VEKTORSKI PROSTORI 2

Odjel za matematiku Sveu ili²ta u Rijeci Ana Jurasi VEKTORSKI PROSTORI 2 Materijali s predavanja Rijeka, 2013.

Sadrºaj 1 Topolo²ki vektorski prostori 4 1.1 Uvod................................ 4 1.1.1 Vektorski prostori..................... 4 1.1.2 Normirani prostori.................... 6 1.1.3 Topolo²ki prostori..................... 7 1.2 Topolo²ki vektorski prostori................... 9 1.3 Linearna preslikavanja...................... 14 1.4 Kona nodimenzionalni prostori................. 16 1.5 Metrizabilnost........................... 16 1.5.1 Cauchyjevi nizovi..................... 20 1.6 Omeženost i neprekidnost.................... 22 1.6.1 Omeženi skupovi..................... 22 1.6.2 Omeženi linearni operatori................ 23 1.7 Polunorme i lokalna konveksnost................. 25 1.8 Kvocijentni prostor i kvocijentna topologija........... 31 2 Potpunost 33 2.1 Baireov teorem.......................... 33 2.2 Banach-Steinhausov teorem................... 35 2.3 Teorem o otvorenom preslikavanju................ 39 2.4 Teorem o zatvorenom grafu................... 42 2.5 Bilinearna preslikavanja..................... 44 3 Konveksnost 45 3.1 Hahn-Banachovi teoremi..................... 45 3.2 Slabe topologije.......................... 50 3.2.1 Slaba topologija topolo²kog vektorskog prostora.... 52 3.2.2 Slaba -topologija dualnog prostora........... 53 3.3 Kompaktni konveksni skupovi.................. 54 2

4 Dualnost u Banachovim prostorima 55 4.1 Normirani dual normiranog prostora.............. 55 4.2 Drugi dual Banachovog prostora................. 58 4.3 Ortogonalnost u Banachovim prostorima............ 58 4.4 Duali podprostora i kvocijentnih prostora............ 60 4.5 Adjungirani operatori....................... 60 4.6 Kompaktni operatori....................... 63 3

Poglavlje 1 Topolo²ki vektorski prostori 1.1 Uvod 1.1.1 Vektorski prostori Prisjetimo se najprije kako se denira struktura vektorskog prostora X = {x, y,...} nad poljem Φ = {α, β,...}. Za polje skalara Φ uzimat emo polje R realnih brojeva, odnosno polje C kompleksnih brojeva. Elemente polja Φ nazivamo sklarima. Vektorski prostor nad Φ je neprazan skup X, ije elemente zovemo vektorima i u kojem su, redom na sljede i na in i sa sljede im algebarskim svojstvima, denirane dvije operacije - zbrajanje i mnoºenje skalarima: Svakom paru vektora x i y pridruºuje se vektor x + y (dakle, + : X X X, (x, y) x + y), tako da je x + y = y + x, x + (y + z) = (x + y) + z, postoji jedinstven vektor 0 X (nul-vektor) takav da je x + 0 = x, za svaki x X i za svaki x X postoji jedninstven vektor x X takav da je x + ( x) = 0. Svakom paru (α, x), gdje je α Φ i x X, pridruºuje se vektor α x (pi²emo αx) (dakle, imamo preslikavanje Φ X X, (α, x) αx), tako da je 1x = x, (posjedovanje jedinice) α(βx) = (αβ)x (kvaziasocijativnost) 4

i tako da vrijede sljede a dva zakona distributivnosti gdje su x, y X i α, β Φ. α(x + y) = αx + αy, (α + β)x = αx + βx, Vidimo da je u odnosu na zbrajanje vektorski prostor X komutativna grupa s neutralnim elementom 0. Oznaka 0 koristit e se i za neutralni element za zbrajanje u polju skalara. Realni vektorski prostor je onaj za koji je Φ = R, a kompleksni vektorski prostor onaj za koji je Φ = C. Ne navedemo li posebno polje skalara, podrazumijevat emo ova dva slu aja. Za vektorski prostor X, A, B X, x X i λ Φ, deniramo skupove: x + A := {x + a a A}, x A := {x a a A}, A + B := {a + b a A, b B}, λa := {λa a A}. Napomenimo da se moºe dogoditi da je 2A A + A. Neprazan skup Y X zove se potprostor od X (u oznaci Y < X) ako je Y takožer vektorski prostor (u odnosu na iste operacije, nad istim poljem skalara). Lako se moºe provjeriti da je to slu aj ako i samo ako je 0 Y i αy + βy Y, za sve α, β Φ. Trivijalni potprostor vektorskog prostora X je {0}. Skup C X nazivamo konveksnim ako je tc + (1 t)c C, gdje je 0 t 1. Dakle, C sadrºi tx + (1 t)y, za svaki x, y C. Skup B X je balansiran ako je αb B, za svaki α Φ takav da je α 1. Netrivijalni vektorski prostor X ima dimenziju n (dim X = n) ako X ima bazu {u 1,..., u n }. To zna i da svaki x X ima jedinstven prikaz oblika x = α 1 u 1 +... + α n u n, gdje su α i Φ za i = 1,..., n. Ako je dim X < +, kaºemo da je X kona nodimenzionalan, ina e je beskona nodimenzionalan. Za X = {0}, po deniciji uzimamo dim X = 0. Navedimo nekoliko primjera. 5

Neka je Φ n, gdje je n N, skup svih ureženih n-torki s koordinatama iz Φ. Tada je Φ n vektorski prostor nad Φ dimenzije n, uz uobi ajene operacije s ureženim n-torkama. Neka je Φ[x] skup svih polinoma u varijabli x, s koecijentima iz Φ. Tada je Φ[x] vektorski prostor nad Φ (uz uobi ajene operacije s polinomima) i dim Φ[x] =. 1.1.2 Normirani prostori Vektorski prostor X nazivamo normiranim prostorom ako je svakom x X pridruºen nenegativan realan broj x, koji nazivamo norma od x, na sljede i na in: x + y x + y, za sve x, y X, αx = α x, ako je x X i α je skalar, x > 0, ako je x 0. Primijetimo da iz ove tri to ke slijedi da je x = 0 x = 0. Termin norma koristimo i za funkciju x x sa vektorskog prostora X u skup R. Navedimo nekoliko primjera: Na vektorskom prostoru Φ n deniramo dvije norme na sljede i na- in. Sa x 1 = n i=1 x i i sa x = max{ x 1,..., x n }, gdje je x = (x 1,..., x n ) Φ n. Na vektorskom prostoru C([a, b]) = {f f : [a, b] Φ neprekidna na [a, b]}, uz standardne operacije zbrajanja funkcija i mnoºenja funkcija skalarima, deniramo dvije norme na sljede i na in. Sa f 1 = b f(t) dt a i sa f = max{ f(t) t [a, b]}. Svaki normirani prostor moºe se smatrati metri kim prostorom, u kojem je udaljenost d(x, y) izmežu x i y dana sa x y. Vaºna svojstva metri ke funkcije (metrike) d dana su sa: 0 d(x, y) <, za sve x, y X, d(x, y) = 0 ako i samo ako je x = y, d(x, y) = d(y, x), za sve x, y X, d(x, z) d(x, y) + d(y, z), za sve x, y, z X. 6

Navedimo neke poznate metri ke prostore: U R n moºemo uvesti euklidsku metriku ili metriku za p 1, ili metriku ( n ) 1 d 2 (x, y) = (x i y i ) 2 2 i=1 ( n ) 1 d p (x, y) = (x i y i ) p p, i=1 d (x, y) = max 1 i n x i y i, za sve x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n. Dakle, na istom se skupu mogu zadati razli ite metrike. Na vektorskom prostoru C([a, b]) metriku moºemo uvesti formulom d(f, g) = max a t b f(t) g(t) ili pak sa tzv. kvadratnom metrikom d(f, g) = ( b a f(t) g(t) 2 dt) 1 2, gdje su f, g C([a, b]). U metri kom prostoru X, otvorena kugla sa sredi²tem x X i radijusom r > 0 (r R) je skup B r (x) = {y X d(x, y) < r}, a zatvorena kugla je skup B r (x) = {y X d(x, y) r}. Posebno, ako je r = 1, govorimo o otvorenoj ili zatvorenoj jedini noj kugli. 1.1.3 Topolo²ki prostori Pojam metri kog prostora moºe se dalje poop iti do pojma topolo²kog prostora. Navedimo nekoliko vaºnijih pojmova. Podskup metri kog prostora X je otvoren ako i samo ako je (mogu e prazna) unija otvorenih kugli. Dakle, prazan skup takožer smatramo otvorenim. Preciznije, skup P X je otvoren ako za svaki x P postoji otvorena kugla B r (x) takva da je B r (x) P. Familija svih otvorenih skupova metri kog prostora X je topolo²ka struktura ili topologija na X. Dakle, u svakom metri kom prostoru moºemo uvesti topologiju. Topolo²ki prostor je neprazan skup S u kojem je familija τ otvorenih skupova (podskupova od S) denirana sljede im svojstvima: 7

(T1) S je otvoren, (T2) je otvoren, (T3) presjek proizvoljna dva otvorena skupa je otvoren skup, (T4) unija proizvoljne familije otvorenih skupova je otvoren skup. Takva familija τ zove se topologija na S. Topolo²ki prostor koji odgovara topologiji τ ozna it emo s (S, τ). Navedimo nekoliko primjera: Neka je S = R i τ = {U R ( x U)( ε > 0) x ε, x + ε U}. Tada je (R, τ) topolo²ki prostor, koji nazivamo standardni jednodimenzionalni euklidski topolo²ki prostor. Neka je (X, d) metri ki prostor. Familija τ d = {U X ( x U)( ε > 0)B ε (x) U} je topologija na X koju nazivamo topologija inducirana metrikom d. Ako je topologija τ inducirana metrikom d, kaºemo da su d i τ mežusobno usklažene. Neka je X neprazan skup. Topologiju τ 0 = {, X} nazivamo indiskretna topologija, a topologiju τ X = P(X), familija svih podkupova skupa X, diskretna topologija. Uvedimo jo² neke nazive koje emo koristiti. Skup E S je zatvoren ako i samo ako je njegov komplement E C = S\E otvoren. Zatvara E od E je presjek svih zatvorenih skupova koji sadrºe E. To je najmanji zatvoreni skup iz S koji sadrºi E. Unutra²njost (interior) E od E je unija svih otvorenih skupova koji su podskupovi od E. To je najve i otvoreni skup iz S koji je sadrºan u E. Okolina to ke p S je svaki otvoreni skup koji sadrºi p. Navedimo da to ka p pripada E ako i samo ako svaka okolina od p presijeca E. (S, τ) je Hausdorov prostor, a τ je Hausdorova topologija, ako razli ite to ke iz S imaju disjunkstne okoline. Dakle, za svake p, q S, takve da je p q, postoje U, V τ takvi da je p U, q V i U V =. Niz {x n } u Hausdorovom prostoru S konvergira to ki x S (odnosno lim n x n = x) ako svaka okolina od x sadrºi sve osim kona no mnogo to aka x n. 8

Skup K S je kompaktan ako svaki otvoreni pokriva 1 od K ima kona an podpokriva. Familija τ τ je baza topologije τ ako je svaki lan od τ unija elemenata iz τ. Familija γ okolina to ke p S je lokalna baza u p ako svaka okolina od p sadrºi lana od γ. Ako je Y S i σ = {Y U U τ}, tada je σ topologija na Y, ²to je lako provjeriti. Kaºemo da je to topologija koju Y naslježuje od S. 1.2 Topolo²ki vektorski prostori Topolo²ki vektorski prostor (ili linearni topolo²ki prostor) jedna je od osnovnih struktura koje se prou avaju u funkcionalnoj analizi 2. Kao ²to samo ime navodi, ovi su prostori spoj topolo²ke strukture i algebarskog koncepta vektorskog prostora. Banachovi prostori Banachov prostor je normirani prostor koji je potpun u metrici deniranoj njezinom normom. To zna i da svaki Cauchyev niz 3 elemenata tog prostora konvergira u tom prostoru. Mnogi poznati funkcijski prostori su Banachovi prostori. Spomenimo ih nekoliko: Skup c svih konvergentnih nizova realnih brojeva na kojem je norma uvedena sa x = sup n N x n, gdje je x = {x n } niz iz c. Hilbertovi prostori. To su potpuni unitarni prostori 4. Prostori C([a, b]) gdje je x = max{ x(t) t [a, b]}, za x C([a, b]). 1 Familiju U podskupova metri kog prostora X nazivamo pokriva skupa K X ako je K A U A. Kaºemo da je pokriva U od K otvoren ako su svi lanovi A U otvoreni skupovi. Podpokriva nekog pokriva a skupa K je podskup tog pokriva a koji i dalje pokriva K. 2 Funkcionalna analiza je grana matemati ke analize, koja se bavi prou avanjem vektorskih prostora (na kojima je denirana norma, topologija itd.) i linearnim preslikavanjima na tim prostorima. 3 Niz {x n }, gdje je n N, normiranog prostora X naziva se Cauchyev niz ako za svaki ε > 0 postoji N N takav da za p, q N vrijedi x p x q ε. 4 Vektorski prostor X je unitarni prostor, ako je svakom ureženom paru vektora (x, y), gdje su x, y X, jednozna no pridruºen njihov skalarni produkt x, y Φ, uz uvjet da vrijede aksiomi skalarnog produkta. Norma od x X je tada denirana sa x = x, x pa je svaki Hilbertov prostor Banachov prostor s obzirom na normu generiranu skalarnim produktom. 9

O nekima od ovih prostora biti e rije i u nastavku. Svi normirani vektorski prostori, pa time i svi Banachovi prostori, su topolo²ki vektorski prostori. No, postoje i vaºni prostori, poput ovih navedenih u nastavku, koji imaju svoje prirodne topologije koje se ne mogu uvesti pomo u norme. To su, kao i normirani prostori, primjeri topolo²kih vektorskih prostora. Na primjer: Prostor C(Ω) svih neprekidnih kompleksnih funkcija na nekom otvorenom skupu Ω u euklidskom prostoru R n. Prostor H(Ω) svih holomorfnih funkcija 5 na nekom otvorenom skupu Ω kompleksne ravnine. Denicija topolo²kog vektorskog prostora Neka je τ topologija na vektorskom prostoru X. Neka vrijedi: (a) za svaku to ku x X, skup {x} je zatvoren skup, (b) operacije zbrajanja vektora i mnoºenja vektora skalarom neprekidne su u topologiji τ. Uz te uvjete, τ zovemo vektorskom topologijom na X, a X topolo²kim vektorskim prostorom. U mnogim tekstovima uvjet (a) je izostavljen iz denicije topolo²kog vektorskog prostora, jer je zadovoljen u gotovo svakoj primjeni. Vidjet emo (Teorem 1.2.3.) da uvjeti (a) i (b) zajedno povla e da je τ Hausdorova topologija. Neka su X i Y toplo²ki prostori i f : X Y preslikavanje. Kaºemo da je preslikavanje f neprekidno u to ki x 0 X ako za svaku okolinu V to ke f(x 0 ) u Y postoji okolina U to ke x 0 u X takva da je f(u) V. Preslikavanje f neprekidno je na skupu A X ako je f neprekidno u svakoj to ki skupa A. Pretpostavka da je zbrajanje vektora neprekidno zna i da je preslikavanje (x, y) x + y kartezijevog produkta X X u X neprekidno, odnosno da ako su x i X za i = 1, 2 i ako je V okolina od x 1 + x 2, tada moraju postojati okoline 6 V i od x i takve da je V 1 + V 2 V. 5 Za funkciju f : Ω C kaºemo da je holomorfna ako je derivabilna i derivacija f je neprekidna na Ω. Za funkciju f kaºemo da je holomorfna u to ki z 0 ako postoji okolina to ke z 0 na kojoj je f holomorfna. 6 Postoji okolina ureženog para (x 1, x 2 ), oblika V 1 V 2 (element produktne topologije), koju navedena funkcija zbrajanja vektora preslikava u V 1 + V 2. 10

Sli no, pretpostavka da je mnoºenje skalarima neprekidno zna i da je preslikavanje (α, x) αx od Φ X u X neprekidno, odnosno da ako je x X, α skalar i V okolina od αx, tada postoji r > 0 i okolina 7 W od x tako da vrijedi βw V uvijek kada je β α < r. Za podskup E topolo²kog vektorskog prostora kaºemo da je omežen ako za svaku okolinu V od 0 u X postoji broj s > 0 takav da je E tv za svaki t > s. Invarijante Neka je X topolo²ki vektorski prostor. Za svaki a X i za svaki skalar λ 0 deniramo operator translacije T a i operator mnoºenja skalarom M λ formulama gdje je x X. T a (x) = a + x, M λ (x) = λx, Propozicija 1.2.1 Operatori T a i M λ su homeomorzmi 8 sa X na X. Aksiomi vektorskog prostora, kako slijedi u dokazu, povla e da su T a i M λ neprekidne bijekcije sa X na X te da su njihovi inverzi T a i M 1, redom, λ neprekidna preslikavanja. Zatvorenost za zbrajanje i mnoºenje skalarom povla i da su T a (x), M λ (x) X. Neka je x X takav da je T a (x) = x. Dakle, a + x = x pa je x = x a. Kako je a X slijedi da je x X pa smo dokazali surjektivnost od T a. Ako je T a (x) = T a (y), tada je a + x = a + y pa je x = y i vrijedi injektivnost. Time smo dokazali da je T a bijekcija. Sli no se dokazuje i da je M λ bijekcija. Pretpostavka neprekidnosti operacija vektorskog prostora povla i da su preslikavanja T a, T a, M λ i M 1 neprekidna. λ Jedna od posljedica Propozicije 1.2.1 je da je svaka vektorska topologija τ invarijantna na translacije (invarijantna je i na mnoºenje skalarom). To zna i da je skup E X otvoren ako i samo ako je a+e otvoren skup, za svaki a X. Dakle, τ je u potpunosti odrežena proizvoljnom lokalnom bazom. 7 Postoji okolina ureženog para (α, x), oblika W W (element produktne topologije), gdje je W = {β Φ β α < r}. Navedena funkcija mnoºenja skalarima preslikava W W u βw za svaki β W. 8 Kaºemo da je preslikavanje f homeomorzam ako je f neprekidna bijekcija ije je inverzno preslikavanje takožer neprekidno. 11

Obi no za lokalnu bazu uzimamo bazu okolina to ke 0. Dakle, lokalna baza topolo²kog vektorskog prostora X je familija B okolina od 0 takvih da svaka okolina od 0 sadrºi lana od B. Otvoreni skupovi u X time su svi oni koji su unije translata elemenata od B. Baza topologije τ je skup B τ = {x + V x X, V B}. Primijetimo jo² da je A + B, gdje su A, B X, unija translata x + B od B, gdje je x A. Kaºemo da je metrika d na vektorskom prostoru X invarijantna ako je za sve x, y, z X. d(x + z, y + z) = d(x, y), Tipovi topolo²kih vektorskih prostora Normirane i Banachove prostore ve smo denirali, a sada emo navesti jo² neke tipove topolo²kih vektorskih prostora. Neka je X topolo²ki vektorski prostor s topologijom τ. (a) X je lokalno konveksan ako postoji lokalna baza B koja se sastoji od konveksnih skupova. (b) X je lokalno omežen ako 0 ima omeženu okolinu. (c) X je lokalno kompaktan ako 0 ima okolinu iji je zatvara kompaktan. (d) X je metrizabilan ako postoji metrika d na X takva da su τ i d usklažene. (e) X je normabilan ako na X postoji norma takva da je metrika inducirana tom normom usklažena s topologijom τ. (f) X ima Heine-Borelovo svojstvo ako je svaki zatvoren i omežen podskup od X kompaktan. Navedimo neke odnose mežu spomenutim svojstvima topolo²kog vektorskog prostora X. Ve inu emo dokazati - na vjeºbama ili predavanjima. (a) Ako je X lokalno omežen, tada X ima prebrojivu lokalnu bazu (vjeºbe). (b) X je metrizabilan ako i samo ako X ima prebrojivu lokalnu bazu (teorem o metrizabilnosti). 12

(c) X je normabilan ako i samo ako je X lokalno konveksan i lokalno omežen. (d) X je kona nodimenzionalan ako i samo ako je X lokalno kompaktan (vjeºbe). (e) Ako lokalno omeženi prostor X ima Heine-Borelovo svojstvo, tada je X kona nodimenzionalan. Prostor H(Ω) je beskona nodimenzionalan i ima Heine-Borelovo svojstvo. Dakle, iz (e) slijedi da nije lokalno omežen pa zatim iz (c) da nije normabilan. Takožer, to je kontraprimjer za obrat tvrdnje (a). Sljede i teorem biti e dokazan na vjeºbama. Teorem 1.2.1 Neka su K i C podskupovi topolo²kog vektorskog prostora X, K je kompaktan, C je zatvoren i K C =. Tada 0 ima okolinu V takvu da je (K + V ) (C + V ) =. Primijetimo da je K +V unija translata x+v od V, gdje je x K. Dakle, K +V je otvoren skup koji sadrºi K. Isto vrijedi i za C +V pa teorem povla i postojanje disjunktnih otvorenih skupova koji sadrºe K i C, redom. Kako je C + V otvoren, to niti zatvara od K + V ne sije e C + V. Posebno, zatvara od K + V ne sije e C. Uzmemo li da je K = {0}, dobivamo sljede i vaºan slu aj prethodnog teorema. Teorem 1.2.2 Ako je B lokalna baza topolo²kog vektorskog prostora X, tada svaki lan od B sadrºi zatvara nekog elementa od B. Promotrimo Teorem 1.2.1 (i komentare nakon tog teorema) i uzmimo da je K = {0}. Sada je K + V = V. Zatim, V C = pa je V C C τ i C C sadrºi 0. Koriste i injenicu da je za svaki x X skup {x} zatvoren skup i primjenjuju i Teorem 1.2.1 na K = {x} i C = {y}, gdje su x, y X i x y, zaklju ujemo da te to ke imaju disjunktne okoline ({x} + V = x + V je okolina od x, a analogno imamo i za y). Dakle, vrijedi sljede i teorem. Teorem 1.2.3 Svaki topolo²ki vektorski prostor je Hausdorov prostor. 13

Na vjeºbama ete dokazati neka svojstva zatvara a i unutra²njosti u topolo²kom vektorskom prostoru. Spomenimo jo² sljede e. Lokalna baza B je balansirana ako su njezini elementi balansirani skupovi te je konveksna ako su njezini elementi konveksni skupovi. Na vjeºbama ete dokazati da vrijedi tvrdnja da svaki topolo²ki vektorski prostor ima balansiranu lokalnu bazu. 1.3 Linearna preslikavanja Neka su X i Y vektorski prostori nad istim skalarnim poljem. Proizvoljnu funkciju (preslikavanje) Λ : X Y nazivamo operator. Kaºemo da je operator Λ : X Y linearan 9 ako je Λ(αx + βy) = αλ(x) + βλ(y), za sve x, y X i za sve skalare α i β. Na primjer, operatori mnoºenja skalarom M λ su linearni, ali operatori translacije T a nisu, osim za a = 0. Linearni operator sa X u Φ 10 nazivamo linearnim funkcionalom, dok svaku funkciju sa X u Φ nazivamo funkcionalom. Navest emo neka svojstva linearnih operatora Λ : X Y, koja se vrlo jednostavno dokazuju. Pretpostavimo da je A X i B Y. (a) Λ(0) = 0. (b) Ako je A podprostor od X (ili konveksan skup ili balansiran skup), isto vrijedi i za Λ(A), gdje je Λ(A) = {Λ(x) Y x A} slika od A. (c) Ako je B podprostor od Y (ili konveksan skup ili balansiran skup), isto vrijedi i za Λ 1 (B), gdje je Λ 1 (B) = {x X Λ(x) B} inverzna slika od B. (d) Skup Λ 1 ({0}) = {x X Λ(x) = 0} = N(Λ) je podprostor od X, koji nazivamo null prostor od Λ ili jezgra operatora Λ. Pozabavimo se sada neprekidno² u linearnih preslikavanja. 9 ƒesto za linearni operator Λ umjesto Λ(x) pi²emo Λx. 10 Polje Φ je vektorski prostor nad samim sobom. 14

Teorem 1.3.1 Neka su X i Y topolo²ki vektorski prostori. Ako je linearni operator Λ : X Y neprekidan u 0, tada je Λ neprekidan. Posebno, Λ je uniformno neprekidan u sljede em smislu: za svaku okolinu W od 0 u Y, postoji okolina V od 0 u X tako da vrijedi y x V Λ(y) Λ(x) W. Kada smo odabrali W, neprekidnost od Λ u 0 povla i da je Λ(V ) W, za neku okolinu V od 0. Ako je y x V, linearnost od Λ povla i da je Λ(y) Λ(x) = Λ(y x) W. Dakle, Λ preslikava okolinu x + V od x u prethodno dodijeljenu okolinu Λ(x) + W od Λ(x), ²to zna i da je Λ neprekidno preslikavanje u x. Teorem 1.3.2 Neka je Λ linearni funkcional na topolo²kom vektorskom prostoru X. Neka je Λ(x) 0 za neki x X. Tada su sljede e tvrdnje ekvivalentne: (a) Λ je neprekidno preslikavanje. (b) Null prostor N(Λ) je zatvoren skup. (c) N(Λ) nije gust u X. (d) Λ je omeženo preslikavanje u nekoj okolini V od 0. Kako je N(Λ) = Λ 1 ({0}) i {0} je zatvoren podskup skalarnog polja Φ, slijedi 11 da (a) povla i (b). Kako x / N(Λ), to je N(Λ) X. Ako je N(Λ) zatvoren skup, tada je N(Λ) = N(Λ) X pa (b) povla i 12 (c). Pretpostavimo da vrijedi (c). Dakle, N(Λ) X pa je N(Λ) C, odnosno postoji x N(Λ) C. Na vjeºbama ste dokazali da svaka okolina od 0 sadrºi balansiranu okolinu od 0 pa je sada (x + V ) N(Λ) =, (1.1) za neku balansiranu okolinu V od 0. Kako je skup V balansiran, to je Λ(V ) balansiran skup u Φ. Dakle, ili je Λ(V ) omežen u Φ, pa vrijedi (d), ili je 11 U sklopu kolegija Metri ki prostori, dokazali ste da za neprekidno preslikavanje f : X Y, gdje su X i Y topolo²ki prostori, vrijedi da je za svaki zatvoren skup F u Y, skup f 1 (F ) zatvoren u X. Analogno vrijedi i za otvorene skupove. 12 Skup S u topolo²kom prostoru X je gust u X ako je S = X. 15

Λ(V ) = Φ. U tom slu aju, postoji y V takav da je Λ(y) = Λ(x) pa je x + y N(Λ), ²to je u kontradikciji s (1.1). Dakle, (c) povla i (d). Kona no, ako vrijedi (d), tada je Λ(x) < M za sve x V i za neki M <. Ako je r > 0 i ako je W := (r/m)v, tada je Λ(x) < r, za svaki x W. Dakle, Λ(W ) B r (0) u Φ pa je Λ je neprekidno u 0. Iz Teorema 1.3.1 sada slijedi (a). 1.4 Kona nodimenzionalni prostori Mežu najjednostavnijim Banachovim prostorima svakako su R n i C n, n- dimenzionalni vektorski prostori nad poljima R i C, redom. Za svaki z = (z 1, z 2,..., z n ), vektor u C n, gdje su z i C, mogu se uvesti norme z 2 = ( n z i 2) 1 2, z 1 = i=1 n z i, i=1 z = max{ z i i = 1,..., n}. Te tri norme induciraju razli ite metrike na C n (za n > 1), koje induciraju istu topologiju na C n. Vrijedi i vi²e od toga. Ako je X topolo²ki vektorski prostor nad C i dim X = n, tada je X izomorfan 13 sa C n. Moºe se pokazati da je i homeomorfan. To zna i da je topologija od C n jedina vektorska topologija koju jedan n-dimenzionalni kompleksni topolo²ki vektorski prostor moºe imati. Takožer se moºe pokazati da su kona nodimenzionalni potprostori kompleksnih topolo²kih vektorskih prostora uvijek zatvoreni. Sve to vrijedi i ako umjesto kompleksnih skalara uzmemo realne. 1.5 Metrizabilnost Topologija τ na skupu X je metrizabilna ako postoji metrika d na X koja je usklažena s τ. Tada kugle radijusa 1, gdje je n N, sa sredi²tem u x ine n lokalnu bazu u x. 13 Dakle, postoji bijektivno linearno preslikavanje sa X u C. 16

Teorem 1.5.1 (Teorem o metrizabilnosti) Neka je X topolo²ki vektorski prostor s prebrojivom lokalnom bazom. Tada postoji metrika d na X takva da: (a) d je usklažena s topologijom τ na X, (b) otvorene kugle u metrici d sa sredi²tem u 0 su balansirani skupovi, (c) d je invarijantna metrika na X. Ako je X lokalno konveksan tada se d moºe odabrati tako da vrijedi i: (d) sve otvorene kugle su konveksni skupovi. Na vjeºbama ste dokazali da svaki topolo²ki vektorski prostor ima balansiranu lokalnu bazu i da za svaku okolinu U od 0 postoji okolina V od 0 za koju vrijedi V + V U. Dakle, X ima prebrojivu balansiranu lokalnu bazu {V n } takvu da je V n+1 + V n+1 V n, (1.2) za n = 1, 2, 3,... Ako je X lokalno konveksan, lokalna baza se moºe odabrati tako da je svaki V n i konveksan. Neka je D skup svih r = c n (r)2 n Q, (1.3) n=1 gdje su c n (r) {0, 1}, za svaki n, i samo kona no mnogo vrijednosti c n (r) je jednako 1. Tada za svaki r D vrijedi 0 r < 1. Denirajmo skup A(r) na sljede i na in. A(r) = X, ako je r 1. Za svaki r D deniramo Svaka od ovih suma je kona na. Denirajmo funkciju f : X Φ sa A(r) = c 1 (r)v 1 + c 2 (r)v 2 +... (1.4) f(x) = inf{r x A(r)}, (1.5) gdje je x X. Denirajmo metriku d : X X Φ sa d(x, y) = f(x y), (1.6) 17

gdje su x, y X. Dokaz da d ima svojstva iz tvrdnji teorema slijedi iz inkluzije A(r) + A(s) A(r + s), (1.7) gdje su r, s D, koju emo dokazati indukcijom. Neka je P N tvrdnja: Ako je r + s < 1 i c n (r) = c n (s) = 0, za sve n > N, tada vrijedi (1.7). Dokaºimo da vrijedi P 1. Imamo c 1 (r) = 1, c 1 (s) = 0 ili c 1 (r) = 0, c 1 (s) = 1 ili c 1 (r) = c 1 (s) = 0 (mogu nost c 1 (r) = c 1 (s) = 1 otpada jer je tada r + s = 1). U prvom slu aju je A(r) = V 1, A(s) = {0}, r = 1 i s = 0 pa je 2 A(r) + A(s) = V 1 = A(r) = A(r + s). Za ostale slu ajeve moºemo provesti analogno razmatranje. Pretpostavimo da vrijedi P N 1 za neki N > 1. Odaberimo proizvoljne r, s D takve da je r + s < 1 i c n (r) = c n (s) = 0, za sve n > N. Denirajmo r i s sa r = r + c N (r)2 N, s = s + c N (s)2 N. Dakle, za n N 1 je c n (r) = c n (r ) i c n (s) = c n (s ) pa je A(r) = A(r ) + c N (r)v N, A(s) = A(s ) + c N (s)v N. Zbrojimo li prethodne dvije jednakosti, koriste i P N 1, dobivamo A(r) + A(s) A(r + s ) + c N (r)v N + c N (s)v N. (1.8) Ako je c N (r) = c N (s) = 0, tada je r = r i s = s pa dobivamo (1.7). Ako je c N (r) = 0 i c N (s) = 1, tada je desna strana u (1.8) jednaka A(r + s ) + V N = A(r + s ) + A(2 N ) = A(r + s + 2 N ). Kako je r = r i s = s + 2 N, to je jednako A(r + s). Slu aj c N (r) = 1 i c N (s) = 0 je analogan. Ako je pak c N (r) = c N (s) = 1, tada je desna strana u (1.8) jednaka A(r +s )+V N +V N A(r +s )+V N 1 = A(r +s )+A(2 N+1 ) A(r +s +2 N+1 ) = A(r+s), gdje posljednja inkluzija vrijedi zbog P N 1. Dakle, P N 1 povla i P N pa vrijedi (1.7). Pokaºimo sada kako tvrdnje teorema slijede iz (1.7). Kako svaki A(s) sadrºi 0, iz (1.7) slijedi A(r) A(r) + A(t r) A(r + t r) = A(t), (1.9) za r < t. Dakle, familija skupova {A(r) r D} je totalno urežena relacijom inkluzije. Dokaºimo sada da vrijedi f(x + y) f(x) + f(y), (1.10) 18

za sve x, y X. Pretpostavimo da je desna srana u (1.10) < 1. Fiksirajmo ε > 0. Tada postoje r, s D, takvi da je f(x) r < f(x) + ε 2, f(y) s < f(y) + ε, iz ega zbrajanjem dobivamo 2 r + s < f(x) + f(y) + ε. Kako x A(r), y A(s) i (1.7) povla i x + y A(r + s), sada slijedi (1.10) jer je f(x + y) r + s < f(x) + f(y) + ε i ε je bio proizvoljan. Uvjerimo se da je d metrika. Zbog (1.10), vrijedi d(x, z) = f(x z) = f(x y + y z) f(x y) + f(y z) = d(x, y) + d(y, z). Kako je svaki A(r) balansiran, imamo f( x) = inf{r D x A(r)} = inf{r D x A(r)} = f(x). Dakle, d(x, y) = f(x y) = f( (x y)) = d(y, x). Zatim, f(0) = inf{r D 0 A(r)} = 0 pa je d(x, x) = 0. Ako je x 0, kako je {V n } balansirana lokalna baza u 0, to postoji V n = A(2 n ) = A(r) takav da x / V n. Dakle, f(x) r = 2 n > 0 pa je f(x) = 0 ako i samo ako je x = 0. Dakle, Imamo d(x, y) = f(x y) = 0 x = y. d(x, y) = f(x y) 0. Zaklju ujemo da je d metrika. Osim toga, d je invarijantna metrika jer je d(x + z, y + z) = f(x + z (y + z)) = f(x y) = d(x, y). Otvorene kugle sa sredi²tem u 0 su otvoreni skupovi B δ (0) = {x X d(x, 0) < δ} = {x X f(x) < δ} = r<δ A(r). 19

Za svakii n N postoji δ > 0 takav da je δ < 2 n pa je A(r) A(δ) A(2 n ) = V n, a onda je i B δ (0) V n. Dakle, {B δ (0)} je lokalna baza topologije na X. Topologije generirane bazom B = {V n n N} i B = {B δ (0) δ > 0} su jednake pa smo dokazali (a). Kako je svaki A(r) balansiran, to je i svaki B δ (0) balansiran pa smo dokazali (b). Ako je svaki V n konveksan, to je i svaki A(r) pa iz (1.9) slijedi da to vrijedi i za svaki B δ (0) pa dakle i za svaki njegov translat. Time smo dokazali (d). 1.5.1 Cauchyjevi nizovi Neka je d metrika na skupu X. Niz {x n } u X je Cauchyev niz ako za svaki ε > 0 postoji N N takav da je d(x m, x n ) < ε za svaki m, n > N. Ako svaki Cauchyev niz u X konvergira 14 ka to ki iz X, kaºemo da je d potpuna metrika na X. Neka je τ topologija topolo²kog vektorskog prostora X. Cauchyev niz moºemo denirati i bez pozivanja na metriku. Fiksiramo lokalnu bazu B za τ. Za niz {x n } u X kaºemo da je Cauchyev niz ako za svaki V B postoji N N takav da je x n x m V za svaki m, n > N. Pretpostavimo sada da je X topolo²ki vektorski prostor ija je topologija τ usklažena sa invarijantnom metrikom d. Nazovimo prethodno uvedena dva koncepta d-cauchyevi nizovi i τ-cauchyevi nizovi, redom. Kako je d invarijantna metrika, vrijedi d(x n, x m ) = d(x n x m, x m x m ) = d(x n x m, 0) i kako su d-otvorene kugle sa sredi²tem u 0 (kugle iz skupa {B r (0) r > 0}) lokalna baza za τ, zaklju ujemo: Niz {x n } u X je d-cauchyev niz ako i samo ako je {x n } τ-cauchyev niz. Svake dvije invarijantne metrike na X, koje su usklažene sa istom topologijom τ, imaju istu familiju Cauchyevih nizova i istu familiju konvergentnih nizova. Time je dokazan sljede i teorem. 14 Niz {x n } u topolo²kom prostoru X konvergira ka to ki x 0 X ako za svaku okolinu O to ke x 0 postoji N N takav da je x n O za svaki n N. 20

Teorem 1.5.2 Neka su d 1 i d 2 invarijantne metrike na istom vektorskom prostoru X, koje induciraju istu topologiju na X, tada: (a) d 1 i d 2 imaju iste familije Cauchyevih nizova, (b) d 1 je potpuna ako i samo ako je d 2 potpuna metrika. Topolo²ki vektorski prostor X nazivamo 15 F -prostor ako je njegova topologija τ inducirana potpunom invarijantnom metrikom d, a Fréchetov prostor ako je X lokalno konveksan F -prostor. Prostor H(Ω) je beskona no dimenzionalan Fréchetov prostor sa Haine-Borelovim svojstvom. Sljede e su tvrdnje ponekad korisne. Teorem 1.5.3 (a) Neka je d invarijantna metrika na vektorskom prostoru X. Tada vrijedi d(nx, 0) nd(x, 0), za svaki x X i za n = 1, 2,... (b) Neka je {x n } niz u metrizabilnom topolo²kom vektorskom prostoru X. Ako x n 0 kada n, tada postoji niz {γ n } pozitivnih skalara, takav da γ n i γ n x n 0 kada n. Koriste i nejednakost trokuta, dobivamo d(nx, 0) d(nx, (n 1)x) + d((n 1)x, 0) d(nx, (n 1)x) + d((n 1)x, (n 2)x) +... + d(x, 0) = n d(kx, (k 1)x). k=1 Kako je d invarijantna metrika, to za svaki k vrijedi d(kx, (k 1)x) = d(kx (k 1)x, (k 1)x (k 1)x) = d(x, 0). Sada je d(nx, 0) n d(x, 0) = nd(x, 0). k=1 Time smo dokazali tvrdnju (a). Neka je d invarijantna metrika usklažena s topologijom na X. Kako x n 0, to d(x n, 0) 0 pa postoji rastu i niz {n k } prirodnih brojeva takav da je d(x n, 0) < 1 za n n k 2 k. Deniramo sada niz {γ n }, tako da je γ n = 1 15 Napomenimo da je ova terminologija u literaturi kori²tena i u ne²to druga ijem smislu. 21

za n < n 1, a γ n = k za n k n < n k+1. Za takav n, kori²tenjem tvrdnje (a), dobivamo d(γ n x n, 0) = d(kx n, 0) kd(x n, 0) < k 1 k 2 = 1 k. Dakle, γ n x n 0 kada n pa smo dokazali tvrdnju (b). 1.6 Omeženost i neprekidnost 1.6.1 Omeženi skupovi Omežen skup u topolo²kom vektorskom prostoru X denirali smo ranije. Moºe se pokazati (vjeºbe) da su kompaktni skupovi omeženi. Kada je X metrizabilan, postoji jo² jedna defnicija omeženosti. Ako je d metrika na skupu X, kaºemo da je skup E X d-omežen (omežen u metrici d) ako postoji M (0 < M < ) takav da je d(x, y) M, za sve x, y E. Ako je X topolo²ki vektorski prostor, ija je topologija usklažena s metrikom d, omeženi skupovi i d-omeženi skupovi ne moraju biti isti, ak i ako je d invarijantna metrika. Na primjer, ako je d metrika denirana kao u Toeremu 1.5.1, tada je X d-omežen (i M = 1), ali niti jedan topolo²ki vektorski prostor ne moºe biti omežen, osim trivijalnog (X = {0}). Ako je X normiran prostor i d metrika inducirana normom, tada se dvije denicije omeženosti podudaraju. Ako pak d zamijenimo s d 1 = d, ²to je invarijantna metrika 1+d koja inducira istu topologiju, denicije se ne podudaraju. Dokaºimo tvrdnju: Cauchyevi nizovi su omeženi 16. Dakle 17, konvergentni nizovi su omeženi. Neka je {x n } Cauchyev niz u X. Postoje balansirane okoline V i W od 0, takve da je V + V W. Kako je niz {x n } Cauchyev, to za V postoji N N takav da je x n x N + V, za svaki n N. Uzmimo s > 1 takav da je x N sv (to moºemo jer je jedno lani skup uvijek omežen). Tada vrijedi x n sv + V sv + sv sw, (prva inkluzija vrijedi jer je V balansiran) za svaki n N. Skup {x 1,..., x N 1 } je kona an pa je omežen, odnosno postoji t > 0, takav da je {x 1,..., x N 1 } 16 Za niz realnih brojeva {a n } kaºemo da je omežen ako postoji M > 0 takav da za sve n N vrijedi a n M. Niz {x n } u topolo²kom prostoru je omežen ako je x n E, gdje je E omežen skup, za svaki n N. 17 U topolo²kom je prostoru svaki konvergentan niz Cauchyev. 22

tw. Neka je r := max{t, s}. Tada je x n rw, za svaki n N. Dakle, niz {x n } je omežen. Moºe se pokazati da je zatvara omeženog skupa omežen (vjeºbe). S druge strane, ako je x 0 i E = {nx n = 1, 2,...}, tada skup E nije omežen. Naime, postoji okolina V od 0 koja ne sadrºi x pa nx / nv. Dakle, E nv, za svaki n > 0, pa E nije omežen. Posljedica toga je da niti jedan potprostor od X, osim {0}, nije omežen. Naredni teorem karakterizira omeženost pomo u nizova. Teorem 1.6.1 Sljede a dva svojstva skupa E u topolo²kom vektorskom prostoru su ekvivalentna: (a) E je omežen. (b) Ako je {x n } niz u E i {α n } je niz skalara takav da α n 0 kada n, tada α n x n 0 kada n. Neka je {x n } proizvoljan niz u E. Neka je E omežen. Neka je V balansirana okolina od 0 u X. Tada postoji s > 0 takav da za svaki t > s vrijedi E tv. Ako je {α n } niz skalara takav da α n 0, tada postoji N N takav da je α n < 1 za svaki n > N. Sada je t α n x n V. Kako je V je balansiran, slijedi da je α n x n V za svaki n > N. Dakle, α n x n 0. Dokaºimo sada obrat. Ako E nije omežen, tada postoji okolina V od 0 i niz skalara r n, takav da E r n V za svaki n. Odaberimo po jedan x n E, takav da x n / r n V. Tada 1 1 r n 0 i r n x n / V pa 1 r n x n 0. Dakle, dobili smo kontradikciju pa slijedi da je E omežen. 1.6.2 Omeženi linearni operatori Neka su X i Y toplo²ki vektorski prostori i Λ : X Y linearni operator. Kaºemo da je Λ omežen, ako preslikava omežene skupove u omežene skupove, odnosno ako je za svaki omežen skup E X i Λ(E) Y omežen u Y. Ova se denicija ne poklapa s uobi ajenom denicijom omežene funkcije (prema kojoj je funkcija omežena ako je njezin rang omežen skup). Teorem 1.6.2 Neka su X i Y toplo²ki vektorski prostori i Λ : X Y linearni operator. Mežu naredna etiri svojstva od Λ vrijede implikacije (a) (b) (c). 23

Ako je X metrizabilan, tada vrijedi i (c) (d) (a), odnosno sva su etiri svojstva ekvivalentna. (a) Λ je neprekidan. (b) Λ je omežen. (c) Ako x n 0, tada je skup {Λ(x n ) n = 1, 2,...} omežen. (d) Ako x n 0, tada Λ(x n ) 0. Pretpostavimo da vrijedi (a). Neka je E omežen skup u X. Neka je W okolina od 0 u Y. Kako je Λ neprekidan i linearan (Λ(0) = 0), postoji V, okolina od 0 u X, takva da je Λ(V ) W. Kako je E omežen, to postoji s > 0 takav da je E tv, za svaki t > s. Dakle, Λ(E) Λ(tV ) = tλ(v ) tw pa je Λ(E) omežen skup u Y, odnosno vrijedi (b). Neka vrijedi (b) i neka x n 0. Kako su konvergentni nizovi omeženi, slijedi da je {x n } omežen. Sada iz (b) slijedi da je skup {Λ(x n ) n = 1, 2,...} omežen u Y. Dakle, slijedi (c). Pretpostavimo sada da je X metrizabilan. Neka vrijedi (c). Prema Teoremu 1.5.3, postoji niz {γ n } pozitivnih skalara, takav da γ n i γ n x n 0. Dakle, i skup {Λ(γ n x n )} je omežen skup u Y, prema (c). Prema Teoremu 1.6.1, imamo Λ(x n ) = γ 1 n Λ(γ n x n ) 0 kada n. Dakle, vrijedi (d). Pretpostavimo suprotno, da ne vrijedi (a), odnosno da Λ nije neprekidan. Tada, postoji okolina W od 0 u Y takva da ne postoji okolina V od 0 u X takva da je Λ(V ) W, odnosno Λ 1 (W ) ne sadrºi niti jednu okolinu od 0 u X. Kako je X metrizabilan, ima prebrojivu lokalnu bazu {V n }. Prema Teoremu 1.5.1, postoji niz {x n } takav da je x n V n i x n 0. No, Λ(x n ) / W, ²to je u kontradikciji s (d). Dakle, vrijedi (a). 24

1.7 Polunorme i lokalna konveksnost Polunorma na vektorskom prostoru X je funkcija p : X R, koja zadovoljava uvjete: (a) p(x + y) p(x) + p(y), (b) p(αx) = α p(x), za sve x, y X i za svaki α Φ. Svojstvo (a) nazivamo subaditivnost. Naredni teorem pokazat e da je polunorma norma ako vrijedi jo² i uvjet: (c) p(x) 0 za x 0. Familiju P polunormi na X nazivamo separiraju om ako za svaki x 0 postoji barem jedan p P takav da je p(x) 0. Promotrimo konveksan skup A X, koji je apsorbiraju i 18, u smislu da za svaki x X postoji t = t(x) > 0 takav da je x ta. Funkcional Minkovskog µ A od A deniramo sa µ A (x) = inf{t > 0 t 1 x A}, gdje je x X. Primijetimo da je µ A (x) < za svaki x X, jer je A apsorbiraju i. U nastavku emo pokazati da su polunorme na X upravo funkcionali Minkovskog na balansiranim konveksnim apsorbiraju im skupovima. Polunorme su usko povezane s lokalnom konveksno² u na dva na ina. U svakom lokalno konveksnom prostoru postoji separiraju a familija neprekidnih polunormi. Obratno, ako je P separiraju a familija polunormi na vektorskom prostoru X, tada se pomo u P moºe denirati lokalno konveksna topologija na X sa svojstvom da je svaka polunorma p P neprekidna. To je esto kori²teni na in uvoženja topologije (detalji e biti dani u narednim teoremima). Teorem 1.7.1 Neka je p polunorma na vektorskom prostoru X. Tada vrijedi: (a) p(0) = 0, (b) p(x) p(y) p(x y), (c) p(x) 0, (d) {x X p(x) = 0} je potprostor od X, 18 Moºe se pokazati da je svaka okolina od 0 u topolo²kom vektorskom prostoru apsorbiraju a. Svaki apsorbiraju i skup sadrºi 0. 25

(e) skup B = {x X p(x) < 1} je konveksan, balansiran, apsorbiraju i i vrijedi p = µ B. Tvrdnja (a) slijedi iz p(αx) = α p(x) za α = 0. Koriste i subaditivnost, dobivamo p(x) = p(x y + y) p(x y) + p(y). Dakle, p(x) p(y) p(x y). Zamijenimo li x i y, dobivamo p(y) p(x) p(y x). Kako je p(y x) = 1 p(x y) = p(x y), slijedi (b). Uvrstimo li u (b) y = 0, koriste i (a), dobivamo 0 p(x) p(x). Dakle, vrijedi (c). Neka su x, y {x X p(x) = 0} i α, β Φ. Tada je αx + βy X. Koriste i (c), dobivamo 0 p(αx + βy) α p(x) + β p(y) = 0 pa je p(αx + βy) = 0, odnosno αx + βy {x X p(x) = 0}, ime smo dokazali (d). Dokaºimo da je skup B konveksan. Neka su x, y B i 0 α 1. Vrijedi p(αx+(1 α)y) α p(x)+ 1 α p(y) = αp(x)+(1 α)p(y) < α+1 α = 1. Dakle, αx + (1 α)y B. Dokaºimo zatim da je B balansiran. Neka je α Φ, takav da je α 1. Za y αb, postoji x B takav da je y = αx. Sada je p(y) = p(αx) = α p(x) 1 p(x) < 1 pa je y B. Dakle, αb B, za α 1. Dokaºimo jo² da je B apsorbiraju i. Ako je x X i s > p(x), tada je p(s 1 x) = s 1 p(x) = 1p(x) < s 1. Dakle, s 1 x B pa je B apsorbiraju i. Pokaºimo jo² i da je p = µ B. Imamo najprije µ B (x) = inf{t > 0 t 1 x B}. Kako je inf{t > 0 t 1 x B} = inf{t > 0 t 1 p(x) < 1} = inf{t > 0 p(x) < t}, vrijedi µ B (x) p(x). Ali, ako je 0 < t p(x), tada je p(t 1 x) 1 pa t 1 x / B pa je p(x) µ B (x). Dakle, p(x) = µ B (x). Teorem 1.7.2 Neka je A konveksni apsorbiraju i skup u vektorskom prostoru X. Tada vrijedi: (a) µ A (x + y) µ A (x) + µ A (y). (b) µ A (tx) = tµ A (x), ako je t 0. 26

(c) µ A je polunorma ako je A balansiran skup. (d) Ako je B = {x X µ A (x) < 1} i C = {x X µ A (x) 1}, tada je B A C i µ B = µ A = µ C. Pridruºimo svakom x X skup H A (x) = {t > 0 t 1 x A} R. Ako je t H A (x) i s > t, tada je i s H A (x) (jer je 0 A (jer je A apsorbiraju i) i A je konveksan). Svaki H A (x) je polupravac, ija je lijeva krajnja to ka µ A (x). Neka je µ A (x) < s, µ A (y) < t i u = s + t. Tada je s 1 x A i t 1 y A. Kako je A konveksan i s + t = 1, to je u u u 1 (x + y) = 1 u x + 1 u y = s u s 1 x + t u t 1 y A. Dakle, µ A (x + y) u pa vrijedi (a). Vrijedi µ A (tx) = inf{λ > 0 λ 1 (tx) A} = inf{λ > 0 ( λ t ) 1 x A} = inf{λ t > 0 (λ ) 1 x A} = t inf{λ > 0 (λ ) 1 x A} = tµ A (x). Dakle, vrijedi (b). Neka je A balansiran skup. Dokaºimo da je µ A polunorma. Vrijede (a) i (b). Jo² treba provjeriti da li je µ A (tx) = t µ A (x), ako je t < 0. Kako je A balansiran, slijedi da je A simetri an, odnosno da ako je y A tada je i y A. Sada je µ A (tx) = inf{λ > 0 λ 1 tx A} = inf{λ > 0 λ 1 tx A} = t inf{λ > 0 (λ ) 1 x A} = tµ A (x) = t µ A (x). Dokaºimo jo² da vrijedi (d). Ako je x B, tada je µ A (x) < 1 pa je 1 H A (x). Dakle, x A pa je µ A (x) 1, a onda je i x C pa imamo B A C. Iz toga slijedi da je H B (x) H A (x) H C (x), za svaki x X, pa je µ C (x) µ A (x) µ B (x). Kako bismo dokazali da vrijedi jednakost, pretpostavimo da je µ C (x) < s < t. Tada je s 1 x C pa je µ A (s 1 x) 1. Sada je µ A (t 1 x) s t < 1. Dakle, t 1 x B pa je µ B (t 1 x) < 1, a time i µ B (x) t. Dakle, µ C (x) µ A (x) µ B (x) pa vrijedi traºena jednakost. 27

Teorem 1.7.3 Neka je B konveksna balansirana lokalna baza topolo²kog vektorskog prostora X. Svakom V B pridruºimo funkcional Minkovskog µ V. Tada je familija {µ V V B} separiraju a familija neprekidnih polunormi na X. Kako je V konveksan, balansiran i apsorbiraju i (sadrºi 0), slijedi da je µ V polunorma. Ako je x X i x 0, tada postoji V B takav da x / V. Za taj V imamo µ V (x) 1 pa je {µ V } separiraju a familija. Dokaºimo sada da je, za svaki V, µ V neprekidan. Ako je x V, tada je i tx V za neki t > 1, jer je V otvoren skup. Dakle, µ V (x) < 1 za svaki x V. Ako je r > 0, iz Teorema 1.7.1 slijedi da je µ V (x) µ V (y) µ V (x y) < r, za x y rv. Kako je za svaki V, koji je okolina od 0 u X, rv takožer okolina od 0 u X, zaklju ujemo da je µ V : X R neprekidna funkcija. Preciznije, funkcional Minkovskog je uniformno neprekidan funkcional. Teorem 1.7.4 Neka je P separiraju a familija polunormi na vektorskom prostoru X. Svakom p P i svakom n N pridruºimo skup V (p, n) = {x X p(x) < 1 n }. Neka je B skup svih kona nih presjeka skupova V (p, n). Tada je B konveksna balansirana lokalna baza topologije τ na X, ime X postaje lokalno konveksan prostor, takav da vrijedi: (a) svaka polunorma p P je neprekidna u toj topologiji, (b) skup E X je omežen ako i samo ako je svaka polunorma p P omežena na E. Denirajmo, A X je otvoren ako i samo je A (mogu e prazna) unija translata elemenata od B. Time je denirana translacijski invarijantna topologija τ na X. Svaki skup V (p, n) je konveksan i balansiran pa je B konveksna i balansirana lokalna baza za τ. Neka je x X, x 0. Kako je P separiraju a familija, to postoji p P takav da je p(x) > 0. Za np(x) > 1 imamo p(x) > 1 pa x / V (p, n). Skup n V (p, n) je otvorena okolina od 0 pa je x V (p, n) okolina od x koja ne sadrºi 28

0. Dakle, x nije element zatvara a od {0}. Slijedi da je {0} zatvoren skup. Kako je τ translacijski invarijantna topologija, zaklju ujemo da je svaka to ka iz X zatvoren skup. Sada dokazujemo da su zbrajanje i mnoºenje skalarom neprekidni. Neka je U okolina od 0 u X. Tada je U V (p 1, n 1 ) V (p m, n m ), (1.11) za neke p 1,..., p m P i n 1,..., n m N. Stavimo V = V (p 1, 2n 1 ) V (p m, 2n m ). Svaka polunorma p P je subaditivna pa ako su x, y V tada je p i (x) < 1 2n i i p i (y) < 1 2n i te je p i (x + y) p i (x) + p i (y) < 1 2n i + 1 2n i = 1 n i, odnosno x + y U. Dakle, V + V U, ²to dokazuje da je zbrajanje neprekidno. Neka je x X, α Φ, a U, V okoline od 0 denirane kao gore. Kako je skup {x} omežen, to je {x} sv, za neki s > 0. Stavimo t =. Ako je y x + tv i β α < 1, tada je s s 1+ α s βy αx = β(y x) + (β α)x β tv + β α sv V + V U, jer je β t 1 i V je balansiran. Dakle, ako je y element okoline od x, tada je βy element okoline od αx, za svaki β za koji je β α < 1, ²to dokazuje da s je mnoºenje skalarom neprekidno. Dokazali smo da je X lokalno konveksan prostor. Dokaºimo (a). Ako je x V (p, n), tada je p(x) < 1 pa je p neprekidna n u 0. Za x y V (p, n), p(x) p(y) p(x y) < 1 pa je p uniformno n neprekidna. Dokaºimo (b). Neka je E X omežen. Fiksirajmo p P. Kako je V (p, 1) okolina od 0, E kv (p, 1) za neki k <. Dakle, p(x) < k, za svaki x E pa je svaki p P omežen na E. Obratno, neka je svaka polunorma p P omežena na E. Neka je U okolina od 0 u X za koju vrijedi (1.11). Postoje brojevi M i < takvi da je p i (x) < M i, za svaki x E. Ako je n > M i n i, za i = 1,..., m, tada je E nu pa je E omežen. Napomene: U Teoremu 1.7.4 bilo je nuºno uzeti kona ne presjeke skupova V (p, n), sami skupovi V (p, n) ne moraju formirati lokalnu bazu. Na primjer, ako je X = R 2 i P = {p 1, p 2 }, gdje su polunorme denirane sa p i (x) = x i, za i = 1, 2 (ovdje je x = (x 1, x 2 )). Ako je B konveksna balansirana lokalna baza topologije τ na lokalno konveksnom prostoru X, tada B generira separiraju u familiju P neprekidnih polunormi na X, kao u Teoremu 1.7.3. Familija P inducira topologiju τ 1 na 29

X, kao ²to je opisano u Teoremu 1.7.4. Pitamo se da li je τ = τ 1. Odgovor je da. Obrazloºimo. Svaki p P je τ-neprekidan pa su skupovi V (p, n) τ. Dakle, τ 1 τ. Obratno, ako je W B i p = µ W, tada je W = {x X µ W (x) < 1} = V (p, 1). Dakle, W τ 1 za svaki W B, ²to povla i da je τ τ 1. Neka je P = {p i i = 1, 2,...} prebrojiva separiraju a familija polunormi na X. Iz Teorema 1.7.4 slijedi da P inducira topologiju τ s prebrojivom lokalnom bazom B (skupova V (p, n) ima prebrojivo mnogo pa time i njihovih presjeka). Prema Teoremu 1.5.1, τ je metrizabilna (odnosno takav prostor je metrizabilan). Translacijski invarijantna metrika usklažena s tom topologijom moºe se denirati sa d(x, y) = i=1 2 i p i (x y) 1 + p i (x y). Pokaºite da je d metrika. Primijetimo da je ovdje d(x, y) i=1 1 2 i pa se radi o redu koji konvergira ka 1. Kako bismo pokazali da je d usklažena s τ, pokazat emo da otvorene kugle B r (0) = {x X d(0, x) < r}, gdje je r > 0 ine lokalnu bazu topologije τ. Neka je W τ okolina od 0 u X. Tada je W k i=1v (p i, n i ). Ako je x B r (0), tada je 2 i p i (x) 1+p i < r, za (x) i = 1, 2, 3,... Za dovoljno mali r, iz prethodne nejednakosti dobivamo da su p 1 (x),..., p k (x) tako mali da B r (0) leºi u svakom od skupova V (p i, n i ). Dakle, B r (0) W pa otvorene kugle B r (0) ine lokalnu bazu. Time smo dokazali da je d usklažena s τ. Teorem 1.7.5 Topolo²ki vektorski prostor X je normabilan ako i samo ako njegovo isodi²te (odnosno 0 u X) ima ima konveksnu omeženu okolinu. Neka je X normabilan. Tada postoji norma : X R, takva da je usklažena s topologijom τ na X. Promotrimo otvorene jedini ne kugle B 1 (0) = {x X x < 1}. Uvjerite se da se radi o konveksnim skupovima. Radi se i o omeženim skupovima, jer za svaku okolinu V od 0 u X, postoji kugla B r (0) koja je sadrºana u V. Zatim je tv tb r (0) B 1 (0), za tr > 1. Obratno, neka je V konveksna omežena okolina 0. Na vjeºbama ste dokazali da svaka konveksna okolina od 0 sadrºi balansiranu konveksnu okolinu od 0. Dakle, V sadrºi konveksnu balansiranu okolinu U od 0. Naravno, U je i omežen skup. Denirajmo preslikavanje na X sa x = µ U (x). 30

Na vjeºbama ste dokazali da za omežen skup U, skupovi ru, gdje je r > 0, ine lokalnu bazu neke topologije na X. Ako je x 0 tada postoji r > 0 takav da x / ru. Dakle, µ U (x) r. Prema Teoremu 1.7.2, µ U je norma. Denicija funkcionala Minkovskog, zajedno s injenicom da je U otvoren skup, povla i da je {x X x < r} = ru, za svaki r > 0. Dakle, topologija inducirana ovako deniranom normom podudara se s ranije spomenutom topologijom na X. 1.8 Kvocijentni prostor i kvocijentna topologija Neka je N potprostor vektorskog prostora X. skup koji sadrºi x π(x) = x + N. Za svaki x X deniramo Ti su skupovi elementi vektorskog prostora X/N, koji nazivamo kvocijentni prostor od X modulo N. U tom su prostoru zbrajanje i mnoºenje skalarom denirani sa π(x) + π(y) = π(x + y), (1.12) απ(x) = π(αx), (1.13) za x, y X, α Φ. Ovdje je π(x)+π(y) = x+n +y+n, ²to je zbog toga ²to je N vektorski prostor jednako x+y+n. Zatim, απ(x) = αx+αn = αx+n. Za α = 0, imamo απ(x) = N, ²to je druga ije od uobi ajene denicije skalarnog mnoºenja. Kako je N vektorski prostor, operacije (1.12) i (1.13) su dobro denirane. To zna i da ako je π(x) = π(x ) (²to zna i da je x x N) i π(y) = π(y ), tada je π(x) + π(y) = π(x ) + π(y ), απ(x ) = απ(x). Nula u X/N je π(0) = N. Iz (1.12) i (1.13) vidimo da je π linearno preslikavanje sa X na X/N, iji je null prostor N. Obi no π nazivamo kvocijentno preslikavanje sa X na X/N. Neka je τ vektorska topologija na X i N zatvoreni potprostor od X. Tada moºemo denirati toplogiju τ N na X/N sa τ N = {E X/N π 1 (E) τ}. 31

Takvu topologiju τ N nazivamo kvocijentna topologija. Neka njezina svojstva dana su narednim teoremom, kojeg ne emo dokazivati. Teorem 1.8.1 Neka je N zatvoreni podprostor topolo²kog vektorskog prostora X. Neka je τ vektorska topologija na X i τ N = {E X/N π 1 (E) τ}. Tada vrijedi: (a) τ N je vektorska toplologija na X/N. Kvocijentno preslikavanje π : X X/N je linearno, neprekidno i otvoreno 19. (b) Ako je B lokalna baza za τ, tada je familija B N = {π(v ) V B} lokalna baza za topologiju τ N. (c) Sva naredna svojstva X/N naslježuje od X: lokalna konveksnost, lokalna omeženost, metrizabilnost, normabilnost. (d) Ako je X F-prostor ili Fréchetov prostor ili Banachov prostor, tada je to i X/N. 19 Otvoreno preslikavanje je ono koje otvorene skupove preslikava u otvorene skupove. 32

Poglavlje 2 Potpunost 2.1 Baireov teorem Mnogi vaºni teoremi funkcionalne analize ovise o potpunosti sustava kojima se bave. U ovom emo odjeljku iznijeti Baireov teorem o potpunim metri kim prostorima. Opi²imo najprije terminologiju koju je uveo Baire. Neka je S topolo²ki prostor. Kaºemo da je skup E S nigdje gust (koristi se jo² i naziv mr²av) ako je unutra²njost zatvara a E prazan skup, odnosno (E) =. Skupovi prve kategorije u S su oni koji su prebrojive unije nigdje gustih skupova. Za svaki podskup od S koji nije prve kategorije kaºemo da je skup druge kategorije u S. Navedimo neka (o igledna) svojstva kategorija, koja emo koristiti u nastavku. (a) Ako je A B i B je prve kategorije u S, tada je i A prve kategorije u S. (b) Svaka prebrojiva unija skupova prve kategorije je skup prve kategorije. (c) Svaki zatvoreni skup E S, ija je unutra²njost prazan skup, je skup prve kategorije u S. (d) Ako je h : S S homeomorzam i E S, tada E i h(e) imaju istu kategoriju u S. Teorem 2.1.1 (Baireov teorem) Ako je S (a) potpun metri ki prostor ili (b) lokalno kompaktan Hausdorov prostor, 33

tada je presjek svake prebrojive familije gustih otvorenih skupova u S gust skup u S. Prije dokaza napomenimo da se ovaj teorem obi no naziva i teorem kategorije. Pojasnimo za²to. Ako je {E i } prebrojiva familija nigdje gustih C skupova u S i ako je V i = E i, tada je svaki Vi gust i prema Baireovom teoremu vrijedi V i. Dakle, S E i, odnosno S nije unija prebrojivo mnogo nigdje gustih skupova. Dakle, potpuni metri ki prostori, kao i lokalno kompaktni Hausdorovi prostori su druge kategorije. Dokaz Baireovog toerema: Neka su V 1, V 2,... gusti otvoreni skupovi u S. Neka je B 0 proizvoljan neprazan otvoren skup u S, odnosno B 0 τ S. Ako za n 1 odaberemo otvoren skup B n 1, tada (zbog toga ²to je V n gust pa je V n B n 1 ) postoji otvoreni skup B n takav da je B n V n B n 1. U slu aju (a) za B n moºemo uzeti otvorene kugle radijusa 1. U slu aju (b) n moºemo skup B n odabrati tako da je B n kompaktan skup (²to je mogu e 1 u lokalno kompaktnom Hausdorovom prostoru). Stavimo K = B n. n=1 U slu aju (a) sredi²ta kugli B n ine Cauchyev niz koji (budu i da je S potpun prostor) konvergira ka nekoj to ki iz K. Dakle, K. U slu aju (b) K zbog kompaktnosti 2 od B n i injenice da svaki silazni niz nepraznih podskupova topolo²kog prostora ima svojstvo da je presjek svakog kona nog broja lanova tog niza neprazan. Sada imamo K = B n (V n B n 1 ). n=1 n=1 1 Koristimo lemu: Neka je X lokalno kompaktan Hausdorov prostor, K X kompaktan skup i U X otvoren skup takav da je K U. Tada postoji otvoreni skup V X sa kompaktnim zatvara em V takvim da je K V V U. 2 Ovdje koristimu lemu: Neka je X Hausdorov prostor i neka je {K α α A} familija kompaktnih podskupova od X. Ako je α A K α =, tada postoji kona an skup F A takav da je α F K α =. 34