ΠΣΤΥΗΑΚΖ ΔΡΓΑΗΑ. Αλαθαηαζθεπή εηθφλσλ ζε απνρξψζεηο ηνπ γθξη κε ηελ ρξήζε ησλ PHTs κεηαζρεκαηηζκψλ ΠΑΝΣΔΡΜΟ ΔΜΜΑΝΟΤΖΛ Α.Μ.:2131

Transcript

1 ΣΕΥΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΙΔΡΤΜΑ ΑΝΑΣΟΛΙΚΗ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗ ΣΜΖΜΑ ΜΖΥΑΝΗΚΧΝ ΠΛΖΡΟΦΟΡΗΚΖ ΣΔ ΠΣΤΥΗΑΚΖ ΔΡΓΑΗΑ Αλαθαηαζθεπή εηθφλσλ ζε απνρξψζεηο ηνπ γθξη κε ηελ ρξήζε ησλ PHTs κεηαζρεκαηηζκψλ ΠΑΝΣΔΡΜΟ ΔΜΜΑΝΟΤΖΛ Α.Μ.:2131 Δπηβιέπσλ: Γξ. Γεψξγηνο Α. Παπαθψζηαο

2 Abstract HUMANS, often unfailingly and effortlessly, are able to recognize a wide variety of objects irrespective of their rotations. Man-made perception systems are often designed to mimic this basic capability. One way of achieving this is by training a certain set of classifiers to recognize the objects by working in parallel to cater for a finite set of different angles. Another way is to directly devise a set of features which are invariant to the image orientation. There are plenty of methods for doing the second; some of them are very slow, while others have numerical stability issues. In addition to that, there are situations that an image reconstruction is necessary. In this work, we try to develop an algorithm that gives the best cost-efficiency in terms of time of evaluation and the quality of reconstructed image. Firstly we took a look on a set of transforms that make image reconstruction possible, namely orthogonal moments transforms. Most of these transforms have plenty of issues that making the developing of an algorithm almost impossible. Only PHT (polar harmonic transforms) ZM (zernike moments) and PZM (pseudo-zernike moments) have what it takes to build one fully working algorithm that doesn t crunch down resources and could reconstruct the image decently. In addition to that the PHT s offer much more quality reconstruction, and they re much faster than ZM s & PZM s as well. In this work we developed a software using PHT s and its subsets and we used it to find out and prove that PHT s are the most economical and efficient algorithm for image reconstruction. Πρόλογος ηελ παξνχζα πηπρηαθή εξγαζία παξνπζηάδεηαη ε πξνζπάζεηα δεκηνπξγίαο ελφο αιγφξηζκνπ αλαθαηαζθεπήο εηθφλαο ν νπνίνο λα είλαη γξήγνξνο θαη λα παξνπζηάδεη αξηζκεηηθή επζηάζεηα. Ο αιγφξηζκνο απηφο, ρξεζηκνπνηεί PHT κεηαζρεκαηηζκνχο, νη νπνίνη είλαη ππνζχλνιν ησλ κεηαζρεκαηηζκψλ νξζνγψλησλ ξνπψλ. ην πξψην θεθάιαην ηεο πηπρηαθήο γίλεηαη εηζαγσγή ζηνπο πεξηγξαθείο εηθφλσλ, κε ηδηαίηεξε έκθαζε λα δίλεηαη ζηνπο αληίζηξνθνπο κεηαζρεκαηηζκνχο πνπ επηηξέπνπλ ηελ αλαθαηαζθεπή ηεο εηθφλαο. ηε ζπλέρεηα αθνινπζεί κηα αθαδεκατθή αλαδξνκή ζηελ ηζηνξία ησλ νξζνγψλησλ ξνπψλ. Σν 2 ν θεθάιαην επηθεληξψλεηαη ζε έλα ζπγθεθξηκέλν ζχλνιν κεηαζρεκαηηζκψλ νξζνγψλησλ ξνπψλ. Σνπο PHT (Polar Harmonic Transforms Μεηαζρεκαηηζκνί πνιηθψλ αξκφληθσλ) φπσο επίζεο θαη ζηα παηδία εθαξκνγήο ησλ. ην θεθάιαην 3 δείρλεηαη ε πξνζπάζεηα δεκηνπξγίαο ελφο αιγφξηζκνπ αλαθαηαζθεπήο εηθφλσλ κε ηελ ρξήζε ησλ PHT κεηαζρεκαηηζκψλ, ν νπνίνο πξνζθέξεη ηελ απνδνηηθφηεξε ζρέζε κεηαμχ ρξφλνπ, πνηφηεηαο, θαη ππνινγηζηηθήο ηζρχεηο. Γηα ηελ επηβεβαίσζε ηεο εχξπζκεο ιεηηνπξγίαο ηνπ αιγφξηζκνπ θαηαζθεπάζηεθε ινγηζκηθφ, ηνπ νπνίνπ φιε ε αλάπηπμε πεξηγξάθεηαη ζην θεθάιαην 4, θαη ηέινο εθηειέζηεθαλ πεηξάκαηα αλαθαηαζθεπήο πνηθίισλ εηθφλσλ κε δηάθνξα κεγέζε, ηχπσλ. Όπνπ κεηξήζεθαλ θαη θαηαγξάθεθαλ ηηκέο ρξφλσλ θαη δεηθηψλ πνηφηεηαο αλαθαηαζθεπήο, νη νπνίεο ππάξρνπλ ζην θεθάιαην 5. 1

3 Πίνακασ περιεχομένων Ψηφιακή εικόνα και Περιγραφείσ : Ψηφιακή Επεξεργαςία Εικόνασ : Ψηφιακή Εικόνα : Pixel : Ανάλυςη εικόνασ : Βάθοσ χρώματοσ : Χαρτογραφικζσ εικόνεσ (bmp) : Επεξεργαςία εικόνασ : Περιγραφείσ Εικόνων : Χαρακτηριςτικά εικόνασ : Οριςμόσ του χαρακτηριςτικοφ (feature) : Σφποι χαρακτηριςτικών εικόνων : Ακμζσ : Γωνίεσ / ςημεία ενδιαφζροντοσ : Περιγραφείσ Blobs / περιοχζσ ενδιαφζροντοσ ή ςημεία ενδιαφζροντοσ : Ridges / κορυφογραμμζσ : Εξαγωγή χαρακτηριςτικών : Θεωρία ροπών : Γενική Θεωρία ροπών : Γεωμετρικζσ ροπζσ ςτην επεξεργαςία εικόνασ : Ιδιότητεσ γεωμετρικών ροπών : Προςανατολιςμόσ : Προβολζσ : Μορφή Γενικοφ υπολογιςμοφ :Σφποι ροπών : υνεχόμενεσ ροπζσ : Γεωμετρικζσ ροπζσ : Ροπζσ Legendre (LMs) : Ροπζσ Zernike : Ροπζσ Pseudo-Zernike (PZM) : Διακριτζσ ροπζσ : Ροπζσ Tchebichef (TMs) : Ροπζσ Krawtchouk (KMs)

4 : Ροπζσ Dual Hahn (DHMs) : Ανακαταςκευή εικόνων με την μζθοδο των ροπών Πολικοί αρμονικοί μεταςχηματιςμοί- Polar Harmonic Transforms (PHT) : Ειςαγωγή : Πολικοί Αρμονικοί Μεταςχηματιςμοί Polar Harmonic Transforms (PHT) : φνθετοσ Πολικόσ εκθετικόσ μεταςχηματιςμόσ - Polar complex exponential transform (PCET) : υνημιτονικόσ και Ημιτονικόσ Πολικόσ μεταςχηματιςμόσ Polar cosine & sine transform (PCT & PST) : Ιδιότητεσ Πολικών αρμονικών μεταςχηματιςμών Περιπλοκότητα υπολογιςμοφ πολικών αρμονικών μεταςχηματιςμών : Πολυπλοκότητα υπολογιςμοφ πολικών αρμονικών μεταςχηματιςμών : Αποθήκευςη : Εξαγωγή πληροφοριών και αριθμόσ μηδενικών : Πρόβλημα περιοριςμοφ : Αμετάβλητη περιςτροφήσ : Εκτίμηςη προςανατολιςμοφ : Ανακαταςκευή Εικόνασ Τλοποίηςη του PHT : Ο Polar Harmonic Transform Αλγόριθμοσ : Γρήγοροσ υπολογιςμόσ των kernel ςυναρτήςεων : Τπολογιςμόσ τησ εξίςωςησ γωνίασ : Τπολογιςμόσ την εξίςωςησ ακτίνασ : υμμετρία/αντί-ςυμμετρία 8 ςημείων : Ομαδοποίηςη των πίξελ εικόνασ : Τλοποιημζνοι αλγόριθμοι : Normal PHT : Αναδρομικοί (Recursive) PHT : PHT με χρήςη τησ ιδιότητασ ςυμμετρίασ/αντί-ςυμμετρίασ 8 ςημείων Τλοποιημζνο Λογιςμικό : Ειςαγωγή : Επεξήγηςη δυνατοτήτων προγράμματοσ Πειράματα :Ειςαγωγή : Επεξήγηςη δεικτών ποιότητασ ανακαταςκευήσ εικόνασ

5 5.3:Πειραματικό μζροσ :Επεξήγιςη αποτελεςμάτων Βιβλιογραφία ` 4

6 Κεθάιαην 1 Ψηφιακή εικόνα και Περιγραφείσ 1.1: Ψηφιακή Επεξεργαςία Εικόνασ Ζ ξαγδαία αλάπηπμε ησλ Νέσλ ηερλνινγηψλ ηηο ηειεπηαίεο δεθαεηίεο νδήγεζε ζε αλάπηπμε θαη ησλ επηκέξνπο ηνκέσλ ηνπ. ην ηνκέα ησλ πνιπκέζσλ ν πιέσλ ππεξβνιηθά κεγάινο φγθνο πνιπκεζηθήο πιεξνθνξίαο νδήγεζε ζηελ αλάγθε εχξεζεο ηξφπσλ απνδνηηθήο αμηνπνίεζεο ηεο. Όζσλ αθνξά ζηα βίληεν θαη ζηηο εηθφλεο, ην πξφβιεκα απηφ έξρεηαη λα ιχζε ε Φεθηαθή Δπεμεξγαζία Δηθφλαο. Κχξηνη ζηφρνη ηεο Φεθηαθή Δπεμεξγαζία Δηθφλαο, πνπ ζπλερψο εμειίζζνληαη ιφγσ ηεο κεγάιεο αλάπηπμεο ηνπ θιάδνπ, είλαη ε θσδηθνπνίεζε ηεο εηθφλαο, ε βειηηζηνπνίεζε θαη απνθαηάζηαζε, ε πεξηγξαθή θαη ε αλάιπζε ηνπο. πλερψο δεκηνπξγνχληαη λέεο εθαξκνγέο πνπ θαιχπηνπλ πιήζνο ηνκέσλ ηεο επηζηήκεο θαη ηεο ηερλνινγίαο[1] : Ψηφιακή Εικόνα Ζ κεηάβαζε απφ ηνλ αλαινγηθφ ζηνλ ςεθηαθφ θφζκν δεκηνχξγεζε ηελ αλάγθε γηα κεηαηξνπή ησλ αλαινγηθψλ ζεκάησλ ζε ςεθηαθά. «Έηζη κηα πξαγκαηηθή εηθφλα κεηαθέξεηαη ζηνλ ςεθηαθφ θφζκν κε ηε κνξθή δηαθεθξηκέλνπ ζήκαηνο πνπ έρεη ηε κνξθή ςεθηαθψλ πηλάθσλ.» Καη ζχκθσλα κε ηε Wikipedia, κε ηνλ φξν ςεθηαθή εηθφλα ελλννχκε ηελ αξηζκεηηθή αλαπαξάζηαζε κηαο δπαδηθήο εηθφλαο. Κάζε ςεθηαθή εηθφλα αλαπαξηζηάηαη απφ έλαλ πίλαθα Η(i,j), δηαζηάζεσλ Ν Μ (νη δηαζηάζεηο ηνπ πίλαθα αληηζηνηρνχλ ζην χςνο θαη ζην πιάηνο ηεο εηθφλαο). Οη ηηκέο πνπ παίξλνπλ ηα i θαη j εμαξηψληαη απφ ην είδνο ηεο εηθφλαο. Μηα ςεθηαθή εηθφλα κπνξεί λα είλαη: Δσαδική (Binary): Ζ δπαδηθή εηθφλα έρεη κφλν δχν ζηάζκεο θσηεηλφηεηαο, ην καχξν (ηηκή 0) θαη ην άζπξν (ηηκή 1), θαη είλαη ή απινχζηεξε κνξθή εηθφλαο πνπ ζπλαληάηαη. 5

7 Αποτρώζεων ηοσ γκρι (Gray-scale): Μηα εηθφλα απνρξψζεσλ ηνπ γθξη θαη δηαζηάζεσλ ΝxΜ αλαπαξηζηάηαη κε έλαλ πίλαθα αθεξαίσλ δχν δηαζηάζεσλ I(i,j), i=1,,n & j=1,,n Όπνπ 0 I(i,j) G-1 κε G=2m (ζπλήζσο m=8, άξα G=256 απνρξψζεηο ηνπ γθξη) Ζ ηηκή ηεο εηθφλαο Η(i,j) είλαη αλάινγε κε ηελ ηηκή ηεο θσηεηλφηεηαο ηνπ εηθνλνζηνηρείνπ (i,j), θαη γηα 256 απνρξψζεηο ηνπ γθξη παίξλεη ηηκέο απφ 0 (καχξν) κέρξη 255 (άζπξν). Έγτρωμε (Color): Ζ έγρξσκε ςεθηαθή εηθφλα αλαπαξηζηά κε ηνλ πην ξεαιηζηηθφ ηξφπν ηνλ πξαγκαηηθφ θφζκν. Απνηειείηαη απφ ηξηο εηθφλεο απνρξψζεσλ ηνπ γθξη, δηαζηάζεσλ Ν Μ ίδησλ κε ηηο δηαζηάζεηο ηεο εηθφλαο. Color(i,j)=[( ( ) ( ( ) ( ) Όπνπ ( ( ) γηα θάζε c=1,2,3 [1] 1.1.2: Pixel Ζ ιέμε απηή πξνέξρεηαη απφ ηε θξάζε picture element θαη εθθξάδεη ην ζηνηρεηψδεο ηκήκα κηαο εηθφλαο. Έλα pixel αληηζηνηρεί ζηελ ηηκή ηεο αθηηλνβνιίαο ζε έλα ζπγθεθξηκέλν ζεκείν ηνπ ρψξνπ. πλήζσο ηα pixels είλαη νξγαλσκέλα ζε νξζνγσληθέο δηαηάμεηο. Έλα pixel αληηζηνηρεί ζηελ ηηκή ηεο αθηηλνβνιίαο ζε κηα ζηνηρεηψδε επηθάλεηα θαη φρη ζε έλα κεκνλσκέλν ζεκείν. ηηο ςεθηαθέο εηθφλεο, πνπ ε αλαπαξάζηαζε ησλ εηθφλσλ γίλεηαη κε πίλαθεο, ε ηηκή ελφο pixel ηζνχηαη κε ηελ αληίζηνηρε ηηκή ηνπ ζηνηρείνπ ηνπ πίλαθα. ηηο ςεθηαθέο εηθφλεο, πνπ ε αλαπαξάζηαζε ησλ εηθφλσλ γίλεηαη κε πίλαθεο, ε ηηκή ελφο pixel ηζνχηαη κε ηελ αληίζηνηρε ηηκή ηνπ ζηνηρείνπ ηνπ πίλαθα : Ανάλυςη εικόνασ Αλάιπζε εηθφλαο (image resolution) ιέγεηαη ην κέγεζνο πνπ δείρλεη απφ πφζα εηθνλνζηνηρεία απνηειείηαη κηα ςεθηαθή εηθφλα ζηε κνλάδα ηνπ κήθνπο. Μεηξηέηαη ζε ppi (pixels per inch). Οπζηαζηηθά είλαη ε έλλνηα ηεο ζπρλφηεηαο δεηγκαηνιεςίαο κεηαθεξκέλε ζην ρψξν. Ζ ζπρλφηεηα δεηγκαηνιεςίαο δειψλεη γεληθά ην πιήζνο ησλ δεηγκάησλ πνπ δεκηνπξγνχληαη απφ ην αλαινγηθφ ζήκα ζηε κνλάδα ηνπ ρξφλνπ θαη ε αλάιπζε ην πιήζνο ησλ δεηγκάησλ πνπ δεκηνπξγνχληαη απφ ηελ αλαινγηθή εηθφλα 6

8 ζηε κνλάδα ηνπ κήθνπο. Ζ πςειή αλάιπζε δε ζπλεπάγεηαη απαξαίηεηα θαη πνηνηηθφηεξε απεηθφληζε κηαο εηθφλαο : Βάθοσ χρώματοσ Σν βάζνο ρξψκαηνο (bit depth) κηαο εηθφλαο αλαπαξηζηά ησλ αξηζκφ ησλ bits πνπ ρξεζηκνπνηνχληαη γηα ηνλ έιεγρν ηνπ θάζε pixel ηεο εηθφλαο. [Γεκεηξηάδεο et all 2004] Έλα bit (ςεθίν) θαζνξίδεη εάλ έλα θνκκάηη πιεξνθνξίαο αλαπαξίζηαηαη απφ έλα 0 ή έλα 1. Απφ ην βάζνο ρξψκαηνο πξνθχπηεη θαη ην πιήζνο ησλ ρξσκάησλ πνπ είλαη δηαζέζηκα γηα ηε δεκηνπξγία κηαο εηθφλαο. Γειαδή, κηα εηθφλα βάζνπο 1bit (θάζε pixel κπνξεί λα έρεη ηηκή 0 ή 1) έρεη κφιηο 2 ρξψκαηα, άζπξν θαη καχξν. Οη ζπλεζέζηεξεο ηηκέο βάζνπο ρξψκαηνο πνπ ζπλαληψληαη είλαη ηα 8, 16 θαη 24 bit. Παξαηεξνχκε φηη φηαλ ρξεζηκνπνηνχληαη πεξηζζφηεξα bits γηα ηνλ έιεγρν θάζε pixel, ν αξηζκφο ησλ πηζαλψλ ζπλδπαζκψλ απμάλεηαη εθζεηηθά. 8 bit, άξα = 256 πηζαλνί ζπλδπαζκνί ρξσκάησλ. ηελ εηδηθή πεξίπησζε θάζε pixel είλαη έλαο ηφλνο ηνπ γθξη, καχξν ή ιεπθφ ε εηθφλα είλαη θιίκαθαο ηνπ γθξη. 16 bit, άξα = πηζαλνί ζπλδπαζκνί ρξσκάησλ. 24 bit, άξα = πηζαλνί ζπλδπαζκνί ρξσκάησλ πνπ ζπλεπάγεηαη Πξαγκαηηθφ Υξψκα (true color). Ολνκάδεηαη έηζη γηαηί αλαπαξηζηά φιεο ηηο πηζαλέο απνρξψζεηο πνπ κπνξεί λα δηαθξίλεη ην αλζξψπηλν κάηη (γηα ηελ αθξίβεηα πνιχ πεξηζζφηεξεο: ην αλζξψπηλν κάηη μερσξίδεη πεξίπνπ ) : Χαρτογραφικέσ εικόνεσ (bmp) Ο ηχπνο κνξθνπνίεζεο αξρείσλ εηθφλαο BMP (Standard Window Bitmap) ζρεδηάζηεθε απφ ηελ Microsoft γηα ην ιεηηνπξγηθφ DOS θαη ηα Windows. Τπνζηεξίδεη ρξψκα απφ 1 κέρξη θαη 24 bit. ε ρξψκα 4 ή 8 bit κπνξεί λα εθαξκνζηεί ν αιγφξηζκνο ζπκπίεζεο RLE (Run Length Encoding) πνπ είλαη ρσξίο απψιεηεο. Σν κέγεζνο ηνπ ηειηθνχ αξρείνπ εμαξηάηαη απφ ην βάζνο ρξψκαηνο πνπ ζα επηιεγεί [1].. 7

9 1.1.5: Επεξεργαςία εικόνασ ηελ ειεθηξηθή κεραληθή θαη ζηελ επηζηήκε ησλ ππνινγηζηψλ, επεμεξγαζία εηθφλαο λνείηαη θάζε κνξθή επεμεξγαζίαο ζήκαηνο γηα ηελ νπνία ε είζνδνο είλαη κηα εηθφλα, φπσο κηα θσηνγξαθία ή έλα θαξέ βίληεν, θαη ε έμνδνο ηεο επεμεξγαζίαο είλαη κηα εηθφλα ή έλα ζχλνιν ραξαθηεξηζηηθψλ ή παξάκεηξνη πνπ ζρεηίδνληαη κε ηελ εηθφλα. Οη πεξηζζφηεξεο ηερληθέο επεμεξγαζίαο εηθφλαο αληηκεησπίδνπλ ηελ εηθφλα σο δηζδηάζηαην ζήκα θαη ηνπο εθαξκφδνπλ ηερληθέο επεμεξγαζίαο ζήκαηνο. Ζ επεμεξγαζία εηθφλαο αλαθέξεηαη ζπλήζσο ζε ςεθηαθή επεμεξγαζία εηθφλαο, ζε νπηηθή ή ζε αλαινγηθή. 1.2: Περιγραφείσ Εικόνων 1.2.1: Χαρακτηριςτικά εικόνασ Σα ραξαθηεξηζηηθά κηαο εηθφλαο, ή αιιηψο ηα δεδνκέλα πνπ πξνθχπηνπλ απφ κηα εηθφλα ρσξίδνληαη ζε δχν κεγάιεο θαηεγνξίεο: Υαξαθηεξηζηηθά πνπ έρνπλ έκκεζε ζρέζε κε ην πεξηερφκελν ηεο εηθφλαο φπσο ν ηχπνο ηνπ αξρείνπ, ην κέγεζνο, ε αλάιπζε, ν δεκηνπξγφο ηεο, ε εκεξνκελία θιπ. Υαξαθηεξηζηηθά κε άκεζε ζρέζε κε ην πεξηερφκελν ηεο εηθφλαο. Δδψ δηαθξίλνληαη δχν γεληθέο ππνθαηεγνξίεο: o Σα ρακεινχ επηπέδνπ ραξαθηεξηζηηθά ηεο εηθφλαο, γηα παξάδεηγκα ρξψκα, ζρήκα, πθή θ.ιπ. δεδνκέλα άκεζα αληηιεπηά απφ ηνλ άλζξσπν. o Σα πςεινχ επηπέδνπ ραξαθηεξηζηηθά ηεο εηθφλαο. Σφζν ζηελ ππνινγηζηηθή φξαζε, φζν ζηελ επεμεξγαζία εηθφλαο, ραξαθηεξηζηηθφ είλαη έλα θνκκάηη πιεξνθνξίαο πνπ είλαη ζρεηηθφ ζηελ επίιπζε ππνινγηζηηθψλ έξγσλ ζπζρεηηδφκελσλ κε ζπγθεθξηκέλεο εθαξκνγέο. Υαξαθηεξηζηηθά κπνξνχλ λα είλαη ζπγθεθξηκέλεο δνκέο ζε κηα εηθφλαο, φπσο ζεκεία, γσλίεο, ή άθξν-γσλίεο αληηθείκελσλ. Σα παξαπάλσ ραξαθηεξηζηηθά κπνξνχλ επίζεο λα είλαη απνηειέζκαηα ζπλαθψλ ιεηηνπξγηψλ ή εθαξκνγήο αλίρλεπζεο ραξαθηεξηζηηθψλ ζηελ εηθφλα. Άιια παξαδείγκαηα ραξαθηεξηζηηθψλ (features ) ζπζρεηίδνληαη κε ηελ θίλεζε ζε αθνινπζία εηθφλσλ, ζρήκαηα πνπ νξίδνληαη ζε ζρέζε κε θακπχιεο ή φξηα κεηαμχ δηαθνξεηηθψλ πεξηνρψλ κηαο εηθφλαο, ή κε ηηο ηδηφηεηεο κηαο ηέηνηαο πεξηνρήο. Ζ έλλνηα ηνπ πεξηγξαθέα (descriptor) είλαη ηδηαίηεξα γεληθή 8

10 θαη ε επηινγή απηψλ ζε ζπγθεθξηκέλα ζπζηήκαηα ππνινγηζηηθήο φξαζεο έρεη κεγάιν βαζκφ εμάξηηζεο ζην εθάζηνηε πξφβιεκα πνπ αληηκεησπίδεηαη[2] : Οριςμόσ του χαρακτηριςτικού (feature) Γελ ππάξρεη θαζνιηθή ή αθξηβήο νξηζκφο ηη είλαη ή ηη απνηειεί έλα ραξαθηεξηζηηθφ. Καη ν αθξηβήο θαζνξηζκφο ζπλήζσο εμαξηάηαη κε ην πξφβιεκα ή κε ην ηχπν ηεο εθαξκνγήο. Σν ραξαθηεξηζηηθφ ζπλήζσο νξίδεηαη ζαλ έλα «ελδηαθέξνλ» θνκκάηη ηεο εηθφλαο, θαη ηα ραξαθηεξηζηηθά απηά ρξεζηκνπνηνχληαη ζαλ αξρηθφ βήκα γηα πνιινχο αιγφξηζκνπο ππνινγηζηηθήο φξαζεο. Απηφ νδήγεζε ζηελ αλάπηπμε ελφο κεγάινπ αξηζκνχ αληρλεπηψλ ραξαθηεξηζηηθψλ, νη νπνίνη δηαθέξνπλ κεηαμχ ηνπο ζην είδνο ησλ ραξαθηεξηζηηθψλ πνπ εμάγνπλ θαη ηελ ππνινγηζηηθή πνιππινθφηεηα. Δθφζνλ, ηα feature ρξεζηκνπνηνχληαη ζαλ αξρηθφ ζεκείν θαη βαζηθφ ζεκέιην γηα ηνπο κεηέπεηηα αιγφξηζκνπο, ν ζπλνιηθφο αιγφξηζκνο είλαη ζπρλά ηφζν θαιφο φζν θαη κεραληζκφο αλίρλεπζεο ραξαθηεξηζηηθψλ. Απηφ έρεη ζαλ απνηέιεζκα ε επηζπκεηή ηδηφηεηα ελφο αληρλεπηή ραξαθηεξηζηηθψλ λα είλαη ε επαλαιεςηκφηεηα: Δάλ ην ίδην ραξαθηεξηζηηθφ αληρλεπηεί ζε δχν ή πεξηζζφηεξεο εηθφλεο. Ζ αλίρλεπζε ραξαθηεξηζηηθψλ είλαη ιεηηνπξγία ρακεινχ επηπέδνπ επεμεξγαζία εηθφλαο. Απηφ ζπλήζσο ζεκαίλεη φηη εθηειείηε ζαλ πξψηε ιεηηνπξγία ζε κηα εηθφλα, θαη εμεηάδεη θάζε πίμει θαη ειέγρεη εάλ ππάξρεη ην επηζπκεηφ ραξαθηεξηζηηθφ. Δάλ απηφ είλαη έλα θνκκάηη ελφο επξχηεξνπ αιγφξηζκνπ, ηφηε ν αιγφξηζκνο ζα εμεηάζεη ηελ εηθφλα κφλν ζηελ πεξηνρή πνπ ππάξρνπλ ηα ραξαθηεξηζηηθά. αλ πξναπαηηνχκελν ηεο αλίρλεπζεο ραξαθηεξηζηηθψλ, ζπλήζσο ε εηθφλαο ππφθεηηαη ζε κεηαζρεκαηηζκνχ Gauss ζε αλαπαξάζηαζε επηπέδνπ-ρξφλνπ θαη ζηελ ζπλέρεη θάπνηνο απ ηνπο αληρλεπηέο ραξαθηεξηζηηθψλ εμάγεη ηα επηζπκεηά ραξαθηεξηζηηθά. Δλίνηε, φηαλ ν ππνινγηζκφο είλαη ππνινγηζηηθά πνιχπινθνο, θαη ππάξρεη ρξνληθφο πεξηνξηζκφο, ρξεζηκνπνηείηαη πςειφηεξνπ επηπέδνπ αιγφξηζκνο, έηζη ψζηε κφλν λα ςάμεη κφλν ζε ζπγθεθξηκέλα θνκκάηηα ηεο εηθφλαο : Σύποι χαρακτηριςτικών εικόνων : Ακμέσ Οη αθκέο είλαη ζεκεία φπνπ ππάξρεη έλα φξην (ή γσλία) κεηαμχ δχν πεξηνρψλ ηεο εηθφλαο. Γεληθά, άθξν κπνξεί λα είλαη έλα ζρεδφλ απζαίξεην ζρήκα, θαη ίζσο πεξηέρεη ζπλελψζεηο. ηελ πξάμε, ηα άθξα ζπλήζσο νξίδνληαη ζαλ ζχλνια ζεκείσλ φπνπ ε εηθφλα έρεη δπλαηφ καγλεηηθή θιίζε. Δπηπξφζζεηα, κεξηθνί θνηλνί αιγφξηζκνη ζπζρεηίδνπλ ηα πςειήο θιίζεο ζεκεία καδί γηα λα έρνπλ κηα αθξηβφηεξε πεξηγξαθή 9

11 ηεο αθκήο. Απηνί νη αιγφξηζκνη ζπλήζσο ηνπνζεηνχλ θάπνηνπο πεξηνξηζκνχο ζηηο ηδηφηεηεο κηαο αθκήο, φπσο, ζρήκα, νκαιφηεηα θαη θιίζε. Οη αθκέο έρνπλ κνλνδηάζηαηε δνκή : Γωνίεσ / ςημεία ενδιαφέροντοσ Οη φξνη γσλίεο, θαη ζεκεία ελδηαθέξνληνο αλαθέξνληαη ζε ζεκεηαθά ραξαθηεξηζηηθά ζε κηα εηθφλα, ηα νπνία έρνπλ ηνπηθά δηζδηάζηαηεο δνκέο. Ο φξνο «γσλία» πξνέθπςε απφ ηνπο πξψηνπο αιγφξηζκνπο πνπ εθηεινχζαλ εληνπηζκφο αθκψλ, θαη ε πεξεηαίξσ αλάιπζε ηνπο απνθάιπςε απφηνκε αιιαγή ζηελ θαηεχζπλζε ησλ γσληψλ. Απηνί νη αιγφξηζκνη είραλ αλαπηπρηεί έηζη ψζηε ν εληνπηζκφο αθκψλ δελ ήηαλ πιένλ απαξαίηεηνο, π.ρ. ςάρλνληαο γηα κεγαιχηεξν επίπεδν θακππιφηεηαο ζηελ θιίζε ηεο εηθφλαο. Σφηε παξαηεξήζεθε φηη, ε ιεγφκελεο γσλίεο εληνπίδνληαλ ζε θνκκάηηα ηεο εηθφλαο πνπ δελ ήηαλ ζηελ νπζία γσλίεο κε ηελ θπξηνιεθηηθή έλλνηα. Απηά ηα ζεκεία νλνκάδνληαη ζεκεία ελδηαθέξνληνο, αιιά ε νλνκαζία γσλία ρξεζηκνπνηείηαη επίζεο : Περιγραφείσ Blobs / περιοχέσ ενδιαφέροντοσ ή ςημεία ενδιαφέροντοσ Οη πεξηγξαθείο blob καο πξνζθέξνπλ ζπκπιεξσκαηηθή πεξηγξαθή ησλ δνκψλ ηεο εηθφλαο αλαθνξηθά ζηηο πεξηνρέο, ζε αληίζεζε κε ηεο γσλίεο ε νπνίεο είλαη πνην ζεκεηνινγηθέο. Παξφια απηά, νη πεξηγξαθείο blob ζπρλά κπνξνχλ λα πεξηέρνπλ έλα ζεκείν (έλα ηνπηθφ κέγηζην ή ην καγλεηηθφ θέληξν) ην νπνίν ζπλεπάγεηαη φηη αξθεηνί αληρλεπηέο blob κπνξνχλ λα ζεσξεζνχλ θαη ζαλ ιεηηνπξγίεο ζεκείσλ ελδηαθέξνληνο. Οη αληρλεπηέο blob εληνπίδνπλ πεξηνρέο ηεο εηθφλαο νη νπνίεο είλαη ηδηαίηεξα νκαιέο γηα λα εληνπηζηνχλ απφ αληρλεπηέο γσλίαο. Θεσξήζηε φηη ζπξξηθλψλεηαη ηελ εηθφλα θαη ζηελ ζπλέρεηα θαη εθηειέζηε κηα αλίρλεπζε γσληψλ. Ο αληρλεπηήο ζα αληαπνθξηζεί ζηα αηρκεξά ζεκεία, ηα νπνία ελδερφκελνο είλαη νκαιά ζηε πξσηφηππε εηθφλα. απηφ ην ζεκείν ε δηαθνξά αλάκεζα ζηνλ αληρλεπηή blob θαη ζην αληρλεπηή γσληψλ είλαη ηξφπν ηηλά αζαθήο. ε κεγαιχηεξε θιίκαθα ε δηαθνξνπνίεζε αλάκεζα ηνπο απνθαζηζηάηαη κε εηζαγσγή ηεο θαηάιιειεο θιίκαθαο. 10

12 : Ridges / κορυφογραμμέσ Γηα επηκήθε αληηθείκελα, ε ηδέα ηεο θνξπθνγξακκήο (Ridge) είλαη θπζηθφ εξγαιείν. Έλαο Ridge πεξηγξαθήο ππνινγηζκέλνο γηα κηα εηθφλα επηπέδνπ γθξη κπνξεί λα εηπσζεί ζαλ κηα γελίθεπζε ηνπ κέζνπ άμνλα. Απφ κηα πξαθηηθή νπηηθή γσλία, ε θνξπθνγξακκή απνηειεί κνλνδηάζηαηε θακπχιε ε νπνία αλαπαξηζηά ηνλ άμνλα ζπκκεηξίαο, επί πξφζζεηα έρεη ζαλ ραξαθηεξηζηηθφ ηελ ηνπηθή θνξπθνγξακκή πιάηνπο, ζπζρεηηδφκελε κε θάζε ζεκείν ηεο. Χζηφζν αιγνξηζκηθά είλαη δπζθνιφηεξε ε εμαγσγή ραξαθηεξηζηηθψλ Ridge ζε ζρέζε κε ηνπο παξαπάλσ πεξηγξαθείο. Δληνχηνηο, νη πεξηγξαθείο ridge ρξεζηκνπνηνχληαη ζπρλά γηα ηνλ εληνπηζκφ δξφκσλ ζε ελαέξηεο θσηνγξαθίεο θαη ζε εληνπηζκφ αγγείσλ ζε ηαηξηθέο θσηνγξαθίεο. πλεζηζκέλνη αληρλεπηέο ραξαθηεξηζηηθψλ θαη ε θαηεγνξηνπνίεζε ηνπο 11

13 1.2.4: Εξαγωγή χαρακτηριςτικών Απφ ηελ ζηηγκή πνπ ηα ραξαθηεξηζηηθά αληρλεπηνχλ, κπνξεί λα εμαρζεί κηα ηνπηθή ηξνπνπνίεζε ηεο εηθφλαο γχξσ απ ην ραξαθηεξηζηηθφ. Απηή ε εμαγσγή κπνξεί λα πεξηιακβάλεη αξθεηή πνζφηεηα επεμεξγαζκέλεο εηθφλαο. Σν απνηέιεζκα απηήο είλαη γλσζηφ ζαλ πεξηγξαθείο ραξαθηεξηζηηθνχ ή θνξέαο ραξαθηεξηζηηθνχ. 1.3: Θεωρία ροπών 1.3.1: Γενική Θεωρία ροπών Πξνβιήκαηα ζηελ κεραληθή θαη ζηε θπζηθή νδεγνχλ ζην πξφβιεκα ραξαθηεξηζκνχ κηαο εμίζσζεο ζε επίπεδν ρξεζηηθφηεηαο. πγθεθξηκέλα, νη εμηζψζεηο ξνπψλ έρνπλ πξνζεγγίζεη ηελ πξνζνρή, ιφγν ηεο καζεκαηηθήο ηνπο απιφηεηαο θαη ηεο πνιπάξηζκεο θπζηθήο εξκελείαο. Οινθιεξσκέλνο νξηζκφο ησλ εμηζψζεσλ ξνπψλ ζε ζρέζε κε ηηο κνλνπαξαγνληηθέο εμηζψζεηο έρεη δνζεί απφ ην Hausdorff ην έηνο 1921[3]. Έζησ φηη {κ n } πξαγκαηηθή αθνινπζία αξηζκψλ. Καη νξίδεηαη παξαθάησ: Δ m μn= ( )- i ( ) mn+1 Απφ ην ζεψξεκα ηνπ Hausdorff πξνθχπηεη φηη είλαη απαξαίηεηε κία κνλφηνλε ζπλάξηεζε F(x) ε νπνία ηθαλνπνηεί ην ζχζηεκα: Απηφ είλαη ζχζηεκα γξακκηθψλ αληζνηήησλ: μn= n df(x), n=0,1,2, (2.2) Δ k μn 0 k= Σν νπνίν πξέπεη λα ηθαλνπνηείηαη. Π.ρ. εάλ f(x) είλαη ζεηηθή εμίζσζε ( φπσο ζηελ επεμεξγαζία εηθφλσλ), ην ζχλνιν ηνλ εμηζψζεσλ: n f(x)dx, n=0,1.. 12

14 Υαξαθηεξίδεη ηηο εμηζψζεηο απνιχησο. Έλαο απαξαίηεηνο θαη επαξθήο πεξηνξηζκφο γηα λα ηζρχεη ε εμίζσζε F(x) θαη λα ηθαλνπνηεί ηελ (2.2) είλαη φηη ή αθνινπζία Δίλαη εληφο νξίσλ. ( ) Δp-m μm p= Σα απνηειέζκαηα απηά είραλ πξνεθηαζεί ζε δηζδηάζηαηεο πεξηπηψζεηο απφ ηνπο Hildebrandt θαη Schoenberg ην Απφ ηφηε, ξνπέο θαη εμηζψζεηο ξνπψλ έρνπλ ρξεζηκνπνηεζεί ζε έλαλ αξηζκφ εθαξκνγψλ γηα λα επηηεπρζεί ηαπηνπνίεζε ηφζν κεηαβιεηψλ φζν ακεηάβιεησλ δηζδηάζηαησλ ή ηξηζδηάζηαησλ πξνηχπσλ (κνηίβσλ) ζε εηθφλεο[2] ` 1.3.2: Γεωμετρικέσ ροπέσ ςτην επεξεργαςία εικόνασ Ζ δηζδηάζηαηε γεσκεηξηθή ξνπή ηάμεο (p+q) ηεο εμίζσζεο f(x,y) νξίδεηαη σο Mpq= p y q f(x,y)dxdy Όπνπ p,q=0,1,2,,. Δπίζεο, παξαηεξνχκε φηη ην κνλψλπκν παξάγσγν x p y q είλαη ε βαζηθή εμίζσζε ην νξηζκνχ ξνπψλ. Έλα ζχλνιν n ξνπψλ απνηειείηε απφ φια ηα M pq γηα p+q n. Π.ρ. ην ζχλνιν εκπεξηέρεη ½(n+1)(n+2) ζηνηρεία. Ζ ρξήζε ξνπψλ γηα ηελ αλάιπζε εηθφλσλ θαη ηελ ηαπηνπνίεζε πξνηχπσλ είρε εκπλεπζηεί απφ ηνλ Hu θαη ηνλ Alt. Ο κελ Hu είρε ππνζηεξίμεη φηη εάλ ην f(x,y) είλαη ηκεκαηηθά ζπλερήο θαη δελ έρεη κεδεληθέο ηηκέο κφλν γηα πεπεξαζκέλε πεξηνρή (x,y), ηφηε νη αθνινπζία ξνπψλ {M pq } είλαη απνθιεηζηηθά θαζνξηδφκελε απφ ηελ f(x,y), θαη αληηζηξφθσο, ε f(x,y) πξνθχπηεη απνθιεηζηηθά απφ ηελ {M pq }. Αλ ιάβνπκε ππφςε καο ην γεγνλφο φηη έλα ηκήκα εηθφλαο απνηειεί πεπεξαζκέλε πεξηνρή, ή ζηελ ρεηξφηεξε πεξίπησζε, είλαη ηκεκαηηθά ζπλερέο, ππάξρνπλ ξνπέο φισλ ησλ ηάμεσλ θαη έλα επαξθέο ζχλνιν ξνπψλ κπνξεί λα ππνινγηζηεί θαη λα ρξεζηκνπνηεζεί απνθιεηζηηθά γηα λα πεξηγξάςεη ηηο πιεξνθνξίεο πνπ ππάξρνπλ ζηελ εηθφλα. Παξφια απηά, γηα λα αλαθηεζνχλ απηέο νη πιεξνθνξίεο ζην ζχλνιν ηνπο, είλαη απαξαίηεηνο έλα άπεηξνο αξηζκφο ηηκψλ ξνπψλ. Άξα, ρξήδεη κείδνλνο ζεκαζίαο ε επηινγή ελφο κεζηνχ ππνζπλφινπ ησλ ηηκψλ ησλ ξνπψλ πνπ πεξηέρεη αξθεηέο πιεξνθνξίεο έηζη ψζηε ε θαηεγνξηνπνίεζε ηεο εηθφλαο γηα κηα κνλαδηθή εθαξκνγή. Δλψ έρεη κεζνιαβήζεη αξθεηφο ρξφλνο απφ ηελ πξψηε ρξήζε ησλ ξνπψλ ζε θαηαλφεζε θαη ζηελ αλάιπζε εηθφλαο, ε επηζηεκνληθή θνηλφηεηα ην ελδηαθέξνλ ηεο. Οη ξνπέο εηθφλσλ έρνπλ ρξεζηκνπνηεζεί κε επηηπρία ζηελ αλάιπζε εηθφλαο θαη ζηελ αλαγλψξηζε πξνηχπσλ εθφζνλ ε εηθφλα έρεη ππνζηεί θαηάιιειε επηινγή. Ο Hu 13

15 απνηέιεζε ηνλ πξσηνπφξν ζηελ εηζαγσγή ελφο ζπλφινπ ακεηάβιεησλ ξνπψλ γηα ιφγνπο θαηεγνξηνπνίεζεο. Παξφια απηά νη ακεηάβιεηεο θαη γεσκεηξηθέο ξνπέο ρνιψλνπλ ζε πςειφ πιεξνθνξηαθφ πιενλαζκφ. Οη γεσκεηξηθέο ξνπέο είλαη πξνβνιέο ζπλαξηήζεσλ έληαζεο κηαο εηθφλαο ζε ζπγθεθξηκέλα κνλψλπκα, ηα νπνία δε θαηαζθεπάδνληαη ζην νξζνγψλην επίπεδν. Οη νξζνγψληεο ξνπέο μεπεξλνχλ απηφ ην κεηνλέθηεκα ησλ ζπκβαηηθψλ ξνπψλ πνπ ρξεζηκνπνηνχληαλ έσο ηφηε, κηαο θαη ηα kernels ηνπο είλαη νξζνγψληα πνιπψλπκα. Απηή ε ηδηφηεηα νξζνγσληθφηεηαο πξνζζέηεη ζηηο ξνπέο ην ραξαθηεξηζηηθφ ηνπ ειάρηζηνπ πιεξνθνξηαθνχ πιενλαζκνχ. Πξάγκα πνπ ζεκαίλεη φηη δηαθνξεηηθψλ ηάμεσλ ξνπέο πεξηγξάθνπλ δηαθνξεηηθά θνκκάηηα ηεο εηθφλαο. Ζ εηζαγσγή ησλ νξζνγψλησλ ξνπψλ ζηελ αλάιπζε εηθφλσλ έγηλε απφ ηνλ Teague(1980) ν νπνίνο ρξεζηκνπνίεζε ηηο Legendre θαη Zernike ξνπέο ζηελ επεμεξγαζία εηθφλαο. Άιιεο νηθνγέλεηεο νξζνγψλησλ ξνπψλ είρα πξνηαζεί αλά ηα ρξφληα, φπσο Pseudo-Zernike θαη Fourier-Melin, γηα ηελ θαιχηεξε πεξηγξαθή ηεο εηθφλαο θαηά ηελ επεμεξγαζία θαη γηα λα εμαζθαιηζηεί ε επξσζηία ζηελ παξνπζία ζνξχβνπ. Δληνχηνηο, νη παξαπάλσ νξζνγψληεο ξνπέο νη νπνίεο ρξεζηκνπνηνχληαλ κέρξη πξφζθαηα, παξνπζηάδνπλ θάπνηα πξνζεγγηζηηθά ζθάικαηα, ιφγνπ ην γεγνλφηνο φηη ηα πνιπψλπκα kernel νξίδνληαη ζε ζπλερέο δηάζηεκα. πλεπψο, φηαλ πξέπεη λα ππνινγηζηνχλ νη ξνπέο κηαο εμίζσζεο δηαθξηηήο έληαζεο, δεκηνπξγνχληαη θάπνηα ζθάικαηα ηα νπνία επεξεάδνπλ ηα ηειηθά απνηειέζκαηα. Καηλνχξγηεο νηθνγέλεηεο ξνπψλ κε δηαθξηηφ πνιπψλπκν kernels, έρνπλ πξνηαζεί ηα νπνία επηηξέπνπλ ηνλ απεπζείαο ππνινγηζκφ ησλ ξνπψλ εηθφλαο ζε δηαθξηηφ ηνκέα. Σέηνηεο, ακεηάβιεηεο δηαθξηηέο ξνπέο είλαη νη Tchebichef, Krawtchouk, θαη νη Racah, νη νπνίεο παξνπζηάδνπλ ζεκαληηθέο ηδηφηεηεο ζηελ πεξηγξαθή εηθφλαο θαηά ηελ επεμεξγαζία. Λφγν ηεο πςειήο δεκνηηθφηεηαο, αξθεηά έξγα ζε δηαθνξεηηθέο θαηεπζχλζεηο έξεπλαο έρνπλ δεκνζηεπηεί ηηο ηειεπηαίεο δεθαεηίεο, ε νπνίεο αθνξνχλ ηνλ ππνινγηζκφ, ηελ ρξήζε θαη ηελ βειηίσζε ησλ ξνπψλ εηθφλσλ γηα ηελ αλαγλψξηζε πξνηχπσλ/κνηίβσλ. 14

16 1.3.3: Ιδιότητεσ γεωμετρικών ροπών Οη ρακειφηεξεο ηάμεο ξνπέο αλαπαξηζηνχλ κεξηθέο γλσζηέο, ζεκειηψδεο, ηδηφηεηεο ησλ εμηζψζεσλ πνπ αλαπαξηζηνχλ εηθφλεο. Κενηρικές ροπές Οη θεληξηθέο ξνπέο γηα f(x,y) νξίδνληαη σο: μpq = ( ) p (x- )f(x,y)dxdy, (1.3.3α) φπνπ θαη νξίδνληαη ζην (2.10). Οη θεληξηθέο ξνπέο κ pq νη νπνίεο νξίδνληαη ζηελ εμίζσζε (1.3.3α) είλαη ακεηάβιεηεο φζνλ αθνξά ηηο ζπληεηαγκέλεο x =x+a y =y+b φπνπ, a θαη b ζηαζεξέο μάδα και εμβαδόν Ο νξηζκφο γηα κεδεληθέο ηάμεο ξνπέο, {M 00 }, ηεο εμίζσζεο f(x,y) M00= ( ) Αλαπαξηζηά ηελ ζπλνιηθή κάδα ηεο εμίζσζεο f(x,y). Όηαλ ππνινγηζηεί γηα δπαδηθή εηθφλα, ε κεδεληθήο ηάμεο ξνπή αληηπξνζσπεχεη ην ζπλνιηθφ εκβαδφλ ηεο εηθφλαο. Κένηρο μάδας Οη δχν πξψηεο ηάμεο ξνπέο M10= ( ) Καη M01= ( ) 15

17 Αληηπξνζσπεχνπλ ην θέληξν κάδαο ηεο εηθφλαο f(x,y).σν θέληξν κάδαο είλαη ην ζεκείν φπνπ φιε ε κάδα ηεο εηθφλαο ζα κπνξνχζε λα ζπγθεληξσζεί ρσξίο λα άιιαδε ηελ πξψηε ξνπή ηεο εηθφλαο σο πξνο νπνηνλδήπνηε άμνλα. ηελ πεξίπησζε πνπ αλαθεξφκαζηε ζε δηζδηάζηαηε εηθφλα, ζε φηη αθνξά ηηο ηηκέο ξνπψλ, νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ θέληξνπ κάδαο είλαη: =M10/M00, =M01M00 (1.3.3β) Όπσο ζπλεζίδεηαη ην θέληξν ηεο κάδαο επηιέγεηαη λα αληηπξνζσπεχεη νξαηφ ζεκείν ηεο εηθφλαο. Ζ εμίζσζε (1.3.3β) ραξαθηεξίδεη έλα κνλαδηθφ ζεκείν ηεο εηθφλαο f(x,y) ην νπνίν κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί γηα λα πεξηγξάςεη ηε ζέζε ηεο εηθφλαο[2] : Προςανατολιςμόσ Οη δεχηεξεο ηάμεο ξνπέο {M 01,M 11, M 20 }, γλσζηέο θαη ζαλ ξνπέο αδξάλεηαο ζα κπνξνχζαλ λα ρξεζηκνπνηεζνχλ γηα λα θαζνξίζνπλ έλα ζεκαληηθφ ραξαθηεξηζηηθφ εηθφλσλ: Σελ θιίζε. Γεληθά ν πξνζαλαηνιηζκφο ζε κία εηθφλαο πεξηγξάθεη ην πψο έγθεηηαη κηα εηθφλα ζην νπηηθφ πεδίν, ή/θαη ηεο θαηεπζχλζεηο ησλ βαζηθψλ αμφλσλ. ε ζρέζε κε ηεο ξνπέο, ν πξνζαλαηνιηζκφο ησλ βαζηθψλ αμφλσλ, ζ, δίλεηαη απφ: θ= / tan -1 ( μ11/(μ20-μ02). (1.3.4) ηελ (1.3.4), ζ είλαη ε γσλία ησλ βαζηθψλ αμφλσλ, θνληχηεξα ζην x άμνλα θαη ην εχξνο ηεο είλαη / / [2] : Προβολέσ Έλα δηαθνξεηηθφο ηξφπνο πεξηγξαθήο ησλ ηδηνηήησλ εηθφλαο κε αλαπαξάζηαζε ξνπψλ είλαη λα ιεθζεί ππφςε ε ζρέζε κεηαμχ ξνπψλ κηαο εηθφλαο θαη ησλ ξνπψλ πξνβνιήο ηεο ίδηαο εηθφλαο. Οη ξνπέο ζηα ζχλνια {M p0 }θαη {M 0p } είλαη ηζνδχλακα κε απηά ησλ ξνπψλ ηεο εηθφλαο πξνβνιήο πάλσ ζηνπο άμνλεο x θαη y αληίζηνηρα. Θεσξνχκαη ηελ νξηδφληηα πξνβνιή, h(y), κηαο εηθφλαο f(x,y) πάλσ ζην y άμνλα σο: h(y)= ( ) (1.3.5α) Άξα, νη κνλνδηάζηαηεο ξνπέο M q ηνπ h(y) δίλνληαη απφ 16

18 Αθαηξψληαο (1.3.5α) κε (1.3.5β πξνθχπηεη Mq= q h(y)dy (1.3.5β) Mq= q f(x,y)dxdy=m0q Σν ζρήκα 1.1 παξνπζηάδεη ηηο πξνβνιέο ελφο αληηθεηκέλνπ ζηνλ άμνλα ρ θαη π, θαη ηα ππνζχλνια ησλ ξνπψλ πνπ αληηζηνηρνχλ ζηηο πξνβνιέο[2]. ρήκα 1.1: Πξνβνιέο ξνπψλ ζηνπο άμνλεο x,y 17

19 1.3.6: Μορφή Γενικού υπολογιςμού Ζ κνξθή γεληθνχ ππνινγηζκνχ (n+m) th ηάμεο, γηα εηθφλα δηαζηάζεσλ M N ε νπνία έρεη ζαλ εμίζσζε έληαζεο f(x,y), νξίδεηαη σο : M1N1 ker nel M NF ( x, y) f ( x, y) nm x0 y0 Όπνπ Kernel nm αληηζηνηρεί ζην kernel ξνπήο ην νπνίν απνηειείηε απφ ζπγθεθξηκέλα πνιπψλπκα ηάμεο n, θαη m, ηα νπνία ζπληζηνχλ ηελ νξζνγψληα βάζε θαη NF απνηειεί ηνλ παξάγνληα θαλνληθνπνίεζεο. Ο ηχπνο ηνπ πνιπσλχκνπ ησλ kernel δίλεη ην φλνκα ηνπ ζηελ νηθνγέλεηα ησλ ξνπψλ, θαη απηφ έρεη ζαλ απνηέιεζκα έλα κεγάιν εχξνο ηχπσλ ξνπψλ. nm 1.4 :Σύποι ροπών 1.4.1: υνεχόμενεσ ροπέσ Ο πξψηνο ηχπνο ξνπψλ εηθφλαο πεξηιακβάλεη ηηο ξνπέο νη νπνίεο νξίδνληαη ζε ζπληεηαγκέλεο ζπλερνχο ρψξνπ, νπφηε ν ππνινγηζκφο ηνπο ζε δηαθξηηφ πεδίνπ ζε πίμει ηεο εηθφλαο δεκηνπξγεί θάπνηα πξνζεγγηζηηθά ζθάικαηα. Οη γλσζηφηεξεο νηθνγέλεηεο ξνπψλ απηήο ηεο θαηεγνξία είλαη νη γεσκεηξηθέο, Legendre, Zernike θαη νη Pseudo-Zernike, νη νπνίεο νξίδνληαη παξαθάησ[4] : Γεωμετρικέσ ροπέσ Οη γεσκεηξηθέο ξνπέο είλαη ν απινχζηεξνο ηχπνο ξνπψλ θαη ρξνλνινγηθά ήηαλ νη πξψηεο πνπ εηζήρζεθαλ ζηελ επεμεξγαζία εηθφλαο. Ζ γεσκεηξηθή ξνπή ηάμεσο (n+m) m κε εμίζσζε ζπλερήο έληαζεο f(x,y) νξίδεηαη σο: 18

20 GM nm n m x y f ( x, y) dxdy (1.4.1) Όπνπ n,m=0,1,2, Ζ παξαπάλσ εμίζσζε (2) είλαη ζε ζπλερήο κνξθή θαη είλαη κε πξαθηηθή γηα ππνινγηζκφ ξνπψλ εηθφλαο, φπνπ ε εμίζσζε έληαζεο είλαη δηαθξηηή. Γη απηφ ην ιφγν ε γεσκεηξηθή ξνπή MxN εηθφλαο f(x,y), νξίδεηαη ζε δηαθξηηή κνξθή φπσο παξαθάησ: GM nm M1N1 n n X y f ( x, y) (1.4.2) x0 y0 Ζ γεσκεηξηθέο ξνπέο πνπ ππνινγίζηεθαλ κε ηελ (1.4.2), δελ ρξεζηκνπνηνχλ ηα κνλψλπκα x n y m ηα νπνία δε απνηεινχλ νξζνγψληα βάζε, επνκέλσο νη γεσκεηξηθέο ξνπέο είλαη ππεξάξηζκεο. Δπηπξφζζεηα νη γεσκεηξηθέο ξνπέο δελ είλαη δπλαηψλ λα ρξεζηκνπνηεζνχλ σο descriptors εηθφλαο ζε εθαξκνγέο αλαγλψξηζεο πξνηχπσλ. Γη απηφ ην ιφγν, επνλνκαδφκελεο θεληξηθέο θαη κε θαλνληθνπνηεκέλεο ξνπέο, νη νπνίεο κεηαθξάδνληαη θιηκαθσηέο θαη ακεηάβιεηεο ακθφηεξεο εηζήρζεθαλ ζην παξειζφλ : Ροπέσ Legendre (LMs) Οη (n+m) th ξνπέο Legendre κε εμίζσζε έληαζεο f(x,y), νξίδνληαη σο: LM nm 1 1 2( n1)(2m1) Pn f ( x, y) dxdy 4 (1.4.3) 11 Όπνπ P n (x) είλαη ην n th ηάμεο Legendre πνιπψλπκν θαη νξίδεηαη σο: d P x a x x (1.4.4) 2 ( ) n k n n n n kn, 1/ 2!( ) [( 1) ] k0 dx Όπνπ x [ 1, 1]. Σα παξαπάλσ Legendre πνιπψλπκα έρνπλ ηηο παξαθάησ ηδηφηεηεο: P0(x)=1 (1.4.5a) P1(x)=x (1.4.5b) Pn x 2n 1 xpn 1 x n 1 Pn 2 x / n (1.4.5c) Ζ αλαδξνκηθή εμίζσζε (1.4.5c), επηηξέπεη ην γξήγνξν ππνινγηζκφ ησλ πνιπσλχκσλ Legendre κε ηελ ρξήζε ρακειφηεξεο ηάμεο πνιπψλπκα. 19

21 ε πεξίπησζε ππνινγηζκνχ ησλ Legendre ξνπψλ γηα M N εηθφλα, ε (1.4.3) δελ εθαξκφδεηαη κηαο θαη είλαη γηα ζπλερέο δηάζηεκα. Αληί απηήο ε δηαθξηηή κνξθή ηεο (1.4.3) ρξεζηκνπνηείηαη φπσο αθνινπζεί: M1N1 2( n1)(2m1) LM P ( y) P ( y) f ( x, y) nm n m ( M 1)( N 1) x0 x0 (1.4.6) Οη ξνπέο Legendre νη νπνίεο ππνινγίζηεθαλ κε ηελ (1.4.6), δηαθέξνπλ κε ηηο ζεσξεηηθέο ηηκέο ηεο (1.4.3), κηαο θαη πξνζεγγηζηηθά ζθάικαηα δεκηνπξγνχληαη θαηά ηε δηάξθεηα ηνπ κεηαζρεκαηηζκνχ ηνπ δηπινχ νινθιεξψκαηνο ζε δηπιφ ζχλνιν. Λφγν απηψλ ησλ πξνζεγγηζηηθψλ ζθαικάησλ, νη ξνπέο Legendre πνπ πξνθχπηνπλ δελ έρνπλ ηηο ίδηεο ηδηφηεηεο κε ηηο ζεσξεηηθέο, επεξεάδνληαο ηελ ηθαλφηεηα πεξηγξαθήο ηεο επεμεξγαδφκελεο εηθφλαο. Γη απηφ ην ιφγν έρνπλ πξνηαζεί λένη αιγφξηζκνπ πνπ εμαζθαιίδνπλ ηελ αθξίβεηα ππνινγηζκνχ ηνλ ξνπψλ : Ροπέσ Zernike Οη ξνπέο Zernike (ZM) είλαη νη πνην δηαδνκέλα ρξεζηκνπνηνχκελεο νηθνγέλεηεο νξζνγσλίσλ ξνπψλ, νθεηιφκελν ζηελ έκθπηε ηδηφηεηα ηνπο λα είλαη ακεηάβιεηεο ζε απζαίξεηε πεξηζηξνθή ηνπ αληηθεηκέλνπ πνπ πεξηγξάθνπλ. Υξεζηκνπνηνχληαη αθνχ πξψηα έρνπλ γίλεη ακεηάβιεηεο ζε θιίκαθα θαη κεηάθξαζε, σο descriptors αληηθεηκέλσλ ζε εθαξκνγέο αλαγλψξηζεο πξνηχπνπ. Ζ εηζαγσγή ησλ ZM ζηελ αλάιπζε εηθφλαο είρε γίλεη απφ ηνλ Teague (1980), ρξεζηκνπνηψληαο ζχλζεηα πνιπψλπκα, ησλ νπνίσλ ε κνξθή ηνπο ήηαλ έλα ηειείσο νξζνγψλην ζχλνιν πάλσ απφ ην εζσηεξηθφ ελφο κνλαδηαίνπ θχθινπ x 2 +y 2 =1 Σα πνιπψλπκα απηά έρνπλ ηελ κνξθή: Vnm(r,θ) =Rnm(r) (1.4.7) Όπνπ ην n απνηειεί κε-αξλεηηθφ αθέξαην θαη ην m κε-αξλεηηθφ αθέξαην κε ηνπο πεξηνξηζκνχο: n- m λα είλαη δπγφο θαη m n, r είλαη ην κήθνο ηνπ δηαλχζκαηνο κε αξρηθφ ζεκείν ( ) έσο ην πίμει (x,y) θαη γσλία θ κεηαμχ ηνπ δηαλχζκαηνο r θαη ηνπ άμνλα x. R nm (r) είλαη ηα αθηηληθά πνιπψλπκα Zernike ζε πνιηθέο ζπληεηαγκέλεο θαη νξίδνληαη σο : ( )/ Rnm(r)= ( ) s. ( ( ) ) ( ) Rn-2s (1.4.8) εκεηψζηε, φηη R n,-m (r)=r nm (r). Σα πνιπψλπκα ηεο εμίζσζεο 8 είλαη νξζνγψληα θαη ηθαλνπνηνχλ ηελ αξρή νξζνγσληφηεηαο : 20

22 * Vnm ( x, y) Vpq( x, y) dxdy npmq (1.4.9) 2 2 n 1 x y 1 Όπνπ δ αβ =1 γηα α=β θαη δ αβ =0 δηαθνξεηηθά είλαη ην ζχκβνιν Kronecker. Ζ ξνπή Zernike ηάμεο n κε επαλάιεςε m γηα ζπλερήο εμίζσζε εηθφλαο f(x,y), πνπ εμαθαλίδεηαη εθηφο ηνπ κνλαδηαίνπ δίζθνπ είλαη: n 1 ZM f x y V r dxdy nm 2 2 x y 1 * (, ) nm(, ) (1.4.10) Γηα ηνλ κνλαδηαίν δίζθν, ηα νινθιεξψκαηα αληηθαζηζηνχληαη κε αζξνίζεηο, νπφηε έρνπκε: M1N1 n 1 ZM nm f x y V r x0 y0 * (, ) nm(, ), x 2+y 2 1 (1.4.11) Όπσο είλαη εκθαλέο απφ ηελ (1.4.8), ππάξρνπλ αξθεηνί παξαγνληηθνί φξνη, ν ππνινγηζκφο ησλ νπνίσλ κπνξεί λα θαηαλαιψζεη αξθεηφ ππνινγηζηηθφ ρξφλν. Γη απηφ ηνλ ιφγν, έρνπλ αλαπηπρζεί αιγφξηζκνη αλαδξνκήο γηα ηνλ ππνινγηζκφ ησλ αθηηληθψλ πνιπσλχκσλ : Ροπέσ Pseudo-Zernike (PZM) Οη ξνπέο Pseudo-Zernike ρξεζηκνπνηνχληαη ζε αξθεηέο εθαξκνγέο αλαγλψξηζεο πξνηχπσλ θαη επεμεξγαζίαο εηθφλαο, ζαλ ελαιιαθηηθέο ησλ Zernike. Έρεη απνδεηρζεί φηη έρνπλ θαιχηεξε δπλαηφηεηα αλαπαξάζηαζεο ραξαθηεξηζηηθψλ θαη κεγαιχηεξε επζηάζεηα ζηνλ ζφξπβν ηεο εηθφλαο. Σα kernel απηψλ ησλ ξνπψλ είλαη ζχλνιν νξζνγψλησλ πνιπσλχκσλ PZM, εληφο ηνπ κνλαδηαίνπ θχθινπ. Απηά ηα πνιπψλπκα έρνπλ ηελ κνξθή ηεο (1.4.7) κε ηα αθηηληθά πνιπψλπκα Zernike λα αληηθαζηζηνχληαη κε ηα Pseudo-Zernike αθηηληθά πνιπψλπκα: Snm(r)= ( ) s. ( ) ( ) ( ) rn-s (1.4.12) Με επηπιένλ πεξηνξηζκνχο: 0 m n, n=0,1,2, (1.4.13) Σα παξαπάλσ PZM ππνινγίδνληαη κε ηελ ρξήζε ησλ ίδησλ ηχπσλ κε θαη , κηα θαη ε κνλαδηθή δηαθνξά κεηαμχ PZM θαη PZ είλαη ζην πνιπψλπκν πνπ ρξεζηκνπνηείηαη. Λφγν ηνπ πεξηνξηζκνχ (1.4.13) ην ζχλνιν ησλ Pseudo-Zernike πνιπσλχκσλ ηάμεο n, εκπεξηέρνπλ (n+1) 2 γξακκηθά αλεμάξηεηα πνιπψλπκα n βαζκνχ. Απφ ηελ 21

23 άιιε, ην ζχλνιν ησλ πνιπσλχκσλ Zernike πεξηέρνπλ κφλν (n+1)(n+2)/2 γξακκηθά αλεμάξηεηα πνιπψλπκα n βαζκνχ, ιφγνπ ηεο ζπλζήθεο n- m πξέπεη λα είλαη δπγφο. Έηζη, νη PZM πξνζθέξνπλ πεξηζζφηεξα δηαλχζκαηα ραξαθηεξηζηηθψλ ζε ζρέζε κε ηηο ξνπέο Zernike. Όπσο είλαη εκθαλέο απφ ηελ (1.4.12) ν ππνινγηζκφο ησλ PZM, εκπεξηέρεη ηνλ ππνινγηζκφ θάπνησλ παξαγνληηθψλ φξσλ, γεγνλφο πνπ πξνζζέηεη πεξεηαίξσ ππνινγηζηηθή πξνζπάζεηα. πλεπψο, φπσο θαη κε ηελ πεξίπησζε ησλ PZ, ππάξρεη αλάγθε αλάπηπμεο γξήγνξνπ θαη αμηφπηζηνπ αιγφξηζκνπ ππνινγηζκνχ απηψλ ησλ ξνπψλ ζε ειάρηζην ρξφλν : Διακριτέσ ροπέσ Σν βαζηθφ κεηνλέθηεκα ησλ ζπλερψλ ξνπψλ είλαη ε δεκηνπξγία πξνζεγγηζηηθψλ ζθαικάησλ, ηα νπνία κεηψλνπλ ζεκαληηθά ηελ ηθαλφηεηα πεξηγξαθήο ηνπ πεξηερνκέλνπ εηθφλαο. Δθηφο απφ θάπνηεο αμηνζεκείσηεο πξνζπάζεηεο ππνινγηζκνχ ησλ ζεσξεηηθψλ ηηκψλ ξνπψλ [3], λέεο νηθνγέλεηεο ξνπψλ κε δηαθξηηφ πνιπψλπκν kernel πξνηάζεθα, ηα νπνίν επηηξέπνπλ ηνλ απεπζείαο ππνινγηζκφ ησλ ξνπψλ ηεο εηθφλαο ζε δηαθξηηφ δηάζηεκα ζπληεηαγκέλσλ. Οη πνην γλσζηέο νηθνγέλεηεο απηήο ηεο θαηεγνξίαο είλαη νη Tchebichef, Krawtchouk θαη νη dual Hahn ξνπέο : Ροπέσ Tchebichef (TMs) Οη ξνπέο Tchebichef ήηαλ ν πξψηνο ηχπνο δηαθξηηψλ νξζνγσληθψλ ξνπψλ πνπ εηζήρζεθε ζηελ αλάιπζε εηθφλαο απφ ηνλ Mukundan (2001). Απηέο νη ξνπέο ρξεζηκνπνηνχλ ζαλ Kernel, ηα νξζνγσληθά πνιπψλπκα Tchebichef, ηα νπνία νξίδνληαη ζε δηαθξηηφ πεδίν νξηζκνχ θαη έρνπλ ηελ παξαθάησ κνξθή: Tn(x)=(1-N)n 3F2(-n,-x,1+n;1,1-N;1)= ( ) n-k ( )( )( ) (1.4.14) Όπνπ 3 F 2, ε γεληθεπκέλε ππεξγεσκεηξηθή εμίζσζε n,x,=0,1,2, N-1, θαη Ν ην κέγεζνο ηεο εηθφλαο. Γηα ιφγνπο αξηζκεηηθήο ζηαζεξφηεηαο, θαη πεξηνξηζκέλνπ εχξνπο δπλακηθνχ, ηα θαλνληθνπνηεκέλα πνιπψλπκα Tchebichef πξνηάζεθαλ- επίζεο απφ ηνλ Mukundan, φπσο αθνινπζνχλ: 22

24 n(x)=tn(x)/β(n,n) (1.4.15) Όπνπ β(n,n) είλαη θαηάιιειε ζηαζεξά αλεμάξηεηε ηεο x ε νπνία ιεηηνπξγία σο παξάγνληαο θιηκαθψζεηο, φπσο N n. Οη θαλνληθνπνηεκέλεο ξνπέο Tchebichef (n+m) th ηάμεο, εηθφλαο M N δηαζηάζεσλ, κε εμίζσζε έληαζεο f(x,y) έρνπλ ηελ κνξθή: ΤΜnm= ( ) ( ) n(x) m(y)f(x,y) (1.4.16) Όπνπ (n,n) ε θαλνληθνπνηεκέλε λφξκα ησλ πνιπσλχκσλ: (n,n)=ρ(n,n)/β(n,n) 2 (1.4.17) Και ρ(n,n)=(2n)!( ), n= N-1 (1.4.18) Οη ξνπέο Tchebichef απνδείρζεθε φηη είλαη αλψηεξεο ησλ Zernike θαη Legendre ζην λα πεξηγξάθνπλ αληηθείκελα. Δπίζεο είλαη θαηάιιεια ζε εθαξκνγέο αλαγλψξηζεο πξνηχπνπ ζε πξαγκαηηθφ ρξφλν : Ροπέσ Krawtchouk (KMs) Οη ξνπέο Krawtchouk είλαη ν δεχηεξνο ηχπνο δηαθξηηψλ ξνπψλ πνπ εηζήρζεθαλ ζηελ αλάιπζε εηθφλαο. Απηέο νη ξνπέο θάλνπλ ρξήζε ησλ πνιπψλπκσλ Krawtchouk θαη έρνπλ ηελ παξαθάησ κνξθή: Kn(x;p,N)=2F1( / )= k,n,px k (1.4.19) Με ηνλ ίδην ηξφπν φπσο ηα πνιπψλπκα Tchebichef, έηζη θαη ν ππνινγηζκφο ησλ πνιπψλπκσλ Krawtchouk (20) παξνπζηάδεη αξηζκεηηθέο δηαθπκάλζεηο. Έηζη ρξεζηκνπνηείηαη κηα θαηαιιειφηεξε εθδνρή ηνπο: n(x;p,n)=kn(x;p,n) ( )/ ( ) (1.4.20) Όπνπ ( ) απνηειεί ην πξφηππν ησλ πνιπσλχκσλ Krawtchouk: ( )=(-1) n ( ) n (n!/-nn) n= N (1.4.21) Καη ( ) ε ζπλάξηεζε θνξηίνπ ησλ ξνπψλ Krawtchouk: ( )=( )px (1-p) N-x (1.4.22) 23

25 Ζ (n+m) th ηάμεο νξζνγψληα δηαθξηηή ξνπή Krawtchouk, M N εηθφλαο θαη εμίζσζεο f(x,y) νξίδεηαη σο: Knm= n(x;p1,m-1) m(y;p2,n-1)f(x,y) (1.4.23) ηελ πξάμε ν ππνινγηζκφο ησλ ζηαζκηζκέλσλ Krawtchouk πνιπσλχκσλ δελ ζπκβαίλεη ζχκθσλα κε ηελ (1.4.23), κηαο θαη είλαη ηδηαίηεξα ρξνλνβφξα δηαδηθαζία, αληί απηνχ, ρξεζηκνπνηνχληαη ζπρλά αλαδξνκηθνί αιγφξηζκνη Οη ξνπέο Krawtchouk είλαη αξθεηά απνηειεζκαηηθνί ηνπηθνί descriptors, θαζψο κπνξνχλ λα πεξηγξάςνπλ ηα ηνπηθά ραξαθηεξηζηηθά κηαο εηθφλαο, ζε αληίζεζε κε ηεο ππφινηπεο νηθνγέλεηεο ξνπψλ, νη νπνίεο ζπιιακβάλνπλ κφλν ηα ζπλνιηθά ραξαθηεξηζηηθά ηνπ αληηθεηκέλνπ πνπ πεξηγξάθνπλ. Απηή ηνπο ε ηδηφηεηα θαζνξίδεηαη απφ ηε θαηάιιειε ξχζκηζε ησλ παξακέηξσλ p 1 p 2 (ε θνηλή ηνπο ηηκή είλαη 0.5-πνπ πεξηγξάθεη ηελ εηθφλα απφ ην θέληξν) : Ροπέσ Dual Hahn (DHMs) To n th ηάμεο dual Hahn πνιπψλπκν (Zhu et al.,2007a) νξίδεηαη σο: Wn (c) (s,a,b)=((a-b+1)n(a+c+1)n)/n! 3F2(-n,a-s,a+s;a-b+1,a+c+1;1) (1.4.24) Γηα n=0,1,,n-1, s=a, a+1,,b-1, φπνπ 3 F 2 ε γεληθεπκέλε ππεξγεσκεηξηθή εμίζσζε πνπ δίλεηαη απφ: 3F2(a1,a2,a3,a4;b1,b2,b3;z)= ( ((a1)k(a2)k(a3)k)/((b1)k(b2)k))(z k /k!) (1.4.25) Γηα ηελ απνθπγή αξηζκεηηθήο αζηάζεηαο φπσο ζηηο πξνεγνχκελεο νηθνγέλεηεο ξνπψλ, ρξεζηκνπνηνχληαη ηα ζηαζκηζκέλα dual Hahn πνιπψλπκα,ηα νπνία νξίδνληαη παξαθάησ: n(c)(s,a,b)= n(c)(s,a,b)sqrt((ρ(s)/dn 2 )[Δx(s-1/2)]) (1.4.26) Όπνπ ξ(s) ε ζηαζκηζκέλε εμίζσζε. H (n+m) th ηάμεο dual Hahn ξνπή MxN εηθφλαο κε εμίζσζε έληαζεο f(x,y) έρεη ηελ παξαθάησ κνξθή: Wnm= n (c) (x,a,b)wm (c) (y a b)f( y) n= M-1, m= N-1 (1.4.27) 24

26 Δίλαη εκθαλέο απφ ηηο παξαπάλσ εμηζψζεη ο φηη ν ππνινγηζκφο ησλ dual Hahn πνιπσλχκσλ είλαη ρξνλνβφξνο, έηζη, ε ρξήζε αλαδξνκηθψλ αιγνξίζκσλ είλαη απαξαίηεηε. 1.5: Ανακαταςκευή εικόνων με την μέθοδο των ροπών Μηα ζεκαληηθή θαη ρξήζηκε ηδηφηεηα ησλ νξζνγψλησλ ξνπψλ είλαη φηη επηηξέπνπλ ηελ αλαθαηαζθεπή ηεο εηθφλαο πνπ πεξηγξάθνπλ. Ζ αλαθαηαζθεπή ηεο εηθφλαο γηα πεπεξαζκέλν αξηζκφ ξνπψλ πεξηγξάθεηαη απφ ηνλ αθφινπζν ηχπν: F(x,y)= nmkernelnm(x,y) (1.4.28) Όπνπ Μ nm ε (n+m) th ηάμεο ξνπή θαη Kernel nm (*) ην αληηζηνηρεί ζην kernel ηεο ξνπήο, πνπ απνηειείηε απφ ζπγθεθξηκέλν πνιπψλπκν ηάμεο n θαη m, ην νπνίν ζπληζηά ηελ νξζνγψληα βάζε ηεο αληίζηνηρεο νηθνγέλεηαο ξνπψλ. 25

27 Κεθάιαην 2 Πολικοί αρμονικοί μεταςχηματιςμοί- Polar Harmonic Transforms (PHT) 2.2: Ειςαγωγή Οη άλζξσπνη έρνπλ ηελ δπλαηφηεηα ρσξίο θφπν λα αλαγλσξίδνπλ δηαθφξνπ είδνπο αληηθείκελα ρσξίο λα ιακβάλνπλ ππφςε ηε ηπρψλ πεξηζηξνθή ηνπο. πζηήκαηα πνπ έρνπλ παξαρζεί απφ ηνλ άλζξσπν ζπρλά είλαη ζρεδηαζκέλα λα κηκνχληαη απηή ηελ ηθαλφηεηα ηνπ αλζξψπνπ. Έλαο απφ ηνπο ηξφπνπο λα επηηεπρζεί απηφ είλαη κε ηελ δεκηνπξγία παξακέηξσλ ηθαλψλ λα αλαγλσξίζνπλ ηα αληηθείκελα ιεηηνπξγψληαο παξάιιεια γηα έλα πεπεξαζκέλν αξηζκφ γσληψλ. Έλαο άιινο ηξφπνο είλαη ε δεκηνπξγία ραξαθηεξηζηηθψλ ηα νπνία ζα πεγάδνπλ απφ ην αληηθείκελν θαη ζα είλαη αλεμάξηεηα ηεο γσλίαο πξνβνιήο. ε απηή ηελ εξγαζία ζα αθνινπζήζνπκε απηή ηε πξνζέγγηζε[5]. Έλαο αξηζκφο αιγνξίζκσλ δεκηνπξγίαο ηέηνηνπ είδνπο ραξαθηεξηζηηθψλ έρεη θαηά θαηξνχο πξνηαζεί απφ ηνλ ρψξν. Αλάκεζα ηνπο, θαη ηα δεκνθηιή ζηηγκηφηππα Zernike (Zernike moments:zm) φπσο επίζεο θαη ηα ςεπδφ-zernike(pzm). Απηνί νη αιγφξηζκνη έρνπλ θαηά θαηξνχο ρξεζηκνπνηεζεί ζε πνηθηιία εθαξκνγψλ, φπσο, κνληεινπνίεζε θεξαηνεηδήο ρηηψλα, πδαηνγξάθεζε, αλαγλψξηζε πξνζψπνπ, αλαγλψξηζε ραξαθηεξηζηηθψλ, θαηεγνξηνπνίεζε πνιπθαζκαηηθψλ επηθαλίσλ θαη εληνπηζκφ νξίσλ. Δλ αληίζεζε ησλ πιενλεθηεκάησλ ηνπο, νη δχν παξαπάλσ αιγφξηζκνη έξρνληαη αληηκέησπνη κε ην πξφβιεκα ηνπ ππνινγηζκνχ ηνπο, ηδηαίηεξα ζε φηη αθνξά ηνλ ππνινγηζκφ πςειήο ηάμεο ζηηγκηφηππσλ. Σν ππνινγηζηηθφ πξφβιεκα απηψλ ησλ ζηηγκηφηππσλ είλαη θιεξνλνκηθά ζπζρεηηζκέλν ζην γεγνλφο φηη αξθεηνί παξαγνληηθνί φξνη ρξεζηκνπνηνχληαη ζηελ δηαδηθαζία ππνινγηζκνχ ηνπ ππξήλα απηψλ ησλ ραξαθηεξηζηηθψλ. Άιια ηξφπνη δεκηνπξγίαο αλεμαξηήηνπ γσλίαο ραξαθηεξηζηηθψλ πεξηιακβάλνπλ πεξηζηξνθηθά ζηηγκηφηππα θαη πνιχπινθα ζηηγκηφηππα. Παξφια απηά, νη παξαπάλσ ηξφπνη δελ είλαη εκπεξηέρνπλ νξζνγψληφηεηα φπσο νη πξναλαθεξζείο ZM θαη PZM. Με νξζνγψληφηεηα ππνλνεί απνπζία ζπκπαγψλ πιεξνθνξηψλ γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηνπ θάζε ππνινγηδφκελνπ ζηηγκηφηππνπ. Δλ αληηζέζεη, νξζνγψληφηεηα ησλ ππξήλσλ εθθξάδεη φηη κηα εηθφλα πξνβάιεηαη ζε δεχγε θαξηεζηαλψλ αμφλσλ, έηζη ψζηε ε ηαμηλφκεζε είλαη ζρεηηθά απιή. 26

28 Απηή ε εξγαζία ζα αζρνιεζεί κε έλα ζχλνιν κεηαζρεκαηηζκψλ, νη νπνίνη νλνκάδνληαη Πνιηθνί αξκνληθνί κεηαζρεκαηηζκνί ή Polar Harmonic transforms (PHT), νη νπνίνη κπνξνχλ λα ρξεζηκνπνηεζνχλ ζηελ δεκηνπξγία κε-επεξεαδφκελσλ απφ πεξηζηξνθή ραξαθηεξηζηηθψλ. Ο ππνινγηζκφο ησλ PHT ππξήλσλ είλαη ζεκαληηθά απινχζηεξνο ζε ζρέζε κε ηνπο αληίζηνηρνπο ZM,PZM, φπσο επίζεο θαη αξθεηά πνην γξήγνξνο, Με ηνπο PHT επίζεο δελ ππάξρεη αξηζκεηηθή αζηάζεηα. (Ζ αξηζκεηηθή αζηάζεηα απνηειεί ην κεγαιχηεξν ειάηησκα ησλ ZM, PZM κεηαζρεκαηηζκψλ, ζε ζεκείν φπνπ πεξηνξίδεη ηελ πξαθηηθή ηνπο ρξήζε.) Έλα κεγάιν κέξνο ηνπ ππνινγηζκνχ ησλ PHT ππξήλσλ κπνξεί λα πξν-ππνινγηζηεί θαη λα απνζεθεπηεί. ην ηέινο, γηα θάζε pixel, ρξεηάδεηαη κφιηο ηξεηο πνιιαπιαζηαζκνί, κία πξφζζεζε θαη έλαο ππνινγηζκφο εκηηφλνπ\ ζπλεκίηνλνπ. ε απηή ηελ εξγαζία ζα αζρνιεζνχκε κε ηξεηο δηαθνξεηηθνχο κεηαζρεκαηηζκνχο: Polar Complex Exponential Transform )(PCET), Polar Cosine Transform (PCT), θαη Polar Sine Transform (PST), φπσο επίζεο θαη κε ην γξήγνξν ππνινγηζκφ ηνπο. Δπηπιένλ ζηα πιενλεθηήκαηα ησλ PHT κεηαζρεκαηηζκψλ, ζα πξέπεη λα πξνζηεζεί φηη πξνζθέξνπλ ηελ δπλαηφηεηα θαηαζθεπήο απεξηνξίζηνπ αξηζκνχ ραξαθηεξηζηηθψλ. Γηα λα είλαη δπλαηφλ λα αλαγλσξίδνληαη αληηθείκελα απνηειεζκαηηθά, εθηφο απφ ηελ θαηαζθεπή δεηθηψλ πεξηγξαθήο, έλαο απφ ηνπο παξαπάλσ αιγφξηζκνπο παξνπζηάδεη θαη ην πξφβιεκα ηεο δεκηνπξγίαο ελφο αξθεηά κεγάινπ αξηζκνχ ραξαθηεξηζηηθψλ, ηα νπνία πνιιέο θνξέο ρξεηάδνληαη γηα ηηο εξγαζίεο ηαπηνπνίεζεο. Όζν πεξηζζφηεξεο ηάμεηο ρξήδνπλ δηάθξηζεο, ηφζν πεξηζζφηεξα ραξαθηεξηζηηθά είλαη αλαγθαία. Άξα, έλαο είλαη απαξαίηεηνο έλαο κεραληζκφο, ηθαλφο λα δεκηνπξγεί έλα κεγάιν αξηζκφ ακεηάβιεησλ ραξαθηεξηζηηθψλ, ηα νπνία δελ είλαη απαξαίηεην λα έρνπλ πξαγκαηηθή ή γεσκεηξηθή ππφζηαζε. Ο κεηαζρεκαηηζκφο ν νπνίνο παξνπζηάδεηε παξαθάησ έρεη αθξηβψο απηή ηελ ηδηφηεηα. Ζ επρέξεηα ππνινγηζκνχ ησλ ππξήλσλ PHT ζπλεπάγεηαη κε ηελ εθηίκεζε ησλ πςειφηεξσλ ηάμεο ζπληειεζηψλ PHT λα είλαη αξθεηά πνην εθηθηή ζε ζρέζε κε ησλ ZMs θαη ησλ PZMs, άξα, έλα κεγάιν εχξνο ραξαθηεξηζηηθψλ είλαη δηαζέζηκν γηα πεξεηαίξσ αλάθηεζε ή γηα δηαθξίλνπζα αλάιπζε. εκαληηθή νκνηφηεηα ππάξρεη ζηνπο radial-harmonic-fourier moments (RHFMs), ζηνπο νπνίνπο ρξεζηκνπνηνχληαη επίζεο ηξηγσλνκεηξηθέο εμηζψζεηο γηα ηελ κνξθνπνίεζε ησλ αθηηληθψλ ππξήλσλ. Δλψ, εμσηεξηθά, νη ξνπέο ηνπο κπνξεί λα είλαη αξθεηά φκνηεο κε ηνπο κεηαζρεκαηηζκνχο PCT θαη PST, είλαη θαλεξφ φηη ε αλάπηπμε ηνπο είλαη ξηδνζπαζηηθά δηαθνξεηηθνί κε ηνπο RHFMs ζηνπο παξαθάησ ηξφπνπο: 1) Οη κεηαζρεκαηηζκνί RHFMs δελ έρνπλ DC φξνπο, ε νπνία παξνπζία ηνπο ζα ήηαλ ρξήζηκε ζε κεξηθέο εθαξκνγέο, Οη κεηαζρεκαηηζκνί PC, θαη PS έρνπλ DC φξνπο. 2) Ζ αλάπηπμε ηνπο είλαη ειιηπήο γηα r=0, εθφζνλ πξέπεη λα ππνινγηζηεί 1/ θαη 3) νη PCT & PST έρνπλ πεξηζζφηεξεο παξαιιαγέο ζε φξνπο ζπρλφηεηαο ζηνηρείσλ εθφζνλ νη ππξήλεο ηνπο έρνπλ βαζηθή ζπρλφηεηα π ζε αληίζεζε κε ηε ζπρλφηεηα 2π ησλ RHFMs. 27

29 2.2: Πολικοί Αρμονικοί Μεταςχηματιςμοί Polar Harmonic Transforms (PHT) Πνιηθνί αξκνληθνί κεηαζρεκαηηζκνί (PHT) νλνκάδνληαη ην ζχλνιν ησλ κεηαζρεκαηηζκψλ ησλ νπνίσλ ηα kernel είλαη βαζηθέο θπκαηνκνξθέο θαη αξκνληθέο ζηε θχζε. Οη PHT εκπεξηέρνπλ ηνπο: ζχλζεην πνιηθφ εθζεηηθφ κεηαζρεκαηηζκφ (Polar Complex Exponential Transform (PCET)), πνιηθφ κεηαζρεκαηηζκφ ζπλεκίηνλνπ (Polar Cosine Transform (PCΣ)) θαη ηνλ πνιηθφ κεηαζρεκαηηζκφ εκηηφλνπ (Polar Sine Transform (PST)). Έρνπλ πξνηαζεί ζηελ αλαπαξάζηαζε ακεηάβιεησλ πξνηχπσλ εηθφλαο, ζηε δηζδηάζηαηε αλάθηεζε εηθφλσλ θαη ζηελ αλαγλψξηζε πξνηχπσλ. Έρεη απνδεηρζεί φηη ππεξηεξνχλ ζε ζρέζε κε άιιεο κεζφδνπο πεξηγξαθήο ακεηάβιεησλ πξνηχπσλ ζε εηθφλεο. Ο ππνινγηζκφο ησλ kernel ηνπο είλαη επίζεο απιφο θαη δελ έρεη ζέκαηα αξηζκεηηθήο επζηάζεηαο. Χζηφζν, κε ζηφρν ηηο αχμεζεο ηεο ηαρχηεηαο ππνινγηζκνχ, είλαη απαξαίηεηνη γξήγνξνη κέζνδνη ππνινγηζκνχ, ηδηαίηεξα ζε εθαξκνγέο φπνπ ππάξρεη πεξηνξηζκέλν ππνινγηζηηθφ πεξηβάιινλ, κεγάιεο βάζεηο δεδνκέλσλ εηθφλσλ, θαη ζπζηήκαηα πξαγκαηηθνχ ρξφλνπ. ε απηή ηελ εξγαζία ζα παξνπζηάζνπκε ηξεηο δηαθνξεηηθνχο αιγφξηζκνπο ππνινγηζκνχ ησλ PHT. Όπσο επίζεο θαη ηνλ ηαρχ ππνινγηζκφ γηα εθάζηνηε αιγφξηζκν. Ζ αλαπαξάζηαζε πξνηχπσλ ακεηάβιεηεο πεξηζηξνθήο είλαη κηα απφ ηηο βαζηθέο πξνθιήζεηο ζηελ αλάθιεζε εηθφλσλ θαη ζηελ αλαγλψξηζε πξνηχπσλ. Απηφ εθπνξεχεηαη απφ ην γεγνλφο φηη ζε αξθεηέο ζχγρξνλεο εθαξκνγέο, νη εηθφλεο πξέπεη λα ζεσξνχληαη ίδηεο παξφιν θαη λα είλαη πεξηζηξεκκέλεο. Τπάξρνπλ δχν βαζηθά ήδε ραξαθηεξηζηηθψλ αλαπαξάζηαζεο ακεηάβιεησλ ζε ζρέζε κε πεξηζηξνθή, πξνηχπσλ. Με-νξζνγψληα ακεηάβιεηα ραξαθηεξηζηηθά φπσο νη ξνπέο πεξηζηξνθήο θαη νη ζχλζεηεο ξνπέο. Όκσο νη κέζνδνη απηνί δελ είλαη νξζνγψληνη, πξάγκα πνπ ζεκαίλεη φηη έιιεηςε ζπκπαγψλ πιεξνθνξηψλ ζηελ αλαπαξάζηαζε ησλ πξνηχπσλ. Οξζνγψληα ακεηάβιεηα ραξαθηεξηζηηθά φπσο νη ξνπέο Zernike θαη νη νξζνγψληεο ξνπέο Fourier- Mellin έρνπλ πξνηαζεί ζηελ πεξηγξαθή ησλ ακεηάβιεησλ πξνηχπσλ. Απηέο νη κέζνδνη ρξεζηκνπνηνχληαη ζε πνιιέο ζχγρξνλεο εθαξκνγέο φπσο ε αλαγλψξηζε ραξαθηεξηζηηθψλ θαη πνιπθαζκαηηθή αλάιπζε επηθαλίσλ. Χζηφζν ν ππνινγηζκφο ησλ kernels ηνπο εκπεξηέρεη έλαλ αξηζκφ παξαγνληηθψλ φξσλ θαη πάζρεη απφ αξηζκεηηθή αζηάζεηα. Οη PHT έρνληαο ηελ ηδηφηεηα νξζνγσληφηεηαο πξνζθέξνπλ ηελ δπλαηφηεηα κεηαζρεκαηηζκνχ ηεο εμίζσζεο εηθφλαο ζε έλα αξηζκφ απφ θνηλνχ αλεμάξηεησλ πξνηχπσλ κε ην ειάρηζην δπλαηφ πιενλαζκφ θαη ηελ κέγηζηε δηαθξίλνπζα πιεξνθνξηψλ[6]. Οη PHTs νξίδνληαη εληφο ηνπ κνλαδηαίνπ θχθινπ. Ζ δεκηνπξγία kernel απηψλ ησλ κεηαζρεκαηηζκψλ εκπεξηέρεη αξθεηέο ηξηγσλνκεηξηθέο εμίζσζεο γηα ηνλ ππνινγηζκφ ησλ αθηηληθψλ θαη γσλησδψλ κεξψλ, γηα ηα νπνία δελ ππάξρεη αθφκε θάπνηα γλσζηή ηαρεία κέζνδνο ππνινγηζκνχ. Ζ πςειή ππνινγηζηηθή πνιππινθφηεηα 28

30 απνηειεί έλα πεξηνξηζκφ ζηηο εθαξκνγέο, ηδηαίηεξα πξαγκαηηθνχ ρξφλνπ. πλεπψο ε ειαρηζηνπνίεζε ηεο πνιππινθφηεηαο ππνινγηζκνχ είλαη κείδνλνο ζεκαζίαο : ύνθετοσ Πολικόσ εκθετικόσ μεταςχηματιςμόσ - Polar complex exponential transform (PCET) Έζησ κηα 2D εμίζσζε εηθφλαο f(x,y), κπνξεί λα κεηαηξαπεί απφ θαξηεζηαλέο ζπληεηαγκέλεο ζε πνιηθέο f(r,ζ), φπνπ r θαη ζ δειψλεη ηελ αθηίλα θαη ην αδηκνχζην, έθαζην. Οη παξαθάησ εμηζψζεηο κεηαηξέπνπλ απφ θαξηεζηαλέο ζε πνιηθέο ζπληεηαγκέλεο R= (2.1) Καη Θ=arctan(y/x) (2.2) Ο κεηαζρεκαηηζκφο εκπεξηέρεη ζεκεία εληφο ηνπ κεγαιχηεξνπ εζσηεξηθνχ θχθινπ ηεο εηθφλαο. Μεηά ηε θαλνληθνπνίεζε νξίδεηαη ζην κνλαδηαίν θχθιν κε r 1, θαη κπνξεί λα επεθηαζεί αλαθνξηθά ζηε βαζηθή εμίζσζε H nl (r,ζ) σο: Όπνπ ν ζπληειεζηήο είλαη: Ζ βαζηθή εμίζσζε δίλεηαη απφ Όπνπ F(r,θ)= nlηnl(r,θ) (2.3) M nl = ( )Hnl * (r,θ)rdrdθ (2.4) Hnl(r,θ)=Rn(r)e ilθ (2.5) R n (r)=e i2πnr^2 (2.6) Καη ηθαλνπνηεί ηελ πξνυπφζεζε νξζνγσληφηεηαο Καη n(r)rn * (r)rdr= δnn (2.7) 29

31 nl(r,θ)hn l * (r,θ)rdrdθ=πδnn δll (2.8) Όπνπ δ ij Γέιηα ηνπ Κξφλεθεξ. Ξαλαγξάθνληαο ηελ 3.4 κε ( ) έρνπκε: M nl f ( r, )(cos(2 nr l ) jsin(2 nr l ) r 0 0 drd (2.9) M nl είλαη ακεηάβιεηε πεξηζηξνθήο. Σν ζρήκα 2.1 παξηζηάλεη ηα πξαγκαηηθά θνκκάηηα ηεο βαζηθήο εμίζσζεο H nl (r,ζ) γηα δηαθνξεηηθέο ηηκέο n,l. Υξεηάδεηαη δχν ηξηγσλνκεηξηθέο θαη κία αληίζηξνθε ηξηγσλνκεηξηθή πξάμε γηα ηελ δεκηνπξγία ζπληειεζηψλ PCET kernels γηα θάζε ζεκείν. 30

32 2.2.2: υνημιτονικόσ και Ημιτονικόσ Πολικόσ μεταςχηματιςμόσ Polar cosine & sine transform (PCT & PST) Ο ζπλεκηηνληθφο πνιηθφο κεηαζρεκαηηζκφο δίλεηαη απφ: φπνπ ν ζπληειεζηήο είλαη: f(r,θ)= nl C Hnl C (r,θ) (2.10) Mnl C = ( )Hnl C* (r,θ)rdrdθ (2.11) Καη ε βαζηθή εμίζσζε δίλεηαη απφ: Όπνπ Καη Hnl C (r,θ)=rn C (r)e ilθ (2.12) Rn C =cos(πnr 2 ) (2.13) Ωn= { = (2.14) Ξαλαγξάθνληαο ηελ 3.11 κε ηε 3.12 & 3.14: 2 1 C 2 M nl n f ( r, )cos( nr )(cos( l jsin( l ) rdrd 0 0 (2.15) Παξφκνηνο, ν εκηηνληθφο πνιηθφο κεηαζρεκαηηζκφο δίλεηαη απφ: φπνπ ν ζπληειεζηήο είλαη: S S f ( r, ) M H ( r, ) S nl (2.16) n0 l f r H r rdrd (2.17) nl nl S* (, ) nl (, ) 31

33 Καη ε βαζηθή εμίζσζε δίλεηαη απφ: Όπνπ S S el H ( r, ) R ( r) e (2.18) nl n R S n 2 sin( nr ) (2.19) Ξαλαγξάθνληαο ηελ 3.11 κε ηε 3.12 & 3.14: S f( r, )sin( )(cos( ) sin( )) (2.20) n nr l j l rdrd nl 0 0 Οη PCT & PST νξίδνληαη εληφο ηνπ κνλαδηαίνπ θχθινπ. M nl C θαη M nl S είλαη ακεηάβιεηεο ξνπήο. Οη PCT & PST ρξεηάδνληαη 3 ηξηγσλνκεηξηθέο εμηζψζεηο γηα ηελ δεκηνπξγία ζπληειεζηψλ kernel γηα θάζε ζεκείν. Ο Bhatia θαη Wolf έρνπλ δείμεη φηη γηα λα είλαη έλα πνιπψλπκν είλαη ακεηάβιεην ζε νπνηνδήπνηε κνξθή πεξηζηξνθήο ησλ αμφλσλ, πξέπεη λα είλαη ηεο κνξθήο: V(rcosθ Rsinθ)=Rne jmθ Όπνπ R n (r) αθηηληθφ πνιπψλπκν ζην r θαη n βαζκνχ. Τπάξρνπλ κφλν ιίγεο θαηεγνξίεο ξνπψλ, ησλ νπνίσλ ηα kernel ζπκβαδίδνπλ κε ηελ παξαπάλσ κνξθή, πρ, νη ξνπέο Zernike, Pseudo-Zernike, Fourier-Mellin, θαη νη αθηηληθέο-αξκνληθέο ξνπέο Fourier. Οη νπνίεο είλαη νξζνγψληεο, ζην ζχλνιν ηνπο, κε ηελ έλλνηα φηη ηα kernel ηνπο ηθαλνπνηνχλ 32

34 2.3: Ιδιότητεσ Πολικών αρμονικών μεταςχηματιςμών Περιπλοκότητα υπολογιςμού πολικών αρμονικών μεταςχηματιςμών 2.3.1: Πολυπλοκότητα υπολογιςμού πολικών αρμονικών μεταςχηματιςμών Ο ππνινγηζκφο ησλ PHT είλαη ζεκαληηθά επθνιφηεξνο, ζπγθξηηηθά κε ηνλ ππνινγηζκφ ησλ ZM, PZM, θαη OFMM. Βαζηδφκελνη ζηελ 2,3, κπνξνχκε λα μαλαγξάςνπκε ηνλ νξηζκφ ησλ PCET kernel ζηελ παξαθάησ κνξθή: H nl (r,ζ)=e i2πnr^2 e ilζ =e i(2πnr^2+lζ) Μπνξνχκε λα δηαθξίλνπκε φηη ζε απηή ηε κνξθή ν ππνινγηζκφο δελ είλαη ηφζν πνιχπινθνο: Ζ κεηαζρεκαηηζκέλε εηθφλαο ζε πνιηθέο ζπληεηαγκέλεο (r,ζ) ρξήδεη αμηνιφγεζεο κφλν κηα θνξά θαη ζηε ζπλέρεηα απνζεθεχεηε ζηελ κνξθή (r 2,ζ), ε νπνία απέρεη κφιηο έλα βήκα απφ ηελ πξναλαθεξζείζα. Σα επφκελα βήκαηα απνηεινχληαη απφ πνιιαπιαζηαζκνχο ησλ απνζεθεπκέλσλ ηηκψλ κε n θαη l, θαη ηέινο κε εθηίκεζε ηεο ζχλζεηεο εθζεηηθήο ζπλάξηεζεο, ε νπνία κπνξεί λα γξαθηεί θαη ζαλ ηξηγσλνκεηξηθή εμίζσζε (e iz =cos(z)+i*sin(z)). Άξα γηα θάζε pixel, κφιηο ηξεηο πνιιαπιαζηαζκνί( ππνζέηνπκε φηη ε ηηκή 2π είλαη πξν-ππνινγηζκέλε θαη απνζεθεπκέλε), κηα πξφζζεζε θαη δχν ππνινγηζκνί, εκηηφλνπ, ζπλεκίηνλνπ (γηα 33

35 PCET) ρξεηάδνληαη γηα ηελ ηειηθή ηηκή ηνπ εθάζηνηε pixel. Ζ παξαπάλσ επρέξεηα ππνινγηζκνχ, ζπλεπάγεηαη κε ην φηη πξνζθέξεηαη ην πιενλέθηεκα ηεο θαηαζθεπήο ελφο κεγάινπ αξηζκνχ ραξαθηεξηζηηθψλ. Καη πξάγκαηη, γηα λα είλαη κηα εθαξκνγή ηθαλή λα αλαγλσξίζεη αληηθείκελα, εθηφο απφ ην πξφβιεκα ησλ πεξηγξαθψλ ακεηάβιεησλ αληηθεηκέλσλ, ππάξρεη επίζεο θαη ην πξφβιεκα δεκηνπξγίαο ηεξάζηησλ αξηζκψλ ραξαθηεξηζηηθψλ, ηα νπνία είλαη απαξαίηεηα. Όζεο πεξηζζφηεξεο ηάμεο πξέπεη λα δηαθξηζνχλ, ηφζα πεξηζζφηεξα ραξαθηεξηζηηθά είλαη αλαγθαία γηα ηελ δηαδηθαζία αλαγλψξηζεο. Δπνκέλσο, έλαο κεραληζκφο είλαη αλαγθαίνο, ηθαλφο λα δεκηνπξγεί έλα κεγάιν αξηζκφ ακεηάβιεησλ ραξαθηεξηζηηθψλ, ηα νπνία δελ έρνπλ απαξαίηεηα θπζηθή ή γεσκεηξηθή ππφζηαζε[5] : Αποθήκευςη Ζ επρέξεηα ππνινγηζκνχ ησλ PHT kernels θαζηζηά δπλαηή ηελ κείσζε ηνπ ρψξνπ απνζήθεπζεο πνπ απαηηείηαη γηα ηα kernels. ηελ πεξίπησζε ησλ (ZMs), εάλ ρξεηάδνληαη N ZMs φξνη, ηφηε ρξεηάδεηαη λα απνζεθεπηνχλ N δηαθνξεηηθά ZM kernels, εθφζνλ ν επαλαιακβαλφκελνο ππνινγηζκφο ησλ πνιχπινθσλ ZM kernels, πξέπεη λα απνθεπρζεί. Δλ αληηζέζεη, φπσο είλαη εκθαλέο φηη ζηελ πεξίπησζε ησλ PHTs δελ είλαη απαξαίηεηνο ν ππνινγηζκφο φζν θαη ε απνζήθεπζε ησλ kernel δηφηη ν ππνινγηζκφο πνπ ρξεηάδνληαη ηα kernels, είλαη ηδηαίηεξα κηθξφο. Όπσο αλαθέξακε θαη ζην πξνεγνχκελν θεθάιαην, ην κφλν πνπ ρξεηάδεηαη λα απνζεθεπηεί είλαη ε κεηαζρεκαηηζκέλεο ζπληεηαγκέλεο (r 2,ζ), ζηελ ζπλέρεηα κπνξνχλ λα ππνινγηζηνχλ ηα kernels νπνηαδήπνηε ηάμεο. Απηφ ζεκαίλεη φηη νη PHT είλαη N θνξέο πνην νηθνλνκηθνί ζε φηη αθνξά ην ρψξν απνζήθεπζεο : Εξαγωγή πληροφοριών και αριθμόσ μηδενικών Σα αθηηληθά kernels ησλ ZMs θαη PZMs είλαη πνιπψλπκα θαη ν αξηζκφο ησλ κεδεληθψλ πνπ αληηζηνηρνχλ ζηελ δπλαηφηεηα πεξηγξαθήο ησλ πνιπψλπκσλ γηα πςειήο ρσξηθήο ζπρλφηεηαο ζηνηρεία ηεο εηθφλαο. Δίλαη εκθαλέο φηη ηα αθηηληθά kernels ησλ ZM έρνπλ (n-m)/2 δηπιέο ξίδεο ζην εζσηεξηθφ δηάζηεκα 0 r 1 (εμαηξείηαη ε πεξίπησζε r=0 ). Δλ αληηζέζεη, ηα αθηηληθά kernels ηνπ PCET, είλαη ηεο κνξθήο: Rn(r)=cos(2πnr 2 )+j*sin(2πnr 2 ) Παξαηεξνχκε φηη ην πξαγκαηηθφ θαη ην θαληαζηηθφ κέξνο έρνπλ 2n θαη 2n+1 (πεξηιακβάλνληαο θαη ην r=0) κεδεληθά, έθαζην. πλεπψο, γηα ηνλ ίδην αξηζκφ n 0 34

36 κεδεληθψλ, ν βαζκφο ησλ ZN αθηηληθψλ πνιπσλχκσλ πξέπεη λα είλαη 2n 0 +m, αξθεηά κεγαιχηεξνο απφ ηνλ αληίζηνηρν ηνπ PCET, ν νπνίνο είλαη n 0 / : Πρόβλημα περιοριςμού Σα κεδεληθά ησλ αθηηληθψλ kernels ησλ ZMs βξίζθνληαη ζε πεξηνρή κεγαιχηεξε ηεο αθηηληθήο απφζηαζεο r. Απφ ηελ άιιε, ηα κεδεληθά kernels ησλ PCET δηαλέκνληαη απνθιεηζηηθά ζην δηάζηεκα 0 r 1. Ο Abu-Mostafa θαη ν Psaltis [*3] είραλ θαηνλνκάζεη ηελ αλνκνηφκνξθε θαηαλνκή ησλ κεδεληθψλ ζε kernels ζχλζεησλ ξνπψλ πρόβλημα περιορισμού. Σν πξφβιεκα πεξηνξηζκνχ πξνθαιεί πεξηηηή έκθαζε ζε ζπγθεθξηκέλα θνκκάηηα ηεο εηθφλαο θαη ακέιεηα ηεο ππφινηπεο : Αμετάβλητη περιςτροφήσ Οη ζπληειεζηέο ησλ PHTs έρνπλ ηελ εγγελή ηδηφηεηα ηεο ακεηάβιεηεο πεξηζηξνθήο. Δάλ ε εηθφλα g x (x,y) πεξηζηξαθεί ζηελ θνξά ηνπ ξνινγηνχ θαηά γσληά φ γηα λα γίλεη g 2 (x,y). Γειαδή, g 2 (x 2,y 2 )=g 1 (x 1,y 1 ), φπνπ: x1 cos sin x2 * y sin cos y 1 2 Σφηε ην θαηλνχξγην ζχλνιν PCET ζπληειεζηψλ, έζησ, {M nl }, ζπλδέεηαη κε ην παιηφ ζχλνιν, {M nl } κε ηελ ζρέζε: ' jl Mnl Mnle Ζ παξαπάλσ εμίζσζε απνηειεί ηε βάζε γηα ηελ παξαγσγή ακεηάβιεησλ απφ ηνπο ζπληειεζηέο PCET. Δάλ αθπξψζνπκε ην εθζεηηθφ παξάγνληα ζηε παξαπάλσ εμίζσζε ζα έρνπκε απφιπηεο ακεηάβιεηεο. Π.ρ. M nl = M nl ή M nl M nl *= M nl M nl *. Χο πξνο ηελ απνθπγή απνξξίςεσο κεγάινπ αξηζκνχ πιεξνθνξηψλ απφ ην ζχλνιν ησλ PCET ζπληειεζηψλ, νη ακεηάβιεηεο κπνξνχλ λα απνθηεζνχλ πνιιαπιαζηάδνληαο ηνπο θαηάιιεινπο ζπληειεζηέο. πγθεθξηκέλα έζησ N 1 θαη έζησ k i θαη n i κε αξλεηηθνί αθέξαηνη, θαη l i αθέξαηνο, φπνπ i=1,,n, έηζη ψζηε: 35

37 N i1 kl ii 0 Σφηε, νπνηνδήπνηε παξάγσγν: I N M i ki nl ii Δίλαη ακεηάβιεην ζε πεξηζηξνθή. Οη ακεηάβιεηεο, φπσο νξίδνληαη παξαπάλσ, είλαη γεληθά, ζχλζεηεο ηηκέο. Δάλ είλαη απαξαίηεηα ραξαθηεξηζηηθά πξαγκαηηθψλ ηηκψλ, ηα πξαγκαηηθά θαη ηα θαληαζηηθά θνκκάηηα (ή αληίζηνηρα, ιακπξφηεηα θαη θάζε) γηα θάζε ακεηάβιεηε κπνξνχλ λα δηαρσξηζηνχλ. Α βάζεο θαη B γηα ακεηάβιεηεο πνπ δεκηνπξγνχληαη ρξεζηκνπνηψληαο ην παξαπάλσ: l B { M [ M ], n,l 0, M 0} n, l l * n0, l0 n0, l0 Σν ζχλνιν B είλαη νινθιεξσκέλν φπσο θαίλεηαη νη ακεηάβιεηεο πνπ δεκηνπξγνχληαη κπνξνχλ λα εθθξαζηνχλ ζε φξνπο ησλ ζηνηρείσλ ηνπ Β ρξεζηκνπνηψληαο κφλν πξνζζέζεηο/αθαηξέζεηο, πνιιαπιαζηαζκνχο, κεηαηξνπέο κε ζεηηθνχο/αξλεηηθνχο αθεξαίνπο εθζεηηθνχο, θαη ζχλζεηε ζχδεπμε. Ο παξαπάλσ ηχπνο ακεηάβιεησλ ρξεζηκνπνηείηαη κε παξφκνην ηξφπν γηα PCT θαη PST 2.3.6: Εκτίμηςη προςανατολιςμού Οη ζπληειεζηέο PHT είλαη δπλαηφλ λα ρξεζηκνπνηεζνχλ ζηελ εθηίκεζε πξνζαλαηνιηζκνχ κηαο εηθφλαο ρσξίο απφξξηςε ησλ πιεξνθνξηψλ πεξηζηξνθήο, Ζ ζχληαμε είλαη αξθεηά επζχο θαη δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν: ' 1 M arg( nl ) l M Άξα, εάλ νξίζνπκε ηνλ πξνζαλαηνιηζκφ ηεο εηθφλαο λα είλαη έζησ ω ε εηθφλα πνπ έρεη ππνζηεί πεξηζηξνθή έρεη πξνζαλαηνιηζκφ ω-φ. ηελ πεξίπησζε ζνξχβνπ ή, κε επηζπκεηψλ δηαθπκάλζεσλ ηεο εηθφλαο, κπνξεί λα επηηεπρζεί πνην αθξηβήο ππνινγηζκφο ηνπ φ παίξλνληαο ηε κέζν φξν ησλ ηηκψλ φ πνπ επηζηξέθνληαη απφ ηνπο PHT ζπληειεζηέο γηα δηαθνξεηηθέο ηηκέο ησλ n, θαη l. nl 36

38 2.3.7: Ανακαταςκευή Εικόνασ Σα PHTs kernels απνηεινχληαη απφ νξζνγψληα δεχγε, άξα, κηα εηθφλα κπνξεί λα εθθξαζηεί ζε φξνπο ησλ PHΣ ζπληειεζηψλ θαη ησλ kernels, κε ηελ παξαθάησ κνξθή: F( r, ) M H ( r, ) n l Δάλ ην ππνζχλνιν (n,l) S S={(n,l) n, l =0,1,, } ησλ PHT ζπληειεζηψλ είλαη δηαζέζηκν, πξνζεγγηζηηθή εμίζσζε εηθφλαο, ε νπνία νξίδεηαη σο (r,ζ), κπνξεί λα ιεθζεί απφ: Καη ζθάικα αλαθαηαζθεπήο: fˆ( r, ) M H ( r, ) nl nl ( n, l) S ' E [ f( r, ) fˆ( r, )] rd 0 0 nl nl rd ηελ πεξίπησζε ηνπ PCET, εχθνια κπνξεί λα απνδεηρζεί, πσο είλαη: nl ( n, l) S \ S' Μπνξεί λα δεηρζεί φηη ην κεξηθφ ζχλνιν πνπ δίλεηαη απφ ηελ ζρέζε (29) ζπκπίπηεη κε ηελ εηθφλα φηαλ ε εηθφλα είλαη κε-κεδεληθή ζε πεξηνξηζκέλε πεξηνρή, είλαη ζπλερήο, ή έρεη πεπεξαζκέλν αξηζκφ αικάησλ έηζη ψζηε f(r,ζ) θαη f(r,ζ) 2 λα είλαη νινθιεξψζηκα θαη R n (r) λα νξίδεηαη εληφο (0,1) θαζψο ην n ηείλεη πξνο ην άπεηξν. Απηνί νη πεξηνξηζκνί, γεληθφο, ηθαλνπνηνχληαη. M 37

39 Κεθάιαην 3 Τλοποίηςη του PHT 3.1: Ο Polar Harmonic Transform Αλγόριθμοσ Ζ εμαγσγή PHT κε ρξήζε ηεο εμίζσζεο Mnl= ( )Hnl * (r θ)rdrdθ (3.1)είλαη ηδηαίηεξα δχζθνιε, δηφηη ζηελ ςεθηαθή επεμεξγαζία εηθφλαο, ε ζπλάξηεζε f(r,ζ) είλαη δηαθξηηή, θαη νξίδεηαη ζε ζχζηεκα νξζνγψλησλ ζπληεηαγκέλσλ. Έζησ κηα εηθφλα δηαζηάζεσλ N N κε (i,k) λα αλαπαξηζηνχλ ην πίμει ζηε iή ζεηξά θαη jή ζηήιε. Δθηεινχκαη ραξηνγξάθεζε πιέγκαηνο ησλ πίμει απφ N N πεξηνρή, ζηε [-1,1] [-1,1] κε ηε ρξήζε ησλ παξαθάησ κεηαζρεκαηηζκψλ: xi=, yi=, i k= N-1 (3.2) κε Γx=Γy= Ο κνλαδηαίνο δίζθνο D={f(r,ζ)0 r 1, 0 ζ 2π} ηψξα πξνζεγγίδεηαη απφ έλα κνλαδηαίν ςεθηαθφ δίζθν D ={f(i,k),x i 2 +y k 2 1}. Ζ δηαδηθαζία ραξηνγξάθεζεο επηηξέπεη λα αλήθνπλ ζην D κφλν ηα πίμει ησλ νπνίνλ ην θέληξν (x i,y k ) βξίζθεηαη εληφο ηνπ κνλαδηαίνπ δίζθνπ D. Απηή ε πξνζέγγηζε απεηθνλίδεηαη ζηα ζρήκαηα 3.1α θαη 3.1β, φπνπ ην ζρήκα 3.1α είλαη έλα πιαίζην 8 8 θαη ν ζπλερήο κνλαδηαίνο θχθινο D, θαη ην 3.1β αλαπαξηζηά ηνλ πξνζεγγηζηηθφ κνλαδηαίν δίζθν D θαη ηα πίμει ησλ νπνίνλ ην θέληξν βξίζθεηαη εληφο ηνπ κνλαδηαίνη θχθινπ, είλαη ρξσκαηηζκέλα γθξη. Άξα ε εμίζσζε (3.1) γηα ηνλ ππνινγηζκφ ησλ PHT παίξλεη ηελ κνξθή: nl 1 1 M f x y H x y dxdy x1y1 * (, ) nl (, ) xi 2 +yk 2 (3.3) Όπνπ r= θαη ζ=tan -1 (y/x), θαη H nl *(x,y)=r n (r)e jmζ κε ηελ αιιαγή ηνπ ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ απφ πνιηθέο ζε θαξηεζηαλέ[7]ο. Ζ ζπλάξηεζε εηθφλαο f(x,y) είλαη δηαθξηηή. Τπνζέηνληαο φηη ε ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y)=f(i,k) είλαη ζηαζεξή ζε έλα πιέγκα πίμει [x i -,y k - ] [x i +,y k + ], ηφηε ε εμίζσζε 3.3 κπνξεί λα πξνζεγγηζηεί απφ: 38

40 M nl N1 N1 x y xi y 2 k 2 f ( x, y) H dxdy (3.4) i0 k x x y x i y i y 2 k k 2 * nl Απφ ηελ ζηηγκή πνπ δελ ππάξρεη αλαιπηηθή ιχζε γηα ηελ δηπιή νινθιήξσζε ζην δεμί κέξνο ηεο εμίζσζεο (3.4) ρξεζηκνπνηείηαη κεδεληθήο ηάμεο πξνζέγγηζε: N 1N 1 4 * nl 2 nl i k N i0 k0 M ( ) f ( i, k) H ( x, y ), xi 2 +yk 2 (3.5) Δλαιιαθηηθά, νη ζπληειεζηέο PHT κπνξνχλ λα ππνινγηζηνχλ ζε πνιηθέο ζπληεηαγκέλεο φπσο πξνηείλεηαη ζηνπο [3.2, 3.3 ] γηα νξζνγψληεο ξνπέο ακεηάβιεηνπ πεξηζηξνθήο (orthogonal rotation invariant moments (ORIMs)), φπσο νη ΕΜs θαη PZMs. Χζηφζν, φπσο θαη ζηελ πεξίπησζε ησλ ORIMs, ν ππνινγηζκφο ησλ PHTs ζε πνιηθφ ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ απαηηεί αλαδηακφξθσζε ησλ πίμει ηεο εηθφλαο ζε πνιηθέο ζπληεηαγκέλεο. Απηή ε δηαδηθαζία εκπεξηέρεη ζθάικα παξεκβνιήο δηφηη ε εληάζεηο ηνπ πίμει απαηηεηέ λα θαζνξηζηνχλ ζηηο θαηλνχξγηεο ηνπνζεζίεο ηνπο. Άξα, ζπλήζσο νη PHT ππνινγίδνληαη κε ηελ ρξήζε ηεο εμίζσζεο (3.5) φπσο ζα δνχκε θαη ζην επφκελν θεθάιαην. 39

41 3.2: Γρήγοροσ υπολογιςμόσ των kernel ςυναρτήςεων Έλα ειθπζηηθφ ραξαθηεξηζηηθφ ησλ PHTs είλαη ε ρακειή ππνινγηζηηθή απαίηεζε ησλ kernel ζπλαξηήζεσλ, ηδηαίηεξα ζπγθξηηηθά κε ηηο ORIMs, ησλ νπνίσλ νη ζπλαξηήζεηο kernel είλαη ππνινγηζηηθά έληνλεο ιφγν ηεο χπαξμεο πςειήο ηάμεο πνιπσλχκσλ θαη παξαγνληηθψλ φξσλ. Μνιαηαχηα, νη ζπλαξηήζεηο kernel ησλ PHTs πεξηιακβάλνπλ εκηηνλνεηδήο ζπλαξηήζεηο. Σν ππνινγηζηηθφ θφζηνο απηψλ ησλ ζπλαξηήζεσλ είλαη αθφκε πςειφ. ε πξφζθαηε έξεπλα εηζάρζεθε ε ρξήζε ζπκκεηξίαο/αληη-ζπκκεηξίαο 8 ζεκείσλ γηα ησλ ππνινγηζκφο ησλ ζπλαξηήζεσλ γσλίαο θαη αθηίλαο, ε νπνία απμάλεη ηελ ηαρχηεηα ππνινγηζκνχ ζε παξάγνληα απφ 8 ζε 6. Ο ρξφλν πνπ ρξεηάδεηαη γηα ηελ εθηίκεζε ησλ ηξηγσλνκεηξηθψλ ζπλαξηήζεσλ είλαη αξθεηά κεγάινο. Άξα, ν ππνινγηζκφο ησλ εκηηνλνεηδψλ ζπλαξηήζεσλ, αθφκε θαη ζε έλα φγδνν ηεο εηθφλαο είλαη ρξνλνβφξνο. Ζ απαίηεζε πςεινχ ρξφλνπ ππνινγίδεηαη απφ ην γεγνλφο φηη ε εθηίκεζε ηεο ζπλάξηεζεο εκηηφλνπ, θαη ζπλεκίηνλνπ κηαο εηθφλαο κεγέζνπο N N πίμει (κε N=δπγφο αξηζκφο) απαηηεηέ λα ππνινγηζηεί ζε N(N+2)/8 ζεκεία ζε έλα φγδνν ηεο εηθφλαο. Καη εάλ ε κέγηζηε ηάμε θαη επαλάιεςε είλαη n max θαη m max, έθαζηε, ηφηε ν ρξφλνο πνιππινθφηεηαο είλαη O(N 2 n max m max ), ν νπνίνο είλαη ηδηαίηεξα πςειφο. Απηή ε πνιππινθφηεηα ρξφλνπ δε κπνξεί λα κεησζεί αθφκε θαη κεηά ηελ απνζήθεπζε ησλ ηηκψλ ζε πίλαθεο. Πξνηείλνληαη αιγφξηζκνη αλαδξνκήο γηα ηνλ ππνινγηζκφ ησλ ηξηγσλνκεηξηθψλ ζπλαξηήζεσλ ηνπ αθηηληθνχ κέξνπο θαη ηνπ κέξνπο γσλίαο ηεο ζπλάξηεζεο kernel. Έρεη απνδεηρζεί, φηη ελψ ζην γσληψδεο κέξνο δελ είλαη απαξαίηεηνο ν ππνινγηζκφο ησλ ηξηγσλνκεηξηθψλ ζπλαξηήζεσλ νχηε κηα θνξά, ζην αθηηληθφ κέξνο είλαη απαξαίηεηε ε εθηίκεζε ηνπ κφλν κηα θνξά, ζηελ ηνπνζεζία ηνπ πίμει. Καη πςειφηεξεο ηάμεο ηξηγσλνκεηξηθέο ζπλαξηήζεηο ππνινγίδνληαη αλαδξνκηθά. Ζ πξνηεηλφκελε κέζνδνο είλαη φκνηα κε ηελ αλαδξνκηθή πξνζέγγηζε πνπ είρε πηνζεηεζεί γηα ηηο ζπλαξηήζεηο γσλίαο, γηα ηνλ ππνινγηζκφ ησλ ZMs απφ ηνλ Singh θαη Walia 3.3: Τπολογιςμόσ τησ εξίςωςησ γωνίασ Ζ εμίζσζε γσλίαο e jlζ =cos(lζ)+j*sin(lζ) κπνξεί λα ππνινγηζηεί απνηειεζκαηηθά γηα m=0,1,2,,l max ζηελ ζέζε ηνπ pixel (i,k). Γη απηφ ην ιφγν, ρξεζηκνπνηνχληαη νη παξαθάησ επαλαιεπηηθέο ζρέζεηο γηα ηε δηαηίκεζε ησλ cos(lζ) θαη sin(mζ): cos((l+1)ζ)=cos(ζ)cos(lζ) sin(ζ)sin(lζ) sin((l+1)ζ)=sin(ζ)cos(lζ) + cos(ζ)sin(lζ) φπνπ m=0,1,2,,m max, r=,cos(ζ)=x i /r, sin(ζ)=y k /r. 40

42 Υξεζηκνπνηνχληαη δχν πίλαθεο, έζησ cos_theta[l max +1] θαη sin_theta[l max +1], γηα ηελ απνζήθεπζε ησλ ηηκψλ ζηελ κλήκε. 3.4: Τπολογιςμόσ την εξίςωςησ ακτίνασ Ζ εμίζσζε αθηίλαο γηα PCET, e j2πnr^2 =cos(2πnr 2 )+j*sin(2πnr 2 ) κπνξεί λα ππνινγηζηεί κε ηε ρξήζε ηεο αλαδξνκήο γηα δηαθνξεηηθήο ηάμεο n. Γηα n = 1 o ππνινγηζκφο cos(2πr 2 ), sin(2πr 2 ) γίλεηαη θαηεπζείαλ. Γηα ηάμεηο n>1 ρξεζηκνπνηνχληαη νη εμηζψζεηο α,β ην ππνινγηζκφ cos(2πnr 2 ) θαη sin(2πnr 2 ) αληίζηνηρα: cos(2πr 2 (n+1))=cos(2πr 2 )cos(2πr 2 n) sin(2πr 2 )sin(2πr 2 n) (α) sin(2πr 2 (n+1))=sin(2πr 2 )cos(2πr 2 n) + cos(2πr 2 )sin(2πr 2 n) (β) Παξφκνηνο θαη ν ηξφπνο ππνινγηζκνχ γηα PCT & PST: Γηα PCT ηζρχεη: cos(2πr 2 (n+1))=cos(2πr 2 )cos(2πr 2 n) sin(2πr 2 )sin(2πr 2 n) Καη γηα PST: sin(2πr 2 (n+1))=sin(2πr 2 )cos(2πr 2 n) + cos(2πr 2 )sin(2πr 2 n) Όπνπ n=1,2,3,,n max 3.5: υμμετρία/αντί-ςυμμετρία 8 ςημείων Ζ αθηηληθή ζπλάξηεζε ησλ PHT ζεσξεί ηηο ίδηεο ηηκέο γηα 8 αθηηληθά ζπκκεηξηθέο ηνπνζεζίεο. Σα δηαθνξεηηθά νινθιεξσηέα κέξε γηα θάζε ζεκείν είλαη f(r,ζ) (coslζ-j*sinlζ). Σν ζεκείν (x,y) είλαη έλα ζεκείν ζην πξψην ηεηαξηνθχθιην (ρήκα 3.2) κεηαμχ y=x θαη ηνλ άμνλα x, ην νπνίν έρεη αθφκε 7 ζεκεία αλαθνξηθά κε ηνπο άμνλεο x,y, y=x, y=-x θαη ηελ πξνέιεπζε (ρήκα 3.3) [6]. Οη πνιηθέο θαη νη θαξηεζηαλέο παξνπζηάδνληαη ζην πίλαθα 3.1 Όπσο είλαη γλσζηφ, νη sin(ζ) θαη cos(ζ) είλαη ζπλαξηήζεηο πεξηνδηθέο κε πεξίνδν 2π. Οη πεξίνδνη ησλ sin(lζ) θαη cos(lζ) είλαη 2π/l. Πξνεξρφκελνη απφ ηηο πεξηνδηθέο θαη ηηο ηδηφηεηεο ησλ ηξηγσλνκεηξηθψλ ζπλαξηήζεσλ νη νπνίεο ρξεζηκνπνηνχληαη ζηνπο γξήγνξνπο κεηαζρεκαηηζκνχο Fourier, είλαη καζεκαηηθέο ζρέζεηο γηα ηξηγσλνκεηξηθέο ζπλαξηήζεηο αλαθνξηθά ζε δηαθνξεηηθά l. Δάλ ην l δηαηξεζεί κε ην 4 θαη ην ππφινηπν είλαη 3, ελλνείηε mod(l,4)=3,κπνξνχκε λα ζπκπεξάλνπκε ηελ παξαθάησ ζρέζε γηα ηελ ζπλάξηεζε εκηηφλνπ [6] 41

43 . 42

44 Δάλ ην l δηαηξεζεί κε ην 4 θαη ην ππφινηπν είλαη 0 ελλνείηε φηη mod(l,4)=0, κπνξνχκε λα ζπκπεξάλνπκε ηελ παξαθάησ ζρέζε κε ηελ ζπλάξηεζε εκηηφλνπ: Παξφκνηεο ηδηφηεηεο ηζρχνπλ θαη γηα ηελ ζπλάξηεζε ζπλεκίηνλνπ, φπσο θαη γηα άιιεο ηηκέο ηνπ l. Γηα ηα 8 ζεκεία ηεο ίδηαο αθηίλαο r, εάλ νη ζπληειεζηέο PHT είλαη δπλαηφλ λα ππνινγηζηνχλ ηαπηφρξνλα, ηφηε ν ρξφλνο ππνινγηζκνχ ησλ ηξηγσλνκεηξηθψλ ζπλαξηήζεσλ κεηψλεηαη. 43

45 Γηα ησλ απεπζείαο ππνινγηζκφ ησλ kernel, ρξεηάδνληαη 24 ηξηγσλνκεηξηθέο ζπλαξηήζεηο 44

46 Γηα 8 ζπκκεηξηθά ζεκεία. Με ηελ ρξήζε γξήγνξσλ PHT, ε ππνινγηζηηθή πνιππινθφηεηα κεηψλεηαη, θαη κφλν ην έλα φγδνν ησλ ηξηγσλνκεηξηθψλ ζπλαξηήζεσλ ππνινγίδεηαη. 3.6: Ομαδοποίηςη των πίξελ εικόνασ εκαληηθή ελίζρπζε ηεο ηαρχηεηαο κπνξεί λα επηηεπρζεί κε ηελ νκαδνπνίεζε ησλ 8 πίμει πνπ βξίζθνληαη ζε ζπκκεηξηθή ζέζε. Ζ νκαδνπνίεζε ησλ πίμει επηηπγράλεηαη κε ηελ ρξήζε ηεο ηδηφηεηαο ζπκκεηξίαο/αληί-ζπκκεηξίαο 8 ζεκείσλ ησλ αθηηληθψλ θαη γσλησδψλ κεξψλ ηεο ζπλάξηεζεο kernels, θαη κπνξεί λα επεμεγεζεί [7] μαλαγξάθνληαο ηελ εμίζσζε (3.5) ζηελ κνξθή [7]: 45

47 φπνπ r ik 2 ζ ik =tan -1 (y k /x i ). Ζ ηδηφηεηα ζπκκεηξίαο/αληί-ζπκκεηξίαο 8 ζεκείσλ νδεγεί ηελ (3.6) 4 N f 1 u u nrik fu u nr R i ik u1 u i0 k0 2 2 j fu u nrik fu u nrik u1 u1 { cos( )cos(2 ) sin( )sin(2 )} { cos( )sin(2 ) sin( )cos(2 )} (3.7) Αληηθαζηζηψληαο κε Γ.1 θαη κε Γ.3 ε (3.7) γίλεηαη: M nl R1 n 2 2 ( Gmcos(2 nr ) Hmsin(2 nr ) n0 l0 ( msin(2 ) mcos(2 ) (3.8) 4 N j G r H nr 3.7: Τλοποιημένοι αλγόριθμοι 3.7.1: Normal PHT N 1N 1 4 * nl 2 nl i k N i0 k0 M f ( i, k) H ( x, y ), xi 2 +yk 2 Με H nl = R n (r)e jmζ & 46

48 Όπνπ αλάινγα κε ηνλ ηχπν ηνπ PHT αιιάδεη ην R n (r), θαη γίλεηαη PCET: Rn(r)=e j2πnr^2 PCT: Rn(r)=cos(πnr 2 ) PST: Rn(r)=sin(πnr 2 ) 3.7.2: Αναδρομικοί (Recursive) PHT N 1N 1 4 * nl 2 nl i k N i0 k0 M f ( i, k) H ( x, y ), xi 2 +yk 2 Όπνπ αλάινγα κε ην ηχπν ηνπ PHT αιιάδεη ην H nl *(x i,y k ) θαη ηζρχεη θαη ε ίδηα ηδηφηεηα γηα «ι» φπσο θαη ζην Normal PHT: PCET: PCT: PST: 2 2 {cos(2 nr )cos( ) sin(2 )sin( )} * ik lik nrik lik Hnl 2 2 j{sin(2 nrik )cos( lik ) cos(2 nrik )sin( lik)} * 2 2 H [cos(2 nr )cos( l ) j(cos(2 nr )sin( l ))] nl ik ik ik ik H [ sin(2 nr )sin( l ) j(sin(2 nr )cos( l ))] * 2 2 nl ik ik ik ik 3.7.3: PHT με χρήςη τησ ιδιότητασ ςυμμετρίασ/αντίςυμμετρίασ 8 ςημείων PCET: M nl PCT: R1 i { Gm ( xi, yk )cos(2 nr ) Hnl( xi, yk )sin(2 nrik)} 2 N 2 2 i0 k0 j{ Gm( xi, yk )sin(2 nr ) Hnl( xi, yk )cos(2 nrik)} 4 M G x y nr j H x y nr R1 i 2 2 nl [{ (, )cos(2 )} { (, )cos(2 )}] 2 m i k nl i k ik N i0 k0 PST: 4 M H x y nr j G x y nr R1 i 2 2 nl [{ (, )sin(2 )} { (, )sin(2 )}] 2 nl i k m i k ik N i0 k0 47

49 Κεθάιαην 4 Τλοποιημένο Λογιςμικό 4.1: Ειςαγωγή Γηα ηελ πινπνίεζε ησλ παξαπάλσ αιγφξηζκσλ δεκηνπξγήζεθε ινγηζκηθφ κε ηε ρξήζε ηνπ matlab 2012b. Ο ρξήζηεο κπνξεί λα εηζάγεη εηθφλα ηεο επηινγήο ηνπ, αξθεί λα ηεξεί θάπνηεο πξνυπνζέζεηο, φπσο κέγεζνο, λα είλαη γθξη, θαη λα ηεηξάγσλε. Καη ζηελ ζπλέρεηα λα δηαιέμεη ηχπν θαη αιγφξηζκν PHT απφ ηα δηαζέζηκα ππφ-κελνχ. Καη κε ην πάηεκα ελφο θνπκπηνχ λα αλαθαηαζθεπαζηεί ε εηθφλα. Όπσο επίζεο λα εκθαληζηνχλ δηάθνξεο κεηξήζεηο πνηφηεηαο αλαθαηαζθεπήο. Απφ εθεί ν ρξήζηεο, κπνξεί λα δηαθνξνπνηήζεη ηεο ζπληζηψζεο θαη γηα λα ειέγμεη πνηνο απφ ηνπο δηαζέζηκνπο αιγφξηζκνπο είλαη ν πνην γξήγνξνο θαη πνηνο ηνπο δίλεη ηελ θαιχηεξε δπλαηή επθξίλεηα ζηελ αλαθαηαζθεπαζκέλε εηθφλα. Ζ αξρηθή εηθφλα ηνπ πξνγξάκκαηνο θαίλεηαη ζην ζρήκα 4.1 θαη ην δηάγξακκα ξνήο ηνπ ινγηζκηθνχ απεηθνλίδεηαη ζην ζρήκα

50 49

51 50

52 4.2: Επεξήγηςη δυνατοτήτων προγράμματοσ Σν κελνχ ηνπ ινγηζκηθνχ είλαη ηδηαίηεξα απιφ θαη απηφ-επεμεγεκαηηθφ, θαη ζα ην δνχκε αλαιπηηθφηεξα ζε απηφ ην θεθάιαην, ηη θάλεη ην θάζε πιήθηξν, φπσο επίζεο θαη ηηο εμφδνπο δεδνκέλσλ, ηη ζπκβνιίδεη ε θάζε κία. 51

53 52

54 Όπσο είλαη εκθαλέο ην πξφγξακκα είλαη ηδηαίηεξα εχρξεζην πξνο ηνλ ρξήζηε. 53

55 Κεθάιαην 5 Πειράματα 5.1:Ειςαγωγή ην πξφγξακκα πνπ αλαπηχρζεθε γηα ηηο αλάγθεο απηήο ηεο εξγαζίαο θαη αλαθέξεηαη ζε απηφ ην θεθάιαην 4, δηεμάρζεθαλ δηάθνξα πεηξάκαηα, έηζη ψζηε λα βξεζεί ν βέιηηζηνο αιγφξηζκνο PHT. Σα θξηηήξηα επηινγήο ηνπ βέιηηζηνπ αιγφξηζκνχ απνηεινχληαη απφ 3 δείθηεο πνηφηεηαο αλαθαηαζθεπήο ηεο εηθφλαο, θαη ην ρξφλν ππνινγηζκνχ ησλ ζπληειεζηψλ PHT. 5.2: Επεξήγηςη δεικτών ποιότητασ ανακαταςκευήσ εικόνασ Ο δείθηεο MSE (mean squared error ζθάικα κέζνπ ηεηξαγψλνπ) είλαη έλαο ζηαηηζηηθφο δείθηεο ν νπνίνο κεηξάεη ηηο κέζεο ηηκέο ησλ «ζθαικάησλ» κεηαμχ ησλ εθηηκψκελσλ ηηκψλ θαη ησλ ππνινγίζηκσλ. Ο ηχπνο ηνπ δίλεηαη απφ MSE= ( 2 )/(M*N), φπνπ error=original_image-reconstructed_image θαη M,N νη δηαζηάζεηο ηηο εηθφλαο. Ο δείθηεο PSNR (Peak signal-to-noise ratio) απνηειεί έλα φξν ηεο κεραληθήο γηα ην ιφγν αλάκεζα ζηε κέγηζηε δπλαηή δχλακε ελφο ζήκαηνο θαη ζηε κέγηζηε δχλακε ηνπ ζνξχβνπ δηαθζνξάο ν νπνίνο επεξεάδεη ηελ πηζηφηεηα ηεο αλαπαξάζηαζεο. Ο ηχπνο ηνπ δίλεηαη απφ PSNR=10*log10(2562/MSE) Καη ηέινο ν δείθηεο SSIM (Structural similarity index method) είλαη κηα κέζνδνο κέηξεζεο ηεο νκνηφηεηαο αλάκεζα ζε δχν εηθφλεο. Με άιια ιφγηα ε κέηξεζε ηεο πνηφηεηαο εηθφλαο βαζίδεηαη ζε κηα αξρηθή αζπκπίεζηε ή κεπαξακνξθσκέλε εηθφλα[8]. 54

56 ηα πεηξάκαηα ρξεζηκνπνηήζεθαλ 6 εηθφλεο, δηαθνξεηηθνχ κεγέζνπο θαη πνιππινθφηεηαο, φπσο θαη αλαθνξηθνχ πεξηερνκέλνπ. Απηέο κπνξνχκε λα ηηο δνχκε ζην ζρήκα 4.1. ηελ ζπλέρεηα ειέγρζεθε ε πνηφηεηα αλαθαηαζθεπή ηνπο θαη ν ρξφλνο πνπ δηήξθεζε γηα δηαθνξηθέο ηηκέο n(ηάμεο) θαη m(επαλάιεςεο). Οη ηηκέο θαίλνληαη αλαιπηηθά ζηνπο παξαθάησ πίλαθεο. Ο ρξφλνο ππνινγηζκνχ (elapsed time) αθνξά ηνλ ππνινγηζκφ ησλ ζπληειεζηψλ PHT θαη κεηξηέηαη ζε second 55