i) Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση για τον χώρο W που παράγουν τα διανύσματα ii) Ναβρεθείηπροβολήτουδιανύσματοςv p0,1,4,1q στον χώρο W.

Transcript

1 Εφαρμοσμένη άλγεβρα -- Σάββατο 0 Μαϊου 2020 Ασκήσεις στο εσωτερικό γινόμενο Άσκηση. i) Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση για τον χώρο W που παράγουν τα διανύσματα x p0,,,q, x 2 p,,2,0q, x p2,,,0q ii) Ναβρεθείηπροβολήτουδιανύσματοςv p0,,4,q στον χώρο W. iii) Να εξετασθεί αν το v είναι γραμμικός συνδυασμός των x,x 2,x. iv) Να βρεθεί ένα διάνυσμα v το οποίο είναι ορθογώνιο στα x,x 2,x. v) Να βρεθεί το μήκος (η norm) της προβολής του v πάνω στο χώρο που παράγουν τα x,x 2,x. Λύση. i) Θα χρησιμοποιήσουμε τον αλγόριθμο Gram Schmidt. v y y όπου y x p0,,,q y? 0 2 ` 2 ` 2 ` 2?. v? p0,,,q. v 2 y 2 y 2 όπου y 2 x 2 xx 2,v yv.

2 Εφαρμοσμένη άλγεβρα -2- Σάββατο 0 Μαϊου 2020 xx 2,v y B p,,2,0q, F? p0,,,q? xp,,2,0q, p0,,,qy? y 2 p,,2,0q?? p0,,,q p,0,, q y 2? 0 2 ` 2 ` 2 ` 2?. v 2? p,0,, q. v y y, όπου y x xx,v yv xx,v 2 yv 2 xx,v y B p2,,,0q, F? p0,,,q? xp2,,,0q, p0,,,qy 4?

3 Εφαρμοσμένη άλγεβρα -- Σάββατο 0 Μαϊου 2020 xx,v 2 y B p2,,,0q, F? p,0,, q? xp2,,,0q, p,0,, qy 5? y p2,,,0q 4?? p0,,,q 5?? p,0,, q p2,,,0q 4 p0,,,q 5 p,0,, q p{, {,0,{q p,,0,q. y b 2 ` p q 2 `0 2 ` 2? v? { p,,0,q? p,,0,q Τελικά, η ζητούμενη ορθοκανονική βάση του χώρου που παράγουν τα x,x 2,x αποτελείται από τα διανύσματα v? p0,,,q. v 2? p,0,, q. v? p,,0,q.

4 Εφαρμοσμένη άλγεβρα -4- Σάββατο 0 Μαϊου 2020 ii) Επειδή έχουμε υπολογίσει την ορθοκανονική βάση προκειμένου να βρούμε την προβολή P του v p0,,4,q στον χώρο που παράγουν τα x,x 2,x ϑα χρησιμοποι- ήσουμε τον τύπο της προβολής: P xv,v yv ` xv,v 2 yv 2 ` xv,v yv xv,v y? p0 0` `4 ` q 6?. xv,v 2 y? p0 ` 0`4 ` p qq?. xv,v y? p0 ` p q `4 0` q 0. P 6? v `? v 2 `0 v 2p0,,,q ` p,0,, q p,2,,q η προβολή του v p0,,4,q στον χώρο που παράγουν τα x,x 2,x είναι το διάνυσμα P p,2,,q. iii) Το v p0,,4,q δεν είναι γραμμικός συνδυασμός των x,x 2,x διότι η προβολή P p,2,,q δεν ισούται με το v, άρα το v δεν ανήκει στον χώρο που παράγουν τα x,x 2,x, επομένως δεν είναι γραμμικός συνδυασμός των x,x 2,x.

5 Εφαρμοσμένη άλγεβρα -5- Σάββατο 0 Μαϊου 2020 iv) Ενα τέτοιο διάνυσμα είναι το διάνυσμα v P. u v P p0,,4,q p,2,,q p,,,0q Πράγματι, xu,x y xp,,,0q, p0,,,qy 0 xu,x 2 y xp,,,0q, p,,2,0qy 0 xu,x y xp,,,0q, p2,,,0qy 0 Παρατήρηση: Αν ϑέλουμε να βρούμε ένα ορθογώνιο διάνυσμα u σε ένα σύνολο διανυσμάτων x,x 2,...,x k, τότε επιλέγουμε τυχαία ένα διάνυσμα v, βρίσκουμε την προβολή P του v πάνω στα x,x 2,...,x k και το ζητούμενο u ισούται με v P. v) Θέλουμε να βρούμε το μήκος του P. Υπολογίσαμε ότι P 6? v `? v 2 `0 v p,2,,q P a 2 `2 2 ` 2 ` 2? 5. Ομως, ισχύει ότι dˆ 2 6? ` ˆ? 2 `0 2 c 6 ` 9 c 45? 5

6 Εφαρμοσμένη άλγεβρα -6- Σάββατο 0 Μαϊου 2020 Άσκηση 2. Εστω tv,v 2,...,v n u ορθοκανονικό σύνολο διανυσμάτων του pv, xyq. i) (Ανισότητα Bessel) Να δειχθεί ότι για κάθε x P V ισχύει ότι nÿ xx,v k y 2 ď x 2. k Η ισότητα ισχύει ανν το x ανήκει στον χώρο W που παράγουν τα v,v 2,...,v n. ii) (Ταυτότητα Parseval) nÿ x 2 xx,v k y 2, για κάθε x P W. iii) Λύση. xx,yy k nÿ xx,v k y xv k,yy, για κάθε x P W και y P V. k i) Για κάθε x P V ισχύει ότι η προβολή P του x πάνω στο χώρο που παράγουν τα (ορθοκανονικά διανύσματα) v,v 2,...,v n δίδεται από τον τύπο P xx,v yv ` xx,v 2 yv 2 ` ` xx,v n yv n Επίσης, x P ` px Pq και τα διανύσματα P, x P είναι ορθογώνια.

7 Εφαρμοσμένη άλγεβρα -7- Σάββατο 0 Μαϊου 2020 από το Πυθαγόρειο ϑεώρημα ισχύει ότι P 2 ` x P 2 x 2 P 2 ď x 2 ô P ď x. Επιπλέον, P 2 xp, Py xxx,v yv ` xx,v 2 yv 2 ` ` xx,v n yv n, xx,v yv ` xx,v 2 yv 2 ` ` xx,v n yv n y xxx,v yv, xx,v yv ` xx,v 2 yv 2 ` ` xx,v n yv n y ` xxx,v 2 yv 2, xx,v yv ` xx,v 2 yv 2 ` ` xx,v n yv n y ` ` xxx,v n yv n, xx,v yv ` xx,v 2 yv 2 ` ` xx,v n yv n y xxx,v yv, xx,v yv y ` xxx,v 2 yv 2, xx,v 2 yv 2 y ` ` xxx,v n yv n, xx,v n yv n y xx,v y 2 xv,v y ` xx,v 2 y 2 xv 2,v 2 y ` ` xx,v n y 2 xv n,v n y xx,v y 2 v 2 ` xx,v 2 y 2 v 2 2 ` ` xx,v n y 2 v n 2 xx,v y 2 ` xx,v 2 y 2 ` ` xx,v n y 2 xx,v y 2 ` xx,v 2 y 2 ` ` xx,v n y 2 ď x 2 Η ισότητα ισχύει μόνο αν x P 2 0, δηλαδή x P, δηλαδή το x ισούται με την προβολή του, δηλαδή το x ανήκει στον χώρο που παράγουν τα v,v 2,...,v n.

8 Εφαρμοσμένη άλγεβρα -8- Σάββατο 0 Μαϊου 2020 ii) Η ταυτότητα του Parseval προκύπτει άμεσα από την ανισότητα Bessel ϑεωρώντας x P W. Τότε x P και άρα ϑα ισχύει η ισότητα οπότε xx,v y 2 ` xx,v 2 y 2 ` ` xx,v n y 2 x 2 iii) Θέλουμε να δείξουμε ότι nÿ xx,yy xx,v k y xv k,yy, για κάθε x P W και y P V. k Αφού x P W ισχύει ότι x xx,v yv ` xx,v 2 yv 2 ` ` xx,v n yv n xx,yy xxx,v yv ` xx,v 2 yv 2 ` ` xx,v n yv n,yy xxx,v yv,yy ` xxx,v 2 yv 2,yy ` ` xxx,v n yv n,yy xx,v y xv,yy ` xx,v 2 y xv 2,yy ` ` xx,v n y xv n,yy Παρατήρηση Με βάση την προηγούμενη άσκηση έστω ότι σε κάποιο διανυσματικό χώρο τα διανύσματα w, w 2 εκφράζονται σε μια ορθοκανονική βάση που αποτελείται από διανύσματα v,v 2,v ως εξής: και w 5v `v 2 ` p 2qv w 2 v ` p 2qv 2 `8v

9 Εφαρμοσμένη άλγεβρα -9- Σάββατο 0 Μαϊου 2020 Τότε b w 5 2 ` 2 ` p 2q 2? 8. b w 2 2 ` p 2q 2 `8 2? 77. και xw,w 2 y 5 ` p 2q ` p 2q 8 7. xw `2w 2,w 2 y xw,w 2 y `2xw 2,w 2 y 7 `

10 Εφαρμοσμένη άλγεβρα -0- Σάββατο 0 Μαϊου 2020 Άσκηση. Να διαγωνιοποιηθεί ορθογωνίως η μήτρα» fi 7 2 A 7 2 fl Λύση. Επειδη η μήτρα είναι συμμετρική έπεται ότι έχει ορθογώνια διαγωνιοποίηση. Θεωρούμε την χαρακτηριστική εξίσωση A λi 0 7 λ 2 7 λ 2 0 pr Ñ R ` R 2 q λ 6 λ 6 λ 0 7 λ λ 0 p6 λq 7 λ 2 0 pc 2 Ñ C 2 C q λ 0 0 p6 λq 8 λ 2 0 pανάπτυγμα με βάση η γραμμήq λ p6 λq p q ` 8 λ λ 0 p6 λqpp8 λqp0 λq 8q 0 p6 λqpλ 2 8λ `72q 0

11 Εφαρμοσμένη άλγεβρα -- Σάββατο 0 Μαϊου 2020 p6 λq 2 p2 λq 0 η A έχει ιδιοτιμέςλ 2 καιλ 2 λ 6 (διπλή). Θα βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε κάθε ιδιοτιμή. Το χαρακτηριστικό σύστημα είναι» pa λi qx O ˆ, όπου X x fi x 2 fl x Για την ιδιοτιμήλ 2 προκύπτει το χαρακτηριστικό σύστημα: $ & 5x x 2 2x 0 x 5x 2 `2x 0 ô % 2x `2x 2 2x 0 $ & 6x 6x 2 0 x 5x 2 `2x 0 % 2x `2x 2 2x 0 x x 2. Οπότε 4x 2x 0 ô x 2x. τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ 2 έχουν την μορφή px, x 2, x q px, x, 2x q x p,, 2q. Επομένως, μια βάση του ιδιόχωρου είναι το ιδιοδιάνυσμα u p,, 2q.

12 Εφαρμοσμένη άλγεβρα -2- Σάββατο 0 Μαϊου 2020 Για τις ιδιοτιμέςλ 2 λ 6 προκύπτει το χαρακτηριστικό σύστημα: $ & x x 2 2x 0 x ` x 2 `2x 0 % 2x `2x 2 `4x 0 ô x x 2 2x 0 Οπότε x 2 x 2x. τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές λ 2 λ 6 έχουν την μορφή px, x 2, x q px, x 2x, x q px, x,0q ` p0, 2x, x q x p,,0q ` x p0, 2,q ο ιδιόχωρος που αντιστοιχεί στην διπλή ιδιοτιμή λ 2 λ 6 έχει ως βάση τα διανύσματα u 2 p,,0q και u p0, 2,q. Για να κάνουμε την ορθογώνια διαγωνιοποίηση, προκειμένου να βρούμε την ορθογώνια μήτρα P, ϑα εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο των Gram Schmidt στα u, u 2, u. Επειδή το u ανήκει σε διαφορετικό ιδιόχωρο από τα u 2, u έπεται είναι ορθογώνιο σ αυτα. αρκεί να εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο μόνο στα u 2, u και απλά να κανονικοποίησουμε το u. v 2 y 2 y 2 όπου y 2 u 2 y 2? 2 ` 2 `0 2? 2. v 2? p,,0q p?,?,0q 2 2 2

13 Εφαρμοσμένη άλγεβρα -- Σάββατο 0 Μαϊου 2020 v y y όπου y u xu,v 2 yv 2 xu,v 2 y? 2 xp0, 2,q, p,,0qy 2? 2 y p0, 2,q p 2? 2 q? 2 p,,0q p,,q y a 2 ` p q 2 ` 2?. v? p,,q p?,?,? q Τέλος, για τον υπολογισμό του v αρκεί να κανονικοποιήσουμε το u. v u u. u a 2 ` p q 2 ` p 2q 2? 6. v? 6 p,, 2q p? 6,? 6, 2? 6 q Συνοψίζοντας v p? 6,? 6, 2? 6 q v 2? 2,? 2,0q v p?,?,? q οι ζητούμενες μήτρες είναι η ορθογώνια μήτρα P και η διαγώνια μήτρα D όπου

14 Εφαρμοσμένη άλγεβρα -4- Σάββατο 0 Μαϊου 2020» fi??? ffi P 6 2 v v 2 v?? ffi ffi? ffi 6 2 ffi 2? ffi fl 0? 6 και και ισχύει ότι Υπενθυμίζεται ότι D» fi 0 6 0fl P t AP D P P t. διότι η P είναι ορθογώνια.