6. Geometrické charakteristiky rovinných plôch

Transcript

1 6. Geometické chaakteistik ovinných lôch Pi iešení kútenia a ohbu nosníkov sa stetávame s veličinami, ktoé chaakteizujú ovinné loch iečnch ezov, na ktoých všetujeme naätie. ú to statický moment a kvadatické moment. V tejto kaitole budeme ojednávať o ich vlastnostiach a ebeieme si sôsob ich výočtu. 6. tatický moment ovinných lôch Uvažujme všeobecný ovinný obazec odľa ob.6. s lochou. tatický moment k osi- označujeme, statický moment k osi- označujeme. tatické moment sú definované omocou vzťahov: ( ) ( ) d d (6.) Ob. 6. Ob. 6. Rozme statického momentu v sústave I je m. Podľa oloh osí vzhľadom k loche môže bť statický moment kladný, záoný alebo nulový. Pi aalelnom osunutí osí sa statický moment zmení, čo si ukážeme v nasledujúcom. Uvažujme dve vzťažné sústav (, ) a (, ). Z ob.6. je zejmé, že latí: Po dosadení do (6.) dostaneme: + a + b ( ) ( ) ( + b) ( + a) d d alebo:,, + b + a (6.) Tieto vzťah môžeme vjadiť takto: tatický moment ovinnej loch vzhľadom k ľubovoľnej osi je ovný statickému momentu vzhľadom k ovnobežnej osi zväčšenému o súčin loch a vzdialenosti osí. 58

2 Os, ku ktoej je statický moment ovný nule sa nazýva centálna os. Ak oložíme vo vzťahoch (6.),, dostaneme e centálne osi v sústave (, ):,, T T (6.) e zejmé, že sú to iamk ovnobežné s osami,. Bod, v ktoom sa centálne osi etínajú sa nazýva ťažisko. eho súadnice sú: T, T. Vzhľadom k ľubovoľnej osi echádzajúcej ťažiskom je teda statický moment nulový. Píklad 6. Vočítame lochu, statický moment a súadnicu T ťažiska aabolických výsečí na ob.6.. Ich vužitie je otebné e niektoé metód výočtu ohbových defomácií nosníkov. Ob. 6. a.) Paabolická výseč na ob.6.a je vmedzená aabolou: h l iamkou l a osou. Pe lochu výseče dostávame : tatický moment k osi : h d h l d l l h d d h l d l Ťažisko má súadnicu : T l b.) Paabolická výseč na ob.6.b je vmedzená aabolou: h l a osami,. ej locha má veľkosť: l d h d h l l l 59

3 tatický moment k osi : Ťažisko má súadnicu: T l d h h l d l l 8 6. Kvadatické moment ovinných lôch Uvažujme ovinnú lochu s lošným obsahom. Zvoľme si osi, v ovine loch ieezu odľa ob.6.. Potom môžeme definovať tzv. kvadatické moment ovinnej loch: to je osový a olán moment zotvačnosti a deviačný moment. Osový (aiáln) moment zotvačnosti ovinnej loch k osi a k osi je definovaný vzťahmi (6.) a je vžd kladný: ( ) ( ) d d (6.). Polán moment zotvačnosti ovinnej loch (ob.6.) definujeme vzťahom: d (6.5) ( ) Petože + otom: + (6.6). Deviačný moment ovinnej loch definujeme vzťahom (6.7). Môže bť kladný, záoný alebo nulový. Závisí to od oloh osí vzhľadom k loche. Ak je jedna z osí osou súmenosti loch, latí: D D. Rozme jednotk kvadatických momentov ovinnej loch v sústave I je (m ). D D d (6.7) ( ). Polome zotvačnosti i, i ovinnej loch odovedajúci osovým momentom zotvačnosti, definujeme vzťahmi: i i Odtiaľ: i i (6.8) Píklad 6. Vočítajte všetk kvadatické moment a) obdĺžnika o ozmeoch stán b, h b) kuhu s olomeom vzhľadom k osiam súmenosti. Taktiež vočítame olome zotvačnosti. 6

4 Riešenie: a) Obdĺžnik (ob.6.): Ob. 6. Osový moment zotvačnosti vzhľadom k osi odľa (6.) je: + h + h b b h d b d (6.9) h h Osový moment zotvačnosti k osi odľa (6.) vočítame analogick: + b + b h b h d h d (6.) b Polán moment zotvačnosti odľa (6.6) je: b h + ( b + h ) (6.) Deviačný moment odľa (6.7) je: + b / + h / D D d d d ( ) b / h / b Tento výsledok je v súlade s tvdením, že deviačný moment k osiam,, z ktoých asoň jedna je osou súmenosti, je nulový. Polome zotvačnosti odľa (6.8) sú: i b h h b h i b 6

5 6 b) Kuh (ob.6.5 a 6.6): Ob. 6.5 Ob. 6.6 Najv vočítame olán moment zotvačnosti odľa vzťahu (6.5) viď ob.6.5. Ako element loch je tu vhodné zvoliť elementáne medzikužie o loche d d. Potom: d d (6.) kde: d. je ieme kuhu. Pe osový moment zotvačnosti bude vzhľadom k smetii latiť. Potom vzhľadom na (6.6) dostaneme: 6 d (6.) Pe výočet deviačného momentu si z kuhu vbeieme element loch d.dϕ.d (ob.6.6). eho oloha je všeobecne učená súadnicami.cos ϕ,.sin ϕ. Potom odľa (6.7) ostune dostaneme: cos 8 d sin d d cos sin d D D ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ (6.) Petože sme deviačný moment kuhu očítali vzhľadom k osiam súmenosti, dostali sme nulu. Polome zotvačnosti kuhu odľa (6.8) je: i i

6 6. Kvadatické moment ovinných lôch i tansfomácii súadníc a) Rovnobežne osunuté osi, teineove vet Pi ovnobežnom (aalelnom) osunutí osí, do oloh, (ob.6.7) latí: + a + b Ob. 6.7 Vzhľadom k osunutým osiam, bude mať osový moment zotvačnosti veľkosť : d ( + b) d ( + b + b ) d ( ) ( ) ( ) (6.5) + b + b kde: - je statický moment. Podobne e moment k osi dostaneme: d ( + a) d + a + a ( ) + a ( ) + a ( ) d Pe deviačný moment vzhľadom k osiam, latí: D d ( + a) ( + b) d + b + a + a b D ( ) + b + a + a b d (6.6) (6.7) Ak budú osi, centálne (t.j. ak budú echádzať ťažiskom), bude latiť. Potom sa vzťah (6.5) až (6.7) zjednodušia na tva: D D + b + a + a b (6.8) 6

7 Vo vzťahoch (6.8) sú,, D kvadatické moment k centálnm osiam, tzv. centálne kvadatické moment. Pe olán moment zotvačnosti v tomto íade vzhľadom na (6.6) dostaneme: + + ( a + b ) + R (6.9) kde: R - je vzdialenosť začiatku, (ob.6.7). V našom íade bod leží v ťažisku a je centáln olán moment zotvačnosti. Výsledk (6.8) a (6.9) sú matematickým záisom tzv. teineových viet:. Osový moment zotvačnosti ovinného obazca k danej osi sa ovná osovému momentu zotvačnosti vzhľadom k ovnobežnej centálnej osi, zväčšenému o súčin loch a štvoca vzdialeností oboch osí.. Polán moment zotvačnosti ovinného obazca vzhľadom k danému bodu je ovný olánemu momentu zotvačnosti vzhľadom k ťažisku, zväčšenému o súčin loch a štvoca vzdialeností ťažiska od daného bodu.. Deviačný moment ovinného obazca k daným osiam je ovný deviačnému momentu k ovnobežným centálnm osiam, zväčšenému o súčin loch a štvoca vzdialeností ovnobežných osí. Píklad 6. Vočítajte všetk kvadatické moment kuhu vo vzťažnej sústave (, ) odľa ob.6.8. Kvadatické moment v sústave (, ), ktoých začiatok echádza ťažiskom oznáme. Kvadatické moment vzhľadom k osiam (, ) môžeme vočítať oužitím teineových viet. Ťažisko kuhu má v sústave (, ) súadnice a, b. Ob. 6.8 b) Pootočené osi Všetíme, ako sa zmenia kvadatické moment ovinného obazca i ootočení súadnicových osí, o uhol α do oloh, (ob.6.9). Najv musíme oznať, ako sa v ootočenej sústave zmenia súadnice elementu loch d. Nové súadnice dostaneme emietnutím lomenej čia OAB (ob.6.9) do súadnicových osí,. 6

8 Platí: (6.) Ob. 6.9 Podľa definície bude mať osový moment zotvačnosti ovinného obazca k osiam, veľkosť: ( ) d cos α + ( sinα + cosα) d ( cos α + sin α sinα cosα) ( ) sin α D ( ) sinα cosα d ( ) d ( ) ( cosα + sinα) d sin α + cos α + D sinα cosα ičom sme tieto moment vjadili omocou momentov (6.) a (6.7) k ôvodným osiam,. Keďže latí: sin α ( cos α ) cos α ( + cos α ) sinα cosα sinα môžeme vzťah e a uaviť do tvau: cos α D cos α + D sin α sin α (6.) Analogickým sôsobom e deviačný moment k osiam, dostaneme : D d ( cosα + sinα ) ( sinα + cosα ) d Po úave: D ( ) sinα cosα + D ( cos α sin α ) ( ) ( ) sinα + D cos α (6.) Vzťah (6.) a (6.) sú dôležité e výočet kvadatických momentov k ľubovoľne oientovaným osiam. 65

9 Píklad 6. Vočítajte kvadatické moment štvoca k osiam, ľubovoľne oientovaným vzhľadom k osiam, (ob.6.). Riešenie: Kvadatické moment vzhľadom k osiam,, ktoé sú kolmé na stan a echádzajú ťažiskom sú dané vzťahmi (6.9) až (6.), e bha bude latiť: Ob. 6. Kvadatické moment k osiam, dostaneme zo vzťahov (6.) a (6.). Petože v našom íade je a D latí e všetk α : a a D 6 U štvoca sú teda kvadatické moment nezávislé na jeho natočení. 6. Hlavné osi zotvačnosti a hlavné moment zotvačnosti, Culmannova kužnica Kvadatické moment,, D odľa vzťahov (6.) a (6.) sú všeobecne funkciou uhlu α. e možné nájsť taký uhol α, e ktoý je D. Moment zotvačnosti,, e tento íad označíme, a nazveme ich hlavné moment zotvačnosti. ú to teda moment zotvačnosti k dvom kolmým osiam, tzv. hlavným osiam, ku ktoým je deviačný moment nulový. Z ovníc (6.) a (6.) latí: + + cosα D sinα (6.) + cosα + D sinα (6.) sinα + D cosα (6.5) Ak oznáme kvadatické moment,, D, môžeme zo vzťahov (6.),(6.) učiť veľkosť hlavných momentov zotvačnosti a z ovnice (6.5) olohu hlavných osí. D tgα (6.6) Ak sčítame ovnice (6.),(6.) dostaneme dôležitý vzťah: + + konšt. (6.7) Teda súčet momentov zotvačnosti k dvom ľubovoľným vzájomne kolmým osiam je konštantný a nezávislý na uhle α. Podľa vzťahu (6.6) je táto konštanta ovná olánemu momentu zotvačnosti k bodu, ktoý je iesečníkom uvažovaných osí. 66

10 Ak vnásobíme vzťah (6.), (6.), dostaneme o algebaických úavách s ihliadnutím na vzťah (6.5) dôležitý výaz: (6.8) D Pe vé deivácie výazov (6.),(6.) odľa α dostávame: d ( ) sinα D cos α dα d ( ) sinα + D cos α dα Vzhľadom ku vzťahu (6.5) e tieto deivácie vchádza d /dα, d /dα. Hlavné moment zotvačnosti, nadobúdajú teda etémne hodnot momentov zotvačnosti. Petože d /dα <, d /dα >, je ma, min. Hlavné moment zotvačnosti, ako funkciu kvadatických momentov,, D (teda už nie ako funkciu uhlu α) môžeme vočítať z ovníc (6.7) a (6.8). Vlúčením jedného z hlavných momentov ( alebo ) dostávame kvadatické ovnice: + + D ( ) ( + ) + D Ide teda o ovnaké ovnice e,, ktoé majú ovnaké iešenie: + +, ± D + Vzhľadom k edchádzajúcemu iešeniu a úvahe o etémnch hodnotách jednotlivých hlavných momentov zotvačnosti a latí: ma min D + D (6.9) Vzťah (6.9) a (6.6) sú analogické vzťahom e výočet veľkosti a smeu hlavných naätí. Táto skutočnosť vedie k možnosti iešenia veľkosti hlavných momentov zotvačnosti a smeu hlavných osí zotvačnosti gafick, analogickým sôsobom ako u hlavných naätí. Namiesto Mohovej kužnice zostojíme tzv. Culmannovu kužnicu (Mohova kužnica zotvačnosti). Culmannova kužnica (ob.6.) je úlne analogická Mohovej kužnici (ob..6). V dôsledku záoného znamienka na avej stane vzťahu (6.6), vnášame kladnú veľkosť deviačného momentu D v smee záonej osi. Ináč je ostu gafického iešenia úloh ovnaký ako u naätí. V íklade na ob.6. je deviačný moment D kladný a uhol α záoný. 67

11 Ob. 6. Dôležitým bodom obazca je ťažisko. Hlavné osi echádzajúce ťažiskom sa nazývajú hlavné centálne osi a íslušné hlavné moment hlavné centálne moment zotvačnosti. Píklad 6.5 Učte hlavné centálne moment zotvačnosti a olohu hlavných centálnch osí ieezu ofilu L 5 (ob.6.).. Učenie oloh ťažiska: Pofil ozdelíme na dva obdĺžnik o lochách: tatické moment k osiam, : Ob

12 Riešenie: úadnice ťažiska T zloženého obazca v sústave, : 7 5 e cm,cm e cm, 7cm úadnice ťažiska obdĺžnika loch v centálnej sústave, : d a e, cm, 7cm b + d + b e, 7 cm, 79cm úadnice ťažiska obdĺžnika loch v centálnej sústave, : a 5 a e, cm,9cm d b e, 7 cm,cm. Učenie centálnch kvadatických momentov k osiam, : Moment zotvačnosti k centálnm osiam, učíme ako súčet momentov zotvačnosti jednotlivých obdĺžnikov, s vužitím teineovej vet: ( b d ) d a d + b + + b ( ) 5 +, ( b d ) d d a + a + + a ( ) 5 +, ,9 5 cm (,) 5 cm,5 cm, cm Deviačný moment k centálnm osiam, učíme analogick. Petože deviačný moment obdĺžnika vzhľadom k jeho ťažisku je nulový, bude odľa teineovej vet latiť: D a b + a b [(, 7), 799 +,9 (,) 5] cm, cm. Učenie hlavných centálnch momentov zotvačnosti a hlavných centálnch osí: Úlohu iešime gafick omocou Culmannovej kužnice (ob.6.). Pe výočet oužijeme vzťah (6.6) a (6.9), ičom : 9,7 cm a 5,8 cm. Uhol α. Kontola odľa (6.7): + ( 9 7, + 5,8 ) cm + (,5 +, ) cm 65,5 cm 69

13 Ob Metód učovania kvadatických momentov a) Integáciou v uzavetom tvae Pe jednoduché geometické obazce je možné učiť kvadatické moment iamo integáciou z definičných vzťahov (6.) a (6.5). Pe aktické oteb sú vzťah e výočet kvadatických momentov jednoduchých geometických obazcov uvádzané v ôznch íučkách (savidla sa jedná o moment zotvačnosti vzhľadom k osiam echádzajúcim ťažiskom obazca). b) Rozkladom na jednoduché obazce Ak je možné ozložiť lochu ieezu na časti, ktoých moment zotvačnosti oznáme, môžeme oužiť vetu : n i i (6.) Moment zotvačnosti zloženého obazca k učitej osi sa ovná súčtu momentov zotvačnosti jeho častí k tej istej osi. Podľa vet (6.) ostuujeme tak, že učíme moment zotvačnosti jednotlivých jednoduchých obazcov vzhľadom k soločnej osi a sčítame ich. chématick je to znázonené na ob.6.. 7

14 Ob. 6. Pi zložitých tvaoch (na. ofilov loatiek tubín, vtule a od.), ktoých tva nie je daný analtickou závislosťou, nie je možná integácia v uzavetom tvae. V takomto íade je možné vkonať ibližný výočet momentov zotvačnosti tak, že lochu ieezu ozdelíme na dostatočne úzke obdĺžnik. vužitím teineovej vet otom vočítame moment zotvačnosti ieezu ako súčet momentov zotvačnosti jednotlivých obdĺžnikov. Píklad 6.6 Učte moment zotvačnosti k osi ieezov odľa ob.6.5. Ob. 6.5 Riešenie: Moment zotvačnosti k osi všetkých ieezov na ob.6.5 je ovnaký, etože jednotlivé element lôch u všetkých obazcov sú od osi ozložené ovnako. Výsledný moment zotvačnosti sa ovná ozdielu momentov zotvačnosti obdĺžnika o stanách b, h a obdĺžnika o stanách b, h : ( b h b h ) c) Použitím tabuliek e technické ofil Pe bežne oužívané technické valcované ofil (I, U, L, T,...) sú moment zotvačnosti vzhľadom k osiam,, ktoé echádzajú ťažiskom ieezov, uvedené v tabuľkách. Za os sa volí os ovnobežná so základňou ofilu. U smetických ofilov (I, U, T) sú tieto osi hlavnými centálnmi osami zotvačnosti. Okem momentov zotvačnosti, sa taktiež uvádzajú hlavné centálne moment zotvačnosti,. Tieto tabuľk sú obsahom íslušných noiem valcovaných tčí. Píklad 6.7 Vočítajte moment zotvačnosti k osi zloženého ieezu nosníka, ktoý vznikne zvaením tče ieezu I a dvoch tčí ieezu U odľa ob

15 Riešenie: Moment zotvačnosti zloženého ieezu k osi je: kde: I - je moment zotvačnosti ieezu I, z tabuliek e veľkosť I je I cm. Pe moment zotvačnosti ieezu U vzhľadom k osi odľa teineovej vet latí: Ob. 6.6 kde: U je moment zotvačnosti ieezu U vzhľadom k osi, z tabuliek e U je U,cm. Ďalej e je vzdialenosť ťažiska U od osi, ičom latí: h e + d e + 7,,6 cm 9, cm Plocha ieezu U je U 7cm. Dostaneme: I + U 5 ( + e ) [ + (, + 9, 7) ] cm 5 cm 5, m U Na tomto íklade názone vidieť, aký veľký vlv na moment zotvačnosti majú loch, ktoé sú najvzdialenejšie od uvažovanej osi. V našom íade dva ieez U, ktoé majú soločne moment zotvačnosti vzhľadom k osi echádzajúcej ich ťažiskom U 86,cm, zväčšia moment zotvačnosti zloženého ieezu o 9cm. 7