Inx + 2. Β)Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και το πρόσημο της.

Transcript

1 ΘΕΜΑ ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f ώστε t In + t f dt, > Α)Ν ποδείξετε ότι f() In Β)Ν μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονί, τ κρόττ κι το πρόσημο της. Γ)Ν ποδείξετε ότι (In-) γι κάθε > Δ)Ν βρείτε την εφπτομένη της C f στο σημείο κμπής της. Ε)Γι κάθε < ν ποδείξετε ότι (-In) - Ζ)Ν βρείτε τις τιμές των ορίων lim f(), + + lim f() Η)Υπάρχει πλάγι σύμπτωση στο + ; Θ)Ν βρείτε το εμβδόν του επίπεδου χωρίου που περικλείετει πό τη γρφική πράστση C f την ευθεί κι τον Ι)Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (,) ώστε ξ f(ξ)ξ- f συν.. In + t t f dt, > ln Α) N.δ.ο f() θέτω t u t u dt du

2 ότν t u ότν t u t Ι t f dt u f (u) du () ln + u f (u)du () u f (u)du η () έχει κι στ μέλη πργωγίσιμες συνρτήσεις > () ln + + f () f()--ln ln f () + ln ln B) f () /, f () ln ln / + f () f() γν. φθίν γν. ύξ f( / ) / / f() ln ln ln / f() + - ln / / Γ) f() (ln ) > / Δ) Εφπτομένη στο σημείο κμπής. 8 ln + ln ln f () f () ln ln f + - f κυρτή κοίλη f ( ) ΣΚ Α (, - )

3 ε : y + ( ) y ε : y Ε) στο < f κοίλη. Άρ η C f βρίσκετι πάνω πό την εφπτομένη. Άρ f() ln > ( ln ) ln Ζ) lim f () lim lim lim f () + lim+ ( ln ) + ( + ) + Η) Επειδή lim f () η y είνι οριζόντι σύμπτωτη στο +. Άρ + δεν μπορεί ν έχει πλάγι σύμπτωτη στο + Θ) Ε ; C f,, + f() / E ln f ()d d d d [In] In [(In) ].. τµ 8 8 Ι)θεωρώ g() f()-+ g συνεχής στο [,] g() f()++> θr

4 g() -+-+< Άρ,: ΘΕΜΑ ο Έστω μι συνεχής συνάρτηση f ώστε In f()f ()In + γι κάθε < κι f(), f ( ) Α)Ν ποδείξετε ότι f() In Β)Ν μελετήσετε την f ως προς την μονοτονί κι τ κρόττ Γ)Ν βρείτε το σύνολο των τιμών της In Δ)Ν ποδείξετε ότι dt t Int, In, Ε)Ν ποδείξετε ότι lim t + dt + Int Ζ)Αν g() f (t)dtφού διπιστώσετε ότι η g - είνι πργωγίσιμη στο μετά ν ποδείξετε ότι (g - ) () f συνεχής : ln. f(). f (). In + () <, κι f(), f Α)Ν.δ.ο. f() In f () f () () ln (f()-f ()) ln -

5 f () In f () In f () In In + c + c,< <, > γι f In + c + c c f () In γι + c + c c ρ f () f () In In < Β) f () In In, f () In In In + f () F() Γν.φθίνουσ Γν.φθίνουσ Γν.ύξουσ f() τοπικό ελάχιστο στο το f γν. φθίν. στ (, ) κι (, ] f γν. ύξ. στο [, + ) ln Γ) lim f () lim + + lim f () lim ln, φού ln< γι < lim f () + lim+ ln + + lim f () lim + + ln + + lim + +

6 A (, ) f(a ) γν. ί φθν (,), Α (, ] f(a ) γν. ί. φθν [, + ) γν. ύ ξ. [, A [, + ) f(a ) + ) f(α)f(a ) f(a ) f(a )(-, ) [, + ) In Δ) Ν.δ.ο dt (), t Int In < t fγν. ύξ. f () f (t) f () f ()dt f (t)dt f ()dt f() dt f (t)dt f () dt ln f (t)dt ln () Ε)Ν.δ.ο lim + + In + lim t + dt + Int lim + + πό (Δ) κι κριτήριο πρεμβολής προκύπτει το ζητούμενο lim + + In + lim + + Ζ) g() f (t)dt A f (,) (, + ) επειδή (, + ) Ag(, + ) In g ()f() > γι κάθε > g g - η g ντιστρέφετι Η g - θ είνι πρ/μη στο ν υπάρχει το πργμτικός ριθμός. g () g lim () κι είνι Θέτω g - ()u g(u) ότν τότε u g - () f (t)dt g f (t) > γιτί είνι : g - () g() ()

7 Άρ g () g () lim lim u lim u g(u) u g(u) L g πρ/μη στο (, + ) με g () f () g () f () In g() lim g() g() g() όµως g () lim lim Επομένως L ΘΕΜΑ ο (f ) () Δίνετι η ορισμένη στο R συνάρτηση f γι την οποί ισχύει f ()f()+ γι R με f () γι κάθε R Είνι κι f() - κι f(in9) Α)Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι γνήσι ύξουσ Β)Ν ποδείξετε ότι υπάρχει μονδικός ριθμός έστω ο, ώστε f( ) Γ)Ν ποδείξετε ότι η f έχει μονδική κμπή, έστω στη θέση Δ)Ν ποδείξετε ότι < In9 Ε)Ν ποδείξετε ότι f () f ()d f ορισμένη στο R ισχύει : f () f()+ () γι εr με f () εr f() -, f(in9) Α)πό την () προκύπτει ότι φού υπάρχει η f η f είνι πρ/μη f συνεχής στο R όμως f () η f διτηρεί πρόσημο στο R

8 επομένως η f θ είνι ή 9> In9>In In9> In9 < f () < f () < f (In9) f () < f ( f (In9) ) Άρ η f (μπορεί) ν είνι (μόνο) (άρ κι f () ) f () < f () f (In9) < f (In9) > fσυνεχήςστο[, In9] ΘΒ Β) (, In9) τω. f ( ) f άρ το μονδικό Γ) () f () In9 f () f () + f (In9) f (In9) + f () < (In9) f > () f (In9) < ΘΒ () f () (f () + ) fσυνεχής f συνεχήςστοr f (, In9) : f ( ) πιθνή θέση Σ.Κ. συνεχήςστο[, In9] f () f () + (f () + ) f πρ / µη πρ / µη f πρ / µηµε (f ()) f () f () f < f f ( ( ) < f ) < f ( ( ) f ) f ( ) + < f ( γι > f f () f ( ) f > () > γι < f f () f ( ) f < () < ) + [f ( ) + ] < [f ( ) + ] Άρ η f λλάζει πρόσημο εκτέρωθεν του κι επομένως (, f( )) Σ.Κ.

9 In9 f () - + f() κοίλη κυρτή Σ.Κ Δ)η () γι δίνει : f ( )f( )+ Ξέρουμε επίσης ότι f ( ) f Άρ < f ( ) < f () < Ing Ing () Ε)Ι f () f ()d [f () + ] f ()d f ( ) Ing f () f ()d+ f ()d Ing [f ()] Ing + [f ()] Ing [f (Ing) f ()] + [f (Ing) f ()] [ ( ) ] + [ ( )] 8 8 ( 8) ΘΕΜΑ ο Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο R + ώστε f (t)dt με R + Έστω κι F μι πράγουσ της f Α)Ν ποδείξετε ότι F () - B)Ν ποδείξετε ότι F() f ()d+ F()d Γ)Ν ποδείξετε ότι f ()d Δ)Ν ποδείξετε ότι f ()d

10 f συνεχής στο [, + ) με f (t)dt () γι κι F μι πράγουσ της f Α) Ισχύει η νισοισότητ () άρ το μυλό μου πάει στο θεωρ. Frmat Θεωρώ h() f (t)dt τότε h() κι η () γίνετι : h() h() h()() επειδή h πρ/μη κι επειδή λόγω της () στο θ προυσιάζει ελάχιστο πό το θ.f θ ισχύει : h () h () f () + όµως Fπράγουσ της f F () f () h ()f()+, F () + F () Β) Αρκεί ν δειχθεί ότι: f ()d F() F()d επειδή f()f () έχω : f ()d F ()d (κάνω πργοντική) [F()] - ( ) F()d F() F() F()d F() F()d Γ) Θεωρώ γι ρχική της f την F() f (t)dt κι τότε η () γίνετι: F() F() F() d F ()d ( ) d [ ] d F()d d + F + F()d + d

11 Β F() F() f ()d f (t)dt - f ()d f ()d Δ) Είνι ( f () + ) ( f () + ) d ( f () + f () + ) d f ()d+ f ()d+ d f ()d f ()d () πό (Γ) ()d f ()d f άρ () f ()d ΘΕΜΑ 5 ο Έστω η συνεχής στο R + συνάρτηση f ώστε f(). f() γι κάθε [, + ) Α)Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε Β)Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο o Γ)Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο R + Δ)Ν ποδείξετε ότι f - () / R + Ε)Αν η f είνι κι πργωγίσιμη, ν ποδείξετε ότι d + f () f () () f συνεχής στο R + με f() f () [, + ) () A. () γι : f() f f () άρ f () γι γι > () f ( ) f () f () > f () > > > f ()

12 () f () > > f () > f () <f()< γι > Άρ γι θ ισχύει f () Β. f () f () f () lim+ lim + f () lim f () () + Γ. Έστω ότι η f δεν είνι γνησίως ύξουσ στο R + ( ) τότε θ υπάρχουν, με < f ( ) f () f f ( ) τότε f ( ) f ( f ( ) i f ( ) ) > > ( ) f( f () f ( ) ) f ( ) ΆΤΟΠΟ () Δ) f γν. ύξουσ f η f ντιστρέφετι θέτω στην () όπου f() το y κι έχω: y y y, f ( ), E) πργωγίζω την () κι έχω: () () () () f () [ ] f + f () f () f f () f + f () f [ ] f () + f () () I () d + f () + f () d d d f () () f () + () f () f () () f () f () f () f () f () f ()d [ ] d [ ] f.

13 ΘΕΜΑ 6 Ο Δίνετι η συνεχής συνάρτηση f: [, + ) R γι την οποί ισχύει: f () f πρ/μη γι κάθε f ' γνησίως ύξουσ στο [, + ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ισχύουν : ) Υπάρχει έν τουλάχιστον, τέτοιο ώστε:f() f ' (). β) f () f ' () f ( ) γ) η g () είνι γνησίως ύξουσ στο (, + ) ) f συνεχής στο [, ], κι f πρ/μη στο (, ) Άρ ισχύει το ΘΜΤ γι την f στο [, ] Επομένως υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε : f ' (ξ ) f ( ) f () f ( ) f ' (ξ) f() f ' (ξ) () ξ ξ ξ, θέτοντς έχουμε :ξ κι η () γίνετι : f ( ) f ' ( ) f ' β) f ' ( ) f ' () f ' ( ) f ' () () Άρ πό την ) κι με τη βοήθει της () έχω: f( ) f ' ( ) f ' ( ) f ( ) f ' ( ) ' f ( ) γ) g ' () f ( ) λόγω του β) Άρ g γνησίως ύξουσ στο (, + )

14 ΘΕΜΑ 7 Ο Δίνετι η συνεχής συνάρτηση f : [, ] R γι την οποί ισχύει: f(), f(), f πρ/μη στο (, ) f ' συνεχής στο (, ) Ν δείξετε ότι : f() ) Υπάρχει (, ) ώστε f ' ( ) β) Υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε f ' (ξ) ¼ γ) Αν f φορές πρ/μη ν δείξετε ότι υπάρχει (, ): f '' ( ) ) f συνεχής στο [, ] f πρ/μη στο (, ). Άρ ισχύει το ΘΜΤ γι την f στο [, ] κι επομένως υπάρχει (, ) (, ) τέτοιο ώστε f ' ( ) β) f συνεχής στο [, ] f πρ/μη στο (, ) f() f () f () f () Αρ ισχύει το Θ.R. γι την f στο [, ] κι επομένως υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f ' ( ) Άρ η f ' πίρνει τις τιμές κι κι επειδή f ' συνεχής στο [, ] (, ) σύμφων με το θεώρημ ενδιάμεσων τιμών φού το / είνι μετξύ του κι του θ υπάρξει ξ (, ) (, ) ώστε f ' (ξ) /. γ) f δυο φορές πρ/μη στο [, ]. Αρ η f ' πρ/μη στο [, ].Επομένως ισχύει το Θ.Μ.Τ γι την f ' στο [, ξ ] (, ) ξ

15 Άρ υπάρχει (, ξ ) (, ) τέτοιο ώστε f ' ' ( ) ' f ( ξ ) f ξ ' ( ) / ξ / ξ ΘΕΜΑ 8 Ο Ν δείξετε ότι γι κάθε,β R με,β ισχύει : β - β ( β) () γι κάθε [, ]. () β - β ( β) θεωρώ f () a β β ( β), f ' () β ln - β lnβ ( β) f ' β ( ln lnβ ) ( -β ) ' ( ) β ln ( ln- lnβ) - β lnβ( ln lnβ) β ( ln lnβ) ( ln lnβ) β ( ln lnβ) Άρ f κυρτή στο [, ]. Όμως : f() f(). Άρ η c f βρίσκετι κάτω πό τον ' ότν (, ). Επομένως: f () γι [, ].

16 Β τρόπος Η f συνεχής στο κλειστό [, ]. Άρ έχει μέγιστη κι ελάχιστη τιμή επειδή f() f() θ υπάρχει (, ) στο οποίο θ προυσιάζει κρόττο.επειδή f πρ/μη,πό το θεώρημ ; έχω ότι f ' ( ) f ' γι f ' () f ' ( ) f ' () γι ' f f ' () f ' ( ) f ' () Άρ η f έχει μέγιστο το f() f() [, ] f() f - + f ΘΕΜΑ 9 Ο Έστω f συνεχής στο [, β ], πρ/μη στο (, β) κι f () f (β) () Ν δειχτεί ότι: ) Υπάρχουν ξ, ξ (, β) με f ' ( ξ ) + f ' ( ξ ) β) Υπάρχουν ξ, ξ (, β) με f ' ( ξ ) +f ' ( ξ ) γ) Υπάρχουν ξ, ξ, ξ (, β ) με f ' ( ξ ) + f ' ( ξ ) + f ' ( ξ ) δ) i) Υπάρχουν ξ, ξ, ξ,ξ (, β ) ώστε : f ' ( ξ ) + f ' ( ξ ) + 5 f ' ( ξ )+ f ' ( ξ ) ii) Αν f ( ) f ( β) ν.δ.ο. f ( β ) f ( a) β ' ' ' ' f ( ξ) + f ( ξ ) + 5 f ( ξ ) + f ( ξ ) ) Επειδή οι συντελεστές των f ' ( ξ ), f ' ( ξ ) είνι ίσοι με, χωρίζω το [, β ] σε ίσ διστήμτ. Αν γ μέσο του [, β ] τότε :

17 γ- β-γ () γ β (γ ισχύει το Θ.Μ.Τ. γι την f στ [, γ], [ γ, β ]. +β ) Άρ υπάρχει ξ (, γ ) : f ' ( ξ ) f ( γ ) f ( ) γ υπάρχει ξ ( γ, β ) : f ' ( ξ ) f ( β ) f ( γ ) β γ ( ) ( ) f ( ) f ( γ ) γ - f ' ( ξ ) Άρ : f ' ( ξ ) + f ' ( ξ ) β) Επειδή οι συντελεστές των f ' ( ξ ), f ' ( ξ ) είνι, (+) χωρίζω το [, β ] σε άνισ διστήμτ.: γ β το γ σημείο του (, β) ώστε γ- () β κι β-γ ( β ) ( γ ) Ισχύει το Θ.Μ.Τ. γι την f στ [, γ ], [ γ, β]. Άρ υπάρχει ξ (, γ ): f ' ( ξ ) f ( γ ) f ( ) γ υπάρχει ξ ( γ, β ): f ' ( ξ ) f ( β ) f ( γ ) β γ ( ) ( ) f ( ) f ( γ ) ( γ ) f ' ( ξ ) - f ( γ ) f ( ) γ Αρ : f ' ( ξ ) + f ' ( ξ ) γ) Επειδή οι συντελεστές των f ' ( ξ ), f ' ( ξ ), f ' ( ξ ) είνι ίσοι με, χωρίζω το [, β ] σε ίσ διστήμτ.

18 β γ δ β γ- δ-γ β δ () Ισχύει το Θ.Μ.Τ. γι την f στ [, γ ], [ γ, δ ], [ δ, β] Άρ υπάρχει ξ (, γ ): f ' ( ξ ) υπάρχει ξ ( γ, δ ): f ' ( ξ ) f ( γ ) f ( ) γ f ( δ ) f ( γ ) δ γ ) f ( δ ) f ( γ ) ( γ υπάρχει ξ ( δ, β) : f ' ( ξ ) f ( β ) f ( δ ) β δ ( ) ( ) f ( ) f ( δ ) γ προσθέτω κτά μέλη : f ' ( ξ ) + f ' ( ξ ) + f ' ( ξ ). δ) i) Επειδή οι συντελεστές των f ' ( ξ ), f ' ( ξ ), f ' ( ξ ), f ' (ξ ) είνι,, 5, με ++5+ χωρίζω το [, β ] σε άνισ διστήμτ γ δ ρ β ώστε γ- ( β ), δ-γ ( β ), ρ-δ 5( β ), β-ρ ( β ) (5) Ισχύει το Θ.Μ.Τ. στ [, γ ], [ γ, δ ], [ δ, ρ], [ ρ, β] Άρ υπάρχει ξ (,γ ): f ' ( ξ ) f ( γ ) f ( ) γ f ( γ ) f ( a) /( β ) f ' ( ξ ) [ f ( γ ) f ( )] ( β )

19 Υπάρχει ξ ( γ, δ ) : f ' ( ξ ) f ( δ ) f ( γ ) δ γ f ( δ ) f ( γ ) /( β ) f ' ( ξ ) [ f ( δ ) f ( γ )] β Υπάρχει ξ ( δ, ρ ) : f ' ( ξ ) f ( ρ) f ( δ ) ρ δ f ( ρ) f ( δ ) 5 /( β ) 5 f ' ( ξ ) [ f ( ρ) f ( δ )] β Υπάρχει ξ ( ρ, β): f ' (ξ ) f ( β ) f ( ρ) β ρ f ( β ) f ( ρ) ( 5) /( β ) f ' (ξ ) [ f ( β ) f ( ρ)] β με πρόσθεση κτά μέλη κι λόγω της () προκύπτει το ζητούμενο. ii) Αν f () f (β) τότε με πρόσθεση κτά μέλη των προηγούμενων ισοτήτων έχουμε: f ' ( ξ ) + f ' ( ξ )+5 f ' ( ξ ) + f ' (ξ ) [ f ( β ) f ( a)] β πό όπου προκύπτει το ζητούμενο. ΘΕΜΑ ο Εστω η συνάρτηση f:[,β]r, πργωγίσιμη στο [,β] με ( ) f '( β) f ' κι f()<f(β). f( ) f( ), < β ) Ν δείξετε ότι η συνάρτηση g ( ) είνι συνεχής στο [,β]., β) Ν δείξετε ότι η g() είνι πργωγίσιμη στο (,β] με g (β)<. γ) i) Αν g()>g(β)>, ν δείξετε ότι η g() πίρνει μέγιστη τιμή σε έν εσωτερικό σημείο του διστήμτος [,β].

20 ii) Ν δείξετε ότι υπάρχει ξ (,β) τέτοιο ώστε ν ισχύει: f ( ) ( ξ) f( ) f ξ. δ) Αν < μ < ξ ( β) f( ), ν δείξετε ότι υπάρχει ξ (,β) τέτοιο ώστε ν f β ισχύει: f(ξ)-f() μ (ξ-). ε) Αν η συνάρτηση f() είνι δύο φορές πργωγίσιμη κι κυρτή στο διάστημ (,β) ν δείξετε ότι η συνάρτηση g() είνι γνησίως ύξουσ στο (,β). ) Η g είνι συνεχής στο (,β] ως πηλίκο των συνεχών : f()-f() κι -. Στο εξετάζουμε τη συνέχει με τον ορισμό. f ( ) ( ) f( ) lim g lim f ( ) g( ). Αρ g συνεχής στο Επομένως η g είνι συνεχής στο [,β]. β) Η g είνι πργωγίσιμη στο (,β) ως πηλίκο πργωγίσιμων f συνρτήσεων, με ( ) ( )( -) f( ) + f( ) g. ( -) Στο β : lim β g ( ) g( β ) β lim β f ( ) f ( a) f ( β ) f ( a) a β β lim β f ( ) f ( a) ( ) a ' ( β ) ' ' f ( )( a) f ( ) + lim ( a) β f ( a) ' f ( β )( β ) f ( β ) + ( β ) f ( a) ( ( ) ( a) ) f β f - β Άρ g πρ/μη στο β με g ' (β).

21 γ) Επειδή g συνεχής στο κλειστό [,β] θ πίρνει μέγιστο. Όµως κι g g() > g(β) > ( ) Άρ g() g(β) g() Επομένως η g πίρνει μέγιστο σε εσωτερικό σημείο ξ (, β). Επειδή g πρ/μη στο (, β) πό το θεώρημ Frmat έχουμε ότι g ' (ξ) ' f ( ξ )( ξ ) f ( ξ ) + ( ξ ) f ( a) ' f ( ξ) ξ f ( ξ ) f ( a) ( ξ ) f ' (ξ) f ( ξ ) f ( ) ξ δ) ΘΜΤ στο [, β] υπάρχει (, β) : f ' ( ) f ( β ) f ( a) β () f ' () μ f ' ( ) β Θ. Ε. Τ. g () μ g ( ) υπάρχει ξ (, ): g (ξ) μ f ( ξ ) f ( a) ξ μ ε) Θ.δ.ο. ν τότε g( ) g( ) f ( ) f ( a a ) f ( ) f ( a a ) ( -, - ) ( ) [f ( )-f()] ( -) [f ( )-f()] (5) Θεωρώ h() f()-f() τότε (5) ( -) h( ) ( - ) h( )

22 h( ) h( ) h( ) h( ) Προσθέτω κι φιρώ το h( ) κι έχω: h( )- h( ) + h( ) + h( )-h( ) h( ) ξ ξ β ή ( - ) h( )+ ( - ) h( ) ( - ) h( ) ή ( - ) h( ) ( - )( h( )- h( )) πολ/ζω με ( )( a ) (κι επειδή h()) έχω: h( ) h( ) h( ) h( a ) (6) Εφρμόζω Θ.Μ.Τ. γι την h στ [, ], [, ] Υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε :h ' (ξ ) κι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε: h ' (ξ ) h( ) h( a a ) h(, ) h( ) Ετσι η (6) ισοδύνμ δίνει: h ' (ξ ) h ' (ξ ) που ισχύει γιτί ξ <ξ κι h ' () f ' () στο (, β) φού f κυρτή στο (, β). ΘΕΜΑ ο Δίνετι η συνάρτηση f() πργμτικός ριθμός με. y + ( ) + lim y + y y+ y, όπου θετικός ) Ν βρεθεί ο ώστε η συνάρτηση g() ln f() ν προυσιάζει ελάχιστο. β) Γι οποιδήποτε πό τις τιμές του που βρήκτε στο ()

23 ερώτημ,ποδείξτε ότι γι την πρπάνω συνάρτηση g ισχύει ότι το εμβδό του χωρίου που περικλείετι πό την Cg κι τον άξον δεν είνι μεγλύτερο πό τ.μ. ) Δικρίνουμε τις περιπτώσεις >, <<. Βρίσκουμε g() ln f() ( )ln, (, ) ln, >.Γι την περίπτωση > η g δεν έχει κρόττ, οπότε πρέπει << κι g()( -)ln. Αν (, ) τότε ln < κι η g έχει μέγιστο οπότε (, ). Αν τότε g() κι η g έχει ελάχιστο το. Αν (,) τότε ln> κι κι η g έχει ελάχιστο. Τελικά λοιπόν [,). β) Το ζητούμενο εμβδό είνι Ε g ( ) d.επειδή g () ( )ln -, γι [-, ]. Έτσι Ε ( ) d Ε. ΘΕΜΑ ο Δίνετι η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Rγι την οποί ισχύει : f()+f(-) -, γι κάθε R. ) Ν βρείτε τον τύπο της f. β) Ν βρείτε τις σύμπτωτες της συνάρτησης g() f ( ) ln γ) Αν h() f(), ποδείξτε ότι υπάρχουν, β Rτέτοιοι ώστε : β h ( ) d h()-h(β)..

24 ) Θέτουμε όπου το - κι πό το σύστημ που προκύπτει βρίσκουμε f()668-. β) Είνι g() Επειδή lim ln g ( ), (, ) (,+ ). κι οριζόντιες ή πλάγιες σύμπτωτες. lim (g()- ) - R, η C f δεν έχει + Είνι lim g() R κι lim g() +, lim g() - οπότε η C + + f έχει κτκόρυφη σύμπτωτη την ευθεί. γ) Είνι h() (668-) , Rκι β β h ( ) d [h ()] β - ( ) h ( ) dβh (β)- h ()-[h()] β βh (β)- h ()-h(β)+h(). β Γι ν ισχύει η ισότητ h ( ) d h()-h(β),ρκεί βh (β)- h (), γι κτάλληλες τιμές των, β.έχουμε h () ή. 6 Επιλέγοντς κι β πίρνουμε το ζητούμενο. ΘΕΜΑ ο Δίνετι η πργωγίσιμη στο Rσυνάρτηση f γι την οποί ισχύει : f ()+f(), γι κάθε Rκι f()+. ) Ν βρείτε το όριο lim ( y + lim f(y)). β) Ν δείξετε ότι η f είνι κυρτή στο R. ) Έχουμε f ()+f() (f ()+f()) ( f()) ( ) f() +c, c στθερά.γι : f() +c ++c c.

25 Άρ f()+ -, R. Είνι λοιπόν lim ( y + lim f(y)) lim ( y + lim (+ -y )) θ τουµε lim (+-y ) y + έ y t lim (+t ) +. t β) f () - -, f () - >,άρ η f είνι κυρτή στο R. ΘΕΜΑ ο Έστω η συνεχής στο Rσυνάρτηση f κι η πργωγίσιμη στοr συνάρτηση g γι τις οποίες ισχύουν :( f o f o f )() κι ( f o f )()g (), γι κάθε R. Αν η C g διέρχετι πό τ σημεί Α(, ) κι Β(, 9 ), ν δείξετε ότι : ) f ( g ( )) d. β) f o f o ( o f )( t) dt ) f(g ())(fofof)(),άρ η f εμφνίζετι στο ολοκλήρωμ 6 φορές). f ( g ( )) d [ ]. β) , άρ f f o ( o f )( t) dt o f ( f ( )) d g ( ) d g() g(). ΘΕΜΑ 5 ο Δίνετι η συνεχής συνάρτηση f γι την οποί ισχύει f()+f(-),γι κάθε R. Ν δείξετε ότι : ) f(+)f(), γι κάθε R. 5 β) f + ( 5) d 6 f ( ) d. ) Θέτουμε όπου το + : f(+)+f(+) () Θέτουμε όπου το + : f(+)+f() () Από () κι () : f(+)f().

26 5 5 5 β) f ( + 5) d f ( + + ) d f + ΘΕΜΑ 6 ο ( ) d + u 6 f ( u) du. Έστω η συνάρτηση f : R R γι την οποί ισχύει : [f()] -[f()] -f()-, γι κάθε R. ) Ν δείξετε ότι η f είνι στθερή. + f ( ) β) Θεωρούμε τ ολοκληρώμτ : I d, J + + d, K d. Ν υπολογίσετε + + f ( ) 8 την πράστση I J K. 8 ) Η δοθείσ ισότητ γράφετι (f()-)(f ()+f()+), οπότε f(). β) I J K + + d d d d + d d ( ) d. ΘΕΜΑ 7 ο ) Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο [ -, ], >. Ν ποδείξετε ότι : f ( ) d f ( ) d, ν η f είνι άρτι., ν η f είνι περιττή. β) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ Ι συν ( + ηµ) log d.,, +

27 γ) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ J π π 5 + συν d. ) Είνι f ) d ( f ( ) d+ τότε υτό είνι ίσο με f ( ) d. Γι το f ( ) dθέτουμε - u κι f ( ) d ν η f είνι άρτι, ενώ είνι ίσο με f ( ) d ν η f είνι περιττή. β) Η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είνι περιττή άρ Ι. π 5 γ) J d πσυν π + d πσυν π + d πσυν π + d πσυν π ( ) d συν ( εφ π -εφ) 6. ΘΕΜΑ 8 ο Δίνετι η συνάρτηση f() 5 +6 β +7 γ με f(), γι κάθε R. Αποδείξτε ότι : ) η f έχει ελάχιστο το, β) 5 6 β 7 γ. ) Επειδή f() θ είνι f() f() άρ το f() είνι ελάχιστο της f. β) Από το θεώρημ Frmat : f (). Μετά πό πράξεις πίρνουμε το ζητούμενο. ΘΕΜΑ 9 ο ) Ν λυθεί στο Rη εξίσωση : ( + +) ( +) 7 +( + +) 7 ( +). β) Ν λυθεί η νίσωση : ln ( + ) <.

28 ) Η εξίσωση γράφετι ( + +) +( + +) ( +) +( +) Θεωρούμε τη φ() + 7 +, η οποί είνι γνησίως ύξουσ στο R, άρ κι, επομένως η εξίσωση τώρ γράφετι φ( + +) φ( +) ή. β)η νίσωση γράφετι ln [( + + 9) ( + + 7)] < ln( + + 9) +5( + + 9) < ln( + + 7) + 5( + + 7). Θεωρούμε την g() ln +5, η οποί είνι γνησίως ύξουσ στο (, + ) κι τώρ η νίσωση γράφετι g( + + 9) < g( + + 7) < < (, ). ΘΕΜΑ ο ) Αν f, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο [, β] κι f() g() γι β κάθε [, β], ν δείξετε ότι f ) d β ( g ( ) d. β) Αν f είνι συνεχής συνάρτηση στο [, β] ν δείξετε β ότι f ) d β ( f ( ) d. γ) Αποδείξτε ότι : ( + ) + ηµ 5 ( συν ) d. δ) Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση φ με συνεχή πράγωγο στο [-, ],>,τέτοι ώστε : φ(-), φ() 7 κι φ (), γι κάθε [-, ]. ) f() g() γι κάθε [, β], επομένως ( f ( ) g( )) d, π όπου πίρνουμε το ζητούμενο. β

29 β) - f () f() f () γι κάθε [, β], οπότε λόγω του (): β - f ) d β ( f ) d β ( f ( ) d f ) d β β ( f ( ) d. γ) Λόγω των () κι (β) είνι : συν ( + ) + ηµ ( ) d ( + ) + ηµ d συν ( + ) + [ + ] 5. ( ( συν ηµ ) d ) d + δ) Αν υπάρχει τότε φ ( ) d d φ() φ(-) 8 8 (άτοπο). ΘΕΜΑ ο ) Αν f, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο διάστημ [, β], ν ποδείξετε ότι : β ( f ) g( ) d ( ) ( f ( )) d β β ( g( )) d. «Ανισότητ Schwarz» β) Αν φ είνι μι συνάρτηση με συνεχή πράγωγο στο [, β], ποδείξτε ότι : β φ( β ) φ( ) ( ( φ ( )) d) ( β ). t ) Έστω φ(t) ( t f ( ) g( ) d) ( f ( )) d ( g( )) d, t β. t φ (t) ( f ( ) g( t) f ( t) g( )) d, άρ η φ είνι φθίνουσ στο [, β], οπότε φ() φ(β) π όπου πίρνουμε το ζητούμενο. β) Από το () γι f() κι g() φ () πίρνουμε το ζητούμενο. ΘΕΜΑ ο t

30 ) Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση f σε έν διάστημ [, β]. Αποδείξτε ότι : +β ν η f στρέφει τ κοίλ άνω στο [, β] τότε f( ) < +β ν η f στρέφει τ κοίλ κάτω στο[, β] τότε f( ) > «Ανισότητες Jnsn» β) Γι κάθε Rν δείξετε ότι : f ( ) + f ( β ) f ( ) + f ( β )., (+) + (+) 8 < ( + (+) +(+) ). ) Εφρμόζουμε το θεώρημ μέσης τιμής γι την f στ διστήμτ [, +β +β ],[ τέτοι ώστε f (ξ ) +β +β, β] οπότε υπάρχουν ξ (, ), ξ (, β) + β f ( ) f ( ) β κι f (ξ ) + β f ( β ) f ( ) β Αν η f είνι κυρτή (κοίλη) τότε η f είνι γνησίως ύξουσ (γνησίως φθίνουσ) οπότε ξ < ξ f (ξ ) < f (ξ ) (f (ξ ) > f (ξ )) κι μετά τις πράξεις πίρνουμε το ζητούμενο. β) Η συνάρτηση f() + 8 στρέφει τ κοίλ άνω στο R, οπότε ν εφρμόσουμε το () γι την f στο [, +], πίρνουμε το ζητούμενο. ΘΕΜΑ ο Δίνετι η τέσσερις φορές πργωγίσιμη στο R συνάρτηση f τέτοι ώστε : f () () + f () () ημ + συν, γι κάθε Rκι f(),f (), f () - κι f () (). ) Ν βρείτε τον τύπο της f. β) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ : d. f ( ) π.

31 π γ) Υπολογίστε το άθροισμ : S f ( ) d + f ( ) d. ) Θέτουμε f () () g().τότε g () + g() ημ + συν (g () + g()) (ημ + συν) ( g()) ( ημ) g() ημ +c. Επειδή g() f () (), προκύπτει c, οπότε g() ημ ή f () () ημ.από την τελευτί ισότητ χρησιμοποιώντς κι τις ρχικές συνθήκες πίρνουμε διδοχικά f () - συν, f () - ημ, f() συν. π π β) d f ( ) συν d π d π ηµ ( ) π d π π ηµ ( ) συν ( ) (διιρούμε ριθμητή κι προνομστή με συν π ( )) - π π ( εφ( )) d π εφ( ) π -[ln(εφ( ) )] π π - ln(εφ ). π γ) S f ( ) d + f ( ) d ηµ d+ συν d ( + συν ) d ηµ d. ΘΕΜΑ ο Δίνετι ορθογώνιο πρλληλεπίπεδο του οποίου οι διστάσεις μετβάλλοντι συνρτήσει του χρόνου t. Αν το μήκος κι το πλάτος υξάνοντι με ρυθμό m/sc, m/sc ντιστοίχως, ενώ το ύψος ελττώνετι με ρυθμό m/sc, ν βρείτε τη χρονική στιγμή t o που το ύψος είνι ίσο με το πλάτος κι ίσο με m : ) το ρυθμό μετβολής του εμβδού της ολικής επιφάνεις του ορθογωνίου πρλληλεπιπέδου.

32 β) το ρυθμό μετβολής του όγκου του ορθογωνίου πρλληλεπιπέδου. Αν a(t), b(t), c(t) είνι ντίστοιχ το μήκος, το πλάτος κι το ύψος του πρλληλεπιπέδου τότε Ε(t) a(t)b(t) + b(t)c(t) +c(t)a(t) κι V(t) a(t)b(t)c(t) οπότε πργωγίζοντς κι λμβάνοντς υπόψη ότι a (t), b (t), c(t) - ( σε m/sc ) κι b(t ο ) c(t ο ) m πίρνουμε τελικά Ε (t ο ) 6 m /sc κι V (t ο ) 6 m /sc. ΘΕΜΑ 5 ο Έστω μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Rη οποί είνι συνεχής στο κι ισχύει f( + y) 5f()f(y), γι κάθε, y R. ) Αποδείξτε ότι η f είνι συνεχής στο R. β) Αν g() f ( t) dt f ( t) dt f ( t) dt f ( t) dt, ν δείξετε ότι η C g δέχετι τουλάχιστον 99 οριζόντιες εφπτόμενες. ) Αν είνι τυχίο σημείο του Rρκεί ν δειχθεί ότι Ότν ισχύει, +. Είνι limf() f(). a limf() a + t lim t f(t + ) lim t [5f(t)f( )] 5f( ) lim t f(t) 5f( )f() f( +) f(). β) Επειδή η f είνι συνεχής στο R η g είνι πργωγίσιμη στο R. Ισχύει g() g() g() g(). Εφρμόζουμε γι την g το θεώρημ Roll στ διστήμτ [, ], [, ], [, ],, [99, ] κι πίρνουμε το ζητούμενο.

33 ΘΕΜΑ 6 ο ) Αποδείξτε ότι : k d k πk, k >. β) Υπολογίστε το πρκάτω άθροισμ συνρτήσει του > : a a S a d + a d + 9 a d+ 6 a d. ) Η y k γράφετι +y k (εξίσωση κύκλου). Το ολοκλήρωμ πριστάνει το εμβδό του χωρίου που περικλείετι πό τον πρπάνω κύκλο κι βρίσκετι στο ο τετρτημόριο, άρ θ είνι ίσο με το του a a εμβδού του κύκλου δηλδή πk. β) Λόγω του () : S π π ( ) + π + ( ) π + ( ) 5π. ΘΕΜΑ 7 ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το [-5, 7], σύνολο τιμών το [-, 9] κι την ιδιότητ f ( ) d. Ν δείξετε ότι : ) - f () + 7f() +8, γι κάθε [-5, 7]. 7 β) f ( ) d 6. 5 ) Γι κάθε [-5, 7] είνι f() 9 (f()+)( 9 f() ) - f () + 7f() β) Από την - f () + 7f() +8 προκύπτει ( f ( ) + 7 f ( ) + 8) d, π όπου μετά πό διάσπση κι πράξεις πίρνουμε το ζητούμενο. 7 5

34 ΘΕΜΑ 8 ο Θεωρούμε τη συνάρτηση f δύο φορές πργωγίσιμη στο Rτέτοι ώστε f() ( vt) f ( t) dt, ν Ν *, γι κάθε R. Ν δείξετε ότι : ) f() κι f (). β) f () ( ν)f() + ( ν)f (), γι κάθε R. γ) f(), γι κάθε R, ν ν ή ν. ) f() f () f ( t) dt - νtf ( t) dt, R. f ( t) dt + ( ν)f(), R. Άρ f() κι f (). β) Πργωγίζοντς την f () πίρνουμε το ζητούμενο. γ) Γι ν πό το (β) πίρνουμε f () f() f () + f () f() + f () g () g()«θέτοντς g() f() + f ()» [g () g() ] [ g()] g() c. Επειδή g() f() + f (), προκύπτει c, οπότε g() f() + f () [f() + f ()] [ f()] f() c. Επειδή f(), προκύπτει c, οπότε f(), R. Γι ν πό το (β) πίρνουμε f () - f () [ f () + f ()] [ f ()] f () c. Επειδή f () προκύπτει c, οπότε f () f() c. Επειδή f() προκύπτει c, άρ f(), R.

35 ΘΕΜΑ 9 ο Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, ], τέτοι ώστε f() > γι κάθε [, ] κι ln f ( ) d + ln f ( ) d. 5 ) Ν δείξετε ότι f(), γι κάθε [, ]. f ( ) β) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ : f ( ) + f ( ) d. ) Έχουμε ln f ( ) d + d ln f ( ) d [ln f ( ) ] d lnf() f(), γι κάθε [, ]. f ( ) β) Ι f ( ) + f ( ) d f ( ) + f ( ) f ( ) d f ( ) + f ( ) ΘΕΜΑ ο f ( ) - d f ( ) + f ( ) Άρ Ι Ι,5. d u f ( u) + f ( u) + f ( u) du Ι. Δίνετι η συνάρτηση f() + 5, >. ) Ν μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ. β) Ν βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ) Ν βρείτε το πλήθος των πργμτικών ριζών της εξίσωσης f(). ) f () + ( 6 + 5). Τ ζητούμεν φίνοντι στον πίνκ που κολουθεί :

36 - + f () + f() ο.ε. f() - β) Το σύνολο τιμών της f είνι το f(r) f((-, )) f([, + )) ( limf(), lim f()) [f(), lim f()) (-, + ) [-, + ) + [-, + ). γ) Επειδή (-, + ) κι [-, + ) κι η f είνι γνησίως μονότονη σε κθέν πό τ διστήμτ (-, ),[, + ) η f() έχει κριβώς ρίζες στο R. ΘΕΜΑ ο Αν γι τη συνάρτηση f ισχύει f () συν κι f() ν δείξετε ότι : ) υπάρχει ξ (, +) τέτοιο ώστε ( f o f )( a+ ) ( f o f )( a) συν ( f ( ξ )) συνξ, όπου R. β) < f ( γ ) f ( β ) < (γ β), γι κάθε β, γ [, ] π με β < γ. ) Βρίσκουμε πρώτ ότι f() ημ, οπότε θ δείξουμε ότι υπάρχει ξ (, +) τέτοιο ώστε ημ(ημ(+)) ημ(ημ) συν(ημξ)συνξ. Εφρμόζοντς το θεώρημ μέσης τιμής γι την συνάρτηση h() ημ(ημ) στο [, +]πίρνουμε το ζητούμενο.

37 ηµγ ηµβ β) Αρκεί ν δείξουμε ότι < < (γ β). Εφρμόζουμε το θεώρημ μέσης τιμής γι την g() ημ στο [β, γ]. ΘΕΜΑ ο a Δίνετι η συνάρτηση f() ημ + βσυν, όπου, β R. π )Ν δείξετε ότι η εξίσωση f() έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο (, π). a β) Αν ισχύει f ( ) d ημ, δείξτε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε f(ξ) συνξ. a ) Εφρμόζουμε το θεώρημ Roll γι την F() - συν + βημ - π στο [, π], γι την οποί ισχύει F () f() κι F() F(π) -. β) Θ δείξουμε ότι η εξίσωση f() συν, έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο (, ).Εφρμόζουμε το θεώρημ Roll γι την G() f ( t) dt- ημ στο [, ], γι την οποί ισχύει G () f() συν κι G() G(). ΘΕΜΑ ο Δίνοντι οι συνρτήσεις f() + ma{, } κι g() +. ) Ν βρείτε τη σύνθεση της f με την g. β) Ν ποδείξετε ότι η σύνθεση της f με την g είνι συνεχής στο πεδίο ορισμού της. γ) Ν εξετάσετε ν η σύνθεση της f με την g είνι πργωγίσιμη στ σημεί κι.

38 ) Είνι (-) (, ] [, + ) κι < (, ). Έτσι πίρνουμε f() +, (,] [, + ).Τελικά βρίσκουμε, (,) ( f g o )() +, (,] [, + ) +, (,) β) Η g o f είνι συνεχής στ διστήμτ,]. ( κι, ) [ + ως πόλυτη τιμή συνεχούς συνρτήσεως κι συνεχής στο διάστημ (, ) ως ρίζ συνεχούς συνρτήσεως. Επειδή lim ( g o f )(), η Επειδή lim ( f g o f είνι συνεχής στο. ( f g o )() + συνεχής στο. Άρ η lim( f lim g o )() + ( g o f )() g o )() ( g o f )(), η g o f είνι συνεχής στο R. γ) Δεν είνι πργωγίσιμη στο φού : g o f είνι lim ( go f )( ) ( go f )() κι lim+ ( go Δεν είνι πργωγίσιμη στο φού : f )( ) ( go f )(). lim ( go f )( ) ( go f )() κι lim + ( go f )( ) ( go f )(). ΘΕΜΑ ο Έστω η συνάρτηση f τρεις φορές πργωγίσιμη στο R, τέτοι ώστε : f (5) + f () f (5) + f (). ) Ν δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ (, 5) με ξ < ξ τέτοι ώστε f ( ξ ) f ( ξ ). β) Αποδείξτε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, 5) τέτοιο ώστε f () (ξ).

39 ) Η δοθείσ ισότητ γράφετι f () - f () f (5) - f (5) f () f () f (5) f (5) 5 5. Εφρμόζουμε το θεώρημ μέσης τιμής γι την f στ διστήμτ [, ] κι [5, 5] κι συμπερίνουμε ότι υπάρχουν ξ, ξ τέτοι ώστε f ( ξ ) f ( ξ ), με ξ (, ) κι ξ (5, 5). β) Εφρμόζουμε το θεώρημ Roll γι την f στο [ξ, ξ ]. ΘΕΜΑ 5 ο ) Αν f είνι μι πργωγίσιμη στο Rσυνάρτηση κι η εξίσωση f () έχει το πολύ ν δικεκριμένες πργμτικές ρίζες (ν Ν), τότε η εξίσωση f() έχει το πολύ ν+ δικεκριμένες πργμτικές ρίζες. β) Ν λυθεί η εξίσωση : + 5. ) Αν η f() έχει τουλάχιστον ν+ ρίζες τότε εφρμόζοντς το θεώρημ Roll γι την f σε κθέν πό τ ν+ διδοχικά διστήμτ που ορίζοντι πό τις ρίζες της f(), πίρνουμε ότι η f () έχει ν+ τουλάχιστον ρίζες, που είνι άτοπο. β) Είνι Έστω f() Τότε f () ln + 5, f () (ln) + >. Σύμφων μ το () η f () θ έχει το πολύ μί ρίζ, ενώ η f() θ έχει το πολύ δύο ρίζες. Πρτηρούμε ότι f() κι f(). Άρ η f() έχει κριβώς δύο ρίζες, τις κι.

40 ΘΕΜΑ 6 ο ) Έστω f μι συνεχής κι γνησίως μονότονη συνάρτηση στο [, β]. Ν δείξετε ότι η εξίσωση f() έχει λύση στο (, β) ν κι μόνο ν f()f(β) <. β) Ν δείξετε ότι η εξίσωση λ έχει λύση στο (-, ) ν κι μόνο ν λ (-, ). ) Αν f()f(β) < τότε πό το θεώρημ Bolzano η εξίσωση f() έχει λύση στο (, β). Έστω τώρ ότι η εξίσωση f() έχει λύση τον ριθμό ξ (, β). Τότε θ είνι : f() < f(ξ) < f(β) f() < < f(β), ν η f είνι γνησίως ύξουσ ή f() > f(ξ) > f(β) f() > > f(β), ν η f είνι γνησίως φθίνουσ. Σε κάθε περίπτωση είνι f()f(β) <. β) Έστω f() λ, [-, ]. H f είνι γνησίως ύξουσ στο [-, ] κι συνεχής σε υτό, οπότε σύμφων με το () : η f() έχει λύση στο (-, ) f(-)f() < λ (-, ). ΘΕΜΑ 7 ο Δίνετι η συνάρτηση f() + +, R. ) Ν δείξετε ότι η f είνι ντιστρέψιμη κι ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Ν λύσετε την εξίσωση f (). γ) Θεωρώντς ότι η f είνι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, ν βρείτε την πράγωγο της f στο σημείο.

41 ) Γι κάθε Rείνι f () + + > η f είνι γνησίως ύξουσ η f είνι η f είνι ντιστρέψιμη. Το πεδίο ορισμού της f είνι το σύνολο τιμών της f, δηλδή το f(r) ( lim f(), lim f() ) (, + ) R. + β) Πρτηρούμε ότι f(), άρ f (). H f είνι γνησίως ύξουσ στοr, φού ν υποθέσουμε ότι υπάρχουν, β R με < β κι f () f (β) θ είχμε f(f ()) f(f (β)) β (άτοπο). Άρ η εξίσωση f () έχει μονδική λύση την. γ) Γι κάθε y Rέχουμε : f(f (y)) y f (f (y))(f ) (y) (y) (f ) (y) f ( f ( y )). Γι y : (f ) () f ( f ()) f (). ΘΕΜΑ 8 ο ) Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο [, β].αν η f είνι ντιστρέψιμη κι έχει συνεχή πρώτη πράγωγο στο [, β], ν δείξετε ότι : β f ( β ) f ( ) d+ f ( ) d βf(β) f(). f ( ) β) Δίνετι η συνάρτηση f() + 5. Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ : + f ( ) d. f ( β ) ) Γι το ολοκλήρωμ f ( ) d θέτουμε f(t), t [, β], οπότε f ( ) d f (t)dt. Γι f() πίρνουμε t, ενώ γι f(β) πίρνουμε f ( β ) t β ( η f είνι ). Το f ( ) d είνι κλώς ορισμένο φού η f ( ) f είνι συνεχής ( f συνεχής C f συνεχής γρμμή f C συνεχής

42 γρμμή, φού οι C f, C είνι συμμετρικές ως προς την y f ( β ) f συνεχής ). Έτσι είνι f ( ) β f ( β ) f β f ( ) d tf t) dt (. Επομένως : f ( ) d+ f ( ) d ( f ( t) + tf ( t)) dt [ tf(t)] β βf(β) f(). f ( ) β β) f () + 5 >, γι κάθε R. Άρ η f είνι κι + σύμφων με το () θ είνι : f ( ) d f () f ( ) d f () f() f() ΘΕΜΑ 9 ο f ( ) d + ( + 5 ) d. 6 ) Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο Α κι γνησίως ύξουσ στο Α. Αποδείξτε ότι : ο ρ είνι ρίζ της εξίσωσης f() f ( ) ν κι μόνο ν ο ρ είνι ρίζ της εξίσωσης f(). β) Αν f() + t dt, R, ν δείξετε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ κι ν λύσετε την εξίσωση : f() ( ) f. ) Έστω ότι ο ρ είνι ρίζ της εξίσωσης f() f (). Τότε θ είνι f(ρ) ( ρ) f () κι θ δείξουμε ότι f(ρ) ρ. Επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ θ είνι κι η f γνησίως ύξουσ (ν < β θ είνι f () < f (β), διότι ν είχμε f () f (β) f(f ()) f(f (β)) β, άτοπο ). Αν f(ρ) > ρ τότε f (f(ρ)) > f (ρ) ρ > f (ρ) Αν f(ρ) < ρ τότε f (f(ρ)) < f (ρ) ρ < f (ρ) () ρ > f(ρ) (άτοπο). () ρ < f(ρ) (άτοπο).

43 Άρ f(ρ) ρ. Έστω ότι ο ρ είνι ρίζ της εξίσωσης f(). Τότε θ είνι f(ρ) ρ () κι θ δείξουμε ότι f(ρ) ( ρ) f. Από την () προκύπτει f ( ρ) ρ () ( ρ) f f(ρ). β) f () + >, γι κάθε R. Άρ η f είνι γνησίως ύξουσ. Σύμφων με το () έχουμε : f() f ( ) f() + t dt t dt, φού ν > τότε t dt >, ενώ ν < τότε t dt t dt <. ΘΕΜΑ ο Δίνετι η συνάρτηση f() π + ) Ν βρείτε το όριο της f στο +. β) Ν βρείτε το όριο της f στο., R. γ) Αν g(t) ηµ ( συνt ), ν βρείτε το όριο : lim + f ( ) + f ( ) ( g ( t) + t) dt. ) Είνι β) Είνι lim f() + + lim [ 5 ( ) lim f() ( ) 5 ( ) + ( ) lim [ π + ( ) + ( ) 5 π + ( ) 5 + ( ) + ( ) + + ] +. ]. γ) Γι κάθε t Rείνι g(t), οπότε : f ( ) + f ( ) ( + t) dt f ( ) + ( g( t) + t) dt f ( ) f ( ) + ( + t) dt f ( )

44 f ( ) + f() + + f ( ) ( g( t) + t) dt + f() +. Επειδή lim ( + + f() + ) lim ( + f() + ) +, πό το κριτήριο + πρεμβολής πίρνουμε lim + f ( ) + f ( ) ( g ( t) + t) dt +. ΘΕΜΑ ο Έστω f συνεχής συνάρτηση στο R. ) Αν γι κάθε, y Rισχύει f( + y) f() + f(y) + λy(+y), λ R, ν δείξετε ότι f ( ) d ( R). β) Αν γι κάθε R ισχύει f ( t) dt, ν δείξετε ότι η εξίσωση f ( ) f ( t) dt ( f ( )) έχει μί τουλάχιστον πργμτική ρίζ. ) Γι y πίρνουμε f(). Γι y - πίρνουμε f() + f(-) + δηλδή f(-) - f(), οπότε η f είνι περιττή κι συνεπώς f ( ) d. β) Θέτουμε g() f ( t) dt - +. Γι κάθε R είνι g() g( ), άρ η g προυσιάζει ελάχιστο στη θέση. Σύμφων με το θεώρημ Frmat θ είνι g ( ). Όμως g () f() κι g ( ) f() f(). Θέτουμε στην δοθείσ εξίσωση κι πρτηρούμε ότι επληθεύετι,άρ έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο R.

45 ΘΕΜΑ ο Δίνετι η συνάρτηση f,δύο φορές πργωγίσιμη στο R, με f(), f (), f ( π ) - κι f( + y) f()f(y) f( π - )f( π - y), γι κάθε, y R. Ν δείξετε ότι : ) f( π ). π β) f () - f( - ), γι κάθε R. γ) f () + f(), γι κάθε R. δ) f() συν, γι κάθε R. ) Θέτουμε π κι y. β) Πργωγίζουμε τη δοθείσ σχέση ως προς y κι έπειτ θέτουμε y. γ) Πργωγίζουμε τη (β) ως προς κι πίρνουμε f () f ( π - ). π π Από την (β) θέτοντς όπου το - πίρνουμε f ( - ) - f(). Έτσι f () - f() f () + f(). δ) Θέτουμε g() f() συν, άρ g () f () + ημ, g () f () + συν οπότε g() + g () f() + f (). Έχουμε : g ()( g() +g ()) g () [(g()) + (g ()) ] (g()) + (g ()) c, c στθερά. Πρτηρούμε ότι g() g (), οπότε πίρνουμε c. Άρ θ έχουμε (g()) + (g ()), οπότε g() f() συν.

46 ΘΕΜΑ ο ) Αποδείξτε ότι η εξίσωση + έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ (, ). β) Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς. Ν δείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον σημείο Μ εσωτερικό του τμήμτος ΑΒ τέτοιο ώστε ν ισχύει : MA Μ ΜΓ. ) Εφρμόζουμε το θεώρημ Bolzano γι την f() + στο [, ]. β) Θεωρούμε το τετράγωνο ΑΒΓΔ σε ορθοκνονικό σύστημ συντετγμένων Οy έτσι ώστε Α Ο(, ), Β(, ), Γ(, ), Δ(, ). Έστω Μ(, ) σημείο του τμήμτος ΑΒ. Τότε MA, Μ ΜΓ (, ) (, ) - +. Αρκεί ν δείξουμε ότι υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε - + +, το οποίο έχει ποδειχθεί στο (). ΘΕΜΑ ο Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το [, ] κι τιμές στο Ζ κι τη συνάρτηση g με τύπο g() 6( f ( )) + f ( ) + 6( f ( )) ( f ( )) + f ( ) κι τιμές στο Ζ. ) Ν δείξετε ότι η f είνι στθερή. β) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της g κι τους τύπους των f, g. γ) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές (t) tg ( t) + 5, β(t) tg ( t) +, γ(t)

47 t+ f ( t ), όπου t [, ]. Αν ΑΜ, ΑΔ είνι η διάμεσος κι το ύψος ντιστοίχως που κτλήγουν στην ΒΓ, ποδείξτε ότι ο ρυθμός μετβολής του τμήμτος ΜΔ ότν t είνι ίσος με 9 ln. ) Έστω ότι η f δεν είνι στθερή. Τότε υπάρχουν κ, λ [, ] με κ < λ ώστε f(κ) f(λ). Η f είνι συνεχής στο [κ, λ] [, ] κι f(κ) f(λ), οπότε πό το θεώρημ ενδιάμεσων τιμών η f θ πίρνει όλες τις τιμές μετξύ των f(κ) κι f(λ). Αυτό όμως είνι άτοπο, φού μετξύ των κερίων f(κ),f(λ) υπάρχουν ρητοί κι άρρητοι που δεν νήκουν στο Ζ. β) Πρτηρούμε ότι : g() ( f ( ) + f ( ) + ) ( f ( ) )( f ( ) + f ( ) + ) ( f ( ) ). Πρέπει f() ( ) f, που ισχύει γι κάθε [, ], φού η f πίρνει τιμές στο Ζ. Άρ Dg [, ]. Γι ν είνι g() Ζ πρέπει f() ή ή ή. Η μόνη περίπτωση που δίνει f() Ζ είνι f(), οπότε g(). γ) Είνι (t) 5 + t, β(t) + t, γ(t) t +, t [, ]. Από το ο θεώρημ των διμέσων έχουμε (ΜΔ)(t) β ( t) γ ( t) ( t) t+ - t, επομένως (ΜΔ) (t) ln[ t+ - t ] κι (ΜΔ) () 9 ln. ΘΕΜΑ 5 ο Έστω η μη μηδενική πολυωνυμική συνάρτηση f τέτοι ώστε : f( - y ) f() - yf(y), γι κάθε, y Rκι f( ). ) Ν βρείτε την f.

48 β) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ ( f ( t)) dt. γ) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + + ) d. ) Γι y : f( ) f(). Αν dgf() ν ο βθμός του f() τότε dgf( ) ν κι dg[f()] ν +. Όμως πρέπει dgf( ) dg[f()] ν. Άρ f() + β με. Η σχέση f( ) f() γράφετι + β ( +β) + β + β β ( ισότητ πολυωνύμων). Άρ f(),. Από την f( ) προκύπτει. Επομένως f(). π β) ( f ( t)) dt t dt ( βλέπε άσκηση 9 ). γ) ( + + ) d ( + + ) d ( + ) d + t π t dt, σύμφων με το (β). ΘΕΜΑ 6 ο ) Αποδείξτε ότι γι κάθε > ισχύει : ημ > -. 6 β) Θεωρούμε τετράγωνο πλευράς 6 κι πίρνουμε τυχί σημεί Α,, Α εντός του τετργώνου. Την πόστση δύο σημείων Ai, Aj την συμβολίζουμε με Dij, όπου i, j {,,, }. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεί Ai, Aj (i j) τέτοι ώστε ν ισχύει : Dij 6ηµ t dt Dij 6tt dt.

49 ) Έστω f() ημ - + 6,. Είνι f () συν - +, f () - ημ + > γι > ( γι κάθε είνι ηµ ημ, με το ν ισχύει μόνο ότν ). Η f είνι γνησίως ύξουσ οπότε γι κάθε > f () > f () f () >. Η f είνι γνησίως ύξουσ οπότε γι κάθε > f() > f() f() >. β) Χωρίζουμε το ρχικό τετράγωνο σε 9 ίσ τετράγων πλευράς. Δύο τουλάχιστον πό τ σημεί θ βρίσκοντι στο ίδιο τετράγωνο πλευράς άρ η μέγιστη πόστση υτών των δύο θ είνι ίση με τη διγώνιο του τετργώνου, δηλδή ίση με +. Υπάρχουν λοιπόν δύο τουλάχιστον σημεί Ai, Aj (i j) τέτοι ώστε < Dij. Από το () έχουμε γι κάθε > : 6ημ > 6 > 6ηµ 6 Dij 6ηµ t dt Dij 6tt dt.