Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje: Gibanje tijela u općem slučaju rastavlja se na translaiju entra mase i rotaiju oko entra mase. ko postoje neki spojevi dodaju se pripadne reakije u spojevima i jednadžbe oraničavanja ibanja koje uvodi pojedini spoj. U ovom slučaju to je spoj u. Diferenijalne jednadžba translaije i rotaije tijela pod djelovanjem sila prema. Newtonovom aksiomu su: d ( m v ) m a dt dk dt ranslaija tijela: ma ( ) ( ) ma ma x x y y ma 0 ma m...() x y ax 0 Rotaija tijela oko entra mase: m m os...() 6os Jednadžbe oraničavanja ibanja u spoju : a 0 y a a a a a 0, n, t, n ay 0 ay os ay os...() Rješenjem sustava jednadžbi odredi se 6os os,, y a m os os os.način: Na štap djeluju isključivo vertikalne sile, što znači da se horizontalna komponenta količine ibanja pod djelovanjem sila ne mijenja u odnosu na početni trenutak, odnosno entar mase iba se po vertikali. d ( m v X ) 0 m v X onst. 0 dt v v y m ripremila do.dr.s.veria Raduka a y a x v, a m
Za dvije točke štapa znamo prave vektora brzina i vektora ubrzanja. pa možemo odrediti trenutni pol rotaije. renutni pol ubrzanja za trenutak kada počinje ibanje identičan je polu brzina (v =0), jer u tom trenutku nema normalnih komponenti ubrzanja. ko ishodište koordinatno sustava postavimo u nepomičnu točku, možemo promatrati rotaiju oko ishodišta: m os os os m m 6os ( os ) Sada jednostavno odredimo ubrzanje entra mase os a a, os j ay. ( os ) Silu u spoju odredimo iz ma Zadatak. ma ma x x y y ma 0 ma m m ma x y y ax 0 m os Štap B duljine, mase m, pridržan užetom u točki B miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. Rješenje: B a x G, B a t / G a y Gibanje tijela u općem slučaju definirano je translaijom entra mase i rotaijom oko entra mase. ko postoje neki spojevi dodaju se pripadne reakije u spojevima i jednadžbe oraničavanja ibanja koje uvodi pojedini spoj. U ovom slučaju dodaju se sile i B. Diferenijalne jednadžba translaije i rotaije tijela pod djelovanjem sila prema. Newtonovom aksiomu su: ma ripremila do.dr.s.veria Raduka
ranslaija entra: ma ma B Rotaija oko entra: x ma G y Dinamika tijela...()...() m os B sin,...() Jednadžbe oraničenja ibanja zbo spojeva u i B: a 0 y n t a a a/ a/ ay 0 ay os ay os...(4) a 0 Bx n t ab a ab / ab / abx ax sin 0 ax sin...(5) Rješenjem sustava odrede se nepoznate veličine a x, a y,, i B.. način nalizom jednadžbi oraničenja ibanja u točkama i B, uočavamo da se ubrzanje entra može riješiti iz rotaije oko pola ubrzanja (a =0). ol ubrzanja za trenutak kada počinje ibanje identičan je polu brzina (v =0), jer u tom trenutku nema normalnih komponenti ubrzanja. ko ishodište koordinatno sustava postavimo u nepomičnu točku, možemo promatrati rotaiju oko ishodišta: rednost ove jednadžbe je da nepoznate sile i B ne daju moment na točku, te se iz ove jednadžbe odredi kutno ubrzanje m os, oment tromosti mase štapa na točku odredi se prema Steinerovom pravilu, a zatim i kutno ubrzanje. Na taj način izbjeli smo rješavanje sustava jednadžbi. m m, m os os m. Zatim iz jednadžbi (4) i (5) odredimo ubrzanje entra mase, a nakon toa iz () i () sile u spoju i B. ay os...(4) ax sin...(5) B ma x G ma y...()...() ripremila do.dr.s.veria Raduka
Zadatak. Kružni disk polumjera R, kotrlja se po horizontalnoj podlozi pod djelovanjem sile. reba odrediti potrebnu veličinu sile trenja ako je udaljenost sile od entra diska: a) na udaljenosti r=r b) na udaljenosti r=0 ) na udaljenosti r= R/ ožemo pisati diferenijalne jednadžbe translaije entra diska (), i diferenijalne jednadžbe rotaije oko entra diska (), uz dodatni uvjet kotrljanja (), ili diferenijalnu jednadžbu rotaije oko pola (4) iz koje odredimo kutno ubrzanje bez rješavanja sustava jednadžbi. ma () a) b) a R ili a () () (4) R (4) R mr 4 4 mr a R mr m () ma 4 m m r (4) () R R a R mr mr m ma a m m Sila trenja je usmjerena suprotno pretpostavi prikazanoj na rtežu. ) a R R a R ma m m 0 mr mr m Disk će se kotrljati i po latkoj podlozi! ripremila do.dr.s.veria Raduka
Zadatak 4. Kružni disk miruje na horizontalnoj hrapavoj podlozi kad na njea djeluje impuls S. ko je poznat koefiijent trenja kotrljanja k, treba odrediti: nakon koliko sekundi će se disk početi kotrljati bez klizanja po podlozi brzinu entra diska i kutnu brzinu u tom trenutku. ω S v 0 a v Gibanje tijela u općem slučaju rastavlja se na translaiju entra mase i rotaiju oko entra mase. ko postoje neki spojevi dodaju se pripadne reakije u spojevima i jednadžbe oraničavanja ibanja koje uvodi pojedini spoj. Djelovanje impulsa S na tijelo: mv mv dt S ( translaija entra mase),, ( S ) ( rotaija oko entra mase) Od djelovanja trenutno impulsa disk će promijeniti količinu ibanja. Kinetički moment se ne mijenja jer impuls djeluje u entru mase diska. S mv,0 m0 S v,0 ( početna brzina) m 0 0 0 0 0 U početnom trenutku disk se ne rotira, što znači da počinje klizati po podlozi. Sila trenja usmjerena je suprotno smjeru klizanja. Diferenijalne jednadžba translaije i rotaije tijela pod djelovanjem sila, prema. Newtonovom aksiomu su: ma ranslaija entra: ma k k N m a k Rotaija oko entra: R (disk usporava) k mr kmr R Ubrzanje točke D u trenutku kad počne ibanje a a a. (usporava!) D D/ a a R Dx k D ripremila do.dr.s.veria Raduka
Kotrljanje će početi kad brzina u točki D postane jednaka nuli (pol brzina je u kontaktu diska s podloom), a istovremeno i ubrzanje a Dx postaje jednako nuli, jer ubrzanje pola brzina kod kotrljanja mora biti usmjereno okomito na podlou. Brzina točke D odredimo iz brzine translaije entra i pribrojeno doprinosa od rotaije oko entra: v v v D D Dx D / v v v R entar diska iba se po pravu, tako da promjenu brzine entra u vremenu, uz zadanu početnu brzinu v 0 i poznato usporenje a =onst., možemo izraziti kao: v v 0 at. Kutna brzina diska mijenja se po zakonu: t dt t ( 0) 0 0 0 z uvjeta v D =0, slijedi vrijeme t nakon koje će se disk početi kotrljati: k v0 vd v0 kt tr 0 t R k b) Brzina entra i kutna brzina u trenutku t kad počinje kotrljanje: k k v0 v0 t R R k R v, v0 kt v0 ripremila do.dr.s.veria Raduka