Äéáôáñá Þ. +2% _ r=åýñïò åëýã ïõ. t áí. t åî. êáé t åî
|
|
|
- Ἰωράμ Καλάρης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ÊåöÜëáéï 9 Áîéïëüãçóç åíüò ÓõóôÞìáôïò Áõôüìáôïõ ÅëÝã ïõ Åðéäéùêüìåíïé óôü ïé: Ï óêïðüò áõôïý ôïõ êåöáëáßïõ åßíáé íá âïçèþóåé ôïõò ìáèçôýò: Ö Íá ãíùñßæïõí êáé íá êáôáíïïýí ôá ðïéïôéêü áñáêôçñéóôéêü åíüò ÓÁÅ. Ö Íá ãíùñßæïõí ôé åðéäéþêïõìå êáôü ôç ñýèìéóç åíüò ÓÁÅ. Ö Íá åöáñìüæïõí ôá ðñáêôéêü êñéôþñéá ñýèìéóçò.
2 êåöüëáéï 9 9. Áîéïëüãçóç åíüò ÓõóôÞìáôïò ÁõôïìÜôïõ ÅëÝã ïõ Óå áíôßèåóç ìå ôá áíïé ôü óõóôþìáôá åëýã ïõ, ôá êëåéóôü óõóôþìáôá ðñýðåé íá åîåôáóèïýí ùò ðñïò ôçí éêáíüôçôá êáé ôçí ðïéüôçôá ôïõ åëýã ïõ ðïõ åðéôåëïýí. Ôá âáóéêü êñéôþñéá ìå ôá ïðïßá áîéïëïãïýìå ôçí éêáíüôçôá êáé ôçí ðïéüôçôá ( ñüíïò åîéóïññüðçóçò, ìåãßóôç õðåñýøùóç ôçò åëåã üìåíçò ìåôáâëçôþò) åëýã ïõ åíüò êëåéóôïý óõóôþìáôïò åßíáé: 4 ) Ç áêñßâåéá 4 2) Ï ñüíïò áðüêñéóçò ( ñüíïò áíüäïõ, ñüíïò åîéóïññüðçóçò) 4 3) Ï âáèìüò áðüóâåóçò (õðåñýøùóç) êáé 4 4) Ç åõóôüèåéá ) Áêñßâåéá: ¼ôáí óå Ýíá êëåéóôü óýóôçìá, ôï ïðïßï âñßóêåôáé óå óôáôéêþ êáôüóôáóç, åðéäñüóåé ìéá äéáôáñá Þ Þ áëëüîåé ç åðéèõìçôþ ôéìþ êáé ç åëåã üìåíç ìåôáâëçôþ (()), ìåôü áðü ìéá ôáëüíôùóç, ãßíåé îáíü ßóç ìå ôçí åðéèõìçôþ ôéìþ (), ôüôå ëýìå üôé ôï óýóôçìá åßíáé áêñéâýò, äçëáäþ ìçäåíßæåé ôï óöüëìá. Æ Äéáôáñá Þ um Ó Þìá 9.: ñïíéêþ áðüêñéóç åíüò êëåéóôïý óõóôþìáôïò 2çò ôüîçò ìåôü áðü ìéá âçìáôéêþ äéáôáñá Þ. 2) ñüíïò áðüêñéóçò: Èåùñïýìå üôé Ýíá êëåéóôü óýóôçìá âñßóêåôáé óôç óôáôéêþ êáôüóôáóç, üôáí ç åëåã üìåíç ìåôáâëçôþ, ìåôü ôçí ðüñïäï ôïõ äõíáìéêïý öáéíïìýíïõ, åéóýëèåé ìýóá ó Ýíá åýñïò ðëüôïõò ±2% ôçò åðéèõìçôþò ôéìþò. ÌåôÜ ôïí êáèïñéóìü ôïõ åýñïõò ðñïêýðôïõí ï ñüíïò áíüäïõ ( áí ) êáé ï ñüíïò åîéóïññüðçóçò ( åî ). Ç ãíþóç ôùí ñüíùí áí êáé åî åßíáé âáóéêü óôïé åßá ãéá ôçí áîéïðïßçóç ôçò äõíáìéêþò óõìðåñéöïñüò ôïõ êëåéóôïý óõóôþìáôïò (ó Þìá 9.2). ¼ôáí ïé ñüíïé åßíáé ìéêñïß, ôüôå ëýìå üôé ôï óýóôçìá åßíáé ãñþãïñï. 266
3 Áîéïëüãçóç åíüò óõóôþìáôïò Áõôüìáôïõ ÅëÝã ïõ Äéáôáñá Þ åî um áí +2% =åýñïò åëýã ïõ áí åî Ó Þìá 9.2: ÂçìáôéêÞ ñïíéêþ áðüêñéóç ãéá ôïí ïñéóìü ôïõ åýñïõò åëýã ïõ êáé ôùí ñüíùí áí êáé åî. ñüíïò áíüäïõ: áí åßíáé ï ñüíïò ðïõ ðåñíü áðü ôç óôéãìþ ðïõ åðéäñü ìéá äéáôáñá Þ Þ áëëüæåé îáöíéêü ç åðéèõìçôþ ôéìþ êáé ç åëåã üìåíç ìåôáâëçôþ åãêáôáëåßðåé ôï åýñïò ±2% ìý ñé ôçí åðéóôñïöþ ôçò êõìáôïìïñöþò ãéá ðñþôç öïñü åíôüò ôïõ åýñïõò. ñüíïò åîéóïññüðçóçò: åî åßíáé ï ñüíïò ðïõ ìåóïëáâåß áðü ôç óôéãìþ ðïõ ç åëåã üìåíç ìåôáâëçôþ () åîýñ åôáé áðü ôï åýñïò ôçò ôáëüíôùóçò, ëüãù äéáôáñá Þò Þ áëëáãþò ôçò åðéèõìçôþò ôéìþò, ìý ñé ôç ìüíéìç åðéóôñïöþ ôçò óôï åýñïò. 3)Ï âáèìüò áðüóâåóçò ìáò êáèïñßæåé ôç ìïñöþ ôáëüíôùóçò ôïõ óþìáôïò åîüäïõ ôïõ óõóôþìáôïò. íá áñáêôçñéóôéêü ìýãåèïò ôçò ôáëüíôùóçò åßíáé ç ìýãéóôç õðåñýøùóç. Õðåñýøùóç: u m åßíáé ç ìýãéóôç áðüêëéóç ôçò ôáëüíôùóçò áðü ôçí åðéèõìçôþ ôéìþ. 4) ÅõóôÜèåéá: Tï ðñüâëçìá ôçò åõóôüèåéáò åìöáíßæåôáé, äéüôé óôï êëåéóôü óýóôçìá ôï óþìá åëýã ïõ åìöáíßæåé ìéá êõêëéêþ äñüóç, ç ïðïßá ðåñíü êüèå öïñü áðü ôï ôåëéêü óôïé åßï åëýã ïõ, óôïé åßï ñýèìéóçò ôçò åíýñãåéáò. Ôï ôåëéêü óôïé åßï åëýã ïõ Ý åé ôçí éêáíüôçôá ìå Ýíá ìéêñü óþìá óôçí åßóïäü ôïõ íá ñõèìßæåé ìåãüëåò ðïóüôçôåò åíýñãåéáò Þ ìüæáò. Åíá êëåéóôü óýóôçìá ëýìå üôé åßíáé åõóôáèýò, üôáí ìåôü áðü ìéá îáöíéêþ óôáèåñþ äéáôáñá Þ Þ áëëáãþ ôçò åðéèõìçôþò ôéìþò ç åëåã üìåíç ìåôáâëçôþ ôåßíåé ìå ôçí ðüñïäï ôïõ ñüíïõ óå ìéá óôáèåñþ êáôüóôáóç (ó Þìá 9.3á). Áíôßèåôá, áí ç åëåã üìåíç ìåôáâëçôþ áõîüíåé óõíå þò ìå ôçí ðüñïäï ôïõ ñüíïõ, ôüôå ëýìå üôé ôï óýóôçìá åßíáé áóôáèýò (ó Þìá 9.3â). Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ç åëåã üìåíç ìåôáâëçôþ åêôåëåß ôáëáíôþóåéò óôáèåñïý ðëüôïõò êáé óõ íüôçôáò, ôüôå ëýìå üôé ôï óýóôçìá âñßóêåôáé óôï üñéï ôçò åõóôüèåéáò (ó Þìá 9.3ã). 267
4 êåöüëáéï 9 (á) (â) (ã) Ó Þìá 9.3: ÊõìáôïìïñöÝò ôçò åëåã üìåíçò ìåôáâëçôþò åíüò á) åõóôáèïýò â) áóôáèïýò êáé ã) ïñéáêü åõóôáèïýò êëåéóôïý óõóôþìáôïò. Ðñüóèåôåò ðëçñïöïñßåò Áöïý ïñßóáìå ôçí Ýííïéá ôçò åõóôüèåéáò, áðïìýíåé íá åîçãþóïõìå ðüôå Ýíá êëåéóôü óýóôçìá ïäçãåßôáé óôçí áóôüèåéá. ËáìâÜíïõìå Ýíá áðëïðïéçìýíï êëåéóôü óýóôçìá (ó Þìá 9.3..) êáé åêôåëïýìå ôï åîþò ðåßñáìá. + e K p Ä K Ô K 2 Ô2 K 3 Ô3 åëåãêôþò u R u S Ó Þìá 9.3.: ÄéÜãñáììá âáèìßäùí åíüò êëåéóôïý ÓÁÅ. Äéáêüðôïõìå ôç ñïþ ôïõ óþìáôïò óôï óçìåßï Ä, ïðüôå Ý ïõìå ôï ðáñáêüôù áíïé ôü êýêëùìá. =K K 2 K3 ç u S 2 ç 3 ç + u R T.Ó.Å. Ó Þìá 9.3.2: Áíïé ôüò âñü ïò. 268
5 Áîéïëüãçóç åíüò óõóôþìáôïò Áõôüìáôïõ ÅëÝã ïõ Ôï êýêëùìá ðåñéëáìâüíåé ôñåéò âáèìßäåò-ñô óõíäåäåìýíåò óôç óåéñü. ïõìå Þäç ãíùñßóåé üôé ôï óþìá åîüäïõ áõôþí ôùí âáèìßäùí åßíáé óå äéáöïñü öüóçò áðü ôï óþìá åéóüäïõ êáé üôé ç öáóéêþ äéáöïñü áõîüíåé ìå ôç óõ íüôçôá, åíþ ôï ðëüôïò ìåéþíåôáé. Óôéò âáèìßäåò-ñô, üôáí ç êõêëéêþ óõ íüôçôá (ù) ãßíåé Üðåéñç, ôüôå ç ìåãßóôç öáóéêþ äéáöïñü (ö) åßíáé 90 ï. ñá ç âáèìßäá ÑÔ öáóéêþ äéáöïñü -90 ï 2 ç -80 ï 3 ç -270 ï Ç óõíïëéêþ ìåãßóôç öáóéêþ ìåôáôüðéóç ôùí 270 ï äçìéïõñãåßôáé ìåôáîý ôùí óçìüôùí u s êáé u. Óôï ðáñáêüôù ó Þìá öáßíåôáé ãñáöéêü ðùò ç åëåã üìåíç ìåôáâëçôþ áíôß íá áöáéñåèåß, ðñïóôßèåôáé óôçí åðéèõìçôþ ôéìþ. u S ù u R ôõ áßá èýóç ôïõ óþìáôïò ãéá ù=ù êñ óþìá ìå öáóéêþ äéáöïñü -800 ùò ðñïò ôï u S ãéá ù=ùêñ ù u R T êñ ôï óþìá áíôýóôñåøå ôçí ðïëéêüôçôá ôïõ äéåñ üìåíïõ áðü ôçí áñíçôéêþ åßóïäï ôïõ óõãêñéôþ 2ð ù êñ = =2ðf êñ T êñ ù e óþìá óôçí Ýîïäï ôïõ óõãêñéôþ: Ôï óþìá áõôü áíôß íá ìåéùèåß áõîþèçêå êáé óôç óõíý åéá åíéó ýåôáé áðü ôïí åëåãêôþ êáé ôï ôåëéêü óôïé åßï åëýã ïõ, ìå áðïôýëåóìá ç åëåã üìåíç ìåôáâëçôþ íá áõîüíåôáé áêüìá ðåñéóóüôåñï. (ó Þìá: 9.3â) Ó Þìá 9.3.3: ÊõìáôïìïñöÝò ôïõ óþìáôïò ôïõ áíïé ôïý âñü ïõ. 269
6 êåöüëáéï 9 ÃåíéêÜ éó ýåé: Á) ÅÜí ç åíßó õóç V o ôïõ áíïé ôïý âñü ïõ åßíáé ìéêñüôåñç ôçò ìïíüäïò êáé ç êõêëéêþ óõ íüôçôá (ù) åßíáé ßóç ìå ôçí êñßóéìç, ôüôå ôï êëåéóôü óýóôçìá åßíáé åõóôáèýò. Ôï óýóôçìá ëïéðüí åßíáé åõóôáèýò, åüí: V o (=K P.K s )< ãéá ù=ù êñ, ïðüôå êáé < Ôï óýóôçìá åßíáé åõóôáèýò, äéüôé ôï ðëüôïò ôïõ óþìáôïò ìåéþíåôáé êüèå öïñü ðïõ ôï óþìá ôïõ êëåéóôïý óõóôþìáôïò äéáññýåé ôïí êëåéóôü âñüã ï. max óõíå Þò ìåßùóç ðëáôþí Ó Þìá 9.3.4: Öèßíïõóá ôáëüíôùóç ôçò åëåã üìåíçò ìåôáâëçôþò. ÅõóôáèÝò óýóôçìá. Â) Áíôßèåôá, åüí ç åíßó õóç (V o ) ôïõ áíïé ôïý âñü ïõ åßíáé ìåãáëýôåñç ôçò ìïíüäïò, ôüôå äéåãåßñïíôáò ôïí áíïé ôü âñüã ï ì Ýíá óþìá ðëüôïõò u s èá öèüíåé óôçí Ýîïäï ìå ðëüôïò u R, üðïõ u R >u s. ÅÜí áðïêáôáóôþóïõìå ôï êëåéóôü óýóôçìá, ôüôå ôï åíéó õìýíï óþìá u R ðåñíþíôáò ìýóá áðü ôéò âáèìßäåò èá åíéó õèåß áêüìç ðåñéóóüôåñï. Ôüôå ëýìå üôé ôï êëåéóôü óýóôçìá åßíáé áóôáèýò. ÅÜí ëïéðüí: (V o =Ê P.K s )> ãéá ù=ù êñ., ïðüôå êáé >, ôüôå ôï êëåéóôü óýóôçìá åßíáé áóôáèýò. óõíå Þò áýîçóç ðëáôþí Ó Þìá 9.3.5: Óõíå Þò áýîçóç ôïõ ðëüôïõò ôçò åëåã üìåíçò ìåôáâëçôþò. ÁóôáèÝò óýóôçìá. 270
7 Áîéïëüãçóç åíüò óõóôþìáôïò Áõôüìáôïõ ÅëÝã ïõ Ã) ÅÜí ôýëïò ç åíßó õóç ôïõ áíïé ôü âñü ïõ åßíáé V o =K P.K s = êáé äéåãåßñïõìå ôï áíïé ôü óýóôçìá ìå ôï óþìá u s = u sm.çìù êñ óôç êñßóéìç óõ íüôçôá êáé ôï óþìá u R = ìåôáôïðéóôåß ìåí êáôü -80 ï, áëëü Ý åé ôï ßäéï ðëüôïò ìå ôï óþìá åéóüäïõ, ôüôå ëýìå üôé ôï êëåéóôü óýóôçìá âñßóêåôáé óôï üñéï ôçò åõóôüèåéáò. íá êëåéóôü óýóôçìá åßíáé ïñéáêü åõóôáèýò, åüí óôçí êñßóéìç êõêëéêþ óõ íüôçôá ôï ðëüôïò ôïõ óþìáôïò ìýíåé óôáèåñü. Äçë. V o =Ê P.K s = êáé ãéá ù=ù êñ Ó Þìá 9.3.6: Åëåã üìåíç ìåôáâëçôþ óôáèåñïý ðëüôïõò. Óýóôçìá ïñéáêü åõóôáèýò. Ãéá íá áðïöáíèïýìå, áí Ýíá êëåéóôü óýóôçìá åßíáé åõóôáèýò Þ áóôáèýò, áíáðôý èçêáí äéüöïñåò ìýèïäïé, áðü ôéò ïðïßåò åäþ èá áíáöåñèïýí ïé ðéï áðëïðïéçìýíåò êáé ðñáêôéêü åöáñìüóéìåò. Ôá ðéï ãíùóôü êñéôþñéá åõóôüèåéáò êáôü ôéò ìåèüäïõò áõôýò åßíáé: ) ÊñéôÞñéï Huwiz ìáèçìáôéêü 2) ÊñéôÞñéï Niquis ãñáöéêü 3) ÊñéôÞñéï Niquis êáé Bode ãñáöéêü. 9. ÂÝëôéóôïò Ýëåã ïò - ÊñéôÞñéá óùóôþò åðéëïãþò ôùí ðáñáìýôñùí ôïõ åëåãêôþ Óôï êåöüëáéï ìåëýôçò ôïõ êëåéóôïý óõóôþìáôïò äåßîáìå ìå ðïéï ôñüðï ïé ðáñüìåôñïé ôïõ åëåãêôþ åðçñåüæïõí ôç ñïíéêþ ìåôáâïëþ ôçò åëåã üìåíçò ìåôáâëçôþò åíüò äåäïìýíïõ óõóôþìáôïò. Óå üëåò ôéò ðåñéðôþóåéò ôï åëåã üìåíï óýóôçìá Þôáí äåäïìýíï -ðñþôçò Þ äåýôåñçò ôüîçò- êáé ìå êáôüëëçëç åðéëïãþ ôùí ðáñáìýôñùí ôïõ åëåãêôþ ðåôõ áßíáìå ôï óùóôü (åðéèõìçôü) Ýëåã ï, äçë. åëü éóôç õðåñýøùóç, ìéêñü ñüíï áíüäïõ ( áí ) êáé ìéêñü ñüíï åîéóïññüðçóçò ( åî ). Áíôßèåôá, óå éóïññïðïýíôá óõóôþìáôá áíþôåñçò ôüîçò Ý åé áðïäåé èåß, üôé ç åðßôåõîç üëùí ôùí óôü ùí åíüò éäáíéêïý åëýã ïõ åßíáé óõíþèùò äýóêïëç. Ãéá íá åðéôý ïõìå ôï âýëôéóôï Ýëåã ï, áíáðôý èçêáí êáé åäþ äéüöïñá êñéôþñéá,áðü ôá ïðïßá Üëëá ìåí åßíáé èåùñçôéêü (ìáèçìáôéêü), Üëëá äå åßíáé åìðåéñéêü (ðñáêôéêü). 27
8 êåöüëáéï 9 Ó áõôþ ôçí åíüôçôá èá áó ïëçèïýìå ìå ôá ðñáêôéêü êñéôþñéá, ôá ïðïßá äåí áðáéôïýí ìáèçìáôéêïýò õðïëïãéóìïýò. 9.. ÊñéôÞñéï ñýèìéóçò ôùí Ziegle êáé Nichols (Æßãêëåñ êáé Íßêïëò) Ìåëåôþíôáò ôïí Ýëåã ï óõóôçìüôùí 2 çò Þ áíþôåñçò ôüîçò ìå åëåãêôþ-ñ, äéáðéóôþóáìå üôé ôï êëåéóôü óýóôçìá ãßíåôáé áóôáèýò, üôáí áõîþóïõìå áñêåôü ôçí åíßó õóç (K P ) Þ ìåéþóïõìå ôçí áíáëïãéêþ ðåñéï Þ (X P %) ôïõ åëåãêôþ. Óýìöùíá ìå ôï ðáñáðüíù êñéôþñéï, åüí äåí åßíáé ãíùóôü ôá ôå íéêü áñáêôçñéóôéêü (K s,,y g ) ôïõ åëåã üìåíïõ óõóôþìáôïò, ôüôå áêïëïõèïýìå ôçí åîþò ðïñåßá åñãáóéþí ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôùí ðáñáìýôñùí ôïõ åëåãêôþ: Á) Áðåíåñãïðïéïýìå êáô áñ Þí ôéò âáèìßäåò-é êáé -D ôïõ åëåãêôþ -PID. ÅÜí áõôü äåí åßíáé äõíáôüí, ôüôå åðéëýãïõìå üóï ôï äõíáôüí ìéêñýò ôéìýò ãéá ôá K D KP êáé K I ( KD = KP T í êáé KI = ) T Â) Óôç óõíý åéá ñõèìßæïõìå ìéá ìéêñþ ôéìþ ãéá ôï K P (Þ ìåãüëç ôéìþ ãéá ôï X P %), ïðüôå ôï êëåéóôü óýóôçìá åßíáé åõóôáèýò. ðåéôá áõîüíïõìå óéãü-óéãü ôçí åíßó õóç K P (Þ ìåéþíïõìå ôçí áíáëïãéêþ ðåñéï Þ X P %) ìý ñéò üôïõ ôï êëåéóôü óýóôçìá (ç åëåã üìåíç ìåôáâëçôþ) íá åêôåëåß ôáëáíôþóåéò óôáèåñïý ðëüôïõò (óýóôçìá ïñéáêü åõóôáèýò). Ç ôéìþ ôçò åíßó õóçò K P (Þ X P %), ãéá ôçí ïðïßá ôï êëåéóôü óýóôçìá Üñ éóå ãéá ðñþôç öïñü íá åêôåëåß óôáèåñýò ôáëáíôþóåéò, ïíïìüæåôáé êñßóéìç ôéìþ K P (Þ X c P ) êáé ç ðåñßïäïò ôçò ôáëüíôùóçò êñßóéìç ðåñßïäïò (T c c ). Ìå ôéò ðåéñáìáôéêü åîáêñéâùèåßóåò ôéìýò ôùí K P êáé T c c ïé Ziegle êáé Nichols õðïëüãéóáí ôéò ðáñáìýôñïõò ôïõ åëåãêôþ ùò åîþò: N ÅëåãêôÞò Ê P Tn Tv x P P 0,5 Ê Pki x Pki PD 0,8 Ê Pki --- 0,2 T ki,25 x Pki PI 0,45 Ê Pki 0,85 T ki --- 2,2 x Pki PID 0,6 Ê Pki 0,5 T ki 0,2 T ki,66 x Pki Ðßíáêáò 9. Óçìåßùóç: Ïé äåßêôåò c, kp êáé ki åßíáé ôáõôüóçìïé êáé óçìáßíïõ í êñßóéìç ôéìþ ìåãýèïõò. 272
9 Áîéïëüãçóç åíüò óõóôþìáôïò Áõôüìáôïõ ÅëÝã ïõ Ðßíáêáò õðïëïãéóìïý ôùí ðáñáìýôñùí ôïõ åëåãêôþ ãéá éóïññïðïýíôá óõóôþìáôá áíþôåñçò ôüîçò, ôùí ïðïßùí åßíáé Üãíùóôá ôá ôå íéêü áñáêôçñéóôéêü. Ç êñßóéìç åíßó õóç Ê Ñêñ, ãéá ôçí ïðïßá ôï êëåéóôü óýóôçìá ðýöôåé óå áóôüèåéá, ìðïñåß åðßóçò íá õðïëïãéóôåß ðñïóåããéóôéêü áðü ôç ó Ýóç K pêñ Tgð + 2Tu 2KsTuu H Þ Xpêñ 2K T Tð + 2Ô s u Ðñïóï Þ: Ìå ôéò ðáñáðüíù åìðåéñéêýò ôéìýò ç åëåã üìåíç ìåôáâëçôþ åìöáíßæåé óõíôåëåóôþ áðüóâåóçò (æ) ìåôáîý 0,2 êáé 0,3. Ãéá íá åðéôý ïõìå ìåãáëýôåñç ìåßùóç ôùí ôáëáíôþóåùí åðéëýãïõìå ìéêñüôåñç åíßó õóç êáé ìåãáëýôåñï ñüíï åðáíáññýèìéóçò (T n ). ÅÜí ôï óýóôçìá åßíáé áíþôåñçò ôüîçò êáé åßíáé ãíùóôü ôá ôå íéêü áñáêôçñéóôéêü ôïõ (K s,, Þ K s,t d,t ), ôüôå éó ýåé ï ðáñáêüôù ðßíáêáò. g u ÅëåãêôÞò Ê P Tn Tv x P P = T T d T u Tg Y h X h 00% PD 0,8 = 0,9 T T d 3 3,3 Td --- Tu Y h,25 Tg X h 00% PI, ,25 Tu Y h 0,83 Tg X h 00% PID,2 2 2 T d Tu Y h 0,42 0,83 Tg X h 00% Ðßíáêáò 9.2 Ðßíáêáò õðïëïãéóìïý ôùí ðáñáìýôñùí ôïõ åëåãêôþ ãéá éóïññïðïýíôá óõóôþìáôá áíþôåñçò ôüîçò, ôùí ïðïßùí 2KsTuu H åßíáé ãíùóôü ôá ôå íéêü áñáêôçñéóôéêü (K s,, ) êáé (K s,t d,t ) êáé ï ëüãïò Xpêñ åßíáé ìéêñüò. Tð + 2Ô Ãéá ìç éóïññïðïýíôá óõóôþìáôá, ôá ïðïßá áðïêñßíïíôáé óýìöùíá ìå ôçí ðáñáêüôù ñïíéêþ áðüêñéóç (ó Þìá 9.4) éó ýåé ï ðáñáêüôù ðßíáêáò õðïëïãéóìïý ôùí ðáñáìýôñùí ôïõ åëåãêôþ. g u 273
10 êåöüëáéï 9 us u S T I Ó Þìá 9.4: ÐáñÜìåôñïé åëåãêôþ ãéá ìç éóïññïðïýíôá óõóôþìáôá áíþôåñçò ôüîçò. ÅëåãêôÞò Ê P Tn Tv x P P 0 ---, --- Tu 5 2 K l u T l PD 0 T 5, ---, 4 u u 2 00% 82 K l u T l PI 0 ---, 5 T 0,5 K u 2 00% l u T l PID 0 3,5, 0,8 T 4 u K 2,5 00% l u Tl Ðßíáêáò 9.3: ÐáñÜìåôñïé åëåãêôþ ãéá ìç éóïññïðïýíôá óõóôþìáôá áíþôåñçò ôüîçò Êáé åäþ ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ôçí êñßóéìç åíßó õóç êáé ôçí êñßóéìç áíáëïãéêþ ðåñéï Þ áðü ôïõò ðáñáêüôù åìðåéñéêïýò ôýðïõò: ð K pêñ êáé Xpêñ > 2T K u is 2K ð is u H 274
11 Áîéïëüãçóç åíüò óõóôþìáôïò Áõôüìáôïõ ÅëÝã ïõ 9..2 ÊñéôÞñéï CHR (Chien, Hones êáé Reswick) To êñéôþñéï ôùí CHR åöáñìüæåôáé åðßóçò óå éóïññïðïýíôá óõóôþìáôá áíþôåñçò ôüîçò ôùí ïðïßùí åßíáé ãíùóôü ôá ôå íéêü áñáêôçñéóôéêü. Ôï êñéôþñéï áõôü ðñïôéìüôáé áðü ôïõò ôå íéêïýò ôùí óõóôçìüôùí áõôïìüôïõ åëýã- ïõ ðñïöáíþò ëüãù ôçò áêñßâåéáò ôùí áðïôåëåóìüôùí. ÁðåñéïäéêÞ êõìáôïìïñöþ ÅëåãêôÞò ÐáñÜìåôñïé Äéáôáñá Þ ÁëëáãÞ åðéèõì. ôéìþò P Ê = P 0,3 0,3 PI Ê = P T = n 0,6 4 Ôu 0,35,2 Ôg PID Ê = P T = n 0,95 2,4 Ôu 0,6 Ôg T = u 0,42 Ôu 0,5 Ôu Ðßíáêáò 9.4: ÐáñÜìåôñïé åëåãêôþ ãéá éóïññïðïýíôá óõóôþìáôá áíþôåñçò ôüîçò. Õðåñýøùóç ÅëåãêôÞò ÐáñÜìåôñïé Äéáôáñá Þ ÁëëáãÞ åðéèõì. ôéìþò P Ê = PR 0,7 0,7 PI Ê = PR T = n 0,7 2,3 Ôu 0,6 Ô g PID Ê = PR T = n,2 2,4 Ôu 0,95,35 Ôg T = u 0,42 Ôu 0,47 Ôg Ðßíáêáò 9.5: ÐáñÜìåôñïé åëåãêôþ ãéá 20%, õðåñýøùóç êáé åëü éóôç ðåñßïäï ôáëüíôùóçò. 275
12 êåöüëáéï 9 Åëåã üìåíï óýóôçìá Ôýðïò ÅëåãêôÞò P I PI PD PID Éóïññïðïýí óýóôçìá ìå íåêñü ñüíï P-T + + Éóïññïðïýí óýóôçìá ùñßò íåêñü ñüíï P o + + Éóïññïðïýí óýóôçìá ìå êáèõóôýñçóç çò ôüîçò P-T Éóïññïðïýí óýóôçìá 2çò ôüîçò P-T Éóïññïðïýí óýóôçìá ìå êáèõóôýñçóç çò ôüîçò êáé íåêñü ñüíï P-T - T T >>T T >T Ìç éóïññïðïýí óýóôçìá I o Mç éóïññïðïýí óýóôçìá ìå êáèõóôýñçóç çò ôüîçò I-T I-T + + I Ðßíáêáò 9.6: ÅðéëïãÞ ôïõ êáôüëëçëïõ åëåãêôþ, üôáí åßíáé ãíùóôü ôï åëåã üìåíï óýóôçìá. (-) áêáôüëëçëïò, (+) êáôüëëçëïò 276
13 Áîéïëüãçóç åíüò óõóôþìáôïò Áõôüìáôïõ ÅëÝã ïõ ÐÅÑÉËÇØÇ 4 Ôá âáóéêü êñéôþñéá ãéá ôçí áîéïëüãçóç åíüò ÓÁÅ åßíáé ç áêñßâåéá, ï ñüíïò áðüêñéóçò, ç åõóôüèåéá êáé ï óõíôåëåóôþò áðüóâåóçò. 4 Ãéá ôç óùóôþ ñýèìéóç ôùí ðáñáìýôñùí ôïõ åëåãêôþ, þóôå íá Ý ïõìå âýëôéóôï Ýëåã ï åöáñìüæïíôáé äéüöïñá ðñáêôéêü Þ èåùñçôéêü êñéôþñéá. 4 Ï õðïëïãéóìüò ôùí ðáñáìýôñùí ôïõ åëåãêôþ ãßíåôáé ìå ôç âïþèåéá äéáöüñùí êñéôçñßùí áíüëïãá ìå ôá äåäïìýíá ôïõ åëåã üìåíïõ óõóôþìáôïò. 4 Ôï êñéôþñéï Ziegle êáé Nichols ñçóéìïðïéåßôáé, üôáí äåí åßíáé ãíùóôü ôá ôå íéêü áñáêôçñéóôéêü ôïõ åëåã üìåíïõ óõóôþìáôïò. Ï õðïëïãéóìüò ôùí ðáñáìýôñùí ôïõ åëåãêôþ ãßíåôáé ðåéñáìáôéêü êáé óôçñßæåôáé óôçí êñßóéìç ôéìþ ôçò åíßó õóçò ( Kpêñ ) êáé óôçí êñßóéìç ðåñßïäï ôçò ôáëüíôùóçò (Ôêñ) ôçò åëåã üìåíçò ìåôáâëçôþò. 4 Ôï êñéôþñéá CHR åöáñìüæåôáé óå óõóôþìáôá áíþôåñçò ôüîçò, ôùí ïðïßùí åßíáé ãíùóôü ôá ôå- íéêü áñáêôçñéóôéêü. 277
14 êåöüëáéï 9 ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ) Ôé åðéäéþêïõìå êáôü ôç ñýèìéóç åíüò êëåéóôïý óõóôþìáôïò; 2) Ìå ôç âïþèåéá åíüò ó Þìáôïò åîçãþóôå ðüôå ôï êëåéóôü óýóôçìá åßíáé åõóôáèýò, áêñéâýò êáé ôá ý, áóôáèýò êáé ïñéáêü åõóôáèýò. Óçìåéþóôå ôïõò ñüíïõò áí êáé åî êáé ôçí õðåñýøùóç (õ). 3) Ðüôå åöáñìüæåôáé ôï êñéôþñéï ñýèìéóçò Ziegle êáé Nichols; 4) ÅîçãÞóôå ìå ðïéï ôñüðï ñõèìßæïõìå ôéò ðáñáìýôñïõò ôïõ åëåãêôþ ÑÉD óå Ýíá êëåéóôü óýóôçìá óýìöùíá ìå ôï êñéôþñéï ñýèìéóçò Ziegle êáé Nichols. 5) Ðüôå ñçóéìïðïéïýìå ôï êñéôþñéï ôùí CHR ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôùí ðáñáìýôñùí ôïõ åëåãêôþ; 6) Ç èåñìïêñáóßá åíüò çëåêôñéêïý öïýñíïõ ìåôü áðü ìéá îáöíéêþ ìåôáâïëþ ôçò çëåêôñéêþò éó ýïò áðü 0 óôá 200W ìåôáâëþèçêå óýìöùíá ìå ôïí ðáñáêüôù ðßíáêá. /min È/ 0 C Æçôåßôáé: Á) Ná õðïëïãéóôïýí ôá ôå íéêü áñáêôçñéóôéêü ( K s, êáé ) ôïõ åëåã üìåíïõ óõóôþìáôïò. Â) Ðïéüí åëåãêôþ èá åðéëýãáôå ãéá ôïí Ýëåã ï ôçò èåñìïêñáóßáò êáé ðþò èá ñõèìßæáôå ôéò ðáñáìýôñïõò ôïõ (Ê Ñ, êáé ); 7) íá åëåã üìåíï óýóôçìá (èåñìïêñáóßáò) áíþôåñçò ôüîçò (ìå ñüíïõò = 0,25, = 8,5, åíßó õóç K s = 20 0 C/mm êáé ðåñéï Þ ñýèìéóçò u H = 30mm Ý åé ôá ðáñáêüôù ôå íéêü áñáêôçñéóôéêü: = 0,2s ñüíïò åðéâñüäõíóçò = 8,s ñüíïò åîéóïññüðçóçò K s = 20 0 C/mm åíßó õóç u H = 30mm ìåãßóôç ðåñéï Þ ñýèìéóçò (Üíïéãìá ôïõ ôåëéêïý óôïé åßïõ åëýã ïõ) á) Ná õðïëïãéóôåß ç ìåãßóôç èåñìïêñáóßá ñýèìéóçò ôïõ åëåãêôþ. â) Ná õðïëïãéóôåß ç êñßóéìç áíáëïãéêþ ðåñéï Þ X Pc åëåãêôþ, ãéá ôçí ïðïßá ôï êëåéóôü óýóôçìá ðýöôåé óå áóôüèåéá ìå óôáèåñü ðëüôïò. ã) Ná õðïëïãéóôåß ç âýëôéóôç ôéìþ ôçò åíßó õóçò Ê Pop ôïõ åëåãêôþ Ñ ôïõ êëåéóôïý óõóôþìáôïò. 278
ÌåëÝôç ôçò óõìðåñéöïñüò ôïõ óõóôþìáôïò Áõôüìáôïõ ÅëÝã ïõ (êëåéóôïý âñü ïõ)
ÊåöÜëáéï 7 ÌåëÝôç ôçò óõìðåñéöïñüò ôïõ óõóôþìáôïò Áõôüìáôïõ ÅëÝã ïõ (êëåéóôïý âñü ïõ) Åðéäéùêüìåíïé óôü ïé: Ï óêïðüò áõôïý ôïõ êåöáëáßïõ åßíáé íá âïçèþóåé ôïõò ìáèçôýò: Ö Íá êáôáíïïýí êáé åîçãïýí ôçí åðßäñáóç
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
ÊåöÜëáéï 1. ÅéóáãùãÞ. Åðéäéùêüìåíïé óôü ïé:
ÊåöÜëáéï 1 ÅéóáãùãÞ Åðéäéùêüìåíïé óôü ïé: Óêïðüò áõôïý ôïõ êåöáëáßïõ åßíáé íá âïçèþóåé ôïõò ìáèçôýò: Ö Íá äéáêñßíïõí ôéò âáóéêýò âáèìßäåò åíüò áíïéêôïý êáé åíüò êëåéóôïý óõóôþìáôïò áõôïìüôïõ åëýã ïõ. Ö
4.5 ÅëåãêôÞò-PI ÅëåãêôÞò ìå áíáëïãéêþ êáé ïëïêëçñùôéêþ óõìðåñéöïñü
ÅëåãêôÝò Ç åðéêñáôïýóá åîßóùóç ôïõ åëåãêôþ-d åßíáé ôçò ìïñöþò: u = D d dt êáé ç óõíüñôçóç ìåôáöïñüò: G u = s D u = = D s óõíüñôçóç ìåôáöïñüò 4.5 ÅëåãêôÞò-I ÅëåãêôÞò ìå áíáëïãéêþ êáé ïëïêëçñùôéêþ óõìðåñéöïñü
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
ÐåñéãñáöÞ Ãñáììéêþí Óôïé åßùí (Âáèìßäùí) Åëåã üìåíá ÓõóôÞìáôá
ÊåöÜëáéï 3 ÐåñéãñáöÞ Ãñáììéêþí Åðéäéùêüìåíïé óôü ïé: Óêïðüò áõôïý ôïõ êåöáëáßïõ åßíáé íá âïçèþóåé ôïõò ìáèçôýò: Ö Íá áíáãíùñßæïõí ôéò êáôçãïñßåò ôùí ñõèìéæüìåíùí óõóôçìüôùí. Ö Íá êáôáôüóóïõí ôï óýóôçìá
ÊåöÜëáéï 4. ÅëåãêôÝò. Åðéäéùêüìåíïé óôü ïé:
ÊåöÜëáéï 4 ÅëåãêôÝò Åðéäéùêüìåíïé óôü ïé: Óêïðüò áõôïý ôïõ êåöáëáßïõ åßíáé íá âïçèþóåé ôïõò ìáèçôýò: Ö Íá ãíùñßæïõí ôéò êáôçãïñßåò ôùí åëåãêôþí êáé ôçí ñçóéìüôçôü ôïõò. Ö Íá ãíùñßæïõí ôï ðþò óõìðåñéöýñïíôáé,
16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
Estimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
r + u R Óõ íïãåííþôñéá ÅëåãêôÞò CHII u R 4 ON 1 e OFF t 1 t 2 t 3 t 4 e 2 3 e 1
ÊåöÜëáéï 8 ÓõóôÞìáôá Áõôüìáôïõ ÅëÝã ïõ ìå Äéáêïðôéêïýò ÅëåãêôÝò Åðéäéùêüìåíïé óôü ïé: Ï óêïðüò áõôïý ôïõ êåöáëáßïõ åßíáé íá âïçèþóåé ôïõò ìáèçôýò: Ö Íá ãíùñßæïõí ôç ëåéôïõñãßá ôïõ åëåãêôþ äýï èýóåùí. Ö
3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí
¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí ÈåñìïóôÜôçò ÓõíôÞñçóçò REF-DF-SM ÅëÝã åé Ýíá èåñìïóôïé åßï PTC Êëßìáêá èåñìïêñáóßáò: -19? +99 C ëåã ïò áðüøõîçò - dfrst Ôñßá ñåëý: óõìðéåóôþò (30Á, 2ÇÑ),
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá
Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
Chi-Square Goodness-of-Fit Test*
Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá
Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...
ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï
ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ
ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ
1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
à ËÕÊÅÉÏÕ ÈÅÌÁÔÁ ÖÕÓÉÊÇÓ ÈÅÔÉÊÇÓ ÊÁÉ ÔÅ ÍÏËÏÃÉÊÇÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÇÓ. ÈÅÌÁ 1ï
1 Ã ËÕÊÅÉÏÕ ÈÅÌÁÔÁ ÖÕÓÉÊÇÓ ÈÅÔÉÊÇÓ ÊÁÉ ÔÅ ÍÏËÏÃÉÊÇÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÇÓ ÈÅÌÁ 1ï Óôéò åñùôþóåéò 1 4 íá ãñüøåôå óôï ôåôñüäéü óáò ôïí áñéèìü ôçò åñþôçóçò êáé äßðëá ôï ãñüììá ðïõ áíôéóôïé åß óôç óùóôþ áðüíôçóç. 1.
1ï ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò
1ï ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò óå üëç ôçí ýëç ÖõóéêÞò. à ôüîç ÊáèçãçôÞò: ¼íïìá: Âáèìüò: ÈÅÌÁ 1ï Åéê. 1 A. -2ìC ç Á êáé +2ìC ç  -1ìC ç Á êáé -1ìC ç  -9ìC ç Á êáé -9ìC ç  D. +1ìC ç Á êáé +1ìC ç  ÅðéëÝîôå ôç
ÐïëëÝò åôáéñßåò ðñïóöýñïõí õðçñåóßåò
Ferral Ferral Της Πηνελόπης Λεονταρά Σήμανση CE: Πως γίνεται ο έλεγχος της παραγωγικής Ï êáèïñéóìüò ôïõ åëýã ïõ ðáñáãùãþò óå Ýíá êáôáóêåõáóôéêü óýìöùíá ìå ôéò ôå íéêýò ðñïäéáãñáöýò ãéá ôá êïõöþìáôá, óôçí
ÅÍÏÔÇÔÁ 6ç ÑÏÍÏÓ-ÄÉÁÄÏ Ç
Ενότητα 6 Μάθημα 45 Πρώτος-τελευταίος 1. Íá êáôáíïþóïõí ôéò Ýííïéåò ðñþôïò êáé ôåëåõôáßïò. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôï ñüíï êáé ôç äéáäï Þ ãåãïíüôùí. 1. Íá áêïýóïõí ôï ðáñáìýèé
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
ÕÄÑÏËÇØÉÅÓ ÔÕÐÏÕ Á2 - Á4 ÌÅ ÁÍÔÉÐÁÃÅÔÉÊÇ ÐÑÏÓÔÁÓÉÁ
ÕÄÑÏËÇØÉÅÓ ÔÕÐÏÕ Á - Á ÌÅ ÁÍÔÉÐÁÃÅÔÉÊÇ ÐÑÏÓÔÁÓÉÁ Ç ÅÕÄÏÓ ÁÂÅÅ êáôáóêåõüæåé õäñïëçøßåò Üñäåõóçò ôýðïõ SCHLUMBERGER ïé ïðïßåò áíôáðïêñßíïíôáé ðëþñùò ðñïò ôéò äéåèíåßò ðñïäéáãñáöýò, êáôáóêåõüæïíôáé ìå Þ ùñßò
B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí
B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò
ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009
ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 Ïíïìáôåðþíõìï : Á.Ì : ÈÝìá 1: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 2: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 3: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 4: Âáèìüò [ ] èñïéóìá
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï
ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).
9. ÁíÜðôõîç ðñïãñáììüôùí ìå ñïíéêýò ëåéôïõñãßåò.
9. ÁíÜðôõîç ðñïãñáììüôùí ìå ñïíéêýò ëåéôïõñãßåò. 9.1 ÃåíéêÜ. Ôá ðåñéóóüôåñá PLC äéáèýôïõí óçìáíôéêýò åõêïëßåò üóïí áöïñü óôïí ðñïãñáììáôéóìü ñïíéêþí ëåéôïõñãéþí ìå ñçóéìïðïßçóç ôùí ñïíéêþí ëåéôïõñãéþí
ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
ΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο.
ΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο Τελικό Πρόγραμμα Β Χειρουργική και Γαστρεντερολογική κλινική, Ναυτικού Νοσοκομείου
Üóêçóç 15. ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò
ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò Óôü ïé ôçò Üóêçóçò äéüñêåéá Üóêçóçò: 6 äéäáêôéêýò þñåò Óôï ôýëïò ôçò Üóêçóçò ïé ìáèçôýò èá åßíáé éêáíïß: é íá áíáãíùñßæïõí ôá åîáñôþìáôá
1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï
5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò
ιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá
1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ
ÅÑÃÁÓÔÇÑÉÏ ÇËÅÊÔÑÉÊÙÍ ÅÃÊÁÔÁÓÔÁÓÅÙÍ ÏÑÃÁÍÁ ÅËÅÃ ÏÕ ÇËÅÊÔÑÉÊÙÍ ÊÕÊËÙÌÁÔÙÍ Ç ðñáãìáôïðïßçóç áõôþò ôçò Üóêçóçò Ý åé óáí óêïðü íá åîïéêåéùèïýí ïé ìáèçôýò
2 ÏÑÃÁÍÁ ÅËÅÃ ÏÕ ÇËÅÊÔÑÉÊÙÍ ÊÕÊËÙÌÁÔÙÍ ÅÑÃÁÓÔÇÑÉÏ ÇËÅÊÔÑÉÊÙÍ ÅÃÊÁÔÁÓÔÁÓÅÙÍ ÏÑÃÁÍÁ ÅËÅÃ ÏÕ ÇËÅÊÔÑÉÊÙÍ ÊÕÊËÙÌÁÔÙÍ Ç ðñáãìáôïðïßçóç áõôþò ôçò Üóêçóçò Ý åé óáí óêïðü íá åîïéêåéùèïýí ïé ìáèçôýò ìå ôá üñãáíá
Óåë. 1 ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Ã ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ:
ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Ã ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: Çì/íßá: ÈÅÌÁ 1ï Óõìðëçñþóôå ìå ôç óùóôþ Þ ôéò óùóôýò ðñïôüóåéò ôçí ðáñáêüôù öñüóç: Ç çëåêôñéêþ ðçãþ
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
ΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ. 2. Βασικοί Ορισμοί. P / A o. Ονομαστική ή Μηχανική Τάση P / A. Πραγματική Τάση. Oνομαστική ή Μηχανική Επιμήκυνση L o
ΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ 1. Εισαγωγή Σε ένα πείραμα εφελκυσμού, ένα δοκίμιο μήκους L και εγκάρσιας διατομής A υφίσταται συνεχώς αυξανόμενη μονοαξονική επιμήκυνση [συνήθως χρησιμοποιώντας σταθερή ταχύτητα v (crss-head
ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!
ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò
ΘΕΜΑ: Τροποποίηση κατηγοριών στα εγκεκριµένα ενιαία τιµολόγια εργασιών για έργα οδοποιϊας.
ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ 5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 23 Φεβρουαρίου 2005 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΕ.ΧΩ..Ε. Αρ.Πρωτ. 17α/10/22/ΦΝ 437 ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜ. ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΕΝ. /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΡΟΓ/ΤΟΣ /ΝΣΗ ΝΟΜΟΘΕΤΙΚΟΥ ΣΥΝΤ/ΣΜΟΥ &
Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
ÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ
Ενότητα 5 Μάθημα 38 Ο κύκλος 1. Ná êáôáíïþóïõí ôçí Ýííïéá ôïõ êýêëïõ. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôïí êýêëï. 1. Íá ðáßîïõí êáé íá ôñáãïõäþóïõí ôï «Ãýñù-ãýñù üëïé» êáé «To ìáíôçëüêé».
ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç
ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
ATHINA COURT. ÐïëõôåëÞ Äéáìåñßóìáôá
ATHINA COURT ÐïëõôåëÞ Äéáìåñßóìáôá ΣΥΓΚΡΟΤΗΜΑ ΙΑΜΕΡΙΣΜΑΤΩΝ ΑΘΗΝΑ Το συγκρότημα διαμερισμάτων AΘΗΝΑ βρίσκεται σε μια ήσυχη περιοχή στην Έγκωμη, Γωνία Γρηγόρη Αυξεντίου & Αρχιεπισκόπου Λεοντίου και αποτελείται
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá
ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá Íüìïò ôïõ Coulomb Çëåêôñéêü Ðåäßï - íôáóç ÄõíáìéêÝò ÃñáììÝò Äõíáìéêü - ÄéáöïñÜ Äõíáìéêïý ÐõêíùôÝò ÃéÜííçò Ãáúóßäçò - ÅÊÖÅ ßïõ Äéáôýðùóç ôïõ Íüìïõ F F - F r F Ç HëåêôñïóôáôéêÞ
ΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ -
ΜΑΘΗΜΑ 1 Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑΤΩΝ- ΟΡΥΚΤΩΝ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΡΕΠΤΟΣ ΖΥΓΟΣ- ΕΚΚΡΕΜΕΣ
ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 5551 ÔÅÕ ÏÓ ÔÅÔÁÑÔÏ Áñ. Öýëëïõ 647 7 Áõãïýóôïõ 2001 ÐÅÑÉÅ ÏÌÅÍÁ ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Ôñïðïðïßçóç åãêåêñéìýíïõ ó åäßïõ ðüëçò ÄÞìïõ Çñáêëåßïõ, óôçí ðïëåïäïìéêþ åíüôçôá
ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý
ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý Çëåêôñéêü ðåäßï.10 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí.. ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß..... öïñôßï äý åôáé......11 íá óçìåéáêü çëåêôñéêü öïñôßï äçìéïõñãåß
11. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ
. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ 1 . ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ÅÐÉÐËÙÍ Σύντομη αναδρομή στην ιστορία της. Η εταιρία Salice, πρωτοπόρος στον τομέα των χωνευτών μεντεσέδων επίπλων, παράγει μια πολύ μεγάλη γκάμα μεντεσέδων και μηχανισμών
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
ÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò
ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,
11. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ
. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ 1 . ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ÅÐÉÐËÙÍ Σύντομη αναδρομή στην ιστορία της. Η εταιρία Salice, πρωτοπόρος στον τομέα των χωνευτών μεντεσέδων επίπλων, παράγει μια πολύ μεγάλη γκάμα μεντεσέδων και μηχανισμών
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
ΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ. Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012
ΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012 Τετάρτη, 12 Σεπτεμβρίου, Πανελλαδική Συγκέντρωση στη Πλατεία Κλαυθμώνος, στις 11.00 π.μ. Πορεία
ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ
ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò
ÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ç äýíáìç áëëçëåðßäñáóçò äýï çëåêôñéêþí öïñôßùí ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß ìå âüóç ôïí íüìï ôïõ Coulomb. Óôï ðáñüäåéãìá ìáò âñßóêåôáé ç óõíéóôáìýíç äýíáìç ðïõ åíåñãåß óôï öïñôßï q áðü äýï Üëëá öïñôßá
Cel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí
ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí
SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
2o ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΟΥ ΥΠΝΟΥ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗ ΕΠΕΜΒΑΤΙΚΟ ΑΕΡΙΣΜΟ ΑΘΗΝΑ 5-6 ΜΑΡΤΙΟΥ 2010
2o ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΟΥ ΥΠΝΟΥ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗ ΕΠΕΜΒΑΤΙΚΟ ΑΕΡΙΣΜΟ ΑΘΗΝΑ 5-6 ΜΑΡΤΙΟΥ 2010 Αγαπητοί συνάδελφοι, Με ιδιαίτερη χαρά σας στέλνουμε το πρόγραμμα του 2ου Συνεδρίου για τις Διαταραχές
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá
Κίνδυνοι στο facebook WebQuest Description Grade Level Curriculum Keywords
Κίνδυνοι στο facebook WebQuest Description: Το Facebook είναι ένας ιστοχώρος
[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
![[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.](/thumbs/61/46104077.jpg "[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.")
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ
ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ
245/Á/1977). 2469/1997 (ÖÅÊ 36/Á/1997). 1484/Â/ ).
ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ F 661 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 72 28 Éáíïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. Ä14/48529 ãêñéóç Ôéìïëïãßïõ Åñãáóôçñéáêþí êáé åðß Ôüðïõ Äïêéìþí ôïõ ÊÅÄÅ. OI ÕÐÏÕÑÃÏÉ
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
> ÁíáãåíÝò óôüäéï (ðïëý ìåãüëç äéüñêåéá) Ôï áíáãåíýò åßíáé ôï óôüäéï ôçò áíüðôõîçò. Ç ôñß á áñ ßæåé íá ãåííéýôáé êáé ðïëý ãñþãïñá ðáßñíåé ôçí ïëïêëçñù
ÊåöÜëáéï 5.2 ÓôÜäéá áíüðôõîçò ôçò ôñß áò Óêïðüò ôïõ êåöáëáßïõ áõôïý åßíáé ïé ìáèçôýò/ ôñéåò íá ãíùñßóïõí ôá óôüäéá áíüðôõîçò ôçò ôñß áò. > ÅéóáãùãÞ Ïé ôñß åò óå üðïéïí ôýðï ôñé þìáôïò êáé áí áíþêïõí (
Üóêçóç 21. ÌåëÝôç ÅëåãêôÞ ÑI
ÌåëÝôç ÅëåãêôÞ ÑI Óôü ïé ôçò Üóêçóçò äéüñêåéá Üóêçóçò: 12 äéäáêôéêýò þñåò Óôï ôýëïò ôçò Üóêçóçò ïé ìáèçôýò èá åßíáé éêáíïß: é íá ãíùñßæïõí ôç ëåéôïõñãßá ôïõ êéíçôþñá óõíå ïýò ñåýìáôïò: 1. íá õðïëïãßæïõí
ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ. Åõèýãñáììç êßíçóç. ôçò ìåôáôüðéóþò ôïõ êáé íá âñåßôå ôçí ôéìþ ôçò. Ðüóï åßíáé ôï äéüóôçìá ðïõ äéüíõóå ôï êéíçôü óôç äéáäñïìþ áõôþ;
63 63 ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ 1. Íá áíáöýñåôå ðïéá áðü ôá óþìáôá ðïõ öáßíïíôáé óôçí åéêüíá êéíïýíôáé A. Ùò ðñïò ôç Ãç B. Ùò ðñïò ôï áõôïêßíçôï. 5. íá êéíçôü ìåôáôïðßæåôáé áðü ôç èýóç Ì 1 óôç èýóç Ì 2. Íá ó åäéüóåôå
Üóêçóç 23. ëåã ïò Èåñìïêñáóßáò þñïõ ìå ÅëåãêôÞ äýï ÈÝóåùí
ëåã ïò Èåñìïêñáóßáò þñïõ ìå ÅëåãêôÞ äýï ÈÝóåùí Óôü ïé ôçò Üóêçóçò äéüñêåéá Üóêçóçò: 12 äéäáêôéêýò þñåò Óôï ôýëïò ôçò Üóêçóçò ïé ìáèçôýò èá åßíáé éêáíïß: é íá ãíùñßæïõí êáé åîçãïýí ôç ëåéôïõñãßá ôïõ åëåãêôþ
ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
ÊÅÖÁËÁÉÏ 11 ÁÍÔÉÓÔÁÈÌÉÓÇ ÔÏÕ ÓÕÍÔÅËÅÓÔÇ ÉÓ ÕÏÓ R S T C C M 3~ C
ÊÅÖÁËÁÉÏ 11 ÁÍÔÉÓÔÁÈÌÉÓÇ ÔÏÕ ÓÕÍÔÅËÅÓÔÇ ÉÓ ÕÏÓ R S T M 3~ ÁÍÁËÕÓÇ ÇËÅÊÔÑÉÊÙÍ ÊÕÊËÙÌÁÔÙÍ 11.1. ÅÐÉÐÔÙÓÅÉÓ ÁÌÇËÏÕ ÓÕÍÔÅËÅÓÔÇ ÉÓ ÕÏÓ Ï óõíôåëåóôþò éó ýïò óõí ö åßíáé ï ëüãïò ôçò ðñáãìáôéêþò éó ýïò P ðñïò
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;
ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 7: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç
ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü