră că ϕ este o aproximare a funcţiei f Din punct de vedere teoretic se ridică următoarele probleme: Precizarea unor mulţimi interpolatoare (problema existenţei funcţiei de interpolare); Determinarea funcţiei de interpolare; Evaluarea diferenţei dintre o funcţie şi funcţia de interpolare corespunzătoare 1 Sisteme Cebîşev Considerăm funcţiile reale definite în intervalul compact [a, b] f 1, f,, f n (1) 31

3 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII Sistemul de funcţii (1) este liniar independent dacă egalitatea n λ i f i (x) = 0, x [a, b] i=1 are loc numai pentru λ 1 = = λ n = 0 Teorema 11 Sistemul de funcţii (1) este liniar independent dacă există un sistem de puncte a x 1 < x < x n b astfel încât determinantul ( ) f 1 (x 1 ) f (x 1 ) f n (x 1 ) f1, f V,, f n = f 1 (x ) f (x ) f n (x ) x 1, x,, x n 0 f 1 (x n ) f (x n ) f n (x n ) Demonstraţie Presupunem prin absurd, că sistemul de funcţii (1) este liniar independent ( şi că pentru orice sistem ) de puncte a x 1 < x < x n b are loc f1, f egalitatea V,, f n = 0 x 1, x,, x n Atunci max{rang(f i (x j )) 1 i,j n : a x 1 < x < < x n b} = m n 1 Există punctele a x 0 1 < x 0 < < x 0 n b astfel încât rang(f i (x 0 j)) 1 i,j n = m şi λ 1, λ,, λ n o soluţie nebanală a sistemului algebric de ecuaţii liniare λ 1 f 1 (x 0 1) + λ f (x 0 1) + + λ n f n (x 0 1) = 0 λ 1 f 1 (x 0 ) + λ f (x 0 ) + + λ n f n (x 0 ) = 0 λ 1 f 1 (x 0 n) + λ f (x 0 n) + + λ n f n (x 0 n) = 0 Deoarece rangul matricei (f i (x 0 j)) 1 i,j n este m, între vectorii v i = (f 1 (x 0 i ), f (x 0 i ),, f n (x 0 i )), i = 1,,, n există m vectori liniari independenţi Putem presupune că aceştia sunt printre v 1,, v n 1 Atunci pentru orice x [a, b] are loc egalitatea n i=1 λ if i (x) = 0 Într-adevăr matricea f 1 (x 0 1) f (x 0 1) f n (x 0 1) f 1 (x 0 n 1) f (x 0 n 1) f n (x 0 n 1) f 1 (x) f (x) f n (x)

1 SISTEME CEBÎŞEV 33 are rangul cel mult egal cu m Dacă v = (f 1 (x), f (x),, f n (x)) atunci există constantele µ 1, µ,, µ n 1 astfel încât v = n 1 i=1 µ iv i sau pe componente n 1 f j (x) = µ i f j (x 0 i ), j = 1,,, n i=1 Înmulţind relaţiile de mai sus, respectiv cu λ 1,, λ m şi sumând obţinem n λ j f(x j ) = j=1 n n 1 n µ i f j (x 0 i ) = µ i λ j f(x 0 i ) = 0 λ j n 1 j=1 i=1 i=1 j=1 În acest fel se contrazice independenţa familiei de funcţii (1) Reciproc, să( presupunem că există) sistemul de puncte a x 1 < x < x n f1, f b astfel încât V,, f n 0 x 1, x,, x n Dacă familia de funcţii (1) nu ar fi liniar independentă atunci ar exista constantele λ 1,, λ n, nu toate nule astfel încât n i=1 λ if i (x) = 0, x [a, b] În particular, sistemul omogen λ 1 f 1 (x 1 ) + λ f (x 1 ) + + λ n f n (x 1 ) = 0 λ 1 f 1 (x ) + λ f (x ) + + λ n f n (x ) = 0 λ 1 f 1 (x n ) + λ f (x n ) + + λ n f n (x n ) = 0 în necunoscutele λ 1,, λ n admite ( o soluţie nebanală, ) cea ce contrazice ipoteza f1, f făcută asupra determinantului V,, f n x 1, x,, x n Definiţie 11 Sistemul de funcţii (1) este un sistem Cebîşev dacă pentru orice sistem de puncte a x 1 < x < < x n b determinantul ( ) f1, f V,, f n x 1, x,, x n este diferit de zero Observaţie 11 Orice sistem Cebîşev este alcătuit din funcţii liniar independente Observaţie 1 În orice interval [a, b] funcţiile 1, x, x,, x n sistem Cebîşev formează un

34 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII Fie F = span{f 1, f,, f n } spaţiul liniar generat de funcţiile (1) Teorema 1 (Condiţia lui Haar) Sistemul (1) formează un sistem Cebîşev dacă şi numai dacă orice funcţie din F \ {0} se anulează cel mult în n 1 puncte din [a, b] Demonstraţie Să presupunem că familia de funcţii (1) formează un sistem Cebîşev şi că există o funcţie f F \ {0} care se anulează cel puţin în n puncte a x 1 < x < < x n b adică n f(x j ) = c i f i (x j ) = 0, j {1,,, n} () i=1 În acest caz relaţiile () privite ca un sistem algebric de ecuaţii ( liniare şi omogene) f1, f în necunoscutele c 1,, c n admit o soluţie nebanală, deci V,, f n = x 1, x,, x n 0, ceea ce contrazice definiţia unui sistem Cebîşev Reciproc, presupunem că orice funcţie din F \ {0} se anulează cel mult în n 1 puncte din [a, b] şi prin ( absurd, că există sistemul ) de puncte a x 1 < x < f1, f < x n b astfel încât V,, f n = 0 Atunci sistemul algebric x 1, x,, x n de ecuaţii liniare λ 1 f 1 (x 1 ) + λ f (x 1 ) + + λ n f n (x 1 ) = 0 λ 1 f 1 (x ) + λ f (x ) + + λ n f n (x ) = 0 λ 1 f 1 (x n ) + λ f (x n ) + + λ n f n (x n ) = 0 în necunoscutele λ 1,, λ n admite o soluţie nebanală Cu această soluţie nebanală definim f = n i=1 λ if i f aparţine mulţimii F \ {0} şi se anulează în punctele x 1,, x n Acest fapt contrazice ipoteza făcută, deci familia de funcţii (1) formează un sistem Cebîşev Teorema 13 Dacă familia de funcţii (1) formează un sistem Cebîşev în [a, b] atunci F formează o familie interpolatoare de ordin n în [a, b] Demonstraţie Fie a x 1 < x < < x n b şi numerele reale y 1, y,, y n Considerăm sistemul algebric de ecuaţii liniare c 1 f 1 (x 1 ) + c f (x 1 ) + + c n f n (x 1 ) = y 1 c 1 f 1 (x ) + c f (x ) + + c n f n (x ) = y (3) c 1 f 1 (x n ) + c f (x n ) + + c n f n (x n ) = y n

1 SISTEME CEBÎŞEV 35 ( ) f1, f în necunoscutele c 1, c,, c n Determinantul sistemului V,, f n x 1, x,, x n este diferit de 0, deci (3) admite o soluţie unică c 1, c,, c n Funcţia f = n i=1 c if i satisface condiţiile de interpolare f(x i ) = y i, i {1,,, n} Observaţie 13 Condiţia ca o familie de funcţii (1) să formeze un sistem Cebîşev este echivalentă cu condiţia lui Haar sau cu proprietatea de a fi interpolatoare de ordin n pentru spaţiul liniar F Pentru funcţia f F care satisface condiţiile de interpolare f(x i ) = y i i {1,,, n} (4) folosim notaţia L(F; x 1,, x n ; y 1,, y n ) Dacă y 1,, y n sunt valorile unei funcţii ϕ, respectiv în punctele x 1,, x n, atunci notaţia folose L(F; x 1,, x n ; ϕ) Teorema 14 Dacă familia de funcţii (1) formează un sistem Cebîşev în [a, b] atunci soluţia problemei de interpolare (4) este sau L(F; x 1,, x n ; y 1,, y n )(x) = n i=1 y i 1 ( ) (5) f1, f V,, f n x 1, x,, x n f 1 (x 1 ) f (x 1 ) f n (x 1 ) f 1 (x i 1 ) f (x i 1 ) f n (x i 1 ) f 1 (x) f (x) f n (x) f 1 (x i+1 ) f (x i+1 ) f n (x i+1 ) f 1 (x n ) f (x n ) f n (x n ) 1 L(F; x 1,, x n ; y 1,, y n )(x) = ( ) (6) f1, f V,, f n x 1, x,, x n n f 1 (x 1 ) f i 1 (x 1 ) y 1 f i+1 (x 1 ) f n (x 1 ) f i (x) f 1 (x n ) f i 1 (x n ) y n f i+1 (x n ) f n (x n ) i=1

36 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII Demonstraţie Potrivit teoremei (13) problema de interpolare (4) are o soluţie L(x) = L(F; x 1,, x n ; y 1,, y n )(x) care verifică egalitatea L(x) f 1 (x) f (x) f n (x) y 1 f 1 (x 1 ) f (x 1 ) f n (x 1 ) = 0 (7) y n f 1 (x n ) f (x n ) f n (x n ) Într-adevăr, determinantul dezvoltat după prima linie este o funcţie din F Acestă funcţie se anulează în x 1,, x n şi atunci, potrivit teoremei (1), determinantul este nul pentru orice x [a, b] Descompunem (7) într-o sumă de doi determinanţi + L(x) f 1 (x) f (x) f n (x) 0 f 1 (x 1 ) f (x 1 ) f n (x 1 ) 0 f 1 (x n ) f (x n ) f n (x n ) 0 f 1 (x) f (x) f n (x) y 1 f 1 (x 1 ) f (x 1 ) f n (x 1 ) y n f 1 (x n ) f (x n ) f n (x n ) + (8) = 0 Dezvoltând al doilea determinant din (8) după prima coloană obţinem ( ) f1, f L(x)V,, f n + x 1, x,, x n f 1 (x) f (x) f n (x) f 1 (x 1 ) f (x 1 ) f n (x 1 ) n + ( 1) i y i f 1 (x i 1 ) f (x i 1 ) f n (x i 1 ) = 0 i=1 f 1 (x i+1 ) f (x i+1 ) f n (x i+1 ) f 1 (x n ) f (x n ) f n (x n ) de unde se obţine imediat (5) Relaţia (6) se obţine analog, dezvoltând al doilea determinant din (8) după prima linie ( ) f1, f Teorema 15 Dacă V, f n 0 şi y x 1, x, x 1, y,, y n R atunci n există o singură funcţie L F astfel încât L(x i ) = y i, i {1,,, n}

1 SISTEME CEBÎŞEV 37 Demonstraţie Reprezentarea L = n i=1 c if i şi condiţiile de interpolare conduc la sistemul algebric de ecuaţii liniare n c i f i (x j ) = y j, j {1,,, n}, (9) i=1 ( ) f1, f a cărui determinant V, f n este diferit de zero x 1, x, x n ( ) f1, f Teorema 16 Dacă V, f n 0, y x 1, x, x 1, y,, y n R iar L F n este funcţia de interpolare pentru care L(x i ) = y i, i {1,,, n} atunci L(x) f 1 (x) f n (x) y 1 f 1 (x 1 ) f n (x 1 ) = 0 (10) y n f 1 (x n ) f n ( n ) Demonstraţie Din (9) se obţine f 1 (x 1 ) f i 1 (x 1 ) y 1 f i+1 (x 1 ) f n (x 1 ) f 1 (x n ) f i 1 (x n ) y n f i+1 (x n ) f n (x n ) c i = ( ) f1, f V, f n x 1, x, x n care dezvoltat după coloana i conduce la c i = V 1 ( ) f1, f, f n x 1, x, x n n ( 1) i+j y j V j=1 ( f1, f i 1, f i+1, f n x 1, x j 1, x j+1, x n ) Prin urmare L(x) = V n n f i (x) ( 1) i+j y j V i=1 j=1 1 ( ) f1, f, f n x 1, x, x n ( f1, f i 1, f i+1, f n x 1, x j 1, x j+1, x n ) =

38 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII = V 1 ( f1, f, f n x 1, x, x n ) n j=1 y j f 1 (x 1 ) f n (x 1 ) f 1 (x j 1 ) f n (x j 1 ) f 1 (x) f n (x) f 1 (x j+1 ) f n (x j+1 ) f 1 (x n ) f n (x n ) egalitate echivalentă cu (10) Interpolare Lagrange Particularizăm rezultatele secţiunii anterioare pentru sistemul Cebîşev alcătuit din funcţiile 1, x, x,, x n În acest caz F coincide cu mulţimea polinoamelor de grad cel mult n, P n Mulţimea P n este interpolatoare de ordinul n + 1 pe orice mulţime de puncte care conţine cel puţin n + 1 puncte distincte Problema de interpolare corespunzătoare se numeşte problema de interpolare Lagrange, iar soluţia ei polinomul de interpolare Lagrange Teorema 1 Expresia polinomului de interpolare Lagrange este L(P n ; x 1,, x n ; y 1,, y n )(x) = (11) n+1 (x x 1 ) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n+1 ) = y i (x i x 1 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n+1 ) i=1 Demonstraţie Determinantul V ) revine la determinantul lui Vandermonde V (x 1, x,, x n ) = ( 1, x,, x n x 1, x,, x n 1 x 1 x n 1 1 x x n 1 x n+1 x n n+1 = 1 j<i n+1 (x i x j )

3 INTERPOLAREA LAGRANGE-HERMITE 39 Utilizând (5) găsim 1 x 1 x n 1 1 x i 1 x n i 1 1 x x n 1 x i+1 x n i+1 1 x n+1 x n n+1 ( ) = V (x 1,, x i 1, x, x i+1,, x n+1 = 1, x,, x n V (x 1,, x i 1, x i, x i+1,, x n+1 V x 1, x,, x n = (x x 1) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n+1 ) (x i x 1 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n+1 ) i = 1,,, n + 1 Polinoamele l i (x) = (x x 1)(x x i 1 )(x x i+1 )(x x n+1 ) (x i x 1 )(x i x i 1 )(x i x i+1 )(x i x n+1, i {1,,, n + 1} se ) numesc polinoamele fundamentale Lagrange şi verifică relaţiile l i (x j ) = δ i,j, i, j {1,,, n + 1} 3 Interpolarea Lagrange-Hermite Date fiind nodurile de interpolare x 1 < x < < x n+1, numerele naturale r 1, r,, r n+1 şi numerele reale f (k) (x i ), k {0, 1,, r i }, i {1,,, n + 1}, ne propunem să determinăm un polinom H(x) care să satisfacă condiţiile: H (k) (x i ) = f (k) (x i ), k {0, 1,, r i }, i {1,,, n + 1} (1) Vom arăta că în mulţimea polinoamelor de grad cel mult m, P m, cu n+1 m + 1 = (r i + 1) (13) i=1 există un singur polinom ce satisface condiţiile de interpolare (1), îi vom determina forma şi vom evalua restul f(x) H(x), în ipoteza în care datele de interpolare corespund funcţiei f

40 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII Teorema 31 Dacă X şi Y sunt spaţii m dimensionale iar A (X, Y ) # este un operator liniar şi injectiv atunci A este bijectiv Demonstraţia 1 Fie e 1, e,, e m o bază în X Atunci Ae 1, Ae,, Ae m este o bază în Y Într-adevăr, dacă m i=1 λ iae i = 0, atunci datorită liniarităţii A( m i=1 λ ie i ) = 0 şi a injectivităţii m i=1 λ ie i = 0, deci λ 1 = λ = = λ m = 0 Dacă y Y, atunci există constantele c 1, c,, c m astfel încât y = m m c i Ae i = A( c i e i ), i=1 i=1 adică surjectivitatea operatorului A Demonstraţia Putem identifica A printr-o matrice din M n (R) Deoarece operatorul A este injectiv Ker(A) = {0} Din 117 rezultă că dim(im(a)) = n adică operatorul A este surjectiv Teorema 3 Problema de interpolare Lagrange - Hermite are soluţie unică în mulţimea polinoamelor de grad cel mult m, P m, (13) Demonstraţie Definim operatorul A : P m R m+1 prin A(p) = (p(x 1 ), p (x 1 ),, p (r 1) (x 1 ),, p(x n+1 ), p (x n+1 ),, p (r n+1) (x n+1 )) (14) A este liniar şi injectiv Într-adevăr, dacă A(p) = 0, cu p P m atunci polinomul u(x) = n+1 i=1 (x x i) r i+1 divide polinomul p Deoarece n+1 grad(u) = (r i + 1) = m + 1 > grad(p), i=1 rezultă că p = 0 Din (31), rezultă că operatorul A este bijectiv, deci există un singur polinom H P m astfel încât A(H) = (f (0) (x 1 ), f (1) (x 1 ),, f (r 1) (x 1 ),, f (0) (x n+1 ), f (1) (x n+1 ),, f (r n+1) (x n+1 ))

3 INTERPOLAREA LAGRANGE-HERMITE 41 sau H (k) (x i ) = f (k) (x i ), k {0, 1,, r i }, i {1,,, n + 1} Introducem notaţiile: u(x) = u i (x) = n+1 (x x i ) r i+1 i=1 (15) u(x) (x x i ) r i+1 (16) Teorema 33 Expresia polinomului de interpolare Lagrange Hermite, soluţia problemei de interpolare Lagrange Hermite este n+1 r i H(x) = f (j) (x i )h i,j (x), (17) i=1 j=0 unde h i,j (x) = u i (x) (x x i) j j! r i j k=0 ( 1 ) (k) u i (x) (x x i )k x=x i k! Demonstraţie Fie (e i,j ) 1 i n+1, 0 j ri baza canonică în R m+1 Pentru fiecare i {1,,, n + 1}, j {0, 1,, r i } există polinomul h i,j P m astfel încât A(h i,j ) = e i,j, unde A este operatorul definit în (14) Atunci A(H) = (f (0) (x 1 ), f (1) (x 1 ),, f (r 1) (x 1 ),, f (0) (x n+1 ), f (1) (x n+1 ),, f (r n+1) (x n+1 )) = n+1 r i n+1 r i f (j) (x i )e i,j = f (j) (x i )A(h i,j ) = i=1 j=0 n+1 = A( i=1 i=1 r i j=0 j=0 f (j) (x i )h i,j ) Injectivitatea operatorului A implică (17) Din definiţia polinomului h i,j, rezultă că h i,j se divide prin u i (x)(x x i ) j Prin urmare h i,j (x) = u i (x)(x x i ) j g i,j (x), (18)

4 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII unde g i,j este un polinom a cărui grad este gradg i,j = gradh i,j gradu i j = m ((m + 1) (r i + 1)) j = r i j Polinomul g i,j se poate scrie Din (18) găsim r i j g i,j (x) = k=0 g (k) i,j (x i) (x x i) k k! (x x i ) j 1 g i,j (x) = h i,j (x) u i (x) şi derivând de j + k, potrivit formulei lui Leibniz, obţinem j+k ( j + k s s=0 ) j+k ((x x i ) j ) (s) g (j+k s) i,j (x) = s=0 ( j + k s ) ( ) (s) h (j+k s) 1 i,j (x) u i (x) Pentru x = x i singurul termen diferit de 0 în membrul stâng se obţine pentru s = j iar în membrul drept, datorită definiţiei lui h i,j, singurul termen diferit de 0 se obţine pentru s = k Rezultă de unde ( ) (k) j!g (k) i,j (x i) = h (j) 1 i,j u i (x) x=x i g (k) i,j (x i) = 1 ( ) (k) 1, j! u i (x) x=x i k {0, 1,, r i j} Teorema 34 Dacă f este o funcţie de m + 1 ori derivabilă în intervalul I = (min{x, x 1,, x n+1 }, max{x, x 1,, x n+1 }) atunci există ξ I astfel încât f(x) H(x) = u(x) f (m+1) (ξ) (m + 1)! (19) Demonstraţie Funcţia F : R R definită prin F (z) = u(z) f(z) H(z) u(x) f(x) H(x)

3 INTERPOLAREA LAGRANGE-HERMITE 43 admite zerourile x, x 1,, x n+1 cu ordinele de multiplicitate, respectiv 1, r 1 + 1,, r n+1 + 1 Spunem că F se anulează în 1 + n+1 i=1 (r i + 1) = m + puncte Din teorema lui Rolle rezultă că există ξ I astfel încât F (m+1) (ξ) = 0 Dar F (m+1) (ξ) = (m + 1)!(f(x) H(x)) f (m+1) (ξ)u(x) = 0, de unde se deduce (19) Cazuri particulare importante 1 Polinomul Taylor Fie n = 0 şi notăm x 1 = a, r 1 = r polinomul de interpolare H(x) satisface condiţiile În acest caz şi are expresia H (j) (a) = f (j) (a) j {0, 1,, r} H(x) = r f (j) (x a)j (a), j! j=0 ceea ce corespunde polinomului lui Taylor ataşat funcţiei f în punctul a, de grad r Polinomul lui Lagrange Dacă r i = 0, i = 1,,, n + 1 atunci regăsim polinomul de interpolare Lagrange i=1 n+1 H(x) = f(x i ) u i(x) u i (x i ) = i=1 n+1 = f(x i ) (x x 1) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n+1 ) (x i x 1 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n+1 ) = = L(P n, x 1,, x n+1, f)(x) 3 Polinomul lui Fejér Fie r i = 1, i = 1,,, n + 1 Introducând notaţiile w(x) = n+1 i=1 (x x i) w ( x) = w(x) l i (x) = w i(x) w i (x i ) = x x i i {1,,, n + 1} w(x) (x x i )w (x i i {1,,, n + 1} ) găsim u(x) = w (x) şi u i (x) = wi (x), i {1,,, n + 1} Atunci ( ) 1 h i,0 (x) = wi (x) wi (x i) + (x x 1 i)( wi (x)) x=x i =

44 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII şi ( 1 = wi (x) ( = w i (x) wi (x 1 (x x i ) w (x i ) i) w (x i ) ) wi (x i) (x x i) w i(x i ) wi 3(x = i) ) = li (x) ( 1 (x x i ) w (x i ) w (x i ) h i,1 (x) = wi 1 (x)(x x i ) wi (x i) = l i (x)(x x i ) Expresia polinomului de interpolare devine i=1 ), n+1 n+1 H(x) = f(x i )h i,0 (x) + f (x i )h i,1 (x) = (0) i=1 n+1 ( ) = f(x i )li (x) 1 (x x i ) w (x i ) n+1 + f (x w i )li (x)(x x i ) (x i ) Acest polinom este cunoscut sub numele de polinomul lui Fejér 4 Polinomul de interpolarea Lagrange şi diferenţa divizată Scopul acestei secţiuni este reliefarea unor formule legate de polinomul de interpolare Lagrange Utilizăm notaţiile u(x) = u i (x) = n+1 (x x i ) r i+1 i=1 u(x) (x x i ) r i+1 l i (x) = (x x 1) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n+1 ) (x i x 1 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n+1 ) = Din (1) avem = u i(x) u i (x i ) = u(x) (x x i )u (x i ) i=1 n+1 L(P n ; x 1,, x n + 1; f)(x) = f(x i ) u i(x) u i (x i ) = (1) i=1 i=1

4 DIFERENŢE DIVIZATE 45 n+1 n+1 1 = u(x) f(x i ) (x x i )u (x i ) = f(x i )l i (x) i=1 Din teorema (34) deducem Teorema 41 Dacă f este o funcţie de n + 1 ori derivabilă în intervalul I = (min{x, x 1,, x n+1 }, max{x, x 1,, x n+1 }) atunci există ξ I astfel încât f(x) = L(P n ; x 1,, x n + 1; f)(x) + u(x) f n+1 (ξ) (n + 1)! () În particular, pentru f = 1 rezultă n+1 1 1 = L(P n ; x 1,, x n+1 )(x) = u(x) (x x i )u (x i ) (3) Împărţind (1) la (3) deducem formula baricentrică a polinomului de interpolare Lagrange i=1 i=1 L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) = n+1 f(x 1 ) i=1 (x x i )u (x i ) n+1 1 i=1 (x x i )u (x i ) (4) O metoda utilă de calcul se bazează pe formula de recurenţă a polinoamelor de interpolare Lagrange Teorema 4 Are loc formula L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) = (5) (x x n+1 )L(P n 1 ; x 1,, x n ; f)(x) (x x 1 )L(P n 1 ; x,, x n+1 ; f)(x) x 1 x n+1 Demonstraţie Funcţia din membrul drept al egalităţii (5) verifică condiţiile de interpolare ce definesc polinonul L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) Definiţie 41 Numim diferenţă divizată de ordin n a funcţiei f în nodurile x 1,, x n+1 coeficientul lui x n a polinomului de interpolare Lagrange L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) şi-l notăm [x 1,, x n+1 ; f]

46 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII Teorema 43 Are loc egalitatea L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) = (6) = L(P n 1 ; x 1,, x n ; f)(x) + (x x 1 ) (x x n )[x 1,, x n+1 ; f] Demonstraţie Funcţia L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) L(P n 1 ; x 1,, x n ; f)(x) (x x 1 ) (x x n )[x 1,, x n+1 ; f] reprezintă un polinom de grad cel mult n 1 care se anulează în n puncte distincte x 1,, x n ; deci este polinomul identic nul Un rezultat asemănător celui din (41) este Teorema 44 Are loc formula f(x) = L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) + u(x)[x, x 1,, x n+1 ; f] (7) Demonstraţie Polinomul de interpolare Lagrange al funcţiei f în nodurile x, x 1,, x n+1 verifică egalitatea (6) L(P n+1 ; x, x 1,, x n+1 ; f)(z) = = L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(z) + (z x 1 ) (z x n+1 )[x, x 1,, x n+1 ; f] Pentru z = x obţinem (7) În funcţie de diferenţe divizate, polinomul de interpolare Lagrange se scrie Teorema 45 (Forma lui Newton a polinomului de interpolare) Are loc formula L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) = (8) n = f(x 1 ) + (x x 1 ) (x x i )[x 1,, x i+1 ; f] i=1 Demonstraţie Potrivit (43) au loc succesiv egalităţile L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) = L(P n 1 ; x 1,, x n ; f)(x) +(x x 1 ) (x x n )[x 1,, x n+1 ; f] L(P n 1 ; x 1,, x n ; f)(x) = L(P n ; x 1,, x n 1 ; f)(x) +(x x 1 ) (x x n 1 )[x 1,, x n ; f] L(P 1 ; x 1, x ; f)(x) = L(P 0 ; x 1 ; f)(x) + (x x 1 )[x 1, x ; f]

4 DIFERENŢE DIVIZATE 47 care însumate dau (8) Punând în evidenţă coeficientul lui x n în (1), găsim următoarele formule de calcul pentru diferenţa divizată = n+1 i=1 [x 1,, x n+1 ; f] = (9) n+1 f i (x) (x i x 1 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n+1 ) = Stabilim proprietăţi ale diferenţei divizate i=1 n+1 f i (x) u i (x i ) = i=1 f(x i ) u (x i ) Teorema 46 Diferenţele divizate ale unei funcţii verifică formula de recurenţă [x 1,, x n+1 ; f] = [x 1,, x n ; f] [x,, x n+1 ; f] x 1 x n+1, (30) [x 1 ; f] = f(x 1 ) (31) Demonstraţie Potrivit (43) au loc dezvoltările L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) = = L(P n 1 ; x 1,, x n ; f)(x) + (x x 1 ) (x x n )[x 1,, x n+1 ; f] = = L(P n ; x,, x n ; f)(x) + (x x ) (x x n )[x 1,, x n ; f]+ +(x x 1 ) (x x n )[x 1,, x n+1 ; f] şi L(P n ; x 1,, x n+1 ; f)(x) = = L(P n 1 ; x,, x n+1 ; f)(x) + (x x ) (x x n+1 )[x 1,, x n+1 ; f] = = L(P n ; x,, x n ; f)(x) + (x x ) (x x n )[x,, x n+1 ; f]+ +(x x ) (x x n+1 )[x 1,, x n+1 ; f] Egalând cele două dezvoltări, după reducere şi simplificare obţinem [x 1,, x n ; f] + (x x 1 )[x 1,, x n+1 ; f] = = [x,, x n+1 ; f] + (x x n+1 )[x 1,, x n+1 ; f] de unde rezultă (30)

48 CAPITOLUL ELEMENTE DIN TEORIA INTERPOLĂRII Teorema 47 (Formula de medie) Dacă funcţia f admite derivate până la ordinul n în intervalul I = (min{x 1,, x n+1 }, max{x 1,, x n+1 }) atunci există ξ I astfel încât [x 1,, x n+1 ; f] = f (n) (3) n! Demonstraţie Fie x I Ţinând seama de (44) are loc egalitatea f(x) L(P n 1, x 1,, x n ; f)(x) = (x x 1 ) (x x n )[x, x 1,, x n ; f] (33) şi potrivit lui (41) există ξ I astfel încât f(x) L(P n 1, x 1,, x n ; f)(x) = (x x 1 ) (x x n ) f (n) (ξ) (34) n! Egalând (33) şi (34), pentru x = x n+1 obţinem (3) Observaţie 41 Dacă f C n (I) şi x I atunci Această observaţie justifică definiţia Definiţie 4 lim x1 x,,x n x[x 1,, x n+1 ; f] = f (n) (x) n! [x,, x; f] = f (n) (x) }{{} n! n+1 ori (35) Această definiţie permite definirea diferenţei divizare pe noduri multiple În prealabil stabilim Teorema 48 Fie nodurile x 1 1, x 1, x r 1+1 1 x 1, x, x r +1 x 1 n+1, x n+1, x r n+1+1 n+1