ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΟΥΡΛΑΣ ΑΝΑΠΛ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΟΥΡΛΑΣ ΑΝΑΠΛ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ d ( ) d ( ) p( ) d d 5. H(). H() 5. H() Ho() X -5. ΠΑΤΡΑ 7

2 Στη γυναίκα μου Παναγιώτα και στα παιδιά μου Έφη και Ζέτα

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή Ιστορική εισαγωγή. Βασικές έννοιες. 5. Ορισμοί 5. Λύσεις μιας διαφορικής εξίσωσης 7. Ολοκληρωτικές καμπύλες μιας διαφορικής εξίσωσης 9.4 Προσεγγιστική εύρεση των ολοκληρωτικών καμπύλων μιας διαφορικής εξίσωσης ης τάξης.5 Ποιοτική συμπεριφορά των λύσεων μιας Δ.Ε.. Ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης μιας Δ.Ε. ης τάξης 5. Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης. Χωριζομένων μεταβλητών.α Περιβάλλουσα των λύσεων μιας Δ.Ε. ης τάξης Παραδείγματα εφαρμογής Δ.Ε. με χωριζόμενες μεταβλητές. Ομογενείς 4.Α Διαφορικές εξισώσεις της μορφής d α β γ d α β γ 44 Παραδείγματα εφαρμογών των Ομογενών Δ. Ε. 46. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης 5.4 Ακριβείς ή πλήρεις διαφορικές εξισώσεις 59.5 Ορθογώνιες τροχιές 6.6 Ορθογώνιες τροχιές στην περίπτωση πολικών συντεταγμένων 66.7 Πλάγιες τροχιές 67.8 Εφαρμογές των ορθογωνίων τροχιών 69.9 Διαφορική εξίσωση του Beroulli 7 Εφαρμογές της Δ.Ε. του Beroulli 74. Διαφορική εξίσωση του Ricatti 78 Εφαρμογές της Δ.Ε. του Ricatti 8 4. Ολοκληρωτικός Παράγοντας Γενικά Παρατηρήσεις για την εύρεση του ολοκληρωτικού παράγοντα. Ολοκληρωτικοί παράγοντες για ορισμένες απλές μορφές Σχέσεις που δίνουν τους ολοκληρωτικούς παράγοντες σε ειδικές περιπτώσεις Πως από ένα ολοκληρωτικό παράγοντα βρίσκουμε άπειρους άλλους. 9 Εφαρμογές του ολοκληρωτικού παράγοντα 94 i

4 5. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τάξης 5. Ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης μιας Δ.Ε. τάξης 5. Γραμμικές ομογενείς Δ.Ε. δεύτερης τάξης 5. Κριτήριο του Wroski Γραμμικά ανεξάρτητες συναρτήσεις Γραμμικά εξαρτημένες συναρτήσεις Γραμμική ανεξαρτησία των λύσεων της Δ.Ε. A () A () Διευκρινιστικά παραδείγματα Ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης με σταθερούς συντελεστές 5.9 Γραμμικές ομογενείς Δ.Ε. τάξης > 4 5. Διαφορικοί τελεστές 6 5. Μη ομογενείς γραμμικές Δ.Ε. τάξης 8 5. Μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών 5. Παραδείγματα εφαρμογής της μεθόδου των προσδιοριστέων συντελεστών 5.4 Μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων 7 Εφαρμογές της ομογενούς Δ.Ε. ας τάξεως με σταθερούς συντελεστές. 6. Η ορίζουσα τουwrosk και οι χρήσεις της στις ομογενείς γραμμικές Δ.Ε. ης τάξης Γενικά Ο μετασχηματισμός gy και οι χρήσεις του Η κανονική μορφή και η σημασία της Γραμμικές μη ομογενείς Δ.Ε. ης τάξης 5 7. Ιδιότητες του γραμμικού τελεστή L(D) Γενικά Ιδιότητες του αντιστρόφου τελεστή L (D) 6 Παραδείγματα 6 8 Ο μετασχηματισμός Laplace και οι εφαρμογές του Εισαγωγή. Ορισμός του μετασχηματισμού Laplace Βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace 7 8. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Ο μετασχηματισμός Laplace των στοιχειωδών συναρτήσεων Eπίλυση γραμμικών Δ.Ε. με σταθερούς συντελεστές με την βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace Ο μετασχηματισμός Laplace σε ασυνεχείς συναρτήσεις 9 9. Μερικές περιπτώσεις διαφορικών εξισώσεων 9. Δ.Ε. ης τάξης και ανωτέρου του ου βαθμού 9. Διαφορικές εξισώσεις τάξης 8 ii

5 9. Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις τάξης 9.4 Ακριβείς ή πλήρεις Δ.Ε. ανώτερης τάξης. 4 Εφαρμογές των Δ.Ε. ης τάξεως και ανωτέρου βαθμού 7. Εξισώσεις Euler 7 Εφαρμογές της Δ. Ε. Εuler 4. Μέθοδος των Σειρών 5. Γενικά 5. Η μέθοδος των σειρών για την επίλυση της Δ.Ε. ()P() Q()() 5. Η εξίσωση του Schrodiger και η Δ.Ε. του Hermite 66.4 Η διαφορική εξίσωση Legedre 7.5 Ιδιότητες των πολυωνύμων Legedre 75.6 Μέθοδος του Frobeious 78 Εφαρμογές Δ.Ε. που λύνονται με την μέθοδο των σειρών 9. Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων. Γενικά. Λύση γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο της απαλοιφής. Γενικά Συμπεράσματα 6.4 Η μέθοδος των πινάκων 4.5 Λύση γραμμικών συστημάτων με τον μετασχηματισμό Laplace 57.6 Εφαρμογές των διαφορικών συστημάτων 59. Η ευστάθεια των λύσεων των διαφορικών συστημάτων 69. Γενικά 69. Ευστάθεια των λύσεων 69. Κρίσιμα σημεία ενός διαφορικού συστήματος 7.4 Γραμμικοποίηση ενός διαφορικού συστήματος 77 4 Εξισώσεις Διαφορών 9 4. Γενικά 9 4. Γραμμικές εξισώσεις διαφορών Το πρόβλημα της αρχικής τιμής Ύπαρξη και μοναδικότητα των λύσεων των εξισώσεων διαφορών Θεώρημα για την ύπαρξη και την μοναδικότητα των λύσεων μιας εξίσωσης διαφορών Γραμμικές ομογενείς εξισώσεις Ομογενείς εξισώσεις Μη ομογενείς εξισώσεις Ο Ζ-μετασχηματισμός 4 4. Ιδιότητες του Ζ-μετασχηματισμού Ο αντίστροφος Ζ-μετασχηματισμός 44 iii

6 4. Λύση των εξισώσεων διαφορών με τη χρήση του Ζ-μετασχηματισμού Η λογιστική καμπύλη και η μετάβαση στο χάος Γενικά 4 5. Η λογιστική εξίσωση 4 5. Το διάγραμμα διακλαδώσεως 48 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 49 Κεφάλαιο 49 Παράγραφος. 4 Παράγραφος. 4 Παράγραφος.Α 449 Παράγραφος. 45 Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος.6 47 Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος 5. 5 Παράγραφος 5. 5 Παράγραφος Παράγραφος Κεφάλαιο 549 Παράγραφος.6 55 Παράγραφος. 559 Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος Παράγραφος Γενικές Ασκήσεις 6 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Εισαγωγή στη θεωρία των Κατανομών 69 Α- Συναρτήσεις αιχμής και η συνάρτηση δέλτα δ() του Dirac 69 Α- Ακολουθίες πραγματικών συναρτήσεων που προσεγγίζουν την δ συνάρτηση 6 Α- Μερικές ιδιότητες της δ-συνάρτησης 64 Α-4 Μια άλλη προσέγγιση στη θεωρία των κατανομών ή γενικευμένων συναρτήσεων 66 iv

7 Α-5 Διαφόριση και ολοκλήρωση των γενικευμένων συναρτήσεων 64 Α-6 Διαφορικές εξισώσεις για γενικευμένες συναρτήσεις 67 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Συναρτήσεις Gree 69 Β- Γενικά 69 Β- Ένας νέος τρόπος επιλύσεως των διαφορικών εξισώσεων 6 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Ο αντίστροφος του μετασχηματισμού Laplace 6 Γ- Ο Μιγαδικός τύπος της αντιστροφής του μετασχηματισμού Laplace 6 Γ- Το περίγραμμα Bromwich 6 Γ- Χρήση του θεωρήματος των ολοκληρωτικών υπολοίπων για την αντιστροφή του μετασχηματισμού Laplace 64 Γ-4 Τροποποίηση του περιγράμματος Bromwich στην περίπτωση σημείων διακλαδώσεως. 65 Βιβλιογραφία 69 v

8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος σκοπός της Επιστήμης είναι η κατανόηση της Φύσης, (με την πλατιά της έννοια), μέσα στην οποία ζούμε. Και η κατανόηση αυτή μπορεί να επιτευχθεί με την μελέτη των διαφόρων φαινομένων, (φυσικών, κοινωνικών, οικονομικών,...). Στη μελέτη αυτή πρωταρχικό ρόλο έχουν τα Μαθηματικά. Από αρχαιοτάτων χρόνων είχε γίνει αντιληπτό ότι τίποτα δεν παραμένει σταθερό, όλα αλληλένδετα μεταβάλλονται, όπως επιγραμματικά μας το εκφράζει το γνωστό ρητό του Ηράκλειτου ( π.χ.), "Πάντα ρει, πάντα χωρεί καί ουδέν μένει", ( Όλα ρέουν και αλλάζουν και τίποτα δεν παραμένει σταθερό). Η ταχύτητα ενός σώματος, που πέφτει υπό την επίδραση της βαρύτητας αλλάζει με το χρόνο. Η αεροδυναμική αντίσταση ενός σώματος αυξάνεται με την ταχύτητα. Η θέση της Γης, όπως και των άλλων πλανητών, αλλάζει με το χρόνο σε σχέση με τον Ήλιο. Το κύρτωμα μιας δοκού εξαρτάται από το βάρος, που την καταπονεί. Ο όγκος μιας σφαίρας μεταβάλλεται με την ακτίνα του. Επειδή όμως τα περισσότερα φαινόμενα είναι αρκετά πολύπλοκα, είναι πρακτικά αδύνατο να θεμελιωθούν και να περιγραφούν πλήρως με μαθηματικό τρόπο. Γι' αυτό προσπαθούμε να προσεγγίσουμε την πραγματικότητα με μαθηματικά πρότυπα, (μοντέλα), κάνοντας ορισμένες υποθέσεις που απλοποιούν τα φαινόμενα και τους νόμους που τα διέπουν. Οι απλοποιήσεις αυτές ανάγονται συνήθως στην παράλειψη ορισμένων στοιχείων, που πιστεύουμε ότι επιδρούν λίγο, ή και καθόλου, στην εξέλιξη του φαινομένου. Η δημιουργία του μαθηματικού προτύπου γίνεται με μια μαθηματικοποίηση των αντιστοίχων νόμων που, επειδή συνήθως περιέχουν ρυθμούς μεταβολής ενός μεγέθους, (ποσοτικά άγνωστου), εκφράζονται με παραγώγους του άγνωστου αυτού μεγέθους. Κατ' αυτό τον τρόπο το μαθηματικό πρότυπο παίρνει τη μορφή μιας συναρτησιακής σχέσης που περιέχει μια άγνωστη συνάρτηση και ορισμένες παραγώγους της. Η συναρτησιακή αυτή σχέση ονομάζεται Διαφορική Εξίσωση, (Δ.Ε.). Στη συνέχεια ο σκοπός μας είναι να μελετήσουμε τις μαθηματικές ιδιότητες του προτύπου με την ανάλυση της αντίστοιχης Διαφορικής Εξίσωσης και, αν είναι δυνατόν, με τον υπολογισμό των λύσεων αυτής, έτσι ώστε να είμαστε σε θέση να εξηγήσουμε την συμπεριφορά των φυσικών συστημάτων, που παρατηρούμε, και να προβλέψουμε την συμπεριφορά νέων φυσικών φαινομένων. Το μέρος αυτό της μελέτης αποτελεί τον τεράστιο κλάδο των σύγχρονων μαθηματικών που καλύπτει ο όρος "Διαφορικές Εξισώσεις". Σε πιο πολύπλοκα φαινόμενα, δεν χρησιμοποιούμε μόνο μια διαφορική εξίσωση, αλλά ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων, όπως στην περίπτωση ενός ηλεκτρικού δικτύου πολλών κυκλωμάτων ή σε μια χημική αντίδραση όπου αλληλεπιδρούν πολλές χημικές ουσίες. Ο τρόπος, με τον οποίον οι επιστήμονες χρησιμοποιούν τις διαφορικές εξισώσεις, για την κατανόηση των φυσικών φαινομένων, χαρακτηρίζεται από τρία βήματα. α) Στο πρώτο βήμα συλλέγουμε δεδομένα που αφορούν το πρόβλημά μας. β) Το δεύτερο βήμα, που ονομάζεται διαδικασία δημιουργίας του προτύπου, απαιτεί γενικά μεγάλη επιδεξιότητα και εμπειρία. Εδώ πρέπει να ορίσουμε το μαθηματικό πρότυπο, (που συχνά περιέχει μια διαφορική εξίσωση), το οποίο περιγράφει το πραγματικό φαινόμενο, όσο το δυνατόν ακριβέστερα. Συγχρόνως όμως πρέπει το μα-

9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ θηματικό αυτό πρότυπο να είναι διατυπωμένο κατά τέτοιον τρόπο, που να μπορούν να εφαρμοστούν οι γνωστές μαθηματικές μέθοδοι. γ) Στο τρίτο και τελευταίο βήμα πρέπει να λύσουμε το μαθηματικό πρόβλημα, δηλ. να ασχοληθούμε με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης, και να συγκρίνουμε την λύση αυτή με τις πειραματικές μετρήσεις. Εάν η μαθηματική λύση συμφωνεί με τις παρατηρήσεις, τότε λέμε ότι το φυσικό πρόβλημα έχει λυθεί μαθηματικά ή ότι η θεωρία έχει επαληθευθεί. Στην αντίθετη περίπτωση δυο πράγματα μπορούν να συμβαίνουν : ή οι παρατηρήσεις είναι εσφαλμένες, ή το πρότυπο είναι ανακριβές και θα πρέπει να τροποποιηθεί. Για την τελευταία περίπτωση κλασικό παράδειγμα αποτελεί το "πρότυπο", του νόμου της κίνησης, που περιγράφεται από την εξίσωση του Newto. Ο νόμος αυτός είναι ακριβής για μικρές ταχύτητες σε σχέση με την ταχύτητα του φωτός. Αλλά για μεγάλες ταχύτητες ο νόμος του Eistei είναι πιο κοντά στην πραγματικότητα. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται μια απλή και σαφής σχέση μεταξύ των μαθηματικών μοντέλων και της πραγματικότητας. Φυσική πραγματικότητα Σύγκριση Προβλέψεις Δεδομένα Νόμοι Τεχνικές Φυσική προσέγγιση Μαθηματικά πρότυπα Εκτός από τη Διαφορική Εξίσωση, ένα μαθηματικό πρότυπο, περιέχει βοηθητικές συνθήκες που επιβάλλονται από το συγκεκριμένο πρόβλημα και κατά συνέπεια απαιτούνται από τις λύσεις της Διαφορικής Εξίσωσης. Ο συνηθέστερος τύπος βοηθητικών συνθηκών δίνεται με τον καθορισμό της τιμής της άγνωστης συνάρτησης, ή και παραγώγων αυτής, σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της λύσης. Οι συνθήκες αυτού του τύπου ονομάζονται αρχικές συνθήκες. Αν οι βοηθητικές συνθήκες δίνονται σε περισσότερα από ένα σημεία του πεδίου ορισμού της λύσης, τότε λέγονται συνοριακές συνθήκες. Για να κατανοηθεί καλύτερα ο ρόλος των βοηθητικών συνθηκών ας θεωρήσουμε ένα παράδειγμα από τη Φυσική. Αν μια Διαφορική Εξίσωση περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο συμπεριφέρεται κάποιο φυσικό μέγεθος, τότε οι αρχικές συνθήκες μεταφέρουν τις πληροφορίες σχετικά με τις τιμές του φυσικού μεγέθους κατά το παρελθόν, και οι συνοριακές συνθήκες εκφράζουν την επίδραση του περιβάλλοντος επάνω στο φυσικό μέγεθος κατά την εξέλιξη του φαινομένου.

10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι διαφορικές εξισώσεις είναι ο κλάδος των μαθηματικών που περισσότερο ί- σως από κάθε άλλον οφείλει την γέννηση του στην Μηχανική, στην Αστρονομία και στη Θεωρητική Φυσική. Αρχίζουν δε να κάνουν την εμφάνισή τους από την εποχή του Newto (64-77) και του Leibiz (646-76). Ο Newto είναι ο πρώτος που χρησιμοποίησε διαφορική εξίσωση για την κίνηση των σωμάτων περιοριζόμενος στις απλές μορφές : d d f ( ), d d f ( ), d d f (, ) O Leibiz προχώρησε λίγο παραπέρα αναπτύσσοντας τη μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών, των ομογενών πρώτης τάξης και των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Στον Leibiz όμως οφείλονται οι συμβολισμοί της παραγώγου d/d και του ολοκληρώματος f()d. Μετά τους Newto και Leibiz, τον 8ον αιώνα, σημαντικοί μαθηματικοί, όπως οι Jacob Beroulli (654-75), Joha Beroulli ( ), Clairaut (7-765), Riccati ( ), ασχολήθηκαν με τις εκφράσεις των λύσεων διαφορικών εξισώσεων και μερικές διαφορικές εξισώσεις έχουν πάρει το όνομά τους. Την ίδια περίοδο, ένας πολύ σπουδαίος μαθηματικός, ο Euler (77-78), α- σχολήθηκε με τη διατύπωση προβλημάτων της Μηχανικής στη μαθηματική γλώσσα των διαφορικών εξισώσεων και την ανάπτυξη μεθόδων για τη λύση τους. Αργότερα οι μεγάλοι Γάλλοι μαθηματικοί Cauch ( ), Lagrage (76-8), και Laplace (749-87), έκαναν σημαντικές εργασίες στις διαφορικές εξισώσεις και οι δυο τελευταίοι έδωσαν την πρώτη επιστημονική εργασία πάνω στις διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους. Ενώ, κατά τον 7ον και 8ον αιώνα, δόθηκε έμφαση στην επίλυση διαφόρων μορφών διαφορικών εξισώσεων, αναζητώντας εκφράσεις για τις λύσεις τους, κατά τη διάρκεια του τελευταίου τέταρτου του 9ου αιώνα, η μελέτη των διαφορικών εξισώσεων πήρε ριζικά διαφορετικό δρόμο. Ο Peao (858-9), το 89, χρησιμοποιώντας την πολυγωνική μέθοδο των Euler και Cauch, έδωσε μια αυστηρή απόδειξη του θεωρήματος ύπαρξης λύσης μιας διαφορικής εξίσωσης. Την ίδια περίοδο ο Lipschitz (8-9), το 876, και ο Picard (856-94), το 89 απέδειξαν πως η μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων δίνει συγχρόνως μια απόδειξη για την ύπαρξη και τη μοναδικότητα των λύσεων του προβλήματος της αρχικής τιμής ή, όπως αλλιώς λέγεται, του προβλήματος του Cauch. Το ίδιο χρονικό διάστημα, με τις έρευνες του Poicare (854-9), το 88, και του Liapuov (857-98) το 89, άνοιγε ένας καινούργιος δρόμος στις διαφορικές εξισώσεις, η μελέτη της ποιοτικής συμπεριφοράς των λύσεων. Εδώ υποτίθεται η ύπαρξη των λύσεων και η προσπάθεια γίνεται στον προσδιορισμό των τοπολογικών

11 4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ιδιοτήτων του χώρου των φάσεων και της συμπεριφοράς των λύσεων όταν ο χρόνος τείνει στο άπειρο. Στη συνέχεια, στο πρώτο μισό του ου αιώνα, έγιναν μεγάλες πρόοδοι στην ποιοτική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων από σπουδαίους μαθηματικούς, όπως ο Birkhoff ( ) και ο Lefschetz (884-97). Τα τελευταία χρόνια πολλοί α- ξιόλογοι, σύγχρονοι, μαθηματικοί, όπως οι Cesari, Hale, Lasalle (96-98), Arold, Yoshizawa, Sell, με τις εργασίες τους συνέβαλαν σημαντικά στην ποιοτική ανάπτυξη της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων. Σήμερα οι διαφορικές εξισώσεις αποτελούν ένα σημαντικό και ευρύ κλάδο της Μαθηματικής Ανάλυσης.

12 . ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Ορισμοί. Διαφορική εξίσωση, (Δ.Ε), ονομάζεται μια εξίσωση που περιέχει παραγώγους μιας ά- γνωστης συνάρτησης. Παραδείγματα : Οι παρακάτω εξισώσεις ()-(7) είναι διαφορικές εξισώσεις, επειδή: Οι εξισώσεις (), (), (4), (6), και (7) περιέχουν παραγώγους της συνάρτησης (). Οι εξισώσεις () και (5) περιέχουν παραγώγους της συνάρτησης Ψ, (που είναι συνάρτηση περισσοτέρων της μιας μεταβλητών). d d () Ψ Ψ Ψ z () d d 4 cos d d () d d (4) Ψ Ψ c t (5) d d d (6) d (si ) d d d d (7) Οι διαφορικές εξισώσεις διακρίνονται σε: α) "Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις", (Σ.Δ.Ε), στις οποίες η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση μιας μόνο ανεξάρτητης μεταβλητής, (όπως στα παραπάνω παραδείγματα (), (), (4), (6), (7) β) "Διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους", (Μ.Δ.Ε), στις οποίες η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση δυο ή περισσοτέρων ανεξαρτήτων μεταβλητών, όπως στα παραδείγματα () και (5). Τάξη μιας διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται η μεγαλύτερη τάξη παραγώγου που εμφανίζεται στην εξίσωση. Π.χ. οι παραπάνω διαφορικές εξισώσεις είναι αντίστοιχα ης, ης, ης, ης, ης, ης και ης τάξης. Βαθμός διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται η δύναμη στην οποία είναι υψωμένη η παράγωγος της μεγαλύτερης τάξης, όταν και τα δυο μέλη της διαφορικής εξίσωσης γραφούν σαν πολυώνυμα της άγνωστης συνάρτησης και των παραγώγων της, (δηλαδή αφού γίνει απαλοιφή τυχόν δυνάμεων). Π.χ. οι παραπάνω διαφορικές εξισώσεις ()-(6) είναι αντίστοιχα ου, ου, ου, ου και 4ου βαθμού. Ο βαθμός της διαφορικής εξίσωσης (7) δεν ορίζεται, επειδή το αριστερό μέλος της εξίσωσης αυτής, (λόγω της παρουσίας του si), δεν μπορεί να γραφεί υπό τη μορφή πολυωνύμου ως προς την άγνωστη συνάρτηση και τις παραγώγους της.

13 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Συχνά μια διαφορική εξίσωση είναι γραμμένη υπό διαφορική μορφή. Αυτό σημαίνει ότι δεν περιέχει παραγώγους, (ή δεν περιέχει μόνο παραγώγους), της άγνωστης συνάρτησης αλλά και διαφορικά αυτής. Π.χ. η Δ.Ε. ddd είναι γραμμένη υπό διαφορική μορφή. Αυτή η Δ.Ε. είναι ισοδύναμη προς την d/dd/d δηλαδή είναι μια Δ.Ε. τάξης και βαθμού Η μεγάλη σημασία των Δ.Ε. για την Φυσική οφείλεται στο γεγονός ότι σε πολλά επιστημονικά προβλήματα ζητείται να προσδιοριστεί ένα μέγεθος από κάποιες πληροφορίες που δίνονται για το συντελεστή (, (ή τους συντελεστές), μεταβολής του μεγέθους αυτού συναρτήσει κάποιου άλλου μεγέθους, (η διαφόρων άλλων μεγεθών). Π.χ. μπορεί να ζητείται η εκάστοτε θέση ενός κινητού αν είναι γνωστή η ταχύτητα ή η επιτάχυνση του, ή μπορεί να θέλουμε να προσδιορίσουμε π.χ. το δυναμικό VV(,,z) ενός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου ξέροντας τις μερικές παραγώγους V/, V/, V/z, (δηλαδή τους συντελεστές μεταβολής του V συναρτήσει των,, z). Οι πληροφορίες που δίνονται για τους συντελεστές μεταβολής του ζητουμένου μεγέθους, συνήθως μπορούν να εκφραστούν με μια εξίσωση που περιέχει παραγώγους του μεγέθους αυτού. Αυτό σημαίνει ότι από μαθηματική άποψη, τα προβλήματα αυτά ανάγονται σε μια "Διαφορική Εξίσωση". Άσκηση: Για κάθε μια από τις παρακάτω Δ.Ε. να εξετάσετε αν είναι συνήθης ή με μερικές παραγώγους και να βρείτε την τάξη της και το βαθμό της.. 4 d 4 d d 4 d 5. z 4 4 z z 4. si 6 d d.. si 7. z z z α t / Απαντήσεις. Συνήθης, τάξης 4 ης, βαθμού ου.. Συνήθης, τάξης ης, ο βαθμός δεν ορίζεται.. Συνήθης, τάξης ης, βαθμού ου. 4. Συνήθης, τάξης ης, βαθμού ου. ( Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα μέγεθος μ είναι συνάρτηση κάποιου άλλου μεγέθους λ, δηλ. αν μμ(λ), τότε η παράγωγος dμ/dλ δίνει τον συντελεστή μεταβολής του μ συναρτήσει του λ, δηλ δίνει το μέτρο του πόσο γρήγορα μεταβάλλεται το μ όταν μεταβληθεί το λ. (Όσο μεγαλύτερη είναι η παράγωγος dμ/dλ τόσο μεγαλύτερη είναι η μεταβολή Δμ dμ που αντιστοιχεί σε μεταβολή του λ κατά dλ και επομένως τόσο πιο γρήγορα μεταβάλλεται το μ συναρτήσει του λ. Εάν η παράγωγος dμ/dλ> έχουμε αύξηση του μεγέθους μ και εαν dμ/dλ< έχουμε μείωση). Αν το μ είναι συνάρτηση διαφόρων μεγεθών, δηλαδή αν μμ(λ,λ,, λ ), τότε οι μερικές παράγωγοι μ/ λ, μ/ λ,, μ/ λ δίνουν αντίστοιχα το μέτρο του πόσο γρήγορα μεταβάλλεται το μ όταν ματαβληθούν τα λ, λ,, λ. δηλαδή δίνουν τους συντελεστές μεταβολής του μ συναρτήσει των λ, λ,, λ.

14 Βασικές έννοιες 7 5. Με μερικές παραγώγους τάξης 4 ης, βαθμού ου. 6. Συνήθης, τάξης ης, βαθμού ου. 7. Με μερικές παραγώγους τάξης ης, βαθμού ου. 8. Συνήθης, τάξης ης, βαθμού ου.. Λύσεις μιας Διαφορικής Εξίσωσης. "Επίλυση ή ολοκλήρωση" μιας Δ.Ε. ονομάζεται η εύρεση της άγνωστης συνάρτησης της οποίας κάποιες παράγωγοι εμφανίζονται στη Δ.Ε. Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται λύση ή ολοκλήρωμα της Δ.Ε. Μια λύση κάποιας Δ.Ε. ικανοποιεί "εκ ταυτότητος" τη Δ.Ε., δηλ. την ικανοποιεί για κάθε (. Παράδειγμα : Η Δ.Ε. -e () έχει λύση τη e () Aν αντικαταστήσουμε τη συνάρτηση αυτή στη Δ.Ε. () παίρνουμε: e e e e e e e ( ) ( ) ( ) ( ) Η ισότητα αυτή ισχύει για κάθε. Μια Δ.Ε. έχει άπειρες λύσεις. Π.χ. για την () κάθε συνάρτηση της μορφής: ( c) e () όπου c αυθαίρετη σταθερά, είναι λύση. (Πραγματικά, αντικαθιστώντας την () στην () και κάνοντας τις παραγωγίσεις, παρατηρούμε ότι η () επαληθεύει την () για κάθε ). Η () ονομάζεται "γενική λύση" της (). Από τη γενική λύση, δίνοντας συγκεκριμένες τιμές στη σταθερά, παίρνουμε διάφορες λύσεις οι οποίες, κατά αντιδιαστολή προς τη γενική λύση, ονομάζονται "μερικές λύσεις". Π.χ. από τη γενική λύση (), για c, παίρνουμε τη μερική λύση (). Στα επόμενα, όταν αναφερόμαστε σε μια "λύση" κάποιας Δ.Ε. χωρίς να διευκρινίζουμε αν πρόκειται για μια μερική λύση ή για τη γενική λύση, θα εννοούμε μια μερική λύση της Δ.Ε. Η γενική λύση μιας Δ.Ε. πρώτης τάξης έχει τη μορφή: φ(,c) (4) ή Φ(,,c) (5) Aν η πεπλεγμένη μορφή (5) μπορεί να λυθεί ως προς, τότε λύνοντας την, παίρνουμε την (4). Γενικά, αποδεικνύεται ότι: α) Η γενική λύση μιας Δ.Ε. τάξης περιέχει σταθερές. β) Μια συνάρτηση που περιέχει σταθερές και επαληθεύει εκ ταυτότητος μια Δ.Ε. τάξης είναι η γενική λύση αυτής της Δ.Ε. Σύμφωνα με τα παραπάνω, η γενική λύση μιας Δ.Ε. τάξης έχει τη μορφή: φ(,c,c,,c ) (6) ή την πεπλεγμένη μορφή : Φ(,,c,c,,c ) (7) ( Εδώ και στα επόμενα η έκφραση για κάθε σημαίνει για κάθε I όπου Ι κάποιο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών.

15 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Δίνοντας διάφορες τιμές στα c,c,,c μερικές λύσεις της Δ.Ε. παίρνουμε από την (6) ή την (7) διάφορες Άσκηση Να επαληθεύσετε ότι, για τις παρακάτω Δ.Ε., οι συναρτήσεις που δίνονται είναι οι γενικές λύσεις.. ce. e - - e -e -ce -. c sic cos 4. - c sihc cosh. Ολοκληρωτικές καμπύλες μιας Δ.Ε Οι γραφικές παραστάσεις των μερικών λύσεων φ() μιας Δ.Ε. ονομάζονται ολοκληρωτικές καμπύλες της Δ.Ε. Είναι φανερό από τα προηγούμενα ότι η γενική λύση μιας Δ.Ε. ης τάξης, δηλ. Φ(,,c), η οποία περιέχει μια παράμετρο c, παριστάνει μια μονοπαραμετρική οικογένεια καμπύλων : των ολοκληρωτικών καμπύλων της Δ.Ε. ης τάξης Γενικότερα η λύση μιας Δ.Ε. τάξης, δηλ. η Φ(,,c,c,,c ), η οποία περιέχει παραμέτρους c,c,,c παριστάνει μια -παραμετρική οικογένεια καμπύλων : των ολοκληρωτικών καμπύλων της Δ.Ε. τάξης..4 Προσεγγιστική εύρεση των ολοκληρωτικών καμπύλων μιας Δ.Ε. ης τάξης Έστω μια Δ.Ε. ης τάξης που μπορεί να γραφεί υπό τη μορφή: f(,) () Γεωμετρικά η () σημαίνει ότι σε κάθε σημείο (,) η κλίση d/d της λύσης έχει την τιμή f(,). Το γεγονός αυτό μπορούμε να το παραστήσουμε γραφικά εάν φέρουμε ένα μικρό ευθύγραμμο τμήμα, που ονομάζεται διευθύνον στοιχείο, από το σημείο (,) με κλίση f(,). Ένα σύνολο τέτοιων διευθυνόντων στοιχείων σε διάφορα σημεία του επιπέδου ονομάζεται διευθύνον πεδίο, (ή πεδίο διευθύνσεων), της διαφορικής εξίσωσης. Αν και ένα διευθύνον πεδίο δεν παρέχει μια αναλυτική λύση ή ένα τύπο για την Δ.Ε., μας δίνει όμως ποιοτικές πληροφορίες για το σχήμα και την συμπεριφορά της λύσης. Π.χ. το διευθύνον πεδίο της Δ.Ε. φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

16 Βασικές έννοιες 9 Το διευθύνον πεδίο της Δ.Ε. Σαν αριθμητική λύση μιας Δ.Ε. ης τάξης με αρχικές συνθήκες, εννοούμε ένα σύνολο τιμών ( i, i ), (υπό μορφή πίνακα ή γραφικής παράστασης των σημείων ( i, i )), που προσεγγίζει την λύση της Δ.Ε. και διέρχεται από το σημείο των αρχικών συνθηκών. Μια από τις πιο απλές προσεγγιστικές μεθόδους για την εύρεση της μερικής λύσης μιας Δ.Ε. ης τάξης, που διέρχεται από το σημείο (, ), είναι η μέθοδος του Euler, η οποία αποτελείται από τα εξής βήματα:. Στο σημείο Σ, με συντεταγμένες (, ) υπολογίζουμε την f(, ). O αριθμός f(, ) καθορίζει τη διεύθυνση της καμπύλης () στο σημείο (, ).. Η εξίσωση της εφαπτομένης της λύσης στο σημείο (, ) είναι: (- )f(, ) Υπολογίζουμε την τιμή της γραμμικής αυτής συνάρτησης για h όπου h θετική σταθερά ( : hf(, ). Επαναλαμβάνουμε την παραπάνω διαδικασία στο σημείο (, ) και η εξίσωση της αντίστοιχης εφαπτομένης της ζητούμενης λύσης είναι: (- )f(, ) Υπολογίζουμε την τιμή του για h και έχουμε : hf(, ) 4. Συνεχίζοντας την διαδικασία αυτή προκύπτει η ακολουθία των σημείων (, ) όπου: h, hf(, ) ( Το h ονομάζεται βήμα και όσο πιο μικρή είναι η τιμή του τόσο πιο ακριβής θα είναι η προσεγγιστική λύση που θα βρεθεί.

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Ενώνοντας τα σημεία (, ),,,... με ευθύγραμμα τμήματα, παίρνουμε προσεγγιστικά την μερική λύση της Δ.Ε. f(,), που αντιστοιχεί στην αρχική συνθήκη (, ). Σ Σ Σ O Σ h Σ 4 4 Ασκήσεις: Χρησιμοποιώντας την μέθοδο του Euler να βρείτε προσεγγιστικά με βήμα h την μερική λύση που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη ( ) για τις παρακάτω Δ.Ε. : ) - () h,5 ) - () h, ) e () h,.5 Ποιοτική συμπεριφορά των λύσεων μιας Δ.Ε. Ο αντικειμενικός σκοπός της μελέτης των Δ. Ε. δεν είναι μόνο η εύρεση των λύσεων, όταν αυτό είναι δυνατό, αλλά και η μελέτη της ποιοτικής συμπεριφοράς των λύσεων. Με το παρακάτω απλό παράδειγμα θα δούμε τι σημαίνει "ποιοτική συμπεριφορά των λύσεων". d Η Δ.Ε. : d α () είναι μια από τις απλούστερες Δ.Ε. με λύση: ()ce α () Η σταθερά c, που εμφανίζεται στη λύση, καθορίζεται πλήρως από την αρχική συνθήκη. Π.χ. εάν θέλουμε για η λύση () να παίρνει την τιμή ( ), τότε από την () έχουμε για : ce α c e α Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε, οπότε c και η λύση : () e α είναι εκείνη που διέρχεται από το σημείο (, ). H σταθερά α της Δ.Ε. α μπορεί να θεωρηθεί σαν παράμετρος και όταν μεταβάλλεται προφανώς μεταβάλλονται και οι λύσεις. Το ερώτημα εδώ είναι πως μπορούμε να περιγράψουμε ποιοτικά την αλλαγή αυτή των λύσεων. Το πρόσημο της παραμέτρου α, θα δούμε ότι παίζει αποφασιστικό ρόλο. Πράγματι :

18 ) Εάν α> τότε lim () lim ce οταν c α - οταν c ) Εάν α τότε ()cσταθερά ) Εάν α< τότε lim ()lim ce α Βασικές έννοιες Η ποιοτική συμπεριφορά των λύσεων φαίνεται καθαρά στις παρακάτω γραφικές παραστάσεις: c> c> c< α> α Σχ. Σχ. α< Σχ. c< Έτσι εάν επιζητούμε λύσεις που απειρίζονται δεν έχουμε παρά να διαλέξουμε την παράμετρο α να είναι θετική, για σταθερές λύσεις διαλέγουμε α και τέλος για λύσεις που ασυμπτωτικά μηδενίζονται, διαλέγουμε α<. Ένα άλλο χαρακτηριστικό, που έχει η Δ.Ε. α είναι η ευστάθεια των λύσεων για α. Πιο συγκεκριμένα, εάν η παράμετρος α αντικατασταθεί από μια άλλη σταθερά β, η οποία να βρίσκεται πολύ κοντά στην α, δηλ. α-β <ε με ε πολύ μικρό, τότε η β έχει τό ίδιο πρόσημο με την α και οι λύσεις, που αντιστοιχούν στις παραμέτρους α και β, δηλ. οι ce α και ce β έχουν την ίδια ποιοτική συμπεριφορά. Εάν όμως α, Σχ., τότε η παραμικρότερη μεταβολή στη τιμή του α, οδηγεί στην περίπτωση του Σχ. ή του Σχ., δηλ. σε ριζική αλλαγή στην συμπεριφορά των λύσεων. Το σημείο α ονομάζεται σημείο διακλαδώσεως, (bifurcatio poit), της Δ.Ε. α.

19 . ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΜΙΑΣ Δ. Ε. ης ΤΑΞΗΣ Σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών θα συναντήσει κανείς θεωρήματα "ύπαρξης και μοναδικότητας". Τα θεωρήματα αυτά μας λένε κάτω από ποιές προϋποθέσεις ένα πρόβλημα, (όπως η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης), έχει λύση και αυτή η λύση είναι μοναδική. Δυστυχώς πολλές φορές τα θεωρήματα αυτά δεν μας δίνουν και την λύση. Παρ' όλα αυτά η αξία τους είναι μεγάλη. Ένα θεώρημα ύπαρξης μας διαβεβαιώνει ότι υπάρχει λύση, που πρέπει να ψάξουμε να τη βρούμε. Θα ήταν άσκοπο να σπαταλήσουμε χρόνο και προσπάθεια για να βρούμε μια λύση, όταν στην πραγματικότητα δεν υπάρχει. Επίσης το σκέλος του θεωρήματος που αφορά την μοναδικότητα, μας διαβεβαιώνει ότι η λύση που υπάρχει είναι μοναδική και μας προφυλάσσει από τον κίνδυνο να ασχοληθούμε με μια λύση, που αργότερα θα διαπιστώσουμε ότι δεν είναι αυτή που θέλαμε. Για τις Δ.Ε. ης τάξης f(,) μπορούμε να θέσουμε το παρακάτω ερώτημα, που θα μας οδηγήσει στο σχετικό θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας. Ερώτημα: Ποιές συνθήκες πρέπει να πληροί η Δ.Ε.: f(,) () ουσιαστικά. η συνάρτηση f(,), ώστε να υπάρχει λύση που να ικανοποιεί την αρχική συνθήκη: ( ) () Η απάντηση δίνεται από το εξής θεώρημα: Θεώρημα: Αν η συνάρτηση f(,) είναι συνεχής και η f(,)/ φραγμένη ( στην περιοχή του σημείου (, ), τότε το πρόβλημα των αρχικών τιμών, (Π.Α.Τ): f(,), ( ) () διαθέτει μια και μοναδική λύση στη περιοχή αυτού του σημείου. Οι συνθήκες του θεωρήματος είναι ικανές όχι όμως και αναγκαίες. Μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος, που βασίζεται σε μια διαδικασία κατασκευής της λύσης, δόθηκε από τον Picard (856-94) και η βασική της ιδέα έχει ως εξής: Ολοκληρώνοντας και τα δυο μέλη της () από έως παίρνουμε την ολοκληρωτική εξίσωση: ( ) ( ) ftt (, ( )) dt Η σχέση (4) αποτελεί μια ισοδύναμη διατύπωση υπό μορφή ολοκληρωτικής εξίσωσης του Π.Α.Τ: f(,), ( ). (4) ( Μια συνάρηση f(,) ορισμένη στο υποσύνολο D R είναι φραγμένη εαν: ( M>)( (,) D)[ f(,) <M]

20 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στη συνέχεια για την λύση της (4), χρησιμοποιούμε την μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων ή την επαναληπτική μέθοδο, η οποία συνίσταται στη διαδοχική "βελτίωση" μιας αυθαίρετης αρχικής εκλογής () (, που θεωρείται ως μηδενικής τάξης προσέγγιση στη ζητούμενη λύση (). Η πρώτη "βελτίωση" προκύπτει εισάγοντας στο δεύτερο μέλος της (4) τη μηδενική προσέγγιση () οπότε παίρνουμε τη συνάρτηση: () ( ) f (t, (t))dt που θα εισαχθεί ξανά στη (4) για να μας δώσει τη δεύτερη βελτιωμένη μορφή της λύσης και ούτω καθ' εξής. Γενικότερα θα είναι: () ( ) f(t, (t))dt Εάν η συναρτησιακή ακολουθία () έχει όριο, τότε αυτό το όριο θα ικανοποιεί την ολοκληρωτική εξίσωση (4) και άρα το Π.Α.Τ (). Πράγματι επειδή lim ()lim ()() τότε παίρνοντας το όριο και των δύο μελών της (5) θα έχουμε: lim () lim f(t, (t))dt () lim f (t, (t))dt ()( ) f(t,(t))dt που είναι ακριβώς η ολοκληρωτική εξίσωση (4). (5) ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν είναι πάντα επιτρεπτή η εναλλαγή ορίου και ολοκληρώματος lim lim (Π.χ. εάν θεωρήσουμε την ακολουθία των συναρτήσεων f ()ep(- ), τότε για > έχουμε: lim f ()d lim e d lim e d( ) ( ) lim e lim e lim f ()d lim e d d δηλαδή ενώ ( ) ( ) lim f ()d lim f ()d Στην πραγματικότητα αυτό είναι μόνο ένα από τα λεπτά σημεία της απόδειξης του θεωρήματος του Picard που μας επιβάλλουν τελικά και τις σχετικές συνθήκες για την συνάρτηση f(,). Μέσα από μια τέτοια προσεκτική διερεύνηση προκύπτει ότι για την απλή ύπαρξη της λύσης αρκεί: α) η f(,) να είναι συνεχής ενώ για την μοναδικότητα απαιτείται επί πλέον να είναι φραγμένη και η παράγωγος της ως προς, δηλ: ( Δεν πρέπει να γίνεται σύγχυση μεταξύ της συνάρτησης () και της αρχικής τιμής ( )

21 β) η f (, ) να είναι φραγμένη. Ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης μιας Δ.Ε. ης τάξης 5 Παρατήρηση: Αυτή η ασυμμετρία στο ρόλο των μεταβλητών και δεν πρέπει να μας ξαφνιάζει. Δεδομένου ότι η είναι η ανεξάρτητη και η η εξαρτημένη μεταβλητή είναι μάλλον εύλογο ότι ο σοβαρότερος περιορισμός θα αφορά τη δεύτερη. Παράδειγμα: Υποθέτουμε ότι θέλουμε να λύσουμε το Π.Α.Τ. ()f(,) () Ας εκλέξουμε για προσέγγιση μηδενικής τάξης την (). Τότε () ( t ) dt t () t dt 6 4 t () t t dt t t 4 () t t dt 4 και γενικά: ( )!!! ( )! Παίρνοντας το όριο για και χρησιμοποιώντας τη σειρά: e! έχουμε ότι: lim ()(e --)e -- Η συνάρτηση ()e -- ικανοποιεί τόσο την εξίσωση όσο και την αρχική συνθήκη, συνεπώς αποτελεί μια λύση. Αν είχαμε εκλέξει για αρχική προσέγγιση την ()e θα παίρναμε t () ( t e ) dt e t t () t e dt e 6 και γενικά την προσέγγιση τάξης () e!! ( )! Συνεπώς ()lim ()(e --)e e -- Αν κάνουμε την εκλογή ()e -- τότε () t ( ) e dt (e ) () Μια τέτοια εκλογή σταθεροποιεί την προσεγγιστική ακολουθία και δίνει τη λύση () lim () lim () ()

22 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Φυσικά η πιθανότητα εκλογής της πραγματικής λύσης σαν () είναι σχεδόν μηδέν. Η ευκολία όμως εφαρμογής της μεθόδου οφείλεται κατά μεγάλο ποσοστό στην κατάλληλη εκλογή της προσέγγισης μηδενικής τάξης. Εάν όμως δεν έχουμε άλλες πληροφορίες για τη λύση, τότε σαν προσέγγιση μηδενικής τάξης χρησιμοποιούμε την αρχική συνθήκη ( ), δηλ θέτουμε ()( ). Ασκήσεις: Ελέγξτε εάν οι παρακάτω Δ.Ε. με την αντίστοιχη αρχική συνθήκη έχουν α) μοναδική λύση ή β) καμμία λύση ή γ) άπειρες λύσεις. ) () Απ. Μία λύση ) -/ () Απ. Μία λύση ) () Απ. Δύο λύσεις

23 . ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ Η γενική μορφή των διαφορικών εξισώσεων ης τάξης είναι: F(,, ) () Αν η () λύνεται ως προς δηλ. d f (, ) d τότε μπορούμε να λύσουμε την () αν ανήκει σε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις:. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση f(,) γράφεται σαν γινόμενο δυο συναρτήσεων, κάθε μια από τις οποίες εξαρτάται μόνο από το ή το, δηλ. f(,) g()h(). Στη συνέχεια "χωρίζουμε" την Δ.Ε. έτσι ώστε στο πρώτο μέλος να υπάρχει μόνο η μια μεταβλητή π.χ. η και στο δεύτερο η και ολοκληρώνουμε και τα δυο μέλη: d d gh ( ) ( ) d g( ) d c h ( ) Παράδειγμα : Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. -. Έχουμε: d d d d d c d c Εδώ παρατηρούμε ότι και η συνάρτηση ικανοποιεί τη Δ.Ε. χωρίς να προέρχεται από την γενική λύση /(c) για κάποια πεπερασμένη τιμή της c, σε αντίθεση με τα γραφόμενα της παρ... Όπως θα δούμε στην επόμενη παράγραφο, η λύση αποτελεί την περιβάλλουσα των λύσεων /(c) της Δ.Ε. Τέτοιες λύσεις ονομάζονται ιδιάζουσες λύσεις της Δ.Ε. Σ' αυτό το παράδειγμα ας προσπαθήσουμε να δούμε εάν ικανοποιούνται οι συνθήκες του θεωρήματος για την ύπαρξη και τη μοναδικότητα των λύσεων μιας Δ.Ε. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση f(,)- είναι συνεχής σ' όλο το πεδίο c

24 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ορισμού της, (-<<, -<<). Άρα υπάρχει λύση. Επίσης η συνθήκη f/ - φραγμένη, ισχύει. Επομένως από κάθε σημείο του επιπέδου OXY διέρχεται μια και μόνο μια λύση. Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε.. Έχουμε: d d d d c c 4 ( ) Κάθε μέλος της οικογένειας των καμπυλών (c) /4 είναι μια παραβολή με κέντρο το σημείο -c. Όμως από κάθε τέτοια παραβολή θα πρέπει να κρατήσουμε μόνο το δεξιό της κλάδο που έχει θετική κλίση όπως θέλει η Δ.Ε. >. Οι αριστεροί κλάδοι των παραβολών αποτελούν λύση της Δ.Ε. -. Και εδώ η τετριμμένη λύση ικανοποιεί τη Δ.Ε. και αποτελεί την περιβάλλουσα των λύσεων της Δ.Ε. Όσον αφορά τις συνθήκες του θεωρήματος για την ύπαρξη και την μοναδικότητα των λύσεων, παρατηρούμε ότι η f(,) είναι συνεχής σ' όλο το πεδίο ορισμού της (- <<, ). Άρα υπάρχει λύση. Όμως η πρόσθετη συνθήκη: f φραγμένη δεν πληρούται πάνω στην ευθεία. Στην ευθεία αυτή θα συναντώνται περισσότερες από μια λύσεις. Πράγματι από κάθε σημείο της ευθείας ξεκινούν δυο λύσεις η και η (- ) /4 όπου -c. Μ' άλλα λόγια στην αρχική συνθήκη ( ) αντιστοιχούν οι δυο λύσεις:, (- ) /4. O -c Παρατήρηση: Όπως στο παράδειγμα έτσι και εδώ διαπιστώνουμε ότι η μηδενική συνάρτηση ικανοποιεί την Δ.Ε. και ότι δεν υπάρχει τιμή της σταθεράς c έτσι ώστε η μηδενική συνάρτηση να προέρχεται από την γενική λύση (c) /4. Ασκήσεις: Να λυθούν οι Δ.Ε.: ) -/ Απ. c ) Απ. cep( /) ) - Απ. /- /c 4) / Απ. c

25 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 9 5) -/ Απ. - c.a Περιβάλλουσα των λύσεων μιας Δ.Ε. ης τάξης Όπως είδαμε στα προηγούμενα παραδείγματα είναι δυνατό, μια λύση κάποιας Δ.Ε. να μη προκύπτει από τη γενική λύση για καμμία τιμή της σταθεράς. Οι λύσεις αυτές ονομάζονται ιδιάζουσες λύσεις. Παράδειγμα: Η Δ.Ε. ( ) α () έχει τη γενική λύση (-c) α () η οποία παριστάνει την οικογένεια κύκλων που δείχνει το παρακάτω σχήμα. Οι ευθείες α και -α επαληθεύουν την () και επομένως είναι λύσεις της Δ.Ε., αλλά δεν A B α Ο Γ Ε Δ -α προκύπτουν από τη () για καμμιά τιμή της c. Οι α και -α είναι περιβάλλουσες των λύσεων της Δ.Ε. (). Περιβάλλουσα μιας οικογένειας καμπυλών Φ(,,c) ονομάζεται μια καμπύλη Κ, τέτοια ώστε: α) κάθε καμπύλη της οικογένειας εφάπτεται στη Κ και β) κάθε σημείο της Κ είναι σημείο επαφής της Κ με μια από τις καμπύλες της οικογένειας. Λόγω της ιδιότητας (β), σε κάθε σημείο (,) της περιβάλλουσας τα,, έχουν τις ίδιες τιμές όπως και για την καμπύλη της οικογένειας που περνάει από το σημείο αυτό (. Αφού η καμπύλη αυτή είναι λύση της Δ.Ε., έπεται ότι οι τιμές αυτές των,, ικανοποιούν την Δ.Ε. Επειδή αυτό ισχύει για κάθε σημείο της περιβάλλουσας, συμπεραίνουμε ότι η περιβάλλουσα είναι λύση της Δ.Ε. Συμπέρασμα: Αν μια οικογένεια λύσεων κάποιας Δ.Ε. έχει περιβάλλουσα, τότε η περιβάλλουσα είναι μια ιδιάζουσα λύση της Δ.Ε. Άλλες ιδιάζουσες λύσεις παίρνουμε συνδυάζοντας ένα τμήμα της περιβάλλουσας με ένα τμήμα κάποιας από τις καμπύλες της οικογένειας. Π.χ. η καμπύλη ΑΒΓΔΕ του ( Όταν δυο καμπύλες εφάπτονται σε κάποιο σημείο, τότε στο σημείο αυτό έχουν την ίδια κλίση, αλλιώς θα τέμνονται αντί να εφάπτονται.

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ σχήματος, (η οποία αποτελείται από το τμήμα ΑΒ της περιβάλλουσας α, το ημικύκλιο ΒΓΔ και το τμήμα ΔΕ της περιβάλλουσας -α είναι μια ιδιάζουσα λύση της (). Πρέπει να σημειωθεί ότι σε κάθε σημείο της περιβάλλουσας παραβιάζεται η μοναδικότητα των λύσεων της Δ.Ε., αφού από αυτό διέρχονται δυο λύσεις: η μια είναι η ίδια η περιβάλλουσα και η άλλη η μερική λύση που εφάπτεται της περιβάλλουσας στο σημείο αυτό. Η εξίσωση της περιβάλλουσας μιας οικογένειας καμπυλών με εξίσωση Φ(,,c) (A), βρίσκεται αν παραγωγίσουμε την (Α) ως προς c δηλ. Φ(,,c)/ c (B), και μετά απαλείψουμε το c από τις (Α) και (Β). Απόδειξη: Έστω (,) οι συντεταγμένες του σημείου επαφής Ρ της περιβάλλουσας και μιας καμπύλης Γ της οικογένειας Φ(,,c). Οι συντεταγμένες αυτές προσδιορίζουν μονοσήμαντα την καμπύλη Γ, (αφού σε κάθε σημείο της περιβάλλουσας εφάπτεται μια και μόνο μια καμπύλη της οικογένειας Φ(,,c)). Από την άλλη μεριά η καμπύλη Γ με τη σειρά της προσδιορίζει πλήρως την παράμετρο c. Κατά συνέπεια οι συντεταγμένες και του σημείου Ρ προσδιορίζονται πλήρως από τη τιμή της παραμέτρου c, δηλ. (c), (c) (α) Όταν η παράμετρος c μεταβάλλεται, το σημείο Ρ κινείται κατά μήκος της περιβάλλουσας και επομένως οι εξισώσεις (α) είναι οι παραμετρικές εξισώσεις της περιβάλλουσας. Θα προσπαθήσουμε τώρα να διατυπώσουμε την συνθήκη που ορίζει την περιβάλλουσα, δηλ. ότι η κλίση της περιβάλλουσας στο σημείο Ρ συμπίπτει με την κλίση της καμπύλης Γ. Η κλίση της εφαπτομένης της περιβάλλουσας είναι: d(c) dc c π ερ d(c) c dc Η δε κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης Γ για συγκεκριμένο c δίνεται από την έκφραση, (βλ. Διανυσματική Ανάλυση Δ. Σουρλά παρ. 8.7), Φ Φ καμ Φ Φ Εξισώνοντας τις δυο αυτές κλίσεις έχουμε: c Φ Φ c Φ c (β) Φ c Αλλά για κάθε τιμή της παραμέτρου c το σημείο της περιβάλλουσας που έχει συντεταγμένες ((c),(c)) ανήκει στην καμπύλη της οικογένειας, που αντιστοιχεί στην ίδια τιμή της c και επομένως η σχέση: Φ((c),(c),c) (γ) ικανοποιείται για όλα τα c. Η ολική παράγωγος ως προς c της (γ) δίνει: d Φ ( (c),(c),c) Φ c Φ c Φ c dc Αλλά λόγω της (β) προκύπτει Φ c Επομένως οι παραμετρικές εξισώσεις (c) και (c) της περιβάλλουσας βρίσκονται από τις σχέσεις: Φ(,,c) και Φ (,,c) c

27 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης και αν μπορούμε να απαλείψουμε το c από τις δυο παραπάνω σχέσεις έχουμε την καρτεσιανή εξίσωση της περιβάλλουσας. Παράδειγμα : Να βρεθεί η περιβάλλουσα της οικογένειας καμπυλών cos(c). Λύση: Εδώ έχουμε Φ(,,c)-cos(c) () Φ si ( c) () c Για να απαλείψουμε το c από τις σχέσεις () και () λύνουμε ως προς τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, υψώνουμε στο τετράγωνο και βρίσκουμε ±. Άρα η περιβάλλουσα της οικογένειας καμπυλών cos(c) είναι οι ευθείες ±. Παρατήρηση : Εάν μας δίνεται μια μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυλών Φ(,,c), τότε η Δ.Ε., της οποίας η γενική λύση είναι η Φ(,,c), βρίσκεται απαλείφοντας την παράμετρο c από τις εξισώσεις: d Φ(,,c) και Φ (,,c) Φ (,,c) Φ (,,c) d ενώ η περιβάλλουσα των λύσεων από τις εξισώσεις: Φ(,,c) και Φ (,,c) c Παράδειγμα : Η εξίσωση -c(-c) παριστάνει μια οικογένεια παραβολών με την κορυφή τους πάνω στην ευθεία. α) Παραγωγίζοντας ως προς c και απαλείφοντας το c μεταξύ της εξίσωσης που δόθηκε και της παραγώγου της ως προς c, βρείτε την περιβάλλουσα της οικογένειας. β) Βρείτε τη Δ.Ε. πρώτης τάξης για την οικογένεια αυτή των παραβολών. γ) Επιβεβαιώστε ότι η περιβάλλουσα επαληθεύει την εξίσωση αυτή. Λύση: α) Έχουμε Φ(,,c)-c-(-c) Φ () ( c) -c/ (). c Από τις σχέσεις () και () απαλείφουμε το c και βρίσκουμε: -/-/4 -/4 () που είναι η εξίσωση της περιβάλλουσας. β) Παραγωγίζουμε την () ως προς Φ και έχουμε -(-c) (4). Από τις σχέσεις () και (4) απαλείφουμε το c και βρίσκουμε: ( /) -( /)- (4) που είναι η ζητούμενη Δ.Ε. γ) -/4 (5). Αντικαθιστούμε τις εκφράσεις () και (5) στην (4): (/) -(/)-/4 δηλ. η εξίσω-

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ση της περιβάλλουσας ικανοποιεί την Δ.Ε. Παράδειγμα : Ένα κανόνι ρίχνει ένα βλήμα στο επίπεδο XOZ με ταχύτητα, που έχει σταθερό μέτρο v και σχηματίζει γωνία θ με τον οριζόντιο επίπεδο. Η γωνία θ μπορεί να μεταβάλλεται ρυθμίζοντας την κλίση της κάνης από έως π. Τα σημεία του επιπέδου XOZ που δεν είναι δυνατό να κτυπηθούν από το κανόνι βρίσκονται πέρα από μια καμπύλη, η οποία είναι η περιβάλλουσα των τροχιών, που θα διαγράψει το βλήμα για διάφορες τιμές της θ. Να βρεθεί η καμπύλη αυτή. r Λύση: Από τον νόμο του Νεύτωνα F m d έχουμε: dt Κατά τον άξονα ΟΧ: F m d d c t c t c () dt dt () () Για t είναι () c και () v cosθ c v cosθ άρα (t)v (cosθ)t () Κατά τον άξονα ΟΖ: F mg m dz dz z gt k z t gt k t k () dt dt () Για t είναι z()k και z ( ) k v siθ, άρα z(t) gt v (si θ)t Απαλείφουμε το t μεταξύ των () και (4): (5) g () t (5), (4) z ( ta θ) v cosθ v cos θ g Φ(,z, θ ) z (ta θ ) v cos θ g v Φ (,z, θ ) z ta θ ta θ (6) Η (6) είναι μια μονοπαραμετρική οικογένεια παραβολών, (με παράμετρο τη γωνία θ), της οποίας η περιβάλλουσα θα βρεθεί εάν παραγωγίσουμε την (6) ως προς την θ: Φ g ta θ θ v cos θ cos θ g ta θ (7) v και απαλείφουμε το θ, δηλ. την taθ από την (6) και (7): (7) και απαλείφουμε το θ, δηλ. την taθ από την (6) και (7): (7) v taθ (8) g (4)

29 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 4 g v v (6) z v g g g z v f ( ) (9) vg Η (9) είναι η εξίσωση της περιβάλλουσας. Παρατήρηση : Εάν το κανόνι περιστρέφεται γύρω από τον άξονα ΟΖ, τότε η παραβολή (9) παράγει μια επιφάνεια της οποίας η εξίσωση μπορεί να προέλθει από την (9) αν αντικαταστήσουμε το με το (γιατί;). Eπομένως θα έχουμε: g ( ) ( ) v z f v g Παρατήρηση : Θεωρούμε την Δ.Ε. F(,, ) και υποθέτουμε ότι η συνάρτηση F(,, ) έχει συνεχείς τις πρώτες μερικές παραγώγους ως προς,, σε κάποιο ανοιχτό τόπο D του χώρου. Από τον διαφορικό λογισμό γνωρίζουμε ότι αν (,, ) είναι σημείο του τόπου D και F(,, ) F(,, ) τότε υπάρχει μοναδική συνάρτηση f(,), που ορίζεται σε μια περιοχή του σημείου (, ), τέτοια ώστε f(, ) και F(,,f(,)). Στα σημεία όμως (,, ) που επαληθεύουν συγχρόνως τις σχέσεις: F(,, ) F(,, ) δεν είμαστε βέβαιοι για την ύπαρξη μόνο μιας λύσης, της Δ.Ε. F(,, ) που ικανοποιεί τις συνθήκες φ( ), φ ( ). Απόρροια των ανωτέρω είναι το επόμενο θεώρημα: Θεώρημα: Θεωρούμε την Δ.Ε. F(,, ). Τότε η λύση του συστήματος: F(,,p) p F(,,p) που προκύπτει με απαλοιφή του p, (έχουμε θέσει p), και που επαληθεύει τις σχέσεις F F F p είναι ιδιάζουσα λύση της Δ.Ε. F(,, ). Παράδειγμα 4: Να βρεθεί η ιδιάζουσα λύση της Δ.Ε ( ) Λύση: Θέτουμε στη Δ.Ε. p και έχουμε: F(,,p)4-8p-8 -p p F(,,p)-8-p Απαλείφοντας το p από τις σχέσεις (Α) και (Β) προκύπτει (A) (B) Ένα υποσύνολο D ενός χώρου διαστάσεων λέγεται ανοικτός τόπος εάν είναι ανοικτό και συνεκτικό σύνολο.

30 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ - η οποία είναι η εξίσωση της περιβάλλουσας. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι επαληθεύει την Δ. Ε. όπως επίσης και τις σχέσεις: F F F F Πράγματι: -8p-6-8(-4)-66, F F F 64(-4) 4 και επομένως με p-4. Παραδείγματα εφαρμογών της Δ.Ε. χωριζομένων μεταβλητών Παράδειγμα. Οι Πυρήνες των ατόμων των ραδιενεργών στοιχείων διασπώνται και μετατρέπονται σε πυρήνες άλλων στοιχείων. Έτσι με την πάροδο του χρόνου, η μάζα ενός ραδιενεργού στοιχείου μειώνεται. Σ' ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα, από τη στιγμή t ως τη στιγμή tdt, η ελάττωση dm της μάζας είναι ανάλογη της μάζας m του ραδιενεργού στοιχείου, η οποία υπάρχει στην αρχή του χρονικού αυτού διαστήματος. Αν τη στιγμή t η μάζα ενός ραδιενεργού στοιχείου είναι m, να βρεθεί η μάζα που θα έχει απομείνει μετά παρέλευση χρόνου t. Λύση: Είναι dm-λmdt όπου λ σταθερά που χαρακτηρίζει το στοιχείο. Επομένως dm/m-λdt lm-λtc mc e -λt όπου c e c Aφού για t είναι mm θα έχουμε m c. Επομένως mm e -λt. Από τη σχέση αυτή, αν είναι γνωστή η σταθερά λ του στοιχείου, μπορούμε να βρούμε, για κάθε χρονική στιγμή t, τη μάζα m(t) που έχει απομείνει τη στιγμή αυτή. Παρατήρηση: Ο αριθμός των πυρήνων, έστω Ν, ενός ραδιενεργού στοιχείου είναι προφανώς ακέραιος αριθμός και η μεταβολή ΔΝ του αριθμού αυτού κατά το μικρό χρονικό διάστημα (t,tdt), (δηλαδή ο αριθμός των πυρήνων που διασπάστηκαν κατά το χρονικό αυτό διάστημα), είναι επίσης ακέραιος αριθμός. Επειδή όμως, για οποιοδήποτε δείγμα μακροσκοπικών διαστάσεων, ο αριθμός Ν είναι πολύ μεγάλος ( ) και η μεταβολή ΔΝ είναι πολύ μικρή σε σύγκριση με το Ν, μπορούμε για όλους τους πρακτικούς σκοπούς, να χρησιμοποιήσουμε το Ν σαν να ήταν συνεχής συνάρτηση του t και να υπολογίσουμε π.χ. την παράγωγο dν/dt (. Μπορούμε λοιπόν να λύσουμε την παραπάνω άσκηση θεωρώντας τον αριθμό των πυρήνων Ν αντί για τη μάζα m. Η μεταβολή dν του αριθμού των πυρήνων σε χρόνο dt. είναι dν-λνdt. Από τη σχέση αυτή, ολοκληρώνοντας, βρίσκουμε ΝΝ e -λt. ( Αυτό αποτελεί προφανώς μια προσέγγιση, αφού για οποιαδήποτε συνάρτηση f() το lim Δ Δ/Δ είναι πεπερασμένο μόνο αν Δ όταν Δ. Αυτό όμως προϋποθέτει ότι το Δ μπορεί να γίνει μικρότερο από κάθε ε> χωρίς να γίνει μηδέν. Δεχόμαστε λοιπόν ότι η ελάχιστη μη μηδενική μεταβολή του Ν, δηλ. η ΔΝ, αν συγκριθεί με τη τιμή Ν, είναι τόσο μικρή ώστε να μπορούμε, με αμελητέο σφάλμα, να τη θεωρήσουμε σαν να ήταν μικρότερη από κάθε ε>. Η προσέγγιση αυτή είναι εξαιρετικά ακριβής όσο ακριβής θα ήταν ένας αριθμητικός υπολογισμός της παραγώγου μιας συνάρτησης f() [α,β], κατά τον οποίο το d θα το παίρναμε φορές μικρότερο από το εύρος (β-α) του πεδίου ορισμού.

31 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 5 Παράδειγμα : Έστω ότι η συνάρτηση Ν(t) παριστάνει ένα πληθυσμό (π.χ. μιας πόλης ή μιας καλλιέργειας μικροβίων κ.λ.π.), συναρτήσει του χρόνου t. Εάν δεχθούμε ότι ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού είναι ανάλογος προς τον πληθυσμό, τότε θα έχουμε: dn/dtkn () όπου k η σταθερά αναλογίας. Εύκολα προκύπτει ότι η γενική λύση της () είναι: N(t)ce kt () Εάν τον τύπο () τον εφαρμόσουμε για τον πληθυσμό της γης, ο οποίος σύμφωνα με μια στατιστική, το 96 ήταν,6 9 άνθρωποι και ο οποίος αυξανόταν με ένα ρυθμό % ανά χρόνο, τότε θα έχουμε N(t)ce..t () Η σταθερά c υπολογίζεται εάν πάρουμε σαν αρχή του χρόνου t το ετος 96, οπότε θα έχουμε: N()c,6 9 άνθρωποι. Τότε η σχέση () γράφεται: N(t),6 9 e.t (4) Από τη σχέση (4) δεν μπορούμε να κάνουμε προβλέψεις για μεγάλα χρονικά διαστήματα, επειδή δεν λάβαμε υπ' όψη διάφορους παράγοντες που επηρεάζουν την αύξηση ενός πληθυσμού, όπως είναι π.χ. η τροφή, ο ζωτικός χώρος, η θνησιμότητα κ.λ.π. Μια καλύτερη περιγραφή της αύξησης ενός πληθυσμού μπορούμε να πάρουμε από τη Δ.Ε.: dn κ Nλ N με κ, λ> (5) dt Εάν θέσουμε κ/λμ η Δ.Ε. (5) γράφεται: dn λ Ν κn NκΝ dt κ μ (6) Από την (6) προκύπτει η Δ.Ε. () εάν θεωρήσουμε το Ν πολύ μικρό σε σύγκριση με N το μ, οπότε. Η Δ.Ε. (6) είναι χωριζόμενων μεταβλητών και η γενική λύση της m είναι: μ N (7) ce κt N Nμ μ/(c) P(l(c/k),μ/) t t Η σταθερά ολοκλήρωσης προσδιορίζεται από την αρχική συνθήκη Ν()Ν. Η γραφική παράσταση της (7) λέγεται λογιστική καμπύλη. Έχει δυο ασύμπτωτους Ν και Νμ,

32 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ (για t - και t αντίστοιχα), και ένα σημείο καμπής Ρ(t, Ν ), το οποίο προσδιορίζεται από την εξίσωση d N/dt. Η εξίσωση αυτή γράφεται: dn κ dn ( μν ) ή Ν μ/. dt μ dt Από την (7) προκύπτει τότε t lc/κ Παράδειγμα : Μια δεξαμενή έχει όγκο V5m και είναι τελείως γεμάτη με καθαρό νερό. Τη στιγμή t αρχίζει να εισρέει στη δεξαμενή άλμη από ένα σωλήνα με παροχή qlit/mi, με αποτέλεσμα η δεξαμενή να ξεχειλίζει και να εκρέει απ' αυτήν ίσος όγκος νερού ανά μονάδα χρόνου. Η συγκέντρωση του αλατιού στην άλμη είναι c,5gr/lit. Να βρεθεί η μάζα του αλατιού, η οποία βρίσκεται διαλυμένη στο νερό, που περιέχεται στη δεξαμενή, σε μια χρονική στιγμή t>. Πόση θα είναι η μάζα αυτή τη στιγμή tmi; Να παρασταθεί γραφικά η m(t). (Υποθέτουμε ότι το αλάτι, που περιέχεται στην εισρέουσα άλμη, διαχέεται ακαριαία σ' όλο τον όγκο της δεξαμενής ώστε η εκάστοτε συγκέντρωση αλατιού να είναι σταθερή σ' όλο τον όγκο της δεξαμενής). Λύση: Θεωρούμε ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα, από τη στιγμή t ως τη στιγμή tdt. Έστω ότι κατά το χρονικό αυτό διάστημα dt η μάζα του αλατιού που περιέχεται στη δεξαμενή μεταβάλλεται κατά dm. Η μεταβολή dm είναι: dm[μάζα που εισρέει από t ως tdt] - [Μάζα που εκρέει από t έως tdt] Η μάζα αλατιού, που εκρέει κατά το χρονικό διάστημα (t, tdt), είναι εκείνη που περιέχεται στο νερό που ξεχειλίζει κατά το χρονικό αυτό διάστημα. Από τη δεξαμενή ξεχειλίζει νερό με ρυθμό ίσο με το ρυθμό με τον οποίο προσάγεται άλμη στη δεξαμενή, δηλαδή ίσο με q. Επομένως, κατά τη διάρκεια dt του θεωρουμένου χρονικού διαστήματος, ξεχειλίζει όγκος νερού qdt. Αφού η συγκέντρωση είναι σταθερή σ' όλο τον όγκο της δεξαμενής, η τιμή της συγκέντρωσης θα είναι m/v, (όπου m η διαλυμένη μάζα του αλατιού και V ο όγκος της δεξαμενής). Άρα ο όγκος qdt του νερού που ξεχειλίζει σε χρόνο dt περιέχει μάζα αλατιού [m/v]qdt. Όμοια βρίσκουμε ότι η μάζα αλατιού που εισρέει κατά το θεωρούμενο χρονικό διάστημα είναι cqdt. Έχουμε λοιπόν: dm m cqdt V qdt ή dm qdt () m c H () είναι μια Δ.Ε. με χωριζομένες μεταβλητές. Μπορούμε να βρούμε τη γενική της λύση και στη συνέχεια να προσδιορίσουμε τη σταθερά από την απαίτηση να είναι m για t. (Πράγματι, αρχικά η δεξαμενή περιέχει καθαρό νερό και συνεπώς η μάζα m του εν διαλύσει αλατιού είναι μηδέν). Ισοδύναμος και συντομότερος τρόπος για την εύρεση της λύσης που ενδιαφέρει είναι να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα και των δυο μελών της (4) με όρια ως t στο δεξιό μέλος και ως m στο αριστερό. Έχουμε: V m cv t

33 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 7 m t dm q dt m l c m q l c c V V t m l q cv V t V m q cv e V t q m cv e V t Παράδειγμα 4: Όταν ένα σώμα κινείται μέσα σ' ένα ρευστό, το ρευστό ασκεί στο σώμα μια δύναμη F R που έχει την ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά προς τη ταχύτητα του σώματος, (αντίσταση του ρευστού). Το μέτρο της αντίστασης του ρευστού, υπό ορισμένες συνθήκες είναι ανάλογο της ταχύτητας του σώματος ενώ υπό ορισμένες άλλες συνθήκες 4 είναι ανάλογο του τετραγώνου της ταχύτητας. Είναι δηλαδή: F R κ v () F R κ v () όπου v η ταχύτητα του σώματος και κ, κ συντελεστές ανεξάρτητοι της ταχύτητας. Να υπολογιστεί, σε μια τυχαία χρονική στιγμή η ταχύτητα ενός σώματος μάζας m που πέφτει από ύψος h χωρίς αρχική ταχύτητα, α) Με την παραδοχή ότι η αντίσταση του αέρα δίνεται από την () και β) Με την παραδοχή ότι η αντίσταση του αέρα δίνεται από την (). Λύση: Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι: Fmg-F R Γράφοντας την επιτάχυνση ως γdv/dt, μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση Fmγ υπό τη μορφή: mg F m dv R () dt α) Αν η F R δίνεται από την (), η ()γίνεται: dv dv mg κ v m dt dt κ g v m Τη στιγμή t η ταχύτητα είναι v και τη στιγμή t η ταχύτητα ειναι v. Ολοκληρώνουμε λοιπόν και τα δυο μέλη της τελευταίας εξίσωσης με όρια ως t στο δεξιό μέλος και ως v στο αριστερό και παίρνουμε: v dv t κ g v m v m dv t κ mg v κ gm mg κ l v l t κ κ m Αφού για t είναι v, στην αρχή τουλάχιστον της κινήσεως θα είναι v<mg/κ. Στην περίπτωση αυτή, παραλείπουμε τα σύμβολα των απολύτων τιμών και έχουμε: (4 Ακριβέστερα οι (5) και (6) ισχύουν αντιστοίχως για μικρές και μεγάλες τιμές του αριθμού Reolds Re, ρvl ο οποίος ορίζεται από τη σχέση Re όπου ρ η πυκνότητα του ρευστού, το ιξώδες, v η ταχύτητα του σώματος και l κάποια γραμμική διάσταση του σώματος.

34 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ κ κ mg m l v t κ κ t m v e mg mg v e κ t m κ Η γραφική παράσταση της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου δίνεται στο σχήμα. Παρατηρούμε ότι όταν t η ταχύτητα τείνει σε μια οριακή τιμή v ορ mg/κ. Ποτέ το v δεν γίνεται μεγαλύτερο από mg/κ και επομένως πάντα ισχύει η παραδοχή v<mg/κ με την οποία παραπάνω παραλείψαμε το σύμβολο της απόλυτης τιμής από τη μεταβλητή των λογαριθμικών συναρτήσεων. Άρα η λύση που βρήκαμε ισχύει για κάθε t [,) V mg/k t β) Αν η F R δίνεται από την (), η () γράφεται: dv dv mg κ v m gdt dt κ v mg Ολοκληρώνοντας τα δυο μέλη της εξίσωσης αυτής με όρια και v στο αριστερό μέλος και ως t στο δεξιό, παίρνουμε: v κ d v mg mg g t (4) κ κ v mg Θέτουμε [κ /mg] / v και αναλύουμε τη συνάρτηση μέσα στο ολοκλήρωμα του αριστερού μέλους σε απλά κλάσματα: /[ -]A/[-]B/[] Βρίσκουμε κατά τα γνωστά, Α/, Β-/ και d c l l Στο κάτω όριο του ολοκληρώματος έχουμε v και επομένως, οπότε l l( ) Επομένως η (8) γίνεται τελικά: mg l κ gt (5)

35 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 9 κ Επειδή για t είναι v, θα είναι, τουλάχιστον στην αρχή της κίνησης v < mg η <, οπότε - -. Η (5) γράφεται τότε: κ l g t m e κ t m κ Αντικαθιστώντας την έκφραση mg v και λύνοντας ως προς v παίρνουμε τελικά: κg t m mg e v κg κ t m e Η έκφραση αυτή, αν πολλαπλασιάσουμε αριθμητή και παρανομαστή του κλάσματος του δεξιού μέλους επί e v κg t m γράφεται: κg κg t t m m mg e e mg κg tah κg κg t κ t t κ m m m e e Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής, για t, δίνεται στο σχήμα. Παρατηρούμε ότι όταν t, v v ορ mg mg Ποτέ το v δεν γίνεται μεγαλύτερο από και κ κ επομένως πάντα ισχύει η παραδοχή < με βάση την οποία θέσαμε - -. Η λύση που βρήκαμε ισχύει επομένως για κάθε t [.). V mg/k Παράδειγμα 5: Σ ένα σύστημα ορθογωνίων συντεταγμένων XOY να βρεθεί μια καμπύλη () της οποίας η επιφάνεια εκ περιστροφής γύρω από τον άξονα OX να έχει την εξής οπτική ιδιότητα: Κάθε φωτεινή ακτίνα με πηγή το σημείο Ο να ανακλάται παράλληλα προς τον άξονα OX. Λύση: Έστω Μ ένα σημείο της καμπύλης () με συντεταγμένες (,). Φέρουμε την εφαπτομένη στο Μ, η οποία τέμνει τον ΟΧ στο σημείο A, και την κάθετο στην εφαπτομένη στο σημείο Μ, η οποία τέμνει τον OX στο σημείο Β, (βλέπε αντίστοιχο σχήμα). t

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Σύμφωνα με τον νόμο της ανάκλασης πρέπει <ΟΜΒ<ΒΜΚφ (5. Επειδή η ΜΚ είναι παράλληλη προς τον άξονα ΟΧ έχουμε <ΒΜΚ<ΜΒΟ. Επίσης το τρίγωνο ΑΒΜ ειναι ορθογώνιο και επομένως <BΑΜ9-φω. Στη συνέχεια έχουμε: taω cotφ(τριγ. ΝΒΜ) BN MN BN BNOB-ONOB- αλλά ΟΒ(τριγ. ΟΜΒισοσκ.)ΟΜ-(τριγ. ΟΝΜορθ.) ON NM Άρα () Η Δ.Ε. () δεν ανήκει σε καμία από τις προηγούμενες περιπτώσεις. Μπορεί όμως να γίνει διαχωρίσιμη ως εξής: M(,) φ φ K 9 -φω φ A O N B d d ( ) Θέτουμε z dz dz z d z z(c ) (c ) c c Επομένως οι καμπύλες, που ικανοποιούν το πρόβλημα είναι παραβολές και είναι άπειρες σε πλήθος. d zc zc Προβλήματα Εφαρμογών ) Οι αμοιβάδες πολλαπλασιάζονται με "διχοτόμηση": κάθε αμοιβάδα, μετά παρέλευση, (κατά μέσο όρο), χρόνου τ από τη "γέννηση" της, διχοτομείται και δίνει δυο αμοιβάδες. Έστω ότι θέλουμε να μετρήσουμε τη μέση ζωή τ των αμοιβάδων. Για το σκοπό αυτό μετρούμε τον αριθμό Ν των αμοιβάδων σε μια καλλιέργεια τη στιγμή t και τη στιγμή tt και βρίσκουμε Ν και Ν αντίστοιχα. Να υπολογιστεί το τ. (Υπόδειξη: Σε χρόνο τ ο αριθμός των αμοιβάδων διπλασιάζεται.) (5 Με το σύμβολο <ΒΜΚ θα εννοούμε την γωνία που σχηματίζουν τα ευθύγραμμα τμήματα ΟΜ και ΜΒ

37 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης l Απάντηση : τ t N l N ) Όταν μια ακτινοβολία, (π.χ. ακτίνες Χ ή νετρόνια), διαπερνάει κάποιο υλικό πάχους d, η ένταση της Ι μειώνεται κατά di-μid, όπου μ σταθερός συντελεστής που εξαρτάται από τη φύση του υλικού. Αν η ακτινοβολία προσπίπτει με αρχική ένταση Ι σε μια επίπεδη πλάκα από κάποιο υλικό και βγαίνει από την πίσω επιφάνεια της πλάκας με ένταση Ι / να υπολογιστεί, (συναρτήσει του μ), το πάχος της πλάκας. Απάντηση: l/μ ) Να λυθεί το παράδειγμα, αν τη στιγμή t, όχι μόνο αρχίζει να εισρέει άλμη στη δεξαμενή αλλά ρίχνουμε στη δεξαμενή και μια μάζα στερεού αλατιού Μkg, και αμελητέου όγκου, σε σχέση με τον όγκο της δεξαμενής, η οποία διαλύεται με σταθερό ρυθμό r gr/mi. 4) Μια τορπίλη μάζας m εκτοξεύεται οριζοντίως με αρχική ταχύτητα v και επιβραδύνεται από μια δύναμη ανάλογη προς την ταχύτητα της. Υποθέτοντας ότι καμία άλλη δύναμη δεν ασκείται στη τορπίλη, βρείτε τη ταχύτητα της και το διάστημα που έχει διανύσει μετά παρέλευση χρόνου t από την εκτόξευση της. Αριθμητική εφαρμογή: v 6km/h, mkg. k 4 - kg/sec. k Απάντηση: v v e m t S vm k m e t k 5) Ο ρυθμός με τον οποίο ψύχεται ένα θερμό σώμα είναι ανάλογος της διαφοράς μεταξύ της θερμοκρασίας του σώματος και της θερμοκρασίας του μέσου που περιβάλλει το σώμα. Αν η θερμοκρασία κάποιου σώματος σε μια ώρα έπεσε από C σε 7 C και η θερμοκρασία του περιβάλλοντος είναι σταθερή και ίση με C, σε πόσο χρόνο θα πέσει η θερμοκρασία του σώματος στους C ; Απάντηση: Σε tl/l,h. 6) Ένας αλεξιπτωτιστής αρχίζει να πέφτει από ύψος h m και ανοίγει αμέσως το αλεξίπτωτο του. Το σύστημα αλεξιπτωτιστή - αλεξιπτώτου έχει μάζα m85kg. Η αντίσταση F R του αέρα δίνεται από το νόμο F R k v, όπου k - kg/sec σταθερός συντελεστής και v η (εκάστοτε) ταχύτητα του αλεξιπτώτου. Να υπολογιστεί η ταχύτητα v και το ύψος h του αλεξιπτωτιστή σε μια τυχαία χρονική στιγμή t. Να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις v(t) και h(t). g g Απάντηση: vt () [ e kt ] με kk /m ht h [ ] k k t g () e kt k 7) Nα λυθεί η προηγούμενη άσκηση αν ο αλεξιπτωτιστής δεν ανοίξει το αλεξίπτωτο του αμέσως, αλλά όταν φτάσει σε ύψος h 5m. Στην περίπτωση αυτή δεχθείτε ότι από το ύψος των h m ως το ύψος των h 5m, (η ροή είναι "τυρβώδης"), η αντίσταση του αέρα δίνεται από τη σχέση F A (T) /ρc D σv, όπου ρ η πυκνότητα του ρευστού, c D, αδιάστατος συντελεστής, και σ,4m η "μετωπική" επιφάνεια του αλεξιπτωτιστή.

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Από το ύψος των 5m και κάτω η ροή είναι "στρωτή" και ισχύει ότι η F R είναι ανάλογη της ταχύτητας, (βλ. προηγούμενη άσκηση).. ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ Δ.Ε. Μια άλλη κατηγορία Δ.Ε. ης τάξης, που μπορεί να επιλυθεί, είναι οι ομογενείς Ορισμός: Μια συνάρτηση μεταβλητών ff(,,, ) λέγεται ομογενής ως προς,,, με βαθμό ομογένειας ν εάν ισχύει f(λ, λ,,λ )λ ν f(,,, ) για κάθε πραγματικό αριθμό λ. Παραδείγματα: α) Η συνάρτηση ff(,) - 4 είναι ομογενής ως προς και με βαθμό oμογένειας ν4 διότι f(λ,λ)(λ) (λ)-(λ) (λ) (λ) 4 λ 4 ( - 4 )λ 4 f(,) β) Η συνάρτηση ff(,,z) z z είναι ομογενής με βαθμό ομογένειας ν, διότι f(λ,λ,λz)(λ)(λ) ( λ)( λz) (λ)(λ)(λz)λ z z λz λ f(,,z) γ) Η συνάρτηση ff(,)si- δεν είναι ομογενής, διότι δεν υπάρχει αριθμός ν τέτοιος ώστε: f(λ,λ)λ ν f(,) ή λsi(λ)-(λ)(λ)λ ν (si-) Ας θεωρήσουμε τώρα τη διαφορική εξίσωση : d d g (, ) h (, ) όπου οι συναρτήσεις g(,) και h(,) είναι ομογενείς του ίδιου βαθμού, έστω ν. Τότε θα έχουμε: g(λ,λ)λ ν g(,) g(,) ν g( λ, λ) λ και h(,) ν h( λ, λ) λ Αν στις δυο αυτές σχέσεις θέσουμε λ/ προκύπτει: g(,) ν g, h(,) ν h, και η εξίσωση () γίνεται: ()

39 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης ν * g, g, g d F d ν * h, h, h όπου g * g, και h * h, () Εάν θέσουμε R() μπορούμε να ανάγουμε την () σε Δ.Ε. χωριζόμενων μεταβλητών. Πραγματικά αν: ( ) d dr R ( ) ()R() d d R Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή του d/d στη () παίρνουμε: dr d R F( R) dr d F( R) R dr d l FR ( ) R dr FR ( ) R c () Από την (), ολοκληρώνοντας και λύνοντας ως προς R μπορούμε κατ αρχήν να βρούμε το R, (και επομένως και το ), ως συνάρτηση του. Παράδειγμα. Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε.: d d d Λύση: Έχουμε: d με R ( ) παίρνουμε R() d dr d d R οπότε η (4) γίνεται: dr d R R dr R d R R R R R Χωρίζοντας τις μεταβλητές βρίσκουμε: RdR d c R -l(-r )llc -R c - c (4) Παράδειγμα. Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. e e e Λύση: Επειδή στους εκθέτες εμφανίζεται ο λόγος / είναι απλούστερο στην περίπτωση αυτή να θέσουμε /R. Έχουμε τότε: R drddr d R dr d d (5)

40 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ d e e Εξ άλλου d d d e Διαιρώντας αριθμητή και παρανομαστή του κλάσματος αυτού δια και χρησιμοποιώντας την (5) βρίσκουμε: R R R R dr e Re e d Re R dr R R R d Re Re e R R ù Re Re l dr l e R dr e e dù e ù c R ù όπου ωr. Τελικά βρίσκουμε: c e με lc c Ασκήσεις: Για όσες από τις παρακάτω εξισώσεις είναι ομογενείς, να βρεθεί η γενική λύση.. (-)/ (Απ. l c/ ). ( )/ (Aπ. μη ομογενής). ( )/ (Aπ. c 4 - ) 4. ()/ (Aπ. c -) 5. ( )/ (Aπ. -c) 6. (Aπ. - l c) 7. ( ) / (Aπ. μη ομογενής) (Aπ. - l c d α β γ d α β γ.a Διαφορικές εξισώσεις της μορφής: () Με την αντικατάσταση X, Y όπου, σταθερές, που θα προσδιοριστούν κατάλληλα, η () γράφεται: dy α X β Υ α β γ () d α X β Υ α β γ Αν τα, επιλεγούν έτσι ώστε: α β γ και α β γ () τότε η () ανάγεται στην ομογενή διαφορική εξίσωση:

41 dy α Xβ Y dx X Y Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 5 (4) α β Για να μπορούμε από τις () να προσδιορίσουμε τα, πρέπει η ορίζουσα των συντελεστών των, να είναι διάφορη του μηδενός, δηλαδή πρέπει α β -α β. Αν αυτό δεν συμβαίνει, δηλ. αν α β -α β, τότε θα έχουμε α /α β /β. Ονομάζοντας π.χ. λ τη σταθερή τιμή αυτού του λόγου, έχουμε α λα και β λβ, οπότε η () γράφεται: d α β γ d λα ( β ) γ (5) Στην περίπτωση αυτή θέτουμε Rα β (6) οπότε dr d α β d d (7) Αντικαθιστώντας στην (5) τα α β και d/d από τις (6) και (7) βρίσκουμε, με απλές πράξεις: dr R γ βα d λ R γ (8) Η (8) είναι Δ.Ε. με χωριζόμενες μεταβλητές. d Παράδειγμα Να λυθεί η εξίσωση (9) d Λύση: Με την αντικατάσταση X, Y η (9) γράφεται: dy X Y () dx X Y και θέτοντας και - βρίσκουμε -/ και -/. Έτσι θα έχουμε X-/ και Y-/. Η () στη συνέχεια γίνεται: Y dy X Y X () dx X Y Y X Εάν θέσουμε RΥ/Χ, τοτε YRX dy dr dx dx X R και η () γράφεται: dr dx X R R R R R dr dx X Ολοκληρώνοντας και θέτοντας RX/Y, Y/ και X/ βρίσκουμε τελικά: arcta l l c d Παράδειγμα. Να λυθεί η εξίσωση d και να βρεθεί η μερική λύση που περνάει από το σημείο (, ). Λύση: Με την αντικατάσταση X, Y παίρνουμε από την () dy X Y dx XY ()

42 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παρατηρούμε ότι το σύστημα και - - δεν έχει λύση. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε R, οπότε d/ddr/d-. Η () γίνεται τότε dr R d R R Ολοκληρώνοντας βρίσκουμε: /() c. Για να περνάει η λύση από το σημείο (,) πρέπει να είναι /() c ή c- Η ζητούμενη λύση είναι λοιπόν ( ) Άσκηση Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. (Απ. c) 4 Παραδείγματα εφαρμογών των Ομογενών Δ. Ε. ) Διαγράμματα φάσεως Θεωρούμε την κίνηση ενός συστήματος με ένα βαθμό ελευθερίας που περιγράφεται από την Δ.Ε. ας τάξεως F(, ) () όπου η γενικευμένη συντεταγμένη. Η () είναι ισοδύναμη με το παρακάτω σύστημα Δ.Ε. πρώτης τάξης: και F(, ) () Μια λύση αυτού του συστήματος είναι η (t), (t). Θεωρούμε ένα ορθογώνιο σύστημα δυο αξόνων, όπου ο ένας άξονας παριστάνει την ταχύτητα και ο άλλος την θέση. Ο δισδιάστατος αυτός χώρος ονομάζεται φασικός χώρος ή χώρος των φάσεων. Σε κάθε χρονική στιγμή έχουμε ένα ζεύγος (, ) (, ) που ορίζει ένα σημείο του φασικού χώρου. Το σημείο αυτό ονομάζεται φασικό σημείο. Το σύνολο των σημείων από τα οποία περνάει το σύστημα κατά την διάρκεια της κίνησής του ορίζουν την καμπύλη φάσεως. Το σύνολο των καμπυλών ονομάζεται διάγραμμα φάσεως. Τρόπος εύρεσης των καμπυλών φάσεως: Από το σύστημα των Δ.Ε. () απαλείφοντας το χρόνο και διαιρώντας τις δύο εξισώσεις κατά μέλη θα έχουμε: F(, ) d F(, ) () d Ας προσδιορίσουμε το διάγραμμα φάσεως στην περίπτωση της απλής αρμονικής ταλάντωσης με απόσβεση. Η εξίσωση της κίνησης είναι K b με K, b > Κ είναι η σταθερά επαναφοράς του ελατηρίου και b μια σταθερά αναλογίας, αφού έχουμε θεωρήσει την απόσβεση ανάλογη της ταχύτητας. Στην περίπτωσή μας έχουμε: F(, ) K b. Θεωρούμε ότι m, και ότι η απόσβεση είναι μικρή έτσι ώστε b < 4K οπότε η () γράφεται: (4) d K b d Ομογενής Δ.Ε. πρώτου βαθμού. Έτσι:

43 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 7 K b K b d (5) d d dr Θέτουμε R() R() R. d d Επομένως η (5) γράφεται: dr (K br) dr R d R d (K br) dr K br R RdR d R R d R R br K RdR d. K br R Θα υπολογίσουμε πρώτα το αριστερό ολοκλήρωμα: RdR RdR (R b b) R b dr dr R br K R br K R br K R br K b dr d(r br K) b dr l ( R br K ) R br K R br K R br K b dr. R br K Στη συνέχεια υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα: dr (6) R br K b b R br K R K οπότε το (6) γράφεται 4 dr b b R K 4 και θέτοντας b b R K t θα έχουμε 4 b K dt dr 4 dt b b b b b t R K K t K K b K 4 ta b R b K 4.

44 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Άρα τελικά ( ) Έτσι θα έχουμε : ( ) και θέτοντας b R RdR l R br K R br K b ta. b b K K 4 4 b R l R b br K ta l C b b K K 4 4 R παίρνουμε την τελική λύση: b l b K ta l C b b K K 4 4 b ) Τροχιά μιας βάρκας κατά μήκος ενός ποταμού. π Θέλουμε να προσδιορίσουμε την καμπύλη πάνω στην οποία κινείται μια βάρκα η οποία έχει σχετική ταχύτητα ως προς το νερό, το ρεύμα του οποίου έχει ομοιόμορφη ταχύτητα υ κατά την αρνητική φορά. Το μέτρο της ταχύτητας της βάρκας υ υ β είναι σταθερό αλλά το διάνυσμα υ β υ β διευθύνεται πάντα προς την αρχή των αξόνων. Έστω ότι η βάρκα εισέρχεται από το σημείο (c,) και κατευθύνεται προς την αρχή των αξόνων. Η κίνηση της βάρκας μπορεί να αναλυθεί στους άξονες,. Στον άξονα κινείται με ταχύτητα d υβ, νβ cos θ () dt β

45 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 9 (το - οφείλεται στο ότι κινείται στην αρνητική κατεύθυνση του άξονα ΟΧ), ενώ στον d άξονα με υβ, ν π ν β si θ () dt Συνδυάζοντας τις () και () θα έχουμε: υ β d d ν π νβ si θ ν cos θ Όμως si θ,cosθ οπότε η () θα γραφεί: d d ν π ν ν β β δηλαδή τελικά έχουμε: που είναι ομογενής Δ.Ε. Λύνοντας την (4) θα έχουμε: ν π d d ν β ν π β ν β d d ν ν β π νβ ν π ν β ν β () ν π νβ (4) ν ν β ν Θέτουμε R() R() οπότε θα έχουμε: d d β β ν π ν dr dr ν π R νβr dr R. Έτσι η (5) γράφεται R d d ν d β β ν β (5)

46 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ν R ν R ν R ν ν ν R R ν ν β ( R R ) π β β π dr π d v π l K v â β vπ Θέτοντας: ( ) oπότε v β α, l R R l K R R K α α α α α K K K Πολλαπλασιάζουμε την (6) με - και έχουμε: -( )K α (- ) - K α (- ) - - -α /K (7) Προσθέτουμε τις (6) και (7): - -α /Κ K α α α υ K ζ α) Εάν θέλουμε η βάρκα να φθάσει στην αρχή των αξόνων, θα πρέπει () και αυτό συμβαίνει μόνο όταν -α> δηλ. >α υ υ υ β>υ α. β α β) Εάν α> δηλ. υ β <υ α τότε lim ()-, δηλ. η βάρκα δεν θα φθάσει στο σημείο (,) αλλά ούτε και στην απέναντι όχθη. γ) Εάν α τότε lim ()-K / H σταθερά K μπορεί να προσδιοριστεί από δοθείσες αρχικές συνθήκες, (c) ½ (K c α -c -α /K ) K c α -c -α K c -α Κ c -α ) Γραμμές Διανυσματικού πεδίου. Έστω A A(,, z) ένα διανυσματικό πεδίο. Γραμμές του διανυσματικού πεδίου A ονομάζουμε τις καμπύλες εκείνες που σε κάθε σημείο τους (,,z) η εφαπτομένη έχει την διεύθυνση του A. Αν το A παριστάνει μια δύναμη τότε θα μιλάμε για δυναμικές γραμμές, ενώ όταν το A παριστάνει την ταχύτητα ενός ρευστού τότε οι γραμμές του διανυσματικού πεδίου A μας δίνουν τις ρευματικές γραμμές. Οι Δ.Ε. των γραμμών ενός διανυσματικού πεδίου δίνονται από τις σχέσεις: d d dz A A A z Πράγματι: Έστω C μια γραμμή του διανυσματικού πεδίου A με διανυσματική παραμετρική εξίσωση: rt () ti () tj () ztk () Επειδή το εφαπτομενικό διάνυσμα dr () t της καμπύλης C είναι παράλληλο προς το διανυσματικό πεδίο A θα dt έχουμε: (6)

47 dr() t λ A d(t)/dtλa, d(t)/dtλa, dz(t)/dtλa z dt Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 4 Έστω ν(, ) ()î ( ) ĵ η ταχύτητα που επικρατεί στο σημείο,,z ενός πεδίου ροής. Θέλουμε να βρούμε τις ρευματικές γραμμές: d d d d Ομογενής Δ.Ε.. Λύνοντάς την έχουμε: d () d d dr Θέτουμε R R R οπότε η () γράφεται: d d dr R dr R R R R R R d R d R R R RdR d δηλαδή R Δ.Ε. χωριζομένων μεταβλητών. Οπότε: ( RdR d d R ) ( C C R ) C R R ( R ) C ( R ) C R C C 4 C C. Αυτή είναι η εξίσωση των ρευματικών γραμμών. d A d A dz A z Γραφική παράσταση του διανυσματικού πεδίου: υ ()i ( ) j Ρευματικές γραμμές του διανισματικού πεδίου υ

48 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης TΑΞΗΣ Η γενική μορφή των γραμμικών (6 Δ.Ε. ης τάξης είναι: d d P ( ) Q ( ) () d Αν Q() η Δ.Ε P ( ) ονομάζεται ομογενής γραμμική Δ.Ε. ης τάξης και d είναι χωριζομένων μεταβλητών. Για την λύση της Δ.Ε. () θα λύσουμε πρώτα την αντίστοιχη ομογενή, που είναι χωριζομένων μεταβλητών α) d d P ( ) Pd k d ( ) ομ P()d ce β) Για την λύση της Δ.Ε. () θα χρησιμοποιούμε τον γραμμικό μετασχηματισμό (7 ()g()y() επειδή η () είναι γραμμική και θέλουμε να διατηρήσουμε τον χαρακτήρα της. Η συνάρτηση g() θα προσδιοριστεί κατάλληλα, επιδιώκοντας η Δ.Ε. να λάβει πιο απλή μορφή και να είναι επιλύσιμη. Έχουμε gy g Y και επομένως: gy g YP()gYQ() gy (g P()g)YQ() Η παραπάνω Δ.Ε. απλοποιείται σημαντικά εάν επιλέξουμε την συνάρτηση g() έτσι ώστε: Pd ( ) g P()g g()c e δηλ. η g() πρέπει να είναι η λύση της ομογενούς. Οπότε έχουμε: (6 Η Δ.Ε. () ονομάζεται γραμμική διότι η πρώτη παράγωγος και η ίδια η συνάρτηση εμφανίζονται μόνο στην πρώτη δύναμη. (7 Η πιο γενική μορφή γραμμικού μετασχηματισμού είναι ()g()y()h() με Y() η νέα άγνωστη συνάρτηση και g(), h() συναρτήσεις που θα προσδιοριστούν επιδιώκοντας η νέα Δ.Ε. να έχει τέτοια μορφή ώστε να επιλύεται

49 Q ( ) e gy Q() Y() c P( ) d Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 4 d c Άρα P( ) d P( ) d ( ) e Qe ( ) d c () με cc c. Ένας άλλος τρόπος λύσης της Δ.Ε. () είναι ο εξής (8 : Προσπαθούμε το πρώτο μέλος να το γράψουμε σαν παράγωγο ως προς. Για να γίνει αυτό θα πρέπει να το πολλαπλασιάσουμε με κατάλληλη έκφραση. Μια τέτοια έκφραση είναι π.χ. η e P()d και έχουμε: P( ) d P( ) d P( ) d d d e Pd ( ) Q e Pd ( ) e e P( ) e Q( ) ( ) P( ) d P( ) d P ( ) d Pd ( ) e Q( ) e d c ( ) e Qe ( ) d c c> Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε.: - Λύση: Έχουμε P()-, Q() P()d- και τελικά () e [ e d c] e e c ce Το αντίστοιχο διευθύνον πεδίον είναι: c< c> c< Από το οποίο φαίνεται ότι μια σταθερή λύση είναι η -/ που προκύπτει από την γενική λύση για c. Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε.: (4/) 4 (8 Ο τρόπος αυτός ουσιαστικά βασίζεται στην έννοια του ολοκληρωτικού παράγοντα, που θα μελετηθεί στο Κεφάλαιο 4.

50 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Λύση: Έχουμε P()4/, Q() 4 P()d4l και τελικά: 9 5 4l 4l 4 c () e e d c c Από την μορφή της γενικής λύσης είναι φανερό ότι δεν υπάρχει μερική λύση που να ικανοποιεί αρχική συνθήκη της μορφής: (), αφού ο όρος c/ 4 απειρίζεται για. Έτσι λοιπόν οι ολοκληρωτικές καμπύλες τείνουν ασυμπτωτικά προς τον άξονα ΟΥ. Τα παραπάνω ήταν αναμενόμενα αφού το θεώρημα για την ύπαρξη και το μονοσήμαντο μιας Δ.Ε. ης τάξης: f(,) δεν εφαρμόζεται. Πράγματι εδώ έχουμε f(,)-4/ 4, και η συνάρτηση f(,) δεν είναι συνεχής για, δηλ. πάνω στα σημεία του άξονα ΟΥ. Επομένως δεν υπάρχει λύση που να ορίζεται από αρχική συνθήκη της μορφής (), δηλ. που να διέρχεται από τον άξονα ΟΥ. Εξαίρεση αποτελεί η λύση 5 /9, η οποία προκύπτει από την γενική λύση για c και είναι η μόνη που είναι παραγωγίσιμη στο σημείο. Παράδειγμα : Να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις φ() οι οποίες έχουν την ιδιότητα: t ϕ (t)dt ϕ () () α d dϕ dϕ Λύση: t (t)dt () d ϕ ϕ d ϕ ϕ () α d d d η οποία είναι γραμμική και βάσει του τύπου () θα έχουμε d d / ϕ () e e d c ϕ () ce () Η συνάρτηση αυτή πρέπει να ικανοποιεί την αρχική εξίσωση: α t ce dt ce t / / t t t c ep d cep α α α [ -α ]c ep ep c ep c-(α )ep α Τελικά φ()-(α )ep Ένας άλλος τρόπος, πιο σύντομος, για τον προσδιορισμό της σταθεράς c είναι ο εξής: Θέ- τουμε στη () α και έχουμε: φ(α) ce () Η εξίσωση () για α δίνει α φ(α) φ(α)-α (4) Από την () και (4) δι' απαλοιφής του φ(α) παίρνουμε: c-(α ) e α α α

51 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 45 Συχνά εμφανίζονται γραμμικές διαφορικές εξισώσεις στις οποίες η μια ή και οι δυο συναρτήσεις P() και Q() παρουσιάζουν άλμα ασυνέχειας. Εάν το είναι ένα τέτοιο σημείο ασυνέχειας, τότε είναι απαραίτητο η εξίσωση να λυθεί χωριστά για < και για >. Στη συνέχεια οι δυο λύσεις συναρμόζονται έτσι ώστε η () να είναι συνεχής στο. Αυτό επιτυγχάνεται με μια κατάλληλη εκλογή των αυθαίρετων σταθερών. Σε κάθε περίπτωση είναι αδύνατο να καταστεί η παράγωγος () συνεχής. Παράδειγμα 4: Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών Q(), () όπου: Q() > Λύση: Για έχουμε P() και Q(). Επομένως: () e { e d c} e e c ce Για > έχουμε P() και Q(). Επομένως: () ce Άρα η γενική λύση θα είναι: / ce () ce < Η συνένωση των δυο λύσεων απαιτεί: lim () lim () > lim lim { c e } > c e ½c e - c e - c -c e / Η αρχική συνθήκη θα επιβληθεί στην πρώτη λύση, διότι αυτή ισχύει για. Έχουμε: () /c c -/ και επομένως το c c e /-/e //(e -) Τελικά η λύση θα είναι: /( e ) () /( e ) e > Να λυθούν οι Δ.Ε. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

52 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ) - Απ. c / ) -cotsi Απ. sicsi ) e Απ. ce - e 4) si Απ. ce - si- cos 5) Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών ()P()(), () όπου P() > Προβλήματα Εφαρμογών ) Τοποθετούμε ένα σώμα που έχει θερμοκρασία 5 C σ ένα θάλαμο με σταθερή θερμοκρασία C. Εάν σε 5 λεπτά η θερμοκρασία του σώματος είναι 6 C, υπολογίστε α) σε πόσα λεπτά το σώμα έφτασε τους 75 C και β) τη θερμοκρασία του σώματος σε λεπτά. (Απ. α) t5,4 mi, β) Τ79,5 C. Το πρόβλημα αυτό, όπως και το επόμενο, λύνεται από την Δ.Ε. dt/dtk(t-t περ ), όπου Τ περ η θερμοκρασία περιβάλλοντος) ) Ένα σώμα με άγνωστη θερμοκρασία τοποθετείται σ ένα χώρο με σταθερή θερμοκρασία C. Εάν μετά από λεπτά η θερμοκρασία του σώματος είναι C και μετά από λεπτά είναι 5 C, υπολογίστε την άγνωστη αρχική θερμοκρασία του σώματος. (Απ. Τ - C) ) Ένα κύκλωμα περιλαμβάνει μια πηγή με ΗΕΔ sit Volts, μια αντίσταση Ω και μια αυτεπαγωγή,5 Ηer. Υπολογίστε το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα τη χρονική στιγμή t, εάν αρχικά ήταν 6 Αmpere. (Απ. I69/e -t /sit-/cost, Η αντίστοιχη Δ.Ε. είναι di/dt(r/l)ie/i 4) Τη στιγμή t ανάβουμε ένα ηλεκτρικό θερμοσίφωνα, ισχύος Ρ4Kw και χωρητικότητας 8lit. Έχουμε όμως ξεχάσει ανοικτή τη βρύση του ζεστού νερού από την οποία χύνεται νερό με ρυθμό q,5lit/mi. Το νερό που χύνεται έτσι από τον θερμοσίφωνα αναπληρώνεται με κρύο νερό από το δίκτυο, θερμοκρασίας Τ C. Να βρεθεί η θερμοκρασία του νερού στον θερμοσίφωνα τη χρονική στιγμή t. (Ειδική θερμότητα νερού ckcal/kg, Jouleαcal με α.4, Kw kjoule/sec, πυκνότητα νερού ρkg/lit). qρ αp t αp q e m Απάντηση: TT με αντίστοιχη Δ.Ε. dt dt (T T ) dt cqρ cvρ V.4 ΑΚΡΙΒΕΙΣ ή ΠΛΗΡΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.

53 Έστω η Δ.Ε. d d P (, ) Q (, ) Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 47 () Η () γράφεται P(,)dQ(,)d () Αν υπάρχει κάποια συνάρτηση F(,) τέτοια ώστε: P(,) F/ και Q(,) F/ () τότε το αριστερό μέλος της () είναι το ολικό διαφορικό (9 της συνάρτησης F και η () μπορεί να γραφεί με τη μορφή df. Η λύση της () είναι F(,)c (4) Υποθέτοντας ότι οι συναρτήσεις P(,) και Q(,) έχουν συνεχείς πρώτες μερικές παραγώγους, παίρνουμε από τις (): P F Q F και (5) Εάν δεχθούμε ότι η F έχει συνεχείς τις δεύτερες μερικές παραγώγους, τότε από το θεώρημα του Schwarz έχουμε: F F P Q και επομένως θα είναι (6) Η (6) είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι η () ολικό διαφορικό κάποιας συνάρτησης F. Όταν συμβαίνει αυτό, η () ονομάζεται ακριβής ή πλήρης διαφορική εξίσωση και η λύση της δίνεται από την (4). Ο τρόπος με τον οποίο προσδιορίζουμε τότε τη συνάρτηση F περιγράφεται στο παρακάτω παράδειγμα: Παράδειγμα : Να λυθεί η εξίσωση: d (8- ) (- ) d (7) Λύση: Η (7) γράφεται (- )d (8- )d (8) Έχουμε P- και P - Q8- και Q - P Q F F Επειδή υπάρχει κάποια συνάρτηση F με P και Q, της οποίας το ολικό διαφορικό είναι η (8). Για την εύρεση της F ακολουθούμε την εξής πορεία: (9 Το ολικό διαφορικό μιας συνάρτησης FF(,,, ) μεταβλητών,,, ορίζεται από τη σχέση: df F d F d F d ( H διατύπωση του θεωρήματος του Schwarz είναι η εξής: Εάν η συνάρτηση f(,) έχει συνεχείς μερικές F F παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης, τότε δηλ. ο υπολογισμός της δεύτερης μερικής F παραγώγου δεν εξαρτάται από την σειρά παραγωγίσεως.

54 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. F F F Έχουμε P ή -. Ολοκληρώνοντας τη συνάρτηση ως προς, (θεωρώντας το σταθερό), βρίσκουμε: ( ) d d d (9). Η F(,) είναι ίση με το ολοκλήρωμα (9) συν κάποια συνάρτηση φ() του : F(,) φ() () Πράγματι παραγωγίζοντας την () ως προς και παίρνοντας υπόψη ότι φ()/ επαληθεύουμε τη σχέση: F. Για να προσδιορίσουμε την φ() παραγωγίζουμε τη () ως προς και εξισώνουμε την παράγωγο αυτή με Q8- F dϕ - 8- d () Από την () προκύπτει dφ/d8 και φ4 () Αντικαθιστώντας τη () στην () βρίσκουμε: F(,) - 4 () Οι λύσεις της (7) είναι λοιπόν: - 4 c Άσκήσεις: Να εξετάσετε αν οι παρακάτω Δ.Ε. είναι πλήρεις και αν είναι να βρείτε τη γενική λύση τους.. ()d( )d. e de d. e de d 4. dd 5. (-)d()d d 6. d Απαντήσεις:. c 4. c. Δεν είναι πλήρης 5. Δεν είναι πλήρης. e c 6. arcta c

55 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 49.5 Ορθογώνιες τροχιές Σε πολλά προβλήματα της Φυσικής εμφανίζονται δυο οικογένειες καμπυλών τέτοιες ώστε κάθε καμπύλη της μιας οικογένειας τέμνει κάθετα κάθε καμπύλη της άλλης. Π.χ. αν θεωρήσουμε κάποιο "αστρόβιλο" δυναμικό πεδίο, (π.χ. πεδίο βαρύτητας ή ηλεκροστατικό), σε δυο διαστάσεις, δηλ. σ' ένα επίπεδο, οι τομές των ισοδυναμικών επιφανειών αποτελούν μια οικογένεια καμπυλών που τέμνουν κάθετα τις δυναμικές γραμμές. Επίσης σε διδιάστατα προβλήματα αστρόβιλης ροής ασυμπίεστου ρευστού οι καμπύλες κατά μήκος των οποίων η ρευματική συνάρτηση είναι σταθερή, (δηλ. οι ρευματικές γραμμές), τέμνουν κάθετα τις καμπύλες κατά μήκος των οποίων το δυναμικό ταχύτητας είναι σταθερό. Θεωρούμε λοιπόν μια μονοπαραμετρική οικογένεια επιπέδων καμπυλών: Φ(,,c) () και αναζητούμε μια άλλη μονοπαραμετρική οικογένεια επιπέδων καμπυλών: F(,,k) () που έχουν την ιδιότητα: κάθε καμπύλη της οικογένειας () να τέμνει κάθετα κάθε καμπύλη της οικογένειας (). Οι ζητούμενες καμπύλες ονομάζονται "ορθογώνιες τροχιές" των καμπυλών της οικογένειας (). Για να βρούμε τις ορθογώνιες τροχιές της () α) Βρίσκουμε τη Δ.Ε. που περιγράφει τις καμπύλες της οικογένειας (). Για το σκοπό αυτό παραγωγίζουμε την () ως προς και απαλείφουμε το c μεταξύ της () και της εξίσωσης που προκύπτει από την παραγώγιση, δηλ.: Φ (,,c) d d d f(,) () Φ (,,c) Φ (,,c) Φ(,,c) d d d β) Λύνουμε την Δ.Ε.: d (4) d f(, ) Σε κάθε σημείο (,) οι λύσεις της Δ.Ε. (4) και οι λύσεις της Δ.Ε. () θα έχουν κλίσεις των οποίων το γινόμενο θα είναι ίσο προς f(,) f (, ) Άρα σε κάθε σημείο, η λύση της (4) που περνάει από το σημείο αυτό είναι κάθετη προς τη λύση της (), που περνάει από το ίδιο σημείο. Συμπεραίνουμε ότι οι λύσεις της (4) είναι οι ζητούμενες ορθογώνιες τροχιές. Παράδειγμα : Να βρεθούν οι ορθογώνιες τροχιές των ομόκεντρων κύκλων: c Λύση: Παραγωγίζοντας την F(,,z) -c ως προς, παίρνουμε Η Δ.Ε. των ορθογωνίων τροχιών θα είναι λοιπόν / d/dd/ Ολοκληρώνοντας την εξίσωση αυτή βρίσκουμε:

56 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ llc k (με klc ) Στο παράδειγμα αυτό, οι αρχικές καμπύλες ήταν περιφέρειες κύκλου με κέντρο το σημείο (,) και ακτίνα c, και οι ορθογώνιες τροχιές τους είναι ευθείες με κλίση k που περνάνε από το σημείο (,), Σχ.. c k Σχ. Παράδειγμα : Να βρεθούν οι ορθογώνιες τροχιές των παραβολών c. Λύση: Παραγωγίζοντας την c παίρνουμε -c και βρίσκουμε, (λύνοντας την πρώτη από τις εξισώσεις αυτές ως προς c και αντικαθιστώντας το c/ στη δεύτερη), /. Η Δ.Ε. των ορθογωνίων τροχιών είναι λοιπόν -/ d-d. Σχ.

57 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 5 Ολοκληρώνοντας βρίσκουμε - /k. Οι αρχικές καμπύλες c ήταν, στην περίπτωση αυτή, παραβολές που περνούν από το σημείο (,) και οι ορθογώνιες τροχιές τους είναι ελλείψεις με κέντρο το σημείο (,), μεγάλο ημιάξονα παράλληλο προς τον OX και ίσο με k και μικρό ημιάξονα ίσο προς k Σχ... Παράδειγμα : Να δείξετε ότι η οικογένεια των κωνικών τομών είναι c c 5 αυτοορθογώνια με την έννοια ότι σε κάθε σημείο κάθε καμπύλης της οικογένειας υπάρχει άλλη καμπύλη της ίδιας οικογένειας, η οποία τέμνει την προηγούμενη καμπύλη στο εν λόγω σημείο κάθετα. Λύση: Παραγωγίζουμε την εξίσωση της οικογένειας ως προς και έχουμε: d 5 5 c c-5 c c 5 d Αντικαθιστούμε τις παραπάνω σχέσεις στην εξίσωση της οικογένειας και βρίσκουμε: ( )( -)-5 που είναι η Δ.Ε. της οικογένειας. Η εξίσωση αυτή παραμένει αμετάβλητη όταν η παράγωγος αντικατασταθεί με -/. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι η οικογένεια των ορθογώνιων τροχιών περιγράφεται από την ίδια διαφορική εξίσωση και επομένως η αρχική οικογένεια είναι αυτοορθογώνια. Άλλος τρόπος: Την Δ.Ε. ( )( -)-5 την γράφουμε σαν τριώνυμο ως προς α( ) β γ( )( -)-5 με α, β - -5 και γ-. Εάν f (,) και f (,) είναι οι δυο ρίζες του τριωνύμου αυτού, τότε το γινόμενο τους, ως γνωστόν, θα είναι α/γ()/(-)-. Από Σχ. την τελευταία σχέση συμπεραίνουμε ότι οι ολοκληρωτικές καμπύλες της Δ.Ε. f (,) τέμνουν κάθετα τις ολοκληρωτικές καμπύλες της Δ.Ε. f (,). Όμως οι δυο αυτές Δ.Ε. περιέχονται στην αρχική Δ.Ε., δηλ. τα δυο αυτά σύνολα των ολοκληρωτικών καμπυλών αποτελούν την αρχική οικογένεια καμπυλών και επομένως η οικογένεια αυτή είναι αυτοορθογώνια. Παρατήρηση: Εύκολα διαπιστώνουμε ότι για c>5 η οικογένεια των κωνικών τομών παριστάνει έλλειψη και για <c<5 υπερβολή, Σχ., (Για c< η εξίσωση της c c 5 οικογένειας είναι αδύνατη Ασκήσεις : ) Να βρεθούν οι ορθογώνιες τροχιές των παρακάτω οικογενειών καμπυλών. α) - c (Aπ. k) β) ce (Aπ. -k) γ) - c (Aπ. /k) ) Να βρεθεί η σχέση που συνδέει τις ορθογώνιες τροχιές μιας οικογένειας καμπυλών Φ(,,c) με την βάθμωση Φ(,,c).

58 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.6 Ορθογώνιες τροχιές στην περίπτωση πολικών συντεταγμένων Σε πολικές συντεταγμένες η εξίσωση της οικογένειας καμπυλών, των οποίων ζητούνται οι ορθογώνιες τροχιές, θα έχει την μορφή: Φ(r,θ,c) () Ας θεωρήσουμε την καμπύλη της οικογένειας αυτής, που περνάει από ένα τυχαίο σημείο Σ(r,θ). Αν Ψ είναι η γωνία, που σχηματίζει η εφαπτομένη της καμπύλης αυτής στο σημείο Σ, με την πολική ακτίνα rοσ, θα είναι, (από το τρίγωνο ΑΒΣ): rdθ taψ dr Β Η ποσότητα αυτή χαρακτηρίζει την κλίση της rdθ καμπύλης c ως προς την πολική ακτίνα. Η Δ.Ε. της οικογένειας των καμπυλών θα έχει τη Ψ Α μορφή: d r θ dr f(r, θ) () dr Σ(r,θ) dθ την οποία βρίσκουμε παραγωγίζοντας την () ως θ r προς θ και απαλείφοντας την c μεταξύ της () και Ο της εξίσωσης που προκύπτει από την παραγώγιση της (). Η Δ.Ε. των ορθογώνιων τροχιών θα είναι τότε: dθ r () dr f (r, θ ) Άσκηση : Να βρεθούν οι ορθογώνιες τροχιές για τις παρακάτω οικογένειες καμπυλών: ) rc(-cosθ) Απ. rkcos (θ/) θ ta ) r c εcosθ Απ. rk si θ ) re cθ Απ. (lr) k -θ ε.7 Πλάγιες τροχιές Θεωρούμε μια μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυλών: Φ(,,c) () και αναζητούμε μια άλλη μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυλών: F(,,k) () τέτοια ώστε κάθε καμπύλη της οικογένειας F να τέμνει κάθε καμπύλη της Φ υπό γωνία θ π/. Οι καμπύλες της οικογένειας F λέγονται πλάγιες τροχιές της οικογένειας Φ. Ας υποθέσουμε ότι η Δ.Ε. της () είναι: d d f (, ) ()

59 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 5 τότε η καμπύλη Κ της οικογένειας () που διέρχεται από το σημείο (,) έχει κλίση f(,) στο (,) και η εφαπτόμενη της καμπύλης στο σημείο (,) σχηματίζει γωνία φ με τον άξονα ΟΧ τέτοια ώστε taφf(,) φta - [f(,)]. Η εφαπτόμενη τώρα της πλάγιας τροχιάς Κ, που τέμνει την καμπύλη Κ στο σημείο (,) υπό γωνία θ, θα σχηματίζει με τον άξονα ΟΧ γωνία ωφθta - [f(,)]θ Τελικά η κλίση της πλάγιας αυτής τροχιά θα δίνεται από τη σχέση: ta ω ta ta Κ ( f (, ) ) θ f(,) taθ θ Κ f(,)ta θ και η Δ.Ε. των πλάγιων τροχιών θα είναι: ω d f (, ) ta θ φ d f (,) ta θ Παράδειγμα: Να βρεθεί η οικογένεια των πλάγιων τροχιών που τέμνει την οικογένεια των ευθειών c υπό γωνία π/4. Λύση: Βρίσκουμε, κατά τα γνωστά, την Δ.Ε. της οποίας λύση είναι η οικογένεια των ευθειών Φ(,,c)-c. Φ c Φ c Αντικαθιστούμε την f(,)/ με την έκφραση: π f(,) ta 4 π f(,)ta 4 d και η Δ.Ε. των ζητουμένων πλάγιων τροχιών είναι: d η οποία σαν ομογενής Δ.Ε. έχει λύση: l k ( ) ta Σε πολικές συντεταγμένες έχουμε rcosθ και rsiθ και η λύση παίρνει τη μορφή: l[k r ]-ta - (taθ) l[k r ]-θ rk e θ δηλ. οι ολοκληρωτικές καμπύλες είναι οι εκθετικές σπείρες.

60 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Άσκηση: Να βρεθεί η οικογένεια των πλάγιων τροχιών, που τέμνει την οικογένεια των κύκλων R υπό γωνία π/4. Απ. l( )ta - (/)c.8 Εφαρμογές των ορθογωνίων τροχιών ) Ηλεκτρομαγνητισμός. Ας θεωρήσουμε ένα δυδιάστατο ηλεκτρικό, (ή μαγνητικό), πεδίο ΕΕ(,) με δυναμικό VV(,). Οι ισοδυναμικές καμπύλες του πεδίου Ε ορίζονται σαν οι καμπύλες του επιπέδου ΟΧΥ, σε κάθε σημείο των οποίων το δυναμικό έχει σταθερή τιμή. Οι ισοδυναμικές καμπύλες δίνονται από την σχέση V(,)c, με c σταθερό. Οι ορθογώνιες τροχιές, οι κάθετες στις ισοδυναμικές καμπύλες δίνουν το ηλεκτρικό πεδίο. Συγκεκριμένα η ένταση Ε του ηλεκτρικού πεδίου είναι διάνυσμα εφαπτόμενο των ορθογωνίων τροχιών και κάθετο στις ισοδυναμικές καμπύλες. Παράδειγμα: Θεωρούμε ένα φορτίο Q τοποθετημένο στην αρχή Ο ενός συστήματος α- ναφοράς ΟΧΥ. Το δυναμικό σ' ένα σημείο (,) του επιπέδου δίνεται από τον τύπο Vk/r όπου k σταθερά και r η απόσταση του σημείου (,) από την αρχή Ο. Οι ισοδυναμικές καμπύλες προκύπτουν από την σχέση Vk/rc rk/c c όπου c (k/c ), δηλ. οι εξίσωση των ισοδυναμικών καμπυλών είναι: Φ(,,c) -c () Για να βρούμε τις ορθογώνιες τροχιές, παραγωγίζουμε την () ως προς :

61 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 55 d Φ (,,c) d Διεύθυνση της f(,)-/ έντασης Ε Θεωρούμε τώρα την Δ.Ε. -/f(,)/ d/d/ Ισοδυναμικές- c καμπύλες Επομένως οι ορθογώνιες τροχιές των ισοδυναμικών καμπυλών είναι ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Γνωρίζουμε ότι η ένταση του ήλεκτρικού πεδίου ορίζεται από την βάθμωση του δυναμικού: E V V V i j k k r i jk r r r και διαπιστώνουμε ότι πράγματι η έ- νταση του ηλεκτρικού πεδίου είναι διάνυσμα εφαπτομενικό των ορθογωνίων τροχιών. ) Μηχανική των ρευστών. Θεωρούμε τις ισοδυναμικές καμπύλες ενός ρευστού, δηλ. τις καμπύλες σε κάθε σημείο των οποίων το δυναμικό του ρευστού είναι σταθερό. Τότε οι ορθογώνιες τροχιές των ισοδυναμικών καμπυλών είναι οι ρευματικές γραμμές, οι οποίες αποτελούν τις τροχιές που ακολουθούν τα μόρια του ρευστού κατά τη διάρκεια της ροής του ρευστού. ) Θερμική αγωγιμότητα. Ας θεωρήσουμε μια μεταλλική πλάκα, της οποίας τα σημεία δεν έχουν την ίδια θερμοκρασία. Η οικογένεια των καμπυλών, σε κάθε σημείο των ο- ποίων, η θερμοκρασία έχει την ίδια τιμή, λέγονται ισοθερμικές καμπύλες. Η οικογένεια των ορθογωνίων καμπυλών είναι οι καμπύλες κατά μήκος των οποίων διαδίδεται η θερμότητα..9 ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ BERNOULLI ( ) Η γενική μορφή της εξίσωσης αυτής είναι: d α P() Q() α R () d Αν α τότε η Δ.Ε. () είναι γραμμική. Αν α τότε είναι γραμμική ομογενής, (χωριζομένων μεταβλητών) Αν όμως α, τότε η () είναι μη γραμμική. Για να μετατραπεί σε γραμμική πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα μη γραμμικό μετασχηματισμό. Δοκιμάζουμε τον απλούστερο μη γραμμικό μετασχηματισμό u β και έχουμε : P Q βu β- u Pu β Qu αβ u u u αββ β β

62 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Καταλήξαμε πάλι σε εξίσωση Beroulli. Τώρα όμως έχουμε στη διάθεση μας την παράμετρο β που από εμάς εξαρτάται τι τιμή θα της δώσουμε έτσι ώστε η Δ.Ε. να αναχθεί σε γραμμική Δ.Ε. ομογενή ή όχι. Έτσι έχουμε τις εξής δυο επιλογές: α) αβ-β β(α-) β αδύνατη διότι η δεν είναι λύση β) αβ-β β (γραμμική) α Άρα η εξίσωση Beroulli γραμμικοποιείται εάν θέσουμε: u α και έχουμε: u (-α)p()u(-α)q() η οποία λύνεται βάσει του τύπου () της παραγράφου.. Άλλος τρόπος: Εάν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της () με -α, ώστε ο τελευταίος της όρος να γίνει ανεξάρτητος του, τότε θα έχουμε: α α -α P() -α Q() ( ) P() Q() α απ όπου είναι φανερό ότι μετατρέπεται σε γραμμική με την αντικατάσταση u -α u α Παρατήρηση: Αν χρησιμοποιήσουμε γραμμικό μετασχηματισμό π.χ. gu, τότε η εξίσωση του Beroulli παραμένει μη γραμμική, αλλά υπάρχει το ενδεχόμενο να λύνεται διαλέγοντας κατάλληλα την συνάρτηση g(). Έτσι η εξίσωση του Beroulli με τον μετασχηματισμό gu γράφεται: gu g u PguQg α u α ο δε γραμμικός όρος ως προς u, (g -Pg)u μπορεί να απαλειφθεί αν θέσουμε Pd g Pg g e ( ) οπότε τελικά θα έχουμε u Qg α- u α που είναι διαχωρίσιμη και άρα πάντα λύνεται. Παράδειγμα: Να λυθεί η Δ.Ε. e Λύση: Είναι Beroulli με P(), Q()e, α/. α uu Θέτουμε u u u και έχουμε uu u e u u u e (γραμ. Δ.Ε. ης τάξης) ue ce / e ce () Χρησιμοποιώντας τον γραμμικό μετασχηματισμό gu βρίσκουμε: gu g ugue (gu) ½ gu (g -g)ue (gu) ½. Θέτουμε g -g ge και έχουμε e u e e / u ½ u -½ u e / u -/ du e / d u ½ e / c u(e / c) Τελικά gue (e / c) (e ce / ) Εφαρμογή: Ποιά είναι η μερική, (ή ειδική λύση), της παραπάνω Δ.Ε. που περνάει από το σημείο (,), δηλ. ικανοποιεί την αρχική συνθήκη

63 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 57 () () Εφαρμόζοντας την () στην () προκύπτει (c) c ή c- με αντίστοιχες μερικές λύσεις e και (e -e / ) βλέπε. Σχ.. Από το σημείο (,) του επιπέδου OXY περνάνε δυο διαφορετικές λύσεις ενώ πληρούνται εκεί όλες οι συνθήκες ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης αφού τόσο η f(,) e όσο και η παράγωγος της ως προς f e l Σχ. ορίζονται και είναι συνεχείς σ όλο το ημιεπίπεδο -<<, >. Πάνω στον άξονα OX () είναι εξασφαλισμένη η ύπαρξη λύσης, (η f είναι συνεχής και για ) όχι όμως και η μοναδικότητα, αφού παράγωγος f/ απειρίζεται στο ίδιο όριο. Παραβίαση του μονοσημάντου λοιπόν μπορεί να συμβεί μόνο πάνω στον οριζόντιο άξονα, ενώ απ όλα τ άλλα σημεία του θετικού ημιεπιπέδου (>) θα περνάει μια μoναδική λύση. Η διπλή λύση για το πρόβλημα των αρχικών τιμών () εξηγείται από την παρουσία της πλειότιμης συνάρτησης καθώς και από τη χρήση του μετασχηματισμού u, που δεν ορίζει μια αμφιμονοσήμαντη σχέση. Για να γίνει αμφιμονοσήμαντη αυτή η απεικόνιση θα πρέπει να δεσμευτούμε σ ένα ορισμένο πρόσημο στη σχέση u± και με το ίδιο αυτό πρόσημο να ερμηνεύσουμε την τετραγωνική ρίζα που εμφανίζεται στη Δ.Ε. Εάν διαλέξουμε το θετικό πρόσημο, (όπως κάναμε), τότε η συνάρτηση u θα πρέπει να είναι παντού θετική και αν αυτό δεν συμβαίνει θα πρέπει να κρατήσουμε μόνο εκείνο το κομμάτι της που είναι πάνω από τον άξονα OX. Από την έκφραση: ue ce / βλέπουμε αμέσως ότι η u είναι παντού θετική c αλλά αποκτά και αρνητικό κομμάτι c<. Αυτή είναι η περίπτωση της u() που αντιστοιχεί στη λύση (c-) και που η γραφική της παράσταση δίνεται από το παρακάτω σχήμα, όπου η u() είναι αρνητική για όλα τα που είναι αριστερά του σημείου μηδενισμού l(-c). Η άρση του παράδοξου είναι τώρα προφανής. Από την λύση ()(e -e / ) του Σχ. θα πρέπει να κρατήσουμε μόνο το τμήμα της από το σημείο μηδενισμού και μετά διότι μόνο σ αυτή την περιοχή η συνάρτηση u μπορεί να είναι θετική κι επομένως συνεπής με τον ορισμό της ως η θετική τετραγωνική ρίζα του.

64 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ u - l Σχ. Ασκήσεις: Να λυθούν οι Δ.Ε.: ) Aπ. ) - 4 / ce Απ / c 5 /9 Εφαρμογές της Δ. Ε. του Beroulli ) Κίνηση ενός σώματος σε κεκλιμένο επίπεδο Θεωρούμε την κίνηση ενός σώματος σε κεκλιμένο επίπεδο. Οι δυνάμεις τις οποίες δέχεται το σώμα είναι το βάρος του Β, η δύναμη της τριβής T και η αντίσταση του αέρα. Από το δεύτερο νόμο του Newto θα έχουμε: m ds Fmα Β -T-A () dt N mg cos θ T μn T μmgcosθ (μσυντελεστής τριβής). Την αντίσταση του αέρα την θεωρούμε ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας, δηλαδή ds A k με k >. Άρα η () γράφεται: dt d s ds d s k ds m mgsi θ μmgcosθ k gsi g cos θ μ θ () dt dt dt m dt

65 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 59 Οι ποσότητες g,θ,μ είναι σταθερές. Επομένως η σχέση () μπορεί να γραφεί στην μορφή d s λ dt ds h dt k όπου h και λ gsiθ-μgcosθ. m Η ποσότητα gsiθ-μgcosθ είναι θετική αφού το σώμα κινείται προς τα κάτω. Θέτοντας ds dν ν(t) θα έχουμε λ h ν () dt dt Αν μας ενδιαφέρει η ταχύτητα του σώματος σαν συνάρτηση της απόστασης που αυτό έχει διανύσει, τότε ψάχνουμε να βρούμε την ν ν(s). Οπότε: dν dν dt dν dν dν ν. ds dt ds ν dt dt ds Έτσι η () γράφεται: dν dν λ ν λ h ν h ν (4) ds ds ν Αυτή είναι μια Δ.Ε. Beroulli με P(s) h,q(s) λ και α. Θέτουμε d ( ) ν du ν u u u ds ds Οπότε η (4) γράφεται: du λ du u h u λ h u du du λ h u h u λ ds u ds ds ds Η διαφορική αυτή εξίσωση είναι Γραμμική Δ.Ε. ης τάξης. Η λύση της είναι: h ds h ds λ h s h s u(s) e e ds C e λ e ds C h s λ h s h s λ u(s) e e C Ce (5) h h h s λ ν u u ν ν (s) Ce Επειδή επομένως η (5) γράφεται h. Αν δίνεται ότι ν( ) ν τότε θα έχουμε o

66 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Έτσι τελικά έχουμε ότι: ( λ h λ h ν o ) C C ( ν ) ο. λ h λ h h s h s ( e ) ν e h s ν (s) ( ν o ) e o. λ h h s h s ( e ) ν e λ Άρα για την ταχύτητα έχουμε ν(s) o. h ) Κίνηση σφαίρας σε ρευστό Θεωρούμε την κίνηση μιας σφαίρας που εισέρχεται την χρονική στιγμή t σε ένα υγρό μέσο, όπου υφίσταται δύναμη τριβής. Ένας σχετικά ρεαλιστικός νόμος τριβής που συνδυάζει τόσο την συμπεριφορά για μικρές ταχύτητες ( F ~ υ ), όσο και για μεγάλες ταχύτητες ( F ~ υ ) είναι F-λυ-μυ, όπου το πρόσημο στο δεύτερο όρο αποδίδει τη φορά της κίνησης μόνο για κίνηση προς τα δεξιά ( υ > ). Θέλουμε να προσδιορίσουμε το νόμο απόσβεσης της ταχύτητας. Ο νόμος του Newto θα γραφεί: dυ dυ λ μ m λυμυ Fmα υ υ dt dt m m () Θέτοντας λ λ ν λ μ m γ, ν m μ γ λ m μ η () γράφεται dυ γ γυ υ dt ν () γ Δ.Ε. Beroulli με P () γ,q() και α. Έτσι θέτουμε ν υ u u u () dυ dυ du du Από την () θα έχουμε dt du dt u dt. du γ du γ du γ Η () γράφεται: γ γu γu u dt u ν u dt ν dt ν Γραμμική Δ.Ε. ης τάξης. Λύση της είναι η: γdt γdt γt γt γt γt γt u e γ e dt C e e dt C e e C Ce. ν ν ν ν Επομένως υ. Αν τη χρονική στιγμή t έχουμε υ( ) υo u γt Ce ν υo υo τότε υo υoc υoc C. Έτσι τελικά: ν ν υ ν C o ν ν υ (t) γt ν υ o γt ν υ o γt ν γt e e e e ν υ o ν ν νυo ν υo υo

67 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 6. ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ RICATTI ( ) Η γενική μορφή της εξίσωσης αυτής είναι: α() β()γ() ( () ) Εάν α() η () είναι γραμμική ) Εάν γ() η () είναι Beroulli Όπως και στην περίπτωση της εξίσωσης Beroulli, η λύση της () θα μπορούσε να αναζητηθεί χρησιμοποιώντας γραμμικούς μετασχηματισμούς της μορφής () g()y()h() () για να διατηρηθεί η μορφή της εξίσωσης. Εδώ η συνάρτηση Y() θεωρείται η νέα άγνωστη συνάρτηση και οι g(), h() συναρτήσεις που μπορούμε να τις προσδιορίσουμε έτσι ώστε η αρχική Δ.Ε. να γίνει πιο απλή και ίσως επιλύσιμη. Ας εξετάσουμε πρώτα την ειδική περίπτωση ()Y()h() () τότε η () γράφεται Y ()h ()α()[y()h()] β()[y()h()]γ() Y ()α()y ()[ β () α ()h()] Y() α()h ()β()h()γ()-h () (4) Η Δ.Ε. (4) μπορεί να γίνει απλούστερη εάν η ελεύθερη συνάρτηση h() επιλεγεί έτσι ώ- στε: h () α()h ()β()h()γ() (5) οπότε η (4) γίνεται: Y α()y [β()α()h()]y (6) που είναι της μορφής Beroulli με α και συνεπώς επιλύσιμη. Όμως η h() πρέπει να ικανοποιεί την (5) που δεν είναι παρά η αρχική εξίσωση. Από την άλλη μεριά η h() δεν χρειάζεται να είναι η γενική λύση της (5) αλλά μια οποιαδήποτε μερική λύση που σε πολλές περιπτώσεις πρακτικού ενδιαφέροντος η ανεύρεση μιας τέτοιας λύσης δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολη. Επομένως εάν η ()h() είναι η υποτιθέμενη γνωστή μερική λύση της (), τότε ο μετασχηματισμός: Y (7) οδηγεί στην εξίσωση Beroulli: Y α()y [β()α() ]Y (8) η οποία λύνεται πάντα θέτοντας Yu /(-α) με α δηλ.y/u. Τελικά θα έχουμε: u και η αρχική εξίσωση Ricatti μετατρέπεται σε γραμμική. Εάν στην αρχική εξίσωση () χρησιμοποιήσουμε τον μετασχηματισμό () θα πάρουμε την εξίσωση: ) Η εξίσωση αυτή εμφανίζεται στη θεωρία της διάχυσης νετρονίων, στην ηλεκτρομαγνητική θεωρία και στην οπτική.

68 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ g α h β hγh Y αgy β αh Y g (9) g που είναι και πάλι τύπου Ricatti. Τώρα όμως έχουμε στη διάθεση μας δυο ελεύθερες συναρτήσεις g() και h() με τις οποίες μπορούμε να μηδενίσουμε δυο συντελεστές της (9). Συγκεκριμένα: α h β hγh h αh βhγ () g g g βαh- β α h () g g Όπως και προηγούμενα η () ικανοποιείται με την εκλογή h () όπου μια οποιαδήποτε λύση της αρχικής εξίσωσης, ενώ από την () προκύπτει: d ( β α ) g e () Με αυτές τις εκλογές η (9) καταλήγει στη διαχωρίσιμη εξίσωση: Y αgy της οποίας η λύση είναι: Y (4) α gd c Βάσει των (), () και (4) παίρνουμε την γενική λύση: [ () () ] d β α g e [ () () ] d (5) β α α gd c ()e α d c Παράδειγμα: Αφού βρείτε μια μερική λύση της εξίσωσης: -()( ) () κατασκευάστε μετά τη γενική λύση. Λύση: Επειδή οι συντελεστές της Δ.Ε. () είναι πολυώνυμα του είναι αρκετά λογικό να αναζητήσουμε μια μερική λύση υπό μορφή πολυωνύμου ή για να κάνουμε τα πράγματα πιό εύκολα, υπό μορφή μονωνύμου. Τότε όμως ο εκθέτης αυτού του μονωνύμου δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος του διότι η δύναμη που προκύπτει από τον όρο δεν θα μπορεί να απαλειφθεί με καμμιά άλλη, αφού όλες θα είναι μικρότερες της. Δοκιμάζοντας σαν μερική λύση την k προκύπτει k και επομένως: Θέτουμε τώρα στην () την έκφραση: Y Y και θα έχουμε: Y (Y) -()(Y) Y Y -()Y-() Y Y -Y () Η () είναι εξίσωση Beroulli αλλά είναι και διαχωρίσιμη. Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο το αποτέλεσμα είναι: ce () ή θέτοντας από την αρχή η () γίνεται: u

69 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 6 Άρα u u ( ) ( ) u u u u u u u u u -u- (γραμμική) u u e e d c e [ e c] c u() e e u ce e c Παρατήρηση: Η αναφερθείσα επίλυση της εξίσωσης του Ricatti απαιτεί την γνώση μιας μερικής λύσης, πράγμα που δεν είναι πάντα κατορθωτό. Όμως με τον μετασχηματισμό: u α u η εξίσωση του Ricatti μετατρέπεται σε γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης, της οποίας ο τρόπος λύσης αναφέρεται σε επόμενα κεφάλαια. Πράγματι: uu u α u α u α u και η εξίσωση του Ricatti α() β()γ() γράφεται: uu u α u u β u α u α u α u α u u α β u γα u α Ασκηση: Να λυθεί η Δ.Ε. ) - Απ. c ) Προσπαθήστε να λύσετε την εξίσωση του Ricatti α() β()γ() χρησιμοποιώντας τον μη γραμμικό μετασχηματισμό u λ λ R Εφαρμογές της Δ. Ε. του Ricatti) Θα δείξουμε ότι η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrödiger σε μια διάσταση μπορεί να γραφτεί ως Δ.Ε. Ricatti κάνοντας έναν κατάλληλο μετασχηματισμό. Η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrödiger σε μια διάσταση γράφεται: d ψ d ψ m V() ψ() Eψ() [ E V() ] ψ() () m d d Θα κάνουμε τον μετασχηματισμό: πi πi u()d πi u()d ψ Ae ψ A u()e πi πi ψ A u() e Οπότε η () γράφεται: u()d πi A e πi u()d du 4π A d u ()e πi u()d Ae πi u()d πi u ()

70 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4π u A e πi u()d Ae πi u()d πi u () πi m d u() [ E V() ] Ae π π π π 4 i mi 4 i u () u () [ E V() ] u () u () mi [ E V() ] u 4π i mi () u () [ E V() ] π π πi mi u () u () [ E V() ] () π Αυτή είναι Δ.Ε. Ricatti. Ας μελετήσουμε την περίπτωση του ελεύθερου σωματίου. Στην περίπτωση αυτή το δυναμικό είναι μηδέν δηλαδή V (), οπότε η () γράφεται: πi mi πi mi u () u () E u () u () E () π π k me Η εξίσωση αυτή έχει ως μερική λύση την uo με k. π k Επομένως κάνουμε τον μετασχηματισμό u () u () φ. φ π φ Έτσι η () γράφεται: φ φ φ πi k mie πi k k φ mie φ π π φ 4π πφ π πi i i mie πi i me i mie φ k k k φ π φ π φ π φ π πi i πi πi φ k φ kiφ φ ikφ φ φ Γραμμική Δ.Ε. ης τάξης. Η λύση της θα είναι φ e e πi e d C e πi e ik Ce ikd Ce πi e ik ik ik ik ik ik π ik ik π k k e φ Ce. Οπότε u κ φ π ik π π π Ce C e k k d π ik k u C e. iπ d k π Επομένως για την κυματοσυνάρτηση θα έχουμε τελικά ψ Ae ψ Ae πi πi d π ik u()d C e d iπ d k π C e k ik Ae ik AC π e k ik e k d π ik ACe ik k ikd Aπ e k ik ik d C. k π

71 Διαφορικές Εξισώσεις ης τάξης 65 Aπ ik ik Θέτοντας AC α και β θα έχουμε τελικά ψ αe βe. k

72 4. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ (Πολλαπλασιαστής Euler) 4. Γενικά Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την Δ.Ε. της μορφής: d P (, ) () d Q (, ) που δεν είναι πλήρης. Τότε η έκφραση P(,)dQ(,)d () δεν είναι ολικό διαφορικό κάποιας συνάρτησης F(,). Παρ' όλα αυτά η () μπορεί να λυθεί αν μπορούμε να βρούμε μια συνάρτηση μ(,) τέτοια ώστε, πολλαπλασιάζοντας τη () επί μ(,) να παίρνουμε ένα ολικό διαφορικό, δηλαδή να έχουμε: df F d F d μpdμqd και η διαφορική εξίσωση επιλύεται έχοντας σαν λύση την F(,)c H συνάρτηση μ(,) ονομάζεται ολοκληρωτικός παράγοντας. Για να βρούμε την μ(,) παρατηρούμε ότι: μp F, μq F F μ P P μ, F μ Q μ Q και από το θεώρημα του Schwarz προκύπτει: μ P μ Q P μ Q μ () Η σχέση () είναι μια διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους και με άγνωστη συνάρτηση την μ(,). Η επίλυση όμως της () είναι στις περισσότερες φορές δυσκολότερη από την επίλυση της αρχικής (). Παράδειγμα: Να λυθεί η Δ.Ε. l d d (4) Λύση: Η (4) γράφεται dld (5) P P/ Ql Q/ l Επειδή P/ Q/ η (5) δεν είναι ολικό διαφορικό. Ας πολλαπλασιάσουμε την (5) επί μ(,)/. Βρίσκουμε: dld (6) οπότε μp / (μp)/ / μql (μq)/ / Παρατηρούμε ότι (μα)/ (μβ)/ και επομένως η (6) είναι ολικό διαφορικό. Έχουμε τότε F d P F () l ()

73 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 F dϕ Επειδή l μ Q l συμπεραίνουμε ότι d d ϕ ϕ c Άρα F(,) d lc Οι λύσεις της (5) είναι λοιπόν lc 4. Παρατηρήσεις για την εύρεση του ολοκληρωτικού παράγοντα Ολοκληρωτικοί παράγοντες για ορισμένες απλές μορφές. Κάθε Δ.Ε. της μορφής () έχει άπειρους ολοκληρωτικούς παράγοντες αλλά πολλές φορές είναι πρακτικά δύσκολο να βρούμε έστω και ένα. Δεν υπάρχει γενική μέθοδος για την εύρεση του μ(,). Σε κάθε περίπτωση πρέπει, (συνήθως μετά από πολλές δοκιμές και διορθώσεις), να μαντέψουμε την κατάλληλη μορφή του ολοκληρωτικού παράγοντα. Για τις παρακάτω απλές μορφές έχουμε: α) Η μορφή d-d με μ(,)-/ μετατρέπεται σε d(/) () με μ(,) / μετατρέπεται σε d(/) () με μ(,)-/ μετατρέπεται σε dl(/) () με μ(,)-/( ) μετατρέπεται σε d arcta (4) β) Η μορφή d d με μ(,)/ μετατρέπεται σε dl() (5) με μ(,)/() (>) μετατρέπεται σε d ( )( ) (6) με μ(,)/( ) μετατρέπεται σε d l ( ) (7) με μ(,)/( ) (>) μετατρέπεται σε d ( )( ) (8) γ) Η μορφή αd βd με μ(,) α- β- μετατρέπεται σε d( α β ) (9) Οι μορφές αυτές συνήθως εμφανίζονται μέσα σε μια πιο πολύπλοκη Δ.Ε. Δοκιμάζουμε τότε αν κάποιος από τους ολοκληρωτικούς παράγοντες της απλής αυτής μορφής είναι ο- λοκληρωτικός παράγοντας και για ολόκληρη την εξίσωση. Παράδειγμα : Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. ( -)dd Aπάντηση: Για να εμφανιστεί μια από τις παραπάνω παραστάσεις γράφουμε τη Δ.Ε. υπό τη μορφή -(d-d) d. Δοκιμάζουμε τους ολοκληρωτικούς παράγοντες

74 4. Ολοκληρωτικός Παράγοντας 69 ()-(4) του d-d και παρατηρούμε ότι η συνάρτηση μ(,)/ είναι ολοκληρωτικός παράγοντας για ολόκληρη την εξίσωση. Ολοκληρώνοντας βρίσκουμε: c Παράδειγμα : Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. (- )d ( )d Απάντηση: Γράφουμε τη Δ.Ε. υπό τη μορφή: dd- d d και δοκιμάζουμε τους ολοκληρωτικούς παράγοντες (5)-(8). Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση μ(,)/( ) είναι ολοκληρωτικός παράγοντας για ολόκληρη την εξίσωση. Βρίσκουμε: d d d d ( ) d d d l c Παράδειγμα : Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. 4 Απάντηση: Σε διαφορική μορφή η Δ.Ε. γράφεται: d-( 4 )d (d-d)- 4 d Εμφανίστηκε έτσι, μέσα στην παρένθεση η μορφή αdβd με α, β-, της οποίας ο παράγοντας ολοκλήρωσης είναι. Έξω όμως από την παρένθεση, υπάρχει ο παράγοντας και γι' αυτό δοκιμάζουμε τον ολοκληρωτικό παράγοντα μ(,) -. Βρίσκουμε: - (d-d)- d d( - )- d - c 4. Σχέσεις που δίνουν τους ολοκληρωτικούς παράγοντες σε ειδικές περιπτώσεις Σε ειδικές περιπτώσεις, οι ολοκληρωτικοί παράγοντες δίνονται από ορισμένους τύπους: P Q I) Αν f) ( (ανεξάρτητο του ) () Q τότε μ() e f( ) d () Απόδειξη: Από τη σχέση () της 4. μ P μ Q P μ Q μ εάν θεωρήσουμε ότι ο ολοκληρωτικός παράγοντας μ είναι συνάρτηση μόνο του, δηλαδή μμ(), (και επομένως μ/ ), έχουμε: dμ P Q Q μ d

75 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 και αν υποθέσουμε ότι η έκφραση: P Q Q είναι συνάρτηση μόνο του, έστω η f(), θα είναι: dμ dμ μf() f()d μ () e d μ f()d Παράδειγμα : Να βρεθεί η γενική λύση της - Απάντηση: Η εξίσωση αυτή σε διαφορική μορφή γράφεται: (-)d-d P Q Έχουμε: P-, Q- και - Q d Επομένως μ(,) e e Με τη βοήθεια αυτού του ολοκληρωτικού παράγοντα βρίσκουμε: c e P Q II) Αν g() (ανεξάρτητο του ) () P τότε αποδεικνύεται, όπως στην περίπτωση (Ι), ότι ο ολοκληρωτικός παράγοντας μ είναι συνάρτηση μόνο του και δίνεται από τη σχέση: μ() e gd ( ) Παράδειγμα : Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. dd Απάντηση: P Q Είναι P, Q και d l οπότε μ(,) e e P Με την βοήθεια του ολοκληρωτικού αυτού παράγοντα παίρνουμε την πλήρη εξίσωση: dd d() με γενική λύση c/ III) Αν Pf(u), Qg(u) όπου u (4) τότε αποδεικνύεται ότι μ(,) P Q μ(u) (5) Παράδειγμα : Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε.: (-)dd

76 4. Ολοκληρωτικός Παράγοντας 7 Απάντηση: Είναι P(-), Q. Παρατηρούμε ότι πληρούνται οι (4). Επομένως από την (5) παίρνουμε μ(,)-/( ). Με τη μέθοδο της παρ..4 βρίσκουμε τελικά -/[l c ] IV) Εάν μμ(u(,)) τότε μ d u d μ u μ, μ d u d μ u μ du du du du και ο ολοκληρωτικός παράγοντας μ(u) δίνεται από τη σχέση: όπου f(u) P Q Qu Pu μ(u) e f( u) du είναι συνάρτηση μόνο του u. Πράγματι: Από τη σχέση () της παρ. 6 έχουμε: dμ P dμ u Pμ u Qμ Q du du και αν υποθέσουμε ότι η έκφραση P Q Qu Pu P Q Qu Pu d μ μ du f(u) τότε μ(u) e P Q Qu Pu είναι συνάρτηση του u, δηλ, f( u) du Παράδειγμα : Να βρεθεί ένας ολοκληρωτικός παράγοντας της Δ.Ε. (5 )d( )d εάν γνωρίζουμε ότι μμ(u) με u. Στη συνέχεια να λυθεί η Δ.Ε. Λύση: Ελέγχουμε αν η έκφραση: P Q εξαρτάται μόνο από το u. Έχουμε: Qu Pu P Q 9, 6, u, u και P Q (9 )-(6 )-46-(- ) Qu -Pu Q-P( )-(5 )- - -() ()(- )()

77 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Άρα P Q Qu Pu fu u ( ) μe f ( u) du u e l u () Πολλαπλασιάζουμε τώρα την Δ.Ε. με τον ολοκληρωτικό παράγοντα μ(u) για να γίνει η Δ.Ε. ολικό διαφορικό: df F d F d () (5 )d() ( )d Τελικά προκύπτει ότι: F(,) Παράδειγμα : Εάν για την Δ.Ε. ( -)d( )d γνωρίζουμε ότι ένας ο- λοκληρωτικός παράγοντας είναι της μορφής μμ(u) με u/ να λυθεί η Δ.Ε. Λύση: Υπολογίζουμε την έκφραση: P Q ( 6 ) ( ) 5 5 Qu Pu ( ) ( ) f( u) du lu fu ( ) μ e e u u 4 Πολλαπλασιάζουμε την Δ.Ε. με μ/ και έχουμε: d d df F c 4.4 Πως από ένα ολοκληρωτικό παράγοντα βρίσκουμε άπειρους άλλους Αν, για μια Δ.Ε. βρούμε ένα ολοκληρωτικό παράγοντα μ, μπορούμε με τη βοήθεια αυτού να βρούμε άπειρους άλλους. Πράγματι, αν μpd μqd df τότε μφ(f), όπου φ αυθαίρετη συνάρτηση του F είναι ολοκληρωτικός παράγοντας, αφού μφ(f)(pdqd)φ(f)dfd φ(f)df Αποδεικνύεται ότι ισχύει και το αντίστροφο: Αν μ είναι ένας ολοκληρωτικός παράγοντας της Δ.Ε. PdQd, δηλαδή αν μαdμqddf, τότε κάθε άλλος ολοκληρωτικός παράγοντας αυτής της Δ.Ε. γράφεται υπό τη μορφή μφ(f). Τα αποτελέσματα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εύρεση ολοκληρωτικού παράγοντα μιας Δ.Ε. την οποία γράφουμε υπό τη μορφή: (P dq d)(p dq d) (6) Αν μπορούμε να βρούμε ένα ολοκληρωτικό παράγοντα, έστω μ, για τη Δ.Ε. P dq d και ένα άλλο ολοκληρωτικό παράγοντα, έστω μ, για τη Δ.Ε. P dq d, τότε θα είναι:

78 4. Ολοκληρωτικός Παράγοντας 7 μ P dμ Q ddf και μ P dμ Q ddf Οι γενικές μορφές των ολοκληρωτικών παραγόντων για τις δυο αυτές Δ.Ε. θα είναι α- ντίστοιχα μ φ (F ) και μ φ (F ). Αν με κατάλληλη επιλογή των συναρτήσεων φ και φ, μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι μ φ (F )μ φ (F ) τότε η ποσότητα αυτή είναι ένας ολοκληρωτικός παράγοντας για τη (6). Παράδειγμα :Να βρεθεί ένας ολοκληρωτικός παράγοντας για τη Δ.Ε.: ( )d(4 4 )d Απάντηση: Αυτή η Δ.Ε. γράφεται: (dd) (d4d) (7) Για την η παρένθεση, από την (9), βρίσκουμε τον ολοκληρωτικό παράγοντα μ. Πολλαπλασιάζοντας την η παρένθεση επί μ προκύπτει το df d( ). Κάθε ολοκληρωτικός παράγοντας για την η παρένθεση έχει λοιπόν τη μορφή φ ( ). Για τη η παρένθεση, με τη βοήθεια των () και () βρίσκουμε μ -5/. Πολλαπλασιάζοντας τη η παρένθεση επί μ. προκύπτει το df d[4/ / ]. Κάθε ολοκληρωτικός παράγοντας για τη η παρένθεση έχει λοιπόν τη μορφή -5/ φ [4/ / ]. Τα παραπάνω μας οδηγούν να αναζητήσουμε, για την Δ.Ε. (7) ένα ολοκληρωτικό παράγοντα της μορφής μ κ λ και να προσδιορίσουμε τα κ και λ έτσι ώστε (μp)/ (μq)/. Έχουμε: 4 (P) μ κ λ ( κ λ κ λ 4) ( λ ) 4( λ 4) ( μ Q) κ λ ( ) κ λ κ λ ( κ ) ( κ 4) Οι δυο αυτές εκφράσεις είναι ίσες για κ-5/9, λ/9. Επομένως ο ολοκληρωτικός παράγοντας είναι: μ -5/9 /9. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε ένα ολοκληρωτικό παράγοντα και με τη βοήθεια αυτού, τη γενική λύση των Δ.Ε.:. ( - )dd (Aπ. μ e, c e /). ( / )d4 d (Aπ. μ, 4 c). ( )d-d (Aπ. μ-/( ), ta(c)) 4. ( )dd (Aπ. μ() -, / (-c)) 5. d ( )d (Aπ. μ() -, l c-) 6. d( 4 )d (Aπ. μ e, e c) 7. ( -)d( 4 -)d (Aπ. μ() -, 4 c-6) Εφαρμογές του ολοκληρωτικού παράγοντα

79 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ) Απλό Εκκρεμές Θεωρούμε ένα απλό εκκρεμές μάζας m που αιωρείται από ένα ελαφρό νήμα μήκους L στο ένα άκρο, ενώ το άλλο άκρο του νήματος είναι αναρτημένο σε ένα υποστήριγμα. Η κίνηση γίνεται σε κατακόρυφο επίπεδο και οδηγείται από τη δύναμη της βαρύτητας. Οι δυνάμεις που δρουν πάνω στη μάζα είναι η τάση T που έχει την κατεύθυνση του νήματος και το βάρος B mg. Η εξίσωση κίνησης στην εφαπτομενική διεύθυνση είναι: d s F t mgsi θ m () dt όπου s είναι η μετατόπιση την οποία μετρούμε πάνω στο τόξο και το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι η F t κατευθύνεται προς το σημείο ισορροπίας. Ό- μως L θ θ σταθ. ds d d s s L L Lθ, dt dt dt g έτσι η () γίνεται: mg si θ mlθ θ si θ () L Πολλαπλασιάζοντας την () με θ (ολοκληρωτικός παράγοντας), θα έχουμε: d θθ θsi θ θ L dt θ Λύνοντάς την έχουμε: g g cos L θ θ g cos L θ Ε σταθ. g dθ g E cosθ E cosθ Δ.Ε. χωριζομένων μεταβλητών L dt L E dθ g cos L θ dt θ E dθ g L cos θ t dt ) Προσδιορισμός των δυναμικών γραμμών που παράγονται από δυο σημειακά φορτία. Στηριζόμενοι στο νόμο του Gauss θέλουμε να προσδιορίσουμε τις δυναμικές γραμμές του ηλεκτροστατικού πεδίου, το οποίο παράγεται από δυο σημειακά φορτία q, q που είναι τοποθετημένα στα σημεία A(-α,) και B(α,) αντίστοιχα. Έστω r, r οι αποστάσεις των σημείων Α, Β από το σημείο Μ(,) αντίστοιχα. Αρχικά θα υπολογίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο που παράγεται γύρω από ένα σημειακό φορτίο με την βοήθεια του νόμου του Gauss. Έτσι έχουμε: q q q E ds E 4πr E ε ε 4πε r o o o

80 4. Ολοκληρωτικός Παράγοντας 75 q Επομένως E rˆ. Οπότε τα ηλεκτρικά πεδία των φορτίων q, q είναι: 4πε o r q q q E rˆ r. και E r αντίστοιχα. 4πεor 4πεor 4πεor Το συνολικό ηλεκτρικό πεδίο στο σημείο Μ είναι q q E ολ. r r () 4πεo r r Τα r, r δίνονται από τις παρακάτω εκφράσεις: r ( α) ˆ ŷ, r α ˆ ( ) ŷ [ ],r [( α) ] ) ( r ( α). Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις αυτές στην έκφραση που μας δίνει το q q E ολ. (( α)ˆ ŷ) (( α)ˆ ŷ) 4πεo r r q q q q E ολ. ( α) ( α) ˆ ŷ. 4πεo r r 4πεo r r Οι εξισώσεις των δυναμικών γραμμών θα βρεθούν από τις σχέσεις d E d E 4πε o q r d q ( α) ( α) r 4πε o d q r q r, θα έχουμε: E ολ. q q q q d ( ) ( ) d α α () r r r r Στη συνέχεια θα ψάξουμε για ολοκληρωτικό παράγοντα της παραπάνω Δ.Ε.. Ορίζουμε q q q q P (, ) και Q(, ) ( α) ( α). r r r r P(, ) Q(, ) Θα υπολογίσουμε τις ποσότητες και : q q q 4 r r r P q q q q 5 5 r r r r Q q q q ( α ) 4 r r r ( α ( ) ) q (( α) ) P 4 r r ( α ) q ( α ) 4 r r ( α)

81 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Q q r q r q( α) r 5 q ( α) P(, ) Q(, ). Οπότε r 5 q q q q q q q q q q r r r r r r r r r r q q ( ) ( ) P(, ) ) q q ( α) ( α) Q(,. 5 5 r r r r P(, ) Q(, ) q q r r Οπότε. P(, ) q q r r ( α) ( α) d Έτσι μ e e. Άρα βρήκαμε ότι ολοκληρωτικός παράγοντας της Δ.Ε. είναι ο μ. Έτσι πολλαπλασιάζουμε την () με και θα έχουμε: q q q q d ( ) ( ) d r r α α r r. Η τελευταία αυτή παράσταση είναι το τέλειο διαφορικό κάποιας συνάρτησης F την ο- ποία ψάχνουμε να βρούμε. Έτσι θα έχουμε: d d F μqd g() q( α) q ( α) g() r, r i ( ± α) ridri όμως r d i,. Επομένως προκύπτει ότι: rdr r dr dr dr F q ( α) q ( α) r r r r g() q( α) q( α) g() α α F q ( α ) q ( α) g() q q g() r. α r r Το μόνο που μας μένει πλέον είναι να προσδιορίσουμε την συνάρτηση g(). Ξέρουμε ό- μως ότι ισχύει: df d α α μp q q g () μp d d r r dr dr q ( ) q ( ) g () μp r r d r r α α d. dri dri ± α Αλλά ri ( α) ri ( ± α) i,. Επομένως d d r q r α α ( α ) α q ( ) g () q q r r r r r r r i

82 4. Ολοκληρωτικός Παράγοντας 77 r ( α) r ( α) r ( α) r ( α) q q g () q q r r r r g () g() C. Επομένως η εξίσωση που μας δίνει τις δυναμικές γραμμές που παράγονται από δυο σημειακά φορτία είναι: α α F q q C r r μ ) Φυσική σημασία του ολοκληρωτικού παράγοντα Από την Αναλυτική Δυναμική γνωρίζουμε ότι: Οι περιορισμοί της κινήσεως ονομάζονται δεσμοί της κινήσεως ή σύνδεσμοι. Οι δεσμοί καλούνται ολόνομοι αν εκφράζονται από εξισώσεις της μορφής f μ (q,q,...,q ) () με μ,,,..., κ κ < ( q : οι γενικευμένες συντεταγμένες) όπου οι διαφορίσιμες συναρτήσεις f δεν περιέχουν γενικευμένες ταχύτητες q. Μη-ολόνομοι δεσμοί είναι εκείνοι οι οποίοι εκφράζονται είτε από ανισώσεις είτε από εξισώσεις της μορφής f (q,q,...,q,q,q,...,q, t) μ, οι οποίες δεν είναι δυνατό να ολοκληρωθούν και να λάβουν την μορφή των εξισώσεων (). Έστω ένα σύστημα δυο υλικών σημείων Α και Β που συνδέονται με ράβδο μήκους. Το σύστημα περιορίζεται να κινείται σε δοσμένο επίπεδο κατά τέτοιο τρόπο, έτσι ώστε η ταχύτητα υ Μ του μέσου της ράβδου να είναι συγγραμική με τη ράβδο. Θεωρούμε ότι το σύστημά μας κινείται στο επίπεδο O. Το σύστημα περιγράφεται από τις καρτεσιανές συντεταγμένες των υλικών σημείων,,, και υπόκειται στον ολόνομο δεσμό: ( ) ( ) ( ). Επίσης υπόκειται στο δεσμό που προκύπτει από τη συνθήκη: υm AB ( )( ) ( )( ) () Χρησιμοποιώντας το σύστημα των γενικευμένων συντεταγμένων (,,φ) όπου (, ) οι συντεταγμένες του μέσου της ράβδου και φ η γωνία της ράβδου με τον άξονα Ο, θα έ- χουμε:. cosφ φsi φ si φ φcosφ cosφ φsi φ si φ φcosφ Επομένως,, si φ, j

83 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 cos φ Έτσι η () γράφεται si φ cosφ si φ cosφ si φ d cosφd () Βλέπουμε ότι η σχέση () εκφράζει ανολόνομο δεσμό επειδή δεν υπάρχει ολοκληρωτικός παράγοντας ώστε να μετασχηματιστεί σε τέλειο διαφορικό.

84 5. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Είναι γνωστό ότι ο φυσικός κόσμος είναι μη γραμμικός, δηλαδή οι εξισώσεις, που τον περιγράφουν, είναι μη γραμμικές. Παρ όλα αυτά έχει μεγάλη σημασία η μελέτη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ανώτερης τάξης και ιδίως ης τάξης, για τους εξής τρεις λόγους: ) Πολλά φυσικά φαινόμενα περιγράφονται πολύ ικανοποιητικά από γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. ) Η μελέτη των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων είναι σχετικά απλή και ταξινομημένη. ) Πολλά μη γραμμικά προβλήματα, τα οποία παρουσιάζουν μεγάλη δυσκολία, μπορούν να προσεγγιστούν από γραμμικές εξισώσεις με την βοήθεια της μεθόδου της γραμμικοποιήσεως. 5. ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΜΙΑΣ Δ. Ε. ΤΑΞΗΣ Μια διαφορική εξίσωση τάξης έχει τη γενική μορφή: Φ(,,,,, (-), () ) () όπου () d /d. Υποθέτουμε ότι η πεπλεγμένη μορφή () μπορεί να λυθεί ως προς () και έστω ότι: () f(,,,,, (-) ) () Αν οι συναρτήσεις: f, f/, f/,, f/ (-) είναι συνεχείς σε μια περιοχή του σημείου ( (, ( ), ( ), ( ),, (-) ( ), τότε αποδεικνύεται ότι η () έχει μια και μοναδική λύση στην περιοχή αυτού του σημείου. Η πρόταση αυτή ονομάζεται "θεώρημα για την ύπαρξη και το μονοσήμαντο των λύσεων μιας διαφορικής εξίσωσης τάξης ". Από το θεώρημα αυτό συμπεραίνουμε ότι για να προσδιοριστεί μονοσήμαντα μια λύση της (), πρέπει να δοθούν οι τιμές ποσοτήτων:, ( ), ( ), ( ),, (-) ( ) Αυτό είναι ισοδύναμο με τον ισχυρισμό κατά τον οποίο η γενική λύση μιας Δ.Ε. τάξης περιέχει σταθερές c, c,, c, στις οποίες πρέπει να δώσουμε ορισμένες τιμές για να προσδιορίσουμε μονοσήμαντα μια λύση. ( Οποιεσδήποτε κ μεταβλητές, μπορούν να θεωρηθούν σαν συντεταγμένες σ' ένα χώρο κ διαστάσεων. Εδώ οι μεταβλητές,,,,, (-) μπορούν να θεωρηθούν σαν συντεταγμένες σ' ένα χώρο διαστάσεων. Το παραπάνω θεώρημα μπορεί λοιπόν να διατυπωθεί ως εξής: Αν υπάρχει μια περιοχή του χώρου () διαστάσεων, στην οποία οι συναρτήσεις f, f/, f/,, f/ (-), να είναι συνεχείς συναρτήσεις των μεταβλητών,,,, (-) τότε για κάθε "σημείο" αυτής της περιοχής, (το οποίο ορίζεται από δεδομένες τιμές, ( ), ( ),..., (-) ( ) των συντεταγμένων,,,,, (-), υπάρχει μια λύση και μόνο μια, που περνάει από το σημείο αυτό. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μια, (και μόνο μια), λύση () της (), τέτοια ώστε, για η λύση αυτή και οι παράγωγοι της να παίρνουν τις δεδομένες τιμές ( ), ( )., (-)( ).

85 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Παράδειγμα : Αποδεικνύεται ότι η γενική λύση της Δ.Ε. δεύτερης τάξης είναι c sic cos. Να βρεθεί η μερική λύση, η οποία για ικανοποιεί τις συνθήκες (), ()4 Απάντηση: Είναι ()c si()c cos()c Eπομένως η σχέση () γίνεται c. Εξ' άλλου παραγωγίζοντας την βρίσκουμε: ()c cos-c si οπότε ()c cos()-c si()c H σχέση ()4 γίνεται λοιπόν c 4. Η ζητούμενη μερική λύση είναι 4sicos Παράδειγμα : Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. και απ' αυτήν να προσδιοριστεί η μερική λύση για την οποία (), (). Απάντηση: Η Δ.Ε. γράφεται d /d από την οποία παίρνουμε d d c c d c d cd c c Από την συνθήκη () συνάγουμε ότι c. Παραγωγίζοντας τη γενική λύση βρίσκουμε () c, οπότε η συνθήκη () δίνει c. Η ζητούμενη μερική λύση είναι Άσκηση : Η γενική λύση της - είναι: c sihc cosh. Να βρεθεί η μερική λύση για την οποία (), ()-6 Άσκηση : Να βρεθεί η εξίσωση ss(t) στην περίπτωση ελεύθερης πτώσης ενός σώματος. (Υπόδειξη: Στην ελεύθερη πτώση η επιτάχυνση γd s/dt dv/dt-gσταθ. Πρέπει λοιπόν να βρεθεί η γενική λύση ss(t) της Δ.Ε. -g). Ποια είναι στην περίπτωση αυτή η φυσική σημασία των σταθερών c και c ; Να βρεθεί η μερική λύση που αντιστοιχεί στην περίπτωση κατά την οποία τη στιγμή t το σώμα βρίσκεται σε ύψος Η και δεν έχει αρχική ταχύτητα [s()η, v()]. 5. Γραμμικές ομογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης Γραμμική ομογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης ονομάζεται μια εξίσωση της d μορφής: A d A () () () d d Η εξίσωση αυτή ονομάζεται: Α) ομογενής επειδή όλοι οι όροι της είναι του ίδιου βαθμού, (πρώτου), ως προς την άγνωστη συνάρτηση και τις παραγώγους της. (Αντίθετα π.χ. η Δ.Ε. A () A ()f() ονομάζεται μη ομογενής γιατί όλοι οι όροι του αριστερού μέλους είναι πρώτου βαθμού ως προς,,, ενώ ο όρος του δεξιού μέλους είναι μηδενικού βαθμού).

86 Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις τάξης 8 Β) γραμμική επειδή έχει την ακόλουθη ιδιότητα, που είναι γνωστή σαν "γραμμική ιδιότητα": Αν και είναι δυο λύσεις της (), τότε κάθε γραμμικός συνδυασμός c c () όπου c, c αυθαίρετες σταθερές, είναι επίσης λύση της () Πράγματι, αν αντικαταστήσουμε το με τον τύπο (), μπορούμε να γράψουμε το αριστερό μέλος της () υπό τη μορφή: c [ A () A () ]c [ A () A () ] () Η ποσότητα αυτή είναι εκ ταυτότητος μηδέν, επειδή τα και είναι λύσεις της () και επομένως κάθε μια από τις δυο αγκύλες είναι εκ ταυτότητος μηδέν. Άρα η () είναι λύση της (). Η () έχει προφανώς την "τετριμμένη λύση" (), η οποία δεν έχει πρακτικό ενδιαφέρον. Στα επόμενα θα εξετάσουμε μεθόδους εύρεσης και άλλων λύσεων εκτός από την τετριμμένη. 5. Κριτήριο του Wroski Η γενική λύση μιας Δ.Ε. ης τάξης περιέχει δυο αυθαίρετες σταθερές, όπως ακριβώς ο γραμμικός συνδυασμός () της προηγουμένης παραγράφου. Θα εξετάσουμε υπό ποιες προϋποθέσεις αυτός ο γραμμικός συνδυασμός: c c () είναι η γενική λύση της γραμμικής ομογενούς Δ.Ε. ης τάξης, δηλ. της: A () A () () Για να συμβαίνει αυτό πρέπει οποιαδήποτε λύση της () να δίνεται από την () με κατάλληλες τιμές των c, c. Ας θεωρήσουμε μια αυθαίρετα επιλεγμένη μερική λύση της (), έ- στω ψ(), η οποία καθορίζεται από τις εξής αρχικές συνθήκες: α) Σε κάποιο σημείο παίρνει κάποια τιμή ψ( )ψ () β) Στο ίδιο σημείο η παράγωγος της παίρνει κάποια τιμή ψ ( )ψ (4) Αν η () είναι η γενική λύση της (), πρέπει η ψ() να προκύπτει από την () με κατάλληλη επιλογή των c και c. Θα υπάρχουν λοιπόν συγκεκριμένες τιμές των c και c έτσι ώστε: ψ()c ()c () Οι τιμές των c και c μπορούν να βρεθούν από τις αρχικές συνθήκες. Θα είναι τότε c ( )c ( )ψ (5α) c ( )c ( )ψ (5β) Οι σχέσεις αυτές προκύπτουν υπολογίζοντας, από την (), τη τιμή της ψ() και της παραγώγου της στο σημείο. Το σύστημα αυτό έχει μια μοναδική λύση, (και επομένως υπάρχουν τιμές των c και c για τις οποίες η () δίνει τη λύση ψ), αν και μόνο αν η ορίζουσα: ( ) ( ) W( ) (6) ' ' ( ) ( ) Δεδομένου ότι η επιλογή της μερικής λύσης ψ() ή ισοδύναμα του σημείου είναι αυθαίρετη, για να προκύπτει από την () κάθε λύση της (), πρέπει η ορίζουσα αυτή να μη μη-

87 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 δενίζεται σε κανένα σημείο του πεδίου ορισμού των,,,. Μπορούμε λοιπόν να διατυπώσουμε το εξής κριτήριο: Έστω ότι () και () είναι δυο λύσεις της Δ.Ε.: A () A () O γραμμικός συνδυασμός c c δίνει τη γενική λύση της εξίσωσης αυτής αν και μόνο αν η ορίζουσα: ( ) ( ) W( ( ),( ) ) ' ' ( ) ( ) δεν μηδενίζεται πουθενά, (δεν έχει καμμιά ρίζα), στο (κοινό) πεδίο ορισμού των (), (), (), (). To κριτήριο αυτό οφείλεται στον Πολωνό μαθηματικό G. Wroski, (Βρόνσκι ). H ορίζουσα W() ονομάζεται "ορίζουσα του Wroski" Άσκηση: Επιβεβαιώστε, υπολογίζοντας την ορίζουσα του Wroski, ότι για τις παρακάτω Δ.Ε. οι συναρτήσεις, που δίνονται, είναι οι γενικές λύσεις. c cosc si και k e i k e -i. - c coshc sih και k e k e Γραμμικά ανεξάρτητες συναρτήσεις. Θεωρούμε τις το πλήθος συναρτήσεις: { (),, ()}. Θα λέμε ότι οι αυτές συναρτήσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες σε κάποιο υποσύνολο I του R, εάν η σχέση: c ()c () c () () ικανοποιείται I μόνο όταν οι σταθερές c,c,, c είναι όλες μηδέν. Παράδειγμα: Να εξετασθεί αν οι συναρτήσεις {e, e - } είναι γραμμικά ανεξάρτητες στο διάστημα (-, ). Λύση: Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν σταθερές c και c που να μην είναι και οι δυο μηδέν, ώστε να ισχύει η σχέση: c e c e - () Η () γράφεται: c e - -c e c -c e () Εάν η c είναι διάφορη του μηδενός, τότε το αριστερό μέλος της () είναι σταθερό, ενώ το δεξιό μεταβάλλεται όταν το μεταβάλλεται και άρα η () δεν μπορεί να ισχύει στην περίπτωση αυτή. Εάν η c είναι μηδέν, τότε και η c είναι μηδέν και επομένως η () ισχύει μόνο για c c. Άρα οι συναρτήσεις {e, e - } είναι γραμμικά ανεξάρτητες. 5.5 Γραμμικά εξαρτημένες συναρτήσεις Εάν η σχέση () της προηγούμενης παραγράφου είναι δυνατό να ισχύει χωρίς όλες οι σταθερές να είναι μηδέν, τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις { (), (),, ()} είναι γραμμικά εξαρτημένες.

88 Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις τάξης 8 Παράδειγμα: Να εξετασθεί αν οι συναρτήσεις {-,, -} είναι γραμμικά εξαρτημένες στο διάστημα (-, ). Λύση: Από τη σχέση: c (-)c ()c (-) (4) έχουμε: (-c c -c )(c c c ) (5) Το αριστερό μέλος της (5) είναι ένα πρωτοβάθμιο πολυώνυμο που θέλουμε να είναι εκ ταυτότητος ίσο με το μηδέν. Αυτό μπορεί να ισχύει μόνο όταν οι συντελεστές του είναι μηδέν, δηλ. -c c -c και c c c (6) Παίρνοντας μια τιμή έστω c, από τις (5), έχουμε c - και c. Για τις τιμές αυτές, που δεν είναι όλες μηδέν, ισχύει η (4) για κάθε. Άρα οι συναρτήσεις {-,, -} είναι γραμμικά εξαρτημένες στο διάστημα (-, ). Ασκήσεις: Να εξετασθεί αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες ή εξαρτημένες στο διάστημα (-, ).. {e, e - } Απ. Γραμ. ανεξ. λ λ e,e λ λ Απ. Γραμ. ανεξ.. { }. {,, -} Απ. Γραμ. εξαρτ. 4. {, -} Απ. Γραμ. ανεξ. 5. {,, --} Απ. Γραμ. ανεξ Γραμμική ανεξαρτησία των λύσεων της Δ.Ε. A () A () Σύμφωνα με τα παραπάνω, δυο λύσεις () και () της Δ.Ε.: A () A () ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητες αν η εξίσωση c ()c () μπορεί να ικανοποιηθεί μόνο θέτοντας c c. Αν αντιθέτως μπορούν να βρεθούν μη μηδενικές σταθερές c,c τέτοιες ώστε c ()c (), τότε οι και ονομάζονται γραμμικά εξαρτημένες. Είναι φανερό ότι οι () και () είναι γραμμικά ανεξάρτητες, εάν και μόνο εάν, ο λόγος ()/ () δεν είναι ίσος με μια σταθερά c-c /c ή ισοδύναμα, εάν η παράγωγος: ( ) ( ) δε είναι εκ ταυτότητος μηδέν. Επειδή ο αριθμητής της παράστασης αυτής συμπίπτει με την ορίζουσα του Wroski, συμπεραίνουμε την: Πρόταση (Α): Αν οι () και () είναι γραμμικά ανεξάρτητες, η ορίζουσα του Wroski δεν είναι εκ ταυτότητος μηδέν. Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι υπάρχει μια και μόνο λύση ψ(), που έχει δεδομένη τιμή και δεδομένη κλίση, (παράγωγο), σε κάποιο σημείο, (δηλ. το γεγονός ότι τα ψ( ) και ψ ( ) καθορίζουν μονοσήμαντα την λύση ψ), μπορούμε επιπλέον να δείξουμε ότι:

89 84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Πρόταση (Β): Αν οι λύσεις () και () είναι γραμμικά ανεξάρτητες, η ορίζουσα του Wroski δε μηδενίζεται σε κανένα σημείο του πεδίου ορισμού των και. (Υποθέτουμε ότι οι συναρτήσεις, και οι παράγωγοι τους έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού). Απόδειξη: Θα δείξουμε ότι αν υπάρχει κάποιο σημείο, όπου η ορίζουσα του Wroski μηδενίζεται, οι λύσεις () και () είναι γραμμικά εξαρτημένες. Έστω ότι για κάποιο είναι: ( ) ( ) W( ) ( ) ( )- ( ) ( ) () ' ' ( ) ( ) Από την () παίρνουμε () () λ () () ( ) Θεωρούμε τώρα τη λύση: ψ()c ()c () () με c, c -λ (4) και παρατηρούμε ότι για τη λύση αυτή είναι: ψ( ) και ψ ( ) Οι συνθήκες αυτές ικανοποιούνται από την τετριμμένη λύση () και επειδή τα ( ) και ( ) καθορίζουν μονοσήμαντα τη λύση, συμπεραίνουμε ότι η () συμπίπτει με τη τετριμμένη λύση, δηλ. είναι εκ ταυτότητος μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν μη μηδενικές τιμές των c, c, (οι τιμές (4)), για τις οποίες c ()c () Άρα οι () και () είναι γραμμικά εξαρτημένες. Εύκολα αποδεικνύεται και το αντίστροφο της πρότασης (Β). Συνδυάζοντας την πρόταση (Β) και την αντίστροφη της με το κριτήριο του Wroski συμπεραίνουμε ότι: Θεώρημα: Ο γραμμικός συνδυασμός c ()c () είναι η γενική λύση της A () A () εάν και μόνο εάν οι λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες, ή ι- σοδύναμα εάν και μόνο εάν η ορίζουσα του Wroski δεν μηδενίζεται σε κανένα σημείο του πεδίου ορισμού των και. Άσκηση: Να αποδειχθεί το αντίστροφο της πρότασης (Β), δηλ. να αποδειχθεί ότι αν W(, ) D, τότε η σχέση: c c με c c δεν μπορεί να ισχύει. Υπόδειξη: Αν c c τότε / / -c /c Παρατήρηση: Πρέπει να τονισθεί ότι οι προτάσεις (Α) και (Β) της προηγούμενης παραγράφου αναφέρονται στη γραμμική ανεξαρτησία συναρτήσεων που είναι λύσεις μιας γραμμικής Δ.Ε. A () A () όπου οι συναρτήσεις Α (), Α () είναι συνεχείς ( για κάθε. Η σημασία της διευκρίνισης αυτής θα γίνει φανερή από τα παρακάτω παραδείγματα. ( Η συνέχεια των συναρτήσεων A () και A () απαιτείται για να ισχύει το θεώρημα για την ύπαρξη και το μονοσήμαντο των λύσεων μιας Δ.Ε.

90 Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις τάξης Διευκρινιστικά παραδείγματα. Παράδειγμα. Εξετάστε αν οι συναρτήσεις {, } είναι γραμμικά ανεξάρτητες στο διάστημα [-, ]. Λύση: Θεωρούμε την εξίσωση: c c () Εάν, είναι, ενώ αν < είναι - Στην περίπτωση η () γίνεται c c () Στην περίπτωση < η () γίνεται c -c () Από την () συμπεραίνουμε ότι το άθροισμα των σταθερών c και c είναι ίσο με μηδέν, ενώ από την () ότι οι σταθερές αυτές είναι ίσες. Άρα c c και οι δεδομένες συναρτήσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Παράδειγμα : Υπολογίστε την W(, ) στο διάστημα [-, ] Λύση: αν αν d αν - αν d αν Άρα για > W(, ) Για < W(, ) Για W(, ) Συνεπώς W(, ) [-,] Παράδειγμα. Υπάρχει αντίφαση μεταξύ των δυο προηγουμένων παραδειγμάτων και της πρότασης (Β) ; Λύση: Όχι. Επειδή η ορίζουσα του Wroski των δυο γραμμικά ανεξαρτήτων συναρτήσεων και είναι μηδέν, συμπεραίνουμε ότι οι συναρτήσεις αυτές δεν είναι λύσεις μιας γραμμικής Δ.Ε. της μορφής A () A (), όπου οι συναρτήσεις Α (), Α () είναι συνεχείς. Παράδειγμα 4: Δυο λύσεις της Δ.Ε. - στο διάστημα [-,] είναι οι και. Υπάρχει αντίφαση με το συμπέρασμα του προηγούμενου παραδείγματος ; Λύση: Όχι. Αν και W(, ) και οι και είναι λύσεις της ίδιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης, η εξίσωση αυτή δεν είναι της παραπάνω μορφής γιατί η συνάρτηση - / είναι ασυνεχής στο σημείο.

91 86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Στην παράγραφο αυτή θα προσπαθήσουμε να βρούμε δυο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της γραμμικής ομογενούς διαφορικής εξίσωσης ης τάξης: α α με α, α σταθερές. () Επειδή η συνάρτηση και οι παράγωγοι της και εμφανίζονται μόνο στην πρώτη δύναμη και επειδή η εκθετική συνάρτηση έχει το χαρακτηριστικό ότι η παράγωγος κάθε τάξης αναπαράγει την εκθετική συνάρτηση, συμπεραίνουμε ότι η εκθετική συνάρτηση μπορεί να είναι λύση της Δ.Ε. (). Γι αυτό θέτουμε: e μ () με μe μ και μ e μ οπότε η () γράφεται: (μ α μα )e μ μ α μα () επειδή e μ. Επομένως, αν το μ είναι μια ρίζα της (), η () είναι μια λύση της (). Η () ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση ή βοηθητική εξίσωση της Δ.Ε. () Περίπτωση Ι. Αν α -4α >, η () έχει δυο πραγματικές ρίζες μ και μ διάφορες μεταξύ τους. Στην περίπτωση αυτή παίρνουμε δυο λύσεις της () e μ και e μ ( μμ ) που είναι γραμμικά ανεξάρτητες, αφού ο λόγος: e δεν είναι σταθερός. Επομένως η γενική λύση της () είναι: e μ e μ c c (4) Περίπτωση ΙΙ. Αν α -4α <, η () έχει δυο μιγαδικές ρίζες, που είναι συζυγείς η μια της άλλης: αiβ και α-iβ. Στην περίπτωση αυτή, οι μιγαδικές συναρτήσεις: e (αiβ), e (α-iβ) (5) είναι δυο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις. Με την βοήθεια του τύπου e i cosisi ( οι (5) γράφονται και υπό τη μορφή: e α e iβ e α [cosβisi] e α e -iβ e α [cosβ-isi] (6) Θα δείξουμε τώρα ότι αν η () έχει μια μιγαδική λύση της μορφής ()u()iv() τότε οι πραγματικές συναρτήσεις u() και v() είναι λύσεις της (). Πράγματι με την αντικατάσταση uiv η () γράφεται: [u α u α u]i[v α v α v] (7) ( Ο τύπος αυτός αποδεικνύεται ως εξής: Στο ανάπτυγμα Talor της εκθετικής συνάρτησης e /! /! /! αντικαθιστούμε το με i. Οι όροι που δεν έχουν το i κοινό παράγοντα αποτελούν το ανάπτυγμα Talor του cos και οι όροι που έχουν κοινό παράγοντα το i αποτελούν το ανάπτυγμα Talor του si, πράγματι: e i (i)/!(i) /! (i) /! [- /! 4 /4!- ]i[/!- /! 5 /5!- ]cosisi

92 Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις τάξης 87 Μια μιγαδική ποσότητα μηδενίζεται όταν και το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της μηδενίζονται. Επομένως από την (7) παίρνουμε: u α u α u και v α v α v Άρα οι συναρτήσεις u και v είναι λύσεις της (). Εφαρμόζοντας το συμπέρασμα αυτό στην περίπτωση των λύσεων (6), βλέπουμε ότι οι συναρτήσεις: e α cosβ, e α si (8) είναι λύσεις της (). Συμπεραίνουμε ότι σ' ένα ζεύγος μιγαδικών ριζών αiβ και α-iβ της χαρακτηριστικής εξίσωσης () αντιστοιχούν δυο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις (8). Η γενική λύση της () είναι τότε: e α [c cosβc siβ] (9) Περίπτωση ΙΙΙ Αν α -4α, η () έχει μια, (διπλή), πραγματική ρίζα, έστω μ στην οποία αντιστοιχεί μια λύση: e μ της (). Για να βρούμε τη γενική λύση της () πρέπει αναγκαστικά να βρούμε και μια δεύτερη μερική λύση, η οποία να είναι γραμμικά ανεξάρτητη με την πρώτη. Αυτό μπορεί να γίνει εάν ο λόγος / δεν είναι σταθερός. Η πιό απλή περίπτωση είναι ο λόγος αυτός να είναι ίσος με, δηλ. η να είναι e μ. Όμως θα πρέπει η έκφραση e μ να ικανοποιεί την Δ.Ε. Με απλή αντικατάσταση εύκολα διαπιστώνουμε ότι η e μ είναι λύση της Δ.Ε. Στην περίπτωση αυτή λοιπόν η γενική λύση της () είναι: (c c )e μ Άλλος τρόπος: Θα χρησιμοποιήσουμε τον γραμμικό μετασχηματισμό: ()e μ Y() με μ-α / Έχουμε: ()μe μ Y()e μ Y () e μ [Y()Y ()] ()e μ [Y ()μy ()μ Y()] και η διαφορική εξίσωση α α γράφεται: e μ [Y ()μy ()μ Y()]α e μ [μy()y ()]α e μ Y() Y () [μα ]Y ()[μ α μα ]Y() Αλλά μ-α / μα και μ α μα α /4-α /α -α /4α Οπότε Y () Y()k k. Τελικά μια δεύτερη λύση είναι: () ()Y()(k k )e μ από την οποία διαλέγουμε την πιο απλή αρκεί να είναι γραμμικά ανεξάρτητη της πρώτης. Έτσι διαλέγουμε k και k. Τελικά θα έχουμε ()e μ και η γενική λύση θα είναι: (c c )e μ Παράδειγμα. Να λυθεί η εξίσωση Aπάντηση: Με e μ παίρνουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση: μ μ που έχει ρίζες μ -, μ -. Άρα η γενική λύση είναι: c e - c e - Παράδειγμα. Να λυθεί η εξίσωση:. Απάντηση: H χαρακτηριστική εξίσωση είναι: μ μ με ρίζες μ (-i )/, μ (--i )/

93 88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 i i Άρα η γενική λύση είναι: c e c e ή ισοδύναμα: k k cos si Παράδειγμα.Να λυθεί η εξίσωση -6 9 Απάντηση: Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: μ -6μ9 με ρίζες μ μ. Επομένως η γενική λύση είναι: [c c ]e Ασκήσεις: Να βρεθούν οι γενικές λύσεις των παρακάτω Δ.Ε. ) - 4 Απ. 7 7 ccos c si ) 4 4 Aπ. [c c ]e - ) Aπ. c c 4) -4 Aπ. c e c e Γραμμικές Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις τάξης > Τα συμπεράσματα των παραγράφων 5. και 5.5 ισχύουν και για τις γραμμικές ομογενείς Δ.Ε. τάξης >.. Η γενική λύση της Δ.Ε.: d A ) d A ) d ( ( A ( ) d A ( ) () d d d d (όπου τα Α i () i,, είναι συνεχείς συναρτήσεις), έχει τη μορφή: c c c () όπου,,, είναι γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της ().. Οι λύσεις της () είναι γραμμικά ανεξάρτητες εάν και μόνο εάν, η ορίζουσα του Wroski: W() () ( ) ( ) ( ) δεν είναι εκ ταυτότητος μηδέν.. Αν A i ()α i σταθερές για i,,,, τότε με την αντικατάσταση e μ βρίσκουμε την χαρακτηριστική εξίσωση: μ α μ - α μ - α - μα (4)

94 Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις τάξης 89 Για την αντιστοιχία των ριζών της (4) με τις γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της Δ.Ε. ισχύουν οι ίδιοι κανόνες που αναπτύχθηκαν στην παρ. 5.7 για την περίπτωση. Δηλαδή: α) Σε κάθε απλή ρίζα μμ της (4) αντιστοιχεί μια λύση e μ της Δ.Ε. β) Σε κάθε ζεύγος συζυγών μιγαδικών ριζών μ αiβ, μ α-iβ της (4) αντιστοιχούν δυο λύσεις της Δ.Ε.: e (αiβ), e (α-iβ) ή e α cosβ, e α siβ γ) Σε κάθε ρίζα μμ με πολλαπλότητα k της (4) αντιστοιχούν k λύσεις της Δ.Ε: e μ, e μ,, k- e μ ή ισοδύναμα λύση της μορφής: λ λ λ k e μ ( k ) δ) Σε κάθε ζεύγος συζυγών μιγαδικών ριζών μ αiβ, μ α-iβ με πολλαπλότητα k της (4) αντιστοιχεί λύση της μορφής: k α k α λ λ λ e cosβ ν ν ν e siβ ( k ) ( k ) Παράδειγμα : Να λυθεί η εξίσωση - - Aπάντηση: Με την αντικατάσταση e μ, βρίσκουμε την χαρακτηριστική εξίσωση μ -μ -μ ή (μ-) (μ). Στη διπλή ρίζα μ αντιστοιχούν οι λύσεις e και e ενώ στην απλή ρίζα μ- αντιστοιχεί η λύση e -. Η γενική λύση είναι λοιπόν: c e c e c e - (c c )e c e - Άσκηση. Να βρεθεί η γενική λύση των παρακάτω εξισώσεων: ) -6-6 (Ρίζες,,) ) (4) -4 () (Ρίζες ±i,±i) ) -6 6 (Ρίζες -, 4±i ) 4) (4) (Ρίζα - τετραπλή) 5. Διαφορικοί Τελεστές Στην παράγραφο αυτή θα χρησιμοποιήσουμε για την παραγώγιση, το σύμβολο: D d ή γενικότερα D d d d Έτσι π.χ. η έκφραση Dsi σημαίνει: Dsi d sicos και d D si d d Επειδή d df( ) df( ) [ c f ( ) cf( ) ] c c d d d θα είναι D[c f ()c f ()]c Df ()c Df () () Επί πλέον επειδή d d d d d d θα είναι D (D)D ()

95 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Επίσης (Dμ)Dμ Το σύμβολο (Dα)(Dβ), όπου α και β σταθερές, έχει την έννοια ότι το Dα επενεργεί στην ποσότητα (Dβ) d β. Βρίσκουμε λοιπόν: d d d d d d (Dα)(Dβ)(Dα) β D β α β D Dβ α αβ d d d d d d d d β α αβ D β D α DY αβ D ( α β )D αβ d d d ή τελικά (Dα)(Dβ) D ( αβ )Dαβ () Από την μορφή του δεξιού μέλους της () είναι φανερό ότι: (Dα)(Dβ)(Dβ)(Dα) (4) Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες, μπορούμε να γράψουμε τη Δ.Ε: d d α α (α, α σταθερές) (5) d d υπό τη μορφή: (D α Dα ) ή L (6) στην οποία ο διαφορικός τελεστής LD α Dα συμπεριφέρεται σαν να ήταν αλγεβρικό πολυώνυμο (4. Παρατηρούμε ότι το πολυώνυμο αυτό συμπίπτει με το πολυώνυμο που εμφανίζεται στην χαρακτηριστική εξίσωση της Δ.Ε. (5). Χρησιμοποιώντας τον τύπο () μπορούμε να γράψουμε την (6) υπό τη μορφή: L(D-μ )(D-μ ) (7) όπου L(D-μ )(D-μ ) και μ, μ οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Αν μ μ, είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο ότι η γενική λύση της (5) είναι: μ μ ce ce Αν μ μ μ, η γενική λύση προκύπτει με τον εξής τρόπο: Στην εξίσωση (7), γράφουμε: (D-μ)u (8) Από τις (8) και (7) προκύπτει η εξίσωση: du (D-μ)u u d μ (9) που είναι μια Δ.Ε. ης τάξης χωριζόμενων μεταβλητών με άγνωστη συνάρτηση το u και γενική λύση: uc e μ Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή του u στην (8), παίρνουμε μια Δ.Ε. με άγνωστη συνάρτηση το : μ ce d d μ Η εξίσωση αυτή είναι γραμμική ης τάξης και η γενική της λύση είναι: c e μ c e μ () (4 Όχι μόνο ο διαφορικός τελεστής D αλλά και ο διαφορικός τελεστής LD α Dα ικανοποιεί τη σχέση : L[c ()c ()]c L ()c () είναι δηλαδή γραμμικός τελεστής. Αυτό ισχύει και όταν τα α και α δεν είναι σταθερές αλλά συναρτήσεις του, τότε όμως ο L δεν συμπεριφέρεται σαν αλγεβρικό πολυώνυμο, (διότι αν L () και L () είναι δυο τέτοιοι τελεστές τότε L L L L. Το σύμβολο L προέρχεται από το αρχικό γράμμα της λέξης Liear γραμμικός).

96 Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις τάξης 9 Ξαναβρίσκουμε έτσι την (4) της παρ Παράδειγμα : Να βρεθεί η γενική λύση της -4 4 Aπάντηση: Η διαφορική αυτή εξίσωση γράφεται: L[D 4D4] L[(D-)(D-)] Επειδή οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι ίσες, η γενική λύση είναι: c e c e [c c ]e Άσκηση: Για τις παρακάτω Δ.Ε. να βρεθεί ο διαφορικός τελεστής L, να γραφεί υπό τη μορφή L(D-μ )(D-μ ) και να βρεθεί η γενική λύση. ) - - Aπ. c e - c e ) -9 Aπ. c e c e - k coshk sih 5. Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις τάξης Η Δ.Ε.: () A () (-) A ()f() () όπου f(), A (),, A () δεδομένες συναρτήσεις, ονομάζεται μη ομογενής γραμμική Δ.Ε. τάξης. Το θεώρημα για την ύπαρξη και το μονοσήμαντο των λύσεων μιας Δ.Ε. τάξης εξασφαλίζει ότι η () έχει μια, (και μόνο μια), λύση, που ικανοποιεί τις συνθήκες: ( ), ( ),, () ( ) () αν οι συναρτήσεις f(), A (),, A () είναι συνεχείς. Αποδεικνύεται ότι: Θεώρημα: Αν u() είναι μια οποιαδήποτε μερική λύση της () και (), (),, () είναι γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της αντίστοιχης ομογενούς εξίσωσης, δηλ. της () A () (-) A () τότε η γενική λύση της () είναι: c ()c () c ()u() () Απόδειξη: Ας γράψουμε για συντομία την () υπό τη μορφή L()()f() () όπου L() ο διαφορικός τελεστής L()D A ()D - A ()D - A () d d A ) d A ) d ( A ) ( ( (4) d d και ας καλέσουμε ομ c ()c () c () τη γενική λύση της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης. Θα είναι τότε L ομ (5) Εξάλλου, αφού η u() είναι λύση της (), θα είναι: Lu()f() (6) Από τις (5) και (6) και από τη γραμμικότητα του τελεστή, συνάγουμε ότι

97 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 L()L[ ομ ()u()]l ομ ()Lu()f()f() (7) Άρα η συνάρτηση () ομ ()u() (8) είναι λύση της (). Για να δείξουμε ότι είναι η γενική λύση, πρέπει να δείξουμε ότι κάθε λύση γράφεται υπό τη μορφή (8) Έστω Y() μια οποιαδήποτε λύση της (): LY()f() (9) Θεωρούμε την διαφορά δ()y()-u() και έχουμε Lδ()LY()-Lu() ή λόγω των (9) και (6) Lδ()f()-f() Άρα η δ() είναι λύση της ομογενούς εξίσωσης και επομένως η Y()δ()u() είναι το άθροισμα μιας λύσης της ομογενούς και της μερικής λύσης u() της (), δηλ. είναι της μορφής (8). Σημειώνουμε ότι το παραπάνω θεώρημα ισχύει για όλες τις μη ομογενείς γραμμικές Δ.Ε. τάξης, είτε έχουν σταθερούς συντελεστές είτε όχι. Στην επομένη παράγραφο θα εξεταστούν μερικές μέθοδοι για την εύρεση μιας μερικής λύσης της. 5. Μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών Σύμφωνα με το θεώρημα της προηγουμένης παραγράφου, αν η γενική λύση ομ της ομογενούς εξίσωσης L είναι γνωστή, η γενική λύση της μη ομογενούς ανάγεται στον προσδιορισμό μιας μερικής λύσης u() της μη ομογενούς εξίσωσης Lf(). Η μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών είναι μια μέθοδος για την εύρεση μιας μερικής λύσης u() της μη ομογενούς γραμμικής εξίσωσης. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται μόνο για γραμμικές Δ.Ε. με σταθερούς συντελεστές και συνίσταται στα εξής: α) Δεχόμαστε για τη μερική λύση u() μια ορισμένη μορφή, η οποία εξαρτάται από τη μορφή της συνάρτησης f() και περιέχει μερικούς προσδιοριστέους συντελεστές. (Κατά γενικό κανόνα δεχόμαστε για κάθε όρο της f(), ένα γραμμικό συνδυασμό του όρου αυτού και όλων των παραγώγων του). β) Αντικαθιστούμε την μερική λύση u() στην διαφορική εξίσωση και προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τους συντελεστές έτσι ώστε η μορφή που δεχτήκαμε να ικανοποιεί τη μη ομογενή εξίσωση. Θα αναφέρουμε ιδιαίτερα μερικές ειδικές περιπτώσεις: ) Αν f()p (), όπου P () πολυώνυμο βαθμού, δοκιμάζουμε τη μορφή : u()α α α α () και προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τα α, α,,α έτσι ώστε η u() να ικανοποιεί τη μη ομογενή εξίσωση. Ειδικά αν η χαρακτηριστική εξίσωση της ομογενούς εξίσωσης έχει μια μηδενική ρίζα πολλαπλότητας k, δοκιμάζουμε τη μορφή: u() k [α α α α ] (α)

98 Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις τάξης 9 ) Αν f()ae α με Α, α σταθερές, δοκιμάζουμε τη μορφή: u()be α () και επιδιώκουμε να προσδιορίσουμε το Β ώστε το u() να ικανοποιεί τη μη ομογενή Δ.Ε. Ειδικά αν το α είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης της ομογενούς με πολλαπλότητα k, δοκιμάζουμε τη μορφή: u()b k e α (α) ) Αν f()asiβ ή f()acosβ, δοκιμάζουμε τη μορφή: u()α siβα cosβ () και επιδιώκουμε να προσδιορίσουμε τα α, α ώστε το u() να είναι λύση της μη ομογενούς Δ.Ε. Ειδικά αν τα iβ και -iβ αποτελούν ένα ζεύγος συζυγών μιγαδικών ριζών, με πολλαπλότητα k, της χαρακτηριστικής εξίσωσης της ομογενούς Δ.Ε., δοκιμάζουμε τη μορφή: u() k [α siβα cosβ] (α) 4) Αν f()e α P () όπου ασταθ. και P () είναι ένα πολυώνυμο βαθμού, δοκιμάζουμε τη μορφή: u()e α [α α α α ] (4) και προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τα α,α,,α ώστε το u() να είναι λύση της μη ομογενούς Δ.Ε. Ειδικά αν το α είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης της ομογενούς με πολλαπλότητα k, δοκιμάζουμε τη μορφή: u() k e α [α α α α ] (4α) 5) Αν f()e α P ()si(β) ή f()e α P ()cos(β) όπου α,βσταθ. και P () πολυώνυμο βαθμού, δοκιμάζουμε τη μορφή: u()e α si(β)[α α α α ] e α cos(β)[β β β β ] (5) και προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τα α, α,,α και β, β,, β ώστε το u() να είναι λύση της μη ομογενούς Δ.Ε. Ειδικά αν οι μιγαδικοί αριθμοί α±iβ είναι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης της ομογενούς με πολλαπλότητα k, δοκιμάζουμε τη μορφή: u() k e α si(β)[α α α α ]

99 94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 k e α cos(β)[β β β β ] (5α) 6) Αν η f() είναι το άθροισμα δυο ή περισσότερων όρων, παίρνουμε σαν u() το άθροισμα των αντιστοίχων δοκιμαστικών λύσεων. ΓΕΝΙΚΑ αν : f()p ()e α cosβq m ()e α siβ όπου P () και Q m () πολυώνυμα και m βαθμού αντίστοιχα, τότε: α) Αν οι μιγαδικοί αριθμοί α±iβ δεν είναι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τότε η μερική λύση είναι της μορφής: u()u s ()e α cosβv s ()e α siβ (6) όπου U s () και V s () πολυώνυμα βαθμού s ίσου με τον μέγιστο βαθμό των πολυωνύμων P () και Q m (), δηλ. sma{,m}. β) Αν οι μιγαδικοί αριθμοί α±iβ είναι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης με πολλαπλότητα k, τότε η μερική λύση είναι της μορφής: u() k α α U()e s cosβ V()e s siβ (6α) όπου για τα πολυώνυμα U s () και V s () ισχύουν τα ίδια με την περίπτωση (α). 5. Παραδείγματα εφαρμογής της μεθόδου των προσδιοριστέων συντελεστών Παράδειγμα : Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε.: - -4 () Aπάντηση: Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης της αντίστοιχης ομογενούς Δ.Ε. είναι μ -, μ και η γενική λύση της ομογενούς είναι ομ c e - c e Για να βρούμε μια μερική λύση της () χρησιμοποιούμε τον τύπο () της παρ. 5. και γράφουμε: uα α α () Απαιτούμε η u να ικανοποιεί την (). Αντικαθιστούμε λοιπόν την () στην () και βρίσκουμε: α -(α α )-(α α α )4 -(α 4) -(α α )(α -α -α ) α -, α, α - Η () έχει λοιπόν τη μερική λύση: u()-- και συνεπώς η γενική της λύσης είναι: c e - c e -- Παράδειγμα : Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. - ()

100 Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις τάξης 95 Aπάντηση: Η χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης ομογενούς Δ.Ε. έχει ρίζες μ, μ. Η γενική λύση της ομογενούς είναι λοιπόν: ομ c c e Επειδή η τιμή μ είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης με πολλαπλότητα k, για να βρούμε μια μερική λύση της () χρησιμοποιούμε την (α), παρ. 5. και έχουμε: u(α α α )α α α (4) Αντικαθιστώντας την (4) στην () βρίσκουμε, μετά από πράξεις: -(α ) (α -α )(α -α ) α -/, α -, α - Συνεπώς u()-- - / και η γενική λύση της () είναι: c c e -- - / Σημείωση: Ο αναγνώστης ας επιβεβαιώσει, δοκιμάζοντας, ότι στην περίπτωση αυτή η μορφή () παρ. 5. θα οδηγούσε σε αδύνατες εξισώσεις για τα α, α, α. Παράδειγμα : Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. - -e (5) Aπάντηση: Η χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης ομογενούς Δ.Ε. έχει τις ρίζες μ -, μ. Η γενική λύση της ομογενούς είναι επομένως: ομ c e - c e Για να βρούμε μια μερική λύση της (5) χρησιμοποιούμε την μορφή (), παρ. 5. και γράφουμε u()αe (6) Αντικαθιστώντας την (6) στην (5) βρίσκουμε: 9αe -αe -αe e α/4 Η γενική λύση της (5) είναι λοιπόν: c e - c e e /4 Παράδειγμα 4 : Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. - e (7) Λύση: Η χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης ομογενούς Δ.Ε. έχει ρίζες μ, μ. Άρα η γενική λύση της ομογενούς είναι: ομ c e c e Επειδή το είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης με πολλαπλότητα k, χρησιμοποιούμε, για την εύρεση μιας μερικής λύσης της (7) τη μορφή (α), παρ. 5. και γράφουμε: u()αe Με απλές πράξεις διαπιστώνουμε ότι η έκφραση αυτή είναι λύση της (7) αν α. Η γενική λύση της (7) είναι λοιπόν: c e c e e c e (c )e Παράδειγμα 5 : Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε.: - si (8) Λύση: Η χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης ομογενούς Δ.Ε. έχει ρίζες μ, μ και επομένως η γενική λύση της ομογενούς είναι: ομ c e c e

101 96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Για να βρούμε μια μερική λύση της (8) χρησιμοποιούμε τη μορφή (), παρ. 5. και γράφουμε: u()α siα cos Με απλές πράξεις διαπιστώνουμε ότι η έκφραση αυτή είναι λύση της (8) αν α -/, α /. Η γενική λύση της (8) είναι λοιπόν: c e - c e - si cos Παράδειγμα 6 : Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε.: 4si (9) Λύση: Η χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης ομογενούς Δ.Ε. έχει ρίζες μ i, μ -i. Η γενική λύση της ομογενούς Δ.Ε. είναι λοιπόν: ομ c cosc si Για να βρούμε μια μερική λύση της (9) χρησιμοποιούμε τη μορφή (α), παρ. 5., (επειδή τα ±i είναι ρίζες με πολλαπλότητα k της χαρακτηριστικής εξίσωσης), και γράφουμε: u()(α siα cos) Με απλές πράξεις διαπιστώνουμε ότι η έκφραση αυτή είναι λύση της (9) αν α, α -/4. Η γενική λύση της (9) είναι λοιπόν: c cosc si-/4cos Παράδειγμα 7 : Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε.: -6-6e - () Δίνονται οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης της αντίστοιχης ομογενούς Δ.Ε.: μ, μ, μ Λύση: Η γενική λύση της ομογενούς Δ.Ε. είναι: ομ c e c e c e Για να βρούμε μια μερική λύση της () χρησιμοποιούμε τη μορφή (4), παρ. 5. και γράφουμε: u()e - (α α ) Η έκφραση αυτή είναι λύση της αν α -/44, α -/ Η γενική λύση της () είναι λοιπόν: c e c e c e -/44e - -/e - Παράδειγμα 8 : Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε.: - - 6si () Αν είναι γνωστό ότι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης της αντίστοιχης ομογενούς Δ.Ε. είναι: μ, μ -, μ. Λύση : Η γενική λύση της ομογενούς είναι: ομ c e c e - c e Το δεξιό μέλος της () εμπίπτει στην περίπτωση 6 της παρ. 5.. Για να βρούμε μια μερική λύση χρησιμοποιούμε λοιπόν τους τύπους (), και (), παρ. 5. και γράφουμε: u()(a A )α siα cos Η έκφραση αυτή είναι λύση της () αν Α /, Α, α /, α /. Επομένως η γενική λύση της () είναι:

102 Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις τάξης 97 c e c e - c e //si/cos Παρατήρηση: Οι τιμές των συντελεστών της μερικής λύσης u() μιας μη ομογενούς γραμμικής Δ.Ε. προσδιορίζονται από τη μορφή της Δ.Ε., ενώ οι συντελεστές της γενικής λύσεως της αντίστοιχης ομογενούς Δ.Ε. προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Ασκήσεις: Να βρεθεί η γενική λύση των παρακάτω εξισώσεων:. -5 6e 4 Aπ. c e c e /e 4. Aπ. (c c )e e Aπ. c e - c e - e / 4. (D -)5- Aπ. c e c e (D -)e (-) Aπ. c e c e - e (/-7/9) 6. (D-) e Aπ. (c c )e /6 e 7. (D -6D9)e Aπ. c e c e / e 8. D(D9) Aπ. c c e -9 / Aπ. c sic cos /9-/97/8. - -e Aπ. c e c e c e ( /6)e 5.4 Μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων ή μέθοδος του Lagrage Με τη μέθοδο αυτή μπορούμε κατ αρχήν να βρούμε μια μερική λύση της γραμμικής μη ομογενούς Δ.Ε.: () A () (-) A - () A ()f() () αν ξέρουμε τη γενική λύση της αντίστοιχης ομογενούς: () A () (-) A - () A () () δηλ. αν ξέρουμε την: ομ c ()c () c () () Η μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων είναι γενικότερη από τη μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών γιατί μπορεί να εφαρμοστεί και στην περίπτωση που οι συναρτήσεις A (), A (),, A () δεν είναι σταθερές ή και στην περίπτωση που είναι μεν σταθερές οι συναρτήσεις αυτές, αλλά η f() δεν έχει μια από τις απλές μορφές της παρ. 5.. Η μέθοδος θα εξηγηθεί για Δ.Ε. τάξης. Η γενίκευση για > είναι άμεση. Θεωρούμε λοιπόν την Δ.Ε. A () A ()f() ( ) και υποθέτουμε ότι η γενική λύση της αντίστοιχης ομογενούς Δ.Ε. δηλ. της A () A () ( ) είναι γνωστή. Έστω ομ c ()c () ( ) η γενική λύση της αντίστοιχης ομογενούς. Η μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων συνίσταται στην αναζήτηση μιας μερικής λύσης της ( ), που θα έχει μορφή παρόμοια προς την ( ), στην οποία όμως τα c, c θα έχουν αντικατασταθεί με συναρτήσεις v (), v (). Αναζητούμε δηλαδή μια μερική λύση της (), της μορφής: uv () ()v () () (4) και προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τις συναρτήσεις v (), v () έτσι ώστε η (4) να ικανοποιεί την ( ). Αν αντικαταστήσουμε την (4) στην ( ), θα πάρουμε μια εξίσωση, την ο-

103 98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ποία πρέπει να ικανοποιούν οι δυο άγνωστες συναρτήσεις v (), v (). Επειδή μια εξίσωση δεν επαρκεί για τον προσδιορισμό δυο αγνώστων συναρτήσεων, χρειαζόμαστε άλλη μια ε- ξίσωση, που να συνδέει τα v () και v (). Επιλέγουμε αυτή τη δεύτερη εξίσωση έτσι ώστε να διευκολύνει τον υπολογισμό των v () και v (). Για τον σκοπό αυτό παρατηρούμε ότι η παράγωγος της (4), δηλαδή η u [v v ][v v ] (5) απλοποιείται σημαντικά αν επιλέξουμε τα v και v έτσι ώστε η δεύτερη αγκύλη της (5) να μηδενίζεται. Απαιτούμε λοιπόν να είναι: v v (6) οπότε u v v (7) Από την (7) παίρνουμε τότε: u v v v v (8) Αντικαθιστώντας τις (4), (7) και (8) στην ( ), παίρνουμε: v v v v A v A v A v A v f() v [ A A ]v [ A A ] v v f() (9) Οι δυο παρενθέσεις της (9) μηδενίζονται, αφού οι και είναι λύσεις της ομογενούς Δ.Ε. () και επομένως η (9) γίνεται: v v f() () Οι εξισώσεις (6) και () αποτελούν ένα σύστημα από τη λύση (5 του οποίου προσδιορίζουμε τα v και v. Στη συνέχεια τα v και v προσδιορίζονται ολοκληρώνοντας τα v και v. Κατά τις ολοκληρώσεις αυτές μπορούμε να παραλείψουμε τις σταθερές ολοκληρώσεις αφού αρκεί να βρούμε μια μερική λύση της (). Τέλος αντικαθιστώντας τα v και v στην (4) βρίσκουμε μια μερική λύση της (). Συγκεκριμένα έχουμε: f ( ) f ( ) v f( ) f ( ), v W W W W f ( ) και τελικά uv v - W d f ( ) W d () Την σχέση () θα την συναντήσουμε και πάλι στο επόμενο κεφάλαιο στην παρ Παρατήρηση: Στην περίπτωση Δ.Ε. τάξης, αναζητούμε λύση της μορφής : uv () v () v () Τα v i () προσδιορίζονται ολοκληρώνοντας τα v i (), τα οποία είναι λύση του συστήματος: (5 Παρατηρούμε ότι το σύστημα αυτό έχει πάντοτε λύση επειδή η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων, δηλαδή η συμπίπτει με την ορίζουσα του Wroski W(, ) και επομένως δεν μηδενίζεται πουθενά, αφού οι και είναι γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της ( ). (Αν δεν ήταν γραμμικά ανεξάρτητες, η ( ) δεν θα ήταν η γενική λύση της ( )).

104 Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις τάξης 99 v v v v v v v (-) v (-) v (-) f() () Εύκολα αποδεικνύεται ότι η μερική λύση έχει την μορφή: Wi ( ) u( ) i ( ) d i W( ) Όπου W i () η ορίζουσα που προκύπτει από την ορίζουσα W του Wrosk, εάν η i στήλη αντικατασταθεί από την στήλη: f( ) Παράδειγμα : Να βρεθεί μια μερική λύση της Δ.Ε. - e / Λύση: Η γενική λύση της ομογενούς είναι ομ c e c e Επομένως αναζητούμε λύση της μορφής: u()v ()e v ()e Τα v και v είναι λύσεις του συστήματος: v e v e v e v [e e ]e / από το οποίο βρίσκουμε: v -, v / Επομένως v - d-, v d/l Η ζητούμενη μερική λύση είναι λοιπόν: u()-e l e Παράδειγμα.: Να βρεθεί μια μερική λύση της sec Λύση : Η γενική λύση της ομογενούς είναι: ομ c c cosc si Αναζητούμε λοιπόν λύση της μορφής: u()v ()v ()cosv ()si Οι παράγωγοι v, v, v ικανοποιούν το σύστημα: v v cosv si v v (-si)v cos v v (-cos)v (-si)sec Λύνοντας το σύστημα αυτό βρίσκουμε: v sec, v -, v -ta Επομένως: και τελικά Ασκήσεις v secdl secta v - d- v - tadl cos u()l secta -cossil cos

105 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ) Με τη μέθοδο μεταβολής των παραμέτρων, να βρεθεί μια μερική λύση των παρακάτω Δ.Ε.: α) - e / 5 Aπ. u(/) - e β) sec Aπ. u[cos]l cos si γ) 4si Aπ. u[cos ()]/ ) Γενικεύοντας την παραπάνω πορεία για >, δείξτε ότι τα v i () ικανοποιούν το σύστημα (). Εφαρμογές της ομογενούς Δ.Ε. ας τάξεως με σταθερούς συντελεστές ) Ελεύθερη αρμονική ταλάντωση χωρίς τριβή F() Πρόκειται για κίνηση υλικού σημείου επί ευθείας, η οποία οφείλεται στη δύναμη K ( K > ). Η Δ.Ε. της κίνησης είναι: K ωo F m K m ( ωo ) m Ομογενής γραμμική Δ.Ε. ας τάξεως με σταθερούς συντελεστές. Η χαρακτηριστική της εξίσωση είναι: μ ( ω ) μ ± iω. Οπότε η γενική λύση θα έχει την μορφή: o o ( C si ω t C cos ω t) C si ω t C cos ω t e (),τότε από την () θα πά- Αν επιπλέον έχουμε ως αρχικές συνθήκες ρουμε: () o K m o o () o και () υo o o C o, (t) Cωo cosωot Cωo si ωot () Cωo υo C. ωo Επομένως η () γράφεται μορφή Asi( ω t φ) υo si ωot o cosωot. Η () μπορεί να γραφεί και στην ω o () όπου A το πλάτος της ταλάντωσης και φ η φάση. Η () γράφεται Asi ω t cosφ A cosω t si φ οπότε έχουμε A cos υ ω o φ, o o o A si φ και επομένως ta υ o o A ( o ) A ω o ωo o υ ω υ o o φ και ( o o ) υ ) Αρμονική ταλάντωση με αντίσταση F() Θεωρούμε την ευθύγραμμη κίνηση υλικού σημείου όπου εκτός από τη δύναμη K επιδρά και η αντίσταση R() b ( K,b > ). Η Δ.Ε. της κίνησης είναι b K m b K m m

106 Θέτοντας K b ( ω o ) και γ η () δίνει m m γ ( ω o ) Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις τάξης Η χαρακτηριστική της εξίσωση είναι: μ γμ ( ω ). Δ 4γ 4( ω ) οπότε: γ ± γ ( ωo ) μ, γ ± γ ( ωo ) ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ: Α) Ασθενής απόσβεση. Για μικρή αντίσταση τέτοια ώστε γ < (ω ), θα έχουμε: μ γ± i ω γ γ± iω με ω, Η γενική λύση είναι: (t)e -γt (c siωtc cosωt) η οποία μπορεί να γραφεί στη μορφή: (t)de -γt cos(ωtθ) () όπου τα D και θ προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Η λύση παριστάνει ταλάντωση σταθερής συχνότητας με πλάτος το οποίο φθίνει εκθετικά με το χρόνο και τείνει ασυμπτωτικά στο μηδέν. Η ταλάντωση αυτή ονομάζεται φθίνουσα αρμονική ταλάντωση. ( t) o ω γ o ep(- γt) -ep(-γt o Φθίνουσα αρμονική ταλάντωση t Β) Ισχυρή απόσβεση Για μεγάλες τιμές της αντίστασης τέτοιες ώστε γ > (ω ),θα έχουμε μ, γ ± γ (ωo ) μt μt Έτσι (t) C e C e () ( μ ) μ., < o Γ) Κρίσιμη απόσβεση. Εδώ έχουμε ότι γ ω o, οπότε ωot μ, γ και (t) ( C Ct) e () Τόσο η () όσο και η () παριστάνουν κίνηση όπου το υλικό σημείο τείνει ασυμπτωτικά να ι- σορροπήσει στην αρχή των αξόνων χωρίς ταλαντώσεις. ) Εξισώσεις Lagrage Έστω ολόνομο σύστημα με βαθμούς ελευθερίας ( Ολόνομο σύστημα: όλοι οι δεσμοί είναι ολόνομοι (βλέπε ολοκληρωτικός παράγοντας)) το οποίο εκφράζεται με τις γενικευμέ- (t) Ισχυρή Ασθενής απόσβεση t

107 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 νες συντεταγμένες q,.,q. Oι εξισώσεις της κίνησης είναι οι εξισώσεις Lagrace: d T T Q j j,,..., dt q j q j (Τ: κινητική ενέργεια). Οι εξισώσεις Lagrace είναι διαφορικές εξισώσεις ας τάξεως. Αν οι N ( α) ri ( ) γενικευμένες δυνάμεις Q j Fi j,,..., ( F α i οι γνωστές δυνάμεις που ο- q i j νομάζονται και δεδομένες δυνάμεις, r το διάνυσμα θέσεως του σημείου εφαρμογής της δύναμης F F α R και R οι αντιδράσεις των δεσμών) απορρέουν από δυναμική συνάρτη- ( ) V ση V V(q,q,...,q, t), δηλαδή Q j, j,,..., τότε εισάγοντας την συνάρ- q τηση Lagrace ή Lagracia L T V (V: δυναμική ενέργεια) θα έχουμε: d L L j,,...,. dt q j q j Έστω υλικό σημείο μάζας m που κινείται χωρίς τριβή σε οριζόντιο σωλήνα, ο οποίος περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνάει από το μέσο του σωλήνα, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Θέλουμε να βρούμε και να λύσουμε την Δ.Ε. κίνησης του υλικού σημείου.( Ο σωλήνας βρίσκεται πάντα στο επίπεδο) j Το σύστημα έχει μόνο ένα βαθμό ελευθερίας γιατί υπάρχει ο δεσμός fφ-ωt. Επιλέγουμε ως γενικευμένη συντεταγμένη την απόσταση της μάζας m από το Ο, ρ. Το άνυσμα θέσεως του υλικού σημείου είναι: r ρcos( ωt)î ρsi( ωt)ĵ r ( ρcos( ωt) ρωsi( ωt) ) î ( ρsi( ωt) ρωcos( ωt) )ĵ Οπότε η κινητική ενέργεια θα γραφεί: T mr m( ρ cos ( ωt) ρ ω si ( ωt) ρρωcos( ωt) si( ωt) ρ si ( ωt) ω ρ cos ( ωt) ωρρsi( ωt) cos( ωt) ) m( ρ ω ρ ). Θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το επίπεδο θα έχουμε: L T V T m( ρ ω ρ ).

108 Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις τάξης Επομένως η εξίσωση κίνησης θα γίνει: d L L dt ρ ρ L Όμως mρ mρ και L mω ρ mω ρ. ρ ρ () d Oπότε η () γράφεται ( mρ ) mω ρ mρ mω ρ Ομογενής γραμμική Δ.Ε. ας dt τάξεως με σταθερούς συντελεστές. Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι μ -ω μ±ω. t ωt Επομένως ρ C e ω C. 4) Κύκλωμα RLC e Έστω το κύκλωμα RLC, το οποίο αποτελείται από έναν πυκνωτή, μια αντίσταση και ένα πηνίο συνδεδεμένα σε σειρά. Υποθέτουμε ότι πριν κλείσει ο διακόπτης ο πυκνωτής είχε φορτιστεί με φορτίο Qm. H αποθηκευμένη στον πυκνωτή ενέργεια είναι Q C και στο πηνίο LI. Η ολική ενέργεια δεν είναι πια σταθερή γιατί έχουμε θερμικές απώλειες στην αντίσταση. Ο ρυθμός με τον οποία χάνεται η ενέργεια διαμέσου της αντίστασης είναι: du I R () dt du d Q Q dq di όπου το πλην δηλώνει ότι η U μειώνεται. LI LI dt dt C. C dt dt Q dq di Λόγω της () θα έχουμε: I R LI () C dt dt dq Επειδή όμως I η () γράφεται: dt dq Q di I I Q di R I LI dt dq Q d Q IR L R L C dt C dt dt C dt d Q dq L R Q dt dt C Ομογενής γραμμική Δ.Ε. ας τάξεως. Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι Q 4L Lμ Rμ. Η διακρίνουσά της είναι: Δ R C C 4L R ± R C R R οπότε μ, ±. L L L LC ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ 4L. Αν R μt μt > τότε Q Ce Ce C R 4L R. Aν R t L Δ τότε μ και Q ( C C t) e C L

109 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Aν Q Q 4L R < τότε C m e Rt L cos( ω d t) 4L R ± i R C R R μ, ± i και L L LC L με ω d LC R L o 5) Σκέδαση σωματιδίου σε ένα ορθογώνιο σκαλοπάτι δυναμικού (6 Θεωρούμε μια δέσμη σωματιδίων που σκεδάζεται σε ορθογώνιο σκαλοπάτι δυναμικό V. Η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrödiger για μονοδιάστατο δυναμικό V() γράφεται: Hψ ψ () V() ψ() Eψ() m Οι περιπτώσεις που πρέπει να εξετάσουμε είναι οι εξής δύο:. E > και. E < V V o o Περίπτωση. Στην περιοχή Α η εξίσωση Schrödiger γράφεται: ψ A Eψ A m me me k ψ ψ ψ A A A k ψ A Γραμμική ομογενής Δ.Ε. ας τάξεως με σταθερούς συντελεστές. Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: μ k μ ± ik. ik ik Επομένως έχουμε ψ A Ae A e. Στην περιοχή Β η εξίσωση Schrödiger είναι: m m (k ) ( EV ) o ψ B Voψ B Eψ B ψ B ( E Vo ) ψ B ψ B (k ) ψ B m Γραμμική ομογενής Δ.Ε. ας τάξεως με σταθερούς συντελεστές. Η χαρακτηριστική της ε- ξίσωση είναι μ (k ) μ ± ik. ik ik Επομένως ψ B e B e. B (6 Ο De Broglie στην διδακτορική του διατριβή έθεσε το εξής θέμα: Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα κάτω από ορισμένες συνθήκες εμφανίζουν σωματιδιακές ιδιότητες. Μήπως ποσότητες που τις νομίζουμε σωματίδια (π.χ. ηλεκτρόνια) έχουν κάτω από ορισμένες συνθήκες ιδιότητες χαρακτηριστικές των κυμάτων; Έτσι οδηγήθηκε στην ιδέα ότι η κίνηση ενός σωματιδίου καθορίζεται από τις ιδιότητες (διάδοσης) ενός κύματος το οποίο ονόμασε υλικό κύμα και το οποίο συσχετίζεται με το σωματίδιο. Συσχέτισε το μήκος κύματος λ και την συχνότητα ν του υλικού κύματος με την ορμή p και την ολική σχετικιστική ενέργεια E του σωματιδίου μέσο των σχέσεων: λh/p και νε/h. Η εξίσωση Schrödiger είναι η διαφορική εξίσωση διάδοσης αυτού του υλικού κύματος (Ο Schrödiger αντί για τον όρο υλικό κύμα χρησιμοποίησε τον όρο κυματοσυνάρτηση). Έτσι η συμπεριφορά του υλικού κύματος είναι ακριβώς προβλέψιμη. Αντιθέτως αυτό μας δίνει πληροφορίες μόνο για την πιθανή συμπεριφορά του σωματιδίου. Έτσι η ποσότητα P(,t)Ψ * (,t)ψ(,t)d μας δίνει την πιθανότητα ώστε το σωματίδιο να βρίσκεται μεταξύ και d.

110 Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις τάξης 5 Για να ανταποκρίνεται η γενική λύση στις συνθήκες ενός τέτοιου πειράματος θα πρέπει η ik μορφή της στην περιοχή Β να περιέχει μόνο το κύμα e το οποίο περιγράφει σωματίδια ik που κινούνται προς τα δεξιά (Το κύμα e περιγράφει σωματίδια που κινούνται προς τα ik ik ik αριστερά). Άρα B. Επομένως ψ A Ae A e και ψ B B e. Λόγω του ότι η κυματοσυνάρτηση πρέπει να είναι παντού συνεχείς συμπεριλαμβανομένων και των σημείων ασυνέχειας του δυναμικού, θα ισχύουν οι συνθήκες: ψ A () ψ B () A A B A A B ψ ψ ( ) A () B () ika ika ik B k A A k B A A B k k k k B A και A B A A A A B k k k k k Οι συντελεστές A, A είναι αυτοί που καθορίζουν τις πυκνότητες της προσπίπτουσας και της ανακλώμενης δέσμης. Προφανώς την πυκνότητα της προσπίπτουσας δέσμης μπορούμε να την ρυθμίσουμε κατά βούληση. Περίπτωση. Περιοχή Α: Η εξίσωση Schrödiger γράφεται: me ψ A Eψ A ψ A ψ m Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι μ k μ ± ik ik ik οπότε ψ A Ae A e. Περιοχή Β: Η εξίσωση Schrödiger γράφεται: m ψ B Voψ B Eψ B ψ B V m Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι μ ( k ) μ ± k me k A ψ Α ( E) o ψ B m (k ) k ψ ( V E) A. o ψ B (k ) ψ B. k k οπότε ψ B Be Be. Η κυματοσυνάρτηση όμως πρέπει να είναι παντού πεπερασμένη συμπεριλαμβανομένου και k του απείρου. Για αυτό κρατάμε μόνο το εκθετικό e. Έτσι k ψ B Be. Από τις οριακές συνθήκες συνέχειας έχουμε: ψ A () ψ B () A A B A A B ψ A () ψ B () ika ika kb ik( A A ) kb B k k ik και A B A A k ik A k ik 5) Kίνηση υλικού σημείου σε κεντρικό πεδίο.

111 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Αποδεικνύεται ότι η τροχιά υλικού σημείου σε πεδίο κεντρικών δυνάμεων είναι επίπεδη. Η Δ.Ε. που μας δίνει την εξίσωση της τροχιάς υλικού σημείου στο επίπεδο υπό μορφή: d r mr r r( θ) είναι F(r) () dθ r L όπου L η στροφορμή του υλικού σημείου μάζας m ως προς το κέντρο δυνάμεων Ο, r η απόσταση του υλικού σημείου από το Ο και F(r) η δύναμη που του ασκείται. Ας μελετήσουμε την περίπτωση που έχουμε ελκτικές δυνάμεις αντιστρόφως ανάλογες του τετραγώνου της αποστάσεως. Τέτοια περίπτωση έχουμε όταν υλικό σημείο μάζας m κινείται γύρω από υλικό σημείο με μάζα M>>m, έτσι ώστε να θεωρούμε ότι το σώμα μάζας Μ είναι ακίνητο (π.χ. κίνηση δορυφόρων γύρω από τη γη).οι ελκτικές δυνάμεις θα έχουν τη μορφή F(r) ό- k r που k θετική σταθερά. Αν στην () θέσουμε u η Δ.Ε. γίνεται: r k F(r) d u mr d u mk r u F(r) u () dθ L dθ L Γραμμική μη ομογενείς Δ.Ε. ας τάξεως με σταθερούς συντελεστές. Η αντίστοιχη ομογενής d u Δ.Ε. είναι u. dθ Η χαρακτηριστική της εξίσωση γράφεται μ μ ± i, οπότε η λύση γράφεται: u C cosθ C si θ ή αλλιώς u A cos( θ θo ) C με A (C) (C ) και ta θ o. C Τα A, θ o είναι σταθερές που θα προσδιοριστούν από τις αρχικές συνθήκες. Στη συνέχεια αναζητούμε μια μερική λύση. Έστω u C u. mk mk Οπότε από την () έχουμε u u C L L mk Άρα η γενική λύση είναι u A cos( θ θo ). L Θυμόμαστε τώρα ότι u οπότε: r mk A cos( θ θo ) r r L mk A cos( θ θ ) mk AL o cos( θ θ ) o L L mk L p r mk () AL ecos ( ) ( θ θo ) cos θ θo mk L AL όπου p και e. mk mk

112 Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις τάξης 7 ( ) Η () είναι εξίσωση κωνικής τομής της οποίας η μια εστία είναι το ελκτικό κέντρο. Το e παριστάνει την εκκεντρότητα της κωνικής τομής, ενώ το p συνδέεται με τον μεγάλο ημιά- ξονα α και την εκκεντρότητα με τον τύπο p α e. Η γωνία θ o ορίζει τη διεύθυνση της ακτίνας που αντιστοιχεί στη μικρότερη απόσταση από το Ο. Η τιμή της εκκεντρότητας(που καθορίζεται έμμεσα από τις αρχικές συνθήκες) καθορίζει τη μορφή της τροχιάς. Έτσι για e έχουμε κυκλική τροχιά για <e< έχουμε ελλειπτική τροχιά για e έχουμε παραβολική τροχιά για e> έχουμε κλάδο υπερβολής 6) Κίνηση ομογενούς ελατηρίου Θεωρούμε ομογενές ελατήριο μάζας m και σταθεράς Κ. Το ελατήριο κρεμιέται από το ένα του άκρο σε ακλόνητη κατακόρυφη θέση, ενώ στο άλλο του άκρο κρεμάμε μάζα Μ. Θέλουμε να βρούμε την εξίσωση κίνησης. Υποθέτουμε ότι η ταχύτητα κάθε σημείου του ελατηρίου είναι ανάλογη της απόστασής του από το άκρο. Η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι T m M dm () όπου ο δεύτερος όρος αντιπροσωπεύει την κινητική ενέργεια ενός κομματιού του ελατηρίου μάζας dm που απέχει απόσταση από το Ο. Εκ της υποθέσεως μας έχουμε ότι α όπου α μια σταθερά. Λαμβάνοντας υπόψη μας τη συνθήκη προσαρμογής για το σύνορο, θα έχουμε α α οπότε. α Το ελατήριο έχει ομογενή κατανομή μάζας και πυκνότητα ρ, m dm ρd όπου ρ. Η () γίνεται: T M ρ d M ρ 6 m ρ Θεωρούμε σαν επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το επίπεδο που αντιστοιχεί στο. Η δυναμική ενέργεια της μάζας Μ είναι V () Mg. Η δυναμική ενέργεια βαρύτητας του ελατηρίου είναι (dm)g ρg d ρg mg V (). Η δυναμική ενέργεια που οφείλεται στη μεταβολή του μήκους του ελατηρίου είναι V ( ) () K o όπου το μήκος του ελατηρίου πριν κρεμαστεί το σώμα(φυσικό μήκος). Η Lagracia του o

113 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 συστήματος γράφεται mg L T V ( M m) K( o ) Mg. 6 Η εξίσωση κίνησης θα είναι d L L d mg ( M m) K K o Mg dt dt mg K o Mg mg K ( M m) K K o Mg () M m M m Μη ομογενής γραμμική Δ.Ε. ας τάξεως με σταθερούς συντελεστές. Η αντίστοιχη ομογενής K Δ.Ε. είναι: M m K K με χαρακτηριστική εξίσωση μ μ ± i M m M m οπότε η λύση της ομογενούς είναι: K K (t) C cos t C si M m M m t. Στη συνέχεια αναζητούμε μια μερική λύση της (). Η μερική λύση της () θα είναι μια σταθερά. u () C u, οπότε από την (): mg K o Mg mg K o Mg K C C. M m M m K Άρα η γενική λύση είναι: mg K Mg K K o (t) C cos t C si t M m M m. K 7) Εξαναγκασμένη ταλάντωση Θεωρούμε τον απλό αρμονικό ταλαντωτή στον οποίο εξασκούμε μια εξωτερική δύναμη η οποία είναι συνάρτηση του χρόνου. Η Δ.Ε. κίνησης γράφεται: m K F(t) που είναι μια μη ομογενής γραμμική Δ.Ε. ας τάξεως με σταθερούς συντελεστές. Θα μελετήσουμε την περίπτωση που η δύναμη είναι: F(t) F cosω t όπου Fo σταθερά και ω η συχνότητα της δύναμης. Επομένως o o m K Fo cosωot () Η αντίστοιχη ομογενής Δ.Ε. είναι m K, με χαρακτηριστική εξίσωση o

114 Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις τάξης 9 K K mμ K μ μ, ± i. m m Έτσι η λύση της ομογενούς Δ.Ε. είναι: K K K ω m (t) C cos t C si t (t) C cos ωt C si ωt m m. Στη συνέχεια αναζητούμε μια μερική λύση της (). Αναζητούμε λύσεις της μορφής u(t) A cosωο t Bsi ω t () u (t) Aωo si ωot Bωo cosωot u (t) A( ωo ) cos ωot B( ωo ) si ωot. Αντικαθιστώντας την () στην () έχουμε: m( A( ω ) cos ω t B( ω ) si ω t K(A cosω t Bsi ω t) o o o o ) o o o o o ( o) KA) si ωot( mb( ωo ) KB) Fo cos ωot F cosω t cos ω t ma( ω mb( ω o ) KB B Fo Fo F ma( ωo ) KA Fo A A K m( ω K o ) m o m ( ωo ) m Έτσι η γενική λύση του προβλήματος γράφεται: F (t) o cosωot C cosωt C cosωt m ω ( ω ) () ( ) o o o ( ω ( ω ) ) όπου τα C, C προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Έστω δηλαδή ότι για t o και ν o (4) Από την () θα έχουμε: Fo Fo () C C m( ω ( ω ) o o. o ) m( ω ( ωo ) ) H παράγωγος της (t) είναι: Fo ωo si ω t (t) o (t) Cωsi ωt Cωcosωt m ω ( ω ) ( ) o οπότε από την (4) θα έχουμε νo () C ω νo C. ω Έτσι στην περίπτωση αυτή η () γράφεται: Fo (t) cosω ot m ω ( ω ) ( o ) F o νo o cosω t siωt m ( ω ( ωo ) ) ω Αν η συχνότητα ω ο (συχνότητα εξαναγκασμού) βρίσκεται κοντά στη φυσική συχνότητα ω του t

115 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ταλαντωτή τότε το πλάτος ταλάντωσης γίνεται πολύ μεγάλο. Αυτό είναι το γνωστό φαινόμενο του συντονισμού. Αν είναι ωω ο η () δεν είναι πια αληθής αφού A. Θα ξαναλύσουμε την () η οποία έχει τότε τη μορφή Fo ω cosωt (5) m Η λύση της ομογενούς είναι ίδια, αλλάζει όμως η μερική λύση. Επειδή τα iω, iω αποτελούν ζεύγος συζυγών μιγαδικών ριζών με πολλαπλότητα ένα, αναζητούμε μερική λύση της μορφής u(t) t( α si ωt β cosωt). Υπολογίζουμε τις παραγώγους (t) α si ωt β cosωt t α ωcosωt β ωsi ωt ( ) u ( α ω siωt β ω cos t) u(t) αωcosωt βωsiωt αωcosωt βωsiωt t ω Αντικαθιστώντας στην (5) την u και τις παραγώγους τις, θα έχουμε: α ωcosωt βωsiωt t αω siωt βω cosωt ω tα siωt ω tβ cosωt Fo F cosω t β και α o Fo t. Επομένως έχουμε u(t) si ωt. m mω mω Fo t Οπότε η γενική λύση γράφεται (t) si ωt C cosωt C si ωt mω Από τις αρχικές συνθήκες ( () o, () ν o ) θα έχουμε () C o και Fo Foω t (t) si ω t si ωt C ω si ω t C ω cos ωt mω mω ν o () Cω ν o C ω Άρα τελικά η γενική λύση στην περίπτωση αυτή γράφεται: (t) Fo t ν o (t) si ωt o cosωt si ωt. mω ω ( ) t

116 6. Η ΟΡΙΖΟΥΣΑ ΤΟΥ WRONSKI ΚΑΙ ΟΙ ΧΡΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΣΤΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ 6. Γενικά Είναι γνωστό ότι ο μηδενισμός ή μη της ορίζουσας του Wrosk αποτελεί ικανή και αναγκαία συνθήκη για την γραμμική εξάρτηση ή ανεξαρτησία μιας -αδας μερικών λύσεων μιας γραμμικής Δ. Ε. τάξης m. Το χρήσιμο αυτό συμπέρασμα μπορεί να μεταφερθεί στις γραμμικές ομογενείς διαφορικές εξισώσεις τάξης: () Α () (-) Α - () Α () () με A i () i,,, συνεχείς συναρτήσεις ως εξής: Ο γραμμικός συνδυασμός των, το πλήθος, μερικών λύσεων,,, της Δ.Ε. () αποτελεί γενική λύση τότε και μόνο τότε όταν W(,,, ) Για την περίπτωση της Δ.Ε. ης τάξης: Α () Α () () η Wroskia δυο γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων είναι: W(, )W() - () και μπορεί να υπολογισθεί άμεσα από τους συντελεστές της εξίσωσης χωρίς προηγούμενα να ξέρουμε τις λύσεις της. Πράγματι: παραγωγίζουμε την () και έχουμε: W () - αλλά οι, ικανοποιούν την (), δηλ. Α () Α () (4α) Α () Α () (4β) πολλαπλασιάζοντας την (4α) επί και την (4β) επί και αφαιρώντας προκύπτει: W () - -Α ()( - )-Α ()W() W ()-Α ()W() A()d W() e (5) Εάν τώρα γνωρίζουμε μια λύση της (), έστω την, τότε μια δεύτερη γραμμικά ανεξάρτητη λύση μπορεί να υπολογισθεί ως εξής: W) Από την () έχουμε: - W() - ( (6) Η (6) είναι μια γραμμική Δ.Ε. ης τάξης ως προς της οποίας η λύση είναι: ep d W W d ( ) ( ) ep d d

117 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 W ( ) d (7) Παρατήρηση : Ο τύπος (5) ορίζει την Wroskia με απροσδιοριστία ενός πολλαπλασιαστικού παράγοντα, (λόγω του αορίστου ολοκληρώματος Α ()d), Εάν θέλουμε η Wroskia W() να παίρνει μια ορισμένη τιμή W( ) για τότε ο τύπος (5) πρέπει να γραφεί: W()W( ) e A()d διότι W ()-Α ()W() dw W dw A () A W ()d W() W( )e W W A()d (8) Παρατήρηση : Από την σχέση (8) προκύπτει ότι: α) αν W( ) για κάποιο (α,β), τότε και W() (α,β). β) αν W( ) για κάποιο (α,β), τότε W() (α,β) γ) επειδή ο όρος: e A()d είναι πάντα θετικός η ορίζουσα του W() έχει το ίδιο πρόσημο στο διάστημα (α,β) με το πρόσημο του W( ). (Το διάστημα (α,β) είναι το διάστημα στο οποίο οι γραμμικά ανεξάρτητες μερικές λύσεις,,, έχουν παραγώγους μέχρι (-) τάξης). Άσκηση : Να δείξετε ότι η Wroskia W(, ) δυο συναρτήσεων είναι ομογενής συνάρτηση ου βαθμού, δηλ. W(g, g )g W(, ) με g() συνάρτηση του, όχι κατ' ανάγκη σταθερά. Λύση: W(g, g )(g )(g ) -(g )(g ) g{ (g g )- (g g )} g{g - g }g { - }g W(, )} Άσκηση : Αφού διαπιστώσετε ότι η () είναι μια λύση της Δ.Ε.: -() (9) χρησιμοποιείστε τη μέθοδο της Wroskia για να υπολογίσετε μια δεύτερη λύση. Λύση: Η Δ.Ε. (9) γράφεται σε τυπική, (λυμένη), μορφή: - όπου Α ()- και η Wroskia θα είναι: A()d d l W() e e e e e Εφαρμόζοντας τον τύπο (7) έχουμε: d e

118 6. H Wroskia και οι χρήσεις της και η γενική λύση θα είναι: γεν c c e Άσκηση : Να δείξετε ότι η Wroskia της Δ.Ε: () Α () (-) A - () A () A()d δίνεται από τον τύπο: W()W( ) e όπου W( ) η τιμή της Wroskia για. Λύση: Έστω,,, γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της Δ.Ε. (Α), τότε εξ' ορισμού: (A) W() ( ) ( ) ( ) Αποδεικνύεται ότι η παράγωγος μιας ορίζουσας, της οποίας τα στοιχεία είναι συναρτήσεις του, ισούται με το άθροισμα οριζουσών, κάθε μια από τις οποίες έχει προέλθει από την αρχική παραγωγίζοντας τα στοιχεία μιας μόνο γραμμής. Εύκολα τώρα διαπιστώνουμε ότι η παράγωγος της W() θα μας δώσει μόνο μια μη μηδενική ορίζουσα, την: W () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Εάν στην εξίσωση (Α) θέσουμε τις λύσεις,,, προκύπτει ένα σύστημα εξισώσεων με αγνώστους τους συντελεστές A - (),,A () A () (-) A () (-) () A - () A () - A () (-) A () (-) () A - () A () -... A () (-) A () (-) () A - () A () - Με την βοήθεια της μεθόδου του Krammer η συνάρτηση A () δίνεται από τη σχέση: W ( ) A ()- dw()-a ()dw () W()W( ) e A ()d W) ( 6. O μετασχηματισμός gy και οι χρήσεις του Εάν μια Δ.Ε. είναι γραμμική και ομογενής, τότε ο μετασχηματισμός της εξαρτημένης μεταβλητής που διατηρεί αυτά τα χαρακτηριστικά πρέπει να είναι γραμμικός και ομογενής, δηλαδή:

119 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ()g()y() () Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό () στη Δ.Ε. P() Q() () προκύπτει: gy (Pgg )Y (g Pg Qg)Y () και εδώ έχουμε τις εξής δυο δυνατότητες: I) Επιλέγουμε την g() έτσι ώστε: g Pg Qg (4) δηλαδή η g συμπίπτει με μια από τις λύσεις της αρχικής Δ.Ε. (). Τότε η νέα μορφή της Δ.Ε. θα είναι: Y P * ()Y (5) με g P * ()P() g (6) Η Δ.Ε. (5) γίνεται αμέσως Δ.Ε. ης τάξης με την προφανή αντικατάσταση Y u οπότε η (5) γράφεται: g P u g u (7) g Pd ( ) P g e W) ( e d e Pd l g με λύση u() e u() (8) g g με g() μια λύση της Δ.Ε. () έστω η (). Τότε η (8) γράφεται: W) ( W ( ) u()y Y d W ( ) και δεδομένου ότι gy Y θα έχουμε: d που είναι ο γενικός τύπος, βάσει του οποίου υπολογίζουμε μια δεύτερη λύση όταν είναι γνωστή μια άλλη λύση, (Αυτό το είδαμε με άλλο τρόπο στην προηγούμενη παράγραφο). Συμπέρασμα: Αν γνωρίζουμε μια μερική λύση () της Δ.Ε. (), τότε η γενική της λύση δίνεται από τη σχέση: W ( ) γεν c ()c () d II) Επιλέγουμε την g() έτσι ώστε: Pgg από την οποία έχουμε: P d ( ) g() e W( ) () και η μετασχηματισμένη Δ.Ε. () παίρνει την λεγόμενη κανονική μορφή: Y I()Y () με I()Q()- P ()- 4 P () () της οποίας την χρησιμότητα θα δούμε στην επόμενη παράγραφο. Η σχέση () αποδεικνύεται ως εξής: Η () γράφεται : g gυ (g Pg Qg)Y Y P g Q Y g g

120 6. H Wroskia και οι χρήσεις της 5 Από την σχέση Pgg έχουμε: g P P g α) g P P P g και β) P gpg g g g 4 P P P P ( ) οπότε Y QY Y Q P ) Y 4 ( 4 I) ( Q) ( P ( ) P( ) Η κανονική μορφή και η σημασία της Η Δ.Ε. που προκύπτει από την P Q () χρησιμοποιώντας έναν ομογενή και γραμμικό μετασχηματισμό gy και απαλείφοντας τον όρο της πρώτης παραγώγου, ονομάζεται κανονική μορφή. Ο κατάλληλος όρος g() του μετασχηματισμού, όπως είδαμε πριν, είναι: P d ( ) g() e W( ) () και η κανονική μορφή της Δ.Ε. () είναι: Y I()Y () με g g Q P I()QP P g g 4 (4) Η σημασία της κανονικής μορφής διατυπώνεται από την παρακάτω πρόταση: Πρόταση: Όλες οι γραμμικές ομογενείς Δ.Ε. ης τάξης που συνδέονται με γραμμικούς και ομογενείς μετασχηματισμούς της εξαρτημένης μεταβλητής gy, (όπου η g() είναι ο- ποιαδήποτε συνεχής συνάρτηση όχι κατ' ανάγκη g W) ( ), έχουν την ίδια κανονική μορφή. Απόδειξη: Θεωρούμε την Δ.Ε. P Q (5) και τον μετασχηματισμό gy. Η νέα μορφή της Δ.Ε. θα είναι: Y P * Y Q * Y (6) όπου g g g P * P, Q * QP g g g Για να έχουν οι (5) και (6) την ίδια κανονική μορφή θα πρέπει να δείξουμε ότι: I * ()I() όπως φαίνεται στο Σχ. Pd ( ) όπου g P ep και g ep ( ) d Πράγματι: P P Q P g * * g g g I * ()Q * - P P 4 g g g 4 g

121 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Q P g g gg g P g g g Q- P - 4 P I() P P g g 4 4 g g 4 P Q gυ gτυχαία Υ P * Υ Q * u g Y ug Y Y I()Y Y I * ()Y I()Q- P - P 4 I * ()Q * - P* - 4 P* I()I * () Σχ. Παρατήρηση: Η παράσταση I() παραμένει αναλλοίωτη ως προς τους ομογενείς γραμμικούς μετασχηματισμούς gy. Όλες δηλαδή οι ομογενείς γραμμικές Δ.Ε. ης τάξης που συνδέονται με ομογενείς γραμμικούς μετασχηματισμούς έχουν την ίδια έκφραση I(). Η πρακτική και θεωρητική σημασία αυτής της παρατήρησης είναι ότι εαν δυο γραμμικές ομογενείς Δ.Ε. ης τάξης συνδέονται μ' ένα ομογενή γραμμικό μετασχηματισμό και η μία από αυτές επιλύεται, (διότι π.χ. μπορεί να είναι με σταθερούς συντελεστές), τότε και η άλλη επιλύεται μετασχηματίζοντας την στην κανονική της μορφή. Παράδειγμα: Ας θεωρήσουμε την Δ.Ε ( 6 -) (7) της οποίας η επίλυση της είναι αρκετά δύσκολη επειδή δεν έχει σταθερούς συντελεστές. Εάν όμως η (7) προέρχεται με την βοήθεια κάποιου ομογενούς και γραμμικού μετασχηματισμού από μια εξίσωση με σταθερούς συντελεστές τότε θα έχουν την ίδια κανονική μορφή. Όμως η κανονική μορφή των εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές είναι σταθερός αριθμός όπως φαίνεται από τον τύπο

122 6. H Wroskia και οι χρήσεις της 7 P P ΙQ- 4 όπου P, Qσταθερές. Αν λοιπόν η (7) προέρχεται από μια εξίσωση με σταθερούς συντελεστές θα πρέπει η παράσταση Ι για Ρ, Q 6 - να είναι μια σταθερά, όπως και συμβαίνει: I( 6 -)- Η δε κανονική της μορφή είναι: Y IY δηλαδή Y -Y της οποίας η γενική λύση είναι: Yc e c e - επειδή δε g()y τελικά η γενική λύση της () θα είναι: 4 Pd ( ) 4 W( ) Y e Y e Y 4 4 ( ) () e c e c e 6.4 Γραμμικές μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις ης τάξης Εάν υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε μια μερική λύση () της γραμμικής ομογενούς Δ.Ε. P() Q() () τότε, όπως είδαμε προηγούμενα, μπορούμε να βρούμε και άλλη μια γραμμικά ανεξάρτητη λύση () της () και να έχουμε την γενική λύση της σαν γραμμικός συνδυασμός των () και () δηλ. ομ c ()c () Επίσης είναι γνωστό ότι στην περίπτωση της μη ομογενούς γραμμικής Δ.Ε. P() Q()f() () η γενική λύση γεν της () βρίσκεται αν στη γενική λύση ομ, της ομογενούς προσθέσουμε μια οποιαδήποτε μερική λύση u της μη ομογενούς () δηλαδή: γεν ομ u Έτσι λοιπόν το πρόβλημα εντοπίζεται στο πως θα βρούμε μια μερική λύση της μη ομογενούς. Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε τον γραμμικό ομογενή μετασχηματισμό: ug()y() () Τότε θα έχουμε θέτοντας την () στην (): gy (Pgg )Y (g Pg Qg)Yf (4) Εάν διαλέξουμε η g() να είναι μια μερική λύση της () τότε: g Pg Qg και η (4) γράφεται τώρα σαν: gy (Pgg )Y f (5) η οποία με την αντικατάσταση Y h γίνεται Δ.Ε. ης τάξης: g f h P h ή h A()hB() (6) g g g f με A()P και B() (7) g g της οποίας η λύση δίνεται από τον τύπο:

123 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 g A d A d P g f e e B d c e d e P g ( ) ( ) g d g d c h ( ) (8) και η τελική λύση θα είναι: u()g()y()g() { h()d c } Pd ( ) (9) Αν θυμηθούμε όμως ότι: W() e είναι η Wroskia της P() Q(), η (8) με την βοήθεια των (7) μπορεί να γραφεί, παραλείποντας την σταθερά c, ως εξής: he P g g d f e P g g d g d g g g P g W) e d Pd g e e d ( P g g W( ) e d αλλά και g g W) ( W g f g W g d W fg g W d W fg Επομένως h Y hd d d g W W fg d d ugyg g W W f d d και αν θέσουμε g έχουμε: u W W αλλά επειδή f W d d θα έχουμε u f W d f W d d f u W d f W d () Ο τύπος () μας δίνει μια μερική λύση της μη ομογενούς Δ.Ε. () όταν γνωρίζουμε δυο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις, της αντιστοίχου ομογενούς. Παρατήρηση: Στον τύπο () η Wroskia W δεν πρέπει να υπολογίζεται από τον τύπο W()ep{- P()d}, ο οποίος την ορίζει με μια απροσδιοριστία μιας πολλαπλασιαστική σταθεράς, αλλά κατ' ευθείαν από τον ορισμό της W() - με, οι μερικές λύσεις που θα εισαχθούν στην (). Και αυτό γιατί η μερική λύση μερ δεν έχει ελευθερία πολλαπλασιασμού με μια σταθερά.

124 7. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ L(D) 7. Γενικά Έστω η Γραμμική Δ.Ε. τάξης με σταθερούς συντελεστές: () α (-) α f() () ή συμβολικά: L(D) f() () όπου L(D) D α D - α και k k d D k d () Είναι γνωστό ότι η γενική λύση της () γράφεται: γεν ομ μερ (4) όπου ομ η γενική λύση της αντίστοιχης ομογενούς της () δηλ. της () α (-) α (5) και μερ μια μερική λύση, (οποιαδήποτε), της (). Τυπικά, (συμβολικά) μια τέτοια μερική λύση μπορεί να βρεθεί λύνοντας την () ως προς : f) L D ) LD ( ) ( ( )f ( (6) Τι νόημα όμως έχει και ποια θα είναι η έκφραση του τελεστή L - (D); Εάν τον τελεστή L(D) τον θεωρήσουμε σαν πολυώνυμο ως προς D, σχέση (), τότε το πολυώνυμο αυτό μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο παραγόντων και θα έχουμε: L(D)(D-μ )(D-μ ) (D-μ ) (7) όπου μ i i,, είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου (Χ.Π) της (). Τώρα μπορούμε να γράψουμε: L(D) - (8) L(D) (D μ) (D μ) (D μ ) και η επίδραση του όρου πάνω στη συνάρτηση f() υπολογίζεται ως εξής: (D μ) Έστω u (D μ) f() (D-μ )uf() η οποία είναι γραμμική ης τάξης και η λύση της, κατά τα γνωστά, είναι μ μ u e e f()d επομένως u (D-μ ) - μ μ f() e e f()d από την τελευταία σχέση βλέπουμε ότι ο τελεστής (D-μ ) - τελεστής και μπορεί να πάρει την έκφραση: (D-μ ) - e μ de μ είναι ένας ολοκληρωτικός

125 KΕΦΑΛΑΙΟ 7 και η οποία για να υλοποιηθεί πρέπει να επιδράσει πάνω σε μια συνάρτηση f(). Στη συνάρτηση u αφήνουμε τώρα να επιδράσει ο παράγοντας και θα έχουμε: D μ u - u (D-μ - )u - u D μ που είναι και αυτή γραμμική ης τάξης με λύση: u - μ μ e e u () ( μμ) u - { } d μ μ μ μ μ μ e e e e f ()d d e de de f () Τελικά μετά την επίδραση και των υπολοίπων παραγόντων προκύπτει: μ μερ ( μ μ ) ( μμ ) ( μ μ ) μ e de de de de f () (9) Στις διαδοχικές ολοκληρώσεις, στη σχέση (9), παραλείπουμε τις σταθερές ολοκλήρωσης και αυτό διότι ζητάμε μια οποιαδήποτε μερική λύση και προφανώς την πιο απλή. Από την έκφραση (9) και για την περίπτωση μ μ μ μ προκύπτει: (D-μ) - f() e μ μ d de f () ϕορες δηλαδή ο αντίστοιχος ολοκληρωτικός τελεστής (D-μ) - μπορεί να γραφεί: (D-μ) - e μ D - e -μ όπου το D - σημαίνει διαδοχικές ολοκληρώσεις, δηλ D - d ϕορες Όμως d de μ μt f () ( t) e f(t)dt P () ( )! (A) ϕορες όπου Ρ - () πολυώνυμο - βαθμού, και επειδή ζητάμε μια μερική λύση θα το αγνοήσουμε. Τελικά θα έχουμε: (D-μ) - μ e μt f() ( t) e f(t)dt ( )! () Δεύτερος τρόπος: Για τον υπολογισμό της μερ αναλύουμε το "κλάσμα" (8) σε απλά κλάσματα: L - A A A (D) () Dμ Dμ Dμ μ και θα έχουμε: μερ μ μ Ae μ f()e d Ae f()e d () Απόδειξη της σχέσης (A). Παραλείποντας χάριν απλότητας το εκθετικό e -μ στη σχέση (Α) έχουμε: g() d df () ( t) f( t) dt P ( ( )! ) (Α ) ϕορες Αρκεί να αποδείξουμε ότι g () ()f(). Παραγωγίζουμε την (A ) φορές χρησιμοποιώντας τον τύπο του Leibitz: d

126 και έχουμε: d βλ ( ) βλ ( ) d ( dλ αλ ( ) αλ ( ) λ dλ Ιδιότητες του γραμμικού τελεστή L(D) β λ) d α( λ) ϕ(t, λ )dt ϕ(t, λ )dt ϕ( β( λ), λ) ϕ( α( λ), λ) dλ (B) g () ( t) f( t) dt ( ( )! P - ) g () ( t) f(t)dt P - () ( )! g (-) () (-) ftdt () ( ) P - g () ()f() Η σχέση (Α) αποδεικνύεται και με άλλο τρόπο, χρησιμοποιώντας την συνέλιξη δυο συναρτήσεων, (βλ. παρ. 8.). Παραδείγματα: Να βρεθεί μια μερική λύση για τις παρακάτω Δ.Ε. ) - e 5 Έχουμε L(D) D -D(D-)(D-), μ, μ, f()e Επομένως: u f() e e e d e e d e e e D μερ u D u e 5 4 e e d e e 5 d e Δεύτερος τρόπος: μερ e e e e e d e e e d ( D)( D) D D 4 5 ee e e e 4 ) 5 4- Έχουμε L(D)D 5D4(D)(D4) μ -, μ -4, f()- Επομένως: u f( ) e ( )e d e e d e e d D ( ) e e d e e e d e e e 8 8 μερ u 7 7 u e e d e e d D e { e } { } 8 e d e e e 8 8 8

127 KΕΦΑΛΑΙΟ 7 Δεύτερος τρόπος μερ 4 ( )( ) ( ) D D D D 4 ( ) 4 4 e ( )e d e ( )e d e ( e e ) e e e e Όταν ο μη ομογενής όρος f() της Δ.Ε. () έχει ειδική μορφή, τότε η μερική λύση μερ προκύπτει εφαρμόζοντας τις παρακάτω ιδιότητες του αντιστρόφου τελεστή L - (D). 7. Ιδιότητες του αντιστρόφου τελεστή L(D) ) Εάν f()e α α e τότε μερ e α με L(α) δηλ. το α δεν είναι ρίζα της Χ.Ε. L(D) L( α) Απόδειξη: Έχουμε: L(D)D α - Dα L(D)e α (α α - αα )e α L(α)e α L - (D)L(D)e α L(α)L - (D)e α e α L(α)L - (D)e α L - (D)e α α e L( α) ) Εάν f()si(αβ) ή cos(αβ) και LL(D ) δηλ. είναι συνάρτηση του D, που σημαίνει ότι περιέχει μόνο άρτιες δυνάμεις του D, τότε: α) si( α β) μερ si( α β ) L(D ) L( α ) με L(-α ) β) cos( α β) μερ cos( α β ) L(D ) L( α ) με L(-α ) Απόδειξη: Έχουμε L(D )(D ) α - D α L(D )si(αβ)((-α ) α - (-α) α )si(αβ)l(-α )si(αβ) L - (D ) L(D )si(αβ)l - (-D )L(-α ) si(αβ) si( α β) L (D )si( α β ) L( α ) Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται και η (β) ιδιότητα. ) Εάν f() m ή γενικότερα πολυώνυμο m βαθμού, τότε εκτελούμε την διαίρεση /L(D) έχοντας διατάξει το πολυώνυμο L(D) κατά τις ανιούσες δυνάμεις του D και παραλείποντας στο πηλίκο τις δυνάμεις τις μεγαλύτερες του m αφού D k m για k>m. 4) Εάν f()e α V() με V() τυχούσα συνάρτηση, τότε μερ LD ( ) eα V()e α L(D α) V()

128 Ιδιότητες του γραμμικού τελεστή L(D) Απόδειξη: Εάν θέσουμε f()e α V() τότε παρατηρούμε ότι Df()αe α V()e α DV()e α (Dα)V() D f()αe α (Dα)V()e α D(Dα)V()e α (D αdα )V()e α (Dα) V()... D k f()e α (Dα) k V() Επειδή L(D)D α D - α θα έχουμε: L(D)e α V() k α α k α α k ( ) α k α α D e V() e (D ) V() e L(D )V() k k (με α ), δηλαδή L(D)e α V()e α L(Dα)V() Αν στην τελευταία σχέση θέσουμε στη θέση της V() την έκφραση: τότε προκύπτει: V() L(D ) α α α α L(D)e V() e L(D ) V() e V() Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω σχέση με e α L(D ) α α L(D α) και έχουμε: LD ( ) L(D ) α L(D) α V() e V() 5) Εάν f()v() τότε μερ LD ( ) V() LD L ( D) ( ) V() ( ) V()- ( LD) Απόδειξη: Όπως και στην προηγούμενη απόδειξη παρατηρούμε ότι: D(V())DV()V() D (XV())D V()DV() D k (XV())D k V()kD k- V() και επομένως L(D)(V())L(D)V()L (D)V() όπου L (D) η παράγωγος του "πολυωνύμου" D α D - α ως προς το σύμβολο D. Αν στη τελευταία σχέση αντικαταστήσουμε το V() με την έκφραση: LD ( ) V() προκύπτει: L(D) V) ( V) ( L( D) V) ( LD ( ) LD ( ) Πολλαπλασιάζουμε από τα αριστερά και τα δυο μέλη με και θα έχουμε: LD ( ) V) ( V( ) LD LD L ( D ) L D V) ( ( ) ( ) ( ) LD V ) LD V) L ( D) ( ( ( ) ( ) L ( D) V) (

129 4 KΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ : Για τις παρακάτω Δ.Ε. να βρεθεί μια μερική λύση ) () e 4 L(D)D -D -5D6 και επομένως μερ LD e e e e ( ) L( 4) ) () (e ) e 4 6e 9 μερ LD e LD e LD e e e e e e ( ) ( ) ( ) L( 4) L( ) L( ) 8 ) () e μερ LD e e αλλά L() ( ) L( ) Μπορούμε όμως να συνεχίσουμε ως εξής: L(D)D -D -5D6(D-)(D-)(D) e e μερ e ( D) ( D )( D ) D ( )( ) D D e e e e d e 4) () e e e - L(D)D -5D 8D-4 μερ LD e LD e LD e e e e ( ) ( ) ( ) L( ) L( ) L( ) e e e e e e Οπότε συνεχίζουμε ως εξής: Έχουμε L(D)(D-)(D-) και μερ e e e 6 ( D)( D) ( D)( D) 6 6 e e e e ( D ) D ( D ) ( D ) ( D ) e e 6 e e d e D e e d e e 6 D - e e e e d e e e 6 e 6 { } { } e e D e 5) 4si L(D )D 4 Χαρ. ρίζες: μ i, μ -i μερ si LD ( ) si si 4 5

130 Ιδιότητες του γραμμικού τελεστή L(D) 5 6) (4) 9cos() L(D )D 4 D 9 Χ.Ρ. ρ i, ρ -i, ρ i, ρ 4 -i μερ LD ( ) cos( ) cos( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) cos( ) cos( ) ) -4si L(D)D D-4 Προσοχή: Εδώ ο τελεστής L δεν είναι συνάρτηση μόνο του D και η ιδιότητα () δεν εφαρμόζεται. Μπορούμε όμως να συνεχίσουμε μ' ένα από τους εξής δυο τρόπους: ος τρόπος: L(D)D D-4(D-)(D4) μερ D D 4 LD ( ) si ( D )( D 4) si ( )( ) ( D )( D 6) si D D4 si ( D D 4)si [ 4si 6cos4si ] ( )( 6) [ 5 4si cos ] ος τρόπος: D 8 μερ si si si si D D4 D 4 D 8 9D 64 D 8 D 8 si si [ ] cos 8 si ( ) [ ] 5 4si cos 8) 4coscos4 LL(D )D 4 Χ.Ρ μ i, μ -i μερ [ cos cos4] cos cos4 cos D 4 D 4 D 4 4 cos cos ; cos Επειδή ο παρονομαστής μηδενίζεται η προηγούμενη μέθοδος δεν εφαρμόζεται. Μπορούμε όμως να προχωρήσουμε ως εξής: ος τρόπος: cos [( h ) ] cos [( h ) ] cos [( h ) ] D 4 ( h) 4 4h h [ - h( 4 h) coshsi ( h) cos Αναπτυγμα Talor της f(h)cos[(h)] ] Επειδή όμως η γενική λύση της ομογενούς είναι: ομ c cosc si

131 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 7 και περιέχει τον όρο cos, δεν χρειάζεται να τον συμπεριλάβουμε στο ανάπτυγμα Talor. Έτσι έχουμε: h 4 h h h) si ( cos ( ) 4 h si h cos 4 si όταν h Τελικά μερ 4 si- cos4 ος τρόπος: cos i D 4 D i Di 4 D i D i ( )( ) cos cos i i i i i e e cosd e e cos d 4 i i i i i e e 4 si cos cos si cos cos i i ( cos isi ) si cos cos i i - ( cos isi ) si cos cos cos si 8 4 Ο όρος /8cos παραλείπεται επειδή υπάρχει στη γενική λύση της ομογενούς. 9) - L(D)D D Εκτελούμε την διαίρεση: LD ( ) D D μερ ( ) D D D D ( ) 9 7 ( ) ( 9 ) ) () L(D)D -D4 4 μερ ( 5 ) 4 D D D D D D ( 5 ) ) () -4 L(D)D -4D D Εκτελούμε την διαίρεση: LD ( ) D 4D D και έχουμε:

132 Ιδιότητες του γραμμικού τελεστή L(D) μερ D D D D 4D D Ο σταθερός όρος 8/8 δεν χρειάζεται διότι το αριστερό μέλος της Δ.Ε. δεν περιέχει την συνάρτηση παρά μόνο παραγώγους της και επομένως κάθε σταθερός όρος μηδενίζεται μετά τις παραγωγίσεις. (Θυμίζουμε ότι D - f() f()d ) ) -4 e L(D)D -4 μερ e e D 4 ( D ) 4 6 e D D e e 5 D 6D ) 4e si L(D)D D4 μερ LD e si e si e si ( ) D D 4 ( D ) ( D ) 4 e 4D si e si e si e si D 4D 7 4D 7 4D 6D 9 e 4D e e si ( D )si ( 7 8 cos si ) ( ) 4) -4 e e cos L(D)D -4D μερ [ ] 4 e e cos e D D ( D ) 4( D ) e e D 4 D D D e cos cos ( ) ( ) D D D e e e D e DD 4D D 4 cos cos D e ( ) e ( D )cos e ( ) e (cos si) D 6 8 5) (4) () () L(D)D 4 D D D (DD ) - μερl (D) ( D D ) D D D D 5 4 ( 6) D 4

133 8. Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ 8. Εισαγωγή. Ορισμός του μετασχηματισμού Laplace Μια άλλη τεχνική επίλυσης των γραμμικών Δ.Ε. με σταθερούς συντελεστές και αρχικές συνθήκες είναι εκείνη των ολοκληρωτικών μετασχηματισμών. Σαν ολοκληρωτικό μετασχηματισμό εννοούμε την αντιστοιχία: β α Ι : f() I(f()) K(t,)f()d () όπου α [-,), β (-,] και K(t,) μια γνωστή συνάρτηση δυο μεταβλητών, που θα ονομάζεται πυρήνας του μετασχηματισμού (). Σε κάθε τριάδα (α,β,k(t,)) αντιστοιχεί ένας ολοκληρωτικός μετασχηματισμός. Το τι είδους ολοκληρωτικό μετασχηματισμό θα επιλέξουμε εξαρτάται από το πρόβλημα που έχουμε να επιλύσουμε. Σκοπός μας είναι η μετατροπή της Δ.Ε. σε μια απλούστερη έτσι ώστε να είναι δυνατή η επίλυση της. Για τον μετασχηματισμό Laplace, (749-87), που αντιστοιχεί στην τριάδα (,, e -t ) δηλαδή: t F(t)L(f()) e f( )d () oι γραμμικές Δ.Ε. με σταθερούς συντελεστές μετατρέπονται σε αλγεβρικές εξισώσεις ως προς F(t), οι οποίες λύνονται προφανώς πολύ ευκολότερα απ' ότι οι Δ.Ε.. Το επόμενο βήμα για την επίλυση της Δ.Ε., όπως θα δούμε αναλυτικότερα στη συνέχεια, είναι η αντίστροφη μετάβαση από την F(t) στην f(). Όμως η εφαρμογή του μετασχηματισμού Laplace στις γραμμικές Δ.Ε. προϋποθέτει ότι το ολοκλήρωμα () υπάρχει. Για να διατυπώσουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες υπάρχει ο μετασχηματισμός Laplace μιας συνάρτησης f() είναι αναγκαίο να παραθέσουμε μερικούς απαραίτητους ορισμούς από την κλασική ανάλυση. Ορισμός : Μια συνάρτηση f() είναι εκθετικής τάξης α με α> εάν υπάρχουν δυο σταθερές Μ, k> τέτοιες ώστε: f() Me α k δηλαδή μια συνάρτηση εκθετικής τάξης α δεν μπορεί να αυξάνει γρηγορότερα από την εκθετική συνάρτηση e α. Παράδειγμα : Η συνάρτηση f() είναι εκθετικής τάξης α για κάθε α>, διότι: α lim e και επομένως για οποιοδήποτε Μ, π.χ. Μ, (στο παράδειγμα αυτό μπορούμε να διαλέξουμε οποιονδήποτε άλλο θετικό αριθμό), υπάρχει κάποιο k τέτοιο ώστε: e -α M για k

134 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Παράδειγμα : Η συνάρτηση f()siβ είναι εκθετικής τάξης α α> διότι επειδή α siβ και lim e για α> είναι φανερό ότι υπάρχει, αν πάρουμε π.χ. Μ, κάποιο k τέτοιο ώστε e -α M για k για α είναι e -α M άρα e -α siβ e -α <M για k Παράδειγμα : Η συνάρτηση f()e 4 είναι εκθετικής τάξης α4. Πράγματι α 4 (4 α) για α 4 lim e e lim e για α 4 Έστω ότι διαλέγουμε Μ, τότε υπάρχει κάποιο k, (που μπορεί να είναι το μηδέν), τέτοιο ώστε: e -α e 4 M k και α 4 Παράδειγμα 4: Η συνάρτηση f() e δεν είναι α e e δεν φράσσεται όταν ανεξαρτήτως της τιμής του α. εκθετικής τάξης, διότι η έκφραση Ορισμός : Μια συνάρτηση f() είναι κατά τμήματα συνεχής ή τμηματικά συνεχής στο ανοικτό διάστημα (α, β) εάν: α) η f() είναι συνεχής συνάρτηση στο (α, β) εκτός ίσως από ένα πεπερασμένο πλήθος σημείων,,, και β) σ' αυτά τα σημεία ασυνέχειας υπάρχουν τα όρια της f() από δεξιά και αριστερά δηλαδή υπάρχουν τα όρια: lim f () και lim f () j,,, j j Μια συνάρτηση είναι κατά τμήματα συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] αν α) είναι κατά τμήματα συνεχής στο ανοικτό διάστημα (α, β) και β) υπάρχει το δεξιό όριο της f() στο σημείο α και το αριστερό όριο στο β. Παρατήρηση : Προφανώς μια συνεχής συνάρτηση είναι και κατά τμήματα συνεχής. Θεώρημα : Εάν η συνάρτηση f() με πεδίο ορισμού τους θετικούς αριθμούς είναι κατά τμήματα συνεχής σε κάθε διάστημα [, c] με c>, και επί πλέον είναι εκθετικής τάξης, δηλαδή υπάρχουν θετικοί αριθμοί Μ,k> και α R τέτοιοι ώστε f() Me α k () τότε ο μετασχηματισμός Laplace της f() υπάρχει t>α. Απόδειξη: Επειδή η f() είναι κατά τμήματα συνεχής στο διάστημα [,k] έπεται ότι υπάρχει Μ > τέτοιο ώστε: f() M, [,k] (4) Από τις ανισότητες () και (4) έπεται ότι: L(f() j j k k t t t (t α) k k f () e d f () e d M e d M e d

135 O Μετασχηματισμός LAPLACE και οι εφαρμογές του M kt M (t )k M kt ( e ) e α ( e ) M επειδή t-α> t tα t tα Παρατήρηση : Οι συνθήκες του θεωρήματος είναι ικανές, όχι όμως και αναγκαίες. Δηλαδή, εάν ισχύουν οι συνθήκες του θεωρήματος, τότε υπάρχει ο μετασχηματισμός Laplace, ενώ εάν δεν ισχύουν δεν έπεται κατ' ανάγκη ότι δεν υπάρχει ο μετασχηματισμός Laplace. Π.χ. για την συνάρτηση: f() οι συνθήκες του θεωρήματος δεν ισχύουν διότι η f() δεν είναι συνεχής κατά τμήματα επειδή απειρίζεται στο σημείο. Όμως ο μετασχηματισμός Laplace υπάρχει. Γ π π Πράγματι: L L t t t όπου Γ() η συνάρτηση που ορίζεται από το ολοκλήρωμα: Γ() t t e dt και ονομάζεται γάμα (gamma) συνάρτηση. Η γάμα συνάρτηση αποδεικνύεται ότι έχει τις εξής ιδιότητες: ) Γ()Γ() για > και για N έχουμε: Γ()Γ()(-)Γ(-)! Από την τελευταία σχέση η γάμα συνάρτηση πολλές φορές ονομάζεται παραγοντική, (factorial), συνάρτηση. ) Γ(/) π ) Γ(p)Γ(-p) για <p< si pπ 4) Γ() π e - για αρκετά μεγάλο Ο τύπος αυτός ονομάζεται τύπος του Strirlig. [Το σύμβολο σημαίνει "κατά προσέγγιση ίσο προς για μεγάλα "]. 5) Για < μπορούμε να ορίσουμε την Γ() από τη σχέση: Γ ( ) Γ() 8. Βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace ( λ f () λ f ()) λ L( f ()) λ ( f ()) ) Γραμμική ιδιότητα: L L () Επειδή το ολοκλήρωμα έχει την γραμμική ιδιότητα, είναι προφανές ότι και ο μετασχηματισμός Laplace θα ικανοποιεί την γραμμική ιδιότητα:

136 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 t t t L( λ f () λ f ()) e ( λ f () λ f ()) d e ( λ f ()) d e ( λ f ()) d t t e f ()d e f ()d L(f ()) L (f ()) λ λ λ λ ) Ιδιότητα των παραγώγων: L(f ())tl(f())-f() () Η ιδιότητα () μας λέει ότι η πράξη της παραγώγου στην αρχική συνάρτηση αντιστοιχεί με τον πολλαπλασιασμό της μετασχηματισμένης F(t) με την μεταβλητή t μείον την σταθερά f(), δηλ. ο μετασχηματισμός Laplace μετατρέπει βασικά την πράξη της παραγώγισης σε απλό πολλαπλασιασμό. Εξ' ορισμού θα έχουμε: L(f ()) e t f ()d e t f() (e t )f()d f() t e t f()d t L(f()) f() tf(t) f() για την δεύτερη παράγωγο θα είναι: L(f ())L((f ()) )tl(f ())-f ()t{tl(f())-f()}-f ()t F(t)-tf()-f () L(f ())t F(t)-tf()-f () () και επαγωγικά L(f () ())t F(t)-t - f()-t - f ()- -f (-) () (4) Παρατήρηση: Από τους μετασχηματισμούς των παραγώγων προκύπτει ότι ο μετασχηματισμός Laplace όταν επιδράσει πάνω σε μια γραμμική Δ.Ε. () α - (-) α α μετατρέπει τις παραγώγους (k), με k,, στην μετασχηματισμένη Laplace Y(t) της ά- γνωστης λύσης () και στις τιμές που παίρνουν η συνάρτηση () και οι παράγωγοι της στο σημείο μηδέν. Έτσι η Δ.Ε. μετατρέπεται σε αλγεβρική. Επίσης οι αρχικές συνθήκες είναι εξ' αρχής ενσωματωμένες αντί να επιβάλλονται εκ των υστέρων. Δηλαδή, όπως θα δούμε αργότερα, η επίλυση μιας Δ.Ε. με τον μετασχηματισμό Laplace δίνει εκείνη την μερική λύση της Δ.Ε. που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες, που μας έχουν δοθεί. Ft ) Ιδιότητα του ολοκληρώματος: L fsds () () (5) t Η σχέση (5) μας λέει ότι η πράξη της ολοκλήρωσης στην αρχική συνάρτηση ισοδυναμεί με την διαίρεση της μετασχηματισμένης Laplace F(t) με την μεταβλητή t. Απόδειξη: t t L( f() s dst ) e ( f() s ds) d ( e ) t ( f() s ds) d t t t e f (s)ds e f ()d e f ()d t t t Παρατήρηση : Με την ιδιότητα αυτή μπορούμε να λύσουμε ολοκληρωτικές εξισώσεις ορισμένων μορφών. F(t) t

137 O Μετασχηματισμός LAPLACE και οι εφαρμογές του d 4) Ιδιότητα των δυνάμεων: L( f ( )) Ft ( ) (6) dt Η ιδιότητα (6) μας λέει ότι εάν είναι γνωστός ο μετασχηματισμός Laplace της f() τότε είναι γνωστός και ο μετασχηματισμός Laplace της f(). Απόδειξη: d d t d t Ft ( ) dt dt e f( ) d e f( ) d dt ( ) t e fd ( ) L f ( ) 5) Ιδιότητα της διαίρεσης με : L f ( ) Fudu () (7) t f () με την παραδοχή ότι υπάρχει το όριο lim Απόδειξη: Θέτουμε g()f()/ f()g(). Παίρνουμε τον μετασχηματισμό Laplace και των δυο μελών και έχουμε: d d F(t)L(f())L(g())- ( g) dt dt Gt Ft dg() t t L ( ) () () G(t) F(u)du dt α Επειδή όμως lim t G(t) το α αναγκαστικά θα πρέπει να είναι διότι: t lim t G(t)lim t - F(u)du F(u)du και επειδή F(t) θα πρέπει α α Τελικά θα είναι G(t) Fudu ( ) t α f () Άσκηση: Αφού αποδειχθεί ότι d F () t dt όπου F(t)L(f()) si π να δείξετε ότι d Απόδειξη: Από την προηγούμενη ιδιότητα έχουμε ότι: L f ( ) t f ( ) e d F () t dt t Παίρνοντας το όριο t ο όρος e -t και έχουμε τη ζητούμενη σχέση. Αν θέσουμε f()si με F(t)L(si),(βλέπε παρακάτω πίνακα Ι), έχουμε: t si dt t π d ta t t t 6) Ιδιότητα της μετατόπισης: α L f( α ) e F(t) (8.α) ( ) t α ή ισοδύναμα ( ) L e f() F(t α) (8.β) Απόδειξη: Εδώ πρέπει να προσέξουμε ότι επειδή στον μετασχηματισμό Laplace η μεταβλητή μεταβάλλεται από έως θα πρέπει -α. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f(-α) για -α< είναι μηδέν. Επομένως:

138 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 t ( ) L f( α ) e f( α)d θέτουμε -α και έχουμε: L α α α t( ) t t t ( α ) f( ) e f( )d e e f( )d e F(t) Η ιδιότητα αυτή του μετασχηματισμού Laplace βρίσκει μεγάλη εφαρμογή στα ηλεκτρικά κυκλώματα όπου η χρονική μετατόπιση ενός σήματος είναι συνηθέστατη και αντιστοιχεί στους διαφορετικούς χρόνους έναρξης λειτουργίας των πηγών του. 7) Ιδιότητα της αλλαγής κλίμακας: L(f(α)) F t α α Απόδειξη: Είναι L ( f( α )) e t f( α) t u α t α α α ( ( )) ( ) L f α e f u du F d. Θέτουμε αu και έχουμε: (9) 8) Ο μετασχηματισμός Laplace μιας περιοδικής συνάρτησης. Εάν f() είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ, δηλ. f(t)f(), τότε Απόδειξη: ( ) T t e f( ) d Lf ( () ) tt () e T T T T T t t t t L f ( ) e fd ( ) e fd ( ) e fd ( ) e fd ( ) Στο δεύτερο ολοκλήρωμα θέτουμε: ut, στο τρίτο ut κ.λ.π. Τότε ( ) T T T t t( u t) t( u T) L f ( ) e fd ( ) e fu ( Tdu ) e fu ( Tdu ) T tt tt T tu tt T tu e f ()d e e f (u)du e e f (u)du [ ] tt tt tu e e e f( u) du T T e t e f( )d tt όπου η σειρά e -tt e -tt είναι γεωμετρική με άθροισμα 9) Θεώρημα της συνέλιξης. e Θεωρούμε τους μετασχηματισμούς Laplace των συναρτήσεων f() και g(): F(t)L(f()) και G(t)L(g()) ( ) τότε ισχύει: F(t)G(t) L f ( sgsds ) ( ) () Το ολοκλήρωμα: f ( s)g(s)ds ονομάζεται συνέλιξη ή δίπλωση, (covolutio), των f() και g() και συμβολίζεται με f()*g() δηλαδή: tt

139 O Μετασχηματισμός LAPLACE και οι εφαρμογές του 5 f ( ) g ( ) f( sgsds ) ( ) () Έτσι η σχέση (), που εκφράζει το θεώρημα της συνέλιξης, γράφεται: ( ( ) g ( )) F(t)G(t) L f () Η σχέση () λέει ότι ο μετασχηματισμός Laplace μετατρέπει την συνέλιξη στον συνηθισμένο πολλαπλασιασμό συναρτήσεων. t t Απόδειξη: L( f() g() ) e ( f() g() ) d e f( s)g(s)ds d Τα δυο αυτά ολοκληρώματα μπορούν να γραφούν σαν διπλό ολοκλήρωμα: t e f( s)() g s dzd T όπου Τ η περιοχή ολοκλήρωσης του παρακάτω σχήματος. Κάνοντας την αλλαγή των μεταβλητών: u-s και ws με J uw, το διπλό ολοκλήρωμα γράφεται: s, T e ( u w) t T f( u) g( w) dudw όπου Τ το θετικό τεταρτημόριο u, w και έχουμε: s T e ( u w) t e ( u w ) f( u) g( w) dudw t fugwdudw ( ) ( ) ( )( ) ut wt e fudu ( ) e gwdw ( ) Lfu ( ) Lgw ( ) FtGt ( ) ( ) s Πρόταση : Ισχύει f()*g() g()*f() Απόδειξη: Με τον μετασχηματισμό z-t έχουμε f()*g() f ( sgsds ) ( ) fzg ( ) ( z)( dz) g ( zfzdz ) ( ) g ( ) f ( ) 8. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ( ( ) ( )) ( ) L ( ) L ( ( )) ) Γραμμική ιδιότητα: L - λ F λ F λ F λ F () Απόδειξη: Έχουμε L(λ f () λ f ())λ L(f ()) λ L(f ())λ F (t) λ F (t) L - (λ F () λ F ()) λ f () λ f ()

140 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ( [ F ) ( t) ] ( ) f( ) ) Ιδιότητα των παραγώγων L - () Απόδειξη: Έχουμε L L d dt d dt ( f ( )) ( ) Ft () f ( ) ( ) Ft () ( ) f ( ) L d dt Ft () f ) Ιδιότητα του ολοκληρώματος: L - Fsds () t ( ) () ( ) f Απόδειξη: Από τη σχέση L ( ) f Fsds () t L t Fsds () f ( ) οταν f() 4) Ιδιότητα των δυνάμεων: L - ( tf() t ) (4) f()f()δ() οταν f() όπου δ() η δέλτα συνάρτηση ( του Dirac. Απόδειξη: Έχουμε L(f ())tf(t)-f() f ()L - (tf(t))-l - (f()) αλλά L - οταν f() (f()) δ() οταν f() Επομένως L - f ( ) οταν f() (tf(t)) f()f()δ() οταν f() Η γενίκευση για μεγαλύτερη δύναμη είναι δυνατή, αλλά οδηγεί σε πολύπλοκες εκφράσεις. () Ft 5) Ιδιότητα της διαίρεσης με : L - t fsds (5) Ft Απόδειξη: Θέτουμε G() fsds ( L( G ( )) L fsds ( t Ft () L - G ( ) fsds ( ) t () Ft Άσκηση: Να αποδειχθεί ότι L - t ( ) v dv duf u ( Η δέλτα συνάρτηση δ() ορίσθηκε από τον Dirac το 97 από τη σχέση: δ() με την ε ιδιότητα δ ()d για ε>. Στο Παράρτημα Α δίνονται περισσότερα στοιχεία για την δέλτα συνάρτηση. ε ( ) ( ) για για

141 O Μετασχηματισμός LAPLACE και οι εφαρμογές του 7 v Απόδειξη: Θέτουμε g( ) dv duf( u). Τότε g () duf( u) καί g ()f() Επειδή g()g () θα είναι: L(g ())t G(t)-tg()-g ()t G(t) Όμως L(g ())L(f())F(t) Άρα Ft dv duf u dv duf u () F(t)t G(t)t L(g())t L ( ) L t ( ) Γενικά ισχύει: Ft () L - d d d ( s) f( s) ds t! φορες ( ) ( ( )) ( α ) 6) Ιδιότητα της μετατόπισης: L - e f F tα (6.α) ή L - ( e F() t ) Απόδειξη: α) Έχουμε L(e α f())f(t-α) L - (F(t-α))e α f() β) L(f(-α)e -αt F(t) L - (e αt F(t))f(-α) ( ) αt f α α α 7) Ιδιότητα της αλλαγής κλίμακας: L - (F(αt)) f (7) α α (6.β) t t Απόδειξη: Έχουμε L(f(α)) F f( α ) L F α α α α Αντικαθιστούμε το α με το /α και βρίσκουμε: f ( F( t) ) ( F( t) ) αl α L α f α α α 8) Το θεώρημα της συνέλιξης: L - ( FtGt () ()) f ( sgsds ) () (8) Απόδειξη: Έχουμε F(t)G(t)L L - f( sgsds ) ( ) ( ) ( ) FtGt () () f sgsds () 8.4 Ο μετασχηματισμός Laplace των στοιχειωδών συναρτήσεων! ) για f() F(t)L( ) t t t t t Απόδειξη: L( ) e d ( e ) d e e d t t t t! e d t t

142 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ) για f()siα F(t)L(siα) t t Απόδειξη: L(siα) e si α d ( ) α α t t α t e si d e si e cos d t α α α t t t t t ( ) α α α e cosα d e cosα e si αd t t t α α α α α L(si α) (si ) (si ) L α L α t t t t t α t ) για f()cosα F(t)L(cosα) t α Απόδειξη: Όμοια όπως η προηγούμενη. 4) για f()e α F(t)L(e α ) t α Απόδειξη: α t α (t α) (t α) ( ) L e e e d e d e t α tα α 5) για f()sihα F(t)L(sihα) t α α α α Απόδειξη: L(sihα) L(e ) L(e ) tα tα t α 6) για f()coshα F(t)L(coshα) Απόδειξη: Όμοια όπως η προηγούμενη. t t α β 7) για f()e α siβ F(t)L(e α siβ) (t α) β Απόδειξη: α t α (t α) (t α ) L (e siβ ) e e siβ d e si d ( e ) si d β β t α (t α) (t α) (t α) ( ) β β β e cosβ d e cosβ e siβ d (t α) (t α) (t α) α α ( ) ( ) β β L e siβ L e siβ (t α) (t α ) β

143 O Μετασχηματισμός LAPLACE και οι εφαρμογές του 9 t α 8) για f()e α cosβ F(t)L(e α cosβ) (t α) β Απόδειξη: Όμοια όπως ή προηγούμενη.! 9) για f() e α F(t)L( e α ) (t α) Απόδειξη: L( e α ) (t α) (t α) (t α) (t α) e d e e d e d tα tα tα ( ) (t )! e α d (t α) (t α) Για την επίλυση των Δ.Ε. χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό Laplace πρέπει να μπορούμε να αντιστρέψουμε τον μετασχηματισμό Laplace, δηλαδή αν ξέρουμε την F(t) να βρούμε την f(). Με την βοήθεια της μιγαδικής ανάλυσης μπορεί να αποδειχθεί ότι αν F(t) είναι ο μετασχηματισμός Laplace μιας συνεχούς συνάρτησης, τότε υπάρχει μια και μόνο μια συνάρτηση f()l - (F(t)). Εάν δεν περιοριστούμε σε συνεχείς συναρτήσεις τότε είναι δυνατό να υπάρχουν περισσότερες από μια μη συνεχείς συναρτήσεις που έχουν τον ίδιο μετασχηματισμό Laplace. Από τον Πίνακα ΙΙ διαπιστώνουμε ότι μπορούμε να αντιστρέψουμε τον μετασχηματισμό Laplace για κάθε F(t) που είναι ρητή συνάρτηση του t. Και αυτό διότι κάθε ρητή συνάρτηση αναλυόμενη σε απλά κλάσματα δίνει ακριβώς τις συναρτήσεις του t που βρήκαμε προηγουμένως. Παράδειγμα : Βρείτε την συνάρτηση που έχει σαν μετασχηματισμένη Laplace την: Ft () t ( t ) Λύση : Αναλύουμε την F(t) σε απλά κλάσματα Ft () t ( t ) t t t και επομένως f()l - (F(t)) L e L L t t t Παράδειγμα : (Περίπτωση μιγαδικών ριζών). Να αντιστραφεί ο μετασχηματισμός Laplace: F(t) tt ( 4t ) Λύση: Παρατηρούμε ότι το τριώνυμο t 4t έχει μιγαδικές ρίζες. Αναλύουμε την F(t) σε απλά κλάσματα χωρίς να αναλύσουμε το τριώνυμο t 4t σε γινόμενο πρωτοβάθμιων μιγαδικών παραγόντων και θα έχουμε: A BtΓ 4 F(t) A, B -, Γ - t t 4t

144 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΙΝΑΚΑΣ Ι ΟΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE. L(c f ()c f ())c L(f ())c L(f ()). L(f () ())t F(t)-t - f()-t - f () -f (-) (). L(e α f())f(t-α) 4. L(f(-α))e -αt F(t) 5. L( f())(-) F () (t) 6. L( fd ( ) ) t Ft ( ) 7. L - t (F (t)f (t))f ()*f () f( ) f( ) d ΠΙΝΑΚΑΣ ΙI ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΕΝΕΣ LAPLACE ΑΠΛΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ f() F(t) t t>! t t>, siα α t α t> cosα t t α t> e α t α t>α sihα α t α t> α coshα t t α t> α e α siβ β (t α ) β t>α e α cosβ t α (t α ) β t>α e α! (t α) t>α

145 t 4 δηλαδή F(t) t t 4t Έχοντας υπόψη ότι : L(e α β siβ) (t ) O Μετασχηματισμός LAPLACE και οι εφαρμογές του 4 και L(e α cosβ) t α α β ( ) t α β θα προσθαφαιρέσουμε στον παρονομαστή κατάλληλους όρους ώστε να σχηματισθεί τέλειο τετράγωνο: t 4 t 4 ( t ) t t 4t ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) και θα έχουμε t f e e t t t F(t) ( ) cos si ( ) ( ) Παράδειγμα : Βρείτε την αντίστροφη μετασχηματισμένη Laplace της tt ( 4) χρησιμοποιώντας συνελίξεις. Λύση: Είναι Εάν θέσουμε F(t)/t και G(t)/(t 4) έχουμε από tt ( 4) tt 4 τον πίνακα ότι f() και g() si. Eπομένως ( ) L L F(t)G(t) f() g() f( s)g(s)ds t(t 4) () si s ds ( cos ) 4 Παρατήρηση : Ένας άλλος τρόπος για την εύρεση του αντιστρόφου του μετασχηματισμού Laplace, δηλ. να βρούμε την αρχική συνάρτηση f() αν ξέρουμε την μετασχηματισμένη Laplace F(t)Lf() είναι αυτός που βασίζεται στη μιγαδική ανάλυση και δίνεται από τον ολοκληρωτικό τύπο: γ i t f() e F(t)dt πi για και t C γi ο οποίος λέγεται ολοκλήρωμα της μιγαδικής αντιστροφής, (comple iversio itegral) ή ολοκληρωτικός τύπος του Bromwich. Ο πραγματικός αριθμός γ, (που είναι τυχαίος), εκλέγεται έτσι ώστε στα αριστερά της ευθείας tγ του μιγαδικού επιπέδου να βρίσκονται όλα τα ανώμαλα σημεία, (πόλοι, σημεία διακλαδώσεως ή ουσιώδη ανώμαλα σημεία), της F(t). Εάν η F(t) ικανοποιεί ορισμένες συνθήκες, τότε αποδεικνύεται ότι: γ i t t f() e F(t)dt Res e F(t), α i k πi γ k όπου α k τα ανώμαλα σημεία της e t F(t) με Re(α )<γ και Res[e t F(t),α k ] το ολοκληρωτικό υπόλοιπο της συνάρτησης e t F(t), που αντιστοιχεί στο ανώμαλο σημείο α k. (Περισσότερες λεπτομέρειες βλέπε ΠΑΡΑΡΤΗΜΓ Γ).

146 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Επίλυση γραμμικών Δ.Ε. με σταθερούς συντελεστές με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace Ο μετασχηματισμός Laplace μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση μιας γραμμικής Δ.Ε. τάξης με σταθερούς συντελεστές : α () α - (-) α α f() () που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες : (), (),, (-) (-) () () Εάν τώρα πάρουμε τον μετασχηματισμό Laplace και των δυο μελών της () και με Y(t) συμβολίσουμε την μετασχηματισμένη Laplace L((()), θα έχουμε : α L( () )α - L( (-) ) α L( )α L()L(f()) () όπου L( ())ty(t)-()ty(t)- L( ())t Y(t)- t- L( () ())t Y(t)- t - - t (-) (-) t- (4) Αντικαθιστώντας τις (4) στην () προκύπτει μια αλγεβρική εξίσωση με άγνωστο την συνάρτηση Y(t). Λύνουμε την αλγεβρική εξίσωση ως προς Y(t), και από τον τύπο : ()L - (Y(t)) (5) προκύπτει η ζητούμενη μερική λύση που ικανοποιεί την () με αρχικές συνθήκες τις (). Η παραπάνω διαδικασία απεικονίζεται στο σχήμα που ακολουθεί: Διαφορική εξίσωση ως προς () Λύση L Αλγεβρική επίλυση ως προς Y(t) Αλγεβρική εξίσωση ως προς Y(t)L(()) ()L - (Y(t)) L - Y(t) Παράδειγμα : Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών : -5, () Λύση : Παίρνουμε τον μετασχηματισμό Laplace των δυο μελών της Δ.Ε. και έχουμε : L( ())-5L(())L() [ty(t)-()]-5y(t) [ty(t)-]-5y(t) Y(t) t 5 ()L - (Y(t))L - L t 5 t 5 5 e Παράδειγμα : Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών -5e 5 () Λύση : Εχουμε L( )-5L()L(e 5 ) [ty(t)-]-5y(t) Y(t) t 5 ( t ) ()L - (Y(t))L - e ( t 5 5 ) 5 Παράδειγμα : Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών -5, (π)

147 O Μετασχηματισμός LAPLACE και οι εφαρμογές του 4 Λύση : Εδώ η αρχική συνθήκη δεν αναφέρεται για αλλά για π. Θα θεωρήσουμε την τιμή () γνωστή και θα προχωρήσουμε κανονικά ως εξής : L( )-5L()L() ty(t)-()-5y(t) Y(t) ()L - (Y(t)) e 5 t 5 Από την αρχική συνθήκη προσδιορίζουμε τώρα το : (π) e 5π e -5π Τελικά έχουμε : ()e 5(-π) Παράδειγμα 4 : Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών si () Λύση : L( )L()L(si) [ty(t)-]y(t) Y(t) t ( t )( t ) t t t t (ανάλυση σε απλά κλάσματα) t t t t t ()L - (Y(t)) t L L L e cos si t t t Παράδειγμα 5 : Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών : 4, (), () t t Λύση : L( )4L() [t Y(t)-t()- ()]4Y(t) Y(t) t 4 t 4 t 4 ()L - (Y(t))L - t L cossi t 4 t 4 Παράδειγμα 6 : Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών : - 4 (), ()5 Λύση : L( )-L( )4L() [t Y(t)-()t- ()]-[ty(t)-()]4y(t) t Y(t) t t 4 Επειδή οι ρίζες του παρονομαστή είναι μιγαδικές, δεν μπορούμε να αναλύσουμε το κλάσμα σε απλά κλάσματα. Έχοντας υπόψη ότι : L(e α β t α siβ) και L(e α cosβ) (t α ) β ( t α ) β θα προσθαφαιρέσουμε στον παρονομαστή κατάλληλους όρους ώστε να σχηματισθεί τέλειο τετράγωνο: 7 t t t t Y(t) t t 4 t t 7 t t 7 4 4

148 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Συνεπώς : ()L - t t t t t 4 L e 7e cos si 7 t t t L 7 t 7 Παράδειγμα 7 : Να λυθεί τό πρόβλημα αρχικών τιμών : - -4 (), ()4 8 Λύση : L( )-L( )-L()4L( ) [t Y(t)-()t- ()]-[ty(t)-()]-y(t) t 8 t t t t 8 [t Y(t)-t-4]-[tY(t)-]-Y(t) Y(t) t ( t t ) 5 t t t t t t t 8 Τελικά ()L - (Y(t))L - L L ( ) t L - e e e e t t t t t e e d Παρατήρηση : Από την ιδιότητα των δυνάμεων L( f()) Ft (), συμπεραίνουμε dt ότι κάθε γραμμική Δ.Ε. ως προς () με συντελεστές πολυώνυμα του μπορεί να μετασχηματισθεί σε διαφορική εξίσωση ως προς Y με συντελεστές πολυώνυμα του t. Εάν οι συντελεστές της αρχικής Δ.Ε. είναι πρώτου βαθμού, (), τότε η Δ.Ε. ως προς Y(t) θα είναι πρώτης τάξης, η οποία λύνεται πάντα. Παράδειγμα 8 : Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών : - με () και () Λύση : L( )L( )-L() με L( )t Y(t)-t()- ()t Y(t)- d d L( )- L( ) [ ty() t ( ) ] ty () t Y() t dt dt

149 O Μετασχηματισμός LAPLACE και οι εφαρμογές του 45 Επομένως (t Y(t)-)(-tY (t)-y(t))-y(t) Y (t) t Y() t t t Η τελευταία Δ.Ε. είναι γραμμική ης τάξης με Α(t) t και B(t)-. t t Η γενική λύση κατά τα γνωστά είναι : t t A(t)dt A(t)dt l t l t Y(t) e e B(t)dt C e e dt C t t / [ e C] e e e te dt C te dt C C e t / t / t / t / t / t / t t t t t t Επειδή όμως ισχύει γενικά lim t ty(t)(), (βλέπε απόδειξη στο τέλος της άσκησης), ο μόνος τρόπος για να είναι lim t ty(t)() είναι C. Άρα Y(t) () t Απόδειξη της σχέσης lim t tf(t)f() t d t t t tf(t) te f( ) d ( e ) f( ) d e f( ) e f d d ( ) f e t t ( ) f ( ) d lim t tf(t)f()lim t e f ( ) d f( ) Παρατήρηση : Η τεχνική του μετασχηματισμού Laplace μπορεί να εφαρμοσθεί και για την εύρεση της γενικής λύσης θεωρώντας τις αρχικές συνθήκες τυχαίες. Παράδειγμα 9 : Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. () - - e Λύση : Στην περίπτωση αυτή οι αρχικές συνθήκες θα θεωρηθούν τυχαίες. Συγκεκριμένα υποθέτουμε ότι : ()A, ()B, ()Γ και έχουμε : L( () )-L( )L( )-L()L( e ) [t Y(t)-t ()-t ()- ()]-[t Y(t)-t()- ()][ty(t)-()]-y(t) ( t ) [t Y(t)-At -Bt -Γ]-[t Y(t)-At-B][tY(t)-A]-Y(t) ( t ) At (B A)t A B Γ Y(t) 6 (t ) (t ) Εφ' όσον τα Α, Β, Γ είναι τυχαία, τυχαίο είναι και το πολυώνυμο στον αριθμητή του πρώτου όρου στο δεξιό μέλος. Έτσι μπορούμε να γράψουμε : k k k Y(t) 6 ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) e 5 6 e 5 ()k e k e k e c e c e c e 6 με c k /, c k, c k Παρατήρηση : Η εύρεση της γενικής λύσης είναι ευκολότερη από την εύρεση της μερικής λύσης που αντιστοιχεί σε συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες, διότι αποφεύγουμε να

150 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 υπολογίζουμε τις σταθερές στην ανάπτυξη σε απλά κλάσματα της ρητής έκφρασης που προκύπτει. Παρατήρηση 4 : Η τεχνική του μετασχηματισμού Laplace μπορεί επίσης να εφαρμοσθεί και σε προβλήματα συνοριακών συνθηκών. Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε. 9cos με συνοριακές συνθήκες (), (π/)- Λύση : Επειδή η αρχική συνθήκη () είναι άγνωστη, θέτουμε ()k και έχουμε : t L( )9L()L(cos) [t Y(t)-t()- ()]9Y(t) t 4 t t k t (t 9)Y(t)-t-k Y(t) t 4 t 9 ( t 9)( t 4) t k t t t 9 t 9 4 t k t 5( t 4) 5( t 9) 5 t 9 ( t 9) 5( t 4) 4 k () cos si cos 5 5 Για να ορισθεί το k, παρατηρούμε ότι (π/)-, δηλ. --k/-/5 k/ Τελικά : () cos si cos Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε. με συνοριακές συνθήκες (), (π) Λύση : Θέτουμε ()Α και έχουμε : d d [ t Y() t t( ) ( ) ] ( ty() t ( ) ) dt dt Yt () -t Y -tyty--y -(t )Y - Y Y-ta - tk Επειδή Y(t) όταν t έχουμε kπ/. Άρα : Y si Επειδή L t ds ta s t t π -ta- tta έχουμε : ()L - ta - ( t si t 8.6 Ο μετασχηματισμός Laplace σε ασυνεχείς συναρτήσεις (Συναρτήσεις βήματος - συναρτήσεις μετατοπίσεως, (ή καθυστερήσεως), - περιοδικές συναρτήσεις) ( ta A ta B (Εδώ χρησιμοποιήσαμε την τριγωνομετρική ταυτότητα ta ( A B) για ta A ta B Απ/ και Β-ta - t)

151 O Μετασχηματισμός LAPLACE και οι εφαρμογές του 47 Στις εφαρμογές, ο μη ομογενής όρος f() της Δ.Ε. : () α - (-) α - (-) α α f() δεν είναι πάντα συνεχής συνάρτηση. Π.χ. στον Ηλεκτρισμό η f() μπορεί να είναι μια συνάρτηση του χρόνου, που παριστάνει το άνοιγμα ή το κλείσιμο ενός διακόπτη. Στη Μηχανική μπορεί να παριστάνει την ξαφνική αλλαγή ή εμφάνιση μιας δύναμης, π.χ. κτυπώντας "στιγμιαία" μια μπάλα που βρίσκεται σε ηρεμία ή σε κίνηση. Η πιο απλή, αλλά συγχρόνως και η πιο σπουδαία ασυνεχής συνάρτηση είναι η συνάρτηση μοναδιαίου βήματος, (ή συνάρτηση του Heaviside), που ορίζεται από τη σχέση : u() () ( u() Η σχέση () μπορεί να διατυπωθεί και ως εξής: u() Εάν θέλουμε η ασυνέχεια να είναι στο σημείο α, και όχι στο, τότε ορίζουμε την μετατοπισμένη μοναδιαία συνάρτηση βήματος, που δίνεται από τον τύπο : <α u( α ) (.α) >α <α Ο δε τύπος: u( α ) (.β) >α έχει σαν γραφική παράσταση εκείνη του παραπλεύρως σχήματος, που προκύπτει από την προηγούμενη δια ανακλάσεως. O u(-α) O u(α-) α Άσκηση : Να σχεδιαστούν οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων στο διάστημα <: ) f()-u(-) O α ) g()-u(-)u(-) ( Η τιμή u() παραμένει απροσδιόριστη. Στην πραγματικότητα δεν έχει καμμία σημασία εάν θέσουμε u() ή u() ή u()c με c οποιοσδήποτε αριθμός. Συνήθως θέτουμε c/.

152 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Λύση : ) f()-u(-) - > ) g()-u(-)u(-) -u(-) - - < < Με την βοήθεια της συνάρτησης μοναδιαίου βήματος u(), μπορούμε να γράψουμε συναρτήσεις, που ορίζονται από περισσότερους από έναν τύπους κατά ενιαία μορφή π.χ. η συνάρτηση : f ( ) μπορεί να γραφεί κατά ενιαίο τρόπο ως εξής: H τιμή της συνάρτησης f() είναι μέχρι το να φθάσει το όπου γίνεται -4, δηλ. έχουμε ένα άλμα Αυτό μπορεί να εκφρασθεί ως -6u(-), αφού το u(-) είναι μηδέν μέχρι το φθάσει το και μετά γίνεται. Όταν το φθάσει το 4 η συνάρτηση αλλάζει από το -4 στο, δηλ. έχουμε ένα νέο άλμα - (-4)5. Αυτό μπορεί να εκφρασθεί εάν προσθέσουμε τον όρο 5u(-4). Τελικά θα είναι : f()-6u(-)5u(-4) Γενικά εάν έχουμε μια συνάρτηση f(), που είναι ασυνεχής στα σημεία α, α,, α και ορίζεται από την σχέση: g() <α g() α < <α f()... g α < τότε η συνάρτηση f() μπορεί να γραφεί ως εξής: f()g ()[g ()-g ()]u(-α ) [g ()-g ()]u(-α ) [g ()-g ()]u(-α ) Μια χρήσιμη εφαρμογή των παραπάνω βρίσκουμε όταν έχουμε μια συνάρτηση f(), η οποία είναι ασυνεχής σ ένα σημείο α, όπου παρουσιάζει απλή ασυνέχεια, (άλμα). Τότε η συνάρτηση f() μπορεί να γραφεί σαν γραμμικός συνδυασμός των συναρτήσεων g() και h(), οι οποίες είναι συνεχείς παντού αλλά έχουν «κοπεί» στο σημείο α, ως εξής: - -u(-)u(-)

153 O Μετασχηματισμός LAPLACE και οι εφαρμογές του 49 g() α f()g()u(α-)h()u(-α)g()[h()-g()]u(-α) h() α h() g() α Ειδικά ο γραμμικός συνδυασμός: sg()u()-u(-) ορίζει την γνωστή συνάρτηση προσήμου, (sigum fuctio). Πολλές φορές χρειαζόμαστε να μετατοπίσουμε την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f() κατά α μονάδες προς τα δεξιά, (ή αριστερά). Η μετατόπιση αυτή ουσιαστικά ορίζει μια νέα συνάρτηση την g()f(-α), (ή g()f(α)). Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται συνάρτηση μετατόπισης, (ή καθυστέρησης όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή παριστάνει χρόνο). f() f(-α) α α Εάν τώρα θέλουμε η συνάρτηση g() να είναι μηδέν για <α, τότε αυτό μπορεί να γίνει ορίζοντας μια νέα συνάρτηση g() με τη βοήθεια της συνάρτησης μοναδιαίου βήματος u(-α) : g()u(-α)f(-α) Εάν έχουμε μια συνάρτηση f() και θέλουμε να την περιορίσουμε στο διάστημα [α,β), τότε ο περιορισμός της συνάρτησης δίνεται από τον τύπο: α g()f()[u(-α)-u(-β)] f() α β β

154 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Εάν η συνάρτηση f() είναι περιοδική με περίοδο Τ, δηλ. αν f(t)f() D (Dπεδίο ορισμού της f()) τότε ο περιορισμός της f() σε μια περίοδο της δίνεται από την έκφραση f) ( T g()f()u()-f(-t)u(-t) T Ο μετασχηματισμός Laplace G(t) της g() συνδέεται με τον μετασχηματισμό Laplace F(t) της f() με την σχέση : F(t) Gt () e Tt Πράγματι : G ( ) L g ( ) L fu ( ) ( ) f ( Tu ) ( T) L fu ( ) ( ) L f ( Tu ) ( T) ( ) ( ) ( ) ( ) Tt Tt ( ) Ft () e Ft () Ft () e Συνεπώς από τη γνώση του μετασχηματισμού Laplace του περιορισμού της f() πάνω σε μια περίοδο, μπορούμε να υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό Laplace της f() σ' ολόκληρο το πεδίο ορισμού της. Στις εφαρμογές θα χρειαστούμε να υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό Laplace των μετατοπισμένων συναρτήσεων. Πρώτα όμως θα υπολογίσουμε τους μετασχηματισμούς Laplace των σχέσεων () και () : t t t e u d e d L(u()) ( ) e () t t tα t t t e L(u(-α)) e u( α )d e d e α t α t Ο μετασχηματισμός Laplace της g()u(-α)f(-α) υπολογίζεται ως εξής : t t L( u( α)f( α )) e u( α)f( α )d e f( α)d α Χρησιμοποιούμε τον μετασχηματισμό -αs και έχουμε : Επομένως : L( u( α)f( α )) t(s α) tα ts tα L α t ( ) L( ) α ( ) t L e F(t) u( α)f( α) e f (s)ds e e f (s)ds e (f ()) α t L u( α)f( α ) e f() e F(t) Παράδειγμα : Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης : f()u(-). Λύση : Για να εφαρμόσουμε τον παραπάνω τύπο πρέπει να γράψουμε την συνάρτηση f()u(-) στην κατάλληλη μορφή u(-)f(-) δηλ. πρέπει η συνάρτηση να γραφεί σαν πολυώνυμο της μεταβλητής -. Αυτό μπορεί να γίνει εάν αναπτύξουμε το σε σειρά Talor γύρω από το σημείο. f () f! ( ) () f() f()! ( )

155 O Μετασχηματισμός LAPLACE και οι εφαρμογές του 5 f(), f (), f (), f () (), f () () για Επομένως ( ) ( ) ( ) ( ) Τελικά L(u(-) )L(u(-)[(-)(-) ] L(u(-))L(u(-)(-))L(u(-)(-) )e -t L()e -t L()e - t L( ) e t t t e e t t t Παράδειγμα : Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών "f() με αρχικές συνθήκες: π (), () και f() π Λύση : Την συνάρτηση f() πρέπει να την γράψουμε κατά ενοποιημένο τρόπο με την βοήθεια της συνάρτησης του μοναδιαίου βήματος : f()-u(-π) Έτσι η Δ. Ε. εξίσωση γράφεται : "-u(-π) Εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό Laplace και έχουμε : π t e [t Y(t)-t()- ()]Y(t)L()-L(u(-π)) t Αντικαθιστούμε τις αρχικές συνθήκες και λύνουμε ως προς Y(t): π t e π t t π t Y(t) ( e ) ( e )( L() L(cos) ) t(t ) t t ( ) t ( ) L() L(cos ) e π L() L(cos ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα της μετατόπισης : L - (e -αt F(t))u(-α)f(-α): ()L - (Y(t))(-cos)-u(-π)[-cos(-π)] cos π cos π (Παρόμοιο πρόβλημα αντιμετωπίσαμε στο παράδειγμα 4 της παραγράφου., αλλά με άλλο τρόπο) Παρατήρηση : Το πρόβλημα αρχικών τιμών του προηγούμενου παραδείγματος έχει την εξής φυσική ερμηνεία : Περιγράφει την κίνηση ενός υλικού σημείου προσδεδεμένου σ' ένα ελατήριο σταθεράς k, το οποίο βρίσκεται αρχικά σε ηρεμία και στη συνέχεια δέχεται μια δύναμη μέτρου επί π χρονικών μονάδων. Παράδειγμα : Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών : π με αρχικές συνθήκες (), () π Λύση : Εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Laplace στη Δ.Ε. και έχουμε :

156 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 e [t Y(t)-t()- ()][ty(t)-()]y(t) t Αντικαθιστούμε τις αρχικές συνθήκες και λύνουμε ως προς Y(t) : π t t Y(t) ( e ) t [(t ) [(t ) ] π t ( ) e () ( e cos) L L L( e si) ()L - (Y(t)) e cos e si (π) (π) u( π) e cos(π) e si(π) ( ) e cos e si π () e (e π )(si cos) π Αυτό το πρόβλημα αρχικών τιμών μπορεί να έχει την εξής φυσική σημασία: Παριστάνει μια εξαναγκασμένη αποσβενυμένη ταλάντωση όπου η εξαναγκασμένη δύναμη δρα επί π χρονικές μονάδες. π t Παράδειγμα 4 : Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών : π f() με αρχικές συνθήκες (), () π π Λύση : Διατυπώνουμε τον μη ομογενή όρο f() με τη βοήθεια της συνάρτησης βήματος u() και έχουμε : f()-u(-π)(-π) Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό Laplace : π t π t e e t [t Y(t)-]tY(t)Y(t) Y(t) t t(t t ) π t e Υ(t) t (t t ) t t t (t t ) Αναλύουμε τα κλάσματα σε απλά : t ( t t ) 4t t 4( t ) t t t t t

157 O Μετασχηματισμός LAPLACE και οι εφαρμογές του 5 οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί Laplace είναι : L e e t ( t t ) 4 4 L L t t e t e t e e L πt e π u ( π) e e t ( t t ) 4 4 ( π) ( π) και η λύση είναι : ()L - (Y(t)) ( e e e e ) u ( π) e e e e π 4 4 () π π π ( e ) e ( 5 e ) e π 4 π ( π) ( π) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λυθούν τα παρακάτω προβλήματα αρχικών τιμών με την βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace : α. 49, (), ()5/4 Απ. ()9/4si β. - 4e -, ()6, ()- Απ. ()e -e e - γ , () () Απ. ()5 4e (si-cos) δ. -e, () () ()

158 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 / Απ. () e e e cos si. Να βρεθούν οι γενικές λύσεις των παρακάτω Δ.Ε. με την βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace : α. - 4e Απ. ()c e c e 4e -4e β. 5e - si Απ. ()e - [c sic cos]/e - si-/6e - si γ. 9cos Απ. ()c sic cos/5cos. Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης g()f()[u(-α)-u(-β] εάν η συνάρτηση f() είναι γνωστή.

159 9 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 9. Διαφορικές εξισώσεις ης τάξης και ανωτέρου του ου βαθμού Εάν στη Δ.Ε. ης τάξης F(,, ), η παράγωγος εμφανίζεται σε δύναμη μεγαλύτερη της μονάδας και η Δ.Ε. είναι ένα πολυώνυμο ως προς και, (για να ορίζεται ο βαθμός), τότε η Δ.Ε. ονομάζεται Δ.Ε. ης τάξης και βαθμού. Για την επίλυση της θέτουμε: d d p η Δ.Ε. παίρνει τη μορφή F(,,p) () και μπορεί να επιλυθεί κατά τους εξής τρεις τρόπους: Ι) Αν η F(,,p) είναι πολυώνυμο βαθμού ως προς p, τότε μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο παραγόντων ( pf(,) )( pf(,) ) ( p f(,) ) () Η () δίνει τις Δ.Ε. ης τάξης: d d f (,),, d d f (,) () των οποίων οι γενικές λύσεις έστω ότι είναι: Φ (,,c ),,Φ (,,c ) (4) Ονομάζουμε γενικό ολοκλήρωμα της () μια συναρτησιακή έκφραση η οποία περιλαμβάνει όλες τις λύσεις (4). Μια τέτοια έκφραση είναι: Φ (,,c )Φ (,,c ) Φ (,,c ) (5) Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε. ( ) -( ) Λύση: Θέτουμε p και έχουμε p -( )p που είναι τριώνυμο ως προς p του οποίου οι ρίζες είναι: p, p α) p d d d l l c cep d Φ (,,c )-c ep β) p d d d d c c Φ (,,c ) c Η γενική λύση είναι: Φ (,,c )Φ(,,c ) c c ep

160 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε. ( ) - - Λύση: Θέτουμε p και έχουμε p -p- που είναι τριώνυμο ως προς p του οποίου οι ρίζες είναι: p d, p d d d Οι εξισώσεις αυτές είναι ομογενείς και λύνονται θέτοντας R RdR/d και έχουμε: R dr R R d R dr R R d dr d R (A) dr d R (B) dr d (A) c ( R R R l )lc R R c R c R -cr R c c () c c dr d (B) c ( R R R c l )-lc R R R c R c R () c c c c Η γενική λύση είναι : c c c R () c c c dr Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος θέτουμε: R R t R R t R -tr R t t dr 4 t ( t ) t dt dt 4t 4t dr R t t t t ( t ) 4t ( t ) 4t 4t dt dt t

161 l l{ } t c R R c Μερικές περιπτώσεις διαφορικών εξισώσεων 57 Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε.: (α - ) β(α - ) -( ) -β Λύση: Θέτουμε p και έχουμε : (α - )p β(α - )p-p -β που είναι πολυώνυμο ου βαθμού ως προς p, που μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων: [(α - )p -p][β(α - )p -β] β[(α - )p -]p[(α - )p -] (βp)[(α - )p -] d β pβ β () c d d p ± () ± arcsi c α d α α Η γενική λύση είναι: β c arcsi c α Παράδειγμα 4: Να λυθεί η Δ.Ε.: Λύση: Θέτουμε p και έχουμε : ( p p )p (p) (p)(p)(p) α) p d d d d l -l c l c ep(c )c > β) p d d d l -l c l c d ep(c )c 4 > Η γενική λύση είναι: (-c )( -c 4 ) ΙΙ) Εάν μπορούμε λύνουμε την F(,,p) () ως προς και έστω f(,p) d f f dp dp pf f p d p d d Η εξίσωση αυτή είναι ης τάξης και πρώτου βαθμού με άγνωστη συνάρτηση την p. Αν η γενική της λύση g(,p,c) μπορεί να λυθεί ως προς : φ(p,c), τότε οι σχέσεις: φ(p,c) και f(φ(p,c),p) αποτελούν τη γενική λύση της () υπό παραμετρική μορφή, με παράμετρο το p. Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε: ( ) Λύση: Θέτουμε p και έχουμε:

162 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 (p)p p d p dp p dp ( p) dp d d d d d(p)dp διαφορική μορφή με P, Qp, P Q δηλ. η Δ.Ε. δεν είναι πλήρης. p Όμως Α P Q, A p p Επομένως ένας ολοκληρωτικός παράγοντας δίνεται από την εξίσωση: μ μe p μ p Η Δ.Ε. d(p)dp γράφεται: e p de p (p)dp η οποία είναι πλήρης και επομένως υπάρχει συνάρτηση F(,p)c τέτοια ώστε: df F d F ep de p (p)dp p dp F ep Fe p c (p) F p ep (p)e p dc ( p) dc p) ( pe p dp dp p p p p p c p (p) pe dp pde pe e dp pe e Άρα F(,p)e p pe p -e p e p (p-)c ce -p -p και η γενική λύση υπό παραμετρική μορφή με παράμετρο το p είναι: ce -p -p, (ce -p -p)(p)p Για την ορθότητα των παραπάνω μπορούμε να υπολογίσουμε τα διαφορικά d, d από τις δυο παραπάνω σχέσεις και να διαπιστώσουμε ότι d/dp. Πράγματι: d(-ce -p -)dp, d[(-ce -p -)(p)(ce -p -p)p]dp[-(ce -p )p]dp d/dp ΙΙΙ) Λύνουμε την F(,,p) ως προς και έστω f(,p) τότε d f f dp f f dp p d p d p d η εξίσωση αυτή είναι ης τάξης και ου βαθμού ως προς p. Αν η γενική λύση της είναι g(,p,c) και μπορεί να λυθεί ως προς : φ(p,c) τότε οι σχέσεις: φ(p,c), f(φ(p,c),p) είναι η παραμετρική λύση της () με παράμετρο το p. Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε. - 4 Λύση: Θέτουμε p και έχουμε: p () p 4 d p p p dp p dp p p d p p ( p 4) d p 4 d p

163 Μερικές περιπτώσεις διαφορικών εξισώσεων p dp p dp p dp p 4 d p p 4 d p p 4 d p 4 l( p 4) l c p 4 c () c Άρα η λύση της αρχικής Δ.Ε. είναι υπό παραμετρική μορφή με παράμετρο το p προκύπτει από τις () και () και είναι: p p 4 c c Εδώ μπορούμε να απαλείψουμε το p από τις σχέσεις () και να πάρουμε τη λύση σε κλειστή μορφή: ()c 4 4 c 9. Διαφορικές εξισώσεις τάξης Η γενική μορφή της Δ.Ε. τάξης είναι: F(,,,,, () ) η οποία μπορεί να λυθεί στις εξής περιπτώσεις: Ι) Εάν () f() τότε ολοκληρώνουμε φορές: () d d df () ( t) f (t)dt P () ( )! ϕορες () όπου P - () πολυώνυμο - βαθμού ΙΙ) Εάν η Δ.Ε. δεν περιέχει την ανεξάρτητη μεταβλητή, δηλ. έχουμε: F(,,, () ) τότε θέτουμε p() ή d p(). (Η νέα συνάρτηση p θεωρείται συνάρτηση του και όχι d του επειδή η αρχική Δ.Ε. δεν περιέχει το ). d d d d p() dp d p dp d d d d d d d p dp d d d p dp d dp p dp d d d d p και γενικά η -οστή παράγωγος d θα περιέχει το p, p,,,p (-) δηλ. θα είναι μια έκφραση της μορφής: d d ( ) Gpp (,,, p ) p d

164 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μετά την αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στη Δ.Ε. καταλήγουμε σε μια άλλη Δ.Ε. τάξης (-) με άγνωστη συνάρτηση την p() και μεταβλητή την. Με αυτό τον τρόπο υποβιβάζουμε την τάξη της Δ.Ε. κατά μια μονάδα, η νέα Δ.Ε. είναι πιο απλή και ίσως επιλύσιμη. Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε. 4/ Λύση: Θέτουμε: d d p(), p() dp d d d και αντικαθιστώντας στη Δ.Ε. έχουμε: p dp d p c pdp 4 c c p d 4 4 ± c d ± 4 d c c c 4 ± c Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε. ( ) 4, d d Θέτουμε: p() dp και έχουμε d p() d d p dp p d p 4 dp c p d p 4 l( 4)l c l(p 4)l( c ) p c -4 (με c -4 ) ( 4 ) ± l c c c c d d d ± c 4 ± d c c 4 Παρατήρηση: Εάν χρησιμοποιήσουμε τον μετασχηματισμό ± α t τότε προκύ- d πτει: l( ±α ) ±α ΙΙΙ) Εάν η Δ.Ε. δεν περιέχει την συνάρτηση () και τις παραγώγους μέχρι k- τάξης, δηλ. F(, (k), (k),, () ) τότε θέτουμε : (k) Y() οπότε η Δ. Ε. γίνεται μια Δ.Ε. (k) τάξης: F(,Y,Y,,Y (-k) ) Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε. -4 ( ) Θέτουμε: Y() και Y () και έχουμε

165 Μερικές περιπτώσεις διαφορικών εξισώσεων 6 Y -4YY (χωρ. μετ.) dy d c Y 4Y l Y 4 Y 4 c Y Y 4 Ae Y ) A e 4 d A e 4 4 ( Ae d Ae ()-l -Ae 4 B με 4c la 4 Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε. α (4) - () για α> Λύση: Θέτουμε () Y() και (4) Y () και έχουμε: αy -Y με χαρακτηριστική εξίσωση: αμ - μ±/ α και επομένως Yc ep c ep α α () Y()d αcep αcep c α α ()αc ep α cep c c4 α α Βέβαια η διαφορική αυτή εξίσωση είναι γραμμική με χαρακτηριστική εξίσωση: αμ 4 -μ και χαρακτηριστικές ρίζες μ / α, μ -/ α μ,4, (διπλή). Επομένως η λύση είναι: ()k ep kep k k4 α α η οποία συμπίπτει με την προηγούμενη θέτοντας k αc, k αc, k c, k 4 c 4. Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε. ( ) Λύση : Θέτουμε Y() και Y () και έχουμε: Y Y Y Y - Y Y () Η Δ.Ε. () είναι Beroulli και γι αυτό θέτουμε: Y()[ u ( )] [ u ( )] Y u u H Δ.Ε.() γράφεται: u u u c ( ) / / c c Y() () d c Το τελευταίο ολοκλήρωμα δεν υπολογίζεται αναλυτικά. IV) Εάν έχουμε F(, () ) χωρίς να μπορούμε να λύσουμε ως προς (), Περ. (I), αλλά να λύνεται ως προς, δηλ. f( () ), τότε θέτουμε: () t με f(t) οπότε d (-) () dtf (t)dt (-) tf (t)dtc g (t,c ) Στο επόμενο βήμα θα έχουμε: d (-) (-) dg (t,c )f (t)dt (-) g (t,c )f (t)dtc (-) g (t,c,c )

166 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία φορές θα προκύψει η λύση υπό παραμετρική μορφή: f(t), g (t,c,c,,c ) Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε. si Λύση: Θέτουμε t οπότε tsit d d d t(cost)dt t /tsitcostc d d d t tsi t cos t c ( cos t) dt t t t c t c si t si t cos t c Παραμετρική λύση t si t Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε. e Λύση: Θέτουμε t οπότε e t t d d d t(e t t t t )dt ( te t) dt ( t ) e c t t t d d ( t ) e c ( e t) dt t t t t t t t t ( t ) e c ( e t) dt e c e c t c 4 6 t e Οι παραπάνω σχέσεις αποτελούν την παραμετρική λύση της διαφορικής εξίσωσης. 9. Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις τάξης Ορισμός: Αν η Δ.Ε. F(,,,,, () ) () είναι ομογενής βαθμού k ως προς τις μεταβλητές,,, (), δηλ.: F(,λ,λ,,λ () )λ k F(,,,, () ) () τότε η () λέγεται ομογενής k βαθμού. Για την επίλυση της Δ.Ε. () χρησιμοποιούμε τον μετασχηματισμό: ()e u(), ()> (ή ()-e u() για ()<) και έχουμε: ()u ()e u() ()[u ()u ()]e u() () ()f [u, u,,u () ]e u() Τότε η Δ.Ε. () γράφεται:

167 F(,,, () )F ( e u ue u f u u e u ( ) u,,, (, ), f( u, u, u ) e ) Μερικές περιπτώσεις διαφορικών εξισώσεων 6 (e u ) k F(,,u,f (u,u ),,f (u,u,,u () )) G(,u,u,,u () ) () Η () δεν εξαρτάται από την u() και θέτοντας u ()z() η τάξη της Δ.Ε. () ελαττώνεται κατά ένα, αποκτώντας μια πιο απλή μορφή που ίσως επιλύεται. Παράδειγμα Να λυθεί η Δ.Ε. -. Ομογενής ου βαθμού. Θέτουμε: e u() u e u (u u )e u Επομένως: (u u )e u u e u -u e u (u u )u -u Θέτουμε u z u z οπότε (z z )z -z z -z-z z -[/]z-z Η διαφορική αυτή εξίσωση είναι Beroulli με α Θέτουμε: [ ] z() ω (), z() ω () ω () ω και έχουμε: d ω ω ω () ep d c ω() ( c ) z() c ()c c du d c l c c u() ( ) Παράδειγμα Να λυθεί η Δ. Ε. -(- ). Ομογενής ου βαθμού. Θέτουμε: e u() u e u (u u )e u. Επομένως (u u )e u -(-u ) e u (u u )-(-u ) Θέτουμε: u z u z οπότε (z z )-(-z) z z -- z z z z- γραμ. c du c c z z z() u() l c d c () ep l c Παράδειγμα Να λυθεί η Δ.Ε. - Ομογενής ου βαθμού. Θέτουμε: e u u e u, (u u )e u και έχουμε (u u )-u u -u. Θέτοντας zu προκύπτει η εξίσωση z z - που είναι Ricatti. Χρησιμοποιούμε τον μετασχηματισμό: z z ( ) w ww w w w

168 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ww και έχουμε: ( w ) w w w w w η τελευταία εξίσωση είναι γραμμική ομογενής ης τάξης και λύνεται με τη βοήθεια της μεθόδου των σειρών, όπως θα δούμε σε επόμενο κεφάλαιο. Γενικά η Δ.Ε. Ricatti: α() β()γ() με τον μετασχηματισμό u α() u μετατρέπεται σε γραμμική ομογενή Δ.Ε ης τάξης. 9.4 Ακριβείς ή πλήρεις διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης Η διαφορική εξίσωση τάξης: P(,,,, (-) )Q(,,,, (-) ) () (Α) ονομάζεται πλήρης ή ακριβής εάν υπάρχει συνάρτηση f(,,,, (-) ) τέτοια ώστε: df f f d f f ( ) ( ) P Q ) (B) Συγκεκριμένα η ης τάξης Δ.Ε. P(,, )Q(,, ) d d () ονομάζεται ακριβής ή πλήρης αν υπάρχει συνάρτηση f(,, ) τέτοια ώστε df d P(,, )Q(,, ) d d () Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό z και θεωρώντας ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση f(,,z), τότε: df P Q d f f d f dz d d d z d () Εάν η () είναι μια λύση της (), τότε θα ισχύει f(,, )c. Συνεπώς η γνώση της f() μας επιτρέπει τον υποβιβασμό της τάξης της εξίσωσης κατά μια μονάδα. Επίσης πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: f zf P (4) f z Q (5) Από τις (4) και (5) θα βρούμε τις εκφράσεις που προσδιορίζουν τις f και f. Παραγωγίζουμε την (4) ως προς z και την (5) ως προς και και έχουμε: f z f zf z P z f z Q f z Q Αντικαθιστώντας τις δυο τελευταίες στην πρώτη έχουμε: Q f zq P z άρα f P z -Q -zq (6)

169 Μερικές περιπτώσεις διαφορικών εξισώσεων 65 και με την αντικατάσταση της (6) στην (4) βρίσκουμε ότι: f P-z(P z -Q -zq ) (7) Η ολοκλήρωση των σχέσεων (5), (6) και (7) μας δίνει το πρώτο ολοκλήρωμα της Δ.Ε. Επίσης εύκολα προκύπτει ότι: P z zp z -P Q zq z Q (8) Q z zq z Q P zz Οι σχέσεις (8) προκύπτουν από τις ισότητες: f f, f z f z, f z f z και είναι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για να είναι η () πλήρης Δ.Ε. Παράδειγνα Να λυθεί η Δ.Ε. () 4 Εδώ έχουμε: P(,, ) 4 z z4z Q(,, ) Για να είναι η Δ.Ε. πλήρης πρέπει να ισχύουν οι (8) P z z z 4 z Q ( ) Q z z P z z 4 z 4 Q Q z P z 4z Q Q ( ) P zz (4z 4) 4 z Από την (8) έχουμε 4z4z και 44 Άρα υπάρχει η f και αυτή θα βρεθεί από τις σχέσεις (5), (6) και (7): f z z4z-z(4z4---z)zz (α) f z (β) f z (γ) Από την (α) fzzc (,z) (α) (β) ( α) c f z z c (,z) c (z) (β) και άρα fzz c (z) (γ) (γ) ( γ) c fz c (z) c z Επομένως fzz c και επειδή z έχουμε: () c ( -c)d()d P Q

170 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Άρα f f c f (,) -c-k Τελικά -ck Εφαρμογές των Δ.Ε. ης τάξεως και ανωτέρου βαθμού ) ΟΠΤΙΚΗ Θέλουμε να προσδιορίσουμε την μορφή ενός καθρέφτη, τέτοιου ώστε φως που προσπίπτει σε αυτόν από μια σημειακή πηγή από την αρχή των αξόνων Ο να ανακλάται σε δέσμη παράλληλα στον άξονα. Α Τρόπος Θεωρούμε ακτίνα φωτός ΟΡ που χτυπάει τον καθρέφτη στο σημείο Ρ και ανακλάται κατά μήκος της ευθείας ΡR. Έστω ΡQ η εφαπτόμενη στο σημείο Ρ και αˆ, β ˆ, φ ˆ, θˆ οι γωνίες που φαίνονται στο σχήμα. Από τους νόμους της ανάκλασης έχουμε αˆ β ˆ και αˆ φ ˆ (εντός εκτός και επί τα αυτά). Επομένως βˆ φˆ. Η εξίσωση: ta φ ta θ ta( φ β) ta φ ta φ δίνει ( ) () αφού ta θ. Η () είναι μια Δ.Ε. ης τάξεως και ου βαθμού. Θέτουμε p οπότε η p () γίνεται p p p p. p Αυτή είναι μια δευτεροβάθμια εξίσωση, της οποίας η διακρίνουσα είναι Δ ± p ( ) p ±. Άρα ± p ±

171 Μερικές περιπτώσεις διαφορικών εξισώσεων 67 ± ± ± d d d d d d d d C d d ± ± υψώνοντας και τα δυο μέλη της τελευταίας εξίσωσης στο τετράγωνο θα έχουμε: ( ) C C C C C. Οι καμπύλες σχηματίζουν μια οικογένεια παραβολών με εστία στην αρχή Ο. Β Τρόπος Θέτουμε στην () p οπότε p p p p. Η παράγωγός της θα ισούται με ( ) d dp p p) p( ) p ( p p p d d ) p p( d dp p p p p d dp p p p p p d dp ) p ( 4p p p ) )(p p(p dp d ) p(p dp d d dp p p ) p ( p p dp p dp p dp d p dp p dp p dp d p p p C ) (p ) (p p C ) (C C e C p p C p p C p p C C ( ) C p C p C p p p C. Άρα η θα γραφεί: ( ) ( ) C C C 4 C C C C C p p ( ) ( )( ) ( ) ( ) C C 4 C C C 4. Θέτοντας C C θα έχουμε ( ) ( ) C C C C.

172 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Γ Τρόπος p p p p. Παραγωγίζοντας και τα δυο μέλη θα έχουμε: d d p p p pp ( p 4p ) dp d p p p 4p p p dp d p Επομένως p dp dp dp d p(p ) ( p ) p A p d d p A p B (B e ). p p B ( B B B ) B B B ) ΜΗΧΑΝΙΚΗ - Λογισμός των Μεταβολών B C B C C. Το πρώτο πρόβλημα του λογισμού των μεταβολών τέθηκε από τον μαθηματικό J. Beroulli. Ήθελε να βρει εκείνη την καμπύλη στο κατακόρυφο επίπεδο που συνδέει δυο σημεία, πάνω στην οποία γλιστρά ένα υλικό σημείο υπό την επίδραση μόνο του βάρους του και την διατρέχει στον ελάχιστο χρόνο. Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως το πρόβλημα του βραχυστοχρόνου. Άλλα παρόμοια προβλήματα που τέθηκαν ήταν η εύρεση εκείνης της επίπεδης καμπύλης που συνδέει δυο δοσμένα σημεία και έχει το ελάχιστο μήκος κ.τ.λ. Μελέτη του προβλήματος του βραχυστοχρόνου Η αρχή του Fermat λέει ότι: Μια ακτίνα φωτός που συνδέει δυο σημεία ενός μέσου το οποίο έχει δείκτη διάθλασης (r), ακολουθεί πάντα το δρόμο ελαχίστου χρόνου φωτεινής διαδρομής. Συνέπεια της αρχής του Fermat είναι ο νόμος διάθλασης του Sell που διατυπώνεται ως εξής: siθ siθ διαιρώντας με την ταχύτητα του φωτός θα έχουμε: c si θ si θ όμως c c u όπου u η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στο συγκεκριμένο μέσο. Έτσι έχουμε:

173 Μερικές περιπτώσεις διαφορικών εξισώσεων 69 si θ si θ σταθ. u u δηλαδή ισχύει γενικότερα ότι si θ σταθ. m (). u Ο Joh Beroulli χρησιμοποίησε το γεγονός αυτό για να λύσει το πρόβλημα του βραχυστοχρόνου. Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ενέργειας μεταξύ των σημείων Α και ενός τυχαίου σημείου. Θεωρούμε ότι το οριζόντιο επίπεδο που περνάει από το Α είναι το επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας και ότι στο Α το υλικό σημείο δεν έχει ταχύτητα. Έτσι έχουμε: mu mg mu mg u g. Από το σχήμα έχουμε ότι. α ˆ β ˆ π π si α si β cosβ ( taβ) d d Επομένως η () γράφεται: d d si α m u d d g d gm d m d d m g k m g d m g d k

174 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 d Δ.Ε. ης τάξης ου βαθμού. Θέτουμε p, οπότε η () γίνεται ( p ) d k () k k p> k k p p p d k k d d () d (Το p είναι μεγαλύτερο από το μηδέν αφού παριστάνει ταχύτητα). Θέτουμε οπότε η () γίνεται k si t d k si t cos tdt ( si t) cos t d k k si t cos tdt d k si t si t d k si tdt d k ( cos t) dt d k ( cos t) dt C k k t si t C ( t si t) C. Θέτοντας t θ παίρνουμε: k k ( θ si θ) C. Για t έχουμε C. Άρα θ si θ θ θ k και k si t k si ( cos θ) Οι εξισώσεις (4), (5) είναι οι παραμετρικές εξισώσεις κυκλοειδούς. ( ) (4) (5) Εφαρμογές των Διαφορικών Εξισώσεων Ν τάξης. Πρώτη Περίπτωση. ) ΜΗΧΑΝΙΚΗ Προσδιορισμός του βέλους και της ροπής κάμψης δοκαριού Θεωρούμε το παρακάτω δοκάρι μήκους. Θέλουμε να προσδιορίσουμε το βέλος και την ροπή κάμψης.

175 Μερικές περιπτώσεις διαφορικών εξισώσεων 7 p() Η Δ.Ε. την οποία θα πρέπει να επιλύσουμε είναι η: () EI χουμε (4) po I () EI () με < <, ενώ στη (ΙΙ) ισχύει: (4) po II () EI () με < <. Θα λύσουμε την () με 4 διαδοχικές ολοκληρώσεις. Έτσι () po () po I () d C I () C EI EI () po () po I () d C d C I () C C EI 6EI 4 po po C I() d C d C d C I() C C 6EI 4EI 4 5 po C po C I() d d C d C d C4 I() 4EI EI 6 C C C 4. Με όμοιο τρόπο θα έχουμε στην περιοχή (ΙΙ): () po () po po C5 II () C5, II () C5 C6, II() C6 C7 EI EI 6EI και 4 po C5 C6 II() C7 C8. 4EI 6 Οι οκτώ αυθαίρετες σταθερές θα προσδιοριστούν από τις εξής συνθήκες: () () ( ) ( ) I I II II ( ν) ( ν) I ( ) II ( ν,,, και ) (Οι οριακές συνθήκες καθορίζονται κάθε φορά ανάλογα με το αν στα άκρα έχουμε άρθρωση, πάκτωση ή κύλιση). () I C4 () I C 4 po C5 C6 II( ) C7 C8 4EI 6 po II( ) C5 C6 C7 6EI 5 po C C () I II() C C4 C8 EI 6 4 po C () I II() C C C7 4EI

176 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 po () I II() C C C6 6EI () () po I ( ) II () C C5 EI Έτσι τελικά θα έχουμε 4 po C5 C6 C7 C8 4EI 6 po C5 C6 C7 6EI 4 po C C C C4 C EI 6 po C C C C7 4EI 8 po C C C6 6EI po C C5 EI 74 po 8p Λύνοντας το σύστημα αυτό θα βρούμε: C, C 9EI o 9EI, 4 46po C 5 9EI, 94 po 49 po 5 po C6, C7, C 9EI 9EI 8 9EI. Από πριν έχουμε βρεί ότι C C4. Άρα po 5 4 I() ( ) 9EI po 4 4 και II() ( ). 9EI Η ροπή κάμψης δίνεται από την σχέση M EI. Άρα po M I() EI I ( 6 57 ) 96 po και M II() EI II ( ). 96 ) ΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Η γενική εξίσωση που ισχύει για την αγωγή θερμότητας είναι: T A T () α t k όπου η θερμοκρασία είναι γενικώς συνάρτηση της θέσεως του σημείου και του χρόνου. Α είναι ο ρυθμός παραγωγής θερμότητας ανά μονάδα όγκου, α μια σταθερά που ονομάζεται

177 Μερικές περιπτώσεις διαφορικών εξισώσεων 7 k θερμική διαχυτότητα και συνδέεται με την σταθερά k μέσο της σχέσης α (ρ η πυκνότητα του υλικού, C η ειδική θερμότητα). Αν η θερμοκρασία δεν εξαρτάται από το χρό- ρc T νο δηλαδή τότε η () γίνεται t A T (εξίσωση Poisso) k Αν επιπλέον Α τότε T (εξίσωση Laplace). Ας θεωρήσουμε την αγωγή σε μια διάσταση σε έναν επίπεδο τοίχο: T T A,A t T T α t k Επειδή το πρόβλημα είναι μονοδιάστατο η () γράφεται ισοδύναμα: d T dt C T() C C d d T C C Έστω T () T και T ( ) T. Έτσι θα έχουμε T C C T T T T C, C T T T T Άρα η κατανομή θερμότητας για είναι T(). () ) ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Οι δυο βασικές εξισώσεις του ηλεκτρομαγνητισμού είναι οι εξής: ρ E () ε o και E () Το ηλεκτροστατικό πεδίο συνδέεται με το δυναμικό Φ μέσω της εξίσωσης E Φ () οπότε η () γράφεται:

178 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ( Φ) ρ ε Φ (εξίσωση Poisso). o ρ ε o Από μαθηματική άποψη η εξίσωση Poisso αποτελεί τη θεμελιώδη εξίσωση του ηλεκτροστατικού πεδίου. Από αυτή, όταν είναι γνωστή η κατανομή των φορτίων, υπολογίζεται το δυναμικό και μετά από την () η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου. Στο χώρο όπου δεν υπάρχουν φορτία ισχύει η σχέση Φ (εξίσωση Laplace). Παράδειγμα εξίσωσης Poisso Σε μια δίοδο ηλεκτρονική λυχνία, η κάθοδος και η άνοδος είναι δύο λεπτές παράλληλες αγώγιμες πλάκες σε απόσταση d πολύ μικρότερη από τις εγκάρσιες διαστάσεις τους(οι πλάκες μπορούν να θεωρηθούν ως άπειρες). Φ(καθόδου), Φ(ανόδου)Φ α. Για κάποια συγκεκριμένη θερμοκρασία της καθόδου η χωρική πυκνότητα φορτίου στο κενό χώρο μεταξύ καθόδου και ανόδου είναι ρ α όπου α μια θετική σταθερά. Δίνεται επίσης ότι E ( ).Θέλουμε να υπολογίσουμε το ηλεκτρικό δυναμικό Φ() ανάμεσα στις πλάκες και το αντίστοιχο ηλεκτρικό πεδίο. Η εξίσωση Poisso στην περίπτωση αυτή γράφεται ως: d Φ ρ α. d εo εo Από την εξίσωση αυτή έχουμε 4 dφ α α 9α 4 C Φ() C C Φ ( ) C C. d ε ε 4 4ε o o Οι σταθερές C, C θα προσδιοριστούν από τις οριακές συνθήκες. Έτσι θα έχουμε: Φ ( ) C και dφ α E() C E() C. d εo 9α 4 Επομένως Φ α (d). 4 9α 4 Έτσι τελικά το δυναμικό είναι Φ() Φ α. 4ε o d Το ηλεκτρικό πεδίο βρίσκεται εύκολα από την παρακάτω σχέση: dφ 4 Φ E() Φ ˆ α ˆ. 4 d d ε o 4 o ΔΕΥΤΕΡΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ) Ελεύθερη πτώση από πολύ μεγάλο ύψος Στην περίπτωση αυτή η επιτάχυνση της βαρύτητας g δεν μπορεί να θεωρηθεί σταθερή. Σύμφωνα με το νόμο της παγκόσμιας έλξης, δυο σώματα με μάζες Μ(γη) και m (δοκιμαστική μάζα) όταν βρίσκονται σε απόσταση έλκονται με δύναμη

179 Μερικές περιπτώσεις διαφορικών εξισώσεων 75 Mm F γ. dυ Ο νόμος του Newto F m θα γίνει dt Mm F γ m γm () Δ.Ε. ας τάξεως, ου βαθμού. Θέτουμε d d dp dp d dp p() p() p οπότε η () γίνεται: dt dt dt d dt d dp dp γm d d p γm p pdp γm pdp γm C d d p p γm γ γ γ M C C M M C C p C p C ( Το p είναι μεγαλύτερο του μηδενός αφού παριστάνει ταχύτητα) γm d γm d d p C C dt dt. dt γm γμ C C Θέτουμε γm C Φ γm C Φ Φ γm ΦdΦ d. C C C Έτσι θα έχουμε: Θέτοντας παίρνουμε Φ γm ΦdΦ C C Φ ( C ) γm d Φ γmdφ ΦC Φ γm C γm dφ cos θ si θ γm dθ cos θ Φ γmdφ ( C ) γm cos γm γm si θ dθ ( C ) θ cos θ ( C ) Έτσι τελικά λαμβάνοντας υπ όψη ότι si θ cos θdθ cos θ και cos θ θ ta θ d cosθ cos ta θ θ 4γM cos si θ dθ. θ cos θ.

180 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 θα έχουμε: με 4γM ( C ) θ cos si θ cos θ γm. γm C cos ta θ θ t C ) Λογισμός των Μεταβολών Το πρόβλημα του βραχυστοχρόνου με μια διαφορετική προσέγγιση Θεωρώντας το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το Α ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας και ότι το υλικό σημείο μάζας m δεν έχει ταχύτητα στο σημείο Α, τότε γράφοντας την αρχή διατήρησης ενέργειας θα έχουμε: ν ds dt Eολ(A) Eολ (K) mν mg m mg dt ds ds ds g g dt dt dt. g Ο ολικός χρόνος που χρειάζεται το υλικό σημείο να πάει από το Α στο Β είναι B ds t. g Όμως οπότε ( ds) (d) (d) ή ds ( ) d B ( ) t d. g Αναγκαία συνθήκη ώστε ο χρόνος t να είναι ελάχιστος είναι η παρακάτω: d F F d εξίσωση Euler-Lagrace όπου F ( ( ) ) ισοδύναμη προς την Έτσι θα έχουμε: ds. Η εξίσωση Euler-Lagrace είναι F F F F. [ ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ] ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) () Δ.Ε. ας τάξεως που δεν περιέχει την μεταβλητή. θέτουμε

181 Μερικές περιπτώσεις διαφορικών εξισώσεων 77 d d dp d dp p() p() p. d d d d d Έτσι η () γράφεται: dp p d d p d p p dp d p p ( p ) ( p ) b (όπου μια σταθερά) ( ) b ( p ) ) b b b b b b p p p p ± επειδή όμως η κλίση πρέπει να είναι θετική(αφού παριστάνει την ταχύτητα), θα έχουμε d b p d d d C d b b Θέτουμε bsi φ d bsi φcosφdφ οπότε θα έχουμε: bsi φ bsi bsi φcos φdφ C φ φ φ φ bsi cos d b bsi φ b cos φ C ( ) b b si φdφ C b cos φ dφ C ( φ si φ) C. Άρα οι παραμετρικές εξισώσεις της ζητούμενης καμπύλης είναι οι: b b ( φ si φ) C, bsi φ ( cos φ). Η καμπύλη του προβλήματος ονομάζεται βραχυστόχρονος. Αφού η καμπύλη περνάει από b το Α(,) θα έχουμε bsi φ φ και ( ) C C. Επομένως: b b ( φ si φ) και ( cos φ). b Θέτοντας θ φ και α θα έχουμε α( θ si θ), α( cosθ) όπου η σταθερά υπολογίζεται από το γεγονός ότι η καμπύλη (βραχυστόχρονος) περνάει από το Β( Β, Β ). Οι εξισώσεις που βρήκαμε είναι οι παραμετρικές εξισώσεις κυκλοειδούς. ) Κίνηση χάντρας σε κυκλοειδή καμπύλη Θεωρούμε μια χάντρα η οποία κινείται σε κυκλοειδή καμπύλη της οποίας οι εξισώσεις είναι α(θ-siθ), α(cosθ) όπου θ π. Θέλουμε να προσδιορίσουμε την Δ.Ε. κίνησης και να την λύσουμε. Η κινητική ενέργεια της χάντρας είναι: Τ m( ) ( α( θ si θ) α( θ θcosθ), α( cosθ) αθsi θ ). Οπότε Τ mα ( cosθ) θ

182 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η δυναμική της ενέργεια είναι V mg mgα( cos θ). Η συνάρτηση Lagrace γράφε- ται: L T V mα ( cosθ) θ mgα( cosθ) d L L Έτσι έχουμε: dt θ θ [ m ( cos θ) θ] [ mα si θθ mgαsi θ] d α dt mα ( cosθ) θ mα θ si θ mα θ si θ mgα si θ g ( cos θ) θ θ si θ si θ () α d dp dθ dp Θέτουμε θ p( θ) οπότε θ p( θ) p. dt dθ dt dθ Έτσι η () θα γίνει: dp g g ( cosθ) p (siθ)p siθ ( cosθ) pdp (siθ)p siθdθ. dθ α α Για να συνεχίσουμε την επίλυση αυτής της Δ.Ε. θα πρέπει να αναζητήσουμε κάποιο ολοκληρωτικό παράγοντα. Η διαδικασία αυτή είναι δύσκολη, (αν βέβαια υπάρχει ολοκληρωτικός παράγοντας). Για αυτό το λόγο αναζητούμε άλλο τρόπο επίλυσης της (). Θα δείξουμε ότι η () μπορεί να γραφεί d u g u dt 4α () θέτοντας θ cos u () Παραγωγίζοντας την () θα έχουμε θ du du dθ θ d u d θ θ si θsi θsi dt dθ dt dt dt du d si si si θ θ θ cos θ θ dt dθ 4 Έτσι η () γράφεται d u g θ θ g θ θ θ g θ u θsi θ cos cos θsi θ cos cos dt 4α 4 4α α θ g θ θ θ cot cot α (4) Όμως θ θ θ cos si cos θ si θ cot θ θ si θ si si και θ θ cos θ si si cos θ. Επομένως θ si θ cot. cos θ Έτσι η (4) γράφεται:.

183 Μερικές περιπτώσεις διαφορικών εξισώσεων 79 si θ g si θ g θ θ ( cosθθ ) θsiθ siθ cosθ αcosθ α Η εξίσωση αυτή είναι η (). Άρα τελικά έχουμε να λύσουμε την Δ.Ε. d u g u dt 4α Ομογενής γραμμική Δ.Ε. ας τάξεως με σταθερούς συντελεστές. Η χαρακτηριστική της g i g εξίσωση είναι μ μ ±. 4α α Άρα η λύση της είναι θ C cos g t C 4α u C g t C 4α cos cos si si g t cos θ 4α g t 4α. 4) Κίνηση πλοίου. Ένα πλοίο Α κινείται κατά μήκος του άξονα με σταθερή ταχύτητα α. Θέλουμε να βρούμε την τροχιά ενός δεύτερου πλοίου Β το οποίο κινείται στο δεξί μισό του επιπέδου με σταθερή ταχύτητα b κατά τέτοιο τρόπο ώστε η ταχύτητά του να κατευθύνεται πάντα προς το Α. Υποθέτουμε ότι τη χρονική στιγμή μηδέν το πλοίο Α βρίσκεται στο (,). Τη στιγμή t θα βρίσκεται στο (αt,) ενώ υποθέτουμε ότι το Β θα είναι στο σημείο (,). Αφού η ευθεία ΑΒ είναι εφαπτόμενη της τροχιάς του Β, η κλίση αυτής της ευθείας θα ισούται με την κλίση της τροχιάς. Έτσι d dt αt α (). d αt αt d dt dt ds Όμως. d ds dt ds Επίσης ( ds) (d) (d) ds d d dt dt ds α Επομένως α α. d ds d b Έτσι η () γίνεται: α α r α b r b b Δ.Ε. ας τάξεως που δεν περιέχει την μεταβλητή. dp Θέτουμε p() p οπότε έχουμε d dp r p p d p r p dp p d d r p dp p

184 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 C r C r p p d r p p dp ( ) C r C άρα r r r r C p p C p p C p C p p r r r r r r C C d d C C p C C p r r r r C C r C C r C d C C d r r C C r C r C. Oι σταθερές C, C θα προσδιοριστούν από τις αρχικές συνθήκες. ΤΡΙΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ) Κίνηση πλοίου. Θα ξαναλύσουμε το ίδιο πρόβλημα, μόνο που τώρα η κίνηση γίνεται στο αριστερό μισό του επιπέδου και το Α κινείται κατά μήκος του άξονα Με παρόμοιους συλλογισμούς καταλήγουμε στην σχέση: α t d d t α. Διαφορίζοντας ως προς θα έχουμε d dt α () b d ds ds dt d dt. Επομένως θέτοντας r b α θα έχουμε τελικά r Δ.Ε. ας τάξεως που δεν περιέχει την μεταβλητή. Θέτουμε ) Y ( Y(), οπότε Y r Y () Y r d dy d r Y dy d r Y dy ( ) Y C Y C Y Y C Y Y r r e C r C r r r r C C ) (C Y Y C Y ) (C Y

185 d d C r r C C Μερικές περιπτώσεις διαφορικών εξισώσεων 8 r r r C C (r ) r C C r. ( r) (C) (r ) Oι σταθερές C, C θα προσδιοριστούν και πάλι από τις οριακές συνθήκες. ) Σχήμα ομογενούς χορδής. Ομογενής χορδή είναι εξαρτημένη από τα άκρα της. Θέλουμε να προσδιορίσουμε το σχήμα που παίρνει η χορδή λόγω του βάρους της. Έστω Κ το κατώτερο σημείο της καμπύλης, ΚΛ το τμήμα της χορδής ΑΒ της ο- ποίας η μορφή δίνεται από την (). Στην θέση ισορροπίας το ΚΛ βρίσκεται υπό την επίδραση τριών δυνάμεων. α) της οριζόντιας τάσης Η, β) της τάσης T που προκαλείται στο σημείο Λ και γ) του βάρος του τμήματος Wsδ (s(κλ), δ το ειδικό βάρος της χορδής). Από την ισορροπία των δυνάμεων θα έχουμε τις δυο παρακάτω σχέσεις: TsiφWsδ, TcosφH δs. Διαιρώντας τις σχέσεις αυτές κατά μέλη θα έχουμε ta φ, H d d δs d δ ds όμως ta φ οπότε d d Η d Η d Δ.Ε. ας τάξεως που δεν περιέχει την μεταβλητή. Θέτουμε Y() Y () οπότε δ dy δ Y () Y Η d Η δ Η dy δ Y d Y Η δ ( Y Y ) C. Η Επειδή στο Κ, Y C έχουμε δ δ α Η ( Y Y ) ( Y Y ) α sih Y α Η α α α α e e e e α α Y sih( α) d d ( e e ) d α C ( e α e ). α Η Αν διαλέξουμε ( OK) C. α δ α Επομένως ( e α e ) αλυσοειδής καμπύλη. α

186 . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ EULER Ορισμός : Οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, των οποίων οι συντελεστές είναι δυνάμεις του βαθμού ίσου με την τάξη της αντίστοιχης παραγώγου, ονομάζονται εξισώσεις του Euler. Π.χ. η ομογενής εξίσωση του Euler τάξης έχει την γενική μορφή : α () α - - (-) α α () και η αντίστοιχη μη ομογενής α () α - - (-) α α f() () Η γενική λύση της () ως γνωστό είναι : γεν ομ μερ όπου η ομ είναι η γενική λύση της () και η μερ μια μερική λύση της (), που μπορεί π.χ. να βρεθεί με την μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών, αφού θα ξέρουμε την ομ. Από την μορφή της εξίσωσης Euler () είναι φανερό ότι με την αντικατάσταση s για >, (ή (-) s για <), θα προκύψει μια κοινή δύναμη του απ' όλους τους όρους, συγκεκριμένα η s. Εάν το s εκλεγεί κατάλληλα ώστε ο ολικός συντελεστής αυτής της κοινής δύναμης να μηδενίζεται, τότε θα έχουμε στη διάθεση μας μια λύση της (). Ας ε- φαρμόσουμε τα παραπάνω για την περίπτωση της ομογενούς εξίσωσης Euler ης τάξης : α β γ s () α s(s-) s- βs s- γ s [αs (β-α)sγ] s Εάν s και s είναι οι ρίζες του τριωνύμου αs (β-α)sγ, τότε η γενική λύση της () είναι : s ομ ()c s c (4) Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε. - - για > Λύση : Θέτουμε s στην Δ.Ε. και έχουμε: s(s-) s- -s s- - s [s(s-)-s-] s s -s- s -, s Άρα ομ ()c - c Εάν θέλουμε να βρούμε τη λύση για < τότε αντικαθιστούμε στον παραπάνω τύπο της γενικής λύσης το με το - και θα έχουμε : ομ ()c (-) - c (-) Παράδειγμα : Να λυθεί η Δ.Ε. - για > Λύση : Θέτοντας s στη Δ.Ε. παίρνουμε s (s -s-) με χαρακτηριστικές ρίζες : s -/, s. Επομένως η γενική λύση της Δ.Ε. είναι : ομ c c για > Εάν θέλουμε να βρούμε τη λύση για < τότε αντικαθιστούμε στον παραπάνω τύπο της γενικής λύσης το με το -. και θα έχουμε : c ( ομ ) c για < Παρατήρηση : Στην περίπτωση διπλής ρίζας s s s θα είναι :

187 84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ βα s- και (β-α) -4αγ (5) α Για να βρούμε μια άλλη λύση χρησιμοποιούμε τον ομογενή γραμμικό μετασχηματισμό s Y και έχουμε : s Y() s s- Y s Y (6) s(s-) s- Ys s- Y s s- Y s Y s Y s s- Y s(s-) s- Y Θέτοντας τις (6) στην () έχουμε : α[ s Y s s Y s(s-) s Y]β[s s Y s Y ]γ s Y α s Y [αs s β s ]Y [αs(s-) s βs s γ s ]Y (7) Επειδή το s είναι λύση της () θα είναι : αs(s-) s βs s γ s από την (7) έχουμε τώρα : αy (sαβ)y (επειδή αsα-β) αy αy Y Y Θέτουμε Y ()h() και έχουμε : h) ( dh d h ()- l h) ( l h) ( h και Y ()/ dy/d/ dyd/ Y()l Τελικά s l και η γενική λύση θα είναι : ομ c s c s l Παράδειγμα : Να λυθεί η εξίσωση - για > Λύση : Θέτουμε s και έχουμε s(s-) s -s s s s(s-)-s s -s (s-) s, και η μια λύση είναι ενώ η άλλη είναι l. Τελικά η γενική λύση θα είναι ομ c c l(c c l) Παράδειγμα 4 : Να λυθεί η Δ.Ε. 5 4 για >. Λύση : Θέτοντας s στη Δ.Ε. παίρνουμε s (s 4s4) s 4s4 s s - (διπλή ρίζα). Επομένως η γενική λύση της Δ.Ε. είναι : ομ - (c c l) για > Γενικά ισχύει το επόμενο θεώρημα : Θεώρημα : Όταν η χαρακτηριστική εξίσωση που προέρχεται από την ομογενή Δ.Ε. () με την αντικατάσταση s, έχει τις ρίζες s, s,, s k με αντίστοιχες πολλαπλότητες k,k,,k m, (k k k m ), τότε σε κάθε ρίζα s i αντιστοιχούν οι k i γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις : si si si, l, (l), si ki, (l) > και η γενική λύση είναι : s ομ P s (l ) P (l ) sk P (l ) (8) όπου P ki k k km (l) πολυώνυμα ki - βαθμού ως προς l. Παρατήρηση : Στην περίπτωση που έχουμε μια μιγαδική ρίζα αiβ μαζί με την συζυγή

188 Εξισώσεις του Euler 85 της α-iβ πολλαπλότητας k, τότε στις μιγαδικές αυτές ρίζες αντιστοιχεί η παρακάτω έκφραση που θα περιέχεται στη γενική λύση της ομογενούς ομ : α P k( l ) cos ( β l ) Qk( l ) si ( βl ) όπου Ρ k- (l), Q k- (l) πολυώνυμα k- βαθμού της μεταβλητής l. Απόδειξη: Ας θεωρήσουμε για ευκολία ότι έχουμε μια απλή μιγαδική ρίζα αiβ μαζί με την συζυγή της α-iβ. Τότε σ αυτές τις ρίζες αντιστοιχούν οι λύσεις: αiβ και α-iβ. Θα προσπαθήσουμε στη συνέχεια να βρούμε το πραγματικό και φανταστικό μέρος αυτών των λύσεων. Έχουμε: αiβ α iβ α e iβ(l) α [cos(βl)isi(βl)], ομοίως α-iβ α - iβ α e -iβ(l) α [cos(βl)-isi(βl)] Άρα Re(, ) α cos(βl) και Im(, ) α si(βl) Εύκολα τώρα αποδεικνύεται ότι ο γραμμικός συνδυασμός των παραπάνω εκφράσεων: c α cos(βl)c α si(βl) α [c cos(βl)c si(βl)] είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης. Παράδειγμα 5 : Να λυθεί η Δ.Ε. για >. Λύση : Θέτοντας s στη Δ.Ε. παίρνουμε s (s ) s i, s -i δηλ. α και β. Ε- πομένως η γενική λύση της Δ.Ε. είναι : ομ c cos(l)c si(l) για > Παρατήρηση : Οι εξισώσεις Euler δεν είναι παρά μια διαφορετική μορφή των εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές. Πράγματι με την αντικατάσταση e t tl π.χ. η Δ.Ε α β γ μετατρέπεται σε Δ.Ε. με σταθερούς συντελεστές ως εξής : ()(e t ) d d dt (9) d dt d d d d d d d d dt dt d - () όπου οι τελείες δηλώνουν παραγωγίσεις ως προς τη νέα μεταβλητή t. Με τις σχέσεις (9) και () η Δ.Ε. γίνεται : α( ) β γ α ( βα )γ () που είναι προφανώς μια εξίσωση με σταθερούς συντελεστές Παράδειγμα 6 : Να λυθεί η Δ.Ε. - αφού προηγουμένως μετατραπεί σε Δ.Ε. με σταθερούς συντελεστές, α) για >, β) για <. Λύση : α) θέτουμε e t και έχουμε : d d, d d d, d d d d d dt d dt dt d dt dt dt και αντικαθιστώντας στη Δ.Ε. παίρνουμε τη γραμμική Δ.Ε. d d dt dt με σταθερούς συντελεστές. Η γενική λύση αυτής της Δ.Ε. είναι : ομ c e t c te t c e -t

189 86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ και επομένως η γενική λύση της Δ.Ε. που δόθηκε είναι : ομ c c lc - για > β) για < χρησιμοποιούμε τον μετασχηματισμό -e t, οπότε έχουμε d t dt t e e dt d και όπως στην (α) περίπτωση παίρνουμε τις ίδιες σχέσεις και καταλήγουμε στην ίδια Δ.Ε. με τη χαρακτηριστική εξίσωση που έχει ρίζες s (διπλή), s -. Έτσι η γενική λύση αυτής της Δ.Ε. είναι και πάλι η ομ c e t c te t c e -t αλλά τώρα είναι e t - και tl(-), οπότε η γενική λύση της Δ.Ε. είναι ομ (-)[c c l(-)]c (-) - για < Παρατήρηση 4 : Στην περίπτωση των μη ομογενών Δ.Ε. Euler μια μερική λύση μπορεί να βρεθεί κατά τους εξής δυο τρόπους : α) Εφαρμόζουμε την μέθοδο της μεταβολής των παραμέτρων, που χρησιμοποιήσαμε στις γραμμικές Δ.Ε. με σταθερούς συντελεστές, αφού διαιρέσουμε την Δ.Ε. με το α. f ( ) Τότε ο μη ομογενής όρος θα είναι. Π.χ. για την Δ. Ε. Euler ης : α β γf() α έστω ότι η γενική λύση της αντιστοίχου ομογενούς είναι: ομ () ( ) ( μερική λύση της μη ομογενούς θα την αναζητήσουμε υπό την μορφή: μερ v () ()v () () και λύνουμε το σύστημα: v() v () ( ) c c ). Μια f v () v () α β) Μετατρέπουμε την Δ.Ε. Euler σε γραμμική Δ.Ε. με σταθερούς συντελεστές και στη συνέχεια εργαζόμαστε κατά τα γνωστά. Παράδειγμα 7 : Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. -5 Λύση: Πρώτα θα βρούμε την λύση της αντίστοιχης ομογενούς Δ.Ε. -. Θέτοντας s στη Δ.Ε. παίρνουμε s(s-)s- s s- s -, s /. Επομένως η γενική λύση της αντίστοιχης ομογενούς της Δ.Ε. είναι : ομ c c Δηλαδή δυο μερικές λύσεις της ομογενούς είναι () και () Για να βρούμε μια μερική λύση, θέτουμε μερ v () ()v () () v ( ) v( ) και λύνουμε το σύστημα:

190 v v 5 v v 5 Η λύση του οποίου δίνει: v ( ) 5, v ( ) 5 6 v( ), v( ) Άρα μερ v ( ) v( ) 6 5 Τελικά γεν ομ μερ c c Εξισώσεις του Euler 87 Ασκήσεις : Να λυθούν οι Δ.Ε. του Euler ) "- Απ. c c lc - ) " - Απ. c c [/] ) " Απ. c cos(l)c si(l) Εφαρμογές της Δ. Ε. Euler ) ΜΗΧΑΝΙΚΗ Θεωρούμε μια λεπτή στρογγυλή πλάκα με συμμετρική κατανομή του εξωτερικού φορτίου p(r) όπου r η απόσταση από το κέντρο και Ν η ακαμψία της πλάκας. Θέλουμε να προσδιορίσουμε το βέλος σε αυτήν την περίπτωση. (4) Το βέλος θα υπακούει την Δ.Ε.: w w w w p(r). r r r N Θα μελετήσουμε την περίπτωση που p (r) r. Έτσι η Δ.Ε. θα γραφεί: 5 (4) r 4 (4) r w w w w r w r w r w rw () r r r N N Μη ομογενής Δ.Ε. Euler. Επιλύουμε αρχικά την αντίστοιχη ομογενή Δ.Ε.: 4 (4) r w r w r w rw. k k k Θέτουμε w r w kr w k(k )r

191 88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ k (4) k4 w k(k )(k )r w k(k )(k )(k )r. Με τις αντικαταστάσεις αυτές η ομογενής Δ.Ε. Euler θα γίνει: k k k k k(k )(k )(k )r k(k )(k )r k(k )r kr k (k Άρα k [ k(k )(k )(k ) k(k )(k ) k(k ) k] r k (k )(k )(k ) k(k )(k ) k(k ) k k [(k )(k )(k ) (k )(k ) (k ) ] k(k 4k 4k) 4k 4) κ (Διπλή ρίζα) και k 4k 4 k (Διπλή ρίζα). w ομογ. C C r C r C r 4 είναι η λύση της ομογενούς εξίσωσης. Ως μερική λύση αναζητούμε πολυώνυμο της μορφής: 4 5 u (r) r a a r a r a r a r a r u (r) u u u a r r ( ) o a r a r a r 4 a r 5 a r o (r) a or ar 4a r 5a r 6a 4r 7a5r 4 5 (r) a o 6ar a r a r a 4r 4a5r 4 (r) 6a 4a r 6a r a 4r a5r (4) (r) 4a a r 6a 4r 84a5r. u Έτσι από την () θα έχουμε: a r a r 6a 4r 84a 5r ar 48a r ar 4a 4r a r a r 6a r a r a r a r 4a r a r a r 4a r 5 o 4 5 o r a r 6a r 7a r r N a 5 4a 5 4a 5 r 6a 4 4a 4 a 4 6a 4 r a a 4 5a ) r ( 4a 48a a 4a ) r ( a 6a a ) r ( a o 5 o ) r N a a a 4 a5 ao a a a a 5a N a. a a ( ) ( ) (, απροσδιόριστο και για το ισχύει η σχέση: 5 Για ευκολία επιλέγουμε a o, οπότε η γενική λύση της () είναι: w (r) C. 5 C r Cr C4r r ( 5) r ) ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Το ηλεκτροστατικό δυναμικό σε χώρο χωρίς φορτία. Το ηλεκτροστατικό δυναμικό επαληθεύει την εξίσωση Poisso: ρ V ε o Σε χώρο χωρίς φορτία, ρ (Αν ρ παντού τότε βέβαια V, μπορεί όμως να υπάρχει φορτίο αλλού, απλώς η προσοχή μας έχει επικεντρωθεί σε περιοχές όπου δεν υπάρχει φορτίο) υπακούει την Δ.Ε. Laplace: V. Η εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες γράφεται:

192 Εξισώσεις του Euler 89 V V V r si r r r θ () r si θ θ θ r si θ φ Εφαρμόζουμε τη μέθοδο χωρισμού των μεταβλητών. Θεωρούμε λύση της μορφής Φ( r, θ, φ) R(r) Θ( θ) Φ( φ) οπότε η () γράφεται: r r r r r si θ θ θ r si θ φ ( RΘΦ) si θ ( RΘΦ) ( RΘΦ) ΘΦ R RΦ Θ RΘ Φ r si θ. r r r r si θ θ θ r si θ φ Διαιρούμε με RΘΦ οπότε προκύπτει : d dr d dθ d Φ r si θ Rr dr dr Θr si θ dθ dθ Φr si θ dφ Πολλαπλασιάζουμε με r si θ, έτσι έχουμε: si θ d dr si θ d dθ d Φ r si θ R dr dr Θ dθ dθ Φ dφ si θ d dr si θ d dθ d Φ r si θ. R dr dr Θ dθ dθ Φ dφ Το αριστερό μέλος είναι συνάρτηση των μεταβλητών r,θ ενώ το δεξί του φ. Άρα και τα δύο μέλη πρέπει να ισούνται με την ίδια σταθερά έστω m. Οπότε: d Φ si θ d dr si θ d dθ m, r si m θ () Φ dφ R dr dr Θ dθ dθ Επιλύοντας την () έχουμε : d dr d dθ m r si θ R dr dr Θsi θ dθ dθ si θ d dr m d dθ r si θ. R dr dr si θ Θsi θ dθ dθ Το αριστερό μέλος είναι μια συνάρτηση μόνο του r, ενώ το δεξί μόνο του θ. Για να είναι αυτό δυνατόν θα πρέπει και τα δυο μέλη να ισούνται με την ίδια σταθερά, έστω ν. Έτσι: d dr d R dr r ν r r νr () R dr dr dr dr m d dθ και si θ ν. si θ Θsi θ dθ dθ Η ακτινική συνάρτηση R(r) υπακούει την () που είναι Δ.Ε. τύπου Euler: d R dr r r νr. dr dr s dr s d R s Θέτουμε R(r) r sr s(s )r οπότε η () γίνεται: dr dr r s s s s(s )r rsr νr [ ] s s(s ) s ν r s(s ) s ν s s ν. Η διακρίνουσα αυτής της εξίσωσης είναι Δ 4ν οπότε:.

193 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ± 4ν 4ν 4ν s, s, s ( s). Άρα η λύση της ακτινικής εξίσωσης είναι: s s s ( s) s B R (r) Ar Br Ar Br Ar. s r Αν στο πρόβλημα που εξετάζουμε περιλαμβάνεται το σημείο r η λύση γίνεται Ar s R (r) ώστε να είναι ομαλή σε όλα τα σημεία του προβλήματος. Αν αντίθετα στο B πρόβλημά μας περιέχεται το άπειρο, τότε η λύση μεταπίπτει σε (r) για τον ίδιο λόγο. R r s ) Δυναμικό διόδου ηλεκτρονικής λυχνίας Η κάθοδος και η άνοδος σε μια δίοδο ηλεκτρονική λυχνία σχηματίζονται από δυο ομοαξονικά κυλινδρικά αγώγιμα φύλλα με ακτίνες α και b. Το ηλεκτρικό δυναμικό της καθόδου είναι και της ανόδου V ο. Λόγω της εκπομπής ηλεκτρονίων από την κάθοδο, η β χωρική πυκνότητα φορτίου στο κενό χώρο μεταξύ καθόδου και ανόδου είναι ρ ό- r που β είναι μια θετική σταθερά. Υποθέτουμε ότι το μήκος των κυλινδρικών φύλλων είναι άπειρο. Θα υπολογίσουμε τα Φ(r),E(r) για α<r<b. Το δυναμικό αποτελεί την λύση της ε- ξίσωσης Poisso ρ V () ε o Παρατηρούμε ότι η πυκνότητα φορτίου εξαρτάται μόνο από την μεταβλητή r. Έτσι η εξίσωση Poisso γράφεται d V dv β d V dv β () dr r dr ε o r dr r dr εor Πολλαπλασιάζουμε την () με r οπότε έχουμε: d V dv β r r r () dr dr εo Η () είναι Δ.Ε. τύπου Euler, μη ομογενής. Θα λύσουμε αρχικά την αντίστοιχη ομογενή d V dv r r dr dr (4) s dv s d V s Θέτουμε V r sr s(s )r οπότε η (4) γίνεται: dr dr s s s s(s )r sr [ s(s ) s] r s s s s s (Διπλή ρίζα). Έτσι η λύση της ομογενούς Δ.Ε. Euler είναι : V r r r ομ.. Στη συνέχεια αναζητάμε μια μερική λύση της (). Η λύση αυτή θα είναι της μορφής A Br V B V V μερ. μερ. μερ..

194 Εξισώσεις του Euler 9 Αντικαθιστώντας στην () έχουμε β β rb r B. ε εo Άρα τελικά η γενική λύση της () είναι: β β V C r A r C C r A r. ε o ε o Οι σταθερές C,A θα προσδιοριστούν από τις οριακές συνθήκες. Από τις οριακές συνθήκες του προβλήματος έχουμε ότι: β V( α ) C α A α ε o α β β A Vo ( α b) α α, β b o ε o V(b) Vo C b A b ε ε e α V b C o β ε ο ( α b) 4) ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Η εξίσωση της συνέχειας είναι η Δ.Ε. που εκφράζει την διατήρηση της ύλης: ρ divρv t όπου ρ η πυκνότητα και V το πεδίο ταχυτήτων. Αντικαθιστώντας το V με grad Φ, θα ρ έχουμε div ( ρgrad( Φ) ) t όπου το Φ ονομάζεται δυναμική συνάρτηση ταχύτητας ή συνάρτηση δυναμικού ταχυτήτων ή δυναμικό του πεδίου ταχυτήτων. Για ένα πεδίο σταθερής πυκνότητας η εξίσωση απλοποιείται στην div ( ρ grad( Φ) ). Για ασυμπίεστο ρευστό σε αστρόβιλη ροή θα έχουμε div ( grad( Φ )). Η εξίσωση αυτή είναι η εξίσωση Laplace. Ας θεωρήσουμε ένα ορθό κύλινδρο ακτίνας α που εκτελεί μεταφορική κίνηση με ταχύτητα V c στην θετική κατεύθυνση του άξονα. Υποθέτουμε ότι είναι βυθισμένος σε ένα απεριόριστο υγρό που είναι αλλιώς σε ηρεμία. Αν το υγρό είναι ασυμπίεστο, θέλουμε να βρούμε τη δυναμική συνάρτηση ταχύτητας Φ όταν ο άξονας του κυλίνδρου είναι στο Ο. Για αστρόβιλη δυδιάστατη κίνηση η εξίσωση Laplace σε κυλινδρικές συντεταγμένες γράφεται r, Φ Φ Φ r r r r θ z

195 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ σημειώνοντας ότι Φ στο πρόβλημα αυτό, θα έχουμε τελικά z Φ Φ r () r r r r θ Εφαρμόζουμε τη μέθοδο χωρισμού των μεταβλητών, έτσι αναζητούμε λύση της μορφής Φ( r, θ) R(r) Θ( θ). Έτσι η () γράφεται: Θ d dr R d Θ r ( RΘ) ( RΘ) r r r r r θ r dr dr r dθ Θ dr d R R d Θ r dr r d R d Θ Θ r dr dr r dθ R dr R dr Θ dθ d Θ r d R r dr. Θ dθ R dr R dr Το αριστερό μέλος είναι συνάρτηση μόνο του θ, το δεξί μόνο του r. Για να είναι αυτό δυνατό θα πρέπει και τα δύο μέλη να ισούνται με την ίδια σταθερά έστω β όπου β πραγ- ματικός, θετικός αριθμός. Έτσι θα έχουμε d Θ β Θ dθ () Δ.Ε. ας τάξεως με σταθερούς συντελεστές και d R dr r r β R dr dr () ομογενής Δ.Ε. Euler. Η λύση της () είναι Θ ( θ) C cos( βθ) C si( βθ). s s Η λύση της () θα βρεθεί θέτοντας R r R sr s R s(s )r. Έτσι η () γίνεται: s s s r s(s )r rsr β r s s s β s r s s s β s β s ±β. ( ( ) ) ( ) β Άρα R(r) C β r C 4r. Έτσι η γενική λύση θα είναι : β β Φ( r, θ) ( Cr C 4r )( C cos( βθ) C si( βθ) ) όπου οι σταθερές C,C,C,C 4 προσδιορίζονται από τις οριακές συνθήκες. Οριακές συνθήκες: Φ. V gradφ V εˆ Φ εˆ r grad r Vc cosθ r rα Φ. όταν το r V r r Φ. όταν r Vθ r θ

196 Εξισώσεις του Euler 9 4. Τέλος το Φ( r, θ) πρέπει να έχει πεπερασμένη τιμή για όλες τις τιμές των r,θ, δηλαδή για α r και θ π.για να ισχύει η 4 θα πρέπει C. β Άρα Φ( r, θ) C4r ( C cos( βθ) C si( βθ) ). Φ β Η παράγωγός της είναι: βc 4r ( C cos( βθ) C si( βθ) ), r οπότε από την πρώτη συνθήκη έχουμε ότι: Φ β βc 4 α ( C cos( βθ) C si( βθ) ) Vc cosθ r C 4C C, β, V c C 4C α Vc. α α Vc Άρα τελικά Φ( r, θ) cos θ που ικανοποιεί και τις υπόλοιπες οριακές συνθήκες. r

197 . Μ Ε Θ Ο Δ Ο Σ Τ Ω Ν Σ Ε Ι Ρ Ω Ν ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΗ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ. Γενικά Όπως θα πρέπει να έγινε φανερό από τα προηγούμενα, δεν υπάρχει συστηματική μέθοδος για την επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης ή μεγαλύτερης τάξης, εκτός από τις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές και από τις εξισώσεις του Euler, (που μπορούν να θεωρηθούν σαν μια διαφορετική μορφή τους). Χρησιμοποιώντας όμως την μέθοδο της ορίζουσας του Wrosk για τις διαφορικές εξισώσεις ης τάξης, (οι οποίες εμφανίζονται στις περισσότερες εφαρμογές), ξέρουμε ότι μπορούμε να βρούμε την γενική λύση της ομογενούς αν ξέρουμε μια μερική λύση. Πράγματι εάν () είναι μια μερική λύση της Δ. Ε.: ()P() ()Q()() () τότε μια δεύτερη μερική λύση γραμμικά ανεξάρτητη της πρώτης, δίνεται από τον τύπο: P( ) d W ( ) d όπου W() e, και επομένως ο γραμμικός συνδυασμός των () και (), δίνει την γενική λύση της ομογενούς Δ. Ε. (): oμ ()c ()c () c ()c W ( ) d Στη συνέχεια η ορίζουσα του Wrosk και πάλι θα μας βοηθήσει για να βρούμε μια μερική λύση της μη ομογενούς: ()P() ()Q()()f() () f από τον τύπο: u W d f W d Τελικά η γενική λύση της () θα είναι: W ( ) f γεν ομ uc ()c d W d f W d Άρα το όλο πρόβλημα εντοπίζεται για τις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης με μη σταθερούς συντελεστές στην εύρεση μιας τυχαίας αλλά αναγκαίας μερικής λύσης. Μια μέθοδος που μας βοηθάει να βρούμε μια μερική λύση, όταν βέβαια οι προηγούμενες μέθοδοι έχουν αποτύχει, είναι η μέθοδος των σειρών. Η εξήγηση είναι πολύ απλή: το σύνολο των συναρτήσεων που μπορούν να παρασταθούν υπό μορφή δυναμοσειράς είναι πολύ μεγαλύτερο από τον σύνολο όλων των συνδυασμών των στοιχειωδών συναρτήσεων της κλασικής ανάλυσης. Αυτό σημαίνει ότι μια διαφορική εξίσωση μπορεί να μην ικανοποιείται από κανένα συνδυασμό των γνωστών στοιχειωδών συναρτήσεων. Η

198 94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ λύση όμως μπορεί να βρεθεί υπό μορφή σειράς. Η μέθοδος των σειρών μπορεί να εφαρμοστεί σε διαφορικές εξισώσεις οποιασδήποτε τάξης αφού η εφαρμογή της μεθόδου δεν διαφέρει από τάξη σε τάξη. Στις εφαρμογές όμως οι διαφορικές εξισώσεις που εμφανίζονται, σχεδόν κατά αποκλειστικότητα, είναι γραμμικές ομογενείς διαφορικές εξισώσεις ης τάξης. Μερικές από τις σπουδαιότερες γραμμικές ομογενείς διαφορικές εξισώσεις με μη σταθερούς συντελεστές, που προέρχονται από προβλήματα της φυσικής και που μπορούν να λυθούν μόνο με την μέθοδο των σειρών είναι: ) η εξίσωση του Bessel ( ) ( -p ) ) η εξίσωση του Hermite (8-9) - p πρoέρχεται από την εξίσωση του Schrödiger του αρμονικού ταλαντωτή: mr Ψ Ψ ΕΨ m ) η εξίσωση του Legedre (75-8) (- ) - () προέρχεται από την εξίσωση του κύματος: Ψ k Ψ 4) η εξίσωση του Laguerre (84-886) (-) p 5) η εξίσωση του Air (8-89) - 6) η εξίσωση του Chebshev (8-894) (- ) - p 7) η υπεργεωμετρική εξίσωση του Gauss ( ) (-) [γ-(αβ)] -αβ Όλες οι παραπάνω διαφορικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν με την μέθοδο των σειρών και οι λύσεις τους είναι γνωστές σαν ειδικές συναρτήσεις.. Η μέθοδος των σειρών για την επίλυση της Δ.Ε. ()P() Q()() Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την διαφορική εξίσωση: ()P() ()Q()() () της οποίας την λύση θα αναζητήσουμε υπό μορφή δυναμοσειράς στις παρακάτω δυο περιπτώσεις: α) όταν οι αρχικές συνθήκες ορίζονται στο σημείο α β) όταν ζητείται η γενική λύση γύρω από το σημείο α.

199 Θέτουμε: Η Μέθοδος των Σειρών 95 () c( α) (α) Εάν στο σημείο α ένας από τους δύο ή και οι δύο συντελεστές P(), Q() απειρίζονται, το πολύ σαν /(-α) και /(-α) αντίστοιχα, δηλαδή το α να είναι πόλος ( ης τάξης για την P() και ης τάξης για την Q(), τότε χρησιμοποιούμε την πιο γενική έκφραση της δυναμοσειράς: λ () c ( α) (β) Το λ ονομάζεται δείκτης ή εναρκτήρια δύναμη της λύσης και μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή που θα καθοριστεί από την διαφορική εξίσωση, έτσι ώστε να αρθεί ο απειρισμός των συντελεστών P() και Q(). Την περίπτωση αυτή θα την μελετήσουμε στην παράγραφο.6. Καθορισμός του α Αν οι συναρτήσεις P() και Q() ορίζονται στο α, τότε αυτό λέγεται ομαλό σημείο, διαφορετικά λέγεται ανώμαλο σημείο. Αν οι συναρτήσεις P() και Q() αναπτύσσονται κατά Talor σε μια περιοχή του ομαλού σημείου α, τότε το α λέγεται αναλυτικό ομαλό σημείο. Επίσης αν οι συναρτήσεις: A() (-α)p() (α) B() (-α) Q() (β) αναπτύσσονται κατά Talor σε μια περιοχή ενός ανώμαλου σημείου α, τότε το α λέγεται κανονικό ανώμαλο σημείο. Εάν μια από τις συναρτήσεις Α(), B() ή και οι δυο δεν αναπτύσσονται κατά Talor σε μια περιοχή του ανώμαλου σημείου α, τότε το α λέγεται μη κανονικό ανώμαλο σημείο ή ουσιώδες ανώμαλο. Σ αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει συγκλίνουσα σειρά της μορφής (β). Ο καθορισμός του σημείου α γίνεται πιο κατανοητός από το διάγραμμα της επόμενης σελίδας. Μπορούμε πάντα την Δ.Ε. () να την μελετήσουμε στην περιοχή του α, (πράγματι εάν α θα μπορούσαμε να θέσουμε t-α, οπότε για α έχουμε t). Θα εξετάσουμε πρώτα την περίπτωση που το σημείο α είναι ομαλό ή αναλυτικό ομαλό. Τότε ισχύει το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα : Αν το α είναι ομαλό, (ή αναλυτικό ομαλό), σημείο, τότε η Δ.Ε. () έχει λύση σε κάποιο διάστημα -α <R, της μορφής: c α c ()c () (4.α) () ( ) όπου c, c είναι αυθαίρετες σταθερές και (), () είναι γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της Δ.Ε. (). g() ( Το σημείο α λέγεται πόλος τάξης της συνάρτησης f() αν f() ( α) με g(α)

200 96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Σημείο α Ανώμαλο μια τουλάχιστον από τις Ρ(), Q() δεν ορίζεται Ομαλό P() και Q() ορίζονται Κανονικό Ανώμαλο A() και B() αναπτύσσονται κατά Talor Αναλυτικό ομαλό P() και Q() αναπτύσσονται κατά Talor Η ακτίνα σύγκλισης R της σειράς (4.α) ισούται με την απόσταση του ομαλού σημείου α μέχρι το πλησιέστερο ανώμαλο σημείο. Εάν δεν υπάρχει ανώμαλο σημείο, τότε η ακτίνα σύγκλισης R ισούται με το άπειρο και η γενική λύση (4α) ισχύει για κάθε. Για να υπολογίσουμε τις σταθερές c της γενικής λύσης, που δίνει το θεώρημα, ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: ) Αντικαθιστούμε στη Δ.Ε. () τη δυναμοσειρά (4α) μαζί με τις παραγώγους της: () c ( α) (4β) και έχουμε: Ουσιώδες Ανώμαλο μια τουλάχιστον από τις A(), B() δεν αναπτύσσεται κατά Talor () ( )c ( α) (4γ) ( )c ( α) P() c ( α) Q() c( α) (5)

201 Η Μέθοδος των Σειρών 97 ) Απλοποιώντας την (5) προκύπτει μια έκφραση της μορφής ( : k o k (-α)k (-α) k (-α) (6) όπου οι συντελεστές k i, i,,, είναι συναρτήσεις μερικών συντελεστών c της λύσης (4α). Για να ισχύει όμως η σχέση (6) για κάθε πρέπει όλοι οι συντελεστές k i να είναι μηδέν: k, k, k,, k i, (7) Αυτές είναι οι συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν οι συντελεστές c για να είναι η σειρά (4α) λύση της Δ.Ε. (). ) Από τις συνθήκες (7) εκφράζουμε τους συντελεστές c,,, σαν συναρτήσεις των c, c 4) Οι όροι που περιέχουν το c μας δίνουν τη λύση () και οι όροι που περιέχουν το c μας δίνουν τη λύση () δηλαδή η σειρά (4.α) γράφεται: ()c ()c () Παράδειγμα : Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε - (8) σε μια περιοχή του σημείου α. Λύση: Το σημείο α προφανώς είναι ομαλό σημείο της Δ.Ε. Θέτουμε: () c οπότε c και ( ) c και η Δ.Ε. γράφεται: ( ) c - c c (9) Για να εξισώσουμε τους συντελεστές των ομοίων δυνάμεων του, και προσέχοντας τις τιμές από τις οποίες ξεκινάει ο δείκτης της άθροισης, παρατηρούμε ότι στον γενικό τύπο του πρώτου αθροίσματος πρέπει να αυξήσουμε τον δείκτη κατά δυο μονάδες ώστε να έχουμε: ( ) c και η σχέση (9) γράφεται: ( )( ) c ( )( ) c - c c όπου η μόνη «παραφωνία» είναι η αρχική τιμή του δείκτη στο μεσαίο άθροισμα α- φού οι δείκτες των άλλων αθροισμάτων αρχίζουν από την τιμή μηδέν. Η κατάσταση διορθώνεται παρατηρώντας ότι μπορούμε να αρχίσουμε το δεύτερο άθροισμα από, αφού ο πρώτος όρος που αντιστοιχεί για είναι μηδέν c. Τελικά η εξίσωση γράφεται: ( )( ) c - c c ( Αυτό μπορεί να γίνει όταν οι συναρτήσεις P(), Q() είναι πολυώνυμα ή αναπτύσσονται κατά Talor

202 98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ [( )( ) ] c c c Μηδενίζοντας τώρα τον συντελεστή της δύναμης προκύπτει ο γενικός αναδρομικός τύπος: ( ) c c ( )( ),,, (A) Για διαδοχικές τιμές του έχουμε: c -c c - c c 4 c 5 c c 5 4 5! 4 c 6 c 4 5 c 7 c5 c 76 7! Επειδή c 4, όλοι οι επόμενοι όροι με άρτιο δείκτη είναι μηδέν, διότι ο αναδρομικός τύπος έχει βήμα (. Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιμές των συντελεστών c i στη δυναμοσειρά c βρίσκουμε: c c c c c 5 5 c 7 7 c c -c c c c! 5! 7! 5 7 c ( ) c! 5! 7! Εάν ορίσουμε: ()- και 5 7 ()! 5! 7! η γενική λύση της Δ.Ε. (6) μπορεί να γραφεί: γεν c ()c () η οποία συγκλίνει R, (γιατί;) Η παραπάνω λύση μπορεί να γραφεί σε κλειστή μορφή, δηλαδή μπορούμε να βρούμε γενικό τύπο. Πράγματι από τον αναδρομικό τύπο: ( ) c c ( )( ) και για τις περιττές δυνάμεις του τις μεγαλύτερες από έχουμε: c 5 c 54 ( Βήμα σ έναν αναδρομικό τύπο ονομάζουμε την διαφορά του μεγαλύτερου από τον μικρότερο δείκτη.

203 Η Μέθοδος των Σειρών 99 5 c 7 c c 9 c 7 98 c c ( ) ( ) Πολλαπλασιάζουμε τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη για να εκφράσουμε τον συντελεστή c συναρτήσει του c. 5 c c Επειδή c - c, έχουμε: c ( )( ) 5 c ( )( ) To όμως είναι περιττός. Θέτουμε λοιπόν k- με k και ο παραπάνω τύπος γράφεται: 5 ( k) ck c k k! ( ) Τελικά η λύση γράφεται: 5 ( k) () c ( ) c ( ) k k k! Παράδειγμα : Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. -(-) () σε μια περιοχή του σημείου α. Λύση: Το σημείο α είναι ομαλό σημείο. Θέτουμε t- οπότε: d d dt d d d d d d dt d και d dt d dt d d dt dt dt d dt Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις αυτές στη Δ.Ε. (8) παίρνουμε: d t d dt dt που είναι η Δ.Ε. του προηγούμενου παραδείγματος της οποίας η λύση είναι: c (-t 5 7 )c t t t t! 5! 7! και θέτοντας t- βρίσκουμε τελικά την λύση της Δ.Ε. (): c ( ( ) ) c 5 7 ( ) ( ) ( )! 5! 7! Παράδειγμα : Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. ( -) ()

204 ΚΕΦΑΛΑΙΟ γύρω από το σημείο α. Λύση: Το σημείο α είναι ομαλό σημείο της Δ.Ε. διότι οι συναρτήσεις P()/( -) και Q()/( -) ορίζονται για, οπότε θέτουμε: () c και αντικαθιστώντας στη Δ.Ε. προκύπτει: ( ) c c - ( ) c ( ) c c c Στη τελευταία εξίσωση αυξομειώνουμε κατάλληλα τον δείκτη στα αθροίσματα ώστε να έχουμε την ίδια δύναμη π.χ,. Έτσι το πρώτο και το τρίτο άθροισμα παραμένουν ως έ- χουν. Στο δεύτερο άθροισμα, επειδή έχει στο γενικό όρο την δύναμη -, αυξάνουμε τον δείκτη κατά : Αλλά τώρα η άθροιση θα αρχίσει από το μηδέν, δηλαδή θα έχουμε: ( ) c ( )( ) c Με παρόμοιο τρόπο το τελευταίο άθροισμα γίνεται: c - και η εξίσωση παίρνει τη μορφή: ( ) c c - ( )( ) c c c Απομονώνουμε τους όρους που αντιστοιχούν σε και από το δεύτερο άθροισμα και τους όρους που αντιστοιχούν σε από τα δυο τελευταία αθροίσματα, δηλαδή: ( )( ) c c c c c 6c Η τελευταία εξίσωση γράφεται κατά τις δυνάμεις του -c (c c -6c ) [ ( )( ) c ( ) c c] απ όπου προκύπτουν οι συνθήκες για τα c,,, -c c c -6c -()()c ()c c - για από τις συνθήκες αυτές έχουμε: c, c c 6 c

205 και τον αναδρομικό τύπο: c ( ) c c ( )( ) Η Μέθοδος των Σειρών Βρίσκουμε διαδοχικά: c 4 8c c c, c 5 5 c c c c, 8 8 Επομένως η γενική λύση της Δ.Ε. υπό μορφή δυναμοσειράς στο σημείο α είναι: ()c c c c c c c ή ακόμα ()c 6 8 c 8 Η λύση αυτή συγκλίνει < (γιατί;). Παρατήρηση : Η διαδικασία για την εύρεση της γενικής λύσης της ομογενούς Δ.Ε. ()P() Q() υπό μορφή δυναμοσειράς, ισχύει και για τη μη ομογενή γραμμική Δ.Ε. ()P() Q()R() με την προϋπόθεση, όμως, ότι το δεξιό μέλος R() είναι αναλυτική συνάρτηση στο σημείο α, όπως θα δούμε στο επόμενο παράδειγμα: Παράδειγμα 4: Να βρεθεί υπό μορφή δυναμοσειράς η μερική λύση της Δ.Ε. -() () που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες (), () Λύση: Επειδή οι αρχικές συνθήκες αναφέρονται στο σημείο α, που είναι ομαλό σημείο της Δ.Ε. θα αναζητήσουμε λύση σε μια περιοχή του α. () c c και αντικαθιστώντας στη Δ.Ε. προκύπτει: ( ) c - c - c ( ) c c Αυξομειώνοντας κατάλληλα τον δείκτη για να προκύψει η ίδια δύναμη του, έχουμε: ( )( ) c - c - ( ) c Η τελευταία εξίσωση γράφεται κατά τις δυνάμεις του. c (c -c )(6c -c -c -) [( )( )c ( )c ] (Β) c c απ όπου προκύπτει: c -c c c / 6c -c -c - c (c )/6c //6 και ο αναδρομικός τύπος: c ( ) c c c ( )( ) Από τις αρχικές συνθήκες παίρνουμε: (Γ)

206 ΚΕΦΑΛΑΙΟ c (), c () c /, c /, c 4 /8, και τελικά η ζητούμενη λύση είναι: () 4 R 8 Εάν θέλουμε να βρούμε την γενική λύση, τότε δεν θα χρησιμοποιήσουμε τις αρχικές συνθήκες και θα προχωρήσουμε όπως στα προηγούμενα παραδείγματα. Έτσι από τον αναδρομικό τύπο έχουμε: c c c c c c c 4 c c c 5 4 c c c c c4 c c c c Τελικά c c c c c 4 4 c 5 5 c c 4 5 c c c c c c c c 5 c 6 4 c μερ όπου μερ μια μερική λύση της Δ.Ε. Παράδειγμα 5: Να βρεθεί υπό μορφή δυναμοσειράς η γενική λύση της Δ.Ε. (si) e () γύρω από το σημείο α. Λύση: Οι συντελεστές της Δ.Ε. si και e είναι αναλυτικές συναρτήσεις για κάθε R και φυσικά και στο σημείο α, οπότε θα αναζητήσουμε τη γενική λύση υπό μορφή δυναμοσειράς δηλαδή: () c c ( ) c m m m Επειδή είναι si ( ), e R m ( m )! m m! η γενική λύση ορίζεται για όλα τα. Αντικαθιστώντας τις παραπάνω δυναμοσειρές και αναπτύγματα στη Δ.Ε. έχουμε: m m m ( ) c ( ) ( )! c m m m m! c Θέτοντας την εξίσωση αυτή κατά τις δυνάμεις του παίρνουμε: c c c (c c )(6c c c ) c4 c c c5 4c και μηδενίζοντας τους συντελεστές των δυνάμεων του παίρνουμε: c -c /, c -c /-c /6, c 4 (c -c )/, c 5 c /c /, Αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές στην έκφραση της γενικής λύσης και έχουμε:

207 Η Μέθοδος των Σειρών ()c 6 c R Στο παράδειγμα αυτό είναι αρκετά δύσκολο να βρούμε τον αναδρομικό τύπο λόγω των αναπτυγμάτων των si και e. Ένας χρήσιμος τύπος για τον υπολογισμό του γινομένου δυο σειρών είναι ο εξής: u v w όπου w ukvk ukvk. k k Παρατήρηση : Προφανώς η μέθοδος των σειρών μπορεί να εφαρμοστεί και για τις Δ.Ε. με σταθερούς συντελεστές και να αναπαραγάγει τις λύσεις που, (πολύ πιο εύκολα), μπορούμε να βρούμε από την χαρακτηριστική εξίσωση. Ας δούμε ένα παράδειγμα: Παράδειγμα 6: Να βρεθεί υπό μορφή δυναμοσειράς η γενική λύση της Δ.Ε. k k R (4) γύρω από το σημείο α. Λύση: Η Δ.Ε. () έχει σταθερούς συντελεστές και όπως ξέρουμε η γενική της λύση είναι: γεν AcoskBsik (5) Για να βρούμε τη λύση αυτή με τη μέθοδο των σειρών θέτουμε: () c c και αντικαθιστώντας στη Δ.Ε. () έχουμε: ( ) c ( )( ) c k c k c [( )( ) ] c k c ( ) c k c - ( )( ) c (Δ) Για διαδοχικές τιμές του έχουμε: c - k k c c! c - k k c c! c 4 - k ( k ) k c ( ) c ( ) c 4 4 4! c 5 - k ( k ) k c ( ) c ( ) c !

208 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ m m- c m (-) m ( k ) c m ( m ) m m k ( ) ( m)! c m r r r- c r (-) r ( k ) r k c ( ) c ( r )( r) ( r )! r Ξεχωρίζοντας τους όρους με άρτιες δυνάμεις από τους όρους με περιττές δυνάμεις, θα έ- χουμε: 4 m 5 r c c c c c c c c (){ } { } 4 m 5 r 4 m k k k c 4 m m m 4 ( )!! ( )! c 5 r k k k k k c 5 r r ( ) c k k! 5! r cos( ) si( ) ( )! k Παρατήρηση : Στα προηγούμενα παραδείγματα πρέπει να προσέξουμε τον τρόπο με τον οποίο εξαρτάται η μορφή της λύσης από τους αναδρομικούς τύπους. Συγκεκριμένα: I) Εάν ο αναδρομικός τύπος περιέχει μόνο δυο όρους, (συντελεστές), όπως στις περιπτώσεις (Α) και (Δ), τότε ο γενικός συντελεστής της δυναμοσειράς μπορεί να υ- πολογισθεί σε κλειστή μορφή. Στην περίπτωση αυτή η γνώση της λύσης είναι πλήρης και η Δ.Ε. θα πρέπει να θεωρείται ακριβώς επιλύσιμη. II) Εάν ο αναδρομικός τύπος περιέχει περισσότερους από δυο όρους, όπως στις περιπτώσεις (Β) και (Γ) τότε ο υπολογισμός του γενικού συντελεστή είναι εν γένει αδύνατος και η εξίσωση θα πρέπει να θεωρηθεί μη ακριβώς επιλύσιμη. Στην περίπτωση (I) ξέροντας πλήρως την λύση μπορούμε να βρούμε και τις αλγεβρικές ιδιότητες της, ενώ κάτι τέτοιο είναι αδύνατο στην περίπτωση (II). Ασκήσεις: Να λυθούν οι παρακάτω Δ.Ε. με την μέθοδο των σειρών γύρω από το σημείο α. ) - Απ. ()c c όπου ( )( ) 4 7 και 54 ( )( )( ) ) Απ. ()c c όπου ( ) ( )( ) 4 7 και 54 ( ) ( )( )( )

209 Η Μέθοδος των Σειρών 5. H εξίσωση του Schrödiger και η διαφορική εξίσωση του Ηermite Στην Κβαντομηχανική, η Δ.Ε. που περιγράφει την κίνηση ενός σωματίου, που βρίσκεται σε δυναμικό V() (4 είναι: d Ψ () V() () E () Ψ Ψ () m d όπου h/π με h η σταθερά δράσης του Plak, m η μάζα του σωματίου, Ε η ενέργεια του και Ψ() η κυματοσυνάρτηση (5. Η Δ.Ε. () ονομάζεται εξίσωση του Schrödiger και όπως βλέπουμε είναι μια γραμμική, ομογενής, δεύτερης τάξης διαφορική εξίσωση. Για την περίπτωση του αρμονικού ταλαντωτή το δυναμικό είναι: V() mω d Ψ() m και η Δ.Ε. () γράφεται: E m () d ω Ψ () Για να απλοποιηθεί η έκφραση της () θέτουμε ξ m ω και έχουμε: d Ψξ ( ) E ξ Ψ( ξ ) dξ ω () Στη συνέχεια θα εξετάσουμε την συμπεριφορά της () για μεγάλα ξ, (ή ισοδύναμα για μεγάλα ). Παρατηρούμε ότι όταν ξ ± μπορούμε να παραλείψουμε τον σταθερό όρο Ε/ ω, που είναι πολύ μικρός σε σύγκριση με το ξ και η Δ.Ε. () γράφεται: d Ψξ ( ) ( ) ξ Ψ ξ (4) dξ και έχει σαν ασυμπτωτικές λύσεις τις Ψ(ξ)ep(±ξ /). Πράγματι, εάν παραγωγίσουμε την Ψ(ξ) δυο φορές προκύπτει: d Ψξ ( ) d Ψξ ( ) ±ξψξ ( ) ±Ψξ ( ) ξψξ ( ) dξ dξ και στην τελευταία εξίσωση μπορούμε να παραλείψουμε τον όρο Ψ(ξ) επειδή ο όρος ξ Ψ(ξ) είναι πιο επικρατέστερος για ξ ±. Επειδή τώρα η κυματοσυνάρτηση Ψ(ξ) πρέπει να παραμένει πεπερασμένη όταν ξ ± από τις ασυμπτωτικές λύσεις θα διαλέξουμε την λύση με το μείον, δηλαδή ep(-ξ /). Είναι φυσικό τώρα να χρησιμοποιήσουμε τον μετασχηματισμό: Ψ(ξ)ep(-ξ /)Y(ξ) (5) για την επίλυση της Δ.Ε. (). Αντικαθιστώντας λοιπόν την (5) στην () καταλήγουμε στην Δ.Ε.: Y -ξy E Y ω 4) Εδώ θα περιοριστούμε σε μια διάσταση 5) Η κυματοσυνάρτηση Ψ() δίνει το πλάτος πιθανότητας για τον εντοπισμό του σωματίου και όχι την ακριβή θέση του. Συγκεκριμένα η έκφραση Ψ() d δίνει την πιθανότητα το σωμάτιο να βρεθεί στο διάστημα από μέχρι d.

210 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ και θέτοντας E p έχουμε: ω Y -ξy py (6) η οποία ονομάζεται διαφορική εξίσωση του Hermite. Στη συνέχεια θα επιλύσουμε την Δ.Ε. του Hermite με την μέθοδο των σειρών. Για ευκολία και μόνο θα χρησιμοποιήσουμε τους συνήθεις συμβολισμούς για την ανεξάρτητη και εξηρτημένη μεταβλητή, δηλ στη θέση του ξ θα θέσουμε και στη θέση του Y το και η (6) παίρνει την μορφή: - p (7) θέτουμε λύση της μορφής: () c και έχουμε: ( ) c - c [( )( ) ] p c c c pc και η αναδρομική σχέση είναι: ( p) c c ( )( ),, (9) Γράφουμε ξεχωριστά τους συντελεστές με άρτιο και περιττό δείκτη: c p c ( p ) c 4 c 4 4 ( p 4) c 6 c ( p 6) c 8 c p ( ) c c ( Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις παίρνουμε: c (-) p(p ) ( p ) c ( )!,, () Με όμοιο τρόπο βρίσκουμε για τους συντελεστές με περιττό δείκτη: c (-) ( p)( p) ( p ) c ( )!, () οπότε η γενική λύση θα είναι: pp p ()c c c c c ( ) ( ) ( ) c ( )! ( )( ) ( ) c ( ) p p p c c u ()c u () () ( )! (8)

211 ( ) ( ) όπου u () ( ) pp p και ( )! ( )( ) ( ) u () ( ) p p p ( )! Η Μέθοδος των Σειρών 7 Οι σειρές στη λύση () συγκλίνουν R επειδή η Δ.Ε. () δεν έχει ανώμαλο σημείο. Επίσης οι γραμμικά ανεξάρτητες μερικές λύσεις u () και u () ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες: u (), u () u (), u () () Παρατήρηση : Η Δ.Ε. του Hermite, όπως είδαμε, προκύπτει από την εξίσωση του Schrodiger του αρμονικού ταλαντωτή. Οι λύσεις της εξίσωσης του Schrodiger, Ψ(), οι γνωστές κυματοσυναρτήσεις, ορίζονται από τις παραπάνω λύσεις u () και u () της Δ.Ε. του Hermite, συγκεκριμένα Ψ()ep(- /)Y()ep(- /)[c u ()c u ()]. Αλλά αποδεικνύεται, (από την θεωρία των σειρών), ότι για μεγάλα οι σειρές u (), u () συμπεριφέρονται όπως το ανάπτυγμα της συνάρτησης ep( ), δηλαδή για μεγάλα η κυματοσυνάρτηση Ψ() τείνει ασυμπτωτικά στην έκφραση: Ψ() ep(- /)ep( )ep( /) για Όμως οι κυματοσυναρτήσεις Ψ(), επειδή παριστάνουν πλάτη πιθανότητας, πρέπει να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες, δηλαδή το ολοκλήρωμα Ψ * () Ψ ()d να υπάρχει, δηλαδή να είναι πεπερασμένος αριθμός. Και αυτό μπορεί να γίνει μόνο αν οι λύσεις της Δ.Ε. του Herimite u () και u () μετατραπούν από σειρές σε πολυώνυμα, δηλαδή οι συντελεστές των όρων των σειρών να μηδενίζονται από κάποιον δείκτη και μετά. Η μετατροπή αυτή των σειρών σε πολυώνυμα μπορεί να γίνει στις εξής δύο περιπτώσεις: Περίπτωση Ι: Εάν το p είναι άρτιος αριθμός, δηλαδή pk με k N τότε p- k- (k-) To k- όταν k άρα για >k c και για,,,k έχουμε c k ( ) ( ) Επομένως: u () ( ) k k k ( )! k ( ) ( )! kk ( ) ( k ) k ( ) u () k! ( )!( k )! k ( ) k! ( )!( k )! Περίπτωση ΙΙ: Αν το p είναι περιττός, δηλαδή pk με k N τότε p- k- (k-) το k- όταν k άρα για,,,k c και για >k c Με παρόμοιο τρόπο, όπως στην περίπτωση Ι, προκύπτει:

212 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ u ()k! k ( ) ( )!( k )! Παρατήρηση : Από τον τύπο E ω -p προκύπτει: E ω (p ) με p,,, και αυτές είναι οι μόνες επιτρεπτές ενεργειακές τιμές για τον αρμονικό ταλαντωτή. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ HERMITE: Τα πολυώνυμα του Hermite ορίζονται από τις πολυωνυμικές λύσεις της Δ.Ε. του Hermite ως εξής: H k ()(-) k k ( k)! k ( ) ( ) ( ) ( )!! ( )!( )! ( ) u k k k H k ()(-) k k ( k )! k ( ) u( ) ( ) ( k )! k! ( )!( k )! ( ) και τα έξη πρώτα από αυτά είναι: H () H ()8 - H () H 4 () H ()4 - H 5 () με τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις: 5. H(). H() 5. H() Ho () X Ιδιότητες: -5. ) H ()(-) d e ( e ) d ) H -H ()H - () ) e Hm( )H( )d e H ( ) d ð! 4) [ ]

213 Η Μέθοδος των Σειρών 9.4 Διαφορική εξίσωση Legedre Γενική μορφή: (- ) - p(p) () Θα επιλύσουμε την εξίσωση αυτή με την μέθοδο των σειρών. Η () γράφεται: - p(p ) Οι συναρτήσεις: A() και B() pp ( ) είναι αναλυτικές στην περιοχή -<<. Άρα το σημείο είναι ομαλό σημείο. Σαν λύση της () θέτουμε τη σειρά: () c από την οποία προκύπτουν: c Με αντικατάσταση των () και () στην () έχουμε: και μετά τις πράξεις (- ) ( ) c - c και ( ) c p(p) c [( )( ) ( ) ( ) ] c c c p p c () (4) Από την (4) παίρνουμε την αναδρομική σχέση των συντελεστών: c ( p )( p) c ( )( ) (5) Από τον τύπο (5) βρίσκουμε: c - p(p ) c c 4 (-) p(p )( p )( p ) c 4! - c (-) p(p ) ( p )( p )( p ) ( p ) c d c ( )! και c - ( p )( p ) c! - c (-) ( p )( p ) ( p )( p )( p 4) ( p ) c h c ( )! Επομένως η γενική λύση της () είναι: ()c d c h c u ()c u () (6) Κάθε μια από τις σειρές στη σχέση (6) έχει ακτίνα σύγκλισης την R. Επίσης οι γραμμικά ανεξάρτητές μερικές λύσεις επαληθεύουν τις αρχικές συνθήκες: u (), u () ()

214 ΚΕΦΑΛΑΙΟ u (), u () (7) Θα εξετάσουμε τώρα ορισμένες ειδικές περιπτώσεις για την τιμή της σταθεράς p. Περίπτωση η: Έστω ότι pm με m N. Τότε ο παράγοντας p- του c γράφεται p-m-(m-) και μηδενίζεται όταν m. Άρα c για >m και έτσι η λύση u () γίνεται πολυώνυμο βαθμού m. Από τον πρώτο όρο του δεύτερου μέλους της (6) παίρνοντας τον τελευταίο όρο d m έχουμε: d m (-) m m( m ) ( m m )( m )( m ) ( m m ) ( m)! k και u () d k όπου m k d k (-) k m( m ) ( m k )( m )( m ) ( m k ) ( k)! d k (-) k ( m!) ( m k)! ( m)! ( m k)!( m k)!( k)! και τελικά u () (!) m m k ( m k)! ( ) ( ( m)! ( m k)!( m k)!( k)! k P ) m (8) k Τα πολυώνυμα P m () ονομάζονται πολυώνυμα του Legedre. Συμπέρασμα: Η Δ.Ε. Legedre δέχεται τις πολυωνυμικές λύσεις (8) οι οποίες συμβολίζονται για p,,4, P () P ()- P 4 ()- 5 4 Η δεύτερη λύση u () παραμένει σειρά. Περίπτωση η: Εάν pm με m N. Τότε ο παράγοντας p- του συντελεστή c γράφεται p-m- και μηδενίζεται όταν m. Άρα c για >m και έτσι η λύση u () είναι πολυώνυμο βαθμού m ενώ η u () παραμένει σειρά. Η λύση u ) παίρνει τη μορφή: u () (!) m m k ( m k )! k ( ) (9) ( m ) k ( m k)!( m k)!( k )! και για p,,5,... έχουμε τις πολυωνυμικές λύσεις: P () P )- 5 P 5 ()- 4 5 () 5

215 Η Μέθοδος των Σειρών Ένας τύπος που περιέχει τα δυο πολυώνυμα, που δίνονται από τις εκφράσεις (8) και (9), είναι: [ / ] r ( ) ( r)! r P () r r!( r)!( r)! () όταν άρτιος το P ) είναι πολλαπλάσιο του u () όταν περιττός το P () είναι πολλαπλάσιο του u () Τα πολυώνυμα () ονομάζονται πολυώνυμα Legedre και τα τέσσερα πρώτα από αυτά είναι: P () P () 4. P () P ()- P () P ()- 5 των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στο διπλανό σχήμα:.5 Ιδιότητες των πολυωνύμων Legedre ) P -m ()P m- () d! d ) P () [( ) ] τύπος του Rodrigues Χρησιμοποιώντας τον τύπο Rodrigues βρίσκουμε ότι: ) P (-) (-) P () m 4) P ( )P ( )d σχέση ορθογωνιότητας P( ) d 6) Κάθε πολυώνυμο βαθμού μπορεί ν αναπτυχθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των πολυωνύμων Legedre P,P,,P. 5) [ ] Δηλαδή αν f ένα πολυώνυμο βαθμού θα έχουμε: f() c P ( ) k όπου c k k f( )Pk ( )d k k Αποδείξεις ) Αν στην Δ.Ε. () το p είναι αρνητικός ακέραιος, p-μ, μ,,,... τότε p(p) -m(-m) m(m-) (m-)[(m-)] p (p ) και έτσι η εξ. Legedre γίνεται - 4. P () P ()

216 ΚΕΦΑΛΑΙΟ (- ) - p (p ) τα πολυώνυμα του Legedre που προκύπτουν από αυτή είναι τα P α () P α ()P m- () ) Έχουμε d d ( r ) r r d d r r r r ( )( ) d [ ] d r r r r r ( )( ) ( ) d d r ( r)! r ( r)! Άρα P () [ / ] r [ / ] ( ) d r r r r d!( )!! r [ / ] d r r ( )! d r r r ( )! d r!( r)! d r Αν <r τότε r -r< και η παράγωγος τάξης είναι μηδέν, άρα r,,,, και d P () r r ( ) ( )! d r ή P () d [ ] ( )! d r 4) (- ) - p(p) ( ) ( ) ( ) pm m m Pm P Pm P Pm P m( m ) PmP ( ) ( ) ( ) P P m m P Pm P Pm P Pm m( m ) PP m (- )[P m P -P P m ]-[P m P -P P m ][()-m(m)]p P m d d ( )[ Pm P P Pm] [ ) ) m( m ) ] PP m ( ) d d [ Pm P P Pm] d [ ] ( ) m( m ) P ( )P ( )d m P ( )P ( m )d P( ) d d I ( ) ( ) (!) d d d d Θέτουμε f()( -) 5) [ ]

217 Η Μέθοδος των Σειρών ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I f ( )f ( )d f f d f f d f f d d ( ) ( ) f fd ( ) ( )! ( ) d ( )! ( ) d (! ) ()! π/ με ( ) ( ) 6) f()c P c P c P ( ) d ( cost) ()! (sit) dt!! ( ) P f( )d c P c P P c P P d c Pf ( )d c k k f( )Pk ( )d.6 Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ FROBENIOUS (849-97) Θα εξετάσουμε τώρα την περίπτωση που το σημείο α είναι κανονικό ανώμαλο σημείο για την Δ. Ε.: P() Q() () δηλαδή μια τουλάχιστον από τις συναρτήσεις P() και Q() απειρίζεται για αλλά οι συναρτήσεις: A()P() και B() Q() είναι αναλυτικές σε μια περιοχή του σημείου α. A() B() Η Δ. Ε. () γράφεται: (α) Πολλαπλασιάζουμε την (α) σχέση με : A() B() (β) Για την ειδική περίπτωση A(), B() η Δ. Ε. (β) είναι εξίσωση Euler, η οποία δέχεται ως λύση την έκφραση λ. Στην γενική περίπτωση που οι συναρτήσεις A(), B() δέχονται αναπτύγματα Talor, δηλαδή μπορούν να εκφραστούν σαν δυναμοσειρές: A() α, B() b είναι φυσικό να θέσουμε την λύση () της Δ. Ε. () υπό μορφή δυναμοσειράς της μορφής: () λ c c λ λ R () όπου >, (λόγω της δύναμης λ ), και με διάστημα σύγκλισης <<r. Για τις λύσεις με < αντί για λ θέτουμε (-) λ. Το λ ονομάζεται δείκτης ή εναρκτήρια δύναμη της λύ-

218 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ σης και μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή που θα καθοριστεί από την διαφορική εξίσωση, ώστε να αρθεί ο απειρισμός των συντελεστών P() και Q(). Από τη λύση () έχουμε: λ () ( λ )c (α) () λ ( λ )( λ )c (β) Στην συνέχεια ακολουθούμε την εξής διαδικασία: ) Αντικαθιστούμε τις εκφράσεις (), (α) και (β) στην () και την εξίσωση που προκύπτει την γράφουμε στη μορφή: k λk k λk k λk k λk όπου k είναι κάποιος ακέραιος και k i i,,, συναρτήσεις του λ και μερικών συντελεστών c της λύσης. Για να αληθεύει η τελευταία εξίσωση για κάθε πρέπει όλα τα k i δηλαδή k, k,, k, για <<R ) Η εξίσωση k, (όπου k είναι ο συντελεστής της μικρότερης δύναμης λk του ), που είναι ένα τριώνυμο με άγνωστο το λ, λέγεται ενδεικτική εξίσωση, (ή εξίσωση των δεικτών), της Δ. Ε. Οι δυο ρίζες της ενδεικτικής εξίσωσης της Δ. Ε. είναι οι μόνες τιμές που μπορεί να πάρει το λ και ονομάζονται εκθέτες της Δ. Ε. ) Από τις υπόλοιπες εξισώσεις k, k, παίρνουμε τις συνθήκες, (που περιέχουν και το λ), που πρέπει να ικανοποιούν οι συντελεστές c. 4) Στις εξισώσεις k, k, θέτουμε τη μεγαλύτερη ρίζα λ της ενδεικτικής εξίσωσης της Δ. Ε. και υπολογίζουμε τους συντελεστές c, c, c, σαν συνάρτηση του c. 5) Αντικαθιστούμε τις τιμές των συντελεστών c,,, στη σειρά λ () c και παίρνουμε μια λύση της Δ. Ε. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Ι) Εάν λ, λ R με λ >λ και λ -λ θετικού ακεραίου. Τότε δυο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις είναι: λ () λ c ( λ), () c ( λ) και η γενική λύση: ()A ()B () Παράδειγμα ον Να βρεθεί η γενική λύση γύρω από το σημείο α της Δ. Ε. () Λύση: Το σημείο α είναι κανονικό ανώμαλο σημείο διότι οι συναρτήσεις: P() και Q() -

219 Η Μέθοδος των Σειρών, (μέθοδος του Frobeious) 5 δεν ορίζονται για αλλά οι συναρτήσεις: A()P() και B() Q() -/ είναι αναλυτικές στο σημείο α. Θέτουμε: λ () c οπότε λ () ( λ )c () Η () γράφεται: ( λ )( λ )c λ λ λ ( λ )( λ )c ( λ )c λ c - ( λ )( λ ) ( λ) c c ( λ) c c ( ) ( ) c λ λ c λ c λ c c Μηδενίζουμε τους συντελεστές όλων των δυνάμεων του : : c λ, λ λ και c τυχαίος αριθμός επίσης λ -λ / θετικού ακεραίου : ( ) λ c c επειδή (λ) -/ για λ±/.. c : ( λ) c c,, c ( λ) Επειδή c c c 5 ενώ c c c c -, c 4 -,, c -, ( λ ) ( λ 4) ( λ ) Πολλαπλασιάζουμε τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη και βρίσκουμε: c (λ) (-) c ( ) ( ),, λ λ c (λ)(-) c λ λ λ λ

220 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ c οπότε: c (λ )c ( ) 4 c (λ )c c ( ) 4 Τελικά: ()c ( ) c! ()c ( ) c! επειδή 4!. Η αυθαίρετη πολλαπλασιαστική σταθερά c μπορεί να παραληφθεί, δηλαδή ν αντικατασταθεί με την μονάδα. Τελικά η γενική λύση είναι: k ()k B () με k, k τυχαίες σταθερές. ΙΙ) Εαν λ, λ R με λ λ : Μια λύση είναι λ () c ( λ ) και μια δεύτερη λύση, γραμμικά ανεξάρτητη ως προς την πρώτη, αλλά όχι υπό μορφή δυναμοσειράς λόγω της παρουσίας του όρου l, αποδεικνύεται ότι είναι: (, λ) λ () ()l b( λ) λ λλ Παράδειγμα ον: Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. () γύρω από το σημείο α. Λύση: Το σημείο α προφανώς είναι κανονικό ανώμαλο σημείο. λ Θέτουμε: () c οπότε λ () ( λ )c () και η Δ.Ε. γράφεται: λ λ ( λ )( λ )c ( λ )c ( λ ) c c ( λ )( λ )c c λ λ

221 λ c (λ) c ( ) Η Μέθοδος των Σειρών, (μέθοδος του Frobeious) 7 { } λ c c Μηδενίζουμε τους συντελεστές όλων των δυνάμεων του : : λ c λ λ λ : (λ) c c c : c,, c c 5 επομένως ( λ) c,, λ c - ( ) c c ( λ ) c, c 4 ( 4 λ ) c,, c ( λ ) Πολλαπλασιάζουμε τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη και βρίσκουμε: c (-) c,, ( λ ) ( λ ) c Άρα ()c ( ) ( ) (!) c (!) (Η πολλαπλασιαστική σταθερά c μπορεί να παραληφθεί). Για την εύρεση μιας δεύτερης μερικής λύσης () ανεξάρτητης της πρώτης (), έχουμε: λ λ c λ (,λ) c c ( ) ( λ ) ( λ ) λ ( ) και επομένως (, λ ) λ c ( ) l λ ( λ ) ( λ ) ( ) ( λ ) ( λ λ c ( λ ) ( λ ) c λ [ ] λ [ ( λ ) ( λ ) ] ()l c ( ) [( λ ) ( λ ) ] λ λ λ αλλά ( λ ) ( λ ) λ (λ4) (λ)(λ)(λ6) (λ) (λ) (λ-) ( λ ) ( λ ) και λ επομένως ( λ ) ( λ ) λ λ 4 λ () λ λ

222 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ()lc ( ) [( ) ( ) ] 4 λ λ λ λ λ λ ( )l c ( ) (!) 4 Τελικά η γενική λύση είναι: ()k ()k () με k, k τυχαίες σταθερές. ΙΙΙ) Έστω ότι λ -λ m N και λ >λ, τότε μια μερική λύση μπορούμε πάντα να βρούμε, χρησιμοποιώντας την μεγαλύτερη ρίζα λ. Για να βρούμε την γενική λύση χρειαζόμαστε και μια δεύτερη μερική λύση, γραμμικά ανεξάρτητη της πρώτης. Μια τέτοια λύση μπορούμε να βρούμε με τον ίδιο τρόπο όπως και για την πρώτη λύση, δηλαδή αντικαθιστούμε την μικρότερη ρίζα λ στον αναδρομικό τύπο και υπολογίζουμε τους συντελεστές. Εάν όμως κάποιος συντελεστής απειρίζεται, τότε δεν μπορούμε να προχωρήσουμε όπως πριν, αλλά αποδεικνύεται ότι μια δεύτερη λύση, γραμμικά ανεξάρτητη της πρώτης, (όχι όμως πάντα υπό μορφής δυναμοσειράς), δίνεται από τη σχέση: () Υ(, λ) λ όπου Y(,λ)(λ-λ ) (,λ). Η δεύτερη αυτή μερική λύση () μπορεί να περιέχει τον λογαριθμικό όρο l μόνο στην περίπτωση που η διαφορά λ -λ m συμπίπτει με το βήμα της αναδρομικής σχέσης. Διαφορετικά ή λύση () δίνεται υπό μορφή δυναμοσειράς. λλ Παράδειγμα ον : Nα λυθεί η Δ.Ε. (-) γύρω από το σημείο α. Λύση: Το σημείο α προφανώς είναι κανονικό ανώμαλο σημείο. Θέτουμε: και η Δ.Ε. γράφεται: λ () c οπότε λ () ( λ )c () ( λ )( λ )c λ λ ( λ )( λ )c ( ) ( λ )c { λ λ λ } λ c ( )( ) ( ) c ( )c λ λ [λ(λ-)-λ]c {[ ] } ( λ )( λ ) ( λ ) c ( λ )c λ -λ λ, λ και [(λ)(λ-)-(λ-)]c -(λ-)c -,, λ c c - c c,, ( λ )( λ ) λ

223 Η Μέθοδος των Σειρών, (μέθοδος του Frobeious) 9 c c λ c ( ) ( ) ( )... λ λ λ λ c c λ c ( ) λ c ( λ ) c Οι συντελεστές c (λ) με λ τη μικρότερη ρίζα, δηλαδή λ απειρίζονται. Για λλ έ- ( ) χουμε: c (λ )c () c! ( ) ( ) () c c c ce!! Για να βρούμε μια δεύτερη μερική λύση, βρίσκουμε πρώτα την γενική έκφραση (,λ), που είναι: (,λ)c λ ( ) ( λ) λ( λ ) ( λ ) c λ ( ) λ ( λ) λ( λ ) ( λ ) Επομένως μια άλλη λύση, γραμμικά ανεξάρτητη ως προς την πρώτη, βρίσκεται ως εξής. Θέτουμε: Y(,λ)(λ-)(,λ)c λ ( ) λ λλ ( ) ( λ ) Y λ ( ) οπότε c l λ λ λ ( λ ) c λ ( ) λ ( λ ) λ λ Y ( ) Επομένως () c (l )e c λ λ ( )! Η πολλαπλασιαστική σταθερά c στις λύσεις (), () μπορεί να παραληφθεί. H τελική λύση είναι: ()k ()k () με k, k τυχαίες σταθερές Παράδειγμα 4ον Να λυθεί η Δ.Ε. (-) - γύρω από το σημείο α. Λύση: Το σημείο α προφανώς είναι κανονικό ανώμαλο σημείο. Θέτουμε: λ () c οπότε λ () ( λ )c () ( λ )( λ )c λ

224 ΚΕΦΑΛΑΙΟ και η Δ.Ε. γράφεται: λ ( λ )( λ )c λ - ( ) ( λ )c c λ ( λ )( λ )c ( ) ( λ )c - c ( λ )( λ ) ( λ ) ( λ ) ( )( ) ( ) ( ) c c c c λ λ c λ c λ c c { } λ λ c λ c λ c c [λ(λ-)-λ]c ( )( ) ( ) ( ) { } λ λ c λ c [λ(λ-)-λ]c ( )( ) ( ) λ(λ-)-λ λ(λ--) λ, λ ( λ )c c c (λ),, ( λ )( λ ) λ c c (λ) ( ) ( λ )( λ ) ( λ ) Για λ έχουμε: c () ( ) c και επομένως ( )! () ( ) ( ) ( ) c c c ( )! c!! c { e } O πολλαπλασιαστικός παράγοντας c μπορεί να παραληφθεί. Για την μικρότερη ρίζα λ είναι καλύτερα να μην εργαστούμε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα εφαρμόζοντας τον τύπο: () Υ(, λ) αλλά να παρατηρήσουμε το λ λλ εξής: η μηδενική ρίζα λ σημαίνει ότι η σειρά θα έχει την συνηθισμένη μορφή: Οι συντελεστές c μπορούν να προκύψουν από τον τύπο: c c (λ) ( ) ( λ )( λ ) ( λ ) θέτοντας λ και θα έχουμε: c () ( ) c! ( ) Επομένως () c c ce! c

225 Η Μέθοδος των Σειρών, (μέθοδος του Frobeious) Και εδώ η πολλαπλασιαστική σταθερά c μπορεί να παραληφθεί. Τελικά οι μερικές λύσεις είναι: ()-e - και ()e -. Ένα άλλο σημείο που πρέπει να προσέξουμε είναι ότι η δεύτερη μερική λύση ()e - περιέχεται στην πρώτη μερική λύση () -e -. Αυτό όμως δεν δημιουργεί πρόβλημα αφού εύκολα μπορούμε να ελέγξουμε με την ορίζουσα του Wrosk ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Πράγματι: e e W( (), ()) e ' ' e e Τελικά η γενική λύση μπορεί να γραφεί: k ()k ()k [-e - ]k [e - ]k [-](k k )e - k [-]k e - όπου k k k. Παρατήρηση: Εάν η σειρά, που αντιστοιχεί σε μια από τις ρίζες λ, λ περιέχει δυο αυθαίρετες σταθερές, τότε η σειρά αυτή είναι και η γενική λύση. Παράδειγμα 5ον Να λυθεί η Δ.Ε.: -(4) γύρω από το σημείο α. Λύση: Προφανώς το σημείο α είναι κανονικό ανώμαλο σημείο. Την Δ.Ε. την πολλαπλασιάζουμε επί για να απλοποιηθούν οι πράξεις. -(4) Θέτουμε: και η Δ.Ε. γράφεται: λ () c οπότε λ () ( λ )c () ( λ )( λ )c λ λ λ λ λ ( λ )( λ )c -4 ( λ )c - ( λ )c c ( λ )( λ 5)c ( λ )c λ(λ-5)c [( λ )( λ 5)c ] ( λ )c,, λ(λ-5) λ 5, λ και (λ)(λ-5)c -(λ-)c -,, ( λ ) c( λ ) c,, λ λ 5 ( )( ) Ας ξεκινήσουμε από την μεγαλύτερη τιμή του λ, την λ 5, η οποία ούτως ή άλλως πάντα μας δίνει μια λύση. Για λ5 έχουμε: (5)c ()c - c c,, 5 Απ' αυτή βρίσκουμε: c c 6

226 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 c c 7 5 c c c4 c c5 c4 5 c c ( 5) Πολλαπλασιάζοντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη προκύπτει: 4 ( ) 45 ( ) 45 c c c c ( 5) ( 5) (!) ( )( 4)( 5) (!) Άρα ()c c c ( )( 4)( 5) (!) ( )( 4)( 5) (!) Η παραπάνω έκφραση δεν μπορεί να αποτελέσει την γενική λύση γιατί περιέχει μόνο μια σταθερά την c. Ας επιχειρήσουμε τώρα με την μικρότερη τιμή του λ. Για λ ο αναδρομικός τύπος ( λ ) c( λ ) c λ λ 5 γίνεται: ( ) ( )( ) c λ c 5 ( ) Από την παραπάνω έκφραση βρίσκουμε: c c / c c / c 4 c 4 5 c 5 c 4 c 5 Άρα τα c και c 5 εκλέγονται αυθαίρετα. Για 6 έχουμε: c ( 5),. c c6 c5 6 4 c7 c 6 4 ( ) 4 ( ) 7 c c5 c (5)! (6 7 ) (5)! c c ( 5)

227 Η Μέθοδος των Σειρών, (μέθοδος του Frobeious) 45 ( )( )( 5)! c5 Άρα ()c c ( )( ) ( 5)! Επομένως η μικρότερη τιμή του λ, που συνήθως είναι η «προβληματική», έδωσε την γενική λύση. IV) Η περίπτωση, που οι ρίζες λ, λ είναι μιγαδικοί αριθμοί, δεν θα εξετασθεί εδώ γιατί απαιτεί γνώσεις από τη θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων. Ασκήσεις: Να βρεθούν οι γενικές λύσεις των παρακάτω Δ.Ε. γύρω από το σημείο α χρησιμοποιώντας την μέθοδο του Frobeius. ) 8 (-) Aπ. c c όπου () /4 και () / 4 ) 7() - Απ. c c όπου () / και () ) - Απ. c c όπου και l Εφαρμογές Δ.Ε. που λύνονται με την μέθοδο των σειρών Ι) Δ.Ε. BESSEL Η διαφορική εξίσωση Bessel είναι: d d z z ( z ) (z). dz dz Για,,,... έχει ως γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις τις J (z) και (z), όπου J r J (z) ( ) και J (z) ( ) J (z) r! Γ( r ) r z r Για,,,,... η άλλη ανεξάρτητη λύση είναι: cos( νπ)j (z) J (z) Y (z) im ν si( νπ) Η Δ.Ε. των σφαιρικών συναρτήσεων Bessel είναι: d d ( ) R(r) dr r dr r.

228 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Λύσεις της αποτελούν οι σφαιρικές συναρτήσεις Bessel j (r) (ομαλές στο r σφαιρικές συναρτήσεις Neuma (r) (μη ομαλές στο r ): d si r j (r) ( r),,,... r dr r d cos r και (r) ( r),,,.... r dr r H συνθήκη κανονικοποίησης για τις σφαιρικές συναρτήσεις Bessel είναι: π j (kr)j (k r)r dr δ(k k ). k Τέλος οι σφαιρικές συναρτήσεις Hakel ορίζονται ως: ± h (r) (r) ij (r) ) και οι ) ΜΗΧΑΝΙΚΗ Περιγραφή μικρών ταλαντώσεων εκκρεμούς με αυξανόμενο μήκος Θεωρούμε ένα απλό εκκρεμές του οποίου το μήκος αυξάνει με σταθερό ρυθμό. Υποθέτουμε ότι τη χρονική στιγμή t το νήμα σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο και έστω ότι το μήκος του είναι o υt ( o είναι το μήκος του νήματος τη χρονική στιγμή t). Βλέπουμε δηλαδή ότι το νήμα αυξάνει με σταθερό ρυθμό υ. Η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι T m( θ ) ενώ η δυναμική V mg cosθ. Η Lagragia του συστήματος είναι: L T V m( θ ) mg cosθ. Η εξίσωση Lagrage θα γραφεί : d L L d ( m dt θ θ dt θ) ( mg si θ) m θ m θ mg si θ θ θ gsi θ. Για μικρές ταλαντώσεις si θ θ οπότε θ θ gθ ( o υt) θ υθ gθ () Γραμμική Δ.Ε. ας τάξεως με μη σταθερούς συντελεστές. Κάνουμε την παρακάτω αντικατάσταση: d dθ dθ d dθ dθ dθ d o υt υ υdt υd, θ θ θ θ dt dt d dt d dt d dt g g οπότε η () γράφεται: θ θ θ θ θ θ υ υ ()

229 Εφαρμογές Δ.Ε. που λύνονται με την μέθοδο των σειρών 5 Μαθηματική παρένθεση: Θεωρούμε την παρακάτω Δ.Ε.: γ () ( α) () β γ α [ ( γ )] () Θέτουμε α z α α α α α z α z z α z α( α ) z. Έτσι η () γίνεται : α α α α α γ α z α z α( α) z ( α) z α z β γ ( α γ ) γ z αz α( α )z ( α) z αz β γ ( α γ ) z γ z z ( β γ γ )z Θέτουμε t β γ dt βγ () ( ) ( ) z ( ) ( ) γ d οπότε dz dz dt γ dz d z γ d dz dz γ βγ, βγ βγ ( γ ) d dt d dt d d dt dt d z d z γ γ dz γ γ d z γ dz βγ βγ βγ ( γ ) β γ βγ( γ ) d dt dt dt dt γ d z γ dz γ dz γ Η (4) γίνεται: β γ βγ( γ ) βγ ( β γ γ ) z dt dt dt γ d z γ dz γ γ d z γ dz γ β γ βγ ( β γ γ ) z β β ( β ) z dt dt dt dt d z dz t t (t )z dt dt που είναι Δ.Ε. Bessel. H γενική της λύση είναι: γ γ γ ( AJ ( β ) BY ( β )) tβ, z α z(t) AJ (t) BY (t) () γ g Στο πρόβλημα που εξετάζουμε α α, β γ υ g g γ, β β και α γ. 4 υ υ 4 4 Άρα α g g θ( ) C J C Y (5) υ υ g Θέτουμε u, οπότε η (5) γράφεται υ θ Au J(u) Bu Y (u) (6) Παραγωγίζοντας την τελευ-ταία σχέση θα έχουμε dθ d d A [ u J(u) ] B [ u Y (u) ] (7) du du du d Από τις αναδρομικές σχέσεις [ u J(u) ] u J (u) και du d [ u Y (u) ] u Y (u), du (4)

230 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ dθ παίρνουμε [ Au J (u) Bu Y (u)] du Έστω ότι θ ( t ) θo, θ(t ) και Ακόμα du d o o (t ) o, u ( o ) u o g o. υ υ g υ o dθ dθ d dθ και du d du dt u uo t u uo g o dt d d du t u u. θ() o g o g. Έτσι η (6), (7) για την χρονική στιγμή μηδέν γράφονται : θ Au J (u ) Bu Y (u ) (8) o o o και AJ (u ) BY (u ) (9). Επίσης είναι γνωστό ότι o o J(u)Y (u) J (u)y (u) () πu Από τις (9) και () θα προσδιορίσουμε τα A, B : Y (u o ) Y (uo) A B, θo B uo J(uo) Buo Y (uo) J (u ) J (u ) και o o o [ (u )Y (u ) Y (u )J (u )] u θ J (u ) B J () o BY (u o ) A J (u ) o o o o u θ J o (u o o o o J (u )[ J (u )Y (u ) Y (u )J (u )] o o o o o [ (u )Y (u ) Y (u )J (u )] u oθ oy (u o ) A J o o o o () Με την βοήθεια της () οι () και () γράφονται u θ oθoj (u o ) B, u o oy (u o ) A. πu o πu o π(u o ) θo π(u o ) θo Επομένως τελικά A Y (u o ) και B J (u o ). Έτσι η (6) θα γραφεί τελικά : π(u o ) θo θ u [ Y (u o )J(u) J (u o )Y (u) ]. )Y o (u o ) o ) ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Σφαιρικό πηγάδι δυναμικού Θεωρούμε ένα τρισδιάστατο σωμάτιο μάζας m που βρίσκεται σε κεντρικό δυναμικό της μορφής :

231 Εφαρμογές Δ.Ε. που λύνονται με την μέθοδο των σειρών 7 για r α Vr () V για r α Θέλουμε να προσδιορίσουμε την μορφή των κυματοσυναρτήσεων για δέσμιες καταστάσεις του συστήματος ψ (r, θ, φ) R(r)Y ( θ, φ). Η ακτινική εξίσωση του m Schrödiger γράφεται ως εξής : d dr m R r ( E V(r) ) R ( ) r dr dr r d R dr ( ) m R ( E V(r) ) R () dr r dr r Για r < α η () θα γραφεί : d R dr ( ) m R ( E Vo ) R () dr r dr r ενώ για r α η () θα γραφεί : d R dr ( ) me R R () dr r dr r m k E V οπότε η () γίνεται: Θα μελετήσουμε πρώτα την (), θέτουμε ( ) R dr ( ) d R dr ( ) d dr R k R r dr r d(kr) o R R (kr) d(kr) (kr) ( ) d d R (4) d(kr) (kr) d(kr) (kr) Δ.Ε. σφαιρικών συναρτήσεων Bessel. Η (4) έχει ως λύση τις σφαιρικές συναρτήσεις Bessel j (kr) και τις σφαιρικές συναρτήσεις Neuma (kr). Επειδή θέλουμε όμως οι λύσεις μας να είναι ομαλές στο r, γι αυτό λύσεις της (4) θα είναι οι σφαιρικές συναρτήσεις Bessel j (kr). Για r α ισχύει η εξίσωση (). Επειδή όμως μελετάμε δέσμιες κα- ταστάσεις Ε<, θέτοντας γ me η () θα γραφεί: R dr ( ) R dr ( ) d d R γ R R (iγ) R dr r dr r dr r dr r d d ( ) R. d(iγr) (iγr) d(iγr) iγr Επειδή το r δεν ανήκει στην περιοχή αυτή, η λύση θα είναι ένας συνδυασμός των j (iγ r), (iγr). Ορίζουμε τις σφαιρικές συναρτήσεις Hakel ως h ± (r) (r) ± i ( j (r)) Η λύση του προβλήματος θα πρέπει να ικανοποιεί την συνθήκη R(i r) r γ. Η ασυμπτωτική συμπεριφορά των j (iγ r), (iγr) είναι: r j (r) sir r π και. r (r) cosr r π.

232 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Άρα η ασυμπτωτική συμπεριφορά των σφαιρικών συναρτήσεων Hakel είναι: h ± e (iγr) π ± i iγr iγr γ e i γr r ( i) Επομένως η h (iγr) έχει αποδεκτή ασυμπτωτική συμπεριφορά. Τελικά θα έχουμε με me Aj (kr),r < α R (r), Bh (iγr),r α m k E V. γ και ( ) o Οι συνθήκες συνέχειας στο σημείο α παίρνουν τη μορφή Aj (kα) Bh (iγα) και Α d dr j (kr) rα d B dr h (iγr) Κίνηση σωματιδίου μάζας m σε κεντρικό δυναμικό της μορφής rα.. V(r) V e o (θα μελετήσουμε την απλή περίπτωση που στην ακτινική εξίσωση Schrödiger) Η ακτινική εξίσωση Schrödiger είναι : d dr(r) m ( ) ( ) r E V(r) R(r) R(r) () r dr dr r u(r) dr du(r) Θέτοντας R (r) u(r) οπότε η () γίνεται: r dr r r dr d du(r) m u(r) ( ) ( ) u(r) r u(r) E V(r) r dr r r dr r r r d du(r) m u(r) ( ) ( ) u(r) u(r) r E V(r) r dr dr r r du(r) du(r) d u(r) m u(r) ( ) ( ) u(r) E V(r) r dr r dr r dr r r d u(r) m u(r) ( ) ( ) u(r) E V(r) r dr r r d u(r) m ( ) ( ) u(r) E V(r) u(r) dr r d u(r) ( ) V(r) u(r) Eu(r). m dr mr Για θα έχουμε: d u(r) d u(r) r α V(r)u(r) Eu(r) Voe u(r) Eu(r) () m dr m dr r r α dξ ξ α Θέτουμε ξ e ξ r α ξ dr dξ, α ξ dr α r α

233 Εφαρμογές Δ.Ε. που λύνονται με την μέθοδο των σειρών 9 du du dξ ξ du d u d du dξ du ξ d u ξ οπότε και ( ) dr dξ dr α dξ dr dξ dr dr α dξ α dξ α d u ξ du ξ d u. dr 4α dξ 4α dξ Έτσι η () θα γίνει: ξ du ξ d u ξ ξ du d u ξ mvo me V u Eu ξ u u o m 4α dξ 4α dξ 4α dξ 4α dξ ξ 4α Θέτουμε d u ξ dξ 4α du m dξ d u du 8mα E ( V ξ E) u V u o dξ ξ dξ d u du 8mα Vo 8mα E u dξ ξ dξ ξ 8mα Vo 8mα E c και k ( E < ). ξ d u du k Έτσι η () θα γραφεί: c u dξ ξ dξ ξ d u du ξ ξ ( c ξ k ) u ( ) d u ( ) du ( cξ cξ (cξ) k ) u dξ dξ d(c ) d(c ) ξ ξ Δ.Ε. Bessel με λύση( επειδή περιέχεται στο διάστημα που εξετάζουμε το r ) τα r α J k (cξ). Επομένως u(r) AJ k (ce ) όπου Α σταθερά που μπορεί να προσδιοριστεί από την συνθήκη κανονικοποίησης. Επομένως R(r) J (ce r α u(r) A k ) r r και η κυματοσυνάρτηση που αντιστοιχεί στο σωματίδιο είναι A r α ψ(r, θ, φ) J k (ce ) Υ ( θ, φ). r o ξ () II) Δ.Ε. LEGENDRE Διαφορική εξίσωση Legedre ονομάζουμε την Δ.Ε.: d d ( ξ ) ξ ν, dξ dξ όπου ν πραγματική θετική σταθερά. Ζεύγος γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων είναι η συνάρτηση Legedre ου είδους P ν () και η συνάρτηση Legedre ου είδους (). Οι συναρτήσεις αυτές απειρίζονται για ± ν οι συναρτήσεις Legedre ου είδους είναι πεπερασμένες στα σημεία ±. Στην περίπτωση αυτή οι συναρτήσεις αυτές ονομάζονται πολυώνυμα του Legedre P ( ξ ), ορίζονται ως. Μόνο όταν ( ) Q ν

234 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ξ ) d P ( ξ )! dξ ξ,,,,,... και αποτελούν λύσεις της Δ.Ε. d d ( ξ ) ξ ( ) P ( ξ). dξ dξ Η γεννήτριά τους συνάρτηση είναι : ( ) ξs s και οι σχέσεις ορθογωνιότητας είναι P ( ξ)s ( ξ)p ( ξ)dξ δ, P. Οι συναφείς συναρτήσεις Legedre ορίζονται ως: d ( ) ( ) d m m m ξ ξ P ( ξ) ( ξ ) m P ( ξ ) m dξ! m dξ ξ και υπακούουν την Δ.Ε. : d d m m ( ξ ) ξ ( ) P ( ξ). dξ dξ ξ H γεννήτρια συνάρτηση είναι : m m ( ) ( ) s m m!! ξ s P ( ξ) m ξs s m και οι σχέσεις ορθογωνιότητας m ( ) ( ) ( ) m m m! P k P dξ δ k,. m!, m,,,..., ) ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Εύρεση ηλεκτροστατικού δυναμικού Ένας από τους πρώτους στόχους της ηλεκτροστατικής όπως έχουμε αναφέρει και πρωτύτερα, είναι η εύρεση του ηλεκτρικού πεδίου μιας δεδομένης στάσιμης κατανομής φορτίου. Αρχικά προσπαθούμε να βρούμε το δυναμικό μέσω της εξίσωσης Poisso ρ V () εo Αν ρ τότε η () γράφεται V εξίσωση Laplace. Ας υποθέσουμε ότι το πρόβλημά μας έχει σφαιρική συμμετρία. Η εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες γράφεται: V V V V r si θ r r r r si θ θ θ r si θ φ ()

235 Εφαρμογές Δ.Ε. που λύνονται με την μέθοδο των σειρών Εφαρμόζουμε τη μέθοδο χωρισμού των μεταβλητών. Αναζητούμε λύση της μορφής V(r, θ, φ) R(r) Θ( θ) Φ( φ). Έτσι η () θα γίνει: r ΘΦ r Rr r r d dr d dr si θ R r r d dr r r r si θ θ θ θ φ ( RΘΦ) si θ ( RΘΦ) ( RΘΦ) dr dr dr dr RΦ r si θ dr dr Θr dθ si θ θ dθ d d d dθ si θ si θ dθ dθ Φr r r si RΘ d Φ si θ dφ si si θ d dθ d Φ si θ Θ dθ dθ Φ dφ d Φ θ dφ si θ d dr si θ d dθ d Φ r si θ. R dr dr Θ dθ dθ Φ dφ Το αριστερό μέλος είναι συνάρτηση των r,θ ενώ το δεξί είναι συνάρτηση του φ. Για να είναι αυτό δυνατό θα πρέπει και τα δύο μέλη να ισούνται με την ίδια σταθερά έστω μ. Τότε θα έχουμε si θ d dr si θ d dθ r si θ μ R dr dr Θ dθ dθ () και d Φ d Φ μ μφ Φ dφ dφ (4) Η (4) έχει γενική λύση γραμμικό συνδυασμό των ( μφ) cos και ( μφ) si ή των i μφ e και i μφ e. Επειδή η V πρέπει να είναι μονοσήμαντα ορισμένη σε κάθε σημείο του χώρου θα πρέπει : Φ( φ) Φ( φ π) μ m ακέραιος. Άρα μ m. Έτσι η () θα γίνει: si θ d dr siθ d dθ d dr d dθ m r siθ m r siθ R dr dr Θ dθ dθ R dr dr Θsiθ dθ dθ si θ d dθ m d dr si θ r Θsi θ dθ dθ si θ R dr dr (5) με παρόμοιους συλλογισμούς και τα δυο μέλη ισούνται με την ίδια σταθερά, έστω ν. Ε- πομένως d dr d dr d R dr r ν r νr r r νr R dr dr dr dr dr dr (6) Δ.Ε. Euler. k Θέτουμε R r k R kr k R k(k )r. Θέτοντας τις εκφράσεις αυτές στην (6) θα έχουμε : k k k r k(k )r rkr νr

236 ΚΕΦΑΛΑΙΟ k [ k(k ) k ν] r k k k ν k k ν k, ± 4. ν 4ν 4ν Επομένως k λ και k λ. λ λ Η γενική λύση της (6) είναι γραμμικός συνδυασμός των r, r. Παρατηρούμε ότι 4ν λ λ λ ( λ ) και ν λ λ λ( λ ). Από την (5): d dθ m d dθ m si θ ν si θ Θsi θ dθ dθ si θ si d d ν si Θ (7). θ θ θ θ Θέτουμε cos θ si θdθ d. d d d d Οπότε θα έχουμε si θ. dθ d dθ d d dθ m Η (7) θα γραφεί ( si θ) si θ ν Θ si θ d d dθ m d Θ dθ m ( ) ν ( ) ν d d d Θ d d Θ Η εξίσωση αυτή έχει λύσεις που παραμένουν φραγμένες όταν ± μόνο αν ν ( ) με ακέραιο. Όμως ν λ ( λ ). Άρα οι λύσεις παραμένουν φραγμένες αν λ,,,....έτσι B R (r) A r r και ( d Θ dθ m ) ( ) d d Θ (8) θ συσχετισμένη εξίσωση Legedre. Οι φυσικά αποδεκτές λύσεις της (8) είναι οι συναφείς συναρτήσεις Legedre ου είδους P m (), αφού οι Q m () απειρίζονται για ±. Άρα τελικά η γενική λύση γράφεται: B m V (r, θ, φ) A r P θ ( α φ φ ) (cos ) m cos(m ) b m si(m ) m r Αν το πρόβλημά μας έχει αζιμουθιακή συμμετρία, δηλαδή το V είναι ανεξάρτητο από την συντεταγμένη φ, τότε m η (8) γίνεται εξίσωση Legedre και η λύση γράφεται : V(r, θ) A B r P θ (cos ) r

237 Εφαρμογές Δ.Ε. που λύνονται με την μέθοδο των σειρών ΙΙΙ Δ.Ε. LAGUERRE Τα πολυώνυμα Laguerre ορίζονται ως: L (z) d dz z ( e z ) z e,,,,... και αποτελούν λύσεις της Δ.Ε.: d d z ( z) L (z) dz dz. Τα συναφή πολυώνυμα Laguerre ορίζονται ως: m m m d L (z) ( ) L m (z) m dz d d m και υπακούουν στην Δ.Ε.: z ( m z) L (z) dz dz Η γεννήτριά τους συνάρτηση είναι : sz ( ) m L (z) s e s ( s < ) m s ( m )! και υπακούουν στις εξής σχέσεις ορθογωνιότητας: z [ ( )! ] z L L dz δ! e, ( ). ) ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Τρισδιάστατος ισότροπος αρμονικός ταλαντωτής Θεωρούμε ένα σωμάτιο το οποίο υπόκειται στο δυναμικό V mω r. Η ακτινική εξίσωση Schrödiger είναι : d dr m ( ) ( ) r E V(r) R R r dr dr r () Θέλουμε να γράψουμε την ακτινική εξίσωση με τη βοήθεια μιας αδιάστατης μεταβλητής ξ. Έτσι θέτουμε rαξ drαdξ, οπότε R(r)R(αξ) u(ξ). d d dξ d Επομένως. dr dξ dr α dξ Έτσι η () θα γίνει:

238 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ) ξ α ξ α ω ξ α ξ α ξ α ξ α u u m E m d du d d ( ) ξ α ξ α ω ξ ξ ξ ξ α u u m u me d du d d ( ) ξ α ξ α ω α ξ ξ ξ ξ u u m u me d du d d 4 ( ) u m me d du d d 4 ξ ξ α ω α ξ ξ ξ ξ. Διαλέγουμε το α έτσι ώστε ω α ω α α ω m m m 4 4, οπότε: ( ) ξ ξ ω ξ ξ ξ ξ u m me d du d d ( ) u d du d d ξ ξ ω Ε ξ ξ ξ ξ () Θέτουμε ε ω E (αδιάστατο μέγεθος), οπότε η () γράφεται: ( ) ξ ε ξ ξ ξ ξ ξ u d du d d ( ) ξ ε ξ ξ ξ ξ ξ ξ u d u d d du ( ) u d du d u d ξ εξ ξ ξ ξ () Θα μελετήσουμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά της τελευταίας αυτής εξίσωσης. Όταν ξ η εξίσωση γίνεται : u d u d ξ ξ (4) H λύση θα είναι της μορφής e 4 e u e u e u λξ λξ λξ λξ ξ λ λ λξ. Οπότε από την (4) θα έχουμε : ξ ξ λ λ λξ λξ <<ξ λ λξ λξ λξ e e e e 4 e 4 4 e e 4 ± λ λ λ ξ ξ λ λξ λξ. Αφού όμως μελετάμε δέσμιες καταστάσεις, θα πρέπει u ξ. Άρα το u για μεγάλα ξ είναι ξ e u. Για μικρά ξ η () γίνεται : ( ) u d du d u d ξ ξ ξ ξ Δ.Ε. Euler. Θέτουμε ( ) u u u κ κ κ ξ κ κ κξ ξ οπότε η Δ.Ε. Euler γίνεται :

239 ξ κ Εφαρμογές Δ.Ε. που λύνονται με την μέθοδο των σειρών 5 κ κ κ κ ( κ ) ξ ξκξ ( ) ξ [ κ( κ ) κ ( ) ] ξ ( ) κ κ. Η διακρίνουσα αυτής της εξίσωσης είναι ( ) ± ( ) ± ( ) κ, ( ) Δ, οπότε :. Επειδή όμως όταν ξõ το u πρέπει να είναι πεπερασμένο, για αυτό u ξ. Άρα δηλαδή ψάχνουμε για λύσεις της μορφής u e ξ ξ w( ξ). Υπολογίζουμε τις δύο πρώτες παραγώγους της u : u ξ ξ ξ ξ e w ξ e w ξ u e w e w ( ) e w ( ) e w e ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ w e ξ ξ w. Έτσι η () με αυτές τις αντικαταστάσεις θα γίνει: ξ w ξ w ξ w ξ w ξ w ξ w ξ w ξ w ξ ( ) ( ) w ( ) ε ξ ξ w ξw w ξ w εξ ξ( ) ξ ξ ξ w ( ξ ) w ( ε ( ) ) ξw (5) Θεωρούμε τον μετασχηματισμό Οπότε ( ) ( ) ξ ρ ( ο μετασχηματισμός δεν είναι προφανής) ξ ρ d dρ. dw dw dρ dw ρ dξ dρ dξ dρ dξ dξ dρ dρ dρ dξ dρ dw d w 4ρ. Έτσι η (5) γράφεται: dρ dρ e w dρ και d w d dw d dw dρ d dw - ρ ρ ρ ρ ρ dw ρ dρ dw d w dw ρ ρ 4 dρ dρ dρ d w dw dw 4ρ 4( ρ) [ ε ( ) ] w dρ dρ dρ ( ρ) ρ [ ε ( ) ] ρ w d w dw ρ dρ dρ 4 ( 4 4ρ 6) [ ε ( ) ] w d w dw ρ w ρ d d ε ρ. ρ Θέτουμε ν και β ( ε ν ), οπότε θα έχουμε: d w ρ dρ

240 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ρ d w dw ( ν ρ ) ε ν w dρ dρ ρ d w dw ( ν ρ ) ( ε ν ) w dρ dρ d w dw ρ ( ν ρ ) βw (6). dρ dρ ν Προσαρτημένη Δ.Ε. Laguerre, που έχει ως λύση τα συναφή πολυώνυμα Laguerre L ( ρ) Αναζητούμε λύσεις της μορφής w Έτσι η (6) θα γίνει: μ μα μ ρ μ w α ρ μ μ μ μ μ μ w ( μ ) α μ ρ. μ μ μ μ μ( μ ) α μρ ν μαμρ μαμρ α μρ β μ μ μ μ μ μ μ ( ) μαμ ν( μ ) α μ α μ ρ μαμ βα μ μ μ για μεγάλα μ μ [ ] [ ] ρ [ μ( μ ) ν( μ ) ] α ( μ β) Έτσι η δυναμοσειρά α α μ α μ α. μ! μ α α μ μ μ μ μ w α μ ρ γίνεται w μ μ ξ ξ μ α μ ρ μ μ β μ( μ ) ν( μ ) ρ μ e μ! ρ, οπότε β. ξ u ξ e e ξ e. Βλέπουμε δηλαδή ότι u ξ. Άρα δεν περιγράφει δέσμιες καταστάσεις. Επομένως η δυναμοσειρά πρέπει να τερματίζει: α α β. α... ν Επομένως β ( ε ν ) ε ε Όμως ε. E ε Ε ω ωε ω.

241 Εφαρμογές Δ.Ε. που λύνονται με την μέθοδο των σειρών 7 Θέτοντας N N,,,... θα έχουμε ότι E N ω Ν. Η ακτινική συνάρτηση θα είναι: ξ R(r) Cξ e L ( ξ ), όπου C μια σταθερά που μπαίνει για λόγους κανονικοποίησης. Λύση της εξίσωσης Schrödiger για μονοηλεκτρονικά άτομα Το μονοηλεκτρονικό άτομο είναι ένα τρισδιάστατο σύστημα που απότελείται από δυο σωματίδια, τον πυρήνα και ένα ηλεκτρόνιο, που κινείται υπό την επίδραση της αμοιβαίας έλξης Coulomb. Έστω m η μάζα του πυρήνα, το φορτίο του οποίου είναι Ze ( Z για το ουδέτερο άτομο του υδρογόνου, Z για το ιονισμένο ήλιο κ.τ.λ.) και m η μάζα του ηλεκτρονίου φορτίου e. Το δυναμικό Coulomb δίνεται τότε από τη σχέση Ze V(,,z,,,z), z z ( ) ( ) ( ) όπου,,z οι ορθογώνιες συντεταγμένες του πυρήνα και,,z οι ορθογώνιες συντεταγμένες του ηλεκτρονίου. Η χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση Schrödiger γράφεται ψ V(,, z,,, z ) τ E τψ τ () m m όπου i, ψ τ η συνολική κυματοσυνάρτηση του συστήματος και i i z i η συνολική ενέργεια του συστήματος. Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας δίδονται από τις E τ

242 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ c m m m m, c m m m m και c m m z m m z z, ενώ οι συντεταγμένες τις σχετικής κίνησης δίνονται από τις θ φ θ φ θ r cos z z z si r si cos r si r r r. Τότε r Ze ), V(r, ) z,,, z,, V( φ θ, r r r r r r c c r c c c r r c c c c r r c c r r c c f f f f f f f f f f f f Έτσι r r c r c c m m m m m m m m m r r c c m m m m m m. Ομοίως c m m m r c r m m m. Ανάλογες εκφράσεις βρίσκουμε και για τις συντεταγμένες z, z,,. Με τους μετασχηματισμούς αυτούς η εξίσωση διαχωρίζεται σε δυο κομμάτια. Το ένα μέρος περιγράφει την κίνηση του κέντρου μάζας, ενώ το άλλο την σχετική κίνηση των δυο σωματιδίων. Έ- τσι στις νέες συντεταγμένες η εξίσωση () γίνεται: φ ψ θ ψ μ ψ τ τ τ c c c si r r r r r z ) m (m τ τ τ τ ψ ψ θ ψ θ θ θ E V(r) si si r () όπου m m m m μ η ανηγμένη μάζα του συστήματος. Αναζητάμε λύσεις της μορφής: ), (r, ) z,, ( ), r,, z,, ( c c c CM c c c φ θ ψ ψ φ θ ψ τ. Θέτοντας ψ ψ ψ τ CM στην () θα πάρουμε :

243 Εφαρμογές Δ.Ε. που λύνονται με την μέθοδο των σειρών 9 ψ ψ CM c c c z ) m (m ψ μ ψ r r r r CM ψ ψ ψ ψ θ ψ θ θ θ φ ψ θ τ CM CM E V(r) si si r si r. Διαιρώντας με ψ ψ CM θα έχουμε : ψ ψ ψ ψ c CM c CM c CM CM z ) m (m τ θ ψ θ θ θ φ ψ θ ψ ψ μ E V(r) si si r si r r r r r Η πρώτη αγκύλη του αριστερού μέλους είναι συνάρτηση μόνο των c, c,z c, ενώ η δεύτερη μόνο των r,θ,φ. Αφού το άθροισμα των δυο αγκύλων είναι ίσο με μια σταθερά Ε τ και λόγω της ανεξαρτησίας των συντεταγμένων,,z και r,θ,φ, θα ισούται με μια σταθερά. Έτσι θα προκύψουν οι παρακάτω δυο εξισώσεις: CM c CM c CM c CM CM E z ) m (m ψ ψ ψ ψ () E V(r) si si r si r r r r r θ ψ θ θ θ φ ψ θ ψ μψ (4) όπου CM E E E τ. Από την () θα έχουμε: CM CM c CM c CM c CM E z ) m (m ψ ψ ψ ψ. Αυτή είναι η χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση Schrödiger για ένα σωμάτιο μάζας μm m του οποίου οι συντεταγμένες είναι οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας του ατόμου και το οποίο κινείται με συνολική ενέργεια Ε CM σε περιοχή μηδενικού δυναμικού. Στη συνέχεια ασχολούμαστε με την (4):

244 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ μ r r r ψ r r si ψ θ φ r si θ θ ψ si θ V(r) ψ Eψ θ Αναζητούμε λύσεις της μορφής ψ ( r, θ, φ) R(r) Θ( θ) Φ( φ). Αντικαθιστούμε στην (5) και στη συνέχεια διαιρούμε με R(r) Θ ( θ) Φ( φ). Έτσι έχουμε: (5) Rr d dr r dr dr Φr si d Φ θ dφ Θr si θ dθ μ si θ θ dθ d d ( E V(r) ) d Φ si θ Φ dφ R d dr r dr si θ d dθ μr si θ dr Θ dθ dθ si θ ( E V(r) ) Το αριστερό μέλος είναι μια συνάρτηση του φ, ενώ το δεξί μια συνάρτηση των r,θ. Για να είναι αυτό δυνατό θα πρέπει και τα δυο μέλη να είναι ίσα με την ίδια σταθερά. Έτσι θα έχουμε: d Φ m Φ dφ si θ R Διαιρούμε την (Β) με R d dr r d dr r (Α) dr si θ d dθ μr si θ dr Θ dθ dθ si θ και θα έχουμε: dr μr dr m si d Θsi θ dθ si ( E V(r) ) si θ θ θ. ( E V(r) ) m Το αριστερό μελος είναι συνάρτηση του r, ενώ το δεξί συνάρτηση του θ. Άρα θα ισούνται με ίδια σταθερά, έστω λ. Έτσι καταλήξαμε ότι: d Φ m Φ dφ (Α) d dθ m Θ si θ λθ si θ dθ dθ si θ d dr μ R r ( E V(r) ) R λ r dr dr r Από την (Α) έχουμε d Φ m Φ Δ.Ε. ας τάξεως με σταθερούς συντελεστές. Η λύση dφ imφ της είναι της μορφής Φ( φ) e. Πρέπει να λάβουμε υπ όψη μας ότι η πυκνότητα πιθανότητας πρέπει να είναι μονοσήμαντα ορισμένη για όλες τις τιμές των μεταβλητών. Αυτό συμβαίνει επειδή είναι μετρήσιμες ποσότητες που περιγράφουν την συμπεριφορά ενός πραγματικού φυσικού σωματιδίου. Μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι θα είναι έτσι, απαιτώντας ότι οι ιδιοσυναρτήσεις ψ R(r) Θ( θ) Φ( φ) πρέπει να είναι μονοσήμαντα ορισμένες. Έτσι θα πρέπει Φ ( φ) Φ( φ π) dθ dθ. (6) (7) (Β)

245 Εφαρμογές Δ.Ε. που λύνονται με την μέθοδο των σειρών 4 imφ im( φ π) imφ imφ imπ imπ e e e e e. Άρα το m πρέπει να είναι ακέραιος δηλαδή m, ±, ±,.... Θέτουμε στην εξίσωση (6) θ ξ ξ οπότε cos ( ) d d dξ d si θdθ dξ si θ. dθ dξ dθ dξ Με τον μετασχηματισμό αυτό θα έχουμε : si θ d dξ dθ dξ m Θ ξ ( si θ) si θ( si θ) λθ d dθ m Θ ( ξ ) λθ ( ) d dθ m ξ λ dξ dξ ξ dξ dξ ξ Θ Για m έχουμε τη Δ.Ε. Legedre, ενώ για m έχουμε τη συναφή εξίσωση Legedre. Θα μελετήσουμε πρώτα την περίπτωση που m : d dθ ( ) λθ d ξ d (8) ξ ξ Αναζητούμε λύσεις της μορφής : Θ ( ξ ) κ α ξ κ κ (Διαλέγουμε κ έτσι ώστε να μην έχουμε πόλους για ξ, δηλαδή για να έχουμε καλή συμπεριφορά για ξ ). Οπότε Θ κ κ ( ξ) κα κξ ( ξ) κ( κ ) α κξ. κ Θ Κάνοντας αυτές τις αντικαταστάσεις θα έχουμε: d Θ dθ ( ξ ) ξ λθ dθ dξ κ κ κ κ κ ( ξ ) κ( κ ) α κξ ξ κα κξ λ κ( κ ) α κ ξ κ κ κ κ κ κ( κ ) α κ ξ κ κ κα κ ξ κ λ κ α α κ κ ξ ξ κ κ κ κ κ κ ( κ )( κ ) α κ ξ κ( κ ) α κξ κα κξ λ α κξ κ κ κ )( κ ) α κ ξ κ ( κ κ )( κ ) α ξ κ κ ( κ ( κ )( κ ) α κ [ κ( κ ) ] κ κ [ κ( κ ) κ λ] α ξ κ [ κ( κ ) κ λ] α ξ κ κ κ κ( κ ) λ ( κ )( κ ) κ κ κ λ α κ. α κ α.

246 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Όταν το κ είναι πολύ μεγάλο τότε α α κ κ Επομένως η δυναμοσειρά Θ ξ) α κξ κ κ κ κ, δηλαδή κ ξ κ α κ. κ κ ( για ξ ± αποκλείνει. Άρα η δυναμοσειρά πρέπει να τερματίζει, έστω α α λ ( ) με,,,.... α 4... Τα πολυώνυμα που υπακούουν στην (8) ονομάζονται πολυώνυμα Legedre και ορίζονται d ως P ( ξ ) ( ξ ) με,,,....! dξ d dθ m d d Θ. ξ ξ ξ Η διαφορική αυτή εξίσωση ικανοποιείται από τα συναφή πολυώνυμα Legedre: m m d P ( ξ ) ( ξ ) m m m d P ( ξ) ( ξ ) ( ξ ). m m dξ! dξ Από τη σχέση αυτή συμπεραίνουμε ότι ( m) m με,,,... και m, ±, ±,... H λύση ψ θα γραφεί ψ R(r) Θ ( θ) Φ ( ). Ορίζουμε τις σφαιρικές Για m ( ξ ) λ, m m φ αρμονικές : m ( m )! ( ) ( ) m Y (, ) 4 m! e imφ P m θ φ (cos θ π ) (όπου θ π και φ π ) και επεκτείνουμε για m,,..., θέτοντας m m ( ) ( Y ( θ, φ ) m Y ( θ, φ) ), m, ±, ±,... με m. δηλαδή,,,... Στη συνέχεια λύνουμε την Δ.Ε. για την ακτινική συνάρτηση R(r) (ακτινική εξίσωση Schrödiger): d dr μ ( ) ( ) r E V(r) R R, r dr dr r Ze όπου V(r). Θέτουμε : r u(r) dr du(r) R(r) u(r). r dr r r dr Με την αντικατάσταση αυτή έχουμε : d du(r) μ u(r) ( ) ( ) u(r) r u(r) E V(r) r dr r r dr r r r

247 Εφαρμογές Δ.Ε. που λύνονται με την μέθοδο των σειρών 4 ( ) d du(r) μ u(r) u(r) u(r) r ( E V(r) ) r dr dr r r du(r) du(r) d u(r) μ u(r) ( ) ( ) u(r) E V(r) r dr r dr r dr r r d u(r) μ u(r) ( ) ( ) u(r) E V(r) r dr r r μ ( ) ( ) u(r) d u(r) E V(r) u(r) V(r) u(r) Eu r dr r (9) μ μ ( ) Ze ( ) Veff (r) καλείται ενεργό δυναμικό. μr r μr d u(r) ( ) dr όπου V(r) Δέσμιες καταστάσεις έχουμε όταν Ε<. Η γενική μέθοδος λύσης είναι να αναπτύξουμε την u (r) σε δυναμοσειρά και να υπολογίσουμε τους συντελεστές της. Η μόνη περίπτωση που αυτή η μέθοδος μπορεί να δώσει λύση σε κλειστή μορφή είναι όταν η σειρά τερματίζεται σε ένα πολυώνυμο. Αν επιχειρήσουμε να αναπτύξουμε κατ ευθείαν την u (r) σε δυναμοσειρά, αυτή δεν πρόκειται να τερματιστεί ποτέ σε ένα πολυώνυμο γιατί η λύση που εμείς ζητάμε πρέπει να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη και ένα πολυώνυμο δεν μπορεί να έχει ποτέ αυτή την ιδιότητα. Για αυτό το λόγω μελετάμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά της (9). Όταν r η (9) γράφεται : d u ( ) d u u r ( ) u Δ.Ε. Euler. μ dr μr dr Θέτουμε s r s(s )r u(r) s s s r u (r) sr u (r) s(s )r, οπότε έχουμε ( )r s s [ s(s ) ( ) ] r s s ( ) ) ± ( ) ± ( ) ± 4 ( Επομένως s,. Άρα η λύση της Δ.Ε. Euler είναι u(r) Ar Br. Για r πρέπει όμως η u(r) να έχει πεπερασμένη τιμή. Άρα B και u(r) Όταν r η (9) γίνεται : Ar. d u d u μe d u μe k,e< Eu u u μ dr dr dr d u k u dr Ομογενής γραμμική. Δ.Ε. ας τάξεως με σταθερούς συντελεστές. Η γενική της λύση είναι: u (r) μe μe r r kr kr Ce C e Ce C e. u(r) r. Αφού μελετάμε όμως δέσμιες καταστάσεις θα πρέπει μe. μe r Άρα C και u (r) Ce. Τελικά αναζητάμε λύσεις της μορφής

248 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ μe r u(r) r e w(r) όπου w (r) πολυώνυμο του r. Κάνουμε τον μετασχηματισμό : μe μ r ρ E d d dρ μe d dρ dr. Οπότε dr dρ dr d ρ d d μe d d μe d dρ μe d dr dr d d ρ d. ρ ρ dr dρ Έτσι η (9) θα γίνει : E d u( ρ ) ( ) d u( ρ) V ( ) V u( ) Eu( ) u( ρ) u( ρ) d r ρ ρ d E Er (). ρ μ ρ μ Λόγω του μετασχηματισμού που κάναμε οι λύσεις που αναζητάμε τελικά είναι της μορφής u( ρ) ρ e w( ρ). Θα υπολογίσουμε την δεύτερη παράγωγο της u( ρ ). ρ du( ρ) ρ ρ ρ ( ) ρ e w( ρ) ρ e w( ρ) ρ e w( ρ) dρ d ρ u( ρ) ρ dρ e dw dρ ρ ρ d w( ρ) ρ e w( ρ) ρ e. dρ Έτσι η () θα γραφτεί τελικά: ρ dw ρ dw ρ e ρ e dρ dρ dw dρ ρ ρ ρ ( ) ρ e ( ) ρ e w( ρ) ( ) ρ e w( ρ) ρ ρ ( ) ( ) ρ e w( ρ) ( ) ρ e w( ρ) ( ) ρ ρ d w( ρ) V ρ ρ ρ ρ ρ e w( ) e e w( ρ) ρ e dρ E μr dw( ρ) ( ) dw( ρ) ( ) d w( ρ) V w( ρ) w( ρ) dρ ρ dρ ρ dρ E ( ) ρ w( ρ) d w( ρ) dw( ρ) V w( ρ) dρ ρ dρ E ρ d w( ρ) dw( ρ) V ρ [ ( ) ρ] ( ) w( ρ) ρ (). dρ dρ E V Παρατηρούμε ότι η ποσότητα ρ για το δυναμικό Coulomb είναι μια σταθερή ποσότητα: E V μe Ze Ze μ ρ r E r. E E V Έτσι θέτουμε ρ ρ o. Με την αντικατάσταση αύτη θα έχουμε : E d w dw ρ [ ( ) ρ] ( ρo ( ) ) w. dρ dρ

249 Αναζητάμε λύσεις της μορφής : κ w ( ρ) Εφαρμογές Δ.Ε. που λύνονται με την μέθοδο των σειρών 45 κ ( κ κ ) β ρ κ β κ ρ κ w ( ρ) κ w ( ρ ) κ. Επομένως θα έχουμε: ρ κ κβ κ ρ κ κ κ [( ) ρ] κβ ρ ( ρ ( ) ) β ρ κ κ( κ ) β κρ κ o κ κ κ κ κ κ( κ ) β κρ ( ) κβκρ κβκρ ( ρo ( ) ) κ κ κ κ κ κ κ ( κ ) κβκ ρ ( ) ( κ ) βκ ρ κβκρ ( ρo ( ) ) κ κ κ κ β κ ( ) ( )( ) [ ( ) ] [ κ ρo ] κ κ β κ ρo β κ β ( κ )( κ ) κ β κ ρ κ κ βκρ κ. Όταν το κ είναι πολύ μεγάλο. Άρα και κ β ρ κ w( κ ~ κ! ρ Επομένως ρ ) κ u( ρ) ρ ñ e ρ κ w( ρ) ρ Όμως uñ (). Άρα δεν περιγράφει δέσμιες καταστάσεις. Επομένως η δυναμοσειρά πρέπει να τερματίζει σε μια πεπερασμένη δύναμη. Έστω ότι β Ν β Ν έχουμε ( Ν ) ρo ( N,,,... ). β Ν... Ορίζουμε N,(,,,...,, ) οπότε θα έχουμε ρ e κ ρ κ e ~ e ρ ρ ρ. e ρ. o 4 Ze μ μz e E. E Eπανερχόμαστε στην εξίσωση (). Θέτοντας z ρ, p,q N,q p N, θα έχουμε : d d dz d dz dρ dρ dz dρ dz και d d d d d dz d 4. dρ dρ dz dz dz dρ dz Με τους μετασχηματισμούς αυτούς η () θα γραφεί στην μορφή 4z d w(z) dw(z) [ p z] [ ρ ( ) ] w(z) o dz dz d w(z) dw(z) z dz dz [ p z] [ ρ p ] w(z) o

250 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ d w(z) dw(z) z [ p z] [ ( N ) p ] w(z) dz dz d w(z) dw(z) z [ p z] [ N ( N ) p] w(z) dz dz d w(z) dw(z) z [ p z] ( N q p) w(z) dz dz d w(z) dw(z) z [ p z] Nw(z) dz dz d w(z) dw(z) z ( p z) ( q p) w(z) () dz dz Η Δ.Ε. () είναι η εξίσωση των συναφών πολυωνύμων Laguerre που ορίζονται ως: p p p d L q p (z) ( ) Lq (z), p dz q z d z q όπου L q (z) τα πολυώνυμα Laguerre που ορίζονται ως L q (z) e ( e z ) και υπακούουν τη διαφορική εξίσωση: q dz d w(z) dw(z) z ( z) qw(z). dz dz Άρα τελικά καταλήξαμε ότι η ολική ενέργεια της σχετικής κίνησης ή αλλιώς η ολική ε- 4 μz e νέργεια του ατόμου αν το άτομο είναι ακίνητο είναι E, ενώ η κυματοσυνάρτηση της σχετικής κίνησης δίνεται από την m ψ (r, θ, φ) R(r) Θ( θ) Φ( φ) R(r)Y ( θ, φ) ( k ) ( )! [( )! ] k r e m ( k r) L (k r)y ( θ, φ) με k Z. α o IV Δ.Ε. AIRY d() Η Δ. Ε. ψ () είναι γνωστή ως διαφορική εξίσωση Air. Προφανώς το d είναι ομαλό σημείο της Δ. Ε. Θέτουμε: () c οπότε c και ( ) c και η Δ.Ε. γράφεται: ( ) c - c

251 Εφαρμογές Δ.Ε. που λύνονται με την μέθοδο των σειρών 47 ( )( )c - c ( )( )c c ( ) - c ( )c - c c ( )( )c c c c και c ( )( ) Από την παραπάνω αναδρομική σχέση αναλυτικά έχουμε: c c (A) c c4 4 (B) c c5 54 (Γ) 4 c c6 65 (A) 5 c4 c7 76 (B) 6 c5 c8 87 (Γ) 7 c6 c9 98 (A) 8 c7 c 9 (B) 9 c8 c (Γ) Από τις σχέσεις (Α) προκύπτει η σχέση: 47 ( k) ck c ( k )! Επίσης από τις σχέσεις (Β) έχουμε: 5 ( k) ck c ( k )! και από τις σχέσεις (Γ) έχουμε: c k Τελικά η γενική λύση της Δ. Ε. είναι: 47 ( k) k 5 ( k) k ( ) c c k ( k )! k ( k )! Οι δυο μερικές λύσεις:

252 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 47 ( k) k ( ) Ai() k ( k )! 5 ( k) k και ( ) Bi() k ( k )! ονομάζονται συναρτήσεις Air και συμβολίζονται με Ai() και Bi() αντίστοιχα. Η συνάρτηση Ai(), όπως εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε, αποτελεί την μοναδική λύση του προβλήματος αρχικών τιμών: -, (), () ενώ η Bi() είναι η μοναδική λύση του προβλήματος αρχικών τιμών: -, (), () Οι συναρτήσεις αυτές σχετίζονται με τις συναρτήσεις Bessel μέσω των σχέσεων: z Ai() z I ( ) ( ) K ( ) ξ Ι ξ ξ π z Bi() I ( ) I ( ) ξ ξ Ai() z J ( ξ ) J ( ξ) z Bi() J ( ξ) J ( ξ) όπου ξ ) KBANTOMHXANIKH Κίνηση σωματιδίου σε λεία επίπεδη επιφάνεια στο πεδίο βαρύτητας της γης. Θεωρούμε σωματίδιο μάζας m που αναπηδά ελαστικά σε λεία επίπεδη επιφάνεια στο βαρυτικό πεδίο της γης. Θέλουμε να προσδιορίσουμε τα ενεργειακά επίπεδα και τις κυματοσυναρτήσεις γι αυτό το σύστημα. Το δυναμικό που αισθάνεται το σωματίδιο είναι V (z) mgz, z > και V(z), z, όπου z η κατακόρυφη απόσταση κάθετη στο επίπεδο και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Οι οριακές συνθήκες για την κυματοσυνάρτηση είναι: u(z) z και u (z) για z. Η εξίσωση Schrödiger για το σύστημα αυτό γράφεται: d u(z) d u(z) m gz me (mgz)u(z) Eu(z) u(z) m dz dz () m g me Κάνουμε την αντικατάσταση c z αz b, όπου c μια σταθερά. Έτσι du du d du θα έχουμε : dz α d dz c d και d u d α du α d u. dz dz c d c dz Με τις αντικαταστάσεις αυτές η () θα γραφεί:

253 Εφαρμογές Δ.Ε. που λύνονται με την μέθοδο των σειρών 49 α d u c cu u u () c d α Αν διαλέξουμε την σταθερά c τέτοια ώστε c α η () θα μετατραπεί σε u u () Η () είναι μια Δ.Ε. Air. Η Δ.Ε. Air έχει ως λύσεις τις συναρτησεις Air Ai (),Bi(). Η ασυμπτωτική συμπεριφορά των Ai (),Bi() για μεγάλες τιμές του είναι: Ai () Bi () π z π 4 ξ z e κ 4 ξ e C κ κ ( ) ξ κ Επειδή όμως θέλουμε u(z) z η φυσικώς αποδεκτή λύση είναι μόνο η Ai ( ). Η συνάρτηση Air Ai() μπορεί να εκφραστεί σε ολοκληρωτική μορφή ως ( t t) Ai () dt. π cos κ Έτσι η λύση της () είναι τελικά : u () CAi(), όπου C σταθερά κανονικοποίησης. Για z, αz b b u() u ή u. c c c z 4 me 4m g Όμως b και c α, 4 me 4 b me E επομένως E 4 4 c m (g) m m g g m. 4 g Άρα λοιπόν θα έχουμε u E g m. Έτσι οι ιδιοτιμές της ενέργειας Ε είναι ανάλογες με τις ρίζες της συνάρτησης Air Ai () : Ai E E ( ί ) R g m ρ ζα g m, όπου,,,,... και το αρνητικό πρόσημο διαλέγεται για λόγους συμβατότητας. Έτσι C κ ξ κ E g m R και m g u (z) CAi z R.

254 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ V ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ Δ.Ε. d d Η Δ.Ε. z( z) [ c ( α b ) z] αb u dz dz είναι γνωστή ως υπεργεωμετρική Δ.Ε.. Η γενική της λύση γράφεται στην μορφή: c u C F α,b,c;z C z F α c, b c, c;z με z < και c, ±, ±,.... ( ) ( ) Η F ορίζεται ως: αb z α( α )b(b ) z α( α )( α )b(b )(b ) F( α, b,c;z).... c! c(c )! c(c )(c )! Η σειρά αυτή είναι συγκλίνουσα για όλα τα εσωτερικά σημεία του μοναδιαίου κύκλου z <. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Κίνηση ηλεκτρονίων αγωγιμότητας ενός μετάλλου Τα ηλεκτρόνια αγωγιμότητας ενός μετάλλου συγκρατούνται στο εσωτερικό του, από ένα μέσο δυναμικό. Το δυναμικό αυτό σε μια πρώτη προσέγγιση μπορεί να δοθεί ως V()-V, < και V(), >.. Στην πραγματικότητα η μεταβολή είναι συνεχής για ένα διάστημα α του οποίου οι διαστάσεις είναι της τάξης των ενδοατομικών αποστάσεων στο μέταλλο. Έτσι το δυναμικό κοντά στην επιφάνεια του μετάλλου μπορεί να γραφεί κατά προσέγγιση ως Vo V () το οποίο καθώς το α α e πλησιάζει στο παραπάνω μη συνεχές δυναμικό. Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα να ανακλαστεί ένα ηλεκτρόνιο αγωγιμότητας καθώς πλησιάζει την επιφάνεια του μετάλλου, αν: α) -V o <E< και β) Ε>. Η χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση Schrödiger είναι: d ψ() d ψ() Vo V() ψ() Eψ() m d m d e Θέτουμε, οπότε η εξίσωση Schrodiger γράφεται: α e α ψ() Eψ().

255 Εφαρμογές Δ.Ε. που λύνονται με την μέθοδο των σειρών 5 d ψ() Vo ψ() Eψ() m d e α e d α e α α d ψ() m d d, οπότε ( E V ) ψ() dψ dψ d d o d d e α e α d d e d α α e e α ψ d e d και ψ ψ ψ 4 d d d α d α d e e e α. α α α α α Επίσης e e. α e Με αυτούς τους μετασχηματισμούς η εξίσωση Schrφdiger θα γραφεί ως εξής: dψ ( ) 4 d ψ m ( E V ) ψ o α d α d ( ) ( ) dψ d ψ m o α d α d dψ d ψ m ( ) ( ) ( E Vo ) ψ α d α d α Θέτοντας d ψ d α. α α ( ) ( E V ) ψ dψ d ( ) ( )( ) ( E V ) ψ d ψ dψ m Eα V α d d ( ). m( E Vo ) mv α κ α και o α λ, παίρνουμε: m o ( ) ( ) ψ d ψ dψ λ ( ) ( ) d d ( ) ψ () Η εξίσωση () έχει κανονικά ανώμαλα σημεία για,,. Εισάγουμε μια νέα συνάρτηση f () μέσω της σχέσης ψ ( ) f () επιβάλλοντας στα ν,μ τις συνθήκες ν μ : ν λ και μ. Υπολογίζουμε τις δυο πρώτες παραγώγους της ν μ ν ψ ν f () μ μ μ ν ψ : ( ) ( ) f () ( ) f () ν μ ν μ ν μ μν ( ) f () ν ( ) f () ν( ν ) ( ) f () ν μ ν μ μ ( μ ) ( ) f () ( ) f () μ ( ) f (). ψ μ Με τις αντικαταστάσεις αυτές θα έχουμε: ν μ ( ) μν f () ν μ ν μ ν μ [ ( ) ( ) f () ν( ν ) ( ) f () ν μ ν μ μ ( μ ) ( ) f () ( ) f () μ ( ) f () ] ( ) o και dψ d

256 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ν μ ν μ ν μ ν μ [ ν ( ) f () μ( ) f () ( ) f () ] ( ) f () ν μ λ ( ) f (). Μετά από πράξεις προκύπτει η ακόλουθη Δ.Ε.: ( )f () [(ν ) ( ν μ ) ] f () ( μ ν)( μ ν ) f () () Η () είναι μια υπεργεωμετρική Δ.Ε.. Μια μερική της λύση είναι η ν μ f F( μ ν, μ ν,ν ; ). Άρα ψ ( ) F( μ ν, μ ν,ν ; ) () Για να είναι αυτή η λύση φυσικώς αποδεκτή θα πρέπει η () να ικανοποιεί τις κατάλληλες συνθήκες όταν ±. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί προσδιορίζοντας σωστά τα πρόσημα των ν και μ. Αν -V o <E< έχουμε λ >. Άρα το ν είναι πραγματικό. Καθώς το, α ~ e ν ~ e ν α ψ αν επιλέξουμε V >. F Αν E > τότε έχουμε λ < και το ν είναι φανταστικός, έστω ν i σ. Τότε καθώς το, έχουμε : i i ik ψ ~ σ σ α ~ e e και παριστάνει ένα επίπεδο κύμα που ταξιδεύει στη θετική κατεύθυνση του άξονα με σ me α κυματαριθμό k. Καθώς το ~ e. Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό F ( μ ν, μ ν,μ ; ) Γ( ν ) Γ( μ) μ Γ(ν ) Γ(μ) F μ ν, μ ν,μ ; α α Γ( ν μ) Γ( ν μ ) Γ( ν μ) Γ( ν μ ) F( ν μ,. ν μ, μ ; ) θα έχουμε καθώς ( και λόγω του ότι όταν Γ(c) Γ(b α) α Γ(c) Γ( α b) z, F( α, b,c;z) ~ ( z) ( z) b ) Γ(b) Γ(c α) Γ( α) Γ(c b) Γ(ν ) Γ( μ) μ Γ(ν ) Γ(μ) ότι ψ ~ ( ) ( ) (4). Γ( ν μ) Γ( ν μ ) Γ( ν μ) Γ( μ ν ) Διαλέγοντας μ i,στην ασυμπτωτική περιοχή έχουμε ( ) ( ) μ i α ik ( ) ~ e e. Έτσι ο πρώτος όρος της (4) παριστάνει ένα επίπεδο κύμα που προσπίπτει από τα αριστερά και ο δεύτερος παριστάνει ένα επίπεδο κύμα που ανακλάται από την επιφάνεια του μετάλλου. Έτσι ψ ~ A e A e ( ). ik ik Ο συντελεστής ανάκλασης είναι: I R R A A R I Γ(μ) Γ( ν μ) Γ( ν μ ) Γ( μ) Γ( ν μ) Γ( μ ν ) Αν V o < E < το ν είναι πραγματικός, το μ φανταστικός, και έτσι θα έχουμε

257 Εφαρμογές Δ.Ε. που λύνονται με την μέθοδο των σειρών 5 [ Γ( μ) Γ( ν μ) Γ( ν μ ) ] Γ(μ) Γ( ν μ) Γ( ν μ ) και έτσι R δηλαδή έχουμε ολική ανάκλαση των ηλεκτρονίων. Αν E > τα μ, ν είναι φανταστικά: μ i και ν i σ. Στην περίπτωση αυτή Γ ( μ) Γ( μ) και χρησιμοποιώντας την σχέση Γ ( z ) zγ(z) βρίσκουμε ότι: Γ(μ) Γ( ν μ) Γ( ν μ ) R Γ( μ) Γ( ν μ) Γ( μ ν ) ( ν μ) Γ( ν μ ) ( ν μ) Γ( ν μ ) Όμως Γ ( iβ) πβ, οπότε sih( πβ) i( σ) i( σ) ( ν μ) Γ( ν μ ) Γ( ν μ ) ( ν μ) Γ( ν μ ) Γ( μ ν ) Γ Γ ( i( σ) ) ( i( σ) ) ( σ) sih π R sih ( ) π σ. sih πα(k k) si (k k) πα VI ΣΥΜΒΑΛΛΟΥΣΑ ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ Δ.Ε. d d Η εξίσωση: z ( cz) α u dz dz είναι γνωστή ως συμβάλλουσα υπεργεωμετρική Δ.Ε.. Η γενική της λύση γράφεται στη μορφή: u C F(,c;z) C z c α F( α c, c;z) όπου η F( α,c;z) ορίζεται ως:, α z α( α ) z α( α )( α ) z F( α,c;z).... c! c(c )! c(c )(c )! Η σειρά αυτή είναι συγκλίνουσα σε όλο το μιγαδικό επίπεδο. Η σχέση της με την υπεργεωμετρική σειρά είναι: F( α,c;z) im F α, b,c; z b b ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Φάσμα ταλάντωσης του αρμονικού ταλαντωτή Μελετώντας τα φάσματα ταλάντωσης των μορίων, το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή V() mω έχει βρεθεί ότι είναι ικανοποιητικό σε πρώτη μόνο προσέγγιση. Πιο ακριβή αποτελέσματα μπορούμε να πάρουμε χρησιμοποιώντας το δυναμικό

258 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ) o e V V() μ, το οποίο προτάθηκε από τον Morse. Θέλουμε να προσδιορίσουμε τις ενεργειακές στάθμες του μοριακού ταλαντωτή. Η εξίσωση Schrodiger για το δυναμικό αυτό γράφεται: ( ) ( ) [ ] e V E m d d E e V d d m o o ψ ψ ψ ψ ψ μ μ () Θέτουμε e μ α όπου mv o μ α, οπότε d d e d μ αμ μ. Έτσι έχουμε : ( ) μ ψ μ ψ μ ψ μ ψ ψ μ ψ ψ d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d ψ μ ψ μ. Με τις αντικαταστάσεις αυτές η () θα γίνει: ψ α ψ μ ψ μ V E m d d d d o ψ α α ψ ψ μ ψ μ 4 mv me d d d d o ψ μ α ψ μ α ψ μ ψ μ ψ ψ mv 4 mv mv me d d d d o o o 4 V V E d d d d o o ψ α α ψ ψ () Οι πιθανές ενέργειες του μοριακού ταλαντωτή είναι αυτές για τις οποίες η () έχει λύσεις που μηδενίζονται στο άπειρο. Αναζητούμε λύσεις της μορφής u e s ψ. Θα υπολογίσουμε τις δυο πρώτες παράγωγους της ψ : u e u se u e d d s s s ψ και ψ u e u se d d s s u e u )e s(s u e 4 u se s s s s. Με τις αντικαταστάσεις αυτές η () θα γίνει: u e u )e s(s u e 4 u se s s s s u e V V E u e u se u e s o o s s s α α u e 4 u e s s ( ) α α V V E s s u s u o o

259 Εφαρμογές Δ.Ε. που λύνονται με την μέθοδο των σειρών 55 ( ) V V E s s u s u o o α α. Αν διαλέξουμε το o o V V E s α θα έχουμε ( ) u s u s u α () Η () είναι συμβάλλουσα υπεργεωμετρική Δ.Ε.. Η γενική λύση της () είναι: α α s;, s F C s;, s F C u. Η ασυμπτωτική συμπεριφορά της F είναι : c z i z e ) ( (c) z ) (c (c) ~ e z),c, F( α α πα α Γ Γ α Γ Γ α καθώς z. Λαμβάνοντας υπ όψη την ασυμπτωτική συμπεριφορά βλέπουμε ότι η u e s ψ είναι λύση του προβλήματός μας, δηλαδή μηδενίζεται στο άπειρο, μόνο αν s α ± (,...,, ) α α ± s s α α (4) Σημειώνουμε ότι για μικρές ταλαντώσεις, δηλαδή για << το δυναμικό Morse είναι ουσιαστικά το δυναμικό αρμονικού ταλαντωτή: ( ) ( ) [ ] o o o V... V e V V μ μ μ. Θέτοντας o m V ω μ θα έχουμε μ ω o m V. Λαμβάνοντας υπ όψη ότι o o V V E s α η (4) γράφεται: α α α o o V V E o o V V E α α. Όμως μ μ α m V mv V V o o o o μ ω μ m m ω και m V m V 4 V 4 mv m V o o o o o μ μ ω μ μ ω α. Άρα τελικά η ενέργεια γράφεται: m E μ ω με,...,,.

260 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Συγκρίνοντας τις ενέργειες αυτές με τις ενέργειες του αρμονικού ταλαντωτή E ω βλέπουμε ότι για το δυναμικό Morse υπάρχει ένας επιπλέον όρος ο οποίος κάνει τις ενεργειακές στάθμες να εμφανίζονται πιο κοντά η μία στην άλλη καθώς η ενέργεια αυξάνει πράγμα που συμφωνεί με τα πειραματικά δεδομένα..

261 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. Γενικά Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με μια διαφορική εξίσωση που περιείχε μια άγνωστη συνάρτηση. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε συστήματα διαφορικών εξισώσεων, που περιέχουν δυο ή περισσότερες άγνωστες συναρτήσεις. Η ταξινόμηση και οι τρόποι επίλυσης των συστημάτων των διαφορικών εξισώσεων είναι ανάλογοι των αλγεβρικών συστημάτων στα οποία οι εξισώσεις πρέπει να λυθούν ταυτόχρονα. Γραμμικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων εμφανίζονται σε πολλούς κλάδους ε- πιστημών, όπως σε ταλαντούμενα μηχανικά συστήματα, σε ηλεκτρικά δίκτυα και αλλού. Ορισμός : Ένα σύνολο από το πλήθος διαφορικές εξισώσεις, που περιέχουν την ανεξάρτητη μεταβλητή, τις συναρτήσεις (),, () και παραγώγους των μέχρι τάξης m, λέγεται σύστημα διαφορικών εξισώσεων m τάξης, (Σ.Δ. Ε.) Η γενική μορφή ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων m τάξης θα είναι: F (,,,,, (m),, (m) ) F (,,,,, (m),, (m) ) F (,,,,, (m),, (m) ) () Αν οι παραπάνω εξισώσεις μπορούν να λυθούν ως προς τις παραγώγους της μεγαλύτερης τάξης, δηλαδή ως προς (m),, (m) : (m) f (,,,,, (m-),, (m-) ) (m) f (,,,,, (m-),, (m-) ) (m) f (,,,,, (m-),, (m-) ) () τότε λέμε ότι το Σ.Δ. Ε. () είναι κανονικό ή γραμμένο στη λυμένη μορφή. H γενική μορφή ενός Σ.Δ.Ε ης τάξης θα είναι: F (,,,,,, ) F (,,,,,, ) F (,,,,,, ) () και η λυμένη μορφή του: f (,,, ) f (,,, ) f (,,, ) (4) Ορισμός : Αν οι συναρτήσεις f,, f είναι γραμμικές ως προς,, το Σ.Δ. Ε. (4) λέγεται γραμμικό και η γενική του μορφή είναι: α α φ α α φ

262 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ α α φ (5) όπου οι συντελεστές αi j μπορούν να είναι σταθερές ή συναρτήσεις του και τα φi i,,, είναι εν γένει συναρτήσεις του. Ορισμός : Αν φ i (), τότε το Σ.Δ. Ε. (5) λέγεται ομογενές. Άλλοι συμβολισμοί του Σ.Δ. Ε. (5) είναι: i () α ij() j() ϕi() i,,, j ή ()A()()φ() ϕ με () () φ() ϕ ϕ α και A() α Το θεώρημα για την ύπαρξη και το μονοσήμαντο της λύσεως ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων ης τάξης διατυπώνεται ως εξής: Εάν οι συναρτήσεις f, f,, f των σχέσεων (4) είναι συνεχείς ως προς,,, σε μια περιοχή του σημείου (,,, ), έχουν δε συνεχείς παραγώγους πρώτης τάξης ως προς,,, τότε υπάρχει μια και μόνο μια λύση του συστήματος (4): (),, (), που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες: ( ),, ( ). Επειδή οι αρχικές συνθήκες,, είναι τυχαίες, η γενική λύση του συστήματος (4) περιέχει αυθαίρετες σταθερές, δηλ. i i(, c,, c ) i,,..., α α. Λύση γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο της απαλοιφής Ένα Σ.Δ. Ε. ης τάξης με άγνωστες συναρτήσεις,, μετατρέπεται σε διαφορική εξίσωση τάξης ως προς μια από τις συναρτήσεις,,,. Π.χ. το Σ.Δ. Ε.: f (,,, ) f (,,, ) f (,,, ) μετατρέπεται σε διαφορική εξίσωση ης τάξης ως προς την ως εξής: Παραγωγίζουμε την η Δ. Ε. του συστήματος ως προς : f f d f d f d d d d f f f f f f f F (,,, ) F F f F f F () f F (,,, )

263 Έτσι έχουμε: ()f (,,, ) ()F (,,, ) ()F (,,, ) Λύνουμε τις δύο πρώτες ως προς και και αυτό γίνεται αν f f F F Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων 59 Έστω δε ()h (,, ) και ()h (,, ). Αντικαθιστούμε τις εκφράσεις αυτές στη τρίτη και έτσι έχουμε μια Δ. Ε. ης τάξης: ()F (,, h (,, ), h (,, )) ως προς την οποία προσπαθούμε να λύσουμε με μια από τις γνωστές μεθόδους. Παράδειγμα : Να λυθεί το διαφορικό σύστημα: (α) (β) Λύση: Παραγωγίζουμε την (α) και έχουμε: ( )( ) και το αρχικό σύστημα παίρνει τη μορφή: (α) (β) Λύνοντας την (α) ως προς h (,, ) - () και αντικαθιστώντας στην (β) προκύπτει: h ( - ) - (4) Η Δ. Ε. (4) είναι μη ομογενής γραμμική ης τάξης και λύνεται κατά τα γνωστά. Επειδή όμως λείπει ο όρος, λύνεται πιo εύκολα εάν θέσουμε u(). Έτσι γίνεται γραμμική ης τάξης: u -u με λύση: d d u() e e d c e e d c e d( e ) c 4 4 e e e c ce c u)d ( e c (5) 4 4 και η συνάρτηση βρίσκεται από την (): c ce e - c ce c (6) Οι σχέσεις (5) και (6) αποτελούν την λύση του συστήματος.

264 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παρατήρηση : Η μέθοδος της απαλοιφής μπορεί να εφαρμοσθεί πιο εύκολα, χρησιμοποιώντας τον διαφορικό τελεστή D, για γραμμικά διαφορικά συστήματα με σταθερούς όμως συντελεστές. Παράδειγμα : Να λυθεί το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων: - (α) (β) Λύση: Χρησιμοποιώντας τον διαφορικό τελεστή D το Σ.Δ. Ε. () γράφεται: (D-) (D) (α) (D) (D) (β) Πολλαπλασιάζουμε την (α) με (D) και την (β) με -(D-) και έχουμε (D)(D-) (D) (D) (α) -(D-)(D) -(D-)(D) -(D-)() (β ) Προσθέτοντας τις () προκύπτει: [(D) -(D -4)] 5 (D5) 5 ()c ep[-5/]-/5 (4) Τώρα η (α) γράφεται με τη βοήθεια της (4): (D-) cep cep -(D) -(D) c ep e d c cep ce ()e 5 (5) 5 Οι συναρτήσεις (4) και (5) είναι η λύση του συστήματος.. Γενικά Συμπεράσματα. Θεωρούμε το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων: L (D) ()T (D) ()f () L (D) ()T (D) ()f () όπου τα L, L, T, T είναι πολυώνυμα ως προς D. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: Περίπτωση : Αν L T L T Δ L T -T L ρ L T L T Τότε L T f () ρl ρt f () και υπάρχουν οι εξής δυο υποπεριπτώσεις: α) αν f ρf τότε το σύστημα είναι συμβιβαστό, αλλά η εξίσωση () είναι περιττή. Η εξίσωση () μπορεί να λυθεί ως προς την συνάρτηση () ή () ενώ η άλλη παραμένει απροσδιόριστη. β) αν f ρf τότε το σύστημα είναι αδύνατο. L Περίπτωση : Aν Δ L T T. Θέτουμε:

265 Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων 6 μβαθμός Δ(D) ( μ ma(βαθ. L, βαθ. T ) μ ma(βαθ. L, βαθ. Τ ) α) αν μμ μ τότε βρίσκουμε τόσες σταθερές όση είναι η τάξη του συστήματος, δηλ. μ το πλήθος σταθερές, (βλ. Παραδείγματα και 4). β) αν μ<μ μ το σύστημα ονομάζεται εκφυλισμένο με την έννοια ότι η γενική του λύση περιέχει μ αυθαίρετες σταθερές, δηλ. η γενική λύση χρειάζεται λιγότερες ολοκληρώσεις από τις μ μ, που καθορίζουν οι τάξεις των παραγώγων των αγνώστων συναρτήσεων. Το σύστημα μπορεί να θεωρηθεί εν μέρει διαφορικό και εν μέρει αλγεβρικό, (βλ. Παραδείγματα και ). Στην περίπτωση μ, δηλ. πλήρους εκφυλισμού, ο υπολογισμός της λύσης γίνεται καθαρά αλγεβρικά χωρίς να χρειάζεται καμία ολοκλήρωση, με αποτέλεσμα η λύση να μην περιέχει σταθερές, (βλ. Παράδειγμα 5). Παράδειγμα : Να λυθεί το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων: - - Λύση: Έχουμε: (D -) (D-) () (D) (D ) () D D Δ D ( D ) D D επειδή μ4, μ, μ και μμ μ, το σύστημα δεν είναι εκφυλισμένο, δηλ. η λύση του περιέχει τέσσερις αυθαίρετες σταθερές. Πολλαπλασιάζουμε την () με -(D-) και προσθέτουμε την εξίσωση που προκύπτει στην πρώτη έχουμε: -(D-)D D -D - ()c c c e / /6 () Με αντικατάσταση της () στην () παίρνουμε την διαφορική εξίσωση: D - -D -(c )-c -c e - /- /6 της οποίας η λύση είναι: ()(c -c -)-c -c e c 4 e - - /6 (4) Επειδή μ4, οι λύσεις (), (4) του συστήματος πρέπει να έχουν 4 ανεξάρτητες σταθερές, όπως και πράγματι έχουν. Αυτό το διαπιστώνουμε αντικαθιστώντας τις λύσεις στο σύστημα και βλέποντας ότι το σύστημα ικανοποιείται εκ ταυτότητος, δηλ.. Παράδειγμα : Να λυθεί το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων: - 4 Λύση: Έχουμε: (D -D) (D) () D (D4) () Δ D D D D 4 D D 4 D ( Εννοούμε τον βαθμό του πολυωνύμου Δ(D) ως προς την "μεταβλητή" D.

266 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ επειδή μ, μ, μ και μ<μ μ, το σύστημα είναι εκφυλισμένο. Αφαιρούμε τις δυο εξισώσεις: -D - D -D () -D -4 -D D 4 c e 4 Από την () προκύπτει: 4 D 4c e 4 4c e 4 D -8c e 4 D -c e 4 c () ce c c Επειδή μ, δυο είναι οι αυθαίρετες, (ανεξάρτητες), σταθερές. Εάν αντικαταστήσουμε τις λύσεις στο σύστημα, τότε βλέπουμε ότι η () ικανοποιείται εκ ταυτότητος αλλά η () ικανοποιείται μόνο όταν c. Πράγματι: - -8c e 4 c e 4 -c 4c e 4 c e 4 -c c Επομένως οι λύσεις είναι: 4 (t) ce c, c e 4 Παράδειγμα : Να λυθεί το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων: - Λύση: Έχουμε: (D-) D () (D) D () D D Δ D D (D -D)-(D D)-D επειδή μ, μ, μ και επομένως μ<μ μ το σύστημα είναι εκφυλισμένο. Εάν πολλαπλασιάσουμε την () επί και αφαιρέσουμε την δεύτερη, προκύπτει: --/ και με αντικατάσταση στην πρώτη παίρνουμε: 4 4 D (D-) c Επειδή μ, η λύση του συστήματος θα πρέπει να περιέχει μια αυθαίρετη σταθερά, όπως και πράγματι συμβαίνει. Παράδειγμα 4: Να λυθεί το σύστημα: - - -e Λύση: Έχουμε: - e D -(D) -e (D-) e D ( D ) Δ D D(D-))D)D με μ, μ, μ, δηλ. μμ μ. Επομένως το σύστημα δεν είναι εκφυλισμένο. Για την λύση του συστήματος θα ακολουθήσουμε έναν άλλο τρόπο, διαφορετικό από τους προηγούμενους, ακολουθώντας την μέθοδο επιλύσεως των αλγεβρικών συστημάτων. Συγκεκριμένα θα έχουμε:

267 e (D ) ( ) Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων 6 Δ e D () Δ D D D ( e ) D e e () D D D D e ( ) ( ) ( ) Δ e De e e e και () () Δ D D D D D Από την () έχουμε: (D ) e με γεν ομ μερ όπου ομ c cosc si e και μερ (D ) - e e 5 e Επομένως γεν c cosc si 5 Από την () με παρόμοιο τρόπο έχουμε: e e c cosc 4 si(d ) - [e t e t ] c cosc 4 si 5 Επειδή μ οι σταθερές c, c, c, c 4, δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Π.χ οι c, c 4 μπορούν να εκφρασθούν συναρτήσεις των c, c εάν αντικαταστήσουμε τις λύσεις στο σύστημα. Μετά την αντικατάσταση βρίσκουμε c (c c )/, c 4 (c -c )/. Παράδειγμα 5: Να λυθεί το σύστημα: 5 4 () () Λύση: Έχουμε: (D5) (D4) (α) (D) (D) (α) D 5 D 4 Δ - D D Στην περίπτωση αυτή έχουμε μ δηλ. πλήρη εκφυλισμό. Στην γενική λύση δεν πρέπει να υπάρχουν σταθερές και το σύστημα είναι καθαρά αλγεβρικό. Πράγματι, αφαιρώντας την () από την () προκύπτει: - - () Τώρα θα προσπαθήσουμε από την () και την (α) να απαλείψουμε την. Για να το επιτύχουμε αυτό πολλαπλασιάζουμε την () με (D) και έχουμε: (D) (D) - (4) Αφαιρούμε την (4) από την (α) και παίρνουμε: - (5)

268 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Επομένως το αρχικό διαφορικό σύστημα είναι ισοδύναμο με το αλγεβρικό σύστημα των εξισώσεων () και (5): -, - που έχει λύση την - και --. Εάν προσπαθούσαμε να λύσουμε το διαφορικό σύστημα χρησιμοποιώντας τον διαφορικό τελεστή D, τότε οι λύσεις που θα προέκυπταν θα ήταν: - και --c e - με αντικατάσταση των παραπάνω λύσεων στο διαφορικό σύστημα προκύπτει αναγκαστικά ότι c. Ασκήσεις: Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα διαφορικών εξισώσεων. ) - - ) ) ) - - Απαντήσεις: ) c e c e c e -c e ) c e - c e 5 -c e - c e 5 ) c e - c e - e - c e 4) c ep(- ) c ep( ) - -( )c ep(- ) ( -)c ep( )- c.4 Η μέθοδος των πινάκων Κατ' αρχήν υπενθυμίζουμε μερικές βασικές έννοιες από την Γραμμική Άλγεβρα, απαραίτητες για την μέθοδο των πινάκων. Ορισμοί: Έστω Αα ij ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία. Ένας αριθμός λ, (που μπορεί να είναι και μιγαδικός), ονομάζεται ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό διάνυσμα v τέτοιο ώστε: Avλv ( Τα διανύσματα v ονομάζονται ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ. Όπως είναι γνωστό, οι ιδιοτιμές λ βρίσκονται από την επίλυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης: Δ(λ) A-λI ( Η εξίσωση Αvλv ονομάζεται εξίσωση ιδιοτιμών.

269 Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων 65 όπου I ο μοναδιαίος πίνακας. Μια ιδιοτιμή λ λέμε ότι έχει: I) αλγεβρική πολλαπλότητα k εάν εμφανίζεται k φορές στην χαρακτηριστική εξίσωση και II) γεωμετρική πολλαπλότητα g εάν συσχετίζεται με g γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα (. Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με τις δυο περιπτώσεις: α) των ομογενών γραμμικών συστημάτων: A και β) των μη ομογενών γραμμικών συστημάτων Af(), όπου: f α α () () A() f() f α α f Και στις δυο περιπτώσεις θα θεωρήσουμε ότι οι συντελεστές α ij είναι αριθμοί. I) Ομογενές Σύστημα. Για να βρούμε την γενική λύση του ομογενούς συστήματος: A () παρατηρούμε ότι το σύστημα αυτό για ανάγεται στην απλή Δ. Ε. α της οποίας η γενική λύση είναι ()ce α. Αυτό μας κάνει να αναζητήσουμε την λύση του συστήματος () υπό την μορφή: ()e λ v () όπου λ μια άγνωστη σταθερά και v ένα διάνυσμα στήλη με σταθερά στοιχεία: v v v v Αυτό που έχουμε να κάνουμε τώρα είναι να αντικαταστήσουμε την () στην () για να προσδιορίσουμε το λ και το v. Με την αντικατάσταση αυτή βρίσκουμε: λe λ vae λ ve λ Av (A-λI)v () Η εξίσωση (), όπως ξέρουμε έχει μη μηδενική λύση έαν διαλέξουμε για το λ τις τιμές που μηδενίζουν την ορίζουσα: A-λI δηλ. όταν το λ συμπίπτει με τις ιδιοτιμές του πίνακα A. Τότε αναγκαστικά το v θα είναι κάποιο ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στο λ. Συμπέρασμα: Μια λύση του γραμμικού ομογενούς συστήματος A είναι της μορφής e λ v, όπου λ ιδιοτιμή του πίνακα A και v ένα ιδιοδιάνυσμα, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ. ( Αποδεικνύεται ότι ισχύει k g. Όταν k>g η αντίστοιχη ιδιοτιμή ονομάζεται εκφυλισμένη.

270 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Tο επόμενο ερώτημα είναι κάτω από ποιες συνθήκες το σύστημα () έχει το πλήθος γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις, απαραίτητες για να βρούμε την γενική λύση, (σαν γραμμικός συνδυασμός αυτών). Η απάντηση δίνεται από το εξής θεώρημα: Θεώρημα : Εάν ο πίνακας A του συστήματος A έχει το πλήθος γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα v (), v (),, v () που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές λ, λ,, λ, (μερικές από τις οποίες μπορεί να είναι ίδιες), τότε οι λύσεις: λ { () λ () λ () e,e,,e } v v v (4) αποτελούν ένα σύνολο γραμμικά ανεξαρτήτων λύσεων, που ονομάζεται θεμελιώδες σύνολο λύσεων, του γραμμικού ομογενούς συστήματος A, η γενική λύση του οποίου είναι: λ () λ () λ () () ce v ce v ce v (5α) όπου c, c,,c τυχαίες σταθερές, που θα προσδιοριστούν από τις αρχικές συνθήκες. Απόδειξη: Είδαμε ότι κάθε διάνυσμα του θεμελιώδους συνόλου (4) είναι μια λύση του ομογενούς γραμμικού συστήματος A. Επομένως και ο τυχαίος γραμμικός συνδιασμός (5) είναι λύση του συστήματος. Για να δείξουμε ότι τα διανύσματα αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα, αρκεί η ορίζουσα του Wrosk (4 να είναι διάφορη του μηδενός. Έχουμε: λ W()det{ () λ () λ () e v,e v,,e v } ( λ { } λ e ) det v (), v (),, v () (6) Επειδή τώρα τα ιδιοδιανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα, η ορίζουσα: ( ) ( ) ( ) det v, v,, v { } είναι διάφορη του μηδενός. Επομένως η ορίζουσα W() ποτέ δεν μηδενίζεται και οι λύσεις λ { () λ () λ () e v,e v,,e v } είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Η σχέση (5α) μπορεί να γραφεί και υπό την μορφή: ()Ψ()c όπου Ψ() ο πίνακας του οποίου οι στήλες είναι οι μερικές λύσεις λ { () λ () λ () e v,e v,,e v } και c το σταθερό διάνυσμα: c c c c Ο πίνακας Ψ() ονομάζεται θεμελιώδης πίνακας. Παράδειγμα : Να λυθεί το ομογενές γραμμικό σύστημα A όπου: (5β) (4 Στην περίπτωση των διαφορικών συστημάτων, ορίζουμε σαν ορίζουσα του Wrosk την ορίζουσα του i λ () λ () λ () πίνακα που έχει στήλες τις λύσεις e λ v i δηλ. W(){ e v,e v,,e v }

271 Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων 67 A 4 Λύση: Βρίσκουμε τις ιδιοτιμές του πίνακα A από την χαρτακτηριστική εξίσωση: λ A-λI 4 λ (-λ) -4 λ -λ- λ -, λ Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα, που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ - λύνουμε το σύστημα (A-λ I)v ως προς v και έχουμε: ( ) v v v 4 ( ) v 4v v v v και ένα ιδιοδιάνυσμα είναι (π.χ. για v έχουμε v -): v () Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε για την άλλη ιδιοτιμή λ ενα ιδιοδιάνυσμα: v () Δυο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις είναι: λ () λ () e v e και () () e v e και επομένως η γενική λύση είναι: ()c ()c ()c e - c e e e e e c c c e e e e c ή πιο αναλυτικά: ce ce () ce ce ()c e - c e και ()-c e - c e Παράδειγμα : Να λυθεί το ομογενές γραμμικό σύστημα A όπου: A Λύση: Εύκολα βρίσκουμε τις ιδιοτιμές του πίνακα A, που είναι: λ -, λ, λ με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα: v (), v (), v () Επομένως η γενική λύση είναι:

272 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ e e e c ()c e - c e c e e e c e e e c ή πιο αναλυτικά: ce ce ce () ce ce ce ce ce ()c e - c e c e, ()c e c e, ()c e - c e c e Παράδειγμα : Να λυθεί το ομογενές γραμμικό σύστημα A όπου: A Λύση: Στο παράδειγμα αυτό, οι ιδιοτιμές είναι λ και λ λ -, δηλ. εδώ έχουμε μια διπλή ιδιοτιμή. Τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι: v (), v (), v () Η διπλή ιδιοτιμή - μας δίνει δυο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα και βάσει του θεωρήματος η γενική λύση είναι: e c ()c c e - c e - e c e e c ή πιο αναλυτικά: ()c c e -, ()c c e -, ()c -(c -c )e - Παράδειγμα 4: Να λυθεί το ομογενές γραμμικό σύστημα A όπου: A Λύση: Οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι λ λ (διπλή). Για να βρούμε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα λύνουμε την εξίσωση: (A-λI)v δηλ v v v v v v -v v και επομένως ένα ιδιοδιάνυσμα είναι: v () με αντίστοιχη λύση την: ()e Επειδή δεν υπάρχει άλλο ιδιοδιάνυσμα, για να βρούμε μια δεύτερη λύση του συστήματος, γραμμικά ανεξάρτητη ως προς την πρώτη, θέτουμε: ()(uw)e όπου u και w διανύσματα, που θα προσδιοριστούν με αντικατάσταση της () στο σύστημα:

273 Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων 69 ()A ue (uw)e Aue Awe (u-au)(uw-aw) Auu και Awwu Το πρώτο γραμμικό σύστημα συμπίπτει με την εξίσωση ιδιοτιμών (Α-λΙ)v για λ. Ε- πομένως σαν λύση μπορούμε να πάρουμε v () δηλ. θα έχουμε u. και από το δεύτερο σύστημα: w w u w w w w w w w u w w w w w w w και για w έχουμε w δηλαδή w και έτσι παίρνουμε μια δεύτερη λύση: ()(uw)e e e Οι λύσεις () και () είναι γραμμικά ανεξάρτητες διότι η ορίζουσα του Wrosk: e e W( (), ())det{ (), ()} ()e e ( ) 4 -e 4 e 4 e Επομένως η γενική λύση του συστήματος είναι: ()c ()c ()c e c e e e c e ( ) e c ή πιο αναλυτικά ()c e c e και ()c e c ()e Παράδειγμα 5: Να λυθεί το ομογενές γραμμικό σύστημα A όπου: A Λύση: Οι ιδιοτιμές του πίνακα A είναι λ λ λ. Εδώ έχουμε μια μόνο ιδιοτιμή λ με πολλαπλότητα με τις εξής τρεις δυνατές περιπτώσεις: α) να βρούμε τρία γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα. Αυτή είναι και η πιο απλή περίπτωση, γιατί θα βρούμε αμέσως τρεις γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις. β) να βρούμε δυο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα. Αυτά τα δυο ιδιοδιανύσματα θα μας οδηγήσουν σε δυο λύσεις. Για να βρούμε μια τρίτη λύση θα εργασθούμε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. γ) να βρούμε μόνο ένα ιδιοδιάνυσμα, όπως και πράγματι συμβαίνει στο παράδειγμα αυτό. Ένα τέτοιο ιδιοδιάνυσμα είναι: e v που μας οδηγεί στη μερική λύση ()e

274 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αναζητούμε τώρα δυο άλλες μερικές λύσεις, γραμμικά ανεξάρτητες μαζί με την πρώτη, ώστε να αποτελούν ένα θεμελιώδες σύνολο λύσεων. Για μια δεύτερη λύση θέτουμε (5 ()(v () v () )e και καταλήγουμε στα γραμμικά συστήματα: Av () () v (A) και Av () v () () v (B) Το πρώτο γραμμικό σύστημα συμπίπτει με την εξίσωση ιδιοτιμών (Α-λΙ)v για λ. και μπορούμε να πάρουμε σαν λύση v () το διάνυσμα v δηλ. v () v Από το δεύτερο γραμμικό σύστημα βρίσκουμε: v () και έτσι η δεύτερη μερική λύση είναι: e ()(v () v () )e e e e Αναζητούμε μια τρίτη λύση υπό την μορφή: ()( v () v () v () )e οπότε καταλήγουμε στα γραμμικά συστήματα: Av () v (), Av () v () v (), Av () v () () v Η πρώτη εξίσωση είναι όμοια με την εξίσωση ιδιοτιμών (Α-λΙ)v για λ. και μπορούμε να πάρουμε σαν λύση v () το διάνυσμα v δηλ. v () v Η δεύτερη εξίσωση είναι όμοια με την εξίσωση (Β) και μπορούμε να πάρουμε σαν λύση v () () v το διάνυσμα v δηλ.: v () () v Τέλος από την Τρίτη εξίσωση προκύπτει: v () 6 Έτσι η τρίτη λύση είναι: (5 Χρησιμοποιούμε τον άνω δείκτη () για να τονίσουμε ότι τα διανύσματα v (), v () ανήκουν στην δεύτερη μερική λύση ().

275 Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων 7 e ()( v () v () v () )e 6 e 6e ( 6)e e Τελικά η γενική λύση είναι: e e e c ()c ()c ()c () e ( 6) e c ή πιο αναλυτικά: e c ()c e c e c e, ()c e c (6)e, ()-c e Παρατήρηση : Το σύστημα αυτό μπορεί πολύ πιο εύκολα να λυθεί χρησιμοποιώντας τον τελεστή D, οπότε γράφεται: (D-) - - (D-) (D-) Από την τελευταία εξίσωση υπολογίζεται άμεσα η που είναι c e, στη συνέχεια από την δεύτερη η και τελικά από την πρώτη η. Παρατήρηση : Στην περίπτωση που σε μια ιδιοτιμή λ, που έχει πολλαπλότητα k, αντιστοιχεί ένα μόνο ιδιοδιάνυσμα v, τότε ισχύει το εξής θεώρημα: Θεώρημα : Οι k γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις του συστήματος, που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ είναι: (λ) ()e λ v (λ) ()e λ [v v ] v v v (λ) ()e λ.. k k (λ) k ()e λ v v v k ( k )! ( k )! όπου: v v (A-λΙ)v v (A-λΙ)v v (A-λΙ)v k v k- Παράδειγμα 6: Να λυθεί το ομογενές γραμμικό σύστημα A όπου: 5 A Λύση: Οι ιδιοτιμές του πίνακα A είναι: λ λ λ δηλαδή έχουμε μια τριπλή ιδιοτιμή. Για την ιδιοτιμή αυτή βρίσκουμε δυο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα:

276 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ v () και v () τα οποία μας δίνουν δυο γραμμικά ανεξάρτητες μερικές λύσεις: () v () e και () v () e Χρειαζόμαστε άλλη μια μερική λύση () γραμμικά ανεξάρτητη των δυο προηγουμένων. Μια τέτοια λύση θα την αναζητήσουμε από την έκφραση: () (uw)e η οποία οφείλει να ικανοποιεί την εξίσωση του συστήματος A, δηλαδή θα πρέπει να ισχύει: () A () ue (uw)e (AuAw)e (Au-u)(Aw-u-w) Auu () Awuw () Η σχέση () είναι η εξίσωση ιδιοτιμών του πίνακα Α και επομένως το u μπορεί να είναι το ιδιοδιάνυσμα v () ή το v (). Είναι όμως απαραίτητο να θεωρήσουμε το u σαν γραμμικός συνδυασμός των v () και v () για να έχουμε την πιο γενική λύση της (). Έτσι θέτουμε: uc v () c v () () και από την εξίσωση () έχουμε: Awuw (Α-Ι)wu 5 w 4 w c w c c w c 4 w 4 w cc 4w -w -w c (4-α) 8w -6w -4w c (4-β) -4w w w c -c (4-γ) Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει αναγκαστικά ότι c c. Μπορούμε τώρα να επιλέξουμε οποιαδήποτε κοινή τιμή για τα c και c γιατί αυτό που μας ενδιαφέρει είναι να βρούμε μια οποιαδήποτε τρίτη μερική λύση γραμμικά ανεξάρτητη των δυο άλλων. Για τα c και c επιλέγουμε την τιμή και έχουμε: uv () v () 4 Για να βρούμε το διάνυσμα w χρησιμοποιούμε την σχέση (4-α), ( ή την (4-β) ή την (4-γ) αφού είναι ουσιαστικά ίδιες), και έχουμε: 4w -w -w c w w -(/)w - w Επομένως: w w w w w/ w / Με w, w τυχαία. Μπορούμε επομένως να θέσουμε w k και w k και θα έχουμε:

277 Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων 7 w k k Επειδή αναζητούμε μια τρίτη μερική λύση, (οποιαδήποτε), μπορούμε να θέσουμε k k και να έχουμε: w Τελικά: () ( ) e 4 e u w 4 e Η γενική λύση θα είναι τότε: c c c ce ce ce 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c c e c 4 c e c 4 c e c c c c c c e Παράδειγμα 7: Να λυθεί το ομογενές γραμμικό σύστημα A όπου: A 5 Λύση: Οι ιδιοτιμές του πίνακα A είναι: λ i και λ -i με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα, (συζυγές το ένα με το άλλο): v () και v () () v * i i Δυο γραμμικά ανεξάρτητες, (μιγαδικές), λύσεις είναι: ()e i και ()e - i i i Δυο δε πραγματικές γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις μπορούμε να βρούμε από το πραγματικό και φανταστικό μέρος των παραπάνω μιγαδικών συζυγών λύσεων. Έτσι παίρνουμε την () και χρησιμοποιώντας τον τύπο του Euler έχουμε: ()e i -cos-isi (cosisi) i i (-cos - si) i(cos - si) cos Re ( ( ) ) cossi Τελικά η γενική λύση είναι: και si Im ( ( ) ) cos si

278 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ cos ()c Re ( ( )) c Im ( ( ) ) c cos si c si cos si cos si c cos si cos si c ή πιο αναλυτικά: ()c (-cosc si) και ()c (-cos-si)c (cos-si) Παρατήρηση : Είπαμε στην αρχή της παραγράφου ότι το ομογενές σύστημα A περιέχει σαν μερική περίπτωση την απλή διαφορική εξίσωση α, της οποίας η λύση είναι ce α. Αυτό μας κάνει να σκεφθούμε ότι και η λύση του ομογενούς συστήματος A μπορεί να γραφεί με την ίδια μορφή, δηλ. e A c (7) Βέβαια εδώ έχει γίνει μια μικρή αλλαγή, η "σταθερά" ολοκληρώσεως c, που είναι διάνυσμα, γράφεται στο τέλος. Εκτός από αυτό θα πρέπει να εξηγήσουμε την σημασία του εκθετικού e A αφού ο εκθέτης δεν είναι αριθμός αλλά πίνακας. Σε συμβολική γραφή το εκθετικό αυτό σημαίνει: e A IA A A!! Εκτός από ειδικές περιπτώσεις, ο υπολογισμός του πίνακα e A είναι αρκετά δύσκολος π.χ. εάν ο πίνακας A είναι διαγώνιος και έστω, τότε: λ λ λ A λ Α λ Α λ λ λ λ και επομένως: e A IA A A!! λ λ! λ e λ λ λ e! λ e λ λ! Στην πράξη, όταν ο πίνακας e A δεν μπορεί να υπολογισθεί σε κλειστή μορφή, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, τότε υπολογίζουμε τους δυο ή τρείς πρώτους όρους του εκθετικού αναπτύγματος. II) Μη ομογενές Σύστημα. Για την περίπτωση του μη ομογενούς γραμμικού συστήματος: Af() (8)

279 Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων 75 ισχύει το παρακάτω θεώρημα, που είναι ανάλογο του θεωρήματος για την γενική λύση μιας γραμμικής μη ομογενούς διαφορικής εξίσωσης. Θεώρημα : Η γενική λύση του γραμμικού μη ομογενούς συστήματος: Af() δίνεται από τη σχέση: γεν ομ μερ όπου ομ η γενική λύση του αντίστοιχου ομογενούς συστήματος A και μερ μια οποιαδήποτε μερική λύση του μη ομογενούς συστήματος Af(). Παράδειγμα 8: Να βρεθεί η γενική λύση του συστήματος Af() όπου: e Α και f() Λύση: Βρίσκουμε πρώτα την γενική λύση ομ του αντίστοιχου ομογενούς συστήματος Α. Οι ιδιοτιμές είναι λ - και λ - με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα: v (), v () Έτσι έχουμε: ομ c e - v () c e - v () c e - c e - e e c c e e Για να βρούμε μια μερική λύση μερ θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών. Ο μη ομογενής όρος f() γράφεται: e e f() e Στον πρώτο όρο e επειδή περιέχει το e - του οποίου ο συντελεστής είναι απλή ρίζα της ομογενούς εξισώσεως, θα έπρεπε να αντιστοιχίσουμε, αν εφαρμόσουμε τον αντίστοιχο κανόνα που ισχύει στις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, ένα όρο της μορφής ae -. Όμως εδώ πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον όρο (ab)e - διότι το διάνυσμα b γενικά δεν συμπίπτει με το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή. Στον δεύτερο όρο, που είναι ένα πολυώνυμο πρώτου βαθμού ως προς με συντελεστή το διάνυσμα, θα αντιστοιχίσουμε ένα πολυώνυμο cd πρώτου βαθμού ως προς με συντελεστές τα διανύσματα c, d. Έτσι η μερική λύση μερ θα έχει την μορφή: μερ (ab)e - cd όπου a, b, c, d διανύσματα που θα προσδιοριστούν αντικαθιστώντας την έκφραση της μερικής λύσεως στο σύστημα Af():

280 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ae - -(ab)e - ce - (AaAb)AcAcAd e e aabaaab [ ] Ac c Ad e ( Aa a) a b Ab [ ] Ac c Ad Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτουν οι επόμενες αλγεβρικές εξισώσεις: Αa-a (α) Aba-b- (α) Ac- (α) Αdc (α4) Από την πρώτη σχέση (α) παρατηρούμε ότι το διάνυσμα a είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του πίνακα Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ-. Επομένως η γενική έκφραση αυτού του ιδιοδιανύσματος θα είναι a. Στη συνέχεια βρίσκουμε ότι η δεύτερη σχέση (α) αλη- α α θεύει μόνο όταν α και τότε το διάνυσμα b γράφεται: bk - όπου k τυχαία σταθερά k. Η πιο απλή επιλογή είναι k. Τότε b- Από τις επόμενες σχέσεις (α), (α4) παίρνουμε: 4 / d και c 5 / Τελικά η μερική λύση θα είναι: 4 e 4 / μερ (ab)e - cd e e 5 e e 5/ και η γενική: γεν ομ μερ c e - c e - e 4 / e e 5/ ce ce e 4/ ce ce e e 5/

281 Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων 77 Στη συνέχεια ας προσπαθήσουμε να βρούμε μια μερική λύση του ίδιου συστήματος ε- φαρμόζοντας την μέθοδο μεταβολής των παραμέτρων, δηλ. θα αναζητήσουμε την λύση μερ από την έκφραση: μερ c () c () όπου ()e - e, ()e - e e e Έχουμε: μερ A μερ f {c () c () }{c () c () }A{c () c () }f {c () c () }{c ()A c ()A } A{c () c () }f {c () c () }f e e e c () c () e e και καταλήγουμε στο σύστημα: e e c () e e e c () 4 e e e e c () e -/e, c 4 () /e 4 e e και ολοκληρώνοντας τις παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε: c ()/e -/e /6e, c ()/e -/e Τελικά μια μερική λύση είναι: μερ [/e -/e /6e e ] [/e -/e e ] e e e ( /) 4/ e ( /) 5/ Παράδειγμα 9: Να βρεθεί η γενική λύση του συστήματος Af() όπου: 8 Α και f() 5 Λύση: Βρίσκουμε πρώτα την γενική λύση ομ του αντίστοιχου ομογενούς συστήματος Α που είναι το παράδειγμα 6. Έτσι έχουμε: cos si ομ c c c c cossi cos si Την μερική λύση μερ του μη ομογενούς συστήματος μπορούμε να την βρούμε π.χ. με την μέθοδο της μεταβολής των παραμέτρων, δηλ. θα αναζητήσουμε την λύση μερ από την έκφραση: μερ c () c () και έχουμε: μερ A μερ f {c () c () }{c () c () }A{c () c () }f {c () c () }{c ()A c ()A } A{c () c () }f {c () c () }f

282 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ cos c () c () cossi si 8 cos si και καταλήγουμε στο σύστημα: cos si c ( 8 ) cos si cos si c ( ) c () 6 cos 8 si 8cos 6si, c () και ολοκληρώνοντας τις παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε: c ()(-4)si-()cos, c ()-()si-(-4)cos Τελικά η γενική λύση είναι: cos si γεν ομ μερ c c cossi cos si cos [(-4)si-()cos] cossi [-()si-(-4)cos] si cos si ή πιο αναλυτικά: ()c (-cos)c (-si)-[(-4)si-()cos]cos-[-()si-(- 4)cos]si ()c (-cos-si)c (cos-si)[(-4)si-()cos][-cos-si] [-()si-(-4)cos][cos-si].5 Λύση γραμμικών συστημάτων με τον μετασχηματισμό Laplace. Ο μετασχηματισμός Laplace μπορεί να εφαρμοστεί και στην περίπτωση ενός συστήματος γραμμικών διαφορικών εξισώσεων όπως ακριβώς και στην περίπτωση των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Από το σύστημα των Δ. Ε. προκύπτει τώρα ένα αλγεβρικό σύστημα. Ας δούμε μερικά παραδείγματα. Παράδειγμα : Να λυθεί το σύστημα των Δ. Ε.: 4 () με τις αρχικές συνθήκες (), () Λύση: Εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό Laplace στο σύστημα () και έχουμε: L( )L( )L( ) L( )4L( )L( ) () Θέτοντας Y (t)l( ) και Y (t)l( ) και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των παραγώγων, έχουμε: ty (t)- ()Y (t)y (t) ty (t)- ()4Y (t)y (t) () Αντικαθιστούμε τις αρχικές συνθήκες (), () στο σύστημα (), που παίρνει την μορφή: (t-)y (t)-y (t)

283 Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων 79-4Y (t)(t-)y (t) (4) Η λύση του αλγεβρικού συστήματος (4) δίνει: t Y (t) t t ( t ) ( t ) (5α) 4 Y (t) t t t t (5β) Εφαρμόζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό στις εκφράσεις (5) και έχουμε: ()(e e - )/ (6α) ()e -e - (6β) Παράδειγμα : Να λυθεί το σύστημα των Δ. Ε.: - - (7) με τις αρχικές συνθήκες (), () Λύση: Εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό Laplace στο σύστημα (7) και έχουμε: ty (t)-y (t)y (t)/t ty (t)-y (t)-y (t) (t)y (t)-y (t)/t -Y (t)(t)y (t) (8) Η λύση του αλγεβρικού συστήματος (8) είναι: Y (t) tt ( ) t Y (t) (9) tt ( ) και με τον αντίστροφο μετασχηματισμό παίρνουμε την λύση: e t ( t ) ()L - L tt ( ) - (α) t e t ( t ) ()L - L tt ( ) - (β).6 Εφαρμογές των Διαφορικών Συστημάτων ΜΗΧΑΝΙΚΗ ) Συνεζευμένοι αρμονικοί ταλαντωτές.

284 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Θεωρούμε δυο σώματα με ίσες μάζες m m m συνδεδεμένα με τρία ελατήρια, τα οποία έχουν σταθερές k k k k, όπως δείχνει το σχήμα. Υποθέτουμε ότι τα σώματα ο- λισθαίνουν πάνω στην οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβή. Το σύστημα των σωμάτων τίθεται σε κίνηση κρατώντας το αριστερό σώμα στη θέση ισορροπίας του ενώ συγχρόνως α- πομακρύνουμε προς τα δεξιά το δεξιό σώμα σε απόσταση d. Να μελετηθεί η κίνηση των σωμάτων. Λύση : Συμβολίζουμε με (t) και (t) τις θέσεις των σωμάτων m και m από τις αντίστοιχες θέσεις ισορροπίας των. Οι μόνες δυνάμεις που επενεργούν στα σώματα είναι οι δυνάμεις που προέρχονται από τα ελατήρια και είναι οι εξής : Η δύναμη πάνω στο σώμα m, που προέρχεται από το αριστερό ελατήριο, είναι -k Η δύναμη πάνω στο σώμα m, που προέρχεται από το μεσαίο ελατήριο, είναι k ( - ) Η δύναμη πάνω στο σώμα m, που προέρχεται από το μεσαίο ελατήριο, είναι -k ( - ) Η δύναμη πάνω στο σώμα m, που προέρχεται από το δεξιό ελατήριο, είναι -k Το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων, στο οποίο οδηγούμαστε είναι : d m -k k ( - ) dt m d - k ( - )-k dt με αρχικές συνθήκες (), (), ()d, () Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό Laplace και θέτοντας L( (t))x (s), L( (t))x (s) παίρνουμε : m (s Χ (s)-s ()- ())-k X (s)k (X (s)-x (s)) m (s Χ (s)-s ()- ())-k (X (s)-x (s))-k X (s) Στο παραπάνω σύστημα θέτουμε m m m και k k k k, εφαρμόζουμε τις αρχικές συνθήκες και έχουμε :

285 Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων 8 (ms k)x (s)-kx (s) -kx (s)(ms k)x (s)msd Λύνουμε το αλγεβρικό αυτό σύστημα ως προς X (s) και X (s) : Χ (s) Χ (s) kmsd msd msd ( ms k)( ms k) ( ms k) ( ms k) msd( ms k) msd msd ( ms k)( ms k) ( ms k) ( ms k) και τελικά η λύση είναι : (t) d k m t k cos cos m t (t) d k m t k cos cos m t sd sd k k s s m m sd sd k k s s m m της οποίας η γραφική παράσταση δίνεται στο παραπάνω σχήμα :για τις αριθμητικές τιμές d και km. ) Το πρόβλημα αναμείξεως δυο δεξαμενών. Θεωρούμε δυο βαρέλια Α και Β που περιέχουν αρχικά γαλόνια νερό με 5 lb διαλυμένο αλάτι, βλέπε το παρακάτω σχήμα. Σε χρόνο t νερό αρχίζει να μπαίνει στο βαρέλι Α με ταχύτητα 4gal/mi και με διάλυμα αλατιού.5lb/gal. Το διάλυμα ανακατεύεται καλά και διοχετεύεται στο βαρέλι Β με ταχύτητα 6gal/mi. Το διάλυμα στο βαρέλι Β διοχετεύεται εν μέρει πάλι προς το βαρέλι Α με ταχύτητα gal/mi και προς τα έξω με ταχύτη-

286 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ τα 4gal/mi. Να βρεθεί για κάθε χρονική στιγμή t η ποσότητα του αλατιού που υπάρχει σε κάθε βαρέλι. Λύση : Έστω (t) το ποσό του αλατιού στο βαρέλι Α στο χρόνο t (t) το ποσό του αλατιού στο βαρέλι B στο χρόνο t Οι εξισώσεις, που περιγράφουν την ταχύτητα μεταβολής του αλατιού στα βαρέλια Α και Β, είναι : (t){ταχ. μεταβολής στο βαρέλι Α}{ταχ. μεταβολής που μπαίνει από έ- ξω}{ταχ. μεταβολής λόγω της εκροής αλατόνερου από το Β στο Α} -{ταχ. μεταβολής λόγω της εκροής αλατόνερου από το Α στο Β} (.5lb/gal)(4gal/mi)( /lb/gal)(gal/mi)-( /lb/gal)(6gal/mi) (t){ταχ. μεταβολής στο βαρέλι B}{ταχ. μεταβολής που μπαίνει από το Α στο Β}-{ταχ. μεταβολής λόγω της εκροής αλατόνερου από το Β στο Α} -{ταχ. μεταβολής λόγω της εκροής αλατόνερου από το Β προς τα έξω} ( /lb/gal)(6gal/mi)-( /lb/gal)(gal/mi)-( /lb/gal)(4gal/mi) Επομένως το αντίστοιχο διαφορικό σύστημα είναι : ()5 () το οποίο θα το λύσουμε με την μέθοδο των πινάκων. Πρώτα βρίσκουμε την λύση του α- ντίστοιχου ομογενούς συστήματος. A, όπου 6.. A Βρίσκουμε τις ιδιοτιμές του πίνακα Α και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα και τελικά έχουμε: () t 5. t 95. t ομ ce ce () t και μια μερική λύση κατά τα γνωστά βρίσκεται ότι είναι μερ. Εφαρμόζοντας τις 5 αρχικές συνθήκες βρίσκουμε c -.4 και c Τελικά η λύση είναι : 4gal/mi gal/mi A gal B gal 6gal/mi (t)-.4e -.5t -4.6e -.95t 5 4gal/mi

287 (t)-4.44e -.5t -5.65e -.95t 5 Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων 8 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ) Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο Φορτισμένο σωματίδιο μάζας m και φορτίου q κινείται μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο με ένταση E Eŷ και μαγνητικό πεδίο με μαγνητική επαγωγή B Bˆ. Θέλουμε να προσδιορίσουμε τις εξισώσεις κίνησής του αν τη χρονική στιγμή t το σωματίδιο βρίσκεται στην αρχή των αξόνων Οz έχοντας ταχύτητα μηδέν. Η δύναμη που ασκείται σε ένα φορτισμένο σωματίδιο που βρίσκεται σε ηλεκτρικό πεδίο E είναι F. qe. Επίσης η δύναμη που ασκείται σε ένα φορτίο q που κινείται με ταχύτητα υ μέσα σε μαγνητικό πεδίο είναι F. q υ B. Άρα η συνολική δύναμη που ασκείται σε ένα φορτισμένο B μαγ ( ) σωματίδιο που κινείται σε ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο είναι F q( E υ B). Η δύναμη αυτή είναι γνωστή ως δύναμη Loretz. Από το νόμο του Newto dυ dυ dυ υ d z F m m ˆ ŷ ẑ dt dt dt dt ˆ ŷ ẑ ( υ B) ŷ ( υ B)ẑ υ B υ υ υ, z ηλ F mγ, θα έχουμε B επομένως F q( Eŷ ( υzb)ŷ ( υ B) ẑ) () Εξισώνοντας τις () και () θα έχουμε τελικά: dυ dυ dυ z m ˆ ŷ ẑ q( Eŷ ( υzb)ŷ ( υb)ẑ) dt dt dt. Η εξίσωση αυτή σπάει στις παρακάτω τρεις επιμέρους εξισώσεις: dυ m dt () dυ m q( E υzb) dt (4) dυz m qυ B dt (5) Θα ξεκινήσουμε με την επίλυση της (): dυ dυ m υ C. dt dt Αφούόμως για t, υ C. Επομένως. Οι (4) και (5) γράφονται ως εξής: dυ qe qb υz dt m m (6) z ()

288 84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ και dυz qb υ dt m (7) Θα επιλύσουμε το σύστημα αυτό των διαφορικών εξισώσεων με την μέθοδο της απαλοιφής. Παραγωγίζοντας την (6) ως προς το χρόνο θα έχουμε : d υ qbdυ d υ z (7) q B υ. dt m dt dt m Οπότε d υ q B υ dt m Ομογενής Δ.Ε. ας τάξεως με σταθερούς συντελεστές. Η χαρακτηριστική της εξίσωση είναι: q B qb μ μ ± i. m m Άρα qb qb υ C cos t C si t. m m Επειδή όμως για t, υ () θα έχουμε υ ) C. ( qb Επομένως υ C si t. m Η πρώτη της παράγωγος είναι: dυ qb qb C cos t. dt m m Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στην (6) θα έχουμε: qb qb qe qb qb qb qb qe C cos t υz υz C cos t m m m m m m m m qb E υ z C cos t. m B E E Όμως υz ( ) C C. Άρα τελικά B B υ, E qb E qb υ si t υz cos t B m και B m. Στην συνέχεια θα υπολογίσουμε τις εξισώσεις κίνησης: d υ C. dt Όμως () C. Επομένως. Ακόμα d E qb Em qb υ si t cos t C 4. dt B m qb m Em Em Επειδή όμως () C 4 C4. qb qb Άρα Em qb cos t. qb m

289 Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων 85 dz E qb E m qb Τέλος υz cos t z si t t C 5. dt B m B qb m Επειδή z () θα έχουμε C 5. Βρήκαμε δηλαδή ότι οι εξισώσεις κίνησης του σωματιδίου είναι:, me qb me qb qb cos t και z si t t. qb m qb m m qb E Θέτουμε ω ( συχνότητα κυκλότρου) και R, m ω B οπότε θα έχουμε: R( cosωt) R R cos ωt R cosωt z R( ωt si ωt) z R ω t R si ωt R ωt si ωt z R R ( cos ωt si ωt) R cos ωt R ω t R ωt si ωt (8). z Επειδή όμως si ωt ωt και cos ωt, η (8) θα γραφεί: R R z z R R R R ω t R ωt ω t R R z R R R R ω t Rωtz R ω t z R R ω t Rωtz R R ω t z ωtrz ( R) ( z Rωt) R. Η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο ακτίνας R με κέντρο το (, R, Rωt) που κινείται E E στην κατεύθυνση του αρνητικού άξονα z με ταχύτητα υ ωr ω. Βλέπουμε ωb B δηλαδή ότι η κίνηση του σωματιδίου είναι όμοια με ενός στίγματος στην περιφέρεια ενός κύκλου ακτίνας R όταν ο τροχός κυλάει με ταχύτητα υ στον άξονα z. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ 4) Χρονική εξέλιξη των τελεστών της θέσης και της ορμής στην εικόνα Heiseberg στην περίπτωση του αρμονικού ταλαντωτή Στην εικόνα Schrφdiger οι ιδιοσυναρτήσεις εξαρτώνται από τον χρόνο, ενώ οι τελεστές που αναπαριστούν τις φυσικές ποσότητες είναι χρονικά ανεξάρτητες Â (t) Â(). Αντίθετα στην εικόνα Heiseberg οι ιδιοσυναρτήσεις δεν εξαρτώνται από το χρόνο ψ( t) ψ() iĥt, ενώ οι τελεστές εξαρτώνται: iĥt ( ) d Â(t) iĥ ( ) i ( ) Â (t) e Â()e e Â()e e Â()Ĥe dt dâ(t) i i dâ(t) i ĤÂ(t) Â(t)Ĥ(t) [ Ĥ, Â(t) ]. dt dt iĥt iht iĥt iĥt

290 86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Θα μελετήσουμε την χρονική εξέλιξη της συντεταγμένης θέσης ˆ (t) και της ορμής pˆ(t) στην περίπτωση ενός αρμονικού ταλαντωτή. Η Hamiltoia του αρμονικού ταλαντωτή είναι: pˆ Ĥ mω ˆ. m Για την συντεταγμένη θέσης θα έχουμε: dˆ (t) i [ Ĥ, ˆ ] dt. pˆ [ Ĥ, ˆ ] [ ˆ,Ĥ ] ˆ, mω ˆ ˆ, mω ˆ Όμως m  pˆ [ ] [ ] ˆ,ˆ, ˆ, i pˆ i ˆ, [ Ĥ, ˆ ] [ ˆ, pˆ ] i pˆ pˆ. m m m m Επομένως dˆ (t) i i dˆ (t) pˆ(t) pˆ dt m dt m () dpˆ(t) i Για την ορμή ισχύει: [ Ĥ, pˆ ]. dt  [ ] [ ] [ ] [ ] ω pˆ,pˆ, pˆ,â i pˆ pˆ ˆ Ĥ,pˆ pˆ,ĥ pˆ, mω ˆ pˆ, m ˆ pˆ, m m [ Ĥ, pˆ ] i mω i mω ˆ. Επομένως dpˆ(t) mω ˆ (t) dt () dˆ (t) pˆ(t) dpˆ(t) Οπότε τελικά έχουμε το παρακάτω σύστημα Δ.Ε.:, mω ˆ. dt m dt d Χρησιμοποιώντας τον διαφορικό τελεστή D ( D ) θα έχουμε: dt pˆ(t) D ˆ (t) m () και Dpˆ(t) mω (t) (4) Πολλαπλασιάζουμε την () με D οπότε : (4) D ˆ (t) Dpˆ(t) D ˆ (t) ( mω ˆ (t)) D ˆ (t) ω ˆ (t) m m ( D ω ) ˆ (t) D ± iω. Άρα ˆ (t) A cos ωt Bsi ωt, με ˆ () A. Έτσι ˆ (t) ˆ ()cos ωt Bsi ωt. Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην () θα έχουμε : pˆ(t) pˆ(t) D ˆ (t) ˆ () ωsi ωt Bωcos ωt m m pˆ() pˆ (t) ˆ ()mωsi ωt Bmωcos ωt με pˆ() Βmω Β. mω

291 Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων 87 pˆ() ˆ (t) ˆ () cos ωt si ωt Άρα τελικά θα έχουμε: mω. pˆ(t) ˆ ()mωsi ωt pˆ() cos ωt

292 Η ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ - ΚΡΙΣΙΜΑ ΣΗΜΕΙΑ. Γενικά Η πλειονότητα των διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων δεν επιδέχεται λύσεις, οι οποίες μπορούν να εκφραστούν με την βοήθεια των στοιχειωδών συναρτήσεων. Γι αυτό καταφεύγουμε σε προσεγγιστικές μεθόδους. Το μειονέκτημα όμως αυτών των μεθόδων είναι ότι μας δίνουν μόνο μία μερική λύση. Εάν όμως ενδιαφερόμαστε για μια άλλη μερική λύση, είμαστε τότε υποχρεωμένοι να κάνουμε όλους τους υπολογισμούς από την αρχή. Η γνώση μιας μερικής λύσης δεν μας επιτρέπει να βγάλουμε συμπεράσματα σχετικά με την συμπεριφορά άλλων μερικών λύσεων. Σε πολλά προβλήματα φυσικής μας ενδιαφέρει μερικές φορές να γνωρίζουμε όχι τις συγκεκριμένες τιμές μιας λύσης που αντιστοιχούν σε κάποιες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής, αλλά το πως αλλάζει η συμπεριφορά της όταν μεταβάλλεται η ανεξάρτητη μεταβλητή. Π.χ. είναι ενδιαφέρον να ξέρουμε εάν η λύση, που ικανοποιεί κάποιες αρχικές συνθήκες είναι περιοδική ή εάν προσεγγίζει ασυμπτωτικά κάποια γνωστή συνάρτηση. Αυτά είναι μερικά από τα ερωτήματα με τα οποία ασχολείται η ποιοτική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων. Ένα από τα βασικά προβλήματα της ποιοτικής θεωρίας είναι το πρόβλημα της ευστάθειας της λύσης ή της ευστάθειας της τροχιάς. Ο πρώτος, ο οποίος ασχολήθηκε λεπτομερώς με το πρόβλημα αυτό, ήταν ο Ρώσος μαθηματικός Lapuov (857-98). Από φυσικής πλευράς, σαν ευστάθεια ενός φυσικού συστήματος εννοούμε ότι μια μικρή αλλαγή, (διαταραχή), σ ένα φυσικό σύστημα σε κάποια χρονική στιγμή προκαλεί επίσης μικρή αλλαγή στη μελλοντική εξέλιξη του συστήματος.. Ευστάθεια των λύσεων Θεωρούμε το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων: d f(, t, ) dt ( () d f t (,, ) dt Έστω { (t), (t)} μια μερική λύση του συστήματος αυτού, που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες: () () (α) Επί πλέον έστω { (t), (t)} μια άλλη μερική λύση του ίδιου συστήματος, που ι- κανοποιεί τις αρχικές συνθήκες: () () (β) ( Εδώ η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι η t και οι άγνωστες συναρτήσεις οι (t) και (t).

293 88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ορισμός: Η λύση { (t), (t)} που ικανοποιεί την εξίσωση () και τις αρχικές συνθήκες (α) ονομάζεται ευσταθής κατά Lapuov όταν t εάν για οποιαδήποτε άλλη λύση { (t), (t)}, που αντιστοιχεί στις αρχικές συνθήκες (), (), ισχύει: δ (t) (t) ε ( ε )( δ ) δ (t) (t) ε () δηλ. για οποιονδήποτε μικρό θετικό αριθμό ε, μπορούμε να βρούμε κατάλληλο θετικό α- ριθμό δ, έτσι ώστε όταν οι αρχικές συνθήκες (α) και (β) βρίσκονται σε απόσταση μικρότερη του δ, τότε και οι αντίστοιχες λύσεις { (t), (t)}, { (t), (t)} να βρίσκονται σε απόσταση μικρότερη του ε. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι μια μικρή αλλαγή στις αρχικές συνθήκες έχει σαν αποτέλεσμα επίσης μικρές αλλαγές στις λύσεις Παράδειγμα : Ας θεωρήσουμε το διαφορικό σύστημα: d(t)/dt-(t), d(t)/dt-(t) του οποίου η γενική λύση είναι: (t)c e -t, (t)c e -t. Θεωρούμε τώρα δυο διαφορετικές μερικές λύσεις { (t), (t)}, { (t), (t)} που αντιστοιχούν στις αρχικές συνθήκες (, ) και (, ), οι οποίες βρίσκονται πολύ κοντά, δηλ - <δ και - <δ με δ αρκετά μικρό. Οι μερικές λύσεις τότε γράφονται: { (t) e -t, (t) e -t }, { (t) e -t, (t) e -t } και παρατηρούμε ότι: (t)- (t) - e -t, (t)- (t) - e -t Από τις παραπάνω σχέσεις βλέπουμε ότι οι αποστάσεις (t)- (t) και (t)- (t) μπορούν να γίνουν μικρότερες από οποιονδήποτε θετικό αριθμό ε<< αρκεί να διαλέξουμε κατάλληλα μικρό δ για τις ανισότητες - <δ, - <δ (επειδή e -t όταν t ). Επομένως οι λύσεις του διαφορικού συστήματος είναι ευσταθείς. Στο παράδειγμα αυτό δεν χρειάζεται το δ να είναι μικρό διότι (t)- (t) - e -t <δe -t για t ανεξάρτητα από την τιμή του δ. Το ίδιο συμβαίνει και με την διαφορά (t)- (t). Παράδειγμα : Ας θεωρήσουμε το διαφορικό σύστημα: d(t)/dt(t), d(t)/dt-(t), του οποίου η γενική λύση είναι: (t)c e t, (t)c e -t. Θεωρούμε τώρα δυο διαφορετικές μερικές λύσεις { (t), (t)}, { (t), (t)} που αντιστοιχούν στις αρχικές συνθήκες (, ) και (, ), οι οποίες βρίσκονται πολύ κοντά, δηλ - <δ και - <δ με δ αρκετά μικρό. Οι μερικές λύσεις τότε γράφονται: { (t) e t, (t) e -t }, { (t) e t, (t) e -t } και παρατηρούμε ότι: (t)- (t) - e t, (t)- (t) - e -t Από τις παραπάνω σχέσεις βλέπουμε ότι η απόσταση (t)- (t) μπορεί να γίνει μικρότερη από οποιονδήποτε θετικό αριθμό ε<< αρκεί να διαλέξουμε κατάλληλο δ για την α- νισότητα - <δ, αλλά η απόσταση (t)- (t) ανεξάρτητα από τις αρχικές συνθήκες απειρίζεται, επειδή e t όταν t. Επομένως οι λύσεις του διαφορικού συστήματος είναι ασταθείς.

294 Η ευστάθεια των λύσεων των διαφορικών συστημάτων 89. Κρίσιμα σημεία ενός διαφορικού συστήματος. Πολλές φορές ενδιαφερόμαστε για την ποιοτική συμπεριφορά των λύσεων ενός διαφορικού συστήματος γύρω από ένα συγκεκριμένο σημείο Ρ(,) για το οποίο υπάρχουν ενδείξεις ή υποψίες ότι συγκεντρώνει κάποια ιδιαίτερα χαρακτηριστικά. Ας θεωρήσουμε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων: d f(, t, ) dt () d f t (,, ) dt Εάν οι εξισώσεις () περιγράφουν κίνηση και η μεταβλητή t, που παριστάνει τον χρόνο, εμφανίζεται μόνο μέσα από τις συναρτήσεις (t) και (t), δηλ, εάν το σύστημα έχει την μορφή: d f(, ) dt (α) d f (, ) dt τότε το σύστημα ονομάζεται αυτόνομο. Και με τέτοιου είδους συστήματα θα ασχοληθούμε στη συνέχεια. Μια λύση {(t), (t)} του συστήματος (α) παριστάνεται, ως γνωστό, από μια καμπύλη C στο επίπεδο ΟΧΥ. Η καμπύλη αυτή ονομάζεται ολοκληρωτική καμπύλη ή διαδρομή ή τροχιά του συστήματος (). Η φορά διαγραφής της C που αντιστοιχεί σε αυξανόμενες τιμές του t, ονομάζεται θετική φορά. Από το σύστημα (α) βλέπουμε ότι η κλίση της καμπύλης που διέρχεται από το σημείο P(,) είναι: d d dt f (, ) d d () f(, ) dt Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι η εξίσωση () δεν μας δίνει καμία πληροφορία για την φορά διαγραφής της καμπύλης C. Επίσης δεν θα πρέπει να υπάρχει σημείο P(,) στο οποίο να μηδενίζεται ο παρονομαστής f (,). Εάν f (,) και f (,) τότε μπορούμε να θεωρήσουμε την εξίσωση d/df (,)/f (,) αντί της () και να συμπεράνουμε από την σχέση d/d ότι η εφαπτομένη της καμπύλης C στο σημείο Ρ είναι κατακόρυφη. Ενδιαφέρουσα περίπτωση έχουμε όταν f (,) και f (,) στο σημείο Ρ. Ένα σημείο P (, ) ονομάζεται κρίσιμο σημείο ή σημείο ισορροπίας του συστήματος (α) εάν και οι δυο συναρτήσεις f (,) και f (,) μηδενίζονται στο σημείο αυτό. Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε μόνο με απομονωμένα κρίσιμα σημεία, δηλ. με κρίσιμα σημεία για τα οποία υπάρχει μια κυκλική περιοχή, μέσα στην οποία δεν υπάρχει άλλο κρίσιμο σημείο. Τα κρίσιμα σημεία μπορούν να χαρακτηριστούν με δυο τρόπους. Ο ένας τρόπος αναφέρεται στην ευστάθεια και ο άλλος στο γεωμετρικό σχήμα των τροχιών, που βρίσκονται κοντά στο κρίσιμο σημείο. Α χαρακτηρισμός κρίσιμων σημείων:

295 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ) Ένα κρίσιμο σημείο P (, ) του συστήματος (α) ονομάζεται ευσταθές κρίσιμο σημείο εάν όλες οι τροχιές, που για κάποια χρονική στιγμή βρίσκονται πολύ κοντά στο σημείο P (, ), παραμένουν κοντά στο σημείο P (, ) και για όλες τις μελλοντικές στιγμές ή πιο αυστηρά εάν: t t ( ε )( δ ) ( (t ),(t ) ) Dδ( P) ( (t),(t) ) D ε(p ) δηλ. για κάθε κυκλική περιοχή D ε του σημείου P (, ) ακτίνας ε> υπάρχει μια κυκλική περιοχή D δ του ίδιου σημείου ακτίνας δ> έτσι ώστε κάθε τροχιά του συστήματος (α), η οποία έχει ένα σημείο Ρ, (που αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή tt ), στην κυκλική περιοχή D δ, έχει και όλα τα μελλοντικά σημεία που αντιστοιχούν για t t στην κυκλική περιοχή D ε Σχ.. ) Ένα κρίσιμο σημείο Σχ. P (, ) του συστήματος (α) Σχ. ονομάζεται ασυμπτωτικά ευσταθές ή ευσταθές ελκτικό κρίσιμο σημείο εάν το σημείο P (, ) είναι ευσταθές και κάθε τροχιά που έχει ένα σημείο στην κυκλική περιοχή D δ προσεγγίζει το σημείο P (, ) για t Σχ., δηλ. t t (t) (t ) ε ( ε )( δ ) ( (t ),(t ) ) Dδ ( P) (t) (t ) ε ) Ένα κρίσιμο σημείο P (, ) του συστήματος (α) ονομάζεται ασταθές κρίσιμο σημείο εάν το σημείο P (, ) δεν είναι ευσταθές. B χαρακτηρισμός κρίσιμων σημείων: ) Ένα κρίσιμο σημείο P (, ) του συστήματος (α) ονομάζεται κεντρικό σημείο εάν οι τροχιές σχηματίζουν κλειστές καμπύλες έχοντας το σημείο P (, ) εσωτερικό τους σημείο Σχ.. ) Ένα κρίσιμο σημείο P (, ) του συστήματος (α) ονομάζεται σπειροειδές σημείο όταν οι τροχιές σχηματίζουν σπείρες γύρω από το σημείο P (, ), το οποίο είναι ασυμπτωτικό σημείο για τις σπείρες αυτές Σχ. 4.

296 Η ευστάθεια των λύσεων των διαφορικών συστημάτων 9 Σχ. Σχ. 4 ) Ένα κρίσιμο σημείο P (, ) του συστήματος (α) ονομάζεται σαγματικό σημείο εάν υπάρχουν τροχιές, που πλησιάζουν οσοδήποτε κοντά το σημείο P (, ) όταν t και άλλες τροχιές που επίσης το πλησιάζουν για t - ή ισοδύναμα που απομακρύνονται από αυτό όταν t Σχ. 6. 4) Ένα κρίσιμο σημείο P (, ) του συστήματος (α) ονομάζεται γνήσιος δεσμός εάν κάθε τροχιά πλησιάζει το σημείο P (, ) κατά μια ορισμένη διεύθυνση όταν t ή t - και δεδομένης οποιασδήποτε διεύθυνσης να υπάρχει μια τροχιά που να πλησιάζει το σημείο P (, ) ως προς αυτή την διεύθυνση Σχ. 5. Σχ. 5 Σχ. 6 5) Ένα κρίσιμο σημείο P (, ) του συστήματος (α) ονομάζεται μη γνήσιος δεσμός εάν κάθε τροχιά, με πιθανή εξαίρεση ένα ζεύγος τροχιών, έχει την ίδια οριακή διεύθυνση στο σημείο P (, ) Σχ. 7, και 8. Σχ. 7 Σχ. 8 Οι παραπάνω ορισμοί θα διευκρινιστούν καλύτερα από τα παρακάτω παραδείγματα:

297 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παραδείγματα: Να βρεθούν και ταξινομηθούν τα κρίσιμα σημεία των παρακάτω διαφορικών συστημάτων: ) -, - Λύση: Προφανώς το μόνο κρίσιμο σημείο στο παράδειγμα αυτό είναι Ρ(,) και η λύση του συστήματος είναι: (t)c e -t, (t)c e -t. Από τη λύση αυτή προκύπτει c c και επομένως οι ολοκληρωτικές καμπύλες είναι ευθείες που διέρχονται από την αρχή των α- ξόνων, Σχ. 5. Επειδή (t) και (t) ό- ταν t. tο κρίσιμο σημείο Ρ(,) είναι δεσμός και ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο. ), - Λύση: Και εδώ το μόνο κρίσιμο σημείο είναι το Ρ(,) και η λύση του συστήματος είναι: (t)c e t, (t)c e -t. Από τη λύση αυτή προκύπτει c c και επομένως οι ολοκληρωτικές καμπύλες είναι υπερβολές Σχ. 6. Επειδή (t) όταν t ενώ το (t) τείνει στο ή στο - ανάλογα εάν το c είναι θετικό ή αρνητικό, συμπεραίνουμε ότι το κρίσιμο σημείο Ρ(,) είναι σαγματικό σημείο. Επίσης υπάρχουν δυο τροχιές, ο θετικός και ο αρνητικός η- μιάξονας του άξονα ΟΥ, που αντιστοιχούν σε c και οι οποίες συγκλίνουν στο σημείο Ρ(,), όπως και δυο τροχιές, ο θετικός και ο αρνητικός ημιάξονας του άξονα ΟΧ, που αντιστοιχούν σε c και οι οποίες απομακρύνονται από το σημείο Ρ(,). Προφανώς κάθε σαγματικό σημείο είναι ασταθές ), - Λύση: Και εδώ το μόνο κρίσιμο σημείο είναι το Ρ(,) και η λύση του συστήματος είναι: c του οποίου οι ολοκληρωτικές καμπύλες είναι ελλείψεις Σχ.. Επομένως το κρίσιμο σημείο Ρ(,) είναι κεντρικό και ευσταθές. 4) -, --

298 Λύση: Tο κρίσιμο σημείο είναι το Ρ(,) και η λύση του συστήματος είναι: e -t (c costc sit), e -t (c cost-c sit) και σε πολική μορφή: rc e θ Οι ολοκληρωτικές καμπύλες είναι σπείρες Σχ. 4. Επομένως το κρίσιμο σημείο Ρ(,) είναι σπειροειδές και μάλιστα ευσταθές, (επειδή (t), (t) όταν t ). Η ευστάθεια των λύσεων των διαφορικών συστημάτων 9.4 Γραμμικοποίηση ενός διαφορικού συστήματος. Για να βρούμε τα κρίσιμα σημεία του διαφορικού συστήματος d f(, ) dt () d f (, ) dt χρησιμοποιούμε στις περισσότερες πρακτικές περιπτώσεις την μέθοδο της γραμμικοποίησης δηλ. αντικαθιστούμε το σύστημα () με ένα γραμμικό διαφορικό σύστημα ως εξής: Κατ αρχή, δεχόμαστε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι το κρίσιμο σημείο είναι η αρχή των αξόνων Ρ (,). Επίσης δεχόμαστε ότι οι συναρτήσεις f (, ) και f (, ) είναι συνεχείς και έχουν συνεχείς τις μερικές παραγώγους, (απείρου τάξης), σε κάποια περιοχή του σημείου Ρ. Αφού το Ρ είναι κρίσιμο σημείο θα έχουμε f (,) και f (,). Επομένως οι συναρτήσεις f (, ) και f (, ) δεν έχουν σταθερό όρο. Το ανάπτυγμα τους κατά Talor ( θα είναι: f (, )αβf (, ) f (, )γδf (, ) () όπου οι συναρτήσεις F (, ) και F (, ) περιέχουν όρους ως προς και ανωτέρου του δευτέρου βαθμού. Εάν αδ-βγ τότε το σημείο Ρ έχει το ίδιο είδος ευστάθειας και για το σύστημα () και για το σύστημα: ( Το ανάπτυγμα κατά Talor γύρω από σημείο (, ) μιας συνάρτησης f(,) δυο μεταβλητών έχει την ε- ξής έκφραση: f f f f (, ) (, ) (, ) (, ) f(, ) ( )( ) ' ' ''!!!! f (, ) ( ) f (, ) ( ) '' ''!!

299 94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ d α β dt () d γ δ dt το οποίο προκύπτει από το σύστημα () εάν απορρίψουμε τους μη γραμμικούς όρους F (, ) και F (, ) από τις σχέσεις (). Οι όροι F (, ), F (, ) θεωρούνται πολύ μικροί κοντά στο σημείο Ρ. Το σύστημα () προφανώς ικανοποιείται από την τετριμμένη μηδενική λύση: {, }, που αποτελεί κρίσιμο σημείο. Ας βρούμε τώρα τις συνθήκες, που πρέπει να ικανοποιούν οι σταθερές α, β, γ, δ, έτσι ώστε η μηδενική λύση να είναι ευσταθής, (ή ισοδύναμα το κρίσιμο σημείο (,) να είναι ευσταθές). Παραγωγίζοντας την πρώτη εξίσωση ως προς t και απαλείφοντας την και d/dt, προκύπτει η διαφορική εξίσωση: d d ( δα) ( γβδα ) (4) dt dt που είναι γραμμική με σταθερούς συντελεστές, της οποίας η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: μ -(δα)μ-(γβ-δα) (5) η οποία γράφεται και ως εξής: μ -αμ-δμαδ-βγ -μ(α-μ)δ(α-μ)-βγ (α-μ)(δ-μ)-βγ και να λάβει την μορφή ορίζουσας: αμ β (6) γ δμ Έστω μ και μ οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης, που προφανώς συμπίπτουν με τις ιδιοτιμές του πίνακα α β Α γ δ του συστήματος (). Όπως θα δούμε αμέσως παρακάτω η ευστάθεια ή μη των λύσεων του συστήματος () εξαρτάται από τη φύση των ριζών μ και μ. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: I) Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι πραγματικές, αρνητικές και διακεκριμένες. Θεωρούμε λοιπόν ότι μ, μ < και μ μ. Από την εξίσωση (4) βρίσκουμε: μ t μ t (t) ce ce Γνωρίζοντας τώρα την συνάρτηση (t) μπορούμε να βρούμε την (t) από την πρώτη εξίσωση των (). Έτσι η λύση του συστήματος () είναι: μt μt (t) ce ce (t) c t ( μ α ) e μ c ( μ α) e β μ t (7) Ας επιβάλλουμε τώρα στη λύση (7) τις αρχικές συνθήκες (), (). Η αντίστοιχη μερική λύση, μετά από μερικούς απλούς υπολογισμούς, είναι: α β μ μt μα β μt (t) e e μ μ μ μ

300 Η ευστάθεια των λύσεων των διαφορικών συστημάτων 95 α β μ μt μ α β μt (t) ( μ α ) e ( μ α) e (8) β μ μ μ μ Από τις εξισώσεις αυτές μπορούμε να συμπεράνουμε ότι για τυχαίο ε> είναι δυνατό να βρούμε και αρκετά μικρά ώστε για κάθε t> να ισχύει (t) <ε, (t) <ε εφ όσον e μ t, e μ t. Παρατηρούμε ότι σ αυτή την περίπτωση έχουμε: lim t ( ), lim t ( ) (9) t t Θεωρούμε τώρα το επίπεδο OXY. Το επίπεδο αυτό για το διαφορικό σύστημα () ή για την διαφορική εξίσωση (4) αποτελεί, όπως λέμε, τον φασικό χώρο. Τις λύσεις (7) ή (8) θα τις δούμε σαν παραμετρικές εξισώσεις κάποιας καμπύλης του φασικού χώρου: * ( ) * ( ) ( ) ( ) ϕ t,c,c ψ t,c,c ϕ t,, t,, ψ Οι καμπύλες αυτές είναι οι ολοκληρωτικές καμπύλες της διαφορικής εξίσωσης: d γ δ () d α β η οποία προκύπτει από τις εξισώσεις του συστήματος () εάν διαιρεθούν κατά μέλη. Η αρχή των αξόνων Ο(,) είναι ένα κρίσιμο σημείο της διαφορικής εξίσωσης (), αφού στο σημείο αυτό έχουμε f (,), f (,). Η φύση των λύσεων (8) και γενικά των λύσεων του συστήματος (), μπορεί να φανεί εάν ταξινομήσουμε τις ολοκληρωτικές καμπύλες: F(,,c) οι οποίες αποτελούν την γενική λύση στης διαφορικής εξίσωσης (). Η σταθερά c καθορίζεται από τις αρχικές συνθήκες ( ). Αντικαθιστώντας την τιμή της c έχουμε την ε- ξίσωση της οικογένειας υπό την μορφή: F(,,, ) () Η σχέση αυτή μπορεί να προέλθει από το σύστημα () απαλείφοντας το t. Στην περίπτωση των λύσεων (8), το κρίσιμο σημείο είναι δεσμικό (odal) ευσταθές σημείο. Παράδειγμα : Να εξετασθεί η ευστάθεια της λύσης, του συστήματος: d/dt-, d/dt- Απάντηση: Το σύστημα αυτό το είχαμε εξετάσει στην παρ. 8.. Εδώ θα το εξετάσουμε με την βοήθεια των χαρακτηριστικών ριζών. Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: μ μ και οι χαρακτηριστικές ρίζες: μ -, μ - με γενική λύση: (t)c e -t, (t)c e -t Εάν οι αρχικές συνθήκες είναι, τότε η αντίστοιχη μερική λύση είναι: (t) e -t, (t) e -t (α) Προφανώς (t) και (t) όταν t. Άρα η λύση, είναι ευσταθής. () ()

301 96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ας εξετάσουμε τώρα τον φασικό χώρο. Απαλείφοντας την παράμετρο t από τις εξισώσεις (α), προκύπτει η εξίσωση: (β) η οποία παριστάνει μια οικογένεια παραβολών Σχ. 9. Η δε εξίσωση, η αντίστοιχη της () d θα είναι: d l l l c c και λαμβάνοντας υπ όψη τις αρχικές συνθήκες οδηγούμαστε στην (β). Το κρίσιμο σημείο (,) είναι δεσμικό ευσταθές σημείο. ΙΙ) Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι πραγματικές, θετικές και διακεκριμένες. Σχ. 9 Θεωρούμε τώρα ότι μ, μ > και μ μ. Στην περίπτωση αυτή οι λύσεις εκφράζονται πάλι από τις εκφράσεις (7) και (8), όμως οσοδήποτε μικρά και αν είναι τα και οι λύσεις κατά απόλυτη τιμή θα τείνουν στο άπειρο: (t), (t) όταν t επειδή e μ t και e μ t όταν t. Το κρίσιμο σημείο (,) είναι ασταθές δεσμικό σημείο. Όταν t το σημείο που κινείται πάνω στην ολοκληρωτική καμπύλη απομακρύνεται από το σημείο ηρεμίας (,). Παράδειγμα : Εξετάστε την ευστάθεια των λύσεων του συστήματος: d/dt, d/dt μ Aπάντηση: Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: μ με ρίζες μ, μ και επομένως η λύση είναι: e t, e t Η λύση είναι ασταθής εφ όσον (t), (t) όταν t. Απαλείφοντας το t έχουμε την εξίσωση: η οποία παριστάνει παραβολές, Σχ.. Το κρίσιμο σημείο (,) είναι ασταθές δεσμικό σημείο. Σχ.

302 Η ευστάθεια των λύσεων των διαφορικών συστημάτων 97 ΙΙΙ) Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι πραγματικές και ετερόσημες. Ας υποθέσουμε ότι οι ρίζες είναι μ >, μ <. Από τις σχέσεις: α β μ μt μα β μt (t) e e μ μ μ μ α β μ μt μ α β μt (t) ( μ α ) e ( μ α) e β μ μ μ μ έπεται ότι για τυχαία μικρά και και εάν α β - μ, τότε (t), (t) όταν t. Η λύση είναι ασταθής και το κρίσιμο σημείο (,) είναι σαγματικό. Παράδειγμα : Εξετάστε την ευστάθεια των λύσεων του συστήματος: d/dt, d/dt- Aπάντηση: Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: μ μ, μ - μ και η λύση είναι: (t) e t, e -t η οποία είναι ασταθής. Απαλείφοντας την παράμετρο t παίρνουμε την οικογένεια των καμπυλών: Το κρίσιμο σημείο (,) είναι σαγματικό σημείο, Σχ.. Σχ. ΙV) Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι μιγαδικές με αρνητικό το πραγματικό μέρος. Έστω ότι μ κλi, μ κ-λi με κ<. Η λύση του συστήματος () είναι: κt e c cosλ t c siλ t κt [ ] e ( κ c λc αc) cosλ t ( κc λcαc) siλt β (4) Θέτοντας c c c, siωc /c, cosωc /c οι εξισώσεις (4) γράφονται: ce κt si(λtω) κt ce ( κc) si( λ t ω ) λcos( λ t ω) β (5) όπου c, c τυχαίες σταθερές που θα προσδιοριστούν από τις αρχικές συνθήκες, όταν t. Έτσι έχουμε: csiω, c/β[(κ-c)siωλcosω] β ( κc) και c, c (6) λ Είναι προφανές τώρα ότι για τυχαίο ε> μπορούμε να βρούμε αρκετά μικρά και έτσι ώστε (t) <ε, (t) <ε. Η λύση είναι ευσταθής. Στην περίπτωση αυτή οι λύσεις

303 98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ (t), (t) αλλάζοντας άπειρες φορές πρόσημο. Το ιδιάζον σημείο (,) είναι ένα ευσταθές εστιακό σημείο. Παράδειγμα 4: Εξετάστε την ευστάθεια των λύσεων του συστήματος: d/dt-, d/dt-- Απάντηση: Από την χαρακτηριστική εξίσωση βρίσκουμε τις ρίζες της: μ μ μ μ αiβ-i, μ α-iβ--i μ Βρίσκουμε για τις σταθερές c, c από την σχέση (6) ότι c, c. Αντικαθιστώντας στις σχέσεις (4) παίρνουμε: (t)e -t ( cost sit) (t)e -t ( cost- sit) (A) Είναι προφανές ότι για οποιαδήποτε τιμή του t ισχύει: (t), (t) Όταν t, (t) και (t) και επομένως η λύση είναι ευσταθής. Στη συνέχεια ας ε- ξετάσουμε την μορφή των ολοκληρωτικών καμπύλων στο φασικό χώρο. Η έκφραση (Α) με τις αντικαταστάσεις: Mcosδ, Msiδ M taδ / γίνεται: (t)me -t cos(βt-δ) (t)me -t si(βt-δ) (B) Χρησιμοποιώντας πολικές συντεταγμένες: rcosθ, rsiθ οι σχέσεις (Β) γράφονται: rcosθme -t cos(βt-δ), rsiθme -t si(βt-δ) (Γ) και υψώνοντας στο τετράγωνο και προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε: r M e -t rme -t (Δ) Η σχέση (Δ) μας δίνει την εξάρτηση του r από το t. Για να βρούμε τώρα την εξάρτηση του θ από το t διαιρούμε κατά μέλη την δεύτερη σχέση των (Γ) με την πρώτη: taθta(βt-δ) t(θδ)/β και αντικαθιστώντας στην (Δ) έχουμε: rmep θδ β rm ep θ β (E) όπου Μ Μep(-δ/β). Η σχέση (Ε) παριστάνει μια οικογένεια εκθετικών σπειρών. Σ αυτή την περίπτωση ένα σημείο κινούμενο κατά μήκος μιας ολοκληρωτικής καμπύλης πλησιάζει την αρχή των αξόνων (,) καθώς t Σχ. 4. Το κρίσιμο σημείο (,) είναι ένα ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο. V) Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι μιγαδικές με θετικό το πραγματικό μέρος. Έστω ότι μ κλi, μ κ-λi με κ>. Η λύση του συστήματος () μπορεί ομοίως να εκφρασθεί από τις σχέσεις (4) με κ>. Για τυχαίες αρχικές συνθήκες, με οι απόλυτες τιμές (t), (t) μπορούν να γίνουν οσοδήποτε μεγάλες όταν t. Συνεπώς η λύση είναι ασταθής και το κρίσιμο σημείο (,) είναι ασυμπτωτικά α- σταθές. Ένα σημείο κινούμενο πάνω σε μια ολοκληρωτική καμπύλη απομακρύνεται από το κρίσιμο σημείο χωρίς περιορισμό. Παράδειγμα 5: Εξετάστε την ευστάθεια των λύσεων του συστήματος:

304 Η ευστάθεια των λύσεων των διαφορικών συστημάτων 99 d/dt, d/dt- Απάντηση: Από την χαρακτηριστική εξίσωση βρίσκουμε τις ρίζες της: μ μ -μ μ μ αiβi, μ α-iβ-i Λαμβάνοντας υπ όψη τις σχέσεις (6), η λύση (4) σ αυτή την περίπτωση είναι: (t)e t ( cost sit), (t)e t ( cost- sit) Οι ολοκληρωτικές καμπύλες σε πολικές συντεταγμένες είναι: rme θ/β Το κρίσιμο σημείο είναι ασυμπτωτικά ασταθές Σχ.. Σχ. VI) Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι φανταστικές. Έστω ότι μ λi, μ -λi. Οι λύσεις (4) σ αυτή την περίπτωση παίρνουν την μορφή: c cosλtc siλt ( λc αc) cosλ t ( λc αc) siλt β (7) Οι σταθερές c, c υπολογίζονται από τις σχέσεις (6) και είναι: c, c (β α)/β (8) Προφανώς για τυχαίο ε> και για ικανοποιητικά μικρά και θα ισχύει (t) <ε, (t) <ε για κάθε t και επομένως η λύση είναι ευσταθής. Γράφοντας τώρα τις λύσεις (7) στη μορφή: csi(λtk) c c λ α si( λ t κ) β β (9) όπου c και k τυχαίες σταθερές, βλέπουμε ότι οι λύσεις (t), (t) είναι περιοδικές συναρτήσεις ως προς τον χρόνο t. Απαλείφοντας τώρα το t από τις (9) παίρνουμε: cλ α β c β και απαλείφοντας το ριζικό έχουμε: α cλ c β β Σχ.

305 ΚΕΦΑΛΑΙΟ () Η σχέση () παριστάνει μια οικογένεια ελλείψεων Σχ., (με άξονες παράλληλους προς τους άξονες των συντεταγμένων όταν α). Το κρίσιμο σημείο (,) είναι κεντρικό. Παράδειγμα 6: Εξετάστε την ευστάθεια των λύσεων του συστήματος: d/dt, d/dt-4 Απάντηση: Από την χαρακτηριστική εξίσωση βρίσκουμε τις ρίζες της: μ μ 4 μ i, μ -i 4 μ Οι λύσεις (9) θα είναι: (t)csi(tk), (t)ccos(tk) και απαλείφοντας το t βρίσκουμε : si ( t k) cos ( t ) 4c c δηλ. οι λύσεις αποτελούν μια οικογένεια ελλείψεων. Το κρίσιμο σημείο (,) είναι κεντρικό. VIΙ) Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι μ, μ <. Οι λύσεις (7): μt μt (t) ce ce (t) c t t ( ) e μ c ( ) e μ μ α μ α β σ αυτή την περίπτωση γίνονται: (t)c c e μ t (t) c t α c( μ α) e μ β () Προφανώς για τυχαίο ε> και για αρκετά μικρά, θα έχουμε (t) <ε, (t) <ε για t>. Άρα η λύση είναι ευσταθής. Παράδειγμα 7: Εξετάστε την ευστάθεια των λύσεων του συστήματος: d/dt, d/dt- (A) Απάντηση: Από την χαρακτηριστική εξίσωση βρίσκουμε τις ρίζες της: μ μ μ μ, μ - μ Εδώ έχουμε β και οι λύσεις μπορούν να βρεθούν άμεσα λύνοντας το σύστημα, χωρίς να καταφύγουμε στις σχέσεις (). Τελικά βρίσκουμε:

306 Η ευστάθεια των λύσεων των διαφορικών συστημάτων (t)c, (t)c e -t (B) και χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες, για t οι λύσεις (Β) παίρνουν την μορφή: (t), (t) e -t (Γ) Η λύση είναι προφανώς ευσταθής. Η διαφορική εξίσωση που προκύπτει από το σύστημα (Α) είναι d/d με λύση c. Οι ολοκληρωτικές καμπύλες είναι ευθείες γραμμές παράλληλες προς τον άξονα ΟΥ. Από τις εξισώσεις (Γ) συμπεραίνουμε ότι τα σημεία, που κινούνται κατά μήκος των ολοκληρωτικών καμπύλων πλησιάζουν την ευθεία, Σχ.4. Σχ. 4 VIΙΙ) Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι μ, μ >. Από τις σχέσεις () έπεται ότι η λύση είναι ασταθής αφού (t) (t) για t. IX) Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι μ μ <. H λύση είναι: (t)(c c t) e μ t μ e t (t) c( μα ) c( μtαt) β () Εφ όσον και t όταν t, τότε για ένα τυχαίο ε> είναι δυνατό να διαλέξουμε τις σταθερές c, c, (διαλέγοντας τις αρχικές συνθήκες, ), έτσι ώστε να ισχύει (t) <ε (t) <ε για τυχαίο t>. Επομένως η λύση είναι ευσταθής και (t), (t) όταν t. e μ t e μ t Παράδειγμα 8: Εξετάστε την ευστάθεια των λύσεων του συστήματος: d/dt-, d/dt- Απάντηση: Από την χαρακτηριστική εξίσωση βρίσκουμε τις ρίζες της: μ (μ) μ μ - μ με λύση του διαφορικού συστήματος: (t)c e -t, (t)c e -t από όπου βλέπουμε ότι (t), (t) για t. Η λύση είναι ευσταθής, οι δε ολοκληρωτικές καμπύλες είναι: /c /c k k δηλ. μια οικογένεια ευθειών που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Σημεία, που κινούνται πάνω σ αυτές τις ευθείες, πλησιάζουν την αρχή (,), που αποτελεί δεσμικό σημείο, Σχ. 5. X) Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι μ μ. H λύση είναι: (t)c c t (t) [ cα c cαt] β ()

307 ΚΕΦΑΛΑΙΟ από όπου είναι φανερό ότι (t), (t) όταν t. Η λύση είναι ασταθής. Παράδειγμα 9: Εξετάστε την ευστάθεια των λύσεων του συστήματος: d/dt, d/dt Απάντηση: Από την χαρακτηριστική εξίσωση βρίσκουμε τις ρίζες της: μ μ μ μ μ με λύση του διαφορικού συστήματος: Σχ. 5 Σχ. 6 (t)c c t, (t)c και προφανώς (t) όταν t. Η λύση είναι ασταθής. Η διαφορική εξίσωση που προκύπτει από το σύστημα δια διαιρέσεως κατά μέλη, είναι d/d, με ολοκληρωτικές καμπύλες c δηλ. ευθείες γραμμές παράλληλες προς τον άξονα ΟΧ Σχ. 6. Το κρίσιμο σημείο ονομάζεται εκφυλισμένο σαγματικό σημείο. ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ d α β dt Ας θεωρήσουμε το γραμμικό σύστημα: () d γ δ dt και ας προσπαθήσουμε να το λύσουμε γενικά. Προς τούτο θέτουμε Ae λt και Be λt και από το σύστημα () προκύπτει, (απαλείφοντας τον όρο e λt ) το αλγεβρικό σύστημα: (α-λ)αββ γα(δ-λ)β το οποίο έχει μη τετριμμένη λύση ως προς Α, Β εάν και μόνο εάν η ορίζουσα των συντελεστών είναι μηδέν, δηλ. (α-λ)(δ-λ)-βγαβ λ -(αδ)λαδ-βγ () Εάν από το σύστημα () απαλείψουμε το προκύπτει διαφορική εξίσωση ως προς : -( αδ) αδ-βγ ()

308 Η ευστάθεια των λύσεων των διαφορικών συστημάτων η οποία είναι γραμμική με σταθερούς συντελεστές και της οποίας η χαρακτηριστική εξίσωση είναι η ίδια με την (). Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τους παρακάτω συμβολισμούς: pαδ, qαδ-βγ, Δp -4q (4) Τότε εάν λ, λ είναι οι ρίζες της (), τότε η () γράφεται: λ -pλq(λ-λ )(λ-λ )λ -(λ λ )λλ λ Άρα το p είναι το άθροισμα, το q είναι το γινόμενο των ριζών και το Δ η διακρίνουσα. Επειδή τα p, q ορίζουν τις ρίζες, οι οποίες με την σειρά τους καθορίζουν την συμπεριφορά των λύσεων κοντά στο κρίσιμο σημείο Ρ, μπορούμε να χαρακτηρίσουμε το κρίσιμο σημείο Ρ με την βοήθεια των p, q, ως εξής: A) Το σημείο Ρ είναι: A) ευσταθές και ελκτικό εάν p< και q> A) ευσταθές εάν p και q> A) ασταθές εάν p> ή q< Επί πλέον Β) Το σημείο Ρ είναι: B) δεσμός εάν q> και Δ Β) σαγματικό σημείο εάν q< Β) κεντρικό σημείο εάν p και q> B4) σπειροειδές σημείο εάν p και Δ< Τα συμπεράσματα αυτά μπορούν να απεικονισθούν στο παρακάτω διάγραμμα. Η δε εξήγηση τους έχει ως εξής: ) Εάν qλ λ >, τότε και οι δυο οι ρίζες είναι θετικές ή και οι δυο αρνητικές ή μιγαδικές συζυγείς. Εάν συγχρόνως pλ λ <, τότε και οι δυο ρίζες είναι αρνητικές ή στην περίπτωση των μιγαδικών συζυγών έχουν αρνητικό το πραγματικό τους μέρος. Επομένως το σημείο Ρ είναι ευσταθές και ελκτικό. Η αιτιολόγηση των δυο άλλων περιπτώσεων Α, Α είναι παρόμοια. ) Εάν Δ< οι ρίζες είναι μιγαδικές συζυγείς, έστω οι λ αiβ και λ α-iβ. Εάν επίσης pλ λ α<, τότε έχουμε ένα σπειροειδές σημείο, που είναι ευσταθές και ελκτικό. ) Εάν p, τότε λ -λ και qλ λ -λ. Εάν επίσης q>, τότε λ -q<, έτσι ώστε τα λ και λ πρέπει να είναι φανταστικοί αριθμοί. Τότε έχουμε περιοδικές λύσεις με κλειστές τροχιές, που έχουν σαν κέντρο τους το σημείο Ρ. Η περιοχή της ευστάθειας είναι το άνω αριστερό τεταρτημόριο. q Δ> Δ< Δ< Δ> Δ Σπειροειδή σημεία Σπειροειδή σημεία Δ Δεσμοί Δεσμοί Σαγματικά σημεία p

309 5 Η ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΚΑΙ Η ΜΕΤΑΒΑΣΗ ΣΤΟ ΧΑΟΣ 5. Γενικά Κατά τα τελευταία χρόνια ανακαλύφθηκε ότι μια μεγάλη τάξη μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων και εξισώσεων διαφορών παρουσιάζουν μια τυχαία συμπεριφορά γνωστή σήμερα σαν χαοτική συμπεριφορά ή κίνηση (. Σαν χαοτική κίνηση εννοούμε απλώς μια κίνηση χωρίς προφανή τάξη. Συχνά, οι εξισώσεις που παρουσιάζουν χαοτική συμπεριφορά είναι εκείνες που περιγράφουν φαινόμενα όπου η έξοδος ανατροφοδοτεί το σύστημα, όπως ακριβώς ο ήχος από ένα μεγάφωνο ανατροφοδοτεί το μικρόφωνο με αποτέλεσμα να δημιουργείται το φαινόμενο του μικροφωνισμού. Μια ενδιαφέρουσα διαπίστωση, που σχετίζεται με αυτά τα επαναληπτικά συστήματα, είναι το γεγονός ότι οι λύσεις τους συχνά εξαρτώνται από μια παράμετρο και μια αλλαγή στις τιμές αυτής της παραμέτρου είναι αρκετή για να μεταβούμε από την τάξη στο χάος. Η πιο απλή και γνωστή εξίσωση, της οποίας η λύση αλλάζει από τακτική σε χαοτική συμπεριφορά, είναι η λογιστική εξίσωση. 5. Η λογιστική εξίσωση Μια ενδιαφέρουσα εξίσωση διαφορών, που χρησιμοποιείται για την μελέτη απλών βιολογικών πληθυσμών, είναι η λογιστική εξίσωση ( : λ (- ),,, () όπου η παράμετρος λ ονομάζεται παράμετρος ανάπτυξης με διάστημα μεταβολής <λ 4. Διαλέγοντας το λ να μεταβάλλεται σ αυτό το διάστημα, τότε για κάθε αρχική συνθήκη ή τροφοδότηση, που βρίσκεται στο διάστημα [, ], όλες οι μελλοντικές επαναλήψεις,,, (συχνά ονομάζονται τροχιά του ), βρίσκονται επίσης στο διάστημα [, ]. Στα βιολογικά προβλήματα οι τιμές παριστούν τους κλασματικούς πληθυσμούς, το τον μέγιστο δυνατό πληθυσμό και το τον μηδενικό. Η χρησιμότητα της λογιστικής εξίσωσης για την πρόβλεψη του μεγέθους του πληθυσμού βρίσκεται στους παράγοντες και -. Όσο το πλησιάζει την μέγιστη τιμή, η ποσότητα - μειώνεται. Οι δυο αυτοί παράγοντες δρουν σε αντίθετες διευθύνσεις, ο ένας προσπαθεί να αυξήσει τον πληθυσμό και ο άλλος να τον μειώσει. Αυτός είναι ο τρόπος με τον οποίο εξελίσσονται πολλά βιολογικά συστήματα. ( Υπάρχουν αρκετοί διαισθητικοί ορισμοί της χαοτικής κίνησης στην βιβλιογραφία, βλ. A Itroductio to Chaotic Damical Sstems, R. L. Devae, Addiso - Readig, Mass., 989) ( Η λογιστική εξίσωση μελετήθηκε το 845 από τον βιολόγο P. F. Verhulst και διαφέρει από την αντίστοιχη διαφορική εξίσωση λ(-), διότι θέτοντας (t) - και (t) προκύπτει λ (- ). Η κάθε μια εξίσωση έχει την δική της θέση στη μελέτη των βιολογικών πληθυσμών.

310 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Αν και η σπουδαιότητα της λογιστικής εξίσωσης ήταν γνωστή στους βιολόγους περισσότερα από εκατό χρόνια, μόνο πρόσφατα (97) αποκαλύφθηκαν πολλές ενδιαφέρουσες ιδιότητες της. Η μεγάλη έκπληξη όμως ήρθε όταν ξεκίνησε προσπάθεια για την κατανόηση της επίδρασης του συντελεστή ανάπτυξης λ σε όρους μεγάλης τάξης και ιδίως με ποιόν τρόπο εξαρτάται η λύση από τις τιμές της παραμέτρου λ. Διαλέγοντας μια συγκεκριμένη τιμή για το λ και ξεκινώντας με μια τυχαία αρχική τιμή, υπολογίζουμε τους όρους για αρκετά μεγάλο. Αυτό που ανακαλύφθηκε είναι το εξής : ) Για λ η ακολουθία τείνει στο μηδέν ανεξάρτητα από την τιμή της αρχικής τιμής δηλ. η λύση πλησιάζει την μηδενική, η οποία σημαίνει από βιολογικής πλευράς ότι ο πληθυσμός τείνει να εξαφανιστεί. ) Για <λ< η ακολουθία τείνει στη μη μηδενική τιμή (λ-)/λ ανεξάρτητα από την τιμή της αρχικής τιμής ) Για <λ αρχίζουν να συμβαίνουν παράξενα πράγματα. Μια χρήσιμη γεωμετρική κατασκευή, που μας επιτρέπει να έχουμε εποπτική εικόνα των επαναλήψεων της λογιστικής καμπύλης, είναι η μέθοδος του ιστού της αράχνης. Η ιδέα της μεθόδου αυτής θέλει στο ίδιο σύστημα Σχ. f()λ(-) συντεταγμένων να σχεδιάσουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f()λ(-) και της διχοτόμου. Στη συνέχεια για να δούμε τις επαναλήψεις,,, ξεκινάμε από μια τυχαία αρχική τιμή κινούμαστε προς τα επάνω στη κάθετη γραμμή μέχρι να συναντήσουμε την λογιστική καμπύλη στο ύψος λ (- ), Σχ.. Στη συνέχεια κινούμαστε οριζόντια, αριστερά ή δεξιά, μέχρι να συναντήσουμε την διχοτόμο. Επειδή σ όλα τα σημεία της διχοτόμου ισχύει, η τιμή του που συναντά την διχοτόμο, δίνει την νέα τιμή. Κατόπιν φέρουμε την κάθετη γραμμή, την οποία ακολουθούμε μέχρι να συναντήσουμε την λογιστική καμπύλη στο σημείο λ (- ). Κινούμαστε τώρα οριζόντια μέχρι να συναντήσουμε την διχοτόμο, όπου η τιμή του θα είναι η. Συνεχίζοντας κατ αυτό τον τρόπο, προκύπτει μια ακολουθία από κάθετα και οριζόντια ευθύγραμμα τμήματα, που έχουν την εμφάνιση του ιστού της αράχνης και μας δίνουν τις επαναλήψεις,,, της λογιστικής καμπύλης. Έτσι έχουμε : ) Για λ και με οποιοδήποτε αρχικό σημείο, η προκύπτουσα ακολουθία λ (- ) τείνει στο μηδέν, Σχ.. Σχ.

311 Η λογιστική εξίσωση και η μετάβαση στο χάος 9 ) Για <λ και με οποιοδήποτε αρχικό σημείο, η προκύπτουσα ακολουθία λ (- ) τείνει στον αριθμό λ (λ-)/λ που ονομάζεται σταθερό σημείο ή σημείο ισορροπίας και ικανοποιεί την εξίσωση λ λ λ (- λ ) Παρατηρήστε ότι το μηδέν είναι πάντα σταθερό σημείο της λογιστικής καμπύλης και ότι το σταθερό σημείο λ (λ-)/λ είναι σταθερό σημείο για λ. Εάν κανείς εξετάσει προσεκτικά τα διαγράμματα αρχίζοντας από οποιοδήποτε σημείο, μπορεί κανείς να δεί ότι όλες οι διαδρομές, (με εξαίρεση εκείνη που αρχίζει από το ), οδηγούν στο λ, Σχ.. Γι αυτό τον λόγο το λ ονομάζεται και ελκτικό σταθερό σημείο. Σχ. ) Όπως το λ αυξάνεται πέρα από την τιμή και στο διάστημα <λ,4495, η λύση εμφανίζει μια ενδιαφέρουσα ποιοτική αλλαγή, που ονομάζεται διακλάδωση, (bifurcatio). Εδώ το ελκτικό σταθερό σημείο, το οποίο είναι (-)// για λ, γίνεται απωθητικό και διακλαδίζεται σε δυο σημεία (. Η νέα λύση, αντί να κατασταλάζει σε μια τιμή, πηδά μεταξύ δυο σημείων, τα οποία αποτελούν ένα ελκτικό κύκλο περιόδου, Σχ. 4 Σχ. 4 Για να καταλάβουμε γιατί συμβαίνει αυτό το φαινόμενο αρκεί να παρατηρήσουμε το Σχ. 4 και να δούμε ότι η αρχική συνθήκη μετακινείται κατ αρχήν προς το σταθερό σημείο λ αλλά βαθμηδόν γυρίζει γύρω από αυτό για να σταθεροποιηθεί γύρω από δυο άλλα σημεία, (αν και ποτέ δεν θα τα φθάσει). Από το διάγραμμα του Σχ. 4 επίσης παρατηρούμε ότι η αιτία για το απωθητικό σημείο λ είναι ότι η κλίση της καμπύλης f() στο λ είναι μεγαλύτερη του. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι τα σημεία περιόδου είναι ελκτικά αλλά το σταθερό σημείο λ είναι απωθητικό. 4) Για,4495 <λ<,56 το σημείο περιόδου διακλαδίζεται άλλη μια φορά δημιουργώντας ένα σημείο περιόδου 4. Δηλ. για μια μη μηδενική αρχική τιμή, η ακολουθία σταδιακά θα ταλαντεύεται μεταξύ τεσσάρων διαφορετικών σημείων, που αποτελούν ένα σημείο περιόδου 4 και των οποίων οι ακριβείς τιμές εξαρτώνται από την τιμή του λ, Σχ. 5. ( Μπορούμε να δούμε γενικά ότι ένα σταθερό σημείο λ είναι ελκτικό εάν f () < και απωθητικό εάν f ().

312 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Σχ. 5 5) Όσο το λ κινείται πέρα από την τιμή,56 η περίοδος διπλασιάζεται ξανά και ξανά, όλο και πιο γρήγορα με περιόδους 8, 6,,,. έως ότου το λ φθάσει με ένα σημείο συσσωρεύσεως λ,56994 Για έναν βιολόγο, ο οποίος δεν διατηρεί στοιχεία μεγάλων χρονικών διαστημάτων, η περίοδος θα γίνει τόσο μεγάλη έτσι ώστε ο πληθυσμός θα φαίνεται ότι μεταβάλλεται κατά τυχαίο τρόπο. 6) Όταν το λ φθάσει στο μαγικό σημείο συσσωρεύσεως λ, που ονομάζεται χαοτικός αριθμός, η λύση συμπεριφέρεται ως εξής : Δεν πλησιάζει ελκτικό σημείο, ούτε κάποιον κύκλο οποιασδήποτε περιόδου, αλλά ούτε και απειρίζεται. Θα μπορούσε κανείς να πει ότι ναι μεν δεν υπακούει κανέναν κανόνα συμπεριφοράς, αλλά υπάρχει ένα νέο είδος κίνησης, γνωστό σαν χαοτική κίνηση, κατά την οποίαν φαίνεται να γυρίζει άσκοπα χωρίς καμμία τάξη Σχ. 6. Με άλλα λόγια η λύση της λογιστικής εξίσωσης γίνεται χαοτική. Για ένα βιολόγο αυτό σημαίνει ότι ο πληθυσμός μεταβάλλεται τυχαία χωρίς να υπακούει σε κανένα δυναμικό νόμο. Σχ Το διάγραμμα διακλαδώσεως. Για να κατανοήσουμε το φαινόμενο διπλασιασμού της περιόδου, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το διάγραμμα διακλαδώσεως ή διάγραμμα τροχιάς. Για τον σκοπό αυτό χρησιμοποιούμε ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων. Τον οριζόντιο άξονα τον χρησιμοποιούμε για την παράμετρο λ και τον κατακόρυφο για τα σταθερά σημεία λ Σχ. 7. Η χαοτική περιοχή αρχίζει από την τιμή λ,56994 Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι υπάρχουν ορισμένα παράθυρα τάξης μέσα στη χαοτική περιοχή λ <λ 4 όπου η λύση επιστρέφει από το χάος στη τάξη.

313 Η λογιστική εξίσωση και η μετάβαση στο χάος Το 975 ο φυσικός Mitchell Feigebaum μελετώντας την ακολουθία των τιμών λ, λ,4495, λ,56994, που αποτελεί την ακολουθία διπλασιασμού, έκανε μια σπουδαία ανακάλυψη. Χρησιμοποιώντας έναν υπολογιστή τσέπης, παρατήρησε ότι η ακολουθία των λόγων των διαφορών δ λ συ- λ λ λ γκλίνει σ ένα πεπερασμένο αριθμό δ4.669 Το σημαντικό όμως είναι ότι ο αριθμός αυτός δ εμφανίζεται και σε άλλες εξισώσεις διαφορών, αποτελώντας έτσι μια παγκόσμια σταθερά γνωστή σήμερα σαν αριθμός του Feigebaum. Επίσης αποτελεί ένα κριτήριο εάν ένα δυναμικό σύστημα μπορεί να γίνει χαοτικό παρατηρώντας Σχ. 7 την προχαοτική του συμπεριφορά, λ λ δηλ. εάν η ακολουθία δ συγκλίνει στο δ. λ λ Ασκήσεις Για τις παρακάτω εξισώσεις διαφορών, να βρείτε τα σταθερά σημεία και εξετάστε εάν είναι ελκυστές ή απωθηστές. α) β) - γ) si δ) cos

314 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Σε πολλές από τις ασκήσεις έγινε μια προσπάθεια οι λύσεις τους να δοθούν και με την χρήση υπολογιστή «τρέχοντας» απλά προγράμματα, γραμμένα στη γλώσσα του μαθηματικού πακέτου Maple. Με αυτό τον τρόπο θέλουμε να πιστεύουμε ότι ο αναγνώστης θα αποκτήσει εύκολα την δυνατότητα αφ ενός μεν να μάθει την γλώσσα του πακέτου Maple και αφ ετέρου να επιλύει μόνος του δικές του διαφορικές εξισώσεις με τη βοήθεια υπολογιστή. Όμως θα πρέπει να είναι επιφυλακτικός με τις λύσεις που θα του δώσει ο υπολογιστής, διότι υπάρχουν περιπτώσεις όπου ο υπολογιστής ή αδυνατεί να βρει την λύση ή η λύση που δίνει δεν είναι η σωστή. Στη τελευταία περίπτωση το καλύτερο που έχει να κάνει είναι να διασταυρώνει τις δικές του λύσεις που θα βρει εφαρμόζοντας τις μεθόδους που θα διδαχθεί με αυτό το βιβλίο, με τις λύσεις που δίνει ο υπολογιστής. Κεφάλαιο Ασκήσεις : Ελέγξτε εάν οι παρακάτω Δ.Ε. με την αντίστοιχη αρχική συνθήκη έχουν α) μοναδική λύση ή β) καμία λύση ή γ) άπειρες λύσεις. ) () ) -/ () ) () Λύσεις : ) Η συνάρτηση f(,) είναι συνεχής σε όλο το επίπεδο ΟΧΥ. Άρα από κάθε σημείο του επιπέδου διέρχεται τουλάχιστον μια λύση. Η συνάρτηση f(,)/ είναι συνεχής και επομένως φραγμένη, άρα η λύση που, διέρχεται από κάθε σημείο του επιπέδου ΟΧΥ, είναι μοναδική. Για το συγκεκριμένο σημείο (,) υπάρχει λύση και είναι μοναδική. ) Η συνάρτηση f(,)-/ είναι συνεχής σε όλο το επίπεδο ΟΧΥ εκτός από τα σημεία του άξονα ΟΧ για τα οποία έχουμε. Άρα από κάθε σημείο του επιπέδου, που δεν βρίσκεται στον άξονα ΟΧ, διέρχεται τουλάχιστον μια λύση. Επίσης και η συνάρτηση f(,)/ / είναι συνεχής και επομένως φραγμένη σε κάθε σημείο του επιπέδου ΟΧΥ εκτός από τα σημεία του άξονα ΟΧ. Άρα υπάρχει μια και μόνο μια λύση, που διέρχεται από κάθε σημείο του επιπέδου ΟΧΥ εκτός από τα σημεία του άξονα ΟΧ. Για το συγκεκριμένο σημείο (,) υπάρχει λύση και είναι μοναδική. ) Η συνάρτηση f(,) είναι συνεχής σε όλο το άνω ημιεπίπεδο, άρα από κάθε σημείο του ημιεπιπέδου διέρχεται τουλάχιστον μια λύση. Η συνάρτηση f(,)/ / είναι συνεχής και επομένως φραγμένη στο άνω ημιεπίπεδο εκτός από τα σημεία του άξονα ΟΧ. Άρα η λύση που διέρχεται από το σημείο (,), (που ανήκει στον άξονα ΟΧ), δεν είναι μοναδική. Πράγματι, λύνοντας την Δ.Ε. με αρχική συνθήκη το σημείο (,), βρίσκουμε. Όμως από το σημείο (,) διέρχεται και η τετριμμένη λύση. Παράγραφος. Ασκήσεις : Να λυθούν οι Δ.Ε. : ) -/ ) ) - 4) / 5) -/ Λύσεις

315 4 Λύσεις Ασκήσεων ) -/ d-d /- /c c με c c Στη συνέχεια παραθέτουμε ένα απλό πρόγραμμα γραμμένο στο Maple το οποίο επιλύει την διαφορική αυτή εξίσωση. > restart; > with(detools): > eq:diff((),)-/(); eq : ( ) ( ) > dsolve(eq,()); ( ) _C, ( ) _C ) d/d l /lc cep( /) > restart; > with(detools): > eq:diff((),)*(); eq : ( ) ( ) > dsolve(eq,()); ( ) _C e ( / ) ) - d(- )d /- /c > restart; > with(detools): > eq:diff((),)-^; eq : ( ) > dsolve(eq,()); ( ) _C 4) / d/d/ lllc c restart; > with(detools): > eq:diff((),)*()/; eq : ( ) ( ) > dsolve(eq,()); ( ) _C 5) -/ d-d/ - c > restart; > with(detools): > eq:diff((),)-/sqrt(); eq : ( ) > dsolve(eq,()); ( ) _C Σ όλες τις παραπάνω διαφορικές εξισώσεις οι λύσεις που δίνονται από τον υπολογιστή ταυτίζονται με τις λύσεις που βρέθηκαν εφαρμόζοντας την αντίστοιχη μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών.

316 Λύσεις Ασκήσεων 5 Προβλήματα Εφαρμογών ) Οι αμοιβάδες πολλαπλασιάζονται με "διχοτόμηση" : κάθε αμοιβάδα, μετά παρέλευση, (κατά μέσο όρο), χρόνου τ από τη "γέννηση" της, διχοτομείται και δίνει δυο αμοιβάδες. Έστω ότι θέλουμε να μετρήσουμε τη μέση ζωή τ των αμοιβάδων. Για το σκοπό αυτό μετρούμε τον αριθμό Ν των αμοιβάδων σε μια καλλιέργεια τη στιγμή t και τη στιγμή tt και βρίσκουμε Ν και Ν αντίστοιχα. Να υπολογιστεί το τ. ( Υπόδειξη : Σε χρόνο τ ο αριθμός των αμοιβάδων διπλασιάζεται.) Λύση : Έστω ΝΝ(t) ο πληθυσμός των αμοιβάδων τη χρονική στιγμή t, ο οποίος προφανώς μεταβάλλεται βάσει της Δ.Ε. : dn() t kn() t kσταθερά αναλογίας () dt της οποίας η λύση είναι : N(t)ce kt () Εφαρμόζουμε τώρα τις αρχικές συνθήκες στη λύση () : Για t έχουμε N()N επομένως Ν c kt N Για tt έχουμε N(t )N επομένως N Ne k l t N Τελικά η λύση () γράφεται : t N l t N N(t)N e Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε : tτ N l t N N(tτ)N(t) N e N e t N l t N tτ N t N l l l t N t N τ t N N l l τt l N l N ) Όταν μια ακτινοβολία, (π.χ. ακτίνες Χ ή νετρόνια), διαπερνάει κάποιο υλικό πάχους d, η ένταση της Ι μειώνεται κατά di-μid, όπου μ σταθερός συντελεστής που ε- ξαρτάται από τη φύση του υλικού. Αν η ακτινοβολία προσπίπτει με αρχική ένταση Ι σε μια επίπεδη πλάκα από κάποιο υλικό και βγαίνει από την πίσω επιφάνεια της πλάκας με ένταση Ι / να υπολογιστεί, (συναρτήσει του μ), το πάχος της πλάκας. Λύση : Από τη σχέση di-μid έχουμε di ìd li-μlc I()ce -μ I Για έχουμε Ι()Ι I c και επομένως η λύση γράφεται : I()I e -μ Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε ότι για το ζητούμενο πάχος η ένταση της α- κτινοβολίας που εξέρχεται από την πλάκα είναι Ι /. Επομένως Ι /Ι e -μ -μ-l l/μ

317 6 Λύσεις Ασκήσεων ) Να λυθεί το παράδειγμα, αν τη στιγμή t, όχι μόνο αρχίζει να εισρέει άλμη στη δεξαμενή αλλά ρίχνουμε στη δεξαμενή και μια μάζα στερεού αλατιού Μkg, και αμελητέου όγκου, σε σχέση με τον όγκο της δεξαμενής, η οποία διαλύεται με σταθερό ρυθμό r gr/mi. Λύση : Στην περίπτωση αυτή η μεταβολή της μάζας dm του αλατιού στο χρονικό διάστημα dt θα είναι : dm[μάζα που εισρέει από t ως tdt] [Μάζα του αλατιού που προέρχεται από το στερεό αλάτι]- -[Μάζα που εκρέει από t έως tdt] με αντίστοιχη Δ.Ε. : dm m cqdt rdt V qdt dm cq r m V q dt της οποίας η γενική λύση είναι : m(t) q q cqv rv kqe V t όπου k σταθερά, η τιμή της οποίας θα προσδιοριστεί από την αρχική συνθήκη : Για t έχουμε m(). Επομένως ( ) m() { cqv rv e kq} k ( ) q q cqv rv Τελικά η λύση θα είναι : q V m(t) cqv rv V( cq r) e t q 4) Μια τορπίλη μάζας m εκτοξεύεται οριζοντίως με αρχική ταχύτητα v και επιβραδύνεται από μια δύναμη ανάλογη προς την ταχύτητα της. Υποθέτοντας ότι καμία άλλη δύναμη δεν ασκείται στη τορπίλη, βρείτε τη ταχύτητα της και το διάστημα που έχει διανύσει μετά παρέλευση χρόνου t από την εκτόξευση της. Αριθμητική εφαρμογή : v 6km/h, mkg. k 4 - kg/sec. Λύση : Από τον νόμο του Newto έχουμε : Fm dv dt -k v dv v - k dt m k m t v dv k v m dt vv e Για το διάστημα S χρησιμοποιούμε την προηγούμενη σχέση και έχουμε : k ds ve m t s t k t m dt ds v e dt S vm k e m t s t k v t t lv-lv k m t 5) Ο ρυθμός με τον οποίο ψύχεται ένα θερμό σώμα είναι ανάλογος της διαφοράς μεταξύ της θερμοκρασίας του σώματος και της θερμοκρασίας του μέσου που περιβάλλει το σώμα. Αν η θερμοκρασία κάποιου σώματος σε μια ώρα έπεσε από C σε 7 C και η

318 Λύσεις Ασκήσεων 7 θερμοκρασία του περιβάλλοντος είναι σταθερή και ίση με C, σε πόσο χρόνο θα πέσει η θερμοκρασία του σώματος στους C ; Λύση : Έστω Τ(t) η θερμοκρασία του σώματος την χρονική στιγμή t και Τ π η θερμοκρασία του περιβάλλοντος. Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε : dt kt ( T dt π ) όπου k η σταθερά αναλογίας Λύνουμε την παραπάνω διαφορική εξίσωση και έχουμε : dt kdt l(t-t π )ktlc T-T π ce kt T Tπ T(t)T π ce kt Για να προσδιορίσουμε τις σταθερές c και k εφαρμόζουμε τα δεδομένα του προβλήματος και έχουμε : Για t έχουμε Τ() T π c c(-) Για th έχουμε Τ()7 CT π ce k e k e k / k-l Επομένως Τ(t) e -lt -t Για να βρούμε σε πόσο χρόνο η θερμοκρασία θα πέσει στους βαθμούς, θέτουμε στην παραπάνω σχέση Τ(t) και λύνουμε ως προς t : -t -t / tl/l.h 6) Ένας αλεξιπτωτιστής αρχίζει να πέφτει από ύψος h m και ανοίγει αμέσως το αλεξίπτωτο του. Το σύστημα αλεξιπτωτιστή - αλεξιπτώτου έχει μάζα m85kg. Η αντίσταση F R του αέρα δίνεται από το νόμο F R k v, όπου k - kg/sec σταθερός συντελεστής και v η (εκάστοτε) ταχύτητα του αλεξιπτώτου. Να υπολογιστεί η ταχύτητα v και το ύψος Η του αλεξιπτωτιστή σε μια τυχαία χρονική στιγμή t. Να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις v(t) και h(t). Λύση : Οι δυνάμεις που επενεργούν πάνω στο σύστημα αλεξιπτωτιστή- αλεξιπτώτου είναι το βάρος του Βmg και η αντίσταση του αέρα F R k v. Από τον νόμο του Newto έχουμε: B-F R m dv dt v ( kv) mg-k vm dv dt dmg k mg kv m v t t dt l(mg-k v)-l(mg) k m t θέτουμε k k και έχουμε : m l g kv -kt g kv g g ( kv) dv dt dmg mg k v m k mg k v ( ) l mg k v v k m t v l mg k v mg k m t e -kt g v [ e kt ] k () dt m Επίσης dh() t dt h t g kt vt () dh ( t ) [ e ] dt h k t

319 8 Λύσεις Ασκήσεων g h(t)h - [ k t g e kt k ] () φδ v(t) ψχh(t) t t Παρατήρηση : Το αρνητικό πρόσημο στη σχέση dh () t vt () τίθεται διότι το ύψος h(t) dt ελαττώνεται με την πάροδο του χρόνου. 7) Nα λυθεί η προηγούμενη άσκηση αν ο αλεξιπτωτιστής δεν ανοίξει το αλεξίπτωτο του αμέσως, αλλά όταν φτάσει σε ύψος h 5m. Στην περίπτωση αυτή δεχθείτε ότι από το ύψος των h m ως το ύψος των h 5m, (η ροή είναι "τυρβώδης"), η αντίσταση του αέρα δίνεται από τη σχέση F (T) A /ρc D σv, όπου ρ η πυκνότητα του ρευστού, c D, αδιάστατος συντελεστής, και σ,4m η "μετωπική" επιφάνεια του αλεξιπτωτιστή. Από το ύψος των 5m και κάτω η ροή είναι "στρωτή" και ισχύει ότι η F R είναι ανάλογη της ταχύτητας, (βλ. προηγούμενη άσκηση). Λύση : α) Για h >h>h εξίσωση του Newto γράφεται : B-F (T) R m dv mg-k v m dv όπου k /ρc D σ dt dt Από την περίπτωση (β) του παραδείγματος 4, παρ.. έχουμε την σχέση της ταχύτητας v(t) συναρτήσει του χρόνου t : v(t) mg kg tah k m t () Επίσης dh () t dt - mg k h t vt () dh v t dt - h () t m l cosh kg t t kg m t m l cosh k mg tah k kg m tdt kg m t

320 Λύσεις Ασκήσεων 9 h(t)h - m kg l cosh k m t () Λύνουμε την σχέση () ως προς t και έχουμε : k ( ) ( ) km h h kg m t kg m t e m h h l cosh cosh t m k ( ) e m h h cosh kg () Για hh 5m από την () βρίσκουμε τον χρόνο t που χρειάζεται ο αλεξιπτωτιστής για να φθάσει στο ύψος h. Έχουμε : t m k ( ) e m h h cosh kg (4) με αντίστοιχη ταχύτητα : v v(t ) mg k ( ) e m h h tah cosh k (5) Μετά την χρονική στιγμή t ανοίγει το αλεξίπτωτο και ο αλεξιπτωτιστής κινείται σε στρωτή ροή. Βάσει του προηγουμένου προβλήματος θα έχουμε : mg-k vm dv dt k l mg k v mg k v dmg ( kv ) mg k v k ( m t t ) dt m v dmg ( kv k t ) mg k v m dt t v mg kv mg k v e k m t t ( ) k ( ) v(t) mg ( mg kv) e m t t (6) k όπου η τιμή του v δίνεται από την σχέση (5). Για να βρούμε την συνάρτηση h(t) με t t παίρνουμε την (6) και έχουμε : t t dh() t h k ( ) vt () dh mg ( mg k v ) e m t t dt dt h k mg k h(t)h - ( t t ) mg k v k m e k ( ) k m t t (7)

321 4 Λύσεις Ασκήσεων v(t) h(t) Παράγραφος. Ασκήσεις : Για όσες από τις παρακάτω εξισώσεις είναι ομογενείς, να βρεθεί η γενική λύση. ) (-)/ ) ( )/ ) ( )/ 4) ()/ 5) ( )/ 6) 7) ( ) / 8) 4 4 Λύσεις : ) Η Δ.Ε. είναι ομογενής με βαθμό ομογένειας, διότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι ομογενή πολυώνυμα ως προς και βαθμού. Διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με και έχουμε : (/)-. Θέτουμε : R/ R R R και η Δ.Ε. γράφεται : R RR- R - dr-d/ R-llk Rl(k/) l(k/) > restart; > with(detools): > with(plots): ( ) > f(,):(()-)/; f (, ) : > eq:diff((),)f(,); eq : ( ) ( ) > dsolve(eq,()); ( ) ( l( ) _C)

322 Λύσεις Ασκήσεων 4 >dfieldplot(eq,[()],-..,-..); Με την τελευταία εντολή σχεδιάζεται το διευθύνον πεδίο των λύσεων της Δ.Ε. στην ορθογώνια περιοχή [-, ] [-, ]. Γραφικές παραστάσεις μερικών λύσεων που αντιστοιχούν στις τιμές της σταθερά c,,, 4, 5 και που έγιναν με τις εντολές: > f:*l(abs(/)); f : l plot({seq(f,..5)},..6,-6..); ) Ο αριθμητής του β μέλους της Δ.Ε. δεν είναι ομογενές πολυώνυμο και επομένως η Δ.Ε. δεν είναι ομογενής. Όπως θα δούμε αργότερα η διαφορική αυτή εξίσωση είναι τύπου Berroulli και η λύση της βρίσκεται με άλλο τρόπο. Εδώ θα παραθέσουμε την λύση της, το διευθύνον πεδίο και τις γραφικές παραστάσεις κάποιων μερικών λύσεων με την βοήθεια του υπολογιστή. > restart; > with(detools): > with(plots):

323 4 Λύσεις Ασκήσεων ( ) > f(,):(()^*)/(*()); f (, ) : ( ) > eq:diff((),)f(,); eq : ( ) ( ) ( ) > dsolve(eq,()); ( ) 6 _C, ( ) 6 _C > dfieldplot(eq,[()],-..,-..); > f:^-6*^*; implicitplot({seq(f,..5)},-6..6,-6..6); f : 6 ) Η Δ.Ε. ( )/ είναι ομογενής με βαθμό ομογένειας, διότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι ομογενή πολυώνυμα ως προς και βαθμού. Διαιρούμε α- ριθμητή και παρονομαστή με και έχουμε : Θέτουμε : R/ R R R και η Δ.Ε. γράφεται: R R R R

324 R R dr d ( ) ( R ) dr R k (/) k k 4 - > restart; > with(detools): > with(plots): d l(r )l( )lk Λύσεις Ασκήσεων 4 ( ) > f(,):(*()^^)/(*()); f (, ) : ( ) > eq:diff((),)f(,); eq : ( ) ( ) ( ) > dsolve(eq,()); ( ) _C, ( ) _C >dfieldplot(eq,[()],-..,-..); > f:^-^^4*; >implicitplot({seq(f,..5)},-..,-..,grid [8,8]); f : 4

325 44 Λύσεις Ασκήσεων 4) Η Δ.Ε. d είναι ομογενής με βαθμό ομογένειας. Διαιρούμε αριθμητή και d παρονομαστή με και έχουμε : (/) Θέτουμε : R/ R R R και η Δ.Ε. γράφεται : dr R RR R R R d / l(r)llc Rc (c-) > restart; > with(detools): > with(plots): ( ) > f(,):(*())/; f (, ) : > eq:diff((),)f(,); eq : ( ) ( ) > dsolve(eq,()); ( ) _C > dfieldplot(eq,[()],-..,-..); > f:-^*; plot({seq(f,-5..5)},-..,-..); f : 5) Η Δ.Ε. ( )/ είναι ομογενής με βαθμό ομογένειας, διότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι ομογενή πολυώνυμα ως προς και βαθμού. Διαιρούμε α- ριθμητή και παρονομαστή με και έχουμε :

326 Θέτουμε : R/ R R R και η Δ.Ε. γράφεται : R R R ( ) R R dr R dr d )c (/) -c/ - c > restart; > with(detools): > with(plots): ( R ) Λύσεις Ασκήσεων 45 d l(r -)-llc (R - ( ) > f(,):(()^^)/(**()); f (, ) : ( ) > eq:diff((),)f(,); eq : ( ) ( ) ( ) > dsolve(eq,()); ( ) _C, ( ) _C > dfieldplot(eq,[()],-..,-..); > f:^-^*; implicitplot({seq(f,-5..5)},-..,-..,grid[5,5]); f :

327 46 Λύσεις Ασκήσεων 6) Η Δ.Ε. είναι ομογενής με βαθμό ομογένειας. Διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με και έχουμε : Θέτουμε : R/ R R R και η Δ.Ε. γράφεται : R R R R ( ) R R R R R R R R -R -/ dr-r - drd/ / Rl(R)c lc > restart; > with(detools): > with(plots): > f(,):()/(sqrt(()*)); f (, ) : ( ) ( ) R R R dr d > eq:diff((),)f(,); eq : ( ) ( ) ( ) > sol:dsolve(eq,()); sol : l ( ( ) ) _C ( ) > dfieldplot(eq,[()],-..,-..);

328 Λύσεις Ασκήσεων 47 > implicitplot({seq(sol,_c-7..7)},-..,-..,grid[8,8]); Εδώ παρατηρούμε ότι αν και το διαυθύνον πεδίο δίνει λύσεις και στην περιοχή του τρίτου τεταρτημορίου δηλ, για <, <, οι γραφικές παραστάσεις των λύσεων περιορίζονται για >. Για να έχουμε γραφικές παραστάσεις των λύσεων και για <, πρέπει να γράψουμε την γενική λύση παίρνοντας το απόλυτο του () μέσα στο λογάριθμο. Έτσι έχουμε: > f:l(abs(()))-*/(sqrt(()*))-_c; f : l ( ( ) ) _C ( ) > implicitplot({seq(f,_c-7..7)},-..,-..,grid[8,8]);

329 48 Λύσεις Ασκήσεων 7) Ο όρος ( ) / είναι ομογενής με βαθμό ομογένειας, ενώ οι υπόλοιποι όροι και είναι ομογενείς με βαθμό ομογένειας. Επομένως η Δ.Ε. δεν είναι ομογενής. 8) Η Δ.Ε. 4 4 είναι ομογενής με βαθμό ομογένειας 4, διότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι ομογενή πολυώνυμα ως προς και βαθμού 4. Διαιρούμε α- ριθμητή και παρονομαστή με 4 και έχουμε : 4 Θέτουμε : R/ R R R και η Δ.Ε. γράφεται : R R R R 4 R R R 4 R R R R R dr d 4 RdR ( ) R llc dr ( ) ( R ) llc R l(c ) με cc R l( c ) l( c ) l c > restart; > with(detools): > with(plots): > f(,):(^4*^*()^()^4)/(^*()); 4 ( ) ( ) 4 f (, ) : ( ) > eq:diff((),)f(,); eq : ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) > dsolve(eq,()); ( l( ) _C ) ( l( ) _C ) ( ), l( ) _C ( ) ( l ( ) _C ) ( l ( ) _C ) l( ) _C > dfieldplot(eq,[()],-..,-..);

330 Λύσεις Ασκήσεων 49 > f:^-^*(/(l(abs(*^)))); implicitplot({seq(f,..8)},-6..6,-..,grid[8,8]); f : l( ) (Εξετάστε εάν οι λύσεις που βρίκαμε προηγουμένως και οι λύσεις που δίνει το πρόγραμμα Maple συμπίπτουν ή όχι), Παράγραφος.Α Άσκηση Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. 4 Λύση : Με την αντικατάσταση X, Y η Δ.Ε γράφεται : dy X Y dx X 4Y 4 Παρατηρούμε ότι το σύστημα :, έχει λύση την :, -. Έτσι θα έχουμε X, Y- και η νέα έκφραση της εξίσωσης είναι :

331 5 Λύσεις Ασκήσεων Y dy X Y X dx X 4Y Y 4 X Εάν θέσουμε ω Y X, τότε YωX dy d ω X ω και η Δ.Ε. γράφεται : dx dx d ω X ω 4ω dx d ω ( ω ω ) dx dω dx 4 ω ω ω X ω ω X l(ω ω)-lxlc (ω ω)χ Y Y c X c X X Y XYX c () (-)()(-) c c > restart; > with(detools): > with(plots): > f(,):-(**())/(*4*()); ( ) f (, ): 4 ( ) > eq:diff((),)f(,); eq : ( ) ( ) 4 ( ) > sol:dsolve(eq,()); 4 ( )_C ( ) _C 8 4 sol : ( ) _C > dfieldplot(eq,[()],-6..6,-6..6); > sol:simplif(_c*sol); sol : _C ( ) 4 _C 4 _C _C _C _C 8 4 > implicitplot({seq(sol,_c-..)},-6..6,- 6..6,grid[8,8]);

332 Λύσεις Ασκήσεων 5 Παράγραφος. Ασκήσεις Να λυθούν οι Δ.Ε. ) - ) -cotsi ) e 4) si 5) Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών ()P()(), () όπου P() > Λύσεις : ) - Η Δ.Ε. είναι γραμμική πρώτης τάξης με P()/, και Q(). Εφαρμόζουμε τον τύπο : P( ) d P( ) d ( ) e Qe ( ) d c και έχουμε : d P()d l P()d l e e Επομένως : () d c c c > restart; > with(detools): > with(plots): με > p():-/; p( ) : > q():^; q( ) : > eq:diff((),)p()*()q(); eq : ( ) ( )

333 5 Λύσεις Ασκήσεων > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) _C > dfieldplot(eq,[()],-5..5,-5..5); plot({seq(rhs(sol),_c-..)},-5..5,-5..5); ) -cotsi Η Δ.Ε. είναι γραμμική πρώτης τάξης με P()-cot, και Q()si. Εφαρμόζουμε τον παραπάνω τύπο και έχουμε: cos Pd d dsi P( ) d ( ) l si si e si si Επομένως : () si si d c si { c} si csi si > restart; > with(detools): > with(plots): > p():-cot(); p( ) : cot( ) > q():**si(); q( ) : si( ) > eq:diff((),)p()*()q(); eq : ( ) cot( ) ( ) si( )

334 Λύσεις Ασκήσεων 5 > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) si( ) si( )_C > dfieldplot(eq,[()],-6..6,-..); > plot({seq(rhs(sol),_c-..)},-6..6,-..); ) e Η Δ.Ε. είναι γραμμική πρώτης τάξης με P(), και Q()e. Επομένως : ()e { - ee d c} e - {e c}e ce - > restart; > with(detools): > with(plots): > p():; p( ) : > q():*ep(); q( ) : e > eq:diff((),)p()*()q(); eq : ( ) ( ) e > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) e e ( ) _C

335 54 Λύσεις Ασκήσεων > dfieldplot(eq,[()],-..,-..); > plot({seq(rhs(sol),_c-6..6)},-..,-..); Από τις γραφικές παραστάσεις κάποιων μερικών λύσεων παρατηρούμε ότι οι λύσεις συγκλίνουν για. Αυτό πως δικαιολογείται από την έκφραση της γενικής λύσεως; 4) si Η Δ.Ε. είναι γραμμική πρώτης τάξης με P(), και Q()si. Επομένως : ()e { } - si e d c αλλά I sie d sid(e )sie - e cosdsie - cosd(e )sie -cose - e sid Ie (si-cos) I(½)e (si-cos) ()(½)(si-cos)ce - > restart; > with(detools): > with(plots): > p():; p( ) : > q():si(); q( ): si( )

336 Λύσεις Ασκήσεων 55 > eq:diff((),)p()*()q(); eq : ( ) ( ) si( ) > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) cos( ) si( ) e ( ) _C > dfieldplot(eq,[()],-4..8,-..); > plot({seq(rhs(sol),_c-6..6)},-4..8,-..); Και εδώ ισχύει η παρατήρηση της προηγουμένης άσκησης. Σε ποια συνάρτηση τείνει η γενική λύση για ; 5) Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών ()P()(), () όπου P() > Λύση: Για έχουμε P() και Q(). Επομένως: ()c e - Για > έχουμε P() και Q(). Επομένως: ()c e -- Άρα η γενική λύση θα είναι:

337 56 Λύσεις Ασκήσεων ce () ce < Η συνένωση των δυο λύσεων απαιτεί: lim () lim () lim c e lim c e { } { } > > c e - c e - c c e - Η αρχική συνθήκη θα επιβληθεί στην πρώτη λύση, διότι αυτή ισχύει για. Έχουμε: () c και επομένως το c e - Τελικά η λύση θα είναι: e () e > > restart; > with(detools): > with(plots): > p():piecewise((<,,>,)); p( ): { < < > q():; q( ) : > eq:diff((),)p()*()q(); eq : ( ) { < < ( ) > sol:dsolve({eq,()},()); sol : ( ) ( e ) e (-) < e > dfieldplot(eq,[()],..8,-..); > plot(rhs(sol),..,..);

338 Λύσεις Ασκήσεων 57 Προβλήματα Εφαρμογών ) Τοποθετούμε ένα σώμα που έχει θερμοκρασία 5 C σ ένα θάλαμο με σταθερή θερμοκρασία C. Εάν σε 5 λεπτά η θερμοκρασία του σώματος είναι 6 C, υπολογίστε α) σε πόσα λεπτά το σώμα έφτασε τους 75 C και β) τη θερμοκρασία του σώματος σε λεπτά. Λύση : Έστω Τ(t) η θερμοκρασία του σώματος την χρονική στιγμή t και Τ π η θερμοκρασία του περιβάλλοντος. Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε : dt kt ( T dt π ) όπου k η σταθερά αναλογίας Λύνουμε την παραπάνω διαφορική εξίσωση και έχουμε : dt T Tπ kdt l(t-t π )ktlc T-T π ce kt T(t)T π ce kt Για να προσδιορίσουμε τις σταθερές c και k εφαρμόζουμε τα δεδομένα του προβλήματος και έχουμε : Για t έχουμε Τ()5 T π c c(5-) -5 Για t5mi έχουμε Τ(5)6-5 e k5 5 e 5k 4 k(l4-l5)/5-.45 Τελικά έχουμε ότι η θερμοκρασία του σώματος τη χρονική στιγμή t είναι : T(t) -5 e -.45t α) Ζητάμε την χρονική στιγμή t για την οποία η θερμοκρασία είναι Τ75. Από τον προηγούμενο τύπο έχουμε : 75-5 e -.45t e -.45t ½ t5.4mi β) Ζητάμε τη θερμοκρασία Τ όταν tmi. Έχουμε :

339 58 Λύσεις Ασκήσεων T -5e C ) Ένα σώμα με άγνωστη θερμοκρασία τοποθετείται σ ένα χώρο με σταθερή θερμοκρασία C. Εάν μετά από λεπτά η θερμοκρασία του σώματος είναι C και μετά από λεπτά είναι 5 C, υπολογίστε την άγνωστη αρχική θερμοκρασία του σώματος. Λύση : Εργαζόμενοι όπως στην προηγούμενη εφαρμογή καταλήγουμε στην λύση : T(t)T π ce kt ce kt Για t έχουμε Τ() ce -k ce -k - (A) Για t έχουμε Τ(5 -ce -k ce -k -5 (B) Από το σύστημα των εξισώσεων (Α), (Β) βρίσκουμε : kl/.69 και c-e k - -6 Συνεπώς T(t) -6e -.69t Για t έχουμε T() -6 - ) Ένα κύκλωμα περιλαμβάνει μια πηγή με ΗΕΔ sit Volts, μια αντίσταση Ω και μια αυτεπαγωγή,5 Ηer. Υπολογίστε το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα τη χρονική στιγμή t, εάν αρχικά ήταν 6 Αmpere. Λύση : Η βασική εξίσωση που περιγράφει το ηλεκτρικό κύκλωμα που αποτελείται από μια αντίσταση R, μια αυτεπαγωγή L και μια ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε εν σειρά, είναι : L di RI E dt Για τα δεδομένα της εφαρμογής έχουμε : di/dti6sit Η διαφορική αυτή εξίσωση είναι γραμμική πρώτης τάξης με λύση : I(t)e -t [ e t 6sitdtc] I(t)ce -t (/)sit-(/)cost Για t είναι Ι6. Άρα 6c-(/) c69/ Συνεπώς την χρονική στιγμή t το ρεύμα είναι : I(69/)e -t (/)sit- (/)cost 4) Τη στιγμή t ανάβουμε ένα ηλεκτρικό θερμοσίφωνα, ισχύος Ρ4Kw και χωρητικότητας 8lit. Έχουμε όμως ξεχάσει ανοικτή τη βρύση του ζεστού νερού από την οποία χύνεται νερό με ρυθμό q,5lit/mi. Το νερό

340 Λύσεις Ασκήσεων 59 που χύνεται έτσι από τον θερμοσίφωνα αναπληρώνεται με κρύο νερό από το δίκτυο, θερμοκρασίας Τ C. Να βρεθεί η θερμοκρασία του νερού στον θερμοσίφωνα τη χρονική στιγμή t. (Ειδική θερμότητα νερού ckcal/kg, calαjoule με α.4, Kw kjoule/sec, πυκνότητα νερού ρkg/lit). Λύση : Έστω Τ η θερμοκρασία του νερού κατά την χρονική στιγμή t και TdT κατά την χρονική στιγμή tdt. Κατά την χρονική διάρκεια dt εξέρχεται μάζα νερού ρqdt θερμοκρασίας Τ και εισέρχεται μάζα ρqdt θερμοκρασίας Τ. Επομένως στο χρονικό διάστημα dt έχουμε : α) Μάζα θερμοκρασίας Τ ίση με m-qρdtvρ-qρdt και θερμότητας (V-qdt)cρT β) Εισροή μάζας θερμοκρασίας Τ ίση με qρdt και θερμότητας qρdtct γ) Προσθήκη ηλεκτρικής ενέργειας ίση με Pdt ή θερμότητας αpdt με α.4cal/joule Στο τέλος του χρονικού διαστήματος dt έχουμε μάζα m θερμοκρασίας TdT και θερμότητας Vρc(TdT). Άρα : [Αρχική θερμότητα][προσθήκη ηλεκτρικής ενέργειας][τελική θερμότητα] [(V-qdt)ρcTqρdtcT ][αpdt][vρc(tdt)] dt dt TT qρ cαp V c [(T -T)qρcαP]dtVρdT ( ) ( ) ( ) d T T qρ cαp dt qρc T T qρ cαp V c qt l ( T T) qρ c α P l k V (T -T)qρcαPkep(-qt/V) (A) Για t έχουμε Τ()Τ άρα αρk και η σχέση (Α) γράφεται : (T -T)qρcαP[-ep(-qt/V)] q αp t TT e V qρc t (mi) Παράγραφος.4 Ασκήσεις Να εξετάσετε αν οι παρακάτω Δ.Ε. είναι πλήρεις και αν είναι να βρείτε τη γενική λύση τους. ) ()d( )d ) e de d ) e de d 4) dd 5) (-)d()d 6) d d Λύσεις : ) ()d( )d Έχουμε P(,), Q(,) P(, ) και Q (, ) T

341 6 Λύσεις Ασκήσεων Άρα η Δ.Ε. είναι πλήρης. Επομένως υπάρχει συνάρτηση F(,)k, με kσταθερό, τέτοια ώστε : df(,) F d F d ()d( )d F () και F () Ολοκληρώνουμε την () ως προς θεωρώντας το σταθερό και έχουμε : F(,) ()d (½) c () () Αντικαθιστούμε την () στην () : F dc ( ) dc ( ) d d c (½) k με kσταθερό Τελικά F(,) (½) (½) k > restart; > with(detools): > with(plots): > f(,):-(**())/(^()); > ( ) f (, ): ( ) > eq:diff((),)f(,); eq : ( ) ( ) ( ) > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) 4 _C, ( ) 4 _C > dfieldplot(eq,[()],-6..6,-6..6); > p:plot({seq(rhs(sol[]),_c-5..5)},-6..6,-6..6): > p:plot({seq(rhs(sol[]),_c-5..5)},-6..6,-6..6): > displa({p,p});

342 Λύσεις Ασκήσεων 6 ) e de d Έχουμε P(,)e, Q(,)e P (, ) e και Q (, ) e δηλ. P (, ) Q (, ) και επομένως η Δ.Ε. δεν είναι πλήρης. Όμως μετά την απλοποίηση του όρου e η Δ. Ε. γράφεται dd, η οποία προφανώς είναι χωριζομένων μεταβλητών με λύση την c, της οποίας οι ολοκληρωτικές καμπύλες είναι ομόκεντροι κύκλοι. ) e de d Έχουμε P(,)e, Q(,)e P (, ) e e και Q (, ) e e Άρα η Δ.Ε. είναι πλήρης. Επομένως υπάρχει συνάρτηση F(,)k, με kσταθερό, τέτοια ώστε : df(,) F d F d e de d F e () και F e () Ολοκληρώνουμε την () ως προς θεωρώντας το σταθερό και έχουμε : F(,) e d e d()e c () () Αντικαθιστούμε την () στην () : F e dc ( ) e dc ( ) c k με kσταθερό d d Τελικά F(,)e k e -k c. Εάν απαλείφαμε από την αρχή το εκθετικό e η Δ. Ε. θα έπαιρνε την μορφή dd d/-d/ l-llc c > restart; > with(detools): > with(plots): > f(,):-()*ep(*())/(*ep(*())); f (, ): ( ) > eq:diff((),)f(,); eq : ( ) ( )

343 6 Λύσεις Ασκήσεων _C > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) > dfieldplot(eq,[()],-6..6,-6..6); > plot({seq(rhs(sol),_c-5..5)},-6..6,-6..6,colorred); 4) dd Έχουμε P(,), Q(,) P (, ) Q (, ) και Άρα η Δ.Ε. είναι πλήρης. Επομένως υπάρχει συνάρτηση F(,)k, με kσταθερό, τέτοια ώστε : df(,) F d F d dd F () και F () Ολοκληρώνουμε την () ως προς θεωρώντας το σταθερό και έχουμε : F(,) dc () () Αντικαθιστούμε την () στην () : F dc ( ) dc ( ) c k με kσταθερό d d Τελικά F(,)k Όπως θα παρατηρήσατε η διαφορική αυτή εξίσωση είναι ακριβώς η ίδια με την διαφορική εξίσωση της προηγουμένης άσκησης. 5) (-)d()d

344 Λύσεις Ασκήσεων 6 Έχουμε P(,)-, Q(,) P (, ) Q (, ) - και δηλ. P (, ) Q (, ) και επομένως η Δ.Ε. δεν είναι πλήρης, (είναι όμως ομογενής). d 6) d Έχουμε P(,) Q(,) (, ) ( ) ( ) ( ) P και Q (, ) - ( ) ( ) ( ) Άρα η Δ.Ε. είναι πλήρης. Επομένως υπάρχει συνάρτηση F(,)k, με kσταθερό, τέτοια ώστε : df(,) F d F d d d F () και F - () Ολοκληρώνουμε την () ως προς θεωρώντας το σταθερό και έχουμε : d d F(,) arcta(/)c () () Αντικαθιστούμε την () στην () : F dc ( ) d dc ( ) d d c - k με kσταθερό δηλ. c /k Τελικά F(,)arcta(/)/k > restart; > with(detools): > with(plots): > f(,):()/(^()^)/(/()^/(^()^)); f (, ) : > eq:diff((),)f(,); ( ( ) ) ( ) ( ) ( )

345 64 Λύσεις Ασκήσεων eq : ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) > sol:dsolve(eq,()); sol : arcta _C ( ) ( ) > dfieldplot(eq,[()],-6..6,-6..6); > implicitplot({seq(sol,_c-5..5)},-4..4,- 4..4,colorred,grid[5,5]); Παράγραφος.5 Ασκήσεις ) Να βρεθούν οι ορθογώνιες τροχιές των παρακάτω οικογενειών καμπύλων. α) - c β) ce γ) - c ) Να βρεθεί η σχέση που συνδέει τις ορθογώνιες τροχιές μιας οικογένειας καμπυλών Φ(,,c) με την βάθμωση Φ(,,c). Λύσεις : α) Έχουμε : Φ(,,c) - -c () και Φ - () Από τις σχέσεις () και () θα απαλείψουμε το c. Όμως η () δεν περιέχει το c και επομένως η () είναι η Δ. Ε. /f(,) που ζητάμε. Θεωρούμε τώρα την Δ.Ε. -/f(,)-/ d/-d/ lllc k

346 Λύσεις Ασκήσεων 65 > restart; > with(detools): > with(plots): > F:^-()^c^; F : ( ) c > deq:diff(f,); deq : ( ) ( ) > f:solve(deq,diff((),)); f : ( ) > eq:diff((),)-/f; eq : ( ) ( ) _C > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) > p:plot({seq(rhs(sol),_c-5..5)},-6..6,-6..6): > p:implicitplot({seq(f,c-5..5)},-6..6,-6..6): > displa({p,p}); β) ce Έχουμε : Φ(,,c)-ce () και Φ -ce () Από τις σχέσεις () και () απαλείφοντας το c προκύπτει η Δ. Ε. f(,). Θεωρούμε τώρα την Δ.Ε. -/f(,)-/ d-d ½ -k k > restart; > with(detools): > with(plots): > F:()-c*ep(); : F ( ) ce > deq:diff(f,); deq : ( ) ce > k:solve(f,c): > deq:subs(ck,deq); deq : ( ) ( )

347 66 Λύσεις Ασκήσεων > f:solve(deq,diff((),)); f : ( ) > eq:diff((),)-/f; eq : ( ) ( ) > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) _C, ( ) _C > p:plot({seq(rhs(sol[]),_c-5..5)},-6..6,-6..6): > p:plot({seq(rhs(sol[]),_c-5..5)},-6..6,-6..6): > p:implicitplot({seq(f,c-5..5)},-6..6,-6..6): > displa({p,p,p}); γ) - c Έχουμε : Φ(,,c) - -c () και Φ - -c () Από τις σχέσεις () και () απαλείφοντας το c προκύπτει η Δ. Ε. - - f(,) Θεωρούμε τώρα την Δ.Ε. -/f(,) η οποία είναι ομογενής. Θέτουμε R/ R RR - RR R R- R R R R R R R R dr d Αναλύουμε το κλάσμα του πρώτου μέλους σε απλά κλάσματα και έχουμε : R RR dr d ( /lr/l(r )-llk lrl(r )-l lk R(R ) k

348 Λύσεις Ασκήσεων 67 k k k ) Όπως είναι γνωστό για να βρούμε τις ορθογώνιες τροχιές της οικογένειας των καμπυλών Φ(,,c), α) Βρίσκουμε τη Δ.Ε. που περιγράφει τις καμπύλες της οικογένειας Φ(,,c). Φ (,,c) d d d f(,) () Φ (,,c) Φ (,,c) Φ(,,c) d d d Επίσης από την παραπάνω σχέση βρίσκουμε : Φ d d Φ β) Λύνουμε την Δ.Ε. : Φ d d f(, ) () Φ της οποίας η λύση είναι οι ζητούμενες ορθογώνιες καμπύλες. Από την άλλη πλευρά, η βάθμωση της "βαθμωτού πεδίου" Φ(,,c) δίνει το διάνυσμα: Φ Φ Φ(,,c) i j το οποίο είναι κάθετο στις καμπύλες της οικογένειας Φ(,,c). Εάν r(t)(t)i(t)j είναι η διανυσματική παραμετρική εξίσωση μιας ορθογώνιας τροχιάς, τότε τα διανύσματα Φ και dr/dt είναι παράλληλα. Επομένως : Φ d Φ d Φλdr/dt λ () λ (4) dt dt Φ d Διαιρώντας την (4) με την () προκύπτει : (5) d Φ Οι σχέσεις () και (5) είναι ίδιες. Παράγραφος.6 Να βρεθούν οι ορθογώνιες τροχιές για τις παρακάτω οικογένειες καμπυλών : ) rc(-cosθ) c ) r ecosθ ) re cθ Λύσεις :

349 68 Λύσεις Ασκήσεων ) Έχουμε : Φ(r,θ,c)r-c(-cosθ) () και Φ dr/dθ-csiθ () θ Από τις σχέσεις () και () απαλείφοντας το c προκύπτει η Δ. Ε. r- dr cos θ r d θ cos θ f(r,θ) dθ siθ dr si θ Θεωρούμε τώρα την Δ.Ε. r d θ si θ cosθ dr dθ dr f (r, θ) cosθ si θ r dsiθ dθ dr si θ si θ si θ lsiθ-lr-l(ta(θ/))k k r rta( θ/) ( θ ) cos / cos ( θ/ ) k r r k Παρατηρούμε ότι η τελευταία έκφραση μπορεί να γραφεί: cos ( θ/ ) r cos θ c ( cos θ ) k k που είναι της ίδιας μορφής με την πρώτη οικογένεια. Άρα η δοθείσα οικογένεια είναι αυτοορθογώνια. c ) r ecosθ c Έχουμε : Φ(r,θ,c)r- () και ecosθ Φ θ dr esi θ c () dθ ( ecosθ) Από τις σχέσεις () και () απαλείφοντας το c προκύπτει η Δ. Ε. dr esiθ dθ ecosθ dθ ecosθ- r r f(r,θ) dθ ecosθ dr resi θ dr esi θ Θεωρούμε τώρα την Δ.Ε. r d θ - esi θ ecosθ dr d θ dr f (r, θ) - ecosθ esiθ r θ dθ dsiθ d r θ ta l ta lsi θ l r k e siθ siθ rk r e si θ c Όπως είναι γνωστό από την Αναλυτική Γεωμετρία, η εξίσωση r ecosθ παριστάνει κωνική τομή. Το είδος της κωνικής τομής εξαρτάται από την τιμή της παραμέτρου e, που ονομάζεται εκκεντρότητα. Για <e< έχουμε έλλειψη. Στη συνέχεια επιλέγουμε e.5 και τις τιμές, -, -,,, για την παράμετρο c. Οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις δίνονται από το παρακάτω πρόγραμμα. > restart; /e

350 Λύσεις Ασκήσεων 69 > with(plots): > e:.5: > r:/(-e*cos(t)): > t:: > t:*pi: > p:plot(-*r,tt..t,coordspolar): > p:plot(-*r,tt..t,coordspolar): > p:plot(*r,tt..t,coordspolar): > p4:plot(*r,tt..t,coordspolar): > p5:plot(*r,tt..t,coordspolar): > p6:plot(-*r,tt..t,coordspolar): > displa({p,p,p,p4,p5,p6}); Παρακάτω, πάντα με το πρόγραμμα Maple γίνονται οι παραστάσεις της οικογένειας των /e θ ta καμπυλών με εξίσωση rk θέτοντας e και k-, -, -,,, si θ > restart; > with(plots): > e:: > t:: > t:.8: > p:plot(-*ta(t/)^(/e)/si(t),tt..t,coordspolar): > p:plot(-*ta(t/)^(/e)/si(t),tt..t,coordspolar): > p:plot(-*ta(t/)^(/e)/si(t),tt..t,coordspolar): > p4:plot(*ta(t/)^(/e)/si(t),tt..t,coordspolar): > p5:plot(*ta(t/)^(/e)/si(t),tt..t,coordspolar): > p6:plot(*ta(t/)^(/e)/si(t),tt..t,coordspolar): > displa({p,p,p,p4,p5,p6});

351 7 Λύσεις Ασκήσεων ) re cθ Έχουμε : Φ(r,θ,c)r-e cθ () και Φ θ dr/dθ-cecθ () Από τις σχέσεις () και () απαλείφουμε το c αφού πρώτα πάρουμε τον λογάριθμο της σχέσης () : () lrcθ clr/θ (). Αντικαθιστούμε την () στην () και βρίσκουμε dr l r l r dr l r d e r r θ θ f(r,θ) dθ θ dθ θ dr lr Θεωρούμε τώρα την Δ.Ε. r d θ l r θdθ dr f (r, θ) θ l r dr r /θ -½(lr) k (lr) k -θ Η γραφική παράσταση της αρχικής οικογένειας Φ(,,c)r-e cθ δίνεται με το παρακάτω πρόγραμμα: > restart; > with(plots): > r:ep(c*t): > t:: > t:*pi: > p:plot(ep(-.*t),tt..t,coordspolar): > p:plot(ep(-*t),tt..t,coordspolar,colorblue): > p:plot(ep(-*t),tt..t,coordspolar,colorgree): > p4:plot(ep(-.5*t),tt..t,coordspolar,colorblack): > p5:plot(ep(-.7*t),tt..t,coordspolar): > p6:plot(ep(-.8*t),tt..t,coordspolar): >displa({p,p,p,p4,p5,p6});

352 Λύσεις Ασκήσεων 7 Με το πρόγραμμα που ακολουθεί δίνεται η γραφική παράσταση της ζητούμενης ορθογώνιας οικογένειας. > restart; > with(plots): > p:plot(ep(sqrt(-t^)),t...,coordspolar,colorblue): > p:plot(ep(sqrt(4-t^)),t...,coordspolar, colorgree): > p:plot(ep(sqrt(.5^-t^)),t...5,coordspolar): > p4:plot(ep(sqrt(.5^-t^)),t...5,coordspolar, colorblack): > p5:plot(ep(sqrt(9-t^)),t...,coordspolar): > p6:plot(ep(sqrt(.5^-t^)),t...5,coordspolar, colorbrow): > displa({p,p,p,p4,p5,p6}); Παράγραφος.7 Άσκηση : Να βρεθεί η οικογένεια των πλάγιων τροχιών, που τέμνει την οικογένεια των κύκλων R υπό γωνία π/4. Λύση : Παραγωγίζουμε ως προς την εξίσωση της οικογένειας των κύκλων R και έχουμε : -/f(,) Η διαφορική εξίσωση των πλάγιων τροχιών, που ζητάμε είναι :

353 7 Λύσεις Ασκήσεων d f (,) ta θ d f (,) ta θ η οποία είναι ομογενής. Θέτουμε : R/ R R R και η Δ.Ε. γράφεται : R R R R R R R R d dr R dr ( ) dr d R R l(r )arcta(r)-l c l( )arcta(/)c > restart; > with(plots): > p:implicitplot({seq(^^-^,..5)},-5..5,- 5..5,grid[,]): > p:implicitplot({seq(l(r^)*t,..5)},r- 5..5,t..6,coordspolar,colorblue): > displa({p,p}); Παράγραφος.9 Ασκήσεις Να λυθούν οι Δ.Ε. : ) ) - 4 / Λύσεις : ) - με P()-, Q() α Θέτουμε u /(-α) /u -(/u )u Άρα u u -u -u u -u- γραμμικά με A()-, B()- u u

354 Λύσεις Ασκήσεων 7 A( ) d A( ) d / / Τελικά u e e B( ) d c e e d c ( ) / / / e e d ( ) c [ ] c ce e / e / / u ce / > restart; > with(detools): > with(plots): > f(,):-*()*()^; f (, ) : ( ) ( ) > eq:diff((),)f(,); eq : ( ) ( ) ( ) > dsolve(eq,()); ( ) e ( / ) _C > dfieldplot(eq,[()],-..,-..); > f:/(ep(^/)*); plot({seq(f,-5..5)},-4..4,-4...5,colorblack); f : e ( / )

355 74 Λύσεις Ασκήσεων ) - 4 / 4 / P()/, Q() 4 Θέτουμε u α u / u u / u α/ / 4 Άρα u u u / u / u u 4 u u 4 u u 4 Γραμμική με A()-/, B()(/) 4 Ad ( ) Ad ( ) l l Τελικά u e e B( ) d c e e d c d c 4 4 / 5 5 c c 9 9 > restart; > with(detools): > with(plots): > f(,):*()/^4*()^(/); f (, ( ) ) : 4 ( ) ( / ) d > eq:diff((),)f(,); eq : d ( ) ( ) 4 ( ) ( / ) > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) ( / ) _C 9 > dfieldplot(eq,[()],-..,-..); 5 > f:(c*^(/9)*^5)^(/); > plot({seq(f,c-5..5)},-5..5,-5..5,colorblack); f : c 9 5 ( / )

356 Λύσεις Ασκήσεων 75

357 Λύσεις Ασκήσεων 75 Παράγραφος. Ασκηση: Να λυθεί η Δ.Ε. ) - Λύσεις: Μία μερική λύση είναι της μορφής k/ -k/. Άρα -k/ (k/) -/ -kk - k k- k -, k. Επιλέγουμε την απλούστερη ρίζα k και η μερική λύση είναι / και έχουμε: /u /u/ (-/u )u -/ Άρα (-/u )u -/ /u / /(u)-/ -u (/)u u (/)u- Η τελευταία εξίσωση είναι γραμμική της μορφής A()B() με A()/ και B() - και η λύση ως προς u θα είναι: d d u ( ) { } e e d c d c c u-/c/ /u c c > restart; > with(detools): > with(plots): > eq:diff((),)()^-/^; eq : ( ) ( ) > dsolve(eq,()); ( ) _C ( _C ) > dfieldplot(eq,[()],-..,-..); > f:(-*^-)//(-^); f : ( ) plot({seq(f,-..)},-4..4,-4..,colorblack);

358 76 Λύσεις Ασκήσεων ) Προσπαθήστε να λύσετε την εξίσωση του Ricatti α() β()γ() χρησιμοποιώντας τον μη γραμμικό μετασχηματισμό u λ λ R Λύση: Έχουμε λu λ- u. Επομένως η Δ.Ε. γράφεται: λu λ- u αu λ βu λ γ u (α/λ)u λ (β/λ)u(γ/λ)u -λ α) για λ έχουμε u αu βuγ που είναι η αρχική εξίσωση Ricatti β) για λ- έχουμε u -α-βu-γu που είναι της μορφής Ricatti Παράγραφος 4.4 Ασκήσεις Να βρείτε ένα ολοκληρωτικό παράγοντα και με τη βοήθεια αυτού, τη γενική λύση των Δ.Ε.: ) ( - )dd ) ( / )d4 d ) ( )d-d 4) ( )dd 5) d ( )d 6) d( 4 )d 7) ( -)d( 4 -)d Λύσεις: P Q ) ( - )dd. Έχουμε: P -, Q. Επομένως f() και ένας Q f( ) d ολοκληρωτικός παράγοντας θα έχει την μορφή: μ() e e Η Δ.Ε. γράφεται τότε: e ( - )d e d και είναι πλήρης, δηλ. υπάρχει συνάρτηση F(,)c τέτοια ώστε df(,) F d F d e ( - )d e d F e ( - ) () F () e

359 Λύσεις Ασκήσεων 77 () F(,) e ( )d c() e d( ) e d( ) c() e e c ( )c () F(,) e c () () ( ) () e F e dc ( ) c ()σταθ. (4) d ( 4) () F(,) e c k e c με ck-c Τελικά ce > restart; > with(detools): > with(plots): > f(,):-*^*()^; f (, ) : ( ) > eq:diff((),)f(,); eq : ( ) ( ) > dsolve(eq,()); ( ) e ( ) _C > dfieldplot(eq,[()],-..,-..); > f:/*ep(-^); plot({seq(f,-..)},-..4,-5..5,colorblack); f : e ( )

360 78 Λύσεις Ασκήσεων ) ( / )d4 d. Εδώ είναι ίσως προτιμότερο να πολλαπλασιάσουμε πρώτα την Δ.Ε. με για να απαλλαγούμε από τον παρονομαστή. Έχουμε: ( 4 )d4 d. με P(,) 4 και Q(,)4 P(,)/ 8, Q(,)/ 8 P(,) Q(,) δηλ. η Δ.Ε. που προέκυψε πολλαπλασιάζοντας την με μ είναι πλήρης. Για την επίλυση της εργαζόμαστε κατά τα γνωστά: df( F/ )d( F/ )d( 4 )d4 d) F/ 4 () F/ 4 () () F 4 / c () () ( ) () F/ 4 dc ()/d4 dc ()/d c σταθ. Τελικά F(,) 4 / -c 4 c με c-c > restart; > with(detools): > with(plots): > f(,):-(**()^/()^)/(4*^*()); ( ) ( ) f (, ) : 4 ( ) > eq:diff((),)f(,); eq : ( ) ( ) ( ) 4 ( ) > sol:dsolve(eq,()); sol ( ) ( 4 / ) ( ( _C ) ) ( 4 / ) ( 4 / ) ( ) ( ( _C ) ) ( 4 / ) :,, I 4 / ) ( ( ( _C ) ) ( 4 / ) - I 4 / ) ( ( ( _C ) ) ( 4 / ) ( ), ( )

361 > A:(rhs(sol[]))^4; A : _C > f:()^4-a; f : ( ) ( _C ) > dfieldplot(eq,[()],-..,-..); Λύσεις Ασκήσεων 79 > implicitplot({seq(f,_c-..)},-4..4,- 5..5,colorblack,grid[8,8]); ) ( )d-d Η Δ.Ε. μπορεί να γραφεί: (d-d)( )d (). Επειδή ένας ολοκληρωτικός παράγοντας της Δ.Ε. d-d είναι μ-/( ) και στην Δ.Ε. () υπάρχει ο όρος, πολλαπλασιάζουμε την () με μ-/( ) και έχουμε:

362 8 Λύσεις Ασκήσεων d d d darcta d arcta c ta(c) > restart; > with(detools): > with(plots): ( ) ( ) > f(,):(^()()^)/; f (, ) : > eq:diff((),)f(,); eq : ( ) ( ) ( ) > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) ta ( _C ) > dfieldplot(eq,[()],-..,-..); > f:rhs(sol); f : ta ( _C ) plot({seq(f,_c-..)},-..4,-8..8,colorblack); 4) ( )dd Η Δ.Ε. μπορεί να γραφεί: (dd) d (). Επειδή ένας ολοκληρωτικός παράγοντας της Δ.Ε. dd είναι μ() - και στην Δ.Ε. () υπάρχει ο όρος, διαλέγουμε, πολλαπλασιάζουμε την () με μ() - και έχουμε: d d d d d c -c ( ) ( ) ( )

363 Λύσεις Ασκήσεων 8 (-c) > restart; > with(detools): > with(plots): ( ) ( ) > f(,):-(()^*()^)/; f (, ) : > eq:diff((),)f(,); eq : ( ) ( ) ( ) > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ), ( ) _C _C > dfieldplot(eq,[()],-..,-..); > A:(rhs(sol[]))^; A : ( _C ) > f:()^4-a; f : ( ) 4 ( _C ) > implicitplot({seq(f,_c-5..5)},-4..4,- 4..4,colorblack,grid[8,8]);

364 8 Λύσεις Ασκήσεων 5) d ( )d. Έχουμε: P, Q. Επομένως : P Q P Q ()-( )- -P -g() και ένας ολοκληρωτικός P ( ) παράγοντας θα έχει την μορφή: μ()e Η Δ.Ε. γράφεται τότε: e de ( )d και είναι πλήρης, δηλ. υπάρχει συνάρτηση F(,)c τέτοια ώστε df(,) F d F de d e ( )d F e F () e ( ) () gd e () F(,) e d e c () () ( ) F () e e dc ()/d e ( ) dc ()/d c σταθ. (4) ( ) () F(,) 4 e c k e c (5) με c (k-c )

365 Η λύση (5) μπορεί να γραφεί: l lc l c- με clc. > restart; > with(detools): > with(plots): ( ) > f(,):-()/(*()); f (, ) : ( ) > eq:diff((),)f(,); eq : ( ) ( ) ( ) > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) LambertW _C > dfieldplot(eq,[()],-..,-..); Λύσεις Ασκήσεων 8 > f:l(abs(*))c-; f : l( ) c > implicitplot({seq(f,c-8..4)},-4..4,- 4..4,grid[8,8]);

366 84 Λύσεις Ασκήσεων 6) d( 4 )d. Έχουμε: P, Q 4. Επομένως : P Q P Q (6 )-(6 4 )- 4 - g() P gd ( ) και ένας ολοκληρωτικός παράγοντας θα έχει την μορφή: μ()e e Η Δ.Ε. γράφεται τότε: e de ( 4 )d και είναι πλήρης, δηλ. υπάρχει συνάρτηση F(,)c τέτοια ώστε: df(,) F d F d e de ( 4 )d F e () () F e ( 4 ) () F(,) e d e c () () ( ) () F e dc ()/d c σταθ. (4) ( 4) () F(,) > restart; > with(detools): > with(plots): e dc ()/de ( 4 ) e c k e c με ck-c > f(,):-*()/(*(()^)); f (, ) : ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) > eq:diff((),)f(,); eq : ( ) ( ) > sol:dsolve(eq,()); / LambertW / e( 9_C / ) ( 9 / ) / l( ) _C / sol : ( ) e > dfieldplot(eq,[()],-..,-..);

367 Λύσεις Ασκήσεων 85 > f:rhs(sol); / LambertW / e( 9_C / ) ( 9 / ) / l( ) _C / f : e > plot({seq(f,_c-5..5)},-4..4,-4..4,colorblack); Στην άσκηση αυτή παρατηρούμε μια αδυναμία του Maple να βρει πλήρως την λύση της διαφορικής εξίσωσης, η οποία μπορεί να λυθεί πολύ πιο εύκολα και γρήγορα θεωρώντας την σαν διαφορική εξίσωση χωριζομένων μεταβλητών. Η γραφική παράσταση της γενικής λύσεως e c γίνεται με τις παρακάτω εντολές. > f:ep(^/)*^*^; f : e ( / ) > p:implicitplot({(seq(f,..))},-4..4,- 4..4,grid[8,8]):

368 86 Λύσεις Ασκήσεων > p:implicitplot({(seq(f,-..-))},-4..4,- 4..4,grid[8,8]): > displa({p,p}); > f:^/l(abs(^*^))c; f : l( ) c > implicitplot({seq(f,c-..)},-4..4,- 4..4,colorblack,grid[5,5]); 7) ( -)d( 4 -)d Ο ολοκληρωτικός παράγοντας δεν είναι αμέσως φανερός. Εάν όμως η Δ.Ε. γραφεί στη μορφή: ( d 4 d)-(dd) βρίσκουμε με δοκιμή ότι ένας ολοκληρωτικός παράγοντας της δεύτερης παρένθεσης είναι ο μ() -, ο οποίος είναι και ολοκληρωτικός παράγοντας και της πρώτης παρένθεσης. Πολλαπλασιάζοντας την Δ.Ε. με () - προκύπτει: d d

369 και είναι πλήρης, δηλ. υπάρχει συνάρτηση F(,)c τέτοια ώστε: df(,) F d F d d d F () F d () () F(,) d //()c () () ( ) Λύσεις Ασκήσεων 87 () F -/( )dc ()/d -/( ) dc ()/d c /c (4) ( 4) () F(,) // /c 6 4 c > restart; > with(detools): > with(plots): > f(,):-(^*()^-())/(^*()^4-); ( ) ( ) f (, ) : ( ) 4 > eq:diff((),)f(,); eq : ( ) ( ) ( ) ( ) 4 > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) ( ) _C > dfieldplot(eq,[()],-..,-..);

370 88 Λύσεις Ασκήσεων > implicitplot({seq(sol,_c-5..5)},-4..4,- 4..4,colorblack,grid[8,8]); Παράγραφος 5. Άσκηση: Επιβεβαιώστε, υπολογίζοντας την ορίζουσα του Wroski, ότι για τις παρακάτω Δ.Ε. οι συναρτήσεις, που δίνονται, είναι οι γενικές λύσεις ) c cosc si και k e i k e -i ) - c coshc sih και k e k e - Λύσεις: ) α) Εύκολα εξακριβώνεται ότι οι συναρτήσεις cos και si ικανοποιούν την Δ.Ε. Για να είναι δε ο γραμμικός συνδυασμός τους γενική λύση της Δ.Ε. πρέπει η ορίζουσα του Wroski να μην μηδενίζεται πουθενά. Πράγματι: cos si W R si cos β) Επίσης εύκολα εξακριβώνεται ότι οι συναρτήσεις e i και si e -i ικανοποιούν την Δ.Ε. Για να είναι δε ο γραμμικός συνδυασμός τους γενικής λύση της Δ.Ε. πρέπει η ορίζουσα του Wroski να μην μηδενίζεται πουθενά. Πράγματι: i i W e e i ie ie i -i R ) α) Οι συναρτήσεις cosh και sih ικανοποιούν την Δ.Ε. Για να είναι δε ο γραμμικός συνδυασμός τους γενικής λύση της Δ.Ε. πρέπει η ορίζουσα του Wroski να μην μηδενίζεται πουθενά. Πράγματι: cosh sih W sih cosh cosh -sih R

371 Λύσεις Ασκήσεων 89 β) Επίσης εύκολα εξακριβώνεται ότι οι συναρτήσεις e και si e - ικανοποιούν την Δ.Ε. Για να είναι δε ο γραμμικός συνδυασμός τους γενικής λύση της Δ.Ε. πρέπει η ορίζουσα του Wroski να μην μηδενίζεται πουθενά. Πράγματι: W e e e e - R Παράγραφος 5.5 Ασκήσεις: Να εξετασθεί αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες ή εξαρτημένες στο διάστημα (-, ). ) {e, e - ë ë } ) { e, e } λ λ ) {,, -} 4) {, -} 5) {,, --} Λύσεις: ) Από τη σχέση: c e c e - c -c e 4 Εάν η c είναι διάφορη του μηδενός, τότε το αριστερό μέλος της τελευταίας σχέσης είναι σταθερό, ενώ το δεξιό μεταβάλλεται όταν το μεταβάλλεται και άρα η τελευταία σχέση δεν μπορεί να ισχύει στην περίπτωση αυτή. Εάν η c είναι μηδέν, τότε και η c είναι μηδέν και επομένως η σχέση c e c e - ισχύει μόνο για c c. Άρα οι συναρτήσεις {e, e - } είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Παίρνοντας μια τιμή έστω c έχουμε c - και c. Άρα οι συναρτήσεις {,, -} είναι γραμμικά εξαρτημένες στο διάστημα (-, ). ) Από τη σχέση: c e λ c e λ c -c ( ) e λλ λ λ Εάν η c είναι διάφορη του μηδενός, τότε το αριστερό μέλος της τελευταίας σχέσης είναι σταθερό, ενώ το δεξιό μεταβάλλεται όταν το μεταβάλλεται και άρα η τελευταία σχέση δεν μπορεί να ισχύει στην περίπτωση αυτή. Εάν η c είναι μηδέν, τότε και η c είναι μηδέν και επομένως η c e c e - ισχύει μόνο λ λ e, e είναι γραμμικά ανεξάρτητες. για c c. Άρα οι συναρτήσεις { } ) Από τη σχέση: c c c (-) (c c )(c -c ) c c και c -c Παίρνοντας μια τιμή έστω c έχουμε c - και c. Άρα οι συναρτήσεις {,, -} είναι γραμμικά εξαρτημένες στο διάστημα (-, ). 4) Από τη σχέση: c ()c (-) (c c )(c -c ) c c και c -c c, c Άρα οι συναρτήσεις {, -} είναι γραμμικά ανεξάρτητες στο διάστημα (-, ). 5) {,, --} Από τη σχέση: c ()c ( )c ( --) (c c ) (c c -c )(c -c ) (c c ), (c c -c ), (c -c ) c c c

372 9 Λύσεις Ασκήσεων Άρα οι συναρτήσεις {,, --} είναι γραμμικά ανεξάρτητες στο διάστημα (-, ). Παράγραφος 5.8 Ασκήσεις: Να βρεθούν οι γενικές λύσεις των παρακάτω Δ.Ε. ) - 4 ) 4 4 ) 4) -4 Λύσεις ) - 4 Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι μ -μ4 με χαρακτηριστικές ρίζες: μ i 7, μ i 7 Επομένως η γενική λύση είναι: 7 7 e ccos csi > restart; > with(detools): > with(plots): > eq:diff((),$)-*diff((),)4*(); eq : ( ) ( ) 4 ( ) > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) _C e ( / ) si 7 _C / ) e( cos 7 Γραφική παράσταση της παραπάνω λύσεως χρησιμοποιώντας αρχικές συνθήκες > p:deplot({diff((),$)*diff((),)4*()},(),-..,[[(),d()()]],-4..4): > p:deplot({diff((),$)*diff((),)4*()},(),-..,[[(),d()()]],-4..4): > p:deplot({diff((),$)*diff((),)4*()},(),-..,[[()-,d()()]],-4..4): > p4:deplot({diff((),$)*diff((),)4*()},(),-..,[[()-,d()()]],-4..4): > displa({p,p,p,p4});

373 Λύσεις Ασκήσεων 9 Στη συνέχεια υποθέτοντας ότι το πρόγραμμα δεν έχει την εντολή dsolve και γνωρίζοντας ότι η διαφορική εξίσωση επιδέχεται εκθετική λύση, θα προσπαθήσουμε να βρούμε αυτές τις λύσεις. > s:subs(()ep(m*),eq); s : m) 4 e ( > s:value(s); s : m e ( m e ( 4 e ( > s:factor(s); s : e ( ) ( m m 4) > s4:solve(s,m); s4 :, I 7 I 7 > c:ep(s4[]*); c : e (( > c:ep(s4[]*); c : e (( > :(cc)/; : e( e( > :(c-c)/(*i); - : I ( 7 ) e (( 7 ) ) > :evalc(); : e ( ) cos > :evalc(); : e ( ) si > ge:c*c*; ge : c e ( ) cos 7 c ) e( ) 4 4 Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι μ 4μ4 με χαρακτηριστικές ρίζες: μ μ - Επομένως η γενική λύση είναι: [c c ]e - > restart; > with(detools): > with(plots): > eq:diff((),$)4*diff((),)4*(); eq : ( ) 4 ( ) 4 ( ) > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) _C e ( ) _C e ( ) Γραφική παράσταση >p:deplot({diff((),$)4*diff((),)4*()},(), -..,[[(),D()()]],-4..4): >p:deplot({diff((),$)4*diff((),)4*()},(), -..,[[(),D()()]],-4..4): >p:deplot({diff((),$)4*diff((),)4*()},(), -..,[[()-,D()()]],-4..4):

374 9 Λύσεις Ασκήσεων >p4:deplot({diff((),$)4*diff((),)4*()},(), -..,[[()-,D()()]],-4..4): > displa({p,p,p,p4}); Όπως και στην προηγούμενη άσκηση θα προσπαθήσουμε να βρούμε την γενική λύση ε- φαρμόζοντας τα βήματα της αντίστοιχης θεωρίας. > s:subs(()ep(m*),eq); s : m) e( 4 e ( m) 4 e ( m) > s:value(s); s : m e ( m ) 4 m e ( m ) 4 e ( m ) > s:factor(s); s : e ( m ) ( m ) > s4:solve(s,m); s4 : -, - > :ep(s4[]*); : e ( ) > :*ep(s4[]*); : e ( ) > ge:c*c*; ge : c e ( ) c e ( ) ) Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι μ με χαρακτηριστικές ρίζες: μ μ Επομένως η γενική λύση είναι: c c > restart; > with(detools): > with(plots): > eq:diff((),$); eq : ( ) > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) _C _C Γραφική παράσταση με αρχικές συνθέκες. > p:deplot({diff((),$)},(),-..,[[()-,d()()]],-4..4):

375 Λύσεις Ασκήσεων 9 > p:deplot({diff((),$)},(),-..,[[()-,d()()]],-4..4): > p:deplot({diff((),$)},(),-..,[[(),d()()]],-4..4): > p4:deplot({diff((),$)},(),-..,[[(),d()()]],-4..4): > displa({p,p,p,p4}); Στη συνέχεια βρίσκουμε την γενική λύση όπως και πριν. m) e( > s:subs(()ep(m*),eq); s : > s:value(s); s : m e ( > s:factor(s); s : m e ( > s4:solve(s,m); s4 :, > :ep(s4[]*); : > :*ep(s4[]*); : > ge:c*c*; ge : c c 4) -4 Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι μ -4 με χαρακτηριστικές ρίζες: μ, μ - Επομένως η γενική λύση είναι: c e c e - > restart; > with(detools): > with(plots): > eq:diff((),$)-4*(); eq : ( ) 4 ( ) > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) _C e ( ) _C e ( ) Γραφική παράσταση με αρχικές συνθήκες. > p:deplot({diff((),$)-4*()},(),-..,[[()-,d()()]],-4..4):

376 94 Λύσεις Ασκήσεων > p:deplot({diff((),$)-4*()},(),-..,[[()-,d()()]],-4..4): > p:deplot({diff((),$)-4*()},(),-..,[[(),d()()]],-4..4): > p4:deplot({diff((),$)-4*()},(),-..,[[(),d()()]],-4..4): > displa({p,p,p,p4});. > s:subs(()ep(m*),eq); s : m) 4 e ( ) > s:value(s); s : m e ( > s:factor(s); s : e ( ) ( m ) ( m ) > s4:solve(s,m); s4 : -, > :ep(s4[]*); : e ( > :ep(s4[]*); : e ( > ge:c*c*; ge : c e ( c e ( m Παράγραφος 5.9 Άσκηση. Να βρεθεί η γενική λύση των παρακάτω εξισώσεων: ) -6-6 ) (4) -4 () ) ) (4) Λύσεις ) -6-6 Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: μ -6μ μ-6 μ -5μ -μ 6μ5μ-6 μ(μ -5μ-6)-(μ -5μ6) (μ -5μ6)(μ-) (μ-)(μ-)(μ-) με χαρακτηριστικές ρίζες: μ, μ, μ.

377 Λύσεις Ασκήσεων 95 Επομένως η γενική λύση είναι: c e c e c e > restart; > with(detools): > with(plots): > eq:diff((),$)-6*diff((),$)*diff((),)- 6*(); eq : ( ) 6 ( ) ( ) 6 ( ) > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) _C e _C e ( ) _C e ( ) Γραφική παράσταση με αρχικές συνθήκες. > p:deplot({diff((),$)- 6*diff((),$)*diff((),)-6*()},(),-..,[[()-,D()(),D(D())()]],-4..4): > p:deplot({diff((),$)- 6*diff((),$)*diff((),)-6*()},(),-..,[[()-,D()(),D(D())()]],-4..4):> > p:deplot({diff((),$)- 6*diff((),$)*diff((),)-6*()},(),-..,[[(),D()(),D(D())()-]],-4..4): > p4:deplot({diff((),$)- 6*diff((),$)*diff((),)-6*()},(),-..,[[(),D()(),D(D())()-]],-4..4): > displa({p,p,p,p4}); Στη συνέχεια λύνουμε την διαφορική εξίσωση χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα Maple και ακολουθώντας τα βήματα της θεωρίας. > s:subs(()ep(m*),eq); s : m) e( 6 m) e( m) e( 6 e ( m)

378 96 Λύσεις Ασκήσεων > s:value(s); s : m e ( 6 m e ( m e ( 6 e ( ) > s:factor(s); s : e ( ) ( m ) ( m ) ( m ) > s4:solve(s,m); s4 :,, > :ep(s4[]*); : e > :ep(s4[]*); : e ( > :ep(s4[]*); : e ( > ge:c*c*c*; ge : c e c e ( c m ) (4) -4 () Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι μ 4-4μ 7μ -4μ6 μ 4-4μ μ 6μ -4μ6 μ (μ )-4μ(μ )6(μ ) (μ )(μ -4μ6) με χαρακτηριστικές ρίζες: μ i, μ -i, μ i, μ 4 -i. Επομένως η γενική λύση είναι: e [c cos c si ][c cosc 4 si] > restart; > with(detools): > with(plots): > eq:diff((),$4)-4*diff((),$)7*diff((),$)- 4*diff((),)6*(); eq : 4 ( ) 4 ( ) 7 ( ) 4 4 ( ) 6 ( ) > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) _C si( ) _C cos( ) _C e ( ) si( ) _C4 e ( ) cos ( ) > p:deplot({diff((),$4)- 4*diff((),$)7*diff((),$)- 4*diff((),)6*()},(),-..,[[()-,D()(),D(D())(),D(D(D()))()-]],-4..4): > p:deplot({diff((),$4)- 4*diff((),$)7*diff((),$)- 4*diff((),)6*()},(),-..,[[()-,D()(),D(D())(),D(D(D()))()-]],-4..4): > p:deplot({diff((),$4)- 4*diff((),$)7*diff((),$)- 4*diff((),)6*()},(),-..,[[(),D()(),D(D())()-,D(D(D()))()-]],- 4..4): > p4:deplot({diff((),$4)- 4*diff((),$)7*diff((),$)- 4*diff((),)6*()},(),-..,[[(),D()(),D(D())()-,D(D(D()))()-]],- 4..4): > displa({p,p,p,p4});

379 Λύσεις Ασκήσεων 97 > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) _C si( ) _C cos( ) _C e ( ) cos( ) _C4 e ( ) si ( ) Στη συνέχεια υποθέτοντας ότι το πρόγραμμα δεν έχει την εντολή dsolve και γνωρίζοντας ότι η διαφορική εξίσωση επιδέχεται εκθετική λύση, θα προσπαθήσουμε να βρούμε αυτές τις λύσεις. > s:subs(()ep(m*),eq); s : m) 4 m) 7 m) 4 6 e ( > s:value(s); s : m 4 e ( 4 m e ( 7 m e ( 4 m e ( 6 e ( > s:factor(s); s : e ( ) ( m 4 m 6 ) ( m ) > s4:solve(s,m); s4 : I, I, I, I > c:ep(s4[]*); c : e ( > c:ep(s4[]*); c : e ( > c:ep(s4[]*); c : e (( > c4:ep(s4[4]*); c4 : e (( > :(cc)/; : e( e( ) > :(c-c)/(*i); - : I ( e ( ) > :(cc4)/; : e( e( - > 4:(c-c4)/(*I); 4 : I ( e (( ) > :evalc(); : cos( ) > :evalc(); : si( ) > :evalc(); : e ( ) cos ( ) > 4:evalc(4); 4 : e ( ) si ( ) > ge:c*c*c*c4*4; ge : c cos( ) c si( ) c e ( ) cos( ) c4 e ( ) si ( )

380 98 Λύσεις Ασκήσεων ) -6 6 Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι μ -6μ μ6 με χαρακτηριστικές ρίζες: μ -, μ 4i, μ 4-i Επομένως η γενική λύση είναι: c e - e 4 [c cos c si ] > restart; > with(detools): > with(plots): > eq:diff((),$)- 6*diff((),$)*diff((),)6*(); eq : ( ) 6 ( ) ( ) 6 ( ) > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) _C e ( ) _C e ( 4 ) si( ) _C e ( 4 ) cos ( ) > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) _C e ( ) _C e ( 4 ) si( ) _C e ( 4 ) cos ( ) Γραφική παράσταση με αρχικές συνθήκες. > p:deplot({diff((),$)- 6*diff((),$)*diff((),)6*()},(),-.., [[()-,D()(),D(D())()]],-8..8): > p:deplot({diff((),$)- 6*diff((),$)*diff((),)6*()},(),-.., [[(),D()()-,D(D())()-]],-8..8): > p:deplot({diff((),$)-6*diff((),$)*diff((),) 6*()},(),-..,[[(),D()(),D(D())()-]], -8..8): > p4:deplot({diff((),$)-6*diff((),$)*diff((),) 6*()},(),-..,[[()-,D()(),D(D())()- ]],-8..8): > displa({p,p,p,p4}); και η λύση σύμφωνα με την θεωρία είναι:

381 Λύσεις Ασκήσεων 99 > s:subs(()ep(m*),eq); s : m) 6 m) 6 e ( > s:value(s); s : m e ( 6 m e ( m e ( 6 e ( ) > s:factor(s); s : e ( ) ( m ) ( m 8 m 8 ) > s4:solve(s,m); s4 : -, 4 I, 4 I > c:ep(s4[]*); c : e ( > c:ep(s4[]*); c : e (( > c:ep(s4[]*); c : e (( > :(cc)/; : e( e( ) - > :(c-c)/(*i); : I ( e (( ) > :evalc(); : e ( ) cos ( ) > :evalc(); : e ( ) si ( ) > ge:c*cc*c*; ge : c e ( c e ( ) cos( ) c e ( ) si ( ) m 4) (4) Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι μ 4 8μ 4μ μ6(μ) 4 με χαρακτηριστικές ρίζες: μ μ μ μ 4 - (τετραπλή). Επομένως η γενική λύση είναι: (c c c c )e - > restart; > with(detools): > with(plots): eq:diff((),$4)8*diff((),$)4*diff((),$)*di ff((),)6*(); eq : 4 ( ) 8 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 6 ( ) > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) _C e ( ) _C e ( ) _C e ( ) _C4 e ( ) Γραφική παράσταση με αρχικές συνθήκες p:deplot({diff((),$4)8*diff((),$)4*diff((),$ )*diff((),)6*()},(),-..,[[()-,d()(),d(d())(),d(d(d()))()-]],-4..4): >p:deplot({diff((),$4)8*diff((),$)4*diff((),$ )*diff((),)6*()},(),-..,[[()-,d()(),d(d())(),d(d(d()))()-]],-4..4): >p:deplot({diff((),$4)8*diff((),$)4*diff((),$ )*diff((),)6*()},(),-

382 4 Λύσεις Ασκήσεων..,[[(),D()(),D(D())()-,D(D(D()))()-]],- 4..4): >p4:deplot({diff((),$4)8*diff((),$)4*diff((),$ )*diff((),)6*()},(),-..,[[(),d()(),d(d())()-,d(d(d()))()-]],- 4..4): > displa({p,p,p,p4}); > s:subs(()ep(m*),eq); s : 4 m) 4 e( 8 m) e( 4 m) e( m) e( 6 e ( ) > s:value(s); s : m 4 e ( m ) 8 m e ( m ) 4 m e ( m ) m e ( m ) 6 e ( m ) > s:factor(s); s : e ( m ) ( m ) 4 > s4:solve(s,m); s4 : -, -, -, - > :ep(s4[]*); : e ( ) > :*ep(s4[]*); : e ( ) > :^*ep(s4[]*); : e ( ) > 4:^*ep(s4[4]*); 4 : e ( ) > ge:c*c*c*c4*4; ge : c e ( ) c e ( ) c e ( ) c4 e ( ) m Παράγραφος 5. Άσκηση: Για τις παρακάτω Δ.Ε. να βρεθεί ο διαφορικός τελεστής L, να γραφεί υπό τη μορφή L(D-μ )(D-μ ) και να βρεθεί η γενική λύση. ) - - ) -9 Λύσεις ) - - D -D- (D -D-) LD -D-(D-)(D) Η δε γενική λύση είναι: c e c e -

383 ) -9 D -9 (D -9) LD -9(D-)(D) Η δε γενική λύση είναι: c e c e - Λύσεις Ασκήσεων 4 Παράγραφος 5. Ασκήσεις: Να βρεθεί η γενική λύση των παρακάτω εξισώσεων: ) -5 6e 4 ) ) 5 6e 4) (D -)5-5) (D -)e (-) 6) (D-) e 7) (D -6D9)e 8) D(D9) 9) 9 - ) - -e Λύσεις: ) -5 6e 4 X.E. μ -5μ6 μ, μ και επομένως ομ c e c e Θέτουμε μερ Ae 4 και έχουμε 6Ae 4 -Ae 4 6Ae 4 e 4 A A½ Τελικά γεν c e c e e 4 / > restart; > with(detools): > with(plots): > f():ep(4*); f( ) : e ( 4 ) > deq:diff((),$)-5*diff((),)6*(): > eq:deq-f(); eq : ( ) 5 ( ) 6 ( ) 4 ) e( > eq:deq; eq : ( ) 5 ( ) 6 ( ) > om:dsolve(eq,()); om : ( ) _C e ( ) _C e ( ) > ge:dsolve(eq,()); ge : ( ) 4 _C e ( ) _C e ( ) e( ) Στη συνέχεια, ακολουθώντας τα βήματα της θεωρίας, βρίσκουμε την γενική λύση της ομογενούς και μια μερική λύση της μη ομογενούς με την μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών. > s:subs(()ep(m*),lhs(eq)); s : m) e( 5 m) e( 6 e ( m) > s:value(s); s : m e ( m ) 5 m e ( m ) 6 e ( m ) > s:factor(s); s : e ( m ) ( m ) ( m ) > s4:solve(s,m); s4 :, > s5:subs(()a*ep(4*),eq); s5 : A 4 ) e( 5 A 4 ) e( 6 A e ( 4 ) e ( 4 )

384 4 Λύσεις Ασκήσεων > s6:value(s5); s6 : A e ( 4 ) e ( 4 ) > s7:collect(s6,); s7 : A e ( 4 ) e ( 4 ) > s8:map(coeff,s7,ep(4*)); s8 : A > A:solve(s8,A); A : > mer:a*ep(4*); mer : 4 ) e( > ge:rhs(om)mer; ge : 4 _C e ( ) _C e ( ) e( ) Στη συνέχεια παραθέτουμε τις γραφικές παραστάσεις ορισμένων λύσεων που προκύπτουν από την γενική λύση δίνοντας ορισμένες τιμές τις σταθερές c και c με ένα διαφορετικό τρόπο από εκείνον που ακολουθήσαμε στις προηγούμενες ασκήσεις > assig(ge); > tograph:{seq(seq(subs(_ci,_cj,()),j-6..),i-..)}: > plot(tograph,-..,umpoits); ) X.E. μ μ μ, - διπλή και επομένως ομ (c c )e - Θέτουμε μερ α α και έχουμε α (α α ) α α, α α - Τελικά γεν (c c )e - - > restart; > with(detools): > with(plots): > f():; f( ) : > eq:diff((),$)*diff((),)()-f(); eq : ( ) ( ) ( ) > eq:diff((),$)*diff((),)();

385 Λύσεις Ασκήσεων 4 eq : ( ) ( ) ( ) > om:dsolve(eq,()); om : ( ) _C e ( ) _C e ( ) > ge:dsolve(eq,()); ge : ( ) _C e ( ) _C e ( ) Στη συνέχεια, ακολουθώντας τα βήματα της θεωρίας, βρίσκουμε την γενική λύση της ομογενούς και μια μερική λύση της μη ομογενούς με την μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών. > s:subs(()ep(m*),lhs(eq)); s : m) e( m) e( e ( m) > s:value(s); s : m e ( m ) m e ( m ) e ( m ) > s:factor(s); s : e ( m ) ( m ) > s4:solve(s,m); s4 : -, - > s5:subs(()ab*,eq); s5 : ( A B ) ( A B ) A B > s6:value(s5); s6 : B A B > s7:collect(s6,); s7 : ( B ) B A > s8:map(coeff,s7,); s8 : B > sol:solve({s7,s8},{a,b}); sol : { B, A - } > A:rhs(sol[]); A : - > B:rhs(sol[]); B : > mer:ab*; mer : > ge:rhs(om)mer; ge : _C e ( ) _C e ( ) Γραφική παράσταση μερικών λύσεων της διαφορικής εξίσωσης που παίρνουμε από την γενική λύση δίνοντας διάφορες τιμές στις σταθερές c, c. > assig(ge); > tograph:{seq(seq(subs(_ci,_cj,()),j-..),i-..)}: > plot(tograph,-..4,umpoits);

386 44 Λύσεις Ασκήσεων ) 5 6e X.E. μ 5μ6 μ -, μ - και επομένως ομ c e- c e- Θέτουμε μερ Ae και έχουμε Ae 5Ae 6Ae e A A/ Τελικά γεν c e - c e - e / > restart; > with(detools): > with(plots): > f():ep(); f( ) : e > deq:diff((),$)5*diff((),)6*(): > eq:deq-f(); eq : ( ) 5 ( ) 6 ( ) e > eq:deq; eq : ( ) 5 ( ) 6 ( ) > om:dsolve(eq,()); om : ( ) _C e ( ) _C e ( ) > ge:dsolve(eq,()); ge : ( ) e _C e ( ) _C e ( ) Στη συνέχεια, ακολουθώντας τα βήματα της θεωρίας, βρίσκουμε την γενική λύση της ομογενούς και μια μερική λύση της μη ομογενούς με την μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών. > s:subs(()ep(m*),lhs(eq)); s : m) e( 5 m) e( 6 e ( m) > s:value(s); s : m e ( m ) 5 m e ( m ) 6 e ( m ) > s:factor(s); s : e ( m ) ( m ) ( m ) > s4:solve(s,m); s4 : -, - > s5:subs(()a*ep(),eq); s5 : A e 5 A e 6 A e e

387 > s6:value(s5); s6 : A e e > s7:collect(s6,); s7 : A e e > s8:map(coeff,s7,ep()); s8 : A > A:solve(s8,A); A : > mer:a*ep(4*); mer : 4 ) e( > ge:rhs(om)mer; ge : _C e ( ) _C e ( ) Λύσεις Ασκήσεων 45 4 ) e( > assig(ge); > tograph:{seq(seq(subs(_ci,_cj,()),j-..),i-..)}: > plot(tograph,-..6,umpoits); 4) (D -)5- X.E. μ - μ, μ - και επομένως ομ c e c e - Θέτουμε μερ α α και έχουμε -α -α 5- α, α -5 Τελικά γεν c e c e - -5 > restart; > with(detools): > with(plots): > f():5*-; f( ) : 5 > deq:diff((),$)-(): > eq:deq-f(); eq : ( ) ( ) 5 > eq:deq; eq : ( ) ( ) > om:dsolve(eq,()); om : ( ) _C e _C e ( )

388 46 Λύσεις Ασκήσεων > ge:dsolve(eq,()); ge : ( ) 5 _C e _C e ( ) Στη συνέχεια, ακολουθώντας τα βήματα της θεωρίας, βρίσκουμε την γενική λύση της ομογενούς και μια μερική λύση της μη ομογενούς με την μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών. m) > s:subs(()ep(m*),lhs(eq)); s : e( e ( m) > s:value(s); s : m e ( m ) e ( m ) > s:factor(s); s : e ( m ) ( m ) ( m ) > s4:solve(s,m); s4 : -, > s5:subs(()ab*,eq); s5 : ( A B) A B 5 > s6:value(s5); s6 : A B 5 > s7:collect(s6,); s7 : ( B 5 ) A > s8:map(coeff,s7,); s8 : B 5 > sol:solve({s7,s8},{a,b}); sol : { B -5, A } > A:rhs(sol[]); A : > B:rhs(sol[]); B : -5 > mer:ab*; mer : 5 > ge:rhs(om)mer; ge : 5 _C e _C e ( ) > assig(ge); > tograph:{seq(seq(subs(_ci,_cj,()),j-..),i-..)}: > plot(tograph,-4..4,umpoits); 5) (D -)e (-)

389 Λύσεις Ασκήσεων 47 X.E. μ - μ, μ - και επομένως ομ c e c e - Θέτουμε μερ e (α α ) και έχουμε μερ e (α α )e α e (α α α ) μερ e (α α α )e α e (4α 4α 4α ) Άρα e (4α 4α 4α )-e (α α )e (-) (4α 4α -α )(4α -α -) α 4α, α α -7/9, α / Τελικά γεν c e c e - e (/-7/9) > restart; > with(detools): > with(plots): > f():ep(*)*(-); f( ) : e ( ) ( ) > deq:diff((),$)-(): > eq:deq-f(); eq : ( ) ( ) e ( ) ( ) > eq:deq; eq : ( ) ( ) > om:dsolve(eq,()); om : ( ) _C e _C e ( ) > ge:dsolve(eq,()); 7 ge : ( ) ) e( _C e _C e ( ) 9 e( ) Στη συνέχεια, ακολουθώντας τα βήματα της θεωρίας, βρίσκουμε την γενική λύση της ομογενούς και μια μερική λύση της μη ομογενούς με την μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών. m) > s:subs(()ep(m*),lhs(eq)); s : e( > s:value(s); s : m e ( m ) e ( m ) > s:factor(s); s : e ( m ) ( m ) ( m ) > s4:solve(s,m); s4 : -, > s5:subs(()ep(*)*(ab*),eq); s5 : ) ( ) ( ) e( ( A B ) e ( A B ) e ( ) > s6:value(s5); s6 : e ( ) ( A B ) 4 e ( ) B e ( ) ( ) > s7:simplif(collect(s6/ep(*),)); s7 : B A 4 B > s8:map(coeff,s7,); s8 : B > sol:solve({s7,s8},{a,b}); sol : { A, B } 9 > A:rhs(sol[]); -7 A : 9 > B:rhs(sol[]); B : e ( m)

390 48 Λύσεις Ασκήσεων > mer:ep(*)*(ab*); mer : e ( ) 7 9 > ge:rhs(om)mer; ge : _C e _C e ( ) e ( ) 7 9 > assig(ge); > tograph:{seq(seq(subs(_ci,_cj,()),j-..),i-..)}: > plot(tograph,-4..,umpoits); 6) (D-) e X.E. (μ-) μ, (διπλή), και επομένως ομ (c c )e Θέτουμε μερ e (α α )e (α α ) και έχουμε μερ e (α α )e (α α )e {α (α α ) α } μερ e {α (α α ) α α (α α )α } e {α (4α 6α )(α 6α ) α } Άρα - e e {α (4α 6α )(α 6α ) α }-e {α (α α ) α }e (α α )e (α )(4α 6α -4α )(α 6α -α -6α α ) (α -α α ) α, α /6 και επομένως μερ e ( /6) Τελικά γεν (c c )e e ( /6) > restart; > with(detools): > with(plots): > eq:diff((),$)-*diff((),)()ep()*; eq : ( ) ( ) ( ) e > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) 6 e _C e _C e Στη συνέχεια, ακολουθώντας τα βήματα της θεωρίας, βρίσκουμε την γενική λύση της ομογενούς και μια μερική λύση της μη ομογενούς με την μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών.

391 Λύσεις Ασκήσεων 49 m) s:subs(()ep(m*),lhs(eq)); s : e( ) e( > s:value(s); s : m e ( m ) m e ( m ) e ( m ) > s:factor(s); s : e ( m ) ( m ) > s4:solve(s,m); s4 :, > om:c*ep(-)c*ep(); om : c e ( ) c e > mer:ep()*(a*^b*^); mer : e ( A B ) > s5:subs(()mer,eq); s5 : e ( A B ) e ( A B ) e ( A B ) e > s6:eval(s5); s6 : e ( A 6 B) e > s7:collect(s6/ep(),[]); s7 : A 6 B > s8:map(coeff,s7,); s8 : 6 B > B:/6; B : 6 > A:; A : > ge:ommer; ge : c e ( ) c e 6 e > assig(sol): > tograph:{seq(seq(subs(_ci,_cj,()),j-..),i-..)}; > plot(tograph,-..,umpoits); tograph 6 e 6 e e 6 e e 6 e e e : {,,,, 6 e e, 6 e e e 6 e e 6 e e e,,, 6 e e e } m e ( m) 7) (D -6D9)e X.E. μ -6μ9 μ, (διπλή) και επομένως ομ (c c )e Θέτουμε μερ Ae και έχουμε μερ Ae A e e (AA )

392 4 Λύσεις Ασκήσεων μερ e (AA ) e (A6A)e (AA9A ) Άρα e (AA9A )-6e (AA )9 Ae e AA-A9A -8A 9A A A/ Τελικά γεν (c c )e / e > restart; > with(detools): > with(plots): > eq:diff((),$)-6*diff((),)9*()*ep(*); eq : ( ) 6 ( ) 9 ( ) ) e( > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) e ( ) _C e ( ) _C e ( ) Στη συνέχεια βρίσκουμε μια μερική λύση με την μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών. > s:subs(()ep(m*),lhs(eq)); s : m) e( 6 m) e( 9 e ( m) > s:value(s); s : m e ( m ) 6 m e ( m ) 9 e ( m ) > s:factor(s); s : e ( m ) ( m ) > s4:solve(s,m); s4 :, e ( ) > om:ep(*)(cc*)*ep(); om : ( )( c c ) e > mer:a*^*ep(*); mer : A e ( > s5:subs(()mer,eq); s5 : e ( ) 6 e ( 9 A e ( e ( > s6:eval(s5); s6 : A e ( e ( > s7:s6/ep(*); s7 : A > A:/; A : > ge:ommer; ge : ( e ( ) )( c c ) e e ( ) > assig(sol): > tograph:{seq(seq(subs(_ci,_cj,()),j-..),i-..)}: > plot(tograph,-..,umpoits);

393 Λύσεις Ασκήσεων 4 8) D(D9) X.E. μ 9μ μ, μ -9 και επομένως ομ c c e -9 Θέτουμε μερ A μερ A μερ Άρα 9A A/ και μερ / Τελικά γεν c c e -9 / > restart; > with(detools): > with(plots): > eq:diff((),$)9*diff((),); eq : ( ) 9 ( ) > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) 9 ) 9 e( _C _C Στη συνέχεια βρίσκουμε μια μερική λύση με την μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών. > s:subs(()ep(m*),lhs(eq)); s : m) e( 9 > s:value(s); s : m e ( m ) 9 m e ( m ) > s:factor(s); s : m e ( m ) ( m 9 ) > s4:solve(s,m); s4 :, -9 > om:cc*ep(-9*); om : c c e ( 9 ) > mer:a*; mer : A > s5:subs(()mer,eq); s5 : A 9 A > s6:eval(s5); s6 : 9 A m) e(

394 4 Λύσεις Ασκήσεων > A:/; A : > ge:ommer; ge : c c e ( 9 ) > assig(sol): > tograph:{seq(seq(subs(_ci,_cj,()),j-..),i-..)}: > plot(tograph,-...,umpoits); 9) 9 - X.E. μ 9 μ i, μ -i και επομένως ομ c cosc si Θέτουμε μερ α α α μερ α Άρα (α ) 9(α α α ) - (α 9α -)(9α )(9α -) α 9α -, 9α, 9α - α 7/8, α -/9, α /9 και επομένως μερ 7/8-/9 /9 Τελικά γεν c sic cos /9-/97/8 > restart; > with(detools): > with(plots): > eq:diff((),$)9*()^-*; eq : ( ) 9 ( ) > sol:dsolve(eq,()); 7 sol : ( ) _C cos( ) _C si( ) Στη συνέχεια βρίσκουμε μια μερική λύση με την μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών.

395 Λύσεις Ασκήσεων 4 m) > s:subs(()ep(m*),lhs(eq)); s : e( 9 e ( m) > s:value(s); s : m e ( m ) 9 e ( m ) > s:factor(s); s : e ( m ) ( m 9 ) > s4:solve(s,m); s4 : I, - I > s5:evalc(ep(s4[]*)); s5 : cos( ) I si( ) > s6:evalc(ep(s4[]*)); s6 : cos( ) I si( ) > s7:(s5s6)/; s7 : cos( ) > s8:(s5-s6)/(*i); s8 : si( ) > om:c*s7c*s8; om : c cos( ) c si( ) > mer:a*^b*g; mer : A B G > s9:subs(()mer,eq); s9 : ( A B G ) 9 A 9 B 9 G > s:eval(s9); s : A 9 A 9 B 9 G > s:lhs(s)-rhs(s); s : A 9 A 9 B 9 G > s:collect(s,); s : ( 9 A) ( 9 B) A 9 G > s:map(coeff,s,); s : 9 B > s4:map(coeff,s,^); s4 : 9 A > s5:remove(p->degree(p,)>,s); s5 : A 9 G > sol:solve({s,s4,s5},{a,b,g}); sol : { B -, A, G 7 } > A:rhs(sol[]); A : 9 - > B:rhs(sol[]); B : 9 7 > G:rhs(sol[]); G : 8 7 > mer:a*^b*g; mer : > ge:ommer; 7 ge : c cos( ) c si( ) > assig(sol): > tograph:{seq(seq(subs(_ci,_cj,()),j-..),i-..)}: > plot(tograph,-...,umpoits);

396 44 Λύσεις Ασκήσεων ) - -e X.E. μ -μ μ- μ μ μ (τριπλή ρίζα) και επομένως ομ (c c c )e Θέτουμε μερ Ae και έχουμε μερ e (A A ), μερ e (A 6A 6A) μερ e (A 9A 8A6A) Άρα e (A 9A 8A6A)-e (A 6A 6A)e (A A )- Ae e (A-AA-A) (9A-8A9A)(8α-8α)(6α-) Α/6 Τελικά γεν (c c c )e e /6 > restart; > with(detools): > with(plots): > eq:diff((),$)-*diff((),$)*diff((),)- ()ep(); eq : ( ) ( ) ( ) ( ) e > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) 6 e _C e _C e _C e Στη συνέχεια βρίσκουμε μια μερική λύση με την μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών. > s:subs(()ep(m*),lhs(eq)); s : m) e( m) e( m) e( e ( m) > s:value(s); s : m e ( m ) m e ( m ) m e ( m ) e ( m ) > s:factor(s); s : e ( m ) ( m ) > s4:solve(s,m); s4 :,, > om:(cc*c*^)*ep(); om : ( c c c ) e > mer:a*^*ep(); mer : A e > s9:subs(()mer,eq); s9 : A e A e A e A e e

397 Λύσεις Ασκήσεων 45 > s:eval(s9); s : 6 A e e > s:s9/ep(); s : 6 A > A:solve(s,A);; A : 6 > ge:ommer; ge : ( c c c ) e 6 e > assig(sol): > tograph:{seq(seq(seq(subs(_ci,_cj,_ck,()),j-..),i-..),k-..)}: > plot(tograph,-...6,umpoits); Παράγραφος 5.4 Ασκήσεις Με τη μέθοδο μεταβολής των παραμέτρων, να βρεθεί μια μερική λύση των παρακάτω Δ.Ε.: ) - e / 5 ) sec ) 4si Λύσεις: ) X.E. μ -μ μ μ (διπλή ρίζα) και επομένως ομ (c c )e Θέτουμε μερ v ()e v ()e και έχουμε το σύστημα: v ()e v ()e v ()e v ()(e e )e / 5 η λύση του οποίου είναι: e e e e ( ) 5 e e 5 v () v () e e e e e e e e ( ) ( )

398 46 Λύσεις Ασκήσεων e 4 Από την σχέση () έχουμε: v () -/ 4 v () - / e e e 5 ( ) Από την σχέση () έχουμε: v () / 5 v ()- -4 /4 e Άρα μερ v ()e v ()e ( - /)e - ( -4 /4)e e /( ) > restart; > with(detools): > with(plots): > eq:diff((),$)-*diff((),)()ep()/^5; eq : ( ) ( ) ( ) e 5 > sol:dsolve(eq,()); e sol : ( ) _C e _C e Στη συνέχεια βρίσκουμε μια μερική λύση με την μέθοδο της μεταβολής των παραμέτρων. > mer:v()*ep()v()**ep(); mer : v( ) e v( ) e > eq:diff(v(),)*ep()diff(v(),)**ep(); eq : v ( ) e v( ) e > eq:diff(v(),)*ep()diff(v(),)*(*ep()ep()) ep()/^5; eq : v( ) e v( ) ( e e e ) 5 > s:solve({eq,eq},{diff(v(),),diff(v(),)}); s : { v( ), v( ) } 5 4 > s:map(it,s[],); s : v( ) 4 4 > s:map(it,s[],); s : v( ) > mer:simplif(subs(s,s,mer)); s4 : > assig(sol): > tograph:{seq(seq(subs(_ci,_cj,()),j-..),i-..)}: > plot(tograph,.4..,umpoits); > assig(sol): e

399 Λύσεις Ασκήσεων 47 ) X.E. μ μ i μ -i και επομένως ομ c cosc si Θέτουμε μερ v ()cosv ()si και έχουμε το σύστημα: v ()cosv ()si -v ()siv ()cos/cos η λύση του οποίου είναι: si v () cos cos si cos si v () cos cos si -ta v ()l(cos) cos cos v () si si cos Άρα μερ v ()cosv ()si[l(cos)]cossi > restart; > with(detools): > with(plots): > eq:diff((),$)()sec(); eq : ( ) ( ) sec( ) > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) si( ) l ( cos( )) cos( ) _C si( ) _C cos( ) Στη συνέχεια βρίσκουμε μια μερική λύση με την μέθοδο της μεταβολής των παραμέτρων. > mer:v()*cos()v()*si(); mer : v( ) cos( ) v( ) si( ) > eq:diff(v(),)*cos()diff(v(),)*si(); eq : v( ) cos( ) v( ) si( ) > eq:-diff(v(),)*si()diff(v(),)*cos()sec();

400 48 Λύσεις Ασκήσεων eq : v( ) si( ) v( ) cos( ) sec( ) > s:solve({eq,eq},{diff(v(),),diff(v(),)}); si( ) cos( ) s : { v( ), v( ) } si( ) > s:map(it,s[],); s : v( ) l ( si( ) ) > s:map(it,s[],); s : v( ) > mer:simplif(subs(s,s,mer)); s4 : l( cos( ) ) cos( ) si( ) > assig(sol): > tograph:{seq(seq(subs(_ci,_cj,()),j-..),i-..)}: > plot(tograph,-4..4,umpoits); ) X.E. μ 4 μ i μ -i και επομένως ομ c cosc si Θέτουμε μερ v ()cosv ()si και έχουμε το σύστημα: v ()cosv ()si -v ()siv ()cossi () η λύση του οποίου είναι: v ()-/si () v () si ( d ) 4 si ( d ) ( ) /4[-cos()/cos ()] v ()-/4cos()/cos () v ()/cos()si () v ()/4 si ( d ) si( ) v ()/si () Άρα μερ v ()cosv ()si [-/4cos()/cos ()]cos[/si ()]si > restart; > with(detools): > with(plots): > eq:diff((),$)4*()(si())^;

401 Λύσεις Ασκήσεων 49 eq : ( ) 4 ( ) si( ) > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) cos( ) si( ) _C cos( ) _C si( ) 8 8 Στη συνέχεια βρίσκουμε μια μερική λύση με την μέθοδο της μεταβολής των παραμέτρων. > mer:v()*cos(*)v()*si(*); mer : v( ) cos( ) v( ) si( ) > eq:diff(v(),)*cos(*)diff(v(),)*si(*); eq : v( ) cos( ) v( ) si( ) > eq:-*diff(v(),)*si(*)*diff(v(),)*cos(*) (si())^; eq : v( ) si( ) v( ) cos( ) si( ) > s:solve({eq,eq},{diff(v(),),diff(v(),)}); s : { v( ) si( ) ( si( ) ), v( ) si( ) cos( )} > s:map(it,s[],); s : v( ) cos( ) si( ) 8 8 si( ) cos( ) 4 > s:map(it,s[],); s : v( ) si( ) 4 4 > mer:simplif(subs(s,s,mer)); mer : cos( ) si( ) cos( ) > assig(sol): > tograph:{seq(seq(subs(_ci,_cj,()),j-..),i-..)}: > plot(tograph,-4..4,umpoits); > assig(sol):

402 4 Λύσεις Ασκήσεων Παράγραφος 8.6 Ασκήσεις ) Να λυθούν τα παρακάτω προβλήματα αρχικών τιμών με την βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace: α) 49, (), ()5/4 β) - 4e -, ()6, ()- γ) -4 55, () () δ) -e, () () () Λύση: L( )4L()L(9) {t Y(t)-t()- ()}4Y(t)9 Y(t)(t 4) 9 5 t t 4 9 5/ t t 4 t 4 4 t 4 t 4 / t 4 4 t 4 t 4 Y(t) ( ) () 9 9 L si 4 t 4 4 > restart; > with(detools): > with(ittras): > with(plots): > eq:diff((),$)4*()9*; eq : ( ) 4 ( ) 9 > sol:dsolve({eq,(),d()()5/4},(),methodlaplace); 9 sol : ( ) 4 si( ) 9 > ():rhs(sol); ( ) : 4 si( ) > plot(rhs(sol),-..,umpoits); Στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να λύσουμε την διαφορική εξίσωση ακολουθώντας τα βήματα της θεωρίας.

403 Λύσεις Ασκήσεων 4 > restart; > with(detools): > with(ittras): > eq:diff((),$)4*()9*; > alias(y(t)laplace((),,t)): eq : ( ) 4 ( ) > eq:laplace(eq,,t); eq : t ( t Y( t ) ( )) D( )( ) 4 Y( t ) 9 t > Y(t):solve(subs((),D()()5/4,eq),Y(t)); 5 t 6 Y( t ) : 4 t ( t 4 ) > ():ivlaplace(y(t),t,); 9 ( ) : 4 si( ) β) - 4e -, ()6, ()- Λύση: L( )-L( ) L()L(4e - ) {t Y(t)-t()- ()}-{ty(t)-()}y(t) 4 t t Y(t){t -t}-6t8 4 t t Y(t){(t-)(t-)}6t-9 4 t t 6t 9 4 Y(t) ( )( ) t t t ( t )( t ) ( t )( t )( t ) 7 Y(t) t t t t t t t t t Y(t)- t t t t t ()-e e e - > restart; > with(detools): > with(ittras): > with(plots): > eq:diff((),$)-*diff((),)*()4**ep(-); eq : ( ) ( ) ( ) 4 ) e( > sol:dsolve({eq,()6,d()()-},(),methodlaplace); sol : ( ) e e ( ) e ( ) > ():rhs(sol); ( ) : e e ( ) e ( ) > plot(rhs(sol),-..,umpoits); 9

404 4 Λύσεις Ασκήσεων Στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να λύσουμε την διαφορική εξίσωση ακολουθώντας τα βήματα της θεωρίας. > restart; > with(detools): > with(ittras): > eq:diff((),$)-*diff((),)*()4**ep(-); > alias(y(t)laplace((),,t)): eq : ( ) ( ) ( ) 4 ) e( > eq:laplace(eq,,t); eq : t ( t Y( t ) ( )) D( )( ) t Y( t ) ( ) Y() t 4 t t > Y(t):solve(subs(()6,D()()-,eq),Y(t)); t 6 t 4 7 t 4 4 t Y( t ) : t ( t t t ) > ():ivlaplace(y(t),t,); ( ) : e e ( ) e ( ) γ) -4 55, () () Λύση: t Y(t)-4tY(t)5Y(t)5! t t t t t t t t t 4t 5 Y(t) ( 4 5) ()5 4-L - 4 t t 4t 5 4 t 4 αλλά t 4t 5 t 4 ( t ) ( t ) t ( t ) t ( ) ( ) 4 t t ( t ) t t t t ( ) ( ) ( ) ( )

405 Λύσεις Ασκήσεων 4 4 t -e sie cos L - ( t ) Τελικά ()5 4e (si-cos) > restart; > with(detools): > with(ittras): > with(plots): > eq:diff((),$)-4*diff((),)5*()5*^; eq : ( ) 4 ( ) 5 ( ) 5 > sol:dsolve({eq,(),d()()},(),methodlaplace); sol : ( ) 5 4 e ( ) cos( ) 4 e ( ) si( ) > ():rhs(sol); ( ) : 5 4 e ( ) cos( ) 4 e ( ) si( ) > plot(rhs(sol),-...5,umpoits); Στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να λύσουμε την διαφορική εξίσωση ακολουθώντας τα βήματα της θεωρίας. > restart; > with(detools): > with(ittras): > eq:diff((),$)-4*diff((),)5*()5*^; > alias(y(t)laplace((),,t)): eq : ( ) 4 ( ) 5 ( ) > eq:laplace(eq,,t); 5 eq : t ( t Y( t ) ( )) D( )( ) 4 t Y( t ) 4 ( ) 5 Y() t 5 t

406 44 Λύσεις Ασκήσεων > Y(t):solve(subs(()6,D()(),eq),Y(t)); t 4 t 5 Y( t ) : t ( t 4 t 5 ) > ():ivlaplace(y(t),t,); ( ) : e ( ) cos( ) 8 e ( ) si( ) δ) -e, () () () Λύση: {t Y(t)-t ()-t ()- ()}-Y(t) t Y(t)(t -) t t Y(t) ( t )( t ) t t t t αλλά ( ) ()L - (Y(t)) e e L t t t t t t t t t t t t t t t t cos si L / / e e / / Τελικά () - e e e cos e si 9 > restart; > with(detools): > with(ittras): > with(plots): > eq:diff((),$)-()ep(); eq : ( ) ( ) e >sol:dsolve({eq,(),d()(),d(d())()},(),method laplace); sol : ( ) / ) e e e( cos / ) 9 e( si > ():rhs(sol); ( ) : / ) e e e( cos / ) 9 e( si > plot(rhs(sol),-6..,umpoits);

407 Λύσεις Ασκήσεων 45 Στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να λύσουμε την διαφορική εξίσωση ακολουθώντας τα βήματα της θεωρίας. > restart; > with(detools): > with(ittras): > eq:diff((),$)-()ep(); > alias(y(t)laplace((),,t)): eq : ( ) ( ) e > eq:laplace(eq,,t); eq : t ( t ( t Y( t ) ( )) D( )( )) ( D ( ) )( )( ) Y( t ) t > Y(t):solve(subs((),D()(),D(D())(),eq),Y(t)); Y( t ) : t 4 t t > ():ivlaplace(y(t),t,); ( ) : / ) e e 9 e( si / ) e( cos ) Να βρεθούν οι γενικές λύσεις των παρακάτω Δ.Ε. με την βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace: α) - 4e β) 5e - si γ) 9cos Λύση: α) Θέτουμε ()A, ()B και έχουμε: {t Y(t)-tA-B}-{tY(t)-A}Y(t)4 Y(t)(t -t)-at-ba4 t t 4 At B A B A B A Y(t) ( ) ( ) t t ( t )( t ) ( t ) t t t t ()4e -4e 4e (B-A)e -(B-A)e 4e c e c e

408 46 Λύσεις Ασκήσεων > restart; > with(detools): > with(ittras): > with(plots): > eq:diff((),$)-*diff((),$)*()4*ep(*); eq : ( ) ( ) ( ) 4 ) e( >sol:dsolve({eq,()a,d()()b,d(d())()},(),method laplace); sol : ( ) e A e B 4 e e ( ) A e ( ) B 4 e ( ) 4 e ( ) > ():rhs(sol): > ():collect((collect((),ep()),ep(*))); ( ) : ( B 4 4 A) e ( ) ( A B 4 ) e Στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να λύσουμε την διαφορική εξίσωση ακολουθώντας τα βήματα της θεωρίας. > restart; > with(detools): > with(ittras): > eq:diff((),$)-*diff((),$)*()4*ep(*); > alias(y(t)laplace((),,t)): eq : ( ) ( ) ( ) 4 ) e( > eq:laplace(eq,,t); eq : t ( t Y( t ) ( )) D( )( ) t Y( t ) ( ) Y() t 4 t > Y(t):solve(subs(()A,D()()B,eq),Y(t)); At 5 At Bt B 6 A 4 Y( t ) : t 5 t 8 t 4 > ():ivlaplace(y(t),t,); ( ) : 4 e e B e A 4 e ( ) e ( ) B e ( ) A 4 e ( ) > ():collect((collect((),ep()),ep(*))); ( ) : ( B A 4 4 ) e ( ) ( 4 B A) e β) 5e - si Λύση: Θέτουμε ()A, ()B και έχουμε: {t Y(t)-tA-B}{tY(t)-A}5Y(t) ( ) Y(t)[t t5][-at-b-a] ( ) t t

409 At B A Y(t) t t 5 t t 5 t [ ] ( ) ( ) Λύσεις Ασκήσεων 47 Γ tδ t t t ( ) ( ) ( ) ()L - (Y(t))Γe - cos(δ/)e - si-(/6)e - si(/)e - si e - [c sic cos](/)e - si > restart; > with(detools): > with(ittras): > with(plots): > eq:diff((),$)*diff((),$)5*()ep(-)*si(); eq : ( ) ( ) 5 ( ) ) e( si( ) >sol:dsolve({eq,()a,d()()b},(),methodlaplace); sol ( ) ) e( si( ) e ( ) A cos( ) ) : 6 e( si( ) ) e( B si( ) A si( ) e( ) > ():rhs(sol): > ():collect((),ep(-)); ( ) : 6 B A si( ) si( ) A cos( ) e ( ) Στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να λύσουμε την διαφορική εξίσωση ακολουθώντας τα βήματα της θεωρίας. > restart; > with(detools): > with(ittras): > eq:diff((),$)*diff((),$)5*()ep(-)*si(); > alias(y(t)laplace((),,t)): eq : ( ) ( ) 5 ( ) ) e( si( ) > eq:laplace(eq,,t); eq : t ( t Y( t ) ( )) D( )( ) t Y( t ) ( ) 5 Y() t ( t ) > Y(t):solve(subs(()A,D()()B,eq),Y(t)); At 4 At 6 At Bt Bt B 4 A Y( t ) : t 4 4 t t 4 t > ():ivlaplace(y(t),t,); ( ) ) e( si( ) ) e( A si( ) ) : e( B si( ) ) 6 e( si( ) e ( ) A cos( ) > ():collect((),ep(-)); ( ) : si( ) A si( ) B si( ) si( ) A cos( ) 6 e ( )

410 48 Λύσεις Ασκήσεων γ) 9cos Λύση: Θέτουμε ()A, ()B και έχουμε: t t {t Y(t)-tA-B}9Y(t) Y(t)(t 9) tab t 4 t 4 t A t Y(t) B t 9 t 4 t 9 t 9 ( )( ) t t A t B t t t t 9 ()-/5cos/5cosAcos(B/)sic sic cos/5cos > restart; > with(detools): > with(ittras): > with(plots): > eq:diff((),$)9*()cos(*); eq : ( ) 9 ( ) cos( ) >sol:dsolve({eq,()a,d()()b,d(d())()},(),method laplace); sol : ( ) cos( ) A cos( ) cos( ) 5 5 B si( ) > ():rhs(sol): > ():collect((),cos(*)); ( ) : A 5 cos( ) cos( ) 5 B si( ) Στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να λύσουμε την διαφορική εξίσωση ακολουθώντας τα βήματα της θεωρίας. > restart; > with(detools): > with(ittras): > eq:diff((),$)9*()cos(*); > alias(y(t)laplace((),,t)): eq : ( ) 9 ( ) cos( ) > eq:laplace(eq,,t); t eq : t ( t Y( t ) ( )) D( )( ) 9 Y( t ) t 4 > Y(t):solve(subs(()A,D()()B,eq),Y(t)); At 4 ta Bt 4 B t Y( t ) : t 4 t 6 > ():ivlaplace(y(t),t,); ( ) : B si( ) A cos( ) cos( ) cos( ) 5 5

411 > ():collect((),cos(*)); ( ) : A 5 cos( ) B si( ) cos( ) 5 Λύσεις Ασκήσεων 49 ) Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης g()f()[u(-α)-u(-β] εάν η συνάρτηση f() είναι γνωστή. Λύση: f() g() α β α β Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τον παραπάνω τύπο για την συνάρτηση f()si(), η οποία αποκόπτεται στο διάστημα: [a, b][, ]. > restart; > with(plots): > f():si(): > a:: > b:: > g():f()*(heaviside(-a)-heaviside(-b)); g( ) : si( ) ( Heaviside ( ) Heaviside ( )) > p:plot(f(),-4..5, colorblack,stlepoit): > p:plot(g(),-4..5): > displa({p,p}); Κεφάλαιο

412 4 Λύσεις Ασκήσεων Ασκήσεις: Να λυθούν οι Δ.Ε. του Euler ) "- ) " - ) " για > Λύσεις ) "-. Θέτουμε s στην Δ.Ε. και έχουμε: s(s-)(s-) s- s(s-) s- -s s- s s(s-)(s-)s(s-)-(s- ) (s-)[s(s-)s-] (s-)[s s-] (s-) (s) s s, s - Άρα c c lc - > restart; > with(detools): > with(plots): > eq:^*diff((),$)*^*diff((),$)- **diff((),)*(); eq : ( ) ( ) ( ) ( ) > sol:dsolve(eq,()); _C sol : ( ) _C _C l( ) Στη συνέχεια βρίσκουμε την λύση ακολουθώντας τα βήματα της θεωρίας.. > s:subs(()^m,lhs(eq)); s : m m m m > s:value(s); s : m m m m m m m m m m m m m > s:factor(s); s : m ( m ) ( m ) > s4:solve(s,m); s4 : -,, > om:(cc*l())*c*^(-); c om : ( c c l( ) ) > assig(sol): > tograph:{seq(seq(seq(subs(_ci,_cj,_ck,()),j-..),i-..),k-..)}: > plot(tograph,...,umpoits);

413 Λύσεις Ασκήσεων 4 ) " -. Θέτουμε s στην Δ.Ε. και έχουμε: s(s-) s- s s- - s s(s-)s- s s- s, s -½ Άρα c c > restart; > with(detools): > with(plots): > eq:*^*diff((),$)**diff((),)-(); eq : ( ) ( ) ( ) > sol:dsolve(eq,()); _C sol : ( ) _C Στη συνέχεια βρίσκουμε την λύση ακολουθώντας τα βήματα της θεωρίας.. > s:subs(()^m,lhs(eq)); s : m m m > s:value(s); s : m m m m m m m > s:factor(s); s : m ( m ) ( m ) > s4:solve(s,m); s4 : -, > m:s4[]; m : - > m:s4[]; m : > om:c*(^m)c*(^m); c om : c

414 4 Λύσεις Ασκήσεων > assig(sol): > tograph:{seq(seq(subs(_ci,_cj,()),j-..),i-..)}: > plot(tograph,...5,umpoits); ) ". Θέτουμε s στην Δ.Ε. και έχουμε: s(s-) s- s s- s s(s-)s s s i, s -i Άρα c cos(l)c si(l) > restart; > with(detools): > with(plots): > eq:^*diff((),$)*diff((),)(); eq : ( ) ( ) ( ) > sol:dsolve(eq,()); sol : ( ) _C cos ( l( ) ) _C si ( l( )) Στη συνέχεια βρίσκουμε την λύση ακολουθώντας τα βήματα της θεωρίας.. > s:subs(()^m,lhs(eq)); s : m m m s : m m m m > s:value(s); m m m > s:factor(s); s : m ( m ) > s4:solve(s,m); s4 : I, I > m:s4[]; m : I > m:s4[]; m : I > om:c*cos(l())c*si(l()); om : c cos ( l( ) ) c si ( l( )) > assig(sol): > tograph:{seq(seq(subs(_ci,_cj,()),j-..),i-..)}: > plot(tograph,...5,umpoits);

415 Λύσεις Ασκήσεων 4 Παράγραφος.6 Ασκήσεις: Να βρεθούν οι γενικές λύσεις των παρακάτω Δ.Ε. γύρω από το σημείο α χρησιμοποιώντας την μέθοδο του Frobeius. ) 8 (-) ) 7() - ) - Λύσεις: ) 8 (-) Έχουμε P()5/4 και Q()(-)/8 και A()5/4, B()(-)/8 Επομένως το σημείο α είναι κανονικό ανώμαλο σημείο. λ Θέτουμε: () c οπότε λ () ( λ )c και () Η () γράφεται: 8 λ ( λ )( λ )c ( λ )c ( λ )( λ )c λ λ λ 8( λ )( λ )c ( λ )c c - c [ ] 8( λ )( λ )c ( λ )c c c (8λ { ( ) ( ) } λ-)c 8 λ λ c c λ c - c (8λ λ-)c λ /4, λ -½ και c τυχαίος αριθμός. Επίσης λ -λ /4 θετικού ακεραίου Εξισώνουμε τους συντελεστές των ομοίων όρων στο γενικό άθροισμα και έχουμε: