Hry N hrá ov. doc. RNDr. tefan Pe²ko. April 9, Katedra matematických metód a opera nej analýzy, FRI šu

Transcript

1 Katedra matematických metód a opera nej analýzy, FRI šu April 9, 2018

2 Budeme predpoklada, ºe kaºdý z N hrá ov (N 2) je inteligentný hrá. Najskôr za budeme zaobera nekooperativnymi hrami, v ktorých hrá i nespolupracujú a potom kooperativnymi hrami, kde nielenºe spolupracujú ale si môºu v rámci záväzných dohôd prerozdelova zisky. Dohoda Budeme zna i Q = {1, 2,..., N}, î = Q {i}. Pre S Q je X S = i S X i a Ŝ = Q S. Pre i Q pí²eme M i (x i, x 1, x 2,..., x i 1, x i+1,..., x N ) = M i (x 1,..., x N ).

3 Nekooperatívne hry viacerých hrá ov Denícia 7.1 N-ticu stratégií x = (x 1, x 2,..., x N ) X Q nazveme rovnováºnou (Nashovou) stratégiou v hre N hrá ov H N = ( Q; X 1,..., X N ; M 1 (x),..., M N (x) ) (1) ak pre i Q y Xî platí M i (x i, y) M i (x ). (2) Rovnováºna stratégia ni nehovorí o priebehu koniktu, ak sa od nej odchýlia dvaja hrá i naraz.

4 Garan ný princíp H adá sa taká stratégia kaºdého hrá a, ktorá ho o najlep²ie istí proti v²etkým vo bám ostatných hrá ov. Hrá i Q volí istú stratégiu x i X i s výplatou v i (x i ) = min y Xî M i (x i, y), (3) ktorá udáva najmen²í moºná výplata, ku ktorej môºe vies uplatnenie stratégie x i. Medzi istými stratégiam v X i nájdeme takú x i, ktorá maximalizuje hodnotu v i (x i ) t.j. v i (x i ) = max x i X i, v i(x i ) = v i, (4) s hodnotou hry hrá a i. Ak sa budú hrá i chova pod a garan ného princípu, zvolí kaºdý z nich garan nú stratégiu x i s výplatou, ktorá zaru ene nebude men²ia neº hodnota hry v i M i (x) v i i Q.

5 Preventívny princíp Preventívny princíp je spojený s rovnováºnou stratégiou hry x X Q ur enou nerovnos ami (2). Hrá i Q volí preventívne istú stratégiu xi X i a o akáva výplatu v i = M i (x ). (5) Veta 7.1 Nech má hra H N pre v²etky i Q tieto vlastnosti: X i E m i sú kompaktné konvexné podmnoºiny Euklidovského priestoru, (m i 1 prirodzené ísla), M i (x i, y) sú konkávne funkcie v premenných x i X i, N i=1 M i(x) je spojitá funkcia na X Q, x i X i sú funkcie M i (x i, y) spojité v premenných y Xî, Potom má hra aspo jednu N-ticu rovnováºnych stratégií.

6 Príklad 7.1 Optimálna produkcia oligopolu Sú známe nasledujúce parametre modelu: N - po et oligopolistov x i - po et jednotiek výrobkov, ktoré môºe doda na trh i-ty oligopolista, t - celkový objem výrobkov prichádzajúci na trh za jedno asové obdobie, t = x 1 + x x N, p = f (t) - jednotková cena ur ená trhom pri objeme dodávok t, (klesajúca funkcia) c i (x i ) - celkové náklady i-teho oligopolistu pri objeme výroby x i, h i - maximálna výrobná kapacita i-teho oligopolistu. Treba ur i takú produkciu výroby x i, aby kaºdý oligopolista bez vzájomných dohôd maximalizoval svoj istý zisk.

7 Príklad 7.1 pokra ovanie Hra H N má X i = 0, h i s výplatnými funkciami ( N ) M i (x 1, x 2,..., x N ) = x i f x i c i (x i ). i=1 Ak sú splnené predpoklady o parametroch modelu: f (t) - pre t 0 konkávna funkcia, c i (x i ) - pre x i X i konvexné funkcie, M i (x) - pre x X Q diferencovate né funkcie. potom rovnováºnu stratégiu (x 1, x 2,..., x N ) nájdeme M i (x) lim = 0 0 x x x i h i x i M i (x) lim > 0 x x x i = h i x i M i (x) lim < 0 x x x i = 0. x i

8 Denícia 7.2 Hovoríme, ºe v hre H N pre i-tého hrá a dominuje stratégia x i X i jeho stratégii x i X i ak y Xî y Xî M i (x i, y) M i (x i, y), (6) M i (x i, y) > M i (x i, y). (7) Stratégia x i X i je nedominovaná (pre i-tého hrá a) ak neexistuje stratégia x i X i dominujúca stratégii x i. Stratégia x i X i sa nazýva dominantná (pre i-tého hrá a) ak x i X i, y Xî M i (x i, y) M i (x i, y). (8) Stratégie x i, x i X i sa nazývajú (pre i-tého hrá a) ekvivalentné ak y Xî M i (x i, y) = M i (x i, y). (9)

9 Denícia 7.3 Hovoríme, ºe stratégia hry x X Q dominuje pod a Pareta stratégii hry x X Q ak i Q M i (x) M i (x ), (10) i Q M i (x) > M i (x ). (11) Stratégiu hry x X Q nazývame optimálnu pod a Pareta ak nie je dominovaná pod a Pareta ºiadnou inou stratégiu x X Q.

10 Stratégiou x i X i si i-tý hrá zabezpe uje výhru min y Xî M i (x i, y). Denícia 7.4 Dolnou a hornou hodnotou hry i-tého hrá a rozumieme výhry h i a h + i ur ené h i h + i =max min x i X i y Xî M i (x i, y), (12) =min max Mi (x i, y). (13) y Xî x i X i Stratégia x i X i i-tého hrá a sa nazýva opatrná, ak platí h i = min y Xî M i (x i, y). (14) Hra H N sa nazýva podstatná ak existuje taká stratégia hry x X Q, ºe i Q M i (x) h i, (15) i Q M i (x) > h i. (16)

11 Veta 7.2 Nech sú priestory stratégií X j, j Q kompaktné metrické priestory a nech funkcia M i je spojitá. Potom existuje nedominovaná stratégia i-tého hrá a. Veta 7.3 Za predpokladov Vety 7.2 je ekvivalentné: (i) exituje dominantná stratégia i-tého hrá a, (ii) v²etky nedominované stratégia i-tého hrá a sú ekvivalentné.

12 Veta 7.4 Za predpokladov Vety 7.2 je mnoºina v²etkých opatrných stratégií i-tého hrá a neprázdna kompaktná a má neprázdny prienik s mnoºinou v²etkých jeho nedominovaných stratégií. Veta 7.5 Nech H N je nepodstatná hra a nech je x jej stratégia tvorená opatrnými stratégiami hrá ov. Potom (i) i Q, y Xî, M i (x) = h i M i (x i, y), (ii) x je optimálna stratégia pod a Pareta.

13 Príklad 7.2 Maticová hra troch hrá ov Uvaºuje hru H 3 troch hrá ov ur enú maticami A 1, A 2, A 3 : A 1 = ( 0, 0, 3; 0, 0, 0 1, 0, 0; 0, 0, 0 A 3 = ), A 2 = ( 0, 0, 0; 0, 0, 0 0, 1, 0; 0, 0, 3 ( 2, 2, 2; 0, 0, 0 0, 0, 0; 2, 2, 2 ), ktorých prvkami sú usporiadané trojice výplat hrá ov. Jedná sa o kone nú hru troch hrá ov Q = {1, 2, 3}, kde 1.hrá volí riadky matíc, 2.hrá volí st pce matíc a 3.hrá volí matice. A tak X 1 = {1, 2}, X 2 = {1, 2} a X 3 = {A 1, A 2, A 3 }. Výplatné funkcie majú tvar M k (i, j, A) = a k ij, k Q. Hra má tri rovnováºne stratégie: prvú (2, 1, A 1 ) s výplatami (1, 0, 0), druhú (2, 1, A 3 ) s výplatami (0, 1, 0) a tretiu (1, 1, A 3 ) s výplatami (0, 0, 0). ),

14 Príklad 7.3 Dilema troch vez ov Uvaºuje dilema troch vez ov ako hru H 3 troch hrá ov ur enú 2 maticami A 1, A 2 : A 1 = ( 6, 6, 6; 3, 8, 3 8, 3, 3; 5, 5, 0 ) ( 3, 3, 8; 0, 5, 5, A 2 = 5, 0, 5; 2, 2, 2 ). Podobne ako v predchádzajúcom príklade 1.hrá volí riadky matíc, 2.hrá volí st pce matíc a 3.hrá volí matice. Hrá i majú dvojprvkové mnoºiny stratégií X 1 = X 2 = X 3 = {1, 2}, kde 1 znamená spolupráca a 2 zrada. O akú hru sa jedná?

15 Kooperatívne hry viacerých hrá ov Denícia 7.5 Koalíciou v hre H N nazývame kaºdú podmnoºinu S Q a protikoalícou rozumieme mnoºinu Ŝ pre S 2Q. Charakteristickou funkciou hry H N s mnoºinou hrá ov Q rozumieme (mnoºinovú) reálnu funkciu ktorá má tieto vlastnosti v : S R, S Q, (17) v( ) = 0 (18) v(s 1 ) + v(s 2 ) v(s 1 S 2 ), S 1, S 2 Q, S 1 S 2 =. (19) Dvojicu (Q, v) nazývame kooperatívnou hrou N hrá ov v tvare charakteristickej funkcie a íslo v(s) výhrou koalície S.

16 Superaditivita (19) charakteristickej funkcie vyjadruje vlastnos, ºe výhra vä ²ej koalície je najmenej rovná sú tu výhier men²ích koalícii. Takéto hry znikajú prirodzeným spôsobom z hier H N v NT, kde v(s) = max min x X S y XŜ i S M i S (x, y), (20) pri om index S hore zna í, ºe najskôr uvaºujeme argumenty z mnoºiny S.

17 Denícia 7.6 Hra (Q, v) sa nazýva nepodstatná ak platí v(q) = i Q v({i}). (21) Hra ktorá nie je nepodstatná sa nazýva podstatná. Veta 7.7 Nech K je ubovo ná koalícia v nepodstatnej hre (Q, v). Potom v(k) = i K v({i}). Dôkaz: Pre kaºdú koalíciu K platí zo superadivity (19) nerovnos v(k) i K v({i}). Ak by pre nejakú koalíciu K platila ostrá nerovnos, potom spor: v(q) = v(k) + v( K) > i Q v({i}).

18 Príklad 7.4 Úspora sekretárky Riadite podniku má troch námestníkov. Kaºdý námestník má vlastnú sekretárku. Riadite nariadil námestníkom, aby sa dohodli a jednu sekretárku prepustili. Námestník, ktorý prepustí sekretárku bude vyuºíva zvy²né dve sekretárky. Ak sa nedohodnú, budú potrestaní pre neschopnos. Ak sa dvaja námestníci dohodnú, ºe má by prepustená sekretárka toho treteho, riadite bude súhlasi. Námestníci sú hrá i Q = {1, 2, 3}. Z h adiska tvorby koalícií moºno silu kolícií oceni charakteristickou funkciou: v({1}) = v({2}) = v({3}) = 1, v({1, 2}) = v({2, 3}) = v({1, 3}) = 1, v({1, 2, 3}) = 0. Hra (Q, v) je podstatná.

19 Denícia 7.8 Rozdelením hry (Q, v) nazývame ubovo nú N-ticu x R N sp ajúcu podmienky: (i) individuálnej racionality: x i v({i}) i Q, (22) (ii) kolektívnej racionality: x i = v(q). (23) i Q Mnoºinu v²etkých rozdelení hry (Q, v) ozna íme E(v).

20 Denícia 7.9 Nech S Q, x, y E(v). Hovoríme, ºe rozdelenie x dominuje pre koalíciu S rozdeleniu y, pí²eme x S y, ak platí x i > y i i S, (24) x i v(s). (25) i S Rozdelenie x dominuje rozdeleniu y, pí²eme x y, ak existuje S Q tak, ºe x S y. Mnoºinu v²etkých nedominovaných rozdelení nazývame jadrom a zna íme C(v). Poznámka Podmienka (25) hovorí, ºe hrá i v koalícii S môºu získa dostato ne vysokú hodnotu na to aby kaºdému mohla by vyplatená iastka x i. V jadre hry nemá ºiadna skupina hrá ov dôvod vytvori novú koalíciu s iným rozdelením.

21 Veta 7.8 Majme hru (Q, v) a jej rozdelenie x. Potom x C(v) práve vtedy ke S Q x i v(s). (26) i S Veta 7.9 Pre ubovo nú hru (Q, v) platí { C(v) = x R N S Q x i v(s), x i = v(q) }. (27) i S i Q

22 Príklad 7.5 Uvaºujme hru 3 hrá ou ur enú tabu kou Stratégie Výplaty (1, 1, 1) ( 2, 1, 2) (1, 1, 2) (1, 1, 1) (1, 2, 1) (0, 1, 2) (1, 2, 2) ( 1, 2, 0) (2, 1, 1) (1, 1, 1) (2, 1, 2) (0, 0, 1) (2, 2, 1) (1, 0, 0) (2, 2, 2) (1, 2, 2) Mnoºina hrá ov je Q = {1, 2, 3} a koalície S {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.

23 Príklad 7.5 pokra ovanie Po normovaní vz ahu (20) máme odkia vypo ítame v(s) = max x X S min M S y XŜ i S i (x, y) max x XQ i Q M, i(x) v( ) = 0, v({1}) = 1/4, v({2}) = 1/3, v({3}) = 1/3, v({1, 2}) = 1, v({1, 3}) = 4/3, v({2, 3}) = 3/4, v({1, 2, 3}) = 1 Máme charakteristickú funkciu v a rozdelenie hry x R 3 : x 1 + x 2 + x 3 = 1, x 1 1/3, x 2 = 1/3, x 3 0. Jadro hry je v²ak prázdne. x 1 + x 2 + x 3 = 1, x 1 1/3, x 2 = 1/3, x 3 0 x 1 + x 2 1, x 1 + x 3 4/3, x 2 + x 3 3/4.

24 Denícia 7.10 Shapleyho vektor Nech V je mnoºina hier (Q, v). Nech u, v V, α R, α > 0 a π je permutácia mnoºine Q. Denujme pomocou koalícií S Q hry u + v, αu, πu takto: (u + v)(s) = u(s) + v(s), (28) u(αs) = αu(s), (29) u(πu)(s) = u(π 1 S). (30) Hrá i Q je podstatný, ak existuje i / S Q ºe v(s {i}) > v(s) + v({i}). (31) V opa nom prípade hovoríme o balvane.

25 Denícia 7.10 pokra ovanie Denujme nieko ko axiómov na funkciu φ : V R N : S1: φ i [u + v] = φ i [u] + φ i [v], S2: φ i [αu] = α φ i [u], S3: φ i [πu] = φ π 1 i[u], S4: S podstatných hrá ov Q je i S φ i[u] = v(s). Veta 7.10 Shapley Existuje, a to jediná, funkcia φ vyhovujúca axiómom S1 S4 v tvare φ i [v] = i K Q ( K 1)! (N K )! N! (v(k) v(k {i}) ).

26 Denícia 7.11 Hodnotu φ i [v] nazývame Shaplyho hodnotou hrá a i v hre (Q, v). Shaplyho hodnota berie do úvahy hrá ov príspevok k úspechu koalície. Veta 7.10 Shaplyho vektor φ(v) je rozdelením v hre (Q, v).

27 Príklad 7.6 Kooperatívny oligopol troch oligopolistov Uvaºujme model olygopolu z príkladu 1 s tým, ºe traja oligopolisti môºu uzatvára medzi sebou zmluvy o rozsahu dodávok a prerozdelení ziskov. Nech cenová funkcia riadiaca tvorbu ceny na trhu je f (x 1, x 2, x 3 ) = 1 2 (x 1 + x 2 + x 3 ) + 6 kde funk ná hodnota udáva jednotkovú cenu pri dodávkach oligopolu x 1, x 2, x 3. Nech sú priestory stratégií a nákladové funkcie X 1 =< 0, 6 >, X 2 =< 0, 3 >, X 3 =< 0, 4 > c 1 (x 1 ) = 1 2 x 1 + 2, c 2 (x 2 )= 1 2 x 2 + 3, c 3 (x 3 ) = 3 4 x

28 Príklad 7.6 pokra ovanie M 1 (x 1, x 2, x 3 ) = 1 2 (x x 1 x 2 + x 1 x 3 ) x 1 2 M 2 (x 1, x 2, x 3 ) = 1 2 (x 1x 2 + x x 2 x 3 ) x 2 3 M 3 (x 1, x 2, x 3 ) = 1 2 (x 1x 3 + x 2 x 3 + x 2 3 ) x 3 1 Vypo ítame minimaxové hodnoty charakteristickej funkcie v({1}) = v({2}) = v({3}) = max x 1 <0,6> min M 1(x 1, x 2, x 3 ) (x 2,x 3 ) <0,3> <0,4> = max x 1 <0,6> M 1(x 1, 3, 4) max x 2 <0,3> min M 2(x 1, x 2, x 3 ) (x 1,x 3 ) <0,6> <0,4> = max x 2 <0,3> M 1(6, x 2, 4) max x 3 <0,4> min M 3(x 1, x 2, x 3 ) (x 1,x 2 ) <0,6> <0,3>

29 Príklad 7.6 pokra ovanie v({1, 2} = v({2, 3} = v({1, 3} = v({1, 2, 3} = max min (M 1(x 1, x 2, x 3 ) + M 2 (x 1, x 2, x 3 )) (x 1,x 2 ) <0,6> <0,3> x 3 <0,4> = max (x 1,x 2 ) <0,6> <0,3> (M 1(x 1, x 2, 4) + M 2 (x 1, x 2, 4)) max min (M 2(x 1, x 2, x 3 ) + M 3 (x 1, x 2, x 3 )) (x 2,x 3 ) <0,3> <0,4> x 1 <0,6> = max (x 2,x 3 ) <0,3> <0,4> (M 1(6, x 2, x 3 ) + M 3 (6, x 2, x 3 )) max min (M 1(x 1, x 2, x 3 ) + M 3 (x 1, x 2, x 3 )) (x 1,x 3 ) <0,6> <0,4> x 2 <0,3> = max (x 1,x 3 ) <0,6> <0,4> (M 1(x 1, 3, x 3 ) + M 3 (x 1, 3, x 3 )) max (M 1(x 1, x 2, x 3 ) + M 2 (x 1, x 2, x 3 ) (x 1,x 2,x 3 ) <0,6> <0,3> <0,4> + M 3 (x 1, x 2, x 3 )) = M 1 (6, 3, 4) + M 2 (6, 3, 4) + M 3 (6, 3, 4) Výpo et Shaplyho rozdelenia φ(v) ponecháme ;-) na cvi enie.