ιάλεξημάριουμαγιολαδίτη 8Απρίλη2002

Transcript

1 ΒάσειςGröbner ιάλεξημάριουμαγιολαδίτη 8Απρίλη Εισαγωγή Σε αυτή τη σειρά διαλέξεων θα µελετήσουµε τη µέθοδο των βάσεων Gröbner µε σκοπόναλύσουµεπροβλήµατασχετικάµεπολυωνυµικάιδεώδηµεαλγοριθµικόή υπολογιστικότρόπο.θαεπικεντρώσουµετοενδιαφέρονµαςσετέσσεραπροβλήµατα αυτούτουείδους. Προβλήµατα a. Τοπρόβληµατηςπεριγραφήςενόςιδεώδους.ΕίναικάθειδεώδεςΙτουΚ[X]= K[X 1, X 2,, X n ] πεπερασµένα παραγόµενο; Με άλλα λόγια υπάρχουν πολυώνυµα f 1,f 2,,f s τουκ[χ]τέτοιαώστει=<f 1,f 2,,f s >; b. Τοπρόβληµατωνστοιχείωνενόςιδεώδους.ΈστωέναπολυώνυµοfτουΚ[X]= K[X 1,X 2,,X n ]καιέναιδεώδεςι=<f 1,f 2,,f s >.Ναεξεταστείανf I. Γεωµετρικά, αυτό το πρόβληµα είναι ανάλογο το να προσδιορίσουµε αν η πολλαπλότηταv(f 1,f 2,,f s )βρίσκεταιστηνπολλαπλότηταv(f). c. Τοπρόβληµατηςλύσηςπολυωνυµικώνεξισώσεων.Ναβρεθούνοιλύσειςτου συστήµατοςτωνπολυωνυµικώνεξισώσεων f 1 (x 1,,x n )= =f s (x 1,,x n )=0. d. Το πρόβληµα του προσδιορισµού µιας πολλαπλότητας. Έστω V ένα υποσύνολοτουk n τοοποίοδίνεταιπαραµετρικάαπό x 1 =g 1 (t 1,,t m ) M x n =g n (t 1,,t m ) Ανταg 1,,g n είναιπολυώνυµα(ήρητέςσυναρτήσεις)τωνµεταβλητώνt 1,,t m, τότε V θα είναι µια αφινική πολλαπλότητα ή θα είναι µέρος µιας αφινικής πολλαπλότητας..ναβρεθείένασύστηµαπολυωνυµικώνεξισώσεωντωνx 1,,x n πουνακαθορίζειαυτήτηνπολλαπλότητα. Για να ξεκινήσουµε την µελέτη των βάσεων Gröbner, ας δούµε κάποιες ειδικές περιπτώσεις των παραπάνω προβληµάτων και πως αντιµετωπίζονται από αλγοριθµικέςτεχνικές. Παράδειγµα 1 Έστω Ι =<g>ιδεώδες του K[X]. Για να εξετάσουµε αν ένα πολυώνυµοf Κ[Χ],διαιρούµετοfµετοgκαιέχουµε:

2 f=qg+r για κάποια πολυώνυµα q, r Κ[Χ] όπου r =0είτε deg(r) < deg(g). Το fείναι στοιχείοτουιανκαιµόνοανr=0.αυτόςείναιοαλγοριθµικόςτρόποςλύσηςτου προβλήµατοςτωνστοιχείωνενόςιδεώδουςγιαn=1. Παράδειγµα1Έστωτογραµµικόσύστηµα 2x 1 +3x 2 x 3 =0 x 1 +x 2 1 =0 x 1 +x 3 3 =0 του οποίο αναζητάµε το σύνολο των λύσεων. Χρησιµοποιούµε την µέθοδο της απαλοιφήςτουgauss.παίρνουµετοναντίστοιχοπίνακακαιτονµετατρέπουµεσε ανοιγµένοκλιµακωτό ~ Ηµορφήτουπίνακαµαςδείχνειότιτοx 3 είναιελεύθερηµεταβλητήκαιθέτουµε x 3 =t.τότεέχουµε x 1 = t+3, x 2 =t 2, x 3 =t. Τοσύστηµατωνεξισώσεωνπαριστάνειµιααφινικήπολλαπλότητα. Η παραπάνω διαδικασία µας δείχνει και τον γενικό τρόπο στην περίπτωση της επίλυσηςγραµµικούσυστήµατος. 2. ΤαξινόµησηµονωνύµωνστοΚ[Χ 1,,Χ n ] ΑνεξετάσουµελεπτοµερώςτοναλγόριθµοδιαίρεσηςστοΚ[Χ]καιτηναπαλοιφήτου Gaussγιασυστήµαταγραµµικώνεξισώσεων,βλέπουµεότιχρειάζεταιναορίσουµε έναείδοςταξινόµησηςτωνµονωνυµικώνόρωνενόςπολυωνύµου.γιαπαράδειγµα γιαναεκτελέσουµετηδιαίρεσηδυοπολυωνύµωνστοκ[χ]πρέπειναγράψουµετους µονωνυµικούςόρουςτουςσεφθίνουσασειράµεβάσητηδύναµητουχπουπεριέχει κάθεόρος.αντίστοιχαγιατηναπαλοιφήτουgaussπρέπεινατοποθετήσουµετους συντελεστέςτωναγνώστωνσεέναπίνακαεποµένωςχρειάζεταιναγνωρίζουµεποιον όροθαβάλουµεπρώτο,ποιόνδεύτερο,κλπ. Παρατηρούµε, ότι µπορούµε να αντιστοιχίσουµε κάθε µονώνυµο του Κ[Χ] = Κ[Χ 1,,Χ n ]µεµοναδικότρόποσεµιαδιατεταγµένηn-άδατουζ n 0 ωςεξής: Χ α =Χ α 1 1 Χ α 2 2 Χ α n n α=(α 1,α 2,,α n)

3 Ορισµός1ΜιαµονωνυµικήταξινόµησητουΚ[Χ 1,,Χ n ]είναιµιασχέση>στο Ζ n 0,ήισοδύναµαστοσύνολοτωνµονωνύµωνΧ α,α Ζ n 0 ηοποίαικανοποιείτα εξής: (i) Η>είναιολική(ήγραµµική)ταξινόµησητουΖ n 0. ηλαδήανα,β Ζ n 0 ισχύειακριβώςένααπόταεξήςα>βήβ>αήα=β. (ii) Ανα,β,γ Ζ n 0 µεα>βτότεα+γ>β+γ (iii) Η>είναικαλήταξινόµησηδηλαδήκάθεµη-κενόυποσύνολοτουΖ n 0 έχει ελάχιστοστοιχείοωςπροςτην>. Αναφέρουµετοπαρακάτω Λήµµα2 Μια σχέση ταξινόµησης >είναι καλή αν και µόνο αν κάθε γνησίως φθίνουσαακολουθίατουζ n 0 α(1)>α(2)>α(3)> τελικάτερµατίζει. Στησυνέχειαθαδώσουµεκάποιουςορισµούςµονωνυµικώνταξινοµήσεων Ορισµός3(Λεξικογραφικήταξινόµηση)Έστωα=(α 1,,α n )καιβ=(β 1,,β n ) στοιχείατουζ n 0.Θαλέµεότια> lex βανστοδιάνυσµαα β Ζ n,τοπρώτοαπότα αριστεράµη-µηδενικόστοιχείοείναιθετικό.θαγράφουµεx α > lex X β ανα> lex β. Παραδείγµατα a. (1,2,0)> lex (0,3,4)αφού(1,2,0) (0,3,4)=(1, 1, 4). b. (3,2,4)> lex (3,2,1)αφού(3,2,4) (3,2,1)=(0,0,3). c. ΟιµεταβλητέςX 1,X 2,,X n ταξινοµούνταιφυσιολογικάµετηνλεξικογραφική ταξινόµηση (1,0,,0)> lex (0,1,0,,0)> lex > lex (0,,0,1) εποµένωςx 1 > lex X 2 > lex > lex X n. Ορισµός4 (Βαθµωτή Λεξικογραφική ταξινόµηση) Έστω α=(α 1,, α n ) και β=(β 1,,β n )στοιχείατουζ n 0.Θαλέµεότια> grlex βαν α > β είτε α = β και α> lex β.όπου α = α i και β = βi n i= 1 n i= 1 Παραδείγµατα a. (1,2,3)> lex (3,2,0)αφού (1,2,3) =6> (3,2,0) =5. b. (1,2,4)> lex (1,1,5)αφού (1,2,4) =7= (1,1,5) και(1,2,4)> lex (1,1,5). c. Οι µεταβλητές X 1, X 2,, X n ταξινοµούνται µε βάση την λεξικογραφική ταξινόµηση.

4 Ορισµός6 (Βαθµωτή Αντίστροφη Λεξικογραφική ταξινόµηση) Έστω α και β στοιχείατουζ n 0.Θαλέµεότια> grevlex βαν α > β είτε α = β καιστοδιάνυσµαα β Ζ n,τοπρώτοαπόταδεξιάµη-µηδενικόστοιχείοείναιαρνητικό. Παραδείγµατα a. (4,7,1)> lex (4,2,3)αφού (4,7,1) > (4,2,3) =9. b. (1,5,2)> lex (4,1,3)αφού (1,5,2) =8= (4,1,3) και(1,5,2) (4,1,3) =( 3,4, 1). c. Οι µεταβλητές X 1, X 2,, X n ταξινοµούνται φυσιολογικά όπως και στην λεξικογραφικήταξινόµηση. Αςπάρουµετοπολυώνυµοf=4XY 2 Z+4Z 2 5X 3 +7X 2 Z 2 K[X,Y,Z].Θατο ταξινοµήσουµεµετουςτρειςτρόπουςταξινόµησηςπουαναφέραµεπαραπάνω.θα θεωρήσουµεχ>υ>ζ. a. Μετηνλεξικογραφικήταξινόµηση f= 5X 3 +7X 2 Z 2 +4XY 2 Z+4Z 2 b. Μετηνβαθµωτήλεξικογραφικήταξινόµηση f=7x 2 Z 2 +4XY 2 Z 5X 3 +4Z 2 c. Μετηνβαθµωτήαντίστροφηλεξικογραφικήταξινόµηση f=4xy 2 Z+7X 2 Z 2 5X 3 +4Z 2 Στησυνέχειαθαχρησιµοποιήσουµετηνπαρακάτωορολογία α Ορισµοί7Έστωf= α λ αx έναµη-µηδενικόπολυώνυµοτουk[x 1,,X n ]και έστω>µιαµονωνυµικήταξινόµηση. (i) Οπολυβαθµός(multideg)τουfείναι multideg(f)=max{α Ζ n 0 :λ α 0} (ii) Ηοδηγόςσυντεταγµένη(leadingcoefficient)τουfείναι LC(f)=λ multideg(f) Κ (iii) Τοοδηγόµονώνυµο(leadingmonomial)τουfείναι LM(f)=X multideg(f) (iv) Οοδηγόςόρος(leadingterm)τουfείναι

5 LT(f)=LC(f)LM(f) Γιαπαράδειγµα,ανf=4XY 2 Z+4Z 2 5X 3 +7X 2 Z 2 K[X,Y,Z]όπωςκαιπρινκαι µε>συµβολίσουµετηνλεξικογραφικήταξινόµησητότε multideg(f)=(3,0,0) LC(f)= 5 LM(f)=X 3 LT(f)= 5X 3 Οπολυβαθµόςτουfέχειτιςακόλουθεςχρήσιµεςιδιότητες Λήµµα8Έστωf,g K[X 1,,X n ]δυοµη-µηδενικάπολυώνυµα.τότε: (i) multideg(fg)=multideg(f)+multideg(g). (ii) Αν f +g 0τότε multideg(f + g) max{multideg(f), multideg(f)}. Αν,επιπλέον,ισχύειmultideg(f) multideg(g)τότεστηνπαραπάνωσχέση ισχύειηταυτότητα. 3. ΈναςαλγόριθµοςδιαίρεσηςστοΚ[Χ 1,,Χ n ] Στηνπαράγραφο1είδαµεπωςοαλγόριθµοςδιαίρεσηςµπορείναχρησιµοποιηθείγια ναλυθείτοπρόβληµατωνστοιχείωνενόςιδεώδουςγιαπολυώνυµαµιαςµεταβλητής. Γιαναµελετήσουµετοπρόβληµαγιαπερισσότερεςµεταβλητέςθαδιαµορφώσουµε έναναλγόριθµοδιαίρεσηςγιαπολυώνυµαστοκ[χ 1,,Χ n ]οοποίοςγενικεύειτον αλγόριθµοδιαίρεσηςστοκ[χ].στηγενικήπερίπτωση,οστόχοςείναιναδιαιρέσουµε τοπολυώνυµοf Κ[Χ 1,,Χ n ]µεκάποιαπολυώνυµαf 1,,f s Κ[Χ 1,,Χ n ]. Θέλουµεδηλαδήναγράψουµετοfστηµορφή f=α 1 f 2 + +α s f s +r, όπουτα«πηλίκα»α 1,,α s καιτουπόλοιποrείναιστοιχείατουκ[χ 1,,Χ n ]. Θαδούµεπωςδουλεύειοαλγόριθµοςµέσααπόκάποιαπαραδείγµατα. Παράδειγµα1Αρχικάθαδιαιρέσουµετοf=XY 2 +1µεταπολυώνυµαf 1 =XY+1 καιf 2 =Y+1,χρησιµοποιώνταςτηνλεξικογραφικήταξινόµησηµεΧ>Υ.Γιανα γνωρίζουµετοπηλίκογιακάθεδιαιρέτηκατασκευάζουµεµιακάθετηστήληµετα πηλίκαα i ωςεξής: α 1 :Υ α 2 : 1 ΧΥ 2 +1 ΧΥ 2 Υ Υ+1 Υ 1 2 ΧΥ+1 Υ+1

6 ΑρχικάκάνουµετηδιαίρεσητουΧΥ 2 +1µετοΧΥ+1.Μετάελέγχουµεανο LT(ΧΥ+1)διαιρείτονοδηγόόροτουυπολοίπου.Παρατηρούµεότιδεντονδιαιρεί άρασυνεχίζουµεελέγχονταςτοίδιοµετονlt(y+1).ταlt(χυ+1)καιlt(υ+1) δενδιαιρούντο2άρατουπόλοιποείναι2καιέχουµετελειώσειέχονταςγράψειτοf= XY 2 +1στηµορφή XY 2 +1=Υ(ΧΥ+1)+( 1)(Υ+1)+2. Παράδειγµα 2 Σε αυτό το παράδειγµα ας θεωρούµε τα πολυώνυµα f=x 2 Y+XY 2 +Y 2,f 1 =XY 1καιf 2 =Y 2 1. ιαιρούµετοfµεταf 1 καιf 2 όπως δείξαµε στο παράδειγµα 1και παρατηρούµε ότι κατά τη διαίρεση προκύπτει το υπόλοιποχ+υ 2 +ΥτουοποίουοοδηγόςόροςείναιLT(Χ+Υ 2 +Υ)=Xκαιο οποίοςδενδιαιρείταιαπότουςlt(f 1 )=XYκαιLT(f 2 )=X.ΩστόσοτοΧ+Υ 2 +Υ δεν είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης αφού ο LT(f 2 ) διαιρεί το Υ 2. Για να αντιµετωπίσουµετοπρόβληµαδηµιουργούµεµιαακόµαστήληrόπουθαβάζουµε τουςόρουςπουπροκύπτουνκατάτηδιαίρεση,δενδιαιρούνταιαπόταlt(f 1 )και LT(f 2 )καιανήκουνστουπόλοιπο.όπουγίνεταιµεταφοράόρουστουπόλοιποστην αποκάτω γραµµή ξαναγράφουµε τους όρους που αποµένουν. Για να γίνει πιο κατανοητήηµέθοδοςναπωςγίνεταιηδιαίρεσηµεαυτόντοντρόπο: α 1 :Χ+Υ α 2 : 1 X 2 Y+XY 2 +Y 2 XY 1 Υ 2 +1 Χ 2 Υ Χ r XY 2 +Χ+Υ 2 XY 2 +Υ Χ+Υ 2 +Υ Χ Υ 2 +Υ Υ 2 +1 Υ Χ+Υ Χ+Υ+1 Εποµένως,τουπόλοιποείναιΧ+Υ+1καιέχουµεγράψειτοfστηµορφή: X 2 Y+XY 2 +Y 2 =(Χ+Υ)(XY 1)+1(Υ 2 +1)+Χ+Υ+1. Παρατηρήστεότιτουπόλοιποείναιάθροισµαµονωνύµωνταοποίαδενδιαιρούνται απόταlt(f 1 )καιlt(f 2 ). Το παραπάνω παράδειγµα µας βοηθάει να διατυπώσουµε το ακόλουθο γενικό θεώρηµαγιατοναλγόριθµοδιαίρεσης. Θεώρηµα3(Αλγόριθµος ιαίρεσης στο Κ[Χ 1,, Χ n ]). Σταθεροποιούµε µια µονωµυνική ταξινόµηση>στο Ζ n 0. ΈστωF=(f 1,, f s ) διατεταγµένηs-άδα πολυωνύµων του Κ[Χ 1,, Χ n ]. Κάθε πολυώνυµοf Κ[Χ 1,, Χ n ] µπορεί να γραφτείστηµορφή:

7 f=α 1 f 2 + +α s f s +r, όπουτα«πηλίκα»α 1,,α s καιτουπόλοιποrείναιστοιχείατουκ[χ 1,,Χ n ]και r = 0 ή r είναι Κ-γραµµικός συνδυασµός µονωνύµων, όπου κανένααπόαυτάδεν διαιρείταιαπόlt(f 1 ),,LT(f s ).Επίσης,ανα i f i 0τότεισχύει multideg(f) multideg(α i f i ). Ηαπόδειξηπαραλείπεται. 4. ΜονωνυµικάιδεώδηκαιτολήµµατουDickson Σεαυτήτηνενότηταθαµελετήσουµετοπρόβληµατηςπεριγραφήςενόςιδεώδουςγια µονωνυµικάιδεώδη.θαξεκινήσουµεορίζοντάςταστοκ[χ 1,,Χ n ]. Ορισµός1ΈναιδεώδεςΙτουΚ[Χ 1,,Χ n ]θαλέγεταιµονωνυµικόανυπάρχει υποσύνολοατουζ n 0 (µπορείκαιάπειρο)τέτοιοώστετοινααποτελείταιαπόόλα τα πολυώνυµα τα οποία είναι πεπερασµένα αθροίσµατα της µορφής α h,όπουh α Κ[Χ 1,,Χ n ].ΤότεγράφουµεΙ=<Χ α :α A>. α Α αχ ΓιαπαράδειγµατοΙ=<Χ 4 Υ 2,Χ 3 Υ 4,Χ 2 Υ 5 >είναιµονωνυµικόιδεώδεςτουκ[χ,υ]. Στη συνέχεια θα χαρακτηρίσουµε όλα τα µονώνυµα τα οποία βρίσκονται σε ένα µονωνυµικόιδεώδες. Λήµµα2ΈστωΙ=<Χ α :α A>έναµονωνυµικόιδεώδες.ΤοµονώνυµοΧ β ανήκει στοιανκαιµόνοαντοχ β διαιρείταιαπότοχ α γιακάποιοα A. Απόαυτότολήµµαπροκύπτεικαιτοεπόµενο. Λήµµα3ΈστωΙέναµονωνυµικόιδεώδεςκαιέστωf Κ[Χ 1,,Χ n ].Τότεοι ακόλουθεςπροτάσειςείναιισοδύναµες: (i) f I. (ii) ΚάθεόροςτουfανήκειστοΙ. (iii) ΤοfείναιΚ-γραµµικόςσυνδυασµόςµονωνύµωντουΙ. Σανάµεσησυνέπειατου(iii)τουλήµµατος2είναιτογεγονόςότικάθεµονωνυµικό ιδεώδεςορίζεταιµονοσήµαντααπόταµονώνυµαπουπεριέχει.εποµένως,προκύπτει ηακόλουθηπρόταση. Πρόταση4 ύοµονωνυµικάιδεώδηταυτίζονταιανκαιµόνοανπεριέχουνταίδια µονώνυµα. Τοβασικόαποτέλεσµααυτήςτηςενότηταςείναιότιόλαταµονωνυµικάιδεώδητου Κ[Χ 1,,Χ n ]είναιπεπερασµέναπαραγόµενα.

8 Θεώρηµα5(ΛήµµατουDickson)ΈναµονωνυµικόιδεώδεςΙ=<Χ α :α A>του Κ[Χ 1,,Χ n ]µπορείναγραφείστηµορφή Ι=<Χ α(1),,χ α(s) >, όπουα(1),,α(s) A.ΠιοσυγκεκριµένατοΙέχειπεπερασµένηβάση. Η απόδειξη του θεωρήµατος γίνεται µε επαγωγή ως προς τον αριθµό των µεταβλητών. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το λήµµα του Dickson για να αποδείξουµετηνπαρακάτω Πρόταση6Έστω>µιασχέσηστοΖ n 0 ηοποίαικανοποιείτιςπαρακάτωπροτάσεις: (i) Η>είναιολική(ήγραµµική)ταξινόµησητουΖ n 0. ηλαδήανα,β Ζ n 0 ισχύειακριβώςένααπόταεξήςα>βήβ>αήα=β. (ii) Ανα,β,γ Ζ n 0 µεα>βτότεα+γ>β+γ Τότεη>είναικαλήταξινόµησηανκαιµόνοανα 0γιακάθεα Ζ n 0. Άµεσο αποτέλεσµα της πρότασης 6είναι η απλοποίηση του ορισµού της µονωνυµικής ταξινόµησης µε την αντικατάσταση της συνθήκης (iii) µε την ισοδύναµήτης.μεαυτότοντρόποµπορούµεναεξετάζουµεπολύπιοεύκολαανµια ταξινόµησηείναιµονωνυµικήταξινόµηση. 5. ΤοθεώρηµαβάσηςHilbertκαιβάσειςGröbner Σεαυτήτηνενότηταθαδώσουµεµιαπλήρηλύσηστοπρόβληµατηςπεριγραφήςενός ιδεώδους.. Θα οδηγηθούµε σε βάσεις ιδεωδών µε«καλές» ιδιότητες ως προς τον αλγόριθµο διαίρεσης όπως τον παρουσιάσαµε στην ενότητα 3.Η κεντρική ιδέα η οποία θα χρησιµοποιήσουµε είναι ότι από τη στιγµή που έχουµε ορίζει µια µονωνυµικήταξινόµησηκάθεπολυώνυµοτουκ[χ 1,,Χ n ]έχειµοναδικόοδηγό όρο.εποµένως,γιακάθειδεώδεςι,µπορούµεναορίσουµετοιδεώδεςτωνοδηγών όρωντουωςεξής: Ορισµός1ΈστωΙέναµη-µηδενικόιδεώδεςτουΚ[Χ 1,,Χ n ]. (i) (ii) ΘασυµβολίζουµεµεLT(I)τοσύνολοτωνοδηγώνόρωντουΙ.Μεάλλαλόγια LT(Ι)={cX α :υπάρχειf IµεLT(f)=cX α } Θασυµβολίζουµεµε<LT(I)>τοιδεώδεςπουπαράγεταιαπόταστοιχείατου LT(I). ΑςπάρουµεΙ=<f 1,f 2,,f s >.Τότεθαθέλαµεταιδεώδη<LT(f 1 ),LT(f 2 ),,LT(f s )> και <LT(I)> να ταυτίζονται. Από τον ορισµό επειδήf 1, f 2,,f s Iέχουµεότι LT(f 1 ), LT(f 2 ),, LT(f s ) LT(I)και εποµένως<lt(f 1 ), LT(f 2 ),, LT(f s )> <LT(I)>. Ωστόσο η ισότητα δεν ισχύει πάντοτε. Αυτό φαίνεται από το ακόλουθο παράδειγµα.

9 Παράδειγµα2ΈστωΙ=<f 1,f 2 >όπουf 1 =X 3 2XYκαιf 2 =X 2 Y 2Y 2 +X.Θα χρησιµοποιήσουµετηνβαθµωτήλεξικογραφικήταξινόµησηστοκ[χ,υ].ισχύει Χ(X 2 Y 2Y 2 +X) Υ(X 3 2XY)=Χ 2 εποµένωςχ 2 I.ΕποµένωςΧ 2 =LT(X 2 ) LT(I).ΩστόσοτοΧ 2 δενδιαιρείταιούτε απότοlt(f 1 )=X 3 ούτεαπότοlt(f 2 )=X 2 Υεποµένωςδενανήκειστοµονωνυµικό ιδεώδες<lt(f 1 ),LT(f 2 )>.( εςλήµµα2,ενότητα4) Πρόταση3ΈστωΙιδεώδεςτουΚ[Χ 1,,Χ n ]. (i) Το<LT(I)>είναιµονωνυµικόιδεώδες. (ii) Υπάρχουνg 1,,g t Iτέτοιαώστε<LT(I)>=<LT(g 1 ),,LT(g t )>. Απόδειξη(i)ΤοοδηγάµονώνυµαLM(g)τωνπολυωνύµωνg I {0}παράγουντο µονωνυµικόιδεώδες<lm(g):g I {0}>.ΕπειδήταLM(g)καιLT(g)διαφέρουν µόνοκατάµη-µηδενικήσταθεράέχουµεότι <LM(g):g I {0}>=<LΤ(g):g I {0}>. Αποδεικνύεται ότι <LΤ(g) : g I {0}> = <LT(Ι)>. ηλαδή, <LT(I)> = <LM(g):g I {0}>καιεποµένωςτο<LT(I)>είναιµονωνυµικόιδεώδες. (ii)επειδή<lt(i)>παράγεταιαπόταµονώνυµαlm(g)γιαg I {0}τολήµµατου Dicksonµαςλεειότι<LT(I)>=<LΜ(g 1 ),,LΜ(g t )>γιαπεπερασµένασεπλήθος πολυώνυµαg 1,,g t I.ΕπειδήταLM(g i )διαφέρουναπόταlt(g i )κατάµιαµη- µηδενικήσταθεράέπεταιότι<lt(i)>=<lt(g 1 ),,LT(g t )>τοοποίοολοκληρώνει τηναπόδειξη. Μπορούµετώραναχρησιµοποιήσουµετηνπρόταση3καιτοναλγόριθµοδιαίρεσης για να αποδείξουµε ότι κάθε πολυωνικό ιδεώδες είναι πεπερασµένα παραγόµενο, δίνονταςέτσιθετικήαπάντησηστοπρόβληµατηςπεριγραφήςενόςιδεώδους.έστωι ιδεώδες του Κ[Χ 1,, Χ n ] και ας θεωρήσουµε το αντίστοιχο ιδεώδες <LT(I)>. Επιλέγουµε µια µονωνυµική ταξινόµηση την οποία θα χρησιµοποιήσουµε στον αλγόριθµοδιαίρεσηςκαιστονυπολογισµότωνοδηγώνόρων. Θεώρηµα4(Θεώρηµα βάσηςhilbert)κάθειδεώδεςιτουκ[χ 1,,Χ n ]είναι πεπερασµέναπαραγόµενο. ηλαδή,υπάρχουνπολυώνυµαg 1,,g t Iτέτοιαώστε I=<g 1,,g t >. Απόδειξη Αν Ι = {0} το θεώρηµα ισχύει. Αν Ι {0} τότε περιέχει κάποιο µη- µηδενικόπολυώνυµο.τότεένασύνολοαπόπολυώνυµατουiπουνατοπαράγουν µπορείναδηµιουργηθείωςεξής:απότηνπρόταση3(ii)υπάρχουνg 1,,g t I τέτοιαώστε<lt(i)>=<lt(g 1 ),,LT(g t )>.ΙσχυριζόµαστεότιΙ=<g 1,,g t >. Αρχικάπαρατηρούµεότι<g 1,,g t > I,αφούg 1,,g t I.Αρκείναδείξουµεότι I <g 1,,g t >.Έστωέναπολυώνυµοf I.Εφαρµόζουµετοναλγόριθµοδιαίρεσης διαιρώνταςτοfµεταg 1,,g t καιπαίρνουµεµιαέκφρασητηςµορφής

10 f=α 1 g 1 + +α t g t +r όπου κάθε όρος τουrδεν διαιρείται µε κανένα από ταlt(g 1 ),, LT(g t ). Αν δείξουµεότιr=0θαέχουµετελειώσει.παρατηρούµεότι r=f α 1 g 1 + +α t g t I. Ανr 0τότεLT(r) <LT(I)>=<LT(g 1 ),,LT(g t )>καιαπότολήµµα2της ενότητας4αυτό έπεται ότι το LT(r) διαιρείται απόκάποιοlt(g i )τοοποίοείναι άτοποαπότοντρόποπουέχουµεορίσειτουπόλοιπο.εποµένως,r=0.οπότε f=α 1 g 1 + +α t g t <g 1,,g t > καιηαπόδειξηολοκληρώθηκε. Ηβάση<g 1,,g t >τηνοποίαδιαλέξαµεστοθεώρηµαγιαναλύσουµετοπρόβληµα της περιγραφής ενός ιδεώδους Ι είχε την παραπάνω ιδιότητα <LT(I)> = <LT(g 1 ),, LT(g t )>. Έχουµε δει ότι αυτό δεν ισχύει για όλες τις βάσεις ενός ιδεώδους.θαδώσουµεστιςβάσειςπουικανοποιούναυτήτηνσυνθήκητοπαρακάτω όνοµα. Ορισµός 5 Σταθεροποιούµε µια µονωνυµική ταξινόµηση. Ένα πεπερασµένο υποσύνολοg={g 1,,g t }ενόςιδεώδουςιθαλέγεταιβάσηgröbner(ήκανονική βάση)ανισχύει <LT(I)>=<LT(g 1 ),,LT(g t )>. Απότηναπόδειξητουθεωρήµατος4προκύπτειτοακόλουθοαποτέλεσµα Πρόταση 6 Σταθεροποιούµε µια µονωνυµική ταξινόµηση. Κάθε µη-µηδενικό ιδεώδεςιτουκ[χ 1,,Χ n ]έχειβάσηgröbner.επιπλέον,κάθεβάσηgröbnerενός ιδεώδουςιείναιβάσητουι. ΑπόδειξηΈστωΙέναµη-µηδενικόιδεώδεςτουΚ[Χ 1,,Χ n ].Στηναπόδειξητου θεωρήµατος βάσης Hilbertδείξαµε ότι πάντα µπορούµε να κατασκευάσουµε ένα σύνολοg={g 1,,g t }τοοποίοείναιβάσηgröbner.γιατοδεύτεροµέροςτης πρότασηςπαρατηρήστεότιστηναπόδειξητουθεωρήµατοςβάσηςhilbertδείξαµεότι αν<lt(i)>=<lt(g 1 ),,LT(g t )>τότει=<g 1,,g t >καιεποµένωςτοgείναι βάσητουi. ΑςθεωρήσουµετοιδεώδεςΙ=<f 1,f 2 >τουδακτυλίουκ[χ,υ]όπουf 1 =X 3 2XY καιf 2 =X 2 Y 2Y 2 +X.Τοσύνολο{f 1,f 2 }είναιβάσητουιαλλάδενείναιβάση Gröbnerµεβάσητηνβαθµωτήλεξικογραφικήταξινόµησηαφού,όπωςδείξαµεκαι στοπαράδειγµα2,τοχ 2 δενανήκειστοιδεώδες<lt(f 1 ),LT(f 2 )>. Στη συνέχεια ας θεωρήσουµε το ιδεώδες J=<g 1, g 2 > = <X + Z, Y Z>. Ισχυριζόµαστεότιταg 1,g 2 σχηµατίζουνµιαβάσηgröbnerτουjανθεωρήσουµετην λεξικογραφικήταξινόµησηστοr[x,y,z].μεάλλαλόγιαθαδείξουµεότιγιακάθε µη-µηδενικόστοιχείοfτουjτοlt(f)βρίσκεταιστοιδεώδες<lt(g 1,LT(g 2 )>=<X,

11 Y>. Από το λήµµα 2ενότητα 4µπορούµε ισοδύναµα να δείξουµε ότι το LT(f) διαιρείταιείτεµεχείτεµευ. Έστωλοιπόν,έναµη-µηδενικόπολυώνυµοf=Ag 1 +Bg 2 J.Υποθέτουµεότιτο LT(f) δεν διαιρείται ούτε από το Χ ούτε από το Υ. Από τον ορισµό της λεξικογραφικής ταξινόµησης αυτό σηµαίνει ότι είναι πολυώνυµο του Ζ. Ωστόσο, επειδήf JτοfµηδενίζεταιστογραµµικόυπόχωροL=V(J)=V(X+Z,Y Z) R 3.ΕπειδήοιλύσειςστονLπαραµετρικοποιούνταιωςεξής:(x,y,z)=( t,t,t) L, γιακάθεπραγµατικόαριθµόtτοµόνοπολυώνυµοτουζτοοποίοµηδενίζεταιστονl είναιτοµηδενικόπολυώνυµοκαικαταλήξαµεσεάτοπο.εποµένως,το{g 1,g 2 }είναι βάσηgröbnerτουj. ΟιβάσειςGröbnerεισάχθηκανγιαπρώταφοράσταµέσατηςδεκαετίαςτου 60από τονh.hironaka,οοποίοςτηςαποκαλούσε«κανονικέςβάσεις»(standardbases)και ανεξάρτηταλίγοαργότερααπότονb.buchbergerστηδιδακτορικήδιατριβήτου.το όνοµα«βάσεις Gröbner» δόθηκε από τον Buchberger προς τιµήν του επιπλέποντα καθηγητήκαιδασκάλουτουw.gröbner( ). ΘακλείσουµετηνπρώτηδιάλεξηµεδύοεφαρµογέςτουθεωρήµατοςβάσηςHilbert. ΜιααύξουσααλυσίδαιδεωδώντουΚ[Χ 1,Χ 2,,Χ n ]είναιµιααύξουσαακολουθία Ι 1 Ι 2 Ι 3 Γιαπαράδειγµα,ηακολουθία <X 1 > <Χ 1,Χ 2 > <Χ 1,Χ 2,,Χ n > σχηµατίζειµια(πεπερασµένη)αύξουσααλυσίδαιδεωδώντουκ[χ 1,Χ 2,,Χ n ].Αν προσταθούσαµε να επεκτείνουµε αυτή την αλυσίδα ιδεωδών προσθέτοντας ένα ιδεώδεςµεπερισσότερουςγεννήτορες,θαείχαµεδύοπεριπτώσεις.έστωτοιδεώδες <Χ 1,Χ 2,,Χ n,f>.στηπρώτηπερίπτωσηανf <Χ 1,Χ 2,,Χ n >τότεθαείχαµεότι <Χ 1, Χ 2,, Χ n,f>=<χ 1, Χ 2,, Χ n > και τίποτα δεν θα άλλαζε. Στην άλλη περίπτωση ανf <Χ 1, Χ 2,, Χ n > τότε θα είχαµε ότι<χ 1, Χ 2,, Χ n, f> = Κ[Χ 1,Χ 2,,Χ n ].Εποµένως,ηαλυσίδαιδεωδώνπουκατασκευάσαµεµπορείνα συνεχιστείµόνοµεδύοτρόπους.είτεµετηνεπανάληψητουτελευταίουιδεώδουςεπ άπειροείτεπροσθέτονταςτοκ[χ 1,Χ 2,,Χ n ]καιµετηνεπανάληψηαυτούεπ άπειρο.σεκάθεπερίπτωσηµετάαπόπεπερασµέναβήµαταηαλυσίδασυνεχίζειµε τηνεπανάληψητουτελευταίουιδεώδουςεπ άπειρο. Θεώρηµα7(ΣυνθήκηΑύξουσαςΑλυσίδας)Έστω Ι 1 Ι 2 Ι 3 µιααύξουσαακολουθίαιδεωδώντουκ[χ 1,Χ 2,,Χ n ].ΥπάρχειφυσικόςΝ 1 τέτοιοςώστε Ι Ν =Ι Ν+1 =Ι Ν+2 =

12 Απόδειξη Έχοντας τον ακολουθία Ι 1 Ι 2 Ι 3 θεωρούµε το σύνολο I=U I i=1 i.εύκολαµπορούµεναδείξουµεότιτοιείναιιδεώδες.απότοθεώρηµα βάσης του Hilbert το ιδεώδες Ι είναι πεπερασµένα παραγόµενο. Έστω ότι I=<f 1,,f s >γιακάποιαf 1,,f s Κ[Χ 1,Χ 2,,Χ n ].Αλλάκάθεέναταf 1,,f s ανήκεισεκάποιαi j,έστωf i I j i,i=1,,s.έστωνείναιτοµέγιστοαπόταj i. Τότε από τον ορισµό της της αύξουσας αλυσίδας ισχύει ότιf i Ι Ν για κάθε i=1,,s.οπότεέχουµε Ι=<f 1,,f s > Ι Ν Ι N+1 I. ΑπότηντελευταίασχέσηφαίνεταιότιηαύξουσααλυσίδασταθεροποιείταιστοΙ N. Όλαταυπακολουθιακάιδεώδηστηναλυσίδαείναιίσα. ΗδεύτερησυνέπειατουθεωρήµατοςβάσηςHilbertείναιγεωµετρικοί. Ορισµός8ΈστωΙιδεώδεςτουΚ[Χ 1,,Χ n ].ΘασυµβολίζουµεµεV(I)τοσύνολο V(I)={(α 1,,α n ) Κ n :f(α 1,,α n )=0γιακάθεf I}. Μια χρήσιµη παρατήρηση είναι ότι αν και κάθε µη-µηδενικό ιδεώδες Ι περιέχει άπειρα στο πλήθος πολυώνυµα, το σύνολο V(I) µπορεί να ορισθεί από ένα πεπερασµένοσύνολοπολυωνυµικώνεξισώσεων. Πρόταση 9 Το V(I) είναι µια αφινική πολλαπλότητα. Πιο συγκεκριµένα, αν Ι=<f 1,,f s >τότεv(i)=v(f 1,,f s ). ΑπόδειξηΈστωΙιδεώδεςτουK[Χ 1,Χ 2,,Χ n ].ΑπότοθεώρηµαβάσηςHilbert I=<f 1,,f s >γιακάποιαf 1,,f s Ι.ΙσχυριζόµαστεότιV(I)=V(f 1,,f s ).Κατ αρχήνεπειδήf 1,,f s Ιανf(α 1,,α n )=0γιακάθεf Iτότεισχύεικαιγιαταf i δηλαδήf i (α 1,,α n )=0γιακάθεi=1,,s.Εποµένως,V(I) V(f 1,,f s ).Από τηνάλληέστω(α 1,,α n ) V(f 1,,f s )καιέστωf I.ΕπειδήI=<f 1,,f s > υπάρχουνπολυώνυµαh 1,,h s τουk[χ 1,Χ 2,,Χ n ]τέτοιαώστε f=h 1 f 1 + +h s f s s s αλλά τότεf(α 1,, α n ) = h i ( α1,..., α n )f i ( α1,..., α n ) = hi( α1,..., α n ) 0 =0. i= 1 ηλαδή,v(f 1,,f s ) V(I)καιεποµένωςισχύειηισότητα. Ησηµαντικότερησυνέπειααυτήςτηςπρότασηςείναιότιοιπολλαπλότητεςορίζονται απόιδεώδη. i= 1