Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky

Transcript

1 Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita v Ko²iciach GRAFOVÉ ALGORITMY A FORMÁLNA LOGIKA Marián Kle², Ján Plavka Ko²ice 2008

2 RECENZOVALI: RNDr. Vladimír Lacko, PhD. RNDr. tefan Bereºný, PhD. Za odbornú stránku u ebného textu zodpovedajú autori. Rukopis nepre²iel redak nou ani jazykovou úpravou. c Marián Kle², Ján Plavka ISBN

3 Obsah Úvod 3 1 Mnoºiny a relácie Mnoºiny a mnoºinové operácie Binárne relácie Ekvivalencia Zobrazenia Úlohy Boolovská algebra iasto ne usporiadané mnoºiny Zväzy Boolovské funkcie Úlohy Grupy, telesá a polia Grupy Cyklické grupy Podgrupy a rozklady grúp Okruhy, telesá, polia Úlohy Neorientované grafy Denícia a základné typy grafov Stupne vrcholov, súvislos a metrika Eulerovskos, hamiltonovskos a planárnos Úlohy Orientované grafy Denícia digrafu Súvislos a silná súvislos Acyklické digrafy

4 2 OBSAH 5.4 Úlohy Grafy a matice Maticové reprezentácie grafov Úlohy Stromy Stromy a ich vlastnosti Kostry a kruºnice Úlohy Aplikácie grafov a digrafov Minimálne cesty a spojenia D ºka minimálnej cesty D ºka minimálneho spojenia Minimálna kostra grafu Problém okruºnej cesty Problém obchodného cestujúceho Metóda kritickej cesty Toky v sie ach Úlohy Formalná logika Výroková logika Logické spojky Pravdivostná hodnota Formuly výrokovej logiky Ekvivalencia formúl Realizácia boolovských funkcií Minimálna realizácia boolovskej formuly Relácia vyplývania Výrokový kalkul Úlohy Predikátová logika Predikát Predikátový kalkúl Úlohy Literatúra 118

5 Úvod Cie om tejto u ebnice je ponúknu ²tudentom studijných programov Informatika a Aplikovaná informatika u ebnú látku zameranú na grafové algoritmy a formálnu logiku. Publikácia nemá nahradi predná²ky z daného predmetu, ale pomôc ²tudentom v systematickom zorientovaní sa v predmete. U ebná látka je lenená do desiatich kapitol, za ktorými sú úlohy na samostatné precvi ovanie preberaného u iva. V prvých dvoch kapitolách sú základné poznatky o binárnych reláciách, zobrazeniach, iasto ne usporiadaných mnoºinách a zväzoch, ktoré vyús ujú do boolovskej algebry a pouºitia boolovských funkcií. Tretia kapitola je venovaná algebraickým systémom s jednou aj s dvoma binárnymi operáciami. al²ie kapitoly, ²tvrtá aº ôsma, sú postupne venované neorientovaným aj orientovaným grafom, stromom, vyuºitiu maticového po tu pri spracovaní úloh pomocou grafov a aplikácií grafov pri rie²ení konkrétnych úloh. Na záver je ukáºka vyuºitia teórie grafov v transportných sie ach pri ur ovaní maximálnych tokov. Deviata a desiata kapitola je venovaná formálnej logike. V deviatej kapitole sa venujeme výrokovej logike, v ktorej základné formuly nemajú ºiadnu vnútornú stavbu a jediným ich atribútom je ich pravdivostná hodnota. al²ia kapitola pojednávajú o predikátovej logike, ktorá pracuje so základnými formulami vypovedajúcimi o vlastnostiach a vz ahoch medzi predmetmi istého univerza. Autori vyslovujú po akovanie RNDr. Vladimírovi Lackovi, PhD. a RNDr. tefanovi Bereºnému, PhD., ktorí starostlivo pre ítali rukopis a cennými radami prispeli k jeho skvalitneniu. 3

6 4

7 Kapitola 1 Mnoºiny a relácie 1.1 Mnoºiny a mnoºinové operácie Jedným zo základných pojmov v matematike je pojem mnoºiny. Nebudeme ho denova, ale budeme ho chápa v intuitívnom zmysle. Pod mnoºinou rozumieme súhrn (skupinu, súbor) nejakých navzájom odli²ných objektov, ktoré pod a nejakého kritéria tvoria jeden celok. Mnoºinu povaºujeme za ur enú, ak o kaºdom objekte vieme rozhodnú, i je alebo nie je prvkom danej mnoºiny. Mnoºiny budeme ozna ova pomocou ve kých písmen: A, B,..., X, Y,..., M, N,... a podobne, a prvky mnoºín budeme ozna ova malými písmenami a, b,..., x, y,..., m, n,.... Skuto nos, ºe a je prvkom mnoºiny A zapí²eme a A. Ak a nie je prvkom mnoºiny A, tak zapí²eme a / A. Namiesto a je (nie je) prvkom mnoºiny A zvykneme hovori aj a patrí (nepatrí) do mnoºiny A. Mnoºinu, ktorá neobsahuje ºiadny prvok, nazývame prázdnou mnoºinou a ozna ujeme ju symbolom. Poznáme rôzne spôsoby ur enia mnoºín. Ak mnoºina M obsahuje kone ný po et prvkov x 1, x 2,..., x n, vtedy pouºívame zápis M = {x 1, x 2,..., x n }. Uvedomme si, ºe D = {0} 5

8 6 KAPITOLA 1. MNOšINY A RELÁCIE je neprázdna mnoºina obsahujúca jeden prvok 0, a preto D. Stretávame sa aj s mnoºinami, ktoré sú ur ené takto: K je mnoºina v²etkých prvkov x B, ktoré majú vlastnos P. V tomto prípade pí²eme: K = {x B; P (x)}. Niektoré mnoºiny, hlavne íselné, majú v²eobecne zauºívané ozna enia. Tak napríklad pre mnoºinu v²etkých prirodzených ísel, t.j. mnoºinu {1, 2, 3,... }, pouºívame symbol N. Mnoºinu v²etkých celých ísel ozna ujeme Z. Racionálne ísla sú zlomky s celo íselným itate om aj menovate om. Mnoºinu v²etkých racionálnych ísel ozna ujeme Q. Znak R je symbolom pre mnoºinu v²etkých reálnych a C pre mnoºinu v²etkých komplexných ísel. Príklad 1.1. P = {x N; 3 < x 2 < 30} je mnoºina v²etkých prirodzených ísel, ktorých druhá mocnina je vä ²ia neº 3 a men²ia ako 30, teda P = {2, 3, 4, 5}. Denícia 1.1. Mnoºina A je podmnoºinou mnoºiny B práve vtedy, ak kaºdý prvok mnoºiny A patrí aj do mnoºiny B. Zapisujeme A B. Je zrejme, ºe A = B práve vtedy, ke A B a sú asne aj B A. Kaºdá neprázdna mnoºina A obsahuje najmenej dve podmnoºiny a to a A. Denícia 1.2. Poten ná mnoºina mnoºiny A je mnoºina P(A), ktorej prvkami sú v²etky podmnoºiny mnoºiny A. Napríklad, ak A = {1, 2, 3}, tak P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3, }}. Predpokladajme, ºe v²etky mnoºiny, s ktorými pracujeme, sú prvkami istej univerzálnej mnoºiny U. Denícia 1.3. Zjednotenie mnoºín A a B je mnoºina a prienik mnoºín A a B je mnoºina A B = {x U; x A alebo x B} A B = {x U; x A a x B}. Teda do A B patria práve tie prvky, ktoré sú prvkami aspo jednej z mnoºín A a B, a do A B patria práve tie prvky, ktoré sú prvkami mnoºiny A aj mnoºiny B.

9 1.1. MNOšINY A MNOšINOVÉ OPERÁCIE 7 Denícia 1.4. Rozdiel mnoºín A a B je mnoºina A \ B = {x U; x A a x / B}. ƒiºe prvkami mnoºiny A \ B sú tie prvky mnoºiny A, ktoré nepatria do B. Denícia 1.5. Komplement (doplnok) mnoºiny A je mnoºina A = U \ A. Operáciu zjednotenia a prieniku môºeme roz²íri na ubovo ný po et mnoºín. Nech I je mnoºina, ktorej budeme hovori mnoºina indexov a pre kaºdé i I je denovaná mnoºina A i U. Hovoríme, ºe je daný systém mnoºín {A i ; i I}. Denícia 1.6. Zjednotenie systému mnoºín {A i ; i I} je mnoºina i I A i práve tých prvkov z U, ktoré patria do niektorej z mnoºín A i. Prienik systému mnoºín {A i ; i I} je mnoºina i I A i práve tých prvkov z U, ktoré patria do v²etkých mnoºín A i. Poznámka. Ak I = {1, 2,..., k}, tak systém mnoºín je {A 1, A 2,..., A k }. Ich zjednotenie a prienik ozna ujeme k i=1 A i a k A i. i=1 Denícia 1.7. Rozklad mnoºiny A je taký systém {A i ; i I}, pre ktorý platí A i = A a A i A j = pre i, j I, i j. i I Veta 1.1. Nech A, B a C sú podmnoºiny mnoºiny U. Potom platí: 1. A B = B A, A B = B A, 2. (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C), 3. A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C), 4. A = A = A, A U = U A = A, 5. A A = A A = U, A A = A A =, 6. (A) = A, 7. A A = A, A A = A, 8. A U = U, A =, 9. A (A B) = A, A (A B) = A, 10. (A B) = A B, (A B) = A B. Tvrdeniam 10 vety 1.1 hovoríme de Morganove pravidlá. Vetu 1.1 nebudeme dokazova, itate si jednotlivé vlastnosti môºe overi pomocou tzv. Vennových diagramov.

10 8 KAPITOLA 1. MNOšINY A RELÁCIE 1.2 Binárne relácie Je pozoruhodné, ako ve a matematických pojmov sa dá vyjadri pomocou mnoºín a rôznych mnoºinových kon²trukcií. Je to prekvapivé hlavne preto, ºe teória mnoºín bola do matematiky zavedená pomerne nedávno. Dnes sa v²ak uº stala sú as ou beºného matematického vyjadrovania a je jazykom, ktorý napomáha chápa matematiku ako jeden celok so spolo nými základmi. Ukáºeme si, ako sa pomocou jednoduchých mnoºinových prostriedkov môºu denova al²ie matematické pojmy. Ak x a y sú prvky (nejakej mnoºiny), potom symbol {x, y} ozna uje mnoºinu obsahujúcu práve prvky x a y a nazýva sa neusporiadaná dvojica prvkov x a y. Pripome me, ºe {x, y} je to isté ako {y, x}. Zavedieme tieº ozna enie (x, y) pre usporiadanú dvojicu prvkov x a y. V tomto prípade závisí na poradí prvkov v zátvorkách. Podobne denujeme usporiadanú n-ticu prvkov x 1, x 2,..., x n, ktorú budeme ozna ova (x 1, x 2,..., x n ). Platí, ºe (x 1,..., x n ) = (y 1,..., y n ) práve vtedy ak x 1 = y 1,..., x n = y n. Denícia 1.8. Karteziánsky sú in A B mnoºín A a B je mnoºina v²etkých usporiadaných dvojíc (a,b), kde a A a b B. Formálne zapisujeme A B = {(a, b); a A, b B}. Karteziánsky sú in A A niekedy zapisujeme ako mocninu, t.j. A 2, a podobne A 3 = A A A at. Je zrejmé, ºe C = C pre ubovo nú mnoºinu C. Denícia 1.9. Binárna relácia z mnoºiny A do mnoºiny B je ubovo ná podmnoºina R karteziánskeho sú inu A B. Ak A = B, hovoríme o binárnej relácii na mnoºine A, o je ubovo ná podmnoºina R A 2. Ak nemôºe dôjs k omylu a je jasné, ºe sa jedná o binárnu reláciu, slovo binárna môºeme vynecha a hovori iba o relácii. Poznámka Binárna relácia R je mnoºina, a teda by sme mali pouºi symbol pre mnoºinu, t.j. R. Symbol R budeme pouºíva preto, aby sme jasne rozlí²ili, ºe sa jedná o reláciu. Ak (a, b) R, hovoríme, ºe prvok a je v relácii R s prvkom b a zapisujeme arb. Analogicky namiesto (a, b) / R pí²eme arb. Názov karteziánsky sú in pochádza z geometrickej interpretácie (a pôvodne teda z mena Descartes): Ke napríklad A = B = R, potom A B môºeme interpretova ako v²etky body roviny a v tomto prípade x a y sú (karteziánske) súradnice bodu (x, y) roviny. Toto znázornenie pouºívame nielen pre íselné mnoºiny, ale napríklad aj pre karteziánsky sú in kone ných mnoºín. Binárnu reláciu potom

11 1.2. BINÁRNE RELÁCIE 9 znázor ujeme ako mnoºinu v rovine, ktorá je podmnoºinou mnoºiny znázor ujúcej karteziánsky sú in. Hovoríme tomu gracká interpretácia binárnej relácie. Príklad 1.2. Nech A = {1, 3, 5}, a B = {0, 2}. Nájdite a gracky znázornite reláciu R, ktorá je denovaná: arb a 2 = 2b 3, a A, b B. Rie²enie. Výpo tom zistíme, ºe R = {(5, 0), (1, 2), (3, 2)}. Gracká interpretácia je na obr Plné krúºky sú prvkami mnoºiny R, v²etky krúºky (plné aj prázdne) sú prvkami karteziánskeho sú inu A B. Príklad 1.3. Majme podmnoºiny reálnych ísel X = {x; 3 < x < 2} a Y = {y; 1 y 4}. Nájdite a gracky znázornite reláciu R, ktorá je denovaná: xry y x + 1. Rie²enie. R je as roviny (pä uholník KLMNO) z obr Obr. 1.1 Obr. 1.2 al²ími vhodnými interpretáciami binárnej relácie sú maticová a grafová. Ak R A B, A = {a 1,..., a n }, B = {b 1,..., b m }, môºeme R zapísa pomocou matice M = (m i,j ) typu (n, m), kde m i,j = { 1, ak ai Ra j, 0, v ostatných prípadoch. Pri grafovej interpretácii (presnú deníciu grafu uvedieme neskôr) prvky mnoºín A a B znázor ujeme krúºkami, ktoré budeme nazýva vrcholy. Usporiadanú dvojicu (a i, b j ) znázorníme ²ípkou v smere od a i k b j, ktorú nazývame orientovaná hrana. Tak napríklad pre reláciu R = {(1, 2), (2, 4), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} na mnoºine {1, 2, 3, 4} máme maticu M R = Obr. 1.3 a grafová reprezentácia je obr. 1.3.

12 10 KAPITOLA 1. MNOšINY A RELÁCIE Denícia Inverzná relácia k binárnej relácii R je binárna relácia R 1 = {(b, a); (a, b) R}, pri om a A a b B. Je zrejmé, ºe arb b R 1 a a (R 1 ) 1 = R. Denícia Nech A, B, C sú mnoºiny, R A B je relácia z A do B, a S B C je relácia z B do C. Sú inom binárnych relácií (zloºením) R a S nazveme binárnu reláciu R S A C takú, ºe pre a A a c C je a(r S)c práve vtedy, ak existuje aspo jedno b B také, ºe arb a zárove b Sc. Sú in relácii R a S tieº niekedy ozna ujeme RS. Sú in relácii sa dá dobre znázorni pomocou grafovej reprezentácie. Na obr. 1.4 je vidie, ºe dvojica (a, c) je v relácii R S vºdy ke z a do c sa dá dosta po orientovaných hranách cez nejaké b z mnoºiny B. Obr. 1.4 V²imnime si, ºe sú in nie je denovaný pre kaºdé dve binárne relácie. Aby sa dali relácie sklada, musia ma spolo nú prostrednú mnoºinu (v denícii sme ju ozna ili B). Ak sú v²ak R aj S relácie na tej istej mnoºine, ich sú in je vºdy dobre denovaný. V tomto prípade záleºí na poradí skladania, t.j. R S je vo v²eobecnosti iná relácia ako S R. Veta 1.2. Pre sú in binárnych relácií platí asociatívny zákon. Ak R A B, S B C a T C D sú binárne relácie, tak (R S) T = R (S T ). Dôkaz vety vyplýva z Denície 1.11 a zo schémy na obr. 1.5.

13 1.3. EKVIVALENCIA 11 Obr. 1.5 Poznámka. Pojem binárnej relácie môºeme zov²eobecni. Nech A 1, A 2,..., A n sú ubovo né mnoºiny. Karteziánsky sú in A 1 A 2 A n mnoºín A 1, A 2,..., A n je mnoºina v²etkých usporiadaných ntíc (a 1, a 2,..., a n ), kde a i A i pre v²etky i = 1, 2,..., n. ²peciálne, ak A 1 = A 2 = = A n, potom A 1 A 2 A n = A n je mnoºina v²etkých usporiadaných ntíc prvkov mnoºiny A. Potom nárna relácia je ubovo ná podmnoºina karteziánskeho sú inu A 1 A 2 A n. 1.3 Ekvivalencia V tejto asti textu sa budeme zaobera iba binárnymi reláciami na mnoºine, t.j. ke R A A. Denícia Binárna relácia R na mnoºine A sa nazýva: reexívna, ak pre v²etky a A platí ara; symetrická, ak pre v²etky a, b A platí, ºe ak arb, tak aj bra; antisymetrická, ak pre v²etky a, b A platí, ºe ak arb aj bra, tak a = b ; tranzitívna, ak pre v²etky a, b, c A platí, ºe ak arb a brc, tak aj arc. Ak znázor ujeme reláciu pomocou matice, tak matica odpovedajúca reexívnej relácii má na hlavnej diagonále len jedni ky. Matica reprezentujúca symetrickú reláciu je symetrická pod a hlavnej diagonály. Pri grafovej reprezentácii reexívnej relácii odpovedá graf s orientovanou slu kou pri kaºdom vrchole. V grafe reprezentujúcom symetrickú reláciu kaºdú dvojicu vrcholov spájajú orientované hrany v oboch smeroch. Aj podmienka tranzitívnosti sa dá dobre vyjadri pomocou orientovaných hrán: ak sú v grafe hrany z x do y a z y do z, musí tam by aj hrana z a do z. Denícia Hovoríme, ºe relácia R na mnoºine A je ekvivalencia na mnoºine A, ak je reexívna, symetrická a tranzitívna. Pojem ekvivalencie je zastre²ujúci pojem pre v²etky pojmy vyjadrujúce rovnakos, podobnos, izomorzmus at. asto sa relácia ekvivalencie zvykne ozna ova symbolmi =,,,, =,.... Príklady ekvivalencie sa vyskytujú napríklad v geometrii: podobnos trojuholníkov, rovnobeºnos priamok a podobne. Nech R je ekvivalencia na mnoºine A a nech a je ubovo ný prvok mnoºiny A. Ozna me symbolom R[a] mnoºinu v²etkých prvkov x, ktoré sú v relácii s prvkom a (teda R[a] = {x; arx}). R[a] sa nazýva trieda ekvivalencie R ur ená prvkom a. Platí nasledujúca Veta 1.3. Pre kaºdú ekvivalenciu R na mnoºine A platí (i) R[a] je neprázdna mnoºina pre kaºdý prvok a A.

14 12 KAPITOLA 1. MNOšINY A RELÁCIE (ii) Pre kaºdé dva prvky a, b z mnoºiny A bu R[a] = R[b], alebo R[a] R[b] =. (iii) Triedy ekvivalencie jednozna ne ur ujú (popisujú) reláciu R. Skôr, ako pristúpime k dôkazu, vysvetlime zmysel bodu (iii). Presný význam je nasledujúci: Ak sú R a S dve ekvivalencie na mnoºine A a pre kadý prvok a z mnoºiny A platí rovnos R[a] = S[a], potom R = S. Dôkaz. (i) Mnoºina R[a] vºdy obsahuje aspo prvok a, pretoºe R je reexívna relácia. (ii) Nech a, b sú dané prvky. Ak arb, ukáºeme najprv ºe R[a] R[b]. Je to tak, pretoºe ak nejaké x R[a], potom arx a zo symetrie vyplýva, ºe aj xra. Ke ºe xra a arb, z tranzitívnosti vyplýva ºe aj xrb. Ak opä pouºijeme symetriu, máme brx, o znamená, ºe x R[b], a teda R[a] R[b]. Podobne sa ukáºe, ºe aj R[b] R[a], z oho vyplýva, ºe R[a] = R[b]. Teraz ukáºeme, ºe ak neplatí arb, tak R[a] R[b] =. Postupujeme sporom: Nech existuje x R[a] R[b]. Potom arx a zo symetrie aj xrb. Z tranzitívnosti dostávame arb, o je spor. (iii) Táto as tvrdenia vety je zrejmá, pretoºe triedy ekvivalencie R ur ujú R vz ahom arb práve vtedy, ak {a, b} R[a]. Obrázok 1.6 znázor uje tvrdenia vety 1.3. Podmnoºiny danej mnoºiny A, ktoré sú navzájom disjunktné a ktoré spolu obsahujú v²etky prvky mnoºiny A, tvoria rozklad mnoºiny A (pozri deníciu 1.7). Tvrdenia vety zaru ujú, ºe triedy ekvivalencie tvoria rozklad mnoºiny a ºe vz ah medzi v²etkými ekvivalenciami na danej mnoºine A a v²etkými rozkladmi mnoºiny A je vzájomne jednozna ný. Obr. 1.6 Uvedieme si jednu konkrétnu ekvivalenciu, ktorá rozkladá mnoºinu celých ísel. Hovoríme, ºe nenulové celé íslo b delí celé íslo a, ak existuje také celé íslo q, ºe a = b q. Zapisujeme to symbolom b a. Nech m N a nech R m = {(a, b) Z Z; m (a b)}. Ukáºeme si, ºe binárna relácia R m na mnoºine Z je ekvivalencia. Reexívnos platí, pretoºe pre kaºdé a Z je a a = 0 a nulu delí kaºdé nenulové íslo, teda aj na²e dopredu zvolené íslo m. Je zrejmé, ºe pre ubovo né a, b Z, ak m (a b), tak aj m (b a) a relácia je symetrická. Uvaºujme teraz ubovo né a, b, c Z, pre ktoré platí ºe m (a b) a tieº m (b c). Potom existujú celé

15 1.4. ZOBRAZENIA 13 ísla q 1 a q 2 také, ºe a b = m q 1 a b c = m q 2. Z toho v²ak vyplýva, ºe a c = (a b) + (b c) = m (q 1 + q 2 ), kde q 1 + q 2 Z, a teda m (a c). Tým sme ukázali, ºe relácia je aj tranzitívna. Ke ºe sa jedná o ekvivalenciu, môºeme teraz zostroji mnoºinu tried ekvivalencie Z m = {0, 1, 2,..., n 1}, ktoré tvoria rozklad mnoºiny v²etkých celých ísel Z, pri om trieda k (0 k n 1) má tvar k = {..., 2m + k, m + k, k, m + k, 2m + k,... }. Mnoºinu Z m nazývame mnoºinou v²etkých zvy²kových tried mnoºiny Z pod a modulu m. Napríklad pre m = 5 dostávame: Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4}, kde 0 = {..., 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15,... }, 1 = {..., 14, 9, 4, 1, 6, 11, 16,... }, 2 = {..., 13, 8, 3, 2, 7, 12, 17,... }, 3 = {..., 12, 7, 2, 3, 8, 13, 18,... }, 4 = {..., 11, 6, 1, 4, 9, 14, 19,... }. 1.4 Zobrazenia Pojem zobrazenie sa zhoduje s pojmom funkcie a je jedným zo základných pojmov v matematike. Trvalo dos dlho, kým sa dospelo k dne²nému chápaniu zobrazenia ako ²peciálneho typu binárnej relácie. E²te v nedávnej dobe sa uvaºovali iba reálne alebo komplexné funkcie a poctivá funkcia musela by vyjadrená nejakým vzorcom alebo sú tom nekone ného radu. Denícia Zobrazenie z mnoºiny A do mnoºiny B je binárna relácia f A B s vlastnos ami: a) ku kaºdému a A existuje b B tak, ºe (a, b) f, b) ak (a, b) f a (a, c) f, tak b = c. Namiesto slova zobrazenie sa v rovnocennom význame asto pouºíva slovo funkcia. Teda zobrazenie f z mnoºiny A do mnoºiny B môºeme chápa ako pravidlo, ktoré kaºdému prvku a A priradí práve jeden prvok b z mnoºiny B. To, ºe f je zobrazenie z mnoºiny A do mnoºiny B, zapisujeme takto: f : A B. Prvok a je vzorom prvku b a prvok b je obrazom prvku a pri zobrazení f. Namiesto afb alebo (a, b) f

16 14 KAPITOLA 1. MNOšINY A RELÁCIE obvykle pí²eme b = f(a). V²etky tri zápisy vyjadrujú to isté: prvok a je v relácii s prvkom b. Poznámka. V²imnime si, ºe aj ke zobrazenie je reláciou, nepouºíva sa na jeho ozna enie ve ké písmeno ako pre reláciu, ale malé. itate sa ur ite astej²ie stretával so zápisom y = f(x), teda s prípadom funkcie (zobrazenia) z mnoºiny X do mnoºiny Y. Je to to isté, ak si uvedomíme, ºe mnoºiny A a B v denícii zobrazenia boli ubovo né. Príklad 1.4. Nech A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4}. Potom je zobrazenie, ale f 1 = {(1, 2), (2, 2), (3, 4)} f 2 = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4)} nie je zobrazenie, lebo nie je splnená vlastnos b) denície 1.14 a ani f 3 = {(1, 2), (2, 3)} nie je zobrazenia, lebo nie je splnená vlastnos a) denície Denícia Zobrazenie f : A B sa nazýva: surjektívne, ak ku kaºdému b B existuje aspo jedno a A tak, ºe b = f(a), injektívne, ak z a 1 a 2, a 1, a 2 A vyplýva f(a 1 ) f(a 2 ), bijektívne, ak je surjektívne aj injektívne. Obr. 1.7 Na obr. 1.7 sú znázornené jednotlivé typy zobrazení. Zobrazenie (a) nie je surjektívne ani injektívne, (b) je surjektívne, ale nie je injektívne, (c) je injektívne, ale nie je surjektívne a (d) je surjektívne aj injektívne, teda bijektívne. Kaºdé zobrazenie f je binárne relácia z A do B, preto existuje aj binárna relácia f 1 z B do A, ktorá vo v²eobecnosti nie je zobrazením (funkciou).

17 1.5. ÚLOHY 15 Veta 1.4. Nech f je zobrazenie z A do B. Potom f 1 je zobrazenie z B do A práve vtedy, ak f je bijektívne zobrazenie. Dôkaz. Nech f 1 je zobrazenie z B do A. Potom kaºdý prvok b B má práve jeden obraz f 1 (b) A, a teda kaºdý prvok b B je obrazom práve jedného prvku z A v zobrazení f, o je bijektívnos zobrazenia f. Naopak, nech f je bijektívne zobrazenie z A do B. Potom kaºdý prvok b B má práve jeden vzor v mnoºine A, a teda f 1 je zobrazenie, lebo kaºdý prvok b B má práve jeden obraz f 1 (b) A. Denícia Majme zobrazenia f : A B a g : B C. Sú inom (zloºením) zobrazení f a g je zobrazenie h : A C denované predpisom pre kaºdé a A. h(a) = g(f(a)) Zobrazenie h budeme ozna ova g f. Platí teda (g f)(a) = g(f(a)) pre kaºdý prvok a A. Je tu odli²nos oproti sú inu relácií, kde sa skladanie zapisuje v poradí z ava doprava. Pri zobrazeniach skladanie zapisujeme sprava do ava. Pre sú in zobrazení platí asociatívny zákon, ale nie komutatívny. Ak má f g zmysel, potom g f vôbec nemusí by denované. 1.5 Úlohy 1.1. Majme mnoºiny S = {1, 2, 3, 5} a T = { 3, 0, 7}. Utvorte S T, T S, S S a T T Je daná mnoºina L = {(1, 0), (0, 1), (2, 1), (0, 0), (2, 2), (0, 2), (2, 0)}. Rozhodnite, i existujú také mnoºiny M a P, pre ktoré by platilo L = M P Nájdite bijektívne zobrazenie mnoºiny A B na mnoºinu B A pre dve zvolené mnoºiny A a B Zistite, ktoré z vlastností reexívnos, symetrickos, antisymetrickos, tranzitívnos platia v nasledujúcich binárnych reláciách: a) R 1 = {(x, y) N 2 ; y = x + 1}, b) R 2 = {(x, y) N 2 ; y > x}, c) R 3 = {(x, y) Z 2 ; x y = 1}, d) R 4 = {(x, y) Z 2 ; x y m, m N, (m pevne zvolené)}, e) R 5 = {(x, y) R 2 ; x y}, f) R 6 = {(x, y) A 2 ; x = y}, pri om A je ubovo ná mnoºina Rozhodnite, ktoré z nasledujúcich binárnych relácií sú ekvivalencie. V prípade ekvivalencie nájdite aj triedy ekvivalencií:

18 16 KAPITOLA 1. MNOšINY A RELÁCIE a) Ma rovnaký polomer ako na mnoºine kruºníc v rovine, b) x y 1, x, y R, c) x = y, x, y C Utvorte mnoºinu Z 6 zvy²kových tried mnoºiny Z Rozhodnite, ktoré z nasledujúcich zobrazení je injektívne, surjektívne, bijektívne: a) f : N N, f(n) = 2n pre v²etky n N, b) f : Z Z, f(x) = x 1 pre v²etky x Z, c) f : π 2, π 2 1, 1, f(x) = sin x pre v²etky x π 2, π 2.

19 Kapitola 2 Boolovská algebra 2.1 iasto ne usporiadané mnoºiny ƒitate ur ite pozná usporiadanie mnoºiny prirodzených ísel alebo iných íselných mnoºín pod a ve kosti. Takéto usporiadanie sa v matematike chápe ako ²peciálny typ relácie, t.j. ako vz ah dvojice ísel, a relácia sa oby ajne ozna uje symbolom (men²í alebo rovný). Iné binárne relácie nám umoº ujú usporiada mnoºiny (nielen íselné) pod a iných kritérií. Denícia 2.1. Relácia iasto ného usporiadania na nejakej mnoºine A je kaºdá relácia na mnoºine A, ktorá je reexívna, antisymetrická a tranzitívna. Príkladmi relácií iasto ného usporiadania sú napr.: relácia delite nosti na mnoºine N, relácia inklúzie na systéme mnoºín, usporiadanie ísel pod a ve kosti na R,.... Ak nebudeme presne ²pecikova, o akú binárnu reláciu sa jedná, budeme na ozna enie relácie iasto ného usporiadania pouºíva symbol. Potom môºeme deníciu 2.1 sformulova takto: Denícia 2.2. Nech A. Binárna relácia na mnoºine A je reláciou iasto ného usporiadania práve vtedy, ak pre v²etky a, b, c A platí: a a, a b b a a = b, a b b c a c. Usporiadaná dvojica (A; ) sa nazýva iasto ne usporiadaná mnoºina. Ak porovnávame ísla (okrem komplexných) pod a ve kosti, tak ubovo né dve ísla sa dajú porovna. Táto vlastnos pre mnohé iasto ne usporiadané mnoºiny naplatí. Denícia 2.3. ƒiasto ne usporiadaná mnoºina (A; ), v ktorej pre v²etky a, b A je a b alebo b a sa nazýva lineárne usporiadaná. Príklad 2.1. Nech A = {a, b, c}. Utvorme poten nú mnoºinu P(A) = {, {a}, 17

20 18 KAPITOLA 2. BOOLOVSKÁ ALGEBRA {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. ahko overíme, ºe (P(A); ) je iasto ne usporiadaná mnoºina. Nie je v²ak lineárne usporiadaná, lebo napríklad {c} {a, b} ani {a, b} {c}. Príklad 2.2. Nech A je neprázdna podmnoºina mnoºiny reálnych ísel R. Potom (A; ) je iasto ne usporiadaná mnoºina a je aj lineárne usporiadaná. Kone né iasto ne usporiadané mnoºiny môºeme znázor ova pomocou grafov podobne ako ktoréko vek iné binárne relácie. V takých obrázkoch by v²ak bolo ve mi ve a hrán. Skôr ako si vysvetlime, ktoré hrany netreba zakres ova, potrebujeme pojem pokrývajúci prvok. Denícia 2.4. Nech (A; ) je iasto ne usporiadaná mnoºina a nech a, b A. Hovoríme, ºe prvok a pokrýva prvok b, ak a b a platí: 1. a b, 2. neexistuje x A, x a, x b taký, ºe a x b. ƒiasto ne usporiadané mnoºiny (A; ) budeme znázor ova pomocou tzv. Hasseho diagramov. Vrcholy odpovedajúce prvkom mnoºiny A umiestnime v rovine tak, ºe ak a b, tak vrchol a umiestnime niº²ie ako vrchol b. Vrcholy a, b spojíme iarou (hranou) práve vtedy, ak prvok b pokrýva prvok a. Tým si u²etríme kreslenie ²ípky, pretoºe orientácia hrany je uvaºovaná zdola nahor, a nekreslime ani hrany medzi dvojicami prvkov, ktorých rela ný vz ah vyplýva z tranzitívnosti. Reexívnos relácie dovo uje nekresli ani slu ky pri vrcholoch. Hasseho diagram iasto ne usporiadanej mnoºiny z príkladu 2.1 je na obr. 2.1(a). Obr. 2.1 Príklad 2.3. Nech A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. (A; ) je iasto ne usporiadaná mnoºina, pretoºe relácia delite nosti je reexívna, antisymetrická a tranzitívna. Hasseho diagram je na obr. 2.1(b). Denícia 2.5. Nech (A; ) je iasto ne usporiadaná mnoºina. Prvok a A sa nazýva najmen²í (najvä ²í) prvok v (A; ), ak pre kaºdý prvok x A platí a x (x a).

21 2.2. ZVÄZY 19 Prvok a A sa nazýva minimálny (maximálny) prvok v (A; ), ak neexistuje prvok x A, x a taký, ºe x a (a x). Najmen²í (najvä ²í) prvok je zárove aj minimálnym (maximálnym) prvkom iasto ne usporiadanej mnoºiny, ale naopak to neplatí. Ak iasto ne usporiadaná mnoºina má najmen²í, resp. najvä ²í prvok, je jediným a je zárove aj jej jediným minimálnym, resp. maximálnym prvkom. Napríklad v (A; ) z príkladu 2.3 íslo 1 je najmen²ím prvkom a je zárove aj jediným minimálnym, maximálnymi prvkami sú ísla 6, 7, 8, 9 a 10 a najvä ²í prvok neexistuje. V (P(A); ) z príkladu 2.1 je jediným minimálnym a sú asne aj najmen²ím prvkom a prvok {1, 2, 3} je jediným maximálnym a zárove aj najvä ²ím prvkom. Nech M je neprázdna podmnoºina mnoºiny A. Ak (A; ) je iasto ne usporiadaná mnoºina, tak aj (M; ) je iasto ne usporiadaná mnoºina. Hovoríme, ºe d je najvä ²í (najmen²í, maximálny, minimálny) prvok mnoºiny M A, ak je najvä ²ím (najmen²ím, maximálnym, minimálnym) prvkom iasto ne usporiadanej mnoºiny (M; ). Denícia 2.6. Nech (A; ) je iasto ne usporiadaná mnoºina a = M A. Mnoºina h(m) = {x A; ( a M : a x)} je mnoºina v²etkých horných ohrani ení mnoºiny M a mnoºina d(m) = {x A; ( a M : x a)} je mnoºina v²etkých dolných ohrani ení mnoºiny M. Najmen²í (najvä ²í ) prvok mnoºiny h(m) (d(m)), ak existuje, sa nazýva supremum (inmum) mnoºiny M a zapisuje sa sup M (inf M). Príklad 2.4. H adajme supremum a inmum niektorých podmnoºín mnoºiny A z príkladu 2.3. Napríklad: sup{2, 3, 6} = 6, inf{2, 3, 6} = 1, sup{2, 3, 5, 6} neexistuje, inf{2, 3, 5, 6} = 1, sup{2, 5} = 10, inf{2, 5} = 1, sup{2, 10} = 10, inf{2, 10} = Zväzy Teória zväzov sa vyuºíva v teórii kon²trukcie po íta ov a pri dokazovaní správnosti programov. Jej výsledky a metódy sa pouºívajú aj pri ²túdiu grúp a iných algebraických ²truktúr. My sa zameriame na pouºitie teórie zväzov v Boolovskej algebre.

22 20 KAPITOLA 2. BOOLOVSKÁ ALGEBRA Nech (A; ) je iasto ne usporiadaná mnoºina a nech x, y A. Pre inf {x, y} a sup {x, y}, ak existujú, zavedieme tieto ozna enia: a ítame priesek prvkov x a y. alej a ítame spojenie prvkov x a y. inf {x, y} = x y sup {x, y} = x y V príklade 2.4 sme videli, ºe nie pre kaºdú dvojicu prvkov iasto ne usporiadanej mnoºiny existuje spojenie (nie kaºdá dvojica prvkov má spojenie). Podobne je to aj s priesekom. V lineárne usporiadanej mnoºine majú kaºdé dva prvky priesek aj spojenie, je nim men²í, resp. vä ²í z nich. Denícia 2.7. Zväz je iasto ne usporiadaná mnoºina, v ktorej kaºdé dva prvky majú spojenie aj priesek. Príklad 2.5. Nech A = {1, 2, 3, 4, 5} a nech B = {, {1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}} je jej podmnoºina. ahko sa presved íme, ºe (B; ) je iasto ne usporiadaná mnoºina. Jej Hasseho diagram je na obr Nie je to v²ak zväz, lebo prvky {1, 2} a {1, 3} nemajú spojenie (mnoºina ich horných ohrani ení nemá najmen²í prvok) a prvky {1, 2, 3, 4} a {1, 2, 3, 5} nemajú priesek (mnoºina ich dolných ohrani ení nemá najvä ²í prvok). ƒiasto ne usporiadaná mnoºina (A; ) z príkladu 2.1 je zväz a v jej Hasseho diagrame na obr. 2.1 sa ahko presved íme, ºe kaºdá dvojica prvkov má priesek aj spojenie. Obr. 2.2 Veta 2.1. Nech (L; ) je zväz. Potom pre ubovo né x, y, z L platí: x x = x, x x = x, idempotentnos, x y = y x, x y = y x, komutatívnos, x (y z) = (x y) z, x (y z) = (x y) z, asociatívnos, x (y x) = x, x (y x) = x, absorbcia. Poznámka. Vo zväze priesek a spojenie môºeme chápa ako zobrazenia: : A A A, : A A A, o sú binárne operácie. Binárna operácia teda priradí dvom prvkom mnoºiny jeden prvok z tej istej mnoºiny. Podobne unárna operácia priradí len jednému prvku jeden prvok z tej istej mnoºiny. Rovnocennou deníciou zväzu je aj nasledujúca:

23 2.2. ZVÄZY 21 Denícia 2.8. Zväz je algebraický systém (L;, ), kde L a pre operácie prieseku a spojenia platia vlastnosti: idempotentnos, komutatívnos, asociatívnos a absorbcia. Príklad 2.6. Na zväz (A; ) z príkladu 2.5, ktorého Hasseho diagram je na obr. 2.1, sa môºeme pozera aj ako na mnoºinu s denovanými binárnymi operáciami zjednotenia a prieniku. itate si ahko preverí, ºe algebraický systém (P(A);, ) vyhovuje denícii 2.8. Algebraický systém (Z; +, ) zväzom nie je, lebo hne prvá vlastnos idempotentnos neplatí. Denícia 2.9. Zväz (L;, ) sa nazýva distributívny, ak pre v²etky x, y, z L platí: x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z). Príklad 2.7. Na obr. 2.3 sú Hasseho diagramy zväzov N 5 a M 5 (tieto ozna enia sú zauºívané v literatúre). Nie sú distributívne, lebo v kaºdom sa dá nájs trojica prvkov, pre ktorú neplatí aspo jedna z rovností v denícii 2.9. Napr. v N 5 je u (v y) = u z = u, ale (u v) (u y) = v x = v. Podobne v M 5 je s (t q) = s r = s, ale (s t) (s q) = p p = p. Obr. 2.3 V kaºdom kone nom zväze existuje jediný najvä ²í prvok I (horné univerzálne ohrani enie) a jediný najmen²í prvok 0 (dolné univerzálne ohrani enie). Tieto prvky môºeme ozna i aj v symbolickom zápise zväzu takto: (L;,, 0, I). Denícia Nech (L;,, 0, I) je zväz. Prvok x L nazývame komplementom prvku x L práve vtedy, ak x x = 0 a x x = I. Príklad 2.8. Pre prvky zväzu z príkladu 2.6, ktorého Hasseho diagram je na obr. 2.1(a), platí 0 = a I = {a, b, c}. alej je 0 = I, I = 0, {a} = {b, c}, {b} = {a, c}, {c} = {a, b}, {a, b} = {c}, {a, c} = {b}, {b, c} = {a}. Ku kaºdému prvku teda existuje práve jeden kompliment. Pre zväz M 5 na obr. 2.3 platí 0 = p a I = r. alej 0 = I, I = 0, s = t, s = q, t = s, t = q, q = s, q = t, teda prvky s, t, q majú po dva komplementy. Existujú zväzy, v ktorých niektoré prvky majú viac komplementov.

24 22 KAPITOLA 2. BOOLOVSKÁ ALGEBRA Denícia Zväz (L;,, 0, I) sa nazýva komplementárny práve vtedy, ak kaºdý jeho prvok má komplement. Distributívny a komplementárny zväz nazývame boolovským zväzom. Veta 2.2. V boloovskom zväze (L;,, 0, I) má kaºdý prvok práve jeden komplement. Poznámka. Dá sa ukáza, ºe ak je zväz kone ný a kaºdý jeho prvok má práve jeden komplement, tak je aj distributívny. Uº sme si ukázali, ºe (P(A); ), kde A = {a, b, c}, je zväz, ºe je distributívny aj komplementárny, teda boolovský. Platí aj to pre kaºdú inú kone nú mnoºinu, t.j ke A = n. Taký zväz má 2 n prvkov a môºeme ho zapisova aj (P(A);, ). Dá sa tieº ukáza, ºe kaºdý kone ný boolovský zväz má 2 n prvkov pre nejaké nezáporné celé íslo n, a ºe jeho Hasseho diagram je zhodný s Hasseho diagramom zväzu (P(A);, ) pre to isté n. Komplement v boolovskom zväze (L;,, 0, I) môºeme chápa ako unárnu operáciu z mnoºiny L do mnoºiny L. Potom sa na boolovský zväz môºeme pozera ako na algebraický systém (L;,,, 0, I), kde L, operácie, sú binárne operácie a je unárna operácia na L. Takému vyjadreniu zväzu budeme hovori boolovská algebra. Okrem uº uvedených vlastností idempotentnos, komutatívnos, asociatívnos, absorbcia, distributívnos a existencia komplementu ku kaºdému prvku platí v boolovskej algebre aj mnoho al²ích vlastností. Uvedieme len najhlavnej²ie z nich, ktoré budeme neskôr pouºíva pri úprave boolovských funkcií: (1) x 0 = x, (2) x I = x, (3) x x = I, (4) x x = 0, (5) x 0 = 0, (6) x I = I, (7) (x y) = x y, (8) (x y) = x y, (9) x (x y) = x y, (10) x (x y) = x y. Poznámka. Vlastnosti (7) a (8) sú známe pod názvom de Morganové pravidlá. Doporu ujeme itate ovi v²imnú si podobnos mnoºinových vlastností z vety 1.1 a vlastností boolovskej algebry. Príklad 2.9. Majme dvojprvkovú mnoºinu D = {0, 1}. Nech pre prvky mnoºiny D sú denované binárne operácie priesek a spojenie a unárna operácia pomocou tabuliek: ' V tomto prípade dolné univerzálne ohrani enie je 0 a horné univerzálne ohrani enie je 1 (musíme si uvedomi, ºe nie sú to ísla 0 a 1). Bez vä ²ích aºkosti si môºeme overi, ºe algebraický systém (D;,,, 0, 1) je boolovská algebra.

25 2.3. BOOLOVSKÉ FUNKCIE Boolovské funkcie V tejto asti poukáºeme na aplikácie boolovských algebier v elektrotechnike a v logike. Denícia 2.12 Nech (D;,,, 0, 1) je boolovská algebra, kde D = {0, 1}. Zobrazenie f : D n D sa nazýva boolovská funkcia s n premennými. Zapisujeme ju y = f(x 1, x 2,..., x n ), kde y, x i D pre v²etky i = 1, 2,..., n. Z uvedeného vyplýva, ºe boolovská funkcia s n premennými kaºdej usporiadanej ntici núl a jedni iek z mnoºiny D n priradí hodnotu 0 alebo 1. Veta 2.3. Existuje práve 2 2n rôznych boolovských funkcií s n premennými. Príklad Z vety 2.3 vyplýva, ºe existuje práve 16 rôznych boolovských funkcií s 2 premennými. Kaºdej zo ²tyroch usporiadaných dvojíc (x 1, x 2 ) funkcia f i, i = 1, 2,..., 16, priradí hodnotu 0 alebo 1. V²etkých 16 funkcií je vypísaných v nasledujúcej tabu ke. (x 1, x 2 ) f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f 15 f 16 (0,0) (0,1) * (1,0) (1,1) Denícia Nech x i ozna uje hodnotu x i D alebo hodnotu jeho komplementu x i pre v²etky i = 1, 2,..., n. Boolovskú funkciu k(x 1, x 2,..., x n ) = x 1 x 2... x n nazývame elementárna konjunkcia a boolovskú funkciu d(x 1, x 2,..., x n ) = x 1 x 2... x n nazývame elementárna disjunkcia. Nech k 1, k 2,..., k j, kde 0 j 2 n, sú rôzne elementárne konjunkcie. Funkcia f = 0 k 1 k 2... k j je boolovská funkcia s n premennými v normálnom disjunktívnom tvare (NDT). Nech d 1, d 2,..., d r, kde 0 r 2 n, sú rôzne elementárne disjunkcie. Funkcia f = 1 d 1 d 2... d r je boolovská funkcia v normálnom konjunktívnom tvare (NKT).

26 24 KAPITOLA 2. BOOLOVSKÁ ALGEBRA Vzniká prirodzene otázka, i sa dá kaºdá boolovská funkcia napísa v niektorom z týchto tvarov. Veta 2.4. Kaºdá boolovská funkcia sa dá zapísa v normálnom disjunktívnom tvare aj v normálnom konjunktívnom tvare. Príklad Upravme na normálny disjunktívny tvar boolovskú funkciu f = (x x 1 3) (x x 2 3). Vyuºijeme vlastnosti boolovskej algebry a robíme postupné úpravy tak, aby sme neporu²ili rovnos. f = (x 1 x 3) (x 2 x 3 ) = [(x 1 x 3) (x 2 x 2 )] [(x 2 x 3 ) (x 1 x 1 )] = (x 1 x 2 x 3) (x 1 x 2 x 3) (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ). Vyuºili sme, ºe (x 1 x 1 ) = (x 2 x 2 ) = 1 pod a vlastnosti (3) predchádzajúceho paragrafu. Pouºili sme aj vlastnos (6), z ktorej sme dostali (x 1 x 3) (x 2 x 2 ) = (x 1 x 3) a (x 2 x 3 ) (x 1 x 1 ) = (x 2 x 3 ). Okrem toho sme pouºili vlastnos distributívnos v opa nom poradí, tzv. vyberanie pred zátvorku ako aj komutatívnos a asociatívnos. Uvedieme aj iný spôsob ako boolovskú funkciu previes na normálny disjunktívny, resp. konjunktívny tvar. Pre porovnanie pracujme s tou istou funkciou f ako v predchádzajúcom príklade. Vyrobíme si tabu ku, v ktorej v prvých troch st pcoch sú v²etky trojice hodnôt premenných x 1, x 2 a x 3. V st pci f budú hodnoty boolovskej funkcie pre príslu²né usporiadané trojice núl a jedni iek. V st pci k i vytvoríme v kaºdom riadku, v ktorom hodnota funkcie je 1, elementárnu konjunkciu tak, aby jej hodnota pre príslu²nú trojicu premenných bola tieº 1. Podobne v st pci d i v kaºdom riadku s hodnotou funkcie rovnou 0 vytvoríme elementárnu disjunkciu dávajúcu hodnotu 0 pre príslu²nú trojicu premenných. x 1 x 2 x 3 f k i d i x x 1 x 2 3 x 1 x 2 x x x 1 2 x x x 1 2 x x x 1 2 x x x 1 2 x x x 1 x x 1 x 2 x 3 Ak vytvoríme disjunkciu elementárnych konjunkcií zo st pca k i a konjunkciu elementárnych disjunkcií zo st pca d i, tak dostaneme: f = (x 1 x 2 x 3) (x 1 x 2 x 3) (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ), f = (x 1 x 2 x 3) (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3) (x 1 x 2 x 3 ).

27 2.3. BOOLOVSKÉ FUNKCIE 25 Poznámka. V denícii 2.13 na za iatku NKT je jedni ka a na za iatku NDT je nula. Tieto kon²tanty vo vä ²ine prípadov nemusíme písa, ale dôleºitú úlohu zohrávajú, ak sa jedná o funkciu, ktorá pre v²etky hodnoty premenných nadobúda hodnotu 1, resp. 0. Vo výrokovej logike pod výrokom rozumieme ubovo né tvrdenie, o ktorom má zmysel hovori, i je pravdivé alebo nepravdivé. Kaºdému výroku môºeme priradi jeho pravdivostnú hodnotu t.j. pravda (ozna ujeme symbolom 1), resp. nepravda (pouºívame symbol 0). Rozoznávame elementárne výroky, alebo výroky zloºené z elementárnych pomocou logických operácií. Zloºeným výrokom hovoríme aj výrokové formuly. Základnými logickými operáciami sú: negácia, konjunkcia, disjunkcia, implikácia a ekvivalencia. ƒitate sa s nimi uº ur ite stretol na strednej ²kole, preto ich nebudeme bliº²ie popisova. Kaºdá formula výrokovej logiky sa dá zapísa (realizova ) pomocou boolovskej funkcie. Je tým daná jednozna ná kore²pondencia medzi a (a a alebo) na jednej strane a a na strane druhej. Preto v al²om texte pri boolovských funkciách nemusíme pouºíva symboly prieseku a spojenia a zdedené zo zväzov, ale budeme písa symboly logickej konjunkcie a disjunkcie, t.j. a. Samozrejme v zápise výrokovej formuly pomocou boolovskej funkcie sa nevyskytuje implikácia ani ekvivalencia. Príklad Zapí²me pomocou boolovskej funkcie výrokovú formulu (p q) [(p q) (q p)]. Zostrojíme si pravdivostnú tabu ku pre túto výrokovú formulu a st pec s pravdivostnými hodnotami celej formuly je zárove st pcom hodnôt boolovskej funkcie pre príslu²né hodnoty premenných (pravdivostných hodnôt elementárnych výrokov) p a q. alej postupujeme pod a uº opísaného postupu pri zapisovaní boolovskej funkcie v NDT alebo NKT. Takto získané zápisy sa asto dajú pomocou vlastností boolovskej algebry zna ne zjednodu²i. Uvedený postup ukazuje nasledujúca tabu ka a potom zápis získaných funkcií v NDT a NKT. Je vidie, ºe sa jedná o tzv. tautológiu, t.j. vºdy pravdivý výrok. p q p q p q q p (p q) (q p) f Potom v normálnom disjunktívnom tvare je a v normálnom konjunktívnom tvare je f = (p q) (p q ) (p q) (p q ) f = 1,

28 26 KAPITOLA 2. BOOLOVSKÁ ALGEBRA pretoºe po et príslu²ných elementárnych disjunkcií je nula. Boolovskú algebru moºno s výhodou vyuºi pri navrhovaní kontaktných sietí. Kontaktné siete v praxi vyuºívame pri kontrole práce nejakých zloºitých sústav, pri om poruchu sústavy oby ajne signalizuje rozsvietená signaliza ná ºiarovka. Ukáºeme, ako moºno navrhnú kontaktnú sie na kontrolu takého systému. Príklad Pre sústavu troch strojov navrhnite kontaktnú sie tak, aby signalizovala, ºe nastala niektorá z uvedených porúch: a) prvý stroj nepracuje, druhý pracuje, b) prvý a druhý stroj pracujú, ale tretí nepracuje. Rie²enie. Sta ia nám tri základné kontakty, pri om sa dohovoríme, ºe kontaktom p prechádza prúd práve vtedy, ke pracuje prvý stroj, kontaktom q práve vtedy, ke pracuje druhý stroj a kontaktom r práve vtedy, ke pracuje tretí stroj. Celou sie ou bude prechádza prúd práve vtedy, ke nastane niektorá z uvedených porúch. To znamená, ºe v na²om prípade bude sie ou prechádza prúd práve vtedy, ak nastane niektorá z nasledujúcich moºnosti: 1. prvý stroj nepracuje, druhý pracuje a tretí pracuje, 2. prvý stroj nepracuje, druhý pracuje a tretí nepracuje, 3. prvý a druhý stroj pracujú, tretí nepracuje. Túto situáciu môºeme realizova napríklad kontaktnou sie ou na obr. 2.4(a) a sie môºeme boolovsky charakterizova pomocou funkcie f = (p q r) (p q r ) (p q r ) Obr. 2.4 Mohli sme si pomôc aj tabu kou na výrobu elementárnych konjunkcií a elementárnych disjunkcií. Funkcia f je teraz zapísaná v NDT. Kontaktná sie na obr. 2.4(a) je zbyto ne zloºitá. Ak vyuºijeme vlastnosti boolovskej algebry, dá sa funkcia zna ne zjednodu²i : f = (p q r) (p q r ) (p q r ) = [(p q) (r r )] (p q r ) = (p q) (p q r ) = q [p (p r )] =

29 2.4. ÚLOHY 27 q [(p p) (p r )] = q (q r ). Tomuto výrazu zodpovedá kontaktná sie na obr. jednoduch²ia (je dokonca minimálna). 2.4(b), ktorá je podstatne 2.4 Úlohy 2.1. Ukáºte, ºe relácia rovnosti na mnoºine je sú asne iasto ným usporiadaním aj ekvivalenciou. Je to jediná relácia, pre ktorú to platí Ukáºte, ºe kaºdá kone ná lineárne usporiadaná mnoºina má sú asne najmen²í aj najvä ²í prvok Nech F je mnoºina v²etkých reálnych funkcií f i jednej reálnej premennej, ktorých deni ný obor je D R. Reláciu R denujme takto: Pre v²etky f 1, f 2 F je f 1 Rf 2 práve vtedy, ak pre v²etky x D je f 1 (x) f 2 (x). Ukáºte, ºe (F ; R) je iasto ne usporiadaná mnoºina Nakreslite Hasseho diagram iasto ne usporiadanej mnoºiny (M; ) (ak to je iasto ne usporiadaná mnoºina), kde M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12} a je relácia delite nosti celých ísel Rozhodnite, i (A; R) je iasto ne usporiadaná mnoºina, ak A = R R a relácia R je denovaná: a) (a, b)r(c, d) a + b c b d pre v²etky (a, b), (c, d) A, b) (a, b)r(c, d) a c b d pre v²etky (a, b), (c, d) A Ukáºte, ºe kaºdá lineárne usporiadaná mnoºina je zväzom Presved íte sa, ºe (S; ), kde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30, 60} a je relácia delite nosti celých ísel, je zväz. Nakreslite jeho Hasseho diagram. Zistite, i tento zväz je distributívny a i kaºdý jeho prvok má komplement Ukáºte, ºe v kaºdom distributívnom zväze pre ubovo né tri prvky x, y, z platí rovnos (x y) (y z) (z x) = (x y) (y z) (z x) Nech x, y sú ubovo né prvky boolovskej algebry. Dokáºte, ºe x = y práve vtedy, ak (x y ) (x y) = Upravte boolovskú funkciu f = x 1 [(x 2 x 4 ) x 3] na normálny konjunktívny tvar aj na normálny disjunktívny tvar.

30 28 KAPITOLA 2. BOOLOVSKÁ ALGEBRA Zistite, i boolovské funkcie sa rovnajú. f = [(x y) (x z)] x a g = [x (z (y z))] x Svetlo v chodbe je ovládané z troch vypína ov a v kaºdom momente môºe by zapnuté aj vypnuté ktorýmko vek z nich. Navrhnite kontaktnú sie pre takéto zapojenie Výrobná linka pozostáva z troch strojov. Navrhnite minimálnu kontaktnú sie, ktorá signalizuje, ºe nastal niektorý z uvedených stavov: a) prvý stroj pracuje a z ostatných jeden pracuje a jeden nie, b) prvý stroj nepracuje a z ostatných jeden pracuje a jeden nie Zapí²te pomocou boolovskej funkcie v normálnom konjunktívnom aj v normálnom disjunktívnom tvare výrokovú formulu (((A B) (A C)) (B C)) A a minimalizujte získanú boolovskú funkciu.

31 Kapitola 3 Grupy, telesá a polia 3.1 Grupy Teória grúp patrí medzi mladé matematické disciplíny. Jej za iatky siahajú do prvej polovice minulého storo ia, ke v roku 1826 nórsky matematik Henrik Abel podal dôkaz nerie²ite nosti algebraickej rovnice 5. stup a pomocou odmocnín. Grupy na²li ²iroké uplatnenie v matematických i nematematických disciplínách a ich význam s rozvojom informatiky rastie. Vieme, ºe usporiadanej dvojici celých ísel (a, b) môºeme priradi celé íslo c = a + b. S ítavanie je vlastne zobrazenie f, v tomto prípade f : Z Z Z, kde f(a, b) = a + b. Zobrazenie takého typu sa nazýva binárnou operáciou. Príklad 3.1. Rie²me rovnicu 3x = 4. Oby ajný postup si rozpí²eme podrobnej²ie (pozri pravý st pec): Pritom vyuºívame, ºe 1 je vzh adom na 3 násobenie inverzný prvok k íslu 3, pri 3x = 4 / 1 3 zmene poradia zátvoriek vyuºívame asociatívnos násobenia, potom to, ºe ís- 1 3 (3x) = lo 1 je vzh adom na násobenie neutrálny prvok a v neposlednom rade to, ºe ( 1 sú in dvoch reálnych ísel je opä reálne 3 3)x = 4 3 íslo, t.j. uzavretos mnoºiny reálnych 1 x = 4 ísel vzh adom na operáciu násobenia. 3 Práve vymenované ²tyri vlastnosti nám x = 4 umoº ujú zavies pojem grupy. 3 Denícia 3.1. Nech G je mnoºina. Grupa je algebraický systém (G; ),pre ktorý platí: 1. Pre v²etky x, y G aj x y G. 2. Pre v²etky x, y, z G je x (y z) = (x y) z. 3. V G existuje prvok e taký, ºe pre kaºdé x G je x e = e x = x. 29

32 30 KAPITOLA 3. GRUPY, TELESÁ A POLIA 4. Ku kaºdému x G existuje taký prvok x G, ºe x x = x x = e. Ak G je kone ná mnoºina a G = n, tak íslo n je rád grupy (G; ). Poznámka. Vlastnos 1. z denície vyjadruje uzavretos mnoºiny vzh adom na operáciu. Vlastnos 2. poznáme pod názvom asociatívnos. Prvok e z vlastnosti 3. sa nazýva neutrálny prvok vzh adom na operáciu a prvok x z vlastnosti 4. je inverzný prvok k prvku x vzh adom na operáciu. Ak pre (G; ) platí vlastnos 1. (uzavretos ) a vlastnos 2. (asociatívnos ), algebraický systém (G; ) nazývame pologrupa. Veta 3.1. V kaºdej grupe (G; ) existuje práve jeden neutrálny prvok e a ku kaºdému prvku x existuje práve jeden inverzný prvok x. Denícia 3.2. Grupa (G; ) sa nazýva komutatívna alebo abelovská, ak pre v²etky x, y G platí x y = y x. Príklad 3.2. Algebraický systém (N; ) nie je grupa, pretoºe existujú prirodzené ísla m, n také, ºe m n je záporné íslo, a teda neplatí uzavretos. Pre algebraický systém (P(A); ) platí, ºe pre kaºdé A i, A j P(A) aj A i A j P(A), platí asociatívnos prieniku mnoºín, a tieº existuje neutrálny prvok e = A taký, ºe pre kaºdú mnoºinu A i P(A), teda A i A, je A i e = e A i = A i. Nie je to v²ak grupa, lebo v P(A) ºiadna vlastná podmnoºina mnoºiny A nemá inverzný prvok. ahko sa preverí, ºe (Z; +) je grupa a tieº (R \ {0}; ) je grupa. Algebraický systém (R; ) grupou nie je, lebo k íslu 0 neexistuje inverzný prvok. Vlastnosti grupy sú zov²eobecnením s ítavania a násobenia reálnych ísel. Ak sa jedná o grupu s binárnou operáciou s ítavania (G; +), hovoríme o aditívnej grupe. Podobne multiplikatívna grupa je grupa (G; ) s operáciou násobenia. Veta 3.2. má práve jedno rie²enie Nech (G; ) je grupa a nech a, b G. Potom rovnica a x = b (x a = b) x = a b (x = b a ). Z vety 3.2 vyplýva pravidlo o krátení z ava (sprava): Pre v²etky a, x 1, x 2 G platí: a x 1 = a x 2 x 1 = x 2 (x 1 a = x 2 a x 1 = x 2 ).

33 3.1. GRUPY 31 V abelovskej grupe teda rovnice x 1 a = b a a x 2 = b majú rovnaké rie²enie x 1 = x 1 = b a. Táto veta nám vraví kedy rovnice toho typu majú pre operácie s ítavania a násobenia ísel jednozna né rie²enie a kedy nie. Vä ²inou rie²ime takéto rovnice uº na základných a stredných ²kolách a ani si neuvedomujeme, ºe pracujeme napr. na grupách (Z; +), (R \ {0}; ) a podobne. O íselných mnoºinách a operáciách s ítavania a násobenia ísel vieme ve a. Ve kou prednos ou grúp je, ºe vlastností grúp rovnakého typu sa zhodujú bez oh adu na to, o akú mnoºinu a akú binárnu operáciu sa jedná. Potom sta í ukáza, ºe sa jedná o ur itý typ grupy a môºeme vyuºíva v²etky vlastnosti dokázané na inej grupe rovnakého typu. o rozumieme pod grupami rovnakého typu nám vystihuje pojem izomorzmus. Denícia 3.3. Dve grupy (A; ) a (B; ) sú izomorfné práve vtedy, ak existuje bijektívne zobrazenie ϕ : A B také, ºe pre v²etky a 1, a 2 A je ϕ(a 1 a 2 ) = ϕ(a 1 ) (a 2 ). Príklad 3.3. Na mnoºine zvy²kových tried modulo m (pozri paragraf 1.3) si denujeme operácie a takto: a b = a + b a a b = a b. Nech K = {1, 1, i, i} je podmnoºina komplexných ísel. Zistite, i algebraické systémy (Z 4 ; ) a (K; ) sú izomorfné grupy. Rie²enie. V²etky výsledky binárnych operácií a na uvedených mnoºinách môºeme zapísa do Cayleyho tabuliek: i i i i i i i i i 1 1 i i i 1 1 Obe mnoºiny sú uzavreté vzh adom na operáciu, lebo v poli tabu ky sú iba prvky príslu²nej mnoºiny. Neutrálnym prvkom v prvom prípade je 0 a v druhom 1. V tabu ke to vidíme tak, ºe sa v riadku (st pci) odpovedajúcemu neutrálnemu prvku zopakuje riadok (st pec) zo záhlavia. Inverzný prvok k nejakému prvku nájdeme tak, ºe v riadku, ktorý tomu prvku odpovedá, nájdeme neutrálny prvok a nad ním v záhlaví tabu ky je inverzný. Platí to aj pre st pce. V prvom prípade je 0 = 0, 1 = 3, 2 = 2 a 3 = 1, v druhom 1 = 1, 1 = 1, i = i a i = i. Iba asociatívnos sa nedá zisti priamo z tabu ky. Pre (K; ) asociatívnos platí,

34 32 KAPITOLA 3. GRUPY, TELESÁ A POLIA pretoºe platí pre násobenie ubovo ných troch komplexných ísel. Pri s ítavaní zvy²kových tried modulo m pre ubovo né x, y, z Z m je x (y z) = x (y + z) = x + (y + z) (x y) z = x + y z = (x + y) + z. Ke ºe x + (y + z) = (x + y) + z, asociatívnos s ítavania v Z m platí, a teda platí aj v Z 4. (Podobne sa ukáºe asociatívnos násobenia zvy²kových tried.) Algebraické systémy (Z 4 ; ) a (K; ) sú teda grupy. Uvaºujme teraz bijektívne zobrazenie ϕ : Z 4 K denované ϕ = ( i 1 i Dá sa bez aºkostí preveri, ºe pre kaºdú dvojicu prvkov x, y Z 4 je Ide teda o izomorfné grupy. ). ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y). Poznámka. Ak máme dve izomorfné grupy s malým po tom prvkov, potom sa ich Cayleyho tabu ky dajú zostroji tak, ºe po poloºení na seba sa prekrývajú presne pod a zvoleného izomorfného zobrazenia ϕ. Doporu ujeme itate ovi zmeni poradie prvkov v záhlaví jednej tabu ky tak aby sa prekrývali 0 s 1, 1 s i, 2 s 1 a 3 s i. 3.2 Cyklické grupy Grupy uvedené v predchádzajúcom príklade majú aj al²iu vlastnos, sú cyklické. Pred denovaním pojmu cyklickos potrebujeme pojem mocniny prvku. Denícia 3.4. Nech (G; ) je grupa a nech n Z. Potom ntou mocninou prvku x G nazývame taký prvok x n G, pre ktorý platí: n {}}{ x n = x x x, ak n > 0, x n = 1, ak n = 0, x n = (x ) n, ak n < 0. Denícia 3.5. Nech (G; ) je grupa a nech x G. Ak existuje také prirodzené íslo n, ºe x n = 1, hovoríme, ºe prvok x má kone ný rád. Najmen²ie prirodzené íslo n, pre ktoré je x n = 1, nazývame rád prvku x. Ak neexistuje také n, prvok x má nekone ný rád. Denícia 3.6. Nech (G; ) je grupa. Ak existuje taký prvok x G, ºe kaºdý prvok mnoºiny G je jeho mocninou, tak (G; ) nazývame cyklickou grupou a prvok x je generátorom tejto grupy.