Grafy funkcií sínus a kosínus
|
|
- Σταματία Βυζάντιος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ma-Go-5-T List Graf funkcií sínus a kosínus RNDr. Marián Macko U: Pozoroval si nieked, ako sa správa vodná hladina na jazere, ak tam hodíš kameň? Ž: Vlní sa. U: Svojím tvarom v jednej vbranej línií pripomína graf funkcie sínus, respektíve kosínus. Ž: To isté b som dosiahol, keb som na jednom konci rozkmital gumenú hadicu. U: Takých príkladov, ktoré súvisia s krivkou podobného tvaru je v praktickom živote veľa vlnenie, zvuk, závislosť striedavého prúdu a napätia na čase a podobne. Tieto závislosti na čase sa dajú zapísať vzťahmi, v ktorých sa vsktuje najmä funkcia sínus. Napríklad u = u sin význam. ( ωt + ), kde ω = T a všetk premenné majú svoj fzikáln Ž: V matematike je to o trochu ľahšie, lebo používame zvčajne iba dve premenné: a. U: Ani vo fzike to nie je náročné. Treba si len uvedomiť, že v uvedenom vzťahu smbol t vstupuje vo význame a smbol u vo význame. Ostatné smbol majú význam konštánt. U: Ab sme dobre pochopili problematiku aj týchto prírodovedných predmetov a vedeli sa v nej orientovať, potrebujeme poznať graf funkcií sínus a kosínus. Ž: Už ste naznačili, že sa podobajú vlneniu. U: Istá podobnosť tu je, ale medzi grafmi funkcií sínus a kosínus je rozdiel. Upresníme. Keďže funkcie sínus a kosínus sú periodické s najmenšou periódou, stačí násť graf daných funkcií na intervale ;. Ž: Potom ho zopakujeme na ďalších vhodných intervaloch dĺžk. U: Začneme najskôr grafom funkcie sínus. Funkčné hodnot nebudeme počítať, ale získame ich grafick z jednotkovej kružnice pre dostatočný počet hodnôt argumentu. Jednotkovú kružnicu rozdelíme na 4 rovnakých častí, ktorým bude odpovedať 4 hodnôt argumentu z intervalu ;. Dokážeš určiť všeobecné vjadrenie týchto čísel? Ž: Celá kružnica predstavuje oblúk dĺžk. Rozdelením na 4 rovnakých častí získame oblúk, z ktorých každý má dĺžku k. Z toho mi vchádza, že čísla b mali mať tvar 4, pričom celé číslo k nadobúda hodnot od do 4 vrátane. U: Výborne. Geometrick to znamená rozdeliť stredový uhol po 5. Ktorú súradnicu získaných bodov si budeme pre funkciu sínus všímať? Ž: -ovú súradnicu.
2 Ma-Go-5-T List U: Hodnot -ových súradníc prenesieme do grafu k odpovedajúcim argumentom. U: Tento základný graf stačí zopakovať na ďalších intervaloch: ; 4 ; 4; 6 ; 6; 8 ;... Ale aj: ; ; 4;,... 5 = sin U: Graf funkcie sínus nazývame sínusoida. Ž: Očakávam, že graf funkcie kosínus sa nazýva kosínusoida. U: Máš pravdu. Získame ho podobným spôsobom, prenášať však budeme -ové súradnice bodov, tak ako je to ukázané na obrázku.
3 Ma-Go-5-T List Ž: Nezdá sa vám, že kosínusoidu b sme mohli dostať posunutím sínusoid pozdĺž osi? U: Vieš, v ktorom smere a o koľko? Ž: Ab sa kopček sínusoid v dostal na kopček kosínusoid v bode nula, tak doľava práve o číslo. = cos = sin U: Máš pravdu. Kosínusoida vznikla posunutím sínusoid v smere zápornej polosi o. Potom, ale graf funkcie = cos môžeme chápať ako graf funkcie sínus. Argumentom však bude výraz premennej. Ten zohľadní, že pri posunutí = sin nadobudne nová funkcia svoje hodnot o skôr. ( Ž: Už to mám. = sin + ), lebo to musí bť rovnaké ako pri posúvaní parabol. U: Tvoje schopnosti možno len oceniť. To, na čo si došiel sám, je dobré si zapamätať: ( cos = sin + ). U: Doterajšie naše úvah naznačujú, že okrem grafov jednoduchých funkcií = sin a = cos potrebuješ vedieť zostrojiť aj graf zložených goniometrických funkcií: alebo f : = a sin [b ( + c)] + d, g : = a cos [b ( + c)] + d, kde a, b, c, d sú reálne čísla, pričom a a b. Ž: Fíha! Toľko koeficientov. Ale prečo a a b nemôžu bť nul? U: Akú funkciu dostaneš, ak za a dosadíš? Ž: = sin [b ( + c)] + d = + d = d, a to je konštanta. U: So sínusoidou nesúvisí. Podobne b si dopadol, ak b si dosadil za b = : = a sin [ ( + c)] + d = a sin + d = a + d = d. Ž: Ako načrtnem graf takto zadanej zloženej funkcie?
4 Ma-Go-5-T List 4 U: Potrebuješ iba vedieť, aký vplv na základný graf majú jednotlivé koeficient. Túto geometrickú interpretáciu koeficientov uplatníš v istej postupnosti grafov, od základného po výsledný. U: Vplv koeficientov c, d na graf b si mohol poznať. Ž: Význam koeficientu d je najľahší. Posúva graf hore alebo dole, c posúva pozdĺž osi. U: Ak je d >, graf sa posunie o d pozdĺž osi nahor, ak je d <, graf sa posunie o d pozdĺž osi nadol. = sin + (d > ) = sin = sin (d < ) U: Ak je c >, graf sa posunie o c pozdĺž osi doľava, ak je c <, graf sa posunie o c pozdĺž osi doprava. = sin = sin( ) (c < ) 5 = sin( + ) (c > ) Ž: Občas to s posúvaním po osi dopletiem. U: Pozri sa na riešené úloh, kde na konkrétnch grafoch je to podrobnejšie analzované a je ukázaný aj iný spôsob ako dospieť k výslednému grafu. Ž: Dobre. Naznačte ešte, čo urobia s grafom koeficient a a b. U: Koeficient a naťahuje sínusoidu v smere osi a -krát a zároveň ju osovo súmerne zobrazí podľa osi, ak a <.
5 Ma-Go-5-T List 5 = sin = sin = sin U: Koeficient b robí to isté, ako a, ale v smere osi. Stláča, alebo rozťahuje graf danej funkcie v smere osi. Ž: Podobne ako to môžeme robiť s pružinou vo vodorovnej polohe. To sa zmení perióda? U: Je to presnejšie pomenovanie významu koeficienta b. Perióda sa zmení na p = b. Ak napríklad b =, tak perióda p = zostrojiť na intervale ;. Ž: Sínusoida sa zhustí. =. To znamená, že základnú časť sínusoid treba 4 = sin = sin U: Pre zmenu periód platí: ak b >, tak perióda sa b -krát zmenší, ak b <, tak perióda sa -krát zväčší. b
6 Ma-Go-5- List 6 Príklad : Načrtnite graf funkcie pre ; 4, určte periódu, priesečník so súradnicovými osami a obor funkčných hodnôt, ak: f : = sin +. U: Východiskom je graf funkcie = sin pre ; 4, ktorý predpokladám poznáš. 4 = sin U: V zadanej funkcii = sin + máš dva koeficient a = a d =. Ktorý z nich má prioritu vzhľadom na operácie v predpise zadanej funkcie? Ž:, lebo násobenie má prednosť pred sčítaním. U: Ako iste vieš, znamienko mínus má viacero významov: smbolizuje znak odčítania, napr. 5, označuje záporné číslo ( ), ale aj opačné číslo. Tak ako a je opačné číslo k číslu a, tak je sin opačné číslo ku hodnote sin pre každé reálne číslo. Ž: Všetk hodnot na pôvodnom grafe sa zmenia na opačné, graf preklopíme podľa osi. U: Presnejšie povedané, vužijeme osovú súmernosť podľa osi. = sin 4 = sin Ž: Pripočítať číslo už nie je problém. To, čo som dostal, posuniem o jednotk hore pozdĺž osi. Podobne to bolo aj u iných funkcií. U: Všetk funkčné hodnot funkcie f získame z hodnôt = sin pripočítaním čísla. = sin + = sin 4
7 Ma-Go-5- List 7 U: Máme určiť ešte periódu, obor funkčných hodnôt a priesečník so súradnicovými osami. Ž: Vužijem graf: H(f) = ;, perióda je, nemá priesečník s osou, lebo ju graf nepretína. U: Priesečník s osou je na základnej sínusoide bod [; ], a ten sa tiež posunul o jednotk nahor v smere osi. f o = {[; ]}. Úloha : Načrtnite graf funkcie pre ; 4, určte periódu, priesečník so súradnicovými osami a obor funkčných hodnôt, ak g : = + cos. Výsledok: p = ; H(g) = ; ; g o = {k; k Z} 4 = + cos
8 Ma-Go-5- List 8 Príklad : Načrtnite graf funkcie pre ; 4, určte periódu, priesečník so súradnicovými osami a obor funkčných hodnôt, ak ( f : = cos ). Ž: Začnem grafom funkcie = cos. 4 = cos U: V tomto prípade je jedno, v akom poradí aplikuješ koeficient. Ž: Najskôr posuniem o pozdĺž osi. Nepamätám sa či doľava, alebo doprava. U: Pomôž si začiatočným bodom A [; ] pôvodného grafu na základnom intervale. Hodnotu si dostal, ( ak si za argument dosadil. Túto úvahu urob aj pre funkciu f : = = cos ) (. Tu je argument výraz ). Čo musíš dosadiť za, ab aj tento ( argument ) bol nula? Aj táto funkcia bude mať potom hodnotu. Ž: To je jednoduché. Treba dosadiť =. U: A to je podstata. Ak za dosadíš, bude argument funkcie f rovný nule a teda aj hodnota funkcie f bude. Bod A [; ] sa teda posunul do bodu A [ ; ], čiže o doprava. Takto sa potom posunú všetk bod grafu funkcie f. = cos( ) 4 = cos Ž: Číslo pred funkciou kosínus znamená, že sa všetk hodnot zdvojnásobia. U: Tam, kde boli maimálne (rovné ), budú maimálne (rovné ), minimálne hodnot teraz budú. Tam kde funkcia f nadobúdala nulové hodnot, ostanú nezmenené, lebo =.
9 Ma-Go-5- List 9 = cos( ) 4 = cos( ) U: Dokonči riešenie úloh. Ž: Perióda sa nezmenila, p =, H(f) = ;. Graf tejto funkcie je vlastne sínusoida. U: Priesečník budú teda tie isté ako u funkcie sínus: = k; kde k je celé číslo. Úloha : Načrtnite graf funkcie pre ; 4, určte periódu a obor funkčných hodnôt, ak Výsledok: p = ; H(g) = ; g : = ( sin + ). 4 = = = sin( + 4 )
10 Ma-Go-5- List Príklad : Načrtnite graf funkcie pre ; 4, určte periódu, priesečník so súradnicovými osami a obor funkčných hodnôt, ak f : = cos. U: V argumente funkcie kosínus číslo násobí reálne číslo, teda ho ovplvňuje. so zväčšujúcimi sa hodnotami narastá dvakrát pomalšie ako samotné. Ž: Teda aj hodnot cos budú narastať dvakrát pomalšie ako pri cos. U: Na niektorých intervaloch narastať, na niektorých klesať. V porovnaní s funkciou = cos budú však tieto interval pre funkciu = cos dvakrát dĺhšie. Ž: Zmení sa perióda? U: Bude dvakrát väčšia, bude teda 4, čo zodpovedá aj poznatku z teórie: p = = 4. = cos 4 = cos Ž: Číslo pred funkciou kosínus súčine znamená, že sa všetk hodnot zdvojnásobia. U: Tam, kde boli maimálne (rovné ) budú maimálne (rovné ), minimálne hodnot teraz budú. Bod, v ktorých funkcia f : = cos nadobúdala nulové hodnot, ostanú nezmenené, lebo =. = cos 4 = cos U: Vrieš zvšné časti úloh. Ž: Periódu sme už určili, je to 4. Obor funkčných hodnôt je uzavretý interval ; a priesečník s osou určím, ak za dosadím.
11 Ma-Go-5- List U: Budeš riešiť rovnicu: cos =. Použi substitúciu u = a získaš rovnicu: cos u =. Ž: Kosínus má nulové hodnot pre argument rovný nepárnm celočíselným násobkom čísla. U: To znamená: u = (k + ), a teda z čoho = (k + ), = (k + ). Ž: Aj nulové bod nadobúda táto funkcia dvakrát zriedkavejšie. U: Tieto výpočt ti nieked pomôžu odkontrolovať predchádzajúce úvah. Úloha : Načrtnite graf funkcie pre ; 4, určte periódu, priesečník so súradnicovými osami a obor funkčných hodnôt, ak g : = sin. Výsledok: p = ; H(g) = ; { } k ; g o = ; k Z = = sin 4 =
12 Ma-Go-5-4 List Príklad 4: Načrtnite graf funkcie pre ; 4, určte periódu a obor funkčných hodnôt, ak f : = sin ( ),5. U: Číslo v argumente funkcie sin( ) súvisí s dvoma zmenami na grafe. Zmení sa perióda a graf funkcie sa preklopí. Ž: Prečo sa preklopí, veď sínus nie je násobený žiadnm záporným číslom. U: To záporné číslo je schované v argumente. Pretože funkcia sínus je nepárna, po úprave argumentu a vužití nepárnosti dostaneme: = sin [ ( )], čo znamená, že = sin ( ). Ž: Ak som dobre porozumel, pre úvah o grafe zloženej funkcie sínus je dobré, ab koeficient pri bolo kladné reálne číslo. U: Áno, zápornosť tohto čísla v tomto prípade ovplvňuje to, čo súvisí aj s koeficientom násobenia hodnot sínus. Ab sme odhalili všetk zmen týkajúce sa grafu, je nutné v argumente osamostatniť. Ž: Vberiem pred zátvorku : [ ( = sin )]. U: Predpis zadanej funkcie má teraz tvar: f : = sin [ ( )],5. U: Budeme postupne aplikovať geometrický význam jednotlivých koeficientov. Začneme v takom poradí, v akom sa uplatňujú koeficient z hľadiska priorit operácií pri počítaní funkčnej hodnot. Východiskovým grafom je = sin. Ž: Potom ho posunieme v smere osi doprava o. U: Získame graf funkcie = sin( ) 4 = sin( ) = sin U: Čo zmení koeficient v argumente funkcie? Ž: Perióda bude polovičná.
13 Ma-Go-5-4 List [ ] U: Sínusoidu načrtneme dvakrát hustejšie od bodu ; napravo aj naľavo. 4 = sin( ) = sin[( )] Ž: Zvšné koeficient už mi nerobia problém. Najskôr preklopím posledný graf podľa osi, lebo je tam násobok sínusu, a nakoniec posuniem dole o,5. = sin[( )] 4 = sin[( )] U: O perióde sme už hovorili, bude polovičná v porovnaní s jednoduchou funkciou sínus, teda p =. Zostáva určiť obor funkčných hodnôt. Ž: Z obrázka sa dá včítať, že oborom funkčných hodnôt je uzavretý interval,5;,5. U: Eistujú aj iné metód, ktoré nás dovedú k výslednému grafu. Ž: Môžete jednu, takú jednoduchšiu, prezradiť? U: Prečo nie? Pozri sa na výsledný graf, a pokús sa zistiť, čo je na ňom dôležité, ak nechceš prejsť tortúrou posúvania, zmen periód a podobne. Ž: Kopček, dolin? Netuším. U: V podstate áno. Stačí však jedno maimum a jedno minimum. Stačí nájsť základný motív, ktorý budeme opakovať. On je jednoznačne určený odĺžnikom, ktorého jednou stranou je interval dĺžk periód tejto funkcie a druhou stranou obor funkčných hodnôt. Ž: Ako to určíme?
14 Ma-Go-5-4 List 4 U: Pre funkciu = sin u je základným intervalom pre argument u interval ; ). To isté musí platiť pre akýkoľvek argument. V našom prípade: pripočítame : ( ) < ; <, vdelíme : <. Základný motív načrtneme na intervale ;. Ž: Zaujímavé. Je to interval dĺžk, čo je perióda. U: Dokonca začína v bode do ktorého sme v predchádzajúcej metóde posunuli graf. Určíme ešte funkčné hodnot. Opäť si pomôžem základným grafom. Sleduj úprav v tabuľke. V prvom riadku je vjadrená vlastnosť, že hodnot funkcie = sin sú v rozmedzí od do vrátane týchto čísel. To isté platí pre akýkoľvek argument funkcie sínus, teda aj pre hodnot sin( ). Vnásobením číslom získame také isté ohraničenie pre funkciu = sin( ). Ak odpočítame číslo, 5 dostaneme rozmedzie pre hodnot funkcie = sin ( ), 5. sin sin ( ) sin ( ),5 sin ( ),5.5, 5 sin ( ),5,5 Ž: Hodnot budú v rozmedzí od,5 do,5 vrátane. To sme dostali aj predtým. U: Samozrejme. Tu však načrtneme len jeden graf, a to výsledný do predtým vmedzeného obdĺžnika.
15 Ma-Go-5-4 List 5,5,5,5 U: Vmedzíme stredné (predtým nulové hodnot) a zohľadníme preklopenie vďaka koeficientu. Rozpočítame hodnot pre na danom intervale tak, ab sme začali strednou hodnotou, minimom, strednou hodnotou, maimom a ukončili strednou hodnotou. Úloha : Načrtnite graf funkcie pre ; 4, určte periódu a obor funkčných hodnôt, ak: g : = cos ( + ) +, 5. Výsledok: p = ; H(f) =, 5;, 5 4 = cos( + ) +,5
16 Ma-Go-5-5 List 6 ( Príklad 5: Načrtnite graf funkcie f : = sin ). U: Predpis funkcie upravíme na tvar = sin [ ( )], 4 pretože posun pozdĺž osi sa viaže na argument, nie. Zohľadníme význam všetkých koeficientov od vnútra zápisu tak, ako sa zadaná zložená funkcia vtvára. Ž: Určite začneme grafom funkcie f = sin U: Áno, potom postupne grafom funkcií f : = sin( 4 ), čo je posun grafu f pozdĺž osi o 4 doprava, f : = sin ( 4 ), má dvakrát menšiu periódu ako u funkcie f Funkcia f 4 : = sin ( 4 ) má dvojnásobné hodnot v porovnaní s funkciou f Ž: Nakoniec posunieme o nahor pozdĺž osi a dostaneme graf zadanej funkcie f. To všetko do jedného obrázka? Bude to pri mojej šikovnosti dosť neprehľadné. U: Urob radšej cklus obrázkov. Ako film. = sin( 4 ) = sin Ž: S grafom funkcie f potrebujem poradiť. U: Keďže perióda bude polovičná v porovnaní s funkciou f, tak tam, kde máš polovicu základného motívu sínusoid pre f, musíš načrtnúť pre f celý základný motív. = sin[( 4 )] = sin( 4 ) = sin[( 4 )] = sin[( 4 )]
17 Ma-Go-5-5 List 7 Ž: Dosť náročné na čas, aj presnosť. U: To áno, ale na druhej strane je to veľmi potrebné napríklad pre fziku. Ab si pochopil fázový posun, amplitúdu a iné veci so striedavým prúdom a napätím, potrebuješ poznať aj tieto komplikovanejšie veci.
18 Ma-Go-5-6 List 8 Príklad 6: Daný je graf funkcie podľa obrázka. Určte predpis funkcie. 4 = f() 4 U: Máš predstavu, ktorá z funkcíí sínus, respektíve kosínus b to mohla bť? Ž: Zdá sa mi, že aj sínus, aj kosínus. U: V tom je zadanie po prvýkrát nejednoznačné z hľadiska výsledku. Ukážeme si, že tento graf možno chápať aj ako graf funkcie sínus, aj ako graf funkcie kosínus. Čo určite nezávisí od toho, ktorá z týchto funkcií to je, je posunutie grafu pozdĺž osi. Pomôže ti, ak si uvedomiš, že maimá, aj minimá pre neposunutý graf majú rovnakú absolútnu hodnotu. Ž: V zadanom grafe sú maimá 4 a minimá. Keďže stred tohto intervalu je v bode, tak posunutie bude o nahor. U: Máme jeden koeficient v predpise zloženej funkcie, ktorú hľadáme: d =. Pre určenie ostatných musíme urobiť dve rozhodnutia:. predpis funkcie, ktorú budeme určovať,. na ktorom intervale zoberieme základný motív grafu. 4 = f() 4 Ž: Skúsme s funkciou sínus na intervale ; 7.
19 Ma-Go-5-6 List 9 U: Vbral si jeden z možných intervalov. V tom je zadanie po druhýkrát nejednoznačné z hľadiska výsledku. Dĺžka základného intervalu určuje najmenšiu periódu, ktorá súvisí s ďalším koeficientom v predpise: f : = a sin [b ( + c)] + d. Ž: Dĺžka intervalu je 7 = 6 = a to je najmenšia perióda. Viem, že súvisí s koeficientom b, ale potrebujem vsvetliť ako. U: Zjednodušene povedané, ak je koeficient b =, hodnot argumentu narastajú dvakrát rýchlejšie, perióda je polovičná. To nie je náš prípad, preto b ( ; ). Nová perióda je, 5- krát väčšia ako základná perióda. Koeficient b je preto b =, 5 = Ani tento koeficient nezávisí od toho, či hľadáme predpis funkcie sínus alebo kosínus. Ž: Ako určíme zvšné koeficient? U: Cestu k ich určeniu si v podstate naznačil, aj keď si to neuvedomuješ. Povedal si, že maimá majú hodnotu 4 a minimá hodnotu. To je rozpätie 6. Naťahovanie spôsobuje koeficient a. Akú hodnotu b teda mal mať? Ž: Tri. U: Áno, ale to len preto, že na nami zvolenom intervale graf zadanej funkcie kopíruje graf funkcie = sin. Ž: Ak b na tomto intervale boli dolina a kopec opačne, bolo b a =? U: Pochopil si to správne. Mohol b zostať kladný, ale na zápornú hodnotu b si musel zmeniť koeficient b. Vted b si vužil pre úpravu nepárnosť funkcie. Určením intervalu si zároveň popísal, o koľko došlo k posunutiu základného grafu v smere osi. Ž: O doprava, teda c =. U: Predpis funkcie môže mať teda tvar: f : = sin [ ( ) ] + Teraz si ukážeme, že aj pre funkciu sínus to nie je jednoznačné z hľadiska výsledku. Za základný interval b sme si mohli zobrať ;. 4 = f() 4
20 Ma-Go-5-6 List Ž: Ale perióda a posunutie hore b sa nezmenili. U: Zmení sa iba posunutie v smere osi a koeficient a, lebo tvar sínusoid na tomto intervale je preklopený. Ž: a = a c =. U: Riešením úloh je aj predpis: [ ] f : = sin ( + ) +. Ž: Začínam chápať. Všetko je len otázka dobre čítať graf. U: Chválim ťa. Nájdime nakoniec aspoň jeden tvar predpisu pre funkciu kosínus. Zoberme interval 4 ;. 4 4 = f() 4 Ž: Veľa vecí sa nezmení. Posunutie hore, perióda, natiahnutie pozdĺž osi. Akurát sa preklopilo a posunulo naľavo o. Koeficient budú: a = ; b = ; c = 4 ; d =. Úlohe vhovuje aj predpis: [ ( f : = cos + ) ] +. 4
21 Ma-Go-5-7 List Príklad 7: Načrtnite graf funkcie f : = sin. Ž: V úlohe rozoberiem dva prípad, ab som odstránil absolútnu hodnotu. U: Je to jeden z možných prístupov k riešeniu, ale nie je efektívn. Absolútna hodnota je vo vjadrení funkcie z celého výrazu na pravej strane. Začni najskôr grafom funkcie f : = sin. Potom si vsvetlíme, čo spôsobí absolútna hodnota. Ž: To nebude problém. Načrtnem graf funkcie = sin, a ten posuniem po osi nadol o. = sin = sin U: Funkcia f : = sin má hodnot, ktoré sú nezáporné, ale aj hodnot záporné. Keďže absolútna hodnota sa podľa definície počíta dvojako, zohľadníme túto skutočnosť aj pri určení výsledného grafu. Ak je reálne číslo a nezáporné (a ), tak jeho absolútna hodnota je to isté číslo: a = a. Pre graf to znamená, že tým častiam, ktoré sú nad osou prislúchajú kladné hodnot, čiže absolútna hodnota ich nemení. To čo je nad osou na grafe funkcie f : = sin patrí aj výslednému grafu. Ž: Už si spomínam. To isté sme robili aj u iných funkcií. U: Ak je reálne číslo záporné (a < ), tak jeho absolútna hodnota je k nemu opačné číslo: a = a. Pre graf to znamená, že tým jeho častiam, ktoré sú pod osou prislúchajú záporné hodnot. Ž: Treba ich zmeniť na kladné, pretože si to vžaduje absolútna hodnota. Tak to jednoducho preklopíme podľa osi. U: Časti grafu funkcie pod osou zobrazíme osovo súmerne podľa osi. = sin = sin
22 Ma-Go-5-7 List Úloha : Načrtnite graf funkcie g : = sin. Výsledok: = sin
23 Ma-Go-5-8 List Príklad 8: Načrtnite graf funkcie f : = sin + sin. U: V predpise funkcie je v absolútnej hodnote iba časť výrazu na pravej strane, preto rozoberieme dva prípad, ab sme absolútnu hodnotu odstránili. Ak je sin, tak sin = sin. Ako bude v tomto prípade vzerať predpis funkcie f? Ž: Namiesto absolútnej hodnot zo sínusu dosadím sínus: f : = sin + sin f : = sin. Vriešime aj podmienku sin, pre ktorú sme získali upravený predpis funkcie? U: Môžeme, ale nie je to vžd nutné. Zohľadníme ju vo výslednom grafe, v ktorom načrtneme aj graf funkcie = sin. Graf funkcie = sin načrtneme iba na tých intervaloch, kde je graf funkcie = sin nad osou. 4 = sin U: Hodnot funkcie = sin sú dvojnásobkami hodnôt funkcie = sin. Druhý prípad, keď sin < sa pokús vriešiť analogick. Ž: Ak je sin <, tak sin = sin, lebo absolútna hodnota zo záporného čísla je k nemu opačné číslo. Dosadím: f : = sin + ( sin ) f : =. To už nie je goniometrická funkcia. U: Je to konštantná funkcia, lebo bez ohľadu na to aké je reálne číslo, jemu prislúchajúca hodnota je vžd. Čo je grafom tejto konštantnej funkcie? Ž: Priamka. U: Presnejšie os. Našej úlohe však vhovujú iba časti tejto priamk. Vznačíme ich vo výslednom grafe tam, kde je sínusoida pôvodného grafu pod osou. Ž: Pretože sínus bol záporný. U: Áno. Spojením oboch prípadov dostaneme výsledný graf. = sin + sin 4
24 Ma-Go-5-8 List 4 Úloha : Načrtnite graf funkcie g : = cos cos. Výsledok: 4 = cos cos
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραGrafy funkcií tangens a kotangens
Ma-Go-8-T List Graf funkcií tangens a kotangens RNDr. Marián Macko U: Dobrú predstavu o grafe funkcie f : = tg získame z jednotkovej kružnice prenesením hodnôt funkcie tangens pre niekoľko zvolených hodnôt
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické nerovnice
Ma-Go--T List Goniometrické nerovnice RNDr. Marián Macko U: Problematiku, ktorej sa budeme venovať, začneme úlohou. Máme určiť definičný obor funkcie f zadanej predpisom = sin. Máš predstavu, s čím táto
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραDefinícia funkcie sínus a kosínus
a-go-0-t List Definícia funkcie sínus a kosínus RNDr. arián acko U: Dnešnú podobu goniometrickým funkciám dal až v 8. storočí Leonard Euler. Skúmal ich hodnot ako čísla, nie ako úsečk, ako sa to robilo
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότεραRovnosť funkcií. Periodická funkcia.
VaFu7-T List Rovnosť funkcií. Periodická funkcia. RNDr. Beáta Vavrinčíková U: Začnem jednoduchou otázkou. Ked sa podľa teba dve funkcie rovnajú? Ž: No čo ja viem, asi keď majú úplne rovnaké graf. U: S
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραVaFu18-T List 1. Mocninové funkcie. RNDr. Beáta Vavrinčíková
VaFu8-T List Mocninové funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V tejto téme sa budeme zaoberať jednou celou skupinou funkcií. Pripomeňme si, že funkcia popisuje určitú závislosť medzi dvoma veličinami. Na
Διαβάστε περισσότεραOhraničenosť funkcie
VaFu05-T List Ohraničenosť funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: V bežnom živote sa často stretávame s funkciami, ktorých hodnot sú určitým spôsobom obmedzené buď na celom definičnom obore D alebo len na
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice riešené substitúciou
Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραVaFu02-T List 1. Graf funkcie. RNDr. Beáta Vavrinčíková
VaFu0-T List Graf funkcie RNDr. Beáta Vavrinčíková U: Vieme, že funkcia vjadruje určitú závislosť medzi dvoma veličinami. Akým spôsobom b mohla bť funkcia zadaná? Ž: Stretol som sa najmä srovnicami, napríklad
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραSmernicový tvar rovnice priamky
VoAg1-T List 1 Smernicový tvar rovnice priamk RNDr.Viera Vodičková U: Medzi prevratné objav analtickej geometrie patrí to, že s priamkou nenarábame ako s geometrickým objektom, ale popisujeme ju rovnicou.
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραÚlohy o kvadratických funkciách
VaFu7-T List Úloh o kvadratických funkciách RNDr. Beáta Varinčíková U: V prai sa neraz stretávame s úlohami vžadujúcimi nájsť optimálne riešenie. Napríklad naplánovať výrobu podniku v snahe dosiahnuť maimáln
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραLogaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus
KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότερα1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:
1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραu R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.
Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότερα18. kapitola. Ako navariť z vody
18. kapitola Ako navariť z vody Slovným spojením navariť z vody sa zvyknú myslieť dve rôzne veci. Buď to, že niekto niečo tvrdí, ale nevie to poriadne vyargumentovať, alebo to, že niekto začal s málom
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραSTRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY
STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz =
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότερα2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania
2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov
ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme
Διαβάστε περισσότεραZložené funkcie a substitúcia
3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu. Návody k cvičeniam pre odbory VSVH a STOP. Andrea Stupňanová, Alexandra Šipošová
MATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu Návody k cvičeniam pre odbory VSVH a STOP Andrea Stupňanová, Alexandra Šipošová MATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu Návody k cvičeniam pre odbory VSVH
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku
Ma-Go-01-T List 1 Goniometrické funkcie ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku RNDr. Marián Macko U: Pojem goniometrické funkcie v preklade z gréčtiny znamená funkcie merajúce uhly. Dajú sa použiť v pravouhlom
Διαβάστε περισσότεραFakulta riadenia a informatiky Žilinskej univerzity
Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit Riaditeľ siete stravovacích zariadení dal pokn, že do každej reštaurácie, v ktorej stúpne počet hostí o viac ako 3 %, musia prijať najmenej dvoch nových
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ ANALÝZA 1
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Διαβάστε περισσότεραRiešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody
Zadanie č.1 Riešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody Nasledujúce uvedené poznatky z oblasti riešenia elektrických obvodov pomocou metódy slučkových prúdov a uzlových napätí je potrebné využiť
Διαβάστε περισσότεραREZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických
REZISTORY Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických obvodoch. Základnou vlastnosťou rezistora je jeho odpor. Odpor je fyzikálna vlastnosť, ktorá je daná štruktúrou materiálu
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότεραJKPo10-T List 1. Nekonečné rady. Mgr. Jana Králiková
JKPo0-T List Nekonečné rady Mgr. Jana Králiková U: Ernest Hemingway povedal: Najľahší spôsob ako stratiť dôveru a úctu mladých je dávať im nekonečné rady. Ž: Poskytnete mi nekonečné rady o nekonečných
Διαβάστε περισσότεραAFINNÉ TRANSFORMÁCIE
AFINNÉ TRANSFORMÁCIE Definícia0..Zobrazenie f: R n R m sanazývaafinné,ak zachováva kolinearitu(t.j. priamka sa zobrazí buď na priamku alebo na jeden bod), zachovávadeliacipomer(t.j.akprekolineárnebody
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc x2 y = z 1, y2 z = x 1, z2 x = y 1. (Radek Horenský) Riešenie.
Διαβάστε περισσότεραFunkcie komplexnej premennej
(prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 1 16. februára 2016 Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!)
Διαβάστε περισσότερα