θνξά ηε θνξά πνπ θαζνξίδεηαη από ηνλ θαλόλα ηνπ δεμηνύ ρεξηνύ θαη

Transcript

1 ΣΡΟΦΟΡΜΗ-ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ 1.ΣΡΟΦΟΡΜΗ Α. ΣΡΟΦΟΡΜΗ ΤΛΙΚΟΤ ΗΜΔΙΟΤ Θεσξνύκε έλα πιηθό ζεκείν κάδαο m θαη ζηηγκηαίαο νξκήο Ρ, (P = m.π ) ην νπνίν θηλείηαη ζε πεξηθέξεηα θύθινπ αθηίλαο r, όπσο θαίλεηαη ζην δηπιαλό ζρήκα. ηξνθνξκή ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ, σο πξνο έλαλ άμνλα z 'z πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηεο θπθιηθήο ηξνρηάο θαη είλαη θάζεηνο ζην επίπεδό ηεο, νλνκάδεηαη ην δηαλπζκαηηθό κέγεζνο L πνπ έρεη: δηεύζπλζε ηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα z 'z, θνξά ηε θνξά πνπ θαζνξίδεηαη από ηνλ θαλόλα ηνπ δεμηνύ ρεξηνύ θαη κέηξν ίζν κε ην γηλόκελν ηνπ κέηξνπ Ρ ηεο νξκήο ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ επί ηελ αθηίλα r ηεο θπθιηθήο ηξνρηάο. Γειαδή: L=p.r => L=mπr (1) Μνλάδα κέηξεζεο ηεο ζηξνθνξκήο πιηθνύ ζεκείνπ ζην S.I. είλαη ην 1 kg.m 2 /s. Αλ σ είλαη ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ, ηόηε ε ζρέζε L = mπr γξάθεηαη: L =m(σr)r => L=mr 2 σ (2) Β.ΣΡΟΦΟΡΜΗ ΤΛΙΚΟΤ ΗΜΔΙΟΤ ΠΟΤ ΚΙΝΔΙΣΑΙ ΔΤΘΤΓΡΑΜΜΑ Θεσξνύκε έλα πιηθό ζεκείν κάδαο m, ην νπνίν θηλείηαη επζύγξακκα κε ηαρύηεηα π, ζε επίπεδν θάζεην ζηνλ άμνλα z'z, όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα. Ζ ζηξνθνξκή L ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ, σο πξνο ηνλ άμνλα z'z, έρεη κέηξν L ίζν κε ην γηλόκελν ηνπ κέηξνπ ξ ηεο νξκήο ηνπ επί ηελ θάζεηε απόζηαζε r ηεο ηξνρηάο ηνπ από ηνλ άμνλα z'z. Γειαδή: L=pr => L=mπ(dεκθ) => L=mπdεκθ Από ηελ ηειεπηαία ζρέζε πξνθύπηεη όηη, αλ ν θνξέαο ηεο ηαρύηεηαο ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ δηέξρεηαη από ηνλ άμνλα z'z (r = 0), ηόηε ε ζηξνθνξκή ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ έρεη σο πξνο ηνλ άμνλα απηό κέηξν ίζν κε κεδέλ. Aλ ν θνξέαο ηεο ηαρύηεηαο ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ είλαη παξάιιεινο κε ηνλ άμνλα z'z, ηόηε ε ζηξνθνξκή ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ έρεη σο πξνο ηνλ άμνλα απηό κέηξν ίζν κε κεδέλ. ΚΕΦ.4 ΣΡΟΦΟΡΜΗ-ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 1

2 Γ. ΣΡΟΦΟΡΜΗ ΣΔΡΔΟΤ ΩΜΑΣΟ Ολνκάδνπκε ζηξνθνξκή ελόο ζηεξενύ ζώκαηνο, ην νπνίν ζηξέθεηαη γύξσ από ηνλ άμνλα z'z, ην δηαλπζκαηηθό άζξνηζκα ησλ ζηξνθνξκώλ ησλ ζηνηρεησδώλ καδώλ πνπ ην απνηεινύλ, σο πξνο ηνλ ίδην άμνλα. Θεσξνύκε έλα ζηεξεό ζώκα πνπ πεξηζηξέθεηαη γύξσ από ην ζηαζεξό άμνλα z 'z κε γσληαθή ηαρύηεηα σ. Υσξίδνπκε ην ζώκα ζε ζηνηρεηώδε ηκήκαηα κε κάδεο m 1, m 2,...,m v, ηόζν κηθξά ώζηε θαζέλα από απηά λα κπνξεί λα ζεσξεζεί πιηθό ζεκείν. Καηά ηελ πεξηζηξνθή ηνπ ζώκαηνο, νη ζηνηρεηώδεηο απηέο κάδεο δηαγξάθνπλ θπθιηθέο ηξνρηέο, ησλ νπνίσλ ηα επίπεδα είλαη θάζεηα ζηνλ άμνλα z'z. Δπίζεο, όιεο νη ζηνηρεηώδεηο κάδεο πεξηζηξέθνληαη κε ηελ ίδηα γσληαθή ηαρύηεηα σ, έρνπλ όκσο δηαθνξεηηθή γξακκηθή ηαρύηεηα, αθνύ ην κέηξν π ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο είλαη αλάινγν κε ηελ απόζηαζε r από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο (π =σr). Οη ζηξνθνξκέο ησλ ζηνηρεησδώλ καδώλ ηνπ ζώκαηνο έρνπλ όιεο ηελ ίδηα θαηεύζπλζε θαη κέηξα: L 1 = m l π l r l, L 2 = m 2 π 2 r 2,..., L λ = m λ π λ r λ Ζ ζηξνθνξκή ηνπ ζώκαηνο είλαη ην άζξνηζκα ησλ ζηξνθνξκώλ ησλ ζηνηρεησδώλ καδώλ πνπ ην απνηεινύλ. Γειαδή: L=L 1 +L L λ => L = m l π l r l + m 2 π 2 r m λ π λ r λ ζρέζε γξάθεηαη: Δπεηδή είλαη π 1 = σr 1, π 2 = σr 2,...,π λ =σr λ ε ηειεπηαία L= m l σr l 2 + m 2 σr m λ σr λ 2 => L= (m l r l 2 + m 2 r m λ r λ 2 )σ => L = Ησ όπνπ I= m l r l 2 + m 2 r m λ r λ 2 ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζηεξενύ, σο πξνο ηνλ άμνλα z'z. Δπνκέλσο: Ζ ζηξνθνξκή ελόο ζηεξενύ ζώκαηνο πνπ πεξηζηξέθεηαη γύξσ από άμνλα είλαη έλα δηαλπζκαηηθό κέγεζνο L, ην νπνίν έρεη: δηεύζπλζε ηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα, θνξά ηε θνξά πνπ νξίδεηαη από ηνλ θαλόλα ηνπ δεμηνύ ρεξηνύ θαη κέηξν ίζν κε ην γηλόκελν ηεο ξνπήο αδξάλεηαο Η ηνπ ζηεξενύ, σο πξνο ηνλ άμνλα z'z, επi ην κέηξν σ ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο ηνπ ζηεξενύ. Γειαδή: L = Ι.ω ΚΕΦ.4 ΣΡΟΦΟΡΜΗ-ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 2

3 Γ. Η ΑΛΓΔΒΡΙΚΗ ΣΙΜΗ ΣΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Ζ ζύκβαζε γηα ηελ αιγεβξηθή ηηκή ηεο ζηξνθνξκήο είλαη ίδηα κε ηε ζύκβαζε γηα ηελ αιγεβξηθή ηηκή ηεο ξνπήο δύλακεο. Έηζη, ζεσξνύκε ζεηηθή ηε ζηξνθνξκή ελόο ζώκαηνο, όηαλ ζηξέθεηαη αληίζεηα από ηε θνξά θίλεζεο ησλ δεηθηώλ ηνπ ξνινγηνύ, θαη αξλεηηθή, όηαλ ζηξέθεηαη θαηά ηε θνξά θίλεζεο ησλ δεηθηώλ ηνπ ξνινγηνύ Δ. ΣΟ ΠΙΝ 'Έλα ζώκα κπνξεί λα εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν πεξηζηξνθηθέο θηλήζεηο: κηα γύξσ από άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο ηνπ θαη κηα άιιε ζηξνθηθή θίλεζε. Γηα παξάδεηγκα, ε Γε πεξηζηξέθεηαη γύξσ από ηνλ άμνλά ηεο θαη πεξηθέξεηαη γύξσ από ηνλ 'Ήιην. Σε ζηξνθηθή θίλεζε ελόο ζώκαηνο γύξσ από άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο ηνπ ηελ νλνκάδνπκε ηδηνπεξηζηξνθή. Γηα λα δηαθξίλνπκε ηε ζηξνθνξκή ελόο ζώκαηνο ιόγσ ηεο ηδηνπεξηζηξνθήο ηνπ, από ηε ζηξνθνξκή πνπ κπνξεί λα έρεη ην ίδην ζώκα ιόγσ άιιεο θίλεζεο ( ηξνρηαθή ζηξνθνξκή) νλνκάδνπκε ηελ πξώηε ζπηλ (spin). Ολνκάδνπκε ζπηλ ηε ζηξνθνξκή πνπ ζρεηίδεηαη κε ηελ πεξηζηξνθηθή θίλεζε ελόο ζώκαηνο γύξω από άμνλα, ν νπνίνο δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο ηνπ. 'Έηζη, ε Γε έρεη ζπίλ εμαηηίαο ηεο πεξηζηξνθήο ηεο γύξσ από ηνλ άμνλα ηεο θαη ηξνρηαθή ζηξνθνξκή εμαηηίαο ηεο θίλεζήο ηεο γύξσ από ηνλ 'Ήιην. r Σα ζηνηρεηώδε ζσκαηίδηα - ειεθηξόληα, πξσηόληα θαη λεηξόληα έρνπλ ζπηλ κέηξνπ 0, Js. Απηή ε 1 h ζηξνθνξκή ζπλήζσο εθθξάδεηαη σο, όπνπ θαη h ε ζηαζεξά ηνπ Planck. 2 2π Σ. ΣΡΟΦΟΡΜΗ ΤΣΗΜΑΣΟ Ολνκάδνπκε ζηξνθνξκή ελόο ζπζηήκαηνο ζσκάησλ, σο πξνο θάπνηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο, ην δηαλπζκαηηθό άζξνηζκα ησλ ζηξνθνξκώλ ησλ ζσκάησλ πνπ απνηεινύλ ην ζύζηεκα, σο πξνο ηνλ άμνλα απηό. Γειαδή, αλ νη ζηξνθνξκέο ησλ ζσκάησλ πνπ απνηεινύλ έλα ζύζηεκα είλαη L 1, L 2... L λ, ηόηε ε ζηξνθνξκή L ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη: L = L 1 + L L λ Αλ νη ζηξνθνξκέο L 1, L 2,... έρνπλ ηελ ίδηα δηεύζπλζε, ηόηε ε ηειεπηαία ζρέζε κεηαηξέπεηαη ζε αιγεβξηθή. Γειαδή: L=L 1 +L L v ΚΕΦ.4 ΣΡΟΦΟΡΜΗ-ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 3

4 2.ΓΔΝΙΚΟΣΔΡΗ ΓΙΑΣΤΠΩΗ ΣΟΤ ΘΔΜΔΛΙΩΓΟΤ ΝΟΜΟΤ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Α. Ο ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Δ ΔΝΑ ΩΜΑ Θεσξνύκε όηη ε ξνπή αδξάλεηαο ελόο ζηεξενύ ζώκαηνο πνπ πεξηζηξέθεηαη γύξσ από ζηαζεξό άμνλα είλαη ζηαζεξή (I= ζηαζ.) θαη όηη ζηνλ απεηξνζηά κηθξό ρξόλν ε γσληαθή ηαρύηεηα ηνπ ζηεξενύ κεηαβάιιεηαη θαηά dσ, νπόηε θαη ε ζηξνθνξκή ηνπ κεηαβάιιεηαη θαηά. Από ηε ζρέζε L=Iσ παίξλνπκε: L=Iσ => =Idσ => dσ I => Iα Όκσο η = Ηα Αξα: η = Σν αιγεβξηθό άζξνηζκα ηωλ ξνπώλ πνπ δξνπλ ζε έλα ζηεξεό, ην νπνίν πεξηζηξέθεηαη γύξω από ζηαζεξό άμνλα, είλαη ίζν κε ηελ αιγεβξηθή ηηκή ηνπ ξπζκνύ κεηαβνιήο ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ. Παξαηεξήζεηο ηε ζρέζε η = ηα κεγέζε η θαη L πξέπεη λα αλαθέξνληαη ζηνλ ίδην άμνλα πεξηζηξνθήο. H ζρέζε η = είλαη πην γεληθή από ηε ζρέζε η=ηα. Ζ πξώηε ηζρύεη αθόκε θαη όηαλ ε ξνπή αδξάλεηαο ελόο ζώκαηνο κεηαβάιιεηαη (όπσο ζηελ πεξίπησζε ελόο ρνξεπηή πνπ ζπκπηύζζεη ηα άθξαηνπ),ελώ ε δεύηεξε ηζρύεη κόλνλ όηαλ ε ξνπή αδξάλεηαο είλαη ζηαζεξή (Η=ζηαζ.). dp Ζ ζρέζε η = είλαη γηα ηε ζηξνθηθή θίλεζε ην αλάινγν ηεο ζρέζεο F= ε νπνία απνηειεί ηε γεληθόηεξε δηαηύπσζε ηνπ δεύηεξνπ λόκνπ ηνπ Νεύησλα. Γηα έλα ζηεξεό πνπ έρεη ζπκκεηξηθό ζρήκα θαη ζηξέθεηαη γύξσ από έλαλ άμνλα ζπκκεηξίαο ηνπ ε ζρέζε η = ηζρύεη θαη δηαλπζκαηηθά. Β. Ο ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Δ ΤΣΗΜΑ ΩΜΑΣΩΝ Ο λόκνο ηεο ζηξνθηθήο θίλεζεο ηζρύεη θαη ζε ζύζηεκα ζσκάησλ: ε έλα ζύζηεκα ζωκάηωλ ην αιγεβξηθό άζξνηζκα όιωλ ηωλ ξνπώλ, δειαδή ηωλ ξνπώλ πνπ νθείινληαη ζε εμωηεξηθέο δπλάκεηο θαζώο θαη εθείλωλ πνπ νθείινληαη ζε εζωηεξηθέο δπλάκεηο, είλαη ίζν κε ηελ αιγεβξηθή ηηκή ηνπ ξπζκνύ κεηαβνιήο ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ ζπζηήκαηνο. ύκθσλα κε ηνλ ηξίην λόκν ηνπ Νεύησλα, νη εζσηεξηθέο δπλάκεηο εκθαλίδνληαη θαηά δεύγε δξάζεο - αληίδξαζεο. ε θάζε ηέηνην δεύγνο δξάζεο - αληίδξαζεο νη δπλάκεηο είλαη αληίζεηεο, νπόηε νη ξνπέο ηνπο σο πξνο νπνηνδήπνηε άμνλα αιιειναλαηξνύληαη θαη θαηά ζπλέπεηα ην αιγεβξηθό άζξνηζκα ησλ ξνπώλ όισλ ησλ εζσηεξηθώλ δπλάκεσλ είλαη κεδέλ. Έηζη ε ζρέζε η =, όηαλ πξόθεηηαη γηα ζύζηεκα ζσκάησλ, ΚΕΦ.4 ΣΡΟΦΟΡΜΗ-ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 4

5 γξάθεηαη η εμ = όπνπ ηεμ είλαη ην αιγεβξηθό άζξνηζκα ησλ ξνπώλ ησλ εμσηεξηθώλ δπλάκεσλ σο πξνο θάπνηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο θαη L ε ζηξνθνξκή ηνπ ζπζηήκαηνο, σο πξνο ηνλ ίδην άμνλα. Άξα: Σν αιγεβξηθό άζξνηζκα ηωλ ξνπώλ ηωλ εμωηεξηθώλ δπλάκεωλ πνπ δξνπλ ζε έλα ζύζηεκα ζωκάηωλ είλαη ίζν κε ηελ αιγεβξηθή ηηκή ηνπ ξπζκνύ κεηαβνιήο ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ. L 3. ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Α. Η ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Δ ΔΝΑ ΩΜΑ Αv ζηε ζρέζε η = ζέζνπκε η = 0, ηόηε έρνπκε όηη: = 0 => = 0 => L = ζηαζ. Αλ ην αιγεβξηθό άζξνηζκα ηωλ ξνπώλ ηωλ δπλάκεωλ πνπ δξνπλ ζε έλα ζηεξεό ζώκα (ωο πξνο θάπνηνλ άμνλα) είλαη κεδέλ, ε ζηξνθνξκή ηνπ ζώκαηνο (ωο πξνο -ηνλ ίδην άμνλα) παξακέλεη ζηαζεξή. 'Όηαλ η=0 θαη Η=ζηαζ., ηόηε είλαη: L= ζηαζ. => Ησ = ζηαζ => σ=ζηαζ. Γειαδή, ην ζώκα εθηειεί νκαιή ζηξνθηθή θίλεζε. Ζ παξαπάλσ πξόηαζε ηζρύεη ηόζν γηα ζώκαηα πνπ απιά ζηξέθνληαη γύξσ από άμνλα, όζν θαη γηα ζώκαηα πνπ θηλνύληαη ζε θακπύιε ηξνρηά. Γηα παξάδεηγκα, θαηά ηελ πεξηζηξνθή ηεο Γεο γύξσ από ηνλ άμνλά ηεο ( ηδηνπεξηζηξνθή), ε ζηξνθνξκή ηεο Γεο παξακέλεη ζηαζεξή, επεηδή ε ειθηηθή δύλακε πνπ δέρεηαη από ηνλ 'Ήιην δε δεκηνπξγεί ξνπή, αθνύ ν θνξέαο ηεο δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο ηεο Γεο. Δπνκέλσο, ε ρξνληθή δηάξθεηα πεξηζηξνθήο ηεο Γεο γύξσ από ηνλ άμνλά ηεο παξακέλεη ζηαζεξή, δειαδή 24 ώξεο. Β.Η ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Δ ΤΣΗΜΑ ΩΜΑΣΩΝ Ο δεύηεξνο λόκνο ηνπ Νεύησλα γηα ηε ζηξνθηθή θίλεζε, ζηελ πεξίπησζε ζπζηήκαηνο ζσκάησλ, έρεη ηε κνξθή η εμ =. Από ηε ζρέζε απηή πξνθύπηεη όηη, αλ είλαη ηεμ = 0, ηόηε είλαη: = 0 => = 0 => L = ζηαζ. Αλ ε ζπλνιηθή εμωηεξηθή ξνπή ζε έλα ζύζηεκα ζωκάηωλ ( ωο πξνο θάπνηνλ άμνλα) είλαη κεδέλ, ε νιηθή ζηξνθνξκή ηνπ ζπζηήκαηνο (ωο πξνο ηνλ ίδην άμνλα) παξακέλεη ζηαζεξή. Ζ πξόηαζε απηή είλαη γλσζηή σο αξρή δηαηήξεζεο ηεο ζηξνθνξκήο. ΚΕΦ.4 ΣΡΟΦΟΡΜΗ-ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 5

6 Η δηαηήξεζε ηεο ζηξνθνξκήο θαη ε δηαηήξεζε ηεο κεραληθήο ελέξγεηαο Αλ ζε έλα ζύζηεκα ζσκάησλ δελ αζθνύληαη εμσηεξηθέο ξνπέο, ε ζηξνθνξκή ηνπ ζπζηήκαηνο δηαηεξείηαη. Απηό, όκσο, δε ζεκαίλεη όηη ζα δηαηεξείηαη νπσζδήπνηε θαη ε κεραληθή ελέξγεηα ηνπ ζπζηήκαηνο. Απηό ζπκβαίλεη γηαηί νη εζσηεξηθέο δπλάκεηο κπνξεί λα έρνπλ ζπληζηακέλε κεδέλ (απηέο ή νη ξνπέο ηνπο), είλαη όκσο δπλαηό λα παξάγνπλ ζπλνιηθά έξγν. L Γηα παξάδεηγκα, κπνξεί κεηαμύ δύν ζσκάησλ ηνπ ζπζηήκαηνο λα αλαπηύζζεηαη ηξηβή ( εζσηεξηθή δύλακε) θαη έλα κέξνο ηεο κεραληθήο ελέξγεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο λα κεηαηξέπεηαη εμαηηίαο ηεο ζε ζεξκηθή ελέξγεηα, νπόηε ε κεραληθή ελέξγεηα ηνπ ζπζηήκαηνο δε δηαηεξείηαη. Αλ νη εζσηεξηθέο δπλάκεηο ελόο ζπζηήκαηνο είλαη ζπληεξεηηθέο, ηόηε δηαηεξείηαη ε κεραληθή ελέξγεηα ηνπ ζπζηήκαηνο (π.ρ. βαξπηηθή θαηάξξεπζε άζηξνπ ). Μεηαβνιή ηεο ξνπήο αδξάλεηαο θαη δηαηήξεζε ηεο ζηξνθνξκήο Θεσξνύκε όηη ην αιγεβξηθό άζξνηζκα ησλ ξνπώλ ησλ εμσηεξηθώλ δπλάκεσλ πνπ δξνπλ ζε έλα πεξηζηξεθόκελν ζώκα είλαη κεδέλ. Αλ, ιόγσ αλαθαηαλνκήο ηεο κάδαο (εμαηηίαο εζσηεξηθώλ δπλάκεσλ) κεηαβιεζεί ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζώκαηνο, σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ, ηόηε κεηαβάιιεηαη θαη ε γσληαθή ηνπ ηαρύηεηα, αιιά ε ζηξνθνξκή ηνπ δηαηεξείηαη ζηαζεξή. Γειαδή L αξx = L ηει Αλ Η 1 ε αξρηθή ξνπή αδξάλεηαο θαη σ 1 ην κέηξν ηεο αξρηθήο γσληαθήο ηαρύηεηαο ηνπ ζώκαηνο θαη Η 2 ε ηειηθή ξνπή αδξάλεηαο θαη σ 2 ην κέηξν ηεο ηειηθήο γσληαθήο ηαρύηεηαο ηνπ ζώκαηνο, ηόηε ε ζρέζε γξάθεηαη: L αξx = L ηει => Η 1 σ 1 = Η 2 σ 2 Ζ ζρέζε Η 1 σ 1 = Η 2 σ 2 ηζρύεη όηαλ: α) Ζ ζπληζηακέλε ησλ εμσηεξηθώλ δπλάκεσλ πνπ δξνπλ ζε έλα ζώκα είλαη κεδέλ θαη β) Σν ζώκα ζηξέθεηαη γύξσ από έλαλ λνεηό αθιόλεην άμνλα ή γύξσ από έλα λνεηό άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο ηνπ ζώκαηνο θαη κεηαηνπίδεηαη παξάιιεια πξνο ηνλ εαπηό ηνπ. Από ηε ζρέζε Η 1 σ 1 = Η 2 σ 2 πξνθύπηεη όηη, όηαλ κεηαβάιιεηαη ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζώκαηνο από Η 1 ζε Η 2, ηόηε κεηαβάιιεηαη ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηνπ ηαρύηεηαο από σ 1 ζε σ 2. Απηό ζεκαίλεη όηη κπνξνύκε λα έρνπκε γσληαθή επηηάρπλζε ελόο ζώκαηνο ( α 0), αθόκε θαη αλ ην αιγεβξηθό ά- ζξνηζκα ησλ ξνπώλ ησλ εμσηεξηθώλ δπλάκεσλ είλαη κεδέλ (η εμ = 0). ΚΕΦ.4 ΣΡΟΦΟΡΜΗ-ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 6

7 Παξαδείγκαηα θαηλνκέλωλ, ζηα νπνία δηαηεξείηαη ε ζηξνθνξκή α) Μηα αζιήηξηα ηνπ θαιιηηερληθνύ παηηλάδ πνπ ζηξηθνγπξίδεη ζην παγνδξόκίν κπνξεί, ζπκπηύζζνληαο ηα ρέξηα θαη ηα πόδηα ηεο, λα απμήζεη ηε γσληαθή ηαρύηεηα πεξηζηξνθήο ηεο. Αλ ε ηξηβή ησλ παγνπέδηισλ κε ηνλ πάγν ζεσξεζεί ακειεηέα, νη εμσηεξηθέο δπλάκεηο -όπσο ην βάξνο ηεο αζιήηξηαο θαη ε δύλακε πνπ δέρεηαη από ην έδαθνο - δε δεκηνπξγνύλ ξνπή σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηεο, νπόηε ε ζηξνθνξκή ηεο δηαηεξείηαη, δειαδή ην γηλόκελν Ησ παξακέλεη ζηαζεξό. πκπηύζζνληαο ηα ρέξηα θαη ηα πόδηα ηεο ε ξνπή αδξάλεηαο κεηώλεηαη, νπόηε, αθνύ ην γηλόκελν Ησ παξακέλεη ζηαζεξό, απμάλεηαη ε γσληαθή ηαρύηεηα πεξηζηξνθήο ηεο. Γηα ηελ αζιήηξηα ηνπ θαιιηηερληθνύ παηηλάδ ηζρύεη: Η 1 σ 1 = Η 2 σ 2 => ω2 I 1 Δπεηδή I1 > Η 2 είλαη σ 2 >σ 1. ω 1 I 2 β) Όηαλ νη αθξνβάηεο ζέινπλ λα θάλνπλ πνιιέο ζηξνθέο ζηνλ αέξα, ζπκπηύζζνπλ ηα ρέξηα θαη ηα πόδηα ηνπο. Καηά ηελ θίλεζε ηνπ αθξνβάηε ζηνλ αέξα, κνλαδηθή εμσηεξηθή δύλακε είλαη ην βάξνο ηνπ, ην νπνίν, επεηδή δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο ηνπ, δε δεκηνπξγεί ξνπή θαη ε ζηξνθνξκή ηνπ αθξνβάηε δηαηεξείηαη. Με ηε ζύκπηπμε ησλ άθξσλ, κεηώλεηαη ε ξνπή αδξάλεηαο θαη, θαηά ζπλέπεηα, απμάλεηαη ε γσληαθή ηαρύηεηα πεξηζηξνθήο. γ) Σα αζηέξηα, ηα νπνία ζην ηειεπηαίν ζηάδην ηεο δσήο ηνπο έρνπλ κάδα από 1,4 έσο 2,5 θνξέο ηε κάδα ηνπ Ζιίνπ, κεηαηξέπνληαη ζε αζηέξεο λεηξνλίσλ ή pulsars. Σα αζηέξηα απηά, όηαλ εμαληιήζνπλ ηηο πεγέο ελέξγεηαο πνπ δηαζέηνπλ, ζπξξηθλώλνληαη ιόγσ ηεο βαξύηεηαο κέρξηο όηνπ νη ππξήλεο ησλ αηόκσλ ηνπο αξρίζνπλ λα εθάπηνληαη, κε απνηέιεζκα ε αθηίλα ελόο ηέηνηνπ αζηεξηνύ λα είλαη κόλν km. Δπεηδή ε ζπξξίθλσζε νθείιεηαη ζε εζσηεξηθέο δπλάκεηο, ε ζηξνθνξκή δηαηεξείηαη ζηαζεξή θαη, επεηδή ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ αζηεξηνύ κεηώλεηαη δξακαηηθά, έρνπκε κηα αληίζηνηρε αύμεζε ηεο ηαρύηεηαο πεξηζηξνθήο. Τπνινγίδεηαη όηη έλαο αζηέξαο λεηξνλίσλ πεξηζηξέθεηαη κε πεξίνδν 1/3000 s. Γηα ζύγθξηζε, λα αλαθέξνπκε όηη ε πεξίνδνο πεξηζηξνθήο ηνπ Ζιίνπ είλαη 25 κέξεο. ΚΕΦ.4 ΣΡΟΦΟΡΜΗ-ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 7

8 ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 1 Γύν ζθαίξεο, πνπ ε θαζεκηά έρεη κάδα m=0,l kg θαη ακειεηέα αθηίλα, βξίζθνληαη ζηα άθξα νκνγελνύο ξάβδνπ ΑΒ κήθνπο l = 1m θαη κάδαο Μ= 1,3 kg. Σν ζύζηεκα ζηξέθεηαη ζε νξηδόληην επίπεδν κε γσληαθή ηαρύηεηα κέηξνπ σ = 20 rad/s, γύξσ από θαηαθόξπθν άμνλα z'z, ν νπνίνο δηέξρεηαη από ζεκείν Γ ηεο ξάβδνπ. Αλ είλαη (ΑΓ) = l /3, λα ππνινγίζεηε ην κέηξν ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ ζπζηήκαηνο. Γίλεηαη ε ξνπή αδξάλεηαο ηεο ξάβδνπ, σο πξνο άμνλα πνπ είλαη θάζεηνο ζ' απηή θαη δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο ηεο, I cm =1/12 Ml 2 ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 2 Απ: L =4kg.m 2 /s Έλα πνδήιαην θηλείηαη επζύγξακκα ζε νξηδόληην δξόκν κε ζηαζεξή ηαρύηεηα κέηξνπ π = 10 m/s. Κάζε ηξνρόο ηνπ πνδειάηνπ έρεη κάδα m=2,5kg θαη αθηίλα R= 0,4m. Α. Να πξνζδηνξίζεηε ηε δηεύζπλζε, ηε θνξά θαη ην κέηξν ηεο ζηξνθνξκήο θάζε ηξνρνύ ηνπ πνδειάηνπ. Β. Κάπνηα ρξνληθή ζηηγκή ην πνδήιαην απνθηά ζηαζεξή επηβξάδπλζε, ρσξίο λα νιηζζαίλνπλ νη ηξνρνί ηνπ, θαη ηειηθά ζηακαηάεη κεηά από ρξόλν Γt = 5 s. α. Να ππνινγίζεηε ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ζηξνθνξκήο θάζε ηξνρνύ ηνπ πνδειάηνπ. β. Να ππνινγίζεηε ην κέηξν ηεο ηξηβήο πνπ αζθήζεθε ζηνλ πίζσ ηξνρό ηνπ πνδειάηνπ, αλ δερζνύκε όηη ηα ηαθάθηα ησλ θξέλσλ βξίζθνληαη πνιύ θνληά ζηελ πεξηθέξεηά ηνπ. Ζ ξνπή αδξάλεηαο θάζε ηξνρνύ, σο πξνο ηνλ άμνλα ηνπ είλαη Η=mR 2 Απ: A. L =4kg.m 2 /s B. α. = -2 kg.m 2 /s 2 β.σ=5 Ν ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 3 Έλαο καζεηήο θξαηάεη ζηα ρέξηα ηνπ έλαλ ηξνρό πνδειάηνπ κε ηνλ άμνλά ηνπ θαηαθόξπθν, όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα. Ο ηξνρόο ζηξέθεηαη κε γσληαθή ηαρύηεηα κέηξνπ σ = 10 rad/s, κε θνξά αληίζεηε από ηε θνξά θίλεζεο ησλ δεηθηώλ ηνπ ξνινγηνύ. Κάπνηα ζηηγκή ν καζεηήο πεξηζηξέθεη ηνλ άμνλα ηνπ ηξνρνύ θαηά 180, ρσξίο λα κεηαβιεζεί ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο πεξηζηξνθήο ηνπ ηξνρνύ. Να ππνινγίζεηε: α. ηε κεηαβνιή ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ ηξνρνύ. ΚΕΦ.4 ΣΡΟΦΟΡΜΗ-ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 8

9 β. ην κέηξν ηεο ξνπήο πνπ πξνθάιεζε ηε κεηαβνιή ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ ηξνρνύ, αλ πξαγκαηνπνηήζεθε ζε ρξόλν Γt=0,25s. γ. ην κέηξν ησλ δπλάκεσλ ηνπ δεύγνπο πνπ εθάξκνζε ν καζεηήο ζηνλ άμνλα ηνπ ηξνρνύ, αλ νη δπλάκεηο απηέο είλαη δηαξθώο θάζεηεο ζηνλ άμνλα ηνπ ηξνρνύ θαη ν κνρινβξαρίνλαο ηνπ δεύγνπο είλαη d=20cm. Ζ ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ηξνρνύ σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ είλαη I cm = 0,08kgm 2. ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 4 Απ: α. ΓL =-1,6kg.m 2 /s β.η = -6,4Nm γ.f=64n Ο ηξνρόο ηνπ δηπιαλνύ ζρήκαηνο, κάδαο m = 2 kg θαη αθηίλαο R=0,5m, ζηξέθεηαη κε γσληαθή ηαρύηεηα κέηξνπ σ = 20 rad/s γύξσ από νξηδόληην άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ θαη είλαη θάζεηνο ζην επίπεδό ηνπ. Αζθώληαο ζην ζεκείν Α ηνπ άμνλα πεξηζηξνθήο θαηάιιειε δύλακε, ηνλ κεηαθηλνύκε, ώζηε λα γίλεη θαηαθόξπθνο, ρσξίο λα κεηαβιεζεί ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο πεξηζηξνθήο ηνπ. α. Να ζρεδηάζεηε ηα δηαλύζκαηα ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ ηξνρνύ ζηελ αξρηθή θαη ζηελ ηειηθή ζέζε ηνπ θαη λα ππνινγίζεηε ηα κέηξα ηνπο. β. Να ζρεδηάζεηε ην δηάλπζκα ηεο κεηαβνιήο ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ ηξνρνύ θαη λα ππνινγίζεηε ην κέηξν ηεο. γ. Να ππνινγίζεηε ην κέηξν ηεο ζπλνιηθήο εμσηεξηθήο ξνπήο πνπ αζθήζεθε ζηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ ηξνρνύ, αλ ε ρξνληθή δηάξθεηα ηεο κεηαθίλεζήο ηνπ ήηαλ Γt= 0,5 s. Θεσξνύκε όηη ε κάδα ηνπ ηξνρνύ βξίζθεηαη ζπγθεληξσκέλε ζηελ πεξηθέξεηά ηνπ. f Απ: α. L =10 kg.m 2 /s β. ΓL =10 2 kg.m 2 /s, εθθ=45 0 γ.η=20 2 Nm ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 5 Γύν ζώκαηα 1 θαη 2 πνπ έρνπλ κάδεο m 1 = 2kg θαη m 2 = 1kg, αληίζηνηρα, ζπλδένληαη κεηαμύ ηνπο κε αβαξέο λήκα, ην νπνίν δηέξρεηαη από ην απιάθη νκνγελνύο ηξνραιίαο, κάδαο Μ = 2kg θαη αθηίλαο R = 20cm. Η Μεηαμύ ηνπ ζώκαηνο 2 θαη ηνπ νξηδνληίνπ επηπέδνπ δελ ππάξρεη ηξηβή. Σε ρξνληθή ζηηγκή t o = 0 αθήλνπκε ην ζύζηεκα ειεύζεξν λα θηλεζεί.να ππνινγίζεηε: α. ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ ζπζηήκαηνο σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηεο ηξνραιίαο. β. ην κέηξν ηεο επηηάρπλζεο ηνπ ζώκαηνο ]. ΚΕΦ.4 ΣΡΟΦΟΡΜΗ-ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 9

10 γ. ην κέηξν ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ ζπζηήκαηνο σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηεο ηξνραιίαο ηε ρξνληθή ζηηγκή t=2s. Ζ ξνπή αδξάλεηαο ηεο ηξνραιίαο σο πξνο ηνλ άμνλά ηεο είλαη Η = 1/2 MR 2 θαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο g = 10m/s 2. Μεηαμύ λήκαηνο θαη ηξνραιίαο δελ παξαηεξείηαη νιίζζεζε. Απ: α. = 4 kg.m 2 /s 2 β.α=5 m/s 2 γ. L =8 kg.m 2 /s ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 6 Ζ ξνπή αδξάλεηαο ελόο παγνδξόκoπ είλαη Η 1 =21kgm 2, όηαλ ηα ρέξηα ηoπ είλαη ζε ζέζε έθηαζεο, θαη I 2 =6kgm 2 όηαλ ηα ρέξηα ηνπ είλαη ζπζπεηξσκέλα ζην ζηήζνο. Αλ f 1 =3ΖΕ ε ζπρλόηεηα πεξηζηξνθήο ηνπ παγνδξόκνπ ζηελ πξώηε πεξίπησζε, λα ππνινγίζεηε: α. ηε ζπρλόηεηα πεξηζηξνθήο ηoπ παγνδξόκoπ όηαλ ζπζπεηξώζεη ηα ρέξηα θαη β. ηε κέζε γσληαθή επηηάρπλζε, αλ γηα ηε ζπζπείξσζε ησλ ρεξηώλ απαηηείηαη ρξόλνο Γt=0,942s ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 7 Απ: α) f 2 =10,5 ΖΕ β) α = 50 rad/s 2 Ή ξάβδνο ηνπ ζρήκαηνο είλαη νξηδόληηα θαη κπνξεί λα ζηξέθεηαη γύξσ από θαηαθόξπθν άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην κέζνλ ηεο. Σν κήθνο ηεο ξάβδνπ είλαη L= 1m θαη ε κάδα ηεο Μ=0,6 kg. ε απόζηαζε r=0,2 m από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο βξίζθνληαη δύν κεηαιιηθνί δαθηύιηνη κάδαο m=0,1 kg ν θαζέλαο, πνπ ζπλδένληαη κεηαμύ ηνπο κε έλα λήκα. Σν ζύζηεκα ζηξέθεηαη γύξσ από ηνλ άμνλα κε ζπρλόηεηα f 1 = 10 Ζz. Κάπνηα ζηηγκή ην λήκα ζπάεη θαη νη δαθηύιηνη, ιόγσ αδξάλεηαο, σζνύληαη ζηα άθξα ηεο ξάβδνη. Τπνινγίζηε ηε λέα ζπρλόηεηα κε ηελ νπνία ζα ζηξέθεηαη ην ζύζηεκα. Ζ ξνπή αδξάλεηαο ηεο ξάβδνπ σο πξνο άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο ηεο είλαη I= 12 1 ML 2 ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 8 Απ : 5,8 Hz Οξηδόληηνο δίζθνο αθηίλαο 20 cm θαη κάδαο 1 kg ζηξέθεηαη κε ζπρλόηεηα 2 Hz γύξσ από θαηαθόξπθν άμνλα πνπ πεξλάεη από ην θέληξν ηνπ. Από θάπνην ύςνο αθήλεηαη έλα θνκκάηη ιάζπε κάδαο 100gr, πνπ θνιιάεη ζην δίζθν ζε απόζηαζε 10 cm από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο. Να ππνινγίζεηε ηε λέα ζπρλόηεηα πεξηζηξνθήο. H ξνπή αδξάλεηαο ηνπ δίζθνπ σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ είλαη I cm = 2 1 ML 2 Απ : 1,9 HΕ ΚΕΦ.4 ΣΡΟΦΟΡΜΗ-ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 10

11 ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 9 Γίζθνο παηδηθήο ραξάο, κάδαο Μ = 80 kg θαη αθηίλαο R = 1m, κπνξεί λα πεξηζηξέθεηαη πεξί θαηαθόξπθν άμνλα θάζεην ζην επίπεδν ηνπ δίζθνπ θαη δηεξρόκελν από ην θέληξν ηνπ Ο. ην δίζθν δελ αζθείηαη θακία εμσηεξηθή δύλακε. Έλα παηδί, κάδαο m = 40kg, ηξέρεη γύξσ από ηνλ αθίλεην δίζθν κε ηαρύηεηα κέηξνπ π = 3 m/s θαη μαθληθά πεδάεη ζε έλα ζεκείν ηεο πεξηθέξεηαο ηνπ δίζθνπ όπνπ θαη παξακέλεη. α. Πνην είλαη ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο κε ηελ νπνία αξρίδεη λα πεξηζηξέθεηαη ν δίζθνο; β. Πνην είλαη ην κέηξν ηεο ζηαζεξήο ξνπήο πνπ πξέπεη λα αζθήζνπκε ζην δίζθν σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ, ώζηε λα ηνλ αθηλεηνπνηήζνπκε ζε ρξόλν t=3s. γ. Πνηνο είλαη ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ δίζθνπ σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ, θαηά ηε δηάξθεηα ηεο επηβξαδπλόκελεο ζηξνθηθήο θίλεζήο ηνπ. δ. Πόζεο πεξηζηξνθέο ζα εθηειέζεη ν δίζθνο ζην ρξόλν t=3s; Ζ ξνπή αδξάλεηαο ηνπ δίζθνπ σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ είλαη Η = 1/2 MR 2. Σν παηδί λα ζεσξεζεί σο πιηθό ζεκείν. Απ: α.σ 0 =1,5rad/s β.η=200ν.m γ. = 200 kg.m 2 /s 2 δ. Ν=1.875/π πεξ. ΚΕΦ.4 ΣΡΟΦΟΡΜΗ-ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 11

12 ΑΚΗΔΙ 1.Γύν ζθαίξεο έρνπλ κάδεο m 1 =2kg θαη m 2 =5kg, θηλνύληαη πάλσ ζην ίδην επίπεδν κε ηαρύηεηεο κέηξνπ π 1 =4m/s θαη π 2 =2m/s όπσο ζην ζρήκα. Να πξνζδηνξίζεηε ηε ζηξνθνξκή ηνπ ζπζηήκαηνο ησλ καδώλ σο πξνο ην ζεκείν Ο ην νπνίν ηζαπέρεη ησλ θνξέσλ ησλ ηαρπηήησλ θαηά d=2m. Απ: 4 kgm 2 /s 2.Τπνινγίζηε ηε ζηξνθνξκή ελόο ηξνρνύ κάδαο Μ=2 kg θαη αθηίλαο R=0,4 m, πνπ ζηξέθεηαη κε γσληαθή ηαρύηεηα σ=10 rad/s γύξσ από ηνλ άμνλά ηνπ. Θεσξήζηε όηη ε κάδα ηνπ ηξνρνύ βξίζθεηαη ζπγθεληξσκέλε ζηελ πεξηθέξεηά ηνπ. Απ : 3,2 kg m 2 /s 3.Γύν ζθαίξεο 1 θαη 2 κε κάδεο m 1 =10kg θαη m 2 =20kg ζπλδένληαη κεηαμύ ηνπο κε αβαξή θαη άθακπηε ξάβδν κήθνπο Ι=l,2 m. Σν ζύζηεκα πεξηζηξέθεηαη γύξσ από θαηαθόξπθν άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην κέζνλ ηεο ξάβδνπ θαη είλαη θάζεηνο ζε απηήλ. Να πξνζδηνξίζεηε ηε ζηξoθoξκή ηνπ ζπζηήκαηνο σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ ε ηαρύηεηα θάζε ζθαίξαο είλαη π=15m/s. Απ: 270 kgm 2 /s 4. Γύν ζθαίξεο, πνπ ε θαζεκηά έρεη κάδα m=100g ζπλδένληαη κεηαμύ ηνπο κε αβαξή ξάβδν, όπσο ζην ζρήκα. Σν ζύζηεκα πεξηζηξέθεηαη ζε νξηδόληην επίπεδν κε γσληαθή ηαρύηεηα σ= 16 rad/s, γύξσ από ηνλ θαηαθόξπθν άμνλα z z. Να ππνινγίζεηε ηε ζηξνθνξκή ηνπ ζπζηήκαηνο. Γίλεηαη 1=0,8 m. Απ: 5,12 kg m 2 /s ΚΕΦ.4 ΣΡΟΦΟΡΜΗ-ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 12

13 5.Ο ηξνρόο ηνπ ζρήκαηνο ζηξέθεηαη κε γσληαθή ηαρύηεηα κέηξνπ σ =20rad/s γύξσ από θαηαθόξπθν άμνλα ΑΒ πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ Κ θαη είλαη θάζεηνο ζην επίπεδό ηνπ. Αζθώληαο ζηα άθξα Α θαη Β ηνπ άμνλα δύν θαηάιιειεο αληίξξνπεο,δπλάκεηο, κε ίζα κέηξα, ηνλ κεηαθηλνύκε, ώζηε λα γίλεη νξηδόληηνο, ρσξίο λα αιιάμεη ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο πεξηζηξνθήο ηνπ ηξνρνύ. α. Να ππνινγίζεηε ην κέηξν θαη λα πξνζδηνξίζεηε ηε δηεύζπλζε ηεο κεηαβνιήο ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ ηξνρνύ. β. Να ππνινγίζεηε ην κέηξν ηεο ξνπήο ηνπ δεύγνπο πνπ πξνθάιεζε ηε κεηαβνιή ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ ηξνρνύ, αλ απηή πξαγκαηνπνηήζεθε ζε ρξόλν Γt = 0,5 s. γ. Να ππνινγίζεηε ην κέηξν ησλ δύν δπλάκεσλ ηνπ δεύγνπο, αλ ν άμνλαο ηνπ ηξνρνύ απνηειεί ηνλ κνρινβξαρίνλα ηνπ δεύγνπο θαη είλαη(αβ) =d=40cm. Ζ ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ηξνρνύ σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ είλαη Η = 0,2kgm 2. Απ: α. ΓL =4 2 kg.m 2 /s ζ=45 0 β. η = 8 2 Nm γ. F=20 2 N 6. Ο ηξνρόο ηνπ ζρήκαηνο έρεη ξνπή αδξάλεηαο 0,18 kg m 2 θαη ζηξέθεηαη κε γσληαθή ηαρύηεηα σ=25 rad/s γύξσ από νξηδόληην άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ. Αζθώληαο ζην ζεκείν Α ηνπ άμνλα πεξηζηξνθήο ηελ θαηάιιειε δύλακε ηνλ κεηαθηλνύκε ώζηε λα γίλεη θαηαθόξπθνο. Τπνινγίζηε ην κέηξν ηεο κεηαβνιήο ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ ηξνρνύ. Απ: 4,5 2 kgm 2 /s] 7.Ο κπξνζηηλόο ηξνρόο ηνπ πνδειάηνπ, ηνπ ζρήκαηνο έρεη ξνπή αδξάλεηαο 0,2kg m 2 θαη πεξηζηξέθεηαη κε γσληαθή ηαρύηεηα σ=20rad/s. Αξρηθά ν ηξνρόο είλαη θαηαθόξπθνο. ηε ζπλέρεηα ν πνδειάηεο θέξλεη ηνλ ηξνρό ζε νξηδόληηα ζέζε ζηξίβνληαο ην ηηκόλη. Ζ γσληαθή ηαρύηεηα ηνπ ηξνρνύ έρεη ζηαζεξό κέηξν. Να ππνινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο κεηαβνιήο ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ ηξνρνύ. β. ην κέηξν ηεο ζπλνιηθήο εμσηεξηθήο ξνπήο αλ ρξεηάζηεθε 1,2s γηα λα ζηξίςεη ν ηξνρόο.. Απ α) ΓL=5,65kgm 2 /s β)η νι =4,7Nm ΚΕΦ.4 ΣΡΟΦΟΡΜΗ-ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 13

14 8.Ο νκνγελήο δαθηύιηνο ηνπ ζρήκαηνο έρεη αθηίλα R =0,4m θαη κάδα Μ= 2kg, ηελ νπνία ζεσξνύκέ ζπγθεληξσκέλε ζηελ πεξηθέξεηά ηνπ. Ο δαθηύιηνο ζηξέθεηαη κε γσληαθή ηαρύηεηα κέηξνπ σ = 10 rad/s γύξσ από άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ θαη είλαη θάζεηνο ζην επίπεδν πνπ νξίδεη, αληίζεηα από ηε θνξά θίλεζεο ησλ δεηθηώλ ηνπ ξνινγηνύ. Να ππνινγίζεηε: α. ηε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ δαθηπιίνπ σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ. β. ην κέηξν ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ δαθηπιίνπ σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ. γ. ηελ αιγεβξηθή ηηκή ηεο ξνπήο πνπ πξέπεη λα αζθήζνπκε ζην δαθηύιην σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ, ώζηε ζε ρξόλν Γt = 0,4 s λα ζηξέθεηαη κε γσληαθή ηαρύηεηα ηνπ ηδίνπ κέηξνπ σ =10rad/s, αιιά θαηά ηε θνξά θίλεζεο ησλ δεηθηώλ ηνπ ξνινγηνύ. Απ: α.η=0,32kg.m 2 β. L =3,2kg.m 2 /s γ. η = -16Nm 9.Οκνγελήο θύιηλδξνο, κάδαο m = l0kg θαη αθηίλαο R = 0,4m, είλαη ειεύζεξνο λα πεξηζηξέθεηαη ρσξίο ηξηβέο γύξσ από νξηδόληην άμνλα πνπ ηαπηίδεηαη κε ηνλ γεσκεηξηθό ηνπ άμνλα. Γύξσ από ηνλ θύιηλδξν έρνπκε ηπιίμεη αβαξέο λήκα, ζην ειεύζεξν άθξν ηνπ νπνίνπ αζθνύκε νξηδόληηα δύλακε. Α. Αλ ε δύλακε έρεη ζηαζεξό κέηξν F = 10Ν, λα ππνινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο ηνπ θπιίλδξνπ. β. ην κέηξν ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ θπιίλδξνπ σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ ηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ έρεη μεηπιηρηεί λήκα κήθνπο l= 1 m. Β. Αλ ην κέηξν ηεο δύλακεο κεηαβάιιεηαη ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν ζύκθσλα κε ηε ζρέζε F=10-2t (S.I.), λα ππνινγίζεηε ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ θπιίλδξνπ σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ ηε ρξνληθή ζηηγκή t 1 = 4 s. Ζ ξνπή αδξάλεηαο ηνπ θπιίλδξνπ σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ είλαη: I cm = 1/2 mr 2. Μεηαμύ λήκαηνο θαη ηξνραιίαο δελ παξαηεξείηαη νιίζζεζε. Απ: Α.α. α=5 rad/s 2 β. L =4kg.m 2 /s Β. = 0,8 kg.m 2 /s 2 ΚΕΦ.4 ΣΡΟΦΟΡΜΗ-ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 14

15 10.ην θπξηό κέξνο ελόο κηθξνύ θπιίλδξνπ κάδαο m = 0, 2 kg θαη αθηίλαο R = 3 cm, έρεη ηπιηρηεί πνιιέο θνξέο έλα αβαξέο ζρνηλί. Κξαηώληαο ην ειεύζεξν άθξν ηνπ ζρνηληνύ αθήλνπκε ηε ρξνληθή ζηηγκή tν = 0 ηνλ θύιηλδξν λα πέζεη, νπόηε ην ζρνηλί μεηπιίγεηαη θαη ν θύιηλδξνο πεξηζηξέθεηαη γύξσ από έλα λνεηό νξηδόληην άμνλα ρ'ρ. Να ππνινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο επηηάρπλζεο ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ θπιίλδξνπ. β. ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ θπιίλδξνπ, σο πξνο ηνλ άμνλα ρ'ρ. γ. ηε ζηξνθνξκή ηνπ θπιίλδξνπ σο πξνο ηνλ άμνλα ρ'ρ ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 2 s. Ή ξνπή αδξάλεηαο ηνπ θπιίλδξνπ σο πξνο ηνλ άμνλα ηνπ είλαη I cm = 1/2 mr 2 θαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο είλαη g = 10 m/s 2. Να ζεσξεζεί όηη ζ' όιε ηε δηάξθεηα ηεο θίλεζεο ηνπ θπιίλδξνπ ην ζρνηλί παξακέλεη θαηαθόξπθν. Απ: α. α cm =20/3 m/s 2 β. = kg.m 2 /s 2 γ. L = kg.m 2 /s 11.Οκνγελήο ηξνραιία, κάδαο Μ = 2kg θαη αθηίλαο R = 20 cm, κπνξεί λα ζηξέθεηαη ρσξίο ηξηβέο γύξσ από νξηδόληην άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηεο θαη είλαη θάζεηνο ζην επίπεδό ηεο. Γύξσ από ηελ ηξνραιία έρνπκε ηπιίμεη αβαξέο λήκα, ζην ειεύζεξν άθξν ηνπ νπνίνπ θξέκεηαη ζώκα κάδαο m = 1 kg. Να ππνινγίζεηε: α. ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ ζπζηήκαηνο σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηεο ηξνραιίαο. β. ην κέηξν ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο ηεο ηξνραιίαο. γ. ην κέηξν ηεο ζηξνθνξκήο ηεο ηξνραιίαο, σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηεο, ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 2 s. Ζ ξνπή αδξάλεηαο ηεο ηξνραιίαο σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηεο είλαη I cm =1/2 MR 2 θαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο είλαη g = 10 m/s 2. Μεηαμύ λήκαηνο θαη ηξνραιίαο δελ παξαηεξείηαη νιίζζεζε. Απ: α. =2 kg.m 2 /s 2 β. α=25 rad/s 2 γ. L =2kg.m 2 /s 12. Έλαο καζεηήο θάζεηαη πάλσ ζε έλα ζθακπό. Σν ζθακπό κπνξεί λα πεξηζηξαθεί ζε θαηαθόξπθν άμνλα. Ο καζεηήο έρεη ηα ρέξηα ηνπ αλνηρηά θαη πεξηζηξέθεηαη κε γσληαθή ηαρύηεηα σ 1 =3rad/s.Ζ ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη Η 1 =2kgm 2. Κάπνηα ζηηγκή ν καζεηήο θέξλεη ηα ρέξηα ηνπ ζην ζηήζνο, νπόηε ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο ειαηηώλεηαη θαηά 0,5kgm 2. Να ππνινγίζεηε ηε λέα ηηκή ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο. Απ: σ 2 =4rad/s ΚΕΦ.4 ΣΡΟΦΟΡΜΗ-ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 15

16 13.Ζ νκνγελήο ξάβδνο ηνπ ζρήκαηνο έρεη κάδα m ξ =l00g θαη κήθνο l=120cm. ε ζεκεία πνπ απέρνπλ απνζηάζεηο r l =10cm θαη r 2 =20cm από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο z'z ζπγθξαηηνύληαη κε λήκαηα δύν δαθηύιηνη καδώλ m 1 =400g θαη m 2 =200g αληίζηνηρα. Σν ζύζηεκα ηίζεηαη ζε πεξηζηξνθή κε γσληαθή ηαρύηεηα σ ν =19rad/s. Κάπνηα ζηηγκή ηα λήκαηα θόβνληαη θαη νη δύν δαθηύιηνη πεγαίλνπλ, ιόγσ αδξάλεηαο, ζηα άθξα ηεο ξάβδνπ. Να ππνινγίζεηε ηε λέα γσληαθή ηαρύηεηα σ ηνπ ζπζηήκαηνο. Ρνπή αδξάλεηαο ηεο ξάβδνπ σο πξνο ηνλ άμνλα 2 ml πεξηζηξνθήο ηεο Η ξάβδνπ = 12 Απ: σ =2 rad/s 14.Ζ αβαξήο ξάβδνο ηνπ ζρήκαηνο, κήθνπο l = 1 m, είλαη νξηδόληηα θαη κπνξεί λα ζηξέθεηαη γύξσ από θαηαθόξπθν άμνλα z'z πνπ δηέξρεηαη από ην κέζνλ ηεο. ηα άθξα ηεο ξάβδνπ βξίζθνληαη δύν κεηαιιηθνί δαθηύιηνη, κάδαο m = 0,3 kg ν θαζέλαο. Σν ζύζηεκα ζηξέθεηαη γύξσ από ηνλ άμνλα z'z κε γσληαθή ηαρύηεηα κέηξνπ σ 1 =8 rad/s. Με θάπνην κεραληζκό, πνπ δε δεκηνπξγεί εμσηεξηθέο ξνπέο σο πξνο ηνλ άμνλα z'z, νη δύν δαθηύιηνη κεηαθηλνύληαη ηαπηόρξνλα ζε απόζηαζε r = 0,2 m από ηνλ άμνλα. Να ππνινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο λέαο γσληαθήο ηαρύηεηαο πεξηζηξνθήο ηεο ξάβδνπ. β. ηε κεηαβνιή ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο ησλ δύν καδώλ. Απ: α. σ 2 = 50 rad/s β. ΓΚ=25,2 J 15.'Έλαο νκνγελήο δαθηύιηνο, κάδαο Μ = 1 kg θαη αθηίλαο R, ζηξέθεηαη γύξσ από κηα θαηαθόξπθε δηάκεηξν ηνπ, όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα. Μηα κηθξή ράληξα, κάδαο m = 0,2kg, κπνξεί λα νιηζζαίλεη ρσξίο ηξηβέο θαηά κήθνο ηνπ δαθηπιίνπ. Όηαλ ε ράληξα βξίζθεηαη ζηελ θνξπθή ηνπ δαθηπιίνπ, ην ζύζηεκα ζηξέθεηαη κε γσληαθή ηαρύηεηα κέηξνπ σ 1 = 42rad/s. Α. Πνην είλαη ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο πεξηζηξνθήο ηνπ ζπζηήκαηνο, όηαλ ε ράληξα νιηζζαίλνληαο έρεη δηαγξάςεη θαηά κήθνο ηνπ δαθηπιίνπ ηόμν ζ = 45 0 ; Β. α. Γηα πνηα ζέζε ηεο ράληξαο ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο γίλεηαη ειάρηζην; β. Να πξνζδηνξίζεηε ηελ ειάρηζηε ηηκή ηνπ κέηξνπ ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο. Ζ ξνπή αδξάλεηαο ηνπ δαθηπιίνπ σο πξνο άμνλα πνπ ηαπηίδεηαη κε κηα δηάκεηξν ηνπ είλαη Η = 1/2MR 2. Απ: Α.α. σ 2 = 35 rad/s Β. β. σ min = 30 rad/s ΚΕΦ.4 ΣΡΟΦΟΡΜΗ-ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 16

17 16.Οξηδόληηνο δίζθνο πεξηζηξέθεηαη γύξσ από θαηαθόξπθν άμνλα ν νπνίνο πεξλά από ην θέληξν ηνπ. Ζ ζπρλόηεηα πεξηζηξνθήο ηνπ δίζθνπ είλαη f 1 =4ΖΕ θαη ε ξνπή αδξάλεηάο ηνπ σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο Η 1 = kgm 2. Έλα θνκκάηη δπκαξηνύ κηθξώλ δηαζηάζεσλ θαη κάδαο m=0,2kg αθήλεηαη λα πέζεη θαηαθόξπθα πάλσ ζην δίζθν ζε απόζηαζε d=5cm από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο. Σν δπκάξη θνιιάεη ζην δίζθν. Να ππνινγίζεηε ηε λέα ζπρλόηεηα πεξηζηξνθήο. Απ: f 2 =1,5 Ζz 17.Οξηδόληηνο δίζθνο, αθηίλαο R = 0,4m, ζηξέθεηαη κε ζπρλόηεηα f 1 = 100 Ήz γύξσ από θαηαθόξπθν άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ θαη είλαη θάζεηνο ζην επίπεδό ηνπ. Έλα θνκκάηη πιαζηειίλεο, κάδαο m = 0,2 kg, αθήλεηαη λα πέζεη από θάπνην ύςνο θαη πξνζθνιιάηαη ζην δίζθν ζε απόζηαζε d = R/2 από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο. Μεηά ηελ πξνζθόιιεζε ηεο πιαζηειίλεο, ε ζπρλόηεηα πεξηζηξνθήο ηνπ δίζθνπ γίλεηαη f 2 = 90 Ήz. Να ππνινγίζεηε: α. ηε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ δίζθνπ σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ. β. ην κέηξν ηεο κεηαβνιήο ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ θνκκαηηνύ ηεο πιαζηειίλεο, θαηά ηελ πξνζθόιιεζή ηνπ ζην δίζθν. γ. ην κέηξν ηεο εμσηεξηθήο ξνπήο πνπ πξέπεη λα αζθήζνπκε ζην δίζθν κε ηελ πιαζηειίλε, ώζηε ζε ρξόλν t= 0,8s ην ζύζηεκα λα απνθηήζεη ηελ αξρηθή ζπρλόηεηα πεξηζηξνθήο ηνπ δίζθνπ f 1. Απ: α. I cm =7, kg.m 2 β. ΓL =1,44π kg.m 2 /s γ. η = 1 Nm 18.'Έλαο ηξνρόο πνδειάηνπ έρεη ξνπή αδξάλεηαο I=0,2 kgm 2 σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ. Ο ηξνρόο ζηεξεώλεηαη ώζηε λα πεξηζηξέθεηαη ζε νξηδόληην επίπεδν κε ζηαζεξή γσληαθή ηαρύηεηα σ=24rad/s.'δλαο δίζθνο κε ξνπή αδξάλεηαο I =0,1kgm 2 θξαηηέηαη αθίλεηνο κε ην επίπεδό ηνπ νξηδόληην θαη ην θέληξν ηνπ πάλσ από ην θέληξν ηνπ ηξνρνύ. Κάπνηα ζηηγκή αθήλεηαη λα πέζεη πάλσ ζηνλ ηξνρό. Σειηθά ηξνρόο θαη δίζθνο απνθηνύλ θνηλή γσληαθή ηαρύηεηα σ'. Να ππνινγίζεηε ηε γσληαθή ηαρύηεηα σ'. Απ: σ =16 rad/s ΚΕΦ.4 ΣΡΟΦΟΡΜΗ-ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 17

18 19.Γίζθνο παηδηθήο ραξάο, κάδαο m θαη αθηίλαο R, πεξηζηξέθεηαη ρσξίο ηξηβέο κε ζηαζεξή γσληαθή ηαρύηεηα κέηξνπ σ 1 =4 rad/s πεξί θαηαθόξπθν άμνλα, ν νπνίνο είλαη θάζεηνο ζην επίπεδό ηνπ θαη δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ. ην δίζθν δελ αζθείηαη θακία εμσηεξηθή δύλακε. Έλα παηδί, κάδαο m, κεηαθηλείηαη από ζεκείν Α ηεο πεξηθέξεηαο ηνπ δίζθνπ πξνο ην θέληξν ηνπ. α. Πνην ζα είλαη ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο πεξηζηξνθήο ηνπ δίζθνπ, όηαλ ην παηδί θηάζεη ζε απόζηαζε r = R/2 από ην θέληξν ηνπ; β. Πνην είλαη ην είδνο ηεο θίλεζεο ηνπ δίζθνπ θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο θίλεζεο ηνπ παηδηνύ; Να δηθαηνινγήζεηε ηελ απάληεζή ζαο. Ζ ξνπή αδξάλεηαο ηνπ δίζθνπ σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ είλαη Η cm = 1/2 mr 2. Απ: α. σ 2 = 8 rad/s 20.Γίζθνο παηδηθήο ραξάο, κάδαο m θαη αθηίλαο R, πεξηζηξέθεηαη κε ζηαζεξή γσληαθή ηαρύηεηα σ, γύξσ από θαηαθόξπθν άμνλα, ν νπνίνο δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ δίζθνπ Ο θαη είλαη θάζεηνο ζην επίπεδό ηνπ. ην δίζθν δελ αζθείηαη θακία εμσηεξηθή δύλακε. Γύν παηδηά, κάδαο m ην θαζέλα, κεηαθηλνύληαη ηαπηόρξνλα από ηα ζεκεία Α θαη Β ηεο πεξηθέξεηαο ηνπ δίζθνπ πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο. α. Πνην ζα είλαη ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο πεξηζηξνθήο ηνπ δίζθνπ, όηαλ ηα δύν παηδηά θηάλνπλ ηαπηόρξνλα ζε απόζηαζε R/2 από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο; β. Πνηα ζα είλαη ε κεηαβνιή ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο; Ζ ξνπή αδξάλεηαο ηνπ δίζθνπ σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ είλαη I (O) =1/2 mr 2. Να ζεσξεζεί όηη ην θάζε παηδί έρεη ακειεηέεο δηαζηάζεηο. 15 Απ: α. σ 2 =5σ 1 /2 β.γκ= m 2 σ1 R ε κηα παηδηθή ραξά ππάξρεη κηα αθίλεηε νξηδόληηα θπθιηθή πιαηθόξκα, κάδαο Μ = 60 kg θαη αθηίλαο R = 2 m, ε νπνία κπνξεί λα ζηξέθεηαη ρσξίο ηξηβέο γύξσ από θαηαθόξπθν άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηεο. ηελ πιαηθόξκα δελ αζθείηαη θακηά εμσηεξηθή δύλακε. 'Έλα παηδί, κάδαο m = 20kg ηξέρεη κε ηαρύηεηα κέηξνπ π = 4 m/s θαηά κήθνο ηεο εθαπηνκέλεο ηεο πιαηθόξκαο θαη μαθληθά αλεβαίλεη πάλσ ζηελ πιαηθόξκα, ζε έλα ζεκείν ηεο πεξηθέξεηάο ηεο. α. Πνην είλαη ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο κε ηελ νπνία αξρίδεη λα πεξηζηξέθεηαη ε πιαηθόξκα; β. Πνηα ζηαζεξή ξνπή πξέπεη λα αζθεζεί ζηελ πιαηθόξκα, κε ην παηδί πάλσ ηεο, ώζηε λα ζηακαηήζεη λα πεξηζηξέθεηαη κέζα ζε ρξόλν t = 2 s; Γίλεηαη ε ξνπή αδξάλεηαο ηεο πιαηθόξκαο σο πξνο ηνλ άμνλά ηεο I cm = 1/2mR 2. Σν παηδί λα ζεσξεζεί σο πιηθό ζεκείν. Απ: α. σ = 0,8 rad/s β. η = 80 Nm ΚΕΦ.4 ΣΡΟΦΟΡΜΗ-ΓΙΑΣΗΡΗΗ ΣΡΟΦΟΡΜΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 18