Pavol Jozef afárik University in Ko²ice Faculty of Science. Testovanie a verikácia programov Floydova metóda Gabriela Andrejková
|
|
- Νεοπτόλημος Ακρίδας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Pavol Jozef afárik University in Ko²ice Faculty of Science Testovanie a verikácia programov Floydova metóda Gabriela Andrejková
2 Pri dokazovaní správnosti programov je potrebné ma ²pecikované: a) programovací jazyk, v ktorom budú programy zapísané; b) ²pecika ný jazyk na vyjadrenie vstupnej a výstupnej podmienky a al²ích vz ahov, ktoré platia medzi hodnotami premenných pri vykonávaní príkazov daného programu. Na splnenie na²ich cie ov nám posta í predikátový po et 1. rádu ako ²pecika ný jazyk a za programovací jazyk v tejto kapitole je zvolený jazyk vývojových diagramov JO.
3 V súvislosti s pouºívaním predikátového po tu 1. rádu (s rovnos ou) si treba uvedomi, ºe problém pravdivosti správne vytvorenej formuly (predikátového po tu 1. rádu) nie je algoritmicky rozhodnute ný, ale je iasto ne algoritmicky rozhodnute ný. Teda existuje algoritmus, ktorý pre danú pravdivú formulu dá o tom, ºe je pravdivá, odpove po kone nom po te krokov, ale ak formula nie je pravdivá, tak bu dá odpove po kone nom po te krokov alebo to nezistí. Tento výsledok má svoj odraz v metódach dokazovania správnosti programov. K najdôleºitej²ím metódam overovania pravdivosti správne vytvorených formúl predikátového po tu 1. rádu patrí rezolu ná metóda.
4 Predikátová logika = predikátový po et = predikátový kalkul = logika kvantikátorov = logika predikátov = logika funkcionálna je formálny systém, as logiky vy²etrujúca spôsoby, ktorými z formúl vznikajú výroky pomocou kvantikátorov a logických spojok. Predikátová logika sa zaoberá tak otázkami dokázate nosti, ako aj pravdivosti. Je roz²írením výrokovej logiky o kvantikátory a predikátové symboly popisujúce vz ahy (relácie) z univerza. Okrem beºného predikátového po tu existujú aj predikátové po ty vy²²ích rádov, v ktorých je povolená nielen kvantikácia objektových premenných, ale aj kvantikácia predikátov.
5 Jazyk obsahuje: Logické spojky:,,,, Kvantikátory:, Premenné: x, y, z,... x 1, y 1,... Kon²tanty (funk né symboly s aritou 0): a, b, c,... Funk né symboly (horný index k zna í aritu funk ného symbolu;k > 1): f k, g k, x k 1,... Predikátové (funkcionálne) symboly (horný index k zna í aritu predikátového symbolu; k > 1):P k, Q k, R k... Pomocné symboly (, ), [, ],,,
6 Vyjadrite formálne: 1. Nikto, kto nie je zapracovaný (P), nepracuje samostatne (S). 2. Nie kaºdý talentovaný (T) spisovate (Sp) je slávny (Sl). 3. Len zamestnanci (Z) pouºívajú vý ah (V). 4. Nie kaºdý lovek (C), ktorý ve a hovorí (M), nemá o poveda (R). 5. Niekto je spokojný (Sn) a niekto nie je spokojný. 6. Niekterí ²ikovní udia (Ch) sú leniví (L). 7. V²etci zamestnanci (Z) pouºívajú vý ah (V). Pomôcka: Po v²eobecnom kvantikátore nasleduje formula v tvare implikácie, po existen nom...
7 K prvému zoznámeniu sa s Floydovou metódou poslúºi program v jazyku vývojových diagramov (popis jazyka je uvedený v nasledujúcom odseku) znázornený na obr. 1. Je to program pre výpo et McCarthyho funkcie 91. Tvrdíme, ºe tento program po íta funkciu f(x) nad oborom celých ísel denovanú predpisom: { x 10, pre x > 100, z = f(x) = 91, inak. (1)
8
9 Pripome me si dôkaz: 1. Predpokladajme, ºe x > 100. Výpo et prebieha po ceste bez cyklov AB + +C, a teda skon í a platí z = x 10. Pomocou znamienok +, budeme vyjadrova smer postupu pri vetvení (v podmienkových príkazoch). Smer postupu pri splnenej podmienke je ozna ený +, pri nesplnenej. 2. Obtiaºny je len prípad x 100. Dôkaz pre tento prípad urobíme v dvoch krokoch. 2.I. Najprv dokáºeme, ak program skon í, vydá výsledok z = 91. Presved me sa najprv, ºe kedyko vek výpo et prechádza bodom B, je splnená podmienka: (y y 2 1) (y y 2 > 1). (2)
10 Platnos (2) overíme indukciou: 1. pri prvom prechode bodom B je y y 2 = 1, t.j. uvedená podmienka platí; 2. ukáºeme, ºe ak je podmienka splnená pri istom (i)-tom prechode, bude splnená aj pri nasledujúcom (i+1)-vom prechode a) Ak je splnená podmienka a navy²e y 1 100, vykoná sa príkaz (y 1, y 2 ) := (y , y 2 + 1)), takºe po návrate do bodu B platí, ºe y y 2 > 1, t.j. je splnený druhý len uvedenej disjunkcie. b) Ak je splnená uvedená podmienka, t.j. ur ite platí y a navy²e y 1 101, potom, ak sa má výpo et vráti do bodu B, musí by y 2 > 1. Je vykonaný príkaz (y 1, y 2 ) := (y 1 10, y 2 1)), t.j. po návrate do bodu B je splnený prvý len uvedenej disjunkcie: y y 2 1. Tým sme overili platnos vz ahu (2).
11 Ak niektorý výpo et skon í, vykoná sa posledný úsek programu z bodu B do bodu C. Teda prejde po ceste B + +C, o znamená, ºe y 1 > 100 a y 2 = 1, a preto pod a (2) pri poslednom prechode bodom B je y 1 = 101 y 2 = 1. Po vykonaní príkazu z := y 1 10 je z = II. Zostáva nám dokáza, ºe pre kaºdé x 100 program skon í. Uvaºujme výraz k = 2 y y Pod a prvej asti dôkazu je pri kaºdom prechode bodom B ur ite y y 2 1. Preto je hodnota k vºdy kladná. ahko moºno overi, ºe aj vykonaním príkazu (y 1, y 2 ) := (y , y 2 + 1)) aj vykonaním príkazu (y 1, y 2 ) := (y 1 10, y 2 1)), sa hodnota k zmen²í.
12 Pri kaºdom al²om prechode bodom B má k hodnotu men²iu neº pri predchádzajúcom prechode. Teda hodnoty výrazu k v okamihu prechodu bodom B tvoria klesajúcu postupnos kladných ísel. taká postupnos je v²ak kone ná. Teda výpo et nemôºe uviaznu v cykle za ínajúcom aj kon iacom v bode B a po kone nom po te prechodov bodov B skon í v bode C. Tým je dôkaz správnosti uvedeného programu ukon ený. Úvahy, ktoré viedli k vytvoreniu podmienky (y y 2 1) (y y 2 > 1) a výrazu 2 y y sú kvôli stru nosti vynechané a pre overenie korektnosti programu nie sú podstané (podobne ako v dôkazoch typu: "nech ɛ > 0 je ubovo né, zvo me δ = 125 ɛ/7... ".).
13 Floydova metóda Dôleºité sú nasledujúce rysy dôkazu, ktoré sú charakteristické pre celú metódu: A) K ú om k dôkazu korektnosti programov obsahujúcich cykly je nájdenie vhodnej podmienky, ktorú sp ajú dáta pri kaºdom prechode pevne zvoleným bodom cyklu (induktívna podmienka, invariant cyklu). B) Dôkaz je lenený na dve etapy: - v prvej etape sa dokáºe, ºe pokia program pre dané vstupné dáta skon í, vydá správny výsledok; - v druhej etape sa dokáºe, ºe program vºdy skon í. Induktívne podmienky vlastne zachytávajú my²lienky, na základe ktorých je program vytvorený. Ich nájdenie je vecou invencie.
14 Floydova metóda poskytuje len nástroj na overenie, ºe program neobsahuje chybu alebo logickú medzeru. Niektoré jej postupy je moºné algoritmizova, ako uvidíte na nasledujúcich stránkach venovaných jej podrobnej²iemu popisu. Prv neº prejdeme k popisu Floydovej metódy, ktorá je tieº nazývaná metódou induktívnych podmienok, denujeme pojem "správny program"v závislosti od vstupnej a výstupnej podmienky. V al²om budeme pouºíva nasledovné ozna enie: x - vstupný vektor, ktorý nadobúda vstupné hodnoty a po as výpo tu sa nemení, ȳ - vektor programu, ktorý obsahuje medzivýsledky výpo tu programu, z - výstupný vektor, v ktorom sú uloºené výstupné hodnoty v okamihu ukon enia výpo tu programu.
15 V prípade, ºe v príkladoch bude zrejmé, ºe x, ȳ, alebo z sú 1-dimenzionálne, budeme písa x,y,z. D x,dȳ,d z - deni né obory vektorov x,ȳ, z. P ( x) - predikát vyjadrujúci vstupnú podmienku, t.j. popisujúci vlastnosti tých prvkov z D x, ktoré môºu by pouºívané ako vstupné hodnoty programu; Q( x, z) - predikát vyjadrujúci výstupnú podmienku, t.j. popisujúci vz ah, ktorý musia sp a výstupné hodnoty vzh adom ku vstupným v okamihu ukon enia výpo tu. Π - program v nejakom programovacom jazyku.
16 Denition a) Ak program Π skon í výpo et pre v²etky údaje spl ajúce P ( x) (t.j. nadobúdajúce hodnotu true), tak budeme hovori, ºe program kon í. b) Ak program Π pre v²etky vstupné údaje spl ajúce P ( x), pre ktoré skon í svoj výpo et, dá výsledky spl ajúce predikát Q( x, z), potom Π budeme nazýva iasto ne správnym programom. c) Program, ktorý pre v²etky vstupné údaje, spl ajúce predikát P ( x), skon í výpo et s výsledkom spl ajúcim predikát Q( x, z), budeme nazýva správnym programom (tieº budeme pouºíva pojem totálne správny program na odlí²enie od iasto ne správny program).
17 Denition d) Verikova program (dokáza, ºe program je správny) vzh adom na vstupný predikát P ( x) a výstupný predikát Q( x, z) znamená dokáza, ºe program je správny vzh adom na predikáty P ( x) a Q( x, z).
18 Vidíme, ºe správny program je taký, ktorý je iasto ne správny a kon í, a preto mnohokrát dôkaz toho, ºe program je správny, je rozdelený na dve asti, a síce na dôkaz, ºe: a) program je iasto ne správny, b) program kon í. Toto rozdelenie zjednodu²uje dôkaz v tom zmysle, ºe pri dokazovaní iasto nej správnosti sa neanalyzuje, i výpo et kon í a pri dôkaze, ºe program kon í, správnos výsledkov. Treba si uvedomi, ºe pri dokazovaní iasto nej správnosti je to, ºe program kon í, predpokladom, nie dôsledkom.
19 Opodstatnenos existenie rôznych metód pre dokazovanie správnosti programov, je dôsledkom výsledku známeho z teórie algoritmov ako Riceova veta, ktorú je moºné vyjadri takto: Ani pre jednoduché ²pecika né a programovacie jazyky neexistuje algoritmus, ktorý by dokázal o ubovo nom programe zisti, i je správny vzh adom na dané ²pecikácie.
20 Jazyk vývojových diagramov Obsahuje nasledujúcich pä druhov príkazov: 1. tartovací príkaz Start y := f(x) kde f je totálna funkcia f : Dx Dy.
21 2. Prira ovací príkaz y := g(x, y) kde g je totálna funkcia g : Dx Dy Dy.
22 3. Testovací príkaz + t(x, y) kde t(x, y) je totálny predikát nad oborom Dx Dy
23 4. Cie ový príkaz z := h(x, y) Stop kde h je totálna funkcia h : Dx Dy Dz.
24 5. Spojovací príkaz (spojka) o spája 2 vetvy programu do jednej. Denition Programom v jazyku vývojových diagramov budeme nazýva orientovaný graf vytvorený spojením vy²²ie uvedených príkazov pomocou orientovaných spojníc tak, ºe ²tartovací príkaz je pouºitý práve jedenkrát a kaºdý testovací a prira ovací príkaz leºí na aspo jednej ceste od ²tartovacieho príkazu k cie ovému.
25 Vo vrcholoch grafu sú umiestnené príkazy tvaru 1.-5., pri om stupne jednotlivých vrcholov sú práve také, ako je uvedené v denícii príkazov jazyka. Poradie vykonávania sa príkazov je ur ené spojnicami medzi príkazmi. Cyklus je súvislý kone ný podgraf programu, v ktorom z kaºdého vrcholu jediná hrana vychádza a do kaºdého vrcholu jediná hrana vchádza. Cesta programom je postupnos príkazov za ínajúca vstupným a kon iaca výstupným príkazom, na ktorej kaºdý príkaz Π1 je nasledovaný takým príkazom Π2, ktorý je spojený s príkazom Π1 orientovanou hranou, ktorá vedie z Π1 do Π2. Úsek cesty programom budeme nazýva parciálna cesta programu, alebo stru ne cesta.
26 Z programátorského h adiska je zaujímavou trieda ²truktúrovaných programov, pretoºe tieto programy sú jednak preh adne zapísané, jednak analýza ich vlastností je jednoduch²ia neº analýza vlastností v²etkých programov. Triedu ²truktúrovaných programov je moºné denova rekurzívne nasledujúcim spôsobom: a) Prira ovací príkaz je segment: Za segment povaºujeme aj prázdny segment t.j., ktorý neobsahuje ºiadne príkazy. b) Nech S 1, S 2,..., S n, n 2 sú segmenty, p( x, ȳ) je predikát, potom segmentami sú kon²trukcie tvaru na obr. niº²ie: c) Vývojový diagram je ²truktúrovaný, ak je vytvorený vstupným príkazom, postupnos ou neprekrývajúcich sa segmentov a výstupným príkazom.
27 Obr.: Tvary segmentov.
28 Príklad: Na obr. 2. je uvedený program v jazyku vývojových diagramov. O tomto programe sa v dal²om presved íme, ºe pre dané prirodzené íslo x, x > 1, dáva odpove true, ak íslo x je dokonalé (tj. x = {t : 0 < t x 2 t/x}), inak dáva odpoved false. V tomto programe x = (x), ȳ = (y 1, y 2, y 3, y 4 ), z = (z), D x = N +, N + = N {0}, Dȳ = N N N {true, false}, D z = {true, false}.
29
30 Príkaz (y 1, y 2, y 3, y 4 ) := (x div 2, 1, 2, false) znamená sú asné nahradenie hodnoty y 1 hodnotou x div 2, hodnoty y 2 hodnotou 1, hodnoty y 3 hodnotou 2 a hodnoty y 4 hodnotou false. Vo v²eobecnosti, príkaz (y 1, y 2,... y n ) := (g 1 (x, y), g 2 (x, y),... g n (x, y)) znamená sú asné nahradenie hodnôt premenných y i hodnotami g i (x, y), pre 1 i n, teda v²etky funkcie g i sú vyhodnotené skôr, neº je zmenená hodnota ktorejko vek zloºky vektora ȳ. V prípade, ºe pôjde o zmenu jednej zloºky vektora ȳ vypí²eme v príkaze len túto zmenu. ahko sa moºno presved i, ºe tento program je ²truktúrovaný.
31 Sémantika príkazov jazyka vývojových diagramov Vrá me sa na chví u k dôkazu správnosti Mc Carthyho programu. Výpo et sme sledovali pozd º ciest, na ktorých sa hodnoty premenných menili; vºdy sme sledovali jednu zvolenú cestu. Intuitívne sme predpokladali zmeny hodnôt premenných, ktoré sú spôsobené pozd º skúmanej cesty a vyuºijúc toho, ºe vieme význam (sémantiku) príkazov, sme urobili dôkaz správnosti. Je teda zrejmé, ºe medzi premennými v programe platia ur ité vz ahy pred kaºdým príkazom a aj po jeho vykonaní. Tieto vz ahy vyjadrujeme vo forme tvrdení.
32 Denition Tvrdenie, ktoré platí pred príkazom, nazývame predpoklad; tvrdenie, ktoré platí bezprostredne po jeho vykonaní, budeme nazýva dôsledok. Predpoklad aj dôsledok budeme vyjadrova pomocou predikátu R( x, ȳ) a funkcie r( x, ȳ) : D x Dȳ Dȳ. V nich sa odrazia zmeny, ktoré nastali vykonaním poºadovanej postupnosti príkazov. Napríklad, uvaºujme príkaz P P y 3 := y 3 + 1
33 Zvo me r( x, ȳ) = r(x, y 1, y 2, y 3, y 4 ) = (y 1, y 2, y 3, y 4 ). Ak po vykonaní príkazu PP platí, ºe r( x, ȳ) = (y 1, y 2, y 3, y 4 ), potom pred vykonaním príkazu PP muselo plati r( x, ȳ) = (y 1, y 2, y 3 + 1, y 4 ), pretoºe hodnota y 3 v príkaze PP bola zvý²ená o 1. Uvedenú skuto nos zaznamenáme nasledujúcim spôsobom: P P r(x, y 1, y 2, y 3 + 1, y 4 ) y 3 := y r(x, y 1, y 2, y 3, y 4 )
34 Uvaºujme o al²om príkaze v programe o dokonalom ísle P T + y 3 y 1
35 Aby výpo et pre²iel po ceste +, musí by splnená podmienka y 3 y 1 a táto musí by zahrnutá v predikáte, ktorý zaru uje, ºe výpo et bude vykonávaný práve pozd º tejto cesty. Ak uvaºujeme, ºe bezprostredne po vykonaní príkazu PT platí predikát R( x, ȳ), potom pred jeho vykonaním muselo plati R( x, ȳ) y 3 y 1. Predikát R( x, ȳ) je moºné vytvori na základe predikátov, ktoré sa vyskytli na danej parciálnej ceste programu a funkcia r( x, ȳ) musí vyjadrova zmeny obsahov premenných, ktoré boli vykonané v prira ovacích príkazoch.
36 Obr.: Úprava predikátov a funkcií.
37 Obr.: Úprava predikátov a funkcií.
38 Teda, aby dôkaz správnosti programu mohol by vykonaný formálne, je potrebné popri syntaxi jazyka vývojových diagramov ma denovanú sémantiku v²etkých príkazov, pomocou ktorej je moºné vyjadri vz ahy medzi premennými programu podobne, ako sme uvaºovali vy²²ie u prira ovacieho a testovacieho príkazu. Uvedených ²es moºností poskytuje návod k tomu, ako vytvára, resp. upravova predikáty R a funkcie r tak, aby to bolo konzistentné s významom jednotlivých príkazov.
39 Napríklad, vo vybranom úseku programu pre dokonalé ísla je moºné priradi funkcie a predikáty tak, ako je znázornené na obr. Obr.: Úsek programu a vyjadrenie predikátov a funkcií.
40 Akým spôsobom sme dospeli k funkciám a predikátom uvedeným na tomto obrázku? Sledovaním tohto segmentu programu zdola nahor a vyjadrením formálnej sémantiky tak, ako to bolo uvedené vy²²ie. Segmenty programov bez cyklov je moºné pomerne jednoducho popísa pomocou sémantických pravidiel. Otázka je, o urobi s cyklami? V priebehu dôkazu je potrebné roz leni program na elementárne segmenty bez cyklov a dôkazy robi pre tieto segmenty.
41 Program je iasto ne správny R. V. Floyd navrhol robi dôkaz iasto nej správnosti programu ktorý je napísaný v jazyku vývojových diagramov, v nasledujúcich troch krokoch: 1. krok: Vo ba deliacich bodov programu. 2. krok: Priradenie induktívnych podmienok deliacim bodom. 3. krok: Vytvorenie verika ných podmienok k verika ným cestám.
42 Vo ba deliacich bodov programu. Deliace body sú volené tak, aby spl ovali nasledujúce 2 podmienky: po iato ný a koncový bod sú deliacimi bodmi; kaºdý cyklus programu obsahuje aspo jeden deliaci bod.
43 Priradenie induktívnych podmienok deliacim bodom. Ku kaºdému deliacemu bodu priradi induktívnu podmienku. Induktívna podmienka je vlastne predikát charakterizujúci vz ah medzi hodnotami premenných v tomto bode. Pritom po iato nému bodu je priradená vstupná podmienka P (x); v koncovom bode je induktívnou podmienkou výstupná podmienka Q(x, z); deliacemu bodu X je priradená induktívna podmienka P X (x, y), ktorá je splnená vºdy, ke sa riadenie výpo tu programu dostane do bodu X.
44 Vytvorenie induktívnych podmienok je naj aº²ou as ou dôkazu, ktorá nie je algoritmizovate ná. Tu sa vlastne vyjadruje podstata algorimu a je potrebné jeho hlboké pochopenie. Najprirodzenej²ie je zapísanie induktívnej podmienky sú asne s písaním programu, pretoºe programátor kon²truuje program práve na základe predstavy o tom, akú vlastnos majú ma hodnoty premenných.
45 Vytvorenie verika ných podmienok k verika ným cestám. Zvolené deliace rozde ujú program na nieko ko úsekov, z ktorých kaºdý predstavuje cestu. Verika ná cesta je cesta, ktorá za ína aj kon í deliacim bodom a medzi nimi neleºí ºiadny deliaci bod. Kaºdá verika ná cesta je kone ná, pretoºe kaºdý cyklus obsahuje deliaci bod. Program je pokrytý verika nými cestami, ak kaºdý príkaz programu sa nachádza na aspo jednej verika nej ceste. Pretoºe program má kone ný po et príkazov, po et verika ných ciest je kone ný.
46 Z jedného deliaceho bodu programu môºe vychádza viacej verika ných ciest. Napríklad, v Mc Carthyho programe z bodu B vychádzajú dve cesty kon iace v bode B, a síce B B a B + B. Ku kaºdej verika nej ceste α z bodu X do bodu Y je vytvorená verika ná podmienka (t. j. formula ur itého tvaru) a je potrebné dokáza, ºe v²etky verika né podmienky sú pravdivé.
47 Verika ná podmienka musí obsahova vyjadrenie toho, ºe ak v bode X platí induktívna podmienka P X (x, y) pre ur té hodnoty x, y (také, ºe výpo et bude riadený po verika nej ceste α), potom po vykonaní príkazov na ceste α z bodu X do bodu Y platí P Y (x, y), o je moºné vyjadri nasledovne x y [P X (x, y) R α (x, y) P Y (x, r α (x, y))] kde R α (x, y) je predikát, ktorý zaru uje, ºe výpo et z bodu X do bodu Y bude riadený po verika nej ceste α a r α (x, y) je funkcia, ktorú program po íta po as prechodu z bodu X do bodu Y. Sú dva ²peciálne prípady:
48 Ak X je po iato ný bod, potom verika ná podmienka má tvar x [P (x) R α (x, y) P Y (x, r α (x, y))] Ak Y je koncový bod, potom verika ná podmienka má tvar x y [P X (x, y) R α (x, y) Q(x, z)]
49 V komentári ku príkladu o dokonalom çísle sme uviedli, ºe predikát a funkcia r α boli získané sledovaním príkazov uvedeného segmentu programu zdola nahor. Táto metóda sa nazýva metóda spätných substitúcií a formálne ju môºeme vyjadri takto: Predpokladajme, ºe kon²truujeme predikát R α (x, y) a funkciu r α (x, y) pre cestu z deliaceho bodu X do deliaceho bodu Y. V bode Y poloºíme
50 R α (x, y) : true, t. j. vºdy splnený predikát; r α (x, y) : y, t. j. identická funkcia premenných y. Potom postupujeme smerom k bodu X a pri kaºdom príkaze na tejto ceste aplikujeme Floydove sémantické pravidlá. Posledné získané R α a r α v bode X sú h adané R α (x, y) a r α (x, y), ktoré charakterizujú cestu α a budú pouºité pri vytvorení verika nej podmienky pre cestu α z bodu X do bodu Y.
51 Príklad: Dokáºeme iasto nú správnos programu, ktorého výstupom je z = true, ak vstupná hodnota je dokonalé íslo, inak z = false. ƒíslo x je dokonalé íslo, ak sú et v²etkých jeho kladných delite ov t, 0 < t x div 2 je rovný x, t. j. x = Σ{t : 0 < t x div 2 t x}.
52 Dokáºeme, ºe tento program je iasto ne správny vzh adom na vstupnú podmienku P (x) : x N x > 1 a výstupnú podmienku Q(x, z) : z = (x = Σ{t : 0 < t x div 2 t x}). Na nasledujúcom obrázku je znázornený tento program spolu s deliacimi bodmi. Jediným deliacim bodom cyklu je bod B. V bode B platí induktívna podmienka P B (x, y) : y 2 = Σ{t : 0 < t y 3 t x}.
53
54 Tento program je moºné pokry ²iestimi verika nými cestami, ktoré spl ujú poºadované podmienky. Tieto cesty ozna íme takto: a) A + B, t. j. α 1, b) A B, t. j. α 2, c) B + +B, t. j. α 3, d) B + B, t. j. α 4, e) B +C, t. j. α 5, f) B C, t. j. α 6, Metódou spatných substitúcií ur íme predikát R a funkciu r pre kaºdú z uvedených ciest.
55 Obr.: Verika ná cesta α 1, t. j. A + B.
56 Obr.: Verika ná cesta α 2, t. j. A B.
57 Obr.: Verika ná cesta α 3, t. j. B + +B.
58
59
60
61 Pripome me si vstupnú podmienku P (x) : x N x > 1 a výstupnú podmienku Q(x, z) : z = (x = Σ{t : 0 < t x div 2 t x}). V bode B platí induktívna podmienka P B (x, y) : y 2 = Σ{t : 0 < t y 3 t x}. Teraz skon²truujeme verika né podmienky.
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραEulerovské grafy. Príklad Daný graf nie je eulerovský, ale obsahuje eulerovskú cestu (a, ab, b, bc, c, cd, d, da, a, ac, c, ce, e, ed, d, db).
Eulerovské grafy Denícia Nech G = (V, E) je graf. Uzavretý ah v G sa nazýva eulerovská kruºnica, ak obsahuje v²etky hrany G. Otvorený ah obsahujúci v²etky hrany grafu sa nazýva eulerovská cesta. Graf sa
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραZáklady automatického riadenia
Základy automatického riadenia Predná²ka 8 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραKatedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita v Ko²iciach GRAFOVÉ ALGORITMY A FORMÁLNA LOGIKA Marián Kle², Ján Plavka Ko²ice 2008 RECENZOVALI: RNDr. Vladimír Lacko, PhD.
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραPRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO
ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE Fakulta špeciálneho inžinierstva Doc. Ing. Jozef KOVAČIK, CSc. Ing. Martin BENIAČ, PhD. PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO Druhé doplnené a upravené vydanie Určené
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραPravdepodobnos a ²tatistika (1-INF-435) Poznámky k predná²kam. Radoslav Harman, KAM, FMFI UK
Pravdepodobnos a ²tatistika (1-INF-435) Poznámky k predná²kam Radoslav Harman, KAM, FMFI UK 15. januára 2014 Obsah 1 Úvod 3 2 Axiomatická denícia pravdepodobnosti 3 2.1 Priestor udalostí..................................
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραMaticové hry. doc. RNDr. tefan Pe²ko. 9. marca Katedra matematických metód a opera nej analýzy, FRI šu
Katedra matematických metód a opera nej analýzy, FRI šu 9. marca 2018 Antagonistický konikt dvoch hrá ov s kone nými priestormi stratégií modeluje maticová hra. Denícia 3.1 Kone nú hra s nulovým sú tom
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραRiešenie cvičení z 5. kapitoly
Riešenie cvičení z 5. kapitoly Cvičenie 5.1. Vety prepíšte pomocou jazyka predikátovej logiky, použite symboly uvedené v úlohách. (a Niekto má hudobný sluch (H a niekto ho nemá. ( H( ( H( (b Niektoré dieťa
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραZáklady automatického riadenia
Základy automatického riadenia Predná²ka 6 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu. Návody k cvičeniam pre odbory VSVH a STOP. Andrea Stupňanová, Alexandra Šipošová
MATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu Návody k cvičeniam pre odbory VSVH a STOP Andrea Stupňanová, Alexandra Šipošová MATEMATIKA I. Základy diferenciálneho počtu Návody k cvičeniam pre odbory VSVH
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραZÁKLADY MATEMATIKY 1 UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED ZÁKLADY MATEMATIKY 1 Kitti Vidermanová, Júlia Záhorská Eva Barcíková, Michaela Klepancová NITRA 2013 Názov: Základy matematiky 1 Edícia Pírodovedec.
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραSpojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραNekone ný antagonistický konikt
Katedra matematických metód, FRI šu 12. apríl 2012 V al²om výklade sa obmedzíme na také hry dvoch hrá ov H 0, v ktorých sú priestory stratégií hrá ov nekone né mnoºiny. Takýto prístup je výhodný aj v pripadoch
Διαβάστε περισσότεραIV Paralelné a distribuované výpo ty. Dana Pardubská
IV 100 - Paralelné a distribuované výpo ty Dana Pardubská 2 Obsah 1 Model distribuovaných výpo tov 7 1.1 Formálny popis...................................... 7 1.2 Overovanie vlastností prechodových systémov.....................
Διαβάστε περισσότεραVybrané partie z logiky
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO Katedra informatiky Vybrané partie z logiky poznámky z prednášok martin florek 22. mája 2004 Predhovor Vďaka nude a oprášeniu vedomostí z
Διαβάστε περισσότεραDIPLOMOVÁ PRÁCE. Monika Jakubcová Míry ecience portfolia vzhledem k stochastické dominanci
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Monika Jakubcová Míry ecience portfolia vzhledem k stochastické dominanci Katedra pravd podobnosti a matematické statistiky Vedoucí
Διαβάστε περισσότεραZbierka rie²ených úloh z matematickej fyziky
Zbierka rie²ených úloh z matematickej fyziky Milan šukovi 22. novembra 2009 2 Obsah Komplexné ísla. Úvod.................................................................2 Úlohy...............................................................
Διαβάστε περισσότεραPodnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %
Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO
Διαβάστε περισσότερα5. kapitola Predikátová logika I Úvod do predikátovej logiky
5. kapitola Predikátová logika I Úvod do predikátovej logiky Priesvitka 1 Gottlob Frege (1848-1925) Bertrand Russell (1872-1970) Priesvitka 2 Intuitívny prechod od výrokovej logiky k predikátovej logike
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότερα3. kapitola. Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou. priesvitka 1
3. kapitola Axiomatická formulácia modálnej logiky Vzťah medzi syntaxou a sémantikou priesvitka 1 Axiomatická výstavba modálnej logiky Cieľom tejto prednášky je ukázať axiomatickú výstavbu rôznych verzií
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραVLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL. Matematická logika
Matematická logika VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL Matematická logika Slovenská technická univerzita v Bratislave 2006 prof. Ing. Vladimír Kvasnička, DrSc., doc. RNDr. Jiří Pospíchal, DrSc. Lektori:
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραVybrané partie z logiky
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO Katedra informatiky Vybrané partie z logiky Eduard Toman Bratislava 2005 Obsah 1 Úvod 3 1.1 Jazyk logiky..................................
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY NOVÁ METÓDA KONJUGOVANÝCH GRADIENTOV BAKALÁRSKA PRÁCA 2012 Marián PITONIAK UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY,
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραHry N hrá ov. doc. RNDr. tefan Pe²ko. April 9, Katedra matematických metód a opera nej analýzy, FRI šu
Katedra matematických metód a opera nej analýzy, FRI šu April 9, 2018 Budeme predpoklada, ºe kaºdý z N hrá ov (N 2) je inteligentný hrá. Najskôr za budeme zaobera nekooperativnymi hrami, v ktorých hrá
Διαβάστε περισσότερα9. kapitola. Viachodnotové logiky trojhodnotová Łukasiewiczova logika a Zadehova fuzzy logika. priesvitka
9. kapitola Viachodnotové logiky trojhodnotová Łukasiewiczova logika a Zadehova fuzzy logika 1 Úvodné poznámky o viachodnotových logikách V klasickej logike existujú prípady, keď dichotomický pravdivostný
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότερα3. Výroková logika. Princíp dvojhodnotovosti (bivalencie): Existujú práve dve pravdivostné hodnoty pravda a nepravda.
3. Výroková logika Výroková logika patrí do klasickej logiky - do jednej z dvoch oblastí, na ktoré môžeme rozdeliť súčasnú logiku. 22 Sochor (2011, 21) prirovnáva výrokovú logiku ku gramatickému rozboru
Διαβάστε περισσότεραMarkovove procesy. Teória hromadnej obsluhy. doc. RNDr. tefan Pe²ko, CSc. 17. októbra Katedra matematických metód, FRI šu
Teória hromadnej obsluhy Katedra matematických metód, FRI šu 17. októbra 2013 Náhodný re azec {X(t)} t T s mnoºinou stavov S nazveme Markovov proces, ak 1 mnoºina T = 0, ), 2 platí Markovova vlastnos :
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραAko si nájs chybu? o a ako sa pýta výsledkov
o a ako sa pýta výsledkov Katedra teoretickej fyziky a didaktitky fyziky FMFI, UK Letná ²kola FKS/TMF 29.7.2016 Keby ste sa nudili Túto prezentáciu a mnoºstvo al²ích príkladov nájdete na davinci.fmph.uniba.sk/
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότεραMETÓDY VNÚTORNÉHO BODU VO FINANƒNÝCH MODELOCH DIPLOMOVÁ PRÁCA
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave Katedra aplikovanej matematiky a ²tatistiky METÓDY VNÚTORNÉHO BODU VO FINANƒNÝCH MODELOCH DIPLOMOVÁ PRÁCA 2006 Václav Kolátor
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραSiete jednosmerného prúdu alebo 77 odporných príkladov
Siete jednosmerného prúdu alebo 77 odporných príkladov Juraj Tekel Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky FMFI UK Mlynska Dolina 842 48 Bratislava juraj(a)tekel(b)gmail(c)com http://fks.sk/~juro/phys_materials.html
Διαβάστε περισσότεραZáklady automatického riadenia
Základy automatického riadenia Predná²ka 9 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej p. 2/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej
Διαβάστε περισσότεραu R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.
Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραKURZ JAZYKA C učebný text pre kvartu a kvintu osemročného gymnázia
Škola pre Mimoriadne Nadané Deti a Gymnázium, Teplická 7, 831 02 Bratislava Mgr. Anino BELAN KURZ JAZYKA C učebný text pre kvartu a kvintu osemročného gymnázia BRATISLAVA 2003 1 2 Obsah Úvod...4 Totálny
Διαβάστε περισσότεραNávrh vzduchotesnosti pre detaily napojení
Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότεραLogické systémy. doc. RNDr. Jana Galanová, PhD. RNDr. Peter Kaprálik, PhD. Mgr. Marcel Polakovič, PhD.
Logické systémy doc. RNDr. Jana Galanová, PhD. RNDr. Peter Kaprálik, PhD. Mgr. Marcel Polakovič, PhD. KAPITOLA 1 Úvodné pojmy V tejto časti uvádzame základné pojmy, prevažne z diskrétnej matematiky, ktoré
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραZákladné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky
Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky
Διαβάστε περισσότεραVýpočet. grafický návrh
Výočet aaetov a afcký návh ostuu vtýčena odobných bodov echodníc a kužncových obúkov Píoha. Výočet aaetov a afcký návh ostuu vtýčena... Vtýčene kajnej echodnce č. Vstuné údaje: = 00 ; = 8 ; o = 8 S ohľado
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA. Martin Kalina
MATEMATIKA Martin Kalina Slovenská technická univerzita v Bratislave Všetky práva vyhradené. Nijaká časť textu nesmie byť použitá na ďalšie šírenie akoukoľvek formou bez predchádzajúceho súhlasu autorov
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραVLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL. Matematická logika
VLADIMÍR KVASNIČKA JIŘÍ POSPÍCHAL Matematická logika Slovenská technická univerzita v Bratislave 2006 prof. Ing. Vladimír Kvasnička, DrSc., doc. RNDr. Jiří Pospíchal, DrSc. Lektori: doc. PhDr. Ján Šefránek,
Διαβάστε περισσότεραNelineárne optimalizačné modely a metódy
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 8 Metódy transformujúce úlohu naviazaný extrém na úlohu na voľný extrém Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότεραSymbolická logika. Stanislav Krajči. Prírodovedecká fakulta
Symbolická logika Stanislav Krajči Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice 2008 Názov diela: Symbolická logika Autor: Doc. RNDr. Stanislav Krajči, PhD. Vydala: c UPJŠ Košice, 2008 Recenzovali: Doc. RNDr. Miroslav
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότερα