Glava 2 METODI APROKSIMACIJE AMPLITUDNIH I FAZNIH KARAKTERISTIKA ANALOGNIH FILTARA

Glava METODI APROKSIMACIJE AMPLITUDNIH I FAZNIH KARAKTERISTIKA ANALOGNIH FILTARA Projektovaje filtara, pojam pod kojim podrazumijevamo određivaje fukcije preoa itema a željeim karakteritikama, olikava ašu potrebu za idealim filtrom, koji bi trebao da bez labljeja propušta igale iz propuog opega, dok bi igali iz epropuom opega trebali biti bekoačo olabljei, tako da jihova amplituda a izlazu filtra bude jedaka uli. Takođe je poželjo potići da igali čije e ve frekvecijke kompoete alaze u propuom opegu prođu kroz filtar bez izobličeja. Međutim, fukcije preoa itema kojima realizujemo filtre u reale racioale fukcije kompleke učetaoti, a koačim brojem ula i polova. Prilikom projektovaja filtara realizibilih ovom klaom fukcija preoa, ideale karakteritike filtara ije moguće potići, već e oe mogu amo aprokimirati. Stoga i pecifikacije filtara moraju uzeti u obzir ove eidealoti, te e u jima avode graiče učetaoti propuih i epropuih opega, makimalo dozvoljeo labljeje u propuom i miimalo potrebo labljeje u epropuom opegu. Prilikom projektovaja, prvo e aprokimacioim metodima potiže željea amplituda karakteritika, a zatim e faza karakteritiku koriguje ekvalizatorima faze.

GLAVA. Fukcije preoa aalogih filtara Podjetimo e da je fukcija preoa liearih, vremeki ivarijatih itema, Y i Laplaove ikazaa kao količik Laplaove traformacije odziva traformacije ekitacije X ( ) pri ultim početim ulovima, zapravo količik dva polioma N( ) i D( ) a realim koeficijetima: H m m b m + bm + + b + + + Y N = = = X a a D, (.) tzv. reala racioala fukcija. Nako faktorizacije polioma u brojiku i aziviku, fukcija preoa e može zapiati u obliku: Y( ) ( z)( z) ( zm ) H( ) = = K. (.) X( ) ( p)( p) ( p ) Budući da u koeficijeti fukcije H( ) reali, jee ule i polovi dolaze u kojugovao komplekim parovima. Na Slici. je prikaza jeda mogući rapored ula i polova fukcije preoa u komplekoj ravi. jω -rava σ Slika. Mogući rapored ula i polova fukcije preoa u komplekoj ravi. 8

Metodi aprokimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara Korijei polioma D( ) u polovi fukcije preoa H. Gledao u komplekoj ravi, za tabile iteme vrijedi da e polovi fukcije preoa alaze u lijevoj poluravi, a karakteritiči poliom D( ) mora biti Hurvicov (Hurwitz) poliom, tj. imati ve koeficijete reale i pozitive, a korijee u lijevoj poluravi. Ako vi korijei polioma N( ) leže a imagiaroj oi ili u lijevoj poluravi kompleke ravi, fukcija preoa H( ) e aziva miimalo faza fukcija. Korijei polioma N( ) u ule fukcije preoa H( ). Sa taovišta amplitude karakteritike evažo je da li fukcija preoa ima ule koje leže u lijevoj ili u deoj poluravi, pod ulovom da u rapoređee a iti ači. Pod tim podrazumijevamo da ule iz jede poluravi predtavljaju liku u ogledalu ula iz druge poluravi, tj. da u oo imetriče u odou a imagiaru ou. Ipak treba voditi račua o tome da filtar a fukcijom preoa koja ima ule u lijevoj poluravi ima maju fazu, što u praktičim realizacijama zači maje kašjeje igala. Primjer.: Odrediti amplitude i faze karakteritike filtara čije u fukcije preoa + z z H ( ) = i H ( ) =, gdje u z i p reale i pozitive kotate. + p + p Rješeje: Oba zadata itema imaju itu amplitudu karakteritiku: H Ω + z Ω = Ω =, (.3) Ω + p H ali u im faze karakteritike različite: Ω Ω arg H arctg arctg z p ( Ω ) =, (.4) 9

GLAVA Kako je: lijedi: Ω Ω arg H arctg arctg z p ( Ω ) = π. (.5) Ω π arctg, (.6) z Ω arg Ω arg Ω =. (.7) H H π arctg z Dakle, item a fukcijom preoa koja ima ulu u deoj poluravi ima veću fazu. Razmatraje e lako proširi a iteme a više ula fukcije preoa. Da bi e olakšalo projektovaje filtara, vrši e ormalizacija kompleke učetaoti dijeljejem a pogodo odabraom ormalizujućom učetaošću Ω, koja je ajčešće jedaka graičoj učetaoti propuog opega: =. (.8) Ω Aalogo vrijedi za kružu učetaot. Normalizovau kružu učetaot ćemo ozačavati malim lovom ω, tako da je: Ω ω =. (.9) Ω Radi jedotavijeg potupka realizacije filtara vrši e i ormalizacija impedae dijeljejem vih impedai proizvoljo odabraom otporošću R, čime e dobijaju ormalizovae vrijedoti elemeata: R R =, (.) R L =, (.) L R Ω

Metodi aprokimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara C = CΩ R. (.) NP filtar kod koga je izvršea ormalizacija učetaoti i ormalizacija impedai zvaćemo NP prototip.. Specifikacija amplitude i faze karakteritike Zahtjevi koje treba da zadovolji filtar e običo zadaju u utaljeom taju, fukcijom preoa: gdje je a ul H = V V, (.3) izl ul = jω V ozačea Laplaova traformacija ulazog, a a V ( ) izlazog apoa a pritupim krajevima filtra. Modul ove fukcije preoa a imagiaroj oi: H H( ) j Ω = (.4) je amplituda karakteritika filtra, dok je je argumet a imagiaroj oi: = Ω ϕ ( Ω ) = arg( H( ) ) (.5) = jω faza karakteritika filtra. Za određivaje fukcije preoa filtra eophodo je potaviti zahtjeve koje filtar treba da zadovolji u pogledu amplitude i faze karakteritike. Uobičajeo je zahtjeve za amplitudu karakteritiku izražavati u decibelima: log [ db] gdje e a M ( Ω ) ozačava kriva pojačaja (magituda), a a M Ω = R Ω = H Ω, (.6) R Ω kriva labljeja filtra. Za kokretu učetaot govorimo o pojačaju, odoo labljeju filtra a toj učetaoti. Zahtjevima u pogledu amplitude karakteritike e zadaju graiče frekvecije propuih i epropuih opega, pojačaje jedomjere izl

GLAVA kompoete, dozvoljea odtupaja labljeja u propuim opezima i eophoda labljeja u epropuim opezima. Na Slici. prikaza je ači pecificiraja amplitude karakteritike za različite tipove filtara. Ovdje u a PO ozačei propui, a NPO epropui, a a TO prelazi opezi. Kruže učetaoti Ω p, Ω p i Ω pv u graiče učetaoti propuih, Ω, Ω i Ω v epropuih opega, dok R p, R p, R pv ozačavaju labljeja u propuim, a R, R, R v u epropuim opezima. Fukcija ikopropuog filtra je da proputi pektrale kompoete ikih frekvecija od jedomjerog igala do željee graiče frekvecije i da olabi viokofrekvecijke kompoete igala. Ovaj filtar e pecificira graičom učetaošću Ω p propuog, graičom učetaošću Ω epropuog opega, pojačajem jedomjere kompoete, te labljejima u propuom i epropuom opegu. Sličo e pecificira i viokopropui filtar. U praki, propui opeg viokopropuog filtra e e proteže do bekoačoti, već je ograiče parazitim kapacitivotima. Propuik i epropuik opega imaju po dva prelaza opega koji e moraju biti imetriči, ali u filtri a imetričim prelazim opezima jedotaviji za projektovaje. U ekim aplikacijama oblik faze karakteritike ije bita, te je dovoljo zadovoljiti zahtjeve za magitudu. Međutim, potoje lučajevi kada je eophodo voditi račua o obliku faze karakteritike, te e oim zahtjeva za amplitudu karakteritiku pecificira i željea faza karakteritika ili željeo grupo kašjeje, koje e defiiše a: ( Ω) dϕ τ ( Ω ) = dω. (.7) Ako item treba da obezbijedi ideala preo igala bez izobličeja, oda izlaz mora da bude avršea replika ulaza, evetualo pomože a ekom kotatom K i zakašje za eko τ, tj.: Fukcija preoa takvog itema je: yt () = Kxt ( τ ). (.8) Ke τ H =. (.9) Ovakav item ima kotatu amplitudu karakteritiku K, liearu fazu ϕ τ τ Ω = τ. karakteritiku ( Ω ) = Ω i kotato grupo kašjeje

Metodi apro okimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara ( Ω) log H Ω log H ( Ω) R p R p TO R R TO PO NPO NPO PO Ω p Ω Ω Ω Ω p Ω (a) (b)) ( Ω) log H Ω R p log H R p ( Ω ) R pv R TO O TO v R v TO O R TO v NPO O PO NPO O v PO NPO PO O v Ω Ω Ω p Ω pv Ω Ω v Ω Ω p Ω Ω v Ω pv Ω (c) (d)) Slika. Specifikacije amplitudih karakteritika filtara: (a) NPP filtar; (b) VP filtar; (c) filtar PO i (d) filtar NPO. 3

GLAVA U lučaju kada je faza karakteritika lieara: τ ϕ Ω = Ω, (.) ako pretpotavimo da je igal a ulazu filtra protoperiodiča fukcija: igal a izlazu će biti: () co x t = Ω t, (.) () co( ϕ ( ) ) co( τ ) co ( τ) xt = Ω t+ Ω = Ω t Ω = Ω t. (.) U ovom lučaju, kašjeje igala u vremeu τ pri prolaku kroz filtar jedako je grupom kašjeju za tu učetaot: dϕ τ( Ω ) = = τ. (.3) dω Ω=Ω Grupo kašjeje u ovom lučaju e zavii od učetaoti, što zači da ve frekvecijke kompoete igala podjedako kae pri prolaku kroz filtar. Pomatrajmo ada filtar a amplitudom karakteritikom koja je jedaka jediici i proizvoljim oblikom faze karakteritike. Amplitude pojediačih frekvecijkih kompoeti e eće promijeiti prolakom igala kroz ovakav filtar. Međutim, ako je faza karakteritika elieara, fazo kašjeje pojediačih frekvecijkih kompoeti igala ije podjedako, te dolazi do promjee oblika igala. Veza između fazog kašjeja, tj. vremekog pomaka pojediačih frekvecijkih kompoeti igala a izlazu filtra u odou a frekvecijke kompoete ulazog igala, i grupog kašjeja ije jedotava. Oa zavii od oblika krive grupog kašjeja, odoo faze karakteritike. Na primjer, ako je u okolii pomatrae učetaoti grupo kašjeje približo liearo, što zači da e faza karakteritika u okolii te učetaoti može približo opiati kvadratom zaviošću: ϕ( Ω ) = ( τ Ω ) Ω, (.4) približo fazo kašjeje ove frekvecijke kompoete igala e može odrediti iz: 4

Metodi aprokimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara xt t t τ t Ω () = co( Ω + ϕ ( Ω ) ) = co Ω Ω = coω( τ ) (.5) i izoi τ. Za fazu karakteritiku kvadratog oblika grupo kašjeje očitao a mjetu odgovarajuće frekvecijke kompoete igala približo je dva puta veće od jegovog fazog kašjeja: dϕ τ τ Ω = = Ω = τ. (.6) dω Ω=Ω Ω Što je eliearot faze karakteritike više izražea, to je teže a ovaj ači upotaviti vezu između fazog i grupog kašjeja, te ćemo objašjeje fizičkog začeja pojma grupog kašjeja potkrijepiti rezultatima imulacije. U fizičkom milu e grupo kašjeje može pomatrati kao kašjeje poropromjeljive avelope igala koji e atoji od frekvecijkih kompoeti iz ukog frekvecijkog opega. Kašjeje avelope igala približo je jedako grupom kašjeju očitaom a frekveciji oe kompoete igala koja e alazi u redii pomatraog frekvecijkog opega. Kako bimo ilutrovali začeje grupog kašjeja kao kašjeja avelope igala, pomatrajmo filtar a fazom karakteritikom i grupim kašjejem prikazaim a Slici.3. Dovedimo a ulaz filtra ložeoperiodiča igal koji e atoji od dvije kompoete učetaoti f = 43Hz i f = 47Hz iz opega gdje je faza karakteritika elieara i gdje karakteritika grupog kašjeja ima izražee vrhove. Frekvecija avelope ovog ložeoperiodičog igala izoi f = Hz : co(π 43) + co(π 47) = co(π )co(π 45). (.7) Iz rezultata imulacije e može zaključiti da avelopa ložeoperiodičog igala a izlazu kai u odou a avelopu ulazog igala za približo.6m koliko i izoi grupo kašjeje a učetaoti u redii pomatraog frekvecijkog opega, a učetaoti f = 45Hz. 5

GLAVA P h a e -d -d -d G r o u p D e l a y 3.m.m.m -7d Hz Hz 4Hz 6Hz 8Hz VP(RL:) Frequecy (a) Hz Hz 4Hz 6Hz 8Hz VG(RL:) Frequecy (b) A m p l i t u d e.v V -.V m 4m 6m 8m V(V_i:+) V(RL:) Time (c) Slika.3 (a) Faza karakteritika; (b) grupo kašjeje i (c) kašjeje avelope igala. Prilikom projektovaja filtara a zadatom amplitudom i fazom karakteritikom može e deiti da item ije miimalo fazi, tj. da fukcija preoa ima ule u deoj poluravi kompleke ravi. Malo kaije ćemo vidjeti da je a taovišta realizacije paivih filtara, koji e izvode u vidu ljetvičatih mreža, pogodo da ule fukcije preoa budu a imagiaroj oi. Zbog toga e fukcija preoa koja ima ule u deoj poluravi kompleke H, razdvaja a dvije ravi, tzv. emiimalo faza fukcija preoa fukcije preoa i zapiuje u obliku proizvoda miimalo faze fukcije H : preoa M H i fukcije preoa filtra vepropuika N SO 6

Metodi aprokimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara HN ( ) HM ( ) HSO( ) Prvo e realizuje miimalo faza fukcija preoa H =. (.8) M koja ipujava zahtjeve u pogledu amplitude karakteritike, a zatim e željea faza karakteritika potiže kakadim vezivajem filtra vepropuika opega HSO ( ). Kakadim vezivajem filtra vepropuika opega e e mijeja amplituda karakteritika prvog filtra, jer je fukcija preoa kakade veze jedaka proizvodu fukcija preoa u kakadoj vezi, a amplituda karakteritika filtra vepropuika opega je jedaka jediici za vaku učetaot. Razdvajaje fukcije preoa HN fazu fukciju preoa HM ( ) i fukciju preoa filtra vepropuika HSO ( ) projektovaog filtra a miimalo e vrši a ljedeći ači. Pomatrajmo prvo rapored ula i polova emiimalo faze fukcije HN ( ) u komplekoj ravi, kao a Slici.4. Dopuimo ovu liku polovima i ulama u tačkama koje predtavljaju like u ogledalu ula iz dee poluravi. Te dodate ule i polove mo ozačili a " ". Svepropua fukcija HSO ( ) e formira grupišući ule iz dee poluravi u poliom u brojiku NSO ( ), a polove koji u jihova lika u D : ogledalu iz lijeve poluravi u poliom u aziviku SO H SO ( ) Miimalo faza fukcija H N ( ) ( ) = SO D. (.9) SO M adrži preotale polove i ule iz lijeve poluravi (uključujući imagiaru ou). Fukcija preoa filtra vepropuika H SO ima ule u deoj poluravi i polove u lijevoj poluravi koji u lika u ogledalu ula iz dee poluravi, pa vrijedi da je: SO N =± D. (.3) SO 7

GLAVA dodate ule ipolovi jω -rava σ Slika.4 Potupak razdvajaja emiimalo faze fukcije preoa a miimalo fazu fukciju preoa i fukciju preoa filtra vepropuika. Amplituda karakteritika filtra a ovako formiraim poliomima u brojiku u aziviku jegove fukcije preoa je: H ( Ω ) =, Ω, (.3) te e zaita radi o filtru vepropuiku opega a frekvecijkom karakteritikom: Di ( Ω) jarctg D r ( Ω) HSO e gdje je Dr ( Ω ) reali, a Di ( Ω ) imagiari dio polioma SO Ω =, (.3) D Ω. Dakle, a ovaj ači možemo potići proizvolju fazu karakteritiku filtra, odoo željeo kašjeje, a da e pri tome e promijei prethodo potiguta amplituda karakteritika. Zbog toga e filtar vepropuik opega aziva i ekvalizator faze ili kašjeja. 8

Metodi aprokimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara.3 Aprokimacija amplitude karakteritike NP filtra Da bi realizacija filtara bila moguća liearim, vremeki ivarijatim električim mrežama, čije u fukcije preoa reale i racioale fukcije: H m m b m + bm + + b + + + Y N = = = X a a D, (.33) u itom obliku treba, a oovu potavljeih zahtjeva, odrediti i fukciju preoa filtra. Međutim, ovakvim oblikom fukcije preoa e e mogu potići frekvecijke karakteritike idealog filtra, već ih je moguće amo aprokimirati. Pri tome, kvadrat amplitude karakteritike ormalizovaog NP filtra: H ( ) ( ) ( ω ) N ω N ω N ω P = = = D D ω D ω E ω (.34) u propuom opegu ω treba da aprokimira jediicu uz makimalo dozvoljeo labljeje dato a Rp [ db ], dok u epropuom opegu ω > treba da aprokimira ulu a labljejem većim od miimalo propiaog labljeja, datog a R db. U prethodim relacijama mo koritili ozake: [ ] ( ω ) P = N N, (.35) ( ω ) E = D D. (.36) U daljjem izlagaju ećemo poebo aglašavati da li e radi o ormalizovaom ili eormalizovaom filtru jer a to ukazuju ame ozake koje e korite za učetaot kao ezaviu varijablu. Za ormalizovau kompleku učetaot ećemo uvoditi poebu ozaku, oim kada to bude eophodo, jer je koro uvijek iz kotekta jao da li e radi a ormalizovaim ili eormalizovaim komplekim učetaotima. Makimalo dozvoljeo labljeje u propuom opegu dato a R [ db ] određuje dozvoljeu valovitot opegu: ε amplitude karakteritike u propuom p 9

GLAVA.R R log log( ) p p = R p = + ε ε =. (.37) + ε Sličo, ako je miimalo propiao labljeje u epropuom opegu R [ db ], oda je dozvoljea valovitot δ amplitude karakteritike u epropuom opegu data a:.r R log log( ) = R = + δ δ =. (.38) + δ Na Slici.5 je prikazaa ideala amplituda karakteritika NP filtra i graice u kojima treba da e ađe amplituda karakteritika dobijea aprokimacioim metodama. Fukcije preoa drugih tipova filtara (VP filtra, filtra PO i filtra NPO) mogu e dobiti iz fukcije preoa NP filtra frekvecijkim traformacijama, o kojima će više riječi biti u daljjem tektu. Defiišimo karakteritiču fukciju K ( ) kao realu racioalu fukciju, takvu da je: H = + K Za karakteritiču fukciju K ( ) vrijedi da je: K. (.39) D ω N ω F ω ˆ ε = = =. (.4) H ω N ω N ω Dakle, karakteritiča fukcija K ( ) e defiiše tako da K ( ω ) aprokimira ulu u propuom opegu, uz dozvoljeu valovitot datu a ε, te da bude veće od miimalog propiaog labljeja u epropuom opegu datog a δ, kao a Slici.6. Opšti problem aprokimacije fukcije preoa NP filtra e vodi a proalažeje racioale karakteritiče fukcije:

Metodi aprokimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara H ( ω ) H + ε ω + δ ω ω (a) (b) Slika.5 (a) Amplituda karakteritika idealog NP filtra i (b) graice u kojima treba da e ađe amplituda karakteritika realog NP filtra. K δ PO NPO ε ωr ω ω r r3 ωz ωz ω Slika.6 Izgled karakteritiče fukcije a imagiaroj oi.

GLAVA takve da: K F = ε, (.4) N. F ( ) ima korijee a jω oi u propuom opegu,. N( ) ima korijee a jω oi u epropuom opegu, 3. K ε, ω, 4. K δ, ω ω. Nule polioma F ( ) u ule reflekije imamo idealu tramiiju igala r i ω r, tako da za igale tih učetaoti i H ω =. Nule polioma N u ule tramiije, ozačee a ω z. Sigali tih učetaoti uopšte e prolaze kroz filtar, i jer je H ( ω z i ) =. Iz Furijeove aalize zamo da je amplituda karakteritika itema a realim impulim odzivom para fukcija učetaoti. Nako određivaja kvadrata amplitude karakteritike H ω u obliku (.34), kao količik dva para polioma E( ) P ω i E ( ω ), te zamjee ω a treba faktorizovati, odoo apiati u obliku:, poliome P ( ) i P = N N, (.4) E = D D, (.43) kako bimo mogli odrediti racioalu fukciju H ( ) = N( ) D( ). Pri određivaju polioma D( ) iz (.43), koritimo čijeicu da poliom E( ), da bi bio para, mora imati korijee imetriče u odou a ihodište. Budući da D( ) mora biti Hurvicov poliom, o treba da adrži ve korijee od E( ) iz lijeve poluravi kompleke ravi. Poliom N ( ) je ekplicito određe izborom ula tramiije a jω oi u epropuom opegu:

Metodi aprokimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara m i, i (.44) i = ( + z ) N k ω gdje je k kotata, dok u ω z ule tramiije reda i m. Ako je m =, i, oda filtar ema koačih ula tramiije, tako da je N( ) H ( ) = k D( ). i i = k i Koeficijeti fukcije preoa u (.33) e mogu odrediti a oovu položaja ula i polova fukcije preoa u komplekoj ravi. Ovi koeficijeti u e raije zadavali tabelaro (ajčešće do reda ), dok e u ovije vrijeme za jihovo određivaje korite oftverki paketi, kao što je pr. MATLAB. Stepe u fukciji preoa filtra (.33) azivamo red filtra. Red filtra e bira u zavioti od toga kojom brziom treba da rate labljeje a viokim frekvecijama. Amplituda karakteritika filtra a viokim frekvecijama teži m uli a faktorom m db/dekadi: ω, a labljeje rate a log log log log m = ω H ( H ) m ( ω ) m m m ( m) = log log = log =. (.45).3. Batervortovi filtri Nikopropui Batervortovi (Stephe Butterworth, 885 958) filtri imaju makimalo ravu amplitudu karakteritiku u propuom opegu, što zači da je oa jedaka jediici za ω = (ideala tramiija jedomjere kompoete igala), i da u ve moguće derivacije greške tramiije, koja e defiiše a: jedake uli za ω =, tj.: K Δ ( ω ) = H = + K, (.46) K ( ) =, (.47) 3

GLAVA d i i ( dω ) K =, i =,,3, (.48) + K ω= Budući da je K ω količik dva polioma po K N( ω) ω, tj.: a + aω + a ω + + a ω = N 4, (.49) kako bimo zadovoljili avedee ulove mora biti a i =, i=,,,, odoo ve ule reflekije moraju biti u ihodištu, tako da je: H N = = + K ω N ω + a ω. (.5) Stepe polioma u aziviku mora biti bar za jeda veći od tepea m polioma u brojiku da bi tramiija bila jedaka uli kada. Dakle, za proizvolja poliom N( ), odoo za proizvolja et ula tramiije, možemo kotruiati NP fukciju preoa a makimalo ravom amplitudom karakteritikom u propuom opegu. Parametar a e određuje a oovu makimalog dozvoljeog labljeja u propuom opegu. Iz potavljeih zahtjeva da labljeje mootoo rate a učetaošću, a da e mije biti veće od makimalo dozvoljeog labljeja u propuom opegu datog preko valovitoti ε, za kvadrat amplitude karakteritike a graici propuog opega vrijedi: H =. (.5) + ε () Poredeći ovaj izraz a vrijedošću kvadrata amplitude karakteritike a graici propuog opega: H = () = a + N N H aω + (), (.5) 4

Metodi aprokimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara za NP filtar a makimalo ravom amplitudom karakteritikom dobijamo valovitot u propuom opegu: a.r ε = = p, (.53) N () što am omogućava da odredimo koeficijet a a oovu date vrijedoti labljeja N. R, ako mo prethodo odredili poliom ula tramiije p Veoma važa pecijali lučaj NP fukcije preoa a makimalo ravom amplitudom karakteritikom je fukcija preoa bez koačih ula tramiije, a N = : H ω = + εω. (.54) Amplitude karakteritike ormalizovaih NP filtara a makimalo ravom amplitudom karakteritikom i bez koačih ula tramiije za =, 3, 4 u prikazae a Slici.7. Za ovaj lučaj, kad labljeje mootoo opada a poratom učetaoti, red filtra e određuje iz ulova da labljeje a graičoj učetaoti epropuog opega ω treba da bude veće od propiaog miimalo potrebog labljeja R, a ljedeći ači: log H R log R, (.55) + εω.r ( + εω ) R ω ε ( ).R ω ε ( ) log log log, (.56).R ( ) log ε. (.57) logω 5

GLAVAA H ω + ε = 4 = 3 = ω Slika.7 Amp plitude karakteritike ormalizovaih NP filtara a mak kimalo ravom amplitudom karakteritikom u prop puom opegu i bez koačih ula tramiije za =, 3,4. Da bimo odredili lokacije polova ovog g filtra, u izrazu: ω) H H = H ( ω H ( ω) ) = + εω zamijeimo ω a i izje edačimo azivikk dobijeog izrazaa a ulom: (.58) Korijei ovog polioma u polovi preoe fukcije filtra: k = ( ) ε + ( ) ε + = e ε = =. j+ ( + + kk ) π Zadržavajući amo korijee iz lijeve poluravii imamo željee polove:, k. (.59) (.6) = ε k k + + j π e, k =,,,, (.6) rapoređee uiformo a radijuu polova za =,3,4 je dat a Slici.8. ε, a razmaku 8. Rap pored 6

Metodi aprokimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara π 4 π π jω jω jω 6 8 σ σ σ = = 3 = 4 Slika.8 Lokacije polova Batervortovog filtra za =,3,4..R Iz ε = p za ε = dobijamo da je Rp = 3 db labljeje a graici propuog opega, za ω =. Odgovarajući NP filtar bez koačih ula tramiije a makimalo ravom amplitudom karakteritikom ima fukciju preoa oblika: H( ) = (.6) + b + + b + i aziva e Batervortov (Butterworth) filtar. U literaturi e četo i oi filtri bez koačih ula tramiije a makimalo ravom amplitudom karakteritikom kod kojih je ε azivaju Batervortovi filtri. Koeficijeti b i e račuaju a oovu položaja polova u komplekoj ravi zavio od reda filtra. Nekada u ovi koeficijeti zadavai tabelaro, dok e u ovije vrijeme korite oftverki paketi koji olakšavaju ove proračue bez korišćeja tabela. Kako e pri određivaju reda filtra uzima prvi cio broj veći ili jedak dobijeom rezultatu za a oovu (.57), to zači da je itim redom filtra moguće zadovoljiti i trožije zahtjeve od potavljeih. Stoga je moguće, ako.r uvajaja vrijedoti za, a oovu izraza ε =, proaći ovu ω vrijedot za valovitot ε u propuom opegu, koja će oigurati labljeje a graici epropuog opega jedako miimalom dozvoljeom labljeju R. Pri tome e u propuom opegu dobije makimalo labljeje maje od oog 7

GLAVA određeog zahtjevima i prvobitom vrijedošću za ε, a učetaot a kojoj labljeje izoi makimalo dozvoljeih R p [db] potaje veća od jeda. Sa promjeom vrijedoti za ε mijeja e poluprečik kružice u komplekoj ravi a kojoj u rapoređei polovi preoe fukcije Batervortovog filtra, a amim tim i fukcija preoa filtra..3. Čebiševljevi filtri Pokazalo e mogo efikaijim, umjeto mootoo ratuće greške aprokimacije u propuom opegu kod filtara a makimalo ravom amplitudom karakteritikom, grešku aprokimacije raporediti ravomjero u propuom ili epropuom opegu. Filtre a jedolikim ocilacijama amplitude karakteritike azivamo Čebiševljevi (Pafuty Lvovich Chebyhev, 8-894) filtri ako je greška aprokimacije ravomjero rapoređea u propuom opegu, a iverzi Čebiševljevi filtri ako je greška aprokimacije ravomjero rapoređea u epropuom opegu. Čebiševljevi filtri Rapoređivajem greške aprokimacije ravomjero u cijelom propuom opegu ataju filtri a karakteritičom fukcijom K ( ) u obliku polioma koji ociluje uiformo između i ε u propuom opegu: gdje je: ε K = C, (.63) C za ω. (.64) Mi e ećemo zadržavati a rigorozim metodima za određivaje polioma C ω, ali je očito da poliom: co C = Φ (.65) ociluje uiformo između - i i to a ratućom frekvecijom kad rate. Iz pozatog matematičkog idetiteta koji e dokazuje idukcijom: 8

Metodi aprokimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara ( 3)( 5) 7 co 6 ( ω ) ( 3) co Φ = co Φ co Φ + co Φ!! 3 5 4 ω ω ω ω lijedi da je co Φ + 3! Čebiševljev poliom reda je: Φ poliom po ω ako je: C (.66) Φ ω = co ω, ω. (.67) ( ) ω = co co ω, ω. (.68) U epropuom opegu, za ω, co ω uvaja hiperbola koiua fukcija koja mootoo rate za ω > : C ch ( ch ω) ije defiiao, te e za C ( ω ) =. (.69) Prvih ekoliko Čebiševljevih polioma u propuom opegu ima oblik: C ( ω ) = co =, (.7) C ω = co co ω = ω, (.7) C ω ω ω ω = co co = co co = 3, (.7) 3 C3 ω = co 3 co ω = 3co co ω + 4 co co ω = 3ω + 4ω, (.73) C4 ω co 4 co ω 8ω 8ω Potoji rekurziva trigoometrijka relacija: 4 = = +. (.74) co + x = coxco x co x (.75) koja, kad e primijei a Čebiševljeve poliome, potaje: 9

GLAVA + ω =, C = ω. C = C C, =,, C Čebiševljev poliom -tog reda ima ljedeće oobie:. C za ω, dok je C ω > za ω,. C ( ω ) je mootoo ratući poliom za ω i za vako, 3. C 4. C 5. (.76) ω je para poliom ako je paro, a epara ako je eparo, = za paro, C = za eparo. Dakle, ako e za aprokimaciju amplitude karakteritike NP filtra korite Čebiševljevi poliomi, fukcija preoa NP filtra a jedolikim ocilacijama u propuom opegu i bez koačih ula tramiije e određuje iz: H = + ε C, (.77) gdje je C ( ω ) Čebiševljev poliom reda. Amplituda karakteritika Čebiševljevog filtra H ( ω ) ima jedolike ocilacije u cijelom propuom opegu. H ( ) = za eparo, a H ( ) ε = + za paro, dok je H () = + ε,. Dalje, H mootoo opada za ω >. Potoji kritičih tačaka u propuom opegu gdje H ( ω ) poprima makimalu ili miimalu vrijedot. Na Slici.9 prikazae u amplitude karakteritike ormalizovaih Čebiševljevih filtara za red filtra =,3,4. 3

Metodi apro okimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara H ( ω ) + + ε = 4 = 3 = ω Slika.9 Amplitude karakteritike ormalizovaih NP Čebiševljevih filtaraa za =, 3, 4. Polo ovi Čebiševljevog filtra e iz i kvad drata amp plitude karakteritike: H ( ω ) = + ε co co odre eđuju a ljedeći ači. Uvedimo ozaku: ( ω) ω (.78) tako da je: ξ = α + jββ = co j. (.79) = σ + jωω = ( j co α + jββ = ) j coα coh β + iαα ih β, (.8) odo oo: σ = iαα ih β, w = c coαα coh β, (.8) (.8) ( H ) H ( ) ) = H ( ω ω= j = + ε co (ξ. ) (.83) 3

GLAVA Lokacija polova Čebiševljevog filtra e određuje iz ulova da azivik fukcije preoa bude jedak uli: + ε ξ = + ε ξ ε ξ = ± ε ξ =, (.84) co j co j co j co odakle lijedi da je: j coξ = co( α + jβ) = coαcoh β ji αih β =±, (.85) ε co αcoh β = i αih β =±. (.86) ε Rješeja itema jedačia zapiaog a (.85) i (.86) u: k αk =± π, βk =± ih, k >, (.87) ε pa u reali i imagiari dijelovi polova od H( ) H( ) koji e alaze u lijevoj poluravi ljedeći: σ k k = π = ε ih ih i, k,,,, (.88) k ωk = π = ε coh ih co, k,,,. (.89) Koriteći idetitet i x+ co x=, možemo piati: σ k wk + =, (.9) ih ih coh ih ε ε što zači da polovi k = σ k + jω k leže a elipi čije u oe a = ih ih ε (kraća) i b = coh ih ε (duža). Sa pozatim polovima k, k =,,,, fukcija preoa Čebiševljevog filtra poprima oblik: 3

Metodi aprokimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara H ( ε ) = = + b + + b+ b ε ( k ) k =. (.9) Sličo kao kod Batervortovog filtra, koeficijeti b i e račuaju a oovu položaja polova u komplekoj ravi. Pri dizajiraju Čebiševljevog filtra imamo dva parametra: valovitot ε koja je određea makimalim dozvoljeim labljejem u propuom opegu.r ε = p i red filtra, koji e određuje iz ulova za labljeje R a graičoj učetaoti epropuog opega ω : log + ε C ( ω ).R ( p ) R, (.9) coh ε. (.93) coh ω Iverzi Čebiševljevi filtri Iverzi Čebiševljev filtar ima mootoo opadajuću amplitudu karakteritiku u propuom opegu i jedolike ocilacije u epropuom opegu, te koače ule tramiije, kao a Slici.. Kvadrat amplitude karakteritike ovog filtra je dat a: H ε C ( ω) = ε C +. (.94) Iverzi Čebiševljev filtar je jedako efikaa kao Čebiševljev filtar u milu da je iti red filtra potreba da e zadovolje potavljei zahtjevi za amplitudu karakteritiku. 33

GLAVAA H = 4 = 3 = + δ ω Slika. Amplitude karakteritike ormalizovaih NP iverzih Čebiševljevih filtara za =, 3, 4. Slika. Karakteritike grupog kašjeja filtara 8. reda za: (a) Čebiševljev i (b) iverzi Čeb biševljev filtar. Međutim, potoje velike razlike u jihovim fazim karakteritikama i grupom kašjeju. Čebiševljevi filtri u propuom opegu imaju izražeije varijacije grupog kašjeja ego iverzi Čebiševljevi filtri, Slik ka.. U ituacijamaa kada u male varijacije kašjeja veomv ma važe, kao što u itemi za preo like ili podataka, iverzi Čebiševljevii filtri imaju predot. 34

Metodi aprokimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara.3.3 Eliptički filtri Rapoređivajem greške aprokimacije i uutar propuog i uutar epropuog opega, uz ite potavljee zahtjeve dobija e maji red filtra u poređeju a filtrima a makimalo ravom amplitudom karakteritikom i filtrima a jedolikim ocilacijama. Rezultujuća karakteritiča fukcija K ( ) mora biti racioala fukcija a koačim ulama reflekije Karakteritiča fukcija: ω r i koačim ulama tramiije i ε ω z. i K = T (.95) a jedakim makimumima ε u propuom opegu i jedakim miimumima u epropuom opegu, može e otvariti eliptičkim fukcijama T ( ω ), te e rezultujući filtri, a kvadratom amplitude karakteritike: H = + ε T (.96) zovu eliptički filtri, ili Kauerovi (Wilhelm Cauer, 9-945) filtri. Eliptička (u T ω je data a: literaturi pozata i kao Čebiševljeva) racioala fukcija za paro, a a: T z ω ω ω i i= ω ωz i = k (.97) T ( ) i= ( z ) ω ω ω i ω ωz i = kω (.98) za eparo. Sve frekvecije u ormalizovae tako da je graica propuog opega ω =. Kotata k e određuje iz ulova da u makimumi ocilacija u p propuom opegu jedaki jediici, te valovitot ε određuje veličiu ocilacija u propuom opegu i račua e kao običo. 35

GLAVA Kada ivo ocilacija amplitude karakteritike u epropuom opegu teži ka uli, eliptički filtri potaju jedaki Čebiševljevim filtrima, a kada e gube ocilacije u propuom opegu, ovi filtri potaju iverzi Čebiševljevi filtri. Eliptički filtri teže Batervortovim filtrima kada ivoi ocilacija u oba opega, propuom i epropuom, teže ka uli. Ekplicito određivaje reda filtra je veoma teško i zahtijeva izračuavaje eliptičkih itegrala. Umjeto toga, četo e korite parametarke krive. U epropuom opegu je ε T, pa ako je R labljeje a graici epropuog opega za ω= ω, možemo upotaviti ljedeću relaciju između T ω, R i ε : + ε T T logε T ω logε log ω R = log H ω = log = log( + ε T ), (.99) = + tako da je: R + log log T. (.) ε Na oovu (.97) i (.98) e izračuaju Čebiševljeve racioale fukcije a T ω za različite vrijedoti reda filtra. graici epropuog opega ( ) Dobijee vrijedoti e porede a vrijedošću T ω koja e dobije u zavioti od miimalog propiaog labljeja u epropuom opegu i valovitoti ε, a oovu (.). Na taj ači e radi predikcija reda filtra, pa e zatim provjerava da li u ipujei vi potavljei zahtjevi. Ako iu, red filtra e povećava dok e e potigu željee karakteritike. Nako određivaja potrebog reda filtra, kada u pozati vi parametri, mogu e odrediti ule i polovi fukcije preoa H( ). Aalitički proračui položaja polova i ula u komplekoj ravi, a oovu kojih e određuju koeficijeti u fukciji preoa eliptičkih filtara: H = m ( + i ) H a i= + b + + b + b, (.) 36

Metodi apro okimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara izlaze iz okvira ove kjige. Pri projektovaju filtara koritićemo gotove programe koji proračuavaju ovee koeficijete a oovu potavljeih zahtjeva za amplitudu karakteritiku filtra. Para ametar H e bira tako da vrša vrijedot pojačaja bude jedaka jediici. Nule reflekije i ule tra miije ω u u geometrijkoj imetriji oko frekvecije ω, tj. ω ri ωz = ω i. Od četiri parametra filtra ε i δ (ili ekvivaleto R p i R ), zatim ω i tepea, tri e mogu pecificirati eovio. Na primjer, za date vrijedoti R, R i potrebo je proaći ule tramiije ω, tako da T z i ω ri T epropuom opegu. Tadaa je T (ωω potpuo pozato. e ) p Amp plitude karakteritike NP eliptičkihh filtara za =, 3, 4 uu prika azae a Slici.. R ω zi ω ima jedake miimume dovolje viie u H (ω ) + ε = 4 = 3 = + δ Slika. Amplitude karakteritike orm malizovaih NP eliptičkihh filtara za =, 3,, 4. ω 37

GLAVA.4 Aprokimacija faze karakteritike Fukcije preoa koje e korite za aprokimaciju faze karakteritike ili grupog kašjeja imaju kotatu amplitudu karakteritiku a vim frekvecijama. To u filtri vepropuici, čija fukcija preoa ima oblik: NSO ( ) DSO ( ) HSO ( ) = =. (.) DSO ( ) DSO ( ) Parametri fukcije preoa (.) e biraju tako da oa aprokimira željeo kašjeje. Normalizacija frekvecijke varijable pri aprokimaciji fazih karakteritika filtara e vrši a Ω = τ, gdje je τ kašjeje jedomjere kompoete. Za aprokimaciju faze karakteritike korite e Beelovi (Beel) filtri. Na oovu: j H = H e ϕ ω, (.3) dϕ ω τ =, (.4) dω možemo izraziti fazu karakteritiku filtra a ljedeći ači: jϕ jϕ = jω H H = H e = H H e, (.5) j H H = H H e ϕω, (.6) = jω Grupo kašjeje: ( ) H ϕ = l j H = jω. (.7) dobijamo a ljedeći ači: dϕ ω τ = (.8) dω 38

Metodi aprokimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara d ϕω d l H =. (.9) dω j dω H( ) = j ω Izvodom logaritamke fukcije iz (.9), uz mjeu = jω dobija e: dϕω H( ω) d H = dω j H dω H( ω). (.) Koriteći formulu za izvod količika iz (.), dobijamo: dϕ H( ω) H H( ω) H( ω) H =, (.) dω j H H [ ] dϕ H( ω) j H H( ω) + j H ( ω) H =. (.) dω j H H [ ] U (.) je a H ( ω ) ozače izvod po ω, dok je u (.) je a H ozače izvod po jω. Nako mjee ω = j u (.) dobijamo: dϕω H( ) H ( ) H( ) + H ( ) H( ) = dω H( ) H( ) [ ] = jω, (.3) dϕω H ( ) H( ) + H ( ) H( ) =, (.4) dω H( ) H( ) = jω Kako je τ dobija: dϕω H ( ) H ( ) = dω + H( ) H( ) = jω. (.5) dϕ ω =, koačo e za grupo kašjeje a imagiaroj oi dω ' '( ) ( ) ' H H H τ = + = P, (.6) H H H = jω = jω 39

GLAVA gdje je a P () ozače pari dio fukcije. Možejem brojika i azivika fukcije preoa H( ) a N( ) dobijamo: H ( ) ( ) N N Q = = D N P pa grupo kašjeje možemo zapiati u obliku: ( ) ( ), (.7) P' P' P' τ = + = P P P. (.8) P = jω = jω Problem proalažeja fukcije preoa H( ) a željeim grupim kašjejem τ( ω ) e vodi a proalažeje polioma P( ) = N( ) D( ) takvog da P ( P' ( ) P( ) ) duž jω oe aprokimira željeo kašjeje. Četo je za to potreba pomoć umeričkih metoda. Jedom kad e proađe poliom N D, pri čemu je P( ) mora e izvršiti jegova faktorizacija a ( ) i D( ) Hurvicov poliom tepea e majeg od tepea m polioma N( ). Dakle, P( ) mora u lijevoj poluravi da ima ajmaje toliko korijea koliko ih ima u deoj poluravi. Jedačia (.8) e ad može korititi za proalažeje aprokimacije fukcije preoa NP filtra bez koačih ula tramiije u obliku: Ke τ H =, (.9) što je ideala fukcija preoa mreže bez izobličeja, koja amo uoi kotato kašjeje τ i kotato pojačaje log K. Nako ormalizacije amplitude karakteritike a K : e τ H =, (.) i kompleke učetaoti a τ Ω =, dobijamo fukciju preoa ormalizovaog filtra: 4

Metodi aprokimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara Ω τ H = e = e = e. (.) Ω Potrebo je proaći fukciju preoa u obliku: H b = = + b + + b + b D b (.) koja a eki ači aprokimira fukciju e. Uvrštavajući ovakav oblik fukcije preoa (.) u izraz (.8) za grupo kašjeje, dobijamo: ( ) ( ) D' D' D' D + D' D τ = + D D = D D = jω = jω. (.3) Grupo kašjeje τ( ω ) u (.3) ije kotato, ali može aprokimirati kotatu. Ako prilikom aprokimacije želimo da racioala fukcija (.3) bude makimalo rava, a liča ači kao kod Batervortovih filtara, (.3) N treba veti a oblik N + aω poliom u brojiku (.3) tepea, a u aziviku tepea a koeficijetom uz ajviši tepe ω jedakim ( ), to zači da a jω oi moramo zadovoljiti ulov da je: odoo:, gdje je tepe polioma D( ). Kako je ' ' D D = D D + D D +, (.4) D' D + D' D D D = što e može veti a: { ' ( ) ( )} = ( ) +, (.5) P D D D D +. (.6) Diferecirajem po dobijamo: { D ( ) ( ) D ( ) D( ) D( ) } P '' + ' + =, (.7) 4

GLAVA što mora da vrijedi za vako, ako hoćemo da H( ) ima makimalo ravo kašjeje. Kako D( ) ije korita rezultat, vrijedi da je: D'' + D' + D. (.8) Matematičkom idukcijom e može dokazati da je rješeje diferecijale jedačie po D( ) date a (.8) Hurvicov poliom: i= ( i)! i ( i) i D( ) = b i, bi =, i=,,,, b =. (.9) i!! Zbog veze (.9) a Beelovim poliomima, rezultujući filtri e azivaju Beelovi filtri. Beelovi poliomi višeg reda e mogu dobiti rekurzivom formulom: ( ) D = D + D. (.3) Sa poratom reda filtra rate tačot aprokimacije grupog kašjeja. Pomatrajmo:! b ( i)!!! i i = =. (.3) i i b i! ( i)!!! i! i! Kada dobijamo: lim H i ( ) i bi =, (.3) i b i! i! b = = = e b i i i b i= b i= i! lim, (.33) kao što mo i željeli. Naravo, za koača red filtra, fukcija preoa H a koačom greškom aprokimira amplitudu karakteritiku i grupo kašjeje. 4

Metodi apro okimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara (a) (b) Slika.3 (a) Slabljeje i (b) greška grupog kašjeja Beelovih filtaraa u zavioti od reda filtrf ra. 43

GLAVAA Jeda jedii parametar, red Beelovog filtra, mora biti pažljivo odabra, tako da obje ove greškee buduu prih hvatljivo male. Za odr eđivaje reda filtra mogu e korititi umerički potupci ili dijagrami koji prikazuju labljejaa i ormalizovae greške grupog kašjeja u procetima u zavioti od reda filtra i ormalizovae frekvecije ω =Ω, kao što je prikazao a Slici.3. τ..5 Karakteritike filtara u vremekom domeu Oove parametri filtara koji u vremekom domeu određuju prelazi proce, prikazai u a Slici.4. Kašjeje τ d e defiiše kao vrijemee potrebo da jediiči odkoči odziv dotige poloviu voje krajje vrijedoti (odoo da impuli odzi iv dotige voju mak imalu vrijedot), dok e vrijeme porata τ r defiiše kao vrijeme koje jee potr rebo da jediič odk koči odziv porate a % a 9% voje krajje vrijv edoti. Premašeje γ je razlika između vrše i krajje vrije edoti jediičogg odkočog odziva. Na likama. 5-. prikazai u primjeri jediičih odkočih i impulih odziva ekih filtara...9 γ..5. τ d τ τ r Slika..4 Para ametri prelazog procea prik azai a ormalizovaom jediičom odkočom odzivu. 444

Metodi apro okimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara 4 6 8 Slika.5 Jediiči odkoči odzivi Batervortovih filtara reda,4,6 i 8. 4 6 8 Slika. 6 Jediič odkoči odzivi Čebiševljevih filtaraa a 3 db labljejem reda,4,6 i 8. 4 6 8 Slika..7 Jediič odkoči odzivi Bee elovih filtaraa reda,4,6 i 8. 45

GLAVAA 4 6 8 Slika.8 Impuli odzivi Batervortovih filtara reda,4,,6 i 8. 4 6 8 Slika.9 Impuli odzivii Čebiševljevih filtaraa a 3 db labljejem reda,4,6 i 8. 4 6 8 Slik ka. Imp puli odzivii Beelovih filtara reda,4,,6 i 8. 46

Metodi aprokimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara.6 Uporede karakteritike aalogih filtara Za datu pecifikaciju amplitude karakteritike, red eliptičkog je maji ego red Čebiševljevog filtra, dok je Batervortov filtar ajvećeg reda. Oovi razlog za ove razlike leži u ditribuciji greške aprokimacije i koačim ulama tramiije, zbog kojih eliptički filtri imaju vrlo trmu karakteritiku u prelazom opegu. Uporede amplitude karakteritike filtara itog reda prikazae u a Slici., za red filtra pet, makimalo dozvoljeo labljeje u PO od 3 db i miimalo potrebo labljeje u NPO od 3 db. Prelazi opeg je ajširi kod Batervortovog filtra, ešto uži kod Čebiševljevog, dok eliptički filtri imaju ajtrmiju amplitudu karakteritiku u prelazom opegu. Najzahtjeviji parametar pri pecifikaciji filtara je širia prelazog opega. Na primjer, pri projektovaju NP filtra a makimalim dozvoljeim labljejem u PO od.5 db i miimalim propiaim labljejem od 3 db u NPO, pri ω =.6, potreba je Batervortov filtar omog reda, Čebiševljev petog i eliptički filtar trećeg reda. Za ite pecifikacije labljeja, ali a ω =. umjeto ω =.6, potreba je Batervortov filtar trideet i devetog reda, Čebiševljev filtar deetog reda i eliptički filtar petog reda. Maji uticaj a red filtra imaju propiaa labljeja, tako da e pri ω =., ali uz dozvoljeo labljeje u PO od 3 db i miimalo potrebo labljeje od 3 db u NPO, dobije da u potrebi Batervortov filtar trideet i edmog reda, Čebiševljevi filtri deetog reda i eliptički petog reda, čije u karakteritike prikazae a Slici.. Sljedeće što a zaima kad poredimo filtre je faza karakteritika, odoo grupo kašjeje. Za iti red filtra, Čebiševljevi i eliptički filtri imaju eliearije faze karakteritike i krive grupog kašjeja a izražeijim vrhovima od Batervortovih filtara. Na Slici.3 prikazae u faze karakteritike Batervortovog, Čebiševljevog, iverzog Čebiševljevog i eliptičkog filtra petog reda. Međutim, ovakav ači poređeja ije u potpuoti korekta, već je bolje porediti filtre koji zadovoljavaju ite zahtjeve, umjeto filtara itog reda. Na Slici.4 prikazae u faze karakteritike za Batervortov filtar trideet i edmog reda, Čebiševljev filtar deetog reda, iverzi Čebiševljev filtar deetog reda i eliptički filtar petog reda čije amplitude karakteritike zadovoljavaju ljedeće zahtjeve: F = khz, F =.khz, R p = 3dB i R = 3dB. Primjeto je da u ajvećem dijelu propuog opega eliptički i iverzi Čebiševljev filtar imaju maji agib faze karakteritike, a time i maje grupo kašjeje. p 47

GLAVAA log H (F ) [db] Slika. F [ Hz] Amplitude kara akteritike Batervortovog (cro), Čebiševljevog (plavo), iverzog Čebiševljevog (crv( veo) i eliptičkog (zeleo) filtra petog reda. log H( F) [db] Slika. Amplitude kara akteritike Batervortovog filtra trideet i edmogg reda (cro), Čebiševljevog filtra deetogg reda (plavo), iverzog Čebiševljevog filtra deetog reda ( crveo), i eliptičkog filtra petog reda (zeleo) koji ipujavaju zahtjeve: F =khz, =.khz, R p = 3dB i i R = 3dB. F p F F [Hz] 48

Metodi apro okimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara arg H F )[rad] ( F [ Hz] ] Slika. 3 Faze karakteritike Bate ervortovog (cro), Čebiševljevog (plavo), iverzog Čebiševljevog (crveo) i eliptičkog (zeleo) filtra petog reda. arg H F )[rad] ( ] z] F [Hz Slika. 4 Faze karakteritike Bate ervortovog filtra trideet i edmog reda (cro), Čebiševljevog filtra deetog reda (plavo), iverzog Čebi iševljevog filtraa deetog reda (crveo), i eliptičkog filtra petog reda (zeleo) koji ipujavaju zahtjeve: =khz, =.khz, R = 3dB i R = 3dBB. p F p F 49

GLAVAA Slika.5 Jediič odkoči odzivi Batervortovog (cro), Čebiševljevog (plavo), eliptičkog (zeleo) i Beelovog (crveo) filtra trećeg reda. Slika.6 Impuli odzivi Batervortovog (cro), Čebiševljevog (plavo), eliptičkog (zeleo) i Beelovog (crveo) filtra trećegg reda. Uporede karakteritike filtaraa u vremekom domeu prikazae u preko jediičih odkočih i impulih odziva a Slic ci.5 i Slici.6, repektivo. Eliptički i Čebiševljevi filtri, čiji e polovii alaze bliže imagiaroj oi, imaju izrežeije ocilacije i duž že trajaje prelazog procea ego Beelovi i Batervortovi filtr ri. 5

Metodi aprokimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara.7 Frekvecijke traformacije Iz NP prototipa mogu e izveti fukcije preoa otalih tipova filtara. Ozačimo a: = σ + jω (.34) ormalizovau kompleku učetaot NP filtra tako da je ω = graica propuog opega, zatim a: = σ + jω (.35) ormalizovau kompleku učetaot željeog filtra i a Ω eormalizovau frekveciju. Ideja e atoji u određivaju fukcije prelikavaja: = F, (.36) koja će traformiati propue i epropue opege željeog filtra u propui, odoo epropui opeg NP filtra. Ako u fukciji preoa NP filtra kompleku učetaot zamijeimo a F ( ), dobićemo fukciju preoa željeog filtra. Kako je fukcija preoa željeog filtra reala racioala fukcija, lijedi da fukcija prelikavaja F ( ) mora biti epara reala racioala fukcija takva da je: Frekvecijka traformacioa fukcija: = jω = F jω = jf ω. (.37) ω = f (.38) e bira tako da ve propue opege željeog filtra traformiše u propui opeg NP filtra ω, a ve epropue opege željeog filtra u epropui opeg NP filtra ω >. Zbog jedozačoti prelikavaja, frekvecijka traformacioa fukcija je mootoo ratuća, te f ( ω ) ima jedotruke 5

GLAVAA Slika.7 Primjer frekvecijke trat formacioe fukcije. ule ω a u i u vakom propuom opegu i jedotruke polove ω epropuom opegu, kako je prikazao a Slici..7. Opšte forme frekvecijke traformacioe fukcije f i fukcije prelikavaja F( ) u date a: ) ω = f (ωω = K ( ω ω a = F ( ) = K ( )( ω ( ω + ω ( ω ω a ) ω a ω b ( b ) ( ) ( + ω ) ω a + ω ω ω ) ( ω ω + a b m )( ) bm ( + ω a ). + ω ) ω ω a ), ω bi u vakom (.39) (.4) 5

Metodi apro okimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara TraT formacija ikopropuog u viokopropui filtar Uče taoti VP filtra e ormalizuju a gra ičom učetaošću propuog opeg Ω p, tako da je ormalizovaa graičaa učetaot propuog opega ω =. Propui opeg VP filtraa ω treba prelikati u propui opeg NP p filtra ω, a epropui opeg VP filtra ω < u epropui opeo eg NP filtra ω >. Pri tome frekveijka traformacioa fukcija treba daa ima oblik dat a (.39). Ove zahtjevee ćee zadovoljiti fukcija koja ima poll ω = i uluu u bekoačoti, uz f ( ) =, kao a Slici.8. Prema tome, frekvecijka traformacioa fukcija je: Fuk kcijom prelikavaja: ω = ω. (.4) = ee fukcija preoa NP filtra prevodi u fukciju preoa VP filtra. (.4) Slika.8 Traformacija prop puog i epropuog opega VP filtra u pro opuii i epr ropui op eg NP filtra. Propui opezi u šrafirai. 53

GLAVA Traformacija ikopropuog filtra u filtar propuik opega Da bi propui opeg filtra PO ωl ω ωu prelikala u propui opeg NP filtra ω, a epropue opege filtra PO ω < ωl i ω > ωu u epropui opeg NP filtra ω > i pri tome zadovoljila opštu formu datu a (.39), frekvecijka traformacioa fukcija treba da ima oblik kao a Slici.9, tj. da bude mootoo ratuća a ulom u ω = i polovima u uli i bekoačoti: ω K ω =. (.43) ω Graiče učetaoti propuog opega ω l i ω u e prelikavaju u ±. Stoga rješavajem jedačie ω = ω ± ω = dobijamo ωu ωl = K i K ωω l u =. Dakle, ormalizujuća učetaot Ω treba da bude geometrijka redia graičih učetaoti Ω = ΩΩ l u, dok je parametar K zapravo faktor kvaliteta: gdje je: K ω ω Ω Ω Ω = = = = u l u l Ω B Q, (.44) B =Ω Ω (.45) u širia propuog opega. Dakle, fukcija prelikavaja kojom e fukcija preoa NP filtra prevodi u fukciju preoa filtra PO je data a: l = Ω + = Q +. (.46) B 54

Metodi apro okimacije amplitudih i fazih karakteritika aalogih filtara Slika.9 Traformacija prop puog i epropuih opega filtra PO u propui i epropui opeg NP filtra. Propui opezi u šrafirai. Treb ba apomeuti da ova traformacija uvijek filtrom PO, kod koga oba epropua opega imaju širie oba prelaza opega u podjedake. rezultuje imetričim pojedako labljeje i Tra formacija ikopropuog filtra u filtar epropuikk opega Frek kvecijka traformacioaa fukcija (.4) mijeja pozicije propuog i epropuog opega. To zači da bi primjeom fukcije prelikavja (.4) a filtar PO dobili filtar NPO. Stoga je želje ea fukcija prelikavajaa koja prevodi fukciju preoa NP filtra u fukciju preoa filtra NPO reciproča fukcijii prelikavajaa koja prevodi fukciju preoa NP filtra u fukciju preoa filtra PO: = Q + = B Ω Frek kvecijka traformacioa fukcija je prikazaaa a Slici.3. Ovom traformacijom e dobije imetriči filtar NPO a jedakim oobiama u oba propua i oba prelaza opega.. (.47) + 55

GLAVAA Slika.3 Traformacijaa propuih i epr ropuog opega filtra NPO u propui i epropui opeg NP filtra. Propui opezi u šrafirai. 56